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FRACTIONS, DÉCIMAUX, PROPORTIONNALITÉ
A) Une fraction est un nombre.
VRAI FAUX
B) Une fraction représente une quantité inférieure à 1.
VRAI FAUX
Premiers nombres vers -3200 (Sumer)
Premières fractions vers -3000 (système sexagésimal)
C) 2,5/10 est une fraction.
VRAI FAUX
« écriture fractionnaire »
D) Enoncer « 3/2, c’est trois qu’on divise en 2, soit 1,5 » renvoie à la notion de fraction-partage.
VRAI FAUX
Notion de fraction-quotient
Fraction – partage:
Fraction – quotient:
34unité
unité
Fraction – partage:
Fraction – quotient:
34
Compétence +++ cycle 3
Partage de l’unité
Le dénominateur prend tout son sens
Compétence dernière année cycle 3 et cycle 4 +++
Division du numérateur par le dénominateur:¾ est le quotient de 3 par 4
Calcul littéral
E) Un nombre décimal est un nombre à virgule.
VRAI FAUX
F) Un nombre à virgule est un nombre décimal.
VRAI FAUX
G) Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
H) Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale
VRAI FAUX
VRAI FAUX
Définitions
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Nombre décimal:
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à une puissance de 10.
Fraction décimale:
n10 xD
I) 7/10 est un nombre décimal.VRAI FAUX
j) 57/20 est un nombre décimal.VRAI FAUX
K) 7/8 est un nombre décimal.VRAI FAUX
57/20 = 285/100 = 2,85
7/8 = 875/1000 = 0,875
L) Un nombre décimal admet toujours une écriture fractionnaire.
VRAI FAUX
M) Une fraction peut toujours s’écrire sous la forme d’un nombre décimal.
VRAI FAUX
5/6 = 0,83333333…………
Définition!
N) 1/3 est un nombre décimal.VRAI FAUX
O) 2 est un nombre décimal.VRAI FAUX
2 = 20/10 = 200/100 = …
1/3 = 0,33333………
10 0 = 1 210 02 =
P) π est un nombre décimal.VRAI FAUX
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582…
100
21
23
47
1
13
71645
8
9
180 1,5
9,99
6,6
47
0,01
7,77
14,60,78
3,2
679,3
0,80
ENTIERS
DECIMAUX
100
21
23
47
1
13
71645
8
9
180 1,5
9,99
6,6
47
0,01
7,77
14,60,78
3,2
679,3
0,80
ENTIERS
DECIMAUX
100
21
23
47
1
13
71645
8
9
180
DECIMAUX
100
21
23
47
1
13
71645
8
9
180
ENTIERS
1,5
9,99
6,6
47
0,01
7,77
14,60,78
3,2
679,3
0,80
DECIMAUX
100
21
23
47
1
13
71645
8
9
180
ENTIERS
13010
44
142
1510
1100
335
DECIMAUX
ENTIERS
RATIONNELS
7,77335
23142
13 5
7
π
√2
IRRATIONNELS
REELS
Définitions
Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un ratio
Nombre rationnel:
Nombre rationnel qui s’inscrit dans le système de numération décimale (le dénominateur est donc une puissance de 10)
Nombre décimal:
Nombre décimal qui ne recourt pas à la subdivision de l’unité
Nombre entier:
Q) Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
VRAI FAUX
R) Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre infini de chiffres après la virgule.
VRAI FAUX
S) L’écriture décimale ne s’applique qu’aux nombres décimaux.
VRAI FAUX
3,2 = 3,200 = 3,200………..
1/3 = 0,33333……….
Sinon, rationnel ou irrationnel
3,2 = 3,199999………..
T) La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.
VRAI FAUX
U) La partie entière d’un nombre décimal est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à ce nombre.
VRAI FAUX
V) La partie décimale est la partie qui se situe après la virgule.
VRAI FAUX
1 2
1,25
1 0,25+partie entière rompu+
W) La partie décimale est ce qu’il reste quand on a enlevé la partie entière.
VRAI FAUX
X) Un nombre décimal est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.
VRAI FAUX
1,25 – 1 = 0,25 (rompu)
1+ 0,25
Y) En termes de fonctionnement dans le cadre de la numération positionnelle, on peut considérer la virgule comme un axe de symétrie.
VRAI FAUX
Manuels & décimaux
Manuels & décimaux
Manuels & décimaux
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Entiers
Fractions
Introduction fractions décimales
Introduction fractions
Décimaux
Dans l’idéal, en CM1…
9 manuels sur 10 proposent l’introduction des décimaux de la manière suivante:
Une cohérence:
FRACTIONS
FRACTIONS DECIMALES
NOMBRES DECIMAUX
La désignation orale des nombres décimaux n’est pas la même. Par exemple, on trouve pour 3,2:
Des divergences:
« trois virgule deux »
« trois et deux dixièmes »
« trois virgule deux dixièmes »
- Entier virgule entier- Pas d’explicitation des quantièmes- 3 manuels sur 10
- Utilisation explicite du quantième de l’unité- 5 manuels sur 10
- Correction?
La définition de la partie décimale est parfois erronée. Par exemple, on trouve pour 3,2:
Des divergences:
« La partie décimale est 2 »
« La partie décimale est 0,2 »
« La partie décimale est 2/10 »
Peu de manuels font cohabiter les différentes représentations des nombres décimaux:
Des divergences:
Écriture fractionnaireÉcriture décimale
Représentation iconique
Droite graduée
Désignation orale
1m
Des divergences:
6 manuels sur 10 font explicitement le lien entre unités de mesures et densité des nombres décimaux.
3m
2m 6/10 de m
2m + 6/10 de m = 2m + 6dm = 2,6m
110
1/10 de m = 0,1m = 1dm
2m 6/10 de m4/100 de m
2m + 6/10 de m + 4/100 de m= 2m + 6dm + 4cm = 2,64m
1100
1/100 de m = 0,01m = 1cm
Approche « historique » du nombre décimal
- La décomposition décimale de l’unité s’affirme après la révolution française.
- Les premières écritures décimales datent de 1595, pour les tables trigonométriques.
13(6) par exemple, puis 13,6
Sous l’ancien régime,Le pouce mesurait environ 2,7cm.Le pied mesurait environ 33cm.La toise mesurait environ 1,96m.L’arpent mesurait environ 72m.
Les unités anglo-saxonnes,Le pouce mesure environ 2,54cm.Le pied mesure environ 30,48cm.Le yard mesure environ 91,44cm.Le mile mesure environ 1609m.
Approche « historique » du nombre décimal
- Inconvénient: approche qui ne favorise pas la compréhension de la partie décimale comme quantième de l’unité.
- Avantage: approche « fonctionnelle » du nombre décimal.
Approche onto-phylogénétique des décimaux jusque dans les années 60
1,72m - 1m72 - 1m 72cm
12€90
Obstacles liés à l’usage:1,6m se dit « un mètre soixante »« un mètre six » renvoie plutôt à 1,06m« quarante-huit euros et cinq centimes »
L’ontogenèse ne récapitule pas (toujours) la phylogenèse!
CEDRE 2014 & décimaux
Rapport IGEN 2006 & décimaux
- Réelle difficulté en ce qui concerne le sens à donner à la fraction.
- Difficulté à faire percevoir les fractions et les décimaux comme de nouveaux nombres
- L’enseignement des décimaux est:
- Trop tardif
- Pas suffisamment approfondi
- Trop abstrait
- Manque de représentation du nombre décimal
- Passage à l’écriture symbolique trop précoce
- Apprentissage par empilement de règles (qui génèrent des confusions, oublis, erreurs, …)
Quelques statistiques relatives aux nombres décimaux…
- Journées défense et citoyenneté:
- Evaluations nationales 6ème: (2008)
- 7/2 peut s’écrire 2,5 3,5 7,2 7,5
30% d’erreurs
- Écrire la fraction égale à 80,4
51% d’erreurs
- Encadrer 895,53 par deux entiers consécutifs
65% d’erreurs
- Encadrer 12 + 5/100 par deux entiers consécutifs
77% d’erreurs
Quelques statistiques relatives aux nombres décimaux…
- Evaluations nationales CM2 (2010 – 2011):
- Écrire 18 unités et 25 centièmes
55% d’erreurs
- Ecrire un ¼ sous la forme d’un nombre décimal
73% d’erreurs
Conclusion conférence
Les obstacles liés à l’apprentissage des décimaux
- Des obstacles ontogéniques
- Des obstacles didactiques & pédagogiques
- Des obstacles épistémologiques
Les obstacles épistémologiques
- Les nombres décimaux provoquent une rupture
- Les nombres décimaux s’inscrivent dans la continuité
- Certaines notions n’ont plus de sens
- Certaines règles / stratégies ne fonctionnent plus
- Certains faits numériques sont « surprenants »
Nombre suivant / Nombre précédent
X 10, 100, 1000…
Règles de comparaison
Multiplication / addition itérative
Multiplier par 0,…
- Extension de la numération décimale positionnelle des N aux D
- Opérations
- Le principe de distributivité des mots-nombres ne fonctionne plus
Les obstacles épistémologiques
ENSEMBLE DISCRET
ENSEMBLE CONTINU
Impact des représentations et des stratégies de calcul antérieures?
