Francia matematikusok magyar szemmelweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2011/palfalvine_wacha... · A Sokszínu˝ matematika-sorozat a tananyag részletes magyarázatai

Francia matematikusok magyar szemmelA Sokszínu matematika tankönyvcsalád elemzése

SZAKDOLGOZAT

Készítette: PÁLFALVINÉ WACHA ORSOLYA RITA

Témavezeto: HOLLÓ-SZABÓ FERENC

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi KarMatematikatanítási és Módszertani Központ

Budapest, 2011.

2

Tartalomjegyzék

1. Bevezeto 5

2. A gimnazista évek elején – a kilencedikes tananyag 72.1. Kombinatorika, halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Algebra és számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Háromszögek, négyszögek, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Egyenletek, egyenlotlenségek, egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6. Geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Építkezés az alapokra – a tizedikes tananyag 153.1. Gondolkodási módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Gyökvonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. A másodfokú egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5. Szögfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6. Valószínuségszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7. Egyéb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Az érettségihez közeledve – a tizenegyedikes tananyag 224.1. Kombinatorika, gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2. Hatvány, gyök, logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3. A trigonometria alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5. Koordinátageometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6. Valószínuségszámítás, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7. Egyéb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

TARTALOMJEGYZÉK 4

5. A továbbtanulás küszöbén – a tizenkettedikes tananyag 275.1. Logika, bizonyítási módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2. Számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3. Térgeometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4. Valószínuségszámítás, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6. Összegzés 32

Felhasznált szakirodalom 33

1. fejezet

Bevezeto

– Lola, c’est quoi pour toi les maths ?

– C’est une matière truffée de PROBLÈMES, bourrée d’INCONNUES et où l’on est cernépar des RÈGLES. Une matière où c’est le professeur qui pose les problèmes et c’est moiqui dois les résoudre !1

Sokszor hallani manapság, hogy a gimnazista diákok nem szeretik a matematikát. Néhányanazt mondják, hogy ok buták hozzá, van, aki csak lusta, akad olyan, akinek nem elég érdekes, ésvan, akinek tényleg nehéz.

Régen az volt a jellemzo az iskolákban (és ez ma is így van valószínuleg sok helyen), hogya matematikaórákon szigorúan csak a tantárgyra koncentráltak az oktatók. A kevésbé lelkes di-ákokat nem könnyu ezzel motiválni, hiszen nem lesz sikerélményük, ami pedig elengedhetetlenahhoz, hogy megszeressenek egy tárgyat. A tanáron nagyon sok múlik, hogy elriasztja-e ezeketa gyerekeket, vagy inkább érdekessé teszi a számukra is a matematikaórát.

Sok diák agya nem áll rá könnyen arra a gondolkodásmódra, ami a matematikához szüksé-ges. Számukra ez túl „elvont” a többi tantárgyhoz képest. Segíthetne nekik, ha olyan dolgokrólis esne szó az órán, amihez ok is kicsit jobban értenek, ami oket is kicsit jobban érdekli. Azoka diákoknak, akiknek nincs elég affinitásuk a matematikához, általában a humán tárgyakhozvonzódnak jobban.

A tanárképzés során elvégzett kurzusokon az oktatók nem gyozték hangsúlyozni az inter-diszciplinaritás fontosságát. Több európai országban (például Svédországban), de néhol talánmár nálunk isalkalmazzák ezt a gyakorlatban, például a projektrendszeru oktatással. Ha ennekbevezetésére nincs is lehetosége egy-egy iskolának, vagy nem fér bele a tantárgyak megfeleloéves óraszámába, akkor is ki lehet néha egy kicsit tekinteni a tananyagból. Megvizsgálni pél-dául, hogy milyen körülmények között dolgoztak a régi nagy matematikusok. Meg lehet nézni,

1Les mathématiques expliquées à mes filles (8. o.), GUEDJ, Denis, Paris, Éditions du Seuil, 2008.– Lola, neked mit jelent a matek?

– Az egy problémáktól hemzsego tantárgy, teletömve ismeretlenekkel, ahol be vagyunk kerítve a szabályokkal.Egy tantárgy, ahol a tanár kérdez [ad feladatot], és nekem kell rá válaszolnom [azt megoldanom]! (Saját fordítás.)

5

1. FEJEZET. BEVEZETO 6

hogy mi volt az, amit még ok sem tudtak (vagy nem fogadtak el): önbizalmat adhat esetleg egyrosszabb tanulónak, hogy a középkorban még nem fogadták el a negatív számokat. El lehet he-lyezni az általuk tanult tételeket, definíciókat a történelemben, megvizsgálhatják, hogy milyeneseményekhez és találmányokhoz vezetett egy-egy matematikai fölfedezés.

Talán, ha van olyan a tanórán, ami a gyereket érdekli, annak ellenére is megszeretheti amatematikát, hogy korábban azt állította, hogy „úgyse lesz erre szükségem az életben, minektanuljak matekot?”

Francia szakos tanár lévén dolgozatomban a középiskolai matematika-tananyag francia vo-natkozású részét fogom megvizsgálni.

A Mozaik Kiadó Sokszínu Matematika sorozatát alapul véve vizsgálom meg a középisko-lai matematika-tananyagot. (A fejezetek fölépítése is ennek a tankönyvsorozatnak a felépítésétköveti.) Munkámban nem törekszem a különféle tankönyvek részletes elemzésére és összeha-sonlítására, mivel a nagy részük ugyanezeket a témákat érinti (csak néha más sorrendben).2

A Sokszínu matematika-sorozat a tananyag részletes magyarázatai mellett tartalmaz renge-teg kidolgozott feladatot minden témakörbol. Ezen kívül a szerzok jól elkülönítették az alap-szintu tananyagot az emelt szintu érettségihez szükségestol. A fontos definíciókat és tételeketkiemelték a szerkesztés során. A margókon találtató az illusztrációk nagy része, melyek szeret-hetobbé teszik a tankönyvet. Ezen kívül ismétlo és magyarázó jegyzeteket, továbbá matemati-katörténeti érdekességeket olvashatunk még itt.

A történelemoktatás során láthatjuk, ahogy egyik eseménybol következik a másik. Ahogy anyelvek tanítása is a nyelvtani „téglák” egymásra rakásából áll, ugyanúgy a matematikatanulássorán sem maradhat ki mondjuk a Pitagorasz-tétel. De meg lehet tanulni egy nyelvet anélkülis, hogy ismernénk a kultúrát, ami mögötte van. A matematikatörténet is ilyen „adalék” azoktatásban – lehet enélkül is, de ezzel többek leszünk.

Nem könnyu egy humán tárgyat együtt tanítani egy reállal, ha összefüggéseket akarunkmutatni köztük a diákoknak. A legegyszerubb talán feladatokon keresztül megpróbálkozni ezzela lehetetlennek látszó feladattal.

2Fölhasználom még Michel Soignet és Szabó Anita France-Euro-Express címu nyelvkönyvsorozatát, hiszen atanárok közti együttmuködéssel lehet legjobban együtt tanítani két tantárgyat, és ehhez nem árt tájékozódni arról,hogy melyik tantárggyal hogyan haladnak a tanulók.

2. fejezet

A gimnazista évek elején – a kilencedikestananyag

2.1. Kombinatorika, halmazok

A tankönyv elso fejezete olyan feladatokkal kezdodik, melyeken keresztül a tanulók könnyenmegérthetik az alapveto kombinatorikai fogalmakat és a halmazmuveleteket, anélkül, hogy de-finíciókat és tételeket tanulnának. Késobb ezáltal egyszerubb lesz ezek megtanulása.

