FUNDAMENTOSDELANALISISDINAMICODEESTRUCTURAS

Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Civil

PRINCIPIOS COMPUTACIONALES EN INGENIERIA P f I R f l S li

FUNDAMENTOS DEL ANALISIS DINAMICO DEESTRUCTURAS

Ing. Rafael Salinas BasualdoCISMID-FIC-UNI

1. INTRODUCCION

El enfoque de estos apuntes est orientado al caso de edificaciones ante acciones laterales, seanfuerzas externas o movimientos en la base. En primer lugar se revisarn los conceptos de rigidezlateral, primero para un prtico simple y luego para un edificio de varios niveles, a partir de unasimplificacin del anlisis que permite plantear modelos pseudo-tridimensionales para larepresentacin de una edificacin.

Los anlisis dinmicos se dividen usualmente en tres grandes grupos:

- Anlisis Modal Espectral, de uso ingenieril ms comn.- Anlisis Tiempo-Historia.- Anlisis en el dominio de las frecuencias.

Los anlisis pueden realizarse considerando un comportamiento lineal fuerza-desplazamiento delmaterial; eventualmente pueden considerarse comportamientos no lineales para los anlisistiempo-historia. Los programas de anlisis estructurales ms comunes no realizan anlisisincluyendo efectos de segundo orden (denominado tambin no linealidad geomtrica), es decir,la consideracin de esfuerzos adicionales debidos a la modificacin de los ejes causada por lasdeformaciones.

Las oscilaciones se producen en los elementos o sistemas estructurales debido a que tienenmasas, elasticidad y una capacidad de amortiguamiento manifestado en diversas formas. Pararealizar un anlisis de la respuesta de estos sistemas se parte de algunas simplificaciones, con lasque se aborda el problema de manera ms sencilla y a menudo suficiente para fines prcticos deingeniera. Sin embargo, deben comprenderse las hiptesis iniciales de cada tipo de anlisis,pues en ellas estn contenidas sus limitaciones y contribuyen a establecer sus campos deaplicacin.

2. RIGIDEZ LATERAL DE PORTICOS

Durante el movimiento de una edificacin por la accin ssmica, las solicitaciones sobre aquellason realmente de direccin diversa. Se ha llegado a considerar que el movimiento del suelo tieneseis componentes de movimiento independientes, tres traslacionales y tres rotacionales. Dentrode estas componentes, las traslacionales en las direcciones horizontales suelen ser tomadas en



cuenta, en forma independiente, para fines de tener condiciones de carga en los anlisis, dadoque por lo general son los ms importantes.

En el caso de un prtico plano, la sola consideracin de un movimiento traslacional de la baseimplicara la aparicin de acciones de inercia traslacionales y rotacionales. Sin embargo, losgiros ocasionados son relativamente pequeos, por lo que las acciones rotacionales tambin loson y prcticamente no influyen en los efectos finales sobre la estructura ,tanto a nivel dedesplazamientos como de fuerzas internas. Por esta razn, se considera una accin de inerciatraslacional, por lo que la "fuerza" ssmica tiene, para fines de anlisis, un sentido horizontal.

2.1 Rigidez Lateral de un Prtico Simple

Sea el prtico plano simple, de una cruja, mostrado en la Figura 1, sometido a la accin de unafuerza horizontal F, que representa la accin ssmica. La deformacin axial de los elementos nose considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consisten en undesplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores.

Figura 1

La ecuacin bsica del anlisis matricial de estructuras es la siguiente:

Denotando

La matriz adopta la forma:

h

IvF

21u1

L

Ic Ic

hEIcLEIv

//

2

1

1

2

c

u

142h6

214h6

h6

h6

h24

hEI

00F

2

1

1u

LEIv4

hEIc4

LEIv2

hEIc6

LEIv

2L

EIv4

hEIc

4hEIc

6hEIc6

hEIc6

hEIc24

00F

2

2

223



La ecuacin puede ser representada de esta forma:

Donde:

K11 : submatriz con traslaciones originadas por los grados de libertad de traslacin.K22 : submatriz con rotaciones originadas por los grados de libertad de rotacin.K12 : submatriz con traslaciones originadas por los grados de libertad de rotacin.K21 : submatriz con rotaciones originadas por los grados de libertad de traslacin.