Les obstacles didactiques et pédagogiques
Quelle stratégie adopter pour entrer dans les décimaux?
Les unités de mesure
Les fractions / fractions décimales
Usage social +++
Notion d’ordre continu, D = nouveaux nombres
Compréhension assez faible des chiffres de la partie décimale comme quantième de l’unité
Bonne compréhension du sens des chiffres de la partie décimale
La fraction est vue comme un outil de partage plus que comme un nouveau nombre
L’écriture fractionnaire induit des erreurs
Les programmes de 2016
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
Océane mange la partie de la tablette entourée en rouge.Exprime ce qu’elle mange sous forme d’une fraction.Exprime de la même manière ce qu’elle ne mange pas.
Océane mange de la tablette.
Océane laisse de la tablette.
5
12
7
12
Exemple de point d’entrée pour les fractions
Océane mange de la tablette.
Océane laisse de la tablette.
+ = de la tablette = 1 tablette
2
3
1
3
1
3
2
3
3
3
Exemple de point d’entrée pour les fractions
Exemple de point d’entrée pour les fractions
Exemple de point d’entrée pour les fractions
Exemple de point d’entrée pour les fractions
Points positifs
Points négatifs
Recours à une représentation (objet abstrait)
Ecriture symbolique introduite dès le début
La fraction est vue comme un outil de partage plus que comme un nouveau nombre
Rapport à l’unité quasi-absent
0 1
Exemple de point d’entrée pour les décimaux
La fraction 7/2 peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule.
1- Sur ta calculatrice, tape .
2- Remplace le point par une virgule dans le résultat.
3- 3,5 est une écriture décimale de la fraction 7/2.
7 : 2 EXE
Points positifs
Points négatifs
Aucun
Aucune recherche, aucune représentation
La partie décimale n’apparaît pas comme un quantième de l’unité
Notion mise en jeu: fraction quotient
Les fractions:Quelques principes
1- Manipuler dans un premier temps
3- Mettre l’accent sur les « fractions simples »
4- Décaler dans le temps le recours à l’écriture symbolique: privilégier l’oral pour entrer dans la notion
2- Favoriser et multiplier les représentations
- Représentations concrètes- Représentations abstraites- Demi droite +++
- demis, tiers, quarts
3- Expliciter régulièrement le rapport à l’unité
Les fractions:Quelques principes
Comment dit-on?
14
« un quart »
« un sur quatre »
Les fractions:Quelques principes
Comment dit-on?
43
« quatre tiers»
« quatre sur trois »
Avec des mots, exprime la longueur de la table à l’aide de la ficelle.
Manipuler
Les réglettes Cuisenaire
Manipuler
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette rouge représente-t-elle?
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette violette représente-t-elle?
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette violette représente-t-elle?
Manipuler
UNITE
Quelle fraction de l’unité la réglette vert-pâle représente-t-elle?
Manipuler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Représentation concrète
Dix et demi Dix et un demi
Dix et 1/2 10 + 1/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Huit et un tiers
Huit et 1/3 8 + 1/3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Treize et trois quarts
Treize et 3/4 13 + 3/4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sept et un dixième
Sept et 1/10 7 + 1/10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Douze, huit dixièmes et …
Douze, 8/10 et … 12 + 8/10 + …
Douze, huit dixième et cinq centièmes
Douze, 8/10 et 5/100
12 + 8/10 + 5/100
DigoinGuéretIle de Ré
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Guéret?
1
3
Représentation concrète
Paris
Roanne
Marseille
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Roanne?
1
2
Représentation concrète
StrasbourgChâlon s/ Marne
Brest
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Châlon s/ Marne?
1
4
Représentation concrète
Strasbourg
FougèresBrest
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête à Fougères?
