6 Trigonometra Analtica

Seccin 6.6 Funciones trigonomtricas

inversas

Funciones Inversas Recordar que para

una funcin, f, tenga inversa , f-1 , es necesario que f sea una funcin uno-a-uno.

o Una funcin, f, es uno-a-uno si para cada a b en el dominio de f, f(a) f(b).

o (Cualesquiera dos x diferentes producen dos ys diferentes.)

Funcin que es uno-a-uno

Funcin que NO es uno-a-uno

Funciones Inversas La funcin

inversa, f-1 , invierte la

correspondencia

dada por f .

Esto es, si el par ordenado (u,v)

pertence a f,

entonces (v, u) pertenece f-1

f -1 es una reflexin sobre la recta y = x de f

Relacin entre f y f-1

El dominio de f-1es el campo de valores de f

El campo de valores se f-1 es el dominio de f

1 = para cada x en el dominio de f-1

1 = para cada y en el dominio de f

El punto (a,b) pertenece a la grfica de f si y solo si el punto (b,a) pertenece a la grfica de f-1

Las grficas de f-1 y f son reflexiones sobre la recta y = x, la una de la otra.

Funcin Inversa del Seno Las funciones trigonomtricas, en general,

son peridicas, y por lo tanto NO son uno-a-uno.

Si restringimos el dominio de la funcin del

seno al intervalo

2,

2 entonces

obtenemos una funcin creciente en todo el intervalo y por lo tanto, uno-a-uno .

En este intervalo, la variable y asume todos los valores de la funcin del seno una sola vez.

Funcin del seno dominio restringido

Funcin inversa del seno Si la funcin del seno se restringe a el dominio

2,

2 y su campo de valores es [1, 1]

La funcin inversa del seno, se define como

y = sin-1 x , si y solo si x = sin y

para 1 1 ;

2

2

(En palabras, y es el nmero real (o el ngulo) en

[/2 , /2] cuyo seno es igual a x.)

Nota: sin-1 x tambin se denota arcsin x

Comentarios sobre el rango de sin-1x

Note que 5

6=

1

2, pero 1

1

2

5

6

El campo de valores del 1 es

2,

2,

5

6

2,

2

11

2=

6

Valores del seno inverso

Propiedades de la inversa del seno

Las propiedades generales de la funcin inversa, nos dan la siguientes propiedades

Ejemplo Hallar el valor exacto:

Solucin : (a) Podemos identifcar las soluciones de dos

formas.

Podemos determinar sin-1 () (el valor

numrico en

2,

2 cuyo seno es ), o sea

/6 luego evaluamos sin (/6), que es .

Solucin (contd) Otra forma es aplicar la propiedad de sin-1 :

oComo 1 1

2 1,

(b)

como /2 /4 /2, podemos usar la propiedad de sin-1 para obtener

Solucin (cont) (c)

Como 2/3 no est en [ /2 , /2 ], NO podemos usar la propiedad de sin-1 dada

anteriormente.

En este caso, evaluaremos la expresin interna,sin (2/3), y luego usaremos la definicin de sin-1, como sigue:

Ejemplo Determinar el valor exacto de y si

= sin1 tan3

4

Solucin

Evaluamos, primeramente, la expresin interna.

tan (3/4)

Luego, hallamos el seno inverso de ese nmero.

= 1

= sin1 1 =

2

Coseno inverso El dominio de y = cos-1 se retringe al

intervalo [0, ] .

En [0, ] se obtiene una funcin uno-a-uno ya y = cos x es decreciente en ese intervalo.

y = cos-1 x asume todos los valores de la funcin del coseno una sola vez en [0, ] .

La notacin y = cos-1 x se lee, y es el coseno inverso de x o y es el ngulo con coseno igual a x (con 0 y ).

y = cos-1 tambin se denota y = arccos x

Coseno Inverso (cont)

Valores del Coseno Inverso

Ejemplo Hallar el valor exacto del sin

2

3

Solucin

Si = arccos (), entonces usando la definicin de la funcin de coseno inverso, tenemos que

Por lo tanto est en el cuadrante II.

Solucin (cont)

Por el teorema

de pitgora

tenemos que el

lado opuesto a

R es

Funcin de la tangente inversa

Para que la funcin tangente tenga inversa, restringimos su dominio al intervalo abierto

(/2, /2), para obtener una funcin creciente uno-a-uno.

Usamos esta nueva funcin para definir la inversa.

Properties de la funcin tangente

inverso Tal como ocurri con sin-1 y cos-1, tenemos

las siguientes properties for tan-1:

Ejemplo Hallar el valor exacto:

a.

b.

C.

Ejemplo Hallar el valor exacto de

tan (arctan 3 arctan 2). Solucin:

Digamos que x = arctan 3 ; y = arctan 2

Esto implica que tan x = 3; tan y = 2

Adems, tan (arctan 3 arctan 2)= tan (x y)

Usando la frmla para la diferencia de ngulos tenemos

que

tan (x y)= tan tan

1+tan tan =

32

1+32 =

1

1+6 =

1

7

Ejemplo

Solucin:

Digamos que u = tan-1 () ; v = cos-1 ()

Esto implica que tan u = ; cos v =

Adems, sin (tan-1 () + cos-1 ()) = sin (u + v)

Usando la frmula para la suma de ngulos

tenemos que

sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v

Hallar el valor exacto de

sin (tan-1 () + cos-1 ()).

Solucin (cont) De tan u =

tenemos que

sin u = cos u =

De cos v =

tenemos que

sin v =

cos v =

Ahora sin(u+v) = sin u cos v + cos u sin v

= 1

5

4

5 +

2

5

3

5

= 4

5 5+

6

5 5 =

10

5 5 =

2

5

1

5

2

5

3

5

4

5

= 2 5

5

Ejemplo

Determinar el valor de , aproximado a la

dcima ms cercana.

Solucin:

Debe notar que NO est en un tringulo rectngulo, pero se forma un tringulo

recto con la suma de los

ngulos + .

Solucin

tan + =

+ = tan13

4

= tan13

4

Como tan =22

40=

11

20, tenemos que

= tan111

20

8 + 22

40=

30

40=

3

4

Solucin (cont) Solucin:

= tan111

20

= tan13

4 tan1

11

20

Usando la TI-89, podemos aproximar

= Que en grados es 8