FORTBILDUNGSREIHE: MATHEMATIK FORSCHEND ......WAS STECKT DAHINTER? 3. ZUR DIDAKTIK DES DREISATZES Verhältnisse • mathematisch ausgedrückt durch Quotienten zwischen zwei Werten

mascil. mathematics and science for life

Prof. Dr. Katja MaaßDr. Karen Reitz-Koncebovski

Dr. Patrick Bronner

FORTBILDUNGSREIHE:

MATHEMATIK FORSCHEND VERSTEHEN UND ANWENDEN

2. FORTBILDUNG AM 07.04.2014

www.mascil.ph-freiburg.de29.04.2014

ZIEL HEUTE


Orientierung am Erwartungsbaum

• Methoden und Impulsefür den Unterricht

• Austausch mit Kollegen

• Hilfsmittel um das Mathe Verständnis zu fördern


THEMENWÜNSCHE


Themenbereich forschendes Lernen• Heterogenität und Differenzierung• Leistungsbewertung

Mathematisches Thema• Dreisatz• Prozentrechnung • Umrechnung von Größen


DAS PROGRAMM FÜR HEUTE


1. Austausch und Reflexion der Unterrichtserfahrungen

2. Heterogenität und Differenzierung

3. Zur Didaktik des Dreisatzes

4. Differenzierung beim Dreisatz

5. Austausch und Planung von Unterricht


BESPRECHUNG HAUSAUFGABEN

1. REFLEXION DER UNTERRICHTSERFAHRUNG

a) Vorstellung von zwei Tandembesuchen

b) Erprobte offene Aufgaben

c) Austausch zu den gemachten Unterrichts-Erfahrungen mit offenen Aufgaben

d) Terminabsprache dritter Fortbildungstag


a) VORSTELLUNG VON TANDEMS


Welche zwei Tandems können ihre Unterrichtsbesuche zu offenen Aufgaben vorstellen?

• Wie lautete die Aufgabenstellung?• Besondere Elemente der Stunde?• Was habe ich als Besucher in der Stunde

mitnehmen können?


b) ERPROBTE OFFENE AUFGABEN


Welche offene Aufgabe haben Sie erprobt?

Ziel: Aufgabensammlung erarbeitenBeschreibung der Aufgabe auf Formblatt

Vorstellung: Präsentation von 3 Aufgaben(Schule: Zufalls-Auswahl)Kopie der Blätter als Aufgabensammlung für alle


c) AUSTAUSCH ZU ERFAHRUNGEN


Fragen:1) Welche positiven Erfahrungen haben

Sie gemacht?2) Welche Herausforderungen gab es?

Methode: Ich – Du – WirEinzelarbeit – Partnerarbeit – Gruppenarbeit

Ziel: Gemeinsamkeiten herausarbeitenPräsentation: Vorstellung der Gruppenergebnisse


d) TERMINABSPRACHE


Mögliche Termine für den 3. Fortbildungstag:Dienstag, 7. Oktober 2014Mittwoch, 8. Oktober 2014Donnerstag, 9. Oktober 2014

Ihre Wahl?










Ein Beispiel aus dem Schulalltag:

Nicht verstanden?

Dann rechne noch acht weitere Aufgaben!

Schon fertig und alles ist klar?

Dann rechne noch acht weitere Aufgaben!

Das bringt doch nichts!

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNG


Übersicht


a) Was bedeutet Heterogenität und Differenzierung?

b) Differenzieren mit offenen Aufgaben

c) Differenzieren durch Metakenntnisse der Modellierung

d) Differenzieren mit gestuften Hilfen für Lehrer


Heterogenität• Heterogenität bezeichnet die Unterschiedlichkeit der Schüler

hinsichtlich verschiedener Merkmale

• Dreigliedriges Schulsystem:Vermeiden von Heterogenität

• In der Unterrichtspraxis sieht es ganz anders aus!

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGa) Bedeutung?


Empirische Untersuchungen:

Streuung der Mathematikleistungen innerhalb von Klasse 9 in Brandenburg (Mittelwert + 1 Standardabweichung)



Was kann man dagegen tun? Differenzieren!

