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FUNCIONESFUNCIONES BÁSICASBÁSICAS
Tema :Tema :
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.)
Ciclo 2007-1
Logros de esta unidad:
•Explica el significado de función
•Identifica el dominio de una función
•Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático, Cúbico, Logaritmo, Exponencial)
•Define una función trigonométrica.
•Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento de la función seno y coseno
•Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
FUNCIÓNFUNCIÓNFUNCIÓNFUNCIÓNUna función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por ran(f)
fX f(x)
Entrada Proceso Salida
Ej. f(x)=x+3 Si x=2 tenemos f(2)=5
x=4 tenemos f(4)=7
Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente.
A(r) = r2
Variableindependiente
Variabledependiente
Ejemplo
Dominio no especificadoDominio no especificado
Si dom(f) no se especifica, entonces, el dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.
Considere una función: y = f(x)x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio)y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x)
EjemploEjemplo
Determine el dominio de:
b) 1)( xxf
c)4
1)(
2 x
xf
d) 5
1)(
xxf
a) 1)( xxf
Función LinealAfín
-3 -2 -1 0 1 2 3
4
3
2 b 1
-1
-2
-3
f(x) = ax + b
FunciónCuadrática
-2 -1 0 1 2
4
3
2
1
f(x) = x2
La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x
1 1 e
e
11
y = ex
y = ln x
x
y
Definición:Si x es cualquier número real,entonces ln y = x si y sólo si e x = y
Teorema
Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces
i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr
qpq
p
ee
e
ECUACIÓN CUADRÁTICA ax2+bx+c=0
X=
Resolver:
• 5x2-2x-7=0
• • (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2
a
acbb
2
42
32
23
xx
x
Ecuación exponencial, logarítmica
Resolver:
313
112
52
213
2
.4
23 .3
1 .2
.1
ee
ee
e
ee
x
xx
x
x
5)3( .3
24020
.2
3)13( .1 2
xLn
x
xLog
xLog
Tópicos de Matemáticas
Función SenoEcuaciones
trigonométricas
Conceptos previos
Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se
conocen son el ángulo de elevación
y la longitud de la sombra proyectada
sobre el piso.
60°187 m
Conceptos previos
Razones trigonométricas
HipotenusaCateto opuesto
Cateto adyacente
hipCop
sen
hipCadcos
CadCoptan
Conceptos previos
Triángulos rectángulos
notables
L2L
L
45°
45°
30°
60°
2L3L
L
Ejercicio1Si es un ángulo agudo y cos =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de .Ejercicio 2Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
Conceptos
Circunferencia trigonométrica
La circunferencia trigonométrica es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del
plano XY.
Su ecuación es: x2+y2=1
1
),( yx
),( yx
Observar que se tiene:
x
ysen
)cos(
)(
De manera general se tiene las funciones trigonométricas para cualquier segmento OP donde P(x,y)
),( yx
0)tan(
)cos(
)(
xxyrxry
sen
r
22 yxr
x
y
Conceptos
Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f.
El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f.
2π es el periodo de las funciones seno y coseno
3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin t( )
x t
La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás sen(-x)=-sen(x)
La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás cos(-x)=cos(x)
3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
cos x( )
cos t( )
x t
1.57 6.370614359 104
1.57 3.14 4.71 6.28
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
cos t( )
x t
La función coseno puede interpretarse como un desplazamiento de la función seno:
sen(x)=cos(x-π/2)
¿Cómo varía la gráfica de la función sen x, al cambiar los valores de los parámetros A , ω>0 , φ?
)xω(senAy φ
Donde:
T1
Frecuenciaf
ntodesfasamie
2PeriodoT
Amplitud||
A
0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42
4
3
2
1
1
2
3
4
sin x( )
3 sin x( )
3 sin x( )
x
Gráfica de las funciones Sen(x) 3sen(x) -3sen(x)
0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin 3x( )
x
Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x)
1.05 0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
sin x( )
sin s
3
sin v
3
x s v
Gráfica de las funciones sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)
Gráfica de las funciones sen(x) 3sen(2x-2π/3)
0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33
4
3
2
1
1
2
3
4
sin x( )
3 sin 2s2
3
x s
1.A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.
a) y=2sen(t+π/6) b) y=cos(t+ π/3)2. Determine la amplitud y el período de la
función f(x) = 2sen (x/2).3. Determine la amplitud, el período y trazar la
gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).
Ecuaciones trigonométricas:
Son aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.
Solución:Son los valores que puede tomar x para la cual la
ecuación se convierte en una identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
Halle las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π].a)Cos(x)=1/2b)sen(2x+π/3)=-1c)Sen(t) tan(t)=sen(t)
Combinación lineal de las funciones sen(x) y cos(x)
Para a y b números reales, a>o la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx)
Puede escribir en términos de la forma: f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde 22 baA
2π
2π
paraba
tan C ,C
)3(4)3cos(3)()
)2()2cos(3)()
)cos()()()
xsenxxfc
xsenxxfb
xxsenxfa
Empleando la fórmula desarrollada anteriormente graficar las funciones: