Fsc5133 Fisica Teorica b 2012 Mod

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FSC 5133

FÍSICA TEÓRICA B

integral of or over a closed surface equals zero. Furthermore, in a region freeof conduction currents so that I ! 0, Equations 24.6 and 24.7 are symmetric in thatthe line integrals of and around a closed path are related to the rate of changeof magnetic flux and electric flux, respectively.

ELECTROMAGNETIC WAVESIn his unified theory of electromagnetism, Maxwell showed that time-dependentelectric and magnetic fields satisfy a linear wave equation. (The linear wave equa-tion for mechanical waves is Equation 13.19.) The most significant outcome of thistheory is the prediction of the existence of electromagnetic waves.

Maxwell’s equations predict that an electromagnetic wave consists of oscillatingelectric and magnetic fields. The changing fields induce each other, which main-tains the propagation of the wave; a changing electric field induces a magneticfield, and a changing magnetic field induces an electric field. The and vectorsare perpendicular to each other, and to the direction of propagation, as shown inActive Figure 24.3a at one instant of time and one point in space. The direction ofpropagation is the direction of the vector product , which we shall exploremore fully in Section 24.5. Active Figure 24.3b shows how the electric and magneticfields vary in phase sinusoidally along the x axis in the simplest type of electromag-netic wave. We will discuss this sinusoidal behavior shortly. As time progresses, imag-ine the construction in Active Figure 24.3b moving to the right along the x axis.That is what happens in an electromagnetic wave, with the movement taking placeat the speed of light c.

To understand the prediction of electromagnetic waves, let us focus our atten-tion on an electromagnetic wave traveling in the x direction. For this wave, theelectric field is in the y direction and the magnetic field is in the z direction asin Active Figure 24.3. Waves in which the electric and magnetic fields are restrictedto being parallel to certain directions are said to be linearly polarized waves.Furthermore, let us assume that at any point in space in Active Figure 24.3, themagnitudes E and B of the fields depend on x and t only, not on the y or zcoordinates.

Let us also imagine that the source of the electromagnetic waves is such that awave radiated from any position in the yz plane (not just from the origin as mightbe suggested by Active Fig. 24.3) propagates in the x direction and that all suchwaves are emitted in phase. If we define a ray as the line along which a wave travels,all rays for these waves are parallel. This whole collection of waves is often calleda plane wave. A surface connecting points of equal phase on all waves, whichwe call a wave front, is a geometric plane. In comparison, a point source ofradiation sends waves out in all directions. A surface connecting points of equal

B:

E:

E:

! B:

B:

E:

24.3

B:

E:

B:

E:

810 ! CHAPTER 24 ELECTROMAGNETIC WAVES

y g p pp

y

E

E

zc

c

xB

Bz

y

x

(a) (b)

(a) The fields in an electromagneticwave traveling at velocity in the positive x direction at onepoint on the x axis. These fields depend only on x and t. (b) Representation of a sinusoidal electromagnetic wave movingin the positive x direction with a speed c.

Log into PhysicsNow at www.pop4e.comand go to Active Figure 24.3 to observe the wave in part (b). Inaddition, you can take a “snapshot” of the wave at an instant oftime and investigate the electric and magnetic fields at that instant.

c:ACTIVE FIGURE 24.3

WHAT IS “A” WAVE? A sticky point inthese types of discussions is what wemean by a single wave. We could de-fine one wave as that which is emit-ted by a single charged particle. Inpractice, however, the word waverepresents both the emission from asingle point (“wave radiated from anyposition in the yz plane”) and thecollection of waves from all pointson the source (“plane wave”). Youshould be able to use this term inboth ways and to understand itsmeaning from the context.

! PITFALL PREVENTION 24.1

NOTAS DE AULAVERSÃO: 16/03/2011

Prof. ABÍLIO MATEUS JR.

http://abiliomateus.net/ensino

[email protected]

http://abiliomateus.net/ensino

[email protected]

PREFÁCIO

Estas notas de aula foram concebidas como um guia deestudos aos alunos da disciplina FSC 5133 – Física TeóricaB. Os capítulos estão organizados na mesma sequência emque são discutidos durante as aulas do curso.

Listas de problemas estão organizadas em outro docu-mento e complementarão cada capítulo através da aplicaçãodos conteúdos estudados. Recomendo fortemente que osalunos se dediquem à resolução dos problemas propostos.

Ao fim do texto, apresento uma lista de referênciasbibliográficas utilizadas para a confecção destas notas deaula, cuja leitura é essencial para o bom aproveitamento dadisciplina.

Avaliações

O conteúdo do curso está dividido em três partes:

• Parte I: Carga e campo elétrico

• Parte II: Corrente elétrica e campo magnético

• Parte III: A natureza da luz

Ao final de cada parte do conteúdo, uma avaliação serárealizada para verificar o aprendizado dos alunos. A médiafinal será a média aritmética das avaliações parciais. Se amédia aritmética das notas nessas avaliações for igual ousuperior a 6,0 o estudante será considerado aprovado. Se amédia aritmética dessas avaliações for igual ou superior a 3,0(e menor do que 6,0), o estudante terá direito a uma prova derecuperação, que será realizada no final do semestre letivo eversará sobre todo o conteúdo ministrado durante o semestre.Neste caso, a nota final será a média aritmética entre a médiadas avaliações parciais e a nota da prova de recuperação. Asdatas das provas serão marcadas no primeiro dia de aula.

Frequência e aproveitamento

De acordo com a Resolução Nº17/CUn/97, que dispõesobre o regulamento dos cursos de graduação da UFSC, afrequência mínima exigida é de 75%.

Resolução Nº17/CUn/97

Dispõe sobre o Regulamento dos Cursos de Graduaçãoda UFSC.

Art. 69 - A verificação do rendimento escolar compreenderáfrequência e aproveitamento nos estudos, os quais deverão seratingidos conjuntamente.

§ 1º - A verificação do aproveitamento e do controle dafrequência às aulas será de responsabilidade do professor, sob asupervisão do Departamento de Ensino.

§ 2º - Será obrigatória a frequência às atividades correspon-dentes a cada disciplina, ficando nela reprovado o aluno que nãocomparecer, no mínimo, a 75% (setenta e cinco por cento) dasmesmas.

§ 3º - O professor registrará a frequência, para cada aula, emformulário próprio, fornecido pelo Departamento de Administra-ção Escolar-DAE.

§ 4º - Cabe ao aluno acompanhar, junto a cada professor, oregistro da sua freqüência às aulas.

(...)

Art. 70 - A verificação do alcance dos objetivos em cada dis-ciplina será realizada progressivamente, durante o período letivo,através de instrumentos de avaliação previstos no plano de ensino.

§ 1º - Até no máximo 10 (dez) dias úteis após a avaliação,respeitado o Calendário Escolar, o professor deverá divulgar anota obtida na avaliação, sendo garantido ao aluno o acesso àsua prova, podendo solicitar cópia da mesma ao Departamento deEnsino, arcando com os custos da mesma.

§ 2º - O aluno com freqüência suficiente (FS) e média das notasde avaliações do semestre entre 3,0 (três) e 5,5 (cinco vírgula cinco)terá direito a uma nova avaliação no final do semestre (...)

§ 3º - O resultado final do rendimento escolar, em cada disci-plina, será publicado no Departamento de Ensino, pelo prazo de 2(dois) dias úteis, após o qual será encaminhado ao Departamentode Administração Escolar-DAE, para registro.

§ 4º - Ao aluno que não comparecer às avaliações ou nãoapresentar trabalhos no prazo estabelecido será atribuída nota 0(zero).

§ 5º - No início do período letivo, o professor deverá darciência aos alunos do plano de ensino da disciplina, o qual ficará àdisposição dos interessados no respectivo Departamento de Ensinoe secretaria do Colegiado do Curso para consulta.

(...)

Art. 74 - O aluno, que por motivo de força maior e plenamentejustificado, deixar de realizar avaliações previstas no plano deensino, deverá formalizar pedido de avaliação à Chefia do Depar-tamento de Ensino ao qual a disciplina pertence, dentro do prazode 3 (três) dias úteis, recebendo provisoriamente a menção I.

§ 1º - Cessado o motivo que impediu a realização da avaliação,o aluno, se autorizado pelo Departamento de Ensino, deverá fazê-la quando, então, tratando-se de nota final, será encaminhada aoDepartamento de Administração Escolar-DAE, pelo Departamentode Ensino.

§ 2º - Se a nota final da disciplina não for enviada ao Departa-mento de Administração Escolar-DAE até o final do período letivoseguinte, será atribuída ao aluno, automaticamente, nota 0 (zero)na disciplina, com todas as suas implicações.

§ 3º - Enquanto o aluno não obtiver o resultado final daavaliação da disciplina, não terá direito à matrícula em disciplinaque a tiver como pré-requisito.

SUMÁRIO

Parte I: Carga e campo elétrico

1 Carga elétrica e Lei de Coulomb 4

1.1 Carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Exemplo: aplicação da lei de Coulomb . . . . . . 6

2 O campo elétrico 7

2.1 O conceito de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 O campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Linhas de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Campo elétrico de uma carga puntiforme. . . . . 7

2.5 Campo elétrico criado por um dipolo elétrico . 8

2.6 Campo elétrico de distribuições contínuas decarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Carga puntiforme em um campo elétrico . . . . . 11

3 Lei de Gauss 12

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Fluxo do campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 A lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Aplicações da lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6 Condutores em equilíbrio eletrostático . . . . . . . 16

4 Potencial elétrico 17

4.1 Potencial elétrico e diferença de potencial . . . . 17

4.2 Diferença de potencial em um campo elétricouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Potencial elétrico e energia potencial devidoa cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Potencial produzido por uma distribuiçãocontínua de cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5 Superfícies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.6 Cálculo do campo a partir do potencial . . . . . . 21

4.7 Potencial elétrico de um condutor carregado. . 21

5 Capacitores e dielétricos 23

5.1 Definição de capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Associação de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Energia armazenada em um campo elétrico . . 25

5.4 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Parte II: Corrente elétrica e campo magnético

6 Corrente elétrica e resistência 27

6.1 Corrente elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Potência em circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Circuitos de corrente contínua 31

7.1 Fontes de fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2 Resistores em série e em paralelo . . . . . . . . . . . . 31

7.3 Regras de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.4 Circuitos RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8 O campo magnético 36

8.1 O magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8.2 Campo magnético: cargas em movimento . . . . 36

8.3 Força magnética sobre uma carga em movi-mento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8.4 Movimento de uma partícula carregada emum campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.5 Força de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.6 Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.7 Força magnética sobre um condutor de corrente 38

8.8 Torque sobre uma espira em um campo mag-nético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9 Fontes de campo magnético 42

9.1 A experiência de Ørsted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.4 Força magnética entre dois condutores decorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9.5 Campo magnético de um solenóide . . . . . . . . . . 44

9.6 Campo magnético de um toróide . . . . . . . . . . . . 45

10 Lei de Faraday e indutância 46

10.1 Experimentos de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.2 Fluxo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.3 Lei de Faraday da indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.4 A lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.5 Campos elétricos induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10.6 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B

10.7 Cálculo da indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.8 Energia armazenada em um campo magnético 50

10.9 Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11 Propriedades magnéticas da matéria 52

11.1 Os momentos magnéticos dos átomos. . . . . . . . 52

11.2 Magnetização e intensidade do campo mag-nético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.3 Classificação das substâncias magnéticas . . . . 54

Parte III: A natureza da luz

12 Equações de Maxwell 56

12.1 Lei de Gauss para o magnetismo . . . . . . . . . . . . 56

12.2 Corrente de deslocamento e a lei de Ampèregeneralizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

12.3 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13 Ondas eletromagnéticas 59

13.1 Ondas eletromagnéticas planas . . . . . . . . . . . . . . 59

13.2 Descrição matemática de uma onda eletro-magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13.3 O espectro das ondas eletromagnéticas . . . . . . . 61

13.4 Energia transportada pelas ondas eletromag-néticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.5 Momento e pressão de radiação . . . . . . . . . . . . . 63

13.6 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14 Interferência 66

14.1 A natureza da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

14.2 Interferência de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

14.3 Interferência com fendas duplas . . . . . . . . . . . . . 67

14.4 Intensidade do padrão de interferência paraondas eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

15 Difração 70

15.1 Difração e a teoria ondulatória da luz . . . . . . . . 70

15.2 O princípio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

15.3 Difração por uma fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

15.4 Intensidade no padrão de difração por umafenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

15.5 Resolução; difração por uma abertura circular 72

15.6 Intensidade do padrão de difração por fendadupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

15.7 Redes de difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

16 Luz e física quântica 75

16.1 Radiação de corpo negro e a teoria de Planck . 75

16.2 Efeito fotoelétrico e a teoria de Einstein so-bre o fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

16.3 Espalhamento Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

16.4 A dualidade onda-partícula da luz . . . . . . . . . . . 78

17 Estrutura atômica 79

17.1 Primeiros modelos atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . 79

17.2 O espectro atômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

17.3 Modelo atômico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

18 Ondas e partículas 84

18.1 Propriedades ondulatórias das partículas: ahipótese de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

18.2 O átomo e a hipótese de de Broglie . . . . . . . . . . 84

18.3 A mecânica quântica: uma nova teoria . . . . . . . 85

18.4 A função de onda e sua interpretação . . . . . . . . 86

18.5 Princípio da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

18.6 Visão dos átomos na mecânica quântica . . . . . . 88

Referências bibliográficas 89

Prof. Abílio Mateus Jr.Departamento de Física (CFM)

http://abiliomateus.net/ensinoUniversidade Federal de Santa Catarina

4

1 CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB

A eletrostática é um ramo da Física que estuda osfenômenos relacionados com cargas elétricas em repouso.Um dos primeiros fenômenos de origem eletrostática foiobservado pelos gregos e descrito por Tales de Mileto porvolta do ano 600 a.C. Eles observaram que pedaços de umaresina chamada âmbar (elektron, em grego), quando atritadoscom tecidos adquiriam a capacidade de atrair pequenaspartículas de outros materiais. Como a ciência experimentale dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interessenesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica e dafilosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados(força eletrostática) só foi quantificada e equacionada noséculo XVIII pelo cientista francês Charles A. Coulomb.

1.1 CARGA ELÉTRICA

Assim como a massa, a carga elétrica é uma propriedadeintrínseca da matéria. Ao longo dos séculos, as observaçõesexperimentais permitiram a descoberta de importantes pro-priedades que a carga elétrica possui.

O âmbar

Um dos primeiros indícios da existência da carga elétricafoi constatada na Grécia antiga. Por volta de 600 a.C. ofilósofo grego Tales de Mileto notou que o âmbar (uma resinafóssil), quando atritado com a lã, adquiria a propriedade deatrair objetos leves. A palavra eletricidade surgiu exatamentea partir do termo grego para o âmbar, elektron.

Dois tipos de eletricidade

O físico francês Charles François du Fay (1698-1739)descobriu outra característica interessante: peças de âmbareletrizadas por atrito com um tecido se repelem, enquantoo vidro eletrizado atraía o âmbar. Duas “espécies” de cargaelétrica foram definidas: resinosa, relacionada ao âmbar, evítrea. Mais tarde Benjamin Franklin (1707-1790) adotou deforma totalmente arbitrária os termos utilizados atualmente:carga positiva e negativa.

Princípio da atração e repulsão

As experiências de du Fay mostraram uma importantepropriedade das cargas elétricas: Cargas de mesmo sinal serepelem, cargas de sinais opostos se atraem.

Princípio da conservação da carga elétrica

Quando um corpo é eletrizado por atrito, por exemplo, oestado de eletrização final se deve à transferência de cargasde um objeto para o outro. Não há criação de cargas noprocesso. Portanto, se um dos objetos cede uma certa carganegativa ao outro, ele ficará carregado positivamente, com amesma quantidade de carga cedida ao outro.

Corpos neutros

Todos os objetos da natureza contém cargas, porém namaioria das vezes não conseguimos percebê-las. Isto se deveao fato de que os objetos contêm quantidades iguais dos doistipos de cargas: cargas positivas e cargas negativas. Assim,a igualdade leva ao equilíbrio de cargas e dizemos que osobjetos são eletricamente neutros, ou seja, não possuem umacarga líquida. Se este equilíbrio é desfeito, dizemos que umcorpo está eletrizado, ou seja, uma carga líquida existirá e elepoderá interagir eletricamente.

Condutores e isolantes

Condutores são materiais em que um número signi-ficativo de partículas carregadas (elétrons livres) podemmovimentar-se livremente. Nos materiais não-condutores ouisolantes as partículas carregadas não se movem livremente.Quando uma certa quantidade de carga se move atravésde um material condutor dizemos que existe uma correnteelétrica no material.

Unidade SI

A unidade SI de carga é o Coulomb (C). Ele é definidoem termos da unidade de corrente elétrica, o ampère (A),como a carga que passa por um determinado ponto em1 segundo quando uma corrente de 1 ampère está fluindoatravés daquele ponto. A corrente elétrica será estudada noCapítulo 6.

Quantização da carga elétrica

No século XVIII, a carga elétrica era considerada comoum fluido contínuo. Entretanto, no início do século XX,Robert Millikan (1868-1953) descobriu que o fluido elétriconão era contínuo. A carga elétrica é constituída por ummúltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou seja, a cargaq de um certo objeto pode ser escrita como

q = ne, com n = 1, 2, 3, ...

onde e possui o valor de 1,60 × 10−19 C, sendo consideradauma das constantes fundamentais da natureza.

Podemos então dizer que a carga elétrica existe empacotes discretos ou, em termos modernos, é “quantizada”,não podendo assumir qualquer valor. Outras experiênciasda época de Millikan mostraram que o elétron tem carga −ee o próton +e, o que assegura que um átomo neutro tem omesmo número de prótons e elétrons. A Tabela 1.1 sumarizaas cargas e massas das partículas atômicas.



5

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 1: Carga elétrica e Lei de Coulomb

Tabela 1.1 – Principais propriedades dos constituintes de umátomo.

Partícula Carga elétrica (C) Massa (kg)

elétron −1,6021917 × 10−19 9,1095 × 10−31

próton 1,6021917 × 10−19 1,67261 × 10−27

nêutron 0 1,67492 × 10−27

1.2 LEI DE COULOMB

Descoberta

Em 1784, o físico francês Charles Augustin de Coulomb(1736-1806) realizou experimentos com uma balança detorção e mediu as atrações e repulsões elétricas entre duasesferas eletricamente carregadas. A partir dessas medidasele deduziu a lei que governa a eletrostática:

A força elétrica exercida por um corpo carre-gado sobre outro depende diretamente do pro-duto do módulo das cargas e inversamente doquadrado da distância que os separa.

A lei de Coulomb

Em termos matemáticos:

F ∝ q1q2

r2 ,

onde q1 e q2 são as cargas elétricas de dois corpos separadospor uma distância r. Introduzindo uma constante de propor-cionalidade, k, a expressão matemática para a lei de Coulombfica:

F = kq1q2

r2 .

Note que a lei de Coulomb assemelha-se à lei da Gravitaçãode Newton, F = Gm1m2/r2. Ambas são leis para o inversodo quadrado da distância. A carga q, neste caso, é o análogoda massa.

A constante k é definida como:

k =1

4πϵ0= 8,99 × 109 N ·m2/C2,

ondeϵ0 = 8,85418781762 × 10−12 C2/N ·m2,

é a constante de permissividade elétrica do vácuo. Portantopodemos escrever a lei de Coulomb como

F =1

4πϵ0

q1q2

r2 .

Forma vetorial da lei de Coulomb

Até aqui consideramos apenas o módulo da força entreduas cargas, determinada de acordo com a lei de Coulomb. Aforça, sendo um vetor, também tem propriedades direcionais.

magnitude of the charge of (1.60 ! 10"19)"1 # 6.25 ! 1018 electrons. (The ele-mentary charge e was introduced in Section 5.5.) Note that 1 C is a substantialamount of charge. In typical electrostatic experiments, where a rubber or glass rodis charged by friction, a net charge on the order of 10"6 C (# 1 $C) is obtained. Inother words, only a very small fraction of the total available electrons (on the orderof 1023 in a 1-cm3 sample) are transferred between the rod and the rubbing mater-ial. The experimentally measured values of the charges and masses of the electron,proton, and neutron are given in Table 19.1.

When dealing with Coulomb’s law, remember that force is a vector quantityand must be treated accordingly. Furthermore, Coulomb’s law applies exactly onlyto particles.1 The electrostatic force exerted by q1 on q2, written , can be expressedin vector form as2

[19.2]

where is a unit vector directed from q1 toward q2 as in Active Figure 19.7a. Equa-tion 19.2 can be used to find the direction of the force in space, although a carefullydrawn pictorial representation is needed to clearly identify the direction of . FromNewton’s third law, we see that the electric force exerted by q2 on q1 is equal in magni-tude to the force exerted by q1 on q2 and in the opposite direction; that is,

. From Equation 19.2, we see that if q1 and q2 have the same sign, theproduct q1q2 is positive and the force is repulsive as in Active Figure 19.7a. The forceon q2 is in the same direction as and is directed away from q1. If q1 and q2 are of op-posite sign as in Active Figure 19.7b, the product q1q2 is negative and the force is attrac-tive. In this case, the force on q2 is in the direction opposite to , directed toward q1.

When more than two charged particles are present, the force between any pairis given by Equation 19.2. Therefore, the resultant force on any one particle equalsthe vector sum of the individual forces due to all other particles. This principle ofsuperposition as applied to electrostatic forces is an experimentally observed factand simply represents the traditional vector sum of forces introduced in Chapter 4.As an example, if four charged particles are present, the resultant force on particle1 due to particles 2, 3, and 4 is given by the vector sum

F:

1 # F:

21 % F:

31 % F:

41

r12

r12

F:

21 # "F:

12

r12ˆ

r12

F:

12 # ke q1q2

r 2 r12

F:

12

COULOMB’S LAW ! 609

y p g p p pp

1Coulomb’s law can also be used for larger objects to which the particle model can be applied.2Notice that we use “q2” as shorthand notation for “the particle with charge q2.” This usage is commonwhen discussing charged particles, similar to the use in mechanics of “m2” for “the particle with massm2.” The context of the sentence will tell you whether the symbol represents an amount of charge or aparticle with that charge.

Charge and Mass of the Electron, Proton, and NeutronTABLE 19.1Particle Charge (C) Mass (kg)

Electron (e) "1.602 176 5 ! 10"19 9.109 38 ! 10"31

Proton (p) %1.602 176 5 ! 10"19 1.672 62 ! 10"27

Neutron (n) 0 1.674 93 ! 10"27

–

+r

(a)F21

F12

q1

q2

(b)

F21

F12

q1

q2

r12ˆ

+

+

Two point charges separated by a dis-tance r exert a force on each othergiven by Coulomb’s law. Note that theforce exerted by q2 on q1 is equalin magnitude and opposite in direc-tion to the force exerted by q1

on q2 . (a) When the charges are ofthe same sign, the force is repulsive. (b) When the charges are of oppositesigns, the force is attractive.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 19.7 to move thecharges to any position in two-dimensional space and observe theelectric forces on them.

F:

12

F:

21

ACTIVE FIGURE 19.7

(i) Object A has a charge of %2 $C, and object B has a charge of%6 $C. Which of the following statements is true about the electric forces on the objects?(a) FAB # "3FBA (b) FAB # " FBA (c) 3FAB # " FBA (d) FAB # 3FBA (e) FAB # FBA(f ) 3FAB # FBA (ii) Which of the following statements is true about the electric forces onthe objects? (a) (b) (c) (d)(e) (f ) 3F

:AB # F

:BAF

:AB # F

:BA

F:

AB # 3F:

BA3F:

AB # " F:

BAF:

AB # " F:

BAF:

AB # " 3F:

BA

QUICK QUIZ 19.3

Figura 1.1 – Sentido das forças eletrostáticas entre duas cargaselétricas (a) de sinal positivo e (b) de sinais opostos. ©Serway–Jewett 3ed.

No caso da lei de Coulomb o sentido da força é determinadopelo sinal relativo das duas cargas elétricas. A força de atra-ção ou de repulsão entre as cargas puntiformes em repousoatua ao longo da linha que as une (ver Figura 1.1).

Podemos representar a força eletrostática em termosvetoriais como:

F12 =1

4πϵ0

q1q2

r212

r12,

onde F12 é a força exercida sobre a partícula 1 pela partícula2, r12 representa o módulo do vetor r12, e r12 indica o vetorunitário do sentido de r12 (Figura 1.1). Ou seja,

r12 =r12

r12.

De acordo com a terceira lei de Newton, a força exercidasobre a partícula 2 pela partícula 1, F21, é oposta a F12, epode ser expressa como:

F21 =1

4πϵ0

q1q2

r221

r21.

Como r21 possui sentido oposto ao vetor r12, temos que:

F12 = −F21.

Princípio da superposição

Se várias forças atuam sobre uma carga elétrica, a forçaresultante sobre ela é determinada através da soma vetorialde todas as forças:

F1 = F12 + F13 + F14 + ... + FN



6

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 1: Carga elétrica e Lei de Coulomb

1.3 EXEMPLO: APLICAÇÃO DA LEI DE COULOMB

Considere o arranjo de cargas mostrado na Figura 1.2abaixo, onde q1 = −1,2 µC, q2 = +3,7 µC e q3 = −2,3 µC.As cargas q1 e q2 estão separadas por 15 cm no eixo x, ea carga q3 está a 10 cm da carga q1, formando um ânguloθ = 32° com o eixo y.

Figura 1.2 – Arranjo de cargas. Qual a força resultante atuandosobre a carga q1?

Desejamos calcular a força resultante que atua sobre acarga q1, devido às cargas q2 e q3. Usando o princípio dasuperposição, primeiramente calculamos o módulo de cadaforça:

F12 = kq1q2

r212

= 8,99× 109 (1,2× 10−6)(3,7× 10−6)(0,15)2 = 1,77 N

F13 = kq1q3

r213

= 8,99× 109 (1,2× 10−6)(2,3× 10−6)(0,10)2 = 2,48 N

Em seguida, determinamos as componentes x e y da forçaresultante:

F1x = F12x + F13x = F12 + F13 sen θ

F1x = 1,77 + 2,48 sen 32° = 3,08 N

F1y = F12y + F13y = 0 − F13 cos θ

F1y = −2,48 cos 32° = −2,10 N

A força resultante é então:

F1 = F1x x + F1yy = 3,08ı − 2,10 ȷ

O módulo é dado por:

|F1| =√

F21x + F2

1y =√

(3,08)2 + (−2,10)2 = 3,73 N

A força resultante F1 forma um ângulo α com o eixo x,obtido pela relação:

F1x = F1 cosα⇒ cosα =F1x

F1⇒ α = 33,8°



7

2 O CAMPO ELÉTRICO

2.1 O CONCEITO DE CAMPO

Suponhamos que se fixe, num determinado ponto, umapartícula com carga positiva, q1, e a seguir coloquemos emsuas proximidades uma segunda partícula também positiva-mente carregada, q2. De acordo com a lei de Coulomb,sabemos que q1 exerce uma força eletrostática repulsivasobre q2 e, com dados suficientes, poderíamos determinar omódulo, a direção e o sentido dessa força. Ainda assim, umaquestão embaraçosa permanece: como q1 “sabe” da presençade q2? Isto é, desde que as partículas não se tocam, comopode q1 exercer força sobre q2?

Essa questão sobre ação à distância pode ser respondidaatravés do conceito de campo. Campo, de uma maneirageral, é uma grandeza que pode ser associada à posição. Porexemplo, a temperatura do ar em uma sala tem um valorespecífico em cada ponto, e neste caso temos um campo detemperaturas T (x, y, z). Se ao invés de uma grandeza escalarcomo a temperatura ou pressão, tivermos grandezas vetoriais,como a velocidade do fluxo num fluido, teremos um campovetorial associado a cada ponto do fluido, u(x, y, z). Outroexemplo de um campo vetorial é o campo gravitacionalterrestre.

No caso da interação entre cargas elétricas, dizemos quea carga q1 cria um campo elétrico no espaço ao seu redor.Em qualquer ponto P desse espaço, o campo tem módulo,direção e sentido (campo vetorial). O módulo depende domódulo de q1 e da distância entre P e q1. A direção e osentido dependem da direção da reta que passa por q1 e P e dosinal elétrico de q1. Assim, quando colocamos q2 no pontoP, q1 interage com q2 através do campo elétrico existente emP, isto é:

q1 campo q2

A primeira carga gera um campo elétrico, e a segundainterage com ele. O módulo, a direção e o sentido dessecampo elétrico determinam o módulo, a direção e o sentidoda força que atua sobre q2.

2.2 O CAMPO ELÉTRICO

Definimos o campo elétrico E associado a um certoconjunto de cargas em termos da força exercida sobre umacarga de prova positiva q0, em um determinado ponto, ouseja

E =Fq0.

A unidade SI para o campo elétrico é o newton/coulomb(N/C).

Note que a carga de prova q0 deve ser suficientementepequena para não perturbar a distribuição de cargas, cujocampo elétrico estamos tentando medir. Isto é, em termos

matemáticos, a forma mais correta da definição do campoelétrico deveria ser

E = limq0→e

Fq0.

2.3 LINHAS DE FORÇA

As linhas de força do campo elétrico constituem umauxílio para visualizar o campo. Uma linha de força oulinha de campo é traçada de tal maneira que sua direção esentido em qualquer ponto são os mesmos que os do campoelétrico nesse ponto. A Figura 2.1 mostra exemplos de linhasde campo para algumas distribuições de cargas elétricas.Características das linhas de força são listadas a seguir:

1. As linhas de força mostram a direção do campo elé-trico em qualquer ponto. Em linhas curvas, a direçãodo campo é tangente à curva.

2. As linhas de força se originam em cargas positivas eterminam em cargas negativas.

3. As linhas de força são desenhadas de modo que onúmero de linhas por unidade de área da seção reta(perpendicular às linhas) seja proporcional à intensi-dade do campo elétrico.

2.4 CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGAPUNTIFORME

Seja uma carga de prova positiva q0 situada a umadistância r de uma carga puntiforme q. O módulo da forçaque atua sobre q0 é dado pela lei de Coulomb,

F =1

4πϵ0

qq0

r2 .

O módulo do campo elétrico no ponto em que se encontra acarga de prova é

E =Fq0=

14πϵ0

qr2 .

A direção de E será idêntica à de F, ao longo de uma linharadial com origem em q, apontando para fora se q for positivae para dentro se negativa.

Para uma distribuição de N cargas pontuais, o campoelétrico E será obtido através do princípio da superposição

E = E1 + E2 + E3 + ... + EN

ou seja, num dado ponto, os campos elétricos devidos a umadistribuição de cargas separadas simplesmente se somam(vetorialmente) ou se superpõem independentemente.



8

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 2: O campo elétrico

Some representative electric field lines for a single positive point charge areshown in Figure 19.16a. Note that in this two-dimensional drawing we show onlythe field lines that lie in the plane of the page. The lines are actually directedradially outward in all directions from the charge, somewhat like the needles of aporcupine. Because a positively charged test particle placed in this field would berepelled by the charge q, the lines are directed radially away from q. Similarly, theelectric field lines for a single negative point charge are directed toward the charge(Fig. 19.16b). In either case, the lines are radial and extend to infinity. Note thatthe lines are closer together as they come nearer to the charge, indicating that themagnitude of the field is increasing.

Is this visualization of the electric field in terms of field lines consistent withEquation 19.5? To answer this question, consider an imaginary spherical surface ofradius r, concentric with the charge. From symmetry, we see that the magnitude ofthe electric field is the same everywhere on the surface of the sphere. The numberof lines N emerging from the charge is equal to the number penetrating the spheri-cal surface. Hence, the number of lines per unit area on the sphere is N/4!r 2

(where the surface area of the sphere is 4!r 2). Because E is proportional to thenumber of lines per unit area, we see that E varies as 1/r 2. This result is consistentwith that obtained from Equation 19.5; that is, E " keq/r 2.

The rules for drawing electric field lines for any charge distribution are asfollows:

• The lines for a group of point charges must begin on positive charges and endon negative ones. In the case of an excess of one type of charge, some lines willbegin or end infinitely far away.

• The number of lines drawn beginning on a positive charge or ending on a nega-tive one is proportional to the magnitude of the charge.

• Field lines cannot intersect.

Because charge is quantized, the number of lines leaving any positively chargedobject must be 0, ae, 2ae, . . . , where a is an arbitrary (but fixed) proportionalityconstant chosen by the person drawing the lines. Once a is chosen, the number oflines is no longer arbitrary. For example, if object 1 has charge Q 1 and object 2 hascharge Q 2, the ratio of the number of lines connected to object 2 to those con-nected to object 1 is N 2/N 1 " Q 2/Q 1.

The electric field lines for two point charges of equal magnitude but oppositesigns (the electric dipole) are shown in Figure 19.17. In this case, the number oflines that begin at the positive charge must equal the number that terminate at thenegative charge. At points very near the charges, the lines are nearly radial. The

ELECTRIC FIELD LINES ! 617

y p g p p pp

(a)

q

(b)

–q+ –

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

The electric field lines for a point charge. (a) For a positive point charge, the lines aredirected radially outward. (b) For a negative point charge, the lines are directedradially inward. Note that the figures show only those field lines that lie in the planecontaining the charge. (c) The dark areas are small particles suspended in oil, whichalign with the electric field produced by a small charged conductor at the center.

FIGURE 19.16

ELECTRIC FIELD LINES ARE NOT PATHS

OF PARTICLES Electric field linesrepresent the field at variouslocations. Except in very specialcases, they do not represent the pathof a charged particle released in anelectric field.


(a)

+ –

(c)

(b)

(a) The electricfield lines for two charges of equalmagnitude and opposite sign (an elec-tric dipole). Note that the number oflines leaving the positive chargeequals the number terminating at thenegative charge. (b) Small particlessuspended in oil align with theelectric field.

FIGURE 19.17

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)











y p g p p pp

(a)

q

(b)

–q+ –

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)


FIGURE 19.16




(a)

+ –

(c)

(b)


FIGURE 19.17

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

high density of lines between the charges indicates a region of strong electricfield. The attractive nature of the force between the particles is also suggested byFigure 19.17, with the lines from one particle ending on the other particle.

Figure 19.18 shows the electric field lines in the vicinity of two equal positivepoint charges. Again, close to either charge the lines are nearly radial. The samenumber of lines emerges from each particle because the charges are equal inmagnitude. At great distances from the particles, the field is approximately equal tothat of a single point charge of magnitude 2q. The repulsive nature of the electricforce between particles of like charge is suggested in the figure in that no linesconnect the particles and that the lines bend away from the region between thecharges.

Finally, we sketch the electric field lines associated with a positive point charge!2q and a negative point charge "q in Active Figure 19.19. In this case, the num-ber of lines leaving !2q is twice the number terminating on "q. Hence, only halfthe lines that leave the positive charge end at the negative charge. The remaininghalf terminate on hypothetical negative charges we assume to be locatedinfinitely far away. At large distances from the particles (large compared with theparticle separation), the electric field lines are equivalent to those of a single pointcharge !q.

618 ! CHAPTER 19 ELECTRIC FORCES AND ELECTRIC FIELDS

y p g p p pp

(a) The electricfield lines for two positive pointcharges. (The locations A, B, and Care discussed in Quick Quiz 19.5.)(b) Small particles suspended in oilalign with the electric field.

FIGURE 19.18

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

(a)

+ +C

A

B

(b)

Rank the magnitudes of the electric field at points A, B, and C inFigure 19.18a, largest magnitude first.QUICK QUIZ 19.5

MOTION OF CHARGED PARTICLES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD

When a particle of charge q and mass m is placed in an electric field , the electricforce exerted on the charge is given by Equation 19.4, . If this force is theonly force exerted on the particle, it is the net force. According to the particle un-der a net force model from Chapter 4, the net force causes the particle to acceler-ate. In this case, Newton’s second law applied to the particle gives

The acceleration of the particle is therefore

[19.11]

If is uniform (i.e., constant in magnitude and direction), the acceleration is con-stant. If the particle has a positive charge, its acceleration is in the direction of theelectric field. If the particle has a negative charge, its acceleration is in the directionopposite the electric field.

E:

a: #q E

:

m

F:

e # q E:

# ma:

F:

e # qE:

E:

19.7

+2q – –q+

The electric field lines for a pointcharge ! 2q and a second pointcharge "q. Note that two lines leavethe charge ! 2q for every one that terminates on " q.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 19.19 to choosethe values and signs for the twocharges and observe the electric fieldlines for the configuration that youhave chosen.

ACTIVE FIGURE 19.19

ELECTRIC FIELD LINES ARE NOT REAL

Electric field lines are not materialobjects. They are used only as apictorial representation to providea qualitative description of theelectric field. One problem withthis representation is that onealways draws a finite number oflines from each charge, whichmakes it appear as if the field werequantized and exists only in certainparts of space. The field, in fact, iscontinuous, existing at every point.Another problem with thisrepresentation is the danger ofobtaining the wrong impressionfrom a two-dimensional drawing offield lines used to describe a three-dimensional situation.












y p g p p pp

(a)

q

(b)

–q+ –

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)


FIGURE 19.16




(a)

+ –

(c)

(b)


FIGURE 19.17

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

high density of lines between the charges indicates a region of strong electricfield. The attractive nature of the force between the particles is also suggested byFigure 19.17, with the lines from one particle ending on the other particle.

Figure 19.18 shows the electric field lines in the vicinity of two equal positivepoint charges. Again, close to either charge the lines are nearly radial. The samenumber of lines emerges from each particle because the charges are equal inmagnitude. At great distances from the particles, the field is approximately equal tothat of a single point charge of magnitude 2q. The repulsive nature of the electricforce between particles of like charge is suggested in the figure in that no linesconnect the particles and that the lines bend away from the region between thecharges.

Finally, we sketch the electric field lines associated with a positive point charge!2q and a negative point charge "q in Active Figure 19.19. In this case, the num-ber of lines leaving !2q is twice the number terminating on "q. Hence, only halfthe lines that leave the positive charge end at the negative charge. The remaininghalf terminate on hypothetical negative charges we assume to be locatedinfinitely far away. At large distances from the particles (large compared with theparticle separation), the electric field lines are equivalent to those of a single pointcharge !q.


y p g p p pp

(a) The electricfield lines for two positive pointcharges. (The locations A, B, and Care discussed in Quick Quiz 19.5.)(b) Small particles suspended in oilalign with the electric field.

FIGURE 19.18

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

(a)

+ +C

A

B

(b)

Rank the magnitudes of the electric field at points A, B, and C inFigure 19.18a, largest magnitude first.QUICK QUIZ 19.5

MOTION OF CHARGED PARTICLES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD

When a particle of charge q and mass m is placed in an electric field , the electricforce exerted on the charge is given by Equation 19.4, . If this force is theonly force exerted on the particle, it is the net force. According to the particle un-der a net force model from Chapter 4, the net force causes the particle to acceler-ate. In this case, Newton’s second law applied to the particle gives

The acceleration of the particle is therefore

[19.11]

If is uniform (i.e., constant in magnitude and direction), the acceleration is con-stant. If the particle has a positive charge, its acceleration is in the direction of theelectric field. If the particle has a negative charge, its acceleration is in the directionopposite the electric field.

E:

a: #q E

:

m

F:

e # q E:

# ma:

F:

e # qE:

E:

19.7

+2q – –q+

The electric field lines for a pointcharge ! 2q and a second pointcharge "q. Note that two lines leavethe charge ! 2q for every one that terminates on " q.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 19.19 to choosethe values and signs for the twocharges and observe the electric fieldlines for the configuration that youhave chosen.

ACTIVE FIGURE 19.19

ELECTRIC FIELD LINES ARE NOT REAL

Electric field lines are not materialobjects. They are used only as apictorial representation to providea qualitative description of theelectric field. One problem withthis representation is that onealways draws a finite number oflines from each charge, whichmakes it appear as if the field werequantized and exists only in certainparts of space. The field, in fact, iscontinuous, existing at every point.Another problem with thisrepresentation is the danger ofobtaining the wrong impressionfrom a two-dimensional drawing offield lines used to describe a three-dimensional situation.


Figura 2.1 – Exemplos de linhas de campo elétrico: uma partícula com carga positiva; uma partícula com carga negativa; um dipolo elétrico;duas partículas com mesma carga positiva; duas partículas com cargas +2q e −q. ©Serway–Jewett 3ed.

2.5 CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR UM DIPOLOELÉTRICO

A Figura 2.2 mostra uma configuração de cargas cha-mada dipolo elétrico. As cargas positiva e negativa geramcampos elétricos E+ e E−, respectivamente. Os módulosdestes dois campos em P são iguais, porque P é equidistantedas cargas positiva e negativa.

!

! ! !

q

q

d

r

r

x

y

!E"!E#

!E"

#

P

Figura 2.2 – Cargas positiva e negativa de igual magnitude formamum dipolo elétrico. O campo elétrico E em qualquer ponto é o vetorsoma dos campos gerados pelas cargas individuais. No ponto Psobre o eixo x, o campo tem apenas uma componente y.

O campo elétrico total em P é dado pela soma vetorialdos campos individuais:

E = E+ + E−.

As magnitudes dos campos de cada uma das cargas são dadaspor

(2.1) E+ = E− =1

4πϵ0

qr2 =

14πϵ0

qx2 + (d/2)2 .

A componente x do campo será nula, já que:

Ex = E+ sen θ − E− sen θ = 0.

O campo total E possui apenas a componente y, com módulodado por:

(2.2) E = Ey = E+ cos θ + E− cos θ = 2E+ cos θ.

O ângulo θ é determinado por

cos θ =d/2√

x2 + (d/2)2.

Substituindo este resultado e a Eq. 2.1 na Eq. 2.2, obtemos

E = 21

4πϵ0

qx2 + (d/2)2

d/2√x2 + (d/2)2

ou

(2.3) E =1

4πϵ0

qd[x2 + (d/2)2]3/2 .

A Eq. 2.3 fornece o módulo do campo elétrico em P devidoao dipolo. O produto qd é denominado momento de dipoloelétrico, p:

p = qd.

Frequentemente, observamos o campo de um dipolo elétricoem pontos P cuja distância x ao dipolo é muito grandecomparada com a separação d, isto é, x ≫ d, logo

(2.4) E =1

4πϵ0

px3 .

2.6 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕESCONTÍNUAS DE CARGA

Vamos agora considerar uma distribuição contínua decarga, cujo campo gerado pode ser calculado dividindo-se a distribuição em elementos infinitesimais de carga dq.Cada elemento de carga produz um campo dE num pontoP e o campo resultante é determinado pelo princípio dasuperposição, somando-se (integrando-se) as contribuiçõesde campo de cada elemento dq, ou seja,

E =ˆ

dE.

Podemos decompor esta integral em cada componente noespaço cartesiano:

Ex =

ˆdEx, Ey =

ˆdEy e Ez =

ˆdEz.



9


O campo criado por cada elemento de carga é dado por:

dE =1

4πϵ0

dqr2 ,

onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P.

Em geral, uma distribuição contínua de cargas é descritapela sua densidade de carga. Numa distribuição linear como,por exemplo, um fino filamento carregado, um elementoarbitrário de comprimento ds possui uma carga dq dada por

dq = λds,

onde λ é a densidade linear de carga (ou carga por unidadede comprimento) do objeto. Se o objeto estiver uniforme-mente carregado, então λ será constante e igual à carga totaldo objeto dividida pelo seu comprimento total L. Neste caso,

dq =qL

ds, carga linear uniforme.

Se a carga estiver distribuída sobre uma superfície, acarga dq contida em qualquer elemento de área dA será

dq = σdA,

onde σ será a densidade superficial de carga (ou carga porunidade de área). Numa distribuição uniforme de carga sobrea superfície, σ será constante e igual à carga total divididapela área total, ou seja

dq =qA

dA, carga superficial uniforme.

Analogamente, podemos considerar uma carga distri-buída num volume: a carga dq contida no elemento devolume dV será

dq = ρdV,

onde ρ é a densidade volumétrica de carga (ou carga porunidade de volume). Se o objeto estiver uniformementecarregado, ρ será constante, de forma que

dq =qV

dV, carga volumétrica uniforme.

Alguns exemplos do cálculo do campo elétrico de al-gumas distribuições contínuas de carga são discutidos nostópicos a seguir.

Linha infinita de cargas

A Figura 2.3 mostra uma linha contendo cargas positivasuniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento.Vamos determinar o módulo do campo elétrico em um pontoP localizado a uma distância x do ponto médio O da linha.Assumimos que x é muito menor que o comprimento da linhae que λ é a densidade linear de cargas.

Definimos um sistema de coordenadas de tal forma queo eixo y está na direção da linha, com origem no ponto O.

L

q1 q2

y

x

q2q1!F 12 !F 21"r 12

r 12

! !L L

qqx

dq#$ dy

x

yr#% x2& y2

!

!E

dE x

dE y

PO

d

Figura 2.3 – Linha infinita de cargas.

Um segmento da linha dy possui carga dq = λ dy. O campoelétrico dE no ponto P produzido por este elemento de carga(ou pelo segmento da linha) é dado por:

dE =1

4πϵ0

dqr2 =

14πϵ0

λ dy(x2 + y2)

onde r = (x2 + y2)1/2. O vetor dE possui componentes dEx edEy, como mostrado na figura, onde dEx = dE cos θ e dEy =dE sen θ.

Como o ponto O está na metade da linha, a componentey do campo E será zero, já que haverá contribuições iguaispara Ey =

´dEy acima e abaixo de O:

Ey =ˆ

dE sen θ = 0.

Portanto, temos

E = Ex =

ˆdE cos θ =

λ

4πϵ0

ˆcos θ dy(x2 + y2)

.

A integral é feita em y, logo x é constante. Devemos agoraescrever y em função de θ. Como y = x tan θ, então dy =x dθ/ cos2 θ. Além disso, como cos θ = x/r = x/

√x2 + y2,

temos que 1/(x2 + y2) = cos2 θ/x2. A integral acima fica:

E =λ

4πϵ0

ˆcos θ x dθ

cos2 θ

cos2 θ

x2 =λ

4πϵ0x

ˆ π/2−π/2

cos θ dθ

E =λ

4πϵ0xsen θ

∣∣∣∣∣∣π/2−π/2 = λ

2πϵ0x,

onde assumimos que a linha é extremamente longa em ambosos lados (y→ ±∞) que corresponde aos limites θ = ±π/2.

Anel de cargas

Um anel de raio a possui uma carga total Q positivadistribuída uniformemente. Vamos calcular o campo elétricodevido a este anel de cargas em um ponto P localizado auma distância x do seu centro ao longo de um eixo centralperpendicular ao plano do anel (Figura 2.4).



10


ELECTRIC FIELD LINESA convenient specialized pictorial representation for visualizing electric field pat-terns is created by drawing lines showing the direction of the electric field vector atany point. These lines, called electric field lines, are related to the electric field inany region of space in the following manner:

• The electric field vector is tangent to the electric field line at each point.• The number of electric field lines per unit area through a surface that is per-

pendicular to the lines is proportional to the magnitude of the electric field inthat region. Therefore, E is large where the field lines are close together andsmall where they are far apart.

These properties are illustrated in Figure 19.15. The density of lines throughsurface A is greater than the density of lines through surface B. Therefore, themagnitude of the electric field on surface A is larger than on surface B. Further-more, the field drawn in Figure 19.15 is nonuniform because the lines at differentlocations point in different directions.

E:

19.6


y p g p p pp

axis. Because r ! (x2 " a2)1/2 and cos # ! x/r, we findthat

We integrate this expression to find the total field at P.In this case, all segments of the ring give the same con-tribution to the field at P because they are all equidis-tant from this point. Therefore,

!

This result shows that the field is zero at the centerpoint of the ring, x ! 0. Does that surprise you?

kex(x2 " a2)3/2 Q

Ex ! ! kex(x2 " a2)3/2 dq !

kex(x2 " a2)3/2 !dq

dEx ! dE cos # ! "ke dqr 2 # " x

r # !kex

(x2 " a2)3/2 dq

The Electric Field of a Uniform Ring of ChargeEXAMPLE 19.5A ring of radius a has a uniform positive charge perunit length, with a total charge Q. Calculate the electricfield at a point P on the axis of the ring at a distance xfrom the center of the ring (Fig. 19.14a).

Solution The magnitude of the electric field at P dueto the segment of charge dq is

This field has an x component dEx ! dE cos # along theaxis of the ring and a component dE! perpendicular tothe axis. The perpendicular component of any elementis canceled by the perpendicular component of anelement on the opposite side of the ring, as for the ele-ments 1 and 2 in Figure 19.14b. Therefore, the perpen-dicular components of the field for the entire ring sumto zero and the resultant field at P must lie along the x

dE ! ke dqr 2

(a)

+ +

+

+

++

+

++ +

++++

++

" P dEx

dEdE!

x x

r

dq

a

(b)

+ +

+

+

++

+

++

+

++

++ +

+

"

dE2

1

dE1

2

(Example 19.5) A uniformly charged ring of radius a. (a) The field at P on the x axisdue to an element of charge dq. (b) The total electric field at P is along the x axis.The perpendicular component of the electric field at P due to segment 1 is canceledby the perpendicular component due to segment 2.

FIGURE 19.14

BA

Electric field linespenetrating two surfaces. The magni-tude of the field is greater on surfaceA than on surface B.

FIGURE 19.15

Figura 2.4 – Anel de cargas.

O módulo do campo elétrico no ponto P devido a umsegmento de carga dq é

dE =1

4πϵ0

dqr2 .

Este campo possui uma componente dEx = dE cos θ aolongo do eixo x e uma componente dE⊥ perpendicular aoeixo x. O campo resultante em P deve estar orientado apenasno eixo x já que as componentes perpendiculares de todosos elementos de carga se cancelarão. Ou seja, a componenteperpendicular do campo criado por um elemento de cargaqualquer é cancelada pela componente perpendicular criadapor um elemento no lado oposto do anel.

Como r =√

x2 + a2 e cos θ = x/r, temos que:

dEx = dE cos θ =1

4πϵ0

dqr2

xr=

14πϵ0

x dq(x2 + a2)3/2 .

Todos os segmentos do anel possuem a mesma contribuiçãopara o campo no ponto P pois eles estão à mesma distânciadesse ponto. Assim, podemos integrar a expressão acimapara obter o campo total em P:

Ex =

ˆ1

4πϵ0

x dq(x2 + a2)3/2 =

14πϵ0

x(x2 + a2)3/2

ˆdq

Ex =1

4πϵ0

xQ(x2 + a2)3/2 .

Este resultado mostra que o campo é zero em x = 0.

Disco uniformemente carregado

Na Figura 2.5, carga elétrica está distribuída uniforme-mente sobre um disco circular de raio R. A carga por unidadede área (C/m2) é σ. Vamos calcular o campo elétrico em umponto P sobre o eixo do disco, a uma distância z acima doseu centro.

Podemos imaginar o disco como um conjunto de anéisconcêntricos. Podemos então aplicar o resultado obtidoanteriormente para o caso de um anel carregado e integrar aolongo de R, somando as contribuições de infinitos elementosde carga na forma de anéis.

Figura 2.5 – Disco uniformemente carregado.

Para um anel de raio r mostrado na Figura 2.5, o campoelétrico possui módulo:

dE =1

4πϵ0

z dq(z2 + r2)3/2 .

onde escrevemos dE (ao invés de E) para este fino anel decarga total dq. O anel possui uma área (dr)(2πr) e densidadesuperficial de carga σ = dq/(2πr dr). Logo, dq = σ2πr dr, esubstituindo na expressão acima para dE temos:

dE =1

4πϵ0

zσ2πr dr(z2 + r2)3/2 =

zσr dr2ϵ0(z2 + r2)3/2 .

Agora somamos sobre todos os anéis, desde r = 0 até r = R:

E =zσ2ϵ0

ˆ R

0

r dr(z2 + r2)3/2 =

zσ2ϵ0

[− 1

(z2 + r2)1/2

]R

0

E =σ

2ϵ0

[1 − z

(z2 + R2)1/2

].

Esta expressão dá o módulo de E em qualquer ponto z aolongo do eixo do disco. A direção de cada elemento dEdevido a cada anel está na direção do eixo z, e portanto essatambém é a direção do campo E. Se q (e σ) são positivos, Eaponta para fora do disco; se q (e σ) são negativos, E apontaem direção ao disco.

Plano infinito

Se o raio do disco é muito maior que a distância doponto P ao disco, isto é, se z ≪ R, temos a configuraçãode um “plano infinito”. Neste caso, o segundo termo daexpressão do campo elétrico para o disco carregado torna-sedesprezível, de forma que para um plano infinito temos:

E =σ

2ϵ0

Este resultado é válido para qualquer ponto acima (ouabaixo) de um plano infinito de qualquer formato que possuiuma densidade superficial de cargas σ. Ele também é válidopara pontos próximos de um plano finito, desde que o pontoesteja suficientemente próximo do plano comparado comsua distância para as bordas do plano. Assim, o camponas proximidades de um plano carregado uniformemente éuniforme, e dirigido para fora do plano se a carga é positiva.



11


2.7 CARGA PUNTIFORME EM UM CAMPOELÉTRICO

Uma partícula de carga q em um campo elétrico Eexperimenta uma força F dada por

(2.5) F = qE.

Para estudar o movimento da partícula no campo elétrico,tudo o que precisamos fazer é usar a segunda lei de Newton,∑

F = ma, onde a força resultante sobre a partícula incluia força elétrica e quaisquer outras forças que possam estaratuando. A aceleração da partícula é portanto:

a =qEm.

Se E é uniforme (isto é, constante em magnitude e direção),a aceleração é constante. Se a partícula possui carga positiva,sua aceleração está na direção do campo. Se a carga fornegativa, sua aceleração é na direção oposta ao campoelétrico.

Exemplo: uma carga positiva acelerada

Uma partícula com carga positiva q e massa m parte dorepouso em um campo elétrico uniforme E dirigido ao longodo eixo x, como mostra a Figura 2.6. Vamos descrever o seumovimento.

A aceleração da partícula é constante e é dada por qE/m,portanto ela descreverá um movimento linear simples aolongo do eixo x. Considerando as equações de cinemáticaem uma dimensão, podemos descrever seu movimento:

x f = xi + vit + 12 at2

v f = vi + at

v2f = v2i + 2a(x f − xi)

The electric field in the region between two oppositely charged flat metal platesis approximately uniform (Active Fig. 19.21). Suppose an electron of charge !e isprojected horizontally into this field with an initial velocity . Because the electricfield in Active Figure 19.21 is in the positive y direction, the acceleration of theelectron is in the negative y direction. That is,

[19.12]a: " !eEme

j

E:

vi i

MOTION OF CHARGED PARTICLES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD ! 619

y p g p p pp

particle under constant acceleration and use the equa-tions of kinematics in one dimension (from Chapter 2):

Choosing xi " 0 and vi " 0 gives

The kinetic energy of the particle after it has moved adistance x " xf ! xi is

This result can also be obtained by identifying the parti-cle as a nonisolated system and applying the noniso-lated system model. Energy is transferred from the envi-ronment (the electric field) by work, so thework–kinetic energy theorem gives the same result asthe calculation above. Try it!

K " 12mv2 " 1

2m ! 2qEm " x " qEx

vf

2 " 2axf " ! 2qEm " x f

vf " at "qEm

t

x f " 12 at 2 "

qE2m

t 2

vf

2 " vi

2 # 2a(xf ! xi)

vf " vi # at

xf " xi # vit # 12at 2

An Accelerating Positive ChargeEXAMPLE 19.6A particle with positive charge q and mass m is releasedfrom rest in a uniform electric field directed alongthe x axis as in Figure 19.20. Describe its motion.

E:

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

E

vv = 0q

x

+ +

(Example 19.6) A positive point charge q in a uni-form electric field undergoes constantacceleration in the direction of the field.

E:

FIGURE 19.20

Solution The acceleration is constant and is given by q /m (Eq. 19.11). The motion is simple linear motionalong the x axis. We can therefore apply the model of a

E:

An electron is projected horizontallyinto a uniform electric field producedby two charged plates. The electron un-dergoes a downward acceleration(opposite ), and its motion is para-bolic while it is between the plates.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 19.21 to choose themagnitude of the electric field and themass and charge of the projected particle.

E:

ACTIVE FIGURE 19.21

(0, 0)

!

E

–

(x, y)

–v

x

y– – – – – – – – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

vi i

Figura 2.6 – Uma partícula com carga positiva q move-se namesma direção de um campo elétrico uniforme. ©Serway–Jewett3ed.

Escolhendo xi = 0 e vi = 0, temos:

x f =12 at2 =

qE2m

t2

v f = at =qEm

t

v2f = 2ax f =

(2qEm

)x f

A energia cinética da partícula após ela ter percorrido umadistância x = x f − xi é

K = 12 mv2 = 1

2 m(

2qEm

)x = qEx

Exercício: Descreva o movimento do elétronmostrado na Figura 2.7. Despreze a forçagravitacional.

The electric field in the region between two oppositely charged flat metal platesis approximately uniform (Active Fig. 19.21). Suppose an electron of charge !e isprojected horizontally into this field with an initial velocity . Because the electricfield in Active Figure 19.21 is in the positive y direction, the acceleration of theelectron is in the negative y direction. That is,

[19.12]a: " !eEme

j

E:

vi i

MOTION OF CHARGED PARTICLES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD ! 619

y p g p p pp

particle under constant acceleration and use the equa-tions of kinematics in one dimension (from Chapter 2):

Choosing xi " 0 and vi " 0 gives

The kinetic energy of the particle after it has moved adistance x " xf ! xi is

This result can also be obtained by identifying the parti-cle as a nonisolated system and applying the noniso-lated system model. Energy is transferred from the envi-ronment (the electric field) by work, so thework–kinetic energy theorem gives the same result asthe calculation above. Try it!

K " 12mv2 " 1

2m ! 2qEm " x " qEx

vf

2 " 2axf " ! 2qEm " x f

vf " at "qEm

t

x f " 12 at 2 "

qE2m

t 2

vf

2 " vi

2 # 2a(xf ! xi)

vf " vi # at

xf " xi # vit # 12at 2

An Accelerating Positive ChargeEXAMPLE 19.6A particle with positive charge q and mass m is releasedfrom rest in a uniform electric field directed alongthe x axis as in Figure 19.20. Describe its motion.

E:

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

E

vv = 0q

x

+ +

(Example 19.6) A positive point charge q in a uni-form electric field undergoes constantacceleration in the direction of the field.

E:

FIGURE 19.20

Solution The acceleration is constant and is given by q /m (Eq. 19.11). The motion is simple linear motionalong the x axis. We can therefore apply the model of a

E:

An electron is projected horizontallyinto a uniform electric field producedby two charged plates. The electron un-dergoes a downward acceleration(opposite ), and its motion is para-bolic while it is between the plates.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 19.21 to choose themagnitude of the electric field and themass and charge of the projected particle.

E:

ACTIVE FIGURE 19.21

(0, 0)

!

E

–

(x, y)

–v

x

y– – – – – – – – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

vi i

Figura 2.7 – Um elétron é projetado horizontalmente em um campoelétrico uniforme formado entre duas placas metálicas. O campoestá na direção +y, logo o elétron sofre uma aceleração para baixo.Ele descreverá um movimento parabólico enquanto estiver entre asplacas. ©Serway–Jewett 3ed.



12

3 LEI DE GAUSS

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) foi um matemático, astrônomoe físico alemão que contribuiu significativamente em vários camposda ciência, incluindo a teoria dos números, análise matemática,geometria diferencial, geodesia, magnetismo e óptica.

3.1 INTRODUÇÃO

Em muitos casos onde pretendemos calcular o campoelétrico gerado por uma distribuição de cargas a presença desimetrias facilita nosso trabalho, simplificando o problema.Situações em que há simetria aparecem em todos os cam-pos da física e sempre que possível faz sentido tentarmosexpressar as leis da física em formas que nos permitam tiraro máximo proveito delas.

A lei de Coulomb é a lei básica da eletrostática, mas elanão está expressa numa forma que possa simplificar conside-ravelmente o trabalho em situações que envolvem simetria.Neste capítulo, vamos tratar de uma nova formulação da leide Coulomb, denominada lei de Gauss, que pode facilmentetirar vantagem de tais situações especiais. Na prática, usamosa lei de Coulomb para problemas que envolvem pouca ounenhuma simetria e a lei de Gauss para problemas com umelevado grau de simetria.

De acordo com a lei de Coulomb, o campo elétrico criadopor uma carga puntiforme é

E =Fq0=

14πϵ0

qr2 .

A lei de Gauss fornece um outro modo, equivalente, deescrever esta relação através da definição de uma superfíciefechada hipotética, chamada de superfície gaussiana. Essasuperfície fechada pode ter a forma que desejarmos, mas seráde maior utilidade se escolhermos uma superfície adequadapara a simetria de um dado problema. Assim, a superfíciegaussiana geralmente terá uma forma simétrica, como umaesfera ou um cilindro, e sempre deve ser fechada de modoque podemos distinguir quaisquer pontos que estejam dentroda superfície, sobre a superfície ou fora da superfície. Alei de Gauss vai então relacionar o campo elétrico sobreuma superfície gaussiana produzido por uma distribuiçãode cargas localizadas no interior da superfície. Mas comoquantificar, ou medir, o campo elétrico sobre uma superfíciegaussiana? A resposta desta questão surge com a definiçãode um novo conceito, o fluxo elétrico.

3.2 FLUXO

Antes de discutirmos a lei de Gauss, devemos entendero conceito de fluxo (símbolo Φ), que é uma propriedadede qualquer campo vetorial. Suponhamos que exista umacorrente de ar de velocidade constante e módulo v fluindo emdireção a uma janela aberta de área A. Podemos definir uma

vazão de arΦ, isto é, a taxa pela qual o ar escoa pelo plano dajanela. Essa taxa vai depender do ângulo entre o vetor u e oplano da janela (ver Figura 3.1). Quando u é perpendicular aoplano, a taxa é igual a vA; se for paralelo, a taxa é nula. Paraângulos intermediários, a taxa Φ depende da componente deu que é perpendicular ao plano, ou seja

(3.1) Φ = (v cos θ)A.

Em termos vetoriais, definimos um vetor área A como sendoum vetor cujo módulo é igual a uma área e cuja direção énormal ao plano da área. Podemos reescrever a Eq. 3.1 comoo produto escalar do vetor velocidade u da corrente de ar e ovetor área A da janela:

(3.2) Φ = vA cos θ = u · A.

Esta equação nos dá o fluxo do campo de velocidades atravésda janela. Assim, o fluxo pode ser interpretado como aquantidade de campo que uma área intercepta, podendo sergeneralizado para qualquer campo vetorial.