3
4
Représentation concrète
StrasbourgBrest
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête trop tard?
5
4
Représentation concrète
Bordeaux
Montpellier
Quelle fraction du trajet a-t-on parcouru quand on s’arrête trop tard?
3
2
Représentation concrète
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
1
1/2
1/3
1/4
Représentation abstraite:La demi-droite graduée
1
1/2
1/3
1/4
0 1 2 3 4 5
2 + ½ou
5/2
1
1/2
1/3
1/4
0 1 2 3 4 5
1 + 2/3ou
5/3
1
1/2
1/3
1/4
0 1 2 3 4 5
3 + 3/4ou
15/4
ManipulationUnité
De
mi
Tie
rs
Qu
art
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
Tie
rsTi
ers
Tie
rsTi
ers
Tie
rsTi
ers
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
ManipulationUnité
1/2
1/3
1/4
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
Manipulation
De
mi
Tie
rs
Qu
art
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
De
mi
Tie
rsTi
ers
Tie
rsTi
ers
Tie
rsTi
ers
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Qu
art
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
34
34
+ =68
- L’écriture symbolique induit l’élève en erreur
- L’écriture fractionnaire n’est pas perçue comme UN nombre, mais comme la superposition de 2 entiers
- Le sens du dénominateur n’est pas compris
3 carottes + 3 carottes = 6 carottes
3 quarts + 3 quarts = 6 quarts
- Introduire la notion à l’oral, puis à l’écrit avec les mots demi, tiers, quart écrits en lettres
- Introduire l’écriture fractionnaire dans un second temps
- Associer aux opérations sur les fractions des représentations
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
58
68
24
25
- Mêmes remarques: représentations +++, manipulations +++,
-Les « règles » du type:Quand le dénominateur est identique, on compare les numérateurs. La fraction qui a le plus grand numérateur est supérieure.Quand le numérateur est identique, on compare les dénominateurs. La fraction qui a le plus grand petit dénominateur est supérieure.
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
34
68
34 x2
x2
Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?
1
3
Un tiers de la tablette
Une part sur trois
Imaginons qu’on réalise un quadrillage différent…
Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?
2
6
Deux sixièmes
Deux parts sur 6
Imaginons qu’on réalise encore un quadrillage différent…
Quelle fraction de cette tablette de chocolat détache-t-on?
4
12
Quatre douzièmes
Quatre parts sur douze
Imaginons qu’on réalise encore un quadrillage différent…
1
3
2
6
4
12
13
26
412
Comment reconnaître des fractions équivalentes?
x2
x2
x2
x2
x4
x4
Les compétences relatives aux fractions
1- Se représenter les fractions
4- Comparer des fractions
5- Reconnaître / proposer des fractions équivalentes
2- Situer les fractions par rapport aux entiers
3- Additionner des fractions
6- Calculer la fraction d’un entier
- Repérer les fractions <, > ou = 1- Ecrire une fraction > 1 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction < 1- Encadrer une fraction par 2 entiers consécutifs
Trace un segment dont la longueur sera le tiers de la longueur du segment rouge.
- pliage
- mesure
- quadrillage
Fraction d’un entier: un tiers
de 12
Combien de bonbons aurai-je mangés si je mange 1/3 (un tiers) de la boîte?
1/3 de 12 égale donc 4!
Combien de bonbons aurai-je mangés si je mange ¾ (trois quarts) de la boîte?
¾ de 12 égale donc 9!
Combien d’œufs aurai-je mangés si je mange 2/5 de cette boîte?
2/5 de 10 égale donc 4!
Exemple de trace écrite sur les fractions3
4 Trois quarts 3 x41
+41+
41
41
Quart
Quart
Quart
0 1
Trois quarts de 12 égalent 9
Trois quarts = trois sur quatre
Exemple de trace écrite sur les fractions
43
Quatre tiers 4 x31
+31
+31
31
0 1
+31
=33
+31
= 1 +31
1 <34
< 2
Les compétences relatives aux fractions décimales
1- Exprimer une position sur une droite graduée
2- Exprimer des équivalences
3- Intercaler / encadrer
4- Opérer, calculer
3 4
4
103 + 5
103 +
Intercaler
3 4
4
103 + 5
103 +
4
103 +
2
100+
42
100= 3 +
342
100=
7
107 +
74
1007 +
8
107 +
7 8
Encadrer
Opérer, calculer
10
4
1010 +7
109 +
3
10
Opérer, calculer
5
4
105 +
6
104 +
3
10
5
100
5
100+
Opérer, calculer
7
4
107 +
72
1006 +
3
10
8
100
Lequel de ces deux nombres est le plus proche de 7?