• Umfasst alle möglichen Strategien, der Unterschiedlichkeit der Lernenden gerecht zu werden

• Hat das Ziel, jede Schülerin und jeden Schüler auf ihrem Niveau möglichst optimal zu fördern

• Erfordert Auflösung des Lernens im Gleichschritt in vielerlei Hinsicht



Wie kann man differenzieren?• Differenzierungsebenen:

Aufgaben, Methoden, Hilfen, Offenheit, …

• Differenzierungsaspekte:Lerntempo, Zugangsweisen, Anspruchsniveau, Lernziele, soziale Bedürfnisse, Vorwissen, …

• Differenzierungsstrategien:a) Geschlossene Differenzierung

Vom Lehrer gesteuertb) Offene Differenzierung

Vom Schüler gesteuert




Methoden und Konzepte zum Differenzieren

Concept‐MapMind‐Map

Aufgaben mit unter. Niveau

Lernprotokoll,Lerntagebuch

Gestufte Hilfen für Schüler

Checklisten, Kompetenz‐

raster

Offene Aufgaben PlacematBlüten‐

aufgabe

Gruppen‐wettbewerb

LerntempoDuett

Pflicht und Wahlaufgaben

Schüler wählen

Sozialform

Forschendes Lernen


Wunsch nach Methodenvielfalt:

• Allgemeiner Methodenordner in ihren Unterlagen (Studienseminar Koblenz)

• Barzel, Büchter, Leuders (2007):Mathematik Methodik. Berlin: Cornelsen Scriptor

• Methoden zum Differenzieren anhand von Aufgaben zum Thema „Dreisatz“ am Nachmittagund bei der nächsten Fortbildung

• Reflexion zum Thema Differenzieren am Ende des Kapitels

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGe) Differenzieren mit Methoden

Platzdecke(Placemat)


Übersicht







Zwei Aufgaben zum Ausprobieren:Aufgabe 1: Erarbeitung Volumenformel:

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGb) Differenzieren mit offenen Aufgaben


Zwei Aufgaben zum Ausprobieren:Aufgabe 2: Zeitungsmeldung



Arbeitsauftrag:


• Wählen Sie eine Aufgabe: Dreiergruppen an Tischen.

• Finden Sie eine Lösung zu der Aufgabe.

• Untersuchen Sie, inwiefern diese Aufgabenstellung differenzierend ist.

• Wie sollte die Aufgabenstellung erweitert werden, dass jeder Schüler mit der Aufgabe etwas anfangen kann?

• Wie würden Sie die Aufgabe für Ihren Unterricht verändern?

• Präsentation der Ergebnisse


SCHÜLERLÖSUNGEN:

Aufgabe 1: Erarbeitung Volumenformel

Aufgabe 2: Zeitungsmeldung



Zusammenfassung• Offene Aufgaben sind von Grund auf selbstdifferenzierend

• Jede/r Schüler/in kann eine offene Aufgabe mit seinem Lerntempo, seinem Vorwissen, seinem Zugang und seinem Anspruch bearbeiten

• Jede/r Schüler/in hat ein Ergebnis und einen Erfolg

• Durch Präsentationen lernen die Schüler andere Zugänge, Niveaus und Ansprüche kennen

• Konzept fördert das logische Verständnis und die Kompetenzen der Schüler



Übersicht







Modellierungskreislauf

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGc) Differenzieren durch Metakenntnisse

1. Eigene Fragen zum Sachverhalt

stellen.

2. Modell der Situation erstellen

3. Eine Lösung finden und diese genau begründen.

4. Die Lösung und den Rechenweg überprüfen.

Vereinfachen:Problem erkennen, skizzieren, Informationen besorgen, abschätzen, strukturieren

Mathematik benutzen:Variablen und Konstanten festlegen, Lösungsweg überlegen, mathematisch begründen

Überprüfen: Was bedeutet die Lösung?Ist das Ergebnis sinnvoll? Vergleich mit bekannten Werten.

Kommunizieren:Passt der Antwortsatz zur Frage? Wie präsentiere und verteidige ich meine Lösung?


Modellierungskreislauf (einfach)



Vorteile Modellierungskreislauf:

• Orientierung für Schüler: „Was muss ich als nächstes tun?“

• Orientierung für Lehrer: „Wo sind die Probleme meiner Schüler?“

• Möglichkeit um schwierige Schritte zu üben

• Grundlage für Bewertungsschema für Noten(Einheit bei der nächsten Fortbildung)



Übersicht







Gestufte Hilfen:

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGd) Differenzieren durch gestufte Hilfen

4) Inhaltliche

Hilfe

3) Strategische Hilfe

2) Rückmeldehilfe

1) Motivationshilfe


Hilfe entsprechend der Pyramidenstufe:1) Motivationshilfen- „Du wirst das schon schaffen!“- „Versuch es doch mal!“

2) Rückmeldungshilfen- „Du bist auf dem richtigen Weg!“- „Da musst du noch mal nachrechnen!“

3) Strategische Hilfen- „Lies dir die Aufgabe genau durch!“- „Mache dir eine Skizze!“- „Schreib dir die gegebenen Größen heraus!“- „Was ist denn gesucht?- „Hast du schon mal eine ähnliche Aufgabe gelöst?“

„Welche Angaben fehlen dir noch?“

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGd) Differenzieren mit gestuften Hilfen


Hilfe entsprechend der Pyramidenstufe:

4) inhaltliche Hilfen– Stelle einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Werten her!“– Welche Dinge musst du für eine Katze nur einmal kaufen, welche

musst du immer wieder neu kaufen?– Schätze die Höhe des Sprungstabes durch Vergleich mit der Größe

des Mannes.

Inhaltliche Hilfen so wenig wie möglich geben, um Schüler zum selbständigen Arbeiten und Denken zu „erziehen“.

2. HETEROGENITÄT UND DIFFERENZIERUNGd) Differenzieren mit gestuften Hilfen


Übersicht





d) Differenzieren mit gestuften Hilfen

Reflexion


Reflexion zum Differenzieren:


Placemat










Aus dem Zahlenteufel (Enzensberger)

3. ZUR DIDAKTIK DES DREISATZES

Robert: Und zweitens hasse ich alles, was mit Mathematik zu tun hat.Zahlenteufel: Warum denn das?Robert: Wenn zwei Bäcker in sechs Stunden 444 Brezeln backen, wie lange brauchen dann fünf Bäcker, um 88 Brezeln zu backen? – So ein Blödsinn, schimpfte Robert weiter. Eine idiotische Art, die Zeit totzuschlagen…


Übersicht


a) Einstieg: Wie würden Sie diese Aufgabe lösen?

b) Lösungsstrategien

c) Ein Blick in Schulbücher: unterschiedliche Vorgehensweisen

d) Aufgabenbeispiele untersuchen


Wie würden Sie diese Aufgabe lösen?


Für eine Urlaubsreise muss Frau Fuchs 40 % der Reisekosten anzahlen. Das sind 720 €.Wie teuer ist die Reise?Schreibe auf, wie du gerechnet hast.

… oder wie würden Ihre SchülerInnen vermutlich die Aufgabe lösen?


Übersicht







EIGENSCHAFTEN PROPORTIONALER ZUORDNUNGEN


Quelle: Hafner, T. (2013). Wer löst das über Verhältnisse? Lösungsstrategien bei proportionalen Zuordnungen. – In: Mathematik lehren, Heft 179, S. 14-16

(1a) Additionseigenschaft


MÖGLICHE LÖSUNGSSTRATEGIEN


am Beispiel der Aufgabe:

6 kg Äpfel kosten 10,80 €. Wie viel kosten 4 kg (1 kg, 2 kg, …) Äpfel?