Desarrollando las ecuaciones:

F = K11 U + K12

0 = K21 U + K22

De la segunda ecuacin, se despeja :

= - K22-1 K21 U

Reemplazando la expresin de en la primera ecuacin, se tiene:

F = K11 U - K12 K22-1 K21 U

F = ( K11 - K12 K22-1 K21 ) U KL = K11 - K12 K22-1 K21

Finalmente, se obtiene para el prtico:

KL =

3+26+1

hEIc

12 3

La operacin realizada se denomina Condensacin Esttica. Tiene por objeto reducir lamatriz de rigidez con los trminos asociados exclusivamente a las fuerzas actuantes sobre laestructura. De esta manera se concentra la labor en la obtencin de ciertos desplazamientospara, a partir de stos, calcular los desplazamientos restantes, sin los cuales no podrancalcularse las fuerzas internas completamente. En este caso, mediante una condensacinesttica la matriz de rigidez original fue reducida a una matriz de rigidez lateral (de un trmino)para obtener el desplazamiento lateral de piso causado por una fuerza horizontal.

U

KKKK

0F

2221

1211



2.2 Matriz de Rigidez Lateral de un Prtico de Varios Pisos

En un prtico de varios pisos, la matriz de rigidez total es una operacin repetitiva de ensamblesde matrices de los elementos, sean estos vigas, columnas, muros o arriostres, como se muestraen la Figura 2. Para obtener la matriz de rigidez lateral se harn las mismas suposiciones que enla situacin anterior, por ejemplo, los desplazamientos laterales son iguales a nivel de cada piso(deformaciones axiales no considerados) y las acciones de inercia rotacionales no son tomadasen cuenta, solamente las acciones horizontales. Adems, el modelo sera ms apropiado paraedificios de baja a mediana altura, en los cuales los efectos de las deformaciones axiales sonpoco considerables.

Figura 2

La matriz de rigidez total es representada por una serie de submatrices, que tienen el mismosignificado que en el acpite 2.1.

..

..

U..

UU

0..00F..FF

2

1

N

2

1

n

2

1

2221

1211

KKKK

=

U

KKKK

0F

2221

1211

Desarrollando matricialmente las particiones (efectuando la condensacin esttica):

F = ( K11 - K12 K22-1 K21 ) UF = KL U

Luego, la rigidez lateral est dada por la expresin matricial:KL = K11 - K12 K221 K21

Fn

Fi

F2

F1

Un

Ui

U2

U1



2.3 Modelo de Cortante para Edificios

Un modelo de cortante se define como una estructura en la cual las rotaciones de una seccinhorizontal, al nivel de cada piso, no existen. Con esta suposicin, la estructura tendr muchas delas caractersticas de una viga en voladizo deformada nicamente por accin de fuerzascortantes. Adems se supone que las masas de la estructura estn concentradas en los nivelesde piso, las vigas de techo son infinitamente rgidas comparadas con las columnas, y ladeformacin de la estructura es independiente de las fuerzas axiales en las columnas. De estamanera un edificio de tres pisos, por ejemplo, tendr tres grados de libertad, para una accinssmica en una direccin horizontal determinada. No obstante, en la literatura sobre el tema secuenta con mtodos para evaluar las rigideces de entrepiso tomando en cuenta la flexibilidad delas vigas; las propuestas por Wilbur y Biggs (EEUU) y Muto (Japn) son ejemplos de ello.

En la Figura 3.a se presenta un esquema representativo de un modelo de una estructura de trespisos. Se puede tratar el modelo como una columna simple, con masas concentradas al nivel decada piso, entendiendo que las masas concentradas admiten solamente traslacioneshorizontales. La rigidez de un entrepiso, entre dos masas consecutivas, representa la fuerzacortante requerida para producir un desplazamiento unitario relativo entre dos pisos adyacentes.En la Figura 3.b se muestran los diagramas de cuerpo libre con los que se obtienen lasecuaciones de movimiento para este modelo.

Figura 3.a Figura 3.b

Aplicando el principio de D'Alembert, se obtienen las ecuaciones de movimiento,:

M1 1 + ( K1 + K2 ) U1 - K2 U2 = F1(t)

M2 2 - K2 U1 + ( K2 + K3 ) U2 - K3 U3 = F2(t)

M3 3 - K3 U2 + K3 U3 = F3(t)

En forma matricial:

M + K U = F (t)

F1(t)M11

K2 (U2-U1)

K1U1

F2(t)M22

K3 (U3-U2)

K2(U1-U2)

F3(t)M33

K3(U3-U2)

F3

F2

F1

U3

U2

U1

K3

K2

K1

M3

M2

M1



Las matrices de masas y de rigidez son, respectivamente:

Con este modelo, apropiado para anlisis ssmicos en una direccin, es fcil observar algunostrminos relativos a la respuesta del sistema estructural, tales como los desplazamientos deentrepiso y los cortantes de entrepiso, relacionados entre s con la rigidez del entrepisorespectivo, como se muestra en la Figura 4.