4
10
… puis mêmes activités en mettant en parallèle l’écriture décimale et les écritures fractionnaires décimales…
6
100+3
10
326
100+
23
100+
26
3
(6)
3 2 6c d u 10
,
1100
1
Ecris le nombre qui convient dans le cadre:
(Doc. d’accompagnement Eduscol)
Intercaler
600 700
620 630
626 627
626,8 626,9
626,85
620 630
626 627
626,8 626,9
Intercaler
200 300
240 250
248 249
248 248,1
248,04
240 250
248 249
248,1
Intercaler
300 400
360 370
362 363
362,4 362,5
362,45
360 370
362 363
362,4 362,5
Encadrer
5,35 5,455 6
5,4
Estime avec la plus grande précision possible la position de la flèche à l’aide d’un nombre
décimal.
Estimer
1,2 1,31 2
1,25
Estime avec la plus grande précision possible la position de la flèche à l’aide d’un nombre
décimal.
Estimer
1 2
1,5
Construction de repères
Un demi Un demi
1 2
1,25
Construction de repères
Un quart Un quart Un quart Un quart
1,50 1,75
Evolution de la trace écrite
Un quart Un quart Un quart
0,75
0 1
34
= 75%
34
= 75100
Calculer / Manipuler
Mêmes remarques que pour les fractions:
- Associer les calculs à la droite graduée
-Désigner la partie décimale en ayant recours aux fractions décimales:
- Faire cohabiter l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire: l’une ne remplace pas l’autre.
3,6 + 2,8 = trois et six dixièmes + deux et huit dixièmes= cinq et quatorze dixièmes= cinq + un et quatre dixièmes = six et quatre dixièmes
43,78
Quelle est la différence entre 3,78 et 4,4?
Calculer: exemple
4,4
Deux dixièmes et deux centièmes
Quatre dixièmes
Six dixièmes et deux centièmes
4,4 – 3,78 = 6/10 + 2/100 = 0,62
Calculer / Manipuler
Combien de dixièmes y a-t-il dans 352 centièmes?
Quel est le chiffre des dixièmes dans 734 centièmes?
3 fois 42 dixièmes?
Quel est le nombre entier compris entre 328 centièmes et 43 dixièmes?
3,4 + 7 dixièmes?
Combien y a-t-il d’unités dans 15,7 + 13 dixièmes?
Proposer un maximum d’écritures différentes pour 5,72
- Faire cohabiter l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire: l’une ne remplace pas l’autre.
Mise en situation:
Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?
3 L
44 km
1,5 L
22 km
6 L
88 km
7,5 L
110 km
:2 x2
+ =
Linéarité multiplicative
Linéarité additive
?
Mise en situation:
Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?
3 L
44 km
7,5 L
110 km
Produit en croix ou « règle de trois »
(7,5 x 44) : 3 = 330 : 3 = 110
Mise en situation:
Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?
3 L
44 km
7,5 L
110 km
Passage par l’unité
(44 : 3) x 7,5 = 14,66… x 7,5 = 110
1 L
14,66… km
:3
x7,5
?
Mise en situation:
Avec 3L de carburant, un véhicule parcourt en moyenne 44km.Quelle distance peut-il parcourir avec 7,5L de carburant?
3 L
44 km
7,5 L
110 km
Coefficient de proportionnalité
7,5 x 44/3 = 330 : 3 = 110
x 44/3
Linéarité multiplicative Linéarité additive
Des stratégies différentes:avantages et inconvénients
Renforce la compréhension du concept de proportionnalité (LINEARITE!)
Requiert parfois des calculs intermédiaires
Fait appel à des procédures personnelles
Temps 1H 2H 5H
Distance 90 km 180 km 450 km
Temps (x)
Distance (y)
1H 2H 3H 4H 5H
90km
180km
270km
360km
450km
Fonction linéaire:y = ax
a
Produit en croix ou « règle de trois »
Des stratégies différentes:avantages et inconvénients
Stratégie automatique:
- Fonctionne dans tous les cas
Ne concourt pas à la compréhension du concept de linéarité
- S’applique de manière identique indépendamment des nombres en jeu
Usine à gaz en termes de calculs
- Fausses réussites
- Le produit en croix est à la proportionnalité ce que Monsieur Mégot est au sport
Le sportif accompli évite l’effort inutile!