Feladatok

A Halmazok témakörének irodalmi kiegészítéseképpen elovehetjük Raymond Queneau Stílus-gyakorlataiból az Ensembliste (kb. Halmazelmélész) variációt:

« Dans un autobus S considérons l’ensemble A des voyageurs assis, et l’ensemble Ddes voyageurs debout. A un certain arrêt, se trouve l’ensemble P des personnes quiattendent. Soit C l’ensemble des voyageurs qui montent ; c’est un sous-ensemble de Pet il est lui-même l’union de C ′ ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-formeet de C ′′ l’ensemble des voyageurs qui vont s’asseoir. Démontrer que l’ensemble C ′′

est vide.

Z étant l’ensemble des zazous, et {z} l’intersection de Z et de C ′, réduite à un seulélément. A la suite de la surjection des pieds de z sur ceux de y (élément quelconquede C différent de z), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l’élémentz. L’ensemble C ′′ étant devenu non vide, démontrer qu’il se décompose de l’uniqueélément z.

Soit maintenant P l’ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare,{z}, {z′} l’intersection de Z et de P , B l’ensemble des boutons du pardessus de z,B′ l’ensemble des emplacements possibles desdits boutons selon z′, démontrer quel’injection de B dans B′ n’est pas une bijection. » 1

1Exercices de style, QUENEAU, Raymond, 103-104. o. (Paris, Gallimard, 1995) (Mufordítás híján a saját

7

2. FEJEZET. A GIMNAZISTA ÉVEK ELEJÉN – A KILENCEDIKES TANANYAG 8

Queneau szösszenetének elso bekezdését meg is próbálhatjuk fölrajzolni, majd leírhatjuk atanult jelölésekkel mindazt, amit az ábráról le tudunk olvasni, meg azt is, amit nem. A diákokfeladata kiválasztani, melyik állítás igaz, melyik nem, és melyikrol nem tudjuk eldönteni.

• Igaz állítások:– A ∪ U = S valamint C ′ ∪ C ′′ = C– j ∈ A, továbbá j ∈ C ′

– A ⊂ S illetve {C ′ ∪ C ′′} ⊆ V

• Talán igaz, de lehet, hogy hamis:– C ⊂ V valamint V ⊂ S– V \{C ′ ∪ C ′′} = ∅

• Hamis állítások:– A ∩ U 6= ∅

AU

C’ C’’

V

A második és harmadik bekezdés fölöslegesen bonyolult a kilencedikes tudáshoz – elég, haelmagyarázzuk a gyerekeknek a számukra ismeretlen fogalmakat nagy vonalakban.

2.2. Algebra és számelmélet

Betuk használata a matematikában

Számunkra már magától értetodik, és a gyerekeknek is azonnal természetes, hogy

„Egy-egy matematikai probléma általánosítása esetén sokszor használunk betuket. Eze-ket a problémától függoen nevezhetjük változónak, határozatlannak vagy ismeretlen-nek.”2

De vajon mikor kezdtek el egyáltalán betuket használni a matematikusok a számolás meg-könnyítésére?

fordításom :)„Az S autóbuszban adottak a következo halmazok : A az álló utasoké és U az ülo utasoké. Egy bizonyos megállónáltalálható a várakozó gyalogosok V halmaza. Legyen C a felszálló utasok halmaza, ez V -nek egy részhalmaza, ésugyanakkor az úniója C ′-nek (a busz peronján maradó utasok halmaza) és C ′′-nek (azon utasok halmaza, akik lefognak ülni). Bizonyítandó, hogy a C ′′ halmaz üres.A jampecok halmaza J , és {j} a J és C ′ halmazok metszete, egy elemre szukítve ; j lábainak egyértelmu leképe-zésének y (C bármely j-tol különbözo eleme) lábaira eredményezi a j által mondott kifejezések K halmazát.Legyen most V a Saint-Lazare pályaudvar elott található gyalogosok halmaza, {j}, {j′} a J és V halmazokmetszete, G a j felöltojén található gombok halmaza, valamint G′ az említett gombok j′ szerinti lehetséges elhe-lyezkedéseinek halmaza. Bizonyítandó, hogy a G-bol G′-be történo leképezés nem egy-egyértelmu.”

2Sokszínu matematika 9, 32. o. (KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, PINTÉR Klára, URBÁN János, VIN-CZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009)


François Viète (1540-1603) francia matematikus (III. és IV. Henrik királyok udvari ügyé-sze) már használt a munkáiban betuket, de még korántsem az általunk megszokott formában:o az ismert mennyiségeket magánhangzóval, az ismeretleneket pedig mássalhangzóval jelölte.Ugyanezt vette át Pierre Fermat (1601-1665) is, ami nehezítette muveinek elterjedését. RenéDescartes (1596-1650) kicsit már máshogy használta ezeket a jeleket, úgy, ahogy mi is ismer-jük: az ismerteket az ábécé elejérol származó betukkel jelölte, míg az ismeretleneket a végérol3.

Hatványozás

Két alfejezeten keresztül a hatványozás alapjaival ismerkedhetnek a tanulók. Itt csak a „száraz”definíciókat és azonosságokat olvashatjuk a tankönyvben.

Valóban, kevéssé közismert a hatványozás felfedezésének története, legalábbis kevesebbettudunk róla, mint például a derékszögu koordináta-rendszerrol.

Laplace a hatványozás történetét a valószínuségi számításokra vonatkozó kutatásait tartal-mazó, Théorie analytique des probabilités címu muvében írja le. Ebbol megtudhatjuk, hogyRené Descartes volt, aki eloször a2-vel jelölte a szám négyzetét4. (Laplace leírja, hogy az ilyenegyszeru jelölésekbol tud tovább fejlodni a matematika: Descartes jelölését felhasználva JohnWallis (1616-1703) angol matematikus kezdett el törtkitevoju hatványokkal dolgozni.)

Az elso, aki zérus és negatív kitevoju hatványokat is használt, Nicolas Chuquet (1445/1455-1487/1488) francia matematikus volt. O írta le eloször, hogy a0 = 1.

Jóval azelott, hogy Descartes bevezette volna az x2 jelölést, már x négyzetének neveztékx második hatványát és köbnek a harmadikat. A tizenhatodik században megpróbálkoztak to-vábbi elnevezések bevezetésével is: François Viète quadratoquadratusnak nevezte a negyedikhatványt, és quadquadquadnak a nyolcadikat. (Hasonlóképpen az angol matematikusoknál islétezett a nyolcadik hatványra elnevezés, ok ezt zenzizenzizenzic-nek próbálták hívni.)

Oszthatósági szabályok

A francia matematikusok a számelmélethez is hozzáadtak. A 11-gyel való oszthatóság szabá-lyát, amelyet Al-Karkhi arab matematikus ismertetett eloször a XI. században, Joseph Louis

3Matematikatörténeti ABC, SAIN Márton (Budapest, Tankönyvkiadó, 1978), 90., 130. o.4« La position d’une grandeur à la suite d’une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont

la même, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l’écrire deux fois,Descartes imagina de ne l’écrire qu’une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissancessuccessives, en augmentant successivement cet exposant d’une unité. » Théorie analytique des probabilités, Livrepremier, Première partie, p. 1. (Paris, Gauthier-Villars, 1886) (Fordítás: Két mennyiség egymás mellé helyezéseelég, hogy a szorzatukat kifejezzük. Ha ez a két mennyiség egyenlo, akkor ez a szorzat a mennyiség négyzete vagymásodik hatványa lesz. De ahelyett, hogy kétszer leírta volna, Descartes kitalálta, hogy csak egyszer írja le, és akettes számot kitevoként használva, és ezt a kitevot növelve fejezte ki a következo hatványokat.)


Lagrange (1736-1813) fogalmazta meg szabatosan5.

Feladatok

Döntsük el a következo számokról és kifejezésekrol, hogy oszthatók-e 11-gyel!

• 502 − 25

= 502 − 52 = (50 + 5)(50− 5) = 55 · 45 [osztható]• 2(14a+ 2b) + 3(2a+ 6b)− a

= 33a+ 22b [osztható]• 2(8(a+ c) + 3(ab+ 5c))− 2c

= 16a + 6ab + 44c [tehát 44c biztosan osztható 11-gyel, a többirol nem tudjuk meg-mondani]

Számrendszerek

Az alfejezet elején a szerzok fölsorolnak néhány példát a népek által használt számrendszerekre.A felsorolásban említik a húszas számrendszert:

„A húszas számrendszert a maják és a kelták használták. Mexikóban és Közép-Ame-rikában még ma is használják a csillagászatban.”6

Érdekes adalék, hogy valószínuleg úgy muködött ez a gyakorlatban, hogy a kéz és láb ujjaisegítségével húszig el tudtak számolni, majd egy pálcikára rovást húztak, és folytatták tovább.A rovátkák jelképezték a húszas egységeket7.

A (Franciaországban használt) francia nyelvben a mai napig megfigyelheto a római hódítóklatinja által kiszorított kelta eredetu gall nyelv nyomai, többek között egy-két számnévben. Anyolcvan (quatre-vingts, szó szerint „négyszer húsz”) és a kilencven (quatre-vingt-dix, „négy-szer húsz meg tíz”) minden franciául tanuló diákot megzavar elsore.

Feladatok

Tizenegyedikben lesz irodalomból tananyag a francia realizmus: Balzac, Hugo, stb. Nálukmég elofordul a sou nevu aprópénz. Az 1789-es nagy forradalomig a régi átváltás muködött,vagyis: 1 livre = 20 sou (attól kezdve csak az elnevezés maradt, vagyis a frank huszadát, az 5centime-ost nevezték sou-nak8).

Számoljunk egy kicsit a középkori francia pénzekkel!

5Matematikatörténeti ABC, 188. o.6Sokszínu matematika 9, 71. o.7A francia nyelv lexikona, 257. o. (BÁRDOSI Vilmos, KARAKAI Imre, Budapest, Corvina, 1996)8Angliában 1971-ig megmaradt ez a rendszer: a font huszada volt 1 shilling.


Mennyi. . .

• 100 sou? [1 frank]• 2 frank 25 sou? [3 frank 5 sou vagy 65 sou]• 35 sou és fél frank? [2 frank 5 sou vagy 45 sou]

Hány sou. . .

• 7,5 frank? [150 sou]• negyed frank és 2 sou? [7 sou]• egy sou híján 3 frank? [59 sou]

2.3. Függvények

A következo nagyobb fejezet a függvényekkel, a függvénytan alapjaival foglalkozik.

A derékszögu koordináta-rendszer; a másodfokú függvény

A tankönyv szerzoi említik pár szóval Descartes-ot, mint a derékszögu koordináta-rendszerbevezetojét, amellyel össze tudta kapcsolni a geometriát az algebrával. Az o Géométrie (Geo-metria) címu muvének megjelenése után indult rohamos fejlodésnek a koordináta-geometria. Afüggvény fogalma is Descartes óta kezdett fontossá válni. O megfeleltetésnek, egymáshoz ren-delésnek értelmezte, Leibniz (1646-1716) pedig függvénynek nevezett minden szakaszt, amelyvalamely görbe pontjainak helyzetétol függött. Ez a kétféle elképzelés játszott szerepet a függ-vény késobbi, a mai nap is használatos meghatározásában.9

A geometriában késobb megtanuljuk, hogy a parabola azoknak a pontoknak a halmazaa síkon, amelyek egy adott egyenestol és egy adott – az egyenesre nem illeszkedo –ponttól egyenlo távolságra vannak.10

A derékszögu koordináta-rendszer alkalmazásával nyílt meg az út ahhoz, hogy analitikusmódszerrel tárgyalják és vizsgálják a kúpszeleteket, melyeket már az ókor óta ismertek. EztDescartes megkísérelte 1637-ben a Géometrie címu munkájában, továbbá Fermat is az 1679-esIsagogue (Bevezetés) címet viselo muvében. L’Hospital (1661-1704) sem tudott még nagyonelszakadni az ókortól, ahogy ez látható is az 1707-ben megjelent Traité analitique des sections

coniques címu munkájában. Az áttörést ebben a témakörben Euler 1748-ban megjelent Intro-

ductioja hozta meg11.

Feladatok

A gyengébb tanulók valamelyikének föladhatjuk kiseloadásnak Descartes életrajzát (hozzáté-ve, hogy hiába volt nagy matematikus, fiatalkori életmódja nem követendo példa a gyerekekszámára).

9Matematikatörténeti ABC, 93. o.10Sokszínu matematika 9, 90. o.11Matematikatörténeti ABC, 144. o.


2.4. Háromszögek, négyszögek, sokszögek

A kilencedikben tanult geometria-tananyag nagy része már az ókorban is ismert volt. A franciáknem ebben a témakörben voltak a legerosebbek. A koordináta-geometria fejlodéséhez adtaknagy lökést a matematikusaik, de az késobb fog elojönni a gimnáziumi tanulmányok során.

Feladat

Juli úgy szeret fotózni, hogy a képen 90˚alatt látszódjon a megörökíteni kívánt téma. Milyenmessze álljon a Louvre 35,4 m oldalhosszúságú üvegpiramisától, hogy elkészíthesse a számáratökéletes képet, ha azt is tudjuk, hogy fél méterre el szokta tartani magától a fényképezot?

[A Thalesz-tétel ismeretében tudjuk, hogy a piramis két földön levo csúcsa, mint átméroköré kört húzva kapjuk meg azon pontok halmazát, ahonnan a piramis derékszögben látszik.Etto a 17,7 m sugarú körvonaltól kell tehát fél méterre állnia Julinak.]

2.5. Egyenletek, egyenlotlenségek, egyenletrendszerek

Az egyenletek fejlodéséhez szükség volt a relációs jelek „feltalálására”. Az összeadás jelét iscsak a 15. század végén kezdték el használni. Korábban a P (plus) és az M (minus) betuk he-lyettesítették ezeket, a ma használatos + és − jeleket Johannes Widmann (1460-1498) németmatematikusnál és Viète-nél olvashatjuk eloször. Az egyenloségjelet a 16. század közepén írtale Robert Recorde (1510-1558) wales-i matematikus. Mivel az újítások ekkor még sokkal las-sabban terjedtek, ezért lehet, hogy az ugyanannak a századnak a végén született Descartes a ∞jelet használta az egyenletek két oldala között.

Feladatok

1. Az Eiffel-torony második emeletén levo kilátóhoz megy föl egy iskolás csoport. A be-lépodíj 6,6 e. Az az 5 gyerek is fölmehet, aki nem akart, ha mindenki 2,4 e-val többetfizet be, és ekkor marad 3 eurónk. Hány gyerek akart fölmenni a toronyba? [15 gyerek.]

2. Jacques 11 évvel az Arche de la Défense építése után született. Annyi év múlva, ahányéve áll most az Arche, Jacques életkora 3/4-e lesz a Grande Arche életkorának. Hányéves most Jacques? [11 éves.]


2.6. Geometriai transzformációk

A tankönyvnek ebben a fejezetében kezdenek ismerkedni a diákok a vektorokkal, így szóbakerülnek a legalapvetobb vektorokkal végezheto muveletek is: az összeadás és a kivonás. Azelobbit kétféleképpen is megtehetjük: a paralelogramma-szabály vagy a háromszögszabály se-gítségével. Utóbbi Michel Chasles (1793-1880) révén vált ismertté – nem o fedezte ugyan fel,de sokat foglalkozott geometriával, így ezt neki tulajdonítják, és néha Chasles-szabálynak isszokták nevezni.

Feladatok

A vektorokon kívül megtanulják a tengelyes és középpontos tükrözéseket, továbbá a pont körüliforgatást, illetve a vektorok segítségével az eltolást. Keressünk példákat ezekre a transzformá-ciókra az építészetben! Akár a tanulók kutassanak képek után (szorgalmi feladat), akár közösennézzünk meg párat a tanórán! Ne csak egyféle transzformációt találjunk meg, hanem igyekez-zünk minél többet megmutatni egy-egy képen!

1. A híd tengelyesen szimmetrikus (a harmadik árkádnál a középso sorban van a tengely;


illetve hosszában is szimmetrikus (fölülrol nézve)), valamint a pillérek soronként (az alsósor kivételével) egymásba tolhatók.

2. A rózsaablak váza mind középpontosan szimmetrikus, mind pedig 90˚-kal a középpontjakörül elforgatva önmagába kerül vissza.

3. Az épület a fobejárat síkjában elmetszve tengelyesen szimmetrikus.4. Az ablak maga tengelyesen szimmetrikus. A fölso rész 3 középpontosan szimmetrikus

alakzatból tevodik össze (ezek közül a két kisebbik 90˚-kal, a nagyobbik 45˚-kal forgás-szimmetrikus). Alul az ablak oszlopai eltolással egymásba vihetok. Továbbá megfigyel-hetünk két kisebb tengelyesen szimmetrikus ablakot is a képen (a két kisebb kör alakúalakzat alatt).12

12A képek a Pont du Gard-nál, Lyonban, Rennes-ben és Avignonban készültek.

3. fejezet

Építkezés az alapokra – a tizedikestananyag

A Sokszínu matematika tankönyvsorozat tizedikeseknek szóló kötete hasonlóan épül föl az elo-zo kötethez. A boséges feladatválaszték mellett ebben a tankönyvben is fontos szerepe van amindenki számára értheto magyarázatoknak, illetve a matematikatörténeti kiegészítéseknek.

3.1. Gondolkodási módszerek

A tankönyv elso fejezete a különféle gondolkodási módszereket vizsgálja. A bevezetésben Des-cartes Regulae ad directionem ingenii címu írását említik, melyben a szerzo különféle szabályo-kat ad a gondolkodás irányítására: a filozófia új alapjait szerette volna lerakni a matematikábólkiindulva.

Az elozo kötethez hasonlóan egyszerubb kombinatorikai feladatokkal hangolódhatnak rá atanulók az újabb tanév matematikájára.

Feladatok

1. 2009-es adatok szerint 360 település található Korzikán (a külterületeket is beleértve), ésösszesen 354061 lakosa van a szigetnek.

(a) Bizonyítsuk be, hogy elofordulhat, hogy nincs két egyforma lélekszámú település!

[Kezdjük el betelepíteni a lakókat sorba a településekbe. Az elsobe egyet, a máso-dikba kettot, és így tovább. 359 településre összesen 359·360

2= 64620 embert költöz-

tettünk. Az utolsó városban lakjon a többi 289441 ember, így nincs két egyformalélekszámú település.]

15

3. FEJEZET. ÉPÍTKEZÉS AZ ALAPOKRA – A TIZEDIKES TANANYAG 16

(b) Hány szigetlakóra lenne szükség, hogy biztosan legyen két település, amelynekugyanannyi lakója van (ha feltesszük, hogy nincs üres település)?

[360 település van. Ha sorra 1, 2,. . . 360 lakót költöztetünk ezekbe, akkor mind-egyiknek különbözo lesz a lélekszáma. Vagyis ha ennél a számnál eggyel kevesebbszigetlakó van, akkor már biztosan lesz két olyan helység, amelyiknek ugyanannyilakosa van. Ez összesen 360·361

2− 1 = 64979 fo.]

2. Franciaországban nem egyszerre van az összes iskolásnak téli és tavaszi szünete. Azország 3 zónára van osztva (A, B és C), és egymást váltva pihenik ki magukat a gyerekek.Hányféleképpen lehet beosztani, hogy melyik zónában mikor van zárva az iskola?

[A téli szünetre 3!-féleképpen lehet beosztani oket (az elso idopontra 3 zóna közül vá-laszthatunk, a másodikra ketto, a harmadikra egy), a tavaszira szintén 3!-féleképpen. Ezekszorzata lesz a megoldás, vagyis 36-féleképpen kaphatnak szünetet a francia iskolások.]

3. Négy nagy folyó (a Szajna, a Loire, a Garonne és a Rhône) és öt nagyobb hegység (azAlpok, a Pireneusok, a Massif Central, a Vogézek és a Jura) található Franciaországban.Hányféleképpen mehet nyaralni egy francia család, ha. . .

(a) egy folyót és egy hegységet is meg akarnak nézni (de mindegy, hogy melyiket ésmilyen sorrendben)? [4·5

2= 10 lehetoségük van.]

(b) nem mindegy, hogy melyik folyót és melyik hegységet nézik meg, de az igen, hogymilyen sorrendben? [Szintén 4·5

2= 10 lehetoségük van.]

(c) két különbözo hegységben tett kirándulás között megfürödnének valamelyik tetszo-legesen folyóban? [5 · 4 · 4 = 80 féleképpen mehetnek nyaralni.]

3.2. Gyökvonás

A kilencedikes tananyagban már szerepel a nemnegatív számok négyzetgyöke, de a gyökvonásazonosságait csak egy évvel késobb tanulják.

A számok n-edik gyöke is szerepel a tizedikes megtanulandók között.A (négyzet)gyökvonás történetérol Sain Márton Matematikatörténeti ABC-jébol megtud-

hatjuk, hogy a négyzetgyök jelet Nicolas Chuquet használta eloször (1484-ben), illetve Chris-toff Rudolff cseh származású bécsi matematikus (1525-ben)1. Más források szerint Chuquetegyszeruen R-rel jelölte a négyzetgyököt2 (Ezen a jelölésen kívül Chuquet-nak köszönhet a ma-tematika többek között egy módszert a négyzetgyök kézi kiszámítására is.), és Rudolff írta leeloször a

√jelet, mely egyes elméletek szerint a radix (gyökér) szó elso betujére hasonlít.

1Matematikatörténeti ABC, 130. o.2http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Chuquet


Az n-dik gyök vonásának ma is használatos jelölése viszont Descartes-tól származik.

3.3. A másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggéseket Viète-féle formuláknak isszoktuk nevezni. François Viète az együtthatók helyett betuket használatát, és ennek segítségé-vel igyekezett az egyenletek megoldására minél általánosabb módszereket találni.

A másodfokúra visszavezetheto magasabb fokszámú egyenletek bevezetojében a tankönyvemlíti a tragikus sorsú Évariste Galois-t (1811-1832), a modern algebra megalapítóját. Az omunkássága ugyan túl nehéz falat lehet egy gimnazistának, de az életérol többet megtudhatunkLeopold Infeld könyvébol, mely magyarul Akit az istenek szeretnek címmel jelent meg.

