Funciones. 1 a muchos 1 a 1 muchos a muchos Capítulo 4 Funciones 4.1 Funciones Definición Dados los conjuntos no vacíos A, B, una función, o transformación

Funciones

1 a muchos

1 a 1muchos a muchos

Capítulo 4 Funciones

4.1 Funciones

Definición Dados los conjuntos no vacíos A, B, una función, o transformación f de A a B, definida por f : A B, es una relación de A a B donde cada elemento de A aparece exactamente una vez como primera componente de un par ordenado de la relación.

Suele escribirse f(a) = b cuando (a, b) es un par ordenado de la función f. Para (a, b)f, b se denomina imagen de a en f, mientras que a es un antecedente de b. Además la definición sugiere que f es un método para asociar a cadaa A una única b B; este proceso se denota mediante f(a) = b. Por tanto, (a, b) , (a, c) f implica que b = c.


4.1 Funciones

EJEMPLO Para A = {1, 2, 3}, B = {w, x, y, z}, f = {(1, w), (2, x), (3, x)} es una función y, por tanto una relación de A a B. R1 = {(1, w), (1, x), (2, x)}, R2 = {(1, w), (2, w), (2, x), (3,

z)} son relaciones, pero no funciones, de A a B. (¿Por qué no lo son?).


4.1 Funciones

Definición Para la función f : A B, A y B se denominan dominio y codominio de f, respectivamente. El subconjunto de B formado por aquellos elementos que aparecen como segundas componentes en los pares ordenados de f, se llama imagen de f y también se define por f(A).


4.1 Funciones

1. el dominio de f ={1, 2, 3},2. el codominio de f = {w, x, y, z},3. y la imagen de f= f(A) ={w, x}.


4.1 Funciones

Para A = {1, 2, 3}, B = {w, x, y, z}, f = {(1, w), (2, x), (3, x)}

Estas ideas se pueden representar mediante un diagrama de Venn, como en la figura siguiente. Este diagrama muestra que a puede considerarse como una entrada que es transformada mediante f en la correspondiente salida f(a).


4.1 Funciones

EJEMPLO En el lenguaje de programación BASIC, la función del mayor entero, denotada por INT, es una función definida para el dominio de todos los números reales, es decir, INT: RZ, donde INT(X)=X, si X es un entero; si X no lo es, INT(X)= al entero situado inmediatamente a la izquierda de X. Por ejemplo, INT(5.1) = 5 e INT(-7.8) = -8. Aquí el codominio y la imagen son el conjunto Z.


4.1 Funciones

En Pascal se presenta la función trunc (por truncamiento), que es una función con valores enteros definida en R. La función elimina la parte fraccionaria de un número real. Por ejemplo, trunc(3.78) = 3, trunc(5) = 5, trunc(-7.22) = -7.


4.1 Funciones

Al almacenar una matriz en una disposición unidimensional muchos lenguajes de programación lo hacen por filas. Aquí si A = (aij)nn es una matriz de n n, la primera fila de A se

almacena en las posiciones 1, 2, 3,..., n de la disposición si se comienza con a11 en la posición 1. Entonces, el registro

a21 se halla en la posición n + 1, mientras que el a34 ocupa la

posición 2n + 4 de la disposición. Para determinar la posición de cualquier registro aij, 1 i, j n, a partir de A,

se define la función de acceso f de los registros de A a las posiciones 1,2,3, ..., n2 de la disposición. Aquí una fórmula para la función de acceso es f(aij) = (i – 1)n + j.


4.1 Funciones


4.1 Funciones

Dada una relación de A a B. Ya se ha analizado una función entre estas relaciones, y ahora se desea contar el número total de funciones de A a B.

Para el caso general, sean A, B conjuntos con = m, = n. En consecuencia, si A = {a1, a2, ..., am}, B = {b1, b2, ... ,bn},

una función típica f : A B se puede describir por medio de {(a1, x1), (a2, x2), ..., (am, xm)}. Se puede seleccionar

cualquier elemento entre los n de B para x1 y a continuación

hacer lo mismo para x2. (Se puede elegir cualquier elemento

de B para x2 de modo que se puede elegir un mismo

elemento de B para x1 y para x2). Este proceso de selección

continúa hasta que uno de los n elementos de B sea finalmente seleccionado para xm. Así, por la regla del

producto, hay nm = funciones de A a B.

A B

AB


4.1 Funciones

Por tanto, si = 3 y = 4 entonces hay 43 = = 64 funciones de A a B y 34 = = 81 funciones de B a A.

AB

BA

A B


4.1 Funciones

Funciones Uno a Uno

Definición Una función f : AB se llama uno a uno o inyectiva si cada elemento de B aparece a lo sumo una vez como la segunda componente de un par ordenado de f.

Si f : A B es uno a uno, con A, B finitos, entonces . Para conjuntos generales A, B, si f: AB es uno a uno, entonces para a1,a2 A, f(a1)=f(a2) a1=a2. Entonces,

una función de este tipo se puede caracterizar como aquella donde cada elemento de la imagen es imagen de exactamente un elemento del dominio.

A B


4.2 Funciones uno a uno



EJEMPLO Sea A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. La función f={(1,1),(2,3),(3,4)} es una función inyectiva de A a B. Mientras que g={(1,1),(2,3),(3,3)}es una función de A a B, aunque no es inyectiva, pues g(2)=g(3), pero 23.

Para A, B del ejemplo hay 215 relaciones de A a B, y 53 de ellas son funciones. Lógicamente, la siguiente cuestión que se quiere resolver es ¿Cuántas funciones f : A B son uno a uno?.

Con A={a1,a2,...,am}, B ={b1,b2,...,bn}, mn, una función

uno a uno f: AB tiene la forma {(a1,x1),(a2,x2),...,(am,xm)},

donde hay n selecciones posibles para x1 (cualquier

elemento de B), n–1 selecciones posibles para x2 (cualquier

elemento posible de B, excepto el seleccionado para x1), n–

2 selecciones posibles para x3, etc., y se concluye con n–

(m–1)= n–m+1 selecciones posibles para xm. Por la regla del

producto, el número de funciones uno a uno de A a B es

n(n–1)(n–2)...(n–m+1) = = P(n,m) = P( , )

!/! mnn A B





Definición Si f : A B y A1 A, entonces

f(A1)= 1algún para AaafbBb

EJEMPLO Sea f: R R dada por f(x) = x2. Entonces, f(R) = la imagen de f = [0, +]. La imagen de Z en f es f(Z) = {0,1,4,9,16,...}.

Teorema Sea f: A B con A1, A2 A. Entonces,

a) f(A1 A2) = f(A1) f(A2)

b) f(A1 A2) f(A1) f(A2)

c) f(A1 A2) = f(A1) f(A2) cuando f es inyectiva.





Demostración Se prueba el apartado b) y se deja el resto como ejercicio.

Para cualquier bB,

b f(A1 A2) b = f(a), para algún a A1 A2

(b = f(a), a A1) y (b = f(a), a A2)

b f(A1) y b f(A2) b f(A1) f(A2),

de modo que f(A1 A2) f(A1) f(A2).



Definición Si f: A B y A1 A, : A1 B se

denomina restricción de f a A1 si = f(a) para toda a

A1.

af A1 af A1

Definición Sea A1 A y f: A1 B. Si g: A B y g(a) = f(a)

para toda a A1, g se denomina extensión de f a A.

EJEMPLO Sea A = {w, x, y, z}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, A1={w,

y, z}. Sean f: AB, g: A1B. Entonces, g = y f es una

extensión de g de A1 a A. Obsérvese que para la función

dada g: A1 B hay cinco formas de extender g de A1 a A.

1Af

Funciones Suprayectivas: Números de Stirling de 2do Tipo

Definición Si f: A B, f se llama sobre o suprayectiva si f(A)=B (es decir, si para toda b B existe al menos un a A tal que f(a) = b).