Figura 4

3

2

1

Ui = desplazamiento absolutoi = desplazamiento relativo de entrepisoi = Ui - Ui-1Vi = cortante de entrepisoRigidez lateral del piso i-simo:Ki = Vi / iClculo del desplazamiento relativo del piso i-simo:i = Vi / Ki

=

3

2

1

M000M0

00MM

+

+=

33

3322

221

KK0KKKK0KKK

K



3 ANALISIS PSEUDO-TRIDIMENSIONAL

3.1 Hiptesis de Anlisis

En los acpites anteriores fue desarrollada la formulacin matricial para evaluar las rigideceslaterales de un prtico plano. Una estructura espacial puede ser modelada como un ensamblede prticos planos, con propiedades de rigidez solamente en sus planos respectivos, admitiendoque las rigideces ortogonales a sus planos son bastante menores y pueden no ser consideradas.La hiptesis fundamental es la relativa a las losas de piso, las cuales son consideradas comocuerpos rgidos que conectan a los prticos. Para fines del anlisis ssmico, los grados delibertad para las losas de piso son tres: dos traslaciones horizontales y una rotacin torsional enplanta. De este modo, tampoco se toman en cuenta las deformaciones axiales en las columnas.En la Figura 5 se presenta un ejemplo de un edificio de dos niveles y los grados de libertad paracada uno de ellos.

Los anlisis ssmicos pueden realizarse considerando las dos componentes horizontales delmovimiento de la base y, si se trata de fuerzas estticas equivalentes, dos fuerzas horizontales yun momento de torsin en planta por cada piso, en un punto que generalmente es el centro demasas del piso. La matriz de rigidez del sistema resulta de la suma de las rigideces laterales decada prtico, previamente transformadas para ser consistentes con los grados de libertad delentrepiso. El proceso en el que se realiza esta transformacin se denomina CondensacinCinemtica y se basa en relacionar, en un piso dado, los desplazamientos globales delentrepiso con el desplazamiento lateral de cada prtico.

Figura 5

3.2 Procedimiento

a) Determinacin de las rigideces laterales para cada prtico plano componente. Cada prticoest en unas coordenadas locales, en base a los cuales estn referidos los grados de libertadconsiderados para el prtico (Figura 6).

Piso 2

Piso 1 o1vo1

uo1

uo2

vo2

o2



KLi = K11i - K12i K22i-1 K21i

Figura 6

b) Determinacin de las rigideces de cada prtico, transformadas a los grados de libertadglobales (Figura 7).

Figura 7uij = uoj cos i + voj sen i + oj riri = (xi - xo) sen i - (yi - yo) cos i

Matricialmente:

Prtico i

i

N: nmero de pisos

ui2

ui1

Fi2

Fi1

Prtico i

Se define uij, donde:i: indicador del prticoj: indicador del piso

Y

CM (xO,yO)

Prtico i,Piso j

uoj

X

voj

oj

uij

ir i

(xi,yi)

{ }

=

jo

oj

oj

iiiij vu

ru sencos



ojugu ijij =

Sea el vector Ui , que define los desplazamientos locales de todos los prticos:

=

oN

o3

o2

o1

iN

i3

i2

i1

iN

i3

i2

i1

......0

0

u...uuu

u

uuu

g

gg

g

Ui = Gi Uo

Gi es la matriz de transformacin y Uo la matriz de desplazamientos (del centro de masas dacada piso) de toda la estructura. La matriz de rigidez transformada es:

KLi = GiT KLi Gi

c) Determinacin de la matriz de rigidez total.

KT = =

=

N

1

i

iKLi

d) Determinacin de los vectores de cargas.Para el piso j:

=

z

y

x

j

MFF

F

=eF-

0F

x

x

jF

El vector de cargas para el sistema ser:

FT =

N

3

2

1

...F

F

F

F

CMMz

Fy

Fx

eFx

CM



e) Planteamiento de la ecuacin de equilibrio.