Feladatok

Sokféle másodfokú egyenletre vezeto szöveges problémát meg lehet oldani az órán. Álljon ittketto a témakörhöz kapcsolódva:

1. Párizs és Rennes3 350 km-re van egymástól. Egyszerre indulunk Rennes-be a barátaink-kal, mi TGV-vel, ok autóval. A TGV átlagsebessége 50 km/h-val több az autóénál, ésígy 1 óra 10 percet várunk a barátainkra Rennes-ben. Milyen gyorsan közlekedik a kétjármu? [Legyen x a TGV által megtett ido! A sebessége így 350/x lesz, míg az autóé350x+ 7

6

. Tudjuk még, hogy az autó50 km/h-val lassabban halad a TGV-nél, tehát a következoegyenletet kell megoldanunk:

350x

= 350x+ 7

6

+ 50

Ebbol megkapjuk, hogy a TGV 2 óra 20 perc alatt ért Párizsból Rennes-be, vagyis 150km/h sebességgel halad, míg az autó 100 km/h-val.]

2. Egy vidéki városban foglaltunk szállást egy éjszakára összesen 192 e-ért. Ha Párizsban(ahol 24e-val drágább a szoba fejenként) szálltunk volna meg ugyanennyi pénzért, akkornégy fovel kevesebbnek lett volna hol aludnia. Hány emberre foglaltunk szállást a vidékivárosban? [Legyen x a személyek száma! Fejenként 192

xe-t kell fizetniük. A párizsi

szállodában ezzel szemben néggyel kevesebben tudnak megszállni ennyi pénzért, vagyisa szoba ott fejenként 192

x−4e-ba kerül. Az árkülönbség 24 e, vagyis a

192x−4

= 192x

+ 24

egyenletet megoldva megkapjuk, hogy eredetileg nyolc fore akartunk szobát foglalni.]

3elobbi a fováros, utóbbi pedig a France-Euro-Express tankönyvsorozat történeteinek fo színhelye


3.4. Geometria

A tizedikes geometria-tananyag bovíti a körrel kapcsolatos ismereteket, továbbá egy újabbtranszformációt tanulnak a diákok: a középpontos hasonlóságot.

Fölelevenítik a vektorokról tanultakat is, illetve most már koordináta-rendszerben is szá-molnak vektorokkal.

Feladatok

1. A Champs-Elysées-n vagyok, a Charles de Gaulle téren. Tudom, hogy a Diadalív 50 mmagas. Tudom, hogy én 180 cm magas vagyok, és az árnyékom 1 m hosszú. Mekkora aDiadalív árnyéka? [27 7/9 m hosszú.]

2. A Concorde téren állok, de nincs nálam az útikönyv, és kíváncsi vagyok az obeliszkmagasságára. 180 cm magas vagyok, az árnyékom 1 m hosszú, és 12 lépésemnél félméterrel rövidebb az obeliszk árnyéka (egy lépésem 110 cm hosszú). Milyen magas azobeliszk? [22,86 m magas.]

3. Már tudjuk, hogy milyen magas az obeliszk és a Diadalív. Utánanéztünk, hogy a Diadalívnagy íve 29 m magas. Mindketto a Champs Elysées-n helyezkedik el, egymástól 2 kmtávolságra. Milyen messze kellene mennünk az obeliszktol, ha azt szeretnénk, hogy éppena Diadalív nyílásában látszódjon?

[A párhuzamos szeloszakaszok tételének segítségével kiszámolhatjuk, hogy körülbelül7,35 km-re kell mennünk az obeliszktol, a Diadalívtol távolodva.4]

Mindhárom feladat megoldásához a háromszögek hasonlóságát és a párhuzamos szelosza-kaszok tételét hívjuk segítségül.

3.5. Szögfüggvények

François Viète a trigonometria területén is sok eredményt mondhat magának. Az eredményeiazért is érnek sokat, mert az o idejében a szögfüggvények nem jelentettek többet a derékszöguháromszög oldalhányadosainál5.

4Ez akkor igaz, ha pont a földrol nézzük. Sajnos ilyen képet nem lehet készíteni, mert a szükséges 7,35 km-ensok épület áll az útban.

5Matematikatörténeti ABC, 228. o.


Feladat

A tizedikes diákoknak még ijesztoen hangozhat, hogy a gyakorlatban is használják a trigono-metriát. Nézzünk erre egy példát!

A repülésben az északi irányhoz képest az óramutató járásával egyezoen mért szöget hasz-nálják irányok megadására (azaz 0˚= észak, 90˚= kelet stb.). A képen az egyik párizsi repülotér(Orly) légifotója látható. Az A-val jelölt kifutópálya iránya 20˚.

Határozzuk meg a B kifutópálya irányát egy erre alkalmas síkidom oldalhosszai alapján!(Figyeljünk oda, hogy ez a megfelelo síkidom nem háromszög, hanem trapéz – vagyis fel

kell bontanunk egy téglalapra és egy derékszögu háromszögre, hogy tudjunk vele számolni.)

3.6. Valószínuségszámítás

1812-ben jelent meg Laplace Théorie analitique des probabilités (A valószínuség analitikai el-mélete) címu muve, amelyben a matematikus a valószínuségszámítást már a matematika önállóágaként kezeli. A boséges anyagnak köszönhetoen sok késobbi felfedezés is innen ered.


Feladatok

A rulettjáték Monte Carlóban lett eloször igazán népszeru a XIX. század elején. (Néha BlaisePascalnak tulajdonítják a feltalálását, aki az örökmozgó eloállításával kísérletezett, és közbenmintegy „melléktermékként” létrehozta ezt a szerencsejátékot6.) Mint ismert, a játék lényege a0-tól 36-ig terjedo számok sorsolása. Ezek közül 18 szám piros, 18 fekete, egy (a nulla) pedigzöld. (A létezo bonyolultabb szabályokat a feladatban nem vesszük figyelembe.)

1. Egy lehetséges játékfajta, ha csak pirosra vagy feketére teszünk. Ha eltaláljuk a „kisor-solt” szám színét, a tétünket duplázva kapjuk vissza, ha nem, a tét a banké. Mekkora egyilyen játékban a nyerés esélye? [18/37=48,65%]

2. Tegyük fel, hogy az asztalnál csak feketét és pirosat játszanak meg. Mekkora a banknyereségének várható értéke, ha a játékosok összesen

(a) 1000 forintot tettek a pirosra, 1000 forintot pedig a feketére?

(b) 500 forintot tettek a pirosra, 1500 forintot pedig a feketére?

(c) 2000 forintot tettek a pirosra, a feketére pedig nem tett senki?

[Mindhárom esetben 54,06 forint.]

Mekkora annak az esélye, hogy a bank nyer a fenti három esetben (azaz kevesebb pénztfizet ki, mint amennyit beszed)? [2,703%, 51,35% ill. 2,703%, ebbol lehet érezni, hogy avárható nyeremény nem egyformán változik a nyerés esélyével. A következo feladat eztmég szemléletesebben mutatja.]

3. A fekete/piros játékban egy lehetséges stratégia, ha eloször egységnyi pénzt teszünk fel,majd, ha azt elveszítjük, mindig az elozo tét kétszeresét. Belátható, hogy amikor nye-rünk, akkor összesen épp egy egységnyivel lesz több pénzünk, mint amennyivel a játékotelkezdtük. (Ezt játsszuk le az osztállyal, hogy lássák és megértsék, hogy hogyan is mu-ködik ez.)

Tegyük fel, hogy a kaszinó szabályai szerint a legkisebb tét 100 forint, és egyszerre legfel-jebb 10000 forintot tehetünk fel. A fenti stratégia alkalmazásával (a játékot abbahagyvanyerés esetén, vagy amikor a megengedettnél több pénzt kellene feltennünk) mennyi anyerés esélye, és mennyi a nyereség várható értéke? [99,06%, de -20,52 forint – szintebiztosan nyerünk egy kicsit, de a stratégiát sokszor ismételve összességében mégis veszí-teni fogunk.]

6Forrás: a wikipédia rulettel foglalkozó magyar nyelvu szócikke


3.7. Egyéb feladatok

Párizsról ennek a tanévnek során tanulnak a franciaórákon a diákok.Az egyik szünet elotti órára készüljön föl valamelyik tanuló (5-10 percben) az Eiffel-torony

érdekességeibol.(A torony négy oldalára összesen 72 tudós neve van fölírva7, ebbol 15 matematikus (is) volt.

Nézzük meg, hogy melyiket ismerik már ezek közül a nevek közül (akár matematikából, akármás tantárgyból). Emlékeznek-e még, hogy melyiküknek mit köszönhet a tudomány?)

7Utána lehet nézni például a Wikipédián is:http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_soixante-douze_noms_de_savants_inscrits_sur_la_tour_Eiffel.

4. fejezet

Az érettségihez közeledve – atizenegyedikes tananyag

Ahogy a korábbi kötetekben is, itt is akad olyan ismeretanyag a tanév során, amely nem teljesenújdonság a diákok számára. Ezekre az ismétlésekre alapozva kevésbé ijeszto az új tananyag agyengébbeknek.

4.1. Kombinatorika, gráfok

A francia matematika történetének egy fontos epizódja volt Pierre de Fermat és Blaise Pascal le-velezése. A valószínuségszámítás alapjait az 1654-ban váltott leveleikben rakták le, de emellettkombinatorikáról is írtak egymásnak.

A Pascal-háromszöget, amit a tankönyvben is leírnak1, valójában nem o fedezte föl (márKínában is ismert volt a 12. században2), csak értekezést írt róla 1654-ben Traité du triangle

arithmétique címmel (Értekezés az aritmetikai háromszögrol), és ennek nyomán terjedt el Eu-rópában.

Feladatok

Nézzünk egy feladatot gráfokkal!Tekintsük gráfnak az ábrán látható alaprajzot (Rennes egyik parkjának (Thabor) alaprajza)!

1. Mekkora a legnagyobb fokszámú csúcs fokszáma? [4]2. Összefüggo-e a gráf? [Igen.]3. Legalább hány él elvágásával esik két részre a gráf (hányszorosan összefüggo)? [1]

1Sokszínu matematika 11, 24. o., KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, PINTÉR Klára, URBÁN János, VIN-CZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009

2Sokszínu matematika 11, 29. o.

22

4. FEJEZET. AZ ÉRETTSÉGIHEZ KÖZELEDVE – A TIZENEGYEDIKES TANANYAG 23

4. Mutassunk rajta olyan részgráfot, ame-lyik fa!

5. Található benne Euler-vonal? Ha igen,hol? Ha nem, miért nem? [Nem, merthárom olyan csúcs is van, amelynek 1 afokszáma.]

4.2. Hatvány, gyök, logaritmus

Sok mindent ismernek már a tizenegyedikes tanulók, éppen ezért ismétléssel kezdodik ez afejezet. Az elso új anyag ebben a fejezetben a törtkitevoju hatvány.

Eloször Nicole Oresme (Nicolaus Oresmicus, 1323-1382?), Lisieux püspöke foglalkozotttörtkitevoju hatványokkal. Munkáiban már felmerül a függvény fogalma, az abszcisszát longi-tudonak, az ordinátát latitudonak nevezi. (Az értekezéseit többször is kiadták, és valószínuleghatással voltak Descartes-ra is.)3

4.3. A trigonometria alkalmazásai

A háromszögek hiányzó adatainak kiszámításában segít a koszinusztétel. Ezt néha szoktákCarnot-tételnek hívni (Lazare Nicolas Carnot (1753-1823) francia államférfiról és matemati-kusról), de érdekesség, hogy maguk a franciák Al-Kashi tételének ismerik, Ghiyath al-Kashi(1380-1429) perzsa matematikusról.

Mikor trigonometrikus egyenleteket és egyenlotlenségeket oldunk meg, mindig odaírjuk amegoldáshoz az adott szögfüggvény periódusát. A szögfüggvényeket tetszoleges pozitív szö-gekre eloször Viète értelmezte4.

3Matematikatörténeti ABC, 186. o.4Matematikatörténeti ABC, 224. o.


Feladatok

A koszinusztétel segítségével az oldalak hosszá-nak ismeretében ki tudjuk számolni a három-szög szögeit. Keressünk hasonló háromszögeketaz Eiffel-torony második emelete tervrajzánakrészletén5! Az oldalakat körzovel-vonalzóval le-mérve számoljuk ki néhány háromszög szögeit!Honnan tudhatjuk, hogy ezek a szögek igazibólis ekkorák?

4.4. Függvények

A természetes logaritmust John Napier (1550-1617) skót matematikus vezette be, maga a lo-

garitmus elnevezés is tole származik6 (franciául logarithme népériennek is hívják az o tisztele-tére). De az elso logaritmustáblázatokat Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) belga jezsuitamatematikus írta le 1647-ben.

4.5. Koordinátageometria

A fejezet bevezetojében szó esik Descartes 1637-ben megjelent írásáról, a Géométrie-rol: ezttekintjük az elso koordinátageometriai munek. „Ebben a szerzo már következetesen használ-ja a kor fejlettségi szintjének megfelelo algebrát az ókori geometriára.”7 A Géométrie címumunkájában Descartes kúpszeleteket vizsgál a koordinátarendszer segítségével8.

5A kép forrása: az Eiffel-torony hivatalos honlapjáról (http://www.tour-eiffel.fr/).6Sokszínu matematika 11, 95. o.7Sokszínu matematika 11, 191. o.8La Géométrie, DESCARTES, René, Paris, Librarie Scientifique, 1886


Feladat

A koordinátasíkon egy P (9; 6) középpontú, 5 sugarú kör alakú ketrecbe van bezárva Héloïse.Abélard9 be akar szökni hozzá. Tudja, hogy a titkos ajtó az A(5; 3) koordinátájú pontban van.Milyen egyenletu egyenes mentén induljon, ha a B(−2; 1) pontban áll éppen? Hol metszi mégez az egyenes a kört?

[Egyenest kell illeszteni az A és B pontokra. A pontok koordinátáinak ismeretében azegyenes (egyik) irányvektora (7; 2) (normálvektora pedig (−2; 7). Az egyenes egyenletét ennyiadatból már föl tudjuk írni: −2x+ 7y = 11.

Hol metszi az egyenes a kört? Ehhez föl kell írnunk a kör egyenletét: (x−9)2+(y−6)2 = 25.A következo kétismeretlenes egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett metszésponto-kat: −2x+ 7y = 11

(x− 9)2 + (y − 6)2 = 25

Az egyenes az A(5; 3) ponton kívül a C(741/53; 295/53) pontban metszi a kört.

4.6. Valószínuségszámítás, statisztika

A valószínuségszámítás Pierre de Fermat és Blaise Pascal 1664-es levelezése nyomán indultfejlodésnek.10 A tankönyv 268. oldalán is leírt feladat (De Méré lovag feladványa) fordította afigyelmüket a matematikának addig kevéssé ismert ága felé.

Párizst évente 28 millió turista látogatja meg, ebbol 17 millió külföldi. Mi a valószínusége,hogy

1. egy tetszolegesen megszólított turista külföldi? [17/28]

2. öt egymás után megszólított turista mindegyike külföldi? [(

517000000

)/(

528000000

)]

3. öt egymás utáni napon egy-egy turistát megszólítva mindegyikük külföldi? (Itt nem kö-töttük ki, hogy ugyanazt nem szólítjuk meg többször.) [(17/28)5]

4.7. Egyéb feladatok

Az egyik „lazább” (iskolai szünet elotti) órán vegyük elo az elso fejezetben említett RaymondQueneau Stílusgyakorlatok címu muvének egy másik részletét:

9XI. századi francia filozófus, tanítványához, Héloïse-hoz fuzodo szerelmérol több irodalmi alkotás is született.10Matematikatörténeti ABC, 225. o.


„A 84x + S = y kétismeretlenes egyenlettel kifejezheto görbe szakasz mentén ha-ladó paralelogramma alapú hasáb belsejében elhelyezkedo A térbeli idom, melynekl > n hengerösszetevovel kapcsolódó szabálytalan gömbösszetevojének felso kerüle-te két szinuszoid hosszúságával egyenlo, közös metszéspontot alkot B triviális térbeliidommal. Bebizonyítandó, hogy a metszéspont egyben vektoriális bifurkáció. [. . . ]

Ha A idom találkozik a végesben C idommal, közös metszéspontjuk diszkussziójánaksugara r < l. Meghatározandó a metszéspontnak A idom függoleges tengelyéhez mértmagassága.”11

1. Milyen görbe mentén halad a busz? [Egyenes.]

2. Mit tudunk elmondani A térbeli idomról? [A hengerösszetevo a nyaka, a szabálytalangömbösszetevo a feje; és egy másik emberrel (B) érintkezik éppen (eltolva azt a térben).]

3. Ha tudjuk, hogy A és C „metszéspontja” egy r kerületu gomb (errol beszélgetnek), akkorhogyan fogalmazhatnánk meg máshogy a második bekezdést? [Arról beszélgetnek, hogyhova kerüljön a gomb A-n.]

11Mértanian in: Stílusgyakorlatok, QUENEAU, Raymond, 90. o. (fordította BOGNÁR Róbert, Budapest, HelikonKiadó, 1988)

5. fejezet

A továbbtanulás küszöbén – atizenkettedikes tananyag

A sorozat utolsó kötete az érettségire való felkészülést is segíti a Rendszerezo összefoglalás

címu utolsó fejezettel, mely a négy év során tanult új ismereteket tekinti át.Azért a tizenkettedikes tananyag sem csak ismétlésbol áll, ebben az évben is várnak új

ismeretek a tanulókra.

5.1. Logika, bizonyítási módszerek

A különféle bizonyítási módszerek közül a tankönyv csak a teljes indukciót tárgyalja.1 EztBlaise Pascal (1623-1662) fogalmazta meg 1654-ben, és eloször 1665-ben jelent meg a Traité

du triangle arithmétique címu értekezésben.

Feladatok

1. Franciaország 101 megyére (département) van osztva, ezekbol 5 nem Európában van (ket-to Közép- és Dél-Amerikában, illetve három sziget Afrika partjainál). Ez az 5 megye egy-ben régió (région) is.2 Ezek ismeretében döntsük el, hogy melyik igaz az alábbi állításokközül? Melyik állításból következik a másik?

• (a) A: A 22 Európában található régió 96 megyére osztható.

(b) B: Franciaországnak összesen 27 régiója van.

[A ⇒ B]1Sokszínu matematika 12, 28-34. o.2Ezekre, illetve a következo feladatban levo ismeretekre érdemes egy franciaórát rászánni, ha lehet, akkor

idoben nem túl távol ezektol a feladatoktól.

27

5. FEJEZET. A TOVÁBBTANULÁS KÜSZÖBÉN – A TIZENKETTEDIKES TANANYAG28

• (a) A: Van olyan francia megye, amelyik sziget.

(b) B: Mindegyik megye szomszédos egy másik megyével.

[A igaz, és ebbol következik, hogy B nem lehet igaz, vagyis A ⇒ ¬B]

• (a) A: Nincs két olyan régió, amely ugyanannyi megyébol állna.

(b) B: Nincs olyan régió, amely csak egy megyére lenne osztva.

[A nem igaz, illetve B sem igaz. Egyik se következik a másikból.]

2. Franciaországban nem kell dolgozni menni a 6 civil (január 1., május 1., 8., július 14., au-gusztus 15. és november 11.) és az 5 vallási (Húsvéthétfo, Krisztus mennybemeneteléneknapja (Húsvét után 40 nappal, csütörtökre esik), Pünkösdhétfo, Nagyboldogasszony (au-gusztus 15.), Mindenszentek (november 1.) és karácsony (december 25.)) (ünnep)napon.Tekintsük az alábbi állításokat!

• A: Összesen 10 szünnap van.

• B: Összesen 11 szünnap van.

• C: Nincs olyan szünnap, amely minden évben ugyanolyan napra esik.

• D: Van olyan szünnap, amely minden évben ugyanolyan napra esik.

• E: Nincs olyan szünnap, amely egyszerre világi és vallási ünnep is.

• F : Van olyan szünnap, amely egyszerre világi és vallási ünnep is.

Mit tudunk elmondani a következo muveletek igazságértékérol?

(a) A ∧B [hamis]; A ∨B [igaz]

(b) A ∧ C [hamis]; A ∧ (¬C) [igaz]

(c) B ∧ E [hamis]; B ∨ E [hamis]; (¬B) ∧ (¬E) [igaz]

(d) ¬(C ∧ E) [igaz]

(e) ¬(D ∧ (¬F )) [igaz]

(f) ¬((¬D) ∨ F ) [hamis]

(g) B ∧ (B ∨D) [hamis]

(h) (A ∧ E) ∨ A [igaz]

(i) (E ∨ A) ∧ C [hamis]

(j) F ∧ (A ∨B) [igaz]


5.2. Számsorozatok

Már az ókorban is ismerték a számsorozatokat, mégis az újkorban kezdtek el jobban foglalkoznivelük. Diderot és d’Alembert az Encyclopédie-ben is megemlékezik a sorozatokról (1751), bárok a konvergenciára helyezik a hangsúlyt. A sorozatelemek indexelése valószínuleg Lagrange-tól származik.3

5.3. Térgeometria

A térgeometriai tanulmányokhoz a tankönyv értelemszeruen eloször a síkidomok területét ta-nítja.

A kör és részeinek területénél mindenképpen szó esik a π számról. Sok matematikus nevefuzodik hozzá, hiszen sokan foglalkoztak vele. A franciák közül említésre méltóak:

• Viète, aki tíz tizedesjegyig meghatározta, illetve trigonometrikus alakban adta meg azértékét: π

4= cosπ

4· cosπ

8· cos π

16· cos π

32. . .

• Georges Buffon, aki a tuprobléma4 segítségével kísérleti úton határozta meg a π értékét.

• Adrien Marie Legendre (1752-1833), aki (Lambert svájci matematikussal párhuzamosan)bebizonyította, hogy a π irracionális.

• Évariste Galois (1811-1832), aki leírta, hogy a transzcendens számok nem kaphatók megeuklideszi szerkesztéssel. Lindemann német kutató bizonyította be 1882-ben, hogy a π istranszcendens.

Feladatok

1. A párizsi Louvre bejárati üvegpiramisának magassága 21,65 m, alapnégyzetének oldal-hosszúsága 35,4 m. Hány m2 üveg volt szükséges a befedéséhez, ha az üveglapok közöttiacélszerkezet területét elhanyagoljuk?

