Funciones Trigonométricas - Ejercitación · 2018-04-20 · Matemática - 4º Año – Trabajo Práctico N°2 T.P. Nº2 – 4to Año Funciones trigonométricas. Guía de T.P. - C.N.B.A

- Colegio Nacional de Buenos Aires – Matemática - 4º Año – Trabajo Práctico N°2

T.P. Nº2 – 4to Año Funciones trigonométricas.

Guía de T.P. - C.N.B.A Página 1 de 41

Funciones Trigonométricas - Ejercitación

1) Completar las tablas estableciendo las equivalencias entre el sistema sexagesimal y el

circular

a) sexagesimal 360° 330° 300° 270° 150° 120° 90° 60° 30°

circular π2 π43

π76

π π34

π

4π

b) sexagesimal 1° 300°30´ -1250°

circular 3 π12

2) Mediante el uso de las identidades trigonométricas fundamentales, calcular el valor de todas

las funciones trigonométricas restantes, en cada uno de los siguientes casos:

a) πα = π < α <

12 313 2

sen si b) πα = < α <

2tg 2 si 0

c) π

α = − < α <2 3

3 2sec si 0

3) Demostrar que +

α = α α =2

a 1

| a |tg a sen .cos

4) Se quiere reconstruir un triángulo del que sólo se

conserva el fragmento que indica la figura. ¿Cuál

es la longitud de los lados faltantes?

5) Suponiendo que las órbitas de la Tierra y

de Venus al girar en torno al Sol son

circulares y que sus radios respectivos

tienen una longitud de 150.000.000 km y

de 109.000.000 km respectivamente. ¿A

qué distancia máxima y mínima, se

encuentra Venus de la Tierra cuando el

ángulo de observación Sol-Tierra-Venus ( α

en la figura) es de 22°? Expresar el

resultado con 3 cifras significativas.

A 30°°°° 100°°°°

B

50 cm

S

αααα

ββββ

(S) - Sol

(V) – Venus Máx

(T) - Tierra

(V´) Mín




6) Desde dos puntos A y B situados

sobre la costa y distantes 3600m, en

un terreno plano, se divisa una isla

cercana. Con los datos de la figura,

calcular la longitud “x” de la isla.

7) Dos motociclistas parten del punto en que se

bifurcan dos carreteras rectas que forman un

ángulo de 55°. Si viajan con una rapidez cons-

tante de 90 km/h y 120 km/h respectivamente

¿A qué distancia se encuentran uno de otro al

cabo de 3 minutos?

8) Verificar las siguientes identidades. Determinar, en cada caso, el conjunto en el que son

válidas

a)α

= αα

cossen

cot g b) α − α = − α2 2 2cos sen 1 2 sen

c) ( )α − = α − α2 2tg 1 sec 2tg d) = −

α α2 2

1 11

sec cosec

e) α − α = α αsec cos sen .tg f) ( ) ( )= − α + α+ α2

11 sen 1 sen

1 tg

g) α − α

=− α α

cot g 1 cosec

1 tg sec h)

+ α= α + α

α

1 secsen tg

cosec

i) α − α α = α2 4 2 2cot g cos . cosec cos j) α − α = + α4 4 2sec tg 1 2 tg

k) α + α

α α + =α

cos sensec .sen 1

cos l) α + α = α αtg cot g sec .cosec

m) α + α = α α +2 2(sen cos ) 2 tg .cos 1 n) α + α

=α α −

sec 1 tg

tg sec 1

3600m

32° 36°°°°

A B

●

Isla ● ●

x

●

42°°°°

G F

64°

55°




9) Reducir cada una de las siguientes expresiones

a) α + β + α − β

=α −β − α + β

sen( ) sen( )x

cos( ) cos( ) b)

α − α=

α + α

2sen sen(2 )x

2sen sen(2 )

10) Verificar las siguientes identidades. Determinar, en cada caso, el conjunto en el que son válidas

a)

( )

β

ββ =

+

2

22

2 tgsen

1 tg b)

( )( )

α

α

−α =

+

22

22

1 tgcos

1 tg

c) ( )β

β =− β2

2tgtg 2

1 tg d)

β+ β β =

β

tg(2 )2 tg(2 ).tg

tg

11) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [ )π2;0

a) 2 . cos(2x) 1 0− = b) 2 2cos x sen x 1− =

c) 2 . sen x sec x 0− = d) 3sen(2x) .cosx 2cos x 0− =

12) Resolver las siguientes ecuaciones en ℜ

a) − + =2 3 cosec x 0 b) =2cos x cos x

c) ( ) = 12cos 2x d) − =21

2 sec x tg x 1

e) + − =2 112 2cos x senx 0 f) + =sec x tg x 1

g) + =senx tg x 0 h) ( ) ( )+ =sen 2x sen 4x 0

i) + =2 54

sen x cos x j) − + =2cos x 2 sen x 2 0

k) − =2 24 sec x tg x 7 l) = −cos(2x) 1 sen x

m) − + =24 sen x 8 senx 3 0 n) ( ) ( ) ( )= −3222 sen t . cos t cos t

o) ϕ − ϕ + =4 2tg 2 sec 3 0 p) sen x sen x 0+ =

13) Verificar las siguientes identidades, presuponiendo válidas las operaciones algebraicas que

se realizan.

a) 3 3cos x + sen x

= 1- senx.cos xcos x + senx

(Ayuda: Recordar cómo se factoriza a3+b3)

b) cos(-x) sen(-x)

- = senx + cos x1+ tg(-x) 1+ cotg(-x)

c) − = +4 2 4 2cosec x cosec x cot g x cot g x




d) α α

αα α

cotg - tg= cos(2 )

cotg + tg

14) Ejercicios para trabajar con un software de apoyo – (Se sugiere Geogebra)

Dadas las siguientes funciones definidas de en :

Se pide, calcular:

i) Amplitud, pulsación, ángulo de desfasaje y período.

ii) Representación gráfica aproximada

iii) Máximos y mínimos

iv) C0, C+, C-.

15) El gráfico siguiente, corresponde a una función de la forma ( )= + α→ / f(x) A sen b xf :

a) Encontrar A, b y α.

b) Determinar amplitud, pulsación, ángulo de desfasaje y período.

16) a) Representar gráficamente ( )π= +→ 32/ f (x) 2sen 3xf :

b) Determinar amplitud, pulsación, período y desfasaje.

a) ( )=y sen 2x b) ( )=x1

2 2y sen

c) ( )π= + 6y sen x d) ( )π

= +12 4y 2 sen x

e) ( )π= + 2y 5.sen 3x f) ( )π

= − +23y 4.sen 2x




c) Encuentre una función →g : que tenga la misma gráfica que f , pero que responda a

una fórmula del tipo ( )= +g(x) A cos a x b . Justificar la respuesta.

17) Una boya en un canal se balancea hacia arriba y hacia abajo con el movimiento de las olas

describiendo una trayectoria sinusoidal. La boya se desplaza un total de 60 cm desde su

punto más alto hasta su punto más bajo y regresa a su punto más alto cada 10 segundos.

Sabiendo que en t=0 la boya se encuentra en su punto más alto, escribir una ecuación que

describa su movimiento. Realizar un gráfico aproximado.

18) El número de predadores y el número de presas, en un sistema predador - presa tiende a

variar periódicamente. En una cierta región con halcones como predadores y roedores como

presas, la población de roedores R varía de acuerdo con la ecuación ( )π= +

2R 1200 300 sen t y

la población de halcones varía con la ecuación ( )π π= + −

2 4H 250 25 sen t , con t medido en años

desde el 1° de enero de 2010.

a) ¿Cuál era la población aproximada de roedores y cuál la de halcones el 1° de enero de

2010?

b) ¿Cuáles son las poblaciones máximas de roedores y halcones? Estos máximos, ¿ocurren

alguna vez al mismo tiempo?

c) ¿En qué fecha se alcanzó la primera población máxima de roedores?

d) ¿Cuál es la mínima población de halcones? ¿En qué fecha se alcanzó por primera vez?

19) Resolver en

a) ( ) ( )π π+ = −23 3sen 2x sen x b) ( ) ( )π π− = +4 6sen 2x cos x

c) ( ) ( )π π+ = −3 4sen 2x cos x d) ( ) ( )π − =3tg 2x tg 3x

20) Sea ( )3f : / f(x) 2 sen bx π→ = − + con b +∈

a) Obtener b sabiendo que la distancia entre dos ceros consecutivos es 2

3

π .

b) Encontrar el conjunto de ceros, el conjunto de valores de x para los cuales “f” presenta máximos y mínimos.

c) Realizar un gráfico aproximado.




