Func ţia exponen ţial ă şi func ţia logaritmic ă · Pag.2 ln 1e = REFERAT Func ţia exponen ţial ă 1). Puteri cu exponent real a). Puteri cu exponent real pozitiv Fie a >

Pag.1 ln 1e = REFERAT

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică

1. Funcţia exponenţială

1) Puteri cu exponent natural nenul; 2) Semnul puterii cu exponent natural; 3) Puterea produsului şi a câtului a două numere reale; 4) Înmulţirea puterilor care au aceaşi bază; 5) Ridicarea unei puteri la altă putere; 6) Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază; 7) Compararea puterilor; 8) Funcţia putere. 9) Puteri cu exponent negativ; 10) Funcţia putere de exponent negativ.

2. Logaritmi 1) Radicalul unui număr pozitiv; 2) Funcţia radical; 3) Radicalul de ordin impar al unui număr negativ ; 4) Proprietăţile radicalilor ; 5) Operaţii cu radicali ; 6) Ecuaţii iraţionale.

3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice 1) Puteri cu exponent raţional pozitiv; 2) Puteri cu exponent raţional negativ; 3) Funcţia putere de exponent raţional

4. Sisteme inecuaţii exponenţiale şi logaritmice. Inecuaţii. 5. Aplicaţii. Evaluare. Test de evaluare


Funcţia exponenţială

1). Puteri cu exponent real a). Puteri cu exponent real pozitiv Fie a > 1. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile :

,,,

nn xx aya <≤ , unde numărul real x>0 are reprezentărie zecimale x′ şi x ′′ prin lipsă şi repectiv prin ados cu o eroare mai micş decât n−10 .

Numărul y dat de definiţia precedentă se notează xa şi se citeşte a la puterea x. Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr

real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile : ,,,

nn xx aya ≤< .

Atenţie ! Oricare ar fi a > 0 şi x > 0 are loc xa > 0. b). Puteri cu exponent real negativ

Dacă a > 0 şi x > 0 este un număr real negative, atunci prin definiţie are loc:

xx

aa −= 1

.

Prin convenţie se scrie 10 =a . c). Proprietăţi ale puterilor cu exponent real

1. yxyx aaa +=⋅ ; 2. yxyx aaa −=: ; 3. yxyx aa ⋅=)( ;

4. xxx baba ⋅=⋅ )( ;

5. )(:)(: xxxx baaa = . 2). Funcţia exponenţială Definiţie. Funcţia f:R→(0,+∞), f(x) = xa , unde a > 0, a ≠ 1 se numeşte funcţia exponenţială de bază a. Proprietăţi

1). a). Dacă a >1, atunci pentru x > 0 avem xa >1 ar loc xa > 1, iar pentru x < 0 are loc xa < 1. b). Dacă 0 <a <1, atunci pentru x > 0 avem xa <1, iar pentru x < 0 avem xa > 1. 2). Dacă x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc 10 =a


3). Pentru a > 1, funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1, funcţia este strict descrescătoare. 4). Funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa , a > 0, a ≠ 1 este bijectivă.

Demonstraţie.Se arată că f este injectivă. Fie, R∈21,xx astfel încât 21 xx ≠ . Atunci are

loc 21 xx < sau 21 xx > . Să presupunem, de exemplu, că 21 xx < . Atunci, după monotonia funcţiei exponenţiale, rezultă că : 1). Dacă a > 1, atunci )()( 21 xfxf < şi deci )()( 21 xfxf ≠ .

2). Dacă 0<a>1, atunci )()( 21 xfxf > şi deci )()( 21 xfxf ≠ .

Analog, rezultă pentru 21 xx > . Deci f este injectivă. Surjectivitatea nu se poate demonstra în clasa a X-a. Dar, dacă se foloseşte graficul, se observă că oriceparalelă dusă prin puncteale codomeniului (0, +∞) graficul funcţiei este interesctat în cel puţin un punct. 5). Funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa , a > 0, a ≠ 1 este inversabilă. Inversa funcţiei exponenţiale se numeşte funcţie logaritmică. 3). Graficul funcţiei exponenţiale Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte. Exemplu.

Să se construiască graficul funcţiei f:R→(0,+∞), f(x) = xa , pentru

∈

21

,2a .

Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞

f(x)

81

41

21

1 2 4 8

x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞

f(x) 27− 4− 2− 1

21

4 27


.............................

145,12414,1

42,1241,1

5,1,24,1

221

<≤

<≤

≤

<≤

⇒

Graficele celor două funcţii sunt reprezentate mai jos :

Analizând cele două grafice, constatăm că ele au următoarele proprietăţi :

1. Graficele se găsesc deasupra axei Ox ; 2. Trec prin punctul de coordonate (0, 1) ; 3. Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care ,,urcă’’ 4. Graficul se apropie din ce în ce mai mult de axa Ox pozitivă dacă dacă 0<a<1 şi

de Ox negativă dacă a > 1. CE TREBUIE SĂ ŞTIM

1. Orice putere raţională de forma n

m

a se poate scrie sub forma unui radical de

forma n ma . 2. Dacă a>1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent raţional pozitivale ale acestui număr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mare. 3. Dacă 0 < a <1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent raţional pozitivale ale acestui număr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mic.

4. Prin numărul real 23=y se înţeleg aproximările:

−1 −2 −3 1 2 3 x

C B

D

E

F

y

27 4 2 1 O −1 −2 −3 1 2 3 x

27 4 2 1 O

C B D

E

y f(x)= x2 f(x)=

x

21

.........................

33

33

33

33

145,1414,1

42,141,1

5,14,1

21

<≤

<≤<≤

<≤

y

y

y

y


.............................

145,12414,1

42,1241,1

5,1,24,1

221

<≤

<≤

≤

<≤

⇒

Probleme rezolvate

E1. C3-1. Ce se înţelege prin numărul real 2

31

=y se înţeleg aproximările:

E1. C3-1. Rezolvare

E2. C31-1. Să se demonstreze că funcţia f:R→(0,+∞), f(x) = x3 este strict crescătoare. E2. C3-1. Rezolvare. Din 21 xx < , rezultă că există u > 0 astfel încât uxx += 12 . Atunci

)1(11121 uxuxxxx aaaaaa −=−=− +şi deoarece u > 0 după proprietatea funcţiei

exponenţiale rezultă că 1>ua . Aşadar, ,0101 <−∧> ux aa de unde 0)1(1 <− ux aa .

Înseamnă că 021 <− xx aa ⇒ ⇒<⇒< )()( 2121 xfxfaa xx f strict crescătoare.

E3. C32-1. Să se aducă la forma cea mai simplă ( ) 26

8

3

14

8

−.

