Sveuciliste u Zagrebu

Prirodoslovno-matematicki fakultet

Fizicki odsjek

Istrazivacki studij fizike

Petar Pavlovic

Gravitacija tipa f (R) i primjena u kozmologiji

Diplomski rad

Voditelj diplomskog rada: prof.dr. Nevenko Bilic

Zagreb, 2013.

SVEUCILISTE U ZAGREBU

PRIRODOSLOVNO-MATEMATICKI FAKULTET

FIZICKI ODSJEK

SMJER: ISTRAZIVACKI STUDIJ FIZIKE

Petar Pavlovic

Diplomski rad

Gravitacija tipa f (R) i primjena u kozmologiji

Voditelj diplomskog rada: prof.dr. Nevenko Bilic

Ocjena diplomskog rada:

Povjerenstvo: 1.

2.

3.

Datum polaganja:

Zagreb, 2013.

Zahvale

Zahvaljujem svome mentoru, prof.dr. Nevenku Bilicu, na predlaganju teme

koja je bila u skladu s mojim interesima usmjerenima prema opcoj teoriji re-

lativnosti i problemu ubrzane ekspanzije svemira, kao i svoj pruzenoj pomoci

i savjetima tijekom izrade diplomskog rada.

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Razlozi za istrazivanje modificiranih jednadzbi 3

3 Modificiranje integrala djelovanja 7

4 Metricki formalizam 12

4.1 Varijacijski postupak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Svojstva jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Sacuvanje tenzora energije - impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Palatinijev formalizam 24

5.1 Varijacijski postupak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Svojstva jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Metricki afina gravitacija 31

7 Skalarno - tenzorske teorije gravitacije 33

8 Schwarzschildovo rjesenje 39

9 Modificirane Friedmanove jednadzbe 43

10 Konkretni modeli 48

10.1 Model Starobinskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv

SADRZAJ v

10.2 Hu - Sawiky model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10.3 MJW model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.4 Model eksponencijalne gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11 Zakljucak 60

Poglavlje 1

Uvod

Svrha ovoga rada je prikazati konceptualne okvire, formalizam i pripadne jednadzbe, kao i

primjenu na konkretne probleme od vaznosti za gravitaciju i kozmologiju, teorije poznate

pod nazivom gravitacije tipa f(R). Radi se o potencijalno alternativnoj teoriji Einsteinovoj

opcoj teoriji relativnosti koja je u posljednjim godinama u znanstvenoj zajednici, barem

sudeci prema broju objavljenih znanstvenih clanaka na ovu temu, skrenula na sebe veliki

interes. Njezina specificnost u odnosu na ostale predlozene alternativne teorije gravitacije

sastoji se u tome sto zadrzava sve temeljne fizikalne postavke Einsteinove opce teorije re-

lativnosti, uz modificiranje jednadzbi polja koje proizlazi iz poopcenja integrala djelovanja

teorije. U odnosu na nacin modificiranja integrala djelovanja u gravitaciji tipa f(R) pojav-

ljuju se razliciti modeli koji odgovaraju konkretnim izborima funkcije Riccijevog skalara,

f(R).

Zauzimajuci stav o gravitaciji tipa f(R) kao o skupu radnih modela na kojima se is-

trazuju mogucnosti modifikacije integrala djelovanja opce teorije relativnosti, a ne kao o

formiranoj alternativnoj teoriji gravitacije, naglasak ce se u ovome radu usmjeriti prvens-

tveno na zajednicka svojstva i posljedice teorije u cjelini, a ne na pitanja pojedinih modela

i njihove prilagodbe opazackim podacima.

U prvom poglavlju raspravljamo o razlozima za modificiranje integrala djelovanja opce

teorije relativnosti, te prikazujemo njegovu kratku povijest prije otkrica ubrzane ekspanzije

1

2 POGLAVLJE 1. UVOD

svemira. U drugom poglavlju govorimo o mogucnostima modificiranja integrala djelovanja,

te uvjetima i izborima koji ogranicavaju skup modifikacija. U trecem poglavlju prikazujemo

metricku gravitaciju tipa f(R). Prvi dio treceg poglavlja donosi potpuni izvod modificira-

nih Einsteinovih jednadzbi iz varijacijskog postupka, koji se ne moze naci u znanstvenim

publikacijama, gdje se standardno prikazuje samo konacni rezultat. Drugi dio treceg po-

glavlja analizira strukturu modificiranih Einsteinovih jednadzbi i njihova svojstva uz prikaz

izvoda nekih korisnih relacija. U trecem dijelu treceg poglavlja dokazujemo sacuvanje ten-

zora energije - impulsa u metrickom formalizmu. Cetvrto i peto poglavlje na slican nacin

prikazuju gravitaciju tipa f(R) u Palatinijevom i metricki afinom formalizmu. Sesto je

poglavlje posveceno pitanju ekvivalencije gravitacije tipa f(R) sa skalarno - tenzorskim te-

orijama gravitacije. U sedmom poglavlju primjenjujemo metricku gravitaciju tipa f(R) na

rjesavanje Schwarzschildovog problema. U osmom poglavlju pokazujemo temelje kozmo-

logije u gravitaciji tipa f(R) i izvodimo modificirane Einsteinove jednadzbe. Konacno, u

posljednjem poglavlju prikazujemo neke relevantne konkretne modele gravitacije tipa f(R)

koji nisu u kontradikciji sa standardnim opazackim testovima.

Poglavlje 2

Razlozi za istrazivanje modificiranih

jednadzbi

Kandidate za alternativnu teorije gravitacije u odnosu na Einsteinovu opcu teoriju relativ-

nosti mogli bismo pojednostavljeno podijeliti u dvije osnovne vrste. Prva vrsta obuhvacala

bi one teorije koje podrazumijevaju napustanje temeljnih fizikalnih principa opce teorije

relativnosti (geometrijski opis gravitacije kao cetverodimenzionalne prostovremenske za-

krivljenosti i Einsteinov princip ekvivalencije), kao i uvodenje novih. U takve teorije bi

primjerice spadalo uvodenje dodatnih prostornih dimenzija, neminimalno vezanje izmedu

doprinosa materije integralu djelovanja i zakrivljenosti (koje bi vodilo na odstupanje od ge-

odezika u sustavu slobodnog pada), teorija struna i kvantna gravitacija petlje. U drugu vr-

stu spadale bi one teorije koje modificiraju jednadzbe gibanja pod pretpostavkom ocuvanja

fundamentalnih principa. U znanstvenom istrazivanju navedena podjela naravno nikako ne

moze biti iskljuciva i strogo definirana - prvotno modificiranje jednadzbi gibanja u skladu s

pretpostavkama opce teorije relativnosti moze dovesti do proucavanja slucajeva u kojima se

dio pretpostavki napusta, a s druge strane rad na formiranju teorija utemeljenih na novim

konceptima vezanima uz gravitaciju nerijetko kao prve korake podrazumijeva i proucavanje

modifikacija integrala djelovanja.

Pokusaji druge vrste, kojima cemo se iskljucivo baviti u ovome radu, uslijedili su vec

3

4 POGLAVLJE 2. RAZLOZI ZA ISTRAZIVANJE MODIFICIRANIH JEDNADZBI

nedugo nakon objavljivanja opce teorije relativnosti. Vec 1919. Weyl, a cetiri godine

iza njega i Eddington, promatra modifikacije integrala djelovanja opce teorije relativnosti

ukljucivanjem visih invarijantnih clanova [1, 2]. Ta prva razmatranja modifikacije stan-

dardnog, tzv. Einstein-Hilbertovog, integrala djelovanja nisu bila motivirana nikakvim

eksperimentalnim ili teorijskim potrebama, vec su bila izazvana uocavanjem mogucnosti

generaliziranja jednadzbi koje su dopustala nacela same teorije. No, u toku sezdesetih

godina proslog stoljeca pojavili su se i prvi teorijski razlozi. Utiyama i DeWitt su 1962. u

radu usmjerenom prema problemu kvantiziranja gravitacije pokazali mogucnost njezinog

renormaliziranja uz pretpostavku uvodenja dodatnih clanova [3]. Proucavali su interakciju

klasicnog gravitacijskog polja s tenzorom energije-impulsa kvantiziranih polja materije, te

su pokazali kako dolazi do divergencija cetvrtog, kvadratnog i logaritamskog reda koje su

uklonili modifikacijom Einsteinovih jednadzbi uz istovremenu renormalizaciju gravitacij-

ske i kozmoloske konstante. Nedugo nakon tog rada uslijedili su pokusaji primjene slicnog

pristupa pri uklanjanju pocetne singularnosti u modelu velikog praska [4]. Nesto kasnije

K.Stelle je pokazao kako je gravitacijsko djelovanje koje ukljucuje invarijante sastavljene

od kvadraticnih clanova u Riemannovom tenzoru renormalizibilno [5], dok je Starobinski

vise clanove koristio u svom modelu inflacije [6]. Zajednicka znacajka svih ovih ranih pri-

jedloga bila je pretpostavka kako predlozene korekcije dolaze do izrazaja samo na skalama

usporedivim s Planckovom skalom - na veoma visokim energijama, odnosno jakim gravi-

tacijskim poljima kakva primjerice vladaju u blizini singularnosti velikog praska ili crnih

rupa. Ta perspektiva istrazivanja ce se u potpunosti promijeniti, a rad na modifikacijama

integrala djelovanja dobiti ce novi snazan poticaj, otkricem ubrzane ekspanzije svemira

krajem dvadesetog stoljeca.

U danas siroko prihvacenoj interpretaciji opservacijskih podataka o ubrzanoj ekspan-

ziji svemira, prvi puta otkrivenih 1998. na temelju proucavanja supernova tipa Ia, u

standardni kozmoloski model uvedena je kozmoloska konstanta [7]. Pokusaj rjesenja pro-

blema tamne energije - nepoznate komponente sastava svemira koja bi uzrokovala opazenu

ubrzanu ekspanziju - u standardnom modelu se time sastoji u uvodenju dodatnog clana u

Einsteinovu jednadzbu polja. Iz toga proizlazi konceptualni problem sto tako uvedena koz-

5moloska konstanta predstavlja clan naknadno dodan u svrhu podudaranja s opazanjima,

ne predstavljajuci nikakvu nuznost koja bi proizlazila iz same teorije. Stovise, fizikalni me-

hanizam koji bi objasnjavao njezino prisustvo i njezin iznos nije razjasnjen - npr. pokusaj

njezine procjene na temelju kvantnih fluktuacija u teoriji polja vodi na rezultat koji se raz-

likuje za 120 redova velicina u odnosu na vrijednost koja se ocekuje na temelju opazanja

[8]. Problem se u osnovi sastoji u tome sto bi uz pretpostavku ispravnosti opce teorije

relativnosti objasnjenje mehanizma kozmoloske konstante, kao pojave nezavisne od gra-

vitacijske sile, trebalo biti potrazeno na razini kvantnih efekata, no njezina vrijednost je

za 120 redova velicina manja od pripadne skale elementarnih cestica. Stoga bi se moglo

zakljuciti kako je dodavanje kozmoloske konstante povezane s energijom koja cini vecinu

sastava svemira trenutno vise odraz naseg nepoznavanja njegovog pravog sastava i dina-

mike nego doprinos njegovom razjasnjavanju. U skladu s tim je i ocjena da je standardni

kozmoloski model (CDM) u stvari empirijski model sa slabom teorijskom motivacijom

[9]. Na slican nacin uvedena je i tzv. tamna materija u svrhu objasnjavanja rotacijskih

krivulja galaksija koje odudaraju od predvidanja opce teorije relativnosti. Uzevsi u obzir

standardni kozmoloski model u cjelini, brojevi koji svjedoce o udjelima do sada detekti-

rane tvari u svemiru podupiru ranije iznesene ocjene: 4.9% odgovara obicnoj barionskoj

materiji, 26.8% tamnoj materiji, te 68.3% tamnoj energiji [10]. Dakle za 95% sastava

svemira trenutno ne postoji direktna empirijska evidencija, a niti drugi razlozi koji bi po-

dupirali njezino postojanje osim potrebe objasnjenja spomenutih opazanja. U velikoj mjeri

motivirani nedostacima standardnog kozmoloskog modela, od otkrica ubrzane ekspanzije

svemira postojali su stalni teorijski napori usmjereni prema njezinom objasnjavanju bez

kozmoloske konstante. Spektar razlicitih predlozenih modela je izuzetno velik, te oni va-

riraju od modela koji predlazu postojanje novih polja i idealnih fluida koji ispunjavaju

svemir do onih koji predlazu modifikacije opce teorije relativnosti. Iz metodoloske pers-

pektive (ukljucujuci i zahtjev objasnjenja stvarnosti na temelju sto uzeg skupa aksioma

i pojmova) ovi drugi cine se prirodnijima. Ispitivanje skrivenih pretpostavki teorije, te

prostora za modifikacije njezinih jednadzbi u okviru istih sustinskih fizikalnih pretpostavki

trebalo bi prethoditi predlaganju postojanja novih fizikalnih entiteta (fluida, polja itd.)

6 POGLAVLJE 2. RAZLOZI ZA ISTRAZIVANJE MODIFICIRANIH JEDNADZBI

koji se ponovno uvode samo u svrhu objasnjavanja mehanizma ubrzane ekspanzije. Osim

toga, buduci da je gravitacijska interakcija uvjerljivo dominantna na kozmoloskim skalama

smislenim se cini da bi se rjesenje problema moglo nalaziti prvenstveno u promjeni njezinog

opisa, a ne uvodenjem dodatnih mehanizama. Drugim rijecima, mozda bi nepodudaranje

opazanja s opcom teorijom relativnosti kada nije pretpostavljeno postojanje kozmoloske

konstante i tamne materije moglo proizlaziti upravo iz neodgovarajucih jednadzbi kojima

se gravitacija opisuje, sto bi se moglo rijesiti njihovom modifikacijom. Takav pristup bi

donekle podsjecao na rjesenje drugog problema iz podrucja gravitacije pocetkom proslog

stoljeca. U svrhu objasnjenja precesije Merkura koja se nije podudarala s predvidanjima

Newtonove gravitacije uvedeno je postojanje tamnog planeta, slicno postuliranju tamne

energije u slucaju potrebe objasnjenja ubrzane ekspanzije. Medutim, pokazalo se kao se

ispravno rjesenje sastojalo u prihvacanju nove teorije gravitacije u odnosu na Newtonovu.

Poglavlje 3

Modificiranje integrala djelovanja

Standardni integral djelovanja gravitacijskog polja, Einstein-Hilbertovo djelovanje, ima

sljedeci oblik

SEH =1

16piG

gRd4x. (3.1)Gdje je G gravitacijska konstanta, g determinanta metrike, a R Riccijev skalar. Konvencije

za temeljne matematicke objekte u opcoj teoriji relativnosti i njihove definicije u ovom

radu pratimo prema [11]. Oblik gustoce langrangianagR sugeriraju teorijski razlozi.

Element cetvero-volumena u integralu se transformira kao tenzorska gustoca, stoga se i

gustoca langrangiana mora transformirati na isti nacin kako bi njihov produkt bio dobro

definirani tenzor. Gustocu Langrangiana je stoga moguce zapisati kao produkt korijena

determinante metrike, koja se transformira upravo kao tenzorska gustoca, te nekog skalara.

Dinamicka varijabla teorije, s obzirom na koju ce se provesti varijacijski postupak, je

metrika - stoga skalar mora biti konstruiran iz metrike. S obzirom na to da se u svakoj

tocki metrika moze transformirati u kanonski oblik (dijagonalna matrica (-1 1 1 1)) uz prvu

derivaciju jednaku nuli, potrebno je da skalar razlicit od nule bude konstruiran barem

od drugih derivacija metrike. Jedini nezavisni skalar koji se moze konstruirati na taj

nacin je Riccijev skalar. Navedeno proizlazi iz cinjenice kako je jedini tenzor koji se moze

konstruirati iz metrike i njezine prve i druge derivacije Riemannov tenzor [12]. No, potrebno

je napomenuti kako ne postoji nikakav teorijski razlog zbog kojega se u integralu djelovanja

7

8 POGLAVLJE 3. MODIFICIRANJE INTEGRALA DJELOVANJA

umjesto Riccijevog skalara ne bi nalazila neka funkcija Riccijevog skalara f(R). Stovise,

moguce je jos vise generalizirati modifikaciju i pretpostaviti funkciju koja uz Riccijev skalar

sadrzi i druge invarijantne clanove koji bi mogli biti konstruirani iz Riemannovog tenzora,

njegovih kontrakcija ukljucujuci i Riccijev skalar, te njihovih derivacija:

f = f(R,R2, RRuv, gRR, ...). (3.2)

Izravna prednost ovog odabira je u tome sto je opcenitiji, odnosno sto u sebi ukljucuje

standardno Einstein-Hilbertovo djelovanje kao svoj posebni slucaj. S druge strane, vec i

jednostavne promjene standardnog integrala djelovanja uvelike kompliciraju jednadzbe u

odnosu na opcu teoriju relativnosti, te nerijetko dovode to toga da se jednostavni problemi,

koji su se mogli rijesiti analiticki, sada moraju rjesavati numericki. Alternativna teorija

stoga mora dodatno opravdati svoje postojanje, buduci da je opca teorija relativnosti kako

veoma siroko eksperimentalno potvrdena, tako i matematicki elegantna. Broj mogucih

modifikacija, od kojih je prikazano samo nekoliko primjera, u nacelu je neograniceno velik,

tako da na prvi pogled nije jasno niti koji od mogucih oblika se doima najprirodnijim. No,

na temelju teorijskih razmatranja moguce je znacajno ograniciti klasu modifikacija i odre-

diti one koje bi mogle predstavljati najozbiljniju alternativu teoriji koja proizlazi iz Einstein

- Hilbertovog djelovanja. Osim potrebe da alternativna teorija reproducira sve potvrdene

rezultate standardne teorije na kozmoloskoj razini i unutar suncevog sustava (sto se moze

utvrditi samo rjesavanjem razlicitih modela), prije proucavanja konkretnih rjesenja moguce

je postaviti opcenite zahtjeve u smislu izbjegavanja nestabilnosti i drugih nezeljenih oblika

ponasanja teorije. U tom pogledu se klasicno-mehanicki teorem Ostrogradskog iz 1850.

pokazuje kao kljucan. Teorem Ostrogradskog pokazuje kako postoji linearna nestabilnost

kod svih hamiltonijana koji su pridruzeni langrangianima koji ovise o derivacijama visim

od prve na takav nacin da ta ovisnost ne moze biti eliminirana parcijalnom integracijom.

Pokazuje se da od svih modifikacija integrala djelovanja jedino f(R) opcenito ne ispunjava

uvjete koji vode na nestabilnost tipa Ostrogradskog [13]. To je rezultat koji ima vazne

posljedice, buduci da se prostor za modifikacije suzava na samo jednu relevantnu klasu.

9Stoga cemo se u ovom radu baviti iskljucivo gravitacijom tipa f(R):

S =1

16piG

gf(R)d4x. (3.3)Drugi dio ogranicenja na modifikacije integrala djelovanja proizlazi iz posljedica kvantne

fizike. Ukljucivanjem visih clanova nerijetko dolazi do pojave masivnih stanja koja vode na

negativnu normu zbog koje dolazi do narusavanja unitarnosti - duhova. Od alternativne

teorije se stoga takoder zahtijeva da bude bez duhova. Pokazuje se da modifikacija oblika

(3.2) opcenito dovodi do duhova. No, teorije tipa f(R) uz uvjet stabilnosti

d2f(R)

dR2> 0 (3.4)

ne vode na slicne probleme [14]. To je jos jedan od razloga zbog kojih se usmjeravamo

samo na proucavanje tog skupa modifikacija. Zahtjev da druga derivacija funkcije Ric-

cijevog skalara mora biti veca od nule moze se direktno razumjeti iz jednadzbi teorije i

na osnovi uvjeta stabilnosti. Kao sto cemo vidjeti u narednom poglavlju kada izvedemo

jednadzbe metricke gravitacije tipa f(R), efektivna gravitacijska konstanta, kao faktor

proporcionalnosti izmedu Einsteinovog tenzora i tenzora energije - impulsa , dana je kao

Gef = G/fR, gdje je fR derivacija f(R) po Riccijevom skalaru. Derivacijom citavog iz-

raza po Riccijevom skalaru dobivamo dGef/dR = GfRR/(f 2R). Vidimo da u slucajunegativne vrijednosti druge derivacije funkcije Riccijevog skalara efektivna gravitacijska

konstanta sve vise raste s vrijednoscu Riccijevog skalara. To znaci da gravitacija sve vise

raste s povecanjem zakrivljenosti sto vodi na nestabilnost u ponasanju pripadnih rjesenja,

odnosno nestabilnost teorije [9]. Drugi uvjet koji se obicno zadaje na funkciju f(R) glasi

df(R)

dR> 0 (3.5)

U obrnutom slucaju prema Gef = G/fR efektivna gravitacijska konstanta postaje nega-

tivna, sto vodi na postojanje duhova [15].

Usprkos tome sto je glavnu motivaciju za razvijanje modela gravitacije tipa f(R) u

posljednje vrijeme predstavljao problem tamne energije pojavilo se i vise radova u kojima

10 POGLAVLJE 3. MODIFICIRANJE INTEGRALA DJELOVANJA

se isti pristup predlaze za objasnjenje tamne materije [16, 17]. Medutim, cini se kako su ta

dva pokusaja u svojim rezultatima nekonzistentna, te kako nije moguce jednostavno rijesiti

oba pitanja izborom jedinstvene funkcije Riccijevog skalara. Glavni uzrok nepodudaranja,

u pristupu koji polazi od prilagodbe razlicitih funkcija empirijskim rezultatima, sastoji se u

tome sto se u prvom slucaju radi o kozmoloskim skalama, a u drugom o galaktickim i ska-

lama zvjezdanih klastera. Vecina radova se koncentrira na funkciju oblika: f(R) = Rn, gdje

bi parametar n trebao biti odreden ukupnom masom galaksije. Uz to sto navedena funkcija

ne omogucava zadovoljavajuce ponasanje na kozmoloskoj skali, niti na skali suncevog sus-

tava, podesavanje koje je ovisno o galaktickoj masi implicira potrebu postojanja razlicitog

oblika f(R) za svaku galaksiju [9], sto predstavlja neprihvatljivo smanjivanje opcenitosti

teorije. Ovdje cemo se stoga baviti proucavanjem gravitacije tipa f(R) iskljucivo radi

objasnjavanja empirijskih podataka samo u kontekstu problema tamne energije.

Uz objasnjenje ubrzane ekspanzije svemira bez uvodenja dodatnih mehanizama, od mo-

dela tipa f(R), zahtijevamo da: daje zadovoljavajucu sliku kozmoloske evolucije i dinamike

na razini suncevog sustava, daje ispravan opis rasta kozmoloskih perturbacija, daje ispravan

limes slabog polja, bude stabilna u klasicnom i polu-klasicnom rezimu, te omogucava dobro

definiranje pocetnih uvjeta [9]. No, sve ove restrikcije i dalje ne predstavljaju kriterije na

temelju kojih je moguce izabrati odreden oblik integrala djelovanja kao najbolji polazeci

od opcenitih razmatranja. Stoga se to pitanje moze rijesiti samo dobivanjem rjesenja za

razlicite izbore funkcija i provjerom zadovoljavaju li navedene uvjete. Nazalost, najcesce

se dogada da odredeni oblik f(R) dobro funkcionira samo u jednom rezimu, a uz odmak

od njega daje neprihvatljive rezultate. Losa je strana ovakvih usporedbi izmedu razlicitih

f(R) sto se istrazivanje svodi na u potpunosti teorijski i konceptualno nemotivirane pri-

lagodbe funkcija eksperimentalnim podacima. Time je proizvoljnost prvotno prisutna u

naknadnom dodavanju kozmoloskog clana uklonjena modificiranjem integrala djelovanja,

sto teoriju oslobada dodatnih fizikalnih entiteta, no samo da bi se ponovno pojavila u nak-

nadnom konstruiranju oblika f(R). Stoga je smislenije gravitaciju tipa f(R) shvatiti ne

kao gotovu alternativnu teoriju u odnosu na opcu teoriju relativnosti, nego kao skup rad-

nih modela na kojima se provjeravaju mogucnosti modifikacije trenutno prihvacene teorije

11

gravitacije, a koji ce mozda pridonijeti postizanju konacne nove teorije. Rad na gravitaciji

tipa f(R) pokazuje se znacajnim ne samo zbog ranije istaknutih nedostataka standard-

nog kozmoloskog modela, vec i u perspektivi ostvarivanja sinteze opce teorije relativnosti

i kvantne mehanike koja podrazumijeva potrebu za novom teorijom gravitacije. U tom

kontekstu je zanimljiva i veza izmedu nestandardnog djelovanja i renormalizibilnosti gra-

vitacije, ukratko spomenuta u uvodu. Gledajuci na taj nacin, clanovi u modificiranom

integralu djelovanja koji nisu Hilbertovi mogu se shvatiti kao efektivno priblizenje pra-

vom integralu djelovanja svojstvenom novoj teoriji gravitacije koja ce u sebi ukljucivati i

kvantne principe. Stoga i rad na proucavanju razlicitih izbora f(R), koji se doima kao u

potpunosti konceptualno nemotiviran, mozda doprinese boljem razumijevanju nove teorije

gravitacije i puteva za njezino uspostavljanje.