Respuestas 1)

a) sexagesimal 360° 330° 300° 270° 240° 210° 180| 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°

circular π2 π116

π53

π32

π43

π76

π π56

π34

π23

π

2

π

3

π

4π

π

6

b) sexagesimal 1° 300°30´ -1250° 171°53´14,4” 15°

circular π

≅ 0,017180

π ≅601360

5,245 − π ≅12518

21,817 3 π12

2)

sen cos tg cosec sec cotg

a) −1213

−5

13 12

5 −

1312

−135

512

b) 2 55

55

2 52

5 12

c) − 12

32

−3

3 −2 −

2 33

− 3

4) 32,64 cm y 64,28 cm aprox 5) 4,57.107 km y 2,32.108 km 6) aprox. 3570m 8) aprox. 1899 m

9) a) βcot g b) ( )α22

t g

11) a) 5 5;

3 6

π π b) { }0 ; π c) 4

π d) 3 5; ; ;

2 2 4 4

π π π π

12) Nota: En todas aquellas respuestas en que el resultado depende de un parámetro “k”, el mismo debe ser un

número entero.

a) π π= + π ∨ = + π23 3

x 2k x 2k b) π

= + π ∨ = π2

x k x 2k c) π

= ± + π6

x k ;

d) ∅ e) π π π

= ∨ = − ∨ =7

2 6 6x x x f) = πx 2k g) = πx k

h) π π π

= ∨ = ∨ =k 22 3 3

x x x i) π

= ± + π2k3

x j) π π π= ∨ = ∨ =2 42 3 3

x x x

k) π π

= +k

4 2x l)

π π= π ∨ = + π ∨ = + π

52k 2k

6 6x k x x

m) π π

= + π ∨ = + π5

2k 2k6 6

x x n) π π π

= + π ∨ = − + π ∨ = + π2

2 6 3t k t k t k

o)π π

ϕ = +k24

p) = πx k ;

15) a) π

= = α =32 9

A ; b 2 ; 17) ( ) ( )π π π= ∨ = +

5 5 2x 30 cos t x 30 sen t

18) a) 1200 y 232 b) 1500, 275, no c) 1/1/2011 d) 225, 1/7/2013

19) a) π

+ π π

2k , 2k

9 3 b)

π π π + + π

7 2k 11, 2k

36 3 12 c)

π π − + π − + π

72 k , 2k336 12

d) π π + π

k15 5

20) a) =32

b b)

= ∈ = − π + π

0

2 2kC x / x

9 3; Cmáx=

= ∈ = − π + π

MÁX

5 4kC x / x

9 3; Cmín=

= ∈ = π + π

MÍN

1 4kC x / x

9 3




Funciones trigonométricas – Anexo teórico

Un poco de historia ¿Cómo nace el grado sexagesimal? http://www.refuerzovirtual.com/2013/01/como-nace-el-grado-sexagesimal.html

Hay que pensar que la medición de los ángulos y del tiempo en el sistema sexagesimal, proviene en gran parte de la importancia de la observación astronómica, en la cual los primitivos pueblos agrícolas eran maestros, tal y como nos muestran las reliquias megalíticas supervivientes empezadas a construir hace unos 5000 años. La razón por la que los calendarios megalíticos predecían hasta la determinación exacta de la fecha de los eclipses, es debido a la relación que se predicaba entre la religión, los dioses y los astros. Los sacerdotes, para poder argumentar esto, debían conocer cuándo éstos últimos se ocultaban o manifestaban a los mortales.

Lo primero fue temporizar “un día”. La duración exacta del día y de su noche, podía observarse por la posición de las estrellas en el firmamento. Hay un momento de la noche, que se repite en todas las noches del año, en el que las estrellas están en el mismo sitio (inicio y fin del “día sideral”). Cada “día sideral” tiene una duración de 23 horas y 56 minutos. Para conocer los espacios del día, los sumerios empleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del Gnomom, o barra clavada en el suelo.

Después, un pueblo agrícola sin escritura, necesitó conocer con exactitud la duración del año y de las estaciones, para poder prever labores tan vitales como la siembra y la recolección. Inicialmente se dieron cuenta de que había un ciclo que se repetía cada cierto espacio de tiempo. El ciclo que se repetía eran las cuatro estaciones. El espacio de tiempo era “el año”. Nota: El gráfico siguiente corresponde al hemisferio norte.

Descubrieron y separaron las estaciones observando el Sol, y comprobando que, en los equinoccios, el día tiene

una duración igual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre), mientras que, en los solsticios, las duraciones del día son máximas respecto a las de la noche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas (21 al 22 de diciembre).

Observando la Luna, comprobaron que cada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días), había luna llena. A este período lo llamaron mes. En el periodo delimitado por aquellas estaciones (“el año”), cabían 12 períodos de lunas llenas o meses, por lo que su duración era de 360 días. Por lo tanto, dedujeron que “un año” se repetía cada 360 días. (Aunque en realidad era de algo más de 365 días, había cuatro días al año en los que reajustar el calendario, por lo que el error estaba siempre bajo control)




Como buenos astrónomos, representaron el año con un círculo. Asignando pequeñas partes del círculo a cada día. A la amplitud abarcada por cada día le llamaron grado. (Realmente esta división llegó a la Europa central por

medio de los árabes, que la tomaron de los griegos. En el Almagesto usa Ptolomeo la palabra “mêra”, que significa

“parte”, “división”. Este vocablo fue traducido al árabe por “darágah”, y éste, a su vez, fue incorporado literalmente al

latín por “Scala”, ”gradus” (grado) )

El problema a determinar es por qué los sumerios, que partían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados, dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60 minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos. Esta respuesta nos obliga a remontarnos a una época sin escritura, en la que se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo los sistemas decimales, sino los de base duodecimal y los de base sexagesimal.

Si extendemos la palma de la mano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una de las tres falanges de los dedos meñique anular corazón e índice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugar de las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos. Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la mano izquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar la cuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos, tenemos la posibilidad de designar hasta 60 objetos, con sólo señalar los dedos correspondientes de la mano izquierda, y la falange determinada de un dedo de la mano derecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedan establecidas.

Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y 12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculo de 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 grados cada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astros era parte de su mística y sistema de medir el tiempo.




Entendemos gracias a su sistema duodecimal que dividieran el día en 12 horas, y posteriormente, en 24 (12 para el día y doce para la noche). Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, el sistema sexagesimal (mano izquierda completa) prestó su apoyo. Por lo que se estableció en 60 minutos, desde el año 2000 a. de C. gracias a la existencia de los relojes de arena y de agua.

La necesidad de medir segundos fue muy posterior, pues la trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. con Hiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sólo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. Éste último fue casi con seguridad implementado por los sumerios, quienes obsesionados con las coincidencias numéricas (el hecho de que la división sexagesimal del minuto) casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría aún más la validez del sistema. Un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol, Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico.

De hecho, cinco milenios después, el sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no sólo sigue vigente en la técnica, la ciencia y en el uso cotidiano (hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal al contar décimas de segundo), sino que no ha sufrido modificaciones en los sucesivos cambios culturales.




Conceptos iniciales – Sistemas de medición de ángulos En la escuela primaria aprendimos un único sistema de medición de ángulos que es el que

llamamos sexagesimal. El mismo establece, por convención, que un giro equivale a 360° donde

cada grado equivale a 60’ y cada minuto a 60’’. El nombre “sexagesimal” es lógico, ya que la base

del mismo es 60. El argumento de ello fue expuesto más arriba y está íntimamente relacionado

con la cantidad de divisores que posee éste número, donde las divisiones eran un verdadero

problema. Desde que se popularizó el uso de las calculadoras y posteriormente los ordenadores,

ello no es imprescindible.

Cuando ponemos a funcionar una calculadora, en la pantalla se puede apreciar que dice “D”

o “DEG” dependiendo del modelo. Ello nos advierte que cuando trabajemos con ángulos va a

considerar a los mismos en sistema sexagesimal.

La dificultad que presenta éste sistema es que no es compatible, llegado el momento de la

operatoria, con el sistema decimal utilizado habitualmente. Veamos un ejemplo:

18,25° no equivale a 18 25'°

18,25 18 0,25 18 0,25. 60' 18 15'° = ° + ° = ° + = °

Entonces: 18,25° 18 25'≠ °

Para poder considerar a los ángulos como números reales, debemos dar una definición. A

partir de ella vamos a poder trabajar con los mismos considerando que son fracciones del número

π. Éste sistema de medición de ángulos recibe el nombre de sistema circular o radial y es aquel

que en las calculadoras está simbolizado en pantalla con “R”, o bien con ”RAD”.

Supongamos tener una circunferencia de radio igual a “r” y traslademos dicho radio a la

circunferencia de manera tal que el radio coincida con el arco. Al ángulo logrado lo definimos

como ángulo de 1 radián.

OA AB r= =

AOB∧

= α Éste ángulo lo definimos como 1 radián.

Dado que el perímetro de la circunferencia es:

(Circunf)Per 2 r 1 giro 360 2 (radianes)= π = ° = π

En consecuencia, todos los ángulos se pueden expresar como fracciones de π.

O A

B

r

r

α




Si bien es indistinto trabajar en sistema sexagesimal o sistema circular, siempre que pidamos

una respuesta en el campo real la vamos a expresar como como tal, o sea como fracciones de π.

Ejemplos:

Expresar 75° en sistema circular.

180° _________________ π

75°__________________ 575 .180 12x x π° π

°= =

Expresar 5

18

π en sistema sexagesimal.

π __________________ 180°

5

18

π __________________ 518x .180 x 50π= ° = °

Relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Relaciones directas

Sea el triángulo rectángulo ABC∆

, cuyo ángulo recto es A∧

. Recordemos que llamamos en él,

relaciones trigonométricas a:

Relacionesdirectas

ABCateto Opuestoˆsen

Hipotenusa BC

ACCateto Adyacenteˆcos

Hipotenusa BC

ABCateto Opuestoˆtg

Cateto Adyacente AC

α = =

α = =

α = =

Consecuencias inmediatas:

I) Dado que

2

2

2

AB ABˆ ˆsen sen

BC BCα = α =

Análogamente:

2

2

2

AC ACˆ ˆcos cos

BC BCα = α =

A

α

B

C




Si sumamos miembro a miembro resulta:

2BC

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

AB AC AB AC BCˆ ˆsen cos

BC BC BC BC

+α + α = + = =

De donde podemos afirmar que, cualquiera sea el ángulo se verifica la identidad:

2 2ˆ ˆsen cos 1α + α =

A esta identidad la llamamos relación pitagórica.

II) Dado que

AB

BC

AC

BC

AB ˆsenˆ ˆtg tg

ˆcosAC

αα = α = =

α

Entonces: ˆsen

ˆtgˆcos

αα =

α

Relaciones trigonométricas recíprocas

A partir de las definiciones de las relaciones directas, podemos definir lo que llamamos

recíprocas. Recordemos que dos números reales no nulos, son recíprocos, si se cumple que el

producto entre ellos es igual a “1”. Estas relaciones son:

Relacionesdirectas

ˆsen

ˆcos

ˆtg

α

α α

Relacionesrecíprocas

1ˆcosec

ˆsen

1ˆsec

ˆcos

1ˆcotg

ˆtg

α =

α

α =α

α =

α

Consecuencias inmediatas de ellas

La relación pitagórica permite afirmar que:

( ) ( )2 2

2 2 2

2 2ˆ ˆ ˆsen cos 1 sen 12 2ˆ ˆcos cosˆ ˆ ˆcos cos cos

ˆ ˆsen cos 1 1α α α

α αα α αα + α = + = + =

De ello podemos extraer la siguiente consecuencia:

( ) ( )2 2

2 2 2

2 2

2 2ˆ ˆ ˆsen cos 1 sen 12 2ˆ ˆcos cosˆ ˆ ˆcos cos cos

tg sec

ˆ ˆsen cos 1 1α α α

α αα α α

α α

α + α = + = + =




Luego: 2 21 tg sec+ α = α

En forma análoga, sin en vez de dividir por el cuadrado del coseno, dividíamos por el

cuadrado del seno llegábamos a una identidad similar que dice:

2 21 cotg cosec+ α = α

Estas identidades nos permiten calcular, a partir del valor de una función trigonométrica, los

valores de las restantes. Veamos un ejemplo:

Supongamos que: 513

ˆsenα = y que al ángulo “ α ” es agudo. ¿cuánto valen las restantes

funciones trigonométricas?

Resolución:

Dado que ( )22 2 25 12

13 13ˆ ˆ ˆ ˆsen cos 1 cos 1 cosα + α = + α = α =

Si sabemos los valores del seno y el coseno, podemos calcular la tangente.

Como 5

13 51212

13

ˆsenˆ ˆtg tg

ˆcos

αα = α = =

α

Ya conocemos las funciones trigonométricas directas. A partir de ello el cálculo de las

recíprocas es inmediato.

5 1313 5

ˆ ˆsen cosecα = α =

131213 12

ˆ ˆcos secα = α =

5 1212 5

ˆ ˆtg cotgα = α =

Nota: observemos que, siempre que se conozca una función trigonométrica, con estas identidades elemen-

tales, podemos calcular el valor de todas las restantes.

Observaciones

I) Las calculadoras escriben las funciones trigonométricas de diferente manera de la que lo

hacemos nosotros.

Si bien, se entiende que

sin sen

cos cos

tan tg

=

= =

debemos tener cuidado con la notación.




Nota: En una calculadora, al encenderla, se puede apreciar los siguiente:

I) Con esta tecla se calcula el seno de un ángulo y su función inversa, no su

recíproca. Los mismo sucede con las otras dos funciones trigonométricas

directas. De las funciones trigonométricas inversas hablaremos más adelante.

II) La notación ( )2sin α indica que lo que está elevado al cuadrado es la función trigonométrica. De manera

alternativa se puede escribir así:

( )22sin sinα = α

Ello es válido para cualquier potencia, pero la potencia no afecta a la función trigonométrica y al

argumento. O sea:

( )2 2 2sin sinα ≠ α

Aplicaciones

Cálculo de áreas de triángulos

Sabemos que el área de un triángulo es:

b.hÁrea (ABC)

2

∆

=

Pero: hˆ ˆsen A h c . sen Ac

= =

Reemplazando en lo anterior resulta una fórmula alternativa:

ˆb . c . sen AÁrea (ABC)

2

∆

= 12

ˆÁrea (ABC) .b . c . sen A∆

=

Teorema del seno

Enunciado: En todo triángulo, la longitud de cada lado es proporcional al seno del ángulo

opuesto.

En el triángulo ABC∆

indicado señalamos

la altura del vértice B respecto del lado

AC.

Como se puede observar se verifica que:

A b

B

C

90º

c

ah

A b

B

C

90º

c

ah

SIN-1

SIN




( ) ( )hˆ ˆsen C h a . sen Ca

= = y ( ) ( )hˆ ˆsen A h c.sen Ac

= =

Luego: ( ) ( )( ) ( )

a cˆ ˆa . sen C c . sen Aˆ ˆsen A sen C

= =

Si en lugar de haber trazado la altura del vértice “B” lo hubiésemos hecho con la altura de

otro vértice hubiésemos llegado a una expresión similar. Ello nos lleva a afirmar que:

Teorema del seno

( ) ( ) ( )a b c

ˆ ˆ ˆsen A sen B sen C= =

Teorema del coseno

Enunciado: En todo triángulo la longitud de cada lado elevada al cuadrado, es igual a la

suma entre los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto entre

ellos y el coseno del ángulo que los forman.

Al trazar la altura correspondiente al vértice “B” quedan determinados dos triángulos

rectángulos donde al aplicarle el teorema de Pitágoras resulta:

En CDB∆

se verifica: 2 2 2 2 2 2h u a h a u+ = = −

En ADB∆

se verifica: ( ) ( )2 22 2 2 2h b u c h c b u+ − = = − −

Igualando éstas dos expresiones tenemos que:

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c b u a u c b 2bu u a u c a b 2bu− − = − − − + = − = + −

Pero: ( ) ( )uˆ ˆcos C a . cos C ua

= = .

Así resulta: ( )2 2 2 ˆc a b 2.b.a.cos C= + −

A D

B

C

u

90º

b - u

c

a h




Teorema del coseno

( )2 2 2 ˆc a b 2.a.b.cos C= + −

Aplicaciones a problemas

Desde la antigüedad, el hombre precisó medir. En general estas medidas estaban dadas por

distancias a veces en terrenos planos y a veces, no.

En tierra, el posicionamiento puede ser aproximado con objetos que hacen las veces de

puntos de referencia. En el mar ello no es posible y los antiguos navegantes recurrían a brújulas,

sextantes y mapas astronómicos que, mediante la altura de las estrellas, permitían determinar

rudimentariamente y en forma aproximada, la posición y el rumbo.

Desde hace mucho que los GPS cumplen estas funciones y actualmente, con la tecnología,

calcular distancias, ángulos y áreas, para terrenos planos o irregulares dejó de ser un problema

complejo. Hoy los softwares permiten realizar todos los cálculos. Las mediciones dependen del

observador y sin ellas, no podemos hacer los cálculos.

Todos los problemas, en lo que se conoce como topografía, se reducen a la triangulación.

Ello quiere decir que, si conocemos de un triángulo, tres datos, de los cuales al menos uno de ellos

debe ser un lado, mediante los teoremas vistos más arriba, podemos saber el valor de los

restantes.

Ejemplos

I) Un prisma recto, posee las

dimensiones indicadas en la figura.

Calcular la amplitud del ángulo ∧

BAC .