Passage par l’unité
Des stratégies différentes:avantages et inconvénients
S’inscrit dans les stratégies de linéarité QUAND C’EST OPPORTUN
N’a pas vocation à être systématique
Nb personnes ? 4 6
Quantité oeufs ? 14 oeufs ?
Nb personnes ? 5 7
Quantité sucre ? 135g ?
2
7 21
1
27g 169g
Coefficient de proportionnalité
Des stratégies différentes:avantages et inconvénients
Est parfois la solution la plus évidente
Est un passage par l’unité qui ne dit pas son nom
Peut poser le problème du sens de l’opération
Nb personnes 27 53
Recette 2700€ 5300€x100
Nb personnes ? 5 7
Quantité sucre ? 135g ?
1
27g 169gx27
Quand on multiplie un nombre de personnes par 27, on obtient des grammes de sucre…
Produit en croix ou « règle de trois »,
Passage par l’unité…
Coefficient de proportionnalité,
Des stratégies …… pas si différentes
… sont des stratégies quasi-équivalentes car elles impliquent toutes, plus ou moins explicitement, de passer par l’unité.
La proportionnalité dans les programmes
Une notion transversale
Nombres et calcul
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
Quelle progression pour la proportionnalité?
1- Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
2- Résoudre des situations de proportionnalité
- Visuellement
- Graphiquement
- Numériquement (en lien avec des représentations graphiques / visuelles)
Linéarité additive / multiplicative +++
Passage par l’unité
Coefficient de proportionnalité / produit en croix - -
- Construire la notion sans calcul
- Comprendre AUSSI ce qui ne relève pas de la proportionnalité
Le nombre d’œufs pondus par une poule est proportionnel à la taille de la poule.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
Dans cet escalier, la hauteur est proportionnelle au nombre de marches.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La force d’un homme est proportionnelle à son âge.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La hauteur totale d’un arbre est proportionnelle à son nombre de branches
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
Le nombre de feuilles dans ce tas est proportionnel à sa hauteur.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
L’épaisseur d’un tas de feuilles blanches est proportionnelle au nombre de feuilles qu’il contient.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La quantité de jus d’orange contenue dans ce verre est proportionnelle à la hauteur de jus d’orange versée.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La quantité d’eau contenue dans ce verre est proportionnelle à la hauteur d’eau versée.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
Chez l’adulte, la taille est proportionnelle au poids.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
Le nombre de bordures de trottoir est proportionnel à la longueur de ce trottoir
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
VRAI ou FAUX?
Le nombre de bordures de trottoir est proportionnel à la hauteur de ce trottoir
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La température de l’eau d’une piscine est proportionnelle au temps que l’on peut y passer sans avoir froid.
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
Ce robinet fuit et laisse échapper 12 gouttes par minute.La quantité d’eau perdue est donc proportionnelle au temps qui passe. VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
VRAI ou FAUX?
Reconnaître / identifier des situations de proportionnalité
La distance parcourue lors d’un trajet en voiture est proportionnelle à la durée du trajet.
Résoudre visuellement des situations de proportionnalité
Quelle quantité de peinture faudra-t-il pour terminer le mur? A, B ou C?
Quantité utilisée
A B C
Résoudre visuellement des situations de proportionnalité
Quelle quantité de peinture faudra-t-il pour terminer le mur? A, B ou C?
Quantité utilisée
A B C
Résoudre visuellement des situations de proportionnalité
Quelle quantité de carburant consommera-t-on pour effectuer le trajet bleu? A, B ou C?
Quantité utilisée pour le trajet rouge
A B C
Résoudre visuellement des situations de proportionnalité
Quelles sont les vaches dont les dimensions sont proportionnelles à la vache du cadre rouge?
A
G
F
E
D
C
B
H
Résoudre graphiquement des situations de proportionnalité
Masse (en g)
Prix (en €)
1000g de faux-filet coûtent 12€.
500250 1000750 15001250 17500 2000 25002250 2750
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
Résoudre graphiquement des situations de proportionnalité
Combien chacun des Rubik’scontient-il de cubes?
