Upload
ursala
View
55
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fraktální dimen ze. Definice frakt ální ( vnitřní ) dimen ze a jej í aplikace v datab ázích. David Hoks za. Obsah. Topologick á dimen ze Hausdorffova dimenze Frakt ální dimen ze (FD) Výpočet FD v O(n) Aplikace při selekci atributů Výpočet FD pomocí box -counting - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Fraktální dimenze
Definice fraktální (vnitřní) dimenze a její aplikace v databázích
David Hoksza
Obsah
Topologická dimenze Hausdorffova dimenze Fraktální dimenze (FD) Výpočet FD v O(n) Aplikace při selekci atributů Výpočet FD pomocí box-counting Aplikace při detekci očí v obrázku
Topologická dimenze (TD)
Geometricky hladké objekty Počet parametrů popisujících objekt
Pevně definovaným vztahem lze popsat libovolný bod objektu
Celočíselná TD nezávisí na dimenzi prostoru, kde je daný
objekt umístěn Vlastnosti tělesa nezávislé na měřítku
Příklady TD
Přímka y = y0 + kt
TD = 1 Funkce
x = sin(t)*log(t) y = cos2(t) z = t
TD = 1 Libovolná hladká plocha
Kruh, trojúhelník, n-úhelník TD = 2
Hausdorffova (fraktální) dimenze (FD)
Neceločíselná Udává úroveň členitosti objektu Délka břehu ostrova
Zmenšování měřítka => růst délky Zabírá více místa než hladká křivka Větší než topologická
Měření FD (1)
Úsečka Úsečku rozdělíme na N
dílů Měřítko: s = 1/N Pro FD platí: NsD = 1
NsD = 1 logNsD = log 1 logN + logsD = 0 Dlogs = - logN D = (-lognN)/logs D = logN/log(1/s)
D = logN/log(1/s) = lognN/logN = 1
Měření FD (2)
Čtverec s = 1/N2
D = logN/log(1/s) = logN/log(N2) = 1/(1/2) = 2
Měření FD (3)
Kochova křivka
5 iterací křivky
Měření FD (3)
Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 1/3 => N = 4 D = logN/log(1/s) = log4/log3 = 1.261895
“Vnořená” a “Vnitřní” Dimenze
“Embedding” (vnořená) dimenze (ED) datasetu je dimenze jeho adresového prostoru. Počet atributů datasetu
“Intrinsic” (vnitřní) dimenze (ID) je dimenze prostorového objektu reprezentovaného datasetem, nezávisle na prostoru, do kterého je vnořen.
Vlastnosti ID a ED
Vzájemně nezávislé atributy => ED == ID Polynomiální korelace snižuje ID o jednotku Ostatní korelace můžou jinak (i o zlomek) Obvykle ID z dat není zřejmá ID určuje počet atributů potřebných k
charakterizaci datasetu
Zobecněná Hausdorffova fraktální dimenze (1)
Rozdělme E-dimenzionální prostor do hyperkrychlí o hraně r. Budiž N(r) počet buněk obsahující alespoň 1 bod. Potom fraktální dimenze D0 je definována jako:
Vhodné z matematického hlediska (nekonečný počet bodů)
Hausdorffova fraktální dimenze pro konečné množiny
Datasety nemají nekonečně mnoho bodů => definujeme pouze pro jistý úsek
Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je Hausdorffova dimenze D0 pro tento rozsah:
Zobecněná Hausdorffova dimenze pro konečné množiny
Existence zobecněné definice existuje nekonečně mnoho definic Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z
(r1,r2) je zobecněná Hausdorffova dimenze Dq definována:
Korelační fraktální dimenze ( vnitřní dimenze)
r – velikost pole
Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r
FD při selekci atributů
Datová sada o N atributech Ne všechny stejně důležité Detekce existence závislosti Odstranění závislých atributů
FD pro selekci - koncept
Zjištění “fraktální dimenze” datasetu Zjištění atributů, které FD málo ovlivňují Odstranění atributů
FD pro selekci - koncept
Obvykle data v tabulce Sloupce == vlastnosti Řádky == body Tabulka == body v E-dimenzioním
prostoru, kde |E| = |sloupce| Obvykle atributy vyjadřují číselné hodnoty
=> těžko vyjádřitelný primární klíč => indexování podle celé množiny atributů
=> “prokletí dimenzionality”
Fractal Dimension Algorithm (1) Počítá v čase O(N*E*R) E-dimenzionální prostor Mřížka s buňkami o velikosti r Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r S(r) = suma(Cr,i
2) Získání fraktální dimenze
Spočítat S(r) s různými hodnotami r a spočítat směrnici výsledné přímky
Vytvořena multiúrovňová struktura pro počítání S(r) <Cr,i,p>, kde p je ukazatel do další úrovně pro danou buňku Kazdá úroveň obsahuje S(r) pro hodnotu r=r/2 z předchozí úrovně Struktura je vytvářena v hlavní paměti => omezení její velikosti
Fractal Dimension Algorithm (2)
Množina 5-ti bodů v 2D
Fractal Dimension Algorithm (3)
Algorimus pro selekci atributů
FD (=D) <= ED (=E) Existuje D neodvoditelných atributů (D <= E) => existuje (E-D) odvoditelných atributů
Získat Eliminovat
Parciální fraktální dimenze (pD)Korelační fraktální dimenze datasetu bez bez
jednoho či více atributů.