Resolución: Como el prisma es recto,

la diagonal de cada cara es calculable

mediante el Teorema de Pitágoras. Así

podemos afirmar que:

2 22 2 2 2CB x x 2x CB 2.6 72 CB 6. 2= + = = = =

y

z

x

B

A

C

6

6

7




En forma análoga:

2 2AC AB x z 36 49 85= = + = + =

Para calcular la amplitud del ángulo ∧

BAC aplicamos el Teorema de del coseno:

2 2 2CB AC AB 2. AC . AB .cosBAC

∧

= + −

Reemplazando, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

72 85 85 2. 85 . 85 .cosBAC∧

= + −

De donde: 17098BACcosBACcos.170858572 =−+=

∧∧

De esta forma resulta: BAC 54 47'∧

= °

II) Cálculo de distancias entre dos puntos inaccesibles en terrenos planos con cinta y

teodolito.

Dos puntos inaccesibles “C” y ”D” que se encuentran al otro lado de una laguna están

separados una distancia llamada “x”. Si posicionando un teodolito en los puntos “A” y “B”

que distan 420m entre sí, se lograron estos datos.

DAB 68 11'∧

= ° ; ABC 84 43'∧

= ° ; ˆ 32 36'α = ° ; ˆ 43 53'β = ° .

¿Cuál es el valor de “x”?

Resolución: A los efectos de hacer los cálculos, construyamos una figura de análisis que

permita visualizar los datos en forma más clara. Se presentan subrayados y en letra

cursiva, todos aquellos ángulos cuyos valores fueron calculados por diferencia.

D C

A B

α β

X




Aplicando el teorema del seno a los triángulos ABC∆

y BAD∆

tenemos que:

En ABC∆

no es necesario

AC BC420m

sen(84 43') sen(62 41') sen (32 36')= =

° ° °

En BAD∆

no es necesario

BD AD420m

sen(68 11') sen(67 56') sen (43 53')= =

° ° °

420m.sen(32 36')BC 254,68 m

sen(62 41')

°= =

°

420m.sen(68 11')BD 420,74 m

sen(67 56')

°= =

°

Ahora, en el triángulo CBD∆

podemos aplicar el teorema del coseno ya que tenemos como

datos dos lados y el seno del ángulo comprendido.

Así resulta: ( )2 2

2x BD BC 2. BD . BC .cos= + − ω

( )2 2

ˆx BD BC 2. BD . BC .cos= + − ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

x 420,74m 254,68m 2. 420,74m . 254,68m .cos 40 50'= + − °

De donde: x 282,37m=

Generalización de las funciones trigonométricas

Hasta ahora, las relaciones trigonométricas se reducían exclusivamente a triángulos

rectángulos. Ahora vamos a suponer que tenemos una circunferencia centrada en el origen de

D

C

A B

32°36’ 43°53’

X

84°43’ 68º11’

420 m

α = 62°41’

β = 67°56’

ω = 40° 50’ φ = 35° 35’




coordenadas y que el segmento OP , cuya longitud es el radio, gira en sentido anti horario desde

el semieje positivo de abscisas que consideramos nuestro “cero”.

Las coordenadas del punto “P” van cambiando según lo va haciendo el ángulo. Para cada

valor del ángulo " "α se encuentra asociado un punto de la circunferencia.

PC ysen

rOP

∧

α = =

OC xcos

rOP

∧

α = =

PC ytg

xOC

∧

α = =

Así podemos hallar los primeros valores de las funciones trigonométricas:

Si ( )

0sen 0 0 cosec 0 No existe

rr

0 P r;0 cos 0 1 sec 0 1r

0tg 0 0 cotg 0 No existe

r

° = = °

α = = ° = = ° =

° = = °

Si ( )

rsen 90 1 cosec 90 1

r0

90 P 0;r cos 90 0 sec 90 No exister

r 0tg 90 No existe; cotg 90 0

0 r

° = = ° =

α = ° = ° = = °

° = ° = =

Escribiendo los ángulos en radianes podemos extraer conclusiones similares. Por ejemplo

Si ( )sen 0

180 P r;0 cos 1

tg 0

π =

α = ° = π = − π = − π =

Si ( )( )( )

( )

32

3 32 2

32

sen 1

270 P 0; r cos 0

tg No Existe

π = −

α = ° = π = − π = π

y

x O x

y

α

C

r

(+)

P




Al llegar a 360 2α = = π ello equivale al ángulo de O° con lo cual comienza todo a repetirse

nuevamente.

Como se puede observar los números obtenidos en cada caso son función de las coorde-

nadas del punto “P” y ello depende de la amplitud del ángulo. Por otra parte, los signos de las

funciones trigonométricas, van a depender de los valores de “x” e “y” en cada uno de los

cuadrantes y de sus respectivas definiciones, podemos entonces afirmar que:

1 sen 1− ≤ α ≤ ; 1 cos 1− ≤ α ≤ ; tg α ∈ ℜ

Observaciones

Sabiendo los valores que pueden alcanzar las funciones trigonométricas directas, podemos deducir el alcance

de las recíprocas. Por supuesto que estas afirmaciones están sujetas a la definición de recíproco.

Siendo sen 1 cosec 1α ≤ α ≥ .

Análogamente

cos 1 sec 1α ≤ α ≥

tg cotgα ∈ ℜ α ∈ ℜ

Valores de las funciones trigonométricas para algunos ángulos

En general el cálculo de las funciones trigonométricas, no es simple y menos aún si es

necesario una alta aproximación. En algunos casos particulares, calcularlas es un problema

geométrico menor.

Ello sucede para los ángulos de 30°, 45° y 60° y es lo que deduciremos a continuación.

Para 630 π° = .

Sea un triángulo rectángulo ABC∆

donde el ángulo recto es A y un ángulo agudo de 30°.

Haciendo una simetría respecto de su base AC , logramos otro triángulo BCB'∆

que por su

construcción es equilátero. De ello surge que:

ABsen30

BC° =

Dado que el triángulo BCB'∆

es

equilátero, podemos escribir:

12 1

2

. BCsen30

BC° = =

B

A C 30°

B´

60°

60°




Dado que ya conocemos el valor de una función, el cálculo de las restantes es inmediato.

Observación Puede que nunca hayamos prestado atención a ello, pero en el mercado existen dos tipos de

escuadras: La llamada de “45” y cuya particularidad es, como dijimos, ser isósceles y la de “60”. ¿Qué tiene ella

de notable? Con lo anterior podemos deducirlo y es que su cateto menor es la mitad de la hipotenusa.

Para 445 π° = .

Sea un triángulo rectángulo ABC∆

donde el ángulo recto es A y sus ángulos agudos de 45°.

ABtg 45

AC° =

Dado que el triángulo es isósceles,

ocurre que: AB AC=

Entonces: AB

tg45 1AB

° = =

Dado que ya conocemos el valor de una función, podemos calcular las restantes de forma

inmediata.

Para 360 π° = .

Sea un triángulo equilátero ABC∆

donde uno de sus ángulos agudos, aquí es C tiene,

obviamente, una amplitud de 60°. Llamemos “L” a la longitud de sus lados.

Si trazamos la altura (h) del vértice “A”, por su definición, tendremos que el APC∆

es

rectángulo en “P”. Ahora hacemos el siguiente planteo:

AM hsen 60

LAC° = =

Pero el triángulo APC∆

es rectángulo, en-

tonces podemos afirmar que:

( )2L2 2 2 2 33

2 4 2h L h L h L+ = = =

Entonces:

332

2

.Lsen 60

L° = =

B

A

C

45° 45°

B

A

C

60°

h

90°

L

L2

M




Al igual que antes, conocido el valor de una función trigonométrica, el cálculo de las

restantes surge inmediatamente.

Con todos los valores calculados anteriormente podemos hacer un cuadro al que

llamaremos valores principales.

Valores principales de las funciones trigonométricas

0 0° = 630 π

° = 445 π

° = 360 π

° = 290 π

° =

sen 0 1

2 2

2 3

2 1

cos 1 3

2 2

2

1

2 0

tg 0 3

3 1 3 /∃

cosec /∃ 2 2 2 3

3 1

sec 1 2 3

3 2 2 /∃

cotg /∃ 3 1 3

3 0

Signos de las funciones trigonométricas según cuadrante

Acorde con lo visto anteriormente, las funciones trigonométricas adoptan, según cuadrante, los signos que damos más abajo.

Nota: Las funciones trigonométricas recípro cas, por su definición, tienen el mismo signo que las directas.

