BERNOULLIS EKVATION

Friktionsfri stromning, Eulers ekvation pa vektorform:

dV

dt=∂V

∂t+ (V · ∇)V = g− ρ−1∇p (1)

Cartesiska koordinater: V = (u, v, w), ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z).

Vektoridentitet: (V · ∇)V = ∇(V 2/2) + ξ×V

dar V = |V| =√V ·V och ξ = ∇×V (vorticitetsvektorn).

Insatt i (1) samt efter skalarmultiplikation med dr, en differentiell

forflyttningsvektor:

∂V

∂t+∇(V 2/2) + ξ×V + ρ−1∇p− g

·dr = 0

Termen (ξ×V)·dr ar noll om:

(1) V = 0; trivialt, hydrostatik

(2) ξ = 0; rotationsfri stromning, se vidare Ch. 3.7–3.16

(3) dr vinkelrat mot ξ×V specialfall, ovanligt

(4) dr parallell med V; forflyttning langs en stromlinje

Med g = −gk (k uppat), (ξ×V)·dr = 0 och stationara forhallan-

den (∂V/∂t = 0) fas Bernoullis ekvation pa differentiell form:

ρ−1dp + d(V 2/2) + g dz = 0

Inkompressibel stromning, ρ = konst. ⇒

p + ρV 2/2 + ρgz = konst.

I fall (2) galler Bernoullis ekvation i alla punkter med samma kon-

stant; i fall (4) beror konstanten av stromlinjen. Vid aerodynamiska

tillampningar kan oftast hojdtryckstermen forsummas,

p + ρV 2/2 = konst.

Ch. 3.2 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

TRYCKKOEFFICIENT

Tryckkoefficienten Cp med referenstillstand i en ankommande fri-

strom (index ∞) definieras enligt

Cp =p− p∞q∞

, q∞ = ρ∞V2∞/2

Langs en stromlinje vid stationar inkompressibel och friktionsfri strom-

ning, med utgangspunkt i referenstillstandet, galler saledes om hojd-

trycksforandringar kan forsummas: p∞+ ρV 2∞/2 = p+ ρV 2/2, d.v.s.

Cp = 1− (V/V∞)2

Om stromningen dessutom ar rotationsfri, s.k. potentialstromning,

galler sambandet for alla punkter i stromningsfaltet. Observera att

Cp = 1 i en stagnationspunkt, V = 0. Nedanstaende illustrerar Cputefter ytan pa en anstrommad cirkular cylinder, (framre) stagna-

tionspunkt vid θ = 0◦ och θ = 360◦.

Potentialstromning (”theoretical”): Cp = 1− 4 sin2 θ

Ch. 3.5 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

HASTIGHETSPOTENTIAL

Vid rotationsfri stromning, ∇×V = 0, kan hastighetsvektorn ut-

tryckas som gradienten av en skalar funktion,

∇×V = 0 ⇒ V = ∇φ

φ kallas hastighetspotential.

Vid inkompressibel stromning visar kontinuitetsekvationen,∇ ·V =

0, att hastighetspotentialen uppfyller Laplaces ekvation, ∇2φ = 0 .

Om den inkompressibla rotationsfria stromningen dessutom ar tva-

dimensionell i ett plan sa ar stromlinjer ψ = konst. lokalt vinkelrata

mot ekvipotentiallinjer i varje punkt,1 d.v.s.

dy

dx

ψ=konst.= −v

u=

1

(dy/dx)φ=konst.

Laplaces ekvation ar linjar, vilket innebar att olika losningar kan

superponeras, laggas samman. Om φ1, φ2, . . . , φn representerar n

stycken separata losningar till Laplaces ekvation galler detta aven

godtyckliga linjara summor av dessa, ex.

φ = a1φ1 + a2φ2 + . . . + anφn =∑

aiφi

dar ai (i = 1, 2, . . . , n) ar konstanter.

Pa fasta ytor maste hastighetens normalkomposant vara noll, d.v.s.

Vn = V · n = (∇φ)·n = 0 ⇒ ∂φ/∂n = 0.1Under dessa forhallanden uppfyller aven stromfunktionen ψ Laplaces ekvation, ∇2ψ = 0.

Ch. 3.7 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

PLAN POTENTIALSTROMNING,

SUPERPOSITION AV ELEMENTARFALL

Parallellstromning langs x-axeln: u = ∂φ/∂x = ∂ψ/∂y = V∞, v =

∂φ/∂y = −∂ψ/∂x = 0. Integrationer ger φ = V∞x + konst., ψ =

V∞y + konst. Konstanterna ar ointressanta, d.v.s.

φ = V∞x = V∞r cos θ

ψ = V∞y = V∞r sin θ

Radiell stromning fran/mot origo, kall- resp. sankstromning: Vr =

f(r), Vθ = 0. Volymflode per breddenhet genom yta vid radien r:

Q/b = Λ =∫ 2π0 Vrr dθ = 2πrVr, d.v.s. Vr = Λ/(2πr). Vr = ∂φ/∂r =

r−1∂ψ/∂θ = Λ/(2πr), Vθ = r−1∂φ/∂θ = −∂ψ/∂r = 0 ger

φ =Λ

2πln r

ψ =Λ

2πθ

Superposition av parallellstrom och kallstromning, stromfunktion:

ψ = V∞r sin θ +Λ

2πθ

I stagnationspunkten B ar Vr = Vθ = 0 ⇒ rB = Λ/(2πV∞), θB = π.