3.3 FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO

Para definirmos o fluxo do campo elétrico, considere-mos a Figura 3.2, que mostra uma superfície gaussianaarbitrária (assimétrica) imersa num campo elétrico não-uniforme. Dividimos a superfície em pequenos quadradosde área ∆A, pequenos o suficiente para desprezar qualquercurvatura. Cada elemento de área pode ser representado porum respectivo vetor área ∆A. Como estes elementos de áreasão suficientemente pequenos, podemos considerar o campoelétrico constante através deles. Os vetores ∆A e E para cadaquadrado fazem entre si um ângulo θ.

O fluxo do campo elétrico total que atravessa a superfíciegaussiana pode ser escrito como

(3.3) ΦE =∑

E · ∆A,

onde somamos as contribuições do fluxo sobre todos oselementos de área ∆A. Se tomamos o limite para ∆A → 0, ovetor área se aproxima de um limite diferencial d A e a somada Eq. 3.3 se transforma numa integral que deve ser feitasobre toda a superfície fechada:

(3.4) ΦE =

˛E · d A.

O fluxo do campo elétrico é um escalar e sua unidade SI é oN·m2/C.



13

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 3: Lei de Gauss

Figura 3.1 – (a) Uma corrente uniforme de ar develocidade v é perpendicular ao plano da janelade área A. (b) A componente de v perpendicularao plano da janela é v cos θ, onde θ é o ânguloentre u e a normal do plano. (c) O vetor área A éperpendicular ao plano da janela e faz um ânguloθ com u. (d) O campo de velocidade interceptadopela área da janela. ©Halliday 8ed.

3.4 A LEI DE GAUSS

A lei de Gauss relaciona o fluxo (total) ΦE de umcampo elétrico através de uma superfície fechada (superfíciegaussiana) e a carga líquida qin que está envolvida por essasuperfície, isto é, a carga total no interior da superfície. Elanos diz que:

ϵ0ΦE = qin,

onde ϵ0 é a mesma constante de permissividade elétrica quefoi usada na lei de Coulomb. Usando a definição para o fluxo,podemos escrever a lei de Gauss como

(3.5)˛

E · d A =qin

ϵ0.

Consider the closed surface in Active Figure 19.26. Note that the vectors point in different directions for the various surface elements. At each point, thesevectors are perpendicular to the surface and, by convention, always point outwardfrom the inside region. At the element labeled !, is outward and !i " 90°;hence, the flux through this element is positive. For element ", thefield lines graze the surface (perpendicular to the vector ); therefore, !i # 90°and the flux is zero. For elements such as #, where the field lines are crossing thesurface from the outside to the inside, 180° $ !i $ 90° and the flux is negativebecause cos !i is negative. The net flux through the surface is proportional tothe net number of lines penetrating the surface, where the net number means thenumber leaving the volume surrounded by the surface minus the number enteringthe volume. If more lines are leaving the surface than entering, the net flux is posi-tive. If more lines enter than leave the surface, the net flux is negative. Using thesymbol ! to represent an integral over a closed surface, we can write the net flux%E through a closed surface as

[19.20]

where En represents the component of the electric field normal to the surface.Evaluating the net flux through a closed surface can be very cumbersome. If the

field is perpendicular or parallel to the surface at each point and constant inmagnitude, however, the calculation is straightforward. The following example il-lustrates this point.

%E # " E: ! dA:

# " En dA

& A:

i

&%E # E:

! & A:

i

E:

& A:

i

ELECTRIC FLUX ! 623

y p g p p pp

!A1

!A3

!A2 !"

#

#!

"

"E"

En

EnE

E

A closed surface in an electric field.The area vectors are, by conven-tion, normal to the surface and pointoutward. The flux through an areaelement can be positive (element !),zero (element "), or negative(element #).

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 19.26 to select asegment on the surface and see therelationship between the electric fieldvector and the area vector .& A

:iE

:

& A:

i

ACTIVE FIGURE 19.26

is perpendicular to on these faces. In particular, theorientation of is perpendicular to for the faces la-beled # and $ in Figure 19.27. Therefore, ! # 90°, so

# E dA cos 90° # 0. The flux through each faceparallel to the xy plane is also zero for the same reason.

Now consider the faces labeled ! and ". The netflux through these faces is

E:

! d A:

E:

d A:

d A:

Flux Through a CubeEXAMPLE 19.8Consider a uniform electric field directed along the' x axis. Find the net electric flux through the surfaceof a cube of edges ! oriented as shown in Figure 19.27.

Solution The net flux can be evaluated by summing upthe fluxes through each face of the cube. First, notethat the flux through four of the faces is zero because E

:

E:

Figura 3.2 – (a) Uma superfície gaussiana imersa de forma arbitrá-ria num campo elétrico. Sua superfície está dividida em pequenosquadrados de área ∆A. (b) Os vetores campo elétrico E e os vetoresárea ∆A para três quadrados representativos, identificados por 1,2 e 3. No quadrado 1, E aponta para fora e o fluxo resultanteé positivo. No quadrado 2, E tangencia a superfície e o fluxo énulo. No quadrado 3, E aponta para dentro e o fluxo é negativo.©Serway–Jewett 3ed.

A carga líquida qin é a soma algébrica de todas as cargas posi-tivas e negativas envoltas pela superfície gaussiana, de modoque ela pode ser positiva, negativa ou mesmo nula. Quandoqin é positiva, o fluxo líquido está saindo da superfície (parafora); se qin é negativa, o fluxo é para dentro. Cargas fora dasuperfície não são consideradas.

Exercício: Qual o fluxo total ΦE que atravessa asuperfície cilíndrica fechada mostrada abaixo?

3.4.1 Lei de Gauss e Lei de Coulomb

A lei de Coulomb pode ser deduzida a partir da leide Gauss considerando a simetria de um problema. Porexemplo, vamos aplicar a lei de Gauss para calcular o campoelétrico de uma carga puntiforme positiva q. Apesar da leide Gauss ser válida para qualquer superfície fechada, vamosadotar por simplicidade uma superfície que possua umasimetria que facilite a resolução do problema. Adotamosuma esfera de raio r em torno da carga q de tal forma queos vetores E e d A possuam a mesma direção e o módulode E é constante em qualquer ponto da superfície da esfera.Portanto o produto escalar E · d A passa a ser simplesmenteEdA e a lei de Gauss fica

˛E · d A =

˛EdA =

qin

ϵ0.

Como E é constante e qin = q, temos

E˛

dA = E(4πr2) =qϵ0,

e obtemos o valor de E:

E˛

dA = E =1

4πϵ0

qr2 .

Portanto chegamos ao mesmo resultado dado pela lei deCoulomb para o campo elétrico gerado por uma carga punti-forme.



14


Exercício: Analise o fluxo total de cada umadas superfícies gaussianas mostradas na figuraabaixo.

where q in represents the net charge inside the surface and represents the electricfield at any point on the surface. In words, Gauss’s law states that the netelectric flux through any closed surface is equal to the net charge inside thesurface divided by !0. The closed surface used in Gauss’s law is called a gaussiansurface.

Gauss’s law is valid for the electric field of any system of charges or continuousdistribution of charge. In practice, however, the technique is useful for calculatingthe electric field only in situations where the degree of symmetry is high. As weshall see in the next section, Gauss’s law can be used to evaluate the electric fieldfor charge distributions that have spherical, cylindrical, or plane symmetry. We doso by choosing an appropriate gaussian surface that allows to be removed fromthe integral in Gauss’s law and performing the integration. Note that a gaussiansurface is a mathematical surface and need not coincide with any real physicalsurface.

E:

E:


y p g p p pp

For a gaussian surface through which the net flux is zero, the follow-ing four statements could be true. Which of the statements must be true? (a) No charges areinside the surface. (b) The net charge inside the surface is zero. (c) The electric field iszero everywhere on the surface. (d) The number of electric field lines entering the sur-face equals the number leaving the surface.

QUICK QUIZ 19.6

Consider the charge distribution shown in Active Figure 19.31. (i) What are the charges contributing to the total electric flux through surface S!? (a) q1 only(b) q4 only (c) q2 and q3 (d) all four charges (e) none of the charges (ii) What are thecharges contributing to the total electric field at a chosen point on the surface S!? (a) q1 only(b) q4 only (c) q2 and q3 (d) all four charges (e) none of the charges

QUICK QUIZ 19.7

" Thinking Physics 19.1A spherical gaussian surface surrounds a point charge q. Describe what happens tothe net flux through the surface if (a) the charge is tripled, (b) the volume of thesphere is doubled, (c) the surface is changed to a cube, and (d) the charge ismoved to another location inside the surface.

Reasoning (a) If the charge is tripled, the flux through the surface is alsotripled because the net flux is proportional to the charge inside the surface.(b) The net flux remains constant when the volume changes because the surfacesurrounds the same amount of charge, regardless of its volume. (c) The net fluxdoes not change when the shape of the closed surface changes. (d) The net fluxthrough the closed surface remains unchanged as the charge inside the surfaceis moved to another location as long as the new location remains inside thesurface. "

APPLICATION OF GAUSS’S LAW TO SYMMETRICCHARGE DISTRIBUTIONS

As mentioned earlier, Gauss’s law is useful in determining electric fields when thecharge distribution has a high degree of symmetry. The following examples showways of choosing the gaussian surface over which the surface integral given byEquation 19.22 can be simplified and the electric field determined. The surfaceshould always be chosen to take advantage of the symmetry of the charge distribu-tion so that we can remove E from the integral and solve for it. The crucial step in

19.10

S

q1

q2

q3 S !

S !!

q4

The net electric flux through anyclosed surface depends only on thecharge inside that surface. The netflux through surface S is q l/"0, the net flux through surface S! is (q2 # q3)/"0, and the net fluxthrough surface S $ is zero. Charge q4

does not contribute to the fluxthrough any surface because it is out-side all surfaces.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 19.31 to changethe size and shape of the surface andsee the effect on the electric flux ofsurrounding different combinationsof charge with a gaussian surface.

ACTIVE FIGURE 19.313.5 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS

Distribuição de cargas com simetria esférica

Uma esfera sólida e não-condutora de raio a possui umadensidade volumétrica de carga uniforme ρ e está carregadacom um carga total Q (Figura 3.3).628 ! CHAPTER 19 ELECTRIC FORCES AND ELECTRIC FIELDS

y p g p p pp

Solving for E gives

Because by definition and ke ! 1/4"#0,this expression for E can be written as

This result for E differs from that obtained in partA. It shows that E : 0 as r : 0. A plot of E versus r isshown in Figure 19.34. Note that the expressions forparts A and B match when r ! a.

(for r $ a)keQa 3 rE !

Qr4"#0a3 !

% ! Q /43"a 3

E !q in

4"#0r 2 !%(4

3"r 3)4"#0r 2 !

%

3#0 r

Find the magnitude of the electric field at a pointinside the sphere.

Solution In this case, we select a spherical gaussian sur-face having radius r $ a, concentric with the insulatingsphere (Fig. 19.33b). Let us denote the volume of thissmaller sphere by V &. To apply Gauss’s law in this situa-tion, it is important to recognize that the charge q inwithin the gaussian surface of volume V & is less than Q.To calculate q in, we use that q in ! %V &:

By symmetry, the magnitude of the electric field is con-stant everywhere on the spherical gaussian surface andthe field is normal to the surface at each point, so bothconditions 1 and 2 are satisfied. Gauss’s law in the re-gion r $ a therefore gives

! E dA ! E ! dA ! E(4"r 2) !q in

#0

q in ! %V & ! %(43"r 3)

B

(a)

Gaussiansphere

(b)

Gaussianspherer

a

r

a

(Interactive Example 19.10) A uniformly chargedinsulating sphere of radius a and total charge Q .(a) For points outside the sphere, a large, spheri-cal gaussian surface is drawn concentric with thesphere. In diagrams such as this one, the dottedline represents the intersection of the gaussian sur-face with the plane of the page. (b) For points in-side the sphere, a spherical gaussian surfacesmaller than the sphere is drawn.

FIGURE 19.33

a

E

a r

E =keQr2

E =keQa3 r

(Interactive Example 19.10) A plot of E versus r fora uniformly charged insulating sphere. The electricfield inside the sphere (r $ a) varies linearly with r.The electric field outside the sphere (r ' a) is thesame as that of a point charge Q located at r ! 0.

FIGURE 19.34

By logging into PhysicsNow atwww.pop4e.com and going to Interactive Example 19.10, youcan investigate the electric field inside and outside thesphere.

Furthermore, the flux through the ends of the gaussiancylinder is zero because is parallel to these surfaces(and therefore perpendicular to ), which is the firstapplication we have seen of condition 3.

The surface integral in Gauss’s law is taken over theentire gaussian surface. Because of the zero value of

for the ends of the cylinder, however, we canrestrict our attention to only the curved surface of thecylinder.

The total charge inside our gaussian surface isq in ! (!. Applying Gauss’s law and applying conditions1 and 2, we find, for the curved surface, that

E:

! d A:

dA:

E:

A Cylindrically Symmetric Charge DistributionEXAMPLE 19.11Find the electric field a distance r from a line of positivecharge of infinite length and constant charge per unitlength ! (Fig. 19.35a).

Solution The symmetry of the charge distribution re-quires that must be perpendicular to the line chargeand directed outward as in Figure 19.35. To reflect thesymmetry of the charge distribution, we select a cylin-drical gaussian surface of radius r and length ! that iscoaxial with the line charge. For the curved part ofthis surface, is constant in magnitude and perpendic-ular to the surface at each point (conditions 1 and 2).

E:

E:

Figura 3.3 – Esfera não-condutora de raio a, carregada com umacarga Q distribuída uniformemente em todo seu volume. ©Serway–Jewett 3ed.

(a) Cálculo do campo elétrico fora da esfera (r > a)

Como temos uma distribuição de cargas com simetriaesférica, escolhemos uma superfície gaussiana de raio r,concêntrica com a esfera, como mostrado na Figura 3.3a.Esta escolha nos leva a duas simplificações para a aplicaçãoda lei de Gauss: (1) E é paralelo a d A em qualquer pontoda superfície; (2) o módulo de E é constante, já que dependeapenas de r. Portanto:

˛E · d A =

˛E dA = E

˛dA =

qin

ϵ0

E˛

dA = E(4πr2) =Qϵ0

E =1

4πϵ0

Qr2 .

Note que este é o mesmo resultado que obtemos para umacarga puntiforme.

(b) Cálculo do campo elétrico no interior da esfera (r < a)

Neste caso, selecionamos uma superfície gaussiana es-férica com raio r < a, concêntrica com a esfera, conformemostra a Figura 3.3b. Vamos chamar o volume desta pequenaesfera por V ′. Para aplicar a lei de Gauss nesta situaçãoé importante reconhecer que a carga interna à superfíciegaussiana de volume V ′, qin, é menor que a carga total daesfera Q. Para calcular qin, usamos o fato que qin = ρV ′:

qin = ρV ′ = ρ( 43πr

3).

Por simetria, o módulo do campo elétrico é constante emqualquer ponto na superfície gaussiana e é normal à super-fície em cada ponto. Portanto, usando a lei de Gauss, temos:

˛E dA = E

˛dA = E(4πr2) =

qin

ϵ0.

Resolvendo para E, obtemos

E =qin

4πϵ0r2 =ρ( 4

3πr3)

4πϵ0r2 =ρ

3ϵ0r.

Como por definição ρ = Q/ 43πa

3, esta expressão para E podeser escrita como

E =Qr

4πϵ0a3 .

Campo elétrico devido a uma casca esférica

Uma fina casca esférica de raio a possui uma carga totalQ distribuída uniformemente sobre sua superfície externa,como mostra a Figura 3.4. Vamos determinar o campoelétrico dentro e fora da casca.

(a) Cálculo do campo fora da casca esférica (r > a)

O cálculo do campo fora da casca é idêntico ao queobtivemos no caso da esfera. Se adotamos uma superfíciegaussiana esférica de raio r > a concêntrica com a casca,a carga no seu interior é Q. Portanto, o campo em umponto fora da casca é equivalente àquele devido a uma cargapontual Q localizada no seu centro:

E =1

4πϵ0

Qr2 .

(b) Cálculo do campo dentro da casca esférica (r < a)

O campo elétrico no interior da casca é zero. Isto podeser obtido pela aplicação da lei de Gauss para uma superfícieesférica com raio r < a concêntrica com a esfera. Comoa carga líquida no interior dessa superfície é zero, a lei deGauss nos dá E = 0 para r < a.

Distribuição de cargas com simetria cilíndrica

Seja uma linha infinita de cargas positivas e densidade decarga linear λ constante. Vamos calcular o campo elétrico auma distância r da linha.



15


748 CHAPTE R 24 • Gauss’s Law

Example 24.6 The Electric Field Due to a Thin Spherical Shell

A thin spherical shell of radius a has a total charge Q distrib-uted uniformly over its surface (Fig. 24.13a). Find theelectric field at points

(A) outside and

(B) inside the shell.

Solution

(A) The calculation for the field outside the shell is identicalto that for the solid sphere shown in Example 24.5a. If weconstruct a spherical gaussian surface of radius r ! a concen-tric with the shell (Fig. 24.13b), the charge inside this surfaceis Q. Therefore, the field at a point outside the shell is equiv-alent to that due to a point charge Q located at the center:

(B) The electric field inside the spherical shell is zero. Thisfollows from Gauss’s law applied to a spherical surface ofradius r " a concentric with the shell (Fig. 24.13c). Because ofthe spherical symmetry of the charge distribution andbecause the net charge inside the surface is zero—satisfactionof conditions (1) and (2) again—application of Gauss’slaw shows that E # 0 in the region r " a. We obtain thesame results using Equation 23.11 and integrating over thecharge distribution. This calculation is rather complicated.Gauss’s law allows us to determine these results in a muchsimpler way.

(for r ! a)ke Qr

2E #

Example 24.7 A Cylindrically Symmetric Charge Distribution

Find the electric field a distance r from a line of positivecharge of infinite length and constant charge per unitlength $ (Fig. 24.14a).

Solution The symmetry of the charge distributionrequires that E be perpendicular to the line charge anddirected outward, as shown in Figure 24.14a and b. Toreflect the symmetry of the charge distribution, we select acylindrical gaussian surface of radius r and length ! that iscoaxial with the line charge. For the curved part of thissurface, E is constant in magnitude and perpendicular tothe surface at each point—satisfaction of conditions(1) and (2). Furthermore, the flux through the ends ofthe gaussian cylinder is zero because E is parallel tothese surfaces—the first application we have seen ofcondition (3).

We take the surface integral in Gauss’s law over theentire gaussian surface. Because of the zero value of E % dAfor the ends of the cylinder, however, we can restrict ourattention to only the curved surface of the cylinder.

The total charge inside our gaussian surface is $!.Applying Gauss’s law and conditions (1) and (2), we findthat for the curved surface

The area of the curved surface is A # 2&r!; therefore,

(24.7)

Thus, we see that the electric field due to a cylindricallysymmetric charge distribution varies as 1/r, whereas thefield external to a spherically symmetric charge distributionvaries as 1/r 2. Equation 24.7 was also derived by integra-tion of the field of a point charge. (See Problem 35 in Chapter 23.)

2ke $rE #

$

2&'0r#

E (2&r !) #$!

'0

(E # ! E%d A # E ! dA # E A #q in

'0#

$!

'0

Figure 24.13 (Example 24.6) (a) The electric field inside a uniformly chargedspherical shell is zero. The field outside is the same as that due to a point charge Qlocated at the center of the shell. (b) Gaussian surface for r ! a. (c) Gaussian surfacefor r " a.

+

+

+

+

++

++

++

++

+

+

+

+

++

++

++

++

+

+

+

+

++

++

++

++

E

Gaussiansphere

a a

r

a

Gaussiansphere

(a) (c)(b)

Ein = 0

r

Figura 3.4 – (a) O campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero. (b) Superfície gaussiana para r > a. (c)Superfície gaussiana para r < a. ©Serway–Jewett 3ed.

A simetria dessa distribuição de cargas requer que Eseja perpendicular à linha de cargas e dirigido para fora,como mostrado na Figura 3.5. Para refletir esta simetria,vamos usar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r ecomprimento ℓ, com eixo central correspondendo ao eixoda linha. Para a parte curva da superfície (envoltório), Epossui módulo constante e perpendicular à superfície emcada ponto. Além disso, os fluxos através das bases superiore inferior da superfície cilíndrica são nulos, já que E éparalelo a estas superfícies.

Vamos aplicar a lei de Gauss sobre toda a superfíciegaussiana. Como nas bases da superfície o valor de E · d Aé igual a zero, apenas consideramos a integral sobre asuperfície curva do cilindro.

A carga total dentro da superfície gaussiana é λℓ. Apli-cando a lei de Gauss, obtemos:

ΦE =

˛E · d A = E

˛dA = EA =

qin

ϵ0=λℓ

ϵ0 APPLICATION OF GAUSS’S LAW TO SYMMETRIC CHARGE DISTRIBUTIONS ! 629

y p g p p pp

Gaussiansurface

+++

+++

E

dA!

r

(a)

E

(b)

(Example 19.11) (a) An infinite line of chargesurrounded by a cylindrical gaussian surface con-centric with the line charge. (b) An end viewshows that the electric field on the cylindrical sur-face is constant in magnitude and perpendicularto the surface.

FIGURE 19.35

Therefore, we see that the electric field of a cylindri-cally symmetric charge distribution varies as 1/r,whereas the field external to a spherically symmetriccharge distribution varies as 1/r 2. Equation 19.23 canalso be obtained using Equation 19.7; the mathematicaltechniques necessary for this calculation, however, aremore cumbersome.

If the line charge in this example were of finitelength, the result for E is not that given by Equation19.23. A finite line charge does not possess sufficientsymmetry to use Gauss’s law because the magnitudeof the electric field is no longer constant over the sur-face of the gaussian cylinder; the field near the endsof the line would be different from that far from theends. Therefore, condition 1 is not satisfied in this sit-uation. Furthermore, is not perpendicular to thecylindrical surface at all points; the field vectors nearthe ends would have a component parallel to the line.Condition 2 is not satisfied. When the symmetry inthe charge distribution is insufficient, as in this situation, it is necessary to calculate using Equation 19.7.

For points close to a finite line charge and far fromthe ends, Equation 19.23 gives a good approximationof the value of the field.

It is left as a problem (Problem 19.39) to show that the electric field inside a uniformly charged rod of finite thickness and infinite length is proportionalto r.

E:

E:

The area of the curved surface is A ! 2"r!. Therefore,

[19.23]2k e #

rE !

#

2"$0r!

E(2"r !) !#!

$0

%E ! ! E:

! d A:

! E ! dA ! EA !q in

$0!

#!

$0

[19.24]&

2$0E !

%E ! 2EA !q in

$0!

&A$0

A Nonconducting Plane Sheet of ChargeEXAMPLE 19.12Find the electric field due to a nonconducting, infiniteplane with uniform surface charge density &.

Solution Symmetry tells us that must be perpendicu-lar to the plane and that the field will have the samemagnitude at points on opposite sides of the plane andequidistant from it. That the direction of is awayfrom positive charges tells us that the direction of onone side of the plane must be opposite its direction onthe other side as in Figure 19.36. A gaussian surfacethat reflects the symmetry is a small cylinder whose axisis perpendicular to the plane and whose ends eachhave an area A and are equidistant from the plane.Because is parallel to the curved surface and therefore perpendicular to everywhere on the surface, condition 3 is satisfied and the curved surfacemakes no contribution to the surface integral. For theflat ends of the cylinder, conditions 1 and 2 are satisfied. The flux through each end of the cylinder is EA; hence, the total flux through the entire gaussiansurface is just that through the ends, %E ! 2EA.

Noting that the total charge inside the surface is q in ! &A, we use Gauss’s law to obtain

d A:

E:

E:

E:

E:

E

+ + + + + + +

+ + + + + +

+ + +

+ +

+ +

+

+ + +

+ + + + +

+ + + + + + +

A

Gaussiansurface

E

(Example 19.12) A cylindrical gaussian surfacepenetrating an infinite sheet of charge. The flux isE A through each end of the gaussian surface andzero through its curved surface.

FIGURE 19.36

Figura 3.5 – Uma linha de cargas infinita envolta por uma superfí-cie gaussiana cilíndrica. ©Serway–Jewett 3ed.

A area da superfície curva é A = 2πrℓ. Portanto,

E(2πrℓ) =λℓ

ϵo

E =λ

2πϵ0r

Assim, o campo elétrico devido a uma distribuição de cargascom simetria cilíndrica varia com 1/r, enquanto que parauma distribuição esfericamente simétrica ele varia com 1/r2.

Plano infinito não-condutor

Agora considere um plano infinito carregado com cargaspositivas distribuídas uniformemente sobre sua superfíciecom densidade superficial de cargas σ (Figura 3.6).

Para calcular o campo elétrico a uma distância qualquerdo plano, por simetria, E deve ser perpendicular a ele e deveser constante em todos os pontos a uma mesma distância doplano. A direção do campo elétrico produzido pelo planoé para fora do plano, em ambos os lados, como mostra aFigura 3.6. A superfície gaussiana que reflete essa simetria

APPLICATION OF GAUSS’S LAW TO SYMMETRIC CHARGE DISTRIBUTIONS ! 629

y p g p p pp

Gaussiansurface

+++

+++

E

dA!

r

(a)

E

(b)

(Example 19.11) (a) An infinite line of chargesurrounded by a cylindrical gaussian surface con-centric with the line charge. (b) An end viewshows that the electric field on the cylindrical sur-face is constant in magnitude and perpendicularto the surface.

FIGURE 19.35

Therefore, we see that the electric field of a cylindri-cally symmetric charge distribution varies as 1/r,whereas the field external to a spherically symmetriccharge distribution varies as 1/r 2. Equation 19.23 canalso be obtained using Equation 19.7; the mathematicaltechniques necessary for this calculation, however, aremore cumbersome.

If the line charge in this example were of finitelength, the result for E is not that given by Equation19.23. A finite line charge does not possess sufficientsymmetry to use Gauss’s law because the magnitudeof the electric field is no longer constant over the sur-face of the gaussian cylinder; the field near the endsof the line would be different from that far from theends. Therefore, condition 1 is not satisfied in this sit-uation. Furthermore, is not perpendicular to thecylindrical surface at all points; the field vectors nearthe ends would have a component parallel to the line.Condition 2 is not satisfied. When the symmetry inthe charge distribution is insufficient, as in this situation, it is necessary to calculate using Equation 19.7.

For points close to a finite line charge and far fromthe ends, Equation 19.23 gives a good approximationof the value of the field.

It is left as a problem (Problem 19.39) to show that the electric field inside a uniformly charged rod of finite thickness and infinite length is proportionalto r.

E:

E:

The area of the curved surface is A ! 2"r!. Therefore,

[19.23]2k e #

rE !

#

2"$0r!

E(2"r !) !#!

$0

%E ! ! E:

! d A:

! E ! dA ! EA !q in

$0!

#!

$0

[19.24]&

2$0E !

%E ! 2EA !q in

$0!

&A$0

A Nonconducting Plane Sheet of ChargeEXAMPLE 19.12Find the electric field due to a nonconducting, infiniteplane with uniform surface charge density &.

Solution Symmetry tells us that must be perpendicu-lar to the plane and that the field will have the samemagnitude at points on opposite sides of the plane andequidistant from it. That the direction of is awayfrom positive charges tells us that the direction of onone side of the plane must be opposite its direction onthe other side as in Figure 19.36. A gaussian surfacethat reflects the symmetry is a small cylinder whose axisis perpendicular to the plane and whose ends eachhave an area A and are equidistant from the plane.Because is parallel to the curved surface and therefore perpendicular to everywhere on the surface, condition 3 is satisfied and the curved surfacemakes no contribution to the surface integral. For theflat ends of the cylinder, conditions 1 and 2 are satisfied. The flux through each end of the cylinder is EA; hence, the total flux through the entire gaussiansurface is just that through the ends, %E ! 2EA.

Noting that the total charge inside the surface is q in ! &A, we use Gauss’s law to obtain

d A:

E:

E:

E:

E:

E

+ + + + + + +

+ + + + + +

+ + +

+ +

+ +

+

+ + +

+ + + + +

+ + + + + + +

A

Gaussiansurface

E

(Example 19.12) A cylindrical gaussian surfacepenetrating an infinite sheet of charge. The flux isE A through each end of the gaussian surface andzero through its curved surface.

FIGURE 19.36Figura 3.6 – Uma superfície gaussiana cilíndrica penetrando umplano infinito de cargas. ©Serway–Jewett 3ed.



16


é um pequeno cilindro cujo eixo é perpendicular ao plano ecujas bases possuem área A, equidistantes ao plano. ComoE é paralelo à superfície curva do cilindro, o fluxo é zeroem toda essa superfície. Para as bases, o fluxo através decada área A é EA; assim, o fluxo total que atravessa todaa superfície gaussiana é a soma dos fluxos de cada base,ΦE = 2EA.

A carga elétrica total no interior da superfície gaussianaé qin = σA. Aplicando a lei de Gauss, temos

ΦE =

˛E · d A = 2EA =

qin

ϵ0=σAϵ0

E =σ

2ϵ0Como a distância até as bases da superfície gaussiana cilín-drica não aparece nessa expressão, concluímos que o campopossui o valor E = σ/2ϵ0 para qualquer distância até o plano.Ou seja, o campo elétrico é uniforme em todo o espaçoem torno de um plano infinito carregado com densidadesuperficial de cargas constante.

3.6 CONDUTORES EM EQUILÍBRIOELETROSTÁTICO

Podemos resumir as propriedades do campo elétrico nointerior de um condutor carregado isolado (em equilíbrioeletrostático) nos seguintes itens:

• O campo elétrico no interior de um condutor é nulo;

• Um condutor possui cargas apenas em sua superfície;

• O campo elétrico na direção tangencial à superfície docondutor é nulo;

• E = σ/ϵ0.

O módulo do campo elétrico pode ser obtido através daescolha de uma superfície gaussiana cilíndrica perpendicularà superfície do condutor, tal como mostra a Figura 3.7. Ofluxo elétrico que atravessa essa superfície é dada por:

ΦE =

˛E · d A = EA =

qin

ϵ0,

já que os fluxos na base interna do cilindro e no corpo docilindro são nulos. Se o condutor possui uma densidadesuperficial de carga σ = qin/A, podemos derivar o campoelétrico produzido na parte externa do condutor:

EA =σAϵ0⇒ E =

σ

ϵ0.

Figura 3.7 – Vistas em perspectiva (a) e de lado (b) de uma pequenaparte de um condutor extenso e isolado, com carga positiva emexcesso sobre sua superfície. ©Halliday 8ed.

Questão: Suponha que uma carga pontual +Qestá no espaço completamente vazio. Se en-volvemos esta carga com uma casca esféricacondutora e neutra, de forma que a carga pon-tual esteja no centro da casca, como ficará adistribuição de cargas nas superfícies interna eexterna da casca? Qual é a configuração docampo elétrico do lado de dentro e do lado defora da casca?



17

4 POTENCIAL ELÉTRICO

4.1 POTENCIAL ELÉTRICO E DIFERENÇA DEPOTENCIAL

Quando uma carga de prova q0 é colocada em um campoelétrico E, criado por uma distribuição de carga qualquer,a força elétrica que atua sobre a carga é q0 E. Esta forçaé conservativa pois a força entre as cargas elétricas descritapela lei de Coulomb é conservativa (ver Figura 4.1). Quandouma carga de prova move-se no campo sob a ação de algumagente externo, o trabalho feito pelo campo sobre a cargaé igual ao negativo do trabalho feito pelo agente externoresponsável pelo deslocamento da carga.

Figura 4.1 – Uma força é conservativa se o trabalho realizado entreum ponto A e um ponto B independe do caminho escolhido.

O trabalho efetuado pelo agente externo para mover acarga de um ponto A a outro ponto B qualquer, sob ainfluência de um campo elétrico, é dado por

W = −ˆ B

AF · d s,

onde F é a força elétrica que atua sobre a carga em cadaponto e d s é o vetor deslocamento ao longo de um caminhoqualquer que liga A e B (Figura 4.2).

Para os propósitos deste capítulo, é mais interessanteconsiderar o trabalho que seria realizado para mover uma

Figura 4.2 – O trabalho realizado para levar uma carga do pontoA ao ponto B é igual ao negativo da integral de F · d s ao longo docaminho escolhido.

Figura 4.3 – O trabalho realizado para levar uma carga de A atéB por qualquer caminho é igual ao negativo do trabalho realizadoentre P até A mais o trabalho entre P até B.

unidade de carga. Como F = qE, o trabalho por unidadede carga, W, é dado por

W = WAB = −ˆ B

AE · d s.

Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho WAB

para levar a carga de A até B é o mesmo para qualquercaminho que escolhemos, isto é, ele depende apenas dospontos A e B. Podemos então considerar um caminho quepasse por um ponto P qualquer, como mostra a Figura 4.3.Neste caso, o trabalho (por unidade de carga) total realizadopara levar a carga de A até B será igual à soma dos trabalhosrealizados entre A e P e entre P e B, ou seja

WAB = −ˆ B

AE · d s =

[−ˆ P

AE · d s

]+

[−ˆ B

PE · d s

].

Invertendo o sentido de integração da primeira integral,temos:

WAB = −ˆ B

AE · d s =

[−ˆ B

PE · d s

]−

[−ˆ A

PE · d s

].

Definimos os termos entre colchetes como sendo o potencialelétrico no ponto B, VB, e no ponto A, VA. Em geral tambémconsideramos que o ponto P esteja no infinito: P → ∞.Portanto, temos

WAB = −ˆ B

AE · d s = VB − VA

e, incluindo a definição de diferença de potencial, obtemos

(4.1) ∆V = VB − VA = −ˆ B

AE · d s = WAB.

Lembrando que WAB é o trabalho por unidade de cargaelétrica total realizado para levar uma carga de um pontoA até um ponto B qualquer sob a influência de um campoelétrico E.



18

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 4: Potencial elétrico

A unidade do potencial elétrico é o joule/coulomb, querecebe uma denominação especial, o volt:

[V] ≡ 1 volt = 1 joule / coulomb.

Dada uma diferença de potencial, ∆V , podemos determi-nar a variação de energia potencial elétrica que a carga sofre:

∆U = q∆V ⇒ UB − UA = −qˆ B

AE · d s,

ou em termos do trabalho realizado de A até B, temos que

∆U = WAB,

onde

WAB = −qˆ B

AE · d s.

4.2 DIFERENÇA DE POTENCIAL EM UM CAMPOELÉTRICO UNIFORME

Considere um campo elétrico E uniforme como o mos-trado na Figura 4.4. A diferença de potencial entre doispontos, A e B, separados por uma distância | s | = d, ondes é paralelo a E, é obtida através da Eq. 4.1:

VB − VA = −ˆ B

AE · d s = −

ˆ B

AE cos θ ds = −

ˆ B

AEds.

Como E é constante, podemos removê-lo da integral. Obte-mos

∆V = −Eˆ B

Ads = −Ed.

O sinal negativo indica que o potencial elétrico no ponto Bé menor que no ponto A, isto é, VB < VA. As linhas deforça do campo elétrico sempre apontam na direção emque o potencial elétrico está diminuindo, como mostradona Figura 4.4.

Agora suponha que uma carga elétrica de prova q0 move-se de A até B. Podemos calcular a variação da energiapotencial do sistema carga-campo:

∆U = q0∆V = −q0Ed.

Portanto, se q0 é positiva, ∆U será negativa. E portanto con-cluímos que um sistema consistindo de uma carga positivae um campo elétrico perde energia potencial quando a cargamove-se na direção do campo.

4.3 POTENCIAL ELÉTRICO E ENERGIA POTENCIALDEVIDO A CARGAS PONTUAIS

Conforme discutido nos capítulos anteriores, uma cargapontual positiva e isolada q produz um campo elétrico quepossui uma direção radial para fora e centrado na carga. Paracalcular o potencial elétrico em um ponto qualquer locali-zado a uma distância r da carga q, partimos da expressão

POTENTIAL DIFFERENCES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD

In this section, we describe the potential difference between any two points in auniform electric field. Consider a uniform electric field directed along the negativey axis as in Figure 20.1a. Let us calculate the potential difference between twopoints A and B, separated by a distance d, where d is measured parallel to the fieldlines. If we apply Equation 20.3 to this situation, we have

Because the field is uniform, the magnitude E of the field is a constant and can beremoved from the integral, giving

[20.6]

The negative sign results because point B is at a lower potential than point A; thatis, VB ! VA. In general, electric field lines always point in the direction of decreas-ing electric potential.

Now suppose a test particle with charge q0 moves from A to B. The change inthe electric potential energy of the charge–field system can be found from Equa-tions 20.3 and 20.6:

[20.7]

From this result, we see that if q0 is positive, "U is negative. Thus, when a posi-tive charge moves in the direction of the electric field, the electric potential energyof the charge–field system decreases. This situation is analogous to the change ingravitational potential energy # mgd of an object–field system when an object withmass m falls through a height d in a uniform gravitational field, as suggested inFigure 20.1b. If a particle with a positive charge q0 is released from rest in theelectric field, it experiences an electric force in the direction of (downward inFig. 20.1a). Therefore, it accelerates downward, gaining kinetic energy. As thecharged particle gains kinetic energy, the charge–field system loses an equalamount of potential energy. This familiar result is similar to what we have seen forgravitational situations (Fig. 20.1b). The statement is simply the principle of conser-vation of mechanical energy in the isolated system model for electric fields.

If q0 is negative, "U in Equation 20.7 is positive and the situation is reversed. If anegatively charged particle is released from rest in the field , it accelerates in adirection opposite the electric field. The charge–field system loses electric potential

E:

E:

q0 E:

"U $ q0 "V $ #q0 Ed

"V $ #E !B

Ads $ #Ed

VB # VA $ "V $ #!B

A E: ! d s: $ #!B

A E cos 0% ds $ #!B

A E ds

20.2

POTENTIAL DIFFERENCES IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD ! 645

y p g p pp

d

B

A

q

E

(a) (b)

g

d

B

A

m

(a) When the elec-tric field is directed downward,point B is at a lower electric potentialthan point A. When a positive testcharge moves from A to B, the charge–field system loses electric potential energy. (b) A gravitational analogy:When an object with mass m movesdownward in the direction of the gravitational field , the object –fieldsystem loses gravitational potential energy.

g:

E:

FIGURE 20.1

" Potential difference between two points in a uniform electricfield

Figura 4.4 – Quando o campo elétrico E aponta para baixo, o pontoB está em um potencial elétrico menor que o ponto A. Quando umacarga de prova positiva se move de A até B, o sistema carga-campoperde energia potencial elétrica. ©Serway–Jewett 3ed.

para a diferença de potencial:

VB − VA = −ˆ B

AE · d s,

onde A e B são dois pontos arbitrários, como mostrado naFigura 4.5. O módulo do campo elétrico produzido pelacarga q em função do raio r é dado por

E =1

4πϵ0

qr2 .

Logo, a expressão para a diferença de potencial fica

VB − VA = −q

4πϵ0

ˆ rB

rA

drr2 =

q4πϵ0

1r

∣∣∣∣∣rB

rA

VB − VA =q

4πϵ0

[1rB− 1

rA

]Esta última equação dá a diferença de potencial entre ospontos A e B. Se desejamos encontrar o potencial emqualquer ponto (em vez da diferença de potencial entre doispontos), podemos escolher um ponto referencial no infinito,onde V = 0. Por exemplo, assumindo rA → ∞ e rB → r,obtemos para um ponto qualquer o potencial elétrico criadopor uma carga pontual:

(4.2) V(r) =1

4πϵ0

qr.

Se temos um conjunto com N cargas, o potencial elétriconum dado ponto será obtido calculando-se o potencial Vi

devido a cada carga e somando-se os valores

V = V1 + V2 + V3 + ... + VN



19


ELECTRIC POTENTIAL AND ELECTRIC POTENTIALENERGY DUE TO POINT CHARGES

In establishing the concept of electric potential, we imagined placing a test particlein an electric field set up by some undescribed source charges. As a simplificationmodel, the field was assumed to be uniform in Section 20.2 so as to firmly plant theidea of electric potential in our minds. Let us now focus our attention on pointcharges, which we know set up electric fields that are not uniform.

Consider an isolated positive point charge q (Fig. 20.5). Recall that such acharge is a source of an electric field that is directed radially outward from thecharge. To find the electric potential at a distance of r from the charge, we beginwith the general expression for potential difference, Equation 20.3:

Because the electric field due to the point charge is given by (Eq.19.5), where is a unit vector directed from the charge toward the field point, thequantity can be expressed as

The dot product ! ds cos ", where " is the angle between and as inFigure 20.5. Furthermore, note that ds cos" is the projection of onto , sor:d s:

d s:rr ! d s:

E:

! d s: ! ke qr 2 r ˆ ! d s:

E:

! d s:r

E:

! keq r/r 2

VB # VA ! #!B

A E

:! d s:

20.3

ELECTRIC POTENTIAL AND ELECTRIC POTENTIAL ENERGY DUE TO POINT CHARGES ! 647

y p g p pp

Motion of a Proton in a Uniform Electric FieldEXAMPLE 20.2INTERACTIVEA proton is released from rest in a uniform electric field of magnitude 8.0 $ 104 V/m directed along the positive x axis (Fig. 20.4). The proton undergoes a displacement of magnitude d ! 0.50 m in the direction of .

Find the difference in the electric potential between the points A and B.

Solution The difference in electric potential does not depend on the presence of the proton. From Equation 20.6, we have

!

This negative result tells us that the electric potential decreases between points A and B.

Find the change in potential energy of the charge–field system for this displacement.

Solution From Equation 20.3, we have

The negative sign here means that the potential energy ofthe system decreases as the proton moves in the direction

#6.4 $ 10#15 J! (1.6 $ 10#19 C)(#4.0 $ 104 V) !

%U ! q %V ! e %V

B

#4.0 $ 104 V

%V ! #Ed ! #(8.0 $ 104 V/m)(0.50 m)

A

E:

d

BA

++

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

–

vBvA = 0

E

(Interactive Example 20.2) A proton acceleratesfrom A to B in the direction of the electric field.

FIGURE 20.4

of the electric field. This decrease is consistent with con-servation of energy in an isolated system: as the protonaccelerates in the direction of the field, it gains kineticenergy and at the same time the system loses electric potential energy. The increase in kinetic energy of acharged particle in an electric field is exploited in manydevices, including electron guns for TV picture tubesand particle accelerators for research in particle physics.

Log into PhysicsNow at www.pop4e.comand go to Interactive Example 20.2 to predict and observethe speed of the proton as it arrives at the negative plate forrandom values of the electric field.

dr d!

r

A

rB

B

q

r

rA

ˆ

s

The potential difference between points A and Bdue to a point charge q depends onlyon the initial and final radial coordi-nates rA and rB. The two dashed circles represent cross-sections ofspherical equipotential surfaces.

FIGURE 20.5Figura 4.5 – A diferença de potencial entre os pontos A e B devido auma carga pontual q depende apenas das coordenadas radiais iniciale final, rA e rB. Os dois círculos tracejados representam seções retasde superfícies equipotenciais em torno da carga. ©Serway–Jewett3ed.

ou simplesmente

V =N∑

i=1

Vi =1

4πϵ0

∑i

qi

ri,

onde qi é a carga elétrica da i-ésima carga e ri é a distânciadessa carga ao ponto onde queremos determinar o potencial.Este é o princípio da superposição, que também é válido paracalcular o potencial elétrico.

Consideremos agora a energia potencial de um sistema deduas partículas carregadas. Se V2 é o potencial elétrico numponto P devido à carga q2, então o trabalho de um agenteexterno para trazer uma segunda carga q1 do infinito até oponto P é q1V2. Este trabalho representa a transferênciade energia para o sistema e a energia aparece no sistemacomo uma energia potencial U quando as partículas estãoseparadas por uma distância r12 (ver Figura 4.6). Portanto,podemos expressar a energia potencial do sistema como:

U(r) =1

4πϵ0

q1q2

r12.

Para um sistema de cargas pontuais e fixas, podemoscalcular a energia potencial do sistema de forma semelhante,somando-se a energia potencial de cada par de cargas. Porexemplo, para uma distribuição de três cargas, a energiapotencial do sistema é dada por:

U =1

4πϵ0

q1q2

r12+

14πϵ0

q1q3

r13+

14πϵ0

q2q3

r23.

ds cos ! " dr. With these substitutions, we find that " (keq/r 2) dr, so theexpression for the potential difference becomes

[20.10]

The line integral of is independent of the path between A and B, as it must be,because the electric field of a point charge is conservative.2 Furthermore, Equation20.10 expresses the important result that the potential difference between any twopoints A and B depends only on the radial coordinates rA and rB . As we learned inSection 20.1, it is customary to choose the reference of potential to be zero atrA " #. With this choice, the electric potential due to a point charge at any distancer from the charge is

[20.11]

From this expression we see that V is constant on a spherical surface of radius r cen-tered on the point charge. Hence, we conclude that the equipotential surfaces foran isolated point charge consist of a family of spheres concentric with the charge asshown in Figure 20.5. Note that the equipotential surfaces are perpendicular to theelectric field lines, as is the case for a uniform electric field.

The electric potential at a point in space due to two or more point charges isobtained by applying the superposition principle. That is, the total potential at somepoint P due to multiple point charges is the sum of the potentials at P due to the indi-vidual charges. For a group of charges, we can write the total potential at P in the form

[20.12]

where the potential is again taken to be zero at infinity and ri is the distance frompoint P to the charge qi. Note that the sum in Equation 20.12 is an algebraic sum ofscalars rather than a vector sum (which is used to calculate the electric field of agroup of charges, as in Eq. 19.6). Therefore, it is much easier to evaluate V formultiple charges than to evaluate .

We now consider the potential energy of a system of two charged particles. If V2is the electric potential at a point P due to charge q2, the work an external agentmust do to bring a second charge q1 from infinity to P without acceleration is q1V2.This work represents a transfer of energy into the system, and the energy appears inthe system as potential energy U when the particles are separated by a distance r12(Active Fig. 20.6a). We can therefore express the electric potential energy of a pairof point charges as

[20.13]

Note that if the charges are of the same sign, U is positive, which is consistentbecause positive work must be done by an external agent on the system to bring thetwo charges near one another (because charges of the same sign repel). If thecharges are of opposite sign, U is negative. Therefore, negative work is done by anexternal agent against the attractive force between the charges of opposite sign asthey are brought near each other because a force must be applied opposite to thedisplacement to prevent q1 from accelerating toward q2.

U " q1V2 " k e q1q2

r12

E:

V " ke !

i

qi

ri

V " ke qr

E:

$d s:

" k eq " 1rB

%1rA#

VB % VA " %$rB

rA ke

qr 2 dr " %k eq $rB

rA

drr 2 "

keqr %rB

rA

E:

! d s:

648 ! CHAPTER 20 ELECTRIC POTENTIAL AND CAPACITANCE

y p g p pp

2A conservative field is one that exerts a conservative force on an object placed within it. Bothgravitational and electric fields are conservative.

SIMILAR EQUATION WARNING Be sureto avoid confusion between Equa-tion 20.11 for the electric potentialof a point charge and Equation 19.5for the electric field of a pointcharge. The equations look verysimilar, but potential is propor-tional to 1/r, whereas the field isproportional to 1/r 2. The effect ofa charge on the space surroundingit can be described in two ways. Thecharge sets up a vector electric field

, which is related to the force ex-perienced by a test charge placed inthe field. It also sets up a scalar po-tential V, which is related to the po-tential energy of the two-charge sys-tem when a test charge is placed inthe field.

E:


(a)

q1

q2r12

(b)

q2r12

V = keq2r12

P

(a) If two point charges are sepa-rated by a distance r12, the potentialenergy of the pair of charges is givenby keq1q2/r12. (b) If charge q1 is re-moved, a potential keq2/r12 exists atpoint P due to charge q2.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 20.6. You canmove charge q1 or point P and seethe result on the electric potentialenergy of the system for part (a) andthe electric potential due to chargeq2 for part (b).

ACTIVE FIGURE 20.6Figura 4.6 – (a) Se duas cargas pontuais estão separadas por umadistância r12, a energia potencial do par de cargas é ∝ q1q2/r12. (b)Se a carga q1 é removida, um potencial ∝ q2/r12 existe no ponto Pdevido à carga q2. ©Serway–Jewett 3ed.

4.4 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMADISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS

Podemos calcular o potencial elétrico devido a umadistribuição contínua de cargas de duas formas. Se a dis-tribuição de cargas é conhecida, podemos partir da Eq. 4.2para o potencial elétrico de uma carga pontual e consideraro potencial produzido por um elemento infinitesimal decarga dq, tratando este elemento como uma carga pontual(Figura 4.7). O potencial elétrico dV num ponto P qualquerdevido ao elemento de carga dq é

dV =1

4πϵ0

dqr. ELECTRIC POTENTIAL DUE TO CONTINUOUS

CHARGE DISTRIBUTIONSThe electric potential due to a continuous charge distribution can be calculated intwo ways. If the charge distribution is known, we can start with Equation 20.11 forthe potential of a point charge. We then consider the potential due to a smallcharge element dq, modeling this element as a point charge (Fig. 20.10). Thepotential dV at some point P due to the charge element dq is

[20.17]

where r is the distance from the charge element to P. To find the total potential atP, we integrate Equation 20.17 to include contributions from all elements of thecharge distribution. Because each element is, in general, at a different distancefrom P and because ke is a constant, we can express V as

[20.18]

In effect, we have replaced the sum in Equation 20.12 with an integral.The second method for calculating the potential of a continuous charge distrib-

ution makes use of Equation 20.3. This procedure is useful when the electric field isalready known from other considerations, such as Gauss’s law. In this case, we sub-stitute the electric field into Equation 20.3 to determine the potential differencebetween any two points. We then choose V to be zero at some convenient point. Weshall illustrate both methods with examples.

V ! ke ! dqr

dV ! ke dqr

20.5


y p g p pp

field far from the dipole. In the previous example, wewere looking at the field along a line perpendicular tothe line connecting the charges. As we see in Figure19.11, the vertical components of the field cancelbecause the point at which we evaluate the field isequidistant from both charges. Therefore, only thevery small horizontal components of the individualfields contribute to the total field. In this example, weare looking at the field along an extension of the lineconnecting the charges. For points along this line, thefield vectors have components only along the line andthe field vectors are in opposite directions. The pointat which we evaluate the field, however, is necessarilycloser to one charge than the other. As a result, thefield is larger than that along the perpendicular direc-tion by a factor of 2.

Solution Using Equation 20.16 and the result from partA, we calculate the electric field at P :

If P is far from the dipole so that x "" a, then a2 can beignored in the term x2 # a2 and Ex becomes

(x "" a)

Comparing this result to that from Example 19.3, wesee a factor of 2 difference between the results for the

4keqax 3Ex "

4keqaxx 4 !

!4keqax

(x 2 # a2)2

! (#2ke qa)(#1)(x2 # a2)#2 (2x)

Ex ! # $V$x

! #ddx

# 2keqax 2 #a2 $! #2keqa

ddx

(x 2#a2)#1

r

P

dq

The electric poten-tial at point P due to a continuouscharge distribution can be calculatedby dividing the charge distributioninto elements of charge dq and sum-ming the potential contributions overall elements.

FIGURE 20.10

The following procedure is recommended for solving problemsthat involve the determination of an electric potential due to acharge distribution:

1. Conceptualize Think carefully about the individualcharges or the charge distribution that you have in the prob-lem and imagine what type of potential they would create so

that you can establish the mental representation. Appeal to anysymmetry in the arrangement of charges to help you visualizethe potential.

2. Categorize Are you analyzing a group of individualcharges or a continuous charge distribution? The answer tothis question will tell you how to proceed in the Analyze step.

Calculating Electric PotentialPROBLEM-SOLVING STRATEGY

Figura 4.7 – O potencial elétrico num ponto P devido a umadistribuição contínua de cargas pode ser calculado dividindo-se adistribuição de cargas em elementos de carga dq e somando-seas contribuições do potencial devido a cada elemento. ©Serway–Jewett 3ed.



20


Para obter o potencial basta integrar esta equação sobre todosos elementos de carga:

V =1

4πϵ0

ˆdqr.

Se o campo elétrico já é conhecido, por exemploaplicando-se a lei de Gauss a uma distribuição simétrica decargas, podemos calcular o potencial usando a relação paraa diferença de potencial, ∆V = −

É · d s, e considerar

o potencial num ponto de referência qualquer como sendozero.

Esfera uniformemente carregada

Uma esfera sólida não-condutora de raio R possui umacarga total Q distribuída uniformemente em todo o seuvolume Figura 4.8a.

(a) Cálculo do potencial elétrico fora da esfera: r > R

Inicialmente, consideramos o potencial nulo no infinitor = ∞. O campo elétrico fora de uma distribuição esferica-mente simétrica de cargas é dado por

E =1

4πϵ0

Qr2 (r > R)

onde o campo é dirigido radialmente para fora quando Q épositiva. Para obter o potencial em um dado ponto externoB, como mostrado na Figura 4.8, substituimos esta expressãopara E na equação para o potencial. Como E·d s = E dr nestecaso, temos

VB − V∞ = −ˆ r

∞E dr = − Q

4πϵ0

ˆ r

∞

drr2

VB =1

4πϵ0

Qr

(r > R)

Note que o resultado é idêntico àquele do potencial elétricopara uma carga pontual. Como o potencial deve ser contínuoem r = R, podemos usar esta expressão para determinar ovalor do potencial na superfície da esfera. Assim, o potencialno ponto C mostrado na Figura 4.8 é

VC =1

4πϵ0

QR

(r = R)

(b) Cálculo do potencial elétrico dentro da esfera: r < R

No interior da esfera, o campo elétrico é dado por

E =1

4πϵ0

QR3 r (r < R)

Podemos utilizar este resultado e determinar a diferença depotencial VD − VC , onde D é um ponto no interior da esfera:

VD−VC = −ˆ r

RE dr = − 1

4πϵ0

QR3

ˆ r

Rr dr =

14πϵ0

Q2R3 (R2−r2)


y p g p pp

expect for a point charge. At large values of x, there-fore, the charge distribution appears to be a pointcharge of magnitude Q as you should expect. Also notice that this result for the electric field agrees withthat obtained by direct integration (see Example 19.5).

To finalize, note that V decreases as x increases, as weexpected from our mental representation. If the pointP is very far from the ring (x !! a), then a in the de-nominator of the expression for V can be ignored andV ! keQ /x. This expression is just the one you would

for E into Equation 20.4. Because " Er dr in thiscase, we have

"

Note that the result is identical to that for the electricpotential due to a point charge. Because the potentialmust be continuous at r " R, we can use this expressionto obtain the potential at the surface of the sphere.That is, the potential at a point such as C in Figure20.12a is

Find the potential at a point inside the chargedsphere, that is, for r # R.

Solution In Example 19.8, we found that the electricfield inside a uniformly charged sphere is

We can use this result and Equation 20.3 to evaluate thepotential difference VD $ VC , where D is an interiorpoint:

Substituting VC " keQ /R into this expression and solv-ing for VD, we find that

At r " R, this expression gives a result for the potentialthat agrees with the potential VC at the surface. A plotof V versus r for this charge distribution is given in Figure 20.12b.

(for r # R)keQ2R

"3 $r 2

R2 # VD "

VD $ VC " $$r

R Er dr " $

keQR3 $r

R r dr "

keQ2R3 (R2 $ r 2)

Er " ke QR3 r (for r # R)

B

VC " ke QR (for r " R)

(for r ! R)ke Qr

VB " $$r

%Er dr " $keQ $r

% drr 2

E:

! d s:Potential of a Uniformly Charged SphereEXAMPLE 20.6

An insulating solid sphere of radius R has a total chargeof Q , which is distributed uniformly throughout thevolume of the sphere (Fig. 20.12a).

Find the electric potential at a point outside thesphere, that is, for r ! R. Take the potential to be zeroat r " %.

Solution In Example 19.8, we found from Gauss’s lawthat the magnitude of the electric field outside aspherically symmetric charge distribution is

where the field is directed radially outward when Q ispositive. To obtain the potential at an exterior point,such as B in Figure 20.12a, we substitute this expression

Er " keQr 2 (for r ! R)

A

R

rQ

DC

B

(a)

V

V0

V023

R r

VB =keQ

r

VD =keQ2R 3 –

r 2

R2( )V0 =

3keQ2R

(b)

(Example 20.6) (a) A uniformly charged insulat-ing sphere of radius R and total charge Q. Theelectric potential at points B and C is equivalent tothat of a point charge Q located at the center ofthe sphere. (b) A plot of the electric potential Vversus the distance r from the center of a uni-formly charged, insulating sphere of radius R . Thecurve for VD inside the sphere is parabolic andjoins smoothly with the curve for VB outside thesphere, which is a hyperbola. The potential has amaximum value V0 at the center of the sphere.

FIGURE 20.12Figura 4.8 – (a) Uma esfera não-condutora de raio R e com umacarga total Q distribuída uniformemente em seu volume. (b) Gráficode V versus r mostrando o comportamento do potencial elétrico emdiferentes regiões. ©Serway–Jewett 3ed.

Substituindo o valor de VC nesta expressão e resolvendo paraVD, obtemos

VD =1

4πϵ0

Q2R

(3 − r2

R2

)(r < R)

Em r = R, esta expressão dá um resultado que é igual aovalor de VC , o potencial na superfície. Um gráfico de V emfunção de r para esta distribuição de cargas é mostrado naFigura 4.8b.

Anel de cargas

Um fino anel circular de raio R possui uma carga elétricaQ distribuída uniformemente. Vamos determinar o potencialelétrico em um ponto P sobre o eixo do anel a uma distânciax do seu centro, como mostra a Figura 4.9.

Cada ponto sobre o anel é equidistante de P e suadistância é r =

√x2 + R2. O potencial é obtido integrando-se

sobre todos os elementos de carga dq:

V =1

4πϵ0

ˆdqr=

14πϵ0

1√

x2 + R2

ˆdq =

Q4πϵ0

1√

x2 + R2.

Para pontos muito distantes do anel, x ≫ R, esteresultado se reduz ao esperado para o potencial de uma cargapontual:

V =1

4πϵ0

Qx

(x ≫ R)

Figura 4.9 – Anel de cargas.



21


OBTAINING ELECTRIC FIELD FROMELECTRIC POTENTIAL

The electric field and the electric potential V are related by Equation 20.4, whichshows how to find the potential if the electric field is known. We now show how tocalculate the electric field if the electric potential is known in a certain region.

From Equation 20.3, we can express the potential difference dV between twopoints a distance ds apart as

[20.14]

If the electric field has only one component — Ex , for example—then !Ex dx . Therefore, Equation 20.14 becomes dV ! "Ex dx, or

That is, the electric field is equal to the negative of the derivative of the electric po-tential with respect to some coordinate. The potential change is zero for any dis-placement perpendicular to the electric field, which is consistent with the notionthat equipotential surfaces are perpendicular to the field as in Figure 20.8a.

Ex ! "dVdx

E:

! d s:dV ! "E

:! d s:

E:

20.4


y p g p pp

infinity, so the external agent does not have to doanything to cause them to move together. To keep thecharge from accelerating, however, the agent mustapply a force away from point P. Therefore, the forceexerted by the agent is opposite the displacement ofthe charge, leading to a negative value of the work.Positive work would have to be done by an externalagent to remove the charge from P back to infinity.

Log into PhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Interactive Example 20.3 to explore the value of theelectric potential at point P and the electric potential energyof the system in Figure 20.7b.

How much work is required to bring a 3.00-#Cpoint charge from infinity to the point P (Fig. 20.7b)?

Solution The work done is equal to the change in thesystem potential energy given by Equation 20.3:

!

The negative sign is because the 3.00-#C charge isattracted to the combination of q1 and q2, which has anet negative charge. The 3.00-#C charge would natu-rally move toward the other charges if released from

"18.9 $ 10"3 J

! (3.00 $ 10"6 C)(" 6.29 $ 103 V) W ! %U ! q3 %V ! q3(VP " 0)

B

" Relation between electric fieldand electric potential

(a)

E

(b)

q

(c)

+

Equipotential surfaces (dashed blue lines) and electric field lines (brown lines) for (a) a uniform electric field produced by an infinite sheet of charge, (b) a pointcharge, and (c) an electric dipole. In all cases, the equipotential surfaces are perpendicular to the electric field lines at every point.

FIGURE 20.8Figura 4.10 – Exemplos de superfícies equipotenciais (linhas tracejadas) e linhas de força de campos elétricos (linhas sólidas) para (a) umcampo elétrico uniforme produzido por uma placa infinita de carga, (b) uma carga pontual e (c) um dipolo elétrico. Em todos os casos, assuperfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de força do campo elétrico em cada ponto. ©Serway–Jewett 3ed.

4.5 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS

Superfícies equipotenciais são superfícies nas quais qual-quer deslocamento de carga produz uma diferença de po-tencial nula. Em outras palavras, o valor do potencial emqualquer ponto de uma dada superfície equipotencial serásempre o mesmo. Portanto, quando uma carga de provamove-se ao longo de uma superfície equipotencial, ∆V = 0,e portanto ∆V = −

É · d s = 0. Logo, o campo elétrico

E deve ser perpendicular ao vetor deslocamento ao longoda superfície equipotencial. Isto mostra que as superfíciesequipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de forçado campo elétrico que as interceptam, como mostrado naFigura 4.10.

4.6 CÁLCULO DO CAMPO A PARTIR DOPOTENCIAL

Podemos expressar a diferença de potencial dV entre doispontos separados por ds como

dV = −E · d s.

Se o campo elétrico possui apenas a componente no eixo x,então E · d s = Exdx. Portanto, podemos escrever o campoelétrico em função da diferença de potencial como

Ex = −dVdx.

De uma forma geral, o potencial V(r) é dado em termos dascoordenadas cartesianas e as componentes do campo elétricoem cada coordenada podem ser facilmente obtidas a partir deV(x, y, z) através de derivadas parciais:

Ex = −∂V∂x, Ey = −

∂V∂y

e Ez = −∂V∂z.

4.7 POTENCIAL ELÉTRICO DE UM CONDUTORCARREGADO

Em um condutor em equilíbrio eletrostático, a cargaelétrica total distribui-se em sua superfície, resultando queo campo elétrico em seu interior é nulo.

Podemos demonstrar que todo ponto na superfície deum condutor carregado em equilíbrio eletrostático está nomesmo potencial elétrico.

Considere dois pontos A e B na superfície de um condutorcarregado, como mostra a Figura 4.11. Ao longo de umatrajetória de superfície conectando esses pontos, E sempreé perpendicular ao deslocamento d s. Consequentemente, oproduto escalar E ·d s = 0. Usando esse resultado, temos quea diferença de potencial entre A e B é

VB − VA = −ˆ B

AE · d s = 0.

ELECTRIC POTENTIAL OF A CHARGED CONDUCTORIn Chapter 19, we found that when a solid conductor in electrostatic equilibriumcarries a net charge, the charge resides on the outer surface of the conductor.Furthermore, we showed that the electric field just outside the surface of a conduc-tor in equilibrium is perpendicular to the surface, whereas the field inside theconductor is zero.

We shall now show that every point on the surface of a charged conductor inelectrostatic equilibrium is at the same electric potential. Consider two points A andB on the surface of a charged conductor as in Figure 20.13. Along a surface pathconnecting these points, is always perpendicular to the displacement ; there-fore, ! 0. Using this result and Equation 20.3, we conclude that the poten-tial difference between A and B is necessarily zero. That is,

This result applies to any two points on the surface. Therefore, V is constant every-where on the surface of a charged conductor in equilibrium, so such a surface is anequipotential surface. Furthermore, because the electric field is zero inside theconductor, we conclude that the potential is constant everywhere inside the con-ductor and equal to its value at the surface. It follows that no work is required tomove a test charge from the interior of a charged conductor to its surface.

For example, consider a solid metal sphere of radius R and total positive chargeQ as in Figure 20.14a. The electric field outside the sphere has magnitude keQ /r 2

and points radially outward. Following Example 20.6, we see that the potential atthe interior and surface of the sphere must be keQ /R relative to infinity. The po-tential outside the sphere is keQ /r. Figure 20.14b is a plot of the potential as a func-tion of r, and Figure 20.14c shows the variations of the electric field with r.

When a net charge resides on a spherical conductor, the surface charge densityis uniform as indicated in Figure 20.14a. If, however, the conductor is nonsphericalas in Figure 20.13, the surface charge density is not uniform. To determine how thecharge distributes on a nonspherical conductor, imagine a simplification model inwhich a nonspherical conductor is represented by the system shown in Figure20.15. The system consists of two charged conducting spheres of radii r1 and r2,where r1 " r2, connected by a thin conducting wire. Imagine that the spheres areso far apart that the electric field of one does not influence the other (much far-ther apart than shown in Fig. 20.15). As a result, the electric field of each spherecan be modeled as that due to a spherically symmetric distribution of charge, whichis the same as that due to a point charge.

Because the spheres are connected by a conducting wire, the entire system is a sin-gle conductor and all points must be at the same potential. In particular, the poten-tials at the surfaces of the two spheres must be equal. Using Equation 20.11 for thepotential of a point charge, we set the potentials at the surfaces of the spheres equal:

Therefore, the larger sphere has the larger amount of charge. Let us compare thesurface charge densities on the two spheres, however:

Therefore, although the larger sphere has the larger total charge, the smallersphere has the larger surface charge density, which leads to the fourth property

#2

#1!

! q2

4$r2

2 "! q1

4$r1

2 "!

q2

q1 r 1

2

r 2

2 !r 2

r1 r 1

2

r 2

2 !r1

r2

ke q1

r1! ke

q2

r 2 : q1

q2!

r1

r 2

VB % VA ! %#B

A E

:! d s: ! 0

E:

! d s:d s:E

:

20.6

ELECTRIC POTENTIAL OF A CHARGED CONDUCTOR ! 655

y p g p pp

+B

AE

++

+

+++++++

++

++

+++++ + +++

++

+++

An arbitrarilyshaped conductor with an excesspositive charge. When the conductoris in electrostatic equilibrium, all thecharge resides at the surface, ! 0inside the conductor, and the electricfield just outside the conductor is per-pendicular to the surface. The poten-tial is constant inside the conductorand is equal to the potential at thesurface. The surface charge density isnonuniform.

E:

FIGURE 20.13

(a) + ++ +

+ ++ ++

+ ++ +

+ ++

R

V

keQR

keQr

(b)

r

EkeQr 2

rR

(c)

(a) The excesscharge on a conducting sphere of radius R is uniformly distributed on itssurface. (b) Electric potential versus distance r from the center of the chargedconducting sphere. (c) Electric fieldversus distance r from the center of thecharged conducting sphere.

FIGURE 20.14

Figura 4.11 – Um condutor de formato arbitrário com um excessode carga positiva. Em equilíbrio eletrostático, o campo no interiordo condutor é nulo. O potencial é constante dentro do condutor e éigual ao potencial na superfície.



22


Esse resultado é válido para quaisquer dois pontos na super-fície. Como V é constante em toda a superfície do condutor,ela pode ser considerada como uma superfície equipotencial.

O campo elétrico dentro do condutor é nulo. Isso implicaque o potencial em qualquer ponto no interior do condutoré o mesmo (constante), sendo igual ao valor na superfície.Conclui-se que nenhum trabalho é necessário para moveruma carga de prova do interior de um condutor carregadopara sua superfície.

Considere agora um sistema consistindo de duas esferascondutoras carregadas de raios r1 e r2 conectadas por umfio condutor, como mostra a Figura 4.12. Supondo que asesferas estão muito distantes entre si, o campo elétrico pro-duzido por uma não afeta a outra. Assim, o campo elétricode cada esfera pode ser descrito pelo campo produzido poruma distribuição esférica de cargas, que é o mesmo de umacarga pontual.

listed in Section 19.11. Equation 19.25 tells us that the electric field near the sur-face of a conductor is proportional to the surface charge density. Therefore, thefield near the smaller sphere is larger than the field close to the larger sphere.

We generalize this result by stating that the electric field due to a charged con-ductor is large near convex surfaces of the conductor having small radii of curva-ture and is small near convex surfaces of the conductor having large radii ofcurvature. A sharp point on a conductor is a region with an extremely small radiusof curvature, so the field is very high near points on conductors.

! Thinking Physics 20.1Why is the end of a lightning rod pointed?

Reasoning The role of a lightning rod is to serve as a location at which the light-ning strikes so that the charge delivered by the lightning will pass safely to theground. If the lightning rod is pointed, the electric field due to charges movingbetween the rod and the ground is very strong near the point because the radius ofcurvature of the conductor is very small. This large electric field will greatlyincrease the likelihood that the return stroke will occur near the tip of the light-ning rod rather than elsewhere. !

A Cavity Within a Conductor in EquilibriumNow consider a conductor of arbitrary shape containing a cavity as in Figure 20.16.Let us assume that no charges are inside the cavity. We shall show that the electricfield inside the cavity must be zero, regardless of the charge distribution on the out-side surface of the conductor. Furthermore, the field in the cavity is zero even if anelectric field exists outside the conductor.

To prove this point, we remember that every point on the conductor is at thesame potential and therefore any two points A and B on the surface of the cavitymust be at the same potential. Now imagine that a field exists in the cavity andevaluate the potential difference VB ! VA, defined by the expression

where the path from A to B is within the cavity. Because VB ! VA " 0, however, theintegral must be zero regardless of the path chosen for the integration from A to B.The only way that the integral on the right side of the equation can be equal tozero for all possible paths within the cavity is for to be equal to zero at all pointsinside the cavity. Therefore, we conclude that a cavity surrounded by conductingwalls is a field-free region as long as no charges are inside the cavity.

This result has some interesting applications. For example, it is possible toshield an electronic device or even an entire laboratory from external fields by sur-rounding it with conducting walls. Shielding is often necessary during highly sensi-tive electrical measurements. During a thunderstorm, the safest location is insidean automobile. Even if lightning strikes the car, the metal body guarantees that youwill not receive a shock inside, where " 0.

CAPACITANCEAs we continue with our discussion of electricity and, in later chapters, magnetism,we shall build circuits consisting of circuit elements. A circuit generally consists of anumber of electrical components (circuit elements) connected together by con-ducting wires and forming one or more closed loops. These circuits can be consid-ered as systems that exhibit a particular type of behavior. The first circuit elementwe shall consider is a capacitor.

20.7

E:

E:

VB ! VA " !!B

A E:

! d s:

E:

656 " CHAPTER 20 ELECTRIC POTENTIAL AND CAPACITANCE

y p g p pp

r1

q1

r2q2

Two chargedspherical conductors connected by aconducting wire. The spheres are atthe same potential V.

FIGURE 20.15

A

B

A conductor inelectrostatic equilibrium containingan empty cavity. The electric field inthe cavity is zero, regardless of thecharge on the conductor.

FIGURE 20.16

Figura 4.12 – Duas esferas condutoras carregadas com cargas q1

e q2 estão conectadas por um fio condutor. Todo o sistema podeser considerado como um único condutor, de forma que o potencialelétrico na superfície das esferas é o mesmo. ©Serway–Jewett 3ed.

Como as esferas estão conectadas por um fio condutor,todo o sistema é um único condutor e todos os pontos emsua superfície possuem o mesmo potencial elétrico. Emparticular, os potenciais nas superfícies das duas esferasdevem ser iguais, de forma que temos a seguinte relação:

14πϵ0

q1

r1=

14πϵ0

q2

r2⇒ q1

r1=

q2

r2.

Portanto, a esfera maior possuem uma maior quantidade decarga: q1 > q2, já que r1 > r2. Agora vamos comparar asdensidades de carga sobre as duas esferas:

σ2

σ1=

q2

(4πr22)

q1

(4πr21)

=q2

q1

r21

r22

=r2

r1

r21

r22

=r1

r2.

Logo, embora a esfera maior tenha uma carga total maior,a esfera de raio menor possui uma densidade superficial decargas maior. Como o campo elétrico próximo à superfíciede um condutor é proporcional à densidade superficial de

cargas, E = σ/ϵ0, isso mostra que o campo elétrico próximoda esfera menor é maior que o campo nas proximidades daesfera maior.

Podemos generalizar este resultado dizendo que o campoelétrico devido a um condutor carregado é maior em superfí-cies pontiagudas (que possuem raios de curvatura menor).Este é um fenômeno chamado poder das pontas (ver Fi-gura 4.13).

7 O O potencial eletrostático

Figura 4.2g

Para uma carga ppotencial V ( x ) , sabemos

4.8 Energia eletrPara estabelecer um:

balho contra as forças elétri •..sinal, elas se repelem). Pela ~na configuração. Aonde?

A resposta é difere~ou o ponto de vista do camarmazenada nas cargas, sobmos na Seç. 5.5 que, do oseja, em todo o espaço oneletrostática (mas não na ele

Uma forma equidizendo que a lia massaé<5xlO-60g!

Se introduzirmos

- q e q nas superfícies in-com a carga q, ela neuq ao condutor. Isso vale.

Essa é a base do flugar de tocar a parede, a -elevar gradualmente o potenpela rigidez dielétrica da"tandem"). Atingem-se agerador "tandem" desse ti

(4.7.3)

+

+

+

+

++

+

Figura 4.28 Experiência de Priestley

+

+ Por outro lado, o campo na superfície docondutor é dado por a /Eo , de forma quea mesma distribuição vale para o campo.Isso explica o poder das pontas: o campoelétrico torna-se mais intenso na vizi-

nhança de uma ponta, onde o raio de cur-Figura 4.27 Poder das pontas . vatura do condutor diminui (fig. 4.27).Na atmosfera existem nOffi1almente íons (átomos ou moléculas são ioruzados pela

radioatividade natural do solo e por raios cósmicos). O campo intenso no ar perto de umaponta atrai íons de carga oposta e repele os de mesmo sinal; a aceleração que adquirempode ser suficiente para produzir outros íons por colisão, desencadeando um processo deavalanche, que tende a descarregar o condutor; pode produzir luminosidade ("efeito co-rona") ou até faíscas.

A rigidez dielétrica do ar (campo máximo que pode subsistir na atmosfera semproduzir descarga) é da ordem de 3 x 106 V / m .

O fato de que não há cargas na paredeinterna de um condutor oco carregado foiobservado por B. Franklin em 1755, sus-pendendo um pedacinho de rolha por umfio de seda e colocando-o dentro de umalata carregada (fig. 4.28), e foi por eletransmitido a Joseph Priestley, que, lem-brando-se do resultado dos "Principia" etendo repetido a experiência em 1766,concluiu no ano seguinte que a interação

e1etrostática devia ser proporcional a r-2 , como a gravitacional.

Cavendish redescobriu esse argumento em 1773, 12 anos antes das experiên-CIas de Cou10mb. Vimos que os resultados numa cavidade dentro de um condutordecorrem diretamente de n = 2 numa lei em r-li. Maxwell, repetindo a experiência em1873 com maior precisão, concluiu que I n - 21 < 5 x 10-5 ; Plimpton e Lawton, em1936, obtiveram I n - 21 < 2 x 10-9 , e experiências mais recentes reduziram a diferençaa valores < 1O-16!

As densidades superficiais de carga são dadas por

q; Iai :;= 4m ~ .

q~ Ja2 = ---2

4m2

Logo, a densidade de carga é inversamente proporcional ao raio de curvatura da super-fície condutora.

Figura 4.13 – Efeito das pontas. As linhas de campo elétrico sãomais intensas em regiões onde o raio de curvatura é menor, istoé, nas pontas do condutor. ©Moyses Nussenzveig, Física Básica,Vol. 3



23

5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Neste capítulo, vamos introduzir um dos elementos decircuito mais fundamentais, os capacitores, que são respon-sáveis por armazenar energia elétrica num circuito.

Os capacitores são utilizados em uma variedade de cir-cuitos elétricos, por exemplo para sintonizar frequências derádio e para armazenar energia em dispositivos eletrônicos.

Um capacitor consiste de um sistema de dois condutores,cada um carregado com a mesma quantidade de cargaselétricas, mas de sinais opostos, separados por um materialisolante. A capacitância de um dado capacitor depende desua geometria e do material — chamado dielétrico — quesepara os condutores.

In general, a capacitor consists of two conductors of any shape. Consider twoconductors having a potential difference of !V between them. Let us assume thatthe conductors have charges of equal magnitude and opposite sign as in Figure20.17. This situation can be accomplished by connecting two uncharged conduc-tors to the terminals of a battery. Once that is done and the battery is disconnected,the charges remain on the conductors. We say that the capacitor stores charge.

The potential difference !V across the capacitor is the magnitude of the poten-tial difference between the two conductors. This potential difference is propor-tional to the charge Q on the capacitor, which is defined as the magnitude of thecharge on either of the two conductors. The capacitance C of a capacitor is definedas the ratio of the charge on the capacitor to the magnitude of the potential differ-ence across the capacitor:

[20.19]

By definition, capacitance is always a positive quantity. Because the potential differ-ence is proportional to the charge, the ratio Q /!V is constant for a given capacitor.Equation 20.19 tells us that the capacitance of a system is a measure of the amountof charge that can be stored on the capacitor for a given potential difference.

From Equation 20.19, we see that capacitance has the SI units coulombs pervolt, which is called a farad (F) in honor of Michael Faraday. The farad is a verylarge unit of capacitance. In practice, typical devices have capacitances rangingfrom microfarads to picofarads.

C ! Q

!V

CAPACITANCE ! 657

y p g p pp

–Q

+Q

A capacitorconsists of two conductors electricallyisolated from each other and theirsurroundings. Once the capacitor ischarged, the two conductors carrycharges of equal magnitude butopposite sign.

FIGURE 20.17

CAPACITANCE IS A CAPACITY To helpyou understand the concept ofcapacitance, think of similar no-tions that use a similar word. Thecapacity of a milk carton is the vol-ume of milk it can store. The heatcapacity of an object is the amountof energy an object can store perunit of temperature difference. Thecapacitance of a capacitor is theamount of charge the capacitor canstore per unit of potential difference.


POTENTIAL DIFFERENCE IS !V, NOT VWe use the symbol !V for the potential difference across a circuitelement or a device because this notation is consistent with our defi-nition of potential difference andwith the meaning of the delta sign.It is a common but confusing prac-tice to use the symbol V without thedelta sign for a potential difference.Keep that in mind if you consultother texts.


A capacitor stores charge Q at a potential difference !V. If the volt-age applied by a battery to the capacitor is doubled to 2 !V, (a) the capacitance falls tohalf its initial value and the charge remains the same, (b) the capacitance and the chargeboth fall to half their initial values, (c) the capacitance and the charge both double, or (d) the capacitance remains the same and the charge doubles.

QUICK QUIZ 20.4

The capacitance of a device depends on the geometric arrangement of theconductors. To illustrate this point, let us calculate the capacitance of an isolatedspherical conductor of radius R and charge Q. (Based on the shape of the fieldlines from a single spherical conductor, we can model the second conductor as aconcentric spherical shell of infinite radius.) Because the potential of the sphere issimply keQ /R (and V " 0 for the shell of infinite radius), the capacitance of thesphere is

[20.20]

(Remember from Section 19.4 that the Coulomb constant ke " 1/4#$0.) Equation20.20 shows that the capacitance of an isolated charged sphere is proportional tothe sphere’s radius and is independent of both the charge and the potentialdifference.

The capacitance of a pair of oppositely charged conductors can be calculatedin the following manner. A convenient charge of magnitude Q is assumed, andthe potential difference is calculated using the techniques described in Section20.5. One then uses C " Q /!V to evaluate the capacitance. As you might expect,the calculation is relatively straightforward if the geometry of the capacitor issimple.

Let us illustrate with two familiar geometries: parallel plates and concentriccylinders. In these examples, we shall assume that the charged conductors are sepa-rated by a vacuum. (The effect of a material between the conductors will be treatedin Section 20.10.)

C "Q

!V"

QkeQ /R

"Rke

" 4#$0R

Figura 5.1 – Dois condutores isolados um do outro e de seuambiente formam um capacitor. Quando o capacitor está carregado,os condutores têm cargas de mesmo módulo mas sinais opostos.©Serway–Jewett 3ed.

5.1 DEFINIÇÃO DE CAPACITÂNCIA

Consideremos um par de placas metálicas planas e pa-ralelas, carregadas com cargas +Q e −Q (Figura 5.2) apósestarem ligadas aos terminais de uma bateria, por exemplo.Se a distância d entre as placas é muito menor que as dimen-sões das placas, podemos tratá-las, com boa aproximação,como se fossem planos infinitos, desprezando os “efeitos deborda” nas extremidades dos planos.

O campo elétrico entre as placas pode ser consideradouniforme e é dado por

E =σ

ϵ0,

onde σ = Q/A é a densidade superficial de cargas e A é aárea das placas.

The Parallel-Plate CapacitorA parallel-plate capacitor consists of two parallel plates of equal area A separated bya distance d as in Figure 20.18. If the capacitor is charged, one plate has charge Qand the other, charge !Q . The magnitude of the charge per unit area on eitherplate is " # Q /A. If the plates are very close together (compared with their lengthand width), we adopt a simplification model in which the electric field is uniformbetween the plates and zero elsewhere, as we discussed in Example 19.12. Accord-ing to Example 19.12, the magnitude of the electric field between the plates is

Because the field is uniform, the potential difference across the capacitor can befound from Equation 20.6. Therefore,

Substituting this result into Equation 20.19, we find that the capacitance is

[20.21]

That is, the capacitance of a parallel-plate capacitor is proportional to the area ofits plates and inversely proportional to the plate separation.

As you can see from the definition of capacitance, C # Q /$V, the amount ofcharge a given capacitor can store for a given potential difference across its plates in-creases as the capacitance increases. It therefore seems reasonable that a capacitorconstructed from plates having large areas should be able to store a large charge.

A careful inspection of the electric field lines for a parallel-plate capacitor re-veals that the field is uniform in the central region between the plates, but isnonuniform at the edges of the plates. Figure 20.19 shows a drawing and a photo-graph of the electric field pattern of a parallel-plate capacitor, showing the nonuni-form field lines at the plates’ edges. As long as the separation between the plates issmall compared with the dimensions of the plates (unlike Fig. 20.19b), the edge ef-fects can be ignored and we can use the simplification model in which the electricfield is uniform everywhere between the plates.

C #%0Ad

C #Q

$V#

QQd/%0A

$V # Ed #Qd%0A

E #"

%0#

Q%0A


y p g p pp

d

–Q+Q

Area = A

+ –

A parallel-platecapacitor consists of two parallelconducting plates, each of area A,separated by a distance d. When thecapacitor is charged by connectingthe plates to the terminals of abattery, the plates carry charges ofequal magnitude but opposite sign.

FIGURE 20.18

+Q

–Q

(a) (b)

(a) The electric field between the plates of a parallel-plate capacitor is uniform nearthe center but nonuniform near the edges. (b) Electric field pattern of two oppositelycharged conducting parallel plates. Small particles on an oil surface align with theelectric field.

FIGURE 20.19

(Dou

glas

C. J

ohns

on/C

al P

oly P

omon

a)

TOO MANY CS Be sure not to con-fuse italic C for capacitance withregular C for the unit coulomb.


Figura 5.2 – Seção transversal de um capacitor de placas paralelascarregado. Em geral, para o cálculo da capacitância desprezamosos efeitos de borda e campos externos. ©Serway–Jewett 3ed.

A diferença de potencial V entre as placas é

V ≡ V+ − V− =ˆ −+

E · d s = Ed,

pois E aponta no sentido da placa positiva para a negativa.Logo,

V =σdϵ0=

QdϵoA

é proporcional ao módulo da carga Q das placas. Essaproporcionalidade vale para qualquer par de condutores (in-depende da forma) entre os quais se estabelece uma diferençade potencial V , em consequência de carregá-los com cargas±Q. Portanto, também podemos escrever

V =1C

Q,

onde a constante de proporcionalidade C é chamada decapacitância do par de condutores, ou do capacitor. A cargaQ, neste caso, é referida como a carga do capacitor.

Para um capacitor de placas paralelas, ou plano, a capa-citância é dada por

C =ϵ0Ad,

ou seja, ela depende apenas da geometria do capacitor.

A unidade de capacitância é o farad (F), definida por

1F ≡ 1C1V.

Na prática, as unidades mais convenientes são submúltiplosdo farad, como por exemplo, o microfarad (µF) e o picofarad(pF).

Questão: Qual deve ser a área das placas deum capacitor plano de 1 farad supondo umadistância entre placas de 1 cm?



24

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 5: Capacitores e dielétricos

confined to the region between them (Fig. 20.21b). We first calculate the potentialdifference between the two cylinders, which is given in general by

where is the electric field in the region a ! r ! b. In Chapter 19, using Gauss’s law,we showed that the electric field of a cylinder with charge per unit length " has themagnitude E # 2ke "/r. The same result applies here because the outer cylinder doesnot contribute to the electric field inside it. Using this result and noting that the di-rection of is radially away from the inner cylinder in Figure 20.21b, we find that

Substituting this result into Equation 20.19 and using that " # Q /!, we find that

[20.22]

where the magnitude of the potential difference between the cylinders is $V #!Va % Vb ! # 2ke" ln(b/a), a positive quantity. Our result for C shows that the capaci-tance is proportional to the length of the cylinders. As you might expect, the capac-itance also depends on the radii of the two cylindrical conductors. As an example, acoaxial cable consists of two concentric cylindrical conductors of radii a and b sepa-rated by an insulator. The cable carries currents in opposite directions in the innerand outer conductors. Such a geometry is especially useful for shielding an electri-cal signal from external influences. From Equation 20.22, we see that the capaci-tance per unit length of a coaxial cable is

COMBINATIONS OF CAPACITORSTwo or more capacitors are often combined in electric circuits in different ways.The equivalent capacitance of certain combinations can be calculated using meth-ods described in this section.

In studying electric circuits, we use a specialized simplified pictorial representa-tion called a circuit diagram. Such a diagram uses circuit symbols to represent

20.8

C!

#1

2ke ln " ba #

C #Q

$V#

Q2keQ

! ln" b

a ##

!

2ke ln" ba #

Vb % Va # %$b

aEr dr # %2ke" $b

a drr

# %2ke" ln" ba #

E:

E:

Vb % Va # %$b

a E

:! d s:


y p g p pp

ba

!

(a) (b)

Gaussiansurface

–Qa

Q

b

r

(a) A cylindricalcapacitor consists of a solid cylindricalconductor of radius a and length !surrounded by a coaxial cylindricalshell of radius b. (b) End view. Thedashed line represents the end of thecylindrical gaussian surface of radius r.

FIGURE 20.21

Figura 5.3 – Um capacitor cilíndrico consiste de um cilindro sólidode raio a e comprimento ℓ envolto por uma camada cilíndricacoaxial de raio b. ©Serway–Jewett 3ed.

Capacitor cilíndrico: Mostre que a capacitânciade um capacitor cilíndrico de raio interno a, raioexterno b e comprimento ℓ, como o mostrado naFigura 5.3, é dada pela expressão:

C = 2πϵ0ℓ

ln b/a

5.2 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES

Quando estamos analisando circuitos elétricos, frequen-temente é útil saber a capacitância equivalente de dois oumais capacitores conectados de uma certa maneira. O termo“capacitância equivalente” significa a capacitância de umcapacitor que pode substituir a combinação sem nenhumamudança na operação do restante do circuito. Na análisede circuitos elétricos, utilizamos uma representação gráficachamada diagrama do circuito, onde cada elemento é repre-sentado por um símbolo diferente e são conectados por linhasretas que representam os fios condutores. Nestes diagramas,capacitores são representados pelo símbolo mmm| |mmm, quelembra as placas de um capacitor plano.

Capacitores em paralelo

A Figura 5.4 mostra um exemplo de conexão em paralelo,cujos terminais estão ligados aos pólos de uma bateria, quemantém entre eles a diferença de potencial ∆V ≡ V . Asplacas da esquerda de ambos capacitores estão conectadaspor um fio condutor ao terminal positivo da bateria e portantoelas estão no mesmo potencial daquele terminal da bateria;o mesmo para as placas da direita, que estão conectadasao terminal negativo da bateria. Portanto, a diferença depotencial entre as placas dos capacitores é igual à diferençade potencial na bateria. A carga total Q armazenada pelosdois capacitores é então

Q = Q1 + Q2.

various circuit elements. The circuit symbols are connected by straight lines thatrepresent the wires between the circuit elements. Figure 20.22 shows the circuitsymbols for a capacitor, a battery, and an open switch. Notice that the circuit symbolfor a capacitor consists of two parallel lines of equal length, representing the platesin a parallel-plate capacitor, and the lines in the battery symbol are of differentlengths. The positive terminal of the battery is at the higher potential and is repre-sented by the longer line in the battery symbol.

Parallel CombinationTwo capacitors connected as shown in the pictorial representation in ActiveFigure 20.23a are known as a parallel combination of capacitors. Active Figure20.23b shows the circuit diagram for this configuration. The left plates of bothcapacitors are connected by a conducting wire to the positive terminal of thebattery, and both plates are therefore at the same potential as that of the batteryterminal. Likewise, the right plates are connected to the negative terminal ofthe battery and are at the same potential as that terminal. The voltage appliedacross the combination is therefore the terminal voltage of the battery.3 Further-more, the voltage across each capacitor is the same as the terminal voltage of thebattery.

When the capacitors are first connected in the circuit, electrons are transferredbetween the wires and the plates, causing the left plates to become positivelycharged and the right plates to become negatively charged. The flow of chargeceases when the voltage across the capacitors is equal to that across the battery ter-minals. At this point, the capacitors have reached their maximum charge. Let uscall the maximum charges on the two capacitors Q1 and Q 2. Then the total charge Qstored by the two capacitors is

[20.23]Q ! Q 1 " Q 2

COMBINATIONS OF CAPACITORS ! 661

y p g p pp

Capacitorsymbol

Batterysymbol

symbolSwitch

+–

Circuit symbols fora capacitor, a battery, and an openswitch. Note that capacitors are inblue, and batteries and switches are inred.

FIGURE 20.22

3In some situations, the parallel combination may be in a circuit with other circuit elements so that thepotential difference across the combination is not that of a battery in the circuit, but must bedetermined by analyzing the entire circuit.

(a)

+ –

C2

+ –

C1

+ –

(b)

!V

+ –

Q2

C2

Q1

C1

!V1 = !V2 = !V

!V

+ –

Ceq = C1 + C2

(c)

!V

(a) A parallel combination of two capacitors connectedto a battery. (b) The circuit diagram for the parallelcombination. The potential difference is the sameacross each capacitor. (c) The equivalent capacitance isCeq ! C1 " C2.

Log into PhysicsNow atwww.pop4e.com and go to Active Figure 20.23 to adjustthe battery voltage and the individual capacitances andsee the resulting charges and voltages on the capacitors.You can combine up to four capacitors in parallel.

ACTIVE FIGURE 20.23

Figura 5.4 – Uma associação em paralelo de dois capacitores e ocircuito reduzido à capacitância equivalente. ©Serway–Jewett 3ed.

Portanto,Q = C1V +C2V = (C1 +C2)V,

onde V ≡ V+−V−. Logo, esse conjunto de capacitores é equi-valente a um capacitor único, de capacitância equivalente

Ceq = C1 +C2 + ... +CN .

Capacitores em série

Vejamos agora a conexão em série, representada na Fi-gura 5.5. Para esta combinação, o valor da carga acumuladaem cada placa do capacitor é a mesma. A diferença depotencial total entre os dois terminais do circuito é

V+ − V− ≡ V =QC1+

QC2≡ Q

C.

Logo, a capacitância equivalente é dada por:

1Ceq=

1C1+

1C2+ ... +

1CN

Suppose we wish to replace the two capacitors in Active Figure 20.23b with oneequivalent capacitor having the capacitance Ceq. This equivalent capacitor (ActiveFig. 20.23c) must have exactly the same result in the circuit as the original two. Thatis, it must store charge Q when connected to the battery. From Active Figure 20.23c,we see that the voltage across the equivalent capacitor is !V. Therefore, we have

and, for the individual capacitors,

Substitution of these relations into Equation 20.23 gives

or

[20.24]

If we extend this treatment to three or more capacitors connected in parallel,the equivalent capacitance is

(parallel combination) [20.25]

Therefore, we see that the equivalent capacitance of a parallel combination ofcapacitors is the algebraic sum of the individual capacitances and is larger than anyof the individual capacitances.

Series CombinationNow consider two capacitors connected in series as illustrated in Active Figure20.24a. Active Figure 20.24b shows the circuit diagram. For this series combinationof capacitors, the magnitude of the charge is the same on all the plates.

Ceq " C1 # C2 # C3 # $ $ $

Ceq " C1 # C2 (parallel combination)

Ceq !V " C1 !V # C2 !V

Q1 " C1 !V Q 2 " C2 !V

Q " Ceq !V


y p g p pp

" Equivalent capacitance of severalcapacitors in parallel

(a)

+ –

C2

!V

C1!V1 !V2

+Q –Q +Q –Q

(b)!V

Q1 = Q2 = QC1 C2

C2

!V1 !V2

–+ + –

(c)!V

Ceq C1 1 1 1= +

(a) A series combination of two capacitors connected to a battery. (b) Thecircuit diagram for the series combination. The charge on each capacitoris the same. (c) The equivalent capacitance can be calculated from therelationship

Log into PhysicsNow at www.pop4e.com and go to Active Figure 20.24 to adjustthe battery voltage and the individual capacitances and see the resulting charges and voltages on thecapacitors. You can combine up to four capacitors in series.

1Ceq

"1

C 1#

1C 2

ACTIVE FIGURE 20.24Figura 5.5 – Uma associação em série de dois capacitores e ocircuito reduzido à capacitância equivalente. ©Serway–Jewett 3ed.



25


5.3 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPOELÉTRICO

Uma das principais funções de um capacitor em umcircuito elétrico é armazenar energia no campo elétrico quepode ser utilizada posteriormente para, por exemplo, acenderlâmpadas de flash em câmeras fotográficas. Neste caso, osdispositivos dependem da carga e descarga dos capacitores.

Um capacitor carregado possui acumulada uma certaenergia potencial elétrica U, que é igual ao trabalho Wdespendido para carregá-lo. Esta energia também pode serrecuperada, permitindo-se a descarga do capacitor.

Suponha que q é a carga de um capacitor num dadoinstante de tempo t. Nesse instante, a diferença de potencialentre as placas do capacitor é V = q/C. Do capítuloanterior, sabemos que o trabalho necessário para transferiruma pequena quantidade de carga dq de uma placa para outraé

dW = Vdq =qC

dq.

O trabalho total necessário para carregar o capacitor de q = 0até uma carga final q = Q é

W =ˆ

dW =ˆ Q

0

qC

dq =Q2

2C.

O trabalho realizado para carregar o capacitor aparece comouma energia potencial elétrica armazenada no capacitor.Portanto, a energia potencial armazenada em um capacitorcarregado é dada por

U =Q2

2C.

Usando a relação q = CV , podemos reescrever este resultadocomo

U =12

CV2.

Para um capacitor plano, isto leva a

U =12ϵ0Ad

V2 =12ϵ0Ad

(Vd

)2

=12ϵ0E2Ad.

Nesta expressão, Ad é o volume do espaço entre as placasdo capacitor, no qual o campo elétrico E fica confinado(desprezando efeitos de borda). Logo, podemos pensar naenergia como estando armazenada no campo, no espaçoentre as placas, com uma densidade de energia dada por

u =U

volume=

12ϵ0E2.

Apesar desta equação ter sido obtida para o caso de umcapacitor plano ela é válida para qualquer caso onde temosuma fonte de campo elétrico, isto é, a densidade de energiaem qualquer campo elétrico é proporcional ao quadrado damagnitude do campo em um dado ponto.

5.4 DIELÉTRICOS

Cavendish (em 1773) e Faraday, independentemente,em 1837, descobriram que a capacitância de um capacitoraumenta quando se coloca um isolante entre as placas. Seo espaço entre as placas estiver totalmente preenchido peloisolante, a capacitância aumenta por um fator κ que sódepende da natureza do material isolante, e não da forma outipo do capacitor, conforme mostra a experiência. Esse fatorchama-se constante dielétrica do isolante (ou dielétrico), talque:

C = κC0,

onde C0 se refere ao vácuo (para o qual, portanto, κ = 1).

A razão para o aumento da capacitância é que o campoelétrico entre as placas de um capacitor diminui na presençado dielétrico. Assim, para uma dada carga nas placas, adiferença de potencial V é reduzida e a capacitância (q/V)aumenta. O campo elétrico na presença de um dielétrico é

E =E0

κ

Mas por que razão o campo elétrico diminui? Vamosconsiderar que o material dielétrico, composto por moléculaspolares, é colocado entre as placas de um capacitor. Osdipolos formados pelas moléculas polares do dielétrico sãoorientadas de forma aleatória na ausência de um campoelétrico, como mostra a Figura 5.6a. Quando um campoelétrico externo E0 devido às cargas nas placas do capacitoré aplicado, um torque é exercido sobre os dipolos, causandoo alinhamento parcial entre eles e o campo, conforme aFigura 5.6b. O material dielétrico está então polarizado. Ograu de alinhamento das moléculas com o campo elétricodepende da temperatura e da magnitude do campo. Em geral,o alinhamento aumenta com a diminuição da temperatura ecom o aumento do campo elétrico. O campo elétrico devidoàs placas do capacitor polariza o dielétrico, o que produz aformação de uma densidade superficial de cargaσind em cadaface do dielétrico, com sinais correspondentes à polarizaçãoproduzida pelo campo externo (Figura 5.6c). As cargassuperficiais induzidas no dielétrico podem ser representadaspor duas placas paralelas, de forma que um campo elétrico éinduzido no interior do dielétrico, possuindo sentido opostoao do campo elétrico externo E0. Portanto, o campo elétricoresultante no interior do capacitor é dado por

(5.1) E = E0 − Eind.

No caso de um capacitor plano, o campo elétrico externo E0pode ser relacionado com a densidade superficial de cargasdas placas como E0 = σ/ϵ0. De forma similar, o campoelétrico induzido no interior do dielétrico é dado por Eind =

σind/ϵ0. Como E = E0/κ = σ/κϵ0, substituindo na Eq. 5.1,obtemos

σ

κϵ0=σ

ϵ0− σind

ϵ0



26


the right in Figure 20.28b. In the body of the dielectric, a general homogeneity ofcharge exists, but look along the edges. There is a layer of negative charge alongthe left edge of the dielectric and a layer of positive charge along the right edge.These layers of charge can be modeled as additional charged parallel plates, as inFigure 20.28c. Because the polarity is opposite that of the real plates, these chargesset up an induced electric field directed to the left in the diagram that partiallycancels the electric field due to the real plates. Therefore, for the charged capaci-tor removed from a battery, the electric field and hence the voltage between theplates is reduced by the introduction of the dielectric. The charge on the plates isstored at a lower potential difference, so the capacitance increases.

Types of CapacitorsCommercial capacitors are often made using metal foil interlaced with a dielectricsuch as thin sheets of paraffin-impregnated paper. These alternating layers of metalfoil and dielectric are then rolled into the shape of a cylinder to form a small pack-age (Fig. 20.29a). High-voltage capacitors commonly consist of interwoven metalplates immersed in silicone oil (Fig. 20.29b). Small capacitors are often constructedfrom ceramic materials. Variable capacitors (typically 10–500 pF) usually consist of

E:

ind

CAPACITORS WITH DIELECTRICS ! 669

y p g p pp

Approximate Dielectric Constants and Dielectric Strengths of Various Materials at Room Temperature

TABLE 20.1

Material Dielectric Constant ! Dielectric Strengtha (106 V/m)

Air (dry) 1.000 59 3Bakelite 4.9 24Fused quartz 3.78 8Mylar 3.2 7Neoprene rubber 6.7 12Nylon 3.4 14Paper 3.7 16Paraffin-impregnated paper 3.5 11Polystyrene 2.56 24Polyvinyl chloride 3.4 40Porcelain 6 12Pyrex glass 5.6 14Silicone oil 2.5 15Strontium titanate 233 8Teflon 2.1 60Vacuum 1.000 00 —Water 80 —

0(b) (c)

– + – +–

+ –+

–+–+–+

– +

–+ –+

– + –+

– + – + – +

– +– + – +

– + – + – +– + – + – +

– +

(a)

0

Eind

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

E

E

aThe dielectric strength equals the maximum electric field that can exist in a dielectricwithout electrical breakdown. Note that these values depend strongly on the presence ofimpurities and flaws in the materials.

(a) Polar mole-cules are randomly oriented in the ab-sence of an external electric field. (b) When an external electric field isapplied, the molecules partially alignwith the field. (c) The charged edgesof the dielectric can be modeled as anadditional pair of parallel plates estab-lishing an electric field in the di-rection opposite to that of .E

:0

E:

ind

FIGURE 20.28

Figura 5.6 – (a) Moléculas polares estão orientadas de forma aleatória na ausência de um campo elétrico externo. (b) Quando um campoelétrico externo E0 é aplicado, as moléculas alinham-se parcialmente com o campo. (c) As laterais carregadas do dielétrico podem sermodeladas como um par adicional de placas paralelas estabelecendo um campo elétrico Eind na direção oposta ao do campo externo E0.©Serway–Jewett 3ed.

o que resulta em

σind =

(κ − 1κ

)σ

Como κ > 1, esta expressão mostra que a densidade de cargainduzida no dielétrico é menor que a densidade de carga nasplacas do capacitor.



27

6 CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA

Nos capítulos anteriores estudamos as propriedades decargas em repouso, assunto da eletrostática. A partir destecapítulo iniciaremos o estudo das correntes elétricas, ou seja,das cargas em movimento.

6.1 CORRENTE ELÉTRICA

Quando ligamos uma bateria às duas extremidades deum condutor, uma diferença de potencial V é criada e, seo comprimento do fio for ℓ, então um campo elétrico demódulo E = V/ℓ será criado dentro do condutor. Estecampo elétrico E atuará sobre os elétrons, imprimindo-lhesum movimento resultante no sentido oposto a E.

Se uma carga líquida dq passa através de qualquer super-fície num intervalo de tempo dt, dizemos que foi estabelecidauma corrente elétrica, cuja intensidade é definida por

I =dqdt.

Para uma corrente em um fio, dq é a carga que passa atravésde uma seção transversal em um tempo dt. A unidade SI decorrente é o ampère (A), definido como

1 ampère = 1 coulomb/segundo

ELECTRIC CURRENTWhenever charge is flowing, an electric current is said to exist. To define currentmathematically, suppose charged particles are moving perpendicular to a surface ofarea A as in Figure 21.1. (This area could be the cross-sectional area of a wire, forexample.) The current is defined as the rate at which electric charge flows throughthis surface. If !Q is the amount of charge that passes through this area in a timeinterval !t, the average current Iavg over the time interval is the ratio of the chargeto the time interval:

[21.1]

It is possible for the rate at which charge flows to vary in time. We define the instan-taneous current I as the limit of the preceding expression as !t goes to zero:

[21.2]

The SI unit of current is the ampere (A):

1 A " 1 C/s [21.3]

That is, 1 A of current is equivalent to 1 C of charge passing through a surfacein 1 s.

The particles flowing through a surface as in Figure 21.1 can be charged posi-tively or negatively, or we can have two or more types of particles moving, withcharges of both signs in the flow. Conventionally, we define the direction of the cur-rent as the direction of flow of positive charge, regardless of the sign of the actualcharged particles in motion.1 In a common conductor such as copper, the currentis physically due to the motion of the negatively charged electrons. Therefore,when we speak of current in such a conductor, the direction of the current isopposite the direction of flow of electrons. On the other hand, if one considers abeam of positively charged protons in a particle accelerator, the current is in thedirection of motion of the protons. In some cases—gases and electrolytes, forexample—the current is the result of the flow of both positive and negativecharged particles. It is common to refer to a moving charged particle (whether it ispositive or negative) as a mobile charge carrier. For example, the charge carriers ina metal are electrons.

We now build a structural model that will allow us to relate the macroscopic cur-rent to the motion of the charged particles. Consider identical charged particlesmoving in a conductor of cross-sectional area A (Fig. 21.2). The volume of a sectionof the conductor of length !x (the gray region shown in Fig. 21.2) is A !x. If n rep-resents the number of mobile charge carriers per unit volume (in other words, thecharge carrier density), the number of carriers in the gray section is nA !x. There-fore, the total charge !Q in this section is

!Q " number of carriers in section # charge per carrier " (nA !x)q

where q is the charge on each carrier. If the carriers move with an average velocitycomponent vd in the x direction (along the wire), the displacement they experi-ence in this direction in a time interval !t is !x " vd !t. The speed vd of the chargecarrier along the wire is an average speed called the drift speed. Let us choose !t tobe the time interval required for the charges in the cylinder to move through a dis-placement whose magnitude is equal to the length of the cylinder. This time

I ! lim!t : 0

!Q!t

"dQdt

Iavg "!Q!t

21.1

684 ! CHAPTER 21 CURRENT AND DIRECT CURRENT CIRCUITS

y g p pp

A

I

+

+

++

+

Charges in motionthrough an area A. The time rate atwhich charge flows through the areais defined as the current I. The direc-tion of the current is the direction inwhich positive charges flow when freeto do so.

FIGURE 21.1

CURRENT FLOW IS REDUNDANT Thephrase current flow is commonlyused, although it is strictly incor-rect, because current is a flow (ofcharge). This terminology is similarto the phrase heat transfer, which isalso redundant because heat is atransfer (of energy). We will avoidthe phrase current flow and speak ofcharge flow or flow of charge.


" Electric current

1Even though we discuss a direction for current, current is not a vector. As we shall see later in thechapter, currents add algebraically and not vectorially.

!x

Aq

vd

vd !t

A section of a uni-form conductor of cross-sectional areaA. The mobile charge carriers movewith an average speed vd along thewire, and the displacement they expe-rience in this direction in a time inter-val !t is !x " vd !t. If we choose !t tobe the time interval during which thecharges are displaced, on the average,by the length of the cylinder, thenumber of carriers in the section oflength !x is nAvd !t, where n is thenumber of carriers per unit volume.

FIGURE 21.2

Figura 6.1 – Cargas em movimento através de uma área A. A taxacom a qual a carga flui através da área é definida como a correnteI. A direção da corrente é a direção do movimento das cargaspositivas. ©Serway–Jewett 3ed.

Note que é necessário que exista o escoamento de umacarga resultante dq para que se estabeleça uma corrente.Além disso, a carga resultante que atravessa uma dadasuperfície pode ser positiva ou negativa. Por razões his-tóricas, convencionou-se dizer que a corrente possui amesma direção do fluxo das cargas positivas, como mostraa Figura 6.1. Nos condutores elétricos, como cobre oualumínio, a corrente é devida ao movimento de elétrons comcarga negativa. Portanto, a corrente num condutor possuidireção oposta ao movimento dos elétrons. No entanto,se estamos considerando um feixe de prótons carregadospositivamente num acelerador, a corrente possui a mesmadireção do movimento dos prótons. Portanto, é a cargalíquida em movimento que define o sentido da correnteelétrica. Por exemplo, a Figura 6.2 mostra quatro seções

I!0II I

Figura 6.2 – Cargas movem-se através de quatro regiões: (a) Acarga líquida é positiva, portanto a corrente I tem o mesmo sentidodas cargas positivas; (b) A carga líquida é positiva e o sentido dacorrente é o mesmo do movimento das cargas; (c) A carga líquidaé nula, portanto não há corrente fluindo na região; (d) A carga totalé negativa e a corrente possui sentido oposto ao do movimento dascargas. ©Serway–Jewett 3ed.

de área pelas quais fluem diferentes quantidades de cargaspositivas e negativas, o que resulta em diferentes intensidadese sentidos para a corrente elétrica em relação ao movimentodas cargas.

6.2 RESISTÊNCIA

Vimos no Capítulo 3 que o campo elétrico no interiorde um condutor é zero. Entretanto, isto é válido apenas seo condutor estiver em equilíbrio eletrostático. Nesta seçãovamos descrever o que acontece quando cargas num condutornão estão em equilíbrio, ou seja, quando há um campoelétrico no interior do condutor.

Considere um condutor com uma seção transversal deárea A transportando uma corrente I. A densidade decorrente J no condutor é definida como a corrente porunidade de área:

J ≡ IA,

onde J possui unidades de A/m2. Esta expressão é válidaapenas se a densidade de corrente é uniforme e somente sea superfície da seção de área A é perpendicular à direção dacorrente. De uma forma geral, a densidade de corrente é umaquantidade vetorial e está relacionada com a corrente I pelaexpressão

I =ˆ

J · d A,

onde d A é um elemento de superfície e a integral é calculadasobre toda a superfície em questão.

O campo elétrico exerce uma força F = qE sobre os por-tadores de carga (elétrons) em um condutor, mas esta forçanão produz uma aceleração resultante porque os elétronscolidem continuamente com os átomos ou íons que fazemparte do condutor. O efeito das diversas colisões resultanuma pequena velocidade média adquirida pelos elétrons,chamada velocidade de deriva ou arrasto, ud. Como oselétrons possuem carga negativa, o sentido da velocidade de



28

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 6: Corrente elétrica e resistência

interval is also that required for all the charges in the cylinder to pass through thecircular area at one end. With this choice, we can write !Q in the form

!Q " (nAvd !t)q

If we divide both sides of this equation by !t, we see that the average current in theconductor is

[21.4]

Equation 21.4 relates a macroscopically measured average current to the micro-scopic origin of the current: the density of charge carriers n, the charge per carrierq, and the drift speed vd.

Iavg "!Q!t

" nqvdA

ELECTRIC CURRENT ! 685

y g p pp

" Current in terms of microscopicparameters

Consider positive and negative charges moving horizontally throughthe four regions shown in Figure 21.3. Rank the currents in these four regions, from low-est to highest.

QUICK QUIZ 21.1

(a)

–

–

++

+

++

++

++

–

–

–

–

(b) (c) (d)

(Quick Quiz 21.1) Four groups of charges movethrough a region.

FIGURE 21.3

Let us investigate further the notion of drift speed. We have identified driftspeed as an average speed along the wire, but the charge carriers are by no meansmoving in a straight line with speed vd. Consider a conductor in which the chargecarriers are free electrons. In the absence of a potential difference across the con-ductor, these electrons undergo random motion similar to that of gas molecules inthe structural model of kinetic theory that we studied in Chapter 16. This randommotion is related to the temperature of the conductor. The electrons undergo re-peated collisions with the metal atoms, and the result is a complicated zigzag mo-tion (Active Fig. 21.4). When a potential difference is applied across the conductor,an electric field is established in the conductor. The electric field exerts an electricforce on the electrons (Eq. 19.4). This force accelerates the electrons and henceproduces a current. The motion of the electrons due to the electric force is super-imposed on their random motion to provide an average velocity whose magnitudeis the drift speed.

When electrons make collisions with metal atoms during their motion, they trans-fer energy to the atoms. This energy transfer causes an increase in the vibrational en-ergy of the atoms and a corresponding increase in the temperature of theconductor.2 This process involves all three types of energy storage in the continuityequation for energy, Equation 6.20. If we consider the system to be the electrons, themetal atoms, and the electric field (which is established by an external source such asa battery), the energy at the instant when the potential difference is applied acrossthe conductor is electric potential energy associated with the field and the electrons.This energy is transformed by work done by the field on the electrons to kinetic en-ergy of electrons. When the electrons strike the metal atoms, some of the kinetic en-ergy is transferred to the atoms, which adds to the internal energy of the system.

vd

E

–

A schematic representation of thezigzag motion of a charge carrier in aconductor. The changes in directionare due to collisions with atoms in theconductor. Note that the net motionof electrons is opposite the directionof the electric field. Because of theacceleration of the charge carriersdue to the electric force, the paths areactually parabolic. The drift speed,however, is much smaller than theaverage speed, so the parabolic shapeis not visible on this scale.

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ACTIVE FIGURE 21.4

2This increase in temperature is sometimes called Joule heating, but that term is a misnomer becausethere is no heat involved. We will not use this wording.

Figura 6.3 – Representação gráfica do movimento dos elétronsem um condutor. Mudanças na direção dos movimentos são oresultado de colisões entre elétrons e átomos no condutor. Noteque o movimento líquido do elétron é oposto à direção do campoelétrico. ©Serway–Jewett 3ed.

deriva é oposto ao do campo elétrico (Figura 6.3). O númerode elétrons livres ou de condução em um comprimento ℓ deum fio condutor é nAℓ, onde n é o número de elétrons porunidade de volume e Aℓ é o volume do comprimento ℓ do fio.A carga que atravessa o fio num intervalo de tempo ∆t = ℓ/vdé ∆q = (nAℓ)e. Logo, a corrente I é dada por:

I =∆q∆t=

nAℓeℓ/vd

= nAevd.

Como J = I/A, temos que

vd =I

nAe=

Jne.

Ou, em termos vetoriais, temos que:

J = −neud

onde o sinal negativo indica que para os elétrons J e udpossuem sentidos opostos.

A densidade de corrente J e um campo elétrico E sãoestabelecidos em um condutor qualquer que seja a diferençade potencial mantida ao longo do condutor. Em algunsmateriais, a densidade de corrente é proporcional ao campoelétrico:

J = σE,

onde a constante de proporcionalidade σ é chamada decondutividade do condutor. Esta relação é conhecida comoa lei de Ohm, que pode ser escrita como:

para diversos materiais (incluindo a maioria dosmetais), a razão entre a densidade de correntee o campo elétrico é uma constante σ que éindependente do campo elétrico que produz acorrente.

Materiais que obedecem a lei de Ohm são chamados ôhmi-cos.

Consideremos agora um fio condutor de seção de áreaA e comprimento ℓ, como mostrado na Figura 6.4. Umadiferença de potencial V é mantida através do fio, criandoum campo elétrico e uma corrente ao longo do fio. Supondoque o campo seja uniforme, a diferença de potencial está

RESISTANCE AND OHM’S LAWThe drift speed of electrons in a current-carrying wire is related to the electric fieldin the wire. If the field is increased, the electric force on the electrons is strongerand the drift speed increases. We shall show in Section 21.4 that this relationship islinear and that the drift speed is directly proportional to the electric field. For auniform field in a conductor of uniform cross-section, the potential differenceacross the conductor is proportional to the electric field as in Equation 20.6. There-fore, when a potential difference !V is applied across the ends of a metallic conduc-tor as in Figure 21.5, the current in the conductor is found to be proportional tothe applied voltage; that is, I " !V. We can write this proportionality as !V # IR,where R is called the resistance of the conductor. We define this resistance accord-ing to the equation we have just written, as the ratio of the voltage across the con-ductor to the current it carries:

[21.6]

Resistance has the SI units volts per ampere, called ohms ($). Therefore, if a po-tential difference of 1 V across a conductor produces a current of 1 A, the resis-tance of the conductor is 1 $. As another example, if an electrical appliance con-nected to a 120-V source carries a current of 6.0 A, its resistance is 20 $.

Resistance is the quantity that determines the current that results due to a volt-age in a simple circuit. For a fixed voltage, if the resistance increases, the currentdecreases. If the resistance decreases, the current increases.

It might be useful for you to build a mental model for current, voltage, and re-sistance by comparing these concepts to analogous concepts for the flow of water ina river. As water flows downhill in a river of constant width and depth, the rate offlow of water (analogous to current) depends on the angle that the river bottommakes with the horizontal (analogous to voltage) and on the width and depth aswell as on the effects of rocks, the riverbank, and other obstructions (analogous toresistance). Likewise, electric current in a uniform conductor depends on the ap-plied voltage and the resistance of the conductor is caused by collisions of the elec-trons with atoms in the conductor.

For many materials, including most metals, experiments show that the resistanceis constant over a wide range of applied voltages. This behavior is known as Ohm’slaw after Georg Simon Ohm (1787–1854), who was the first to conduct a systematicstudy of electrical resistance.

Many individuals call Equation 21.6 Ohm’s law, but this terminology is incorrect.This equation is simply the definition of resistance, and it provides an important re-lationship between voltage, current, and resistance. Ohm’s law is not a fundamentallaw of nature, but a behavior that is valid only for certain materials and devices, andonly over a limited range of conditions. Materials or devices that obey Ohm’s law,and hence that have a constant resistance over a wide range of voltages, are said tobe ohmic (Fig. 21.6a). Materials or devices that do not obey Ohm’s law are

R ! !VI

21.2

RESISTANCE AND OHM’S LAW ! 687

y g p pp

" Definition of resistance

A uniform conduc-tor of length and cross-sectionalarea A. A potential difference Vb % Va

is maintained across the conductor sothat an electric field exists in theconductor, and this field produces acurrent I that is proportional to thepotential difference.

E:

!

FIGURE 21.5

!

Vb Va

IAE

WE’VE SEEN SOMETHING LIKE EQUA-TION 21.6 BEFORE In Chapter 4, weintroduced Newton’s second law,

F # ma, for a net force on an ob-ject of mass m. It can be written as

In Chapter 4, we defined mass asresistance to a change in motion inresponse to an external force. Mass asresistance to changes in motion isanalogous to electrical resistance tocharge flow, and Equation 21.6 isanalogous to the form of Newton’ssecond law above. Each equationstates that the resistance (electricalor mechanical ) is equal to (1) !V,the cause of current or (2) F, thecause of changes in motion, dividedby the result, (1) a charge flow,quantified by current I, or (2) achange in motion, quantified byacceleration a .

"

m #"Fa

"


(a) The current–potential difference curve for anohmic material. The curve is linear,and the slope is equal to the inverseof the resistance of the conductor.(b) A nonlinear current–potentialdifference curve for a semiconductingdiode. This device does not obeyOhm’s law.

FIGURE 21.6

(a)

I

Slope = 1R

!V

(b)

I

!V

Figura 6.4 – Uma diferença de potencial V = Vb − Va é aplicadaa um condutor cilíndrico de comprimento ℓ e área da seção reta A,originando uma corrente I. ©Halliday 8ed.

relacionada com o campo pela expressão

V = Eℓ.

Portanto, podemos expressar a magnitude da densidade decorrente no fio como

J = σE = σVℓ.

Como J = I/A, podemos escreve a diferença de potencialcomo

V =ℓ

σJ =

(ℓ

σA

)I = RI.

A quantidade R = ℓ/σA é chamada de resistência docondutor. Assim, podemos definir a resistência como a razãoentre a diferença de potencial ao longo do condutor e acorrente no condutor:

R =VI.

Esta equação será muito empregada na análise de circuitoselétricos. A resistência possui unidades SI de volts porampère, que recebe a denominação de ohm (Ω):

1Ω ≡ 1V1A.

Esta expressão mostra que se uma diferença de potencial de1 V ao longo de um condutor causa uma corrente de 1 A, aresistência do condutor é de 1 Ω. Um condutor cuja funçãonum circuito é fornecer uma resistência específica é chamadode resistor e é representado num diagrama de circuito como símbolo . Para uma dada diferença de potencial,quanto maior for a resistência ao fluxo de carga, menor seráa corrente.

Em termos da resistência, podemos escrever a lei de Ohmcomo:

um condutor obedece à lei de Ohm quando sua re-sistência é independente do valor e da polaridadeda diferença de potencial aplicada.

O inverso da condutividade é a resistividade ρ:

ρ =1σ,

onde ρ possui unidades de ohm·metro (Ω · m).



29


Como R = ℓ/σA, podemos expressar a resistência de umbloco uniforme de material com comprimento ℓ como

R = ρℓ

A.

Note que esta relação só é válida para condutores homogê-neos e isotrópicos de seção reta uniforme e sujeitos a umcampo elétrico também uniforme.

6.2.1 Variação da resistividade com a temperatura

A resistividade de um material depende da temperatura.A resistência dos metais geralmente aumenta com a tem-peratura. Isto não é surpresa, já que para temperaturasmais altas os átomos movem-se mais rapidamente e estãoorganizados de forma menos ordenada, afetando de formamais significativa o fluxo de elétrons. Se a variação de tem-peratura não é tão grande, a resistividade dos metais aumentaaproximadamente de forma linear com a temperatura, deacordo com a relação:

ρ = ρ0[1 + α(T − T0)],

onde ρ0 é a resistividade numa dada temperatura de refe-rência T0 (como 0°C ou 20°C), ρ é a resistividade a umatemperatura T e α é chamado de coeficiente de temperaturada resistividade.

6.2.2 Semicondutores

Semicondutores são substâncias cuja resistividade elé-trica, ao contrário do que ocorre com os condutores normais,diminui com a temperatura. Assim, são condutores nastemperaturas usuais e isolantes nas baixas temperaturas.

Exemplos de elementos químicos com propriedades desemicondutores são o germânio e o silício. Além desteselementos, também são semicondutores uma grande quanti-dade de substâncias entre as quais se destacam os compostosbinários constituídos por átomos de grupos diferentes databela periódica como, por exemplo, GaAs, AlSb e InSb.

6.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

Se uma bateria é usada para estabelecer uma correnteelétrica em um condutor, há uma contínua transformaçãoda energia química na bateria para a energia cinética doselétrons, isto é, para a energia interna do condutor, o queresulta em um aumento da temperatura do condutor.

Vamos determinar uma expressão que permite calculara taxa pela qual a energia é transferida ao condutor. Emprimeiro lugar, vamos considerar um circuito simples como omostrado na Figura 6.5 onde a energia está sendo transferidadiretamente para um resistor. Como os fios que conectam abateria e o resistor também possuem uma resistência, parteda energia é transferida para os fios e parte para o resistor.Por simplicidade, vamos considerar que a resistência dos fiosé desprezível, portanto toda a energia fornecida ao circuito é

ELECTRIC ENERGY AND POWERIn Section 21.1, we discussed the energy transformations occurring in a circuit. If abattery is used to establish an electric current in a conductor, there is a continuoustransformation of chemical energy in the battery to kinetic energy of the electronsto internal energy in the conductor, resulting in an increase in the temperature ofthe conductor.

In typical electric circuits, energy is transferred from a source, such as a battery,to some device, such as a lightbulb or a radio receiver by electrical transmission(TET in Eq. 6.20). Let us determine an expression that will allow us to calculate therate of this energy transfer. First, consider the simple circuit in Active Figure 21.10,where we imagine that energy is being delivered to a resistor. Because the connect-ing wires also have resistance, some energy is delivered to the wires and some en-ergy to the resistor. Unless noted otherwise, we will adopt a simplification model inwhich the resistance of the wires is so small compared with the resistance of the cir-cuit element that we ignore the energy delivered to the wires.

Let us now analyze the energetics of the circuit in which a battery is connectedto a resistor of resistance R as in Active Figure 21.10. Imagine following a positivequantity of charge Q around the circuit from point a through the battery and resis-tor and back to a . Point a is a reference point at which the potential is defined aszero. We identify the entire circuit as our system. As the charge moves from a to bthrough the battery whose potential difference is !V, the electrical potential energyof the system increases by the amount Q !V, whereas the chemical energy in thebattery decreases by the same amount. (Recall from Chapter 20 that !U " q !V.)As the charge moves from c to d through the resistor, however, the system loses thiselectrical potential energy during collisions with atoms in the resistor. In thisprocess, the energy is transformed to internal energy corresponding to increased vi-brational motion of the atoms in the resistor. Because we have neglected the resis-tance of the interconnecting wires, no energy transformation occurs for paths bcand da. When the charge returns to point a, the net result is that some of the chem-ical energy in the battery has been delivered to the resistor and resides in the resis-tor as internal energy associated with molecular vibration.

The resistor is normally in contact with air, so its increased temperature resultsin a transfer of energy by heat into the air. In addition, there will be thermal radia-tion from the resistor, representing another means of escape for the energy. Aftersome time interval has passed, the resistor remains at a constant temperature be-cause the input of energy from the battery is balanced by the output of energy byheat and radiation. Some electrical devices include heat sinks7 connected to parts ofthe circuit to prevent these parts from reaching dangerously high temperatures.Heat sinks are pieces of metal with many fins. The high thermal conductivity of themetal provides a rapid transfer of energy by heat away from the hot component andthe large number of fins provides a large surface area in contact with the air, so en-ergy can transfer by radiation and into the air by heat at a high rate.

Let us consider now the rate at which the system loses electric potential energyas the charge Q passes through the resistor:

where I is the current in the circuit. Of course, the system regains this potential en-ergy when the charge passes through the battery, at the expense of chemical energyin the battery. The rate at which the system loses potential energy as the chargepasses through the resistor is equal to the rate at which the system gains internal en-ergy in the resistor. Therefore, the power !, representing the rate at which energy

dUdt

"ddt

(Q !V ) "dQdt

!V " I !V

21.5


y g p pp

MISCONCEPTIONS ABOUT CURRENT

Several common misconceptionsare associated with current in a cir-cuit like that in Active Figure 21.10.One is that current comes out ofone terminal of the battery and isthen “used up” as it passes throughthe resistor. According to this ap-proach, there is current in only onepart of the circuit. The correct un-derstanding, however, is that thecurrent is the same everywhere in thecircuit. A related misconception hasthe current coming out of the resis-tor being smaller than that going inbecause some of the current is“used up.” Another misconceptionhas current coming out of bothterminals of the battery, in oppositedirections, and then “clashing” inthe resistor, delivering the energyin this manner. We know that is notthe case because the charges flow inthe same rotational sense at allpoints in the circuit. Be sure yourconceptual understanding ofcurrent is valid.


b

a

c

d

R

I

!V+–

A circuit consisting of a resistor ofresistance R and a battery having apotential difference !V across itsterminals. Positive charge flows in theclockwise direction.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 21.10 to adjust thebattery voltage and the resistance tosee the resulting current in the circuitand power delivered to the resistor.

7This terminology is another misuse of the word heat that is ingrained in our common language.

ACTIVE FIGURE 21.10Figura 6.5 – Um circuito simples consistindo de um resistor deresistência R e uma bateria possuindo uma diferença de potencial Ventre seus terminais. Cargas positivas movem-se no sentido horário.©Serway–Jewett 3ed.

transferida para o resistor.

Uma quantidade de carga positiva q move-se ao longo detodo o circuito criando uma corrente I. Entre os pontos a eb, a carga move-se através da bateria e a energia potencialelétrica do sistema aumenta por uma quantidade U = qVenquanto a energia potencial química na bateria diminui pelamesma quantidade. Quando a carga move-se de c até datravés do resistor, o sistema perde energia potencial elétricadurante as colisões dos elétrons com os átomos no resistor.Neste processo, a energia é transformada em energia internacorrespondendo a um aumento do movimento vibracionaldos átomos no resistor. Nos segmentos bc e da não ocorrenada, já que desprezamos a resistência do fio condutor.Portanto, quando a carga retorna ao ponto a, parte da energiafoi transferida para o resistor na forma de energia interna.

O resistor está normalmente em contato com o ar,logo, como sua temperatura aumenta, a energia interna étransferida para o ar na forma de calor. Além disso, oresistor também emite radiação térmica, uma outra forma detransferência de energia. Após um certo intervalo de tempo,o resistor atinge uma temperatura constante e a energiafornecida pela bateria é balanceada pela energia liberada peloresistor na forma de calor ou radiação.

A taxa pela qual o sistema perde energia potencial elé-trica à medida que a carga q atravessa o resistor é então

dUdt=

ddt

(qV) =dqdt

V = IV,

onde I é a corrente no circuito. O sistema ganha esta energiapotencial quando a carga passa através da bateria, ao custoda diminuição da energia química da bateria. Portanto, apotência P = dU/dt que dá a taxa de perda de energiapotencial é

P = IV.

Como para um resistor V = IR, podemos expressar apotência transferida para o resistor como:

P = I2R =V2

R.



30


Se a corrente I é expressa em ampères, V em volts e R emohms, a unidade SI de potência é o volt·ampère ou watt:

1 volt · ampère = 1joule

coulomb· coulomb

segundo= 1watt

O processo pelo qual a potência é perdida como energiainterna em um condutor de resistência R é frequentementechamado aquecimento Joule ou efeito Joule.



31

7 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

Neste capítulo vamos tratar da física de circuitos elétricosque contêm resistores, fontes e capacitores. Vamos limitar adiscussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempreno mesmo sentido, conhecidos como circuitos de correntecontínua ou circuitos DC (do inglês Direct Current).

7.1 FONTES DE FEM

Para fazer passar cargas elétricas por um resistor pre-cisamos estabelecer uma diferença de potencial entre asextremidades do dispositivo. O dispositivo que mantém avoltagem constante em um circuito é chamado de fonte defem, ou simplesmente fonte. Originalmente, o termo femera uma abreviação de força eletromotriz, que era usada paradesignar a diferença de potencial produzida por uma fonte detensão, embora na verdade não se trate de uma força.

As fontes de fem (símbolo E ) são todos os dispositi-vos (por exemplo, baterias e geradores) que aumentam aenergia potencial de um circuito mantendo uma diferençade potencial entre pontos no circuito enquanto cargas oatravessam. Pode-se pensar em uma fonte de fem comosendo uma “bomba de carga” que faz com que os elétrons sedesloquem em uma direção oposta ao campo elétrico dentroda fonte. A diferença de potencial máxima entre os terminaisde uma fonte, quando nenhuma corrente é fornecida para umcircuito, é chamada de fem da fonte. A fem E de uma fontedescreve o trabalho realizado por unidade de carga, ou

E = dWdq.

A unidade de fem é o joule/coulomb que, como já vimos, é ovolt (V).

Uma fonte real, como uma bateria, tem sempre algumaresistência interna r para o fluxo de cargas. Consequente-mente, quando ligamos uma bateria a um circuito gerandouma corrente elétrica ao longo dele, a diferença de potencialentre os terminais da bateria será uma quantidade diferenteda sua fem. Por exemplo, considerando o circuito mostradona Figura 7.1, vamos determinar a diferença de potencialentre os pontos a e b, V = Vb − Va. Quando passamospela fonte entre o terminal negativo e o positivo, o potencialaumenta por uma quantidade E . Quando passamos atravésda resistência r, o potencial diminui por uma quantidade Ir,onde I é a corrente no circuito. Assim, a voltagem da bateriaé

(7.1) V = E − Ir.

Para uma bateria ideal, r = 0 e portanto V = E. Se nenhumacorrente flui na bateria, V = E. Portanto, a diferençade potencial entre os terminais de uma bateria depende dacorrente na bateria e de sua resistência interna.

Solving for the current gives

[21.25]

which shows that the current in this simple circuit depends on both the resistanceR external to the battery and the internal resistance r . If R is much greater than r,we can adopt a simplification model in which we neglect r in our analysis. In manycircuits, we shall adopt this simplification model.

If we multiply Equation 21.24 by the current I, we have

I ! I 2R " I 2r

This equation tells us that the total power output I of the source of emf is equal tothe rate I 2R at which energy is delivered to the load resistance plus the rate I 2r atwhich energy is delivered to the internal resistance. If r ## R , much more of theenergy from the battery is delivered to the load resistance than stays in the battery,although the amount of energy is relatively small because the load resistance islarge, resulting in a small current. If r $$ R , a significant fraction of the energyfrom the source of emf stays in the battery package because it is delivered to the in-ternal resistance. For example, if a wire is simply connected between the terminalsof a flashlight battery, the battery becomes warm. This warming represents thetransfer of energy from the source of emf to the internal resistance, where it ap-pears as internal energy associated with temperature. Problem 21.57 explores theconditions under which the largest amount of energy is transferred from the bat-tery to the load resistor.

RESISTORS IN SERIES AND IN PARALLELWhen two or more resistors are connected together end to end as in Active Figure21.14a, they are said to be in series. (Compare this configuration to capacitors inseries in Active Figure 20.24.) In a series connection, if an amount of charge Q exitsresistor R1, charge Q must also enter the second resistor R2. Otherwise, charge willaccumulate on the wire between the resistors. Therefore, the same amount ofcharge passes through both resistors in a given time interval and the currents arethe same in both resistors.

Because the potential difference between a and b in the circuit diagram of Ac-tive Figure 21.14b equals IR1 and the potential difference between b and c equalsIR2, the potential difference between a and c is

%V ! IR1 " IR2 ! I(R1 " R2)

The potential difference across the battery is also applied to the equivalent resis-tance in Active Figure 21.14c:

%V ! IReq

where we have indicated that the equivalent resistance has the same effect on the cir-cuit because it results in the same current in the battery as the combination of resis-tors. Combining these equations, we see that we can replace the two resistors in serieswith a single equivalent resistance whose value is the sum of the individual resistances:

%V ! IReq ! I(R1 " R2) : Req ! R1 " R2 [21.26]

The equivalent resistance of three or more resistors connected in series is simply

[21.27]

Therefore, the equivalent resistance of a series connection of resistors is the alge-braic sum of the individual resistances and is always greater than any individualresistance.

R eq ! R1 " R 2 " R 3 " & & &

21.7

''

I !'

R " r


y g p pp

a c

(b)

Rr

db

V

IRIr

!

!

!a

d R

I

br– +

c

(a)

I

(a) Circuit diagram of a source of emf(in this case, a battery) with internal

resistance r, connected to an externalresistor of resistance R. (b) Graphicalrepresentation showing how thepotential changes as the circuit in(a) is traversed clockwise.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 21.13 to adjust the emfand resistances r and R to see theeffect on the current and on thegraph in (b).

'

ACTIVE FIGURE 21.13

WHAT IS CONSTANT IN A BATTERY?Notice that Equation 21.25 shows usthat the current in the circuit de-pends on the resistance connectedto the battery. It is a common mis-conception that a battery is a sourceof constant current. Equation 21.25clearly shows that to be not true. Itis also not true that a battery is asource of constant terminal voltage.Equation 21.23 shows that to be nottrue. A battery is a source ofconstant emf.


" Equivalent resistance of resistorsin series

Figura 7.1 – Um circuito contendo uma fonte de fem com resis-tência interna r e um resistor com resistência R. ©Serway–Jewett3ed.

Considere novamente o circuito da Figura 7.1. A dife-rença de potencial entre os pontos c e d, que atravessa oresistor é V = IR. Como a diferença de potencial fornecidapela bateria deve ser igual à diferença de potencial ao longodo resistor, podemos reescrever a Eq. 7.1 como

(7.2) E − Ir = IR⇒ E = IR + ir.

Isolando a corrente obtemos

I =E

R + r.

Esta equação mostra que num circuito simples a correnteelétrica depende da resistência externa R e da resistênciainterna r da bateria. Se R é muito maior que r, como é o casode muitos circuitos reais, podemos desprezar r e a correnteserá dada por:

I =ER,

que é a corrente máxima de um circuito operando a uma dadafem E e com uma resistência R.

Se multiplicamos a Eq. 7.2 pela corrente I, obtemos

IE = I2R + I2r.

Esta equação indica que a potência total fornecida pela bate-ria IE é transferida para a resistência externa na quantidadeI2R e para a resistência interna na quantidade I2r.

7.2 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO

7.2.1 Resistores em série

A Figura 7.2 mostra dois resistores R1 e R2 formandouma combinação em série. As correntes que atravessamambos os resistores são iguais já que a quantidade de cargaque passa através de R1 também deve passar através de R2 nomesmo intervalo de tempo. Portanto, a diferença de potencialaplicada em uma combinação em série de resistores será



32

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 7: Circuitos de corrente contínua

dividida entre os resistores, ou seja

V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2) = IReq,

onde Req é a resistência equivalente do circuito dada por:

Req = R1 + R2 + ... + RN .

Esta relação indica que a resistência equivalente de umacombinação em série de resistores é a soma numérica dasresistências individuais e é sempre maior que qualquer resis-tência individual.

Figura 7.2 – Combinação de resistores em série. ©Tipler–Mosca5ed.

7.2.2 Resistores em paralelo

Agora considere a combinação de resistores mostrada naFigura 7.3, que representa resistores em paralelo. Quandoa corrente atinge o ponto a, chamado de nó, ela se divideem duas partes I1 e I2. Um nó de um circuito é portantocaracterizado como qualquer ponto de um circuito no qual acorrente se divide. Esta divisão implica que menos correntepassará por cada resistor individual do que a corrente totalfornecida pela bateria. Como a carga elétrica (ou a corrente)no circuito é conservada, a corrente I que entra no ponto adeve ser igual às correntes que o deixam, isto é

I = I1 + I2,

onde I1 é a corrente em R1 e I2 é a corrente em R2.

A diferença de potencial entre os resistores é a mesma,logo

I = I1 + I2 =VR1+

VR2= V

(1

R1+

1R2

)=

VReq,

onde novamente Req é uma resistência equivalente para umcircuito com resistências em paralelo, dada por

1Req=

1R1+

1R2+ ... +

1RN.

Para dois resistores, temos:

Req =R1R2

R1 + R2.

Estas expressões mostram que o inverso da resistência equi-

valente de dois ou mais resistores conectados em paralelo éigual à soma dos inversos das resistências individuais.

Figura 7.3 – Combinação de resistores em paralelo. ©Tipler–Mosca 5ed.

7.3 REGRAS DE KIRCHHOFF

Conforme vimos anteriormente, circuitos simples podemser analisados usando a expressão V = IR e regras paracombinações de resistores em série e em paralelo. Porém, emmuitos casos não é possível reduzir um circuito a uma formasimples. Para analisar circuitos mais complexos, como o daFigura 7.6, utilizamos dois princípios chamados regras deKirchhoff:

1. Regra dos nós (conservação de cargas) Em um nó, asoma das correntes elétricas que entram é igual à somadas correntes que saem, ou seja, um nó não acumulacarga. Por exemplo, para o nó mostrado na Figura 7.4,a relação entre as correntes será I1 = I2 + I3. Esta regraestá relacionada ao princípio da conservação de cargasaplicado a circuitos elétricos.∑

Ientra =∑

Isai.

• At any junction, the sum of the currents must equal zero:

This rule is often referred to as the junction rule. In Figure 21.22, there arejunctions at b and c.

• The sum of the potential differences across each element around any closedcircuit loop must be zero:

This rule is usually called the loop rule. In Figure 21.22, we can identify threeloops: abcda, aefda, and befcb.

Kirchhoff’s rules are generally used to determine the current in each elementin the circuit. In using these rules, we first draw the circuit diagram and assume a direction for the current in each device in the circuit. We draw an arrowrepresenting that direction next to the device and assign a symbol to each indepen-dent current, such as I1, I2, and so on. Figure 21.22 shows the three differentcurrents that exist in this circuit. Keep in mind that currents in devices connectedin series are the same, so the currents in these devices will have the same assignedsymbol.

The junction rule is a statement of conservation of charge. The amount ofcharge that enters a given point in a circuit in a time interval must also leave thatpoint in the same time interval because charge cannot build up or disappear at apoint. Currents with a direction into the junction are entered into the junction ruleas ! I, whereas currents with a direction out of a junction are entered as "I. If weapply the rule to the junction in Figure 21.23a, we have

I1 " I2 " I3 # 0

Figure 21.23b represents a hydraulic analog to this situation in which water flowsthrough a branched pipe with no leaks. The flow rate into the pipe equals the totalflow rate out of the two branches.

The loop rule is equivalent to the law of conservation of energy. Suppose acharge moves around any closed loop in a circuit11 (the charge starts and ends atthe same point). In this case, the circuit must gain as much energy as it loses. In thisisolated system model for the system of the circuit, no energy is transferred acrossthe boundary of the system (ignoring energy transfer by radiation and heat into theair from warm circuit elements), but energy transformations do occur within thesystem. The energy of the circuit may decrease due to a potential drop " IR as acharge moves through a resistor or as a result of having the charge move in the re-verse direction through an emf. In the latter case, electric potential energy is con-verted to chemical energy as the battery is charged. The potential energy increaseswhen the charge moves through a battery in the same direction as the emf.

Another approach to understanding the loop rule is to remember the definitionof a conservative force from Chapter 7. One of the mathematical behaviors of aconservative force is that the work done by a such a force when a member of thesystem moves around a closed path is zero. A loop in a circuit is a closed path. If weimagine moving a charge around a loop, the total work done by the conservativeelectric force must be zero. The total work is the sum of positive and negative worksas the charge passes through various circuit elements. Because work is related

!loop

$V # 0

!junction

I # 0


y g p pp

Gustav Kirchhoff (1824 – 1887)Kirchhoff, a professor at Heidelberg,Germany, and Robert Bunseninvented the spectroscope andfounded the science of spec-troscopy, which led to atomicspectra such as those seen in Chap-ter 11. They discovered the elementscesium and rubidium and inventedastronomical spectroscopy.Kirchhoff formulated anotherKirchhoff ’s rule, namely,“a coolsubstance will absorb light of thesame wavelengths that it emitswhen hot.”

(AIP

ESV

A/W

. F. M

egge

rs C

olle

ctio

n)

(a)

I1

I2

I3

(b)

Flow inFlow out

(a) A schematicdiagram illustrating Kirchhoff’s junc-tion rule. Conservation of chargerequires that the sum of the currentsat a junction must equal zero. There-fore, in this case, I1 " I2 " I3 # 0.(b) A mechanical analog of the junc-tion rule. Water does not accumulateat the junction, so the amount of wa-ter flowing out of the branches on theright must equal the amount flowinginto the single branch on the left.

FIGURE 21.23

11Remember that this situation is not what happens; a charge might take hours to traverse a loop. Interms of analyzing the circuit in terms of energy, however, we can build a mental model in which weimagine taking a charge all the way around the circuit.

Figura 7.4 – Regra dos nós de Kirchhoff. ©Serway–Jewett 3ed.

2. Regra das malhas (conservação de energia) A somaalgébrica das diferenças de potencial encontradas emtodos os pontos ao longo de um percurso completo docircuito deve ser igual a zero. Esta regra está associadaao princípio da conservação da energia em circuitos.∑

ao longodo circuito

V = 0



33


Quando aplicamos a segunda regra de Kirchhoff naprática, consideramos as seguintes convenções de sinal:

to potential energy changes and because potential energy changes are related topotential differences (Eq. 20.3), that the sum of all the works is zero is equivalentto the sum of all the potential differences being zero, which is Kirchhoff’s looprule.

As an aid in applying the loop rule, the following sign conventions are used. Wehave already drawn arrows for currents on our diagram and have assigned symbolsto the currents to apply the junction rule. To set up the sign conventions, wechoose a direction around each loop that we imagine carrying a positive charge,clockwise or counterclockwise. Therefore, for any device, there will be two direc-tions that we need to consider, one for our chosen current and one for our chosentravel through the device. The sign conventions for potential differences for resis-tors and batteries based on these two directions are summarized in Figure 21.24,where it is assumed that travel is from point a toward point b :

• If a resistor is traversed in the direction of the current, the potential differenceacross the resistor is ! IR (Fig. 21.24a).

• If a resistor is traversed in the direction opposite the current, the potential differ-ence across the resistor is " IR (Figure 21.24b).

• If a source of emf is traversed in the direction of the emf (from ! to " on theterminals), the potential difference is " (Fig. 21.24c).

• If a source of emf is traversed in the direction opposite the emf (from " to ! onthe terminals), the potential difference is ! (Fig. 21.24d).

There are limitations on the use of the junction rule and the loop rule. You mayuse the junction rule as often as needed, as long as each time you write an equationyou include in it a current that has not been used in a previous junction rule equa-tion. In general, the number of times the junction rule can be used is one fewerthan the number of junction points in the circuit. The loop rule can be used asoften as needed, as long as a new circuit element (a resistor or battery) or a newcurrent appears in each new equation. In general, the number of independentequations you need must equal the number of unknown currents to solve a particu-lar circuit problem.

#

#

KIRCHHOFF’S RULES ! 707

y g p pp

(a)

I

a b!V = –IR

(b)

I

a b!V = +IR

(c)

"a b

!V = +"– +

(d)a b

!V = –"–+

"

"

"

Rules for deter-mining the potential differencesacross a resistor and a battery. (Thebattery is assumed to have no internalresistance.) Each circuit element istraversed from a to b.

FIGURE 21.24

Kirchhoff’s RulesPROBLEM-SOLVING STRATEGYThe following procedure is recommended for solving problemsthat involve circuits that cannot be reduced by the rules forcombining resistors in series or parallel.

1. Conceptualize Study the circuit diagram and make surethat you recognize all elements in the circuit. Identify the polar-ity of each battery and try to imagine the directions in whichthe current would exist through the batteries.

2. Categorize Determine whether the circuit can be reducedby means of combining series and parallel resistors. If so, usethe techniques of Section 21.7. If not, apply Kirchhoff’s rulesaccording to step 3 below.

3. Analyze Assign labels to all the known quantities and as-sign symbols to all the unknown quantities. You must assign di-rections to the currents in each part of the circuit. Although theassignment of current directions is arbitrary, you must adhere

rigorously to the directions you assign when you apply Kirch-hoff’s rules.

Apply the junction rule (Kirchhoff’s first rule) to alljunctions in the circuit except one. Now apply the loop rule(Kirchhoff’s second rule) to as many loops in the circuit as areneeded to obtain, in combination with the equations from thejunction rule, as many equations as there are unknowns. Toapply this rule, you must choose a direction in which to travelaround the loop (either clockwise or counterclockwise) andcorrectly identify the change in potential as you cross eachelement. Watch out for signs!

Solve the equations simultaneously for the unknownquantities.

4. Finalize Check your numerical answers for consistency. Donot be alarmed if any of the resulting currents have a negativevalue; if so, you have guessed the direction of that current in-correctly, but its magnitude will be correct.

Figura 7.5 – Regras para determinação das diferenças de potencialatravés de um resistor e uma bateria. Cada elemento é atravessadoda esquerda para direita. ©Serway–Jewett 3ed.

• Se atravessamos um resistor na direção da corrente, adiferença de potencial será −IR (Figura 7.5a).

• Se atravessamos um resistor na direção oposta da cor-rente, a diferença de potencial será +IR (Figura 7.5b).

• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistência in-terna desprezível) é atravessada na direção da fem (de −para +), a diferença de potencial será +E (Figura 7.5c).

• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistênciainterna desprezível) é atravessada na direção oposta dafem (de + para −), a diferença de potencial será −E(Figura 7.5d).

7.3.1 Exemplo de aplicação das regras de Kirchhoff

Dado o circuito mostrado na Figura 7.6, desejamos obteros valores das correntes I1, I2 e I3.

Solução

Em primeiro lugar, não podemos simplificar o circuitousando as regras para resistores em série ou paralelo. Deve-mos utilizar, então, as regras de Kirchhoff. Vamos definir deforma arbitrária as direções das correntes tal como mostradona Figura 7.6. Aplicando a lei dos nós para o ponto c,obtemos

I1 + I2 = I3.

Temos uma equação com três variáveis desconhecidas.Logo, para encontrar os valores das correntes precisamosde pelo menos mais duas equações que envolvam essas trêsvariáveis. Podemos dividir o circuito em três malhas, oucaminhos: abcda, be f cb e ae f da. Portanto, necessitamos

872 CHAPTE R 28 • Direct Current Circuits

charged by the 12-V battery. If we had included the internalresistances of the batteries in our analysis, some of the powerwould appear as internal energy in the batteries; as a result,we would have found that less power was being delivered tothe 6-V battery.

What If? What if the polarity of the 12.0-V battery werereversed? How would this affect the circuit?

Answer While we could repeat the Kirchhoff’s rulescalculation, let us examine Equation (1) and modify itaccordingly. Because the polarities of the two batteries are

now in the same direction, the signs of 1 and 2 are thesame and Equation (1) becomes

The new powers delivered to the resistors are

!1 ! I 2R1 ! (1.0 A)2(8.0 ") ! 8.0 W

!2 ! I 2R2 ! (1.0 A)2(10 ") ! 10 W

This totals 18 W, nine times as much as in the original circuit,in which the batteries were opposing each other.

I !#1 $ #2

R1 $ R2!

6.0 V $ 12 V8.0 " $ 10 "

! 1.0 A

##

Example 28.9 Applying Kirchhoff’s Rules

Find the currents I1, I2, and I3 in the circuit shown in Figure28.17.

Solution Conceptualize by noting that we cannot simplifythe circuit by the rules of adding resistances in series andin parallel. (If the 10.0-V battery were taken away, we couldreduce the remaining circuit with series and parallel com-binations.) Thus, we categorize this problem as one inwhich we must use Kirchhoff’s rules. To analyze the circuit,we arbitrarily choose the directions of the currents as la-beled in Figure 28.17. Applying Kirchhoff’s junction ruleto junction c gives

(1) I1 $ I2 ! I3

We now have one equation with three unknowns—I1, I2, andI3. There are three loops in the circuit—abcda, befcb, andaefda. We therefore need only two loop equations to deter-mine the unknown currents. (The third loop equationwould give no new information.) Applying Kirchhoff’s looprule to loops abcda and befcb and traversing these loopsclockwise, we obtain the expressions

(2) abcda 10.0 V % (6.0 ")I1 % (2.0 ")I3 ! 0

(3) befcb %14.0 V $ (6.0 ")I1 % 10.0 V % (4.0 ") I2 ! 0

Note that in loop befcb we obtain a positive value whentraversing the 6.0-" resistor because our direction of travelis opposite the assumed direction of I1. Expressions (1), (2),and (3) represent three independent equations with threeunknowns. Substituting Equation (1) into Equation (2)gives

10.0 V % (6.0 ")I1 % (2.0 ") (I1 $ I2) ! 0

(4) 10.0 V ! (8.0 ")I1 $ (2.0 ")I2

Dividing each term in Equation (3) by 2 and rearranginggives

(5) % 12.0 V ! % (3.0 ")I1 $ (2.0 ")I2

Subtracting Equation (5) from Equation (4) eliminates I2,giving

22.0 V ! (11.0 ")I1

I1 !

Using this value of I1 in Equation (5) gives a value for I2:

(2.0 ")I2 ! (3.0 ")I1 % 12.0 V

! (3.0 ")(2.0 A) % 12.0 V ! % 6.0 V

I2 !

Finally,

I3 ! I1 $ I2 !

To finalize the problem, note that I2 and I3 are both nega-tive. This indicates only that the currents are opposite thedirection we chose for them. However, the numerical valuesare correct. What would have happened had we left thecurrent directions as labeled in Figure 28.17 but traversedthe loops in the opposite direction?

%1.0 A

%3.0 A

2.0 A

14.0 Ve

b

4.0 !

– +

10.0 V 6.0 !

–+ f

I2

c

I3

I1

2.0 !da

Figure 28.17 (Example 28.9) A circuit containing differentbranches.

Interactive

Practice applying Kirchhoff’s rules at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Figura 7.6 – Um circuito de malhas múltiplas. ©Serway–Jewett3ed.

determinar as equações para duas malhas para encontrar ascorrentes. Aplicando a regra das malhas para os caminhosabcda e be f cb e atravessando o circuito no sentido horário,obtemos as seguintes expressões:

abcda : 10,0 V − (6,0 Ω)I1 − (2,0 Ω)I3 = 0be f cb : −(4,0 Ω)I2 − 14,0 V + (6,0 Ω)I1 − 10,0 V = 0

Portanto, temos três equações para determinar três variáveis.Substituindo I3 = I1 + I2 na equação para abcda, temos:

10,0 V − (6,0 Ω)I1 − (2,0 Ω)(I1 + I2) = 0

10,0 V = (8,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2 = 0

Dividindo cada termo da expressão para be f cb por 2 temos:

−12,0 V = −(3,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2

Substituindo esta equação na anterior, eliminamos I2 e obte-mos

22,0 V = (11,0 Ω)I1

I1 = 2,0 A

E determinamos I2 fazendo

(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)I1 − 12,0 V

(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)(2,0 A) − 12,0 V = −6,0V

I2 = −3,0 A

Finalmente,I3 = I1 + I2

I3 = −1,0 A

Para finalizar o problema, notamos que as correntes I2 eI3 são ambas negativas, indicando que as correntes possuemsentido oposto do que escolhemos inicialmente.



34


7.4 CIRCUITOS RC

Até agora analisamos circuitos de corrente contínua nosquais a corrente é constante. Se incluirmos capacitores nestescircuitos, a corrente terá sempre a mesma direção mas podevariar com o tempo. Um circuito contendo uma combinaçãoem série de um resistor e um capacitor é chamado circuitoRC. Um exemplo deste tipo de circuito é mostrado naFigura 7.7.

7.4.1 Carregando o capacitor

Considere o circuito da Figura 7.7 com o capacitor em(a) inicialmente descarregado. Não há corrente no circuitojá que a chave S mantém o circuito aberto. Se a chave forfechada em t = 0, a carga começará a fluir estabelecendouma corrente elétrica ao longo do circuito, o que ocasionaráo carregamento do capacitor. À medida que as placas docapacitor vão sendo carregadas, a diferença de potencial nocapacitor aumenta. O valor máximo da carga nas placasdepende da voltagem da bateria. Quando a carga máximaé atingida, a corrente no circuito é zero pois a diferença depotencial no capacitor iguala-se à voltagem fornecida pelabateria.

Para analisar este circuito quantitativamente, vamos apli-car a lei das malhas de Kirchhoff após a chave ser fechada.Seguindo o circuito da Figura 7.7b no sentido horário, temos

(7.3) E − qC− IR = 0,

onde q/C é a diferença de potencial no capacitor e IR é a di-ferença de potencial no resistor, onde usamos as convençõesde sinal mostradas na Figura 7.5. Para o capacitor, note queestamos atravessando-o na direção da placa positiva para anegativa; isto representa uma diminuição do potencial. As-sim, usamos o sinal negativo para esta diferença de potencial.Note que q e I são valores instantâneos que dependem dotempo à medida que o capacitor vai sendo carregado.

Podemos utilizar a Eq. 7.3 para encontrar a correnteinicial no circuito e a carga máxima no capacitor. No instanteem que a chave é fechada (t = 0), a carga no capacitor é zero,logo a corrente inicial I0 no circuito é máxima e igual a

I0 =ER

(corrente em t = 0).

Quando o capacitor está carregado com seu valor máximo decarga Q, não há mais fluxo de carga, a corrente no circuitoé zero e a diferença de potencial na bateria foi transferidacompletamente para o capacitor. Substituindo I = 0 naEq. 7.3 obtemos a carga máxima do capacitor

Q = CE carga máxima.

Para determinar as expressões analíticas da dependênciatemporal da carga e da corrente, devemos resolver a Eq. 7.3.A corrente deve ter o mesmo valor em todos os pontos docircuito-série. Assim, a corrente que atravessa a resistência R

fully charged. The value of the maximum charge depends on the emf of the bat-tery. Once the maximum charge is reached, the current in the circuit is zero.

To put this discussion on a quantitative basis, let us apply Kirchhoff’s secondrule to the circuit after the switch is closed. In our sign conventions, we did notspecify a convention for the potential difference across a capacitor. From our studyof capacitors in Chapter 20, however, it should be clear that carrying a positivecharge across a capacitor from ! to " would represent an increase in potential en-ergy for the circuit, a positive potential difference. Traversing the capacitor in theopposite direction would correspond to a decrease in potential energy, a negativepotential difference.

Choosing clockwise as our direction around the circuit in Active Figure 21.25and applying the sign convention for capacitors that we have just discussed, wehave

[21.30]

where !q/C is the potential difference across the capacitor and !IR is the poten-tial difference across the resistor consistent with our direction of travel. Note that qand I are instantaneous values of the charge and current, respectively, as the capaci-tor is charged.

We can use Equation 21.30 to find the initial current in the circuit and the maxi-mum charge on the capacitor. At t # 0, when the switch is closed, the charge on thecapacitor is zero, and from Equation 21.30, we find that the initial current in thecircuit I0 is a maximum and equal to

[21.31]

At this time, the potential difference is entirely across the resistor. Later, when thecapacitor is charged to its maximum value Q , charges cease to flow, the current inthe circuit is zero, and the potential difference is entirely across the capacitor. Sub-stituting I # 0 into Equation 21.30 yields the following expression for Q :

Q # C (maximum charge) [21.32]

To determine analytical expressions for the time dependence of the charge andcurrent, we must solve Equation 21.30. To do so, let us substitute I # dq/dt and re-arrange the equation:

dqdt

#$R

!q

RC#

C$ ! qRC

$

I0 #$R

$ !qC

! IR # 0

RC CIRCUITS ! 709

y g p pp

+ –

Resistor

Battery

Capacitor

Switch

(a)

!(b)

S

t < 0

R

C

(c) t > 0

!

R

S

Iq–

+ q

(a) A capacitor in series with a re-sistor, switch, and battery. (b) Cir-cuit diagram representing this system at time t % 0, before theswitch is closed. (c) Circuit dia-gram at time t & 0, after the switchhas been closed.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.comand go to Active Figure 21.25 toadjust the values of R and C to seethe effect on the charging of thecapacitor.

ACTIVE FIGURE 21.25

t < 0 t > 0

Figura 7.7 – Um circuito contendo uma fonte, um resistor e umcapacitor. Quando a chave do circuito é ligada, o capacitor começaa ser carregado. ©Serway–Jewett 3ed.

deve ser a mesma entre as placas do capacitor. Esta correnteé igual a taxa pela qual a carga nas placas do capacitor varia.Logo, substituímos I = dq/dt na Eq. 7.3, rearranjando ostermos, temos:

dqdt=ER− q

RC.

Para encontrar o valor de q, resolvemos esta equação dife-rencial simples. Primeiro, combinamos os termos do ladodireito:

dqdt=

CERC− q

RC= −q −CE

RC.

Agora, multiplicando por dt e dividindo por q−CE, obtemos

dqq −CE = −

1RC

dt.

Integrando esta expressão, usando o fato que q = 0 em t = 0,obtemos ˆ q

0

dqq −CE = −

1RC

ˆ t

0dt

ln(

q −CE−CE

)= − t

RC.

E resolvendo o logaritmo, podemos escrever esta expressãocomo

(7.4) q(t) = CE(1 − e−t/RC

)= Q

(1 − e−t/RC

),

onde Q = CE é a carga máxima no capacitor.

Podemos determinar uma expressão para a corrente dife-renciando a Eq. 7.4 em relação ao tempo. Usando I = dq/dt,encontramos

(7.5) I(t) =ER

e−t/RC .

A quantidade RC, que aparecem nos expoentes na Eq. 7.4e Eq. 7.5, é chamada de constante de tempo τ do circuito:

τ = RC.



35


The following dimensional analysis shows that ! has the units of time:

Because ! " RC has units of time, the combination !/RC is dimensionless, as it must bein order to be an exponent of e in Equations 28.14 and 28.15.

The energy output of the battery as the capacitor is fully charged is Q " C 2.After the capacitor is fully charged, the energy stored in the capacitor is Q " C 2,which is just half the energy output of the battery. It is left as a problem (Problem 64)to show that the remaining half of the energy supplied by the battery appears as inter-nal energy in the resistor.

Discharging a Capacitor

Now consider the circuit shown in Figure 28.21, which consists of a capacitor carryingan initial charge Q , a resistor, and a switch. When the switch is open, a potential differ-ence Q /C exists across the capacitor and there is zero potential difference across theresistor because I " 0. If the switch is closed at t " 0, the capacitor begins to dischargethrough the resistor. At some time t during the discharge, the current in the circuit is Iand the charge on the capacitor is q (Fig. 28.21b). The circuit in Figure 28.21 is thesame as the circuit in Figure 28.19 except for the absence of the battery. Thus, we elim-inate the emf from Equation 28.11 to obtain the appropriate loop equation for thecircuit in Figure 28.21:

(28.16)

When we substitute I " dq/dt into this expression, it becomes

Integrating this expression, using the fact that q " Q at t " 0 gives

(28.17)

Differentiating this expression with respect to time gives the instantaneous current as afunction of time:

(28.18)

where Q /RC " I0 is the initial current. The negative sign indicates that as the capaci-tor discharges, the current direction is opposite its direction when the capacitor wasbeing charged. (Compare the current directions in Figs. 28.19c and 28.21b.) We seethat both the charge on the capacitor and the current decay exponentially at a ratecharacterized by the time constant ! " RC.

I(t ) "dqdt

"ddt

(Qe#t/RC ) " #Q

RC e#t/RC

q(t ) " Qe#t/RC

ln ! qQ " " #

tRC

#q

Q dqq

" #1

RC #t

0 dt

dqq

" #1

RC dt

#R dqdt

"qC

#qC

# IR " 0

$

$12$1

2

$$

[!] " [RC ] " $ %VI

&Q

%V % " $ QQ / %t % " [%t] " T


(a)

S

RC

t < 0

–Q

+Q

R

S

I–q

+qC

(b)t > 0

Active Figure 28.21 (a) Acharged capacitor connected to aresistor and a switch, which is openfor t ' 0. (b) After the switch isclosed at t " 0, a current thatdecreases in magnitude with time isset up in the direction shown, andthe charge on the capacitordecreases exponentially with time.

At the Active Figures linkat http://www.pse6.com, youcan adjust the values of R andC to see the effect on thedischarging of the capacitor.

Charge as a function of time fora discharging capacitor

Current as a function of time fora discharging capacitor

Quick Quiz 28.9 Consider the circuit in Figure 28.19 and assume that thebattery has no internal resistance. Just after the switch is closed, the potential differ-ence across which of the following is equal to the emf of the battery? (a) C (b) R(c) neither C nor R. After a very long time, the potential difference across which of thefollowing is equal to the emf of the battery? (d) C (e) R (f) neither C nor R.

The following dimensional analysis shows that ! has the units of time:

Because ! " RC has units of time, the combination !/RC is dimensionless, as it must bein order to be an exponent of e in Equations 28.14 and 28.15.

The energy output of the battery as the capacitor is fully charged is Q " C 2.After the capacitor is fully charged, the energy stored in the capacitor is Q " C 2,which is just half the energy output of the battery. It is left as a problem (Problem 64)to show that the remaining half of the energy supplied by the battery appears as inter-nal energy in the resistor.

Discharging a Capacitor

Now consider the circuit shown in Figure 28.21, which consists of a capacitor carryingan initial charge Q , a resistor, and a switch. When the switch is open, a potential differ-ence Q /C exists across the capacitor and there is zero potential difference across theresistor because I " 0. If the switch is closed at t " 0, the capacitor begins to dischargethrough the resistor. At some time t during the discharge, the current in the circuit is Iand the charge on the capacitor is q (Fig. 28.21b). The circuit in Figure 28.21 is thesame as the circuit in Figure 28.19 except for the absence of the battery. Thus, we elim-inate the emf from Equation 28.11 to obtain the appropriate loop equation for thecircuit in Figure 28.21:

(28.16)

When we substitute I " dq/dt into this expression, it becomes

Integrating this expression, using the fact that q " Q at t " 0 gives

(28.17)

Differentiating this expression with respect to time gives the instantaneous current as afunction of time:

(28.18)

where Q /RC " I0 is the initial current. The negative sign indicates that as the capaci-tor discharges, the current direction is opposite its direction when the capacitor wasbeing charged. (Compare the current directions in Figs. 28.19c and 28.21b.) We seethat both the charge on the capacitor and the current decay exponentially at a ratecharacterized by the time constant ! " RC.

I(t ) "dqdt

"ddt

(Qe#t/RC ) " #Q

RC e#t/RC

q(t ) " Qe#t/RC

ln ! qQ " " #

tRC

#q

Q dqq

" #1

RC #t

0 dt

dqq

" #1

RC dt

#R dqdt

"qC

#qC

# IR " 0

$

$12$1

2

$$

[!] " [RC ] " $ %VI

&Q

%V % " $ QQ / %t % " [%t] " T


(a)

S

RC

t < 0

–Q

+Q

R

S

I–q

+qC

(b)t > 0

Active Figure 28.21 (a) Acharged capacitor connected to aresistor and a switch, which is openfor t ' 0. (b) After the switch isclosed at t " 0, a current thatdecreases in magnitude with time isset up in the direction shown, andthe charge on the capacitordecreases exponentially with time.

At the Active Figures linkat http://www.pse6.com, youcan adjust the values of R andC to see the effect on thedischarging of the capacitor.

Charge as a function of time fora discharging capacitor

Current as a function of time fora discharging capacitor

Quick Quiz 28.9 Consider the circuit in Figure 28.19 and assume that thebattery has no internal resistance. Just after the switch is closed, the potential differ-ence across which of the following is equal to the emf of the battery? (a) C (b) R(c) neither C nor R. After a very long time, the potential difference across which of thefollowing is equal to the emf of the battery? (d) C (e) R (f) neither C nor R.

t < 0 t > 0

Figura 7.8 – Um circuito simples contendo um resistor e umcapacitor. ©Serway–Jewett 3ed.

7.4.2 Descarregando o capacitor

Agora considere o circuito mostrado na Figura 7.8, queconsiste de um capacitor carregado com uma carga inicialQ, um resistor e uma chave. Quando a chave está aberta(Figura 7.8a), uma diferença de potencial Q/C existe entreas placas do capacitor e é zero no resistor pois I = 0. Sea chave é fechada em t = 0, o capacitor inicia o processode descarga através do resistor. Num instante t durante adescarga, a corrente no circuito é I e a carga no capacitor é q(Figura 7.8b). Note que o circuito da Figura 7.8 é o mesmoda Figura 7.7 se removermos a bateria. Assim, eliminando afem E da Eq. 7.3, obtemos

− qC− IR = 0.

Substituindo I = dq/dt nesta expressão, fica

−Rdqdt=

qC

dqq= − 1

RCdt.

Integrando esta expressão, usando o fato que q = Q em t = 0,temos ˆ q

Q

dqq= − 1

RC

ˆ t

0dt

ln(

qQ

)= − t

RC

q(t) = Qe−t/RC .

Diferenciando esta expressão em relação ao tempo nos dá acorrente instantânea em função do tempo:

I(t) =dqdt=

ddt

(Qe−t/RC

)= − Q

RCe−t/RC ,

onde Q/RC = I0 é a corrente inicial. O sinal negativoindica que à medida que o capacitor descarrega, a direção dacorrente é oposta à direção quando o capacitor estava sendocarregado. Notamos que tanto a carga no capacitor como acorrente no circuito decaem exponencialmente a uma taxacaracterizada pela constante de tempo τ.



36

8 O CAMPO MAGNÉTICO

8.1 O MAGNETISMO

Na Grécia antiga já eram conhecidas as propriedadesde um minério de ferro encontrado na região da Magnésia,a magnetita (Fe3O4): um pedaço de magnetita é um ímãpermanente, que atrai pequenos fragmentos de ferro.

Em 1100 A.C., os chineses já haviam descoberto queuma agulha de magnetita capaz de se orientar livrementenum plano horizontal alinha-se aproximadamente na direçãonorte-sul, e usavam este aparelho, a bússola, na navegação.

Em 1600, William Gilbert publicou um importante tra-tado sobre o magnetismo, onde observa, pela primeira vez,que a própria Terra atua como um grande ímã.

Um ímã permanente (em particular, a agulha magnéticade uma bússola) tem um pólo norte (N) e um pólo sul (S),e é fácil verificar, com dois ímãs, que seus pólos de mesmonome (N e N ou S e S) se repelem, e que seus pólos de nomescontrários (N e S) se atraem.

Poderíamos pensar em descrever o magnetismo produ-zido por ímãs permanentes de forma análoga à eletrostática,introduzindo cargas magnéticas N e S (em analogia comcargas elétricas + e −). Porém, a experiência mostra que nãoé possível isolar os pólos N e S de um ímã. Se o partirmosem dois, cada um deles continuará tendo pólos N e S.

Recentemente, fez-se um grande esforço experimentalpara verificar se existem partículas com “carga magnética”,que seriam pólos N ou S isolados (monopolos magnéticos).Nenhum jamais foi detectado. É portanto um fato experimen-tal básico no estudo do magnetismo que não existem cargasmagnéticas (pólos magnéticos isolados).

Podemos pensar numa barra ou agulha imantada comoanáloga a um dipolo magnético em lugar de elétrico. Abarra magnética seria análoga a um dielétrico polarizado, eos pólos norte e sul que aparecem em suas faces seriam aná-logos às cargas de polarização ligadas sobre as extremidadesde uma barra dielétrica polarizada (note que, também nestecaso, se partíssemos uma barra em duas, cargas superficiaisde polarização apareceriam nas novas faces).

Sabemos que a posição de equilíbrio de um dipolo numcampo elétrico uniforme corresponde ao dipolo alinhadocom o campo. Por analogia, podemos mapear a direção eo sentido de um campo magnético num dado ponto comoa direção de equilíbrio e o sentido S → N de uma pequenabússola colocada neste ponto.

Quando salpicamos limalha de ferro sobre um ímã, cadapequeno fragmento de ferro se magnetiza por indução efunciona como uma minúscula agulha imantada (bússola),indicando a direção do campo, de modo que materializamosassim as linhas de força magnéticas.

©Moyses Nussenzveig, Física Básica, Vol. 3

in addition to the electric field. A magnetic field also surrounds any material withpermanent magnetism. We find that the magnetic field is a vector field, as is theelectric field.

To describe any type of vector field, we must define its magnitude and its direc-tion. The direction of the magnetic field vector at any location is the direction inwhich the north pole of a compass needle points at that location. Active Figure 22.1shows how the magnetic field of a bar magnet can be traced with the aid of a com-pass, defining a magnetic field line, similar in many ways to the electric field lineswe studied in Chapter 19. Several magnetic field lines of a bar magnet traced out inthis manner are shown in the two-dimensional pictorial representation in ActiveFigure 22.1. Magnetic field patterns can be displayed by small iron filings placed inthe vicinity of a magnet, as in Figure 22.2.

We can quantify the magnetic field by using our model of a particle in a field.The existence of a magnetic field at some point in space can be determined bymeasuring the magnetic force exerted on an appropriate test particle placed atthat point. This process is the same one we followed in defining the electric field inChapter 19. Our test particle will be an electrically charged particle such as a pro-ton. If we perform such an experiment, we find the following results:

• The magnetic force is proportional to the charge q of the particle as well asto the speed v of the particle.

• When a charged particle moves parallel to the magnetic field vector, the mag-netic force on the charge is zero.

• When the velocity vector makes an angle ! with the magnetic field, the mag-netic force acts in a direction perpendicular to both and ; that is, the magnetic force is perpendicular to the plane formed by and (Fig. 22.3a).

• The magnetic force on a negative charge is directed opposite to the force on apositive charge moving in the same direction (Fig. 22.3b).

• If the velocity vector makes an angle ! with the magnetic field, the magnitude ofthe magnetic force is proportional to sin !.

These results show that the magnetic force on a particle is more complicatedthan the electric force. The magnetic force is distinctive because it depends on the

B:

v:B:

v:

F:

B

F:

B

F:

B

B:

B:

y g p pp

N S

A small compass can be used to trace the magnetic field lines of a barmagnet.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.1 to move thecompass around and trace the fieldlines for yourself.

ACTIVE FIGURE 22.1

(a) Magnetic field patterns surrounding a bar magnet as displayed with iron filings.(b) Magnetic field patterns between dissimilar poles of two bar magnets. (c) Magneticfield pattern between similar poles of two bar magnets.

FIGURE 22.2

(Cou

rtesy

of H

enry

Leap

and

Jim

Lehm

an)

(a) (b) (c)

THE MAGNETIC FIELD ! 729

Figura 8.1 – Uma pequena bússola pode ser utilizada para traçaras linhas do campo magnético de uma barra imantada. ©Serway–Jewett 3ed.

8.2 CAMPO MAGNÉTICO: CARGAS EM MOVIMENTO

Qualquer carga elétrica em repouso produz um campoelétrico. Quando cargas estão em movimento, além docampo elétrico, elas também produzem um campo magné-tico, que também é um campo vetorial. Um campo mag-nético também circunda qualquer material com magnetismopermanente.

A direção do vetor campo magnético, B, em qualquerlocalização é a direção apontada pelo pólo norte de umaagulha de bússola nessa localização. A Figura 8.1 mostracomo o campo magnético de uma barra imantada pode sertraçado com a ajuda de uma bússola, definindo linhas decampo magnético, de forma similar às linhas do campoelétrico.

8.3 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UMA CARGA EMMOVIMENTO

Podemos quantificar o campo magnético numa dadaregião do espaço utilizando uma partícula de teste carregadaem movimento. O campo magnético exercerá uma força FB

sobre a partícula, de forma similar ao que foi discutido parao caso do campo elétrico. Uma partícula positiva movendo-se com velocidade u num campo magnético B sofrerá umaforça FB dada por

FB = qu × B,

onde a direção da força magnética é mesma do produtovetorial u × B, ou seja, a força magnética é perpendiculartanto a u quanto a B, conforme é mostrado na Figura 8.2. Aunidade SI de campo magnético é o tesla (T), onde

[B] = 1T = 1 N·s/C·m

A magnitude da força magnética é

FB = |q|vB sen θ,



37

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 8: O campo magnético

velocity of the particle and because its direction is perpendicular to both and .Despite this complicated behavior, these observations can be summarized in a com-pact way by writing the magnetic force in the form

[22.1]

where the direction of the magnetic force is that of , which, by definition ofthe cross product, is perpendicular to both and . Equation 22.1 is analogous toEquation 19.4, , but is clearly more complicated. We can regard Equation22.1 as an operational definition of the magnetic field at a point in space. The SIunit of magnetic field is the tesla (T), where

1 T ! 1 N " s/C " m

Figure 22.4 reviews two right-hand rules for determining the direction of the crossproduct and determining the direction of . The rule in Figure 22.4adepends on our right-hand rule for the cross product in Figure 10.13. You point thefour fingers of your right hand along the direction of with the palm facing andcurl them toward . The extended thumb, which is at a right angle to the fingers,points in the direction of . Because , is in the direction of yourthumb if q is positive and opposite the direction of your thumb if q is negative.

A second rule is shown in Figure 22.4b. Here the thumb points in the directionof and the extended fingers in the direction of . Now, the force on a positivecharge extends outward from your palm. The advantage of this rule is that theforce on the charge is in the direction that you would push on something with yourhand, outward from your palm. The force on a negative charge is in the oppositedirection. Feel free to use either of these two right-hand rules.

The magnitude of the magnetic force is

[22.2]

where # is the angle between and . From this expression, we see that FB is zerowhen is either parallel or antiparallel to (# ! 0 or 180$). Furthermore, theforce has its maximum value when is perpendicular to (# ! 90$).

There are important differences between electric and magnetic forces oncharged particles:

B:

v:FB ! !q !vBB:

v:B:

v:FB ! !q !vB sin #

F:

BB:

v:

F:

BF:

B ! q v: ! B:

v: ! B:

B:

B:

v:

F:

Bv: ! B:

F:

e ! q E:

B:

v:v: ! B

:

F:

B ! q v: ! B:

B:

v:

730 ! CHAPTER 22 MAGNETIC FORCES AND MAGNETIC FIELDS

y g p pp

(a)

FB

+ q

v

!

(b)

FB

–

B

+

F

B

B

v

v

The direction ofthe magnetic force on a charged particle moving with a velocity inthe presence of a magnetic field . (a) When is at an angle # to , themagnetic force is perpendicular toboth and . (b) Oppositelydirected magnetic forces are exertedon two oppositely charged particlesmoving with the same velocity in amagnetic field. The broken lines suggest the paths followed by the particles after the instant shown in the figure.

B:

v:

B:

v:B:

v:

FIGURE 22.3

" Magnetic force on a charged par-ticle moving in a magnetic field

Figura 8.2 – Direção da força magnética FB atuando sobre umapartícula carregada movendo-se com velocidade u na presença deum campo magnético B. A força magnética é perpendicular aambos vetores u e B. ©Serway–Jewett 3ed.

onde θ é o ângulo entre u e B. A partir desta expressão,vemos que FB é zero quando u é paralelo ou antiparalelo aB (θ = 0 ou 180º). Além disso, a força tem seu módulomáximo FB = |q|vB quando u é perpendicular a B (θ = 90º).

Quando uma carga se desloca com uma velocidade u, umcampo magnético aplicado pode alterar a direção do vetorvelocidade, mas não pode mudar a velocidade escalar dapartícula. Isto ocorre pois a força magnética associada a umcampo magnético permanente não realiza trabalho quandouma partícula carregada é deslocada, já que FB · d s = FB ·udt = 0, pois a força magnética é um vetor perpendicular a u.

8.4 MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADAEM UM CAMPO MAGNÉTICO

Considere o caso de uma partícula positivamente car-regada deslocando-se em um campo magnético uniformequando o vetor velocidade inicial da partícula é perpendi-cular ao campo. Vamos supor que a direção do campomagnético é para dentro da página. A Figura 8.3 mostra quea partícula se desloca em uma trajetória circular cujo plano éperpendicular ao campo magnético.

A partícula desloca-se dessa forma porque a força mag-nética FB é perpendicular a u e a B, e tem magnitudeconstante qvB. À medida que a força muda a direção de u,a direção de FB muda continuamente, como na Figura 8.3.Já que FB sempre aponta na direção do centro do círculo, apartícula pode ser modelada como estando em movimentocircular uniforme. Utilizando a segunda lei de Newton,podemos determinar o raio da trajetória circular:∑

F = FB = ma⇒ qvB =mv2

r⇒ r =

mvqB.

Isto é, o raio da trajetória é proporcional ao momento linearmv da partícula e inversamente proporcional à magnitude dacarga da partícula e à magnitude do campo magnético. Afrequência angular da partícula é

ω =v

r=

qBm,

The particle moves in this way because the magnetic force is perpendicularto and and has a constant magnitude qvB. As the force changes the direction of

, the direction of changes continuously as in Active Figure 22.7. Because always points toward the center of the circle, the particle can be modeled as beingin uniform circular motion. As Active Figure 22.7 shows, the rotation is counter-clockwise for a positive charge in a magnetic field directed into the page. If q werenegative, the rotation would be clockwise. We can use Newton’s second law to deter-mine the radius of the circular path:

[22.3]

That is, the radius of the path is proportional to the linear momentum mv of theparticle and inversely proportional to the magnitude of the charge on the particleand to the magnitude of the magnetic field. The angular speed of the particle is(from Eq. 10.10)

[22.4]

The period of the motion (the time interval required for the particle to completeone revolution) is equal to the circumference of the circular path divided by thespeed of the particle:

[22.5]

These results show that the angular speed of the particle and the period of the cir-cular motion do not depend on the translational speed of the particle or the radiusof the orbit for a given particle in a given uniform magnetic field. The angularspeed ! is often referred to as the cyclotron frequency because charged particlescirculate at this angular speed in one type of accelerator called a cyclotron, discussedin Section 22.4.

If a charged particle moves in a uniform magnetic field with its velocity at somearbitrary angle to , its path is a helix. For example, if the field is in the x directionas in Active Figure 22.8, there is no component of force on the particle in the xdirection. As a result, ax " 0, and so the x component of velocity of the particleremains constant. The magnetic force causes the components vy and vz tochange in time, however, and the resulting motion of the particle is a helix havingits axis parallel to the magnetic field. The projection of the path onto the yz plane(viewed along the x axis) is a circle. (The projections of the path onto the xy and xzplanes are sinusoids!) Equations 22.3 to 22.5 still apply provided that v is replacedby v! " !vy

2 # vz

2.

q v: ! B:

B:

T "2$r

v"

2$

!"

2$mqB

! "vr

"qBm

r "mvqB

qvB "mv 2

r

! F " FB " ma

F:

BF:

Bv:B:

v:F:

B

MOTION OF A CHARGED PARTICLE IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD ! 733

y g p pp

r

v

v

v

q

q

q

B in

+

+

+

" " " " "

" " " "

"

" " " "

" " " "

FB

FB

FB

When the velocity of a charged particle is perpendicular to a uniformmagnetic field, the particle moves in acircular path in a plane perpendicularto . The magnetic force acting onthe charge is always directed towardthe center of the circle.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.7. You can adjust themass, speed, and charge of theparticle and the magnitude of themagnetic field to observe theresulting circular motion.

F:

BB:

Helicalpath

B

x

+q

z

y

+

A charged particle having a velocityvector with a component parallel to a uniform magnetic field moves in ahelical path.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.8. You can adjust thex component of the velocity of theparticle and observe the resultinghelical motion.

(i) A charged particle is moving perpendicular to a magnetic field ina circle with a radius r. The magnitude of the magnetic field is increased. Compared withthe initial radius of the circular path, is the radius of the new path (a) smaller, (b) larger,or (c) equal in size? (ii) An identical particle enters the field, with perpendicular to ,but with a higher speed v than the first particle. Compared with the radius of the circlefor the first particle in the same magnetic field, is the radius of the circle for the secondparticle (a) smaller, (b) larger, or (c) equal in size?

B:

v:

QUICK QUIZ 22.2

ACTIVE FIGURE 22.7

ACTIVE FIGURE 22.8

Figura 8.3 – Quando a velocidade de uma partícula carregada éperpendicular a um campo magnético uniforme, a partícula desloca-se em uma trajetória circular em um plano perpendicular a B. Aforça magnética atuando sobre a carga é sempre direcionada para ocentro do círculo. ©Serway–Jewett 3ed.

e o período do movimento circular é

T =2πrv=

2πω=

2πmqB.

Estes resultados mostram que a frequência angular da partí-cula e o seu período não dependem da velocidade da partículaou do raio da órbita para uma determinada partícula em umdeterminado campo magnético uniforme.

Movimento helicoidal

Qual será a trajetória de uma partícula carregada emum campo magnético uniforme se sua velocidade não forexatamente perpendicular ao campo?

O vetor velocidade pode ser dividido em duas compo-nentes, uma paralela e outra perpendicular ao campo, comomostra a Figura 8.4. A componente paralela às linhas decampo não sofre nenhuma força (θ = 0), de forma queela permanece constante. A componente perpendicular aocampo dá origem a um movimento circular, como vistoanteriormente. Colocando estes dois movimentos juntos,produzimos um movimento helicoidal (na forma de umaespiral) em torno das linhas do campo magnético.

The particle moves in this way because the magnetic force is perpendicularto and and has a constant magnitude qvB. As the force changes the direction of

, the direction of changes continuously as in Active Figure 22.7. Because always points toward the center of the circle, the particle can be modeled as beingin uniform circular motion. As Active Figure 22.7 shows, the rotation is counter-clockwise for a positive charge in a magnetic field directed into the page. If q werenegative, the rotation would be clockwise. We can use Newton’s second law to deter-mine the radius of the circular path:

[22.3]

That is, the radius of the path is proportional to the linear momentum mv of theparticle and inversely proportional to the magnitude of the charge on the particleand to the magnitude of the magnetic field. The angular speed of the particle is(from Eq. 10.10)

[22.4]

The period of the motion (the time interval required for the particle to completeone revolution) is equal to the circumference of the circular path divided by thespeed of the particle:

[22.5]

These results show that the angular speed of the particle and the period of the cir-cular motion do not depend on the translational speed of the particle or the radiusof the orbit for a given particle in a given uniform magnetic field. The angularspeed ! is often referred to as the cyclotron frequency because charged particlescirculate at this angular speed in one type of accelerator called a cyclotron, discussedin Section 22.4.

If a charged particle moves in a uniform magnetic field with its velocity at somearbitrary angle to , its path is a helix. For example, if the field is in the x directionas in Active Figure 22.8, there is no component of force on the particle in the xdirection. As a result, ax " 0, and so the x component of velocity of the particleremains constant. The magnetic force causes the components vy and vz tochange in time, however, and the resulting motion of the particle is a helix havingits axis parallel to the magnetic field. The projection of the path onto the yz plane(viewed along the x axis) is a circle. (The projections of the path onto the xy and xzplanes are sinusoids!) Equations 22.3 to 22.5 still apply provided that v is replacedby v! " !vy

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2.

q v: ! B:

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MOTION OF A CHARGED PARTICLE IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD ! 733

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FB

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When the velocity of a charged particle is perpendicular to a uniformmagnetic field, the particle moves in acircular path in a plane perpendicularto . The magnetic force acting onthe charge is always directed towardthe center of the circle.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.7. You can adjust themass, speed, and charge of theparticle and the magnitude of themagnetic field to observe theresulting circular motion.

F:

BB:

Helicalpath

B

x

+q

z

y

+

A charged particle having a velocityvector with a component parallel to a uniform magnetic field moves in ahelical path.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.8. You can adjust thex component of the velocity of theparticle and observe the resultinghelical motion.

(i) A charged particle is moving perpendicular to a magnetic field ina circle with a radius r. The magnitude of the magnetic field is increased. Compared withthe initial radius of the circular path, is the radius of the new path (a) smaller, (b) larger,or (c) equal in size? (ii) An identical particle enters the field, with perpendicular to ,but with a higher speed v than the first particle. Compared with the radius of the circlefor the first particle in the same magnetic field, is the radius of the circle for the secondparticle (a) smaller, (b) larger, or (c) equal in size?

B:

v:

QUICK QUIZ 22.2

ACTIVE FIGURE 22.7

ACTIVE FIGURE 22.8

Trajetóriahelicoidal

Figura 8.4 – Movimento helicoidal de uma partícula que possuiuma componente da velocidade na direção do campo B. ©Giancoli4ed.



38


8.5 FORÇA DE LORENTZ

Uma carga que se desloca com velocidade u na presençade um campo elétrico E e de um campo magnético Bexperimenta tanto uma força elétrica qE quanto uma forçamagnética qu× B. Consequentemente, a força total, chamadade força de Lorentz, agindo sobre a carga é:

F = q(E + u × B).

Exemplo: seletor de velocidades

Em muitos experimentos que envolvem partículas carre-gadas em movimento, é importante que todas as partículastenham a mesma velocidade. Isto pode ser obtido através dacombinação de um campo elétrico e um campo magnéticoorientados como mostra a Figura 8.5.

Se uma carga q positiva move-se para a direita comvelocidade u, a força magnética qu × B aponta para cima,enquanto a força elétrica qE aponta para baixo. Quando osmódulos dos dois campos são escolhidos de tal forma queqE = qvB, a partícula move-se em um trajetória horizontalretilínea através da região dos campos. Da expressão qE =qvB, obtemos que

v =EB.

Apenas aquelas partículas que possuem velocidade v pas-sarão através dos campos elétrico e magnético sem sofrerdesvios.


y g p pp

Bin

+

E

Source

Slit–

(a)

++++++

––––––

v

(b)

+ q

qv ! B

qE

! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !

(a) A velocity selector. When a positively charged particle is in thepresence of a magnetic field directed into the page and an electric fielddirected downward, it experiences a downward electric force and anupward magnetic force . (b) When these forces balance, theparticle moves in a straight line through the fields.

Log into PhysicsNow at www.pop4e.com and go to Active Figure 22.11. You canadjust the electric and magnetic fields to try to achieve straight line motion for the charge.

q v: ! B:

q E:

ACTIVE FIGURE 22.11

!!

!!

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r

P

Bin

Velocity selector

E

0, in

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!

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q

Detectorarray

B

v

A mass spectrometer. Positivelycharged particles are sent firstthrough a velocity selector andthen into a region where the mag-netic field causes the particlesto move in a semicircular path andstrike a detector array at P.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.comand go to Active Figure 22.12 topredict where particles will strikethe detector array.

B:

0

ACTIVE FIGURE 22.12

speed is stronger than the electric force, and these particles are deflected upward.Those moving slower are deflected downward.

The Mass SpectrometerA mass spectrometer separates ions according to their mass-to-charge ratio. In oneversion, known as the Bainbridge mass spectrometer, a beam of ions first passes througha velocity selector and then enters a second region with no electric field and auniform magnetic field that has the same direction as the magnetic field in theselector (Active Fig. 22.12). On entering the second magnetic field, the ions movein a semicircle of radius r before striking a detector array at P. If the ions are posi-tively charged, the beam deflects upward as in Active Figure 22.12. If the ions arenegatively charged, the beam deflects downward. From Equation 22.3, we canexpress the ratio m/q as

Using Equation 22.7, we find that

[22.8]mq

!rB0B

E

mq

!rB0

v

B:

0

Figura 8.5 – (a) Um seletor de velocidades. (b) Quando as forçaselétrica e magnética são iguais, a partícula move-se em uma linhahorizontal através dos campos sem sofrer desvios. ©Serway–Jewett3ed.

8.6 EFEITO HALL

Quando um condutor que transporta uma certa correnteelétrica é colocado num campo magnético, o campo exerceuma força sobre as cargas que estão movendo-se no interiordo condutor. Por exemplo, se elétrons movem-se para adireita num condutor retangular mostrado na Figura 8.6, ocampo magnético orientado para dentro da página exerceráuma força para baixo sobre os elétrons dada por

FB = −eud × B,

Figura 8.6 – Efeito Hall. Cargas negativas movem-se para a direita,originando uma corrente elétrica. ©Giancoli 4ed.

onde ud é a velocidade de arrasto dos elétrons. Dessa forma,os elétrons tenderão a se mover mais próximos do lado Ddo que do lado C. Logo, uma diferença de potencial serácriada entre os lados C e D do condutor e, consequentemente,um campo elétrico EH que exercerá uma força eEH sobre ascargas em movimento (igual em módulo e sentido contrárioao da força magnética). Este efeito é chamado de efeito Hall,em homenagem a Edwin H. Hall, que o descobriu em 1879.A diferença de potencial produzida é chamada fem Hall.

O campo elétrico originado da separação das cargasé chamado de campo Hall, EH , e aponta para baixo naFigura 8.6. Em equilíbrio, a força decorrente do campoelétrico é balanceada pela força magnética evdB:

eEH = evdB.

Assim, EH = vdB. A fem Hall é então

EH = EHd = vdBd,

onde d é a largura do condutor.

Uma corrente de cargas negativas movendo-se para adireita é equivalente ao movimento de cargas positivas paraa esquerda. Usando o efeito Hall, podemos distinguir se umcondutor carrega cargas positivas ou negativas, dependendoda diferença de potencial medida entre os lados C e D docondutor. No caso da Figura 8.6, o potencial no lado D émaior que no lado C, indicando que cargas negativas movem-se no condutor.

8.7 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM CONDUTORDE CORRENTE

Como uma força magnética é exercida sobre uma únicapartícula carregada quando ela se desloca através de umcampo magnético externo, não deve ser surpreendente des-cobrir que um fio conduzindo corrente também sofre umaforça magnética quando colocado em um campo magnéticoexterno.

Este efeito é mostrado na Figura 8.7, onde o fio condutorsob a ação de um campo magnético é desvia-se para aesquerda ou para a direita quando uma corrente I o atravessa.

Podemos quantificar a força magnética sobre um fiocondutor com corrente considerando um segmento reto de fiode comprimento ℓ e área de seção transversal A, conduzindouma corrente I em um campo magnético uniforme externo B,como mostrado na Figura 8.8. A força magnética sobre uma



39


(a) (b) (c)

The magnetic force on a current-carrying conductor can be demonstrated byhanging a wire between the poles of a magnet as in Figure 22.15, where the mag-netic field is directed into the page. The wire deflects to the left or right when acurrent is passed through it.

Let us quantify this discussion by considering a straight segment of wire oflength ! and cross-sectional area A, carrying a current I in a uniform externalmagnetic field as in Figure 22.16. As a simplification model, we shall ignore thehigh-speed zigzag motion of the charges in the wire (which is valid because the netvelocity associated with this motion is zero) and assume that the charges simplymove with the drift velocity . The magnetic force on a charge q moving with driftvelocity is . To find the total magnetic force on the wire segment, wemultiply the magnetic force on one charge by the number of charges in the seg-ment. Because the volume of the segment is A!, the number of charges in thesegment is nA!, where n is the number of charges per unit volume. Hence, the totalmagnetic force on the wire of length ! is

This equation can be written in a more convenient form by noting that, from Equa-tion 21.4, the current in the wire is I ! nqvdA. Therefore, can be expressed as

[22.10]

where is a vector in the direction of the current I ; the magnitude of equals thelength of the segment. Note that this expression applies only to a straight segmentof wire in a uniform external magnetic field.

Now consider an arbitrarily shaped wire of uniform cross-section in an externalmagnetic field as in Figure 22.17. It follows from Equation 22.10 that the magneticforce on a very small segment of the wire of length ds in the presence of an externalfield is

[22.11]

where is a vector representing the length segment, with its direction the same asthat of the current, and is directed out of the page for the directions assumedin Figure 22.17. We can consider Equation 22.11 as an alternative definition of toEquation 22.1. That is, the field can be defined in terms of a measurable force ona current element, where the force is a maximum when is perpendicular to theelement and zero when is parallel to the element.

To obtain the total magnetic force on a length of the wire between arbitrarypoints a and b, we integrate Equation 22.11 over the length of the wire between

F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

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F:

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! B:

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B

F:

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)nA!

q v:d ! B:

v:d

v:d

B:

MAGNETIC FORCE ON A CURRENT-CARRYING CONDUCTOR ! 739

y g p pp

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(b)

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Bin

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I

Bin

I

(c) (d)(a)

(a) A wire sus-pended vertically between the poles ofa magnet. (b) The setup shown in(a) as seen looking at the south poleof the magnet so that the magneticfield (green crosses) is directed intothe page. When no current is flowingin the wire, it remains vertical.(c) When the current is upward, thewire deflects to the left. (d) When thecurrent is downward, the wire deflectsto the right.

FIGURE 22.15

qvd

ABin

+

FB

! ! ! ! !

! ! ! ! !

!

!!

A section of a wirecontaining moving charges in a mag-netic field . The magnetic force oneach charge is , and the netforce on a segment of length is

.I ":

! B:

!q v:d ! B

:B:

FIGURE 22.16

Bd

I

s

A wire segment ofarbitrary shape carrying a current I ina magnetic field experiences amagnetic force. The force on anylength element is andis directed out of the page.

Id s: ! d B:

d s:

B:

FIGURE 22.17

" Magnetic force on a current-carrying conductor

Figura 8.7 – Um fio suspenso verticalmente entre os pólos de umímã é visto do pólo sul do ímã, tal que o campo magnético (cruzesazuis) está para dentro da página. (a) Quando não há corrente nofio, ele permanece imóvel. (b) Quando uma corrente é conduzidapelo fio para cima, o fio é desviado para a esquerda. (c) Quandoa corrente é para baixo, o fio é desviado para a direita. ©Serway–Jewett 3ed.

carga q movendo-se com velocidade de deriva ud é qud × B.Para encontrar a força magnética total sobre o segmentode fio, multiplicamos a força magnética sobre uma cargapelo número de cargas no segmento, ou de forma similar,pela densidade volumétrica de cargas, n, multiplicada pelovolume do segmento Aℓ. Dessa forma, a força magnéticatotal sobre o fio de comprimento ℓ é

FB = (qud × B)nAℓ.

Podemos reescrever esta expressão usando o fato que acorrente no fio é I = nqvdA. Assim, FB pode ser expressacomo

FB = Iℓ × B,

onde ℓ é um vetor na direção da corrente I com módulo ℓ,igual ao comprimento do segmento.

Se desejamos calcular a força magnética sobre um con-dutor de corrente de formato arbitrário, como o mostrado na




[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

:B ! Id s: ! B

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Bin

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FIGURE 22.15

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FIGURE 22.16

Bd

I

s


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B:

FIGURE 22.17


Figura 8.8 – Uma seção de um fio contendo cargas em movimentoem um campo magnético B. A força magnética sobre cada carga équd × B e a força resultante sobre um segmento de comprimento ℓ éIℓ × B. ©Serway–Jewett 3ed.


(a) (b) (c)




[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

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(b)

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FIGURE 22.15

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!q v:d ! B

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FIGURE 22.16

Bd

I

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d s:

B:

FIGURE 22.17



carga q movendo-se com velocidade de deriva !ud é q!ud ! !B.Para encontrar a força magnética total sobre o segmentode fio, multiplicamos a força magnética sobre uma cargapelo número de cargas no segmento, ou de forma similar,pela densidade volumétrica de cargas, n, multiplicada pelovolume do segmento A". Dessa forma, a força magnéticatotal sobre o fio de comprimento " é

!FB = (q!ud ! !B)nA".

Podemos reescrever esta expressão usando o fato que acorrente no fio é I = nqvdA. Assim, !FB pode ser expressacomo

!FB = I!! ! !B,onde !! é um vetor na direção da corrente I com módulo ",igual ao comprimento do segmento.





[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

:B ! Id s: ! B

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(c) (d)(a)


FIGURE 22.15

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FIGURE 22.16

Bd

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d s:

B:

FIGURE 22.17


Figura 8.8 – Uma seção de um fio contendo cargas em movimentoem um campo magnético !B. A força magnética sobre cada carga éq!ud ! !B e a força resultante sobre um segmento de comprimento " éI!! ! !B. ©Serway–Jewett 3ed.




[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

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(b)

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I

Bin

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(c) (d)(a)


FIGURE 22.15

qvd

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FIGURE 22.16

Bd

I

s


Id s: ! d B:

d s:

B:

FIGURE 22.17


Figura 8.9 – Um segmento de fio de forma arbitrária conduzindouma corrente I em um campo magnético !B sofre uma força magné-tica. A força magnética sobre qualquer elemento de comprimentod" é dada por Id!! ! !B, sendo direcionada para fora da página.©Serway–Jewett 3ed.

Figura 8.9, definimos um segmento muito pequeno do fiode comprimento d". A força magnética atuando sobre estesegmento do fio na presença de um campo magnético externo!B é

d !FB = Id!! ! !B,onde d!! é um vetor representando o comprimento do seg-mento, com direção igual à da corrente. Para as direçõesmostradas na Figura 8.9, d !FB é direcionada para fora dapágina. Para obter a força magnética total !FB sobre umcomprimento de fio entre dois pontos arbitrários a e b,integramos a última equação sobre o comprimento do fioentre esses pontos:

!FB = Iˆ b

ad!! ! !B.

Força magnética sobre um condutor semi-circular

Um fio condutor que carrega uma corrente I consiste deum semicírculo de raio R e duas partes retilíneas, conformemostra a Figura 8.10. O fio está sob um plano perpendiculara um campo magnético uniforme !B. A porções retas do fiopossuem comprimento " dentro da região do campo. Vamosdeterminar a força resultante que atua sobre o fio devido aocampo magnético !B.

As forças nas duas seções retas são iguais e possuemum módulo I"B. Como estão em direções opostas, elasse cancelam. Assim, a força resultante é aquela na partesemicircular do fio.

Dividimos o semicírculo em pequenos pedaços de tama-nho d" = Rd#, como indicado na Figura 8.10, e usando aequação d !F = Id!! ! !B, temos

dF = IBRd#,

onde dF é a força sobre o comprimento d" = Rd#, e o ânguloentre d!! e !B é 90º. A componente x da força d !F sobre osegmento d!! mostrado, e a componente x da força sobre umelemento simetricamente oposto localizado no outro lado dosemicírculo, se cancelam. Logo, para todo o semicírculo não

Prof. Abílio Mateus Jr. http://abiliomateus.net/ensino 40


(a) (b) (c)




[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

:B ! Id s: ! B

:

B:

":

":

F:

B ! I ":

! B:

F:

B

F:

B ! (q v:d ! B:

)nA!

q v:d ! B:

v:d

v:d

B:


y g p pp

!!!!!!

!!!!!!

!!!!

!!!!!!

!!!!! !

! !

(b)

Bin

I = 0

Bin

!!!!!!

!!!!!!

!!!!

!!!!!!

!!!!! !

! ! !!!!!!

!!!!!!

!!!!

!!!!!!

!!!!! !

! !

I

Bin

I

(c) (d)(a)


FIGURE 22.15

qvd

ABin

+

FB

! ! ! ! !

! ! ! ! !

!

!!


.I ":

! B:

!q v:d ! B

:B:

FIGURE 22.16

Bd

I

s


Id s: ! d B:

d s:

B:

FIGURE 22.17



carga q movendo-se com velocidade de deriva !ud é q!ud ! !B.Para encontrar a força magnética total sobre o segmentode fio, multiplicamos a força magnética sobre uma cargapelo número de cargas no segmento, ou de forma similar,pela densidade volumétrica de cargas, n, multiplicada pelovolume do segmento A". Dessa forma, a força magnéticatotal sobre o fio de comprimento " é

!FB = (q!ud ! !B)nA".

Podemos reescrever esta expressão usando o fato que acorrente no fio é I = nqvdA. Assim, !FB pode ser expressacomo

!FB = I!! ! !B,onde !! é um vetor na direção da corrente I com módulo ",igual ao comprimento do segmento.





[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

:B ! Id s: ! B

:

B:

":

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F:

B ! I ":

! B:

F:

B

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B ! (q v:d ! B:

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B:


y g p pp

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!!!!! !

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(b)

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Bin

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! ! !!!!!!

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I

Bin

I

(c) (d)(a)


FIGURE 22.15

qvd

ABin

+

FB

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! ! ! ! !

!

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.I ":

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!q v:d ! B

:B:

FIGURE 22.16

Bd

I

s


Id s: ! d B:

d s:

B:

FIGURE 22.17


Figura 8.8 – Uma seção de um fio contendo cargas em movimentoem um campo magnético !B. A força magnética sobre cada carga éq!ud ! !B e a força resultante sobre um segmento de comprimento " éI!! ! !B. ©Serway–Jewett 3ed.




[22.10]



[22.11]



F:

B

B:

B:

B:

B:

d F:

B

d s:d F

:B ! Id s: ! B

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B:

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q v:d ! B:

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v:d

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I

Bin

I

(c) (d)(a)


FIGURE 22.15

qvd

ABin

+

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! ! ! ! !

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! B:

!q v:d ! B

:B:

FIGURE 22.16

Bd

I

s


Id s: ! d B:

d s:

B:

FIGURE 22.17


Figura 8.9 – Um segmento de fio de forma arbitrária conduzindouma corrente I em um campo magnético !B sofre uma força magné-tica. A força magnética sobre qualquer elemento de comprimentod" é dada por Id!! ! !B, sendo direcionada para fora da página.©Serway–Jewett 3ed.

Figura 8.9, definimos um segmento muito pequeno do fiode comprimento d". A força magnética atuando sobre estesegmento do fio na presença de um campo magnético externo!B é

d !FB = Id!! ! !B,onde d!! é um vetor representando o comprimento do seg-mento, com direção igual à da corrente. Para as direçõesmostradas na Figura 8.9, d !FB é direcionada para fora dapágina. Para obter a força magnética total !FB sobre umcomprimento de fio entre dois pontos arbitrários a e b,integramos a última equação sobre o comprimento do fioentre esses pontos:

!FB = Iˆ b

ad!! ! !B.


Um fio condutor que carrega uma corrente I consiste deum semicírculo de raio R e duas partes retilíneas, conformemostra a Figura 8.10. O fio está sob um plano perpendiculara um campo magnético uniforme !B. A porções retas do fiopossuem comprimento " dentro da região do campo. Vamosdeterminar a força resultante que atua sobre o fio devido aocampo magnético !B.

As forças nas duas seções retas são iguais e possuemum módulo I"B. Como estão em direções opostas, elasse cancelam. Assim, a força resultante é aquela na partesemicircular do fio.

Dividimos o semicírculo em pequenos pedaços de tama-nho d" = Rd#, como indicado na Figura 8.10, e usando aequação d !F = Id!! ! !B, temos

dF = IBRd#,

onde dF é a força sobre o comprimento d" = Rd#, e o ânguloentre d!! e !B é 90º. A componente x da força d !F sobre osegmento d!! mostrado, e a componente x da força sobre umelemento simetricamente oposto localizado no outro lado dosemicírculo, se cancelam. Logo, para todo o semicírculo não

Prof. Abílio Mateus Jr. http://abiliomateus.net/ensino 40

Figura 8.9 – Um segmento de fio de forma arbitrária conduzindouma corrente I em um campo magnético B sofre uma força magné-tica. A força magnética sobre qualquer elemento de comprimentodℓ é dada por Idℓ × B, sendo direcionada para fora da página.©Serway–Jewett 3ed.

Figura 8.9, definimos um segmento muito pequeno do fiode comprimento dℓ. A força magnética atuando sobre estesegmento do fio na presença de um campo magnético externoB é

dFB = Idℓ × B,

onde dℓ é um vetor representando o comprimento do seg-mento, com direção igual à da corrente. Para as direçõesmostradas na Figura 8.9, dFB é direcionada para fora dapágina. Para obter a força magnética total FB sobre umcomprimento de fio entre dois pontos arbitrários a e b,integramos a última equação sobre o comprimento do fioentre esses pontos:

FB = Iˆ b

adℓ × B.


Um fio condutor que carrega uma corrente I consiste deum semicírculo de raio R e duas partes retilíneas, conformemostra a Figura 8.10. O fio está sob um plano perpendiculara um campo magnético uniforme B. A porções retas do fiopossuem comprimento ℓ dentro da região do campo. Vamosdeterminar a força resultante que atua sobre o fio devido aocampo magnético B.

As forças nas duas seções retas são iguais e possuemum módulo IℓB. Como estão em direções opostas, elasse cancelam. Assim, a força resultante é aquela na partesemicircular do fio.

Dividimos o semicírculo em pequenos pedaços de tama-nho dℓ = Rdϕ, como indicado na Figura 8.10, e usando aequação dF = Idℓ × B, temos

dF = IBRdϕ,

onde dF é a força sobre o comprimento dℓ = Rdϕ, e o ânguloentre dℓ e B é 90º. A componente x da força dF sobre osegmento dℓ mostrado, e a componente x da força sobre umelemento simetricamente oposto localizado no outro lado dosemicírculo, se cancelam. Logo, para todo o semicírculo não



40


Figura 8.10 – Condutor de corrente contendo uma parte semicircu-lar. ©Giancoli 4ed.

haverá componente da força no eixo x. Assim, devemoscalcular apenas as componentes no eixo y, que possuemmódulo dF sen ϕ, e a força total será

F =ˆ π

0dF sen ϕ = IBR

ˆ π0

sen ϕdϕ = 2IBR,

com direção para cima no eixo y mostrado na figura.

Força magnética sobre uma espira fechada

Considere agora um condutor na forma de um semicír-culo fechado, como o mostrado na Figura 8.11, que estásob um campo magnético B. A força total sofrida por estecondutor será a soma da força sobre a parte curva e da forçasobre a parte retilínea. Para a parte curva, podemos calcular aforça usando procedimento similar ao obtido anteriormente.O módulo da força será então FB = 2IBR, e a direçãoapontará para dentro da página.

Para a parte retilínea, usamos

FB = Iℓ × B = IℓB = 2IBR,

apontando para fora da página. Portanto, a força resultanteatuando sobre este condutor na forma de uma espira fechadaé nula! Este resultado é válido para qualquer espira fechadaque está imersa em um campo magnético.

8.8 TORQUE SOBRE UMA ESPIRA EM UM CAMPOMAGNÉTICO

Uma força magnética atua sobre um fio condutor napresença de um campo magnético. Quando uma espira decorrente é submetida a um campo magnético externo, a forçaresultante que atua sobre ela é nula, porém o torque exercidosobre a espira pode ser não-nulo.

29.3 Torque on a Current Loop in a Uniform Magnetic Field

In the preceding section, we showed how a magnetic force is exerted on a current-carrying conductor placed in a magnetic field. With this as a starting point, we nowshow that a torque is exerted on a current loop placed in a magnetic field. The resultsof this analysis will be of great value when we discuss motors in Chapter 31.

Consider a rectangular loop carrying a current I in the presence of a uniform mag-netic field directed parallel to the plane of the loop, as shown in Figure 29.13a. Nomagnetic forces act on sides ! and " because these wires are parallel to the field;hence, L ! B ! 0 for these sides. However, magnetic forces do act on sides # and $because these sides are oriented perpendicular to the field. The magnitude of theseforces is, from Equation 29.3,

The direction of F2, the magnetic force exerted on wire #, is out of the page in the viewshown in Figure 29.13a, and that of F4, the magnetic force exerted on wire $, is into thepage in the same view. If we view the loop from side " and sight along sides # and $,we see the view shown in Figure 29.13b, and the two magnetic forces F2 and F4 are di-rected as shown. Note that the two forces point in opposite directions but are not di-rected along the same line of action. If the loop is pivoted so that it can rotate aboutpoint O, these two forces produce about O a torque that rotates the loop clockwise. Themagnitude of this torque "max is

where the moment arm about O is b/2 for each force. Because the area enclosed by theloop is A ! ab, we can express the maximum torque as

(29.8)

This maximum-torque result is valid only when the magnetic field is parallel to the planeof the loop. The sense of the rotation is clockwise when viewed from side ", as indicatedin Figure 29.13b. If the current direction were reversed, the force directions would alsoreverse, and the rotational tendency would be counterclockwise.

"max ! IAB

"max ! F2 b2

# F4 b2

! (IaB) b2

# (IaB) b2

! IabB

F2 ! F4 ! IaB

904 C H A P T E R 2 9 • Magnetic Fields

the wire is oriented perpendicular to B. The direction of F1is out of the page based on the right-hand rule for the crossproduct L ! B.

To find the magnetic force F2 acting on the curved part,we use the results of Case 1. The magnetic force on thecurved portion is the same as that on a straight wire oflength 2R carrying current I to the left. Thus, F2 ! ILB !2IRB. The direction of F2 is into the page based on theright-hand rule for the cross product L ! B.

Because the wire lies in the xy plane, the two forces onthe loop can be expressed as

The net magnetic force on the loop is

Note that this is consistent with Case 2, because the wireforms a closed loop in a uniform magnetic field.

! F ! F1 # F2 ! 2IR B k $ 2IR B k ! 0

$2IR B kF2 !

2IR B kF1 !

R

I

B

I

Figure 29.12 (Example 29.2) The net magnetic force actingon a closed current loop in a uniform magnetic field is zero. Inthe setup shown here, the magnetic force on the straight portion of the loop is 2IRB and directed out of the page, andthe magnetic force on the curved portion is 2IRB directed intothe page.

(a)

b

a

I

B

(b)

B

F2

O

F4

b2

!

"

# $

# $!

I

I

I

Figure 29.13 (a) Overhead viewof a rectangular current loop in auniform magnetic field. No mag-netic forces are acting on sides !and " because these sides are paral-lel to B. Forces are acting on sides# and $, however. (b) Edge view ofthe loop sighting down sides # and$ shows that the magnetic forces F2and F4 exerted on these sides createa torque that tends to twist the loopclockwise. The purple dot in the leftcircle represents current in wire #coming toward you; the purple crossin the right circle represents currentin wire $ moving away from you.

Figura 8.11 – Condutor de corrente semicircular formando umaespira fechada. ©Serway–Jewett 3ed.

Considere uma espira retangular conduzindo uma cor-rente I na presença de um campo magnético uniforme ex-terno no plano da espira, como mostrado na Figura 8.12a. Asforças magnéticas sobre os lados À e Â, de comprimento b,são nulas pois esses fios são paralelos ao campo e, portanto,d s × B = 0. Para os lados Á e Ã, as forças não são nulas e amagnitude dessas forças é

F2 = F4 = IaB.

Se observarmos a espira pelo lado Â, como na Figura 8.12b,veremos as forças sobre Á e Ã direcionadas como mostraa figura. Se a espira possui um eixo móvel perpendicular àpágina e passando pelo ponto O, vemos que essas duas forçasmagnéticas produzem um torque em relação a esse eixo quegira a espira no sentido horário. A magnitude do torque, τmax,é

τmax = F2b2+ F4

b2= (IaB)

b2+ (IaB)

b2= IabB,

onde o braço do momento em relação a esse eixo é b/2 paracada força. Como a área da espira é A = ab, a magnitude dotorque pode ser expressa como

τmax = IAB.

Agora suponha que o campo magnético uniforme faz umângulo θ com uma linha perpendicular ao plano da espira,como na Figura 8.12c. Neste caso, B é perpendicular aoslados Á e Ã e as forças magnéticas sobre os lados À e Â seanulam e não produzem torque.

O torque produzido pelas forças F2 = F4 = IaB tem amagnitude

τ = F2b2

sen θ + F4b2

sen θ

= (IaB)b2

sen θ + (IaB)b2

sen θ = IabB sen θ

= IAB sen θ

onde A = ab é a área da espira. Uma expressão vetorialconveniente para o torque é

τ = I A × B,



41


Figura 8.12 – (a) Vista frontal de uma espira de corrente retangular em um campo magnético uniforme. (b) Vista pelo fundo da espira,mostrando que as forças F2 e F4 exercidas sobre os lados Á e Ã criam um torque que tende a girar a espira no sentido horário. (c) Vista pelofundo da espira girada por um ângulo θ em relação ao campo magnético. ©Serway–Jewett 3ed.

onde A, um vetor perpendicular ao plano da espira, tem ummódulo igual à área da espira. A Figura 8.13 mostra a regrada mão direita usada para determinação da direção de A.

O produto I A é definido como sendo o momento dedipolo magnético µ da espira:

µ ≡ I A.

A unidade SI do momento de dipolo magnético é oampère-metro2 (A·m2). Usando essa definição, o torque podeser expresso como

τ = µ × B.

Esta expressão é válida para uma espira com qualquer for-mato. No caso de uma bobina contendo N espiras de fio,cada um conduzindo a mesma corrente e possuindo a mesmaárea, o momento magnético total da bobina será µ = NI A.

cancel each other and produce no torque because they have the same line of ac-tion. The magnetic forces and acting on sides ! and ", however, bothproduce a torque about an axis through the center of the loop. Referring to ActiveFigure 22.20, we note that the moment arm of about this axis is (b/2) sin !.Likewise, the moment arm of is also (b/2) sin !. Because F2 " F4 " IaB, the nettorque # has the magnitude

where A " ab is the area of the loop. This result shows that the torque has itsmaximum value IAB (Eq. 22.13) when the field is parallel to the plane of theloop (! " 90$) and is zero when the field is perpendicular to the plane of the loop(! " 0). As we see in Active Figure 22.20, the loop tends to rotate in the directionof decreasing values of ! (i.e., so that the normal to the plane of the loop rotatestoward the direction of the magnetic field). A convenient vector expression for thetorque is

[22.14]

where , a vector perpendicular to the plane of the loop (Active Fig. 22.20), has amagnitude equal to the area of the loop. The sense of is determined by the right-hand rule illustrated in Figure 22.21. When the four fingers of the right hand arecurled in the direction of the current in the loop, the thumb points in the directionof . The product is defined to be the magnetic dipole moment (often simplycalled the “magnetic moment”) of the loop:

[22.15]

The SI unit of magnetic dipole moment is the ampere-meter2 (A % m2). Using thisdefinition, the torque can be expressed as

[22.16]

Although the torque was obtained for a particular orientation of with respectto the loop, Equation 22.16 is valid for any orientation. Furthermore, although thetorque expression was derived for a rectangular loop, the result is valid for a loop ofany shape. Once the torque is determined, the motion of the coil can be modeledas a rigid object under a net torque, which was studied in Chapter 10.

If a coil consists of N turns of wire, each carrying the same current and eachhaving the same area, the total magnetic moment of the coil is the product of thenumber of turns and the magnetic moment for one turn, . Thus, thetorque on an N -turn coil is N times greater than that on a one-turn coil.

A common electric motor consists of a coil of wire mounted so that it can rotatein the field of a permanent magnet. The torque on the current-carrying coil is usedto rotate a shaft that drives a mechanical device such as the power windows in yourcar, your household fan, or your electric hedge trimmer.

!: " NIA:

B:

": " !: # B:

!: " I A:

!:I A:

A:

A:

A:

": " I A:

# B:

" IAB sin !

" (IaB)! b2

sin !" & (IaB)! b2

sin !" " IabB sin !

# " F2 b2

sin ! & F4 b2

sin !

F:

4

F:

2

F:

4F:

2


y g p pp

A

I

µ

Right-hand rule fordetermining the direction of thevector . The direction of themagnetic moment is the same asthe direction of .A

:!:

A:

FIGURE 22.21

" Magnetic moment of a currentloop

" Torque on a current loop

Solution The magnitude of the magnetic moment of acurrent loop is ' " IA (Eq. 22.15). In this case, A " (0.054 0 m)(0.085 0 m) " 4.59 ( 10)3 m2.Because the coil has 25 turns and assuming that eachturn has the same area A, we have

The Magnetic Moment and Torque on a CoilEXAMPLE 22.5A rectangular coil of dimensions 5.40 cm ( 8.50 cmconsists of 25 turns of wire. The coil carries a current of15.0 mA.

Calculate the magnitude of its magnetic moment.A

Figura 8.13 – Regra da mão direita para determinação da direçãodo vetor área A. A direção do momento de dipolo magnético µ seráa mesma de A. ©Serway–Jewett 3ed.



42

9 FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO

9.1 A EXPERIÊNCIA DE ØRSTED

Em 1819, o físico dinamarquês Hans Christian Ørsted(1777–1851), procurando ver se uma corrente elétrica atuariasobre um ímã, colocou uma bússola perpendicular a umfio retilíneo por onde passava uma corrente e não observounenhum efeito. Entretanto, descobriu que, quando a bússolaera colocada paralelamente ao fio, a agulha da bússola sofriauma deflexão, orientando-se perpendicularmente ao fio.

Dessa forma, uma corrente produz um campo magnéticoe, para um fio retilíneo que transporta corrente, as linhas deforça magnéticas são círculos em planos perpendiculares aofio (ver Figura 9.1), cuja orientação (que dá o sentido de B) éanti-horária quando vista por um observador que vê o sentidoda corrente atravessá-lo de baixo para cima.

9.2 LEI DE BIOT-SAVART

A partir das suas investigações no início do século XIXsobre a força entre um condutor com corrente e um ímã,os físicos franceses Jean-Baptiste Biot (1774–1862) e FélixSavart (1791–1841) chegaram a uma expressão para o campomagnético em um ponto do espaço em termos da correnteque produz o campo. Neste sentido, o campo magnético éproduzido por um elemento infinitesimal de corrente que éparte de uma distribuição de corrente maior.

Suponha que a distribuição de corrente é um fio con-duzindo uma corrente constante I, como mostrado na Fi-gura 9.2. A lei de Biot-Savart diz que o campo magnéticodB no ponto P criado por um elemento do fio de compri-mento infinitesimal d s é

dB =µ0

4πr2 Id s × r,

AMPÈRE’S LAWA simple experiment first carried out by Oersted in 1820 clearly demonstrates thata current-carrying conductor produces a magnetic field. In this experiment, severalcompass needles are placed in a horizontal plane near a long vertical wire as inActive Figure 22.28a. When the wire carries no current, all needles point in thesame direction (that of the Earth’s magnetic field), as one would expect. When thewire carries a strong, steady current, however, the needles all deflect in a directiontangent to the circle as in Active Figure 22.28b. These observations show that thedirection of is consistent with the right-hand rule described in Section 22.7.When the current is reversed, the needles in Active Figure 22.28b also reverse.

Because the needles point in the direction of , we conclude that the lines of form circles about the wire, as discussed in Section 22.7. By symmetry, the magni-tude of is the same everywhere on a circular path that is centered on the wire andlies in a plane perpendicular to the wire. By varying the current and distance fromthe wire, one finds that is proportional to the current and inversely proportionalto the distance from the wire.

In Chapter 19, we investigated Gauss’s law, which is a relationship between anelectric charge and the electric field it produces. Gauss’s law can be used to deter-mine the electric field in highly symmetric situations. We now consider an analo-gous relationship in magnetism between a current and the magnetic field it pro-duces. This relationship can be used to determine the magnetic field created by ahighly symmetric current distribution.

Let us evaluate the product for a small length element on the circularpath1 centered on the wire in Active Figure 22.28b. Along this path, the vectors d s:

d s:B:

! d s:

B:

B:

B:

B:

B:

22.9

AMPÈRE’S LAW ! 747

y g p pp

(a) (b)

I = 0

I

d

B

s

(a) When no current is present in the vertical wire, all compass needlespoint in the same direction (toward the Earth’s North Pole). (b) Whenthe wire carries a strong current, the compass needles deflect in a direc-tion tangent to the circle, which is the direction of the magnetic fieldcreated by the current. (c) Circular magnetic field lines surrounding acurrent-carrying conductor, displayed with iron filings.

Log into PhysicsNow at www.pop4e.com and go to Active Figure 22.28. You canchange the value of the current to see the effect on the compasses.

ACTIVE FIGURE 22.28

(© R

ichar

d M

egna

, Fun

dam

enta

l Pho

togr

aphs

)

(c)

1 You may wonder why we would choose to do this evaluation. The origin of Ampère’s law is in 19th-century science, in which a “magnetic charge” (the supposed analog to an isolated electric charge) wasimagined to be moved around a circular field line. The work done on the charge was related to ,just like the work done moving an electric charge in an electric field is related to . Thus, Ampère’slaw, a valid and useful principle, arose from an erroneous and abandoned work calculation!

E:

! d s:B:

! d s:

Figura 9.1 – (a) Quando não há corrente no fio, todas as bússolasapontam na mesma direção: o pólo norte da Terra. (b) Quando ofio conduz uma corrente I, as agulhas das bússolas são defletidas nadireção tangente ao círculo, que é a direção do campo magnéticocriado pela corrente. ©Serway–Jewett 3ed.

THE BIOT – SAVART LAWIn the previous sections, we investigated the result of placing an object in an exist-ing magnetic field. When a moving charge is placed in the field, it experiences amagnetic force. A current-carrying wire placed in the field also experiences a mag-netic force; a current loop in the field experiences a torque.

Now we shift our thinking and investigate the source of the magnetic field.Oersted’s 1819 discovery (Section 22.1) that an electric current in a wire deflects anearby compass needle indicates that a current acts as a source of a magnetic field.From their investigations on the force between a current-carrying conductor and amagnet in the early 19th century, Jean-Baptiste Biot and Félix Savart arrived at anexpression for the magnetic field at a point in space in terms of the current thatproduces the field. No point currents exist comparable to point charges (becausewe must have a complete circuit for a current to exist). Hence, we must investigatethe magnetic field due to an infinitesimally small element of current that is part ofa larger current distribution. Suppose the current distribution is a wire carrying asteady current I as in Figure 22.22. The Biot–Savart law says that the magnetic field

at point P created by an element of infinitesimal length ds of the wire has thefollowing properties:

• The vector is perpendicular both to (which is in the direction of the cur-rent) and to the unit vector directed from the element toward P.

• The magnitude of is inversely proportional to r 2, where r is the distancefrom the element to P.

• The magnitude of is proportional to the current I and to the length ds of theelement.

• The magnitude of is proportional to sin !, where ! is the angle between and .

The Biot–Savart law can be summarized in the following compact form:

[22.17]

where km is a constant that in SI units is exactly 10"7 T # m/A. The constant km isusually written $0/4%, where $0 is another constant, called the permeability of freespace:

[22.18]

[22.19]

Hence, the Biot–Savart law, Equation 22.17, can also be written

[22.20]dB:

&$0

4% I d s: ! r

r 2

$0 & 4%km & 4% ' 10"7 T #m/A

$0

4%& km & 10"7 T #m/A

dB:

& km I d s: ! r

r 2

rd s:dB

:

dB:

dB:

rd s:dB

:

d B:

22.7

THE BIOT – SAVART LAW ! 743

y g p pp

Solution The torque is given by Equation 22.16,. In this case, is perpendicular to , so

( & $coilB & (1.72 ' 10"3 A # m2)(0.350 T)

& 6.02 ' 10"4 N#m

":coilB:

#: & ": ! B:

&

Suppose a uniform magnetic field of magnitude0.350 T is applied parallel to the plane of the loop.What is the magnitude of the torque acting on the loop?

B

1.72 ' 10"3 A #m2

$coil & NIA & (25)(15.0 ' 10"3 A)(4.59 ' 10"3 m2)

Pd Bout

r

! d

P "dBin

Ir

#r

s

The magnetic fieldat a point P due to a current I

through a length element is givenby the Biot–Savart law. The field isout of the page at P and into the pageat P ). (Both P and P ) are in the planeof the page.)

d s:d B

:FIGURE 22.22

THE BIOT –SAVART LAW When youare applying the Biot–Savart law, itis important to recognize that themagnetic field described in thesecalculations is the field due to agiven current-carrying conductor.This magnetic field is not to beconfused with any external field thatmay be applied to the conductorfrom some other source.


" Permeability of free space

" Biot – Savart law

Figura 9.2 – O campo magnético dB em um ponto P devido a umacorrente I através de um elemento de comprimento d s é dado pelalei de Biot-Savart. O campo é para fora da página em P e paradentro da página em P′. ©Serway–Jewett 3ed.

onde r é a distância do elemento de corrente d s até o ponto P,r é um vetor unitário direcionado do elemento para o pontoP e µ0 é a constante de permeabilidade do vácuo:

µ0 = 4π × 10−7T·m/A

A lei de Biot-Savart fornece o campo magnético produ-zido por um elemento de corrente Ids. Para determinar ocampo magnético total produzido por uma distribuição decorrente devemos fazer a integração sobre todo o condutor.A Figura 9.3 mostra uma regra da mão direita útil paradeterminar a direção do campo magnético devido a umacorrente.

9.2.1 Campo magnético produzido por um fiocondutor com corrente

Considere um fio retilíneo condutor carregando umacorrente constante I, orientado na direção do eixo x comomostra a Figura 9.4. Vamos determinar o campo magnéticoproduzido pela corrente na posição do ponto P.

Consider the current in the length of wire shown in Figure 22.24.Rank the points A, B, and C, in terms of magnitude of the magnetic field due to thecurrent in the length element shown, from greatest to least.d s:

QUICK QUIZ 22.4

(Quick Quiz 22.4) Where is the magnetic field the greatest?FIGURE 22.24

It is important to note that the Biot–Savart law gives the magnetic field at apoint only for a small length element of the conductor. We identify the product

as a current element. To find the total magnetic field at some point due to aconductor of finite size, we must sum contributions from all current elements mak-ing up the conductor. That is, we evaluate by integrating Equation 22.20 over theentire conductor.

There are two similarities between the Biot–Savart law of magnetism and Equa-tion 19.7 for the electric field of a charge distribution, and there are two importantdifferences. The current element I ds produces a magnetic field, and the charge el-ement dq produces an electric field. Furthermore, the magnitude of the magneticfield varies as the inverse square of the distance from the current element, as doesthe electric field due to a charge element. The directions of the two fields are quitedifferent, however. The electric field due to a charge element is radial; in thecase of a positive point charge, is directed away from the charge. The magneticfield due to a current element is perpendicular to both the current elementand the radius vector. Hence, if the conductor lies in the plane of the page, as inFigure 22.22, points out of the page at the point P and into the page at P !. An-other important difference is that an electric field can be a result either of a singlecharge or a distribution of charges, but a magnetic field can only be a result of acurrent distribution.

Figure 22.23 shows a convenient right-hand rule for determining the directionof the magnetic field due to a current. Note that the field lines generally encirclethe current. In the case of current in a long, straight wire, the field lines form cir-cles that are concentric with the wire and are in a plane perpendicular to the wire.If the wire is grasped in the right hand with the thumb in the direction of the cur-rent, the fingers will curl in the direction of .

Although the magnetic field due to an infinitely long, current-carrying wire canbe calculated using the Biot–Savart law (Problem 22.52), in Section 22.9 we use adifferent method to show that the magnitude of this field at a distance r from thewire is

[22.21]B "#0I2$r

B:

dB:

E:

B:

B:

I d s:


y g p pp

r

I

B

The right-handrule for determining the direction ofthe magnetic field surrounding along, straight wire carrying a current.Note that the magnetic field linesform circles around the wire. Themagnitude of the magnetic field at adistance r from the wire is given byEquation 22.21.

FIGURE 22.23

" Magnetic field due to a long,straight wire

Magnetic Field on the Axis of a Circular Current LoopEXAMPLE 22.6INTERACTIVE

[22.22]

The direction of the magnetic field due to theelement is perpendicular to the plane formed by and as in Figure 22.25. The vector can be resolvedinto a component dBx , along the x axis, and a componentdBy, which is perpendicular to the x axis. When the com-ponents dBy are summed over the whole loop, the result

dB:

d s:rd s:

dB:

dB "#0I4$

!d s: ! r !

r 2 "#0I4$

ds

(x2 % R2)

Consider a circular loop of wire of radius R located inthe yz plane and carrying a steady current I as in Figure22.25. Calculate the magnetic field at an axial point P adistance x from the center of the loop.

Solution In this situation, note that any element isperpendicular to . Furthermore, all elements aroundthe loop are at the same distance r from P, where r 2 " x2 % R2. Hence, the magnitude of due to theelement isd s:

dB:

rd s:

Ad

CB

Is

Figura 9.3 – Regra da mão direita para determinação da direção docampo magnético ao redor de um fio longo e reto que conduz umacorrente I. ©Serway–Jewett 3ed.



43

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 9: Fontes de campo magnético

S ECT I O N 3 0 . 1 • The Biot–Savart Law 929

Figure 30.3 (Example 30.1) (a) A thin, straight wire carrying acurrent I. The magnetic field at point P due to the current ineach element ds of the wire is out of the page, so the net field atpoint P is also out of the page. (b) The angles !1 and !2 usedfor determining the net field. When the wire is infinitely long,!1 " 0 and !2 " 180°.

(a)

Ox

dsI

!r

r a

P"ds " = dx

x

(b)

!1

P

!2!!

y

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore the field for different lengths of wire.

Example 30.1 Magnetic Field Surrounding a Thin, Straight Conductor

Consider a thin, straight wire carrying a constant currentI and placed along the x axis as shown in Figure 30.3.Determine the magnitude and direction of the magneticfield at point P due to this current.

Solution From the Biot–Savart law, we expect that themagnitude of the field is proportional to the current inthe wire and decreases as the distance a from the wire topoint P increases. We start by considering a lengthelement ds located a distance r from P. The direction ofthe magnetic field at point P due to the current in thiselement is out of the page because ds ! r is out of thepage. In fact, because all of the current elements I ds liein the plane of the page, they all produce a magnetic fielddirected out of the page at point P. Thus, we have thedirection of the magnetic field at point P, and we needonly find the magnitude. Taking the origin at O andletting point P be along the positive y axis, with k being aunit vector pointing out of the page, we see that

where represents the magnitude of ds ! r .Because r is a unit vector, the magnitude of the cross

!ds ! r !

ds ! r " !ds ! r ! k " (dx sin !)k

product is simply the magnitude of ds, which is the lengthdx. Substitution into Equation 30.1 gives

Because all current elements produce a magnetic fieldin the k direction, let us restrict our attention to themagnitude of the field due to one current element, which is

To integrate this expression, we must relate the variables !,x, and r. One approach is to express x and r in terms of !.From the geometry in Figure 30.3a, we have

Because tan ! " a/(# x) from the right triangle in Figure30.3a (the negative sign is necessary because ds is located ata negative value of x), we have

x " #a cot !

Taking the derivative of this expression gives

(3) dx " a csc2 ! d!

Substitution of Equations (2) and (3) into Equation (1) gives

an expression in which the only variable is !. We now obtainthe magnitude of the magnetic field at point P by integrat-ing Equation (4) over all elements, where the subtendingangles range from !1 to !2 as defined in Figure 30.3b:

(30.4)

We can use this result to find the magnetic field of anystraight current-carrying wire if we know the geometry andhence the angles !1 and !2. Consider the special case of aninfinitely long, straight wire. If we let the wire in Figure30.3b become infinitely long, we see that !1 " 0 and !2 " $for length elements ranging between positions x " # % andx " & %. Because (cos !1 # cos !2) " (cos 0 # cos $) " 2,Equation 30.4 becomes

(30.5)

Equations 30.4 and 30.5 both show that the magnitude ofthe magnetic field is proportional to the current anddecreases with increasing distance from the wire, as weexpected. Notice that Equation 30.5 has the same mathe-matical form as the expression for the magnitude of theelectric field due to a long charged wire (see Eq. 24.7).

'0I2$a

B "

'0I4$a

(cos !1 # cos !2)B "'0I4$a

"!2

!1

sin ! d! "

(4) dB "'0I4$

a csc2 ! sin ! d!

a 2 csc2 !

" '0I4$a

sin ! d!

(2) r "a

sin !" a csc !

(1) dB "'0 I4$

dx sin !

r 2

d B " (dB)k "'0I4$

dx sin !

r 2 k

Interactive

Figura 9.4 – Um fio retilíneo com uma corrente I. O campo mag-nético em um ponto P produzido pela corrente em cada elementods do fio aponta para fora da página. ©Serway–Jewett 3ed.

Inicialmente tomamos um elemento de comprimento dofio d s localizado a uma distância r do ponto P. A direçãodo campo magnético no ponto P devido à corrente nesteelemento é para fora da página, dada pelo produto d s × r.Como todos os elementos de corrente I d s estão no plano dapágina, eles produzirão um campo magnético dirigido parafora da página no ponto P. Assim, a direção do campomagnético naquele ponto produzido pelo fio aponta para forada página.

Podemos determinar o módulo do campo magnético apartir da lei de Biot-Savart:

dB =µ0

4πr2 Id s × r,

O produto vetorial é dado por

d s × r = |d s × r| k = (dx sen θ)k,

onde k é um vetor unitário na direção para fora da página.Portanto, o módulo do campo magnético é

dB =µ0I4π

dx sen θr2 .

Para integrar esta expressão, devemos relacionar as variáveisθ, x e r. Uma alternativa é expressar x e r em termos de θ.Da geometria mostrada na Figura 9.4, temos

r =a

sen θ= a cossec θ.

Como tan θ = a/(−x) (o sinal negativo indica que d s está nolado negativo de x), temos

x = −a cot θ

dx = a cossec 2θ dθ

Substituindo dx e r na expressão acima, obtemos

dB =µ0I4π

a cossec 2θ sen θa2 cossec 2θ

dθ =µ0I4πa

sen θ dθ

O campo magnético é obtido integrando-se essa expres-são entre dois ângulos θ1 e θ2:

B =µ0I4πa

ˆ θ2θ1

sen θ dθ =µ0I4πa

[cos θ1 − cos θ2].

Podemos utilizar este resultado para encontrar o campomagnético de qualquer fio conduzindo corrente se conhece-mos a geometria do problema e, portanto, os ângulos θ1 eθ2. Para um fio infinitamente longo, temos que θ1 = 0 eθ2 = π correspondem a elementos de corrente entre x = −∞e x = +∞. Neste caso, o módulo do campo magnético é

B =µ0I4πa

[cos π − cos 0]

B =µ0I2πa.

Este resultado mostra que a magnitude do campo magnéticoé proporcional ao valor da corrente e diminui com o aumentoda distância ao fio, como esperado.

9.3 LEI DE AMPÈRE

Após a descoberta de Ørsted, o físico francês André-Marie Ampère (1775–1836) realizou uma série de experi-mentos que culminaram em uma relação muito útil paraa determinação do campo magnético produzido por umadistribuição de corrente elétrica.

Considere um circuito fechado (de forma arbitrária) emtorno de uma corrente (como o mostrado na Figura 9.1) eimagine que o circuito é composto de pequenos segmentosinfinitesimais d s. Calculamos o produto escalar B · d s paracada segmento. Segundo os experimentos realizados porAmpère, a soma de todos os valores deste produto escalarpara o circuito fechado é igual à corrente no interior docircuito vezes uma constante. Esta relação é conhecida comolei de Ampère e pode ser escrita como

˛B · d s = µ0I.

Para o caso de um fio retilíneo, podemos considerarcircuitos fechados ao redor do fio na forma de círculos.Aplicando a lei de Ampère, obtemos:

˛B · d s = B

˛ds = B(2πr) = µ0I

(9.1) B =µ0I2πr

onde¸

ds = 2πr, e o módulo do campo magnético éconstante ao longo do circuito.

A lei de Ampère é válida somente para correntes constan-tes. Além disso, embora ela seja válida para todas as confi-gurações de corrente, ela apenas torna-se útil para calcular



44


campos magnéticos de configurações altamente simétricas(de forma similar ao caso da lei de Gauss para o cálculo docampo elétrico de distribuições simétricas de cargas).

Para a determinação dos circuitos ou trajetórias de inte-gração (algumas vezes chamadas espiras amperianas) deve-mos satisfazer uma ou mais das seguintes condições:

1. O valor do campo magnético é constante ao longo datrajetória.

2. O campo magnético é nulo em todos os pontos ao longoda trajetória.

3. B e d s são paralelos e, portanto, B · d s = Bds.4. B e d s são perpendiculares. Logo, B · d s = 0

9.4 FORÇA MAGNÉTICA ENTRE DOISCONDUTORES DE CORRENTE

Considere dois fios infinitamente longos, retos e parale-los, separados pela distância a e conduzindo correntes I1 eI2 na mesma direção, como mostrado na Figura 9.5. Parasimplificar o problema, consideraremos que os diâmetrosdos fios são muito menores que a distância que os separa.Podemos determinar a força magnética que um fio exercesobre o outro. O fio 2 gera um campo magnético B2 naposição do fio 1. A direção de B2 é perpendicular ao fio,como mostrado na figura. A força magnética sobre o fio 1de comprimento ℓ é F1 = I1ℓ × B2. Como ℓ é perpendiculara B2, o módulo de F1 é F1 = IℓB2. O campo magnéticodevido ao fio 2 é dado pela Eq. 9.1. Então, temos:

F1 = I1ℓB2 = I1ℓµ0I2

2πa=ℓµ0I1I2

2πa.

A força por unidade de comprimento é

F1

ℓ=µ0I1I2

2πa.

A direção de F1 é para baixo, pois ℓ × B é para baixo. Seconsiderarmos o campo gerado no fio 2 devido ao fio 1, aforça F2 sobre o fio 2 é igual em módulo e oposta em relaçãoa F1. Portanto, podemos escrever que a força exercida sobrecada fio é

Fℓ=µ0

2πI1I2

a.

Quando as correntes estão em direções opostas, as forçasmagnéticas entre elas são repulsivas e os fios condutores serepelem. Se as correntes estão na mesma direção, os fioscondutores se atraem.

Definição do Ampère e do Coulomb

A força magnética entre dois fios paralelos, cada umconduzindo uma corrente, é usada para definir o ampère:se dois fios longos e paralelos a 1 m de distância um dooutro conduzem a mesma corrente e a força por unidade decomprimento em cada fio é 2 × 10−7 N/m, então a corrente édefinida como sendo de 1 A.

THE MAGNETIC FORCE BETWEEN TWO PARALLEL CONDUCTORS

In Section 22.5, we described the magnetic force that acts on a current-carrying con-ductor when the conductor is placed in an external magnetic field. Because a cur-rent in a conductor sets up its own magnetic field, it is easy to understand that twocurrent-carrying conductors exert magnetic forces on each other. As we shall see,such forces can be used as the basis for defining the ampere and the coulomb.

Consider two infinitely long, straight, parallel wires separated by the distance aand carrying currents I1 and I2 in the same direction as in Active Figure 22.27. Weshall adopt a simplification model in which the radii of the wires are much smallerthan a so that the radius plays no role in the calculation. We can determine theforce on one wire due to the magnetic field set up by the other wire. Wire 2, whichcarries current I2, sets up a magnetic field at the position of wire 1. The direc-tion of is perpendicular to the wire as shown in Active Figure 22.27. Accordingto Equation 22.10, the magnetic force on a length ! of wire 1 is . Be-cause is perpendicular to , the magnitude of is F1 ! I1!B2. Because the fielddue to wire 2 is given by Equation 22.21, we see that

We can rewrite this expression in terms of the force per unit length as

The direction of is downward, toward wire 2, because is downward. Ifone considers the field set up at wire 2 due to wire 1, the force on wire 2 is foundto be equal in magnitude and opposite in direction to . That is what one wouldexpect because Newton’s third law must be obeyed. Thus, we can drop the forcesubscript so that the magnetic force per unit length exerted by each long current-carrying wire on the other is

[22.27]

This equation also applies if one of the wires is of finite length. In the discussionabove, we used the equation for the magnetic field of an infinite wire carrying cur-rent I2, but did not require that wire 1 be of infinite length.

When the currents are in opposite directions, the magnetic forces are reversedand the wires repel each other. Hence, we find that parallel conductors carryingcurrents in the same direction attract each other, whereas parallel conductors carry-ing currents in opposite directions repel each other.

The magnetic force between two parallel wires, each carrying a current, is usedto define the ampere: If two long, parallel wires 1 m apart carry the same currentand the force per unit length on each wire is 2 " 10#7 N/m, the current is definedto be 1 A. The numerical value of 2 " 10#7 N/m is obtained from Equation 22.27,with I1 ! I2 ! 1 A and a ! 1 m.

The SI unit of charge, the coulomb, can now be defined in terms of the ampere:If a conductor carries a steady current of 1 A, the quantity of charge that flowsthrough a cross-section of the conductor in 1 s is 1 C.

F!

!$0I1I2

2%a

F:

1

F:

2

":

! B:

2F:

1

F1

!!

$0I1I2

2%a

F1 ! I1!B2 ! I1! ! $0I2

2%a " !!$0I1I2

2%a

F:

1B:

2":

F:

1 ! I1":

! B:

2

B:

2

B:

2

22.8


y g p pp

2

1

B2

!

a

I1

I2

F1

a

Two parallel wires that each carry asteady current exert a force on eachother. The field due to the currentin wire 2 exerts a force of magnitude F1 ! I1!B2 on wire 1. The force isattractive if the currents are parallel(as shown) and repulsive if thecurrents are antiparallel.

Log into Physics-Now at www.pop4e.com and go toActive Figure 22.27. You can adjustthe currents in the wires and thedistance between them to see theeffect on the force.

B:

2

ACTIVE FIGURE 22.27

" Magnetic force per unit lengthbetween parallel current-carrying wires

A loose spiral spring is hung from the ceiling and a large current issent through it. Do the coils (a) move closer together, (b) move farther apart, or (c) notmove at all?

QUICK QUIZ 22.5

Figura 9.5 – Dois fios paralelos, cada um conduzindo uma correnteconstante, exercem forças entre si. A força é atrativa se as correntessão paralelas (como mostrado) e repulsiva se as correntes sãoantiparalelas (possuem direções opostas). ©Serway–Jewett 3ed.

A unidade SI de carga, o coulomb, pode agora serdefinida em termos do ampère: se um condutor conduz umacorrente constante de 1 A, a quantidade de carga que fluiatravés de uma seção transversal do condutor em 1 s é 1 C.

9.5 CAMPO MAGNÉTICO DE UM SOLENÓIDE

Um solenóide é um fio longo enrolado na forma de umahélice. Se as espiras estão muito próximas, essa configuraçãopode produzir um campo magnético razoavelmente uniformepor todo o volume contido pelo solenóide, exceto próximo àssuas extremidades. Cada uma das espiras pode ser modeladacomo uma espira circular e o campo magnético resultante éa soma vetorial dos campos devidos a todas as espiras.

Figura 9.6 – Um corte de um solenóide cujas espiras foramafastadas para efeito de ilustração. São vistas as linhas de campomagnético. ©Halliday 8ed.

A Figura 9.6 mostra, só para fins de ilustração, umsolenóide “expandido” visto em corte. Para pontos muitopróximos de uma das voltas do enrolamento, o observadornão percebe que o fio está encurvado. O fio se comportamagneticamente quase como se fosse retilíneo, e as linhas deB nesta região são quase círculos concêntricos.

Para um solenóide ideal, mostrado na Figura 9.7, pode-mos considerar o campo magnético externo nulo se o seucomprimento for muito maior que seu diâmetro. Vamosaplicar a lei de Ampère para calcular o campo magnético nointerior deste solenóide ideal

˛B · d s = µ0I,



45


Figura 9.7 – Um circuito de Ampère retangular definido pelos pon-tos abcd é usado para calcular o campo magnético deste solenóidelongo ideal. ©Halliday 8ed.

considerando o circuito retangular abcd mostrado na Fi-gura 9.7. A integral fechada

¸B · d s pode ser escrita como

a soma de quatro integrais, uma para cada segmento docircuito:

˛B · d s =

ˆ b

aB · d s +

*0ˆ c

bB · d s +

>

0ˆ d

cB · d s +

*0ˆ a

dB · d s

A primeira integral da direita é igual a Bh, onde B é o módulodo campo magnético e h é o comprimento arbitrário do seg-mento ab. A segunda e quarta integrais são nulas pois paracada elemento destes segmentos B e d s são perpendiculares.A terceira integral também é nula pois estamos supondo queo campo é igual a zero em todos os pontos externos aosolenóide ideal. Logo, para o circuito retangular total temos:

˛B · d s = Bh.

A corrente resultante I′ que passa através do circuitoretangular é diferente da corrente I que percorre o solenóide,pois o enrolamento faz com que os fios atravessem o circuitomais de uma vez. Supondo que existem n espiras por unidadede comprimento, a corrente total (que está saindo da página)dentro do circuito retangular na Figura 9.7 é:

I′ = Inh.

A lei de Ampère torna-se então

Bh = µ0Inh

ouB = µ0In.

Este é valor do campo magnético no interior de um solenóideideal que depende apenas da corrente I e do número deespiras por unidade de comprimento n. Para um solenóidereal (Figura 9.6), finito, o campo “escapa” pelos espaçosentre as espiras e, principalmente, pelas extremidades dosolenóide, mas o campo na região central ainda permanece,com boa aproximação, uniforme e dado pela expressãoacima; o campo fora é muito menos intenso do que dentro.

9.6 CAMPO MAGNÉTICO DE UM TORÓIDE

A Figura 9.8 mostra um toróide, que pode ser imaginadocomo um solenóide encurvado formando um círculo. Porsimetria, as linhas de campo magnético forma circunferên-cias concêntricas no interior do toróide. Vamos escolheruma espira amperiana circular com raio r, concêntrica com otoróide. De acordo com a lei de Ampère, temos:

(B)(2πr) = µ0IN,

onde I é a corrente nas espiras do toróide e N é o númerototal de espiras. Assim, temos:

B =µ0NI2πr.

Isso mostra que, ao contrário do que acontece no caso dosolenóide, B não é constante ao longo da seção reta dotoróide.

Figura 9.8 – (a) Um toróide percorrido por uma corrente I. (b)Seção reta horizontal do toróide. ©Halliday 8ed.



46

10 LEI DE FARADAY E INDUTÂNCIA

10.1 EXPERIMENTOS DE FARADAY

Michael Faraday (1791–1867), universalmente conside-rado como um dos maiores experimentadores de todos ostempos, era filho de um ferreiro, um de dez irmãos, e só teveinstrução primária. Trabalhou como entregador de jornais e,aos 12 anos, empregou-se como aprendiz de encadernador.Educou-se também lendo os livros que encadernava, emparticular a “Enciclopédia Britânica”.

As “Pesquisas Experimentais sobre Eletricidade”, queFaraday começou a publicar em 1832, contém inúmerasdescobertas fundamentais: eletroquímica, a constante dielé-trica, paramagnetismo e diamagnetismo, o “efeito Faraday”em magneto-ótica, e muitas outras. Foi ele quem crioua imagem das linhas de força, que usava constantemente,raciocinando de forma totalmente intuitiva, pois não tinhapreparo matemático.

Entre 1823 e 1826, outro grande experimentador, ofrancês François Arago (1786–1853) havia mostrado queuma barra de ferro não-imantada se imanta quando nela seenrola um solenóide percorrido por uma corrente elétrica.Ocorreu a mais de um cientista procurar um efeito inverso:usar um ímã permanente para produzir uma corrente numabobina.

Em agosto de 1831, Faraday conseguiu demonstrar talfato. Em uma experiência, Faraday enrolou 70 m de fiode cobre em torno de um bloco de madeira, inserindo umgalvanômetro1 no circuito. Enrolou outros 70 m, isoladosdo primeiro, e ligou-os a uma bateria. A princípio, ficoudesapontado: uma corrente estacionária no segundo circuitonão afetava o galvanômetro, ligado ao primeiro. Faradaynotou, porém, que aparecia uma deflexão no galvanômetroquando — e só quando — o outro circuito era ligado oudesligado. Ou seja: a corrente era induzida pela variação docampo magnético devido ao outro circuito. O resultado foicomunicado à Royal Society em 24 de novembro de 1831.O físico americano Joseph Henry publicou uma observaçãosemelhante em 1832.

1Instrumento utilizado para medir corrente elétrica.

Figura 10.1 – Experimento de Faraday. Quando a chave no circuitoprimário é fechada, o galvanômetro no circuito secundário se desviamomentaneamente. A corrente induzida no circuito secundárioé causada pela variação do campo magnético através da bobinasecundária. ©Serway–Jewett 3ed.

Figura 10.2 – (a) Quando um ímã é deslocado em direção a umaespira de fio conectada a um galvanômetro, este se desvia, comoé mostrado, indicando que uma corrente é induzida na espira. (b)Quando o ímã é mantido estacionário, nenhuma corrente é induzidana espira, mesmo quando o ímã está dentro da espira. (c) Quandoo ímã é afastado da espira, o galvanômetro desvia-se na direçãooposta, indicando que a corrente induzida é oposta àquela mostradana parte (a). ©Serway–Jewett 3ed.

Numa experiência posterior, Faraday aproximou um ímãpermanente, de formato cilíndrico, de um solenóide ligadoa um galvanômetro. Quando a barra era introduzida nosolenóide, o galvanômetro acusava a passagem de umacorrente. Quando era removida, produzia-se uma correnteem sentido oposto. Faraday percebeu logo que um efeitoanálogo se produzia quando o solenóide era aproximado ouafastado do ímã, ficando este em repouso: a indução decorrente dependia apenas do movimento relativo entre o ímãe a bobina, resultando numa variação do campo magnéticoque a atravessava.

Foi para encontrar a lei quantitativa da indução queFaraday introduziu o conceito de linhas de força, definindoo que hoje corresponde ao fluxo do campo magnético atravésde um circuito.

©Moyses Nussenzveig, Física Básica, Vol. 3



47

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 10: Lei de Faraday e indutância

10.2 FLUXO MAGNÉTICO

O fluxo associado com o campo magnético é definido demaneira similar ao fluxo elétrico e é proporcional ao númerode linhas do campo magnético que atravessam uma áreaqualquer. Definimos o fluxo magnético ΦB através de umasuperfície como

(10.1) ΦB =

ˆB · d A,

onde d A é um vetor perpendicular à superfície com móduloigual à área dA. A unidade SI do fluxo magnético é o weber:

1 Wb = 1 T · m2

10.3 LEI DE FARADAY DA INDUÇÃO

Faraday descobriu que uma força eletromotriz e umacorrente podem ser induzidas em uma espira fazendo variara quantidade de campo magnético que atravessa a espira.Percebeu ainda que a “quantidade de campo magnético”pode ser visualizada em termos das linhas de campo mag-nético que atravessam a espira. Usando a definição de fluxomagnético, podemos enunciar a lei de indução de Faraday daseguinte forma:

O módulo da força eletromotriz E induzida emuma espira condutora é igual à taxa de variaçãotemporal do fluxo magnético ΦB que atravessa aespira.

