Upload
duc
View
66
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Funkce více proměnných. Základní pojmy. R n = R n = R x R x … x R = {[ x 1 , x 2 , …, x n ] , x i R , i = 1, …, n } . Pro u , v R n , u = [ u 1 , …, u n ], v = [ v 1 , …, v n ] definujeme : u v = [ u 1 v 1 , …, u n v n ] u 0 = [ u 1 , …, u n ] - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Funkce více proměnných.
Základní pojmy.
Rn = Rn = R x R x … x R = {[x1, x2, …, xn], xi R, i = 1, …, n }.Pro u, v Rn, u = [u1, …, un], v = [v1, …, vn] definujeme: u v = [u1 v1, …, un vn] u 0 = [u1, …, un] pro c R je cu = [cu1, …, cun ] 1.u = [u1, …, un ] - u = [- u1, …, - un ]. u.v = u1v1 + u2v2 . …. +Unvn
u = v ui = vi, i = 1, …, n
Rn lze chápat jako lineární vektorový prostor nad tělesem R.
V Rn lze definovat vzdálenost mnoha způsoby. Například pro u, v Rn
eukleidovská vzdálenost
kosočtvercová vzdálenost
čtvercová vzdálenost
Pokud v = 0, píšeme a mluvíme o normě u. V tomto smyslu je vzdálenost u - v od 0, nebolinorma u - v. Rn je tedy možno chápat jako normovaný lineární prostor.
2211 )(...)( nn vuvuvu
nn vuvuvu ...11
},...,max{ 11 nn vuvuvu
u vu
Nechť a Rn. PakU(a, ) = {x Rn takových, že } se nazývá -okolí bodu a.
P(a, ) = {x Rn takových, že 0 < } se nazývá prstencové -okolí bodu a.
ax ax
Nechť M Rn.x M je vnitřním bodem množiny M existuje > 0 tak, že U(x, ) M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M.x M je hraničním bodem množiny M pro každé > 0 je U(x, ) M . Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M.x M je hromadným bodem množiny M pro každé > 0 je P(x, ) M .x M je izolovaným bodem množiny M existuje > 0 tak, že P(x, ) M = .
* x
* y
* z
A
M = A {x}.
x je izolovaný bod množiny M y je hraniční bod množiny Mz je vnitřní bod množiny M
Přiřazení f, které každému bodu x Rn přiřadí nejvýše jedno y Rk nazveme funkce z Rn do Rk. Definiční obor funkce f je D(f) = {x Rn takových, že existuje y Rk tak, že f ( x ) = y}.Obor hodnot funkce f je H(f) = {y Rk takových, že existuje x Rn tak, že f ( x ) = y}.Grafem funkce f je G ( f ) = {[x,y] Rn x Rk takových, že f ( x ) = y}.
Příklad.
Určete definiční obor funkce .
224
)1ln(),(
yx
xyxf
x > -1 a současně x2 + y2 < 4.
Příklad.
Určete definiční obor funkce . )sin(),( xyyxf
( y 0 a současně sin (x) 0 ) nebo ( y 0 a současně sin (x) 0)
( y 0 a současně x <0,> +2k ) nebo ( y 0 a současně x <0, > +2k ).
Graf funkcí více proměnných.
Speciálně se bude jednat o grafy funkcí R2 R.
Příklad.
Určete definiční obor a nakreslete graf funkce . 2216),( yxyxf
Definiční obor: , neboli vnitřek a hranice kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 4. 422 yx
Graf je definován jako {[x, y, z] R3, }, neboli jako podmnožina R3: 2216 yxz
-4
-3.4
-2.8
-2.2
-1.6 -1
-0.4
0.2
0.8
1.4 2
2.6
3.2
3.8
-4-2.8
-1.6-0.4
0.82
3.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Častěji se však používají pro představu grafu řezy.Řezy je nutno použít, jestliže definiční obor je podmnožinou Rn, kde n > 2.
1. x je konstantní , , 4k 2216 ykz 0z
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
k roste k roste
2. Analogický graf dostaneme pro y konstatntní.3. z konstatní, z = k: grafem jsou kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 4. Odtud 0 k 4.
Zákonitosti z vrstevnicových grafů dávají dohromady 3-rozměrný graf. V případě, že nezávislých proměnných je více než 2, máme k dispozici pouze jednotlivé řezy jako podmnožiny R2.
Příklad.
Určete definiční obor a graf funkce . xyz
Definičním oborem je R2.
Jestliže x = k je konstanta, grafy jsou přímky procházející počátkem. Podobná situace nastane pro y = k.Jestliže z = k, pak y = k/x, pro x 0. x = 0 má smysl pouze pro k = 0, pak y je libovolné. Pro k = 0 jsou x a y libovolné.
-4
-3.4
-2.8
-2.2
-1.6 -1
-0.4
0.2
0.8
1.4 2
2.6
3.2
3.8
-4
-2.2
-0.4
1.4
3.2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Limita a spojitost.