Ch. 3.9–11 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

SUPERPOSITIONER . . .

Superposition av linjekalla +Λ i (−a, 0), linjesanka −Λ i (a, 0) samt

parallellstromning langs x-axeln:

ψ = V∞r sin θ +Λ

2π(θ1 − θ2)

Den slutna stromlinjen kan

motsvara en kroppskontur; kal-

las Rankines oval.

Om a → 0 samtidigt som Λ → ∞ pa ett satt att κ = 2Λa =

konst. fas en s.k. dubblett. Om denna superponeras med en parallell-

stromning blir den slutna kroppskonturen en cirkel, som da kan mot-

svara friktionsfri stromning kring en cylinder med cirkulart tvarsnitt:

ψ = (V∞r sin θ)(1−R2/r2)

Vr = (1−R2/r2)V∞ cos θ

Vθ = −(1 +R2/r2)V∞ sin θ

R =√

κ/(2πV∞)

Pa cylinderytan, r = R: Vr = 0, Vθ = −2V∞ sin θ; tryckkoefficient:

Cp = 1− (Vθ/V∞)2 = 1− 4 sin2 θ

Ch. 3.11–13 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

SUPERPOSITIONER.

Linjevirvel (potentialvirvel):

φ = − Γ

2πθ , ψ4 =

Γ

2πln r

Vr = 0 , Vθ = −Γ/(2πr)

Faltet ar rotationsfritt utom i

origo, cirkulation

Γ = −∮

CV·ds

Superposition av fristrom langs x-axelen samt dubblett och linjevirvel

i origo: ψ = (V∞r sin θ)(1 − R2/r2) + (Γ/2π) ln(r/R), Vr = (1 −R2/r2)V∞ cos θ, Vθ = −(1 +R2/r2)V∞ sin θ − Γ/(2πr).

Med β = Γ/(2πRV∞) fas tryckkoefficienten pa cylinderytan:

Cp = 1− (4 sin2 θ + 4β sin θ + β2)

Integrationer ⇒ cd = 0 , cℓ = 2πβ

Lyftkraft per breddenhet: L′ = cℓ2Rρ∞V 2∞/2, d.v.s. L

′ = ρ∞V∞Γ .

β < 2: tva stagnationspunkter pa ytan, sin θs = −β/2; β ≥ 2: stag-

nationspunkt utefter negativa y-axeln, −2ys/R = β +√β2 − 4; kan

tankas motsvara en anstrommad roterande cylinder, β = ωR/V∞,

ω = medurs vinkelhastighet; se Fig. 3.34 i kursboken (β = 3, 6).

Ch. 3.14/15 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

KUTTA-JOUKOWSKYS SATS

Cirkulation kring en sluten kurva A, moturs integrationsriktning:

Γ = −∮

AV · ds

Kutta-Joukowskys sats 2

Vid plan inkompressibel potentialstromning ar lyftkraften

per breddenhet pa en godtycklig sluten kroppskontur som

anstrommasmed en konstant hastighet V∞ lika med ρ∞V∞Γ,

dar Γ ar nettocirkulationen runt konturen; ρ∞ ar fluidens

densitet. Lyftkraftens riktning ar 90◦ fran fristrommen, vri-

den motsatt cirkulationen.

L′ = ρ∞V∞Γ

Stromningsmotstandet vid denna typ av stromning ar noll, D′ = 0

(D’Alemberts paradox).

Lyftkraft (uppat) pa konturen kan endast uppsta om det finns en

fordelning av linjevirvlar innanfor den resulterande konturen sa att

den totala cirkulationen ar storre an noll. Inom teorin for lyftkraft

pa vingprofiler anvands kontinuerliga fordelningar av linjevirvlar, s.k.

virvelskikt; behandlas i kapitel 4.2Satsen kan t.ex. bevisas via residuteoremet i komplex analys.

Ch. 3.16 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH

SLAT CIRKULAR CYLINDER

I VINKELRAT ANSTROMNING

Stromningsmotstand per breddenhet, D′ = CDq∞d, q∞ = ρ∞V 2∞/2

Re Flodesregim (eng.) Beskrivning< 6.1 Stokes Flow nastan full symmetry, ingen avlosning

6.1− 47.4 Twin Vortex avlosning pa baksidan, tva motroterande vakvirvlar47.4− 190 Laminar Shedding laminar, periodisk virvelbildning, 2-D eller kvasi 2-D190− 265 Wake Transition LS, initiering av 3-D vakinstabiliteter, A → A∗ → B

260− 1.6× 103 Lower Subcritical LS, TRT i vaken1.6× 103 − 2× 105 Upper Subcritical LS, TRT i vakskjuvskikt, stor vak2× 105 − 3.4× 105 Precritical TRT nara avlosning, minskad vakbredd3.4× 105 − 8× 105 Critical TRT vid avlosning, ateranlaggning, liten vak8× 105 − 6× 106 Supercritical TRT i gransskikt, TS, okad vakbredd

> 6× 106 Postcritical TRT flyttas allt mer uppstroms, TS, θsep ≈ 110◦

LS = laminar avlosning, TRT = omslag till turbulens, TS = turbulent avlosning

Stokes Flow Twin Vortex Laminar Shedding

Re = 1.5 Re = 26 Re = 140

Fotografier av Sadatoshi Taneda (Milton van Dyke, Parabolic Press, 1982)

Ch. 3.18 Aerodynamik och kompressibel stromning C. Norberg, LTH