Zeszyty

Koła Naukowego Młodych sekcja matematyczno – naukowo - techniczna

Fraktale Fraktale Fraktale Fraktale

w matematycew matematycew matematycew matematyce

Zeszyt I

2009/2010r.

2

Spis treści: 1. Definicja fraktala……………………………………3 2. Przykłady fraktali……………………………………4

2.1 Zbiór Cantora………………………………….4 2.2 Dywan Sierpińskiego…………………………5 2.3 Trójkąt Sierpińskiego………………………….6 2.4 Krzywa Kocha…………………………………7 2.5 Inne przykłady………………………………...8

3. Fraktale w matematyce…………………………..9 3.1 Ułamki łańcuchowe…………………………9 3.2 Trójkąt Pascala………………………………13 3.3 Pierwiastkowe fraktale.…………………….13 3.4 Drzewko Pitagorejskie..…………………….15

4. Wymiar Fraktalny………………………………….18 5. Redakcja……………………………………………19

3

1.DEFINICJA FRAKTALA

Co to jest fraktal?

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu

potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki,

którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie

subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym

powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej

definicji. http://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal

http://www.infinitezoom.com

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka

Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii.

Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której

zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Okazało się, że brzeg wyspy jest

nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał

skończony obszar lądu http://www.tkk.net.pl

www.matprojekt.lorogozno.pl

„Ile wynosi długość brzegu Wielkiej Brytanii? To zależy – od tego, jak dokładnie się ją mierzy.”

Ian Stewart

4

2.PRZYKŁADY FRAKTALI 2.1 ZBIÓR CANTORA

Jak skonstruować Zbiór Cantora?

Zbiór Cantora powstaje poprzez podzielenie odcinka na 3 równe części i wyrzucenie środkowego

odcinka. Krok powtarzamy z wszystkimi nowo powstałymi odcinkami. Zbiór ten jest nieskończony.

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka W drugiej połowie XIX wieku Georg Cantor badał zbiory i utworzył podstawy działu topologii

zwanego topologią mnogościową. Opisał przy ty specyficzny zbiór, znany obecnie wszystkim

matematykom jako zbiór Cantora. Był to najwcześniej znany obiekt frakalny.

Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda, Bezmiar matematycznej wyobraźni, Wiedza Powszechna, Warszawa 1995

5

2.2 DYWAN SIERPIŃSKIEGO

Jak skonstruować Dywan Sierpińskiego?

Krok pierwszy Najpierw rysujemy kwadrat, który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy

kwadrat.

Krok drugi Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części

i usuwamy środkowe kwadraciki.

Kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Rysunek poniżej pokazuje dywan

po 5 krokach konstrukcji.

ZadanieZadanieZadanieZadanie Ile będzie miał białych kwadratów po n krokach konstrukcji?

6

2.3 TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO

Jak skonstruować Trójkąt Sierpińskiego?

Krok pierwszy Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Środki boków trójkąta łączymy

odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku 2

1 . Usuwamy

środkowy trójkąt.

Krok drugi Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich

wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe

trójkąty.

Kolejne kroki Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po 5 krokach konstrukcji.

ZadanieZadanieZadanieZadanie Ile będzie miał białych trójkątów n krokach konstrukcji?

7

2.4 KRZYWA KOCHA

Jak skonstruować Krzywą Kocha?

Zaczynamy od linii prostej. Dzielimy ją na 3 części i usuwamy środkową. W jej miejsce wstawiamy

trójkąt równoboczny o boku takim jak usunięta część. Tak samo postępujemy z każdym

z powstałych odcinków.

ZadanieZadanieZadanieZadanie Jakiej długości są boki rysowanego „trójkąta” w każdym etapie konstrukcji?

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka W 19945 roku włoski matematyk Ernesto Cesaro zachwycony wewnętrzną nieskończonością krzywej Kocha napisał o niej: Gdyby była obdarzona życiem, można by się jej pozbyć tylko

niszcząc ją w całości. W przeciwnym razie odżywałaby znowu i znowu, z głębi swych trójkątów, tak

jak czyni to życie we Wszechświecie.

Matematyka 2001, Gimnazjum. Klasa 3 WSIP, Warszawa 2007

8

2.5 INNE PRZYKŁADY

Kostka Mengera trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora

i Dywanu Sierpińkiego

origami.art.pl

Anty - Kostka Mengera Jest to dopełnienie kostki

Mengera, wszędzie gdzie w kostce jest dziura, to w anty-

kostce jest sześcian. origami.friko.pl

Piramida Sierpińskiego

Piramida Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego

w 3 wymiarach.

Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny

zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali.

Zbiór Julii

Zbiór Julii – fraktal, będący także podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota.

alef-0.host247.pl/julia/

9

3.FRAKTALE W MATEMATYCE 3.1 UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE

Co to jest ułamek łańcuchowy?