S obzirom na nacin provedbe varijacijskog postupka gravitaciju tipa f(R) dijelimo na

tri osnovne vrste teorija, koje se medusobno znatno razlikuju u svojoj strukturi i svojim po-

sljedicama. Ako pretpostavimo da je veza (connection) Christofellova, dakle dobivena iz

parcijalnih derivacija metrike, govorimo o metrickoj gravitaciji tipa f(R). Moguce je pret-

postaviti i kako veza nije Christofellova vec nezavisna. Tada je u varijacijskom postupku

potrebno varirati kako po metrici tako i po nezavisnoj vezi. Uz pretpostavku da djelovanje

za materiju, koje se dodaje djelovanju za polje (3.3) ne ovisi o toj nezavisnoj vezi rijec je o

Palatinijevom formalizmu. Nasuprot tome, ako se pretpostavi ovisnost djelovanja za mate-

riju o nezavisnoj vezi radi se o tzv. metricki afinoj gravitaciji, koja predstavlja najopcenitiji

oblik provedbe varijacijskog postupka koji u sebi obuhvaca oba prethodna. U narednim

poglavljima detaljnije cemo prouciti sva tri tipa teorije i njihove osnovne posljedice.

Poglavlje 4

Metricki formalizam

4.1 Varijacijski postupak

Varirajuci integral djelovanja za gravitacijsko polje (3.3) po metrici dobivamo dva dopri-

nosa:

SEH =1

16piG

gf(R)d4x+ 1

16piG

R

df(R)

dR

gd4x. (4.1)

Najprije promatramo prvi doprinos varijaciji. Za racunanje varijacije determinante metrike

rabimo identitet

ln(g) = Tr(ln(g)). (4.2)

Iz varijacije izraza proizlazi

(1/g)g = gg (4.3)

Za prvi doprinos stoga dobivamo

(4.4)

12ggg

gf(R)d4x =

1

2gggg

f(R)d4x

= 12

gggf(R)d4x,12

4.1. VARIJACIJSKI POSTUPAK 13

pri cemu je iskoristen identitet gg = uv , odnosno njegova varijacija iz koje u nasem

slucaju proizlazi

gg = gg (4.5)

Sada promatramo drugi integral u izrazu (4.1) uocavajuci kako se u svrhu Riccijev skalar

moze prikazati kao R = gR cime se taj integral razdvaja nagR

df(R)

dR

gd4x+Rg

df(R)

dR

gd4x. (4.6)

Prvi clan u (4.6) je vec izrazen kao varijacija po metrici, stoga je naredni korak razmotriti

drugi clan u kojem je sadrzana varijacija po Riccijevom tenzoru. Uzimamo u obzir kako

je Riccijev tenzor kontrakcija Riemannovog tenzora,R = R , te varijaciju Rieman-

novog tenzora raspisujemo kao varijaciju Christoffelovih simbola, u skladu s definicijom

Riemannovog tenzora

R = + + . (4.7)

Varijacija Christoffelovog simbola je zapravo razlika dviju veza, te je u skladu s definicijom

kovarijantne derivacije,

V = + V , (4.8)

razlika dviju veza razlika odgovarajucih kovarijantnih derivacija, odnosno dobro definiran

tenzor. Stoga je moguce promotriti kovarijantu derivaciju varijacije Christoffelovog sim-

bola:

= + . (4.9)

Dobili smo dio clanova koji se pojavljuje u (4.7), drugi dio dobiva se ekvivalentno kao

, te se varijacija Riemannovog tenzora moze prikazati kao njihova razlika, odnosno

R = , (4.10)

Stoga je drugi integral u (4.6) jednak{ } g

df(R)

dR

gd4x. (4.11)

14 POGLAVLJE 4. METRICKI FORMALIZAM

Da bismo mogli nastaviti potreban nam je izraz za varijaciju Christoffelovog simbola, a

njega racunamo na temelju definicije

=1

2g{g, + g, g,} (4.12)

Prije toga izraz (4.11) mozemo prikazati u prikladnijem obliku koristeci kompatibilnosti

metrike i preimenujuci indekse po kojima se vrsi kontrakcija{g g}

df(R)

dR

gd4x. (4.13)

Sada racunamo varijaciju Christoffelovog simbola

=1

2g{g, + g, g,}+ 1

2g{g, + g, g,}.) (4.14)

Koristeci se osnovnim izrazom za kovarijantnu derivaciju, parcijalne derivacije varijacije

metrike mozemo iskazati preko kovarijantnih derivacija

g, = g + g + g, (4.15)

te slicno za ostale clanove. Uvrstavajucih ih u (4.14) dobivamo:

=1

2g{g, +g,g,}+ 1

2g{g+2g+gg}.) (4.16)

Kao i do sada, zelimo promotriti varijaciju po metrici s gornjim indeksima, zbog cega

koristimo identitet

g = ggg, (4.17)

direktno dobiven iz (4.5). Koristeci taj identitet u (4.16), koristeci kompatibilnost metrike,

kontrahirajuci odgovarajuce matrice metrike, te raspisujuci prvi clan u varijaciji pomocu

Christoffelovog simbola dobivamo

(4.18) = g

g

1

2gg 1

2gg 1

2gggg + gg

= 12

(gg + gg ggg).

4.1. VARIJACIJSKI POSTUPAK 15

Koristeci ovaj izraz za raspisivanje clanova koji se pojavljuju u (4.13), kontrahiranjem od-

govarajucih tenzora metrike i oduzimanjem navedena dva clana konacno dobivamo integral

u obliku {g(g)g}df(R)

dR

gd4x. (4.19)

Dobiveni integral mozemo dalje razviti kao{(guv(guv)g) df

dR}gd4x

(guv(guv)g) df

dR

gd4x.)(4.20)

Kako bi se strogo proveo varijacijski postupak i doslo do jednadzbi gibanja teorije, uz

zahtjev iscezavanja varijacije metrike na rubnoj hiperplohi integracije potrebno je integralu

djelovanja dodati i rubni clan koji se naziva Gibbons - Hawkingovim - Yorkovim (GHY)

clanom [19]. Dakle, za ukupno djelovanje vrijedi

S =1

16piG

gRd4x+ 18piG

| | df

dRKd3y, (4.21)

gdje je K trag ekstrinzicne zakrivljenosti, K = n, n je jedinicna normala na rubnuhiperplohu , ij pripadna inducirana metrika, y

i su koordinate na hiperplohi, a je

jednak +1 u slucaju da je hiperploha vremenska (timelike), te -1 u slucaju da je prostorna

(spacelike). Oblik GHY clana je u gravitaciji tipa f(R) takoder modificiran u odnosu

na standardnu opcu teoriju relativnosti i to na nacin da ponistava modificirani doprinos

integrala djelovanja po rubnoj hiperplohi [20]. Na prvi integral u (4.20) mozemo primijeniti

Stokesov teorem

V gdnx =

nV| |dn1y, (4.22)

Drugi integral ponovno rastavljamo na isti nacin

(4.23)

(g(g dfdR

)(g dfdR

))gd4x

+

(g df

dRg df

dRg)

gd4x.

Kod prvog clana u (4.23) ponovno primjenjujemo Stokesov teorem i prikupljajuci sve do

sada izracunate clanove (4.4, 4.6) , ukljucujuci i GHY clan, za ukupnu varijaciju djelovanja

16 POGLAVLJE 4. METRICKI FORMALIZAM

dobivamo

(4.24)

S =1

16piG{gR

df(R)

dR

gd4x 12

gggf(R)d4x+

(g df

dRg df

dRg)

gd4x

+

n| |guvguv df

dRd3y

n| |g df

dRd3y

n| |gg df

dRd3y+

n| |g df

dRd3y}

+1

8piG

| | df

dRKd3y.

Za potpuno odredivanje varijacije djelovanja moramo odrediti cemu je tocno jednak ukupni

doprinos integrala po rubnoj hiperplohi, te cemu je jednaka varijacija GHY clana. Prvo se

koncentriramo na doprinose po rubnoj hiperplohi, isticuci kako je uvjet u provedbi varija-

cijijskog postupka iscezavanje varijacije metrike na rubnoj hiperplohi. Time od doprinosa

po rubnoj hiperplohi preostaju samo integrali

n| |(guvguv g) df

dRd3y. (4.25)

Kako bismo kasnije mogli jednostavnije primijeniti neke relacije za induciranu metriku, u

prvom clanu varijaciju izrazavamo po metrici s donjim indeksima

n| |(guvguv +g) df

dRd3y. (4.26)

Najprije odredujemo cemu je jednak prvi clan u gornjem izrazu, uzimajuci u obzir relaciju

potpunosti koja povezuje metriku mnogostrukosti i induciranu metriku na hiperplohi: [19]

g = nn + . (4.27)

Pri tome je = ijei ej gdje su e

i tangentni vektori na tu hiperplohu. Takoder, zahtjev za

iscezavanjem varijacije metrike na hiperplohi podrazumijeva da se kovarijantne derivacije

varijacije metrike svode na parcijalne derivacije, buduci da se ostali clanovi u kovarijantnoj

derivaciji sastoje od Christoffelovih simbola uz varijacije metrike, te uslijed tog uvjeta

iscezavaju. Stoga za prvi clan u izrazu (4.26) dobivamo

ng(nn + )

df

dR

| |d3y. (4.28)

4.1. VARIJACIJSKI POSTUPAK 17

Sada promatramo drugi clan u (4.26), na temelju istih razloga kao i ranije raspisujuci

g = ggg. (4.29)

Drugi clan je stoga jednak

n| |( + nn)( + nn)g df

dRd3y. (4.30)

Primjecujemo da vrijedi

n = n

ijei ej = 0, (4.31)

s obzirom da se pojavljuje kontrakcija normalnog i tangencijalnog vektora na hiperplohu.

Takoder, nn = , 2 = 1. Tako dobivamo

| |n( + nn)g df

dRd3y. (4.32)

Clan g predstavlja zapravo derivaciju metrike u smjeru tangencijalnom na hi-

perplohu, a kako je uvjet da na hiperplohi metrika ostaje konstantna on je jednak nuli.

Zbrajajuci sada dobiveni prvi i drugi doprinos integracije po rubnoj hiperplohi, (4.28) i

(4.32), dva clana se krate te konacno dobivamo da je ukupno djelovanje jednako

S =1

16piG{gR

df(R)

dR

gd4x 12

gggf(R)d4x+

(g df

dRg df

dRg)

gd4x

ng df

dR

| |d3y}

+1

8piG

| | df

dRKd3y.

(4.33)

Sada jos samo preostaje izracunati varijaciju GHY clana. S obzirom na definiciju inducirane

metrike ij = geui ej , zahtjev da nema varijacije metrike na hiperplohi podrazumijeva i

da varijacija inducirane metrike iscezava

1

8piG

df

dRKd3y =

1

8piG

d

2f

dR2RKd3y +

1

8piG

df

dRKd3y.

(4.34)

U odnosu na varijacijski postupak u standardnoj opcoj teoriji relativnosti u gravitaciji

tipa f(R) uvjet iscezavanja varijacije metrike na hiperplohi nije dovoljan da bi se izvele

18 POGLAVLJE 4. METRICKI FORMALIZAM

jednadzbe gibanja. Kao sto cemo pokazati, drugi clan u (4.34) jednak je po iznosu i suprot-

nog predznaka odgovarajucem rubnom doprinosu u izrazu za ukupnu varijaciju djelovanja,

medutim time preostaje prvi clan u varijaciji GHY doprinosa. Potrebno je stoga zadati

jos jedan uvjet na rubnoj hiperplohi, no trenutno za to u znanstvenim publikacijama jos

uvijek ne postoji opceprihvacena metoda, tim vise sto razliciti izbori uvjeta mogu imati

drugacije fizikalne implikacije [9]. Kao najelegantnija mogucnost cini se dodavanje zahtjeva

da varijacija Riccijevog skalara takoder mora iscezavati na rubnoj hiperplohi [21] i to je

smjer u kojem cemo nastaviti dalje. Time nam je prvi integral u prethodnom izrazu jednak

nuli, a sljedeci zadatak je izracunati varijaciju ekstrinzicne zakrivljenosti. Koristimo

(4.35)

K = n= gn= ( + nn)n= n= (n n).

