Fourier Tablas

CONVERGENCIA DE LASERIE DE FOURIER y

EL FENOMENO DEGIBBS

AAPENO ICE

A.1 CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

la sección 1.6se rnef}cí<.>na.foribievemep~eláá condiciones{epreseqíáCÍón .en S<lriede<Fourier deunaJunciónla serie irifínita ••.••~

PROBLEMA A.1 Si Sk(t) denota la suma de los primeros (2k + 1) términos de la seriede Fourier de f(t), es decir

1 k

Sk(t) ="2 ao + [ (an cos nwot + bn sen nwot),n=I

(A.2)

donde Wo = 2rr/T, y an y bn están dados por

21T/2

an = - [(t) cos (nwot) dt,T -T/2

(A.3)

21T/2

bn = - [(t) sen (nwot) dt,T -T/2

(A.4)

demostrar entonces que

2 JT/2

Sdt) = T [(x) ti, [wo(x - t)] dx,-T/2

(A.S)

donde Dk(Ü es el llamado "núcleo Dirichlet"; es decir,

12 sen - ~

2

CA.6)

247

248 Análisis de Fourier

So Iu ci ón: en las expresiones (A.3) y (AA), t es la variable comodín. Por tanto,

[2 jT/2 ]= - [(x) cos (nwo x) dxT -T/2

cos nwot

[2 JT/2 ]+ - [(x) sen (nwox) dx sen nwotT -T/2

2 JT/2

= - f (x) [cos (nwox) cos (nwo t) + sen (nwox) sen (nwo O] dxT -T/2

2 jT/2= - [(x) cos [nwo(x - t)] dx.

T -T/2

De esta manera,

1 k

Sk (t) = "2 ao + L (an cos nWot + bn sen nwot)n=1

1 lT/2 k 2 fT/2= T [(x) dx + L - [(x) cos [nwo(x - t)]dx

-T/2 n=1 T -T/2

= ~ fT/2 [(x) {~ + COS [wo (x - t)] + cos [2wo (x - t)]T -T/2 2

+ ... + cos [kwo (x - t)]} dx,

Hacer Wo (x - t) = ~ y considerar la suma

1Dk (O = - + cos ~ + cos 2~ + ... + cos k~.

2Utilizando la identidad trigonométrica, 2 cos Asen B = sen (A +B) - sen (A - B), seobtiene

2 sen .f Dk(~) = sen .f + 2 sen .f cos ~ + 2 sen .f cos 2~2 2 2 2

+ ..• + 2 sen .f cos k~2

= sen .f - sen .f + sen ~ ~ - sen ~.; + sen 2 ~2 2 2 2 2

- ... - sen [(k - +) e] + sen [0 + +) e]= sen [(k + ~ ) el

De esta manera,

Po- :JI

dOf.;:=

(A.7)

PROB!

¡

¡

jj So Iuci¡E resu!~~¡j~~~

(A.8) Ahora jj

lIf1 Por t2:".:~

i

II "un, e",

tambié.; =:en la \'3~...a

(A. e::

PROBLEMabsolutsrnsexiste 1" ~

que es 1::, s;

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs 249

Por tanto,

2 T /2 sen [(k + ~ ) cúo(x - t)]Sk(t) = - J f(x) ] dx

T -T12 2 sen [~ cúo(x - t)

2 JT/2

= T f(x) Dk[wO(x - t)] dx,_T /2

(A.IO)

12 sen 2 r;

PROBLEMA A.2 Demostrar que la relación (A.lO) se puede expresar como

sen [( k ~ !)0)OA]Sk(t) = 2 JTI2 f(t + A) 2 d X, (A.11)

T -T12 2 sen( t 0)oA)So I u ci ó n: haciendo el cambio de variables x - t por A en la relación (A.l O), elresultado es

sen [(k + ~ ) woA]

2 sen (~ woA)

T .

Sk(t) = ~ J2-' f(t + A)T T- __ c

2

d X, (A.12)

Ahora bien, por la relación (A.9), se tiene

(A. 13)

Por tanto,

2 sen (~ woA)es una función periódica en la variable A, con período T. Puesto que la función f(t + A)también es periódica en la variable A, con período T, el integrando de (A.l2) es periódicoen la variable A, con período T. Entonces, por (1.6), se puede expresar (A.l2) como

2 JTI2Sk(t) = T f(t + A)-T/2

que es la solución deseada.

PROBLEMA A.3 Sea f(t) una función periódica con período T, integrableabsolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de continuidad dondeexiste la derivada, la serie de Fourier de f(t) converge al valor f(t), es decir,

lim Sk(t) = f(t).k-'JoOO

(A. 14)

2


Solución: sea t un punto de continuidad de Jet). De acuerdo con (A.I!), se tiene

2 JTI2lim Sk(t) = lim T f(t + A)k -HX) k -HXl -T /2

d s;2 sen (l úJoA)

.2

Por (A.13), se tiene

dA ~L::: [~'t cos n ,voÁ] d Á

1 fT/2 k JT 12= 2" . d ); + [ cos (n (úoA) d ).

-T12 n=l -T12

T

2

d s. = 1

para cualquier valor de k.Por (A.l7), se tiene

2 JTI2f (t) = T f (t)

-T12d s:

Por (A.18) Y(A.l5), se obtiene

Considerar ahora la función

f et + A) - f (t)

Ag (A) = [(t -+ A) - [(l)

2 sen G 6JoA)Dado que Jet) tiene una derivada en el punto t,

f (l + A) - f (t)

Apermanece limitado a medida que A ---+ O.

Por otra parte, la función

2 sen ( ~ úJoA )

es continua para A 1= 0, Y se aproxima a l/wo a medida que A ---+ 0, puesto que

lirn sen e = l.8-'>0 e

----------- .....•.

(A.E

(A.lE

(A.l:-

(A.l8

d s, (A.19

(A.20;

::~. J

S:·~

1,,11!ij

i~,Ii~

T

.---...•.


Según estos resultados y dado que f(t) es integrable absolutamente, se sigue que la funcrón-> -g(t) defmida en (A.20), es integrable absolutamente. Entonces, por el resultado (1.79)del problema 1.19, se tiene,

2 J T/2lim Sk(t) - f(t) = lim - g(A) senk->= k->oo T

-T/2

(A.21)

Por tanto, lim Sk(t) = f(t).k->OO

PROBLEMA A.4 Sea f(t) una función continua por tramos, periódica con período T,e integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de discontinuidaddonde f(t) tiene una derivada de derecha y una de izquierda, la serie de Fourier de f(t)converge al valor

1- [I(t+) + f(t-»),2

donde f(t +) es el valor de f(t) justamente en el lado derecho de la discontinuidad, yf(t -) es el valor de f(t) justamente en el lado izquierdo de la discontinuidad; es decir,

lim SkU) = l [I(t+) + f(t-»).k->= 2 (A.22)

Solución: por (A.15), se tiene

2 JT/2

lim Sk(t) = lim - f(t + A)k->= k->= T

-T/2

....:.. ;

2 fO= lim - f(t + A)k->OO T

-T/2

sen [(k + ~) woA]

2 sen (~ woA)dA

2jT/2+ lim - f(t + A)k ->00 T o

dA. (A.23)

Puesto que el integrando en (A.17) es par, entonces de acuerdo con (2.13), se obtiene

llT/2 sen [(k + ~) woA]d ); = } fO sen [(k + ~) woA]

1(A.24)dA = -.

T o2 sen G woA) 2 sen G woA) 2-T/2

Por tanto, según (A.24), se tiene

1 2jT/2f (t +)

sen [(k + ~) woA]d s: (A.25)Ir -f(t+)=-

2 sen G woA)2 T o


De esta manera,

2 IT/2

lim - f(t + A)k ...•oc T o

1d ); - - f(t+)2

2 IT/2

= lim - [f(t + A) - f(t+)]k ->00 T o

d s . (A.26)

Considérese ahora la función

f et + A) - f (t + )A

Puesto que J(t) tiene una derivada en el lado derecho en t,

f(t + A) - f(t+)

AA> 0,

permanece limitado a medida que A. -4- 0, Y la función

(A.27)

2 sen (~ woA)también es limitada. Como en el caso donde J(t) es continuo, se concluye que la funcióng(A.) es íntegrable absolutamente en el intervalo [O, T/2]. De esta manera, por (1.79),se tiene

limk->oo

2 iT/2

- f(t+A)T o

1dA--f(t+)

22 sen (~ woA)

= ;~moo ~ 1T /2 g eA) sen l(k + ~) úJoA ] d):= O.

Por tanto,

21T/2

lim - fet + A)k ->00 T o

1d ); = - f(t+).2

Análogamente,

o sen [(k + ~ ) woA]lim 1.. f f et + A) 2k ...•oo T (1 )

-T /2 2 sen 2" úJoA

1d ); = - fet-).

2

Por tanto, según (A.29), (A.30) Y(A.23), se obtiene

lim Sket) = 1:. [fet ,) f(t-)].k ...•oc 2

(A.28)

(A.29)

(A.30)

pa~da•...•CüIDjj

!prÍ4l:l

PR03(fj5"_::-i

So I uecua í:-a

ESE sedisc,:=:

l\IIL


A.2 EL FENOMENO DE GIBBS

{-l -17<t<0

f (t) =1 0<t<17

r-I,I • tf2/T,II

PROBLEMA A.5 Considérese la onda cuadrada de amplitud uno y período 21T(figura A.l), es decir,

(o) (b)

Analizar la suma de un número finito de términos de la serie de Fourier.

Solución:cuadrada es:

Figura A.1 La onda cuadrada delproblema A.5.

según el resultado del problema 1.10, la serie de Fourier de la onda(haciendo Wo = 21T/T= 1)

4 ( 1 1f (t) = - sen t + - sen 3 t + -17 3 S

sen S t + .. ). (A.31)

Esta serie no muestra uniformidad en la convergencia de la serie de Fourier, cerca de ladiscontinuidad. En la figura A.2 se ilustran aproximaciones sucesivas.

f(t)

f (1)

Si (t) = ± sen I17

4 ( 1 t)S2 (1) = - sen t + - sen -17 3 3

-.¡

f (1)

17

4 ( 1 I 1S (t) = - sen t + - sen - + - sen3 17 3 3 5

le)

~)Figura A.2 Las tres primeras sumas fi nitas de la serie de Fourier, en la onda cuadrada de la figura A.1.

Considérese ahora la suma de un número finito de términos, de la serie Sk(t). Según(A. lO), esta suma está dada por (T= 21T,Wo = 21T/T= 1)

~ ••••••••••••••••••••••••••••••••••__(4


sen [(k + 1:.) úJo(x - t)]2 fTI2 \ 2Sk( t) = - [(x) dx

T -T/2 2 sen [1 úJo(x - o]rr sen fl(k + 1:.) (x - t)]

= ~ { [(x) ~ 2 dx2" J.. [1]_7' sen "2 (x - t)

se :_~

1 r"2 tt .l,

sen [(k + ~) ex - O]sen [~ (x - o]

1 o sen [(k + 1)(X' - t)] ,dx - 2;; 1." sen [-21 (x _ t)] dx .

(A.32)

Sustituyendo x - t por y, Y t - x' por y', se obtiene Sus; ::

1 l'2" 7T+t

dy", (A.33)

Esto es así, porque

dori:Sifl~ =

dy' = =dx",

sen [(k~~)(-Y')]=-sen [(k+1)ylsen U (-Y')] = -sen [~ y,] ,

S

de S,. :1 y: ;..::inúrre.r;

Puesto que

J-_I 1/ l' J"'_I l-cr-, l' l' 177

-'-+- = + + + = +-t -:;+t -t t ;¡+t TI-t -t -n+t

Aur.c ,einfer.tr

se puede expresar (A.33) como

sen [(k ~ ~) y]sen ( ~ y)

1 irr-,dy +-

2;711+t

dy. (A.34)

En la vecindad de la discontinuidad, es decir, t = 0, se evalúa la primera integral en laregión donde y = O. Aplicando la regla de L 'Hospital, se obtiene el valor del integrandoen y = 0, como

= 2k + 1.

y=ü

La segunda integral se evalúa en la región donde y = 1T, El integrando de la segundaintegral en y = 11 es (- l)k. Se puede despreciar la contribución de la segunda integralen comparación con la contribución de la primera. Por consiguiente,

..... - _------

_________________ """~I!'!I'I~'~·

Convergencia de la serie de Fauna y el fenómeno de Gibbs

(A.35)

puesto que el integran de es par en y.Como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad, es decir, t = O, Y

. sen el irn -- = 1,:3-; o o

se puede reemplazar sen l/2y por l/2y, y obtener

sen

1-v2 .dy. (A.36)

Sustituyendo (k + l/2)y por Z, se tiene

2 ICk+ 1/2)1 sen CSk(t) = - --- dC =

Ti o (-(A.37)

donde Sj(Y) es la función seno-integral comentada en el problema 6.34. Puesto queS¡(O) = O, Y S¡(oo) = 11/2 (ver el problema 6.34),

Sk(O) = O,

lim Sk(t) = 1.k400

Según la gráfica de S¡(y) (figura 6.18) y figura A.2, se observa que en t = Oel valorde Sk(t) es cero; luego asciende rápidamente a medida que t aumenta, sobrepasa el valor1 y oscila alrededor de la línea f(t) = 1, con amplitud decreciente. A medida que elnúmero de los términos aumenta, la curva resultante oscila con frecuencia creciente yamplitud decreciente; a ambos lados de las discontinuidades hay sobrepaso de curvas.Aunque la magnitud del pico no disminuye a medida que k aumenta, hay un límiteinferior de 9% de sobrepaso aun si k --* =.

-- --=-

B RELACION ENTRE LASTRANSFORMADAS DEFOURIER y LAPLACE

APENDICE

B.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICASDE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PROBLEMA B.1 Hallar la transformada de Laplace del escalón unitario

{1, t > O

f (t) = u (t) =O, t < O.

So Iu e ió n : utilizando la definición B.1, se tiene

F(s) = ¡:[u (t)] =1"" e-si dt =_! e-sl\""'=!.o s o s

(B.4)

(B.5)

PROBLEMA B.2 Hallar la transformada de Laplace de

f (t) = {eíXI, t > O

O, t < O,(B.6)

donde a es una constante.

256

S"I

-.--..~'--

Se]

PRO

Y_:l

PRoa

So lee

~---------------------"-.'~'.,.".~

Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace 257

So I uci ón: utilizando la definición (B.l), se obtiene

F es) = f:. [elXt] = {'Xl elXt e-st dt = ("" e-(s-lX)t dt = _1_, Re [s] > a. eB.7)Jo Jo s - a

PROBLEMA B.3 Si fl (t) y f2(t) son dos funciones del tiempo, y al ya2 sonconstantes, demostrar que

f:. [aJ, et) + a2 f2et)] = a, f:. [t, (t)] + a2 f:. [[2 (t)] = al F 1(s) + a2F2(s). (B.8)

So Iuci ón: utilizando la definición (B.l), se obtiene

f:. [al flCt) + a2 f2(t)] = fXl [al f,(t) + a2 [2 (t)] e-si dt

= al 100

flet) e-st di + a21°O [2et) e-st dt

= al f:. [tI et)] + a2 f:. [i2(t)]

= al FI(s) + a2 F2(S).

PROBLEMA B.4 Hallar la transformada de Laplace de

{cos cot, t > O

i (t) =O, t < O.

(B.9)

,{B:..1j So I uci ó n: por la identidad e±júJl = cos co t ± j sen cot, se tiene

1 '1 'wtcos cot = - (e'úJ + e-' ).2

Utilizando el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene

f:. (ejwt] = _1_,_, f:. [e-júJt] = _1_,_, Re [s] > O.S-JúJ S+JúJ

(B.10)

y utilizando (B.8), se obtiene

f:. [cos úJt] = 1. [_1_ + _1_] = s ,Re [s] > O.2 s -júJ s tjúJ S2 + úJ2

eB.ll)

ia..-PROBLEMA B.5 Si f:.[f(t)] = F (s), hallar la transformada de Laplace de

dl (t)

dt

So I u e ió n: por definición,

f:. [di et)] = ("" di e-st dt ,dt Jo dt

integrando por partes, se obtiene

f:. [~:] = [t(t) e-str; + s 100

l(t) e-si dt .

• ~¡ _ •••••.•••••~ .•__ ~_"O.r _ _' -- • •• • - - - : ~ ~::::


Puesto que para Re [sl > O, lim [f (t) e-sIl = O,I-+ex>

5'! [~:] = sF(s) - feO). (8.12)

PROBLEMA B.6 Hallar la transformada de Laplace del impulso unitario b(t).

Solución: en el problema 2.27 se demostró que

8 (t) = du (t) .dt (8.17)

Utilizando esto en conjunto con (B.12) y (B.5), se obtiene

5'! [8 (t)l =o 5'! [d:;t)]= s 5'! [u (t)1- u(O)

1=o s - - u (O)

s

= 1- u (O). (8.18)

Obsérvese que en la definición de u (t), dada en (B.4), u (O) no esta definida. Si se utiliza(B.16), entonces

f[8(t)] =o l-u(O+).= 1-1 = O, (8.19)

mientras que si se utiliza (B.14), entonces

f [8 (t)] = 1 - u (0-) = 1 - O = 1. (B. 20)

Como en el caso de la transformada de Fourier, es conveniente tener

5'! [8 (t)1 = 1. (B.21)

De esta manera, se observa nuevamente una ventaja en seleccionar O - como el límiteinferior, de la integral que define la transformada de Laplace.

PRO

Se i,

de::l

sor:;¡¡

~..

PROsa

-------------------------- ........••.•~~~

Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace 259

PROBLEMA B.7 Si f[f(t)] =F(s), hallar la transformada de Laplace de

l~f('r)dT.

So I ución: sea

• esti.la

g(t) = fl f('r) d ; ._00

(8. 22)

entoncesdU3)

d~;t) = f (r),

tB..14)de tal manera que mediante (B.14), se obtiene

sG(s) - g(O-) = F(s),

donde G (s) = .s::[g(t)]. Por el resultado (B.23), se tiene

1 1G(s) = - F(s) + - g(O-).

s s

(B.23)

(B.24)

(lBS) Dado que g(O-)=JO

- f('r)dT, entonces_00

fB._16J[{

I ] 1 1 fO-~ _00 f(T)dT = -; F(s) + -; _00 fe'r)dT. (B.25)

B.2 RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADASDE FOURIER y LAPLACE

PROBLEMA B.8 Si f(t) es causal, es decir,

f (r) = O para t < O,

100

I f(I)! dt < "",

(8.29)

(8.30)


entonces, demostrar que

J[f(t)] = ~[f(t)]s=jw'

So I uci ón: por la definición (B.28), se tiene

J [f (t)] = 1:f (t) e-jWt dt

(B. 31)

o 100

=J f (t) e-jWt dt + f (t) e-jWI dt_00 o

= Loo

f (t) e-jWI dt (B.32)

dado que f(t) = O, para t < O.La transformada J [f(t)] existe si se cumple la condición (B.30). Comparando

(B.32) y (B.27), se obtiene

. PROBLEMA B.9 Utilizar (B.31) para encontrar la transformada de Fourier de

f(t) =r,t > O0, t < 0,

donde a> O.

Solución: puestoquef(t)=O,parat<O y a>O,

('>O ¡ f(t) Idt = 100

e-exl dt = _1 e_exlloo

= 1 < 00,

Jo o ex o ex

y se puede aplicar (B.31). Por el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene

~[f(t)] = _1_.s+ex

Por tanto, según (B.31), se tiene

J[f(t)] = _1_1s + ex s=jw

1 (B.33) Sus:::=¡jCú + ex

que es exactamente el resultado obtenido en (4.47).

PROBLEMA B.10 Demostrar que la transformada de Fourier del escalón unitario u (t),no se puede encontrar a partir de (B.3I).

Solución: puesto que

f'" ¡u (r)] dt =100

1dt = 00,

'PRoa'(se V:¡,a

.•'$oluc

"se d~'7;[tona¡'1;nyen:a,5l,ara "3

la condición (B.30) no se cumple; por tanto, (B.31) no se puede aplicar. En efecto, segúnlos resultados del problema B.l y problema 5.9, se tiene

~ [u (t)] = !s

y J [u (t)] = TTO (oi) + -.L.jCú

PROBLEMA B.11 Si

f"" 1 f (t) i dt < 00 I

_<>O

demostrar que

1[f(t)1=~::'

:f[f(t)~ ~;::::

E = _

Solución: mediante (B.:S¡. S~ ,i~:-.;:

~f:f (1;: = j"X f (1) e-i,--,dt

_x

000 IO= 1 f (t) e-j0JI dt + f (1) e-i(,.;t dt .

° _00

(8.36)

Si i: I f (t)! di < 00, entonces existe 1"" f (t) e±i'-.I di y es igual a

5: [f(I)ls=:¡:iw'

Si f(t) es par, es decir, f(- t) = f(t), entonces, cambiando las variables de integración,se tiene

JO f (t) e-iw1 di = r" f (- T) eióJ' dT_00 Jo

= L'" I(T) e-(-iW)'r dT

(B.37)

Si f(t) es impar, es decir, f(- t) = - f(t), entonces

JO f (t) e-;-iwt dt = 1= f (- T) e'':" dT_00 °

= -100

f (T) e-(-iW)< dT

= -5: [f(I)]s=-iw'

Sustituyendo (B.37) y (B.38) en (B.36), se obtiene

1 [f(t)l = 5:U(t)]s=iw + 5:[f(t)ls=_iw si 1(-1) = f(I),

~[f(t)J = 5:U(t)ls=iw-5:[f(t)L=_iw si f(-t) = -f(t).

(8.38)

<!}tq~~tieae,v~or~li~~¡r~egatívo "no"ofmada inversa de .

, ::3::-{:-:-~

--;.- ~".;.;..:::;

.. ,;;


•

Forme 1

Form¿2;

Forme 1:

Para": e"

Fórrnutes

Para ': =:

Para 1:

TRES FORMAS DE LASSERIES DE FOURIER

Forma 1: trigonométrica

F (t) = ao +2

00

[

Forma 2: trigonométrica00

[U)= e, + [ en cos(nwot- en)·n=l

Forma 3: exponencial compleja00

[(t)= [ cneinWoí.n=-OO

Para todas las formas anteriores

[(t + T) = f(t), 217wo = - .T

Fórmulas de conversión:Para n -:/= O,

.J. -1 ( bn)'Pn = tan - - ,an

an = 2 Re [en] , b« = -21m [en] ,

en = 21cnl = Va~+ b~, en = tan " (!:) = -CPn·

Para n == O,

263

eAPENDICE

D RESUMEN DE LASCONDICIONES DESIMETRIA

APENDICE

Resumen de las condiciones de simetría para ondas periódicas y coeficientes de Fourier.

Tipo de simetría Condiciones Formas de las series de Fourier Fórmulas de los coeficientes de Fourier

"" T/2

Par ((t) = f(-t) {(t)=~+ L 8n cos núlo t 8n=tI {(t)cos(nw,tldt2

n=1 o

oc TI2

Impar {(r) = -{(-t) {(t) = L bn sen nw, t i; = ~J {(r) sen (nw.t)dtn= 1 •

ec

{(t) = L [82n_1 cos (2n - 1) w, t82n_l} JTI2 {COS

Media onda {(r) = -{ (t + f) n=1 = ; l(t) [(2n-1)w,t]dt

+ b2n_1 sen (2n - 1) w. t] b2n_1 • sen

{(r) = {(-t) Y ec TI'I Cuarto de onda par

{(e) = -{(t + f) {(I) = L 82n_1 COS (2n -1)wor 82n_1 = ~ J l(r) cos [(2n -1)w.tl dti n=1 •

{(t) = -{(-e) y"" TI'

I

Cuarto de onda impar{(c)=-l(t+t)

{(e) = L b2n_1 sen (2n _1) Wo t b2n-l=tI l(t)sen[(2n-1)w.t]dt"=1 •

264._._._-_._--~-----------------

PROPIEDADES DE LATRANSFORMADA DE

FOURIER

EAPENO ICE

Las funciones son periódicas con período T a > O' b t Y, " oWo = 21T/T, son constantes reales, con n = 1,2, ....

f(t)

E (al)

E (-1)

E(I) sen wat

Ee (1) = 1[¡(t) + [(-1)]2

E(I)= Ee(t)+Eo(t)

F (1)

E' (1)

tJ E(x)dx_00

-jIE(I)

E,(I) * [2CI)=f"" E,(X)[2(t-x)dx-00

26.5

_1 F(22)la! a

F (-w)

R(w)

jX(w)

2rrE(-w)

jwF (w)

~ F (w) + n F (O)8(w)JW

F' (w)

dO<

",::11 •••••••

.A ••

""' ..,


((t) F(w)

1jw + a

2a

{1 para ¡ti < a/2

p (t)=a O para iti > a/2

sen ~T)a (~a)

sen al17t

te=:' u(t) 1(jw + a)2

n-lt e-a,uCt)(n - 1)'

1

e- at sen bt u (1) b

e-at cos btu (t) JW + a(jw + a)2 + b2

1a2 + 12

cos bta2 + t2

17 [e-alúJ-bl + e-alúJ+bIJ2a

17 [e-alúJ-bl_e-alúJ+bIJ2aj

0(1)

0(1 - lo)

8 '(l)

oen) (t)