E3. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv:

( ) 26

8

3

14

8

−= ( ) 26

8

3

13

8

−=

26

8

3

13

2

1

8

= ( ) 26

8

3

13

2

1

8

⋅− = ( ) 26

8

3

13

2

132

⋅−=

26

6

3

13

2

13

2

⋅⋅⋅−=

26

8

1

13

2

1

2

⋅⋅−= 26

8

2

13

2⋅−

= 2

8

2

1

2⋅−

=4

22

21

⋅

=2

2

21

.

E4. C3-1. Să se compare m şi n dacă este adevărată inegaitatea:

.........................

3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

3

1

3

1

144,1415,1

41,142,1

4,15,1

12

≤<

≤<

≤<

≤<

y

y

y

y


nm )23()23( −≥− .

E4. C3-1. Rezolvare. Baza fiind subunitară 1230 <−< , pentru adevărul inegalităţii rezultă m ≤ n. E5. C3-1. Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care:

1)10()01,0( 3 <⋅ x . E5. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv :

1)10()01,0( 3 <⋅ x ⇔ 1101001 2

13

<⋅

⋅⋅x⇔ 110)10( 2

132 <⋅

⋅⋅− x⇔

⇔ 11010 2

132 <⋅

⋅⋅⋅− x⇔ 02

61010 <

⋅+− x

⇔ 02

6 <+− x ⇔ )12,(−∞∈x .

E6. C3-1. Sunt echivalente inegalităţile 1

31

91

−

>

xx

şi 12 −< xx ?

Fişă de studiu S1. C3-1. Să se afle care număr din perechile de numere este mai mare:

a). 13)5,0( − şi 132 ; b). 35 şi 5,25 ; c). 11 36 şi 15 76 . S2. C3-1. Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care este adevărată inegalitatea :

a). 7293 ≤x b). 13811 >⋅

x

; c). 25,0)2(32 3 >⋅ x .

S3. C3-1. Să se compare m şi n dacă este adevărată inegalitatea:

a). nm )3()3( ππ ≤ b). nm

>

165

165 ππ ; c). nm )37()37( −≤− .

S4. C3-1. Comparaţi numerele cu 1:

a). 2

1

)5( b). 5

51

; c). 2

3

)23(−

− ; d. 2

41

−

+π.

S5. C3-1. Să se afle x astfel încât x

x

aa

> 1, unde a >0 este un număr real pozitiv.

S6. C3-1. Să se demonstreze că funcţia f:R→(0,+∞), f(x) = x3 este strict crescătoare.

S7. C3-1. Să se studieze monotnia funcţiiei f:R→(0,+∞), f(x) =1

51

+

x

S7. L2-1. Să se traseze graficul funcţiilor RR →:f :

a). xxf 3)( = ; b). 12)( −= xxf ; c). ||2)( xxf = ;

d). 22)( −= xxf ; e). ||2)( xxf −= ; c). xxf 32)( ⋅= .


S7. C3-1. Să se traseze graficul funcţiilor RR →:f :

a). x

xf

=31

)( ; b). 1

21

)(−

=x

xf ; c). 121

)(||

−

=x

xf ;

d). 121

)( +

=x

xf ; e). x

xf−

=31

)( ; c). x

xf

⋅=41

2)( .

Logaritmi 1). Logaritmi Fie a>0 un număr realşi a≠1. Ecuaţia de forma 0, >= NNa x (1) are o soluţie unic

determinată notată prin: Nx alog= (2).

Nalog se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a.

Din (1) şi (2) se obţine Na Na =log , care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obţine numărul dat. De exemplu, a calcula 32log2 ,înseamnă a găsi un număr real x aşa încât să avem x2 = 32. rezultă x = 5. a). În practică se folosesc logaritmii în baza zece care se mai numesc logaritmi zecimali. Se notează cu lg în loc de 10log

a). În matematică se folosesc logaritmii în baza ...718281,2=e care se numesc logaritmi

naturali şi se notează cu ln în loc de elog .

2). Proprietăţile logaritmilor

1. Dacă A şi B sunt două numere positive, atunci are loc: BABA aaa loglog)(log +=⋅ .

Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive nAAA ...,,, 21 şi avem :

=⋅⋅⋅ )...(log 21 na AAA ⋅)(log 1Aa ⋅⋅ ...)(log 2Aa )(log na A .

2. BAB

Aaaa logloglog −=

.

3. Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci are loc : BmA a

ma loglog = .

4. Dacă A este un număr pozitiv şi n ≥ 2 un număr natural, atunci are loc :

An

A an

a log1

log ⋅= . Proprietatea 4 poate fi privită ca un caz particularal proprietăţii 3.

3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr


Dacă a şi b sunt două numere pozitivediferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea:

bAA aba logloglog ⋅=

Numită formula de schimbare a bazei unui logaritm. Dacă în egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devineaaa ;

abba

baab log

1log1loglog =⇒=⋅ .

4). Operaţia de logaritmare a unei expresii Operaţia de logaritmare are scopul de a transforma operaţii complicate de înmulţire, împărţire şi ridicare la putere în operaţii de adunare, scădere şi împărţire la numere naturae.

Să se logaritmeze expresia: E = 7337232

5123115 35

⋅⋅⋅⋅

Se logaritmează expresia într-o bază oarecare a :

=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= )7337232(log)5123115(log7337232

5123115loglog 35

35

aaaa E =

=

++⋅−++ )733log72log32(log2

1)51log231log15log 35

aaaaa

=

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+ )733log2

172log

2

132log

2

151log

3

1231log

5

115log aaaaaa .

În general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem o expresie, notată logE , în care apar sume, diferenţe de logaritmi înmulţite cu anumite numere raţionale.

5). Funcţia logaritmică Prin definiţie, se numeşte funcţie logaritmică funcţia xxff alog)(),,0(: =+∞→R ,

unde a > 0, a ≠ 1. Proprietăţi :

1. 0)1( =f , ceea ce înseamnă că 01log =a .

2. Funcţia logaritmică este monotonă şi anume dacă a>1, funcţia este strictcrescătoare, iar dacă 0<a <1, funcţia este strict descrescătoare.

3. Funcţia logaritmică este bijectivă. 4. Funcţia logaritmică este inversabilă. Inversafuncţiei ligaritmice în baza a este

funcţia exponenţială xaxff =→+∞ )(,),0(: R .

Dacă x ),0( +∞∈ avem xaxgxfgxfg xa

a ==== log)(log))(())(( ο

şi dacă R∈y , atunci yaafygfygf ya

y ==== log)())(())(( ο .

6). Graficu funcţiei exponenţiale Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte.


Exemplu

Să se construiască graficul funcţiei f: (0,+∞)→R, f(x)= xalog , pentru

∈

21

,2a .

Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x 0

81

41

21

1 2 8

+∞ f(x) | 3− 2− 1− 0 1 3

x

0 81

41

21

1 2 8

+∞ f(x) | 3 2 1 0 −1 −3

Graficele celor două funcţii reprezentate mai jos au proprietăţile :

1).Graficele se găsesc la dreapta axei Oy ; 2).Trec prin punctul de coordonate (1, 0) ; 3).Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care ,,urcă’’ dacă baza a > 1 şi ,,coboară’’ dacă baza 0<a<1

4).Graficul se apropie din ce în ce mai mult de axa Oy pozitivă dacă 0<a<1 şi de axa Oy negativă dacă a > 1. 5).Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţieiexponenţiale faţă de prima bisectoare.

f(x)= x2log f(x)= x2

1log

1 2 3 x

y

1 2 3 x

y


Probleme rezolvate

E1. C3-2. Să se calculeze: a). 128log2 ; b). 271

log3 ; c). 001,0log10 .

E1. C3-2. Rezolvare. a). 128log2 =x ⇒ 6221282 6 =⇒=⇒= xxx ;

b). 271

log3 =x ⇒ 333271

3 3 −=⇒=⇒= − xxx ; c). 001,0log10 =x⇒

⇒ 31010001,010 3 −=⇒=⇒= − xxx .

E2. C3-2. Să se calculeze: a). 125log1000log 22 − ; b). 53 81log ;

c). 121

log541

log 66 + ; d). 5lg21

125lg225lg3 ⋅−+⋅ .

E2. C3-2. Rezolvare

a). 3132log32log8log1251000

log125log1000log 23

22222 =⋅=⋅====−

b). 54

1451

3log51

81log51

81log 433

53 =⋅⋅=⋅=⋅= ;

c). 4146log61

log121

541

log121

log541

log 4646666 =⋅−===

⋅=+ −

d). 2

9

2

15

2

1

3223

5lg5lg

5

55lg

5

12525lg5lg

2

1125lg225lg3 ==⋅=⋅=⋅−+⋅

−

E3. C3-2. Să se arate că expresia x

xE

3

2

loglog= nu depinde de x.

E3. C3-2. Rezolvare. Avem

12log

12loglog

logloglog

222

2

3

2 ==⋅

==x

x

x

xE .

E4. C3-2. Să se reprezinte pe acelaşi sistem de axe graficele funcţiilor : xxff 3)(,),0(: =→+∞ R şi xxfg 3log)(),,0(: =+∞→R .

E4. C3-2. Rezolvare. Se întocmesc tabele de valori pentru cele două funcţii, considerând valori care să se poată calcula uşor.

x −∞ 3− 2− −1 0 2 3 +∞

f(x) −

271

91

31− 1 9 27

x

0 −271

91

31− 1 3 9

+∞


g(x) | 3− 2− −1 0 1 2

Graficele celor două funcţii sunt simetrice faţă de prima bisectoare a sistemului de axe Oxy. Fişă de studiu S1. C3-2. Să se calculeze:

a). 54

log5log 22 + ; b). 367

log7log 66 − ;

c). 5,0log50log 1,01,0 − ; d). 2log12log3log2

1

2

1

2

1 +− .

S2. C3-2. Care dintre următoarele numere este mai mare:

a). 54

log5log 22 sau ; b). 71

log21

log 55 sau ;

c). 10log2 3sau ; d). 7log3 2sau ;

S3. C3-2. Să se determine valorile lui x pentru ca următorii logaritmi să aibă sens : a). )1(log2 −x ; b). )2(log 2

4 −+ xx ;

c). )(loglog 24 x ; d). )(loglog2

1

2

1 x .

S4. C3-2. Determinaţi valorile lui x pentru care: a). 4loglog 33 >x ; b). 1)6(log 2

4 >−+ xx ;

c). )44(log1(log 62

6 +≥− xx ; d). 0)2(log2

1 ≥x .

S5. C3-2. Ştiind că lg7 = p şi lg5 = q , să se exprime în funcţie de p şi q

a). 7,0lg ; b). 3 7lg ; c). 175lg ; d). 57lg . S6. C3-2. Să se determine expresia lui x astfel încât ;

a). 5log4log3loglog 2222 −+=x ;

b). )(log4)(log3log2log 3333 babaax −−++= ;

c). 5log46log37log2log aaaa x −+=

Gf

1

y= x

x

y

Gg

O 1


S7. C3-2. Să se arate că expresiile următoare nu depend de x

a). 28

27

loglog

x

xE = ; b).

xx

xxF

33

22

loglog

loglog

++= .

S8. C3-2. Să se logaritmeze expresiie:

a). 13 42 354141 ⋅⋅=E ; b). 5 7 113141421 ⋅⋅=F ;

c).

babab

ababaT = ; d).

ba

ba

ba

baS

−+⋅

+−=

)(3)(2

.

S8. C3-2. Să se reprezinte graphic funcţiile: a). )1(log)(,),1(: 211 +=→+∞− xxff R ;

b). 3222 log)(,),0(: xxff =→+∞ R ;

c). 2513 log)(,}0{\: xxff =→ RR ;

d). |3|log)(,}3{\: 644 −=→ xxff RR .

Ecuaţii

1). Ecuaţii exponenţiale Se numeşte ecuaţie exponenţială, ecuaţia în care necunoscuta este exponent sau în

care este exponentul este o expresie. În practică, atunci când avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă exponenţilor şi bazei atunci când este cazul ; Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ; Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul 0,1,0,)( >≠>= baaba xf .

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia : bxf alog)( = . În aceste ecuaţii b trebuie exprimat ca o putere a ui a(atunci când este

posibil).

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 6255 22

=−− xx .

⇒=−− 6255 22 xx 064255 22422

=−−⇒=−−⇒=−− xxxxxx . Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = {−2,3}. b). Ecuaţii de tipul 1,0,)()( ≠>= aaaa xgxf .

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică )()( xgxf = , care se rezolvă cu metode cunoscute.


Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 24 932 −−− = xxx .

24 932 −−− = xxx

⇒ 06)2(2433 22)2(242

=−⇒−=−−⇒= −−− xxxxxxxx . Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = {0,6}. c). Ecuaţii de tipul 1,0,1,0,)()( ≠>≠>= bbaaba xgxf .

În acest caz se logaritmează ecuaţia convenabil întro anumită bază şi apoi se fac transformări pentru a obţine o ecaţie algebrică mai simplă. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 1232 += xx . Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice se obţine prin logaritmare în baza 10 ecuaţia echivalentă :

2lg3lg23lg

3lg)2lg3(lg3lg)12(2lg−

−=⇒−=−⇒+= xxxx .

d). Ecuaţii de tipul R∈≠>=+⋅+ pnmaapanma xfxf ,,,1,0,0)()(2 .