Nechť f : R R. Jestliže existují , a obě se rovnají A, pak existuje a . )(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
Axfax
)(lim
V tomto případě máme pouze 2 možnosti: x a+, nebo x a -.Jestliže ale f : Rn Rk, pak x se blíží nejen po ose x, ale v jakémkoliv směru výpočet limit je obtížný.
Příklad.
Vypočítejte .
22]1,1[],[
2lim
yx
xyyx
Bod [1, 1] lze do výrazu dosadit, aniž bychom dostali jako výsledek neurčitý výraz.
1
2lim
22]1,1[],[
yx
xyyx
Příklad.
Vypočítejte .
22]0,0[],[
2lim
yx
xyyx
Do výrazu nelze bod [0, 0] dosadit, výsledkem by byl neurčitý výraz „0/0“.
Dosaďme speciální dvojice [x, y] = [x, kx], tj k bodu [0, 0] se blížíme po přímkách, které se liší směrnicí k.Tím převedeme problém do jedné dimenze:
2222
2
0 1
22lim
k
k
xkx
kxx
Pro různá k bude tedy limita různá. Protože pokud limita existuje, je určena jednoznačně,
neexistuje.
22]0,0[],[
2lim
yx
xyyx
Definice.
Nechť f : M Rn Rk, nechť a je hromadný množiny M. Řekneme, že , jestliže pro každé > 0 existuje > 0 tak, že platí:
x P (a, f (x) U (A, ).
Jestliže navíc A = f ( a ), řekneme, že f je spojitá v a.
Axfax
)(lim
Zápis limity a spojitosti je stejný jako pro n = k = 1, avšak, jak vyplývá z předchozího příkladu,interpretace je jiná.
Definice.
Nechť speciálně f : M R2 R, nechť a = [a1, a2] je hromadný množiny M.
, nebo nazýváme dvojnásobné limity. ),(limlim
21
yxfayax
),(limlim12
yxfayax
Tvrzení.
Nechť f : M R2 R, nechť a = [a1, a2] je hromadný množiny M.
1. Nechť existuje a = = A. Pak = A.
2. Nechť = A. Pak = = A.
),(limlim21
yxfayax
),(limlim12
yxfayax
),(lim],[],[ 21
yxfaayx
),(lim],[],[ 21
yxfaayx
),(lim],[],[ 21
yxfaayx
),(limlim21
yxfayax
),(limlim12
yxfayax
Poznámka.
Jestliže existují obě dvojnásobné limity a rovnají se, neplyne z toho existence limity.
0
2limlim
2limlim
22002200
yx
xy
yx
xyxyyx
. Přesto jsme v předchozím ukázali, že neexistuje.
22]0,0[],[
2lim
yx
xyyx
Proto ukázat existenci limity v Rn je obtížné, někdy se podaří prokázat její neexistenci.
Příklad.
Vypočítejte .
17
4lim
44
22
]2,1[],[
yx
yxyx
2
1
4lim)
17
4lim(lim
2144
22
21
xyx
yxxyx
8
1
4
1lim)
17
4lim(lim
2244
22
12
yyx
yxyxy
Dvojnásobné limity se nerovnají neexistuje.
17
4lim
44
22
]2,1[],[
yx
yxyx
Příklad.
Vypočítejte .
yx
yxyx 32
)1(lim
]0,0[],[
0)
32
)1(lim(lim
00
yx
yxxy
2
1)
32
)1(lim(lim
00
yx
yxyx
Dvojnásobné limity se nerovnají limita neexistuje.
Příklad.
Vypočítejte .
)1(
1lim
3
]4,1[],[
xy
xyx
4
31lim
)1(
1lim
2
]4,1[],[
3
]4,1[],[
y
xx
xy
xyxyx
Příklad.
Vypočítejte .
4
1lim
2
]4,1[],[
y
xyx
Položíme y – 4 = k (x – 1), tedy . Pro různá k je limita různá neexistuje.
kk
xx
21lim
1
4
1lim
2
]4,1[],[
y
xyx
Derivace.
Derivace ve směru.
V dalším budeme předpokládat, že funkce jsou definovány v prostoru Rn. Obor hodnot je v R.
Nechť funkce f: Rn R je definována v otevřené množině G Rn, a G. Derivace funkce f ve směruh Rn se definuje jako
t
afthafaf
th
)()(lim)(
0
Definice.
Poznámka.
0)(0 af
V praxi hrají roli zejména derivace ve směru standardní báze prostoru Rn, e = (e1, …, en), kdeei = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) (1 na i-tém místě). Těmto derivacím se říká parciální derivace (podle i-té proměnné)
Vektor se nazývá gradient funkce f v bodě a.
t
afteafa
x
f i
ti
)()(lim)(
0
))(),...,(()())((
1
ax
fa
x
fafafgrad
n
Algebraické operace s parciálními derivacemi.
Nechť f a g jsou funkce Rn R, průnik definičních oborů je neprázdný. Nechť existují parciální derivaceobou funkcí v bodě a patřícímu tomuto průniku. Pak pro všechna i = 1, 2, …, n je
)(
)()()()()/(
)()()()()().(
)()()()(
2 ag
afax
gaga
x
f
x
gf
afax
gaga
x
fa
x
gf
ax
ga
x
fa
x
gf
ii
i
iii
iii
Je možno parciální derivace znovu derivovat, dostaneme parciální derivace 2. řádu .
Při tom (a).
Pro i j se nazývají smíšené a platí .
))(()(
2
ax
f
xa
xx
f
jiji
iii xx
fa
x
f
2
2
2
)(
)(
2
axx
f
ji
)()(
22
axx
fa
xx
f
ijji
Definice.
n
iiitA
1
Je–li funkce f v bodě a diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá.
Jsou-li pro všechna i =1, … ,n spojité, je funkce f diferencovatelná, a tedy spojitá,
)(ax
f
i
i
n
i ii
n
ii dxa
x
fa
x
ftadf )()()(
11
Nadrovina se nazývá tečná nadrovina ke grafu funkce f: Rn R v bodě a, jestliže platí
Jsou-li všechny parciální derivace spojité, pak , i = 1, …, n.
. Chyba této aproximace je úměrná .
CtA
n
iii
1
0
...),...,(lim 1111
]0,...,0[],...,[ 1
t
CtAtAtataf nnnn
tt n
)(a
x
fA
ii
))((),...,(),...,( 11 axa
x
faafxxf
inn
ax
Poslední výraz lze přepsat do tvaru obecné rovnice nadroviny .
))(,(),...,()(0 11
afaAxxfxax
fni
n
i i
Směr kolmý k rovině vyjadřuje normálový vektor n = grad f ( a )
Normálová přímka v bodě [a, f(a)] má v Rn parametrický tvar:
tafZ
nitax
faX
iii
)(
,...,1,)(
Nechť funkce f : Rn R je (m + 1)-krát spojitě diferencovatelná v bodě a a na nějakém jeho okolí.Pak pro x z tohoto okolí platí
. Tento výraz se nazývá Taylorův rozvoj funkce f na okolí bodu a.
se nazývá Taylorův polynom m-tého řádu funkce f v bodě a a Rm se nazývá
Lagrangeův zbytek. Rm je úměrný d (m+1) f (a).
m
m
i
i
Ri
afdafxf
1 !
)()()(
m
i
i
m i
afdafaT
1 !
)()()(
Příklad.
Je dána funkce . 22 32),( yxyxyxf
yx
x
f22
yxy
f62
2
2
2
x
f 6
2
2
y
f 2
22
xy
f
yx
f
Tečná nadrovina k funkci f v bodě [-1,1] :
)1)(1,1()1)(1,1(0
yy
fx
x
fz
yxyxz 44)1(4)1(4
Příklad.
Vypočítejte přibližně hodnotu funkce v bodě [1.11, 0.58] pomocí hodnot v bodě [1, 0.5]. 33 4)( yxxf
f (1, 0.5) = 1.5, x - x0 = 1.11 – 1 = 0.11, y – y0 = 0.58 – 0.5 = 0.08.
23xx
f
212y
y
f
3)5.0,1(
x
f 35.0.12 2
y
f
07.208.0.311.0.35.1)58.0,11.1( f
Při tom f (1.11,0.58) = 2.148079. Rozdíl je dán pohybem po lineární tečné nadrovině při aproximaci.
Lokální extrémy funkcí.
Jedná se o funkce Rn R .Nechť funkce f: Rn R má definiční obor D(f). Jestliže existuje okolí bodu a D(f) takové, že pro každé xz tohoto okolí je •f(x) ≥ f(a), pak a je lokální minimum funkce f.•f(x) > f(a), pak a je ostré lokální minimum funkce f.•f(x) ≤ f(a), pak a je lokální maximum funkce f.•f(x) < f(a), pak a je ostré lokální maximum funkce f.
Nechť funkce f: Rn R má definiční obor D(f). Nechť existují všechny parciální derivace funkce f v bodě a.Nechť a je lokální extrém funkce f. Pak a je stacionární bod funkce f.
Příklad.
Obecně.
Nechť f : Rn R , a D (f) je stacionární bod funkce f. Nechť na okolí bodu a existují všechny 2. parciálníderivace a jsou spojité.Pak jestliže• pro každé sudé i je Di > 0 a zároveň pro každé liché i je Di < 0, f má v bodě a lokální maximum.• pro každé sudé i je Di > 0 a zároveň pro každé liché i je Di > 0, f má v bodě a lokální minimum.• v ostatních případech f může a nemusí mít v bodě a lokální extrém.
Příklad.
D (f) = R2