Embed Size (px)
DESCRIPTION
KALKULUS
Citation preview
BAB: FUNGSI TRANSENDENTopik: Turunan Fungsi Transenden
Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa dalam:
1. menentukan turunan fungsi transenden dengan rumus turunan
2. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan penurunan logaritmik
3. menentukan turunan fungsi-fungsi transenden dengan penurunan implisit
4. menentukan invers suatu fungsi dan turunannya
Catatan: Penentuan integral fungsi transenden sudah dimasukkan kedalam topik "Metode substitusi" dan "Rumus-rumus integral".
1 Turunan fungsi transenden dengan rumus tu-runan
1. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 2
Tentukandy
dxjika
(a) y = 2(x2+1) + ln
�3x2 � 1
�(b) y = sin�1
�p3x�
Jawab:
(a)
y = 2(x2+1) + ln
�3x2 � 1
�dy
dx= 2(x
2+1) (ln 2) (2x) +1
3x2 � 1 (6x)
(b)
y = sin�1�p3x�
dy
dx=
1q1�
�p3x�2 12 (3x)�1=2 (3) = 3
2p3xp1� 3x
:
2. UAS tahun 1996 no. 4
Jawaban tidak perlu disederhanakan. Tentukan f 0 (x) jika
(a) f (x) = ex sin2 (2x)
1
(b) f (x) = ln (sec (2x) + tan (3x))
Jawab:
(a)
f 0 (x) = ex sin2 (2x) + ex2 sin (2x) cos (2x) (2)
= ex sin2 (2x) + 4ex sin (2x) cos (2x) :
(b)
f 0 (x) =1
sec (2x) + tan (3x)
�2 sec (2x) tan (2x) + 3 sec2 (3x)
�2 Penurunan Logaritmik
1. UAS Kalkulus(1), Semester Pendek 2004 no. 6 (kriteria: sedang)
Tentukandy
dxdari
y = (sinx)y ln x ; 0 < x < �:
Jawab:
y = (sinx)y ln x
; 0 < x < �
Kedua ruas di-lnkan sehingga diperoleh
ln y = lnh(sinx)
y ln xi
= y lnx ln (sinx)
Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x, maka
1
y
dy
dx=
�dy
dxlnx+ y
1
x
�ln (sinx) + y lnx
1
sinx(cosx)
= (lnx) (ln (sinx))dy
dx+y ln (sinx)
x
+y (lnx) (cosx)
sinx�1
y� (lnx) (ln (sinx))
�dy
dx=
y ln (sinx)
x+y (lnx) (cosx)
sinx
dy
dx=
y ln (sinx)
x+y (lnx) (cosx)
sinx1
y� (lnx) (ln (sinx))
2
2. UAS Kalkulus (1) 2004 no. 6 (kriteria: sedang)
Tentukandy
dxdari
y = (1 + ey)ln x ; x > 0:
Jawab:
Karena y = fgsfgs maka dengan menggunakan penurunan logaritmikdiperoleh
ln (y) = lnh(1 + ey)
ln xi= ln (x) ln (1 + ey) ; untuk x > 0:
Dengan menurunkan kedua ruas secara implisit terhadap x diperoleh
1
y
dy
dx=
1
x(1 + ey) + (lnx)
1
1 + eyeydy
dx�1
y� e
y lnx
1 + ey
�dy
dx=
1 + ey
x
dy
dx=
1 + ey
x1
y� e
y lnx
1 + ey
=
1 + ey
x1
(1 + ey)ln x
� ey lnx
1 + ey
:
3. UAS Kalkulus 1 tahun 2003 no. 6 (kriteria: sedang)
Diberikan fungsi f dengan f (x) = (cosx)sin x ; untuk cosx > 0:
(a) Tentukan f 0 (x) :
(b) Tentukan f 0 (0) :
Jawab:
f (x) = (cosx)sin x untuk cosx > 0:
(a) ln (f (x)) = sinx ln (cosx) : Jika kedua ruas persamaan ini ditu-runkan terhadap x diperoleh:
1
f (x)f 0 (x) =
�cosx ln (cosx) + sinx
1
cosx(� sinx)
�f 0 (x) = f (x)
�cosx ln (cosx)� sin
2 x
cosx
�= (cosx)
sin x
�cosx ln (cosx)� sin
2 x
cosx
�
3
(b)
f 0 (0) = (cos 0)sin 0
�cos 0 ln (cos 0)� sin
2 0
cos 0
�= 10
�1 (ln 1)� 0
1
�= 1 [1 (0)� 0] = 1 (0) = 0:
4. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 5b.
Tentukandy
dxjika
y = (lnx)px2+1
; jika lnx > 0:
Jawab:Dengan menggunakan penurunan logaritmik diperoleh
ln (y) = lnh(lnx)
px2+1
i; jika lnx > 0
ln (y) =px2 + 1 ln (lnx)
Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x; diperoleh
1
y
dy
dx=
1
2
�x2 + 1
��1=2(2x) [ln (lnx)] +
px2 + 1
1
lnx
1
x
dy
dx= y
"x ln (lnx)px2 + 1
+
px2 + 1
x lnx
#
= (lnx)px2+1
"x ln (lnx)px2 + 1
+
px2 + 1
x lnx
#5. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 6.