Como veremos na próxima seção, a força eletromotrizinduzida E se opõe à variação do fluxo, de modo que,matematicamente, a lei de Faraday pode ser escrita como

(10.2) E = −dΦB

dt,

onde E é a fem induzida e ΦB é o fluxo magnético através daespira condutora

Se o fluxo magnético através de uma bobina de N espirassofre uma variação, uma fem induzida aparecerá em cadaespira, e a fem induzida total no circuito será o somatóriodos valores individuais. Se a taxa de variação do fluxo fora mesma para cada uma das N espiras, a fem induzida serádada por

E = −NdΦB

dt.

Há três maneiras de variar o fluxo magnético que atra-vessa uma bobina e para induzir uma corrente elétrica:

1. Mudar o módulo de B.

2. Mudar a área total da bobina ou a parte da áreaatravessada pelo campo magnético.

3. Mudar o ângulo entre a orientação do campo magnéticoB e o plano da bobina (girando-a, por exemplo).

10.4 A LEI DE LENZ

O sinal negativo na Lei de Faraday está relacionado coma lei de Lenz, que nos permite determinar o sentido dacorrente induzida em uma espira:

A corrente induzida em uma espira tem um sen-tido tal que o campo magnético produzido pelacorrente se opõe ao campo magnético que induza corrente.

Esta lei vale apenas para correntes induzidas que aparecemem circuitos fechados. Se o circuito for aberto, podemosusualmente pensar em termos do que poderia acontecer seele fosse fechado e desta forma encontrar a polaridade dafem induzida.

A força eletromotriz induzida tem o mesmo sentido quea corrente induzida. Considere um ímã se aproximandode uma espira como mostrado na Figura 10.3. Se o ímãestiver inicialmente distante o fluxo magnético que atravessaa espira é zero. Quando o pólo norte do ímã se aproximada espira com o campo magnético B apontando para baixo ofluxo através da espira aumenta. Para se opor a esse aumentode fluxo a corrente induzida I deve criar um campo Bind

apontando para cima (Figura 10.3a). De acordo com a regrada mão direita, o sentido da corrente deve ser o sentido anti-horário.

Figura 10.3 – O sentido da corrente I induzida em uma espira étal que o campo magnético Bind produzido pela corrente se opõeà variação do campo magnético B que induziu a corrente. Ocampo Bind sempre tem o sentido oposto ao sentido de B se B estáaumentando (a e c), e o mesmo sentido que B se B está diminuindo(b e d). A regra da mão direita fornece o sentido da correnteinduzida a partir do sentido do campo induzido. ©Halliday 8ed.



48


Note que o fluxo de Bind sempre se opõe à variação dofluxo de B, mas isso não significa que B e Bind sempre têmsentidos opostos. Por exemplo, quando afastamos o ímã daespira o fluxo ΦB produzido pelo ímã tem o mesmo sentidoque antes (para baixo), mas agora está diminuindo. Nessecaso, como mostra a Figura 10.3b, o fluxo de Bind tambémdeve ser para baixo, de modo a se opor à diminuição do fluxoΦB. Portanto, B e Bind têm o mesmo sentido.

As Figuras 10.3c e 10.3d mostram as situações emque o pólo sul do ímã se aproxima e se afasta da espira,respectivamente.

10.5 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS

Considere uma partícula de carga q0 que se move aolongo de uma circunferência de raio r. O trabalho Wrealizado sobre a partícula pelo campo elétrico durante umarevolução completa é W = Eq0, onde E é a força eletromotriz(trabalho realizado por unidade de carga para fazer uma cargade prova descrever a trajetória). Entretanto, por definição, otrabalho também é dado por

W =ˆ

F · d s = (q0E)(2πr),

onde (q0E) é o módulo da força que age sobre a partículae 2πr é a distância ao longo do qual a força atua. Quandoigualamos as duas expressões para o trabalho, a carga q0 écancelada e obtemos a seguinte relação:

E = 2πrE.

Para uma partícula que se move em uma trajetória fe-chada, podemos escrever o trabalho da seguinte forma:

W =˛

F · d s = q0

˛E · d s,

onde os círculos nos sinais de integral indicam que a integraldeve ser calculada para uma curva fechada. Substituindo otrabalho W por Eq0, temos:

(10.3) E =˛

E · d s,

que nos dá uma relação geral entre a fem e o campo elétrico.

Agora consideremos a lei de Faraday, que diz que avariação do fluxo magnético produz uma fem induzida numcircuito. Esta fem induzida representa o trabalho por unidadede carga necessário para manter a corrente induzida ou otrabalho por unidade de carga executado sobre uma partículacarregada que descreve uma curva fechada em uma regiãoonde existe um fluxo magnético variável. Entretanto, aEq. 10.3 nos diz que pode existir uma fem induzida mesmoque não haja uma corrente ou uma partícula: a fem induzidaé a soma do produto escalar E · d s ao longo de uma curvafechada, onde E é o campo elétrico induzido pela variaçãodo fluxo magnético e d s é o elemento de comprimento.

Podemos obter uma forma mais geral para a lei de Fara-day combinando a Eq. 10.3 com a expressão E = −dΦB/dt:

˛E · d s = −dΦB

dt.

De acordo com esta equação, um campo magnético va-riável induz um campo elétrico. Escrita dessa forma, alei de Faraday pode ser aplicada a qualquer curva fechadaque possa ser traçada em uma região onde existe um campomagnético variável.

Os campos elétricos que são produzidos pelo processode indução não são associados a cargas, mas ao fluxo mag-nético variável. Embora ambos os tipos de campos elétricosexerçam forças sobre as cargas, há uma importante diferençaentre eles.

A diferença de potencial entre dois pontos A e B, é

VB − VA = −ˆ B

AE · d s.

Se quisermos que o conceito de potencial tenha alguma uti-lidade, esta integral precisa ter o mesmo valor para qualquercaminho que ligue os pontos A e B. De fato, verificamosque isto era verdadeiro para todos os casos discutidos noscapítulos anteriores.

Um caso especial interessante ocorre quando A e B sãoo mesmo ponto. O caminho que os liga é então uma curvafechada; como VA deve ser idêntico a VB, temos:

˛E · d s = 0.

Entretanto, quando um fluxo magnético variável está pre-sente,

¸E · d s não é zero, mas igual a −dΦB/dt, de acordo

com a lei de Faraday. Isto implica que campos elétricosassociados a cargas estacionárias são conservativos, mascampos elétricos associados a campos magnéticos variáveissão não-conservativos. Os campos elétricos produzidospor indução não podem ser expressos como gradientes deum potencial elétrico, e, portanto, o potencial elétrico temsignificado apenas para campos elétricos produzidos porcargas estáticas.

10.6 INDUTÂNCIA

Quando existe uma corrente em um circuito, ela produzum campo magnético que gera um fluxo magnético atravésdo próprio circuito; quando a corrente varia, esse fluxotambém varia. Portanto, qualquer circuito percorrido poruma corrente variável possui uma fem induzida nele mesmopela variação de seu próprio fluxo magnético. Tal femdenomina-se fem auto-induzida. De acordo com a lei deLenz, uma fem auto-induzida sempre se opõe à variaçãoda corrente que produz a fem e, portanto, tende a tornarmais difícil qualquer variação da corrente. Por esta razão,a fem auto-induzida é muito importante quando existe umacorrente variável.



49


RL CIRCUITSA circuit that contains a coil, such as a solenoid, has a self-inductance that preventsthe current from increasing or decreasing instantaneously. A circuit element whosemain purpose is to provide inductance in a circuit is called an inductor. The circuitsymbol for an inductor is . As a simplification model, we shall alwaysassume that the self-inductance of the remainder of the circuit is negligible com-pared with that of any inductors in the circuit. In addition, any resistance in the in-ductor is assumed to be combined with other resistance in the circuit, so we modelthe inductor as having zero resistance.

Consider the circuit shown in Active Figure 23.23, consisting of a resistor, an induc-tor, a switch, and a battery. The internal resistance of the battery will be ignored as afurther simplification model. Suppose the switch S is thrown closed at t ! 0. The cur-rent begins to increase, and, due to the increasing current, the inductor produces anemf that opposes the increasing current. The back emf produced by the inductor is

Because the current is increasing, dI/dt is positive; therefore L is negative, whichcorresponds to the potential drop occurring from a to b across the inductor. Forthis reason, point a is at a higher potential than point b as illustrated in ActiveFigure 23.23.

We can apply Kirchhoff’s loop rule to this circuit. If we begin at the battery andtravel clockwise, we have

[23.13]

where IR is the voltage across the resistor. The potential difference across the in-ductor is given a negative sign because its emf is in the opposite sense to that of thebattery. We must now look for a solution to this differential equation, which is amathematical representation of the behavior of the RL circuit. It is similar to Equa-tion 21.30 for the RC circuit.

To obtain a mathematical solution of Equation 23.13, it is convenient to changevariables by letting x ! ( /R) " I so that dx ! " dI. With these substitutions,Equation 23.13 can be written as

Integrating this last expression from an initial instant t ! 0 to some later time t gives

Taking the antilog of this result gives

The value of x at t ! 0 is expressed as xi ! /R because I ! 0 at t ! 0. Hence, thepreceding expression is equivalent to

I !#R

(1 " e "Rt/L)

#R

" I !#R

e"Rt/L

#x ! xie"Rt/L

!x

x i

dxx

! " RL

!t

0 dt : ln

xxi

! " RL

t

dxx

! " RL

dt

#R

" I "LR

dIdt

! x $LR

dxdt

! 0

#

# " IR " LdIdt

! 0

#

#L ! "LdIdt

23.6

782 ! CHAPTER 23 FARADAY’S LAW AND INDUCTANCE

y g p p pp

b

!

a

I

R

S

L+

"

+–

A series RL circuit. As the current increases toward its maximum value,an emf that opposes the increasingcurrent is induced in the inductor.

By logging intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgoing to Active Figure 23.23, you canadjust the values of R and L to seethe effect on the current. A graphi-cal display as in Active Figure 23.24is available.

ACTIVE FIGURE 23.23

t =

t

L

t

R!

R!

R0.632

I

Plot of current versus time for theRL circuit shown in Active Figure23.23. The switch is open for t % 0and then closed at t ! 0, and thecurrent increases toward its maxi-mum value #/R . The time constant& is the time interval required for Ito reach 63.2% of its maximum value.

By logging intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgoing to Active Figure 23.24, you canobserve the graph develop after theswitch in Active Figure 23.23 isclosed.

ACTIVE FIGURE 23.24

Figura 10.4 – A corrente do circuito produz um campo magnéticona bobina e, portanto, um fluxo magnético através da bobina.Quando a corrente do circuito varia, o fluxo também varia, produ-zindo uma fem auto-induzida no circuito. ©Serway–Jewett 3ed.

Uma fem auto-induzida pode ocorrer em qualquer cir-cuito, visto que sempre existirá algum fluxo magnéticoatravés de espiras fechadas em um circuito que conduz umacorrente. Porém, o efeito é bastante ampliado quando ocircuito contém uma bobina com N espiras, como em umsolenóide.

Em virtude da corrente I, existe um fluxo magnético mé-dio ΦB através de cada espira da bobina, que é proporcionalà corrente. Desta forma, podemos escrever

NΦB ∝ I.

Se ocorre a variação da corrente, uma variação do fluxomagnético também acontecerá, de forma que:

NdΦB

dt= L

dIdt,

onde introduzimos a constante de proporcionalidade L, cha-mada indutância do elemento de circuito. Integrando aequação acima obtemos a indutância em função do fluxomagnético e da corrente elétrica:

(10.4) L =NΦB

I.

Usando a equação para a lei de Faraday (10.2), e tomandoapenas o módulo das quantidade envolvidas, obtemos a feminduzida pela variação da corrente elétrica num circuito comindutância L:

EL = LdIdt.

Se EL é dada em volt e dI/dt em ampère/segundo, a unidadeSI para a indutância é o henry (H), definido por:

1 henry ≡ 1 volt · segundoampère

Para encontrar a relação entre o sinal EL e o dI/dt, usamosa lei de Lenz. Se a corrente I diminui, de acordo com alei de Lenz, a indutância deve se opor a esta diminuiçãogerando uma fem com sentido oposto àquele da variação. Poroutro lado, se a corrente I aumenta, o indutor se opõe a estavariação, gerando uma fem adicional também em sentidocontrário à variação da corrente. A Figura 10.5 dá um resumodas relações entre o sinal de dI/dt e o de EL. Uma outra

Figura 10.5 – (a) A corrente está diminuindo; a fem induzidano indutor se opõe à diminuição da corrente. (b) A corrente estáaumentando; a fem induzida no indutor se opõe ao aumento dacorrente. ©Halliday 8ed.

forma para escrever estas relações é através da diferença depotencial entre as duas extremidades do indutor

V2 − V1 = −LdIdt.

10.7 CÁLCULO DA INDUTÂNCIA

10.7.1 Indutância de um solenóide

Podemos utilizar a Eq. 10.4 para calcular a indutância Lpara uma seção de comprimento ℓ de um solenóide longocuja área da seção reta é A; vamos admitir que esta seçãoestá próxima do centro do solenóide de forma que podemosdesconsiderar os efeitos de borda. O campo magnético nointerior de um solenóide percorrido por uma corrente I é

B = µ0nI,

onde n é o número de espiras por unidade de comprimento,n = N/ℓ. O fluxo magnético no interior do solenóide, obtidoatravés da Eq. 10.1, é simplesmente ΦB = BA. Portanto, aindutância será dada por:

(10.5) L =NΦB

I=

(nℓ)µ0nIAI

= µ0n2ℓA.

Esta expressão envolve apenas fatores geométricos: a áreada seção reta, o comprimento do solenóide e o número deespiras por unidade de comprimento. Esta relação é válidaapenas para um solenóide de comprimento muito maior doque o seu raio.



50


10.7.2 Indutância de um toróide

Para um toróide de seção reta retangular mostrado naFigura 10.6, o campo magnético é dado por:

B =µ0IN2πr,

onde N é o número total de espiras do toróide. Note que ocampo magnético não é constante no interior do toróide, jáque depende do raio r.

Figura 10.6 – Esquema de um toróide com raio interno a e raioexterno b.

O fluxo ΦB através da seção reta do toróide é

ΦB =

ˆB · d A =

ˆ b

aB(hdr) =

ˆ b

a

µ0IN2πr

hdr

=µ0INh

2π

ˆ b

a

drr=µ0INh

2πln

ba,

onde h é a altura da seção reta do toróide.

Obtemos a indutância a partir da Eq. 10.4:

L =NΦB

I=µ0N2h

2πln

ba.

Notamos novamente que L depende apenas de fatores geo-métricos.

10.8 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPOMAGNÉTICO

Para transportar uma carga dq através de uma diferençade potencial V é preciso fornecer-lhe uma energia dqV .Logo, para manter uma corrente I = dq/dt durante um tempodt através de V , é preciso fornecer uma energia

dW = (Idt)V,

o que corresponde a uma potência (energia por unidade detempo)

dWdt≡ P = IV.

Num circuito, a força eletromotriz, E, induzida por umcampo magnético variável tende a se opor à variação do fluxo

E = −V = −dΦB

dt.

Logo, a potência necessária para se manter a corrente I podeser escrita como:

P = −EI =dΦB

dtI =

d(LI)dt

I = LIdIdt.

Ignorando perda de energia por efeito Joule (resistênciadesprezível) a energia total que precisa ser fornecida parafazer passar a corrente no circuito do valor I = 0, para t = 0,ao valor final I num tempo t, é

UB =

ˆ t

0Pdt =

ˆ t

0LI

dIdt

dt = Lˆ I

0IdI =

12

LI2,

neste caso, UB representa a energia armazenada no circuitode indutância L que é atravessado por uma corrente I.

10.8.1 Densidade de energia magnética

Para um solenóide muito longo de comprimento ℓ e áreade seção A com n espiras por unidade de comprimento, vimosque a indutância, dada pela Eq. 10.5, é

L = µ0n2ℓA,

de forma que, quando percorrido por uma corrente I, aenergia armazenada no solenóide é

UB =12

LI2 =12µ0(nI)2ℓA =

12µ0

(µ0nI)2ℓA.

Como o campo magnético induzido no solenóide é B = µ0nI,e o volume é dado porV = Aℓ, a energia UB pode ser escritacomo

UB =B2V2µ0.

Como o campo magnético está (com boa aproximação)confinado dentro do solenóide, podemos interpretar esteresultado dizendo que a energia está contida no campo mag-nético, com densidade de energia magnética, uB = UB/Vdada por

uB =1

2µ0B2.

10.9 CIRCUITOS RL

10.9.1 Indutor

Um indutor é um elemento de um circuito que armazenaenergia no campo magnético gerado pela corrente que per-corre seus fios, da mesma maneira que um capacitor arma-zena energia no campo elétrico entre suas placas carregadas.Geralmente um indutor é representado por um solenóide(símbolo QPPPPPPR).10.9.2 Análise de um circuito RL

Considere o circuito mostrado na Figura 10.7. Vamosaplicar a lei das malhas percorrendo o circuito em sentido



51


Figura 10.7 – Circuito RL.©Halliday 8ed.

horário a partir do ponto x. Entre x e y, a diferença depotencial é dada por:

Vy − Vx = −IR.

O potencial de x é mais alto que o de y. O ponto y estáa um potencial mais alto que o do ponto z, pois quando acorrente aumenta, a fem induzida se opõe a este aumentocom a polaridade mostrada na figura. Logo, se atravessarmoso indutor de y para z a diferença de potencial será:

Vz − Vy = −LdIdt.

Ao atravessarmos a bateria encontramos um aumento nopotencial dado por +E. A lei das malhas fornece então:

−IR − LdIdt+ E = 0

ou

(10.6) LdIdt+ IR = E.

A solução para esta equação diferencial é dada pela funçãoI(t):

(10.7) I(t) =ER

(1 − e−tR/L

).

Note que I(t) possui duas particularidades: I(0) = 0 (acorrente inicial é zero) e I → E/R quando t → ∞.

Podemos definir uma constante τL, tal que

τL =LR.

que é chamada constante de tempo indutiva. O valornumérico desta constante dá uma medida da rapidez com quea corrente em um circuito RL tende para o valor de equilíbrioE/R. Dá Eq. 10.7, fazendo t = τL, obtemos o significadofísico desta constante:

I =ER

(1 − e−1) = (1 − 0,37)ER= 0,63

ER.

Logo, a constante de tempo τL nos dá o instante em que acorrente no circuito é menor do que o seu valor final E/R porum fator 1/e (cerca de 37%).

Podemos então reescrever a equação de um circuito RL

comoI(t) =

ER

(1 − e−t/τL

).

Se removemos a bateria do circuito, fazendo E = 0,temos

LdIdt+ IR = 0

e a solução é dada por

I(t) = I0e−t/τL

onde I0 é o valor da corrente quando a bateria é removida(t = 0).



52

11 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA

O campo magnético produzido por uma corrente elétricaem uma espira nos dá uma dica de por que certos materiaisexibem fortes propriedades magnéticas. Tal como num ímã,também podemos associar pólos magnéticos para uma espirade corrente, como mostrado na Figura 11.1. Em geral,qualquer corrente num circuito fechado possui um campomagnético e, portanto, possui um momento de dipolo mag-nético, incluindo as correntes em circuitos no nível atômicodescrito em alguns modelos do átomo.

11.1 OS MOMENTOS MAGNÉTICOS DOS ÁTOMOS

Iniciamos nossa discussão com o modelo clássico doátomo no qual os elétrons movem-se em órbitas circulares emtorno de um núcleo muito mais massivo. Neste modelo, umelétron em órbita constitui uma pequena espira de corrente(devido à sua carga em movimento), e o momento de dipolomagnético do elétron está associado com seu movimentoorbital. Embora este modelo possua muitas deficiências, con-forme veremos ao final do curso, algumas de suas previsõesestão em bom acordo com a teoria correta, baseada na físicaquântica.

No nosso modelo clássico, assumimos que um elétronse move com velocidade constante v numa órbita circular deraio r em torno do núcleo, como mostrado na Figura 11.2.Como o elétron percorre uma distância de 2πr (a circunfe-rência do círculo) num intervalo de tempo T , sua velocidadeorbital é

v =2πrT.

A corrente I associada a este elétron em órbita é sua cargae dividida pelo tempo T . Usando a relação T = 2π/ω eω = v/r, onde ω é a velocidade angular, temos

I =eT=

eω2π=

ev2πr.

A magnitude do momento de dipolo magnético associadocom esta espira de corrente é µ = IA, onde A = πr2 é aárea coberta pela órbita. Portanto,

µ = IA =ev

2πrπr2 = 1

2 evr.

Como a magnitude do momento angular orbital do elétron éℓ = mevr, o momento magnético pode ser escrito como

µ =e

2meℓ.

Este resultado demonstra que o momento magnético doelétron é proporcional ao seu momento angular orbital.Considerando todos os elétrons num átomo, o momento dedipolo magnético total, µL, em termos vetoriais, é dado por

µL = −e

2meL,

nonzero magnetic field outside the solenoid. It is a weak field, with circular fieldlines, like those due to a line of current as in Figure 22.23. For an ideal solenoid, itis the only field external to the solenoid. We can eliminate this field in Figure 22.35by adding a second layer of turns of wire outside the first layer. If the first layer ofturns is wrapped so that the turns progress from the bottom of Figure 22.35 to thetop and the second layer has turns progressing from the top to the bottom, the netcurrent along the axis is zero.

We can use Ampère’s law to obtain an expression for the magnetic field insidean ideal solenoid. A longitudinal cross-section of part of our ideal solenoid(Fig. 22.35) carries current I. Here, inside the ideal solenoid is uniform and par-allel to the axis. Consider a rectangular path of length ! and width w as shown inFigure 22.35. We can apply Ampère’s law to this path by evaluating the integral of

over each of the four sides of the rectangle. The contribution along side 3 iszero because the magnetic field lines are perpendicular to the path in this region,which matches condition 3 in Section 22.9. The contributions from sides 2 and 4are both zero because is perpendicular to along these paths, both inside andoutside the solenoid. Side 1, whose length is !, gives a contribution to the integralbecause along this portion of the path is constant in magnitude and parallel to

, which matches conditions 1 and 2. The integral over the closed rectangularpath therefore has the value

The right side of Ampère’s law involves the total current that passes through thesurface bounded by the path of integration. In our case, the total current throughthe rectangular path equals the current through each turn of the solenoid multi-plied by the number of turns enclosed by the path of integration. If N is the num-ber of turns in the length !, the total current through the rectangle equals NI.Ampère’s law applied to this path therefore gives

[22.32]

where n ! N/! is the number of turns per unit length (not to be confused with N,the number of turns).

B ! "0 N!

I ! "0nI

! B:

! d s: ! B! ! "0NI

! B:

! d s: ! "side 1

B:

! d s: ! B "side 1

ds ! B!

d s:B:

d s:B:

B:

! d s:

B:

THE MAGNETIC FIELD OF A SOLENOID ! 751

y g p pp

(a)

S

N

(a) Magnetic fieldlines for a tightly wound solenoid offinite length carrying a steady current.The field in the space enclosed by thesolenoid is nearly uniform and strong.Note that the field lines resemblethose of a bar magnet and that thesolenoid effectively has north andsouth poles. (b) The magnetic fieldpattern of a bar magnet, displayedwith iron filings.

FIGURE 22.34

(Hen

ry Le

ap a

nd J

im Le

hman

)

(b)

B

!!!!!!!!

!

3

2

4

1 !

w

!!

Cross-sectionalview of an ideal solenoid, where theinterior magnetic field is uniform andthe exterior field is close to zero. Am-père’s law applied to the circular pathnear the bottom whose plane is per-pendicular to the page can be used toshow that there is a weak field outsidethe solenoid. Ampère’s law applied tothe rectangular dashed path in theplane of the page can be used tocalculate the magnitude of the inte-rior field.

FIGURE 22.35

" Magnetic field inside a longsolenoid

Figura 11.1 – (a) Linhas de campo magnético para um solenóideperfeitamente enrolado de comprimento finito, o qual é percorridopor uma corrente contínua. O campo no interior do solenóideé bastante intenso e praticamente uniforme. Note que as linhasde campo são similares às de uma barra magnética (ímã), o quesignifica que o solenóide também possui pólos norte e sul. (b)Padrão do campo magnético produzido por uma barra magnética,visualizado com a ajuda de pequenas limalhas de ferro sobre umafolha de papel. ©Serway–Jewett 3ed.

onde L é o momento angular orbital total do átomo (L = Σℓ).Como os elétrons possuem carga negativa, os vetores µ e Lapontam em direções contrárias, daí o sinal negativo nestaequação. Além disso, ambos vetores são perpendiculares aoplano da órbita, como indicado na Figura 11.2.

Como todas as substâncias contêm elétrons, podemosnos perguntar por que muitas delas não são magnéticas. Aprincipal razão é que na maioria das substâncias, o momentomagnético de um elétron em um átomo se cancela com omomento magnético de outro elétron orbitando na direçãooposta. O resultado líquido é que, para a maioria dosmateriais, o efeito magnético produzido pelo movimentoorbital dos elétrons é nulo ou insignificante.

Experiências realizadas na década de 1920, passando-sefeixes de átomos através de campos magnéticos, mostraramque o modelo acima da estrutura de dipolo magnético doátomo não era suficiente para explicar as propriedades obser-vadas. Foi necessário introduzir outra espécie de momentomagnético para o elétron, chamado de momento magnéticointrínseco ou de spin. Portanto, além do momento magnéticoorbital, um elétron (assim como os prótons, nêutrons eoutras partículas) possui uma propriedade intrínseca (comoa massa) chamada de spin que também contribui para seumomento magnético total. Classicamente, o elétron podeser imaginado como se girasse em torno de seu próprioeixo, como mostra a Figura 11.3, mas devemos tomar muitocuidado com esta interpretação, já que a noção de rotaçãopara uma partícula puntual como o elétron não faz sentidoalgum. A rotação aplica-se apenas a corpos rígidos, comuma extensão no espaço. O momento angular de spin é na



53

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 11: Propriedades magnéticas da matéria

We also could obtain this result in a simpler manner by reconsidering the mag-netic field of a toroidal coil (Example 22.8). If the radius r of the toroidal coilcontaining N turns is large compared with its cross-sectional radius a, a short sec-tion of the toroidal coil approximates a short section of a solenoid, with n ! N/2"r. In this limit, we see that Equation 22.31 derived for the toroidal coilagrees with Equation 22.32.

Equation 22.32 is valid only for points near the center of a very long solenoid. Asyou might expect, the field near each end is smaller than the value given by Equa-tion 22.32. At the very end of a long solenoid, the magnitude of the field is aboutone-half that of the field at the center (see Problem 22.46).


y g p pp

Consider a solenoid that is very long compared with the radius. Of thefollowing choices, the most effective way to increase the magnetic field in the interior ofthe solenoid is to (a) double its length, keeping the number of turns per unit length con-stant, (b) reduce its radius by half, keeping the number of turns per unit length constant,or (c) overwrap the entire solenoid with an additional layer of current-carrying wire.

QUICK QUIZ 22.7

r

µ

L

I

An electron mov-ing in a circular orbit of radius r hasan angular momentum in onedirection and a magnetic moment in the opposite direction. The motionof the electron in the direction of thegray arrow results in a current in thedirection shown.

!:L:

FIGURE 22.36

MAGNETISM IN MATTERThe magnetic field produced by a current in a coil of wire gives a hint about whatcauses certain materials to exhibit strong magnetic properties. To understand whysome materials are magnetic, it is instructive to begin this discussion with the Bohrstructural model of the atom, in which electrons are assumed to move in circularorbits about the much more massive nucleus. Figure 22.36 shows the angularmomentum associated with the electron. In the Bohr model, each electron, with itscharge of magnitude 1.6 # 10$19 C, circles the atom once in about 10$16 s. If wedivide the electronic charge by this time interval, we find that the orbiting electronis equivalent to a current of 1.6 # 10$3 A. Each orbiting electron is thereforeviewed as a tiny current loop with a corresponding magnetic moment. Because thecharge of the electron is negative, the magnetic moment is directed opposite to theangular momentum as shown in Figure 22.36.

In most substances, the magnetic moment of one electron in an atom is can-celed by that of another electron in the atom, orbiting in the opposite direction.The net result is that the magnetic effect produced by the orbital motion of theelectrons is either zero or very small for most materials.

In addition to its orbital angular momentum, an electron has an intrinsic angu-lar momentum, called spin, which also contributes to its magnetic moment. Thespin of an electron is an angular momentum separate from its orbital angular mo-mentum, just as the spin of the Earth is separate from its orbital motion about theSun. Even if the electron is at rest, it still has an angular momentum associated withspin. We shall investigate spin more deeply in Chapter 29.

In atoms or ions containing multiple electrons, many electrons are paired upwith their spins in opposite directions, an arrangement that results in a cancellationof the spin magnetic moments. An atom with an odd number of electrons, however,must have at least one “unpaired” electron and a corresponding spin magneticmoment. The net magnetic moment of the atom leads to various types of magneticbehavior. The magnetic moments of several atoms and ions are listed in Table 22.1.

Ferromagnetic MaterialsIron, cobalt, nickel, gadolinium, and dysprosium are strongly magnetic materialsand are said to be ferromagnetic. Ferromagnetic substances, used to fabricate per-manent magnets, contain atoms with spin magnetic moments that tend to alignparallel to each other even in a weak external magnetic field. Once the momentsare aligned, the substance remains magnetized after the external field is removed.

22.11

THE ELECTRON DOES NOT SPIN Donot be misled by the word spin intobelieving that the electron is physi-cally spinning. The electron has anintrinsic angular momentum as if itwere spinning, but the notion of rota-tion for a point particle is meaning-less; remember that we describedrotation of a rigid object, with anextent in space, in Chapter 10. Spinangular momentum is actually arelativistic effect.


Magnetic Moments of SomeAtoms and Ions

TABLE 22.1

Magnet MomentAtom per Atomor Ion or Ion (10$24 J/T)

H 9.27He 0Ne 0Fe 2.06Co 16.0Ni 5.62Gd 65.8Dy 92.7Co2% 44.5Ni2% 29.7Fe2% 50.1Ce3% 19.8Yb3% 37.1

Figura 11.2 – Um elétron movendo-se na direção indicada pelaseta numa órbita circular de raio r possui um momento angular Lem uma direção (para cima) e um momento magnético µ na direçãooposta (para baixo). Como o elétron possui carga negativa, a direçãoda corrente devido ao seu movimento em torno do núcleo é opostaà direção de tal movimento. ©Serway–Jewett 3ed.

verdade um efeito relativístico, e a interpretação rotacional éapenas utilizada para facilitar a visualização deste efeito.

O momento de dipolo magnético intrínseco total, µS , deum átomo é definido por

µS = −e

meS,

onde S é o spin total dos elétrons no átomo.

As propriedades magnéticas de um material são deter-minadas pelo momento de dipolo magnético total de seusátomos, obtido pela soma vetorial da parte orbital, µL, coma parte do spin, µS . Num átomo complexo contendo muitoselétrons, as somas necessárias para determinar L e S podemser muito complicadas. Entretanto, em muitos casos, oselétrons se acoplam aos pares, de tal modo que L e S se anu-lam. Materiais compostos desses átomos são virtualmentenão-magnéticos, exceto por um efeito induzido, muito fraco,chamado de diamagnetismo. Em outros átomos, L ou S (ouambos) podem ser não-nulos; esses átomos são responsáveispelo campo magnético induzido em certos materiais, que éanálogo ao campo elétrico induzido num material dielétrico.Tais materiais são chamados paramagnéticos. O tipo maisfamiliar de magnetismo é o ferromagnetismo, em que, devidoàs interações entre os átomos, os efeitos magnéticos persis-tem no material mesmo quando o campo magnético externoé removido.

11.2 MAGNETIZAÇÃO E INTENSIDADE DO CAMPOMAGNÉTICO

O estado magnético de uma substância é descrito poruma quantidade chamada vetor de magnetização M. Amagnitude deste vetor é definida como o momento magnéticopor unidade de volume da substância. Como esperado, ocampo magnético total B num ponto no interior da substânciadepende tanto da campo aplicado sobre ela, B0, como damagnetização da substância.

spinning about its axis as shown in Figure 30.28, but you should be very careful withthe classical interpretation. The magnitude of the angular momentum S associatedwith spin is on the same order of magnitude as the magnitude of the angular momen-tum L due to the orbital motion. The magnitude of the spin angular momentum of anelectron predicted by quantum theory is

The magnetic moment characteristically associated with the spin of an electron has thevalue

(30.27)

This combination of constants is called the Bohr magneton !B:

(30.28)

Thus, atomic magnetic moments can be expressed as multiples of the Bohr magneton.(Note that 1 J/T ! 1 A " m2.)

In atoms containing many electrons, the electrons usually pair up with theirspins opposite each other; thus, the spin magnetic moments cancel. However, atomscontaining an odd number of electrons must have at least one unpaired electron andtherefore some spin magnetic moment. The total magnetic moment of an atom is thevector sum of the orbital and spin magnetic moments, and a few examples are given inTable 30.1. Note that helium and neon have zero moments because their individualspin and orbital moments cancel.

The nucleus of an atom also has a magnetic moment associated with its constituentprotons and neutrons. However, the magnetic moment of a proton or neutron is muchsmaller than that of an electron and can usually be neglected. We can understand thisby inspecting Equation 30.28 and replacing the mass of the electron with the mass of aproton or a neutron. Because the masses of the proton and neutron are much greaterthan that of the electron, their magnetic moments are on the order of 103 timessmaller than that of the electron.

Magnetization Vector and Magnetic Field Strength

The magnetic state of a substance is described by a quantity called the magnetizationvector M. The magnitude of this vector is defined as the magnetic moment perunit volume of the substance. As you might expect, the total magnetic field B at apoint within a substance depends on both the applied (external) field B0 and themagnetization of the substance.

Consider a region in which a magnetic field B0 is produced by a current-carryingconductor. If we now fill that region with a magnetic substance, the total magnetic fieldB in the region is B ! B0 # Bm, where Bm is the field produced by the magneticsubstance.

Let us determine the relationship between Bm and M. Imagine that the field Bm iscreated by a solenoid rather than by the magnetic material. Then, Bm ! $0nI, where Iis the current in the imaginary solenoid and n is the number of turns per unit length.Let us manipulate this expression as follows:

where N is the number of turns in length !, and we have multiplied the numeratorand denominator by A, the cross sectional area of the solenoid in the last step. Werecognize the numerator NIA as the total magnetic moment of all the loops in

Bm ! $0nI ! $0 N!

I ! $0 NIA!A

$B !e %

2me! 9.27 & 10'24 J/T

$ spin !e %

2me

S !!32

%

946 CHAPTE R 3 0 • Sources of the Magnetic Field

Magnetization vector M

spinµ

Figure 30.28 Classical model of aspinning electron. We can adoptthis model to remind ourselves thatelectrons have an intrinsic angularmomentum. The model should notbe pushed too far, however—itgives an incorrect magnitude forthe magnetic moment, incorrectquantum numbers, and too manydegrees of freedom.

MagneticMoment

Atom or Ion (10!24 J/T)

H 9.27He 0Ne 0Ce3# 19.8Yb3# 37.1

Magnetic Moments of SomeAtoms and Ions

Table 30.1

Figura 11.3 – Modelo clássico de um elétron girando (spin).Podemos adotar este modelo apenas para recordar que os elétronspossuem um momento angular intrínseco. ©Serway–Jewett 3ed.

Considere uma região na qual o campo magnético B0 éproduzido por um condutor com corrente. Se preenchermosesta região com uma substância magnética, o campo magné-tico total na região será B = B0 + BM , onde BM é o campomagnético produzido pela substância magnética.

Vamos agora determinar a relação entre BM e M. Ima-gine que o campo BM é criado por um solenóide ao invésde um material magnético. Então, BM = µ0nI, onde I é acorrente neste solenóide imaginário e n é o número de espiraspor unidade de comprimento. Manipulando esta expressão,obtemos

BM = µ0nI = µ0Nℓ

I = µ0NIAℓA,

onde N é o número de espiras no comprimento ℓ, e multipli-camos numerador e denominador por A, a seção de área dosolenóide. A quantidade no numerador, NIA, é facilmentereconhecida como o momento de dipolo magnético totalde todas as espiras no solenóide de comprimento ℓ e odenominador ℓA é o volume do solenóide, ou seja:

BM = µ0µ

V.

A razão entre o momento de dipolo magnético total e ovolume é justamente o que definimos como magnetizaçãono caso quando o campo é devido a um material magnéticoem vez de um solenóide. Assim, podemos expressar acontribuição BM para o campo magnético total em termosdo vetor magnetização da substância como

BM = µ0 M.

Quando uma substância é colocada num campo magnético, ocampo total na região será expresso como:

(11.1) B = B0 + µ0 M.

Quando analisamos campos magnéticos originados pelamagnetização, é conveniente introduzir uma quantidade cha-mada de intensidade do campo magnético, H, dentro dasubstância. A intensidade do campo magnético está relaci-onada com o campo magnético produzido pela condução decorrente elétrica em um fio. Para enfatizar a diferença entre aintensidade de campo H e o campo B, este último é chamado



54


de densidade de fluxo magnético ou indução magnética.O vetor intensidade do campo magnético é o momentomagnético por unidade de volume devido a correntes; assim,ele é similar ao vetor M e possui as mesmas unidades.

Reconhecendo a similaridade entre M e H, podemosdefinir H como

H ≡ B0

µ0.

Assim, a Eq. 11.1 pode ser escrita como

(11.2) B = µ0(H + M).

As unidades SI de H e M são o ampère por metro (A/m).

Para entender melhor estas expressões, considere a regiãointerna de um solenóide que conduz uma corrente I. Seesta região está no vácuo, M = 0 (pois nenhum materialmagnético está presente), o campo magnético total é aqueleproduzido pela corrente e B = B0 = µ0H. Como B0 = µ0nIna região do solenóide, onde n é o número de espiras porunidade de comprimento, temos

H = B0/µ0 = µ0nI/µ0 = nI.

Neste caso, o campo magnético na região interna do sole-nóide é devido apenas à corrente no fio que a circunda.

Se agora o enrolamento do solenóide é feito sobre algummaterial e a corrente I é mantida constante, H na regiãointerna do solenóide permanece o mesmo (pois ele dependeapenas da corrente) e possui o valor nI. O campo magné-tico total B, entretanto, é diferente daquele obtido para osolenóide no vácuo. Parte de B é devido ao termo µ0H,associado com a corrente, e parte surge do termo µ0 M devidoà magnetização da substância da qual a base do solenóide éfeita.

11.3 CLASSIFICAÇÃO DAS SUBSTÂNCIASMAGNÉTICAS

As substâncias podem ser classificadas em três catego-rias, dependendo de suas propriedades magnéticas. Materiaisparamagnéticos e ferromagnéticos são aqueles compostosde átomos que possuem momentos magnéticos permanentes.Materiais diamagnéticos são aqueles feitos de átomos quenão possuem momentos magnéticos permanentes.

Para substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, o vetormagnetização M é proporcional à intensidade do campomagnético H. Quando colocamos estas substâncias em umcampo magnético externo, podemos escrever

(11.3) M = χmH

onde χm é um fator adimensional chamado de susceptibi-lidade magnética. Podemos considerar este fator comosendo uma medida de quão fácil um material é magnetizado.Para substâncias paramagnéticas, χm é positivo e M possui amesma direção de H. Para substâncias diamagnéticas, χm é

negativo e M e H são opostos.

Substituindo a Eq. 11.3 para M na Eq. 11.2, obtemos

B = µ0(H + M) = µ0(H + χmH) = µ0(1 + χm)H

(11.4) B = µmH

onde a constante µm é chamada de permeabilidade magné-tica da substância e é relacionada com a susceptibilidade por

µm = µ0(1 + χm).

As substâncias podem ser classificadas em termos decomo sua permeabilidade magnética µm se compara com µ0,a permeabilidade magnética do vácuo, como segue:

Paramagnéticas: µm > µ0Diamagnéticas: µm < µ0

Como χm é muito pequena para substâncias paramag-néticas e diamagnéticas, µm é aproximadamente igual a µ0para tais substâncias. Para substâncias ferromagnéticas,no entanto, µm é tipicamente milhares de vezes maior queµ0 (significando que χm é muito grande para substânciasferromagnéticas.

Apesar da Eq. 11.4 nos dar uma relação simples entreB e H, devemos interpretá-la com cuidado quando tratamosde substâncias ferromagnéticas. Para materiais ferromagnéti-cos, M não é uma função linear de H (a Eq. 11.3 não é válidapara estas substâncias), já que µm não é mais uma constante.

Diamagnetismo

O diamagnetismo está associado aos momentos mag-néticos orbitais dos elétrons nos átomos ou moléculas queconstituem a substância em questão. Por isso, está presenteem todas as substâncias embora, na maioria, com umaintensidade tão pequena que sua presença é mascarada poroutros comportamentos. Nos supercondutores, parece queo diamagnetismo é forte o suficiente para que o campomagnético resultante no interior da amostra seja nulo. Aoaplicar um campo magnético a uma substância qualquer,cada elétron que se move nos átomos ou moléculas ficasujeito a uma força adicional que provoca uma perturbaçãono seu movimento, equivalente a uma velocidade adicional e,portanto, uma mudança no seu momento magnético orbital.

Paramagnetismo

Átomos ou moléculas com camadas atômicas incomple-tas, como no caso dos elementos de transição, das terras rarase dos actinídeos, têm momentos magnéticos permanentesdevido aos momentos magnéticos intrínsecos (associados aosspins) dos elétrons dessas camadas. As substâncias com-postas de tais átomos ou moléculas são paramagnéticas. Apresença de um campo magnético externo produz um torqueque tende a alinhar os momentos magnéticos na mesma



55


CONTEXT connection

This permanent alignment is due to strong coupling between neighboring atoms,which can only be understood using quantum physics.

All ferromagnetic materials contain microscopic regions called domains, withinwhich all magnetic moments are aligned. The domains range from about 10!12 to10!8 m3 in volume and contain 1017 to 1021 atoms. The boundaries between do-mains having different orientations are called domain walls. In an unmagnetizedsample, the domains are randomly oriented so that the net magnetic moment iszero as in Figure 22.37a. When the sample is placed in an external magnetic field,domains with magnetic moment vectors initially oriented along the external fieldgrow in size at the expense of other domains, which results in a magnetized sample,as in Figures 22.37b and 22.37c. When the external field is removed, the samplemay retain most of its magnetism.

The extent to which a ferromagnetic substance retains its magnetism is de-scribed by its classification as being magnetically hard or soft. Soft magnetic materi-als, such as iron, are easily magnetized but also tend to lose their magnetism easily.When a soft magnetic material is magnetized and the external magnetic field is re-moved, thermal agitation produces domain motion and the material quickly re-turns to an unmagnetized state. In contrast, hard magnetic materials, such as cobaltand nickel, are difficult to magnetize but tend to retain their magnetism, and do-main alignment persists in them after the external magnetic field is removed. Suchhard magnetic materials are referred to as permanent magnets. Rare-earth perma-nent magnets, such as samarium–cobalt, are now regularly used in industry.

THE ATTRACTIVE MODEL FOR MAGNETICLEVITATION

A number of designs have been developed for magnetic levitation. In this section,we shall describe one design model called the electromagnetic system (EMS). Thismodel is conceptually simple because it depends only on the attractive force be-tween magnets and ferromagnetic materials. It has some technological complica-tions, however. The EMS system is used in the German Transrapid design.

In an EMS system, the magnets supporting the vehicle are located below thetrack because the attractive force between these magnets and those in the trackmust lift the vehicle upward. A diagram of the German Transrapid system is shownin Figure 22.38.

The electromagnets attached to the vehicle are attracted to the steel rail, liftingthe car. One disadvantage of this system is the instability of the vehicle caused by thevariation of the magnetic force with distance. If the vehicle rises slightly, the magnetmoves closer to the rail and the strength of the attractive force increases. As a re-sult, the vehicle continues to move upward until the magnet makes contact with therail. Conversely, if the vehicle drops slightly, the force decreases and the vehiclecontinues to drop. For these reasons, this system requires a proximity detector andelectronic controls that adjust the magnetizing current to keep the vehicle at a con-stant position relative to the rail.

Figure 22.39 shows a typical method for controlling the separation between themagnets and the rails. The proximity detector is a device that uses magnetic induc-tion (which we shall study in Chapter 23) to measure the magnet–rail separation. Ifthe vehicle drops so that the levitation magnet moves farther from the rail, the detec-tor causes the power supply to send more current to the magnet, pulling the vehicleback up. If the magnet rises, the decreased separation distance is detected and thepower supply sends less current to the magnet so that the vehicle drops downward.

Another disadvantage of the EMS system is the relatively small separation be-tween the levitating magnets and the track, about 10 mm. This small separation re-quires careful tolerance in track layout and curvature and steadfast maintenance ofthe track against problems with snow, ice, and temperature changes.

22.12

THE ATTRACTIVE MODEL FOR MAGNETIC LEVITATION ! 753

y g p pp

(c)

(b)

(a)

B

B

(a) Random orien-tation of atomic magnetic dipoles inthe domains of an unmagnetizedsubstance. (b) When an external field

is applied, the domains withcomponents of magnetic moment inthe same direction as grow larger.(c) As the field is made even stronger,the domains with magnetic momentvectors not aligned with the externalfield become very small.

B:

B:

FIGURE 22.37Figura 11.4 – (a) Orientações aleatórias do dipolos magnéticosatômicos nos domínios de uma substância não-magnetizada. (b)Quando um campo externo B0 é aplicado, os domínios com com-ponentes do momento magnético na mesma direção de B0 ficammaiores, dando à amostra uma magnetização líquida. (c) Quandoo campo externo é ainda mais intenso, os domínios com vetores domomento magnético que não estão alinhados com o campo externoficam muito menores. ©Serway–Jewett 3ed.

direção do campo, causando o aparecimento de uma certamagnetização. Nos metais, o paramagnetismo é também de-vido a um alinhamento dos momentos magnéticos associadoaos spins dos elétrons de condução. O alinhamento não éperfeito devido às colisões entre os átomos ou moléculas,se a substância está na fase gasosa, ou devido às vibraçõesmicroscópicas associadas à energia interna, se está na fasesólida. A substância adquire, então, uma magnetização,quando colocada num campo magnético externo, muitomenor do que a máxima possível. Portanto, a substância éatraída pelo imã que cria o campo com uma pequena força.

Ferromagnetismo

As substâncias ferromagnéticas têm uma magnetizaçãopermanente que surge da tendência natural de alinhamentodos momentos magnéticos permanentes de seus átomos ou

moléculas, tendência essa fruto de suas interações mútuas.O resultado dessas interações é um alinhamento perfeito dosmomentos magnéticos em regiões chamadas domínios, cujasdimensões vão de 10 a 0,001 milímetros cúbicos. Como adireção de alinhamento é diferente de um domínio para outro(Figura 11.4), a magnetização da substância pode ser nula oumuito pequena. Isso acontece, por exemplo, com um pedaçode ferro não magnetizado. Num campo magnético externoocorre o aumento de tamanho dos domínios favoravelmenteorientados às custas dos demais e o desvio angular dosmomentos magnéticos de cada domínio, tendendo a ummelhor alinhamento com o campo externo. O resultadofinal é uma grande magnetização e a substância transforma-se num imã. Por outro lado, devido ao efeito desalinhadordas vibrações microscópicas associadas à energia interna,para cada substância ferromagnética existe uma temperatura,chamada temperatura de Curie, acima da qual a substânciase torna paramagnética. À temperatura ambiente são ferro-magnéticos o ferro, o níquel, o cobalto e o gadolínio, comtemperaturas de Curie de 770 °C, 365 °C, 1075 °C e 15 °C,respectivamente.



56

12 EQUAÇÕES DE MAXWELL

Neste capítulo apresentamos as quatro equações que sãoconsideradas como a base de todos os fenômenos elétricose magnéticos. Estas equações, desenvolvidas por JamesClerk Maxwell (1831–1879), são tão fundamentais parao Eletromagnetismo como as leis de Newton são para aMecânica.

As equações de Maxwell representam as leis que regem aeletricidade e o magnetismo, mas elas também possuem umaimportante consequência: a previsão da existência das ondaseletromagnéticas.

Até agora no curso apresentamos as duas equações deMaxwell para o campo elétrico. Neste capítulo completare-mos o conjunto de equações básicas do eletromagnetismo,introduzindo a lei de Gauss para o campo magnético e umageneralização da lei de Ampère, que completam as quatroequações de Maxwell para o eletromagnetismo.

12.1 LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO

Conforme vimos no capítulo anterior, dado um campomagnético B o fluxo magnéticoΦB através de uma superfíciequalquer é definido como

ΦB =

ˆB · d A,

onde a integral é sobre a área de uma superfície abertaou fechada. O fluxo magnético através de uma superfíciegaussiana fechada é escrito como

ΦB =

˛B · d A.

No caso do campo elétrico, vimos que o fluxo elétrico atravésde uma superfície fechada é igual à carga líquida total q nointerior da superfície, dividida por ϵ0:

˛E · d A =

qϵ0.

Esta é a chamada lei de Gauss para a eletricidade.

De forma similar, podemos escrever uma relação parao fluxo magnético. Porém, conforme vimos no Capítulo8, nunca foram observados pólos magnéticos isolados (mo-nopolos magnéticos), que seriam o equivalente magnéticoda carga elétrica. Desse modo, a lei de Gauss para omagnetismo é

(12.1)˛

B · d A = 0.

Em termos das linhas do campo magnético, esta relação nosdiz que o número de linhas que saem do volume limitado pelasuperfície fechada é igual ao número de linhas que entram novolume (veja a Figura 12.1).

Figura 12.1 – Representação das linhas de campo do campomagnético B de um imã em forma de barra. As curvas vermelhasrepresentam seções retas de superfícies gaussianas tridimensionais.Em todos os casos

¸B · d A = 0. ©Halliday 8ed.

A lei de Gauss para o campo magnético é um modoformal de afirmar que os monopolos magnéticos não existem(até onde sabemos). Assim, a estrutura magnética maissimples que pode existir é o dipolo magnético.

Monopolos magnéticos

Mostramos no Capítulo 3 que a lei de Gauss para camposelétricos é equivalente à lei de Coulomb, que é baseada naobservação experimental da força entre as cargas puntifor-mes. A lei de Gauss para o magnetismo também se baseianuma observação experimental, o fracasso das tentativas deobservar pólos magnéticos isolados, tais como um único pólonorte ou sul.

A existência de cargas magnéticas isoladas foi propostaem 1931 pelo físico teórico Paul Dirac, com base em ar-gumentos da mecânica quântica e de simetria. Foi Diracquem denominou essas cargas de monopolos magnéticos ededuziu algumas das propriedades básicas esperadas paraelas, incluindo o módulo da “carga magnética” (análoga àcarga eletrônica e). Após a teoria de Dirac foram realiza-das experiências tentando isolar os monopolos magnéticosusando grandes aceleradores de partículas e examinandomatéria terrestre e extraterrestre. Nenhuma dessas pesquisasiniciais revelou qualquer evidência a favor da existência demonopolos magnéticos.

A procura do monopolo magnético continua a ser feita,mas uma evidência convincente de sua existência ainda nãofoi obtida. Por enquanto, vamos supor que ou os monopolosmagnéticos não existem e assim a equação Eq. 12.1 éexata e universalmente válida, ou, no caso deles existirem,a Eq. 12.1 é uma aproximação bastante precisa dada à



57

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 12: Equações de Maxwell

raridade de encontrá-los na natureza. A lei de Gauss para omagnetismo possui então um papel fundamental na descriçãodo comportamento dos campos magnéticos na natureza eé incluída como uma das quatro equações de Maxwell doeletromagnetismo.

12.2 CORRENTE DE DESLOCAMENTO E A LEI DEAMPÈRE GENERALIZADA

Cargas em movimento, ou correntes, produzem camposmagnéticos. Quando um condutor transportando correntetem uma certa simetria, podemos calcular o campo magné-tico usando a lei de Ampère:

˛B · d s = µ0I,

onde a integral de linha é calculada sobre qualquer trajetóriafechada através da qual passa a corrente de condução definidapor I = dq/dt. A lei de Ampère nesta forma é válida somentese a corrente de condução for contínua no espaço. Maxwellreconheceu esta limitação e modificou a lei de Ampère paraincluir todas as situações possíveis.

Por exemplo, considere um capacitor que está sendocarregado como na Figura 12.2. Quando existe corrente decondução nos fios, a carga nas placas varia com o tempo, masnão existe nenhuma corrente de condução entre as placas.Considere as duas superfícies S 1 (um círculo) e S 2 (umparabolóide passando entre as placas) limitadas pela mesmatrajetória P na Figura 12.2. Pela lei de Ampère, a integral deB · d s ao longo dessa trajetória deve ser igual a µ0I, onde Ié a corrente total através de qualquer superfície limitada pelatrajetória P. Portanto, para a superfície S 1, a integral é iguala µ0I pois a corrente I atravessa S 1.

Para a superfície S 2, porém, o resultado será nulo poisnão há corrente atravessando a superfície. Assim, a lei deAmpère não pode ser aplicada quando a corrente possuiuma descontinuidade. Maxwell resolveu este problemaadicionando um termo correspondente a uma corrente dedeslocamento, Id na lei de Ampère, definida como

Id ≡ ϵ0dΦE

dt,

onde ΦE =´

E · d A é o fluxo do campo elétrico.

Dessa maneira, quando um capacitor está sendo carre-gado, a variação do campo elétrico entre as placas podeser considerado como equivalente a uma corrente que atuacomo uma continuação da corrente de condução no fio. Comesse novo conceito de corrente de deslocamento podemosescrever a forma generalizada da lei de Ampère (ou lei deAmpère-Maxwell)

˛B · d s = µ0(I + Id) = µ0I + µ0ϵ0

dΦE

dt.

Podemos entender melhor a corrente de deslocamento atra-vés da Figura 12.3. O fluxo elétrico através de S 2 é ΦE =

electromagnetic phenomena. One of these equations predicts that a time-varyingelectric field produces a magnetic field just as a time-varying magnetic field pro-duces an electric field. From this generalization, Maxwell provided the final impor-tant link between electric and magnetic fields. The most dramatic prediction of hisequations is the existence of electromagnetic waves that propagate through emptyspace with the speed of light. This discovery led to many practical applications,such as radio and television, and to the realization that light is one form of electro-magnetic radiation.

DISPLACEMENT CURRENT AND THE GENERALIZEDAMPÈRE’S LAW

We have seen that charges in motion, or currents, produce magnetic fields. When acurrent-carrying conductor has high symmetry, we can calculate the magnetic fieldusing Ampère’s law, given by Equation 22.29:

where the line integral is over any closed path through which the conduction cur-rent passes and the conduction current is defined by I ! dq/dt.

In this section, we shall use the term conduction current to refer to the type of cur-rent that we have already discussed, that is, current carried by charged particles in awire. We use this term to differentiate this current from a different type of currentwe will introduce shortly. Ampère’s law in this form is valid only if the conductioncurrent is continuous in space. Maxwell recognized this limitation and modifiedAmpère’s law to include all possible situations.

This limitation can be understood by considering a capacitor being charged asin Figure 24.1. When conduction current exists in the wires, the charge on theplates changes, but no conduction current exists between the plates. Consider thetwo surfaces S1 (a circle, shown in blue) and S2 (a paraboloid, in orange, passingbetween the plates) in Figure 24.1 bounded by the same path P. Ampère’s law saysthat the line integral of around this path must equal "0I, where I is the con-duction current through any surface bounded by the path P.

When the path P is considered as bounding S1, the right-hand side of Equation22.29 is "0I because the conduction current passes through S1 while the capacitoris charging. When the path bounds S2, however, the right-hand side of Equation22.29 is zero because no conduction current passes through S2. Therefore, a con-tradictory situation arises because of the discontinuity of the current! Maxwellsolved this problem by postulating an additional term on the right side of Equation22.29, called the displacement current Id , defined as

[24.1]

Recall that #E is the flux of the electric field, defined as (Eq. 19.20).(The word displacement here does not have the same meaning as in Chapter 2; itis historically entrenched in the language of physics, however, so we continue touse it.)

Equation 24.1 is interpreted as follows. As the capacitor is being charged (or dis-charged), the changing electric field between the plates may be considered asequivalent to a current between the plates that acts as a continuation of the conduc-tion current in the wire. When the expression for the displacement current givenby Equation 24.1 is added to the conduction current on the right side of Ampère’slaw, the difficulty represented in Figure 24.1 is resolved. No matter what surface

#E ! " E:

! dA:

Id ! $0 d#E

dt

B:

! d s:

# B:

! d s: ! "0I

24.1

DISPLACEMENT CURRENT AND THE GENERALIZED AMPERE’S LAW ! 807

y g p pp

Path P –q

S1

S2

q

I

I

Two surfaces S1

and S2 near the plate of a capacitorare bounded by the same path P. Theconduction current in the wire passesonly through S1, which leads to a con-tradiction in Ampère’s law that is re-solved only if one postulates a dis-placement current through S2.

FIGURE 24.1

" Displacement current

Figura 12.2 – As superfícies S 1 e S 2 são limitadas pela mesmatrajetória P. A corrente de condução no fio passa apenas atravésda superfície plana S 1. Isso leva a uma contradição na lei deAmpère que é resolvida apenas caso se postule uma corrente dedeslocamento através de S 2. ©Serway–Jewett 3ed.

É · d A = EA, onde A é a área das placas do capacitor e E

é o módulo do campo elétrico uniforme entre as placas. Seq é a carga nas placas em qualquer instante, então pela lei deGauss E = q/ϵ0A. Dessa forma, o fluxo elétrico é

ΦE = EA =qϵ0.

Assim, a corrente de deslocamento através de S 2 é:

Id = ϵ0dΦE

dt=

dqdt.

Ou seja, a corrente de deslocamento através de S 2 é exata-mente igual à corrente I no fio condutor.

A introdução da corrente de deslocamento na lei deAmpère mostra que campos magnéticos são produzidostanto por correntes de condução em fios condutoresquanto por campos elétricos variáveis. Esta foi uma dasprincipais contribuições de Maxwell para o avanço de nossacompreensão do eletromagnetismo.

Cabe ressaltar que existe ainda uma terceira maneira degerar campos magnéticos: o uso de materiais magnéticos. Acontribuição dos materiais magnéticos pode ser levada emconta adicionando-se um terceiro termo na lei de Ampère,µ0IM , onde IM é chamada de corrente de magnetização.

bounded by the path P is chosen, either conduction current or displacementcurrent passes through it. With this new notion of displacement current, we canexpress the general form of Ampère’s law (sometimes called the Ampère–Maxwelllaw) as1

[24.2]

The meaning of this expression can be understood by referring to Figure 24.2.The electric flux through S2 (a circle, shown in gray, between the plates) is

, where A is the area of the capacitor plates and E is the magni-tude of the uniform electric field between the plates. If q is the charge on the platesat any instant, E ! q/"0A (Section 20.7). Therefore, the electric flux through S2 issimply

Hence, the displacement current Id through S2 is

[24.3]

That is, the displacement current through S2 is precisely equal to the conductioncurrent I through S1! The central point of this formalism is that magnetic fields areproduced both by conduction currents and by changing electric fields. This result isa remarkable example of theoretical work by Maxwell and of his major contribu-tions in advancing the understanding of electromagnetism.

Id ! "0 d#E

dt!

dqdt

#E ! EA !q"0

#E ! ! E:

! d A:

! EA

" B:

! d s: ! $0(I % Id) ! $0I % $0"0 d#E

dt

808 ! CHAPTER 24 ELECTROMAGNETIC WAVES

y g p pp

" Ampère – Maxwell law

1Strictly speaking, this expression is valid only in a vacuum. If a magnetic material is present, a magnetizingcurrent must also be included on the right side of Equation 24.2 to make Ampère’s law fully general.

In an RC circuit, the capacitor begins to discharge. (i) During thedischarge, in the region of space between the plates of the capacitor, is there (a) conduc-tion current but no displacement current, (b) displacement current but no conductioncurrent, (c) both conduction and displacement current, or (d) no current of any type? (ii) During the discharge, in the region of space between the plates of the capacitor, isthere (a) an electric field but no magnetic field, (b) a magnetic field but no electric field,(c) both electric and magnetic fields, or (d) no fields of any type?

QUICK QUIZ 24.1

E–q

S2S1

q

II

Because it exists only in the wiresattached to the capacitor plates, the conductioncurrent I ! dq/dt passes through the curved surfaceS1 but not the flat surface S2. Only the displace-ment current Id ! "0d#E/dt passes through S2. Thetwo currents must be equal for continuity.

FIGURE 24.2

MAXWELL’S EQUATIONSIn this section, we gather together four equations from our studies in recent chap-ters that as a group can be regarded as the theoretical basis of all electric and mag-netic fields. These relationships, known as Maxwell’s equations after James ClerkMaxwell, are as fundamental to electromagnetic phenomena as Newton’s laws are

24.2

James Clerk Maxwell(1831 – 1879)

Scottish theoretical physicistMaxwell developed the electromag-netic theory of light and the kinetictheory of gases, and he explainedthe nature of color vision and of Saturn’s rings. His successful inter-pretation of electromagnetic fieldsproduced the field equations thatbear his name. Formidable mathe-matical ability combined with greatinsight enabled Maxwell to lead theway in the study of electromagnet-ism and kinetic theory. He died ofcancer before he was 50.

(Nor

th W

ind

Pict

ure

Arch

ives)

Figura 12.3 – Como existe apenas nos fios, a corrente I = dq/dtatravessa a superfície curva S 1, mas não a superfície plana S 2.Apenas a corrente de deslocamento Id atravessa S 2. As duascorrentes devem ser iguais para que haja continuidade. ©Serway–Jewett 3ed.



58

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 12: Equações de Maxwell

12.3 EQUAÇÕES DE MAXWELL

As relações matemáticas que descrevem todos os fenô-menos elétricos e magnéticos são denominadas equaçõesde Maxwell. Para simplificar, apresentamos as equaçõespara o vácuo, isto é, na ausência de materiais dielétricos oumagnéticos.

