Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban

Fourier transzformált,szűrés

frekvenciatartománybanVámossy Zoltán

2004

Gonzales – Woods: Digital Image Processing, Prentice Hall, 2002. alapján

2Vámossy Zoltán IAR 2004

Témakör

Fourier sorok, Fourier transzformált (FT) Fontosabb tulajdonságok A szűrés lépései frekvenciatartományban Alul áteresztő (low pass - LPF), felül áteresztő

(high pass - HPF) szűrők Homomorf szűrők


Miért FT? – 1


Szűrés: 1. a kép Fourier transzformáltját szorozzuk a szűrő-függvény Fourier transzformáltjával H(u,v)

2. Inverz Fourier tr. segítségével visszatérünk képtartományba

Miért FT? – 2


Példa FT-re


Fourier sorok

Fourier sorok (SF) egy véges TF intervallumon bármely függvényt közelítik

TF intervallumon kívül, SF periodikusán ismétlődik TF

periódussal.


Fourier sorok (folytatás) TF az s(t) jelnek az intervalluma, amely felett a Fourier

sorozat megjelenik fF = 1/TF a Fourier soros reprezentáció alapfrekvenciája

(alap harmonikus) n a “harmonikus szám”

– 2fF az alapfrekvencia (fF) második harmonikusa A Fourier sor mindig periodikus és lineáris kombinációja fF

frekvenciájú szinuszoknak és azok harmonikusainak


Fourier transzformáció (FT)

Frekvencia tartományban leírás

nfF

cn

u

v

(0,0)



1-D Fourier transzformáció

Fourier tr.:

Inverz FT:

Komplex alak:

Fourier spektrum Teljesítmény

spektrum (spektrál sűrűség)

Fázis szög:

DFTDiszkrét Fourier Tr.

CFTFolytonos Fourier Tr.


2-D Fourier transzformáció

CFT

DFT


Impulzus transzformáltR. N. Bracewell’s “Two-Dimensional Imaging,” Prentice Hall, 1995.


Néhány példa

Gauss Gauss

Gauss rámpa

Vonal impulzus


2D FT Pairs


Az FT fontos tulajdonságai Egyszerű számíthatóság és implementálhatóság Lineáris (disztributív és skálázható) Szeparálható (felbontható oszlop és sor műveletek

egymás utáni végrehajtására) Eltolási tulajdonság Periodicitás Konjugált szimmetria Elforgatási tulajdonság Konvolúciós tétel Korrelációs tétel Mintavételezés …


A Fourier transzformáció megértése és implementálása

(0,0)

f(x,y)

x

y(0,0)

|F(u,v)|u

v

255

255

(0,0)

f(x,y)(-1)x+y

x

y

0

0



A Fourier transzformáció megértése és implementálása

Az “eltolási tulajdonság” (lásd később) értelmében:

(0,0)

f(x,y)x

y

-255

255

(0,0)

f(x,y)(-1)x+y

x

y

-0

0

(0,0)

|F(u-M/2,v-N/2)|u

v


Linearitás

FT lineáris képfeldolgozó módszer

Lineáris rendszer

x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)

a*x1(t) + b*x2(t) a*y1(t) + b*y2(t)


Szeparálhatóság

f(x, y) F(x, v)Sor

tanszformáció F(u, v)Oszloptranszf.


Eltolási tulajdonság


Periodicitás és konjugált szimmetria

Periodicitás

Ha f(x, y) valós, akkor Fourier transzformáltja konjugált szimmetrikus

Fourier transzformált spektruma szimmetrikus


Példa – eltolt és log skálázott FT


Példa – periodicitás és eltolás


Elforgatás


Átlag

Átlag: a transzformáció értéke (u, v) = (0, 0)-ban a kép átlaga


A Laplace transzformált frekvencia tartományban



Konvolúció

Folyamatos és diszkrét konvolúció

Konvolúciós tétel:

A képtérben számított konvolúció a gyakorlatban gyorsabban számítható a frekvenciatartományban elem-elem szorzással egy bizonyos méret felett


Korreláció

Folytonos és diszkrét korreláció

Korrelációs tétel


Autokorreláció

Autokorreláció (önmagával vett kereszt korreláció) Autokorrelációs tétel

Alkalmazás: mintaillesztés


Szűrés főbb lépései (FTIFT)

f(x,y)(-1)x+y g(x,y)(-1)x+y


Szűrés frekvencia tartományban

1. Szorozzuk meg az input képet (-1)x+y értékkel, hogy a transzformált eredmény majd középre kerüljön, az (u = M/2 és v = N/2) (ha M és N páros, akkor az eltolás koordináták egészek)

2. Számoljuk ki F(u,v)-t, az (1) kép DFT-ját3. Szorozzuk meg F(u,v)-t H(u,v) szűrő fgv-nyel4. Számoljuk ki (3) inverz DFT-ját5. (4) valós részét tekintsük6. Az (5) eredményét szorozzuk meg (-1)x+y

értékkel, hogy a képet “visszatoljuk”