FT = KT Uo

Uo representa el vector de desplazamientos de los centros de masa de todos los niveles y es laincgnita a ser resuelta mediante tcnicas de anlisis matricial u otros procedimientos numricos.FT representa las fuerzas en cada nivel.

f) Definicin de los desplazamientos de cada prtico.

Ui = Gi Uo, producindose en cada nivel: uij = gij uoj

g) Clculo de las fuerzas laterales en cada prtico componente.

Fi = KLi Ui

h) Clculo de las fuerzas internas y desplazamientos en cada prtico componente.

Figura 8

Como en el caso de modelos de cortante en edificios, este modelo no sera aplicable en el casode edificaciones altas y esbeltas, donde s pueden ser apreciables los efectos de lasdeformaciones axiales de las columnas y los momentos en direccin ortogonal al momentotorsor. Con el propsito de ilustrar la forma de anlisis de una estructura con un modelopseudo-tridimensional, se presenta el ejemplo de una estructura aporticada de un piso, para unafuerza lateral especificada.

ui1

ui2Fi2

Fi1



3.3 Ejemplo de Aplicacin

Se desarrollar el anlisis de una estructura aporticada de concreto armado (E=2x106 t/m) deun piso, considerando que el diafragma de piso es suficientemente rgido para realizar el anlisiscon un modelo pseudo-tridimensional. La fuerza aplicada F es de 10 toneladas, como se indicaen la figura.

a) Obtencin de la Rigideces Laterales de cada prtico

a.1) Prtico Tipo IIv = 5.4 x 10-3 m4

Ic = 6.75 x 10-4 m4

L = 6.0 mh = 3.5 mEv = Ec = 2 x 10-6 t/m

Matriz de Rigidez:

De: = - K22 1 K21 U

4667.05.3/75.6

6/4.5

u11

h323

2

1

00Hu

142h6

214h6

h6

h6

h24

hEI 1

2

1

1c

A CB

1

3

2

X

Y

6 m 6 m

6 m

6 m

F O

4.5m

4.5m

PLANTA

3.5 m

Prticos 3 y C

.30x.60

.30x.30

3.5 m

Prticos 1, 2, A y B

.30x.60

.30x.30

u1 2



KL = K11 - K12 K22- 1 K21

Operando:

a.2) Prtico Tipo II

Matriz de Rigidez:

De: = - K22-1 K21 U

KL = K11 K12 K22 1 K21

Operando:

./., cmt8486K3261

hEI12

K LI3c

LI

000

1H

3

2

1

u

1420h6

0214h6

0214h6

h6

h6

h6

2h

36

hEIc

322

32

263h2

3

2

3

2

1

cmt32510K362691

hEI18

KIII L2

2

3c

L /.,

11L HuK

u1 2 3



b) Definicin de la Matriz de Rigidez de la Estructura:

Considerando: ri = (xi xo) sen i (yi yo) cos iPrtico i xi (cm) yi (cm) i() xi - xo yi yo ri123ABC

00006001200

06001200000

000909090

-450-450-450-450 150 750

-450 150 750-450-450-450

450-150-750-450 150 750

xo = 450 cm, yo = 450 cm

Prtico i KLI(t/cm) Cos i Sen i ri (cm)123ABC

10.32510.3256.84810.32510.3256.848

111000

000111

450-150-750-450150750

Adems, para cada prtico:

Matriz de Rigidez Total:

2L HuK II

iLT

ii

GKGKi

o

o

o

o

iiiioii

oiioioi

vu

u

)rsen(cosG,uGu:tambino

rsenvcosvu

iiii rsencosGDonde



Al realizar las operaciones, se obtiene:

c) Determinacin de los desplazamientos de piso:

De K Uo = F

d) Desplazamientos de los Prticos. Ejemplos: prticos 3 y 1.