Pri tome je uoceno kako vrijedi

(nn) = = 0 = 2nn, (4.36)

te je na kraju kovarijantna derivacija raspisana preko svoje definicijske jednadzbe. Odatle

izravno slijedi

K = n. (4.37)

Varijacija Christoffelovog simbola je vec prikazana ranije u (4.14), sada jos samo treba

uzeti u obzir da na hiperplohi varijacija metrike iscezava i ona je stoga

12g{g, + g, g,}n. (4.38)

Kao i ranije, svi clanovi koji sadrzavaju derivacije tenzora metrike u smjeru tangentnom

na hiperplohu su jednaki nuli. Varijacija GHY doprinosa je dakle jednaka

(4.39)1

16piG

df

dRgn

d3y,

4.2. SVOJSTVA JEDNADZBI 19

te vidimo da ona tocno ponistava clan od doprinosa rubne hiperplohe u (4.33). Prikup-

ljajuci sve preostale clanove u djelovanju, te zahtijevajuci da ukupna varijacija iscezava

dobivamo modificirane Einsteinove jednadzbe u vakuumu

Rdf(R)

dR 1

2gf(R) ( g) df

dR= 0 (4.40)

Kako bismo dobili potpunu modificiranu Einsteinovu jednadzbu za gravitaciju tipa f(R)

dodajemo jos standarni clan djelovanja za materiju - S = SEH + SMAT . Uz standardnu

definiciju tenzora energije-impulsa

T = 2 1gSMATg

, (4.41)

konacno proizlazi

Rdf(R)

dR 1

2gf(R) ( g) df

dR= 8piGT . (4.42)

4.2 Svojstva jednadzbi

Vec na temelju modificirane Einsteinove jednadzbe u metrickom formalizmu mozemo doci

do nekih zakljucaka o karakteru rjesenja u usporedbi s onima koja se dobivaju u standard-

noj opcoj teoriji relativnosti, kao i pokazati kako modifikacija jednadzbi vodi na postojanje

efektivne kozmoloske konstante. U tu svrhu prethodnu jednadzbu kontrahiramo s metri-

kom dobivajuci

Rdf(R)

dR 2f(R) + 3 df

dR= 8piGT, (4.43)

gdje je T trag tenzora energije i impulsa. Korisno je s dobivenom jednadzbom usporediti

Einsteinovu jednadzbu polja i njezinu kontrakciju s metrikom

Ruv 12Rg = 8piGT , (4.44)

R = 8piGT, (4.45)

Iz usporedbe je vidljivo da jednadzbe gravitacije tipa f(R) u metrickom formalizmu imaju

znatno slozeniju i bogatiju matematicku strukturu. Dok je u (4.45) R razmjeran s T , u

20 POGLAVLJE 4. METRICKI FORMALIZAM

(4.43) su vezani diferencijalnom jednadzbom u R. Buduci da njihov odnos nije vise jednos-

tavno algebarski kao u opcoj teoriji relativnosti, iscezavanje Riccijevog skalara ne implicira

nuzno iscezavanje traga tenzora energije - impulsa, kao niti obrnuto. Kao sto se moglo

ocekivati, bogatija matematicka struktura vodi na postojanje vise oblika razlicitih rjesenja

u odnosu na standardnu opcu teoriju relativnosti. Vec je na temelju jednadzbe (4.43)

moguce jednostavno vidjeti kako gravitacija tipa f(R) modelira kozmolosku konstantu.

Prije toga uvedimo oznaku fR df/dR i analogno za vise derivacije, sto je konvencijakoje cemo se pridrzavati u ostatku rada. Razmotrimo slucaj R = const, koji odgovara

postojanju maksimalno simetricnih rjesenja [18], u vakuumu T = 0. Vidimo da je rjesenje

jednadzbe (4.43) konstanta koja za koju vrijedi

R = 2f(R)/fR(R). (4.46)

Uvrstavajuci to rjesenje u modificiranu Einsteinovu jednadzbu dobivamo jednakost

R = 1/4Rg . (4.47)

Ovakvo rjesenje opisuje zapravo De Sitterov i anti-De Sitterov svemir u opcoj teoriji rela-

tivnosti. Pod time se podrazumijeva prostor-vrijeme koje je prazno, odnosno gdje sve kom-

ponente tenzora energije-impulsa iscezavaju, uz prisutnost kozmoloske konstante razlicite

od nule [18]. Usporedbom (4.47) s (4.44) u navedenom slucaju, vidimo spomenutu ekvi-

valentnost rjesenja uz identifikaciju = 1/4R . Ovdje je postojanje kozmoloske konstante

efektivno modelirano postojanjem nehilbertovih clanova u djelovanju - jednostavno je pri-

mijetiti kako poseban slucaj f(R) = R transformira jednadzbu (4.43) u izraz R = 0, sto

je jedino rjesenje koje u ovom slucaju dopusta standardna opca teorija relativnosti. Uz

pozitivnu kozmolosku konstantu, odnosno pozitivnu vrijednost Riccijevog skalara radi se

o De Siterovom svemiru, a uz negativnu vrijednost o anti - De Sitterovom svemiru. Treci

slucaj, koji odgovara R = 0, predstavlja zapravo prostor-vrijeme Minkowskog. Iako ova

jednostavna demonstracija nije naravno dovoljna da gravitaciji tipa f(R) osigura relevant-

nost u smislu alternative standardnoj opcoj teoriji relativnosti ona je od vaznosti zbog toga

sto predstavlja polaziste kozmoloskih modela koji se na njoj zasnivaju. Kozmoloski modeli

4.2. SVOJSTVA JEDNADZBI 21

u gravitaciji tipa f(R), o cemu cemo detaljno govoriti u kasnijem dijelu rada, sastoje se u

ponasanju u kojemu se svemir prilikom evolucije u buducnosti asimptotski priblizava De

Sitterovom svemiru. Temeljni je problem na osnovi ovakvog kvalitativnog ponasanja osi-

gurati podudaranje s kozmoloskim podacima, te u isto vrijeme ne narusiti podatke vezane

uz dinamiku suncevog sustava, kao i druge standardne eksperimentalne testove za koje je

opca teorija relativnosti pruzila zadovoljavajuca predvidanja .

Sada zelimo iz (4.42) izvesti odgovarajuce jednadzbe za Riccijev skalar i Einsteinov

tenzor. U tu svrhu promatramo cemu je jednak izraz koji ukljucuje dvostruku kovarijantnu

derivaciju, a koji se pojavljuje u (4.42).

uvfR = u(fRRvR) = fRRR(uR)(vR) + fRRuvR, (4.48)

Koristeci navedeni izraz u (4.42) dobivamo

fRRuv 12fguv + 3fRRR(uR)(vR) fRRuvR + guvfRRR = 8piGTuv. (4.49)

Kontrakcijom jednadzbi s guv dobivamo

R = 13fRR

{8piGT fRR + 2f 3fRRRguv(uR)(vR)}}. (4.50)

Sada zelimo odrediti jednadzbu za Einsteinov tenzor Guv = Ruv 12Rguv U tu svrhu u(4.42) umjesto Riemannovog tenzora uvrstavamo izraz kojime je izrazen preko Einsteinovog

tenzora i Riccijevog skalara prema navedenoj jednadzbi i dobivamo

Guv =1

fR(8piGTuv 1

2fRRguv +

1

2fguv +uvfR guvfR). (4.51)

Ponovno koristim izraz (4.48), te kovarijantni DAlambertian Riccijevog skalara izrazavamo

preko jednadzbe (4.50). Tako dobivamo

Guv =1

fR{fRRuvR+ fRRR(uR)(vR) guv

6(RfR + f + 16piGT ) + 8piGTuv}. (4.52)

Jednadzbe (4.50) i (4.52) su dakle vezane diferencijalne jednadzbe na cije se rjesavanje

moze svesti svaki problem u teoriji gravitacije f(R) tipa u metrickom formalizmu.

22 POGLAVLJE 4. METRICKI FORMALIZAM

4.3 Sacuvanje tenzora energije - impulsa

Dokaz sacuvanja tenzora energije - impulsa u standardnoj opcoj teoriji relativnosti slijedi

direktno iz (4.44). Primjenom kontrahiranog Bianchijevog identiteta u obliku G = 0proizlazi T = 0. S obzirom da modificirana Einsteinova jednadzba ima slozeniji oblik(4.42) pitanje sacuvanja tenzora energije - impulsa u metrickoj gravitaciji f(R) ne moze se

jednostavno rijesiti na slican nacin. Predlozit cemo dokaz sacuvanja koji se sastoji u direk-

tnom racunu polazeci od (4.42). Bitno je istaknuti kako i dalje vrijedi Bianchijev identitet

koji je naprosto svojstvo Riemannovog tenzora, te nije vezan uz provedbu varijacijskog pos-

tupka i oblik jednadzbi teorije. Djelovanjem kovarijantne derivacije na jednadzbu (4.42) s

promijenjenom pozicijom indeksa, koristenjem definicije Einsteinovog tenzora i primjenom

kontrahiranog Bianchijevog identiteta dobivamo

fRR(R)R ( g)fR = 8piGT . (4.53)

Raspisujemo pojedine clanove prethodnog izraza:

(4.54)()fR = fRRR(R)(R) + fRRR

+ fRRRR(R)(R)(R) + fRRR(R)(R)+ fRRR(R)(R),

(4.55)gfR = fRRR(R)(R) + fRRR(R)(R)

fRRRR(R)(R)(R) + fRRR(R)(R)+ fRRR.

Koristenjem prethodnih jednadzbi dobivamo

fRR(R)R fRR[, ]R = 8piGT , (4.56)

buduci da se svi ostali clanovi ponistavaju. U prethodnoj smo jednadzbi zbog jednostav-

nosti uveli oznaku za komutator operatora [A,B] = AB BA. Razmotrimo sada cemu jejednak komutator u (4.56).

(4.57)[, ]R = g[, ]R= g[, ]R + g[, ]R.

4.3. SACUVANJE TENZORA ENERGIJE - IMPULSA 23

Prvi komutator u proslom izrazu iscezava buduci da predstavlja komutator kovarijantnih

derivacija koji djeluje na skalar. Prema definiciji Riemannovog tenzora ([11]:

[,]V = R V. (4.58)

Uzimajuci to u obzir komutator (4.57) postaje jednak

R R = RR, (4.59)

dok uvrstavanjem dobivenog izraza u (4.56) konacno proizlazi T = 0 .

Poglavlje 5

Palatinijev formalizam

5.1 Varijacijski postupak

U formalizmu Palatanija pretpostavljamo da veza nije Christoffelova, vec nezavisna u od-

nosu na metriku. Takoder, pretpostavljamo da djelovanje za materiju nije ovisno o toj

nezavisnoj vezi [22]. Stoga Riemannov tenzor i Riccijev tenzor ne ovise o metrici, vec se

izrazavaju preko nezavisne veze koja uz metriku postaje druga dinamicka varijabla u pro-

vedbi varijacijskog postupka. Riccijev tenzor definiran preko nezavisne veze oznacit cemo

stoga posebnom oznakom R kako bi ga razlikovali od onog definiranog preko Christoffe-

love veze. Ekvivalentno oznacavamo i Riccijev skalar R = gR . Sada se u Palatinijevom

formalizmu posljedicno modificira i Einstein - Hilbertov integral djelovanja

S =1

16piG

gf(gR)d4x. (5.1)Naravno, vecina matematickih koraka ostaje jednaka kao i u provedbi varijacijskog pos-

tupka u metrickoj gravitaciji tipa f(R). Varijacija po korijenu determinante metrike

takoder ne unosi nikakve promjene, te je potrebno razmotriti samo varijaciju po Ricci-

jevom skalaru definiranom s obzirom na nezavisnu vezu

1

16piG

g dfdR

gRd4x+

1

16piG

g dfdR

gRd4x. (5.2)

24

5.1. VARIJACIJSKI POSTUPAK 25

Varijaciju novog Riccijevog tenzora izrazavamo preko varijacija nezavisnih veza, isto kao i

ranije u slucaju Christoffelove veze:

R = + + , (5.3)

gdje je uvedena i oznaka za nezavisnu vezu, konzistentna s ranijima za Riccijev tenzor i

Riccijev skalar. Istaknimo kako i dalje pretpostavljamo da je veza simetricna. U slucaju

f(R) = R, tj. opcoj teoriji relativnosti, kao sto cemo pokazati taj izbor vodi u Palatini-

jevom formalizmu na uvjet da je pretpostavljeno nezavisna veza zapravo Christoffelova i

stoga ga je prirodno zadrzati i u poopcenom slucaju. Kao i kod varijacijkog postupka u

metrickoj gravitaciji tipa f(R) prethodni se izraz moze raspisati na sljedeci nacin

R = , (5.4)

pri cemu smo s oznakom istaknuli kako je rijec o kovarijantnoj derivaciji definiranojs obzirom na nezavisnu, a ne Christoffelovu vezu. S obzirom na to da imamo dvije ne-

zavisne varijable varijacije imat cemo i dvije pripadne jednadzbe. Sakupljajuci clanove

koji sadrzavaju varijaciju po metrici i zahtijevajuci da ukupna varijacija iscezava dobivamo

prvu Palatinijevu jednadzbu

fRR 1

2gf(R) = 8piGT , (5.5)

gdje smo uveli prikladnu pokratu za derivaciju po novom Riccijevom skalaru. Promatrajuci

preostali clan, od dva integrala u (5.2), koji sadrzi derivacije po nezavisnim vezama pos-

tupamo slicno kao i prilikom provedbe varijacijskog postupa u metrickoj gravitaciji tipa

f(R) i parcijalnom integracijom dobivamo cetiri integrala

(5.6)

d4x(

gfRg)d4x(

gfRg)

d4x(

gfRg) +d4x(

gfRg).