În acest caz se face substituţia 0,)( >= tta xf şi se formează o ecuaţie

de gradul doi, de forma 02 +++ pntmt , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct dacă egalitatea dată iniţia este adevărată. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 27224 =+ xx . Se observă o substituţie de forma 0,2 >= ttx :

27224 =+ xx⇒ 02722)2(2722)2( 22 =−+⇒=+ xxxx .

Ecuaţia de gradul doi ataşată 02722 =−+ tt , are soluţiile }16,17{−∈t . Revenind la

substituţie, se acceptă numai t = 16. Se obţine 4162 =⇒= xx . d). Ecuaţii de tipul

1,0,1,0,0)()( ≠>≠>=++ bbaacba xgxf .

Ecuaţia de gradul doi ataşată 02722 =−+ tt , are soluţiile }16,17{−∈t . Revenind la

substituţie, se acceptă numai valoarea pozitivă t = 16. Se obţine 4162 =⇒= xx . 2). Ecuaţii logaritmice

Se numeşte ecuaţie logaritmică, ecuaţia în care necunoscuta este sub logaritm sau la baza logaritmului. În practică, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă asupra bazei logaritmului şi a expresiilor de sub logaritm ; Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţiele funcţiei logaritmice şi a logaritmilor până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ; Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.


a). Ecuaţii de tipul ,1,0,)(log ≠>= aabxfa .

Pe baza definiţiei logaritmului ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia de forma baxf =)( . De aici se obţin soluţiile. b). Ecuaţii de tipul 1,0,1,0),(log)(log ≠>≠>= bbaaxgxf ba .

Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică )()( xgxf = , care se rezolvă. c). Ecuaţii de tipul

R∈≠>=+⋅+ pnmaapxfnxfm aa ,,,1,0,0)(log)(log2 În acest caz se face

substituţia R>= ttxfa ,)(log şi se formează o ecuaţie de gradul doi, de forma

02 +++ pntmt , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct ca egalitatea dată iniţial să fie adevărată. 3). Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi logaritmce

Se numeşte sistem de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice, sistemul în care necunoscutele sunt la exponent, la baza unui logaritm sau în expresii sub logarimi. În practică, atunci când avem de rezolvat un sistem de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă asupra bazelor, exponenţilor atunci când este cazul ; Pasul 2. se fac transformări şi substituţii convenabile folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale şi logaritmice până se obţin sisteme agebrice cunoscute ; Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului sistemului sau se fac veificări în ecuaţiile sistemului dat iniţial.

4). Inecuaţii exponenţiale şi logaritmce Se numesc inecuaţii exponenţiale sau logaritmce, inecuaţiile în care

necunoscutele sunt la exponent, la baza unui logaritm sau în expresii sub logarimi. În practică, atunci când avem de rezolvat o inecuaţie exponenţială sau logaritmică, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă asupra bazei, exponenţilor, expresiilor desub logaritmi, atunci când este cazul ; Pasul 2. se fac transformări şi substituţii convenabile folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale şi logaritmice până se obţin inecuaţii agebrice cunoscute ; Pasul 3. se rezolvă inecuaţiile obţinute. Pasul 4. se intersectează souţiile obţinute cu nulţimea de existenţă impusă pentru a obţinesoluţia finală.


Pentru inecuaţii exponenţiale Se observă că :

a). Dacă baza exponenţialei a >1, sensul inegalităţii dintre imagini se păstrează pentru argumente.

b). Dacă baza 0 < a < 1, sensul inegalităţii dintre imagini se schimbă pentru argumente.

Exemplul 1. Să se rezolve inecuaţia :81

2 42

>− xx .

Inecuaţia nu are restricţii, domeniul maxim fiind R. Deoarece 3281 −= şi folosind faptul că

baza este supraunitară, se obţine: ),3()1,(03434 22 +∞∪−∞∈⇒>+−⇒−>− xxxxx .

Pentru inecuaţii logaritmice Se observă că :

a). Dacă baza logaritmului este a >1, sensul inegalităţii dintre imagini se păstrează pentru argumente.

2121 xxaa xx ≤⇔≤

x

y

O x1 x2

f(x1) ≤ f(x2)

x

y

O x1 x2

f(x1) ≤ f(x2)

2121 xxaa xx ≥⇔≤

2121 loglog xxxx aa ≤⇔≤

x

y

O x1 ≤ x2

f(x1) ≤ f(x2)

x

y

O

x1 ≤ x2

f(x1) ≥ f(x2)

2121 loglog xxxxa ≤⇔≥

a>1 0<a<1

a>1 0<


b). Dacă baza logaritmului este 0 < a < 1, sensul inegalităţii dintre imagini se schimbă pentru argumente. Exemplul 2. Să se rezolve inecuaţia : 27log)12(log 3

3

1 >−x .

Domeniul inecuaţiei este cerut de ),21

(012 +∞∈⇒>− xx . Deoarece 327log3 −= ,

rezultă că ),2(312 +∞−∈⇒−>− xx ,

Soluţia inecuaţiei este dată de intersecţia : ),21

(),2(),21

( +∞=+∞−∩+∞∈x

Probleme rezolvate

E1. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : xx 57 75 = .

E1. C3-3. Rezolvare. Se logaritmează ţn baza 10 :

xx 57 75 = ⇒ ⇒= 7lg55lg7 xx

7lg5lg

57 =

x

.

Printr-o nouă logaritmare în aceeaşi bază, rezultă

5lg7lg))5lg(lg())7lg(lg(

))5lg(lg))7lg(lg57

lg7lg5lg

lg57

lg−−=⇒−=⇒= xxx

E2. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : 31322 4753 +−− ⋅=⋅ xxxx . E2. C3-3. Rezolvare. Se logaritmează în baza 10 :

4lg)3(7lg)1(5lg)32(3lg2 ++−=−+ xxxx După calcule şi scoaterea factorului comun x, rezultă că :

⇒+−=−−+ 4lg37lg5lg3)4lg7lg5lg23lg2(x

⇒

28225

lg

764125

lg

475lg23lg2

4lg37lg5lg3⋅

=⇒−−+

+−= xg

x .

E3. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : 2)9(log 2 =+− xxx .

E3. C3-3. Rezolvare. Condiţiile de existenţă pentru logaritm sunt :

),0(0

09

1

0

2

+∞∈⇒>⇒

>+−≠>

xx

xx

x

x

.