d.1) Prtico 3

u = u3 = 0.32308 cm

250350125.20385.20385.20385.2705.203805.27

K

o

o

o

o vu

U,0010

F

rad10x15310.6cm00456.0

cm36822.0vu

U5

o

o

o

o

o

o

o

o33 vu

)75001(UGu

rad,11

10x7254.1

:emplazandoRe

u11

h323:Como

4

2

1

2

1

u1 2



d.2) Prtico 1

hu

322

32

)362(23

:como 23

2

1

rad,10x84773.210x55967.3

10x84773.2

:operando4

4

4

3

2

1

d) Momentos Flectores en el Prtico 1

Columnas exteriores:

mt40.2uhEI6

hEI2M

mt18.2uhEI6

hEI4M

21INFERIOR

21SUPERIOR

Columna Interior:

mt59.2uhEI6

hEI2M

mt56.2uhEI6

hEI4M

22INFERIOR

22SUPERIOR

Viga Izquierda:

mtLEI

LEI

M

mtLEI

LEI

M

DERECHO

IZQUIERDO

28.142

18.224

21

21

cm39591.0uu

vu

)45001(UGu

1

o

o

o

o11

u1 2 3



DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORESEN EL PORTICO 1 (t-m)

2.18

2.18

2.40 2.40

2.18

2.181.28

1.28

2.56

2.59



4 ANALISIS DINAMICO

4.1 Introduccin

Las estructuras, cuando estn sujetas a cargas o desplazamientos en la base, en realidad actandinmicamente, es decir, desarrollan acciones opuestas al movimiento impuesto por tales cargaso desplazamientos. Si stos son aplicados muy lentamente, las fuerzas de inercia son bastantepequeas (al ser las aceleraciones muy bajas) y por lo tanto se puede justificar un anlisis detipo esttico. Por otro lado, las estructuras son un continuo y tienen un infinito nmero degrados de libertad. Se han tratado anteriormente las formas de concentrar la evaluacin enpuntos (nudos o pisos) que son suficientes para determinar el comportamiento de la estructura ycalcular sus fuerzas internas. La masa del sistema estructural es concentrada en los nudos o anivel de los centros de masa de cada piso, segn el modelo utilizado. Asimismo, si los anlisis serealizan considerando que el material estructural tendr un comportamiento elstico y lineales,las propiedades de rigidez de la estructura pueden aproximarse con un alto grado deconfiabilidad, con ayuda de informacin experimental. Lo mismo puede asumirse para laspropiedades de amortiguamiento. Las cargas dinmicas y las condiciones en la base de lacimentacin suelen ser difciles de estimar, sobre todo en el caso de cargas ssmicas.

4.2 Ecuaciones de Movimiento

La ecuacin fundamental de movimiento de un sistema de mltiples grados de libertad, demasas concentradas, puede ser expresada como una funcin del tiempo de la forma:

(t)(t)(t)(t) SDI FFFF (1)

donde los vectores de fuerza, variables en el tiempo t, son:

I(t)F : vector de acciones de inercia en las masas concentradasD(t)F : vector de fuerzas por amortiguamiento, supuesto como de tipo viscosoS(t)F : vector de fuerzas por deformacin de la estructura

(t)F : vector de cargas aplicadas externamente

La ecuacin (1) es vlida tanto para sistemas lineales como no lineales, si el equilibrio dinmicose plantea con respecto a la geometra deformada de la estructura.

En caso de un anlisis lineal la ecuacin se puede escribir, en trminos de los desplazamientos(nodales o de piso), de la siguiente forma:

(t)(t)(t)(t) aaa FuKuCuM &&& (2)



donde M es la matriz de masas (concentradas), C es la matriz de amortiguamiento viscoso(definido para considerar la energa de disipacin en la estructura real) y K es la matriz derigidez para el sistema estructural. Los vectores dependientes del tiempo a(t)u , a(t)u& y a(t)u&&son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones absolutas (nodales o de piso),respectivamente.

En el caso de una accin ssmica, las cargas externas F(t) se consideran iguales a cero. Losmovimientos ssmicos bsicos son las tres componentes de desplazamiento de la base igu(t) ,que son conocidos en los puntos que se encuentran al nivel de la cimentacin. Es usual puedeplantear la ecuacin (1) en trminos relativos a los desplazamientos de la base, es decir, losdesplazamientos relativos (t)u , las velocidades relativas (t)u& y las aceleraciones realativas

(t)u&& .

En consecuencia, los desplazamientos, velocidades y aceleraciones absolutas pueden eliminarsede la ecuacin (2) mediante las siguientes ecuaciones:

zgzygyxgxa u(t)u(t)u(t)(t)(t) 111uu (3a)zgzygyxgxa (t)u(t)u(t)u(t)(t) &&&&& 111uu (3b)zgzygyxgxa (t)u(t)u(t)u(t)(t) &&&&&&&&&& 111uu (3c)

donde i1 es un vector con unos (1) en las posiciones correspondientes a los grados de libertaden la direccin i y ceros (0) en las otras posiciones. Sustituyendo las ecuaciones (3) en laecuacin (2), las ecuaciones de movimiento son reescritas como sigue:

zgzygyxgx (t)u(t)u(t)u(t)(t)(t) &&&&&&&&& MMMuKuCuM (4)

donde: ii 1MM .