Diketahui y =�x2 + 1
�lnx, untuk x > 0. Tentukan
dy
dx.
Jawab:Dengan pendiferensialan logaritma:
y =�x2 + 1
�ln xln y = ln
h�x2 + 1
�ln xi= (lnx) ln
�x2 + 1
�Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x akan diperoleh
1
y
dy
dx=
1
xln�x2 + 1
�+ (lnx)
1
x2 + 1(2x)
dy
dx= y
ln�x2 + 1
�x
+2x (lnx)
x2 + 1
!
=�x2 + 1
�ln x ln �x2 + 1�x
+2x (lnx)
x2 + 1
!:
4
6. UAS Kalkulus1 tahun 1998 no. 3
Tentukandy
dxjika
y = (lnx)2x+3
; untuk lnx > 0:
Jawab:
y = (lnx)2x+3
; dengan lnx > 0:
ln y = lnh(lnx)
2x+3i= (2x+ 3) ln (lnx) :
d
dx(ln y) =
d
dx[(2x+ 3) ln (lnx)]
1
y
dy
dx=
�2 ln (lnx) + (2x+ 3)
1
lnx
d
dx(lnx)
�dy
dx= (lnx)
2x+3
�2 ln (lnx) +
2x+ 3
x lnx
�:
3 Penurunan Implisit
1. UAS Kalkulus tahun 2003 no. 8 (kriteria: sedang)
Tentukandy
dxdari
x ln y + sin�1 (2x) + e2xy = e:
Jawab:
d
dx
�x ln y + sin�1 (2x) + e2xy
�=
d
dx(e)�
1 (ln y) + x1
y
dy
dx
�+
24 1q1� (2x)2
(2)
35+ �2e2xy + e2x dydx
�= 0
�x
y+ e2x
�dy
dx+ ln y +
2p1� 4x2
+ 2ye2x = 0
dy
dx=
� ln y � 2p1� 4x2
� 2ye2x
x
y+ e2x
2. UAS Kalkulus 1 tahun 2002 no. 2 (kriteria: mudah)
Tentukandy
dxjika
y2 ln (x) = tan�1 (ln (x)) :
5
Jawab:
d
dx
�y2 ln (x)
�=
d
dx
�tan�1 (ln (x))
�2ydy
dxln (x) + y2
1
x=
1
1 + (ln (x))2
1
x
dy
dx=
1
x+ x (lnx)2 �
y2
x
2y (lnx)
3. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 5a.
Tentukandy
dxjika
x3 + x tan�1(y) = ey
Jawab:
Kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x
d
dx
�x3 + x tan�1 (y)
�=
d
dx(ey)
3x2 + 1�tan�1 (y)
�+ x
1
1 + y2dy
dx= ey
dy
dx
dy
dx
�x
1 + y2� ey
�= �3x2 � tan�1 (y)
dy
dx=
�3x2 � tan�1 (y)x
1 + y2� ey
4. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 8
Tentukandy
dxdari persamaan implisit berikut
xy3 + e(y+px) = tan�1(2x)
Keterangan : tan�1(2x) = arctan(2x)
Jawab:
Misalkan diberikan persamaan implisit
xy3 + e(y+px) = tan�1 (2x) :
6
Dengan menurunkan kedua ruas secara implisit terhadap x akan diperoleh
1y3 + x�3y2� dydx+ e(y+
px)�dy
dx+
1
2px
�=
1
1 + 4x2(2)
dy
dx
�3xy2 + e(y+
px)�
=2
1 + 4x2� y3 � e
(y+px)
2px
dy
dx=
2
1 + 4x2� y3 � e
(y+px)
2px
3xy2 + e(y+px)
5. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 9.
Tentukanlahdy
dxuntuk
exy + ln�x6y2
�= 3x2y3:
Jawab:
d
dx
�exy + ln
�x6y2
��=
d
dx
�3x2y3
�exy�y + x
dy
dx
�+
1
x6y2
�6x5y2 + x6
�2ydy
dx
��= 6xy3 + 3x2
�3y2
dy
dx
��xexy +
2
y� 9x2y2
�dy
dx= 6xy3 � yexy � 6
x
dy
dx=
6xy3 � yexy � 6
x
xexy +2
y� 9x2y2
4 Fungsi Invers dan turunannya
1. UAS Kalkulus 1 tahun 1998 no. 2
Diketahui f fungsi monoton turun pada selang [0; 2�] yang dide�nisikansebagai
f (x) = cos�x2
�:
(a) Tentukan f�1 (x) :
(b) Tentukand
dx
�f�1 (x)
�:
Jawab:
7
(a) Misalkan
y = cos�x2
�; x 2 [0; 2�]
x
2= cos�1 (y)) x = 2 cos�1 (y)
f�1 (y) = 2 cos�1 (y)
) f�1 (x) = 2 cos�1 (x) :
(b) f (x) = cos�x2
�=) f 0 (x) = �1
2sin�x2
�
""""""""""
x=2
p1� y21
y
�f�1
�0(y) =
1
f 0 (x)=
1
� 12 sin
�x2
� = �2p1� y2
:
)�f�1
�0(x) =
�2p1� x2
:
8