După transformarea membrului doi în logaritm şi din propretatatea de injectivitate a funcţiei logaritmice, rezultă ecuaţia:

99 22 =⇒=+− xxxx . E4. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : xxx 946 =+ . E4. C3-3. Rezolvare


Ecuaţia se poate rezova printr-o substituţie. Se observă că prin împătrţirea la x9 se obţine

⇒=

+

194

96

xx

⇒ 132

32

2

=

+

xx

. Făcând substituţia 0,32 >=

ttx

, rezultă că

ecuaţia ataşată 12 −+ tt =0 are soluţiile 2

512,1

±−=t .

Pentru soluţia pozitivă acceptată se obţine soluţia ecuaţiei date printr-o logaritmare în

baza 10:

32

lg

215

lg−

=x .

E5. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : )3lg()15lg( 2 −=− xx . E5. C3-3. Rezolvare. Condiţiile de existenţă sunt :

),15(15

03,015

110

010

+∞∈⇒>⇒

>−>−≠>

xx

xx

Din proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice, rezultă egalitatea argumentelor :

}4,3{2

491012315 2,1

22 −∈⇒±=⇒=−−⇒−=− xxxxxx .

Souţia acceptată de condiţiile de existenţă este x = 4.

E6. C3-3. Să se rezolve sistemul :

=⋅⋅=

−+

+−

12

2412

8133

324327xyx

xy

E6. C3-3. Rezolvare. Nu sunt necesare condiţii de existenţă pentru ecuaţiile sistemului. Mulţimea maximă este R××××R. După transformări ale puterilor se obţine sistemul

echivalent

==

−+

+−

34

7436

33

33xyx

xy

⇔

−=++=−

34

7436

xyx

xy⇔ )}3,2{(

3

2=⇒

==

Sy

x.

E7. C3-3. Să se rezolve sistemul :

=+=+

2lglg

42522

yx

yx

E7. C3-3. Rezolvare. Se impun condiţiile de existenţă pentru ecuaţiile

sistemului :

+∞∈+∞∈

⇒>>

),0(

),0(

0

0

y

x

y

x. Se obţine succesiv :

⇒=

=+2)lg(

42522

xy

yx

=±=

⇒

==−

==+

⇒=

=+100

25

100

4252100

4252

22

p

s

p

ps

pxy

syx

xy

yx.

Sistemul simetric are soluţiile simetrice


==

100

25

p

s⇒ }20,5{010025 2,1

2 ∈⇒=+− ttt ⇒ )}5,20(),20,5{(=S

Al doilea sistem simetric cu soluţiile ecuaţiei ataşate

=−=100

25

p

s⇒ }5,20{010025 2,1

2 −−∈⇒=++ ttt ,

nu verifică condiţiile ini ţiale ale sistemului. E8. C3-3. 16.Dacă ( ) ( )∞∪∈ ,11,0,ba şi )[ ∞∈ ,0k să se rezolve sistemul

( )

.

21

2

22

+=+

+=+

−=−

− baba

kbakba

kbakba

yxz

yz

yxz

Fişă de studiu S1. C3-3. Să se rezolve ecuaţiile ;

a). 10244 =x ; b). 811

9 =x ; c). 322 32 =−x ; d). 1281

8 =x ;

e). 5

23

94

−

=

x

; f). 2162 5,262

=−− xx .

S2. C3-3. Să se rezolve ecuaţiile ; a). 347747 12 =⋅+ −+ xx ; b). 13333 321 =++ −−− xxx ; c). 02137353 11 =+⋅−⋅+ −+ xxx ;

S3. C3-3. Să se rezolve ecuaţiile ; a). 0600552 =−− xx ; b). 80639 =−− xx ;

c). xxx 410252 +=⋅ ; d). 23

223223 =

−−

+

xx

.

S4. C3-3. Să se rezolve ecuaţiile ;

a). )16(log)1(log 222 −−=− xxx ; b). 1

)45lg(lg2 =

−x

x;

c). xx lg41

31

lg121 2 −= ; d). 01lg3lg2 32 =−− xx .

S5. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : a). 1lg1lg1lglg 5335 −+− −=− xxxx .

S6. C3-3. Să se rezolve ecuaţia : xxx lglg21

)1lg(2 2 −=− .

S7. C3-3. Să se rezolve ecuaţiile : a). 2)13lg()7lg( =+++ xx .


b). 2)13)(7lg( =++ xx .

S8. C3-3. Să se rezolve ecuaţia: 04log3log 323 =−− xx

S9. C3-3. Să se rezolve ecuaţia: 1loglog 32 =+ xx

S10. C3-3. Să se rezolve ecuaţia: 23loglog3 =+ xx

S11. C3-3. Să se rezolve ecuaţia: 10002lg =+xx

S12. C3-3. Să se rezolve ecuaţia: .2

74log2log 2 =+ xx xx

S13. C3-3. Să se rezolve ecuaţia:

.1,0,loglogloglog 4444 ≠>=+++ aax

a

a

xaxax xaxa

S14. C3-3. Să se verifice identitatea:

.loglog.....loglog 1)1(62

+=+++ +n n

aaaaxxxx nn

S15. C3-3. Să se rezolve inecuaţiile: a). )3lg()3lg( 2 +>− xx ; b). 08lg2lg2 ≤−− xx ;

S16. C3-3. Să se rezolve în R××××R sistemele:

a).

==+−

+

13

72991yx

yx

; b).

=+=−

3lglg

90

yx

yx;

c).

==

4

40lg yx

xy; b).

==

yx

xy

xy

yx.

Exerciţii de aprofundare A1. Să se verifice identitatea

1loglog...loglog )1(62+=+++ +

n naaaa

xxxx nn .

Deoarece prin schimbarea bazei logaritmului obţinem xp

x aa p log1

log = .

( ) xn

nx

nn aa log1

log1

1...

6

1

2

1

+=

++++ . Rămâne de demonstrat prin inducţie că:

( ) 11

1...

6

1

2

1

+=

++++

n

n

nn.

A2. Să se găsească perechile de numere reale (x,y) care verifică inegalitatea ( ) ( ).1coslog1coslog yx >

A3. Dacă ,0, >∈ aa R atunci ,,1 R∈∀+≥ xxa x dacă şi numai dacă .ea =

A4. Să se rezolve inecuaţia .543 xxx >+


A5. Să se arate că nu există numere reale 1,0 ≠>N astfel încât, dacă a şi b sunt numere

prime între ele, Nblog şi Nalog să fie amândouă raţionale.

A6. Să se rezolve ecuaţia

.2


A7. Să se rezolve ecuaţia


a

a

xaxax xaxa

A8. Să se verifice identitatea:

.loglog.....loglog 1)1(62

+=+++ +n n

aaaaxxxx nn

Rezolvari A2. Condiţiile de existenţă:

( ) ( ) ( ) ( )∞∪∪−∪−∞−∈⇔≠>≠> ,11,00,11,1,0,1,0 xyyxx - mulţime simetrică şi

( ) ( ).,11,0 ∞∪∈y Deoarece ,4

cos1cos3

cos3

14

ππππ <<⇒<< adică

( ),1,02

2,

2

11cos ⊂

∈ deci baza logaritmilor este subunitară. Trecem logaritmii la baza

cos1 şi atunci inecuaţia este echivalentă cu

.0loglog

loglog

0log

1log

1log

1log

1

1cos1cos

1cos1cos

1cos1cos1cos1cos

>⋅−

⇔

⇔>−⇔>

yx

xy

yxyx

Se observă că inecuaţia este simetrică în raport cu x, deci dacă (x,y) este soluţie, atunci şi (−x,y) este soluţie. Astfel soluţiile inecuaţiei sunt puncte ale planului xOy simetrice faţă

de axa .Oy Vom considera deci soluţiile inecuaţiei pentru ( ) ( )∞∪∈ ,11,0x si

( ) ( ).,11,0 ∞∪∈y Avem următoarele patru cazuri:

>>

>

0log

0log

0log

1

1cos

1cos

1cos

0

y

xx

y

><

<

0log

0log

0log

2

1cos

1cos

1cos

0

y

xx

y

<>

<

0log

0log

0log

3

1cos

1cos

1cos

0

y

xx

y

.

0log

0log

0log

4

1cos

1cos

1cos

0

<<

>

y

xx

y

Avem xyx

y <⇔> 0log 1cos , punctele sunt situate sub semidreapta ;xy =

xyx

y >⇔< 0log 1cos , punctele sunt situate deasupra semidreaptei ;xy =


( )1,0,10log 1cos ∈<⇔> xxx , punctele sunt situate între dreptele de ecuaţie 0=x şi

1=x Oy ;

( )∞∈>⇔< ,1,10log 1cos xxx , punctele sunt situate la dreapta dreptei de ecuaţie ;1=x

( )1,0,10log 1cos ∈<⇔> yyy , punctele sunt situate între dreptele 0=y si 1=y || Ox

( )∞∈>⇔< ,1,10log 1cos yyy , punctele sunt situate deasupra dreptei 1=y Ox

Rezultă următoarele sisteme de inecuaţii:

( )( )

∈∈

<

1,0

1,010

y

x

xy

( )( )

∈∞∈

>

1,0

,120

y

x

xy

( )( )

∞∈∈

>

,1

1,030

y

x

xy

( )( )

.

,1

,140

∞∈∞∈

<

y

x

xy

01 Soluţiile sunt în regiunea haşurată vertical. 02 Nu are soluţii. 03 Are soluţii în regiunea haşurată orizontal. 04 Are soluţii în regiunea haşurată oblic. Pentru inecuaţia iniţială vom considera şi soluţiile simetrice faţă de axa Oy . Evident, frontierele acestor regiuni nu reprezintă soluţii, pentru că inegalităţile sunt stricte. A3.Inegalitatea este echivalentă cu R∈∀≥−− xxa x ,01 . Fie funcţia

( ) ( ) ( ) ( ) 0,000;1.,: ⇒∈∀≥⇒=−−=→ RRR xfxffxaxff x este punctul de minim. Se poate aplica teorema lui Fermat. Rezultă că

( ) ( ) eaaaaxff x =⇒=⇒=−== 1ln01ln'.00' . Reciproc, dacă ⇒= ea ( ) ( ) 1',1 −=−−= xx exfxexf .

( ) 00' =⇔= xxf . Avem

x − ∞ 0 + ∞

)(' xf − 0 +

)(xf + ∞ 0)0( =f

+ ∞ min

Din acest tablou se vede că ( ) R∈∀+≥⇔≥ xxexf x ,10 .

A4. Ecuaţia xxx 543 =+ , are soluţia x=2, care este unică aşa cum rezultă din faptul că

funcţia ( ) 15

4

5

3,: −

+

=→xx

xff RR este strict descrescătoare. Semnul funcţiei:

dacă ( ) 0,2 ≥≤ xfx ;

1

0 1


dacă ( ) ( ).2,02 ∞−∈⇒≤⇒≥ xxfx

x −∞ 2 + ∞

15

4

5

3)( −

+

=xx

xf 0 −1 +∞

)(xf + 0 −−−−

A5. Presupunem, prin absurd, că există ( ) 1,,0,,, =≠∈ nmnZnmn

m astfel încât

n

mNa =log şi că există ( ) 1,,0,,, =≠∈ qpqqp

q

pZ astfel încât ⇒=

q

pNblog

,npmqq

p

n

m

babaN =⇒== contradicţie pentru că ( ) 1, =ba , a şi b fiind prime între ele, .1,1,0, ≠≠> baba

A5. Punem condiţii de existenţă: .2

1,1,0 ≠≠> xxx

Ecuaţia devine succesiv:

( ) ⇔+=+⇔=+

+⇔=+++ xxxxxxx 2

222

222 log3log31log22

2

3

1log

1

log

1

2

712log12log

1log6

51log02loglog3 222

22 =⇔±=⇔=−− xxxx sau 2

3

2log2 =⇔−= xx

sau .2 3

2−=x

A7. Punem condiţii de existenţă: .1,0 ≠> xx Pentru a sunt puse în enunţ 1,0 ≠> aa ;

0log

12

1log0

log41log2log

04

2loglog0loglog

22

44

≥⋅

+⇔≥++⇔

⇔≥++⇔≥+

x

x

x

xx

axaxax

a

a

a

aa

xaxa

,1(1) 0log <⇒>⇒ xxa dacă ( )1,0∈a , ,1>x dacă ( )∞∈ ,1a ⇒ ,loglog xx aa =

întrucât .0log >xa Deci primul radical este egal cu ,log

1

2

1log

x

x

a

a ⋅+

iar al doilea

radical ,log

1

2

1log

x

x

a

a ⋅−

astfel încât ecuaţia devine ax

xx

a

aa =−++

log2

1log1log.

Pentru explicitarea modulului, avem 01 .1log1log01log1log −=−⇒≥−⇒≥ xxxx aaaa

Ecuaţia devine


ax

xa

x

xa

x

xx

a

a

a

a

a

aa =⇔=⇔=−++

log

log

log2

log2

log2

1log1log0> , prin ipoteză.

1111log;log 22 2

>⇔>⇒>⇒>=⇔=⇔ aaaxaxax aa

a

Dacă ,1,12

>=> aaxa care arată că acest x este soluţie.

Dacă 1,102

<=<< aaxa şi deci acelaşi x este soluţie. Deci 2aax = este soluţie.