La forma simplificada de la ecuacin (4) es posible dado que los desplazamientos y lasvelocidades de cuerpo rgido asociados con los movimientos de la base no causan fuerzasrestauradoras elsticas o de disipacin adicionales.

Desde el punto de vista ingenieril, los desplazamientos ms importantes son los desplazamientosrelativos, proporcionados por los programas de cmputo en sus archivos de resultados,. Debeentenderse que la solicitacin ssmica en la estructura se debe a los desplazamientos en su basey no a cargas puntuales aplicadas en la estructura. Sin embargo, se considera suficiente unanlisis con cargas estticas equivalentes en casos relativamente simples, de edificios con pocospisos y ciertas condiciones de regularidad en la distribucin de sus masas y de sus elementosque le brindan rigidez; estas condiciones son especificadas en los cdigos de diseosismorresistente.



4.3 Ecuaciones de Movimiento

Existen diversos mtodos propuestos para ser empleados para la solucin de la ecuacin (1).Cada mtodo tiene ventajas y desventajas, de acuerdo al tipo de estructura y la carga.Los mtodos numricos de solucin pueden clasificarse del siguiente modo:

4.3.1 Mtodo de Solucin paso a paso

El mtodo de solucin ms completo para el anlisis dinmico en un mtodo incremental en elcual las ecuaciones van siendo resueltas en los tiempos t, 2t, 3t, etc. Hay un gran nmerode mtodos de solucin incremental. En general, estos mtodos involucran una solucin de todoel conjunto de ecuaciones (1) en cada incremento de tiempo. En el caso de un anlisis no lineal,puede ser necesario reformular la matriz de rigidez de todo el sistema estructural para cadapaso. Adems, se efectuarn iteraciones dentro de cada incremento de tiempo, para satisfacerlas condiciones de equilibrio. Como los requerimientos de cmputo son significativos, estosmtodos pueden emplearse para resolver sistemas estructurales con pocos cientos de grados delibertad.

Adicionalmente, en estos mtodos de solucin, el amortiguamiento numrico o artificial debe serincluido, con el propsito de obtener soluciones estables. En ciertos casos de estructuras concomportamiento no lineal sujetas a movimientos en la base, es indispensable el empleo de losmtodos de solucin incremental.

En sistemas estructurales muy grandes, se ha encontrado que la combinacin de los mtodosincrementales y de superposicin modal ha sido eficiente para sistemas con un pequeo nmerode elementos no lineales.

4.3.2 Mtodo de Superposicin Modal

Es el mtodo ms comn y efectivo de los procedimientos para el anlisis ssmico de sistemasestructurales lineales. Este mtodo, luego de evaluar un conjunto de vectores ortogonales,reduce el gran conjunto de ecuaciones generales de movimiento a un pequeo nmero deecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden. La solucin numrica de estasecuaciones implica una gran reduccin del tiempo de cmputo.

Con este mtodo se obtiene la respuesta completa, en su variacin en el tiempo, de losdesplazamientos de los nudos y fuerzas en los elementos debidos a un movimiento determinadoen la base.

Se ha demostrado que los movimientos ssmicos excitan a la estructura principalmente en susfrecuencias ms bajas. Por lo general, las aceleraciones del terreno son registradas, en losacelerogramas digitales, con intervalos a razn de 100 o 200 puntos por segundo. De maneraque la informacin de las acciones ssmicas no contiene frecuencias por encima de los 50 ciclospor segundo. En consecuencia, si no se consideran las frecuencias altas y las correspondientesformas de modo en la respuesta de un sistema, no se introducirn errores.



El mtodo tiene dos desventajas. En primer lugar, se produce una gran cantidad de informacin,la cual requiere un enorme esfuerzo computacional, donde se consideren todas las posibilidadesde la verificacin del diseo como una funcin de tiempo. En segundo lugar, el anlisis deberepetirse para diferentes registros ssmicos - frecuentemente tres registros como mnimo - con elpropsito de asegurar que todos los modos significativos sean excitados.