(1) OPERATOR-STRATEGIEN



─ ableitbar aus der Vervielfachungseigenschaft (zur k-fachen Menge gehört der k-fache Preis) und der Proportionalität (Preis = Menge mal Proportionalitätsfaktor):

10,80€ ∶ 7,20€

10,80€ ∶ 1,5 7,20€

10,80€ ∶ 6 ∙ 4 7,20€

10,80€ ∙ 4 ∶ 6 7,20€


(2) DREISATZ-STRATEGIEN



─ ebenfalls ableitbar aus der Vervielfachungseigenschaft (zur k-fachen Menge gehört der k-fache Preis) und der Proportionalität (Preis = Menge mal Proportionalitäts-faktor):

6 ≙ 10,80€ 6 ≙ 10,80€

1 ≙ 1,80€ 2 ≙ 3,60€

4 ≙ 7,20€ 4 ≙ 7,20€


(3) BRUCHGLEICHUNGEN



─ ableitbar aus der Quotienten-und Verhältnisgleichheit:


WAS STECKT DAHINTER?


Verhältnisse• mathematisch ausgedrückt durch Quotienten zwischen zwei Werten• ein Konzept, das verschiedene Bereiche der Mathematik durchzieht,

z. B. Brüche, Prozentangaben, Chancen und Wahrscheinlichkeiten…Zur Erinnerung:Bruch als Verhältnis ─ Beispiel Saftmischung:

Illustration aus: Barzel, B./Kleine, M. (2013). Verhältnisse. Ein Thema quer durch die Schulmathematik. – In: Mathematik lehren, Heft 179, S. 11


Übersicht







Ein Blick in Schulbücher


Vorgehensweise 1:Starke Orientierung an Regeln




Vorgehensweise 1:Starke Orientierung an Regeln




Vorgehensweise 2:• Zuerst Aufgaben mit intuitivem Zugang zu proportionalen

Zusammenhängen• Flexible Darstellungsweise in einfachen Tabellen• Abgrenzung zu nicht proportionalen Situationen anhand

von Beispielen und Gegenbeispielen• Erst danach formale Einführung (Definitionen proportional,

antiproportional) und Entwicklung von Rechenverfahren wie z. B. Dreisatz (Rechnen mit Zwischenschritt)


Intuitiver Zugang aus der Erfahrungswelt der SchülerInnen

3. ZUR DIDAKTIK DES DREISATZES:

Auf dem Markt sieht du verschiedene Preisschilder für Obst. Welche Obstsorte ist am billigsten, welche am teuersten?

Quelle: MatheNetz, Kl. 7 (2000)


Intuitiver Zugang – einfache Tabelle


Währungen umrechnen

Quelle: Mathewerkstatt Bd. 2, Kl. 6


FLEXIBLES „HOCH- UND RUNTERRECHNEN“


Hotelpreise berechnen

Quelle: Mathewerkstatt Bd. 2, Kl. 6

Eine Übernachtung kostet 36 €. Wie viel kosten 2, 5, 10, … Übernachtungen?


EMPFEHLUNGEN


• Keine enge Führung auf den Dreisatz• Erfahrungswelt der SchülerInnen nutzen• Flexible Strategien entwickeln• Einfache Schreibweisen (Tabellen) favorisieren • Verschiedene Lösungswege und Rechenstrategien zulassen• Bruchgleichungen als Lösungsstrategie in Betracht ziehen: sie „liegen“

manchen Menschen/Schülern mehr als der Dreisatz.• Zusammengesetzter Dreisatz etc. ergibt sich von alleine: als Aufgabe

zum Problemlösen stellen

Quelle: Barzel, B./Kleine, M. (2013). Verhältnisse. Ein Thema quer durch die Schulmathematik. – In: Mathematik lehren, Heft 179, S. 5


Übersicht





a) Aufgabenbeispiele untersuchen


AUFGABENBEISPIELE UNTERSUCHEN


Partnerarbeit:• Ermöglichen die Aufgaben intuitive Zugänge?• Regen sie verschiedene Lösungsstrategien an?• Sind es „geschlossene“/ “offene“ Aufgaben?

Könnten Sie diese/ ähnliche Aufgaben im Unterricht einsetzen? Wie würden Sie sie ggf. verändern?→ blaue Karten für neue Aufgabenvarianten


LITERATURHINWEISE


Lehrbuch:Mathewerkstatt. Lehrwerk für die Klassen 5–10 an mittleren Schulformen. Berlin:

Cornelsen 2011 ff.

Themenheft:Verhältnisse erkennen und nutzen. mathematik lehren, Heft 179 (2013)

Aufsätze:Barzel, B./Kleine, M. (2013). Verhältnisse. Ein Thema quer durch die Schulmathematik. – In: Mathematik lehren, Heft 179, S. 2-8Hafner, T. (2013). Wer löst das über Verhältnisse? Lösungsstrategien bei proportionalen Zuordnungen. – In: Mathematik lehren, Heft 179, S. 14-16










METHODEN UND AUFGABEN ZUM DIFFERENZIEREN BEIM DREISATZ

4. DIFFERENZIERUNG BEIM DREISATZ

Methode „Gruppenpuzzle“:1. Arbeit in der Expertengruppe (15 Minuten)2. Treffen in der Stammgruppe (15 Minuten):

Jeder Experte stellt sein Thema vor, dann Austausch: Welche Aufgaben/Methoden zur Differenzierung

erscheinen Ihnen besonders geeignet für Ihren eigenen Unterricht?


WAS SIND BLÜTENAUFGABEN?


• Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert – in diesem Sinne geöffnet: „Blütenmodell“ (nach R. Bruder)

• Niedrige Einstiegsanforderungen (z. B. Aufforderung zur Beschreibung; eindeutig lösbare Aufgabe zum Rechnen)

• Mit jeder Teilaufgabe werden Anforderungen komplexer(z. B. Mathematisierung)

• Jeder Schüler/ jede Schülerin wählt selbst, mit welcher Teilaufgabe er/sie sich beschäftigen will.


WAS SIND GRUPPENWETTBEWERBE?


Eine mathematisch-sportliche Variante des „Egg Race“:

„Mathematische Einkaufswagen-Ralley“ Es geht darum, mehrere Aufgaben nacheinander schnell, korrekt und

mit einsichtiger Begründung zu lösen. Vorteilhaftes Rechnen und geschicktes Überschlagen zahlen sich aus. Ablauf: Die Gruppen sammeln die Lösungsbuchstaben mit

Begründung in einen „Einkaufskorb“. Es wird die Zeit notiert, wann jede Gruppe die Kasse erreicht.

Die Gruppe mit größter Anzahl an richtigen Lösungen (mit Begründung) gewinnt. Bei Punktgleichstand entscheidet die Zeit.










HAUSAUFGABEN

2. FORTBILDUNGSTAG

• Erprobte Aufgaben digitalisieren und mit Fotos / Schülerlösungen uns zur Veröffentlichung senden.

• Weitere offene Aufgabe ausprobieren

• Methoden zur Differenzierung erproben

• Wenn möglich Tandembesuche fortführen


UNTERRICHTSPLANUNG

5. AUSTAUSCH UND PLANUNG VON UNTERRICHT

• Anregungen aus der Fortbildung im eigenen Unterricht praktisch umsetzen

• Gemeinsame Planung einer Unterrichtsstunde in Tandems/Trios/Teams aus beruflichen Schulen und Sekundarstufe 1

• Verabredungen: (nochmals) gegenseitiger Besuch einer Unterrichtsstunde: Berufliche Schulen – Sekundarstufe I


GROBPLANUNG EINER STUNDE

5. AUSTAUSCH UND PLANUNG VON UNTERRICHT

• Was ist das Ziel der Stunde?• Welches Thema (mathematischer Inhalt, beruflicher

Kontext) würde sich für eine offene Aufgabe eignen?• Wie sollen die SchülerInnen an der Aufgabe arbeiten?

Feinplanung:• Wie kann ich die SchülerInnen

im Arbeitsprozess unterstützen?• Wie gehe ich mit Fehlern der SchülerInnen um?• Wie präsentieren die SchülerInnen

die unterschiedlichen Lösungen?• Wie bewerte ich die Schülerlösungen?










FRAGEBOGEN ZUR REFLEXION

2. FORTBILDUNGSTAG

• Was hat Ihnen an der Fortbildung gefallen?

• Wo sehen Sie Optimierungsbedarf?

• Wünsche für das nächste Mal:– Themenwünsche forschendes Lernen– Themenwünsche mathematische Vertiefung– Freier Text

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DANKE FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT

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