1

jw

(jw)n

170(W) + ljw

rro(w) +...L e-júJto

jw

u (t)

1 2rro(w)

2 tt j o '(w)

2rrr oen) (w)

I.r

Propiedades de la transformada de Fourier 267

f et) F (or) /

~---

27TO(W - wo)

. 7T[O(W - wo) -t- o(w + wo)l

-j7T[O(W -wo) - o(w +:dJ'~)]

t u (r )

1t

1tn

sgn t

00°T(t)= L o(t-nT)

n::: -00

7Tj-27Tj u(w)

(_jw)n-I--- [7Tj -27Tj u(w)]

(n -1) I

2jw

oc

woowo(w)=wo L o(w-nwo)n=-oo

Otras propiedades:

J<Xl f(x)G(x)dx =Joo F(x)g(x)dx.

_<Xl -00

/it((:.~.'!I!I'i"

an

}bn

ena(t)

Bed

DkmE

EkJJ(t)IIJI12F(w),F(jw)

Fc(w)

IIFI12

G

h(t)H(p)H(w),H(jw)

k

K

FAPENDICE

LISTA DE SIMBOLOS

Coeficientes de Fourier

Respuesta al escalón unitario

Coeficiente de amortiguación

Capacitancia

Duración de un pulsoNúcleo de Dírichlet

Contenido de energía; esperanza

matemática

Error cuadrático medio

FrecuenciaFunción del tiempo

Contenido de energía de J(t)Transformada de Fourier de J(t)

Transformada coseno de Fourier

de J(t)Transformada seno de Fourier

de J(t)Contenido de energía de

F(w)ConductanciaRespuesta al impulso unitario

Función operacional del sistema

Transformada de Fourier de h(t);

función del sistema

CorrienteAmplitud del fasor que representa

la corriente ¡(t)Constante de Boltzman; constante

del resorte

Conductividad térmica

k2, kx, ... ' kmn Constante de separaciónL Inductancia; operador lineal

m

m(t)

n(t)pp(x),p(x,y)

pP(x),P(x,y)

P(w)

RR(w)

Rll ,R22, •••

R12,R21, •••

Rll,R22, •••

t

T

t

268

MasaMomento enésimo de X

Mensaje

Ruido

El operador di dtDensidad probabilistica o

función de frecuencia

Pulso rectangular de

amplitud unitaria

y duración d

PotenciaFunción de distribución

probabilisticaDensidad espectral de potencia;

espectro de potencia

ResistenciaParte real de F (ce)

Funciones de auto correlación

Funciones de correlación

Funciones de auto correlación

promediasFunciones de correlación

promediasFunción seno integral

Función muestreadoraSuma de los primeros (2 k + 1)

términos de la serie de

Fourier de J(t)

TiempoPeríodo de una función

periódica; temperatura;

tensiónCentro de gravedad del área

bajo la curva J 2 (t)

J..

).- .:

y -,

z -

ti

1~-5:.1.ie simbc ios ~~~

t, Tiempo de ascenso Ek Error entre Jet) y Sk(t)Td Duración efectiva del pulso 8 Angulo de faseu Deflexión del cordel o de la A. Longitud de onda

membrana: potencial p Densidadelectrostático; distribución

a Desviación estándarde temperatura

<P Función característica;u (t) Función escalón unitario

ángulo de fase;v, V Voltajefunción de prueba

Vm Amplitud del fasor que representa<Pm Indice de modulación

al voltaje v (t)w Frecuencia angularx Desplazamiento; variablew Centro de gravedad del

X Variable al azarárea bajo la curva

X(w) Parte imaginaria de F (w)IF(w)12

Y(p), Y(jw) Admitancia J, (Je, Js) Transformada de FourierZ(p),Z(jw) Impedancia

(coseno, seno)Constante de Atenuación cr -1 CJ -1 cr -1

Transformada inversa dea

~ '(~e'~s){3 Constante de faseFourier (coseno, seno)

an, (3n Coeficientes de Fourier .f, Transformada de Laplace'Y Constante de propagación .f,-l Transformada inversa deo(t) Función delta o impulso

Laplaceunitario .f,u Transformada bilateral de

°T(t),Owo(w) Tren periódico de impulsosLaplace

unitarios Re La parte real deM Dispersión en el tiempo

1m La parte imaginaria deiI; LlW Ancho de banda

')

•

'.li

•

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Fourier Tablas