EJEMPLO La función f: R R definida por f(x) = x3 es una función suprayectiva pero g: R R dada por x2 no lo es, ya que g(R) =[0, +) R.


4.3 Funciones suprayectivas

EJEMPLO Con A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}, f1 = {(1, z),

(2, y), (3, x), (4, y)} y f2={(1,x), (2, x), (3, y), (4, z)} son

funciones de A sobre B. La función g = {(1, x), (2,x), (3,y), (4,y)} no es suprayectiva, pues g(A) = {x, y} B.



EJEMPLO Si A = {x, y, z} y B = {1, 2}, entonces todas las funciones f: A B son suprayectivas, excepto f1={(x, 1), (y,

1), (z, 1)} y f2={(x, 2), (y, 2), (z, 2)}, funciones constantes;

de modo que hay –2 = 23–2 = 6 funciones suprayectivas de A a B.

AB

En general, si = m 2 y = 2, hay 2m – 2 funciones suprayectivas de A a B.

A B



EJEMPLO Para A = {w, x, y, z} y B = {1, 2, 3} hay 34 funciones de A a B. Si se consideran los subconjuntos de B de tamaño 2, hay 24 funciones de A a {1, 2}, 24 de A a {2, 3}, y 24, de A a {1, 3}; así se obtienen 3(24) = funciones de A a B que no son suprayectivas. Sin embargo, antes de aceptar 34 – como respuesta, ha de tenerse en cuenta que no todas las funciones son diferentes, pues, cuando se tienen en cuenta todas las funciones de A a {1,2}, se elimina entre otras, la función {(w,2), (x,2), (y,2), (z,2)}. Al considerar las funciones de A a {2,3}, se suprime la misma función: {(w,2), (x,2), (y,2), (z,2)}. Por tanto, en el resultado se eliminaron dos veces las funciones constantes. Al adaptar el resultado a esto, se halla que hay 34 – + 3 = funciones suprayectivas de A a B.

422

3

422

3

422

3

444 11

32

2

33

3

3



Si se mantiene B = {1, 2, 3}, para cualquier conjunto A, con . = m 3, hay funciones suprayectivas de A a B.

mmm 11

32

2

33

3

3

A

Los ejemplos anteriores sugieren como fórmula general:para conjuntos finitos A, B con = m n= hay

funciones suprayectivas de A a B.

mnmnmmm nnn

n

nn

n

nn

n

n1

112

212

21

112

mn

k

k knkn

n

1

0

1

n

k

mk knkn

n

0

1

A B





EJEMPLO Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B ={w, x, y, z}. Si se aplica la fórmula general con m = 7, n = 4, hay

funciones de A sobre B.

4

0

773

0

7777 840044

414

4

411

1

42

2

43

3

44

4

4

k

k

k

k kk

kk

El resultado es también la respuesta al siguiente problema: se desea distribuir, 7 objetos diferentes en 4 recipientes distintos sin dejar ningún recipiente vacío. Esto puede resolverse por funciones suprayectivas.

EJEMPLO En la compañía CH, Juana la directora, tiene una secretaría, Teresa, y otras tres auxiliares. Si hay que procesar 7 cuentas, ¿de cuantas formas las puede distribuir Juana para que cada auxiliar trabaje al menos en una cuenta y el trabajo de Teresa incluya, aunque sólo haga eso, la cuenta más elevada?.



Si Teresa trabaja sólo en la cuenta más elevada, entonces las otras seis cuentas se pueden distribuir entre las tres auxiliares administrativas de = 540

formas. (540 = el número de funciones suprayectivas f: A B con = 6, = 3).

Si Teresa trabaja en otra cosa, además de en la cuenta más elevada, las asignaciones se pueden hacer de

= 1560 formas (1560 = el número de funciones suprayectivas g: C D con =6, =4).

Por lo tanto, las asignaciones se pueden hacer de 540 + 1560 = 2100 formas en las condiciones anteriores.