Kao i ranije primjenjujemo Stokesov teorem dobivajuci doprinose po rubnoj hiperplohi, te

djelovanju dodajemo GHY clan, cime su ukupni doprinosi po rubnoj hiperplohi ponistavaju.

26 POGLAVLJE 5. PALATINIJEV FORMALIZAM

Zahtijevajuci da ukupna varijacija po nezavisnoj vezi iscezava

(gfRg) (

gfRg) = 0. (5.7)

Kako bi varijacije nezavisnih veza u oba clana ucinili jednakima raspisujemo prvi clan u

(5.7) kao

(5.8)

1

2(gfRg) +

1

2(gfRg)

=1

2(gfRg) +

1

2(gfRg) .

Druga Palatinijeva jednadzba za gravitaciju tipa f(R) je dakle jednaka

(gfRg()) (

gfRg) = 0, (5.9)

pri cemu zagrada u indeksima tenzora standardno oznacava simetrizaciju.

5.2 Svojstva jednadzbi

Glavno obiljezje Palatinijevog formalizma, koje odreduje strukturu citave teorije i ima

vazne fizikalne posljedice, predstavlja spomenuta pretpostavka neovisnosti djelovanja za

materiju o nezavisnoj vezi. Prva posljedica koja se moze izvesti na opcenitom nivou pro-

izlazi iz toga sto se kovarijantna derivacija definira upravo s obzirom na vezu. Djelovanje

za materiju mora biti skalar koji ukljucuje derivacije svih mogucih polja materije. Kako

se opcenito nece raditi o skalarnim poljima moraju se pojavljivati kovarijantne derivacije.

No, s druge strane pretpostavka je Palatinijevog formalizma da ne smije biti ovisnosti

o nezavisnoj vezi. Ukoliko odbacimo nefizikalnu mogucnost ogranicavanja na specificna

polja navedeno se moze pomiriti samo pod pretpostavkom da nezavisna veza ne definira

kovarijantnu derivaciju koja se pojavljuje u geometrijskom kontekstu teorije [23]. Dakle,

jednadzbu geodezika i sacuvanje tenzora energije - impulsa i dalje definira Christoffelova

veza. Navedeno naravno nema veze s cinjenicom sto se u Palatinijevim jednadzbama pojav-

ljuju objekti u kojima su sadrzane kovarijantne derivacije definirane s obzirom na nezavisnu

vezu, buduci da oni nemaju uobicajenu geometrijsku i fizikalnu vec iskljucivo matematicku

5.2. SVOJSTVA JEDNADZBI 27

ulogu. Drugim rijecima, prirodna definicija kovarijantne derivacije teorije, koja ce defini-

rati i paralelni transport, je i dalje ona s obzirom na Christoffelovu vezu, a nezavisna veza

zapravo ima ulogu pomocnog matematickog objekta.

Uzimajuci trag od (5.5) i (5.9) dobivamo

fRR 2f(R) = 8piGT. (5.10)

(gfRg) = 0. (5.11)

Iz gornjih jednadzbi se sada moze vidjeti kako Palatinijev formalizam u posebnom slucaju

f(R) = R vodi na standardnu opcu teoriju relativnosti. Tada je fR = 1, te (5.11) postaje

uvjet kompatibilnosti veze s metrikom - odnosno definicija Christoffelove veze. Time Ric-

cijev tenzor i Riccijev skalar postaju takoder definirani s obzirom na Chriftoffelovu vezu,

a (5.5) postaje Einsteinova jednadzba. Ranije dokazanu tvrdnju o nezavisnoj vezi kao

pomocnom objektu, moguce je ilustrirati i matematicki, izrazavanjem jednadzbi polja bez

nezavisne veze. U tu svrhu mozemo definirati novu metriku

h = fRg . (5.12)

Koristeci novo definiranu metriku u (5.11) mozemo pokazati da zapravo definiramo Chris-

toffelov simbol koji je preko nje zadan. U tu svrhu koristimo

h =1

fRg , (5.13)

h =| fRg |= (fR)4 | g |, (5.14)

sto su relacije koje direktno slijede prelaskom u lokalno inercijalne koordinate. Iz njih

proizlazi:hh = gfRg . (5.15)

Primjenjujuci posljednju relaciju u (5.11) vidimo da trag druge Palatinijeve jednadzbe

definira Christoffelovu vezu s obzirom na metriku h . Isto kao i kod uobicajenog izvoda

izraza za Christoffelov simbol iz zahtjeva kompatibilnosti kovarijantne derivacije s metrikom

(primjerice [8]), proizlazi

=1

2h{h, + h, h,}. (5.16)

28 POGLAVLJE 5. PALATINIJEV FORMALIZAM

Uzimajuci u obzir definiciju (5.12) u posljednjoj smo jednadzbi zapravo pretpostavljeno

nezavisnu vezu izrazili preko parcijalnih derivacija clanova koji sadrze originalnu metriku

i fR, time matematicki pokazujuci njezin pomocni karakter, nasuprot ulozi sustinske va-

rijable teorije. To podupire zakljucak do kojega smo ranije dosli koristenjem fizikalnih

argumenata. Definicija (5.12) predstavlja konformnu transformaciju metrike g po defini-

ciji [18]. Tada je moguce primijeniti izraze kojima se opcenito povezuje Riccijev tenzor za

prvotnu metriku, s Riccijevim tenzorom za konformnu metriku [8]. U nasem slucaju kon-

formna transformacija daje Riccijev tenzor kod kojega je Christoffelova veza zadana preko

metrike (5.16), R , a polazni Riccijev tenzor, R , je definiran s obzirom na nezavisnu

vezu. Stoga vrijedi

(5.17)R = R +

1fR

[(n 2) + gg](fR)

+1

fR[2(n 2) (n 3)gg](

fR)(

fR),

gdje je n broj dimenzija. Uzimajuci u obzir da je u nasem slucaju n = 4, te

fR = 1

4f

3/2R (fR)(fR) +

1

2fRfR, (5.18)

dobivamo:

(5.19)R = R +3

2f 2R(fR)(fR) 1

fR( 1

2g)fR, .

Kontrahirajuci prethodni izraz s metrikom g mozemo jednostavno dobiti vezu izmedu

odgovarajucih Riccijevih skalara R i R

R = R +3

2f 2R(fR)(fR) + 3

fRfR. (5.20)

Tako su sve velicine od vaznosti za teoriju gravitacije izrazene na nacin koji u potpunosti

uklanja nezavisnu vezu iz jednadzbi.

Prikazana specificna struktura diferencijalnih jednadzbi Palatinijevog formalizma ima

daljnje posljedice koje vode na nezeljeno fizikalno ponasanje i kontradikcije teorije. Ako

ponovno promotrimo prvu Palatinijevu jednadzbu (5.5), te iskoristimo (5.19) vidimo kako

5.2. SVOJSTVA JEDNADZBI 29

se radi o parcijalnim diferencijalnim jednadzbama drugog reda u metrici. Takoder, mozemo

uociti kako je za zadani fR, prema (5.10) R algebarski vezan s T . Dakle ista jednadzba

ukljucuje druge derivacije od T buduci da se u njoj pojavljuju druge parcijalne derivacije

od f(R), a time i od R. Kao sto je istaknuto ranije, trag tenzora energije - impulsa ce

opcenito sadrzavati prve derivacije polja materije. To znaci da Palatinijeve jednadzbe za-

pravo sadrzavaju trece derivacije polja materije, te druge derivacije metrike. To je struktura

koja gravitaciju Palatinijevog tipa uvelike razlikuje od strukture opce teorije relativnosti

i metricke gravitacije tipa f(R). Standardno, jednadzbe polja za gravitaciju sadrze samo

prve derivacije polja materije. Na taj nacin visi diferencijalni stupanj u metrici u odnosu na

polja materije omogucuje da se metrika izrazi kao integral po poljima materije [24]. Zbog

toga se moze izbjeci pojavljivanje diskontinuiteta u metrici koji proizlaze iz diskontinuiteta

u poljima, buduci da ih integracija moze izgladiti. No, u Palatinijevom formalizmu zbiva

se sasvim suprotno, visi diferencijalni stupanj polja materije omogucuje da se metrika izrazi

algebarski preko derivacija polja materije. To znaci da ce do singulariteta u metrici dolaziti

ne samo prilikom diskontinuiteta u poljima materije, vec i prilikom diskontinuiteta u njiho-

vim derivacijama. Takvo ponasanje prirodno vodi na nezeljene fizikalne posljedice. Tako

je 2008. pokazano kako u Palatinijevom modelu za sferno simetricne objekte opisane poli-

tropskom jednadzbom stanja dolazi do singulariteta blizu njihove povrsine [24]. Takoder,

pokazano je kako Palatinijeva gravitacija tipa f(R) ulazi u konflikt sa standardnim mo-

delom elementarnih cestica, vodeci na neperturbativne korekcije i jaka vezanja izmedu

gravitacije i materije na niskim energijama [25]. Jedan od nacina izlaska iz ovih poteskoca

bilo bi napustanje klase modifikacija tipa f(R), te proucavanje specificnih izbora opcenite

funkcije invarijantnih clanova. Naime, ranije istaknuto ogranicenje koje potjece iz teorema

o stabilnosti Ostrogradskog ne vrijedi za Palatinijevu gravitaciju tipa f(R), buduci da su

ovdje Riccijevi skalari definirani s obzirom na nezavisnu vezu, te visi invarijantni clanovi

nece povecavati diferencijalni stupanj metrike. Radi se o otvorenoj temi kojom se, moti-

virajuci se principom sto vece jednostavnosti alternativne teorije, necemo baviti u ovom

radu. Druga je mogucnost, koja se iz te perspektive cini prirodnijom, ukloniti pretpos-

tavku o neovisnosti tenzora energije - impulsa o nezavisnoj vezi, koja vodi na specificnu

30 POGLAVLJE 5. PALATINIJEV FORMALIZAM

strukturu diferencijalnih jednadzbi u Palatinijevom formalizmu.

Poglavlje 6

Metricki afina gravitacija

Prirodno prosirenje Palatinijevog formalizma slijedi ukoliko se nezavisna veza iz pomocne

matematicke velicine pretvori u vezu s obzirom na koju je definirana kovarijantna derivacija.

Kako bi to bilo moguce potrebno je za razliku od Palatinijevog formalizma pretpostaviti

da djelovanje za materiju ovisi o nezavisnoj vezi. Pripadni formalizam se naziva metricki

afinom gravitacijom tipa f(R) i predstavlja najopcenitiji oblik modificiranja jednadzbi

Einsteinove opce teorije relativnosti, sto je popraceno i njezinom najvecom slozenoscu u

odnosu na ostale prikazane varijante. Kao sto u posebnom slucaju f(R) = R gravitacija

tipa f(R) prelazi u standardnu opcu teoriju relativnosti, opcenitost metricki afine gravita-

cije se moze smanjiti u posebnom slucaju nezavisnosti djelovanja za materiju u odnosu na

nezavisnu vezu - sto vodi na Palatinijev formalizam, a on u posebnom slucaju Christoffelove

veze vodi na metricku gravitaciju tipa f(R). Struktura ove teorije i njezine posljedice jos

uvijek do sada nisu dovoljno istrazene, sto je glavni razlog zasto cemo u ovome poglavlju

samo ukratko navesti glavne rezultate i - uzimajuci u obzir i kontradikcije Palatinijevog

formalizma - u kasnijem dijelu rada proucavati iskljucivo metricku gravitaciju tipa f(R).