Lei de Gauss para o campo elétrico˛

E · d A =qϵ0

Esta equação estabelece que o fluxo elétrico total através dequalquer superfície fechada é igual à carga líquida dentrodessa superfície dividida por ϵ0. Essa lei descreve como ascargas criam campos elétricos, já que as linhas de campoelétrico se originam em cargas positivas e terminam emcargas negativas.

Lei de Gauss para o campo magnético˛

B · d A = 0

O fluxo magnético resultante através de uma superfíciefechada é nulo. Isto é, o número de linhas de campomagnético entrando em um volume fechado tem de ser igualao número de linhas que deixam esse volume. Esta equaçãoestá relacionado ao fato de que monopolos magnéticos nuncaforam observados na natureza.

Lei da indução de Faraday˛

E · d s = −dΦB

dt

Esta relação descreve como um campo magnético variávelcria um campo elétrico. A integral de linha do campo elétricoem torno de qualquer trajetória fechada (que é igual à fem)é igual à taxa de variação do fluxo magnético através dequalquer superfície limitada por essa trajetória.

Lei de Ampère-Maxwell˛

B · d s = µ0(I + Id) = µ0I + µ0ϵ0dΦE

dt

A forma generalizada para a lei de Ampère descreve comouma corrente elétrica ou um campo elétrico variável criamum campo magnético. A integral de linha do campo magné-tico em torno de qualquer trajetória fechada é determinadapela corrente resultante e pela taxa de variação do fluxoelétrico através de qualquer superfície limitada por essatrajetória.



59

13 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

Em sua teoria unificada do eletromagnetismo, Maxwelldemonstrou que campos elétricos e magnéticos dependentesdo tempo satisfazem uma equação de onda. O resultado maissignificante dessa teoria é a predição da existência de ondaseletromagnéticas.

As equações de Maxwell prevêem que uma onda ele-tromagnética consiste de campos elétricos e magnéticososcilantes. Os campos variáveis criam um ao outro paramanter a propagação da onda: um campo elétrico variávelinduz um campo magnético também variável, que por suavez induz um campo elétrico, e assim por diante.

Neste capítulo, vamos deduzir as equações das ondaseletromagnéticas e discutir o espectro eletromagnético. Tam-bém obteremos expressões para a energia transportada pelasondas eletromagnéticas e polarização.

13.1 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS PLANAS

As propriedades das ondas eletromagnéticas podem serdeduzidas a partir das equações de Maxwell, conformedemonstraremos aqui para o caso mais simples de uma ondase propagando no espaço e no tempo.

Vamos considerar uma onda eletromagnética que viajana direção x (a direção de propagação). Nesta onda, o campoelétrico E está na direção y e o campo magnético B está nadireção z, como mostrado na Figura 13.1. Ondas deste tipo,nas quais os campos elétricos e magnéticos são paralelos aum par de eixos perpendiculares entre si, são referidas porondas linearmente polarizadas. Além disso, assumimosque em qualquer ponto do espaço, as magnitudes E e B doscampos dependem apenas da posição x e do tempo t, ou seja:

E = E(x, t) e B = B(x, t)

Como mostra a Figura 13.1, uma onda eletromagnéticapode ser representada por um raio (uma reta orientada quemostra a direção de propagação da onda), por frentes deonda (superfícies imaginárias nas quais o campo elétrico temo mesmo módulo) ou das duas formas. As duas frentesde onda que aparecem na Figura 13.1a estão separadas porum comprimento de onda λ (= 2π/k). (Ondas que viajamaproximadamente na mesma direção formam um feixe, comoo feixe de um laser ou de uma lanterna.)

Podemos também representar a onda como na Fi-gura 13.1b, que mostra os vetores campo elétrico e campomagnético em um “instantâneo” da onda tomado em umcerto momento. As curvas que passam pelas extremidadesdos vetores representam as oscilações dos campos elétricos emagnéticos. As componentes da onda E e B estão em fase,são perpendiculares entre si e são perpendiculares à direçãode propagação.

Figura 13.1 – (a) Uma onda eletromagnética representada por umraio e duas frentes de onda; as frentes de onda estão separadas porum comprimento de onda λ. (b) A mesma onda, representada porum “instantâneo” do campo elétrico E e do campo magnético Bem vários pontos sobre o eixo x, pelos quais a onda passa comvelocidade c. ©Halliday 8ed.

13.2 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA ONDAELETROMAGNÉTICA

Vamos agora determinar as expressões matemáticas quemostram a propagação de uma onda eletromagnética pelaindução recíproca de campos elétricos e magnéticos. Parasimplificar o problema, vamos considerar uma onda sepropagando no vácuo, onde não há cargas ou correntes decondução (q = 0 e I = 0), com as mesmas direções doscampos e da propagação mostradas na Figura 13.1.

Considere um pequeno retângulo no plano do campoelétrico como mostrado na Figura 13.2. Este retângulo temuma certa altura ∆y e uma largura infinitesimal dx. Avariação do fluxo magnético através desta espira retangularestá relacionada ao campo elétrico ao longo da espira pelalei de Faraday. Para o caso mostrado, o campo magnéticoB através da espira está diminuindo com o tempo (a ondamove-se para a direita). Assim, o campo elétrico deve estarna direção que se opõe a esta variação, o que significa queE deve ser maior no lado direito do que no lado esquerdo daespira, conforme mostra a figura, de forma que ele produziriauma corrente elétrica no sentido anti-horário cujo campomagnético atuaria no sentido de se opor à variação de ΦB.Vamos agora aplicar a lei de Faraday

˛E · d s = −dΦB

dt

ao retângulo de altura ∆y e largura dx mostrado na Fi-gura 13.2. Resolvendo a integral

¸E · d s, notamos que nos

lados horizontais do retângulo, E é perpendicular a d s, deforma que E·d s = 0. Para os lados verticais, consideramos Eo campo elétrico ao longo do lado esquerdo e E+dE o campopara o lado direito. Assim, percorrendo a espira retangular no



60

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 13: Ondas eletromagnéticas

Figura 13.2 – Aplicando a lei de Faraday para a espira retangular(∆y)(dx). ©Giancoli 4ed.

sentido anti-horário, temos

˛E · d s = (E + dE)∆y − E∆y = dE∆y.

Para o lado direito da lei de Faraday, a variação do fluxomagnético através da espira é

dΦB

dt=

dBdt

dx∆y,

já que a área da espira, dx∆y, não varia. Assim, a lei deFaraday nos diz que

dE∆y = −dBdt

dx∆y

oudEdx= −dB

dt.

Na verdade, ambas funções E e B são funções de x e t.Portanto, devemos usar derivadas parciais para reescrever arelação acima:

(13.1)∂E∂x= −∂B∂t.

onde ∂E/∂x é a derivada de E em relação a x mantendo tconstante, e ∂B/∂t é a derivada de B em relação a t fazendox constante.

Podemos obter outra importante relação entre E e Bconsiderando agora a espira retangular no plano de B,com comprimento ∆z e largura dx, conforme mostrado naFigura 13.3. Para esta espira, vamos aplicar a lei de Ampère-Maxwell ˛

B · d s = µ0ϵ0dΦE

dt

onde tomamos I = 0 já que assumimos uma ondapropagando-se no vazio. Para os lados horizontais da espiraB · d s = 0 pois B e d s são perpendiculares. Para os ladosverticais, seja B o campo magnético para o lado esquerdo eB + dB o campo para o lado direito. Novamente, integrandono sentido anti-horário, temos

˛B · d s = B∆z − (B + dB)∆z = −dB∆z.

Figura 13.3 – Aplicando a lei de Ampère-Maxwell para a espiraretangular (∆z)(dx). ©Giancoli 4ed.

O lado direito da lei de Ampère-Maxwell é

µ0ϵ0dΦE

dt= µ0ϵ0

dEdt

dx∆z.

Igualando estas duas expressões, obtemos

−dB∆z = µ0ϵ0dEdt

dx∆z

ou

(13.2)∂B∂x= −µ0ϵ0

∂E∂t

onde novamente usamos derivadas parciais para substituirdB/dx e dE/dt.

As equações 13.1 e 13.2 mostram que campos variáveiscriam um ao outro para manter a propagação da onda: umcampo elétrico variável induz um campo magnético tambémvariável, que por sua vez induz um campo elétrico, e assimpor diante. O efeito é auto-sustentado, ou seja, os campos sepropagam acoplados.

Diferenciando a Eq. 13.1 em relação a x e usando oresultado da Eq. 13.2, temos:

∂2E∂x2 = −

∂

∂x

(∂B∂t

)= − ∂∂t

(∂B∂x

)= − ∂∂t

(−µ0ϵ0

∂E∂t

)

(13.3)∂2E∂x2 = µ0ϵ0

∂2E∂t2 .

Da mesma forma, derivando a Eq. 13.2 em relação a x ecombinando com a Eq. 13.1, temos:

∂2B∂x2 = −µ0ϵ0

∂

∂x

(∂E∂t

)= −µ0ϵ0

∂

∂t

(∂E∂x

)= −µ0ϵ0

∂

∂t

(−∂B∂t

)

(13.4)∂2B∂x2 = µ0ϵ0

∂2B∂t2 .

As equações 13.3 e 13.4 representam ondas eletromag-néticas progressivas que se deslocam com uma velocidade c



61

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Resaltado

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Resaltado

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Resaltado

ADMIN

Resaltado

ADMIN

Resaltado


Figura 13.4 – O espectro eletromagnético.

cujo valor é

c =1√µ0ϵ0,

onde c = 2,9979248 × 108 m/s, é a velocidade da luz novácuo.

As soluções mais simples para as ondas das equações13.3 e 13.4 são aquelas para as quais as amplitudes de campoE e B variam com x e t de acordo com as expressões

E = Emax cos(kx − ωt)(13.5)B = Bmax cos(kx − ωt).(13.6)

Nestas expressões, Emax e Bmax são os valores máximosdos campos, k é o número de onda e ω é a frequênciaangular. Como veremos adiante, é mais útil caracterizar asondas eletromagnéticas através do seu comprimento de ondaλ = 2π/k e da frequência f = ω/2π. A relação entrea velocidade da onda, comprimento da onda e frequênciaé c = λ f para ondas eletromagnéticas contínuas. Umaimportante propriedade das ondas eletromagnéticas é queelas não necessitam de um meio para a propagação, podendoser propagadas pelo vácuo.

Diferenciando as soluções 13.5 e 13.6 em função de x et, respectivamente, obtemos:

∂E∂x= −kEmax sen (kx − ωt),

∂B∂t= ωBmax sen (kx − ωt).

Usando a Eq. 13.1, temos

∂E∂x= −∂B∂t,

kEmax sen (kx − ωt) = ωBmax sen (kx − ωt),

kEmax = ωBmax,

Emax

Bmax=ω

k= c.

E, portantoEmax

Bmax=

EB= c.

Isto é, a todo instante a razão entre o campo elétrico e ocampo magnético de uma onda eletromagnética é igual àvelocidade da luz.

13.3 O ESPECTRO DAS ONDASELETROMAGNÉTICAS

A grande contribuição de Maxwell foi mostrar que umraio luminoso é uma onda progressiva de campos elétricos emagnéticos e que a ótica, o estudo da luz visível, é um ramodo eletromagnetismo.

Na época de Maxwell (meados do século XIX) a luzvisível e os raios infravermelhos e ultravioleta eram asúnicas ondas eletromagnéticas conhecidas. Inspirado pelasprevisões teóricas de Maxwell, Heinrich Hertz descobriuo que hoje chamamos de ondas de rádio, e observou queessas ondas se propagam com a mesma velocidade que a luzvisível.

Os vários tipos de ondas eletromagnéticas diferem ape-nas em comprimento de onda e frequência, que estão relaci-onados pela relação c = λ f . A Figura 13.4 mostra o espectroeletromagnético e os nomes geralmente associados com osvários intervalos de frequência e comprimento de onda. Estesintervalos não são, em geral, bem definidos e, algumasvezes, se superpõem. Por exemplo, ondas eletromagnéticascom comprimentos de onda de aproximadamente 0,1 nmsão normalmente chamadas de raios X, mas se elas tiveremorigem na radioatividade nuclear, passam a ser chamadas deraios gama.



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Figura 13.5 – A sensibilidade relativa do olho humano em funçãodo comprimento de onda. ©Halliday 8ed.

O olho humano é sensível à radiação eletromagnéticacom comprimentos de onda entre 400 e 700 nm. Esta regiãoé chamada de luz visível. A Figura 13.5 mostra um gráfico dasensibilidade relativa do olho humano a radiações de várioscomprimentos de onda. O centro da região visível corres-ponde aproximadamente a 555 nm (luz amarelo-esverdeada).Os menores comprimentos de onda da luz visível são osda luz violeta e os mais longos são os da luz vermelha.As ondas eletromagnéticas que têm comprimentos de ondamenores que 400 nm, mas maiores que 10 nm, são chamadasraios ultravioletas. Radiação infravermelha correspondea comprimentos de onda maiores que 780 nm e menores que100 µm. O calor emitido por objetos a temperatura ambienteestá na região do infravermelho do espectro eletromagnético.Em princípio, não há limites para os comprimentos de ondada radiação eletromagnética, isto é, todos os comprimentosde onda (ou frequências) são teoricamente possíveis.

13.4 ENERGIA TRANSPORTADA PELAS ONDASELETROMAGNÉTICAS

Como qualquer onda, as ondas eletromagnéticas podemtransportar energia de um ponto para outro. Luz de lâmpadasincandescentes e calor irradiado de uma fogueira são exem-plos práticos de energia sendo transportada através de ondaseletromagnéticas. Esta energia é associada com os camposelétricos e magnéticos movendo-se no espaço. A energia porunidade de volume associada com um campo elétrico, uE , édada por

uE =12ϵ0E2

e a densidade instantânea de energia uB associada com umcampo magnético é

uB =12

B2

µ0.

Assim, a energia total por unidade de volume armazenada emuma região do espaço onde há uma onda eletromagnética é

u = uE + uB =12ϵ0E2 +

12

B2

µ0.

Nesta equação, E e B representam as intensidades doscampos elétrico e magnético de uma onda em qualquerinstante numa região do espaço. Como E e B variam com

Figura 13.6 – Onda eletromagnética transportando energia atravésde uma área A. ©Giancoli 4ed.

o tempo para uma onda eletromagnética, a densidade deenergia também varia com o tempo. Usando as relaçõesB = E/c e c = 1/

√ϵ0µ0, temos

u =12ϵ0E2 +

12

(E/c)2

µ0=

12ϵ0E2 +

12ϵ0µ0

µ0E2 = ϵ0E2.

Note que a densidade de energia associada com o campo Bé igual ao valor para o campo E, isto é, uB = uE , e quecada uma contribui com metade para a energia total. Tambémpodemos escrever a densidade de energia apenas em termosdo campo B:

u = ϵ0E2 = ϵ0c2B2 =B2

µ0,

ou em termos de ambos os campos E e B,

u = ϵ0E2 = ϵ0cEB.

Estas relações dão a densidade de energia em qualquer regiãodo espaço em qualquer instante de tempo.

Agora vamos determinar a energia que uma onda trans-porta por unidade de tempo por unidade de área. O fluxode energia em uma onda eletromagnética é medido normal-mente em termos da taxa de variação do fluxo de energiapor unidade de área (ou de forma equivalente, potênciaeletromagnética por unidade de área). Descrevemos a mag-nitude e a direção do fluxo de energia em termos de umvetor chamado vetor de Poynting1 S. O vetor de Poyntingrepresenta potência por unidade de área e, portanto, suasunidades SI são J/s·m2 = W/m2. A direção do vetor S é adireção na qual a energia é transportada, que é a direção depropagação da onda.

Para determinar uma expressão para o vetor de PoyntingS, vamos imaginar uma onda que atravessa uma área Aperpendicular ao eixo x, como mostrado na Figura 13.6.Num intervalo de tempo dt, a onda move-se para a direitapercorrendo uma distância dx = c dt, onde c é a velocidadede propagação da onda. A energia que atravessa a área A notempo dt é a energia que ocupa o volume dV = Adx = Ac dt.A densidade de energia é u = ϵ0E2, onde E é o campoelétrico no volume dV num dado instante. Assim, a energia

1Nome dado em homenagem ao físico britânico John HenryPoynting (1852–1914), que foi o primeiro a discutir suas proprie-dades.



63


total dU contida no volume dV é a densidade de energia umultiplicada pelo volume:

dU = u dV = (ϵ0E2)(Ac dt).

Portanto, a quatidade de energia que atravessa a área A numintervalo de tempo dt é

S =1A

dUdt= ϵ0cE2.

Como E = cB e c = 1/√ϵ0µ0, podemos escrever

S = ϵ0cE2 =cB2

µ0=

EBµ0.

A direção de S é perpendicular a E e B, de forma que o vetorde Poynting é definido como

S ≡ 1µ0

E × B.

Uma onda eletromagnética pode ser totalmente especi-ficada conhecendo-se apenas o seu campo E e a direção eo sentido de sua propagação dados pelo vetor S. Não énecessário conhecer B, pois sua magnitude é determinadapela magnitude de E e sua direção e sentido são encontradosa partir dos de E e S.

O que é de maior interesse para uma onda eletromagné-tica senoidal é a média temporal de S por um ou mais ciclos,que define sua intensidade, I2:

I ≡ S = ⟨S ⟩ = ⟨ϵ0cE2⟩ = ⟨ϵ0cE2max cos2(kx − ωt)⟩.

Como ϵ0, c e Emax são constantes, temos

I = ϵ0cE2max⟨cos2(kx − ωt)⟩.

Para uma função f (t) qualquer, o valor médio temporal édefinido por

⟨ f (t)⟩ = f (t) ≡ 1T

ˆ t+T

tf (t′)dt′,

onde T é qualquer número inteiro de ciclos ou períodos. Parafunções quadráticas de seno e cosseno, os valores médios são

⟨cos2 θ⟩ = ⟨ sen 2θ⟩ = 12⟨cos2 θ + sen 2θ⟩,

ou seja

⟨cos2 θ⟩ = ⟨ sen 2θ⟩ = 12.

Dessa forma, o valor médio de S é

I = S =12ϵ0cE2

max =12

cB2max

µ0=

EmaxBmax

2µ0,

2Neste e nos próximos capítulos, a letra I representará intensi-dade de uma onda eletromagnética, e não corrente elétrica.

onde Emax e Bmax são as amplitudes do campos. Tambémpodemos escrever a intensidade em termos dos valores qua-dráticos médios ou rms (do inglês root mean square) doscampos

I = S =ErmsBrms

µ0,

onde Erms = Emax/√

2 e Brms = Bmax/√

2.

13.5 MOMENTO E PRESSÃO DE RADIAÇÃO

Além de transportar energia, as ondas eletromagnéticastambém transportam momento linear. Dessa forma, umapressão é exercida sobre uma superfície quando uma ondaeletromagnética incide sobre ela. Vamos assumir que umaonda eletromagnética transporta uma energia total U parauma superfície em um intervalo de tempo ∆t. Se a superfícieabsorve toda a energia incidente U nesse tempo, Maxwellmostrou que o momento total p fornecido a essa superfícietem a magnitude

p =Uc

(absorção completa).

Se, por outro lado, a superfície reflete toda a radiação queincide sobre ela, então o momento total é:

p =2Uc

(reflexão completa).

A pressão exercida sobre a superfície é definida como forçapor unidade de área. Combinando esta definição com asegunda lei de Newton, temos:

P =FA=

1A

dpdt.

Substituindo o valor de p, o momento transportado para asuperfície pela radiação eletromagnética, obtemos

P =1A

dpdt=

1A

ddt

(Uc

)=

1c

(dU/dt)A

.

O termo (dU/dt)/A mede a taxa com a qual a energia atinge asuperfície por unidade de área, que é a magnitude do vetor dePoynting. Portanto, a pressão de radiação P exercida sobre asuperfície absorvedora perfeita é

P =Sc.

Uma superfície absorvedora na qual toda a energia incidenteé absorvida (nenhuma é refletida) é denominada de corponegro, que discutiremos no Capítulo 16. Para uma superfícierefletora perfeita, a pressão de radiação será o dobro:

P =2Sc.



64


described in this section is a property that specifies the directions of the electricand magnetic fields associated with an electromagnetic wave.

An ordinary beam of light consists of a large number of waves emitted by theatoms of the light source. Each atom produces a wave with its own orientation ofthe electric field , corresponding to the direction of vibration in the atom. The di-rection of polarization of the electromagnetic wave is defined to be the direction inwhich is vibrating. Because all directions of vibration are possible in a group ofatoms emitting a beam of light, however, the resultant beam is a superposition ofwaves produced by the individual atomic sources. The result is an unpolarized lightwave, represented schematically in Figure 24.13a. The direction of wave propaga-tion in this figure is perpendicular to the page. The figure suggests that all direc-tions of the electric field vector lying in a plane perpendicular to the direction ofpropagation are equally probable.

A wave is said to be linearly polarized if the orientation of is the same for all in-dividual waves at all times at a particular point as suggested in Figure 24.13b. (Some-times such a wave is described as plane polarized.) The wave described in Active Fig-ure 24.3 is an example of a wave linearly polarized along the y axis. As the fieldpropagates in the x direction, is always along the y axis. The plane formed by and the direction of propagation is called the plane of polarization of the wave. InActive Figure 24.3, the plane of polarization is the xy plane. It is possible to obtain alinearly polarized wave from an unpolarized wave by removing from the unpolarizedwave all components of electric field vectors except those that lie in a single plane.

The most common technique for polarizing light is to send it through a materialthat passes only components of electric field vectors that are parallel to a characteris-tic direction of the material called the polarizing direction. In 1938, E. H. Land dis-covered such a material, which he called Polaroid, that polarizes light through selec-tive absorption by oriented molecules. This material is fabricated in thin sheets oflong-chain hydrocarbons, which are stretched during manufacture so that the mole-cules align. After a sheet is dipped into a solution containing iodine, the moleculesbecome good electric conductors. The conduction, however, takes place primarilyalong the hydrocarbon chains because the valence electrons of the molecules canmove easily only along the chains (valence electrons are “free” electrons that canreadily move through the conductor). As a result, the molecules readily absorb lightwhose electric field vector is parallel to their length and transmit light whose electricfield vector is perpendicular to their length. It is common to refer to the directionperpendicular to the molecular chains as the transmission axis. An ideal polarizerpasses the components of electric vectors that are parallel to the transmission axis.Components perpendicular to the transmission axis are absorbed. If light passesthrough several polarizers, whatever is transmitted has the plane of polarization par-allel to the polarizing direction of the last polarizer through which it passed.

Let us now obtain an expression for the intensity of light that passes through apolarizing material. In Active Figure 24.14, an unpolarized light beam is incident

E:

E:

E:

E:

E:

POLARIZATION ! 825

y g p pp

E

(a)

E

(b)

(a) An unpolarizedlight beam viewed along the directionof propagation (perpendicular to thepage). The time-varying electric fieldvector can be in any direction in theplane of the page with equal probabil-ity. (b) A linearly polarized light beamwith the time-varying electric field vector in the vertical direction.

FIGURE 24.13

Two polarizing sheets whose trans-mission axes make an angle ! witheach other. Only a fraction of thepolarized light incident on the ana-lyzer is transmitted through it.

Log intoPhysicsNow at www.pop4e.com andgo to Active Figure 24.14 to rotatethe analyzer and see the effect onthe transmitted light.

ACTIVE FIGURE 24.14

Analyzer

Unpolarizedlight

Transmissionaxis

Polarized light

E0

Polarizer

!

Figura 13.7 – (a) Um feixe de luz não-polarizada visto ao longoda direção de propagação (perpendicular à página). O vetor campoelétrico variável no tempo pode estar em qualquer direção no planoda página com igual probabilidade. (b) Um feixe de luz linearmentepolarizada com o vetor campo elétrico variando temporalmente nadireção vertical. ©Serway–Jewett 3ed.

13.6 POLARIZAÇÃO

O fenômeno da polarização é uma propriedade que espe-cifica as direções dos campos elétrico e magnético associadoscom uma onda eletromagnética.

Em uma onda eletromagnética, a direção do campoelétrico é perpendicular à direção de propagação da onda.Se a orientação do campo elétrico é a mesma para todasas ondas individuais em todos os instantes em um pontoparticular, dizemos que a onda está linearmente polarizada.Ondas produzidas por várias fontes geralmente não sãopolarizadas. Uma fonte de luz incandescente, por exemplo,contém milhões de átomos atuando independentemente. Ocampo elétrico para tal onda pode ser separado em duascomponentes x e y que variam aleatoriamente, pois não hácorrelação entre os átomos individuais produzindo a luz. AFigura 13.7 mostra exemplos de feixes de luz não-polarizadae luz linearmente polarizada.

Para uma onda polarizada, o plano formado por E e peladireção de propagação é chamado de plano de polarizaçãoda onda. É possível obter uma onda linearmente polarizadaa partir de uma onda não-polarizada removendo-se todas ascomponentes do vetor campo elétrico que não estão em umadada direção, fazendo-a passar por um filtro polarizador. Umpolarizador é, portanto, um material que permite a passagem

Figura 13.8 – Ação de uma película polarizadora. Apenas acomponente y do campo elétrico é transmitida. ©Halliday 8ed.

Figura 13.9 – Duas películas polarizadoras cujos eixos de trans-missão fazem um ângulo θ entre si. Apenas uma fração da luzpolarizada incidente sobre o analisador é transmitida. ©Serway–Jewett 3ed.

apenas das componentes dos vetores campo elétrico quesejam paralelos a uma direção característica do material,chamada de direção de polarização, que define o eixo detransmissão do polarizador. Num polarizador ideal, ascomponentes do campo elétrico perpendiculares ao eixo detransmissão são completamente absorvidas.

Vamos agora considerar a intensidade da luz transmitidapor um polarizador. Quando uma luz não-polarizada incideem um polarizador ideal, a intensidade da luz polarizadatransmitida é igual à metade da intensidade incidente, nãoimportando a orientação do polarizador. Podemos obtereste resultado analisando a Figura 13.8, onde uma ondacom campo elétrico numa direção arbitrária incide em umpolarizador. A componente Ey(= E cos θ) é transmitida,assim a intensidade de transmissão é proporcional a E2

y =

E2 cos2 θ). Se a luz incidente for não-polarizada, encontrare-mos a intensidade total transmitida calculando a média destaexpressão para todas as orientações possíveis do plano depolarização da luz incidente, isto é, para todos os valoresde θ. Como o valor médio de cos2 θ é igual a 1

2 , a intensidadetransmitida é

I =12

I0,

onde I0 é a intensidade original da onda não-polarizada.Note que esta relação só é válida se a onda incidente nopolarizador for não-polarizada.

Suponha agora que a luz que incide num polarizadorseja polarizada. Neste caso, após passar por um primeiropolarizador P1, o feixe de luz, com amplitude do campoelétrico E0, atravessa outro polarizador P2, chamado deanalisador, conforme mostra a Figura 13.9. Se os eixos detransmissão de P1 e P2 formam um ângulo θ entre si, apenasa componente do campo elétrico paralela ao eixo de trans-missão de P2, E0 cos θ, será transmitida. Lembrando que aintensidade da onda varia com o quadrado da amplitude docampo elétrico, a intensidade da luz polarizada transmitidavaria com θ de acordo com

I = I0 cos2 θ,

onde I0 é a intensidade da onda polarizada incidente sobreo analisador P2. Essa expressão, conhecida como lei deMalus, se aplica a quaisquer dois materiais polarizadores



65


cujos eixos de transmissão formam um ângulo θ. A partirdessa expressão, observe que a intensidade transmitida émáxima quando os eixos de transmissão são paralelos enula (absorção completa pelo analisador) quando os eixosde transmissão são perpendiculares entre si (veja a Fi-gura 13.10).

Existem outros meios de polarizar a luz, além dos filtrospolarizadores. A luz também pode ser polarizada por refle-xão ou por espalhamento. No espalhamento a luz absorvidapor um átomo ou molécula é emitida novamente em outradireção.

Figura 13.10 – (a) A maior parte da luz passa por duas placaspolarizadoras quando a direção de polarização das placas coincide,mas (b) a maior parte da luz é absorvida quando as direções depolarização das duas placas são perpendiculares. ©Halliday 8ed.



66

14 INTERFERÊNCIA

14.1 A NATUREZA DA LUZ

Antes do início do século XIX, pensava-se que a luz eracomposta por um fluxo de partículas (ou corpúsculos) que eraemitido pelo objeto observado ou emanado pelos olhos doobservador. Isaac Newton (1643–1727), o principal criadorda teoria corpuscular da luz, considerava que as partículaseram emitidas de uma fonte de luz e que estas partículasestimulavam o sentido da visão assim que incidiam no olhodo observador. Usando esta ideia era possível explicar osfenômenos de reflexão e refração da luz.

Muitos cientistas aceitaram a teoria corpuscular de New-ton. Durante sua vida, entretanto, uma teoria alternativapara a natureza da luz foi proposta. Esta teoria suportavaa ideia de que a luz poderia ser composta de algum tipode onda em movimento. Em 1678, o físico e astrônomoholandês Christian Huygens (1629–1695) mostrou que umateoria ondulatória da luz também seria capaz de explicar osfenômenos de reflexão e a refração.

Em 1801, Thomas Young (1773–1829) forneceu a pri-meira demonstração clara da natureza ondulatória da luz.Young mostrou que, sob condições apropriadas, raios deluz interferem entre si, produzindo um fenômeno chamadointerferência, já conhecido para outros tipos de ondas. Talcomportamento não poderia ser explicado naquela época poruma teoria corpuscular pois não se concebia que duas oumais partículas pudessem se juntar e se cancelar. Outrosdesenvolvimentos científicos realizados durante o séculoXIX levaram à uma aceitação geral da teoria ondulatória daluz, sendo que o mais importante resultou do trabalho deMaxwell que em 1873 propôs que a luz visível era uma formade onda eletromagnética de alta frequência.

Embora o modelo de onda para a luz e a teoria clássicado eletromagnetismo eram capazes de explicar a maioria daspropriedades conhecidas da luz, eles não foram capazes deexplicar os resultados de outros experimentos realizados pos-teriormente. O mais intrigante resultado destes experimentosé o chamado efeito fotoelétrico, descoberto por HeinrichHertz (1857–1894) em 1887: quando a luz incide sobre umasuperfície metálica, elétrons são eventualmente ejetados dasuperfície. Como um exemplo das dificuldades que surgirama partir deste fenômeno, experimentos seguintes mostraramque a energia cinética de um elétron ejetado é independenteda intensidade da luz incidente. Esta descoberta contradiziaa teoria ondulatória, que suportava a ideia de que quantomais intenso era um feixe de luz maior deveria ser a energiados elétrons. Uma explicação para o efeito fotoelétrico foiproposta por Albert Einstein (1879–1955) em 1905 em umateoria que usava o conceito de quantização desenvolvida porMax Planck (1858–1947) em 1900.

Figura 14.1 – Interferência construtiva. Se duas ondas de mesmafrequência estão em fase, a amplitude da onda resultante é a somadas amplitudes das ondas individuais. As ondas 1 e 2 são idênticas,de modo que parecem ser a mesma. ©Tipler–Mosca 5ed.

Figura 14.2 – Interferência destrutiva. Se duas ondas de mesmafrequência diferem em fase de 180º, a amplitude da onda resultanteé a diferença das amplitudes das ondas individuais. Se as ondasoriginais têm amplitudes iguais, elas se cancelam completamente.©Tipler–Mosca 5ed.

14.2 INTERFERÊNCIA DE ONDAS

Quando ondas idênticas (a menos de uma diferençade fase) provenientes de duas fontes superpõem-se em umponto do espaço, a intensidade resultante das ondas que secombinam naquele ponto pode ser maior ou menor do quea intensidade de cada uma delas. Este efeito é chamado deinterferência.

A interferência pode ser construtiva, quando a intensi-dade resultante é maior do que as intensidades individuais,ou destrutiva, quando a intensidade resultante é menor queas intensidades individuais.

As Figuras 14.1 e 14.2 mostram exemplos de com-binações de ondas produzindo interferência construtiva edestrutiva, respectivamente.

Embora qualquer número de ondas possa em princípiointerferir, consideraremos aqui a interferência de duas ondassomente. Supomos que cada fonte de ondas emite em umúnico comprimento de onda ou frequência.

Também vamos supor que a relação entre as fases dasondas não varia com o tempo. Tais ondas são chamadascoerentes. Quando ondas coerentes interferem, a intensidadeda onda combinada em qualquer ponto do espaço não variacom o tempo.



67

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 14: Interferência

14.2.1 Condições de interferência

• As fontes devem ser coerentes, isto é, devem manteruma diferença de fase constante.

• As fontes devem ser monocromáticas, isto é, devem tero mesmo comprimento de onda.

14.3 INTERFERÊNCIA COM FENDAS DUPLAS

Um método para produzir duas fontes de luz coerentesé a utilização de uma fonte monocromática para iluminarum obstáculo contendo duas pequenas aberturas, ou fendas,estreitas e paralelas. O feixe de ondas luminosas planas,como o que pode ser obtido com um laser, incide sobre asfendas. Parte da luz incidente passa através das fendas, eassim as fendas podem ser consideradas como duas fontescoerentes de ondas luminosas. O espalhamento da luz aopassar pelas fendas, ilustrado na Figura 14.3a, é chamadode difração da luz e será discutido no próximo capítulo.Por enquanto vamos apenas assumir que as fendas são tãoestreitas que cada uma pode ser considerada como linhasde fontes pontuais, com cada fonte pontual emitindo ondasesféricas.

O efeito de interferência de ondas luminosas provenien-tes de duas fontes foi inicialmente demostrando por ThomasYoung em 1801. Um diagrama esquemático do experimentorealizado por Young é mostrado na Figura 14.3a. Ondasluminosas planas incidem sobre o obstáculo que contémduas fendas paralelas S 1 e S 2. Estas duas fendas servemcomo um par de fontes coerentes de luz já que as ondasque as atravessam originaram-se da mesma frente de ondae portanto possuem uma relação de fase constante. A luzproveniente de S 1 e S 2 produz no anteparo um padrão visívelde bandas claras e escuras chamadas franjas de interferência,correspondentes respectivamente aos máximo e mínimosna intensidade da luz, como é mostrado na Figura 14.3b.Quando a luz emitida por S 1 e por S 2 atingem um pontona tela de tal forma que uma interferência construtiva ocorre,observamos uma franja clara. Quando a luz proveniente dasduas fendas combinam-se destrutivamente em um ponto datela, observamos uma franja escura.

A Figura 14.4 mostra alguns dos caminhos pelos quaisduas ondas combinam-se na tela, produzindo interferênciaconstrutiva ou destrutiva. Na Figura 14.4a, as duas ondas,que partem das duas fendas em fase, atingem a tela noponto central P. Como ambas as ondas percorrem a mesmadistância, elas atingem o ponto P em fase. O resultadoé a ocorrência de interferência construtiva neste ponto e oaparecimento de uma franja brilhante. Na Figura 14.4b,as duas ondas também começam em fase, mas neste casoa onda superior tem que viajar uma distância maior emrelação a onda inferior até atingir o ponto Q. Se essadistância extra for exatamente uma medida do comprimentode onda, as ondas também atingirão o ponto Q em fase e umanova franja brilhante será observada devido à interferênciaconstrutiva. No ponto R, entre os pontos P e Q, mostradona Figura 14.4c, entretanto, a onda superior percorreu uma

S E C T I O N 37. 2 • Young’s Double-Slit Experiment 1179

wave to reach point Q . Because the upper wave falls behind the lower one by exactlyone wavelength, they still arrive in phase at Q , and so a second bright fringe appearsat this location. At point R in Figure 37.4c, however, between points P and Q , theupper wave has fallen half a wavelength behind the lower wave. This means thata trough of the lower wave overlaps a crest of the upper wave; this gives rise todestructive interference at point R . For this reason, a dark fringe is observed atthis location.

S1

S2

Barrier

Viewingscreen

max

min

max

min

max

min

max

min

max

(a) (b)

Active Figure 37.2 (a) Schematic diagram of Young’s double-slit experiment. Slits S1and S2 behave as coherent sources of light waves that produce an interference patternon the viewing screen (drawing not to scale). (b) An enlargement of the center of afringe pattern formed on the viewing screen.

At the Active Figures linkat http://www.pse6.com, youcan adjust the slit separationand the wavelength of the lightto see the effect on theinterference pattern.

A

B

Figure 37.3 An interferencepattern involving water waves isproduced by two vibratingsources at the water’s surface. Thepattern is analogous to thatobserved in Young’s double-slitexperiment. Note the regions ofconstructive (A) and destructive(B) interference.

Rich

ard

Meg

na/F

unda

men

tal P

hoto

grap

hs

(a)

Brightfringe Dark

fringe

(b) (c)

Brightfringe

S1

S2

S1

S2

Slits P P P

R

Q

Viewing screen

Q

S2

S1

Figure 37.4 (a) Constructive interference occurs at point P when the waves combine.(b) Constructive interference also occurs at point Q . (c) Destructive interferenceoccurs at R when the two waves combine because the upper wave falls half a wavelengthbehind the lower wave. (All figures not to scale.)

M. C

agne

t, M

. Fra

ncon

, J. C

. Thi

er

Figura 14.3 – (a) Diagrama esquemático do experimento de fendadupla. As fendas S 1 e S 2 comportam-se como fontes coerentes deondas luminosas que produzem um padrão de interferência na tela.(b) Padrão de interferência formado na tela. ©Serway–Jewett 3ed.

distância extra correspondente a metade do comprimento deonda em comparação com a onda inferior. Isto significa queum “vale” da onda inferior coincide com um “pico” da ondasuperior, o que resulta em uma interferência destrutiva noponto R. Por esta razão, uma franja escura é observada nesteponto.

Considerando as observações feitas para a Figura 14.4,notamos que teremos interferência construtiva sempre quea diferença entre os caminhos percorridos pelas duas ondasfor zero ou um múltiplo do comprimento de onda, e teremosinterferência destrutiva quando a diferença de caminhos forum múltiplo da metade do comprimento de onda da luzincidente. Se a distância entre a fonte S 1 e um pontoqualquer na tela for r1 e a distância entre a fonte S 2 e atela for r2, podemos escrever a condição para ocorrência deinterferência construtiva como

r2 − r1 = nλ,

e para interferência destrutiva como

r2 − r1 = (n + 12 )λ,

onde n = 0,±1,±2,±3, ... é chamado de número de ordem.

Podemos descrever estas condições com mais detalhescom a ajuda da Figura 14.5a. A tela detectora está localizadaa uma distância L perpendicular às duas fendas, S 1 e S 2.Estas fendas estão separadas por uma distância d e a fonteé monocromática. Para atingir um ponto qualquer P naparte superior da tela, uma onda proveniente da fenda S 2deve percorrer uma distância adicional d sen θ em relação auma onda que parte da fenda S 1. Esta distância é chamadadiferença de percurso. Se L ≫ d então podemos considerarque as duas trajetórias r1 e r2 são praticamente paralelas(Figura 14.5b). Neste caso, vemos que

r2 − r1 = d sen θ.



68


Figura 14.4 – (a) Interferência construtiva ocorre no ponto P quando as ondas se combinam. (b) Interferência construtiva também ocorre noponto Q. (c) Interferência destrutiva ocorre no ponto R quando duas ondas se combinam pois a onda superior percorre metade do comprimentode onda a mais em relação à onda inferior. ©Serway–Jewett 3ed.

We can describe Young’s experiment quantitatively with the help of Figure 37.5. Theviewing screen is located a perpendicular distance L from the barrier containing two slits,S1 and S2. These slits are separated by a distance d, and the source is monochromatic. Toreach any arbitrary point P in the upper half of the screen, a wave from the lower slit musttravel farther than a wave from the upper slit by a distance d sin !. This distance is calledthe path difference " (lowercase Greek delta). If we assume that r1 and r2 are parallel,which is approximately true if L is much greater than d, then " is given by

" # r 2 $ r1 # d sin! (37.1)

The value of " determines whether the two waves are in phase when they arrive atpoint P. If " is either zero or some integer multiple of the wavelength, then the twowaves are in phase at point P and constructive interference results. Therefore, thecondition for bright fringes, or constructive interference, at point P is

(37.2)

The number m is called the order number. For constructive interference, the ordernumber is the same as the number of wavelengths that represents the path differencebetween the waves from the two slits. The central bright fringe at ! # 0 is called thezeroth-order maximum. The first maximum on either side, where m # %1, is called thefirst-order maximum, and so forth.

When " is an odd multiple of &/2, the two waves arriving at point P are 180° out ofphase and give rise to destructive interference. Therefore, the condition for darkfringes, or destructive interference, at point P is

(37.3)

It is useful to obtain expressions for the positions along the screen of the brightand dark fringes measured vertically from O to P. In addition to our assumption thatL '' d , we assume d '' &. These can be valid assumptions because in practice L isoften on the order of 1 m, d a fraction of a millimeter, and & a fraction of amicrometer for visible light. Under these conditions, ! is small; thus, we can use thesmall angle approximation sin! ! tan!. Then, from triangle OPQ in Figure 37.5a,

d sin!dark # (m ( 12)& (m # 0, %1, %2, ) ) ))

" # d sin! bright # m & (m # 0, %1, %2, ) ) ))

1180 C H A P T E R 37 • Interference of Light Waves

(b)

r2 – r1 = d sin

S1

S2

!d

r1

r2

(a)

d

S1

S2

Q

LViewing screen

!

!

P

O

"

y

r1

r2

!

Figure 37.5 (a) Geometric construction for describing Young’s double-slit experiment(not to scale). (b) When we assume that r1 is parallel to r2, the path difference betweenthe two rays is r2 $ r1 # d sin !. For this approximation to be valid, it is essential thatL '' d.

Path difference

Conditions for constructiveinterference

Conditions for destructiveinterference

Figura 14.5 – (a) Construção geométrica para descrever o experimento de fenda dupla de Young. (b) Quando assumimos que r1 é paralelo ar2, a diferença de percurso é r2 − r1 = d sen θ. Para que essa aproximação seja válida, é essencial que L ≫ d. ©Serway–Jewett 3ed.

Como observado anteriormente, essa diferença de percursodetermina se as duas ondas estão ou não em fase quandochegam em P. Agora podemos escrever a condição paraocorrer interferência como

d sen θ = nλ.

Da mesma forma, a condição para ocorrência de interferênciapode ser escrita como

d sen θ = (n + 12 )λ.

Essas equações fornecem as posições angulares das franjas.Agora vamos obter expressões para as posições lineares me-didas ao longo da tela de O até P. Além de nossa suposiçãode que L ≫ d, vamos supor que d ≫ λ, isto é, a distânciaentre as duas fendas é muito maior que o comprimento deonda. Essa situação prevalece na prática para a luz visívelporque L geralmente é da ordem de 1 m enquanto d é umafração de um milímetro e λ é uma fração de um micrômetro.Sob essas condições, o ângulo θ é suficientemente pequeno eassim podemos utilizar a aproximação sen θ ≈ tan θ. A partirdo triângulo OPQ mostrado na Figura 14.5a, observamos que

sen θ ≈ tan θ =y

L.

Usando este resultado e substituindo sen θ = mλ/d, vemosque as franjas brilhantes medidas a partir de O estão locali-zadas em

y =λLd

n.

De forma semelhante, as franjas escuras localizam-se em

y =λLd

(n + 12 ).

Estas equações são várias demonstrações matemáticas depadrões de interferência de duas fendas. Essas equaçõesdescrevem os resultados quando duas ondas interferem deacordo com o princípio da superposição. A compreensãodesse modelo de análise é importante porque a interferênciade ondas ocorre de maneira relativamente comum em aplica-ções tecnológicas.

A experiência da fenda dupla de Young fornece ummétodo para se medir o comprimento de onda da luz. Alémdisso, esta experiência deu muita credibilidade ao modeloondulatório da luz.



69


14.4 INTENSIDADE DO PADRÃO DEINTERFERÊNCIA PARA ONDASELETROMAGNÉTICAS

Se observarmos atentamente as franjas brilhantes mos-tradas na 14.3b, notamos que há uma mudança gradual entreuma franja clara e outra escura. Até agora discutimos aslocalizações dos centros das franjas claras e escuras na teladetectora. Vamos agora analisar a variação da intensidadeda luz em cada ponto entre as posições de interferênciaconstrutiva e destrutiva. Em outras palavras, vamos calculara distribuição da intensidade da luz associada com o padrãode interferência de fenda dupla.

Vamos supor que as duas fendas representam fontes coe-rentes de ondas senoidais tal que a duas ondas provenientesde cada fenda possuem a mesma frequência angular ω euma diferença de fase ϕ constante. A magnitude total docampo elétrico num ponto P na tela detectora mostrado naFigura 14.5a é a superposição das duas ondas. Assumindoque as ondas possuem a mesma amplitude E0 para o campoelétrico, podemos escrever a magnitude do campo elétrico noponto P de cada onda como

E1 = E0 sen (ωt) e E2 = E0 sen (ωt + ϕ).

Apesar das duas ondas estarem em fase quando partemdas fendas, a diferença de fase em P vai depender dadiferença de percurso r2 − r1 = d sen θ. Uma diferençade percurso λ (para interferência construtiva) corresponde auma diferença de fase de 2π rad. Ou seja, a diferença depercurso será λ quando a diferença de fase ϕ for igual a 2πrad. Podemos descrever isto matematicamente como

r2 − r1

λ=ϕ

2π,

e portanto temos

ϕ =2πλ

(r2 − r1) =2πλ

d sen θ.

Esta equação nos diz como a diferença de fase ϕ depende doângulo θ da Figura 14.5a.

Usando o princípio da superposição, podemos obter amagnitude do campo elétrico resultante no ponto P:

E = E1 + E2 = E0[sen (ωt) + sen (ωt + ϕ)

].

Para simplificar esta expressão, podemos utilizar a identidadetrigonométrica:

sen A + sen B = 2 sen(A + B

2

)cos

(A − B2

).

Fazendo A = ωt + ϕ e B = ωt, obtemos:

E = 2E0 cos(ϕ

2

)sen

(ωt +

ϕ

2

),

que pode ser escrito como

E = EP sen(ωt +

ϕ

2

),

onde EP = 2E0 cos(ϕ/2) é a amplitude do campo elétrico noponto P.

Para obter a intensidade I no ponto P, basta relembrarque I é igual à média do vetor de Poynting, S . Portanto,para uma onda senoidal com amplitude de campo elétricoEP, podemos expressar a intensidade no ponto P como

IP = S P =1

2µ0cE2

P.

A intensidade de cada onda é proporcional ao quadrado daamplitude do campo elétrico E0,

I0 = S 0 =1

2µ0cE2

0.

E podemos escrever

IP

I0=

(EP

E0

)2

,

de onde obtemos:

IP = I0

(2E0 cos(ϕ/2)

E0

)2

= 4I0 cos2(ϕ/2).

A intensidade num ponto P qualquer é quatro vezes maiordo que I0, a intensidade de cada onda incidente no ponto P.Para checar a consistência deste resultado, note que se ϕ =0, 2π, 4π, ..., então a magnitude do campo elétrico no ponto Pé 2E0 e a intensidade será máxima: IP = 4I0, correspondendoà condição para interferência construtiva máxima. De modosemelhante, se ϕ = π, 3π, 5π, ..., então a magnitude do campoelétrico no ponto P será zero e portanto a intensidade serázero, correspondendo a interferência total destrutiva.



70

15 DIFRAÇÃO

15.1 DIFRAÇÃO E A TEORIA ONDULATÓRIA DA LUZ

O experimento de fenda dupla realizado por Young em1801 deu um grande suporte para a teoria ondulatória da luz.No entanto, a completa aceitação desta teoria só veio com osestudos sobre a difração mais de uma década depois, entre osanos de 1810 e 1820.

A difração é um efeito que ocorre quando a luz incidentesobre um objeto é espalhada ou desviada em torno das suasbordas. A difração também ocorre quando a luz incidesobre fendas estreitas, causando o espalhamento da luz eproduzindo um padrão de interferência para o caso de umafonte de luz coerente e monocromática, conforme discutidono capítulo anterior.

Em 1819, Augustin Fresnel (1788–1827) apresentouà Academia Francesa de Ciências uma teoria ondulatóriada luz que previa e explicava os efeitos de interferênciae difração. Quase imediatamente após a publicação dotrabalho de Fresnel, Siméon Poisson (1781–1840), um árduodefensor da teoria corpuscular da luz, apontou um problemacontra-intuitivo na teoria de Fresnel: de acordo com a teoriaondulatória, se a luz de uma fonte pontual incidisse sobreum disco opaco, parte da luz incidente seria difratada nasbordas do disco e causariam uma interferência construtivano centro da sombra do disco (Figura 15.1a). Essa previsãoparecia algo muito insólita, mas quando tal experimento foirealizado por François Arago, o ponto brilhante de fato foiobservado no centro da sombra (Figura 15.1b). Esta foi umaforte evidência para a teoria ondulatória da luz. Em outraspalavras, Poisson deu um tiro no pé!

Além do ponto brilhante presente no centro da sombrado disco iluminado por uma fonte de luz pontual, conformemostrado na Figura 15.1b, também notamos franjas clarase escuras em torno da sombra, que lembram franjas deinterferência do experimento de fendas duplas. De fato, elassão ocasionadas devido à interferência das ondas difratadasem torno do disco, e o padrão formado é chamado de padrãode difração.

(a) (b)

Figura 15.1 – (a) Se a luz comporta-se como onda, uma manchabrilhante aparecerá no centro da sombra de um disco opaco ilumi-nado por uma fonte pontual de luz monocromática. (b) Padrão dedifração obtido para um disco circular; note o ponto brilhante nocentro da sombra do disco, como prevê a teoria ondulatória da luz.©Giancoli 4ed.

Um padrão de difração existe em torno de qualquerobjeto com bordas finas quando iluminado por uma fontepontual. Em nosso cotidiano, raramente notamos o efeito dedifração pois a maior parte das fontes de luz presentes no dia-a-dia não são pontuais. Por esta razão, o padrão de difraçãodesaparece, sendo “apagado” pela luz vinda de diferentespartes da fonte.

15.2 O PRINCÍPIO DE HUYGENS

A teoria ondulatória de Huygens utiliza uma construçãogeométrica que permite prever onde estará uma dada frentede onda em qualquer instante futuro se conhecermos suaposição atual. Essa construção se baseia no princípio deHuygens, que diz o seguinte:

Todos os pontos de uma frente de onda se compor-tam como fontes pontuais de ondas secundárias.Depois de um intervalo de tempo t a nova posiçãoda frente de onda é dada por uma superfícietangente a essas ondas secundárias.

De acordo com este princípio, quando ondas planasincidem sobre pequenas aberturas, em torno de obstáculos oubordas afiadas, as ondas são espalhadas, já que cada ponto dafenda, por exemplo, pode ser representado como uma fontepontual de ondas secundárias (ver Figura 15.2). O resultadodeste espalhamento é o efeito de difração e a consequenteformação de um padrão de difração devido à interferênciadas ondas secundárias, como veremos a seguir.

Huygens’s principle is a geometric model that allows us to determine theposition of a wave front from a knowledge of an earlier wave front. In Huygens’sconstruction, all points on a given wave front are taken as point sources for the pro-duction of spherical secondary waves, called wavelets, that propagate outward withspeeds characteristic of waves in that medium. After some time interval has elapsed,the new position of the wave front is the surface tangent to the wavelets.

Figure 25.18 illustrates two simple examples of a Huygens’s principle construc-tion. First, consider a plane wave moving through free space as in Figure 25.18a. Att ! 0, the wave front is indicated by the plane labeled AA". Each point on this wavefront is a point source for a wavelet. Showing three of these points, we draw arcs ofcircles, each of radius c #t, where c is the speed of light in free space and #t is thetime interval during which the wave propagates. The surface drawn tangent to thewavelets is the plane BB", which is parallel to AA". This plane is the wave front at theend of the time interval #t. In a similar manner, Figure 25.18b shows Huygens’sconstruction for an outgoing spherical wave.

A convincing demonstration of the existence of Huygens wavelets is obtainedwith water waves in a shallow tank (called a ripple tank) as in Figure 25.19. Planewaves produced to the left of the slits emerge to the right of the slits as two-dimensional circular waves propagating outward. In the plane wave, each point onthe wave front acts as a source of circular waves on the two-dimensional water sur-face. At a later time, the tangent of the circular wave fronts remains a straight line.As the wave front encounters the barrier, however, waves at all points on the wavefront, except those that encounter the openings, are reflected. For very small open-ings, we can model this situation as if only one source of Huygens wavelets exists ateach of the two openings. As a result, the Huygens wavelets from those singlesources are seen as the outgoing circular waves in the right portion of Figure 25.19.This is a dramatic example of diffraction that was mentioned in the opening sec-tion of this chapter, a phenomenon we shall study in more detail in Chapter 27.

852 ! CHAPTER 25 REFLECTION AND REFRACTION OF LIGHT

y g p pp

(a) (b)

Old wave front

New wave front

c ! t

A B

Old wave front

New wave front

A" B "

c ! t

Huygens’sconstruction for (a) a plane wavepropagating to the right and (b) a spherical wave.

FIGURE 25.18

toward D. At the same time, the wave at B emits aHuygens wavelet (the circular arc centered on B)toward C. Figure 25.20a shows these wavelets after atime interval #t, after which ray 2 strikes the surface.Because both rays 1 and 2 move with the same speed,we must have AD ! BC ! c #t.

Deriving the Laws of Reflection and RefractionEXAMPLE 25.4Use Huygens’s principle to derive the law of reflection.

Solution To derive the law of reflection, consider therays shown in Figure 25.20a. The line AB represents awave front of the incident light just as ray 1 strikes thesurface. At this instant, the wave at A sends out aHuygens wavelet (the circular arc centered on A)

Water waves in aripple tank demonstrate Huygenswavelets. A plane wave is incident on abarrier with two small openings. Theopenings act as sources of circularwavelets.

FIGURE 25.19

(Eric

h Sc

hrem

pp/P

hoto

Res

earc

hers

, Inc

.)

Christiaan Huygens (1629–1695)Huygens, a Dutch physicist and as-tronomer, is best known for his con-tributions to the fields of optics anddynamics. To Huygens, light was atype of vibratory motion, spreadingout and producing the sensation ofsight when impinging on the eye.

(Cou

rtesy

of R

ijksm

useu

m vo

or d

e Ge

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eden

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r Nat

uurw

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scha

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urte

sy A

IP N

iels

Bohr

Libr

ary)

Frentede onda

em t

Frentede onda

em t + ! t

Figura 15.2 – Construção pelo princípio de Huygens de uma ondaplana se propagando para a direita. ©Serway–Jewett 3ed.



71

Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 15: Difração

Figura 15.3 – Análise do padrão de difração formada pela luz passando através de uma fenda estreita de largura a. ©Giancoli 4ed.

15.3 DIFRAÇÃO POR UMA FENDA

Vamos ver como o padrão de difração surge analisandoum importante caso quando luz monocromática passa atravésde uma fenda estreita. Assumimos que raios paralelos deluz (ondas planas) incidem sobre uma fenda de largura a,atravessando-a e atingindo uma tela detectora suficiente-mente distante (isto nos garante o paralelismo dos raios). Deacordo com o princípio de Huygens, ondas atravessando umafenda vão se espalhar em todas as direções. Vamos agoraexaminar como as ondas que passam através de diferentespartes da fenda vão interferir entre si, produzindo o padrãode difração mostrado na ??.

Raios paralelos de luz monocromática passam através deuma fenda estreita conforme mostrado na Figura 15.3a. Alargura da fenda a é da ordem do comprimento de onda λ daluz, mas o comprimento da fenda (na direção perpendicularà página) é muito grande comparado com λ. A luz incidesobre a tela detectora que assumimos estar bem distanteda fenda, tal que os raios são aproximadamente paralelosquando atingem a tela.

Inicialmente, vamos considerar ondas que passam dire-tamente através da fenda, conforme mostra a Figura 15.3a.As ondas estão todas em fase e, portanto, uma franja centralbrilhante aparecerá na tela (ver ??b). Na Figura 15.3b,consideramos ondas movendo-se numa direção que formaum ângulo θ com o eixo perpendicular à fenda. Este ânguloé escolhido de tal forma que a diferença de percurso entreuma onda na borda superior e outra na borda inferior éexatamente λ. Para uma onda passando através do centroda fenda, a diferença de percurso em relação à onda daborda inferior será exatamente 1

2λ. Estas duas ondas estarãoentão defasadas e sofrerão interferência destrutiva quandoatingirem a tela detectora, já que para ocorrer interferênciadestrutiva r2 − r1 = (n + 1

2 )λ (neste caso n = 0). Deforma similar, uma onda imediatamente acima da onda daborda inferior se cancelará com uma onda imediatamenteacima da onda central. De fato, cada onda passando atravésda metade inferior da fenda se cancelará com uma ondacorrespondente passando na parte superior da fenda. Dessaforma, todas as ondas sofrerão interferência destrutiva empares e a intensidade da luz detectada na tela será nula para

o caso em que o ângulo θ seja dado por

sen θ =λ

a.

A intensidade da luz tem um valor máximo para θ = 0ºe diminui para um mínimo (intensidade = zero) para θ =sen −1λ/a.

Agora considere um ângulo θ maior tal que a diferençade percurso entre as ondas superior e inferior seja de 3

2λ,como mostrado na Figura 15.3c. Neste caso, dividindo afenda em três partes iguais (a/3), ondas localizadas no terçoinferior da fenda se cancelarão com ondas do terço central,já que a diferença de percurso entre elas será de 1

2λ. Noentanto, ondas provenientes do terço superior ainda atingirãoa tela detectora, surgindo uma franja brilhante centradaaproximadamente em sen θ ≈ 3λ/2a, não tão brilhante comoa franja central em θ = 0º.

Para um ângulo θ ainda maior tal que a diferença depercurso entre as ondas das extremidades da fenda seja 2λ(Figura 15.3d), dividindo a fenda agora em quatro partes(a/4), vemos que ondas do quarto inferior (entre 3

4 a e a)se cancelarão com ondas da parte imediatamente superior(entre 1

2 a e 34 a), já que a diferença de percurso entre elas

será de 12λ, e, pela mesma razão, ondas da parte superior

(entre 0 e 14 a) se cancelarão com ondas da parte acima do

centro da fenda (entre 14 a e 1

2 a). Logo, para este ângulo,também ocorrerá um mínimo de zero intensidade no padrãode difração. Um gráfico da intensidade em função do ângulo

Figura 15.4 – Intensidade no padrão de difração de uma fendaúnica em função de sen θ. Note que o máximo central é mais altoe duas vezes mais largo que os máximos secundários. ©Giancoli4ed.



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or

in agreement with Equation 38.1.Figure 38.10a represents a plot of Equation 38.4, and Figure 38.10b is a photo-

graph of a single-slit Fraunhofer diffraction pattern. Note that most of the light inten-sity is concentrated in the central bright fringe.

m ! "1, "2, "3, # # #sin $ dark ! m %

a

1212 C H A P T E R 3 8 • Diffraction Patterns and Polarization

(a)

Imax

I2 I1 I1 I2

_3 _2 2 3!_!/2

I

"! !!!

(b)

Figure 38.10 (a) A plot of lightintensity I versus &/2 for thesingle-slit Fraunhofer diffractionpattern. (b) Photograph of asingle-slit Fraunhofer diffractionpattern.

M. C

agne

t, M

. Fra

ncon

,an

d J.

C. T

hier

r

Example 38.2 Relative Intensities of the Maxima

Find the ratio of the intensities of the secondary maxima tothe intensity of the central maximum for the single-slitFraunhofer diffraction pattern.

Solution To a good approximation, the secondary maximalie midway between the zero points. From Figure 38.10a,we see that this corresponds to &/2 values of 3'/2, 5'/2,7'/2, . . . . Substituting these values into Equation 38.4gives for the first two ratios

0.045I 1

I max! ! sin(3'/2)

(3'/2) "2!

19'2/4

!

That is, the first secondary maxima (the ones adjacent tothe central maximum) have an intensity of 4.5% that of thecentral maximum, and the next secondary maxima have anintensity of 1.6% that of the central maximum.

0.016I 2

I max! ! sin(5'/2)

5'/2 "2!

125'2/4

!

Intensity of Two-Slit Diffraction Patterns

When more than one slit is present, we must consider not only diffraction patterns dueto the individual slits but also the interference patterns due to the waves coming fromdifferent slits. Notice the curved dashed lines in Figure 37.14, which indicate adecrease in intensity of the interference maxima as $ increases. This decrease is dueto a diffraction pattern. To determine the effects of both two-slit interference and asingle-slit diffraction pattern from each slit, we combine Equations 37.12 and 38.5:

(38.6)

Although this expression looks complicated, it merely represents the single-slitdiffraction pattern (the factor in square brackets) acting as an “envelope” for a two-slit

I ! I max cos2 # 'd sin $% $ ! sin('a sin $/%)

'a sin $/% "2

Condition for intensity minimafor a single slit

Figura 15.5 – (a) Gráfico da intensidade I versus α para o padrãode difração por uma fenda. (b) Fotografia do padrão de difração poruma fenda. ©Serway–Jewett 3ed.

( sen θ ) é mostrado na Figura 15.4, que corresponde ao queé observado experimentalmente. Note que os mínimos dopadrão de difração (intensidade = zero) ocorrem em ambosos lados sempre que

a sen θ = mλ, m = ±1,±2,±3, · · · ,

mas não em m = 0, onde há o máximo central mais intenso.Entre os mínimos de intensidade, ocorrerão máximos se-cundários com intensidade menor para valores aproximados(não-exatos) de m ≈ 3

2 ,52 , · · · .

15.4 INTENSIDADE NO PADRÃO DE DIFRAÇÃOPOR UMA FENDA

A intensidade I(θ) do padrão de difração em função doângulo θ é dada por

(15.1) I(θ) = Im

( senαα

)2,

ondeα = 1

2ϕ =πaλ

sen θ.

O símbolo α é apenas um parâmetro conveniente para ex-pressar a relação entre o ângulo θ que especifica a posiçãode um ponto na tela de observação e a intensidade luminosaI(θ) nesse ponto. Im é o valor máximo da intensidade, queocorre no máximo central (ou seja, para θ = 0), ϕ é adiferença de fase (em radianos) entre as ondas provenientesda extremidade superior e inferior da fenda e a é a largura dafenda.

De acordo com a equação 15.1, os mínimos de intensi-dade ocorrem nos pontos em que

α = mπ, para m = 1, 2, 3, · · · .

Substituindo esse resultado na expressão para α, obtemos

mπ =πaλ

sen θ

oua sen θ = mλ,

que é exatamente a mesma expressão que obtivemos anteri-ormente para a localização dos mínimos.

