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RESERVORIOS III
2015
FUNDAMENTOS DE LA
SIMULACION NUMERICA
DE RESERVORIOS capítulo 2
ECUACIONES GENERAL DE FLUJO
MULTIFASICO
........)()()(
21
t
Po
x
gh
x
gh
x
gh
xAx
x
P
x
P
xAx
x
P
xAx
ww
oo
g
g
cww
cg
go
o
Propiedades PVT Producción
DISCRETIZACION EN ESPACIO
DISCRETIZACION EN TIEMPO
DIFERENCIAS FINITAS • Diferencia hacia adelante
....)('''6
1)(''
2
1)(')()( 32 xPxxPxxxPxPxxP
•Diferencia hacia atrás
....)('''6
1)(''
2
1)(')()( 32 xPxxPxxxPxPxxP
)()()(
' xrx
xPxxPP
)()()(
' xrx
xxPxPP
DIFERENCIAS FINITAS
•Diferencias centrales
Restando
Sumando
)(2
)()(' 2xr
x
xxPxxPP
)()()(2)(
'' 2
2xr
x
xxPxPxxPP
SOLUCIONES EXPLICITAS E
IMPLICITAS
t
P
k
c
x
P
2
2
),( txPP
SOLUCIONES EXPLICITAS E
IMPLICITAS
• Esquema explícito: los nuevos valores pueden
calcularse “individualmente” para cada x.
• Esquema implícito: Se calculan simultáneamente
todos los valores de x.
21 tt
METODO EXPLICITO
t
P
y
P
x
P
2
2
2
2
t
PP
y
PPP
x
PPP n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
,
1
,
2
,1,,1
2
1,,1, 22
2
,1,,1
2
1,,1,
,
1
,
22
y
PPP
x
PPPtPP
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jin
ji
n
ji
METODO IMPLICITO
t
P
x
P
2
2
t
PP
x
PPP n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
1
2
11 2
t
PP
x
PPP n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
1
2
1
1
11
1 2
n
i
n
i
n
i
n
i Pt
xPP
t
xP
21
1
12
1
1 2
iiiiiii dPcPbPa 11
ANALISIS DE ESTABILIDAD MEDIANTE EL
METODO DE SERIES DE FOURIER (Esquema
Implícito)
El criterio de estabilidad se satisface siempre, independientemente
del valor de r, y por lo tanto el esquema implícito es
incondicionalmente estable
ANALISIS DE ESTABILIDAD MEDIANTE EL METODO
DE SERIES DE FOURIER (Esquema Explícito)
El criterio de estabilidad se satisface siempre que se cumpla esta
condición, por ello se dice que la solución explícita es
condicionalmente estable
D
xt
2
Bloque i
iiii pAxk ,,,
Bloque i+1
1111 ,,, iiii pAxk
2/1ip
FLUJO ENTRE DOS BLOQUES CONTINUOS
FLUJO ENTRE DOS BLOQUES
CONTINUOS
2/
)( 2/11
i
ii
i
iiii
x
ppkAq
2/
)(
1
12/1
1
111
i
ii
i
iiii
x
ppkAq
12
111
112/1
iiiiii
iiiii
xkAxkA
kkAAT
)( 12/11 iiiii ppTq
FLUJO ENTRE DOS BLOQUES
CONTINUOS
i,j
i+1,j+1 i,j+1
i+1,j
12
,,1,1,1,,
,1,,1,
,2/1
jijijijijiji
jijijiji
jixkAxkA
kkAAT
12
,1,1,1,,,
1,,1,,
2/1,
jijijijijiji
jijijiji
jixkAxkA
kkAAT
)( 1,,2/1,1,, jijijijiji ppTq
ECUACION DE FLUJO PARA FLUIDO
INCOMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL
Caudal másico que entra –caudal másico que sale= caudal de
acumulación másico
Por ser un fluido incompresible no hay cambio neto de masa en el
tiempo
Caudal másico que entra -caudal másico que sale=0
1i 1ii
iiq 1 1iiq
iq
ECUACION DE FLUJO PARA FLUIDO
INCOMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL
0)( 11
iiisciisc qqq
ghp
0)()( 12/112/1
iiiiiii qTT
0)()( 12/112/1
iiiiiii qTT
INCORPORACION DE CONDICIONES
INICIALES Y DE BORDE
1
1
p
i 2i 3i 4i
5
5
p
i
pxp )0,( 3 q
?2p ?4p?3p
INCORPORACION DE CONDICIONES
INICIALES Y DE BORDE
0)()(5
0)()(4
0)()(3
0)()(2
0)()(1
5452/9562/11
4342/7452/9
3232/5342/7
2122/3232/5
1012/1122/3
qTTi
qTTi
qTTi
qTTi
qTTi
1
1
p
i 2i 3i 4i
5
5
p
i
3 q
TP2
)32.4(1
1
11
1 2/12/12/12/1
n
i
i
o
lc
lblsci
n
i
n
l
n
i
n
l
n
l
i
o
lc
lbn
i
n
l ptB
cVqpTpTT
tB
cVpT
xixixixi
BALANCE DE MATERIALES
salequemasaentraquemasa
tiempodeervaloelenmasadenetoCambio
intMB
N
i
i
i
q
qtérminoslostodosdesuma
netomasadeingresoB
1
* 0
0
M
Un buen BM es condición necesaria pero no suficiente
para tener una respuesta correcta
RESIDUOS
*
12/112/1 )()( iiiiiiii qTTR
GRILLADOS IRREGULARES
• Grilla Centrada en el bloque
• Puntos distribuidos en la grilla
GRILLA CENTRADA EN EL BLOQUE
2
1
ii
i
xxx
2
iii
x
Minimiza los errores de truncamiento en la discretización
del término de acumulación en la ecuación de conservación de la masa
PUNTOS DISTRIBUIDOS EN LA
GRILLA
xixiii
i
xxx
2
2/12/1 2
2/11
ixx
xi
i
2
2/11
ixx
xi
i
Según Aziz y Settari en flujo monofásico y según Nacul y Aziz en flujo multifásico
minimiza los errores de truncamiento en la discretización de presiones en el término
de la derivada en la ecuación de conservación de la masa (términos de flujo)
xixiii
i
xxx
2
2/12/1 2
2/11
ixx
xi
i
2
2/11
ixx
xi
i
xixiii
i
xxx
2
2/12/1 2
2/11
ixx
xi
i
CONDICIONES DE BORDE
• Condiciones de borde de primera clase
(Condición de Dirichlet)
• Condiciones de borde de segunda clase
(Condición de Von Neumann)
• Condiciones de borde de tercera clase
• Condiciones de borde de cuarta clase
CONDICIONES DE BORDE DE PRIMERA
CLASE (Condición de Dirichlet)
.......1,0)()(1 nxOtfu nD
n)(),0( tftU D
.......1,0)(1 ntfu nD
n
CONDICIONES DE BORDE DE
SEGUNDA CLASE (Condición de Von
Neumann
)(0
tfx
UN
x
)()(1
12 xOx
uutf
nn
N
Aproximación de primer orden
CONDICIONES DE BORDE DE
SEGUNDA CLASE (Condición de Von
Neumann)
Método de reflexión
)(2
)( 2
1
02 xOx
uutf
nn
nN
)()( 2
1
02 xOx
uutf
nn
nN
Aproximaciones de segundo orden
CONDICIONES DE BORDE DE
TERCERA CLASE (mixtas)
)],0()([)( tUtUbtq aa 0
)(
x
ax
Uatq
)(),0(0
tbUtbUx
Ua a
x
Aproximación de primer orden
)(1
1
12na
nnn
tbUbux
uua
Aproximación de segundo orden
)(2
)(1
1
2na
nna
n
tbUbux
tUua
FIN CAPITULO 2