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Introducción Balance de armónicos Propiedades Cálculo y ejemplos
Función descriptiva
Pablo Monzón
Departamento de Sistemas y ControlInstituto de Ingeniería Eléctrica (IIE)
Facultad de Ingeniería-Universidad de la RepúblicaUruguay
Análisis y control de sistemas no linealesSegundo semestre - 2017
Introducción Balance de armónicos Propiedades Cálculo y ejemplos
Contenido
1 Introducción
2 Balance de armónicos
3 Propiedades
4 Cálculo y ejemplos
Introducción Balance de armónicos Propiedades Cálculo y ejemplos
Función descriptiva
Es un procedimiento de análisis para una clase de sistemas nolineales que permite intuir la existencia o no de ciclos límites.
No es exacto, como veremos, ya que se basa en una aproximaciónque simpli�ca el análisis.
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Previo
Respuesta de un sistema lineal a una entrada sinusoidal
Consideremos un sistema lineal de transferencia G(jω) y unaentrada u(t) = A sin(ω0t).
Sabemos que la respuesta en régimen del sistema lineal será de laforma
y(t) = A.|G(jω0)|. sin [ω0t+ arg G(jω0)]
lo anterior se extiende a señales periódicas, a través de la serie deFourier.
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Previo
Respuesta de un sistema lineal a una entrada sinusoidal
Si la entrada periódica es:
u(t) =∑n∈Z
cn(u)ejnω0t
su respuesta en régimen vale:
y(t) =∑n∈Z
cn(u)G(jnω0)ejnω0t
El n-ésimo coe�ciente de Fourier de una señal periódica g(t), deperiodo τ (pulsación ω0 = 2π
τ ) se calcula como
cn(g) =1
τ
∫ τ
0
g(t)e−jnω0tdt
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Planteo del problema
Consideramos sistemas no lineales que pueden describirse por el siguientediagrama de bloques:
donde el sistema lineal G(s) = C (sI −A)−1B es la transferencia de un
sistema lineal SISO.
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La función ψ es una no linealidad de sector [α, β]:
α ≤ Ψ(y)
y≤ β ⇔ α.y2 ≤ y.Ψ(y) ≤ β.y2
Asumiremos también que la no linealidad es impar.
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Balance de armónicos
Consideremos una respuesta periódica de pulsación ω;
donde cada ck es función de todos los ak.
Al ser G un sistema lineal, su respuesta en régimen veri�ca la siguienterelación entre los coe�cientes de Fourier:
G(jkω).ck = −ak , k ∈ Z
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Balance de armónicos
Para resolver el sistema de in�nitas ecuaciones, vamos a plantear unasimpli�cación, basada en la hipótesis de que G(s) se comporta como un�ltro pasabajos.
Hipótesis
Supongamos que el sistema lineal �ltra todos los armónicos, excepto elprimero
G(jkω) ≈ 0 , |k| > 1
Entonces:
G(0).c0 = a0 , G(jω).c1 = a1 , G(−jω).c−1 = a−1
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Balance de armónicos
Sabemos que G(−jω) = ¯G(jω) y que a−1 = a1.
Observemos que si y(t) ≈ a0 + a. sin(ωt), entonces a1 = a2j .
Supongamos a0 = 0 (nos concentramos en la parte que oscila).Obtenemos el balance del primer armónico:
G(jω).c1 + a1 = 0⇔ G(jω).
(c1a1
)+ 1 = 0 si a1 6= 0
De�namos una suerte de ganancia, que llamaremos función
descriptiva:
Φ(a) =c1a1
=1T
∫ T0
Ψ (a. sin(ωt)) .e−jωtdt
a/2j
Entonces, debe ser G(jω).Φ(a) + 1 = 0
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Detección grá�ca de oscilaciones
Si realizamos el ploteo simultáneo de G(jω) y − 1Φ(a) , los puntos de
cortes de ambos grá�cos nos darán posibles amplitudes y frecuencias deoscilación.
Parece existir una oscilación de amplitud a y pulsación ω0.
Es posible ir más allá de la posibilidad. Ello en general requiere máshipótesis y más conocimiento del sistema (ver (Khalil, 1996) y referenciasallí indicadas).
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Propiedades de Φ(a)
Calculemos c1 = 1T
∫ T0
Ψ (a. sin(ωt)) .e−jωtdt:
c1 =1
T
∫ T
0
Ψ (a. sin(ωt)) . [cos(ωt)− j sin(ωt)] dt
c1 =−jT
∫ T
0
Ψ (a. sin(ωt)) . sin(ωt)dt (Ψ impar)
Como Φ(a) = c1a1
y a1 = a/2j,
Φ(a) =−jT
∫ T0
Ψ (a. sin(ωt)) . sin(ωt)dt
a/2j=
2
aπ
∫ π
0
Ψ (a. sin(θ)) . sin(θ).dθ
donde hemos puesto ωt = θ y hemos usado la imparidad de Ψ.
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Propiedades de Φ(a)
Φ(a) =2
aπ
∫ π
0
Ψ (a. sin(θ)) . sin(θ).dθ
De la expresión de Φ(a) se ve que siempre es real y no depende de ω.
La ecuación de balance armónico queda así:{re [G(jω)] .Φ(a) + 1 = 0
im [G(jω)] = 0
(Ejercicio) Si Ψ ∈ [α, β], entonces α ≤ Φ(a) ≤ β.Se puede extender la idea al caso de la histéresis; la funcióndescriptiva resulta ser compleja.
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Ejemplos de Φ(a)
ON-OFF Φ(a) = 4aπ
Φ(a) =2
aπ
∫ π
0
Ψ(a sin(θ)). sin(θ)dθ =2
aπ
∫ π
0
sin(θ)dθ = − 2
aπcos(θ)|π0
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Ejemplos de Φ(a)
Saturación Φ(a) = 2π .[sin−1
(1a
)+ 1
a .√
1− 1a2
]
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Ejemplo
Ecuación de Rayleigh
Consideremos el sistema
z − εz + z = − ε3z3
Puede pensarse en el contexto que vimos, con
G(s) =εs
s2 − εs+ 1, Ψ(y) =
1
3y3
Calculemos la función descriptiva
Φ(a) =2
aπ
∫ π
0
(a sin(θ))3
3sin(θ)dθ =
2a2
3π
∫ π
0
sin(θ)4dθ =a2
4
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Ejemplo
Ecuación de Rayleigh
La condición de oscilación da
re [G(jω)] = − ε2ω
(1− ω2)2 + ε2ω2
im [G(jω)] = − εω(1− ω2)
(1− ω2)2 + ε2ω2
Obtenemos ω = 1 ⇒ Φ(a) = G(j) = 1 ⇒ a = 2.
Concluimos que probablemente exista un ciclo límite de pulsacióncercana a 1 y de amplitud cercana a 2.
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Ejemplo