2

sen ( )

0 cos ( )

tg ( )

π

α → +

< α < α → + α → +

2

sen ( )

cos ( )

tg ( )

π

α → +

< α < π α → − α → −

32

sen ( )

cos ( )

tg ( )

π

α → −

π < α < α → − α → +

32

sen ( )

2 cos ( )

tg ( )

π

α → −

< α < π α → + α → −

y

x O x

α

r

P y

P

P

P




Reducción al 1er cuadrante

Acorde con la generalización vista más arriba, una función trigonométrica, no se limita

solamente a los ángulos agudos, sino que cualquier punto de una circunferencia con centro en el

origen de coordenadas, define un ángulo y la relaciones entre sus coordenadas, o bien entre ellas

y el radio, definen los conceptos ya vistos.

Si una semirrecta con centro en el origen define un ángulo no agudo, por razones de simetría

y/o semejanza de los triángulos que quedan determinados, se lo puede asociar a un ángulo que sí

es agudo.

Veamos algunas reducciones: Haremos algunas solamente. Todas ellas se basan en la

simetría de la circunferencia respecto de cualquier diámetro y en la congruencia de triángulos.

Ángulos que difieren en 2π

Como podemos apreciar en la gráfica, los triángulos

rectángulos OPM∆

y OQN∆

son congruentes porque

en ambos la hipotenusa es el radio y tienen un

ángulo agudo de igual amplitud.

Acorde con ello surge que:

( ) x2 rsen cosπ + α = = α y ( ) y

2 rcos sen−π + α = = − α

Entonces: ( ) ( )( )

2

2

sen cos

2 sencostg cotg

π

π

+α απ− α+α

+ α = = = − α

Ángulos que suman π

Nuevamente los triángulos rectángulos OPM∆

y

OQN∆

son congruentes porque en ambos la

hipotenusa es el radio y tienen un ángulo agudo de

igual amplitud. Acorde con ello surge que:

( ) y

rsen senπ − α = = α y ( ) xrcos cos−π − α = = − α


sen sen

coscostg tg

π−α α

− απ−απ − α = = = − α

y

x O x

α

r P y Q

π − α

-x N M

y

x O x

α

r

P y

Q

2π + α

x

x N M




Ángulos que suman 32π

Ahora, procediendo de la misma manera,

observamos que los triángulos rectángulos OPM∆

y

OQN∆

son congruentes porque en ambos la

hipotenusa es el radio y tienen un ángulo agudo de

igual amplitud.

Acorde con ello surge que:

( )3 x2 rsen cosπ −+ α = = − α ; ( ) y3

2 rcos sen−π + α = = − α


32

32

sen cos32 sencos

tg cotgπ

π

+α − απ− α+α

+ α = = = α

De la misma manera, y en cada caso, podemos deducir las equivalencias en todas las

funciones trigonométricas recíprocas.

Si deseamos establecer reglas prácticas generales, podemos lograr, considerando que el

ángulo α es agudo, las siguientes:

( ) ( )2f.t. n. cof.t.π ± α = ± α Siendo “n” impar.

( ) ( )f.t. n. f.t.π ± α = ± α Siendo “n” par.

Ejemplos: Reducir las siguientes expresiones:

1) ( ) ( )

( )32

sen cos 3

tg

π + α + π − α

π + α

Resolución: Llamemos a la expresión “A". Si algún ángulo es negativo o mayor a un giro,

lo escribiremos como positivo y menor a un giro. Luego haremos la conversión.

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) [ ]

2sen

coscos

sen

sen cos sen cosA sen sen . tg 1

cotg

α

αα

α

− α − α α + α= = = + α = α α +

− α

2) ( ) ( )( ) ( )

sec 1035 cosec 390

tg 495 cotg 575

° + − °

° − °

Resolución: Llamemos a la expresión “B" y procedamos igual al ejemplo anterior. Los

ángulos pueden ser reducidos, siempre, de dos maneras. Una de ellas es como múltiplos

y

x O x α

r

P y

Q

32π − α

-y

N M

- x

α




de 2" "π y otra es como múltiplos de " "π . Ello es arbitrario. Aquí en algunos casos lo

haremos de una forma y en otros, de otra.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

sec 315 cosec 30 sec 315 cosec 330B

tg 135 cotg 225 tg 135 cotg 225

° + − ° ° + °= =

° − ° ° − °

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

sec 270 45 cosec 360 30 cosec 45 cosec 30B

tg 180 45 cotg 270 45 tg 45 tg 45

° + ° + ° − ° − ° + °= =

° − ° − ° − ° − ° − °

2

2

2 2 2 2B 1

1 1 2

− + − += = = −

− − −

Funciones trigonométricas de la suma (o diferencia) entre dos ángulos

Ahora deduciremos algunas fórmulas y luego sus consecuencias. Nos preguntamos: ¿Las

funciones trigonométricas, se pueden distribuir con la suma entre ángulos?

Por ejemplo: ( ) ( ) ( )?

sen sen senα ± β = α ± β

En algunos casos particulares, puede que ello sea cierto, pero en general no lo es. Basta con

un contraejemplo para poder afirmar la nulidad de dicha igualdad.

( )( )

( ) ( )1 32 2

sen 90 1

sen 30 60 sen 30 sen 60

° =

° + ° ≠ ° + °

Es evidente que la igualdad no es válida. Dicho de otra forma, las funciones trigonométricas

no son distributivas respecto de la suma (o diferencia) entre ángulos.

Veamos entonces la deducción de la expresión que permite que ello sea una igualdad.

Supongamos tener un sistema cartesiano de ejes y una construcción como la indicada en la

figura.

Allí se puede apreciar la presencia

inmediata de dos triángulos rec-

tángulos. Uno es el ONQ∆

, que es

rectángulo en “N” y otro que es el

OQP∆

, que lo es en “Q”.

Estos dos triángulos tienen un

lado en común OQ . También

resulta, acorde con la construcción

y

O x

α

L

P

S Q

β

N M

α




otro triángulo rectángulo, el OSQ∆

, rectángulo en “S”, que será parte de la deducción.

Observemos el siguiente planteo:

( )PM PS SM PS QN

OP OP OPsen

+ +α + β = = =

Dado que los triángulos mencionados anteriormente son ambos triángulos rectángulos,

podemos establecer las igualdades dadas a continuación:

En ONQ∆

: ( ) ( )QN

OQsen QN OQ .senα = = α

En OSQ∆

: ( ) ( )PS

PQcos PS PQ .cosα = = α

Reemplazamos en la igualdad y resulta:

( )PS QN PQ .cos OQ .sen PQ .cos OQ .sen

OP OP OP OPsen

+ α+ α α αα + β = = = +

De donde: ( )PQ OQ

OP OP

sen cos

sen .cos .sen

β β

α + β = α + α

Entonces, agrupando convenientemente los términos, resulta:

( )sen sen .cos sen .cosα + β = α β + β α

Resolvamos, ahora, el planteo que propusimos más arriba, pero aplicando la fórmula:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 32 2 2 2

314 4

sen 90 1

sen 30 60 sen 30 .cos 60 sen 60 .cos 30 1

° =

° + ° = ° ° + ° ° = + =

Si queremos deducir ( )sen α −β , ello es inmediato:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen sen .sen sen .cosα −β = α + −β = α −β + −β α

Dado que " "β y " "− β son ángulos opuestos. Resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen sen . cos sen .cosα −β = α + −β = α β + − β α

Entonces: ( )sen sen .cos sen .cosα −β = α β − β α

Escribiendo las dos fórmulas en una sola, resulta:

( )sen sen .cos sen .cosα ± β = α β ± β α

De manera similar, podemos calcular ( )cos α + β . Ello es posible, utilizando la igualdad entre

co-funciones de ángulos complementarios:




( ) ( ) ( )cos sen 90 sen 90α + β = ° − α + β = ° − α −β

Aplicando las fórmulas recientemente deducidas, tenemos:

( ) ( ) ( )cos sen

cos sen 90 .cos cos 90 .sen

α α

α + β = ° − α β − ° − α β

Luego: ( )cos cos .cos sen .senα + β = α β − α β

De manera análoga: ( )cos cos .cos sen .senα −β = α β + α β

Y si escribimos las dos fórmulas en una sola, resulta:

( )cos cos .cos sen .senα ± β = α β α β

El cálculo de la tangente, surge de las dos fórmulas anteriores:

( ) ( )( )

sen sen .cos sen .cos

cos .cos sen .sencostg

α±β α β ± β α

α β α βα±βα ± β = =

Si dividimos todos los términos por "cos .cos "α β , resulta:

( )sen .cos sen .cos sen sencos .cos cos .cos cos cos

cos .cos sen .sen cos .cos sen .sen

cos .cos cos .cos cos .cos cos .cos

tg tg

1 tg .tgtgα β β α α β

α β α β α β

α β α β α β α β

α β α β α β α β

± ± α ± β

α βα ± β = = =

O sea: ( ) tg tg

1 tg .tgtg α ± β

α βα ± β =

Ejercicio

Aplicando las fórmulas deducidas recientemente, calcular sen15° , cos 15° .