Exercício: Determine as intensidades dos doisprimeiros máximos secundários do padrão dedifração da Figura 15.5, expressas como por-centagens da intensidade do máximo central.

15.5 RESOLUÇÃO; DIFRAÇÃO POR UMAABERTURA CIRCULAR

A habilidade que os sistemas ópticos possuem paradistinguir objetos muito próximos entre si é limitada porcausa da natureza ondulatória da luz. Para entender esteproblema, considere a Figura 15.6, que mostra duas fontesde luz distantes de uma fenda estreita. As fontes podemser consideradas como duas fontes pontuais S 1 e S 2, não-coerentes. Por exemplo, elas podem ser duas estrelas dis-tantes observadas através da abertura de um telescópio. Senão ocorresse nenhuma difração, dois pontos distintos (ouimagens) brilhantes seriam observados no anteparo à direitana figura. No entanto, devido à difração, cada fonte tem suaimagem formada como uma região central brilhante envoltapor franjas brilhantes e escuras mais fracas. O que se observano anteparo é a soma de dois padrões de difração de S 1 e S 2.

Se as duas fontes estiverem distantes o bastante para queseus máximos centrais não se sobreponham, como mostradona Figura 15.6a, suas imagens podem ser distinguidas e sediz que elas estão resolvidas. Se as fontes estiverem muitopróximas entre si, como na Figura 15.6b, os dois máximos

Figura 15.6 – Duas fontes pontuais distantes de uma pequenaabertura, cada uma produzindo um padrão de difração. (a) Oângulo subentendido pelas fontes na abertura é grande o bastantepara que os padrões de difração sejam distinguíveis. (b) O ângulosubentendido pelas fontes é tão pequeno que os padrões de difraçãose sobrepõem e as fontes não ficam bem resolvidas. (A figuranão está em escala, e portanto os ângulos foram exagerados.)©Serway–Jewett 3ed.



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Figura 15.7 – Fotografias de imagens formadas por uma lente,mostrando o padrão de difração para (a) um único objeto pontuale para (b) dois objetos pontuais próximos cujas imagens são malresolvidas. ©Giancoli 4ed.

centrais sobrepõem-se e as fontes não estarão resolvidas.Para decidir quando duas fontes estão resolvidas, usa-sefrequentemente o seguinte critério:

Quando o máximo central do padrão de difraçãode uma fonte incide sobre o primeiro mínimocentral do padrão de difração de uma outra fonte,diz-se que as duas fontes estão minimamenteresolvidas. Essa condição limite de resolução éconhecida como critério de Rayleigh.

A partir deste critério, podemos determinar a separaçãoangular mínima θmin (ou θR) subentendida pelas fontes emuma fenda tal que as fontes estejam minimamente resolvidas.Vimos que o primeiro mínimo de um padrão de difraçãoocorre no ângulo que satisfaz a condição

sen θ =λ

a,

onde a é a largura da fenda. De acordo com o critério deRayleigh, essa expressão fornece a menor separação angularpara a qual essas duas fontes estão resolvidas. Como λ ≪a na maioria das situações, podemos usar a aproximaçãosen θ ≈ θ. Logo, o ângulo limite de resolução para uma fendade largura a é

θmin =λ

a,

onde θmin é expresso em radianos. Para qualquer ângulo entreas fontes maior que λ/a, elas serão resolvidas.

Muitos sistemas ópticos utilizam aberturas circulares emvez de fendas. O padrão de difração de uma abertura

circular, conforme é mostrado na Figura 15.7, consiste deum disco central brilhante (geralmente chamado disco deAiry) cercado por anéis progressivamente mais fracos. Umaanálise do padrão de difração mostra que o ângulo limite deresolução da abertura circular é

θmin = 1,22λ

D,

onde D é o diâmetro da abertura circular. Note que estaequação difere daquela para a fenda apenas pelo fator 1,22.

15.6 INTENSIDADE DO PADRÃO DE DIFRAÇÃOPOR FENDA DUPLA

No experimento de fenda dupla discutida no capítulo an-terior, supusemos implicitamente que as fendas eram muitomais estreitas que o comprimento de onda da luz utilizada,ou seja, a ≪ λ. No caso de fendas estreitas o máximocentral do padrão de difração de cada fenda cobre toda a telade observação, e a interferência da luz proveniente das duasfendas produz franjas claras quase com a mesma intensidade(Figura 15.8b).

Na prática, porém, a condição a ≪ λ nem sempreé satisfeita. Quando as fendas são relativamente largas ainterferência da luz proveniente das duas fendas produz fran-jas claras de diferentes intensidades. Isso acontece porqueas intensidades das franjas produzidas por interferência sãomodificadas pela difração sofrida pela luz ao passar pelasfendas (Figura 15.8a). A intensidade resultante então seráuma combinação do padrão de interferência e do padrão dedifração da luz incidente da fenda dupla.

A intensidade do padrão de difração de fenda dupla édada pela expressão:

(15.2) I(θ) = Im(cos2 β)( senαα

)2

ondeβ =πdλ

sen θ

eα =πaλ

sen θ,

onde d é a distância entre os centros das fendas e a é alargura das fendas. Observe que o lado direito da equação15.2 é o produto de Im por dois fatores: (1) o fator deinterferência cos2 β, associado à interferência da luz quepassa pelas duas fendas; (2) o fator de difração [( senα)/α]2,associado à difração causada pelas fendas. Estes dois fatoressão mostrados nas Figuras 15.8a e 15.8b para o caso quandod = 6a e a = 10λ. A Figura 15.8c mostra o produtodestas duas curvas (multiplicado por Im) que é a intensidaderesultante em função do ângulo θ, de acordo com a equação15.2. A curva tracejada indica o fator de difração que secomporta como um envoltório, modulando a intensidade dasfranjas do padrão de interferência.



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Figura 15.8 – Gráfico do (a) fator de difração, (b) fator deinterferência e (c) intensidade resultante I(θ), em função do ânguloθ, para d = 6a e a = 10λ. ©Giancoli 4ed.

15.7 REDES DE DIFRAÇÃO

Um grande número de fendas estreitas igualmente espa-çadas compõem um dispositivo chamado rede de difração,embora o termo “rede de interferência” seria mais apro-priado, como veremos. Redes de difração geralmente sãoproduzidas fazendo-se um número muito grande de linhasfinas e paralelas em uma placa de vidro. A densidade delinhas é de cerca de 104 linhas por centímetro para uma redede difração comum.

A análise de uma rede de difração é muito parecida com oexperimento de fenda dupla de Young. Assumimos que raiosparalelos de luz incidem sobre uma rede, como mostradona Figura 15.9. Também consideramos que as fendas sãoestreitas o bastante para que o efeito de difração em cadauma delas produza espalhamento da luz em várias direçõesao atingirem um anteparo, podendo ocorrer interferência daluz proveniente de diferentes fendas. Ondas de luz que

Figura 15.9 – Representação gráfica de uma rede de difração.©Giancoli 4ed.

Figura 15.10 – Espectro produzido por uma rede de difração: (a)dois comprimentos de onda, 400 nm e 700 nm; (b) luz branca.A segunda ordem será normalmente mais fraca que a primeira.©Giancoli 4ed.

passam através de cada fenda sem desvio (θ = 0º) produzirãointerferência construtiva e uma linha brilhante aparece nocentro do anteparo. Interferência construtiva também ocorrepara ângulos θ tal que ondas de fendas adjacentes percorremuma distância extra de ∆ℓ = mλ, onde m é um númerointeiro. Se d é a distância entre cada fenda, então vemosna Figura 15.9 que ∆ℓ = d sen θ, e portanto

sen θ =mλd, para m = 0, 1, 2, · · · ,

é o critério para ocorrência de máximos produzidos por umarede de difração. Esta é a mesma equação para a interferênciade fenda dupla e o parâmetro m é chamado de ordem dopadrão de difração. Esta expressão pode ser utilizada parase calcular o comprimento de onda a partir do conhecimentodo espaçamento d da rede e do ângulo de desvio θ.

Suponha agora que a luz incidente sobre uma rede dedifração não seja monocromática, mas consiste de dois oumais comprimentos de onda. Então, para todas as ordensexceto m = 0, cada comprimento de onda produzirá ummáximo num ângulo diferente (Figura 15.10). Se luz brancaincide sobre uma rede, o máximo central (m = 0) será umpico estreito branco, enquanto para todas as outras ordensaparecerá um espectro de cores espalhadas sobre uma certadistância angular, conforme mostrado na Figura 15.10b.Como uma rede de difração espalha a luz em suas componen-tes de diferentes comprimentos de ondas, o padrão resultanteé chamado de espectro.

Um exemplo bastante comum de difração é o padrão dearco-íris que aparece na superfície de um CD. A superfíciede um CD tem uma trilha espiral (com um espaçamento deaproximadamente 1 µm) que age como uma rede refletora.A luz espalhada por essas trilhas que estão bem próximasinterfere construtivamente em direções que dependem docomprimento de onda e da direção da luz incidente. Qualquerseção do disco serve como uma rede de difração para a luzbranca, enviando feixes de interferência construtiva de coresdiferentes em direções diferentes. As cores diferentes quevocê vê quando está observando uma seção do disco mudamquando a fonte de luz, o disco ou você se deslocam paramudar o ângulo de incidência ou o ângulo de visão.



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16 LUZ E FÍSICA QUÂNTICA

16.1 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO E A TEORIA DEPLANCK

Uma das observações que não possuíam uma explicaçãoaté o final do século XIX (∼ 1890) era o espectro da luzemitida por objetos quentes. Um corpo em qualquer tem-peratura emite energia, denominada radiação térmica, cujaintensidade é proporcional à quarta potência da temperatura(T , em Kelvin), I ∝ T 4. Um objeto em temperaturaambiente (T ≈ 300 K) emite radiação com baixa intensidadee, portanto, não notamos tal radiação. Para temperaturasmais elevadas, há radiação suficiente que possibilita sentircalor nas proximidades do objeto. Para temperaturas aindamais altas (da ordem de 1000 K), objetos tornam-se incan-descentes, emitindo luz avermelhada, como a resistência deuma torradeira. Para temperaturas acima de 2000 K, objetosbrilharão com uma cor amarelada ou esbranquiçada, comoo filamento de uma lâmpada. A luz emitida é contínuaem comprimentos de onda ou frequências e seu espectroé um gráfico da intensidade vs. comprimento de onda(ou frequência). À medida que a temperatura aumenta, aradiação eletromagnética emitida pelos objetos não apenasaumenta em intensidade como também atinge um pico parafrequências cada vez mais altas.

O espectro da luz emitida por um objeto quente é mos-trado na Figura 16.1 para um corpo-negro ideal. Um corpo-negro é um objeto que absorve toda a radiação que incidesobre ele. A radiação que seria emitida por um corpo-negro ideal é chamada de radiação de corpo-negro e seaproxima da radiação emitida por muitos objetos. A curvade 6000 K na Figura 16.1, correspondente à temperatura nasuperfície do Sol, possui um pico na parte visível do espectro.Para temperaturas mais baixas, a radiação total diminuiconsideravelmente e o pico ocorre para comprimentos de

Figura 16.1 – Intensidade da radiação de corpo-negro em funçãodo comprimento de onda para três temperaturas. ©Giancoli 4ed.

Figura 16.2 – Comparação da teoria de Rayleigh-Jeans com a dePlanck, que ajusta os dados experimentais. ©Tipler–Llewellyn,Física Moderna, 3ed.

onda maiores (ou frequências mais baixas). Por esta razão,objetos emitem luz vermelha quando aquecidos a 1000 K,por exemplo.

A intensidade total I (a taxa média de radiação de energiapor unidade de área ou potência média por área) emitida pelasuperfície de um corpo negro a uma temperatura T é dadapela lei de Stefan-Boltzmann:

I = σT 4,

onde σ é uma constante fundamental, chamada constante deStefan-Boltzmann, e T é a temperatura absoluta em Kelvin.Em unidades SI, seu valor é

σ = 5,67× 10−8 W·m−2·K−4.

O comprimento de onda correspondente ao pico máximoda intensidade da radiação de corpo-negro, λmax, obtidoexperimentalmente, relaciona-se com a temperatura T emKelvin por

λmaxT = 2,90× 10−3m·K.

Esta relação é conhecida como lei de deslocamento deWien.

Um dos maiores problemas enfrentados pelos cientis-tas em 1890 era justamente explicar a radiação de corpo-negro. A teoria eletromagnética de Maxwell previa quecargas elétricas oscilando produzem ondas eletromagnéticase a radiação emitida por um objeto quente poderia ocorrerdevido às oscilações das cargas elétricas nas moléculas domaterial. Esta hipótese poderia explicar de onde a radiaçãose origina, mas não previa corretamente o espectro observadoda luz emitida. Duas importantes curvas teóricas baseadasem ideias clássicas foram propostas por W. Wien (em 1896)e por Rayleigh (em 1900). Esta última foi modificada porJ. Jeans e desde então tem sido conhecida como teoria deRayleigh-Jeans e pode ser expressa como:

I(λ,T ) = 2πckTλ−4,

onde I(λ,T ) é a intensidade da radiação como função do



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Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 16: Luz e física quântica

comprimento de onda e da temperatura, k é a constantede Boltzmann e c é a velocidade da luz. Quando dadosexperimentais precisos foram obtidos, tornou-se evidenteque nenhuma destas duas formulações teóricas concordavamcom os experimentos, como mostra a Figura 16.2. Emparticular, para pequenos comprimentos de onda a teoria deRayleigh-Jeans prevê intensidade infinita para a radiação decorpo negro, um efeito chamado de “catástrofe do ultravio-leta”.

No ano de 1900, Max Planck (1858–1947) propôs umafórmula empírica para ajustar os dados (chamada fórmula daradiação de Planck):

I(λ,T ) =2πhc2λ−5

e hc/λkT − 1,

onde novamente I(λ,T ) é a intensidade da radiação comofunção do comprimento de onda e da temperatura, k é aconstante de Boltzmann, c é a velocidade da luz e h é umanova constante, chamada constante de Planck. O valor de hfoi estimado por Planck para ajustar sua fórmula aos dadosexperimentais. O valor de h aceito hoje é

h = 6,626× 10−34 J·s.

Para dar um embasamento teórico para sua fórmula, Planckfez uma hipótese radical: a energia das oscilações dos átomosdentro das moléculas não pode ter qualquer valor; em vezdisso, cada oscilação tem uma energia que é um múltiplo deum valor mínimo relacionado com a frequência da oscilação,f , por

E = h f .

Assim, de acordo com a hipótese de Planck, a energia dequalquer vibração molecular pode ser somente escrita comoum múltiplo da quantidade h f , isto é:

E = nh f , n = 1, 2, 3, · · · ,

onde n é chamado de número quântico (o termo “quântico”está associado a uma quantidade discreta, o oposto de “contí-nuo”). Isto implica que a energia não é uma quantidade con-tínua, como se pensava há séculos; de acordo com Planck,a energia é quantizada, existindo apenas em quantidadesdiscretas. A menor quantidade de energia possível (h f ) échamada de quantum de energia.

Quando Planck apresentou sua teoria, a maioria doscientistas (incluindo Planck!) não considerava o conceitoquântico realístico. Achava-se que era um truque matemáticoque conseguia prever resultados corretos. Portanto, Planck eoutros continuaram a procurar por aquilo que consideravamser uma explicação mais racional da radiação do corpo negro.Porém, desenvolvimento subsequentes mostraram que umateoria baseada no conceito quântico (em vez de conceitosclássicos) era necessária para explicar vários outros fenôme-nos no nível atômico.

16.2 EFEITO FOTOELÉTRICO E A TEORIA DEEINSTEIN SOBRE O FÓTON

A radiação do corpo negro foi historicamente o primeirofenômeno a ser explicado com um modelo quântico. Nofim do século XIX, ao mesmo tempo em que dados sobre aradiação térmica eram obtidos, experiências mostraram queluz incidente sobre uma superfície metálica fazia com queelétrons fossem emitidos da superfície. Esse fenômeno foidescoberto por Hertz e é chamado efeito fotoelétrico.

No ano de 1905, Albert Einstein (1879–1955) fez duas desuas maiores contribuições para a física moderna. Introduziua teoria da relatividade restrita e fez uma extensão da ideia dequantum propondo uma nova teoria da luz. De acordo como trabalho de Planck, a energia vibracional das moléculasnum objeto é quantizada com energia E = nh f , onde n é umnúmero inteiro e f é a frequência da vibração. Einstein su-geriu que quando luz é emitida por uma molécula oscilando,a energia nh f deveria diminuir por uma quantidade h f (oupor 2h f , etc), resultando numa quantidade (n − 1)h f . Então,pelo princípio da conservação da energia, a luz deveria seremitida em pacotes, ou quanta, cada um com energia

E = h f ,

onde f é a frequência da luz emitida.

Como toda luz é irradiada a partir de uma fonte, esta ideiasugere que a luz deve ser transmitida através de partículas,ou fótons, como elas são chamadas atualmente, assim comoatravés de ondas eletromagnéticas previstas pela teoria deMaxwell. A teoria do fóton de Einstein representa umaruptura radical das ideias clássicas. Para verificá-la, Einsteinpropôs um teste através de medidas quantitativas do efeitofotoelétrico.

A emissão de elétrons quando luz incide sobre umasuperfície metálica é consistente com a teoria eletromagné-tica da luz: o campo elétrico de uma onda eletromagnéticapoderia exercer uma força sobre os elétrons no metal eejetar alguns deles. Einstein notou, porém, que a teoriaondulatória e a teoria de fótons da luz resultam em previsõesmuito distintas para os detalhes do efeito fotoelétrico. Porexemplo, podemos medir a energia cinética máxima (Kmax)dos elétrons emitidos e comparar as previsões feitas por estasduas teorias.

Primeiramente, de acordo com a teoria ondulatória daluz, as duas propriedades importantes da luz são sua inten-sidade e sua frequência (ou comprimento de onda). Quandoestas quantidades variam, essa teoria faz as seguintes previ-sões para o efeito fotoelétrico:

1. Se a intensidade da luz aumenta, o número de elétronsejetados e sua energia cinética máxima deve aumentar,já que uma intensidade maior implica em uma ampli-tude do campo elétrico maior, e quanto maior o campoelétrico maior será a velocidade de ejeção dos elétrons.

2. A frequência da luz não deve afetar a energia cinéticados elétrons ejetados. Apenas a intensidade afeta Kmax.



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No modelo de Einstein, um fóton da luz incidente fornecetoda a sua energia h f para um único elétron do metal. Aenergia cinética máxima para esses elétrons emitidos é

Kmax = ( 12 mv2)max = h f − φ,

onde h é a constante de Planck, f é a frequência do fótonincidente e φ é chamada de função trabalho, característicade cada metal, que representa a energia mínima necessáriapara remover um elétron da sua superfície. A função trabalhopode ser escrita como

φ = h f0,

onde f0 é chamada de frequência de corte para um dadometal. Como a energia cinética do elétron deve ser positiva,verificamos que a frequência f do fóton incidente deve sermaior que f0 para ocorrer o efeito fotoelétrico.

Podemos resumir as previsões feitas pela teoria propostapor Einstein nos seguintes itens:

1. Um aumento da intensidade da luz implica em maisfótons incidentes, e portanto mais elétrons são ejetados.Porém, a energia cinética máxima dos elétrons nãomuda, já que a energia de cada fóton é sempre h f .

2. Se a frequência da luz aumenta, a energia cinéticamáxima dos elétrons aumenta: Kmax = h f − φ.

3. Se a frequência f da luz é menor que a frequência decorte f0, nenhum elétron será ejetado, não importandoquão elevada seja a intensidade da luz.

Estas previsões para a teoria de fótons da luz são cla-ramente bem diferentes das previsões da teoria ondulatória.Entre 1913 e 1914, experimentos meticulosos feitos porR. A. Milikan comprovaram que o efeito fotoelétrico eracorretamente explicado pela teoria proposta por Einstein.

16.3 ESPALHAMENTO COMPTON

Uma nova evidência que suportava a teoria de fótonsda luz foi descoberta por Arthur H. Compton (1892–1962),que mediu o espalhamento de raios-X por elétrons em1923. De acordo com a teoria clássica, quando uma ondaeletromagnética de frequência f1 incide sobre um materialcontendo cargas, as cargas oscilarão com esta frequênciae reemitirão ondas eletromagnéticas de mesma frequência.Compton notou que se o processo de espalhamento fosserepresentado como sendo uma colisão entre um fóton e umelétron, o elétron absorveria energia e portanto recuaria. Ofóton espalhado teria então menos energia e portanto umafrequência mais baixa (ou comprimento de onda maior) queo fóton incidente.

De acordo com a teoria eletromagnética clássica, aenergia e o momento de uma onda eletromagnética estãorelacionados por

E = pc.

Se um fóton tem energia E = h f = hc/λ, seu momento deve

Figura 16.3 – Espalhamento Compton. Colisão de um fóton demomento h/λ1 com um elétron livre.©Tipler–Llewellyn, FísicaModerna, 3ed.

ser então p = E/c = h f /c = h/λ:

p =hλ.

Compton aplicou as leis da conservação de momento eenergia para a colisão de um fóton e um elétron para calcularo momento p2 e assim o comprimento λ2 = h/p2 do fótonespalhado (Figura 16.3). Como o resultado obtido por Comp-ton depende da teoria da relatividade restrita de Einstein,apresentamos aqui apenas seu resultado. Os comprimentosde onda λ1, associado com o fóton incidente, e λ2, associadocom o fóton espalhado, estão relacionados entre si e aoângulo de espalhamento θ pela seguinte expressão:

(16.1) λ2 − λ1 =h

mec(1 − cos θ),

onde me é a massa do elétron. A mudança no comprimentode onda independe do comprimento de onda original. Aquantidade h/mec depende apenas da massa do elétron e deconstantes fundamentais. Ela possui dimensão de compri-mento e é chamada de comprimento de onda de Compton,cujo valor é

λC =h

mec= 2,43× 10−12m.

Como λ2 − λ1 possui um valor muito pequeno, esta variaçãoé muito difícil de ser observada. Porém, se utilizamosλ1 pequeno o suficiente para tornar a razão (λ2 − λ1)/λ1mensurável, podemos obter por qual fração o comprimentode onda original foi alterado. Compton utilizou raios-Xde comprimento de onda equivalente a 71,1 pm (1 pm =1× 10−12 m). A energia de fóton com este comprimento deonda é E = hc/λ = 17,4 keV1. Os resultados experimentaisobtidos por Compton para λ2 − λ1 em função do ângulo deespalhamento θ concordaram com a Eq. 16.1, confirmandoportanto a validade do conceito de fóton, isto é, a naturezacorpuscular da luz.

11 eV = 1 elétron-volt = 1,60× 10−19 J.



78


16.4 A DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA DA LUZ

O efeito fotoelétrico, o espalhamento Compton, entre ou-tros experimentos, colocaram a teoria de fótons da luz numasólida base experimental. Mas, e quanto aos experimentosclássicos de Young, entre outros, sobre a interferência e adifração da luz, que mostraram que a teoria ondulatória daluz também é suportada por uma forte base experimental?

Estamos em um verdadeiro dilema. Alguns experimentosindicam que a luz comporta-se como onda; outros indicamque ela comporta-se como um feixe de partículas. Estas duasteorias parecem ser incompatíveis, mas ambas mostram-seválidas. Para resolver esta questão, os físicos finalmentechegaram à conclusão de que esta dualidade onda-partículada luz deve ser aceita como um fato natural. Aparentemente,a luz é um fenômeno mais complexo do que simplesmentedizer que ela é uma onda ou um feixe de partículas.

Para clarificar esta situação, o ilustre físico dinamarquêsNiels Bohr (1885–1962), propôs seu famoso princípio dacomplementaridade. Este princípio diz que para se en-tender um experimento, algumas vezes encontramos umaexplicação usando a teoria ondulatória e outras vezes usandoa teoria de partículas. Ainda assim, devemos ter noção dosdois aspectos da luz, onda e partícula, se quisermos ter umacompleta compreensão da natureza da luz. Portanto, estesdois aspectos da luz complementam um ao outro.

Cabe lembrar que a equação de Einstein E = h frepresenta ambos aspectos de onda e partícula de um feixe deluz. Nesta equação, E refere-se à energia de uma partícula,enquanto f é a frequência associada à sua correspondenteonda.



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17 ESTRUTURA ATÔMICA

17.1 PRIMEIROS MODELOS ATÔMICOS

A ideia de que a matéria é feita de átomos era bem aceitapela maioria dos cientistas por volta de 1900. Com a desco-berta do elétron por J. J. Thomson (1856–1940), em 1897,iniciou-se a busca por modelos que descrevessem a estruturados átomos, incluindo os elétrons em sua composição.

Um primeiro modelo proposto para o átomo é mostradona Figura 17.1. Thomson propôs que a carga positiva estariadistribuída uniformemente dentro de uma esfera com asdimensões do átomo, e os elétrons estariam dentro dessanuvem positiva (como passas num bolo).

Por volta de 1911, Ernest Rutherford (1871–1937) eseus assistentes, H. W. Geiger e E. Marsden, realizaramexperimentos cujos resultados contradiziam o modelo deThomson do átomo. Nestes experimentos, um feixe departículas carregadas positivamente, chamadas partículas α(que atualmente sabemos tratar-se de núcleos do hélio), eraapontado para uma folha de ouro muito fina (da ordem de10−3 mm, correspondendo a algumas milhares de camadasatômicas). O espalhamento das partículas α, ao colidiremcom os átomos, poderia então ser detectado caso ele ocor-resse.

Pelo modelo de Thomson, esperava-se que as partículas αnão seriam espalhadas significativamente, já que os elétronssão muito mais leves (a massa de uma partícula α é cerca de8000 vezes maior que a de um elétron). Além disso, comoa carga positiva do átomo estaria uniformemente distribuídadentro do raio atômico, também não poderia produzir desviosmuito grandes nas trajetórias das partículas α devido arepulsões elétricas.

Os resultados experimentais contrariaram completa-mente estas previsões. Observou-se que a maioria das partí-culas α atravessavam a folha de metal sem serem desviadas,como se a folha fosse feita de vazios, praticamente transpa-rente! Mas a observação mais importante foi a aparição departículas α desviadas a grandes ângulos, algumas inclusivena direção oposta de onde tinham vindo. Rutherford fez umainteressante analogia em relação a este fato: “era quase tãoincrível como se você disparasse uma bala de canhão contraum lenço de papel e ela fosse defletida para trás atingindovocê”.

Refletindo sobre esta observação, Rutherford chegou àconclusão de que as partículas α carregadas positivamenteestavam sendo repelidas por um pequeno núcleo maciço decarga positiva localizado na região central do átomo. Oátomo então consistiria de um núcleo positivo contendo cercade 99,9% da massa do átomo, cercado pelos elétrons que semoveriam em órbitas em torno do núcleo. Os experimentosde Rutherford sugeriram que o núcleo deveria ter um raioentre 10−15 e 10−14 m, enquanto o raio dos átomos era daordem de 10−10 m. Portanto, os elétrons deveriam estar

Figura 17.1 – Modelo atômico de Thomson. ©Tipler–Mosca 5ed.

distantes do núcleo cerca de 10.000 a 100.000 vezes o raiodo núcleo. (Se o núcleo fosse do tamanho de uma bola defutebol, o átomo teria o diâmetro correspondente ao de umacidade grande, com dezenas de quilômetros de diâmetro.)Assim, um átomo seria composto principalmente de espaçovazio!

17.2 O ESPECTRO ATÔMICO

No início do século XX, uma grande quantidade de dadoshavia sido coletada sobre a emissão de luz por átomos emum gás excitado por descargas elétricas. Quando observadaatravés de um espectroscópio de fenda estreita, a luz aparececomo um conjunto de linhas discretas de diferentes cores oucomprimentos de onda, onde o espaçamento e a intensidadedas linhas são características de cada elemento que constituio gás. Os comprimentos de onda das linhas espectraispoderiam então ser determinadas com precisão para cadaespectro. A Figura 17.2 mostra o espectro de linhas parao hidrogênio, mercúrio e neônio.

Em 1884, um professor do ensino médio da Suíça,Johann J. Balmer (1825–1898), encontrou que os compri-mentos de onda das quatro linhas no espectro visível dohidrogênio (com comprimentos de onda medidos de 410 nm,434 nm, 486 nm e 656 nm) podem ser representados pelaexpressão

λ = (364,6 nm)m2

m2 − 4, m = 3, 4, 5, 6.

Balmer sugeriu que isto poderia ser um caso particular deuma expressão mais geral que seria aplicável aos espectrosde outros elementos. Esta expressão geral foi obtida porJohannes R. Rydberg e Walter Ritz e é conhecida comofórmula de Rydberg–Ritz. O inverso do comprimento deonda pode ser obtido pela equação

(17.1)1λ= R

1n2

2

− 1n2

1

onde n1 e n2 são números inteiros com n1 > n2 e R é aconstante de Rydberg, que é a mesma para todas as sériesespectrais de um mesmo elemento e varia de elemento para



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Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 17: Estrutura atômica

Figura 17.2 – Linhas espectrais produzidas pela emissão na faixa espectral visível dos elementos hidrogênio, mercúrio e neônio. ©Serway–Jewett 3ed.

Figura 17.3 – Espectro de linhas do hidrogênio. Cada série é obtidapela fórmula de Rydberg–Ritz, onde n2 = 1 para a série de Lyman,n2 = 2 para a série de Balmer e n2 = 3 para a série de Paschen, eassim por diante. n1 pode ter qualquer valor inteiro desde que n1 >

n2. As únicas linhas na região visível do espectro eletromagnéticofazem parte da série de Balmer. ©Giancoli 4ed.

elemento de forma regular. Para o hidrogênio, o valor destaconstante é

RH = 1,096776× 107m−1.

A fórmula de Rydberg–Ritz dá os comprimentos de ondade todas as linhas no espectro do hidrogênio assim como deelementos alcalinos como o lítio e o sódio.

O modelo atômico de Rutherford era incapaz de expli-car por que átomos emitem espectros formados por linhasespectrais. Ele ainda possuía outros problemas. De acordocom este modelo, elétrons orbitariam o núcleo de um átomoe, como as trajetórias são curvas, eles deveriam possuir umaaceleração para se manterem em órbita. Assim, eles deve-riam emitir luz como qualquer outra carga elétrica acelerada,com uma frequência igual à sua frequência orbital. Como luztransporta energia e a energia deve ser conservada, a energiados elétrons deveria diminuir para compensar este efeito.Assim, os elétrons descreveriam órbitas espiraladas em tornodo núcleo, aumentando a frequência orbital e, portanto, afrequência da luz emitida (ver Figura 17.4). Logo, o modeloatômico de Rutherford previa que os átomos não seriamestáveis!

Claramente o modelo de Rutherford não era suficientepara explicar os átomos. Algum tipo de modificação eranecessária: a inclusão da hipótese quântica.

Figura 17.4 – No modelo de Rutherford, baseado apenas emprincípios da física clássica, o elétron descreve uma espiral emdireção ao núcleo porque está constantemente irradiando energia.©Tipler–Llewellyn, Física Moderna, 3ed.

17.3 MODELO ATÔMICO DE BOHR

Niels Bohr (1885–1962), trabalhando no laboratório deRutherford em 1912, propôs um modelo para o átomo dehidrogênio que combinava os trabalhos de Planck, Einsteine Rutherford e que previa com bastante sucesso os espectrosobservados. Baseando-se no átomo mais simples, o hidro-gênio, Bohr desenvolveu um modelo que explicava porque oátomo era estável. Podemos enumerar as principais hipótesesutilizadas por Bohr em sua teoria aplicada ao átomo dohidrogênio nos seguintes postulados:

1. O elétron move-se numa órbita circular em torno donúcleo sob a ação da força de Coulomb de atração,como mostrado na Figura 17.5.

2. Apenas certas órbitas eletrônicas são estáveis. Elétronsmovimentando-se nestas órbitas não emitem energia naforma de radiação eletromagnética. Assim, a energiatotal do átomo permanece constante e a física clássicapode ser usada para descrever o movimento do elétron.Portanto, as órbitas estáveis são chamadas “estadosestacionários”.

3. A radiação é emitida pelo átomo de hidrogênio quandoum elétron “salta” de um estado inicial mais energéticopara um estado com menos energia (Figura 17.6). O“salto” não pode ser visualizado ou tratado classica-mente. Em particular, a frequência f da radiaçãoemitida no salto está relacionada com a variação naenergia do átomo e é independente da frequência do



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Figura 17.5 – Diagrama representando o modelo de Bohr. Oelétron apenas movimenta-se em órbitas específicas com raiosquantizados. ©Serway–Jewett 3ed.

movimento orbital do elétron. A frequência da radiaçãoemitida é dada por

Ei − E f = h f ,

onde Ei é a energia do estado inicial, E f é a energia doestado final, h é a constante de Planck, e Ei > E f .

4. O tamanho das órbitas eletrônicas permitidas é deter-minada pela condição imposta pelo momento angularorbital do elétron: as órbitas permitidas são aquelaspara as quais o momento orbital angular do elétron emtorno do núcleo seja um múltiplo da quantidade h/2π,isto é:

L = m v r = nh

2π,

onde n = 1, 2, 3, · · · , é chamado de número quânticoprincipal. Cada valor de n corresponde a um valorpermitido do raio orbital, que denotaremos por rn, euma correspondente velocidade vn. Em outras palavras,o momento angular é quantizado, possuindo apenasvalores dados pela expressão:

(17.2) Ln = m vn rn = nh

2π.

Com estes quatro postulados, podemos calcular as ener-gias dos estados permitidos e os comprimentos de ondaemitidos pelo átomo de hidrogênio. Para isso utilizamoso modelo da Figura 17.7, no qual o elétron move-se numaórbita circular de raio rn e com velocidade orbital vn. Aaceleração centrípeta produzida pela força elétrica de atraçãoentre o elétron de carga negativa e o núcleo positivo é v2n/rn.Esta força é dada pela lei de Coulomb,

F =1

4πϵ0

(Ze)(e)r2

n.

A carga do núcleo é +Ze, onde Z é o número de cargaspositivas1 (prótons). Para o átomo de hidrogênio, Z = +1.

1Incluindo o valor de Z nas derivações seguintes, podemosaplicar os resultados para outros átomos semelhantes ao hidrogênio,com um único elétron orbitando ao redor do núcleo, como é o casodos íons He+ (Z = 2) e Li++ (Z = 3).

(a) (b)

Figura 17.6 – (a) No modelo de Bohr, o elétron só irradia energiaquando executa uma transição para uma órbita de raio menor, ouem outras palavras, (b) um átomo emite um fóton (energia = h f )quando sua energia muda de Ei para uma energia mais baixa E f .©Giancoli 4ed.

Pela segunda lei de Newton, F = ma, e substituindo a =v2n/rn, obtemos

F = ma

14πϵ0

Ze2

r2n=

mev2n

rn.

Isolando rn e substituindo vn = nh/2πmern da Eq. 17.2,temos:

rn =Ze2

4πϵ0mev2n=

Ze24π2mer2n

4πϵ0n2h2 .

Simplificando rn, obtemos

(17.3) rn =n2h2ϵ0

πmeZe2 .

Esta expressão dá o raio de todas as órbitas possíveis. Parao hidrogênio (Z = 1), o menor raio orbital é obtido fazendon = 1. Este raio mínimo é chamado de raio de Bohr, a0:

a0 =h2ϵ0

πmee2 = 5,29× 10−11 m.

Dessa forma, para o átomo de hidrogênio podemos escrevera Eq. 17.3 como:

rn = n2a0.

Logo, as órbitas permitidas possuem raios a0, 4a0, 9a0, · · · .Para cada órbita permitida, o elétron possui uma energia

definida. A energia total é igual à soma das energias cinéticae potencial. A energia potencial do elétron é dada por U =qV = −eV , onde V é o potencial devido a uma carga pontual+Ze, dado por

V =1

4πϵ0

Qr=

14πϵ0

Zer.

Portanto,

U = −eV = − 14πϵ0

Ze2

r.

A energia total En para um elétron na n-ésima órbita de raiorn é a soma das energias cinética e potencial:

En =12 mev

2n −

14πϵ0

Ze2

r.



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Substituindo vn da Eq. 17.2 e rn da Eq. 17.3, obtemos

En = −Z2e4me

8ϵ20 h2

1n2 .

Calculando o termo constante e convertendo-o em elétrons-volts, como é usual em física atômica, obtemos

En = −(13,6 eV)Z2

n2 .

Para o hidrogênio (Z = 1), o nível de mais baixa energia(n = 1), que corresponde ao estado fundamental, é portanto

E1 = −13,6 eV.

E para as demais órbitas, as energias podem ser obtidas por

En = −(13,6 eV)

n2 .

Por exemplo,

E2 = −(13,6 eV)

4= −3,40 eV.

E3 = −(13,6 eV)

9= −1,51 eV.

Um diagrama de níveis de energia para estes estados estacio-nários e os correspondentes números quânticos é mostradona Figura 17.7. O nível mais elevado mostrado nestafigura, que corresponde a E = 0 e n → ∞, representa oestado para o qual o elétron é completamente removido doátomo. Neste estado, as energias cinética e potencial doelétron são ambas zero, o que significa que o elétron estáem repouso, infinitamente distante do núcleo. A energiamínima necessária para ionizar o átomo, isto é, para removero elétron, é chamada de energia de ionização, que para ohidrogênio possui o valor de 13,6 eV.

De acordo com o terceiro postulado de Bohr, quandoum elétron salta de um estado inicial de energia Ei paraum estado final de energia E f , ele emite um fóton comfrequência f dada por

f =Ei − E f

h=

Z2e4me

8ϵ20 h3

1n2

f

− 1n2

i

,onde n f < ni. Como λ f = c, podemos reescrever estaexpressão como

1λ=

fc=

Z2e4me

8ϵ20 h3c

1n2

f

− 1n2

i

.Esta expressão pode ser diretamente comparada com a fór-mula de Rydberg-Ritz (Eq. 17.1), de onde obtemos o valorpara a constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio(Z = 1):

RH =e4me

8ϵ20 h3c.

Figura 17.7 – Diagrama de níveis de energia para o hidrogênio.Números quânticos são dados à esquerda e as correspondentesenergias (em elétrons-volts) são dadas à direita. As setas verticaisrepresentam as quatro transições de mais baixa energia para cadasérie espectral mostrada. As setas coloridas para a série de Balmerindicam que esta série resulta em luz visível. ©Serway–Jewett 3ed.

Substituindo as constantes para determinar o valor de RH

encontraremos exatamente o valor obtido experimentalmentepor Rydberg. Este foi um dos principais reconhecimentos deque o modelo de Bohr realmente fazia sentido. Entretanto,a razão para a quantização dos níveis de energia em átomose outros sistemas permaneceu um mistério até a descobertada natureza ondulatória dos elétrons uma década mais tarde,como veremos no capítulo seguinte.

Princípio da correspondência

Devemos notar que Bohr fez algumas hipóteses radicaisque iam contra as ideias clássicas. Ele assumiu que elétronsem órbitas fixas não emitem luz, mesmo que estejam acele-rados (movendo-se num círculo), e assumiu que o momentoangular era quantizado. Além disso, não foi capaz de dizercomo um elétron movia-se quando fazia a transição de um ní-vel de energia para outro. Por outro lado, não há qualquer ra-zão para esperarmos que no mundo subatômico os elétrons secomportem como objetos do mundo macroscópico. Todavia,a teoria quântica deve ser equivalente à física clássica quandoas diferenças de energia entre os níveis quânticos são muitopequenas. Em outras palavras, no mundo macroscópico aquantização não deve ser importante e os cálculos quânticose clássicos devem conduzir aos mesmos resultados. Este é ochamado princípio da correspondência.

Por exemplo, considere o átomo de hidrogênio com n =10000. Para valores grandes de n, as diferenças de energiaentre níveis próximos aproximam-se de zero e os níveissão aproximadamente contínuos. Como consequência, oscálculos clássicos podem ser utilizados para descrever umsistema para grandes valores de n. De acordo com o modeloclássico, a frequência da luz emitida pelo átomo é igual àfrequência orbital do elétron em torno do núcleo. Cálculosmostram que para n = 10000, esta frequência difere da



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prevista pela física quântica por menos que 0,015%.

Finalmente, é importante enfatizar que as órbitas bemdefinidas do modelo de Bohr não existem na realidade. Omodelo de Bohr é apenas um modelo, não é real. A ideiadas órbitas eletrônicas foi rejeitada anos mais tarde, e hoje oselétrons nos átomos formam “nuvens de probabilidade”, deacordo com a mecânica quântica.



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18 ONDAS E PARTÍCULAS

18.1 PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DASPARTÍCULAS: A HIPÓTESE DE DE BROGLIE

Um dos maiores avanços em nossa compreensão sobrea estrutura dos átomos surgiu com uma hipótese audaci-osa feita por um físico francês, Louis-Victor de Broglie(1892–1987), em sua tese de doutorado, publicada em 1924.Seguindo a ideia de que a natureza ama a simetria, deBroglie argumentou que se a luz se comporta como ondae partícula, esta dualidade também deveria ocorrer paraa matéria. Segundo de Broglie, elétrons e prótons, queusualmente pensamos como partículas, poderiam, em muitassituações, comportarem-se como ondas.

Se uma partícula atua como uma onda, ela deve ter umcerto comprimento de onda e frequência. Sendo assim,de Broglie postulou que uma partícula livre com massa derepouso m, movendo-se com velocidade não-relativística v,deveria ter um comprimento de onda λ relacionado com seumomento p = mv de forma similar ao fóton, λ = h/p. Ocomprimento de onda de de Broglie de uma partícula éentão dado por:

λ =hp=

hmv,

onde h é a constante de Planck. A frequência f , de acordocom de Broglie, também é relacionada com a energia dapartícula E da mesma forma que para o fóton, ou seja

E = h f .

Assim, as relações entre comprimento de onda e momentoe entre frequência e energia na hipótese de de Broglie sãoexatamente as mesmas para partículas de matéria e para osfótons.

Para entendermos o significado científico da hipótesefeita por de Broglie, temos que recordar que naquela épocanão existia qualquer evidência experimental para um com-portamento ondulatório das partículas. Uma coisa é sugeriruma nova hipótese para explicar observações experimentais.Outra coisa é propor uma ideia completamente nova e radicalbaseada apenas numa fundamentação teórica, como fez deBroglie. O sucesso limitado na compreensão da estruturaatômica, parcialmente obtido por Bohr, indicava que umarevolução era necessária na mecânica das partículas.

A hipótese de de Broglie foi justamente o início dessarevolução. Poucos anos depois da publicação do seu traba-lho, uma teoria mais detalhada chamada mecânica quânticafoi desenvolvida por Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Born,entre outros, mesmo sem evidências experimentais diretaspara as propriedades ondulatórias das partículas.

O experimento de Davisson–Germer

A proposta de de Broglie de que a matéria possui amboscomportamentos de onda e partícula foi inicialmente tratadacomo mera especulação. Se partículas de matéria, comoos elétrons tivessem propriedades ondulatórias, então, sobdeterminadas condições, eles deveriam exibir efeitos de di-fração. Em 1927, três anos após a publicação do trabalho dede Broglie, os americanos C. J. Davisson (1881–1958) e L.H. Germer (1896–1971) conseguiram medir o comprimentode onda dos elétrons com êxito. Esta descoberta foi aprimeira confirmação experimental das ondas de matériapropostas por de Broglie.

O objetivo inicial do experimento de Davisson–Germernão era confirmar a hipótese de de Broglie. De fato,essa descoberta foi acidental! O experimento consistia doespalhamento de elétrons de baixa energia (cerca de 54 eV)lançados em direção a um alvo de níquel no vácuo. Duranteo experimento, um acidente danificou o sistema de vácuocausando a oxidação da superfície de níquel. Após o alvo deníquel ser aquecido para remover o revestimento de óxido,eles repetiram o experimento e notaram que os elétronsespalhados exibiam máximos e mínimos de intensidade a ân-gulos específicos. Davisson e Germer finalmente perceberamque regiões cristalinas haviam se formado no níquel quandoo aqueceram, e que os planos regularmente espaçados deátomos nos cristais funcionavam como uma rede de difraçãopara os elétrons.

Logo em seguida, Davisson e Germer realizaram maismedições extensivas da difração de elétrons espalhados apartir de alvos de um único cristal. Seus resultados mos-traram conclusivamente a natureza ondulatória dos elétronse confirmaram a relação de de Broglie, λ = h/p. Um anodepois, em 1928, o escocês G. P. Thomson (1892–1975)observou padrões de difração de elétrons ao passar elétronsatravés de folhas muito finas de ouro. Desde então, padrõesde difração têm sido observados para átomos de hélio,átomos de hidrogênio e nêutrons. Portanto, a característicauniversal da natureza ondulatória das partículas de matériafoi estabelecida de várias formas. Na Figura 18.1 é mostradauma comparação entre os padrões de difração produzidos porraios-X e por elétrons.

18.2 O ÁTOMO E A HIPÓTESE DE DE BROGLIE

A teoria atômica de Bohr foi desenvolvida de tal formaque os postulados assumidos concordassem com os experi-mentos. Mas Bohr não podia explicar por que as órbitaseram quantizadas, nem por que deveria haver um estadofundamental de mais baixa energia. Finalmente, dez anosdepois, a teoria de ondas de matéria de de Broglie obteve taisexplicações.



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Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 18: Ondas e partículas

Figura 18.1 – (a) Montagem experimental usada para demonstrar,por técnicas de difração, o caráter ondulatório do feixe incidente.As fotografias mostram os padrões de difração obtidas (b) com umfeixe de raios-X (ondas eletromagnéticas) e (c) com um feixe deelétrons (ondas de matéria). Note que as duas são muito parecidas.©Halliday 8ed.

Um dos argumentos originais de de Broglie a favor danatureza ondulatória dos elétrons foi que ela explicava ateoria de Bohr para o átomo de hidrogênio. De acordocom de Broglie, uma partícula de massa m movendo-se comvelocidade não-relativística v deveria ter um comprimento deonda de

λ =h

mv.

Cada órbita eletrônica em um átomo, segundo de Broglie,é na verdade uma onda estacionária. Com os elétronsmovendo-se em círculos, de acordo com a teoria de Bohr,de Broglie propôs que a onda associada ao movimento deum elétron era uma onda estacionária circular fechada em simesmo (ver Figura 18.2). A circunferência de uma órbitade Bohr de raio rn é 2πrn, de forma que para uma ondaestacionária temos que

2πrn = nλ, n = 1, 2, 3, · · · .

Substituindo λ = h/mv, obtemos 2πrn = nh/mv, ou

mvrn =nh2π.

Esta é exatamente a condição quântica proposta por Bohr.Portanto temos uma primeira explicação para as órbitas

(a) (b)

Figura 18.2 – (a) Uma onda estacionária convencional comparadacom uma onda estacionária circular. (b) Ondas estacionáriascirculares para dois, três e cinco comprimentos de onda em umacircunferência; n, o número de comprimentos de onda, é chamadode número quântico. ©Giancoli 4ed.

quantizadas e o níveis de energia no modelo de Bohr: elassão originadas devido à natureza ondulatória do elétron. Istoimplica que a dualidade onda-partícula para a matéria estápresente nas raízes da estrutura atômica.

A teoria atômica de Bohr nos deu uma primeira ideia decomo são os átomos. Ela funciona bem para o átomo dehidrogênio e para íons com apenas um elétron. Mas ela falhamesmo para átomos simples com mais de um elétron, comoo átomo de hélio, e é completamente incapaz de predizero espectro para átomos complexos. O modelo de Bohrtambém não explica por que algumas linhas espectrais sãomais brilhantes que outras, nem a ligação de átomos emmoléculas ou em sólidos e líquidos. Do ponto de vistateórico, a teoria de Bohr também não era satisfatória: erauma mistura de ideias clássicas e quânticas. Além disso, adualidade onda-partícula não era bem resolvida.

Todas estas limitações apontavam para uma mesma dire-ção: a necessidade do desenvolvimento de uma nova teoriamais completa. Esta teoria foi desenvolvida a partir de1925, cerca de dois anos após o trabalho de de Broglie, deforma independente por Erwin Schrödinger (1887–1961) eWerner Heisenberg (1901–1976), que estenderam a teoriainicialmente proposta por de Broglie. Esta nova e radicalteoria é chamada de mecânica quântica. Ela finalmenteresolveu o problema da estrutura atômica apresentando-nosuma nova visão do átomo: a ideia de elétrons em órbitas bemdefinidas foi substituída pela ideia de nuvens de elétrons.

18.3 A MECÂNICA QUÂNTICA: UMA NOVA TEORIA

A mecânica quântica tem sido extremamente bem su-cedida. Ela unifica a dualidade onda-partícula em umaúnica teoria consistente e tem obtido resultados excelentespara espectros emitidos por átomos complexos, mesmo nosmínimos detalhes. Ela explica o brilho relativo das linhasespectrais e como átomos formam moléculas. Além disso,ela também é uma teoria bem mais geral que engloba todosos fenômenos quânticos, desde a radiação de corpo-negro



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até átomos e moléculas. Atualmente é uma teoria bemestabelecida e aceita pela grande maioria dos físicos comouma teoria fundamental da natureza.

O reino da mecânica quântica é o mundo microscópicodos átomos e da luz. Mas esta nova teoria, quando aplicadaaos fenômenos macroscópicos, deve produzir os mesmosresultados das leis clássicas. Este é o princípio da correspon-dência, que é satisfeito pela mecânica quântica. No nossocotidiano é muito mais fácil aplicar as leis clássicas, como asleis de Newton, que dão resultados suficientemente precisos.No entanto, quando analisamos fenômenos a velocidadespróximas a da luz, devemos utilizar a teoria da relatividade.De forma similar, quando analisamos fenômenos que ocor-rem em escalas microscópicas, devemos usar a mecânicaquântica.

Aqui não vamos tratar dos detalhes matemáticos damecânica quântica, mas discutiremos suas principais ideiase como ela envolve as propriedades de onda e partícula damatéria para explicar a estrutura atômica, por exemplo.

18.4 A FUNÇÃO DE ONDA E SUA INTERPRETAÇÃO

As propriedades mais importantes de uma onda são seucomprimento de onda, frequência e amplitude. Para umaonda eletromagnética, a frequência (ou comprimento deonda) determina se a luz é visível ou não, e se sim, qualsua cor. Também vimos que a frequência é uma medidada energia do fóton associado com a onda eletromagnética(E = h f ). A amplitude ou deslocamento de uma ondaeletromagnética em qualquer ponto do espaço é a intensidadedo campo elétrico (ou magnético) naquele ponto, e estárelacionada com a intensidade da onda (o brilho da luz).

Para partículas de matéria como os elétrons, a mecânicaquântica relaciona seu comprimento de onda com o momentode acordo com a relação de de Broglie, λ = h/p. Masqual é a amplitude de uma onda de matéria? A amplitudede uma onda eletromagnética é representada pelos camposelétrico e magnético, E e B. Na mecânica quântica, estepapel é desempenhado pela função de onda, representadapelo símbolo Ψ. Assim, Ψ representa o deslocamento daonda, em função do tempo e da posição, de uma nova espéciede campo que poderíamos chamar de campo de matéria ousimplesmente uma onda de matéria.

Para entender como interpretar a função de onda Ψ,vamos fazer uma analogia com a luz usando a dualidadeonda-partícula.

Vimos no Capítulo 13 que a intensidade I de uma ondaeletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude docampo elétrico E, isto é,

I ∝ E2.

Do ponto de vista de uma partícula, a intensidade de um feixede luz (de uma dada frequência) é proporcional ao número defótons, N, que passa através de uma dada área por unidadede tempo. Quanto maior o número de fótons, maior é a

intensidade. AssimI ∝ E2 ∝ N.

Esta proporcionalidade pode ser invertida de tal forma que

N ∝ E2.

Isto é, o número de fótons é proporcional ao quadrado daamplitude do campo elétrico.

Se o feixe de luz é muito fraco, apenas poucos fótonsserão emitidos. De fato, é possível construir uma fotografiaem uma câmera usando luz muito fraca tal que o efeito defótons individuais podem ser vistos.

Se tratamos apenas de um fóton, a relação acima (N ∝E2) pode ser interpretada de uma outra maneira. Em qual-quer ponto, o quadrado do campo elétrico, E2, é uma medidada probabilidade se de encontrar um fóton naquela posição.Em pontos onde E2 é grande, há uma alta probabilidade de seter um fóton localizado naqueles pontos; onde E2 é pequeno,a probabilidade é menor.

Podemos interpretar as ondas de matéria da mesmaforma, conforme foi sugerido por Max Born (1882–1970)em 1927. A função de onda Ψ pode variar em magnitudeem cada ponto no espaço e no tempo. Se Ψ descreve umconjunto de vários elétrons, então |Ψ|2 em cada ponto seráproporcional ao número esperado de elétrons que são encon-trados naquele ponto. Quando consideramos um pequenonúmero de elétrons, não podemos fazer previsões exatas, jáque |Ψ|2 comporta-se como uma probabilidade. Se Ψ, quedepende do tempo e da posição, representa um único elétron(digamos, em um átomo), então |Ψ|2 pode ser interpretadada seguinte maneira: |Ψ|2 em um certo ponto no espaço e notempo representa a probabilidade de se encontrar um elétronnaquela dada posição e tempo. Assim, |Ψ|2 é frequentementechamada densidade de probabilidade ou distribuição deprobabilidade.

O experimento de fenda dupla para elétrons

Para entender isto melhor, vamos imaginar um experi-mento já conhecido, o experimento de fenda dupla, tanto paraa luz como para elétrons.

Considere duas fendas cujos tamanhos e separações sãoda ordem do comprimento de onda incidente sobre elas,seja da luz ou dos elétrons. Sabemos muito bem o quevai acontecer no caso da luz, descrito no experimento deYoung (Capítulo 14): um padrão de interferência será vistona tela detectora. Se a luz for substituída por elétrons comcomprimentos de onda comparáveis ao tamanho das fendas,eles também produzirão um padrão de interferência. No casoda luz, o padrão poderia ser observado diretamente ou entãoser gravado sobre uma película de filme. Para os elétrons,uma tela fluorescente poderia ser utilizada (o impacto de umelétron sobre a tela a faria brilhar).

Se reduzimos o fluxo de elétrons (ou fótons) tal que elespassem através das fendas um de cada vez, observaremosum ponto brilhante cada vez que um elétron atingisse a tela



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Figura 18.3 – Resultados de um experimento de fenda duplarealizado pelo Dr. Akira Tonomura mostrando a formação de umpadrão de interferência de elétrons. Número de elétrons em cadaimagem: (a) 10, (b) 200, (c) 6000, (d) 40000, (e) 140000.

fluorescente. No início, os pontos brilhantes apareceriamdistribuídos de forma aleatória. De fato, não há comoprever onde um único elétron atingirá a tela. Se deixamoso experimento correr por um longo período, e anotarmosonde cada elétron atinge a tela, observaríamos a formação deum padrão — o padrão de interferência previsto pela teoriaondulatória. Assim, embora não pudéssemos prever onde umdado elétron atingiria a tela, podemos prever probabilidades.(O mesmo vale para os fótons.) A probabilidade, comomencionado anteriormente, é proporcional a |Ψ|2. Onde |Ψ|2é zero, observaremos um mínimo no padrão de interferência.E onde |Ψ|2 é máximo, observaremos um pico no padrão deinterferência.

O padrão de interferência ocorreria mesmo quando elé-trons (ou fótons) passassem através das fendas um de cadavez. Assim, o padrão de interferência não poderia surgirda interação de um elétron com outro. É como se umelétron passasse através de ambas as fendas ao mesmotempo, interferindo com ele mesmo. Isto é possível porqueum elétron não é exatamente uma partícula. Ele é tantouma onda como uma partícula, e sendo uma onda ele podeatravessar ambas fendas ao mesmo tempo. Mas o que

aconteceria se cobríssemos uma das fendas de forma quesaberíamos que o elétron passaria através da outra fenda, eem seguida cobríssemos a segunda fenda fazendo-o passarpela primeira? O resultado seria que nenhum padrão deinterferência seria observado. Ao invés disso, observaríamosduas faixas brilhantes (ou padrões de difração) na tela. Istoconfirma nossa ideia de que se ambas as fendas estão abertas,a tela mostra um padrão de interferência como se cadaelétron passasse através de ambas fendas, como uma onda.Mas mesmo assim cada elétron causaria um pequeno pontobrilhante na tela como se fosse uma partícula.

O ponto principal dessa discussão é o seguinte: setratamos os elétrons (e outras partículas) como se eles fossemondas, então Ψ representa a amplitude da onda; se tratamosos elétrons como partículas, então devemos considerá-los deuma forma probabilística. O quadrado da função de onda,|Ψ|2, dá a probabilidade de se encontrar um dado elétron numdado ponto. Não podemos prever a trajetória de um únicoelétron com precisão no espaço e no tempo.

18.5 PRINCÍPIO DA INCERTEZA

Sempre que se mede a posição ou a velocidade de umapartícula em um certo instante, incertezas experimentaisestão incluídas nas medidas. De acordo com a mecânicaclássica, não há barreira fundamental para o aperfeiçoamentomais refinado do aparelho ou dos procedimentos experimen-tais. Em outras palavras, é possível, a princípio, realizar taismedidas com uma incerteza arbitrariamente pequena. Porém,a teoria quântica prevê que é fundamentalmente impossívelmedir simultaneamente a posição e o momento de umapartícula com exatidão infinita.

Em 1927, Werner Heisenberg introduziu esta noção, queé conhecida hoje em dia como o princípio da incerteza deHeisenberg:

Se é feita uma medida da posição de uma partículacom uma incerteza ∆x e uma medida simultâneado seu momento com uma incerteza ∆px, o pro-duto das duas incertezas nunca pode ser menor doque ~ = h/2π:

(18.1) ∆x∆px & ~.

Heisenberg foi cuidadoso ao apontar que as incertezasinevitáveis ∆x e ∆px não surgem de imperfeições nos ins-trumentos práticos de medidas. Em vez disso, as incertezassurgem da estrutura quântica da matéria.

O princípio da incerteza, algumas vezes chamado prin-cípio da indeterminação, nos diz que não podemos medirambas a posição e o momento de um objeto com exatidão aomesmo tempo. Quanto mais preciso medimos a posição talque ∆x é pequeno, maior será a incerteza no momento, ∆px,e vice-versa. No entanto, este princípio não impede medidasindividuais precisas. Por exemplo, podemos medir a posiçãode um objeto com exatidão. Mas então seu momento seriacompletamente desconhecido. Assim, embora possamos



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Figura 18.4 – Distribuição de probabilidade radial para o estadofundamental do átomo de hidrogênio. A densidade de pontosmostra o raio onde é mais provável encontrar um elétron, quecorresponde exatamente ao raio de Bohr, a0. ©Giancoli 4ed.

saber a posição de um objeto exatamente num dado instante,não teríamos a menor ideia sobre seu momento.

Uma outra forma útil do princípio da incerteza relacionaenergia e tempo:

(18.2) ∆E∆t & ~.

Esta expressão nos diz que a energia de um objeto pode serincerta por uma quantidade ∆E para um tempo ∆t ≈ ~/∆E.Esta forma do princípio da incerteza sugere que podemosviolar a conservação da energia por um valor ∆E desde queo façamos apenas por um curto intervalo de tempo ∆t.

Discutimos a determinação da posição e da velocidadede um elétron como se ele fosse uma partícula. No entanto,ele não é somente uma partícula. O princípio da incertezaexiste porque um elétron — e a matéria em geral — possuipropriedades de onda assim como de partícula. O que oprincípio da incerteza realmente nos diz é que se insistimosem pensar que o elétron é uma partícula, então existemcertas limitações para esta visão simplificada, ou seja, aposição e a velocidade (ou momento) não podem ser ambasdeterminadas com exatidão ao mesmo tempo. Da mesmaforma, a energia pode ter uma incerteza ∆E para um intervalode tempo ∆t ≈ ~/∆E.

Como a constante de Planck, h, é muito pequena, asincertezas expressas no princípio da incerteza de Heisenbergsão negligíveis no mundo macroscópico. Mas no nívelatômico, as incertezas são significantes. Já que consideramosobjetos comuns como sendo feitos de átomos, que por suavez contêm núcleos e elétrons, o princípio da incerteza érelevante para nossa compreensão de toda Natureza. Esteprincípio expressa, talvez mais claramente, o caráter proba-bilístico da mecânica quântica.

18.6 VISÃO DOS ÁTOMOS NA MECÂNICAQUÂNTICA

No capítulo anterior, discutimos que apesar do sucessodo modelo de Bohr em prever o espectro atômico para

átomos simples, ele possui uma série de limitações. Ateoria da mecânica quântica aplicada aos átomos é muitomais completa que o modelo de Bohr. Apesar de que ateoria atômica proposta por Bohr ter sido deixada de lado, amecânica quântica comprova certos aspectos daquela teoria,por exemplo, mostrando que os elétrons nos átomos existemapenas em estados discretos de energia e que um fóton deluz é emitido (ou absorvido) quando um elétron faz umatransição de um estado para outro. Mas a mecânica quânticaé uma teoria muito mais profunda, e possibilitou a descobertade uma nova visão acerca dos átomos. De acordo com estateoria, os elétrons não existem em órbitas bem definidasem torno dos núcleos conforme postulado no modelo deBohr. Ao invés disso, os elétrons (devido à sua naturezaondulatória) podem ser imaginados como sendo espalhadosno espaço formando “nuvens eletrônicas”. O tamanho e aforma destas nuvens podem ser calculados para um dadoestado de um átomo. Para o estado fundamental do átomo dehidrogênio, a nuvem de elétrons é esfericamente simétrica,conforme mostrado na Figura 18.4.

A nuvem eletrônica pode ser interpretada tanto atravésdo ponto de vista de partículas ou como de ondas. Lem-brando que por partículas queremos dizer um objeto queestá localizado no espaço, ou seja, que possui uma posiçãodefinida num dado instante de tempo. Por outro lado,uma onda espalha-se no espaço, com uma certa amplitudee frequência. A nuvem eletrônica espalhada mostrada naFigura 18.4 é um resultado da natureza ondulatória dos elé-trons. Por outro lado, as nuvens de elétrons também podemser interpretadas como distribuições de probabilidade parauma partícula. Se medimos a posição de um elétron numátomo de hidrogênio em 500 instantes diferentes de tempo, amaioria dos resultados mostrará o elétron em pontos onde aprobabilidade é alta (regiões mais escuras na Figura 18.4).Apenas ocasionalmente o elétron seria encontrado onde aprobabilidade é mais baixa.



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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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