12/1/2018

1

Füüsika

Hüdromehaanika alused

HÜDROSTAATIKA

Hürostaatikaks nimetatakse hüdromehaanika

osa, mis käsitleb vedeliku tasakaalu seadus-

pärasusi.

Tasakaal võib olla absoluutne või suhteline.

Absoluutseks nimetatakse tasakaalu, mille puhul

liikumatu vedelik on liikumatus anumas.

Suhtelise tasakaalu puhul on vedelik küll

liikumatu, kuid paikneb anumas, millele mõjub

peale raskuskiirenduse mõni muu kiirendus.

Aine osakeste vahel mõjuvad molekulaarjõud.

Vedelikus on nad teiste jõududega väikesed ja

osutuvad oluliseks vaid siis, kui vedeliku maht on

väga väike (näiteks kapillaarides).

12/1/2018

2

Hüdrostaatiline rõhk

Hüdrostaatilise rõhu defineerimiseks vaadeldakse

tasakaalus oleva vedeliku massi 𝑚, mis on

mõttelise tasapinnaga 𝐴 jagatud kahte ossa. Neid

osi peab koos hoidma mingi jõud 𝐹𝑝 , see on

hüdrostaatiline rõhu- ehk survejõud. Selle jõu

intensiivsust tasapinna 𝐴 suvalises punktis

nimetatakse hüdrostaatiliseks rõhuks ehk surveks:

𝑝 = lim∆𝐴→0

∆𝐹𝑝∆𝐴

=𝑑𝐹𝑝𝑑𝐴

.

Hüdrostaatilise rõhu

defineerimine

𝑝 = lim∆𝐴→0

∆𝐹𝑝∆𝐴

=𝑑𝐹𝑝𝑑𝐴

Hüdrostaatilisel rõhul on kaks omadust.

1. Hüdrostaatiline rõhk mõjub risti pinda;

2. Vedeliku mingis punktis mõjuv hüdrostaatiline rõhk

on kõikides suundades ühesugune.

12/1/2018

3

1. Hüdrostaatiline rõhk mõjub risti pinda.

Tõestuseks oletatakse, et see ei ole nii, st et

elementaarjõud ∆𝐹𝑝 ja sellele vastav rõhk 𝑝 ei mõju

pinna ∆𝐴 suhtes täisnurga all.

Kui nii, siis saab ∆𝐹𝑝jagada piki ja risti pinda

suunatud komponentideks

∆𝐹𝑡 ja ∆𝐹𝑛 . Kui component

∆𝐹𝑡 oleks olemas, siis

peaks vedelik hakkama

kahe vastassuunalise

jõukomponendi ∆𝐹𝑡 toimel

liikuma piki pinda ∆𝐴.

Rõhk mõjub risti pinda

Et seisvas vedelikus

seda ei toimu, siis

pole ∆𝐹𝑡 olemas ning

∆𝐹𝑝 langeb kokku

∆𝐹𝑛 −ga, st on risti

pinnaga ∆𝐴.

12/1/2018

4

2. Vedeliku mingis punktis mõjuv hüdrostaatiline

rõhk on kõikides suundades ühesugune.

Elementaarpinna ∆𝐴 asendit punktis 𝑂 võib

suvaliselt muuta ja iga asendi puhul korrata

eelnevalt toodud mõttekäiku: igas ∆𝐴 asendis mõjub

elementaarjõud ∆𝐹𝑝 ja seega on ka rõhk risti pinda.

Vedeliku tasakaalu diferentsiaalvõrrandid

Vaatleme seisvas vedelikus paikneva elementaar-

risttahuka, mille mõõtmed on 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 tasakaalu.

D’Alembert’I printsiibi kohaselt peab tasakaalu

korral sellele risttahukale mõjuvate mis tahes

suunaliste jõudude summa võrduma nulliga.

12/1/2018

5

Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717 –1783)

D’Alembert’i printsiip, mehaanikaprintsiip, mille järgi saab

dünaamika probleemid formaalselt taandada staatika

probleemideks ning nende lahendamisel rakendada staatika

meetodeid.

Et vedelik on paigal, mõjuvad risttahukale pinna-

jõududest ainult rõhujõud. Olgu rõhk risttahuka keskel

𝑝. Elementaarristtahuka tahkudel 𝐴𝐵𝐶𝐷 ja 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′

on rõhud vastavalt 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2ja 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2. Rõhujõud

neil tahkudel on

𝑑𝐹′𝑝𝑥 = 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝐹′′𝑝𝑥 = 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦𝑑𝑧

Elementaarristtahukale mõjub massijõud

𝑑𝐹𝑚 = 𝑑𝑚 ∙ 𝑎, kus 𝑎 on kiirendus ja risttahuka mass

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧. Massijõu rõhtkomponent on

𝑑𝐹𝑚𝑥 = 𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧, kus 𝑎𝑥 − kiirenduse 𝑥-telje

suunaline komponent.