Resolución: Existen infinitas maneras de expresar 15° como suma o diferencia entre ángulos,

pero lo haremos a partir de los ángulos de 45° y 30°. Ello se debe a que para dichos ángulos

sabemos los valores de todas sus funciones trigonométricas.

Así resulta:

( )12 3 222 22

sen15 sen 45 30 sen45 . cos30 sen30 . cos45° = ° − ° = ° ° − ° °

Entonces: 6 2 6 2

4 4 4sen15−

° = − =

Análogamente:

( )12 3 222 22

cos 15 cos 45 30 cos45 . cos30 sen45 . sen30° = ° − ° = ° ° + ° °

Entonces: 6 2 6 2

4 4 4cos 15+

° = + =




Consecuencias inmediatas de las fórmulas anteriores

I) Fórmulas del ángulo duplo

Si queremos hallar una fórmula para ( )sen 2α ; ( )cos 2α y ( )tg 2α , es inmediato. Basta

pensar el problema de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen 2 sen sen .cos sen .cosα = α + α = α α + α α

Entonces: ( ) ( ) ( )sen 2 2.sen .cosα = α α

Análogamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 cos cos .cos sen .senα = α + α = α α − α α

De donde: ( ) 2 2cos 2 cos senα = α − α

De la misma manera: ( ) ( ) tg tg

1 tg .tgtg 2 tg α + α

− α αα = α + α =

Luego: ( ) 2

2.tg

1 tgtg 2 α

− αα =

II) Fórmulas del ángulo medio

Por la relación pitagórica y por la del ángulo duplo, sabemos que:

2 2cos sen 1α + α =

( )2 2cos sen cos 2α − α = α

Sumando ( )22cos 1 cos 2α = + α

Restando ( )22sen 1 cos 2α = − α

Siendo x22 xα = α =

De ello resultan las siguientes fórmulas:

( ) 1 cosxx2 2cos +

= ± y ( ) 1 cosxx2 2sen −

= ±

Luego: ( ) 1 cosxx2 1 cosxtg +

−= ±

III) Fórmulas de transformación en producto

Debido a las fórmulas de suma y diferencia entre ángulos, sabemos que:

( )sen sen cos sen cosα + β = α β + β α




( )sen sen cos sen cosα −β = α β − β α

Sumando ( ) ( )sen sen 2sen cosα + β + α −β = α β (1)

Vamos a hacer un cambio de variables:

x y x y

2 2

x2 x y 2 x y

y+ −α + β =

α = + ∧ β = − α = ∧ β =α −β =

Entonces: ( ) ( )x y x y

2 2x y

sen sen 2sen cos+ −

α + β + α − β = α β

Así resulta: ( ) ( ) ( ) ( )x y x y

2 2sen x sen y 2 sen cos+ −+ =

Si en la expresión (1), en vez de haber sumado miembro a miembro restábamos, llegamos a

la fórmula que permite transformar en producto a la diferencia entre senos de ángulos:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y

2 2sen x sen y 2 sen cos− +− =

Haciendo un planteo similar, pero con la suma y diferencia entre cosenos, resulta:

( )cos cos cos sen senα + β = α β − α β

( )cos cos cos sen senα −β = α β + α β

Sumando ( ) ( )cos cos 2cos cosα + β + α −β = α β

Así resulta: ( ) ( ) ( ) ( )x y x y

2 2cos x cos y 2 cos cos+ −+ =

Análogamente, si restamos:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y

2 2cos x cos y 2 sen sen+ −− = −

Observación: Las fórmulas reciben el nombre de fórmulas de transformación en producto,

pero también, vistas de derecha a izquierda, nos permiten transformar un producto de

funciones trigonométricas, en una suma entre ellas.

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad donde el objetivo es demostrar que ambos

miembros de ella son idénticos. Más arriba hemos visto algunas identidades y dado que ya las

probamos, podemos hacer uso de las mismas.




Puede que, en alguna ocasión y al operar algebraicamente, nos veamos en la necesidad de

realizar simplificaciones. Sabemos que ello está sujeto a condiciones de no nulidad de factores,

pero estas aclaraciones aquí no las vamos a hacer.

Ejemplos de aplicación

a) Demostrar la siguiente identidad: ( ) ( )( ) ( )

cos 2 sen 2 1

cos 2 sen 2 1tg

α − α −

α + α += − α

Vamos a partir del 1er miembro de la igualdad y llegar al segundo.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sen 2.sen .cos 1 1 sen sen 2.sen .cos 1 2sen 2.sen .coscos 2 sen 2 1

cos 2 sen 2 1 cos sen 2.sen .cos 1 cos 2.sen .cos 1 sen 2.cos 2.sen .cos

α− α − α α − − α− α − α α − − α − α αα − α −

α + α + α− α + α α + α + α α + − α α + α α= = =

Entonces, extrayendo factor común y luego simplificando los factores en común, resulta:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

cos 2 sen 2 1 2sen sen cos sen

coscos 2 sen 2 1 2cos cos sentg

α − α − − α α+ α − α

αα + α + α α+ α= = = − α

b) Demostrar que: ( )( )

cos 2 3 2 2

1 cos 2cosec cotg

α +

− α= α + α

Nuevamente, vamos a partir del 1er miembro de la igualdad y llegar al segundo.

( )( )

( )( )

( )( )

2 22 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

cos 1 cos 3cos sen 3cos 2 3 2cos 2 1 cos 1 cos

1 cos 2 2.sen sen sen sen1 cos sen 1 cos sen

α− − α +α− α +α + α+ + α α − α α α α α− α− α − α + α

= = = = = +

De donde:

( )( ) ( ) ( )

2 2cos 2 3 1 cos 2 2

sen sen1 cos 2cosec cotg

α + α

α α− α= + = α + α

c) Demostrar que: ( )( )

( )( )

1 sen 2 cos 2

1 tg 1 tg

− α α

− α + α=

Partiendo del primer miembro al cual llamamos “K”, resulta:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )22 2

sen cos sen cos sen

cos cos cos

sen cos 2.sen . cos sen cos1 2.sen . cos

1K sen cos . cosα α − α α − α

α α α

α + α − α α α − α − α α

−= = = = α − α α

Del mismo modo, si al segundo miembro lo llamamos “M”, tenemos:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )2 2

sen cos sen

cos cos

cos sen cos sencos sen

1M cos sen . cosα α + α

α α

α − α α + α α − α

+= = = α − α

Dado que el desarrollo de ambos miembros llega a lo mismo, queda probada la identidad.

d) Demostrar que, en todo triángulo, el producto entre las tangentes de sus ángulos

interiores, coincide con su suma.

Ayuda: Observar que la afirmación nos afirma que ello sucede con la suma de los ángulos interiores de un

triángulo. Ello es decir, en forma indirecta, que esos ángulos suman 180°.




Hipótesis: ˆˆ ˆ 180α + β + γ = °

Tesis: tg . tg . tg tg tg tgα β γ = α + β + γ

Demostración:

( ) ( )tg tg tg tg tg tg 180 tg tg tg 180α + β + γ = α + β + ° − α + β = α + β + ° − α −β

Por las fórmulas vistas más arriba, tenemos que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

tg 180 tg tg tg

1 tg .tg1 tg 180 .tgtg tg tg tg tg tg tg

°−α − β α + β − α β+ °−α β

α + β + γ = α + β + = α + β −

De donde, sacando común denominador, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

tg . 1 tg .tg tg . 1 tg .tg tg tg

1 tg .tgtg tg tg

α − α β + β − α β − α− β − α β

α + β + γ =

Si aplicamos la propiedad distributiva y reducimos los términos comunes, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2tg .tg tg .tg tg tg

1 tg .tg 1 tg .tgtg tg tg tg . tg .

− α β − α β α + β

− α β − α βα + β + γ = = − α β

De donde:

( )tg tg tg tg . tg . tgα + β + γ = − α β α + β

Pero ˆˆ ˆ180α + β = ° − γ

Entonces:

[ ]tg

tg tg tg tg . tg . tg 180

− γ

α + β + γ = − α β ° − γ

Por lo tanto: tg tg tg tg . tg .tgα + β + γ = α β γ

e) Calcular el valor exacto de sen15° y cos 15° , como ángulo medio de 30°.

Resolución: Utilizando las fórmulas del ángulo medio resulta lo siguiente.