Algorimus pro selekci atributůFDR – Fractal Reduction Algorithm
Spočítaní FD celého datasetu Spočítání pD s každým odebraným atributem Vybrání atributu s minimálním rozdílem pD
od FD datasetu Odebrání atributu Iterativně opakovat
Př.: atributy {a,b,c} c=a+b
FDR
Datasety pro testování Sierpinsky5
5D Sierpinského trojúhelník a=x,b=y,c=a+b,d=a2+b2,e=a2-b2
Hybrid5 5D Sierpinského trojúhelník a=x,b=y,c=f(a,b),d=random1,e= random2
Měna 6-ti dimenzionální dataset normaliyovaných kurzů měny z 01/02/87-01/28/97 a=Hong Kongský dolar, b=Japonský jen, c=US dolar, d=Německá marka,
e=Francouzský frank, f=Britská libra Eigenfaces
11000 vekotrů obličeje z projektu Informedia 16 dimenzí
FD datasetů
Testování 450 MHz Pentium II 128 MB RAM Windows NT 4.0
C++
Počítání dimenze O(N)
FDR Lineární vzhledem k N Kvadratická vzhledem k dimenzi prostoru
Testování – fraktální dimenze
Testování - FDR
Lokace páru očí v obrázku
3 úrovně1. detekce kandidátů na oko
2. normalizace, FD, orientovaná FD, vytvoření dvojic
3. FD hraničního obrázku, FD tváře, výstup
FD pomocí box-counting (1) Počet kvádrů (box) pokrývající obrázek převedený do 3D 2D -> 3D
x=x y=y z=“intenzita šedé barvy”
Vytvoření mřížky obrázek IxI mřížka SxS buňky (i,j), kde 0<=i,j<r, r=spodní_celá_část(I/S) převod na krychli SxSxS’
maximální_intensita_šedé = G spodní_celá_část(G/S’) = spodní_celá_část(I/S)
FD pomocí box-counting (2)
Padne-li min a max intenzita šedé na buňce (i,j) do kostek k, resp. l, pak nr(i,j)=l-k+1, kde r=spodní_celá_část(I/S)
celkový počet kostek potřebný k pokrytí povrchu:
Nr=sumai,jnr(i,j) FD = směrnice přímky proložené jednotlivými hodnotami
(log(Nr),log(1/r))
),(,
jinji
r
SI /
FD pomocí box-counting pro binární obrázek
2 hladiny – černá, bílá černá – obrázkový bod bílá – bod pozadí
mřížka obrázek IxI mřížka SxS nr(i,j) = “počet obrázkových bodů v buňce” zbytek stejně jako pro šedou
FD v centru oka a jeho okolí
Detekce oka v obrázku
“Údolí” – malá intenzita šedé Kandidát na region oko (x,y), jestliže:
f(x,y)<t1 , f(x,y)...obrázek tváře, t1…hranice
Φv(x,y)>tv , Φv...údolí, tv…hranice
vybrání kandidáta z každého regionu
Spárování kandidátů (1)
normalizace stupňů šedi (rozdílné světelné podmínky na každém z očí)
stejná velikost stejná orientace
místo square-box-counting se počítá s orintovanými kvádry horizontální fraktální dimenze FDh
vertikální fraktální dimenze FDv
Na rozdíl od ostatních textur se FDh a FDv duhovek výrazněji liší
Spárování kandidátů (2) Příklad FDh a FDv
Spárování kandidátů (3)
(x0,y0) ... lokace kandidáta levého oka
(x1,y1) ... lokace kandidáta pravého oka
Meye … průměrná FD regionu oka
t1, t2, t3, t4 ... hranice
Verifikace párů
(x,y) ... pozice regionu páru očí Feye(x,y) … průměrná FD regionu páru očí
Fface(x,y) … průměrná FD regionu tváře
t5, t6 ... hranice (t5 = 0,038, t6 = 0,035)
při překrytí regionů volíme minimum z:|Feye(x,y) – M’eye(x,y)| + |Fface(x,y) – M’face(x,y)|
Experimenty Použití MIT a ORL databáze obličejů
Získání ostatních vlastností
Literatura Fast feature selection using fractal dimension
Caetano Tranja Jr., Afma Traina, Leejay Wu, Christos Faloutsos Estimating the Selectivity of Spatial Queries Using the
‘Correlation’ Fractal Dimension Alberto Belussi, Christos Faloutsos
Fractional Box-Counting Approach to Fractal Dimension Estimation Jie Feng, Wei-Chung Lin, Chin-Tu Chen
Locating the eye in human face images using fractal dimensions K.-H.Lin, K.-M.Lam,W.-C.Siu
Fraktály v počítačové grafice Pavel Tišnovský, www.root.cz