12/1/2018

6

Kuna risttahukas on tasakaalus, peab rõhtjõudude

summa võrduma nulliga:

𝑑𝐹′𝑝𝑥 − 𝑑𝐹′′𝑝𝑥 + 𝜌𝑎𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0.

Kordame sama menetlust teiste telgede suhtes:

𝑑𝐹′𝑝𝑦 − 𝑑𝐹′′𝑝𝑦 + 𝜌𝑎𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0;

𝑑𝐹′𝑝𝑧 − 𝑑𝐹′′𝑝𝑧 + 𝜌𝑎𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0.

Pärast lihtsustusi ja võrrandite jagamist elementaar-

risttahukasse mahtuva vedeliku massiga

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 saame

𝑎𝑥 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑎𝑦 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑎𝑧 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧.

Euleri hüdrostaatika

diferentsiaalvõrrandid

Seisva vedeliku kirjeldamiseks on vaja teada rõhku

igas punktis. Selleks sobiva võrrandi saab sel moel, et

Euleri võrrandis asendatakse võrdväärse avaldisega,

milles ei ole osatuletisi. Selleks korrutatakse võrrandi

mõlemad pooled vastavalt 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 ja 𝑑𝑧-ga ning

liidetakse:

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧 =

1

𝜌𝑑𝑝.

Rõhku tasakaalus olevas vedelikus kirjeldab avaldis

𝑑𝑝 = 𝜌 𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 .

Selle võrrandi integreerimiseks on vaja teada

süsteemis mõjuva kiirenduse komponente 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 ja 𝑎𝑧.

12/1/2018

7

SAMARÕHUPIND

Tasakaalus vedeliku olevaid pindu, mille

kõikides punktides valitseb ühesugune rõhk,

nimetatakse samarõhupindadeks.

Samarõhupinna võrrandi saab tuletada

võrrandist

𝑑𝑝 = 𝜌 𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 :

kui 𝑝 = const, siis 𝑑𝑝 = 0 ja

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 = 0.

Kõige sagedamini on tegemist absoluutse

tasakaaluga, mil vedelikule mõjub ainult

raskuskiirendus: 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 0; 𝑎𝑧 = −𝑔.

Siis

−𝑔d𝑧 = 0,

d𝑧 = 0, ning

𝑧 = නd𝑧 = const.

Järelikult on absoluutse tasakaalu korral kõik

vedelikus olevad rõhtsad pinnad samarõhupinnad.

Üks neist on vabapind, so vedeliku ja gaasilise

keskkonna eralduspind.

12/1/2018

8

HÜDROSTAATIKA PÕHIVÕRRAND

Hüdrostaatika põhivõrrandi saab võrrandi

𝑑𝑝 = 𝜌 𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧

integreerimisel tingimusel, et vedelik on

absoluutses tasakaalus:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 0; 𝑎𝑧 = −𝑔,

siis 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 ja

𝑝 = 𝑑𝑝 = − 𝜌𝑔𝑧 + const ehk

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const.

See on hüdrostaatika põhivõrrand.

Konstandi määramiseks tähistagu vedeliku

vabapinnale mõjub rõhk 𝑝0.

Joonisel kujutatud anuma rõhtne põhi on

samarõhupind.

12/1/2018

9

Seega võrrandi 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const alusel võib

kirjutada

𝑧0 + Τ𝑝0 𝜌𝑔 = 𝑧 + Τ𝑝 𝜌𝑔 = const .

Punktis 𝑀, mis paikneb sügavusel ℎ = 𝑧0 − 𝑧valitseb rõhk 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔 𝑧0 − 𝑧 ehk

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ.

See on hüdrostaatika põhivõrrandi rakendusvorm.

HÜDROSTAATIKA PÕHIVÕRRANDI

ENERGEETILINE JA GEOMEETRILINE

TÕLGENDUS

Tasakaalus oleval vedelikul on energiavaru, mille

arvel on võimalik teha tööd. See on potentsiaalne

energia.

Euleri diferentsiaalvõrrandite

𝑎𝑥 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑎𝑦 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑎𝑧 =1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧.

Tuletamisel jagati võrrandid läbi 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, so

elementaarmassiga 𝑑𝑚. Sellega taandati võrrandid

massiühikule

12/1/2018

10

Hüdrostaatika põhivõrrandi

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const

saamisel lisandus jagamine raskuskiirendusega 𝑔,millest võib järeldada, et, et see võrrand kehtib

vedeliku kaaluühiku kohta. Et kaaluühiku energia

(erienergia) on pikkuse dimensiooniga:

𝐸

𝐺=𝑀 ∙ 𝐿2 ∙ 𝑇−2

𝑀 ∙ 𝐿 ∙ 𝑇−2= 𝐿 ,

Siis väljendab avaldis

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= 𝐻pot = 𝐸pot

tasakaalus oleva vedeliku potentsiaalset energiat.

Seega: vedelikusamba kõrguse kaudu mõõdetud

rõhk ehk surve võrdub erienergiaga.

Potentsiaalne erienergia moodustub kahest osast:

• asendi erienergiast ehk kõrgussurvest 𝑧 ja

• rõhu-erienergiast ehk piesomeetersurvest Τ𝑝 𝜌𝑔 .Hüdrostaatika põhivõrrand

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const

näitab, et tasakaalus olevas vedelikus on asendi- ja

rõhu-erienergia summa konstantne. Edaspidi näeme,

et kui vedelik liigub, siis lisandub potentsiaalsele

kineetiline erienergia Τ𝑣2 2𝑔 .

12/1/2018

11

Kinnises anumas oleva vedeliku pinnale võib mõjuda

õhurõhk, ülerõhk 𝑝𝑚 = 𝑝abs − 𝑝õ või vaakum 𝑝vac =𝑝õ − 𝑝abs. Vedelikusammas tõuseb piesomeetris

ülerõhu mõjul vabapinnast ℎ𝑚 =𝑝𝑚

𝜌𝑔kõrgemale või

vajub ℎvac =𝑝vac

𝜌𝑔võrra allapoole ning määrab

survetasandi (potentsiaalse erienergia tasandi, mille

rõhu-erienergia ehk piesomeetersurve on null).

Vedeliku sees olevas punktis 𝑀 lisandub vabapinda

mõjutavale rõhule vedelikusambast põhjustatud rõhk

𝑝 = 𝑝𝑚 + 𝜌𝑔ℎ; piesomeetri näit on Τ𝑝 𝜌𝑔 . Kui võtta

arvesse ka õhurõhk, siis saab joonisel näidata

absoluutsurvetasandi, mis on survetasandist Τ𝑝õ 𝜌𝑔võrra kõrgemal.

Hüdrostaatika põhivõrrandi energeetiline ja geo-

meetriline tõlgendus kui vedeliku pinnale mõjub ülerõhk

12/1/2018

12

Hüdrostaatika põhivõrrandi energeetiline ja geo-

meetriline tõlgendus kui vedeliku pinnale mõjub vaakum

PASCALI SEADUS

Hüdrostaatika põhivõrrandist on näha, et

vedeliku pinnale mõjuva rõhu 𝑝0 muutudes

muutub samapalju ka rõhk 𝑝 sügavusel ℎ.Seda asjaolu üldistab Pascali seadus

järgmiselt: rõhu muutus millises tahes

vedeliku punktis kandub niisamasugusena

edasi kõikidesse teistesse punktidesse.

Blaise Pascal (1623 – 1662)

12/1/2018

13

Pascali seadusele tuginevad mitmesugused

hüdrostaatilised masinad – pressid, tungrauad,

multiplikaatorid jt, milles jõudu antakse edasi

vedeliku kaudu.

Joonisel on kujutatud jõu suurendamist

hüdrosüsteemi abil.

Kui ühele kolvile, mille pindala on 𝐴1, rakendada

jõud 𝐹1, siis tekib vedelikus kolvi all rõhk 𝑝 = Τ𝐹1 𝐴1See rõhk levib teise kolvi alla ja sellele kolvile

mõjuv jõud 𝐹2 = 𝑝𝐴2 = 𝐹1 Τ𝐴2 𝐴1 . Reaalselt jõud

kolvipindade suhte kordselt ei suurene,

mehaanilise hõõrde tõttu on kasutegur 0,8 … 0,9.

12/1/2018

14

ÜHENDATUD ANUMATE SEADUS

Olgu pealt lahtistes ühendatud animates kaks

omavahel mitte segunevat eri tihedusega

vedelikku.

Vedelike eralduspinda läbiv rõhttasand on

samarõhupind, seega 𝑝1 = 𝑝2.

Rakendades hüdrostaatika põhivõrrandit

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const saadakse avaldised 𝑝1 = 𝑝õ +𝜌1 𝑔ℎ1 ja

𝑝2 = 𝑝õ +𝜌2 𝑔ℎ2 ning edasi ühendatud animate seadusℎ1ℎ2

=𝜌2𝜌1,

Seega vedelikusammaste kõrgused on pöördvõrdelised

vedelike tihedustega. Seadus on rakendatav omavahel

segamatute vedelike tiheduste määramisel.

12/1/2018

15

Hüdrauline tungraud

VEDELIKU SUHTELINE TASAKAAL

Vedeliku tasakaalu nimetatakse suhteliseks, kui

vedelik anuma suhtes ei liigu, kuid koos anumaga on

peale raskusjõu veel mõne teise massijõu mõju all.