( )3 2 3

2 21 2 31 cos30 2 330

2 2 2 2 4 2sen15 sen−

− −− ° −°° = = = = = =

( )3 2 3

2 21 2 31 cos30 2 330

2 2 2 2 4 2cos15 cos+

+ ++ ° +°° = = = = = =

Anteriormente, hemos calculado sen15° y cos 15° , pero lo hicimos de otra forma. En

apariencia, los resultados son distintos, pero probaremos que es el mismo número

expresado de otra manera:

Por seno de la suma de dos ángulos:

( )2

6 26 2 6 2 2 12 8 4 3 2 32

4 16 16 16 4sen15 sen 15−− + − − −

° = ° = = = =




Mediante seno del ángulo medio:

( )2

2 32 3 2 32

2 4 4sen 15 sen 15−− −

° = ° = =

Del mismo modo se puede demostrar la igualdad de respuestas para cos 15° .

f) Expresar como producto la suma sen40 sen50° + ° .

Mediante las fórmulas de transformación en producto, sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y


Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )40 50 40 50 22 2 2sen40 sen50 2 sen .cos 2 sen 45 .cos 5 2 . .cos 5

°+ ° °− °° + ° = = ° − ° = °

Luego: ( )sen40 sen50 2.cos 5° + ° = °

g) Expresar como producto la suma sen 35 cos 25° + ° .

Ahora, en apariencia, no tenemos ninguna fórmula que se adapte. Sin embargo, dado que

el coseno de un ángulo coincide con el seno de su complementario, podemos escribir el

enunciado, así:

( )sen 35 cos 25 cos 90 35 cos 25 cos 55 cos 25° + ° = ° − ° + ° = ° + °

Escrito de esta forma, podemos transformarlo en un producto.

( ) ( ) ( ) ( )55 25 55 25

2 2sen 35 cos 25 cos 55 cos 25 2 cos .cos 2 cos 40 .cos 15°+ ° °− °

° + ° = ° + ° = = ° °

h) Expresar únicamente como un producto , la expresión 22.cos x cosx 1− − .

Resolución: Recordemos que una expresión cuadrática, es posible expresarla en forma

factorizada en función de sus raíces, o sea:

( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − −

Siendo ( ) ( )

21 1 4.2. 1 1 1 8 12

4 4 12 2

x 12.cos x cosx 1 0 x

x

± − − − ± + =− − = = =

= −

Entonces: ( ) ( )2 122.cos x cosx 1 2. cos x 1 . cos x− − = − +

Dado que en cada paréntesis tenemos una suma o diferencia, procedemos así:

( ) ( )22.cos x cosx 1 2. cos x cos 0 . cos x cos 60− − = − ° + °

Transformando en producto cada una de ellas resulta:

( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0 x 60 x 602

2 2 2 22.cos x cosx 1 2. 2 sen .sen . 2 cos .cos+ ° − ° + ° − ° − − = −




Entonces:

( ) ( ) ( )x x 60 x 602 2

2 2 22.cos x cosx 1 8. sen . cos . cos+ ° − °

− − = −

i) Dada la expresión sen40 . sen 30° ° , se pide:

Mediante el uso de las fórmulas de transformación en producto, escribirlo como una

suma entre funciones trigonométricas.

Resolución: Dado que ( ) ( ) ( ) ( )x y x y


x y x y2 2

12sen40 . sen30 . 2.sen 40 . sen 30

+ −

° ° = ° °

Si: x y

2

x y

2

40x y 80 x y 60

30

+

−

= ° + = ° ∧ − = °

= °.

Sumando miembro a miembro, surge que:

140

22x x 70°= = °

En forma idéntica, pero restando miembro a miembro:

2y 20 y 10= ° = °

Entonces:

( )1 1 12 2 2sen40 . sen30 . sen70 sen 10 . sen70 . sen10° ° = ° + ° = ° + °

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es, como toda ecuación, una igualdad donde la incógnita es el

valor de un ángulo, pero el mismo está asociado a una función trigonométrica.

Dada la periodicidad de las funciones trigonométricas, en caso de poseer solución, la misma

no va a ser única, sino que van a existir infinitos valores que la satisfacen. De esa manera podemos

afirmar que el conjunto solución va a quedar expresado por comprensión.

Si en el enunciado, en cambio, se pide acotar las soluciones en un determinado intervalo, allí

sí será factible expresarlas por extensión.

Antes de resolver algunos ejemplos debemos hacer mención a la función inversa de una

función trigonométrica. Recordemos que una función, siempre que sea biyectiva posee inversa.

En el caso de las trigonométricas, y en determinados intervalos podemos definirlas así:




[ ] [ ]1 1

2 2 2 2f : ; 1;1 / f(x) sen(x) f : 1;1 ; / f (x) arcsen(x)− −π π π π− → − = ⇔ − → − =

En forma análoga:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1g : 0; 1;1 / f(x) cos(x) g : 1;1 0; / g (x) arcos(x)− −π → − = ⇔ − → π =

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 2 2 2h: ; ; / h(x) tg(x) h : ; ; / h (x) arctg(x)− −π π π π− → −∞ + ∞ = ⇔ −∞ + ∞ → − =

En general esta notación la obviaremos, pero debemos saber de su existencia.

Nota: En las calculadoras las funciones trigonométricas y sus inversas se denotan así:

Resolución de ejemplos

a) Hallar todos los ángulos "x" en ℜ que satisfacen la ecuación siguiente: 12sen x = −

Resolución: ( )1 12 2sen x x arcsen= − = −

De ello surge que: ( )7 116 6x 2k. x 2k. kπ π= + π ∨ = + π ∈

Entonces el conjunto solución es: { }7 116 6S x 2k. x 2k. / kπ π= = + π ∨ = + π ∈

b) Resolver en ℜ ( )sen 2x sen x 0− =

Resolución: Por las fórmulas de transformación en producto podemos afirmar lo

siguiente.

( )sen 2x sen x 0 2senx.cosx sen x 0− = − =

Si extraemos factor común resulta:

( )sen x. 2cosx 1 0 sen x 0 2cosx 1 0− = = ∨ − =

De la primera igualdad tenemos:

sen x 0 x 0 2k. x 2k. x k.= = + π ∨ = π + π = π

De la segunda igualdad:

12 6 6 6cos x x 2k. x 2k. x 2k.π π π

= = + π ∨ = − + π = π ±

Así, el conjunto solución es: { }6S x k. x 2k. / kπ= = π ∨ = π ± ∈

c) Hallar los "x" en el intervalo [ ]; 3−π π que satisfacen la ecuación: 2tg x 1 sec x= +

SIN-1

SIN COS-1

COS TAN-1

TAN




Resolución: Previamente vamos a llevar todo a una única función trigonométrica. Para

ellos haremos uso de una de las consecuencias de la relación pitagórica vista más arriba.

2 2 2tg x 1 sec x sec x 1 1 sec x sec x sec x 2 0= + − = + − − =

Ahora tenemos una ecuación cuadrática. Aplicando la fórmula resolvente, resulta:

( ) ( )2

1 1 4.1. 2 1 1 82

2 2

sec x 2sec x secx 2 0 sec x

sec x 1

± − − − ± + =− − = = =

= −

Siendo 1

2 3sec x 2 cos x x 2k. π= = = π ±

Y si: ( )sec x 1 cos x 1 x k. k impar= − = − = π

Ahora, a diferencia de los ejemplos anteriores, debemos encontrar sólo las soluciones

que están dentro del intervalo solicitado. Para ello vamos a tener que deducir qué valores

puede tomar el número “k”, si sabemos que el mismo es entero.

El análisis de dichos valores se debe hacer por separado para cada una de las soluciones

generales.

Si: 1 1 1 2 4

3 3 3 3 3 32k. 3 1 2k 3 1 2k 3 kπ−π ≤ π + ≤ π − ≤ + ≤ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤

Entonces, las opciones son: k 0 k 1= ∨ =

Así resultan, en la primera solución general: 3

7

3 3

k 0 x

k 1 x 2

π

π π

= =

= = π + =

Ahora, haciendo un planteo idéntico al anterior:

1 1 1 1 5

3 3 3 3 3 32k. 3 1 2k 3 1 2k 3 kπ−π ≤ π − ≤ π − ≤ − ≤ − + ≤ ≤ + − ≤ ≤

Nuevamente, las opciones son: k 0 k 1= ∨ =

Ahora, en la segunda solución general resulta: 3

5

3 3

k 0 x

k 1 x 2

π

π π

= =−

= = π − =

Del mismo modo, en la tercera solución general:

k. 3 1 k 3−π ≤ π ≤ π − ≤ ≤

De donde (siendo un número impar): k 1 k 3= ± ∨ =

Siendo: k 1 x

k 3 x 3

= ± =± π

= = π

Ahora el conjunto solución se puede expresar por extensión y es:




{ }5 7

3 3 3S ; ; ; ; 3π π π= ± ± π π

d) Hallar los "x" en el intervalo [ ];−π π que satisfacen la ecuación: cosec x cotg x 3+ =

Resolución: Nuevamente, vamos a reducir a una única función trigonométrica.

cosx 1 cosx1sen x sen x sen xcosec x cotg x 3 3 3 1 cos x 3.senx+

+ = + = = + =

Elevando ambos miembros al cuadrado:

( ) ( )22 2 21 cos x 3.senx 1 2cosx cos x 3.sen x+ = + + =

Aplicando la relación pitagórica, resulta:

( )2 2 2 21 2cosx cos x 3. 1 cos x 1 2cosx cos x 3 3.cos x+ + = − + + = −

Agrupando los términos comunes:

2 24cos x 2cosx 2 0 2cos x cosx 1 0+ − = + − =

Resolviendo la ecuación cuadrática:

( )1 1 4.2. 1 1 1 8

4 4 12

cos x 1cos x

cos x

− ± − − ± + == =

= −

Si cos x 1 x 2k.= = π

Y si: 12 3cos x x k (k impar)π= − = π ±

Ahora debemos calcular los posibles valores de “k”.