Uz nekompatibilnost kovarijantne derivacije, definirane s obzirom na nezavisnu vezu,

dodatno se pretpostavlja da nezavisna veza nije simetricna. Motivacija za ovu generali-

zaciju, koja podrazumijeva i daljnje formalne komplikacije teorije, je pretpostavka kako

bi u odredenim energetskim rezimima moglo doci do vezanja spina cestica s geometrijom,

31

32 POGLAVLJE 6. METRICKI AFINA GRAVITACIJA

analogno medudjelovanju klasicnog angularnog momenta s geometrijom. Ocekuje se kako

bi se tada takvi efekti mogli najprirodnije izraziti preko nesimetricnog Christoffelovog sim-

bola [26]. Uzimajuci u obzir navedeno, kao i cinjenicu da varijacija djelovanja za materiju

po nezavisnoj vezi sada opcenito nece iscezavati, potrebno je definirati nekoliko znacajnih

tenzora koji ce se pojavljivati u teoriji [9]. To su: tenzor hiperimpulsa

4 = 2g

SM

, (6.1)

tenzor ne-metriciteta (non metricity tensor) koji mjeri odstupanje od kompatibilnosti s

metrikom

Q = g, (6.2)

Weylov vektor, odnosno kontrakcija ne-metriciteta po njegova zadnja dva simetricna in-

deksa

Q =1

4Q , (6.3)

te tenzor torzije

S = [ ], (6.4)

pri cemu uglata zagrada oznacuje antisimetrizaciju po indeksima. Provedbom varijacijskog

postupka dobivaju se sljedece jednadzbe koje opisuju metricki afinu gravitaciju tipa f(R)

[9]

fRR() 12fg = 8piGT , (6.5)

(6.6)1g

[(gfRg) + (

gfRg)] + 2fRgS = 8piG(4 2

34[ ] ),

S = 0 (6.7)

Za razliku od metrickog i palatinijevog formalizma u metricki afinoj gravitaciji f(R)

ne vrijedi T kao niti T , medutim fizikalno znacenje navedenoga nije do krajarazjasnjeno, te dio autora [9] naglasava kako T zapravo vise niti ne igra fizikalnu ulogu

tenzora energije - impulsa koju djelomicno preuzima tenzor hiper - impulsa.

Poglavlje 7

Skalarno - tenzorske teorije

gravitacije

Prvi prijedlog skalarno - tenzorske teorije gravitacije potekao je od Jordana koji je razma-

trao opis gravitacije preko cetverodimenzionalne mnogostrukosti uronjene u ravni petero-

dimenzionalni prostor, uz koristenje skalarnog polja [27]. Kasnije su se skalarno - tenzorske

teorije razvile u siroki skup alternativnih teorija opcoj teoriji relativnosti koje uz metriku

kao temeljnu varijablu teorije karakterizira i postojanje skalarnog polja . Najopcenitiji se

integral djelovanja se za skalarno - tenzorske teorije moze napisati kao zbroj gravitacijskog

doprinosa, skalarnog doprinosa, te doprinosa materije [8]:

S = SR + S + SMAT , (7.1)

pri cemu su navedeni integrali djelovanja jednaki:

SR =

d4xgf()R, (7.2)

S =

d4xg[1

2h()g()() U(), (7.3)

SMAT =

d4xgL(g , i), (7.4)

gdje je L gustoca Langrangiana, za koju je pretpostavljeno da ovisi o metrici i poljima ma-

terije , no ne i o skalarnom polju . Pri tome su f(), h() i U() funkcije ciji konkretan

33

34 POGLAVLJE 7. SKALARNO - TENZORSKE TEORIJE GRAVITACIJE

oblik definira teoriju. Usporedbom (7.1) i (3.3) dobiva se dojam kako teorije tipa f(R) i

skalarno - tenzorske teorije gravitacije imaju znatno drugaciju strukturu koja proizlazi iz

razlicitih oblika integrala djelovanja. Stoga je veoma zanimljiva cinjenica kako specifican

izbor parametara skalarno - tenzorske teorije gravitacije vodi na teorije ekvivalentne pojedi-

nim tipovima gravitacije tipa f(R). No prije te usporedbe i dokazivanja navedene tvrdnje,

sto je i glavna svrha bavljenja skalarno - tenzorskim teorijama u ovome radu, promotrimo

ukratko svojstva skalarno - tenzorskih teorija.

Provedbom varijacijskog postupka polazeci od (7.1) moguce je dobiti izraz za Einsteinov

tenzor, odnosno gravitacijsku jednadzbu u skalarno - tenzorskim teorijama gravitacije [8]

G =1

f()(1

2TMAT +

1

2T +f() gf()). (7.5)

U prethodnoj jednadzbi uz uobicajeni tenzor energije - impulsa materije uvoden je i odgo-

varajuci tenzor energije - impulsa skalarnog polja koji je odreden na sljedeci nacin

T = h()()() g((1

2h()g()() + U()). (7.6)

Usporedbom (7.5) sa standardnom Einsteinovom gravitacijskom jednadzbom (4.44), kao i

pripadnim gravitacijskim integralom djelovanja u (7.1), moze se uociti kako je u slucaju

konstantnog skalarnog polja prirodno zahtijevati da funkcija f() postane jednaka 1/8piG.

Na taj nacin teorija u navedenom limesu dimenzijski odgovara standardnoj opcoj teoriji

relativnosti. Polazeci od tog zakljucka skalarno polje koje se sporo mijenja moze biti

interpretirano kao promjenjiva gravitacijska konstanta. Stovise, mogucnost uvodenja pro-

mjenjive gravitacijske konstante bila je jedan od glavnih povijesnih razloga zbog kojih je

Jordan krenuo u konstruiranje prve skalarno - tenzorske teorije [27]. Vazan dio uobicajene

analize navedenih teorija polazi od pojmova Jordanovog i Einsteinovog sustava koji su

medusobno povezani na temelju konformne transformacije. Osnovna se ideja sastoji u

tome da se polazeci od osnovnog sustava s metrikom g moze odabrati takva konformna

transformacija da u novom sustavu definiranom s metrikom g , tzv. Einsteinovom sus-

tavu, jednadzbe imaju oblik standardne opce teorije relativnosti. Polazni sustav, kojega

karakterizira metrika g naziva se pritom Jordanovim sustavom. Odgovarajuca konformna

35

transformacija moze se definirati na sljedeci nacin

g = 16piGf()g , (7.7)

gdje je G konstanta koja karakterizira konformno preslikavanje. Koristeci (5.17) u (7.1)

dobivamo integral djelovanja, konkretnije - njegov gravitacijski dio, izrazen pomocu kon-

formne metrike

SR =

d4xg 1

16piG(R 3

2g

1

f 2(df

d)2()()). (7.8)

Kao sto se moze vidjeti, Riccijev skalar ovdje nije vezan uz skalarno polje kao sto je

slucaj u Jordanovom sustavu, te se G moze interpretirati kao gravitacijska konstanta u

Einsteinovom konformnom sustavu. Preostali clanovi, koji razlikuju ovaj gravitacijski dio

integrala djelovanja od onoga standardne opce teorije relativnosti, potjecu od skalarnog

polja. Usprkos cinjenici sto se konformna transformacija izmedu Einsteinovog i Jordanovog

sustava siroko koristi u proucavanju skalarno - tenzorskih teorija ne postoji konsenzus oko

fizikalnog znacenja jednog i drugog sustava - dio autora odbacuje Einsteinov ili Jordanov

sustav kao nefizikalan, dok dio inzistira na njihovoj ekvivalentnosti. Pri tome dio autora

zaboravlja uzeti u obzir cinjenicu promjene skale jedinica duzine, mase i vremena prilikom

prelaska u Einsteinov sustav [28].

Poseban slucaj skalarno - tenzorske teorije gravitacije predstavlja tzv. Brans - Dickeova

teorija koja se dobiva za sljedeci izbor parametara uz konstantu vezanja

f() =

16pi, h() =

8pi, U() = 0. (7.9)

Ovaj je oblik skalarno - tenzorske teorije od posebnog interesa buduci da proizlazi kako me-

tricka gravitacija f(R) i Palatinijeva gravitacija f(R) predstavljaju oblike Brans - Dickeove

teorije za posebni izbor parametra . Da bismo to najprije pokazali za metricku f(R) gra-

vitaciju polazimo od izraza za integral djelovanja gravitacijskog polja (3.3) uvodeci novu

varijablu . Novu varijablu mozemo odabrati tako da se pomocu nje (3.3) moze zapisati

kao

S =1

2k

d4xg(f()) + f ()(R )). (7.10)

36 POGLAVLJE 7. SKALARNO - TENZORSKE TEORIJE GRAVITACIJE

Variranje djelovanja po varijabli vodi na novi uvjet

S

= 0, (7.11)

odnosno

f ()(R ) = 0. (7.12)

Uz uvjet da je f () razlicito od nule proizlazi = R sto ponovno vodi na (3.3). Sada se

ponovno mogu definirati nove varijable:

= f (), (7.13)

V () = () f(()), (7.14)

u kojima se isti integral djelovanja moze jednostavno raspisati na sljedeci nacin

S =1

2k

d4xg(R V ()). (7.15)

Usporedbom s Brans - Dickeovom teorijom vidimo da se kod metricke gravitacije tipa f(R)

zapravo radi o njezinom posebnom slucaju za kojega vrijedi = 0. Time se pokazuje da su

te dvije teorije u potpunosti ekvivalentne. U slucaju Palatinijeve f(R) gravitacije ponavlja-

njem istih pocetnih koraka polazeci od (5.1) dobivamo integral djelovanja u modificiranom

obliku

S =1

16piG

d4xg(R V ()). (7.16)

Medutim, sada ne mozemo ponoviti isti zakljucak kao kod metricke gravitacije tipa f(R)

(7.15) i reci kako je teorija ekvivalentna Brans - Dickeovoj za izbor = 0. Razlog za to

je u cinjenici sto se u (7.16) za razliku od Brans - Dickeove teorije ne pojavljuje Riccijev

skalar vezan uz metriku, vec definiran s obzirom na nezavisnu vezu. Taj se problem jednos-

tavno rjesava uvazavajuci ranije izvedeni zakljucak o nezavisnoj vezi kao pomocnoj mate-

matickoj varijabli bez pravog fizikalnog znacenja, te u skladu s time uvazavanja mogucnosti

izrazavanja teorije preko velicina koje ovise samo o metrici. Konkretno, dovoljno je upo-

trijebiti (5.20) kako bi se u (7.16) pojavljivao samo Riccijev skalar definiran s obzirom na

metriku. Tako dobivamo

S =1

16piG

d4xg(R + 3

2()(

) V ()). (7.17)

37

Vidimo da je Palatinijev formalizam zapravo ekvivalentan Brans - Dickeovoj teoriji uz vri-

jednost parametra = 3/2. Medutim slican postupak se ne moze primijeniti na metrickiafinu gravitaciju. U njoj nezavisna veza ima stvarnu fizikalnu, a ne samo pomocnu mate-

maticku ulogu, sto proizlazi iz pretpostavke ovisnosti djelovanja za materiju o nezavisnoj

vezi. Zbog toga nije moguce izraziti Riccijev skalar definiran preko nezavisne veze kao sto

je to bio slucaj u Palatinijevom formalizmu. Metricki afina gravitacija kao najopcenitija

varijanta gravitacije tipa f(R) nije ekvivalentna niti jednoj varijanti Brans - Dickeove te-

orije.

U svjetlu prikazanih rezultata moglo bi se postaviti pitanje koliko je smisleno ograniciti

se na istrazivanje f(R) modela kada su oni zapravo ekvivalentni posebnim slucajevima

Brans - Dickeove teorije. Ne bi li bilo bolje pristupiti analizi Brans - Dickeove teorije i

onda dobivene rezultate razmotriti i u posebnim granicama = 0 i = 3/2? Moguce jenekoliko razina odgovora na ovo pitanje. Prije svega, trebalo bi biti jasno da ekvivalentnost

formalizama ne znaci nuzno i ekvivalentnost fizikalnih pretpostavki teorije koje vode na

dani formalizam tj. integral djelovanja. Pristup kod skalarno - tenzorskih teorija gravita-

cije razlikuje se od onoga gravitacije tipa f(R) po tome sto se u potonjoj ne uvode nikakvi

novi entiteti kao sto je skalarno polje, vec se ostaje samo na matematickoj generalizaciji

jednadzbi bez postuliranja dodatnih varijabli. Takoder je vazna i cinjenica sto se ekviva-

lentnost sa skalarno - tenzorskim teorijama ne proteze na metricki afinu gravitaciju koja

predstavlja najopcenitiju varijantu teorija tipa f(R). Za potpuno proucavanje gravitacije

tipa f(R) koristenje Brans - Dickeove teorije je dakle nedostatno. Takoder je cinjenica kako

posebni slucajevi = 0 i = 3/2 nisu bili razmatrani prije nedavno poraslog zanimanjaza teorije tipa f(R). Koliko god proucavanje gravitacije tipa f(R) u kontekstu skalarno

- tenzorskih teorija bilo siroko rasireno i u odredenim problemima prikladno ono niposto

nije opcenito gledano neophodno. Stovise, s obzirom na nesporazume u vezi znacenja Eins-

teinovog i Jordanovog sustava, ono sa sobom moze donositi i nove konceptualne teskoce.