02 .log11log01log1log xxxx aaaa −=−⇒≤−⇒≤ Ecuaţia devine

,1

log1

log

log

1

log2

log11log

212

=⇔

=⇔=⇔

⇔=⇔=−++

aaa

aa

aa

axa

xa

x

ax

ax

xx

care admite soluţii numai dacă

1111 2

2>⇔>⇒< aa

a.

Ecuaţia admite soluţiile 2aax = şi

2

1

aax = , numai dacă 1>a . A8. .0>x Pentru 1=x , egalitatea este verificată. Acum .1,0 ≠> xx Schimbând baza, trecând la baza x, avem succesiv:

( ) ( ) =+

+++=+++ +annaa

xxxxxx

aaa nn

log1

1.....

log6

1

log2

1log.....loglog 162

( ) ( ) =

+−++−+−=

+++

⋅+

⋅=

111

....31

21

21

1log1

1.....

321

211

log1

nnx

nna ax

( ) .loglog1

log 11 ++ ==+

= n na

n

n

aa xxn

nx c.c.c.d.

Probleme nerezolvate 1. Se consideră funcţia ( ) R→∞,1:f , dată de legea ( ) ( ).lnln xxf = . Să se arate că funcţia f este o bijecţie şi să se construiască inversa ei.

2. Să se rezolve în R ecuaţiile: ;6543 xxxx =++ xxxx 202459 =−− .

3.. Se consideră numerele reale .5log,6log 23 == ba a) Să se arate că ba < . b). Care dintre numerele reale următoare

( ) ( ),4log,3log 1 +=+= + xbxa xx cu ( )∞∈ ,1x este mai mare.

4. Să se determine toate numerele reale m , astfel încât inegalitatea ( ) ( ) 011 2 >+++ −− xx emem , să fie adevărată pentru orice x real.


5. Să se calculeze suma: .log...logloglog

log...logloglog32

32

nbbbb

nbbbb

aaaa

aaaa

++++++++

6.Să se afle domeniul maxim de definiţie al funcţiei f :E⊂ R →R dată de legea

f(x)= 6ln5ln 2 +− xx ; f(x)=arcsin(lnx) . 7.Să se rezolve inecuaţia : 3log3log 3xx ⋅ 3log9x≥ .

8.Să se rezolve ecuaţia : )ln(

lnln

λ++

x

ax=2,undeλ este un parametru real,iar a>0.

9.Fie a,b,c numere reale distincte şi presupunem că γβα ,, sunt numere reale astfel încât

pentru orice număr real x 0=⋅+⋅+⋅ cxbxax eee γβα .Să se arate ca 0=== γβα .

10.Să se rezolve inecuaţia : 04

2log3log2

2

>−

+−x

xx aa , 0 < a < 1.

11.Să se determine relaţia între a şi b,dacă xxxa

bba logloglog =− , ∀x∈(0,∞ ).

12.Să se rezolve în R ecuaţiile:

( ) ( ) bababaab xxx ≠∞∈=+ ),,1(1,0,,22 Υ

194347347 55 =

−+

+

xx

.

13.Să se determine toate numerele reale m, astfel încât inegalitatea 12)1(44 >+−+⋅ mmm xx să fie adevărată pentru orice x real.

14.Să se rezolve inecuaţia 0,1

,max1

,max

>>

aaa

a xx

x

x .

15. Să se reprezinte grafic funcţia RR →:f ,

( )

( )

∞−∈−

−=

−∞−∈−

=

,1,4)(

1,2

1,,4

1)(

)(

xxg

x

xxg

xf unde 1111 22)( −−+−++ += xxxxxg

16.Să se demonstreze inegalitatea ,loglog 1 NN xx >− unde x>2 si N>1 şi apoi

.0,2,2log1

log22

1 >>>−+

− yxyx

yxxx

17.Să se determine valorile reale ale lui a, pentru care inegalitatea ( ) 13log 2

1

1 ≥++− x

a

a este

adevărată pentru orice x real. 18.Se consideră funcţia ( ) ( ) ,,: xx aaxfff −+=→ RR cu .1,0 ≠> aa

a. Să se studieze monotonia funcţiei f.

b. Să se rezolve ecuaţia: ( ) ( ) ,3232 mxx

=−++ R.∈m


19.Sa se rezolve ecuaţia:

( ) ( ) ( ) .032log23log21log3 210

31001000 =−+−++− + xxxx x

20. Să se găsească perechile de numere reale (x,y) care verifică inegalitatea ( ) ( ).1coslog1coslog yx >

21. Dacă ,0, >∈ aa R atunci ,,1 R∈∀+≥ xxa x dacă şi numai dacă .ea =

22. Să se rezolve inecuaţia .543 xxx >+ 23. Să se arate că nu există numere reale 1,0 ≠>N astfel încât, dacă a şi b sunt numere

prime între ele, Nblog şi Nalog să fie amândouă raţionale.

24. Să se rezolve ecuaţia: .2


25. Să se rezolve ecuaţia


a

a

xaxax xaxa

26. Să se verifice identitatea: .loglog.....loglog 1)1(62

+=+++ +n n

aaaaxxxx nn

27.Să se rezolve inecuaţia : )143(log)12(log 2

1

2

1 22 +−<−−++++

xxxxxxxx

28. Se consideră ecuaţia mmxmx aa ,08log3)(log2 =−+⋅− este un

parametru, ),0( ∞∈m , iar a constanta reală, cu a >0 si a .1≠ Să se determine m, astfel încât : a). ambele rădăcini să fie in [0,3]; b). una din rădăcini să fie in [0,3].

29. Să se reprezinte grafic ,][log)( xxf a= unde a>0, a .1≠

30. Să se rezolve ecuaţia: ,loglog2log)log(log AAAAA pqpxppqpx ⋅=+ unde A,p,q sunt

constante: A>0, px>0, 1≠ , p>0, 1≠ ,q>0, 1≠ , pq>0, 1≠ . 31. Să se arate că 4< 58log5log3log 532 <++ .

32. Să se arate că funcţia ,: RR →f definită prin ,)( xaxxf += cu a supraunitar, este bijectivă. 33.Să se arate că 56log5log4log3log 5432 >+++

34.Fie funcţia f:[0,1] R→ , f(x)= xxxx baba −− + 11 , unde a,b>0, 1≠ .

a. Să se arate că f este descrescătoare pe

2

1,0 şi crescătoare pe

1,

2

1 .

b. Să se arate că pentru orice x∈[0,1] avem bab

ab

a

baab

xx

+≤

+

≤2 .

35.Fie funcţia f(x)= ( ) ( ) mxmxma 33715log 2 ++++ , unde a>0, ,1≠ m R∈ .Să se

determine m, astfel ca domeniul de definiţie al funcţiei f să fie R. Să se determine minimul sau maximul lui f(x).