3

0

633

31

k

k kk

A B

4

0

644

41

k

k kk

C D



Ahora se prosigue al análisis de la distribución de objetos distintos en recipientes sin dejar ninguno vacío, pero en este caso los recipientes son idénticos.

EJEMPLO Si A ={a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} hay 36 funciones suprayectivas de A a B, o 36 formas de distribuir 4 objetos diferentes en tres recipientes distintos, sin dejar ninguno vacío (y sin tener en cuenta la posición de los objetos en un recipiente dado). Entre estas 36 distribuciones se halla la siguiente colección de seis (una de las seis posibles):

1) {a, b}1 {c}2 {d}3 2) {a, b}1 {d}2 {c}3

3) {c}1 {a, b}2 {d}3 4) {c}1 {d}2 {a, b}3

5) {d}1 {a, b}2 {c}3 6) {d}1 {c}2 {a, b}3,

Nota: {c}2 significa que c está en el segundo recipiente.

Ahora, si no hay diferencia entre los recipientes, estas 6 = 3! distribuciones se hacen idénticas, de modo que hay 36/(3!) = 6 formas de distribuir los distintos objetos a, b, c, d en tres recipientes idénticos sin dejar ninguno vacío.

En general, para m n hay formas de distribuir m objetos distintos entre n recipientes numerados (y por lo tanto, no idénticos) sin dejar ninguno vacío. Al suprimir los números de los recipientes para que sean idénticos, se halla que hay una distribución de estos n (no vacíos) recipientes idénticos que se corresponde con n! de tales distribuciones de los recipientes numerados. Así, el número de formas para distribuir los m objetos distintos en n recipientes idénticos, sin dejar ninguno vacío, es

mn

k

k knkn

n

01

mn

k

k knkn

n

n

01

!

1

Se observa que para = m n = , hay n! S(m, n) funciones suprayectivas de A a B.

A B



Esto se denota por S(m, n), y se denomina número de Stirling de segundo tipo.

mn

k

k knkn

n

n

01

!

1

En la siguiente tabla se relacionan algunos números de Stirling de segundo tipo.





EJEMPLO Para m n, es el número de formas de distribuir m objetos distintos en n recipientes idénticos, admitiendo la posibilidad de recipientes vacíos. En la cuarta fila de la tabla anterior se observa que hay 1 +7 + 6 = 14 formas de distribuir los objetos a, b, c, d en tres recipientes idénticos con la posibilidad de recipientes vacíos.

n

iimS

1,

Teorema Sea n un número positivo con 1 n m. entonces,

S(m + 1, n) = S(m, n – 1) + nS(m, n).



A a a a am m= { 1 , , , , }2 1

n recipientes idénticos

S(m+1,n)

am+1 está sola en un recipiente

am+1 no está sola en un recipiente

S(m,n-1)1.-Distribuir n objetos en n recipientes.2.- am+1 puede colocarse en uno de estos

nS(m,n)



Demostración Sea A = {a1, a2, ... , am, am+1}. Entonces, S(m

+ 1, n) cuenta el numero de formas en que los objetos de A pueden distribuirse en n recipientes idénticos, sin dejar ningún vacío.



Demostración ...(continuación)

Hay S(m, n – 1) formas de distribuir a1, a2, ... , am, en n – 1

recipientes idénticos sin dejar ninguno vacío. Así al colocar am+1 en el recipiente vacío restante se obtienen S(m, n – 1)

distribuciones contadas de S(m + 1, n), es decir, aquellas distribuciones donde am+1 está sola en un recipiente. Otra

opción es distribuir a1, a2, ... , am, en los n recipientes

idénticos sin que ninguno quede vacío, se obtienen S(m, n) distribuciones. Sin embargo, para cada una de estas S(m, n) distribuciones, los n recipientes se pueden distinguir ahora por su contenido. Al seleccionar uno de los n recipientes distintos para am+1 se tienen nS(m, n) distribuciones del total

de S(m + 1, n) , esto es, aquellas donde am+1 está en el

mismo recipiente que otro objeto de A. El resultado se obtiene mediante la regla de la suma.

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