Upload
lethuan
View
362
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
FUNGSI TRANSENDEN
I. Pendahuluan
I.1 Pokok Bahasan
Logaritma
Fungsi Eksponen
I.2 Tujuan
Mengetahui bentuk fungsi transenden dalam kalkulus.
Mengetahui dan memahami bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan
fungsi eksponen serta dalam perhitungannya.
Memahami dan menerapkan bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan
fungsi eksponen menggunakan program Mapel.
II. Landasan Teori
A. Logaritma
Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi untuk dan
mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, dan
ditulis
berdasarkan sifat invers diperoleh definisi logaritma berikut.
Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk berlaku kondisi
dan . Karena grafik fungsi dan inversnya simetri terhadap garis y = x, maka
grafik fungsi logaritma diperoleh dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap
garis y = x.
a. Logaritma Natural
Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah
2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua
bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang
bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah
1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan
fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma
natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini,
bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di
SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :
Notasi
Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk
menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)"
untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.
Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya
menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)"
untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk
logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).
Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log"
atau "LOG" berarti logaritma natural.
Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log
adalah untuk logaritma berbasis 10.
Sifat-sifat logaritma natural
Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan
turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut.
Teorema
Jika a dan dan r bilangan rasional, maka
B. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural
Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:
untuk semua x yang positif dan
untuk semua x yang real.
Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e,
dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya
merupakan pangkat dari variabel lain.
c. Mengapa disebut "natural"
Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang
berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua
alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang
variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai
dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi
eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan
decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan
mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di
bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.
Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:
Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan
kurva adalah 1.
d. Logaritma Umum
Sifat-sifat logaritma :1.
2.
3.
4.
5.
6.
e. Turunan logaritma natural
Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa
Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:
B. Eksponen
a. Fungsi Eksponensial Natural
Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma
natural.x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln
e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…
Dengan demikian,
Dari definisi langsung diperoleh bahwa
1. exp(ln x)=x, bila x>0.
2. ln(exp(x)) =x.
Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler),
yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini
untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial.
er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan
pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi
fungsi eksponesial, yaitu
Jadi, untuk selanjutnya.
1. , untuk x>0.
2. , untuk tiap x.
b. Turunan dari exp(x)
Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila
kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa
1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .
Teorema
Sebagai akibat kita peroleh
Teorema
c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum
Kita telah berhasil mendefinisikan untuk tiap bilangan real x, termasuk .
Namun bagaimana dengan ? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x).
DefinisiJika dan adalah sebarang bilangan real, maka
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan
yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.
d. Sifat-sifat
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan dan sebarang bilangan real.
1.
2.
3.
4.
5.
Teorema fungsi eksponensial
e. Fungsi
Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan
positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial
.
Definisi
Misalkan , maka
Catatan: Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara
berikut. Misalkan sehingga .
sehingga
Penerapan dalama maple
Logaritma
Eksponen
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm
Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)
Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html
Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.