FORMULAS DE

EQUIVALENCIA

UTILIZANDO INTERES

COMPUESTO DISCRETO

P= Valor o cantidad de dinero denotado como presente o tiempo 0. Tambin P recibe el nombre de valor presente (VP), Valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED), y costo capitalizado (CC). F = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F tambin recibe el nombre de valor futuro (VF); unidades monetarias A = Serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A tambin se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE); unidades monetarias por ao, unidades monetarias por mes

Terminologa:

Terminologa:

n= Numero de periodos de inters; aos, meses, das. i = tasa de inters o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual t = Tiempo expresado en periodos; aos, meses, das TR = Tasa de retorno (cantidad obtenida/cantidad original) TMAR = Tasa mnima atractiva de retorno, tambin llamada TREMA, tasa de rendimiento mnima atractiva.

Formulas De Equivalencia Asumiendo Inters Compuesto Discreto

Factores de pago nico (F/P y P/F)

Notacin simplificada: F = P (F/P, i%, n)

Notacin simplificada: P = F (P/F, i%, n)

ni

FP1

1

niPF 1

Considere que usted es mi asesor financiero y actualmente cuento

con $100,000 pesos para invertir y esa cantidad permanecer en

dicha inversin durante un ao, usted investiga cuatro posibles

instituciones de inversin las cuales llamaremos a, b, c, d. En

cada una de las instituciones obtiene la siguiente informacin:

a) Aqu se paga el 12% anual capitalizable cada ao.

b) Usted puede obtener el 6% semestral.

c) Nosotros pagamos el 12% anual capitalizable cada trimestre.

d) En esta institucin pagan el 1% mensual.

Que institucin me recomendara para obtener el mayor beneficio

posible?

niPF 1

a) F = P(F/P,i%,n)

F = $100,000(F/P,12%,1)

F = $100,000(1.1200)

F = $112,000.00

niPF 1b) F = P(F/P,i%,n)

F = $100,000(F/P,6%,2)

F = $100,000(1.1236)

F = $112,360.00

niPF 1c) F = P(F/P,i%,n)

F = $100,000(F/P,3%,4)

F = $100,000(1.1255)

F = $112,550.00

niPF 1

d) F = P(F/P,i%,n)

F = $100,000(F/P,1%,12)

F = $100,000(1.1268)

F = $112,682.50

Formulas De Equivalencia Asumiendo Inters Compuesto Discreto

Hewlett-Packard realizo un estudio que indica que $50,000 en la

reduccin de mantenimiento este ao ( ao 0), en una lnea de

procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la

tecnologa de fabricacin de circuitos integrados (CI),con base en

diseos que cambian rapidamente.

a) Si Hewlett-Packard considera que este tipo de ahorro vale un

20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado

despues de 5 aos.

b) Si el ahorro de $50,000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule

su valor equivalente 3 aos antes con un inters de 20% anual.

Ejemplo:

a) F = P(F/P,i%,n)

F = $50,000(F/P,20%,5)

F = $50,000(2.4883)

F = $124,415.00

Solucin:

b) P = F(P/F,i%,n)

P = $50,000(P/F, 20%,3)

P = $50,000(0.5787)

P = $28,935.00

c) Desarrolle una hoja de calculo para responder los dos incisos anteriores a tasas compuestas de 20% y 5% anuales.

Alternativas para resolver El usuario dispone de dos formas de resolver los ejercicios: 1. Utilizando la frmula general y el comando Herramientas, Buscar Objetivo 2. Utilizando funciones: NPER (tasa; pago; va; vf; tipo) PAGO (tasa; nper; va; vf; tipo) TASA (nper; pago; va; vf; tipo; estimar) VA (tasa; nper; pago; vf; tipo) VF (tasa; nper; pago; va; tipo) donde: n = NPER i = TASA P = VA F = VF o lo que es lo mismo: VF = VA (1+TASA)NPER

b)

a)

Factores de valor presente y de recuperacin de capital en series uniformes (P/A y A/P)

Notacin simplificada: P = A (P/A, i%, n)

Notacin simplificada: A = P (A/P, i%, n)

11

1n

n

i

iiPA

n

n

ii

iAP

1

11

Ejemplo: Cuanto dinero deber depositarse ahora si se desea retirar $600 garantizados cada ao durante 9 aos, comenzando el siguiente ao a una tasa de rendimiento de 16% anual

P = $600(P/A, 16%,9) P = $600(4.6065) P = 2763.90

EJEMPLO 2.4 Un aparato elctrico que tiene un precio de contado de $12000 se compra a crdito bajo las siguientes condiciones: inters mensual de 3%, pago de seis mensualidades iguales, cubriendo la primera mensualidad al final del quinto mes despus de hacer la compra, por lo que la ltima mensualidad se paga al final del dcimo mes. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades.

A = 2493.193312

EJEMPLO 2.S Un aparato elctrico que tiene un precio de contado de $12000 se compra a crdito bajo las siguientes condiciones: inters mensual de 3%, pago de seis mensualidades iguales, las primeras tres mensualidades se pagan al final de los meses 1, 2 Y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5, 6 Y 7, Y las ltimas tres mensualidades se cubren al final de los meses 8, 9 Y 10. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades.

A = 2339.851202

12. Una persona compr un auto en $25 000. Dio un enganche de 20% y deber cubrir el saldo en 18 pagos mensuales. El primer pago se har tres meses despus de haber hecho la compra. Si el vendedor cobra un inters de 15% anual capitalizado mensualmente, por este tipo de crdito, a cunto ascienden cada uno de los 18 pagos?

13. Una persona compra a plazos un mueble que tiene un precio de contado de $10 000. El trato es pagar 24 mensualidades iguales, realizando el primer pago al final del primer mes. El inters que se cobra es de 3% mensual. Justo despus de pagar la mensualidad nmero 10, la empresa informa al comprador que el inters ha disminuido a 2% mensual. Determinar el valor de cada una de las ltimas 14 mensualidades que se debern hacer para liquidar la deuda.

Derivacin del factor de fondo de amortizacin y el factor de cantidad compuesta serie uniforme (F/A y A/F)

11n

i

iFA

i

iAF

n11 Notacin simplificada:

F = A (F/A, i%, n)

Notacin simplificada: A = F (A/F, i%, n)

Ejemplo:

Cuanto dinero necesita depositar Carol cada ao empezando un ao despus a partir de ahora a 5 % por ao para que pueda acumular $6,000 en 7 aos.

A = $ 6,000(A/F, 5.5%, 7) A = $ 6,000(0.12096) A = $ 725.76 por ao

EJEMPLO 2.6 Una persona deposita $1 000 cada mes durante los meses 1 al 6, en un banco que paga un inters de 2% mensual a sus ahorradores. No hace ningn retiro de dinero. A cunto asciende el monto que se acumula en el banco al momento de hacer el sexto depsito?

i

iAF

n11

EJEMPLO 2.7 Se depositan $1000 cada mes durante los meses 1 al 6, en un banco que paga un inters de 2% mensual. Si no se retira dinero, cunto se acumular en el banco al final del noveno mes?

i

iAF

n11

niPF 1

5. Encuntrese F en la grfica 2.30, donde i = 5%.

SOLUCION 1

SOLUCION 2

FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G , A/G).

Un gradiente aritmtico es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante

G = cambio aritmtico constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1( Notacin simplificada: P = G (P/G, i %, n)

1)1(

1ni

n

iGA

Notacin simplificada: A = G (A/G, i %, n)

Notacin simplificada: F = G (F/G, i %, n)

n

i

i

iGF

n 1)1(1

EJEMPLO:

Tres condados adyacentes en florida acordaron emplear recursos

fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el

condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados

estimaron que, al final del prximo ao, se depositara un total de

$500,000 en una cuenta para la reparacin de los viejos puentes de

seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados. Adems,

estiman que los depositos aumentaran en $100,000 por ao durante

nueve aos a partir de ese momento, y luego cesaran. Determine las

cantidades equivalentes de:

a) Valor Presente

b) Serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa

del 5% anual

Solucin:

a) P=500(P/A,5%,10)+100(P/G,5%,10)

P=500(7.7217)+100(31.652)

P=7026.05

b) A=500+100(A/G,5%,10)

A=500+100(4.0991)

A= 909.91

EJEMPLO 2.10 Una persona que compr un automvil espera que los costos de mantenimiento sean de $150 al final del primer ao y que en los aos subsiguientes aumente a razn de $50 anuales. Si la tasa de inters es de 8% y se capitaliza cada ao, cul ser el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de seis aos?

nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

n

n

ii

iAP

1

11

EJEMPLO 2. 11 Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes condiciones: se realiza un primer pago de $900 un mes despus de la fecha de adquisicin, adems de nueve pagos mensuales. Cada uno de estos pagos disminuye $50 en comparacin con el mes anterior, es decir, en el segundo mes se pagarn $850, al final del tercer mes se pagarn $800, etc. Si el inters que cobra la comercializadora es de 1% mensual, cul ser el valor a pagar de contado por la compra de la computadora?

Series gradiente y el futuro

EJEMPLO 2.12 Una persona deposit $100 en un banco al final del primer mes, y los depsitos sucesivos se incrementaron en $50 cada uno, es decir, en el segundo mes deposit $150, en el tercer mes deposit $200, etc. Si el banco paga a sus ahorradores un inters de 2% mensual, cunto habr acumulado esta persona en el banco al momento de hacer el sexto depsito?

Solucin Datos: A = 100; G = 50; i = 2%; n = 6. El diagrama de flujo del ejemplo es:

F = F' + F"

n

i

i

iGF

n 1)1(1

i

iAF

n11

FACTORES PARA SERIES GRADIENTE GEOMETRICO

Un gradiente Geomtrico es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en de un periodo a otro mediante un porcentaje constante.

g= Tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente

gi

i

g

AP

n

1

11 ig

inA

P 11 ig

Notacin Simplificada (P/A , g % , i % , n)

EJEMPLO:

Los ingenieros de SeaWorld, desarrollaron una innovacin en un deporte acutico existente para hacerlo mas excitante. La modificacin cuesta solo $8,000 y se espera que dure 6 aos con un valor de salvamento de $1,300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1,700 el primer ao, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificacin y del costo de mantenimiento, tanto a mano como en computadora. La tasa de inters es de 8% anual.

Solucin:

)6%,8,/(300,18000 FPPT gP

26.819)9559.5(17008000 TP

85.17305TP

FORMULARIO PARA EXAMEN