4.3.3 Anlisis Modal Espectral

El anlisis modal espectral (o mtodo de la respuesta espectral) es un mtodo ventajoso paraestimar los desplazamientos y fuerzas en los elementos de un sistema estructural. El mtodoimplica el clculo solamente de los valores mximos de los desplazamientos - y lasaceleraciones - en cada modo usando un espectro de diseo, el mismo que representa elpromedio o la envolvente de espectros de respuesta para diversos sismos, con algunasconsideraciones adicionales expuestas en los cdigos de diseo. Luego se combinan estosvalores mximos, por ejemplo mediante un promedio ponderado entre la media y la razcuadrada de la suma de los cuadrados de tales valores mximos; otro mtodo es el de lacombinacin cuadrtica completa (mtodo CQC), que considera adems una correlacin entrelos valores modales mximos. De este modo, se obtienen los valores ms probables dedesplazamientos y fuerzas.

4.3.4 Anlisis en el Dominio de Frecuencias

Este procedimiento es empleado para resolver las ecuaciones de movimiento en el dominio defrecuencias. Para ello, las fuerzas externas F(t) son expresadas en una expansin de trminos deseries de Fourier o integrales de Fourier. La solucin est dada en nmeros complejos,cubriendo el espacio de - a . Este procedimiento es muy efectivo para cargas peridicascomo en vibracin de maquinarias, problemas de acstica, efectos de las olas de mar y deviento. Sin embargo, el uso de este mtodo para resolver problemas de ingeniera ssmica tienelas siguientes desventajas:

Por lo general, el entendimiento de las matemticas involucradas en el mtodo puede serdifcil de entender para los ingenieros. La verificacin de las soluciones tambin podra serdifcil.

Las acciones ssmicas no son peridicas. Sin embargo, los registros ssmicos del terreno - elmovimiento de la base - pueden ser transformados al dominio de frecuencias con algoritmosespeciales y, luego de realizar los anlisis y las operaciones involucradas, volver a sertransformados para obtener la respuesta del sistema en el tiempo.

Para acciones ssmicas, el mtodo no es numricamente eficiente.

El mtodo es aplicable a sistemas estructurales lineales.



5 CARACTERISTICAS DE LOS PROGRAMAS DE ANALISIS

Los programas de anlisis estructural son desarrollados principalmente para estructuras deconcreto armado, sean aporticadas, con muros o mixtos; tambin es posible analizar estructurasde acero o una mixtura de ambos materiales. Para los anlisis no lineales, existen programas queconsideran la no linealidad del material y otros que incluyen tambin la no linealidad geomtrica(para considerar el efecto de segundo orden de las cargas); se tienen diferentes opciones demodelos histerticos, de acuerdo a los distintos materiales y las distintas teoras decomportamiento no lineal. En la Figura 9 se presenta un esquema del desarrollo de lasoperaciones de un programa de anlisis estructural.

Figura 9

Algunas de las caractersticas ms comunes en todo programa de anlisis son las siguientes:

datosde

entrada

datosintermedios

resultados

entradagrfica ydigital

pre-procesador

ncleode cmputo

post-procesador

salida grfica y

digital

Adm

inis

trac

in

de d

atos

Adm

inis

traci

n d

el p

rogr

ama

geometrade los nudos

descripcindel elemento

especificacionesde apoyos

casos de carga

matricesde rigidez

solucin del sistemade ecuaciones

vectores de carga

clculo de losesfuerzos internos

superposicin delos casos de carga

dimensionamiento

diseo



Variedad de elementos Opciones de modelamiento tpico Reduccin de datos y rapidez de cmputo Variedad de tipos de estructuras Suposicin de diafragma rgido Variedad de cargas estticas Variedad de anlisis dinmicos Modelos de curvas de histresis Inclusin de aisladores ssmicos y disipadores de energa

Variedad de elementosLos elementos mecnicos que componen el sistema pueden ser vigas o columnas, cables opuntales a carga axial, muros verticales de corte, resortes para modelar soportes elsticos.Pueden estar orientados arbitrariamente o segn ejes globales. Cada elemento tiene sucorrespondiente equivalencia en rigidez, tanto en magnitud como en ubicacin para elensamblaje de la matriz de rigidez total (de todo el sistema). Desde los programas, laeliminacin o adicin de elementos mecnicos al modelo es una operacin sencilla y, en lasversiones modernas, de fcil visualizacin.

Opciones de modelamiento tpicoLas ltimas versiones de los programas cuentan con opciones para la eleccin de modelostpicos, que contienen en s mismos las suposiciones de anlisis (grados de libertad, reaccionesposibles, fuerzas internas).

Reduccin de datos y rapidez de cmputoLos creadores de los programas fueron asimilando progresivamente los nuevos mtodosnumricos para optimizar las operaciones de cmputo, y consiguieron una menor demanda dememoria y una reduccin del tiempo de cmputo. Naturalmente, a ello ha contribuido el avanceen la tecnologa de las computadoras. Como un ejemplo, las matrices de rigidez suelen serreducidas a matrices que contienen elementos no nulos, entre otros mtodos de optimizacinnumrica.

Variedad de tipos de estructurasLos programas antiguos tenan el inconveniente de modelar solamente estructuras condirecciones ortogonales. Ahora, las versiones modernas cuentan con la facilidad demodelamiento de estructuras con prticos en direcciones arbitrarias, con ms de un tipo dematerial. Internamente, el programa asigna los nmeros para los nudos y los elementos, de



modo que la presentacin de los resultados sea concordante con el orden de la geometra delmodelo.

Suposicin de diafragma rgidoDe acuerdo al modelo estructural, puede suponerse el piso de cada nivel como un diafragmargido o con flexibilidad. Si el diafragma es rgido, se indican los nudos dependientes delmovimiento general del piso rgido, el cual se movera siguiendo dos desplazamientosmutuamente ortogonales y una rotacin; existen programas que no necesitan esta especificacin,pues asignan a los nudos de un mismo nivel la dependencia con el movimiento del piso.

Variedad de cargas estticasSe conoce que las cargas estticas a considerar van desde las cargas de gravedad (peso propioy carga permanente externa) a las cargas equivalentes al sismo o al viento. Pueden ser cargasexternas - fuerzas o momentos - puntuales o distribuidas, lineal o trapezoidalmente. Lapresentacin de resultados puede darse a nivel de efectos internos en los extremos de nudos opuede incluir resultados en secciones intermedias.

Variedad de anlisis dinmicosA nivel de anlisis dinmicos, las opciones proporcionadas por los programas incluyen:

Anlisis de valores y vectores propios. Anlisis espectral modal. Anlisis tiempo-historia Anlisis dinmico con cargas armnicas Anlisis esttico lateral-incremental (push over analysis)

Las ltimas versiones de programas comerciales incorporan la alternativa de un anlisis estticocon fuerzas laterales incrementales (push over analysis). Es un proceso paso a paso, en el quelas fuerzas van siendo aumentadas gradualmente desde cero hasta la carga ltima. Tambin esposible hacer incrementos y disminuciones de las cargas, de modo que puedan analizarse casosde carga cclica o inversin de cargas. Los anlisis pueden ser tales que los parmetros acontrolar sean las fuerzas o los desplazamientos. Este mtodo ha llegado a ser recomendadopara estudiar el mecanismo de colapso de edificaciones.

Modelos de curvas de histresisLas curvas de histresis incluidas en los programas fueron tomados a partir de curvas decomportamiento (curvas esqueleto, en ingls "skeleton curves"), definidos mediante datos de



entrada, del tipo bi-lineal, tri-lineal, compresin pura o traccin pura. Existen programas queinsertan curvas tipo "pinching" , o que consideran la degradacin de la rigidez y la disminucinde la resistencia.

Inclusin de aisladores ssmicos y disipadores de energaEn los ltimos aos, ha aumentado la factibilidad de construir aisladores ssmicos en la base dela edificacin o disipadores de energa entre los elementos estructurales, por ello existenprogramas que ya lo incluyen como una opcin adicional de anlisis.

6 REFERENCIAS

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Paz, Mario (1985). Structural Dynamics: Theory and Computation. Van Nostrand ReinholdCo. New York, EEUU.

Piqu, J. y Scaletti, H. (1991). Anlisis Ssmico de Edificios. Coleccin del Ingeniero Civil,CDL-CIP. Lima, Per.

Sarria, A. (1990). Ingeniera Ssmica. Ediciones Uniandes. Bogot, Colombia. Scaletti, H. (1990). Notas de clase del curso Anlisis Estructural II, Facultad de Ingeniera

Civil, Universidad Nacional de Ingeniera. Wilson, E.L. (1997). Three Dimensional Dynamic Analysis of Structures. Computers and

Structures, Inc. California, EEUU.

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