[A piramis (négyzet alapú egyenes gúla) felszínét kell kiszámolnunk, pontosabban aháromszöglapok területének összegét. Ehhez szükségünk van egy ilyen oldallapnak amagasságára, melyet az ismert adatokból a Pitagorasz-tétel segítségével meg is kapunk.(ma = sqrt(35,4

2)2 + 21, 652 =

√782, 0125). Az alaplap oldalhossza megegyezik az ol-

dallapokat alkotó egyenlo szárú háromszögek alapjának hosszával. Innen a 4 oldallapfelszíne: A′ = 435,4·ma

2= 2(35, 4 ·ma = 1979, 8856 [m2].]

3http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_%28math%C3%A9matiques%29#Fragments_d.27histoire

4Sokszínu matematika 12., 121. o.


2. A „ceruzának” becézett lyoni Tour Part-Dieu 164,9 m magas. A henger alakú építménytetején egy 23 m magas piramis található. Egy-egy emelet 1115 m2 alapterületu.

(a) Mekkora az épület térfogata (a piramist leszámítva)? [A henger magassága: a teljesépületbol kivonjuk a piramis magasságát, vagyis 164, 9−23 = 141, 9 [m]. A térfogatígy: V = 141, 9 · 1115 = 158218, 5 [m3].]

(b) Mekkora az alapterülete összesen a 40 emeletes toronynak? [40·1115 = 44600 [m2].]

(c) Mekkora egy-egy emelet térfogata? [Egy emelet magassága: 141, 9/40 = 3, 5475 [m].Ebbol adódik, hogy a térfogat 3, 5475 · 1115 = 3955, 4625 [m3].]

5.4. Valószínuségszámítás, statisztika

A geometriai valószínuség fogalmát Georges Buffon (1707-1788) francia természettudós ve-zette be 1777-ban a tuproblémával.5 Ennek segítségével kísérleti úton meg tudta határozni a π

értékét. Az o képlete alapján a zürichi Christian Wolf a π = 3, 1596 eredményre jutott 1850-ben.

A tizenkettedikes tananyagban nagyobb hangsúlyt kap a statisztika, mint a korábbi tanéveksorán.

Feladatok

Párizsban 14 metróvonal szolgálja ki nap mint nap az utasokat. Az alábbi táblázatban néhányadatot láthatunk ezekrol a vonalakról.

Vonalszáma

Állomásokszáma

Vonalhossza

Vonalszáma

Állomásokszáma

Vonalhossza

1 26 16,5 km 7bis 8 3,066 km

2 25 12,4 km 8 37 22,057 km

3 25 11,665 km 9 37 19,569 km

3bis 4 1,3 km 10 23 11,7 km

4 26 10,6 km 11 13 6,286 km

5 22 14,634 km 12 28 13,888 km

6 28 13,6 km 13 32 24,3 km

7 38 18,594 km 14 9 9,2 km

1. Átlagosan hány megállója van és milyen hosszú egy metróvonal?5Sokszínu matematika 12, 121. o.


[Az adatok számtani közepét véve: 23,8125 állomása van, és 13,085 km hosszú.]

2. Adjuk meg az állomások számának és a vonalak hosszának mediánját és móduszát!

[Medián: a megállók számát nézve 25,5. A metróvonalak hosszát tekintve 13 km. Mó-dusz: az állomások számát tekintve négy leggyakoribb adat van, ezek: 25, 26, 28, 37. Avonalak hosszúságát tekintve ennek csak akkor van értelme, ha intervallumokat nézünk.]

3. Soroljuk osztályokba az adatokat! Mennyi a megállók átlagos száma és a vonalak átlagoshossza, ha osztályközepekkel számolunk?

[A megállók számát tekintve: tíz megállónként legyen egy osztály! Így összesen 4 osztálylesz. Az állomások átlagos száma osztályközepekkel számolva:3·6,5+1·13+8·25+4·35

16= 23, 28125.

A vonalak hosszát tekintve: soroljuk 5 km-enként osztályba az adatokat, így 5 osztályunklesz. A vonalak átlagos hossza osztályközepekkel számolva:2·1,9929+2·7,743+7·12,617+3·18,0345+2·23,1785

16= 13, 0157]

4. Vizsgáljuk meg a minták szórásnégyzetét és szórását!

[Az állomások számát nézve a szórásnégyzet: (26−23,8125)2+(25−23,8125)2+...+(9−23,8125)2

16=

102, 9023

A szórás ennek a négyzetgyöke, vagyis 10.144.

A metróvonalak hosszát nézve a szórásnégyzet 37,8, a szórás pedig 6,148.]

6. fejezet

Összegzés

Nem könnyu egy humán tárgyat együtt tanítani egy reállal, ha összefüggéseket akarunk mutatniköztük a diákoknak. A legegyszerubb talán példákon keresztül megpróbálkozni ezzel az elsoremegleponek és bonyolultnak tuno feladattal.

A matematikatörténeti érdekességek színesíthetik a tanórát, de semmiképpen se szabad,hogy ez legyen túlsúlyban. Két-három percben kiegészítheto néha az anyag, a többit pedigakár rá is lehet bízni a francia szakos kollegára (hiszen nem csak a matematikaórán lehet utalniegy másik tantárgyra, hanem nyelvórán is meg lehet ismerkedni egy-egy francia tudós életévelés munkásságával).

Ha francia vonatkozású feladatokat akarunk föladni, nem elég, hogy átírjuk a szöveges fel-adatban a „szereplok” nevét Annáról és Boglárkáról Anne-ra és Bernadette-re (ezzel az erovelAstrid és Beate is lehetne). A két tantárgy közötti összefüggések keresésébe beletartozik az is,hogy a feladatokon keresztül mutatunk valamit az adott nyelv kultúrájából is.

Úgy gondolom, hogy szükség van néha egy-egy ilyen kitekintésre. Azért, hogy ne tekintséka (gyengébb képességuek) a matematikát elvont és érthetetlen dolognak, és hogy az maradjonmeg bennük a gimnáziumi évek elmúltával, hogy volt értelme, hogy mégis hasznos és szép amatematika.

Nem lehetetlen tehát a tantárgyak közti együttmuködés megvalósítása. Megpróbálni min-denesetre érdemes. Közösen a másik szakos kollegákkal talán könnyebb, de külön utakon isjárhatunk – ha fel tudjuk kelteni a diákok érdeklodését, már volt értelme.

32

Felhasznált szakirodalom

1. Sokszínu matematika 9, KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, PINTÉR Klára, URBÁN

János, VINCZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009







5. Matematikatörténeti ABC, SAIN Márton, Budapest, Tankönyvkiadó, 1978.

6. A francia nyelv lexikona, BÁRDOSI Vilmos, KARAKAI Imre, Budapest, Corvina, 1996

7. France-Euro-Express 1, SOIGNET, Michel, SZABÓ Anita, Budapest, Nemzeti Tankönyv-kiadó 1996

8. France-Euro-Express 2, SOIGNET, Michel, SZABÓ Anita, Budapest, Nemzeti Tankönyv-kiadó 1997

9. Exercices de style, QUENEAU, Raymond, Paris, Gallimard, 1995

10. Stílusgyakorlatok, QUENEAU, Raymond, fordította BOGNÁR Róbert, Budapest, HelikonKiadó, 1988

33

Documents

Francia matematikusok magyar szemmelweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2011/palfalvine_wacha... · A Sokszínu˝ matematika-sorozat a tananyag részletes magyarázatai