Taille(Nb de cubesPar côté)
Nb de cubes
21 430
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Thibault traverse la France en voiture.La distance qu’il parcourt est-elle proportionnelle au temps de trajet?
Temps 1H 2H 4H
Distance 80 200 km 300 km
temps
distance
1H 2H 3H 4H 5H
80km
160km
240km
320km
400km
NON!
Un scientifique étudie le nombre de moucherons qui s’écrasent sur les pare-brise en fonction de la vitesse pour un même trajet. Ces 2 éléments sont-ils proportionnels?
Vitesse 50km/h 100km/h 200km/h
Moucherons 8 40 12
vitesse
moucherons
50 km/h
10
20
30
40
50
NON!
100 km/h
150 km/h
200 km/h
Une commerçante compare sa recette (ce qu’elle gagne) au nombre de jours où son magasin est ouvert dans le mois.La recette est-elle proportionnelle aux nombres de jours?
Jours 7 14 21
Recette 800€ 1600€ 2400€
jours
recette
14 21 28 35 42
500
1000
1500
2000
2500
OUI!
3000
7
X 2
X 3
Marine s’intéresse à la quantité de matières grasses (MG) présente dans les pots de crème .Cette quantité est-elle proportionnelle à la taille du pot?
Taille du pot 100g 250g 500g
Quantité MG 50g 100g 150g
Taille pot
Quantité MG
100
50
100
150
200
250
NON!
200 300 400 500
Résoudre numériquement des situations de proportionnalité
1 donnée numérique / 1 donnée visuelle
Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 12kg, quelle est la masse de la part de raclette coupée?
12kg ?
Résoudre numériquement des situations de proportionnalité
1 donnée numérique / 1 donnée visuelle
Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 12kg, quelle est la masse de la part de raclette coupée?
12kg ?
Résoudre numériquement des situations de proportionnalité
1 donnée numérique / 1 donnée visuelle
Sachant que le morceau de raclette de gauche pèse 3kg, quelle est la masse du morceau de droite?
3kg ?
Résoudre numériquement des situations de proportionnalité
2 données numériquesAppui d’un support visuel ou graphique
Dans un pré de 2000m², un éleveur laisse en moyenne paître 14 vaches.Combien de vaches pourra-t-il mettre dans un pré de 6000m²?
2000m² 2000m²
2000m²
Pour nourrir 3 lapins, il faut 15 carottes par semaine.Combien de carottes faudra-t-il pour nourrir 1 lapin?
Pour acheter 4 bandes dessinées, il faut 20€.Combien coûteront 12 bandes dessinées?
Pour acheter 4 bandes dessinées, il faut 20€.Combien coûteront 3 bandes dessinées?
Pour confectionner une pâte à crêpes, on utilise 2 œufs pour 50cL de lait.Quelle quantité de lait faudra-t-il pour 6 œufs?
50 cL
150 cL
Pour une boisson équilibrée, il faut ajouter 9cL d’eau à 2cL de sirop de grenadine.Quelle quantité d’eau faudra-t-il pour 8cL de sirop de grenadine?
Il faut une échelle de 15 barreaux pour monter au sommet d’une maison de 7m.Combien devra compter de barreaux une échelle permettant de monter au sommet d’une église de 21m?
7m 7m
7m
7m
Il faut une échelle de 15 barreaux pour monter au sommet d’une maison de 7m.Combien devra compter de barreaux une échelle permettant de monter au sommet d’un immeuble de 35m?
7m
7m
7m
7m
7m
7m
Une photocopieuse peut imprimer 24 pages toutes les minutes. Complète le tableau de proportionnalité suivant:
Vitesse 40 s 1 min 1 min 20 s
Moucherons ? 24 ?
Temps (en secondes)
Nb de pages
?
?
?
24
?
?
? 60 ?0
0
LES POURCENTAGES
Mêmes principes que pour la proportionnalité….
Les gauchers représentent 10% de la population.
10% (10 sur 100) équivaut à 1 sur 10.
Les blonds représentent 20% de la population.
20% (20 sur 100) équivaut à 1 sur 5.
Les obèses représentent 25% de la population.
25% (25 sur 100) équivaut à 1 sur 4.
Les femmes représentent 50% de la population.
50% (50 sur 100) équivaut à 1 sur 2.
En 1910, 2 personnes sur 10 vivaient en ville.
2 sur 10 équivaut à 20% (20 sur 100).