Stoga dio autora zastupa pristup direktnog bavljenja gravitacijom f(R) bez pozivanja na

skalarno - tenzorske teorije [48, 38]. Taj cemo pristup zastupati i u ostatku ovoga rada gdje

cemo se usredotociti samo na proucavanje modela u okviru metricke gravitacije tipa f(R),

38 POGLAVLJE 7. SKALARNO - TENZORSKE TEORIJE GRAVITACIJE

te pri tome nece biti potrebe za koristenjem ekvivalentne reprezentacije u obliku Brans

- Dickeove teorije. Dakle, ukoliko se eksplicitno ne naglasi drugacije, u nastavku teksta

cemo pod pojmom gravitacije tipa f(R) podrazumijevati njezin najjednostavniji oblik tj.

metricki formalizam.

Poglavlje 8

Schwarzschildovo rjesenje

Pod Schwarzschildovim rjesenjem podrazumijevat cemo sfernosimetricno rjesenje gravita-

cijskih jednadzbi (4.42) u vakuumu, tj. za sve komponente tenzora energije - impulsa

jednake nuli. Schwarzschildovo rjesenje, kao jedno od najvaznijih rjesenja Einsteinovih

jednadzbi od velikog prakticnog znacenja za primjenu teorije gravitacije, dobro demons-

trira matematicke komplikacije koje nastaju prilikom generaliziranja jednadzbi opce teorije

relativnosti. Dok u standardnoj opcoj teoriji relativnosti postoji opcenito analiticko Sc-

hwarzschildovo rjesenje s metrikom [29]:

ds2 = (1 2GMr

)dt2 +dr2

1 2GMr

+ r2(d2 + sin 2d2), (8.1)

u f(R) teorijama rjesenje se, kao sto cemo vidjeti, moze dobiti samo numericki, osim u

veoma specificnim slucajevima. Vazan rezultat standardne opce teorije relativnosti pove-

zane sa Schwarzschildovim rjesenjem predstavlja Birkhoffov teorem. Prema Birkhoffovom

teoremu geometrija dane regije prostorvremena koja je sfernosimetricna, te koja je rjesenje

Einsteinovih jednadzbi polja u vakuumu, mora nuzno biti opisana Schwarzschildovom me-

trikom [29]. Direktna posljedica jedinstvenosti rjesenja je da ono, u skladu s (8.1), mora

biti vremenski neovisno. Medutim, u gravitaciji tipa f(R) Birkhoffov teorem vise ne vri-

jedi [9]. Osnovni razlog za to je u promijenjenoj strukturi gravitacijskih jednadzbi. Dok

u (4.45) iscezavanje traga tenzora energije - impulsa podrazumijeva R = 0, u (4.43) tome

nije tako, vec navedeni uvjet vodi na diferencijalnu jednadzbu cije je rjesenje odredeno

39

40 POGLAVLJE 8. SCHWARZSCHILDOVO RJESENJE

oblikom f(R). Opcenita sfernosimetricna metrika moze se zapisati kao [29]

ds2 = e2(r)dt2 + e2(r)dr2 + r2(d2 + sin 2d2). (8.2)

Nas ce zadatak biti odrediti funkcije i u okviru teorija f(R). U tu svrhu najprije

racunamo Christoffelove simbole, te Riccijeve i Einsteinove tenzore koji opisuju geometriju

sfernosimetricne metrike. Neiscezavajuci Christoffelovi simboli su

ttr = (r), rtt = e

2() (r), rrr = (r),

r =1

r, r = re2(r), r =

1

r

r = re2(r) sin2 , = sin cos , =cos

sin .

(8.3)

Sada racunamo odgovarajuce Riccijeve tenzore

Rtt = e2((r)(r))( (r) + ( (r))2 (r) (r) + 2

r (r), (8.4)

Rrr = (r) ( (r))2 + (r) (r) + 2r (r), (8.5)

R = 1 + e2(r( (r) (r)) 1), (8.6)

R = sin2 R, (8.7)

kao i pripadni Riccijev skalar koji je jednak

R = 2e2( (r) + ( (r))2 (r) (r) + 2r

( (r) (r)) + 1r2

(1 e2)). (8.8)

Iz gore izracunatih Riccijevih tenzora i Riccijevog skalara mozemo odrediti komponente

Einsteinovog tenzora, te iz (4.52) dobiti tri odgovarajuce modificirane Einsteinove jed-

nadzbe koje odreduju funkcije (r) i (r) (zbog pretpostavljene sferne simetrije problema

dvije kutne komponente Einsteinovg tenzora ce voditi na jednake jednadzbe). Promatramo

najprije tt komponentu u (4.52), te uzimajuci u obzir

ttR = ttR = rttrR, (8.9)

dobivamo prvu jednadzbu:

fR(2

r (r) 1

r2(1 e2)) = fRR (r)R (r) + e

2

6(RfR + f). (8.10)

41

Na isti nacin odredujemo i rr komponentu, pri cemu

rrR = R(r) + rrrrR. (8.11)

Druga modificirana Einsteinova jednadzba ima sljedeci oblik

fR(2

r (r) +

1

r2(1 e2)) = fRR(R (r) + (r)R (r)) + fRRRR2 e

2

6(RfR + f). (8.12)

Konacno, uz

R = rrR, (8.13)

dobivamo i trecu jednadzbu

fR( (r)+ (r)+ (r)r+r2r (r) (r)) = fRRR (r) re2

6(RfR+f). (8.14)

Mozemo zbrojiti (8.10) i (8.12):

fR2

r( (r) + (r)) = fRR( (r)R (r) +R (r) + (r)R (r)) + fRRRR

2 (8.15)

Za provjeru promotrimo poseban slucaj f(R) = R. Tada iz (8.15) proizlazi (r) = (r).Uzmimo u obzir da u tom slucaju za T = 0 iz jednadzbi polja direktno proizlazi R = 0.

Tada nam (8.10) vodi na2

r (r) 1

r2(1 e2) = 0, (8.16)

te integriranjem navedene jednadzbe dobivamo rjesenje

e2 = 1 Cr, (8.17)

pri cemu je C konstanta integracije koja odgovara Schwarzschildovom radijusu, R = 2GM .

To uz ranije dobivenu jednakost (r) = (r) vodi na poznato Schwarzschildovo rjesenjeu opcoj teoriji relativnosti (8.1). Pri tome odgovarajucu konstantu integracije c - (r) =

(r) + c namjestamo na nulu reskalirajuci koordinatu vremena t = ect.Promotrimo sada posebni slucaj u kojemu je zadana opcenita funkcija Riccijevog skalara

uz R = konstanta. Ponovno iz (8.15) dobivamo (r) = (r). Nakon toga zbrajamo

42 POGLAVLJE 8. SCHWARZSCHILDOVO RJESENJE

(8.10) i (8.12) primjenjujuci dobiveni identitet i tako dolazimo do sljedece diferencijalne

jednadzbee2(r)

r2+ 2(r)

2 (r) = 0, (8.18)

cije je rjesenje

(r) = 12

log[1 +2

3r2C1 C2

r], (8.19)

pri cemu su C1 i C2 pripadne konstante integracije. Navedeno rjesenje predstavlja zapravo

Schwarzschild - De Sitterovo rjesenje : rjesenje koje opisuje metriku pridruzenu gravitacij-

skom polju sfernosimetricne raspodjele mase u svemiru s kozmoloskom konstantom [30]:

ds2 = a(r)dt2 + dr2

a(r)+ r2(d2 + sin 2d2), (8.20)

uz

a(r) = 1 2Mr 1

3r2, (8.21)

gdje je kozmoloska konstanta. Ovaj je rezultat sasvim u skladu s ocekivanjima, te ranije

opisanim svojstvima jednadzbi metricke gravitacije tipa f(R). Pokazali smo da je problem

sfernosimetricne metrike u vakuumu ispunjenim kozmoloskom konstantom u standardnoj

opcoj teoriji relativnosti jednak problemu sfernosimetricne metrike u vakuumu bez koz-

moloske konstante, ali u teorijama f(R) u slucaju konstantnog Riccijevog skalara. Ranije

smo pokazali kako na opcenitoj razini jednadzbi polja gravitacija tipa f(R) modelira posto-

janje kozmoloske konstante, a sada je ono pokazano na temelju konkretnog matematickog

proracuna za Schwarzschildov problem.

Poglavlje 9

Modificirane Friedmanove jednadzbe

Na pocetku rada istaknuli smo kako je mogucnost opisa kozmoloske evolucije bez uvodenja

tamne energije bila glavni razlog budenju velikog interesa za teorije tipa f(R) posljednjih

godina. Efektivno modeliranje kozmoloske konstante do kojega dovode dodatni clanovi

u modificiranom integralu djelovanja pokazali smo na opcenitoj razini proucavanjem obi-

ljezja modificirane Einsteinove jednadzbe u drugom poglavlju, te konkretno izracunavanjem

metrike sfernosimetricnog vakuumskog problema u prethodnom poglavlju. Medutim, za

pitanje relevantnosti teorija tipa f(R) kljucno je utvrditi da li su kozmoloski modeli uteme-

ljeni na f(R) konzistentni s empirijskim podacima. Najjednostavniji pristup u tom smjeru

sastojao bi se u zadrzavanju svih temeljnih pretpostavki standardnog kozmoloskog mo-

dela bez kozmoloske konstante uz zamjenu jednadzbi standardne opce teorije relativnosti

jednadzbama gravitacije tipa f(R). Time bi bilo moguce postaviti i dodatna ogranicenja

na oblike funkcija f(R) koji su u stanju reproducirati ocekivanu evoluciju svemira. Radi

preglednosti navedimo najprije glavne postavke standardnog kozmoloskog modela za koje

ce se i dalje pretpostavljati da vrijede. Pretpostavljamo da je svemir na velikim skalama

homogen i izotropan, te opisan Friedmann -Robertson - Walkerovom (FRW) metrikom:

ds2 = dt2 + a2(t)[ dr2

1 kr2 + r2(d2 + sin 2d2)], (9.1)

gdje je k = 0 za ravan prostor, k = 1 za pozitivno zakrivljen i k = 1 za negativnozakrivljen, a a(t) je parametar skale. Sljedeca je pretpostavka opis mase i energije svemira

43

44 POGLAVLJE 9. MODIFICIRANE FRIEDMANOVE JEDNADZBE

na temelju idealnog plina ciji je tenzor energije impulsa

T = (+ p)UU + pg . (9.2)

Pretpostavljamo takoder da je u koordinatama FRW metrike fluid u mirovanju. Takoder,

pretpostavljamo da je odnos izmedu tlaka i gustoce energije idealnog plina dan s jed-

nadzbom stanja

p = w, (9.3)

pri cemu je w parametar koji ovisi o fizikalnom karakteru nosioca tenzora energije - impulsa.

Pretpostavljamo da je materija opisana tzv. prasinom koja ne stvara pritisak, w = 0, a

za zracenje se moze pokazati da vrijedi w = 1/3 [8]. Ranije smo pokazali da u metrickoj

gravitaciji i dalje vrijedi zakon sacuvanja tenzora energije - impulsa, T =0. Iz njegakoristenjem (9.2) i jednadzbe stanja slijedi jednadzba kontinuiteta

= 3(1 + w) a

a. (9.4)

Polazeci od (9.1) mozemo odrediti uobicajene velicine koje definiraju geometriju problema.

Christoffelovi simboli su:

trr =aa

1 kr2 , rrr =

kr

1 kr2 , t = aar

2,t = aar2 sin2 ,

rtr =a

a, t =

a

a,t =

a

a,r = r(1 kr2), r =

1

r,

r =1

r, =

cos

sin , = sin cos , =

cos

sin .

(9.5)

Nakon toga racunamo neiscezavajuce komponente Riccijevog tenzora:

Rtt = 3 aa, Rrr =

aa+ 2a2 + 2k

1 kr2 , R = r2(aa+ 2a2 + 2k), R = r

2(aa+ 2a2 + 2k) sin2 ,

(9.6)

kao i Riccijev skalar

R = 6(a

a+ (

a

a)2 +

k

a2). (9.7)

45

Vidimo da je Riccijev skalar funkcija vremenske koordinate, buduci da je parametar skale

samo funkcija vremena, sto je u skladu s pretpostavkom homogenosti i izotropnosti svemira

na velikim skalama.