Niech a0≥0 i a1, a2, ..., an>0 będą liczbami całkowitymi. Ułamek postaci:

O

++

+

2

1

0 1

1

aa

a nazywamy ułamkiem łańcuchowym. Takim jest na przykład ułamek:

4

12

13

12

+

+

+ . Obliczmy jego wartość: 19

52

5

19

12

5

43

12

4

5

13

12 =+=

+

+=

+

+

www.wsipnet.pl

Jak zapisać ułamek zwykły w postaci ułamka łańcuchowego?

Przepis jest prosty: wyłącz całości, to, co Ci zostało, odwróć do góry nogami, znów wyłącz całości,

odwróć do góry nogami i dalej powtarzaj to (być może bez końca). Spróbujmy:

2

11

11

12

12

2

3

11

12

12

3

21

12

12

3

5

12

12

5

32

12

5

13

12

13

52

13

52

+

+

+

+=

+

+

+=

=

+

+

+=

+

+=

=

+

+=+=+=

10

Co mają wspólnego ułamki łańcuchowe z prostokątami?

Narysuj prostokąt o wymiarach np. 27 x 11. W tym prostokącie zamaluj dwa kwadraty 11 x 11.

W pozostałym prostokącie 5 x 11 zamaluj 2 kwadraty 5 x 5. W pozostałym prostokącie 1 x 5 mieści

się dokładnie 5 kwadratów 1 x 1.

Teraz sprawdź, że

5

12

12

11

27

+

+= Sprawdzenie: 11

27

11

52

5

11

12

5

12

12 =+=+=

+

+

Spróbujmy z innym przykładem. Weźmy prostokąt o wymiarach 29 x 38. Zamalujmy najpierw

jeden kwadrat 29 x 29. Zostaje nam prostokąt 9 X 29, więc zamalujmy 3 kwadraty 9 x 9. Zostaje

prostokąt 2 x 9, więc możemy zamalować 4 kwadraty 2 x 2 i został prostokąt 1 x 2, w którym

mieszczą się dokładnie 2 kwadraty 1 x 1.

11

Sprawdź teraz, że

2

14

13

11

29

38

+

+

+=

Sprawdzenie: 29

38

29

91

9

29

11

9

23

11

2

9

13

11

2

14

13

11 =+=+=

+

+=

+

+=

+

+

+

ZadanieZadanieZadanieZadanie

Wypróbujcie tę metodę np. dla ułamków 15

41,

14

47. Rysujcie prostokąty na papierze w kratkę.

Jakiemu prostokątowi odpowiada ułamek:

3

12

11

+

+ ?

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka

2

12

12

12

11

74

372

12

12

11

185

742

12

11

444

1852

11

1073

4441

1073

1517

+

+

+

+=

+

+

+

+=

+

+

+=

+

+=+=

Spróbujmy przekształcić ten ułamek z prawej na lewo:

29

41

29

121

12

29

11

12

52

11

5

12

12

11

5

22

12

11

2

5

12

12

11

2

12

12

12

11 =+=+=

+

+=

+

+=

+

+

+=

+

+

+=

+

+

+

+

Jak widać, wykonując tę operację tam i z powrotem, skróciliśmy ułamek. To przez co się skrócił się ułamek przy rozwijaniu w ułamek łańcuchowy (czyli 37) jest największym wspólnym dzielnikiem

liczb 1517 i 1073. Tak będzie się działo zawsze – pierwszy dostrzegł to Teajtetos z Aten w czasach

Peryklesa, czyli 2400 lat temu.

Marek Kordos, Lepsze ułamki

12

ZadanieZadanieZadanieZadanie

Korzystając z metody Teajtetosa z Aten skróć ułamek 146

771.

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka

Szczególnie ciekawe są rozwinięcia pierwiastków. W poniższym rozwinięciu wykorzystujemy fakt,

że ( )( ) 11212 =−+ co oznacza, ż liczba 12 + jest odwrotnością liczby 12 − .

( )( )

( )122

12

11

12

12

11

12

1

12

11

122

11

12

11

12

1

111212

−++

+=

++

+=

=

−

+

+=−+

+=+

+=

−

+=−+=

I tak w nieskończoność. Możemy więc zapisać, że:

O

++

+

+=

2

12

12

112

Rozwinięcie 3 jest trochę bardziej skomplikowane.:

O

++

+

+

+=

2

11

12

11

113

13

3.2 TRÓJKĄT PASCALA

Co to jest Trójkąt Pascala ?

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której w pierwszy wiersz jest wpisana liczba 1.Każdy

następny wiersz powstaje w ten sposób, że pod dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza

wpisuje się sumę tych wyrazów. Na początku i na końcu nowego wiersza dopisuje się jedynki.

I tak w nieskończoność.

ZadanieZadanieZadanieZadanie Zamaluj wszystkie pola z liczbami nieparzystymi, a pozostałe (z liczbami parzystymi) pozostaw

puste. Wynik tego postępowania zaskoczy Cię i zadziwi symetrią.

14

Co ma wspólnego Trójkąt Pascala z fraktalami ?

Jeżeli wykonałeś poprawnie powyższe zadanie to zabarwione pola utworzyły trójkąt Sierpińskiego.

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka Oto trójkąty Pascala z zamalowanymi polami liczb

podzielnych przez 3

podzielnych prze 217

podzielnych przez 16.

Gdy intuicja zawodzi, czyli szkolne zmagania z nieskończonością, GWO

15

3.3 PIERWIASTKOWE FRAKTALE

Co to jest pierwiastkowy fraktal ?

Wyrażenie typu ....215215215215 ++++ można nazwać pierwiastkowym fraktalem,

powtarzającą się cząstką jest w naszym przypadku 215 +

Jeżeli cały nasz fraktal oznaczymy jako niewiadomą x i ponownie dodamy powtarzający się element, powinniśmy dalej otrzymać x (jeśli od nieskończoności odejmiemy lub dodamy 1 dalej

mamy nieskończoność). W dalszej części równania, stosując proste przekształcenia i wzory

skróconego mnożenia, dochodzimy do ostatniego rozwiązania: x=5. Jednak w rzeczywistości nasz

fraktal jedynie dąży do liczby 5 tzn. po każdym kolejnym przekształceniu zbliża się do niej coraz

bardziej, ale nigdy jej nie osiągnie.

( )

5

161

11512

152

215

215

2

2

2

2

=

=−

+=+−

=−

+=

+=

x

x

xx

xx

xx

xx

Jak stworzyć swój własny pierwiastkowy fraktal ?

Możemy też stworzyć własny pierwiastkowy fraktal liczbowy. Chcemy, żeby nasz fraktal dążył do

pewnej liczby, powiedzmy, do liczby 16. Musimy więc utworzyć równanie kwadratowe np. takie,

jak przedstawione poniżej:

xx

xx

xx

x

x

2224

2224

2242

)116()1(

16

2

2

22

+=

+=

=−

−=−

=

I oto nasz fraktal:

...22242224222422242224 +++++

16

3.4 DRZEWKO PITAGOREJSKIE

Jak skonstruować Drzewko Pitagorejskie ?

Konstrukcja, która prowadzi do rodziny drzew pitagorejskich i związanych z nimi pojęć, ma ścisły

związek z konstrukcją spirali pierwiastków kwadratowych czyli tak zwanego Ślimaka Pitagorasa.

Konstrukcja ta składa się z następujących kroków

Krok 1: Narysuj kwadrat.

Krok 2: Dołącz trójkąt prostokątny do jednego z boków tak, by bok kwadratu był jednocześnie

przeciwprostokątną tego trójkąta (w tym przykładzie trójkąt jest równoramienny).

Krok 3: Dołącz 2 kwadraty do wolnych boków trójkąta.

Krok 4: Dołącz 2 trójkąty prostokątne.

Krok 5: Dołącz 4 kwadraty.

Krok 6: Dołącz 4 trójkąty prostokątne.

Krok 7: Dołącz 8 kwadratów.

17

CiekawostkaCiekawostkaCiekawostkaCiekawostka Trójkąty prostokątne mogą być dołączone w danej orientacji lub możemy je odwrócić po każdym

kroku.

Poniższe rysuneki przedstawiają figury powstałe w wyniku takich konstrukcji, po wykonaniu około

50 kroków. Zadziwiające jest, że zmieniliśmy jedynie orieintację trójkątów, a nie ich rozmiar.

Otrzymaliśmy dwie bardzo różne figury. W pierwszym przypadku widzimy rodzaj spiralnego liścia,

podczas gdy drugi przypomina liść paproci lub choinkę.

„Granice chaosu FRAKTALE” H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saute

18

3. WYMIAR FRAKTALY

Jak określić wymiar znanych fraktali ?

Rozważamy figury „samo-podobne” to znaczy takie, które można przedstawić jako sumę mniejszych (jednakowych) kawałków, podobnych do siebie w skali s. Przypuśćmy, że kawałków

jest n.

Figura Ilustracja Skala s Liczba

kawałków n

Liczba d, taka

że n = sd

d = logsn

Kwadrat

2 4

4 = 2d

d = 2

d = log24

Sześcian

2 8

8 = 23

d =3

d = log28

Zbiór Cantora

3 2

2 = 3d

d ≈ 0,6309

d = log32

Krzywa

Kocha

3 4

4 = 3d

d ≈1,618

d = log34

Co to jest wymiar fraktalny ?

Liczbę nd slog= , gdzie s – odpowiednia skala podobieństwa, a n liczba kawałków na jakie

dzielimy figurę, nazywamy wymiarem fraktalnym figury.

ZadanieZadanieZadanieZadanie

Określ wymiar fraktalny Dywanu Sierpińskiego.

19

Redakcja:

Od lewej stoją: Maciej Bonk, Bartłomiej Majewski, Adam Mikuła,

Grzegorz Kotysz, Alicja Długosz.

Od prawej siedzą: Wiktoria Nowak, Agnieszka Paul, Żaklina Osmenda,

Katarzyna Wrona.

Opiekun: pani Joanna Olesińska