Anum võib koos vedelikuga liikuda kolme moodi:

püst- või rõhtjoonkiirendusega 𝑎 või pöörelda ümber

telje. Võimalik on ka nende liikumiste koosmõju.

12/1/2018

16

Vedeliku suhteline tasakaal: anumale mõjub

püstkiirendus

Anumale mõjub püst-joonkiirendus 𝑎.

Samarõhupinna võrrandist

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 = 0.

Tuleneb

𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 0 ning 𝑎𝑧 = −𝑔 ± 𝑎

(−𝑎, kui anum tõuseb ja +𝑎, kui anum laskub),

seega

−𝑔 ± 𝑎 𝑑𝑧 = 0.

12/1/2018

17

Kui 𝑎 ≠ 𝑔, siis 𝑑𝑧 = 0 ja 𝑧 = const, millest järeldub, et

samarõhupinnad on rõhtpinnad.

Rõhu vedelikus saab avaldisest

𝑑𝑝 = 𝜌 −𝑔 ± 𝑎 𝑑𝑧ning pärast integreerimist

𝑝 = න𝑑𝑝 = 𝜌 −𝑔 ± 𝑎 𝑧 + const.

Integreerimiskonstandi saab määrata rajatingimusest:

vedeliku pinnal 𝑧 = 𝑧0 ja 𝑝 = 𝑝0.Rõhujaotust kirjeldab avaldis

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔 1 ± Τ𝑎 𝑔 𝑧0 − 𝑧 = 𝑝0 + 𝜌𝑔 1 ± Τ𝑎 𝑔 ℎ.Nagu näha,rõhujaotus on lineaarne, nii nagu

absoluutse tasakaalu puhul.

12/1/2018

18

Vedeliku suhteline tasakaal: anumale mõjub

rõhtkiirendus

Anumale mõjub rõht-joonkiirendus 𝑎.Sel juhul 𝑎𝑥 = ±𝑎; 𝑎𝑦 = 0 ja 𝑎𝑧 = −𝑔.

Avaldisest

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 = 0.

saame

±𝑎𝑑𝑥 − 𝑔𝑑𝑧 = 0,millest omakorda

Τ𝑑𝑧 𝑑𝑥 = ± Τ𝑎 𝑔 = tan𝛼 .

12/1/2018

19

Samarõhupinnad on rööpsed kaldpinnad, mille

kaldenurga määrab ära 𝑎 ja 𝑔 suhe. Mida suurem on

kiirendus 𝑎, seda enam kaldub vedeliku pind. Selline

olukord tekib näiteks paakveoki paigaltvõtul või

pidurdamisel.

Rõhujaotise saab avaldise 𝑑𝑝 = 𝜌 ±𝑎𝑑𝑥 − 𝑔𝑑𝑧integreerimisel. Selgub, et igal vertikaalil valitseb

hüdrostaatiline rõhujaotus.

Suhteline tasakaal neljakandilises pöörlevas anumas

12/1/2018

20

Vedeliku suhteline tasakaal: anum pöörleb ümber

püsttelje

Vedeliku suhteline tasakaal: anum pöörleb ümber

püsttelje

12/1/2018

21

Anum pöörleb ümber püsttelje konstantse

nurkkiirusega 𝜔.Siis 𝑎𝑥 = 𝜔2𝑥, 𝑎𝑦 = 𝜔2𝑦 ja 𝑎𝑧 = −𝑔.

Samarõhupinnad avaldise saab võrrandi

𝜔2𝑥𝑑𝑥 + 𝜔2𝑦𝑑𝑦 − 𝑔𝑑𝑧 = 0integreerimisel:

0,5𝜔2 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑔𝑧 = const.

Kuna 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, kus 𝑟 on vaadeldava punkti

kaugus pöörlemisteljest (pöörlemisraadius).

Seega

0,5𝜔2𝑟2 − 𝑔𝑧 = const.Iga samarõhupind, sealhulgas vabapind on

pöördparaboloid.

12/1/2018

22

Rõhk vedelikus

𝑑𝑝 = 𝜌 𝜔2𝑥𝑑𝑥 + 𝜔2𝑦𝑑𝑦 − 𝑔𝑑𝑧 = 𝜌 𝜔2𝑟𝑑𝑟 − 𝑔𝑑𝑧 .Selle võrrandi integreerimine (arvestades

rajatingimust 𝑟 = 0; 𝑧 = 𝑧0; 𝑝 = 𝑝0) annab järgmise

avaldise rõhujaotise kohta vedelikus:

𝑝 = 𝑝0 + Τ𝜌𝜔2𝑟2 2 + 𝜌𝑔 𝑧0 − 𝑧 .Rõhujaotus on igal vertikaalil lineaarne, seega

hüdrostaatiline.