Koristeci izraze dobivene za Riccijev tenzor i Riccijev skalar mozemo odrediti pripadne

jednadzbe polazeci od (4.52) i (4.50), pri cemu se za razliku od uobicajenog pristupa

[38, 48, 39, 40] radi ocenitosti necemo ogranicavati na specifican slucaj ravnog svemira

k = 0. Iako u pogledu kasnije kozmologije uzimanje k = 0 predstavlja odabir na temelju

koje ne dolazi do velikog odstupanja od opcenitosti uz pojednostavljivanje jednadzbi, prema

takvom izboru je dobro zauzeti kritican stav, buduci da prava vrijednost parametra k jos

uvijek nije poznata [9]. U Einsteinovoj opcoj teoriji relativnosti polazeci od(4.44) dobivamo

standardne Friedmannove jednadzbe koje navodimo radi usporedbe

a

a= 4piG

3(+ 3p) (9.8)

(a

a)2 =

8piG

3 ka2

(9.9)

Koristit cemo relaciju

g()()R = gR + gR = R + g = R 3a

aR. (9.10)

Promotrimo najprije tt komponentu tenzora (4.52), pri cemu cemo od sada pa nadalje

koristiti jedinice u kojima vrijedi 8piG = 1. Koristit cemo

ttR = R + ttR = R, (9.11)

T = gT = + 3p, (9.12)

Gtt = Rtt +1

2R. (9.13)

Iz (4.52),(9.6), (9.7) dobivamo

(a

a)2 +

k

a2=

1

3fR[fRRR + fRRRR

2 +1

6(RfR + f) +

2

3 p]. (9.14)

Drugu derivaciju Riccijeva skalara po vremenu mozemo izraziti pomocu (9.10) i (4.50), te

nakon uvrstavanja i sredivanja dobivamo

(a

a)2 +

k

a2=

1

3fR[3 a

aRfRR + +

1

2(RfR f)]. (9.15)

46 POGLAVLJE 9. MODIFICIRANE FRIEDMANOVE JEDNADZBE

Uvodimo oznaku za Hubbleov parametar, H = a/a, te uvodeci pokratu za clanove koji

proizlaze od modificiranja integrala djelovanja u odnosu na onaj standardne opce teorije

relativnosti

=1

fR[3HRfRR + 1

2(fRR f) + (1 fR], (9.16)

jednadzbu mozemo zapisati kao

H2 =1

3(+ ) k

a2. (9.17)

Vidimo da (9.15) zapravo predstavlja modificiranu prvu Friedmanovu jednadzbu u gravita-

ciji tipa f(R). U njoj se ucinak modificiranja standardnih Einsteinovih jednadzbi efektivno

izrazava kao postojanje dodatnog clana u odnosu na prvu Friedmanovu jednadzbu za koju

vrijedi = 0. Kao sto je vidljivo clan u prethodnoj jednadzbi efektivno igra ulogu do-

datne gustoce energije, iz cega proizlazi i odabrana sugestivna oznaka. Medutim, ne radi

se o nekakvom novom fizikalnom entitetu, vec u doprinosu ciji sastavni clanovi proizlaze iz

modificiranja jednadzbi opce teorije relativnosti. Oni se pojavljuju kao efektivna dodatna

gustoca energije koja bi u standardnom kozmoloskom modelu predstavljala gustocu tamne

energije. Mozemo promotriti neku od prostornih komponenti jednadzbi (4.52), koje sve

daju jednak doprinos. Promotrimo rr komponentu

rrR = rrR = trr, tR, (9.18)

kao i ranije koristimo (9.6) i (9.7), te nakon sredivanja izraza imamo

2a

a+H2 +

k

a2=

1

fR(1

6(RfR + f + 2T ) fRRHR), (9.19)

uz preuredivanje, izrazavanje derivacija parametara udaljenosti preko H, koristenje (9.17)

te koristenja pokrate

p = 13fR

(1

2(RfR + 3fRRHR + 3pfR), (9.20)

dobivamo drugu modificiranu Friedmanovu jednadzbu u f(R)

H = H2 16

[+ + 3(p+ p)]. (9.21)

47

Prije detaljnijeg razmatranja konkretnih modela gravitacije tipa f(R) u kontekstu pro-

blema kozmoloske evolucije promotrimo opcenite zakljucke koji se mogu izvesti proucavanjem

gore izvedenih modificiranih Friedmanovih jednadzbi. Mehanizam na temelju kojega gra-

vitacija tipa f(R) objasnjava ubrzanu ekspanziju svemira mozemo jednostavno uociti ako

odaberemo poseban slucaj R = konstanta. Ranije smo diskutirali kako tada (4.50) vodi

na jednakost RfR = 2f . Promotrimo modificirane Friedmanove jednadzbe u tom slucaju

uz dodatni uvjet da gustoca energije i tlak idealnog kozmickog fluida postaju zanema-

rivi prema clanovima koji proizlaze iz modificiranja jednadzbi - , p. Tada (9.16) vodi na

= R/4, dok (9.20) prelazi u p = R/4. Na temelju toga (9.15) prelazi u H2 = R/12,dok (9.21) u istom limesu postaje a/a = H2. Dakle, objasnjenje ubrzane ekspanzije u

modelu gravitacije tipa f(R) se u sustini svodi na to da tokom razvoja svemira Riccijev

skalar tezi prema konstantnoj vrijednosti, a i p dominiraju u odnosu na i p, te na

taj nacin igraju ulogu efektivnih komponenti tenzora energije - impulsa kozmoloske kons-

tante. Integriranjem (9.4) , te uzimajuci u obzir navedene iznose konstante w za zracenje

i materiju mozemo doci do izraza za evoluciju gustoce energije svemira:

= 0 mata3 + 0 rada4. (9.22)

S obzirom da se clanovi sadrzani u i p efektivno ponasaju kao dodatna gustoca energije

i tlak fluida moguce je u analogiji s p = w promotriti jednadzbu stanja izmedu te dvije

velicine, kao i ukupnu jednadzbu stanja koja obuhvaca p, , , p. Dakle uvodimo w tako da

vrijedi p = w. Definiramo wtot = ( + )/(p + p). Uvrstavajuci u tu jednadzbu (9.16) i

(9.20) dobivamo

wtot = 13

12(fRR + f) + 3fRRHR

12(fRR f) 3fRRHR +

. (9.23)

Na temelju jednadzbe (9.21) jednostavno se vidi da je iznos wtot, koji je funkcija vremena,

povezan s karakterom sirenja svemira - za wtot < 1/3 svemir se siri ubrzano, dok je zawtot > 1/3 svemir se siri usporeno.

Poglavlje 10

Konkretni modeli

Ranije smo istaknuli kako se provjera relevantnosti gravitacije tipa f(R) kao alternative

standardno opcoj teoriji relativnosti mora dobiti na temelju usporedbe obje teorije s em-

pirijskim podacima, sto zahtijeva zadavanje odredenog oblika funkcije f(R). Osim ranije

spomenutih ogranicenja koja iskljucuju neke oblike funkcija koje vode na matematicki

nezeljene oblike ponasanja ne postoji nacin na koji je moguce teorijskim razlozima odrediti

navedenu funkciju. Jedini argument za izbor odredene funkcije nalazi se u mogucnosti nje-

zinog reproduciranja poznatih podataka, izmedu ostaloga i evolucije svemira. U osnovi se

navedeno sastoji u zahtjevu da model mora biti u stanju reproducirati slijed kozmoloskih

epoha koji cine: rana inflacija, epoha u kojoj dominira zracenje (tada se odvija i pri-

mordijalna nukleosinteza), epoha dominacije materije, danasnja epoha ubrzanog sirenja

svemira, te buduca evolucija svemira. Osim toga od modela se trazi da omogucava gladak

prijelaz izmedu epoha, kao i da epoha u kojoj dominira materija traje dovoljno dugo da

omoguci prelazenje prvotnih perturbacija u fazi inflacije u strukture koje se danas opazaju

u svemiru [9]. Nezgodna je posljedica navedenog pristupa sto se na taj nacin istrazivanje

alternativne teorije svodi na gotovo nasumicne pokusaje prilagodbe razlicitih funkcija Ric-

cijevog skalara na podatke. Ako zauzmemo stav kako se kod gravitacije tipa f(R) ne radi

o formiranoj teoriji nego o radnom modelu usmjerenom prema istrazivanju mogucnosti

modifikacije integrala djelovanja u dugorocnoj perspektivi rada na stvaranju nove teorije

48

10.1. MODEL STAROBINSKOG 49

gravitacije, takvi pokusaju teorijski nemotivirane prilagodbe mogu se uciniti jos manje

smislenima. Medutim, nije iskljuceno da ce ispitivanje funkcija koje vode na relevantne

modele doprinijeti boljem poznavanju mogucnosti modificiranja integrala djelovanja opce

teorije relativnosti i time dati doprinos ostvarivanju nove teorije gravitacije. U tom pogledu

saznavanje karakteristika pojedinih modela, njihovih nedostataka i ponasanja u razlicitim

rezimima ne bi trebalo biti nezanimljivo. Stoga cemo u ovom poglavlju prikazati neke kon-

kretne modele tipa f(R) koji vode na relevantne rezultate u pogledu kozmoloske evolucije.

10.1 Model Starobinskog

Model Starobinskog predstavlja jedan od prvih modela gravitacije tipa f(R), te je zadan

sljedecim izborom funkcije Riccijevog skalara [31]:

f(R) = R + RS[(1 +R2

R2S)q 1], (10.1)

pri cemu i q predstavljaju pozitivne konstante, a RS je konstantna povezana s danasnjom

vrijednoscu Hubbleovog parametra RS = H20 . Starobinski i suradnici pretpostavljaju

sljedece vrijednosti parametara q = 2, = 1, = 4.17. [37]. Na slikama (10.1, 10.2, 10.3)

prikazujemo oblike funkcije f(R) za razlicite izbore parametara q i uz = 4.17., kao i

grafove koji za isti izbor parametara prikazuju ovisnost prve i druge derivacije funkcije f(R)

po Riccijevom skalaru, pri cemu su Riccijev skalar i njegova funkcija izrazeni u jedinicama

kvadrata danasnje vrijednosti Hubbleovog parametra, H20 . Iz prilozenih grafova mozemo

vidjeti vaznost izbora parametara buduci da on uz kvantitativne rezultate odreduje i kvali-

tativan karakter funkcije f(R) povezan s pitanjima stabilnosti modela. Vidimo da za izbor

parametara predlozen od strane autora modela = 1, q = 2, = 4.17. funkcija i njezina

prva derivacija imaju prihvatljivo ponasanje, no da druga derivacija, kao i kod ostalih iz-

bora parametara, poprima negativne vrijednosti. Buduci da negativna vrijednost druge

derivacije f(R) tipicno vodi na nestabilnosti, o cemu je bilo rijeci u drugom poglavlju,

radi se o problematicnoj strani modela Starobinskog. S obzirom na to da se fRR pojav-

ljuje u nazivniku kod temeljnih jednadzbi gravitacije tipa f(R), kao sto je (4.50) njezino

50 POGLAVLJE 10. KONKRETNI MODELI

-5 5 10 15R

-20

-15

-10

-5

5

10

fHRL

=4, q=5

=3, q=4

=2, q=3

=1, q=2

Slika 10.1: f(R) u modelu Starobinskog

-4 -2 2 4 6 8 10R

-5

5

10fR

=4, q=5

=3, q=4

=2, q=3

=1, q=2

Slika 10.2: Prva derivacija f(R) u modelu Starobinskog

10.1. MODEL STAROBINSKOG 51

-4 -2 2 4 6 8 10R

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

fRR

=4, q=5

=3, q=4

=2, q=3

=1, q=2

Slika 10.3: Druga derivacija f(R) u modelu Starobinskog

iscezavanje moze voditi na pojavljivanje singulariteta oko pripadnih nultocaka. Prilikom

numerickog rjesavanja Friedmanovih jednadzbi u modelu Starobinskog autori [38] se nisu

susreli s navedenim singularitetima, no integracija je provedena pocinjuci od vrijednosti

Riccijevog skalara koje su vece od one za koju se pojavljuje nultocka od fRR na slici (10.3).

U svakom slucaju, za ocekivati je da alternativna teorija modificirane gravitacije bude vise

od numericki prikladne prilagodbe na podatke, te da ima dobro definirano ponasanje u

svim tockama, cak ako one i nisu od neposrednog interesa za odredeni problem, npr. pita-

nje kozmoloske evolucije. Usprkos ovim teskocama model Starobinskog je u vise slucajeva

doveo do rezultata koji su zadovoljavali uvjete postavljene od strane kozmoloskih opazanja.