En la primera solución general:

1 12 22k. 1 2k 1 k k 0−π ≤ π ≤ π − ≤ ≤ − ≤ ≤ =

Siendo: k 0 x 0= =

En la segunda solución general y considerando que es impar:

1 4 2

3 3 3 3k. 1 k 1 k k 1π−π ≤ π + ≤ π − ≤ + ≤ − ≤ ≤ = −

Así resulta: 2

3 3k 1 x ππ= − = −π + = −

En la segunda solución general y considerando, nuevamente, que es impar:

1 2 4

3 3 3 3k. 1 k 1 k k 1π−π ≤ π − ≤ π − ≤ − ≤ − ≤ ≤ =

Así resulta: 2

3 3k 1 x ππ= =π − =

Entonces conjunto solución es:

{ }2

3S 0 ;π

= ±




Observación: Para la resolución hemos aplicado un recurso algebraico que fue elevar ambos miembros al

cuadrado. Puede suceder que ello introduzca respuestas extrañas y estemos dando como válidas algunas

respuestas que no verifican el enunciado. Dejamos a cargo del lector la veracidad de las mismas.

e) Hallar los "x" en el intervalo [ ]; 2−π π que satisfacen la ecuación: ( ) ( )3x 2x2 3sen sen 0+ =

Resolución: Dado que los argumentos son fraccionarios, nos vemos obligados a

transformar la expresión en un producto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3x 3x2x 2x2 3 2 33x 13 52x

2 3 2 2 12 12sen sen 0 2.sen . cos 0 2.sen x . cos x 0+ −

+ = = =

Entonces: ( ) 13 121312 12 13sen x 0 x k x k= = π = π

Si calculamos los valores de “k” resultan:

13 2612 1213 13 12 12k. 2 1 k 2 k k 0 k 1 k 2−π ≤ π ≤ π − ≤ ≤ − ≤ ≤ = ∨ = ± ∨ =

Siendo: 1213

2413

k 0 x 0

k 1 x

k 2 x

= =

= ± =± π = = π

Si, en cambio ( ) ( ) ( )55 612 12 2 5cos x 0 x k (k impar) x kπ π= = =

Y si hallamos los valores de “k” resultan:

106 6 55 5 6 6k. 2 1 k 2 k k 1−π ≤ π ≤ π − ≤ ≤ − ≤ ≤ =

6

5x = π

Gráficos de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, a diferencia de las funciones que hemos abordado hasta

ahora, son funciones periódicas. Ello significa que la gráfica, luego de un intervalo real asociado a

la expresión de la función, se vuelve a repetir.

Definición

Decimos que una función f es periódica, si: ( ) ( ) ( )f fp D x p D f x p f p∈ + ∈ ∧ + =

Ejemplo: ( )2 2f : ; / f(x) tg (x)π π− → ℜ = es periódica y su período es: p = π

Ello es válido porque: fx D f( ) tg ( )∈ ϕ + π = ϕ

Aquí vamos a estudiar más en profundidad las gráficas de seno y coseno, pero la propiedad

de periodicidad es común a todas ellas, tanto las directas como las recíprocas.




Para poder construirlas, vamos a interpretar geométricamente en una circunferencia de

radio igual a una unidad, quién representa al seno, al coseno y a la tangente de un ángulo “x”.

Como hemos visto anteriormente:

PM y ysen 1

r 1OP

∧

α = = = =

OM x xcos x

r 1OP

∧

α = = = =

PM ytg

xOM

∧

α = =

Dado que OMP ONQ∆ ∆

Entonces: PM QN

tg QNOM ON

= α =

Con lo cual, en una circunferencia cuyo radio es igual a una unidad, los valores de ordenada

y abscisa, son respectivamente el seno del ángulo y el coseno del ángulo. Como vimos

recientemente, la semejanza de triángulos nos permite visualizar también la tangente.

En los gráficos que siguen a continuación, podemos observar cómo, a medida que

aumenta el valor del ángulo (entre 0° y 90°) se van modificando las longitudes de los segmentos

que representan las respectivas funciones trigonométricas.

α

1 x

y

P

M

Q

N x

y

r=1

O

α

1 x

y

P

sen α

x

y

O

cos α

tg α

α

1

x

y

P

sen α

x

y

O

cos α

tg α

- Colegio Nacional de Buenos Aires – Matemática - 4º Año– T.P.N°2 – Anexo teórico



Construcciones de los gráficos principales

Construcción de las gráficas de: [ ) [ ]f : 0;2 1;1 / f(x) sen(x)π → − = [ ) [ ]g : 0;2 1;1 / g(x) cos(x)π → − =

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

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●

●

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

6π

4π

3π

2π

0

23π

43π 5

3π

34π

7

4

π54π

56π

76π 1 1

6π

π

74π

4π

3π2

π

23π

43π

34π

54π

74π

56π

76π 1 1

6π

π

6π

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

53π




Si con el mismo procedimiento construimos la gráfica de tangente, resulta una curva muy

diferente a las anteriores. La misma, con dominio en ( )2 2;π π− resulta así:

( )2 2h: ; / h(x) tg (x)π π− → ℜ =

Como podemos observar en los múltiplos impares de 2

π presenta rectas asíntotas verticales.




Generalización de los gráficos de las funciones trigonométricas

Antes de generalizar los gráficos de las funciones trigonométricas, vamos a definir el

concepto de paridad de una función. Ello es independiente del concepto de periodicidad, pero

cuando se trata de construir los gráficos estas definiciones son muy útiles.

Definición:

Una función "f" decimos que es una función “par” si: fx D f( x) f(x)∈ − =

Una función "f" decimos que es una función “impar” si: fx D f( x) f(x)∈ − = −

Nota:

● Las funciones pares son aquellas en las que su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje “y”)

● Las funciones pares son aquellas en las que su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas

Ejemplos:

Definidas en los intervalos siguientes, son pares:

[ ]2 2f : ; 1;1 / f(x) sen(x)π π − → − = ( )2 2g : ; / f(x) tg(x)π π− → ℜ =

En cambio, es par:

[ ]2 2h: ; 1;1 / f(x) cos(x)π π − → − =

Amplitud de una función trigonométrica

En la gráfica de la función seno, se puede apreciar que los valores de oscilan entre 1 y – 1. La

“amplitud” de una función trigonométrica, en un periodo, corresponde al valor absoluto de la

semidiferencia entre su valor máximo y su valor mínimo, siempre que ellos existan.

El valor máximo de y sen(x) 1= =

El valor mínimo de y sen(x) 1= = −

Entonces, la amplitud de la función seno es: A = 1 ( 1) 2 2

12 2 2

− −= = =

Sucede lo mismo con la función coseno, en cambio en la función tangente no se puede

hablar de amplitud porque su alcance, o imagen, es el conjunto de todos los números reales.

En general: ( )f x A.sen(x)= ( )A Amplitud A 0→ ≠

Ángulo de fase, pulsación y período

El ángulo de fase de una función sinusoidal consiste en sumar (o restar) un ángulo constante

a la medida del argumento. así, se obtienen funciones de la forma:




( )f x A.sen(bx )= ± ϕ y ( )f x A.cos(bx )= ± ϕ .

El factor “b” es el factor de periodicidad, conocido con el nombre de pulsación y está

relacionado con lo que llamamos período. El término ϕ es lo que denominamos ángulo de fase.

Ejemplo 1: ( ) ( ) ( )6 6f x cos x 1.cos 1.xπ π= + = +

La amplitud es A 1= Período: 221p π

π= =

Ángulo de fase: 6

πϕ = − Imagen: [ ]1;1−

Ejemplo 2: ( ) ( )2f x 4sen 3x π= − +

La amplitud es A 4= Período: 2 2

3 3p π π= =

Ángulo de fase: 2

πϕ = − Imagen: [ ]4;4−

Documents

Funciones Trigonométricas - Ejercitación · 2018-04-20 · Matemática - 4º Año – Trabajo Práctico N°2 T.P. Nº2 – 4to Año Funciones trigonométricas. Guía de T.P. - C.N.B.A