36.a. Se dă aN =108log şi ,log 72 bN = N>0, 1≠ . Să se exprime N2log şi N3log în

funcţie de a şi b.

b. Să se arate că ,logloglog

1

A

m

A

n

A yxyx mn

+= unde A>0, x,y>0, iar m,n { } .1,0 ≠−∈ AR

37.Fie 1>a . Să se arate că xyyx aaa ⋅=+ 222

dacă şi numai dacă yx = .

38.Să se rezolve ecuaţia 22

log2

log2log2log 44

2

442 =+++

x

xxx

xx .

39.Să se arate că funcţia R→∞),1(:f , 3loglog)( 3 xxxf += are un minim. Să se arate

că 23loglog3 ≥+ xx , oricare ar fi ),1( ∞∈x .

40.a). Să se arate că: 1,0,,,loglog ≠>= ccbaba ab cc .

b). Să se rezolve ecuaţia: 2log)1(log 3)1(2 33 xxx xx =−+− .

41.a). Să se arate că dacă ba <<1 şi 1>N , atunci NN ba loglog > .

b). Ţinând seama de rezultatul de la punctul a. şi inegalitatea

0,1

43 >∀++>+

xx

x

x

x să se arate că dacă )3(log += xa x şi )4(log 1 += + xb x şi 1>x ,

atunci ba > .

42.Să se demonstreze inegalitatea 2

2

ln

)......ln( 121 −≥⋅ − n

a

aaa

n

n , unde naa ,.......,1 sunt

termenii unei progresii aritmetice cu raţia 1a , dacă 1lna este cea mai mare valoare a

funcţiei )23(2)1(5)1(8),( 22 yxxxyyxf +−+−+= .

43.Să se rezolve ecuaţia 54logloglog 4222=xx

x.












O1. Să se rezolve sistemul:

≥⋅

=+

1loglog

2loglog

3

1

2

1

3

1

2

1

yx

yx

Rezolvare: Condiţii de existenţă: x,y∈R*

+

01loglog21log2log1loglog

log2log2loglog

2

2

1

2

1

2

1

2

1

3

1

2

1

2

1

3

1

3

1

2

1

≥−

−⇒≥

−⇒≥⋅

−=⇒=+

xxxxyx

xyyx

Ecuaţia ataşată: 12

2log04401log2log

2

1

2

1

2

2

1 =−−=⇒=−=∆⇒=−+

− xxx

x2

1log 1


1log2log21

2

21 −+

− xx - - - - - - - - 0 - - - - - -

1log2log21

2

21 −+

− xx 0≥ ⇒

2

11log

2

1 =⇒= xx

3

1=⇒ y

Deci 2

1=x

3

1=y

O2 Să se găsească valorile lui x astfel încât:

xxx

n nnxxx

+

+

=−+++++++ 1...

3

1

2

11)1(log...)1(log)1(log 32

Răspuns: Se observă că x=0 este soluţie

1)1(log...)1(log)1(log00

3

0

2 −+++++++ nxxx n 4 34 21434 214 34 21 = )(111...1111

Annorin

−=−⇒++++−

44 344 21

Se consideră 1)1(log...)1(log)1(log)( 32 −+++++++= nxxxxf n şi

=)(xgxxx

n

+

+

1...

3

1

2

1

f(x) este strict crescătoare pe R g(x) este strict descrescătoare pe R O4 Să se rezolve sistemul:

=−

=+

2323

2loglog 23

yx

yx

Rezolvare: Condiţii de existenţă: x,y∈R*

+

⇒

x=0 este soluţie unică a ecuaţiei


Observăm că

==

2

3

y

x este soluţie a sistemului

Verificare: 211loglog 23 =+=+ yx

33-22=27-4=23 Cazul 1 x∈(0;3)

)2(2422323

273

)1(22log1log2loglog

1log 222

23

3

<⇒<⇒

=−

<

>⇒>⇒>⇒

=+<

y

yyyy

x

y

yx

x

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x∈(0;3) (3) Cazul 2 x∈(3;+∞)

)2(2422323

273

)1(22log1log2loglog

1log 222

23

3

>⇒>⇒

=−

>

<⇒<⇒<⇒

=+>

y

yyyyx

x

y

yx

x

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x∈(3;+∞) (4)

Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică

==

2

3

y

x

N1 Să se rezolve inecuaţiile: a) 0)2(log 2

2

1 >+ xx

Rezolvare: Condiţii de existenţă: x2+2x>0→x(x +2)=0 Ecuaţia ataşată: x(x+2)=0→

−==

2

0

2

1

x

x

Deci x∈(-∞;-2) Υ (0;+ ∞).

x -2 0 x(x-2) + + +0- - - - - - 0+ + + +


01212)1;0(

2

1

0)2(log22

2

2

1

<−+⇒<+⇒

∈

>+

xxxx

xx

Ecuaţia ataşată: x2+2x-1=0→∆ =4+4=8.

−−=

+−=⇒

±−=21

21

2

222

2

12;1

x

xx

Deci x∈(-1- 2 ;-1+ 2 )

Deci x∈(-1- 2 ;-2).

c) xx

x

x

xxxx log

56

54log1

56

54log <

−+⇔<

−+

Rezolvare: Condiţii de existenţă:

4

5540

56

54 −>⇒−>⇒>−

+xx

x

x

caz 1 x>1→ 052505654565456

54 222 <+−⇒<+−+⇒−<+⇒<−

+xxxxxxxxx

x

x

Ecuaţia ataşată: 0525 2 =+− xx ∆ =4-4·4·5<0→inecuaţia nu are soluţii

caz 2 x∈(0;1)→→→→ 0525565456

54 22 >+−⇒−>+⇒>−

+xxxxxx

x

x

Deci inecuaţia nu are soluţii.

A1 Să se arate că expresia 3

333

3222

logloglog

logloglog

zyx

zyxE

++++

= este independentă de

valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z. Rezolvare:

x -1- 2 -1+2 x2+2x-1 + 0 - - - - - - - 0 + + +

-1- 2 -2 -1+ 2 0


=++++

= )(log

)(log

logloglog

logloglog3

3

32

3333

3222

zyx

zyx

zyx

zyxE →→→→

3loglog

3loglog

3log

loglog

log

log2

2

22

2

2

2

3

2 ====x

ttt

t

tE →→→→

Notăm tzyx =3 →→→→ E este independentă de valorile x,y,z>1.

Documents

Func ţia exponen ţial ă şi func ţia logaritmic ă · Pag.2 ln 1e = REFERAT Func ţia exponen ţial ă 1). Puteri cu exponent real a). Puteri cu exponent real pozitiv Fie a >