Szűrés frekvencia tartományban

FFT Kép spektrum

Szűrő maszk

Inverz FFT

Pixel-pixel szorzás

Szűrt spektrum

Szűrt kép


Pont alapú

Egyszerű intenzitás transzformációk

– Kép negálás– Log transzformációk– Hatvány

transzformációk (gamma korrekció)

– Kontraszt növelés– Intenzitás tartomány

kiemelés– Bit síkok kiemelése

Hisztogram alapú – Hisztogram

kiegyenlítés– Hisztogram illesztés

Aritmetikai/logikai műveletek

– Képkivonás– Kép átlagolás

Maszk alapú (ablakos szűrők)

Simító szűrők (részletek elmosása)

– Átlagoló, súlyozott átlagoló

– Gauss szűrő– Binomiális szűrő– Rank order szűrők (pl.

median)

Élesítő szűrők (részletek kiemelése)

– Élesítés– Felül erősítés – Differencia szűrők

• Laplace• Gradiens

• Szűrés frekvencia tartományban

• Simító szűrők (részletek elmosása)• Ideális alul áteresztő• Butterworth alul

áteresztő szűrő• Gauss alul áteresztő

• Élesítő szűrők (részletek kiemelése)– Élesítés– Felűl erősítés– Laplace– Ideális felül

áteresztő– Butterworth felül

áteresztő szűrő– Gauss felül

áteresztő szűrő• Homomorf szűrő


Notch filter

Ez a szűrő az F(0,0) értéket hangsúlyozza, ami a a kép átlagos értéke (a spektrum dc komponense)

Kiemelkedő élek az outputban Az output képet (annak negatív

és 0 értékei miatt) skálázni kell!


Különböző szűrők

Lowpass filter -alul áteresztőszűrő

Highpass filter- felül áteresztőszűrő

Band filter - sávszűrő

Homomorf szűrő (homomorphic filter)


Tipikus szűrőalakok

E: frekvencia tartomány W: képtartomány


Alul áteresztő szűrő (kép lassan változó komponensei) Ideális szűrő (ILPF)

– D(u, v): (u, v) pont távolsága az origótól– Vágási frekvencia (D0)– Fizikailag nem valósítható meg– Körkörösen szimmetrikus

Butterworth szűrők (BLPF)

Gauss-féle alul áteresztő szűrő


Simító szűrők frekvencia tartományban: Ideális alul áteresztő szűrő (ILPF)


Teljesítmény körök (power circles)


Példa - ILPF

Teljes teljesítmény spektrum

A teljesítmény spektrum nagy része relatíve kis körben helyezkedik el

Hirtelen vágási frekvencia miatt begyűrűzés


Begyűrűzés példa

Begyűrűzés (ringing)

Maszk: -1/8 1 -1/8 Input:

0 0 0 1 1 0 0 0 Output:

0 0 -1/8 7/8 7/8 -1/8 0 0


Teljesítmény százalékok99.9699.6599.0497.84


Butterworth alul áteresztő szűrő: BLPF


Példa - BLPF


BLPF térbeli reprezentációja


Gauss alul áteresztő szűrő: GLPF


Példa - GLPF


Példa - GLPF


Felül áteresztő (gyorsan változó komponensek: élek, zajok) Ideális felül áteresztő (IHPF)

Butterworth felül áteresztő (BHPF)

Gauss felül áteresztő (GHPF)


A felül áteresztőknél adjunk hozzá a szűrő magasságának ½-ét



Az IHPF, BHPF és GHPFfelül áteresztő szűrők térbeli reprezentációja


Példa: IHPF


Példa: IHPF


Példa: BHPF


Példa: GHPF

Élesítő szűrők

Homomorf szűrő


Homomorf szűrés

Egyszerű képmodell:– f(x,y): monokróm kép szürkeségi értéke (vagy más

szóval intenzitása)– f(x, y) = i(x, y).r(x, y)– 0 < i(x, y) < ∞, megvilágítás– 0< r(x, y) < 1, visszaverődés (reflexió)


Homomorf szűrés

A megvilágítás komponens– Térben lassan változik– Alacsony frekvenciás

Reflexiós komponens– Hirtelen változások, főként nem hasonló objektumok

találkozásánál– Magas frekvenciás

Homomorf szűrők (Homomorphic filters)– Az alacsony és a magas frekvenciákra eltérően hat– Az alacsonyfrekvenciák dinamikus tartományát

összenyomja– Kiemeli a magas frekvenciákban a kontrasztot


Homomorf szűrés


Példa – Homomorf szűrés


Ellenőrző kérdések

Kép Fourier spektruma mit jelent? Milyen egy függőleges vonal Fourier spektruma és miért? Mi történik a Fourier spektrummal, ha a térbeli

koordinátákat skálázzuk?


Intenzitástartományban

Frekvencia tartományban– f*g F(f)G(g)– Fázis? Amplitúdó nagyság?– Hogyan egészítsük ki 0-kal (pad)?

Praktikus megfontolások – konvolúció implementálása frekvencia tartományban





Documents

Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban