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XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
ÍNDICE
MATEMÁTICAS 1
Geometría 1
Trigonometría 2
Números Complejos 2
Geometría Analítica del Espacio 3
Reglas Generales de Derivación 4
Tablas de Integrales 6
Vectores 10
Integrales Múltiples 11
Transformada de Laplace 13
Fórmulas Misceláneas 14
Series de Fourier 15
FÍSICA 16
Cinemática 16
Dinámica 16
Trabajo, Energía y Conservación de la Energía 17
Impulso e Ímpetu 17
Electricidad y Magnetismo 17
Constantes 21
Factores de conversión 22
QUÍMICA 23
Serie Electroquímica de los Metales 24
Tabla de Pesos Atómicos 25
Tabla Periódica de los Elementos 27
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2rh
r
h
Volumen 13
2r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
h
r
l
Volumen 1
3
2 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
2
Trigonometría
sen cos2 2 1A A sen cos2 12
12 2A A
sec tan2 2 1A A cos cos2 12
12 2A A
csc cot2 2 1A A sen sen cos2 2A A A
tansen
cosA
A
A cos cos sen2 2 2A A A
cotcos
senA
A
A sen sen cos cos senA B A B A B
sen cscA A1 cos cos cos sen senA B A B A B
cos secA A1 tan A BtanA tanB
tanAtanB
1
tan cotA A1 sencosA A
2
1
2
sen sen A A cos
cosA A
2
1
2
cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 1
2
AA tantan sen cos sen senA B A B A B 1
2
cos cos cos cosA B A B A B 1
2
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,
C.
Ley de los senos a
A
b
B
c
Csen sen sen
Ley de los cosenos
c a b ab C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b
a b
tan A B
tan A B
1
2
1
2
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r i r p i pp pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo y pn
1 , entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen
1 1 2 2
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
3
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo 1,,2,1,0 nk
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 :
PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos:
d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
22 2 2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica: x x l t 1
y y mt 1 z z nt 1
-Forma Simétrica:
tx x
l
1 ty y
m
1 tz z
n
1
Cosenos Directores:
cos
x x
d
l
d
2 1 cos
y y
d
m
d
2 1 cos
z z
d
n
d
2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva
de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General: Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
dAx By Cz D
A B C
0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
4
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
cos
sen
o r x y
tan
z z
y
x
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y ,z)(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
sen cos
sen sen
cos
o r x y z
tany
x
z
x y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y ,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m
2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación d
dxc( ) 0
d
dxcx c
d
dxcx ncxn n 1
d
dxu v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
d
dxcu c
du
dx
d
dxuv u
dv
dxv
du
dx
d
dxuvw uv
dw
dxu w
dv
dxv w
du
dx
d
dx
u
v
v dudx u dv
dx
v
2
d
dxu nu
du
dxn n 1
dF
dx
dF
du
du
dx (Regla de la cadena)
du
dx dxdu
1
dF
dx
dFdu
dxdu
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
5
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dxu
e
u
du
dxa aa
aloglog
, 0 1
d
dxu
d
dxu
u
du
dxeln log
1
d
dxa a a
du
dx
u u ln
d
dxe e
du
dx
u u
d
dxu
d
dxe e
d
dxv u vu
du
dxu u
dv
dx
v v u v u v v ln ln ln ln1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dxu u
du
dxsen cos
d
dxu u
du
dxcot csc 2
d
dxu u
du
dxcos sen
d
dxu u u
du
dxsec sec tan
d
dxu u
du
dxtan sec 2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cot
d
dxu
u
du
dxusen sen
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucos cos
1
2
11
10
d
dxu
u
du
dxutan tan
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucot cot
1
2
11
10
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si usec
sec
sec
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si ucsc
csc
csc
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dxu u
du
dxsenh cosh
d
dxu u
du
dxcoth csc h2
d
dxu u
du
dxcosh senh
d
dxu u u
du
dxsec sec tanhh h
d
dxu u
du
dxtanh sec h2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
6
d
dxu
u
du
dxsen h-1
1
12
d
dxu
u
du
dx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
d
dxu
u
du
dxutanh
1
2
1
11 1
d
dxu
u
du
dxu o ucoth
1
2
1
11 1
d
dxu
u u
du
dx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h
-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dxsi u si ucsc ,h-1
1
1
1
10 0
2 2
Tablas de Integrales
udv uv v du csc cot cscu udu u C
u dun
u C nn n
1
111 Cuduu seclntan
du
uu C ln cot ln senudu u C
e du e Cu u Cuuduu tanseclnsec
a dua
aCu
u
ln
csc ln csc cotudu u u C
sen cosudu u C du
a u
u
aC
2 2
1
sen
Cuduu sencos
Ca
u
aua
du 1
22tan
1
Cuduu tansec2 du
u u a a
u
aC
2 2
11
sec
csc cot2 udu u C du
a u a
u a
u aC2 2
1
2
ln
Cuduuu sectansec du
u a a
u a
u aC2 2
1
2
ln
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln
du
u a u a
a u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
82
8 ln du
u a u
a u
a uC
2 2 2
2 2
2
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
7
a u
udu a u a
a a u
uC
2 2
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a u
udu
a u
uu a u C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u du2 2
a u duu
a ua u
aC2 2 2 2
2
1
2 2 sen
du
a uu a u C
2 2
2 2
ln u a u du
uu a a u
a u
aC2 2 2 2 2 2 2
4
1
82
8 sen
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 ln
a u
udu a u a
a a u
uC
2 2
2 2
2 2
ln
a u
udu
ua u
u
aC
2 2
2
2 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a u
aC
2
2 2
2 2
2
1
2 2 sen u u a du
uu a u a
au u a2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
82
8 ln C
du
u a u a
a a u
uC
2 2
2 21
ln
u a
udu u a a
a
uC
2 2
2 2 1
cos
du
u a u a ua u C
2 2 2 2
2 21
u a
udu
u a
uu u a C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u duu
u a a ua u
aC2 2
32 2 2 2 2
4
1
82 5
3
8 sen
du
u au u a C
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
Cauua
auu
au
duu 222
22
22
2
ln22
du
u u a
u a
a uC
2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udu
a bu ba bu a a bu C
12 ln
u du
a bu ba b u abu a bu
2
3
2 2 22
158 3 4
u du
a bu ba bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
24 2
ln
du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
10ln , si
2
01
a
a bu
aC atan , si
du
u a bu a
u
a buC
1ln
a bu
udu a bu a
du
u a bu
2
du
u a bu au
b
a
a bu
uC2 2
1
ln
a bu
udu
a bu
u
b du
u a bu
2 2
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8
udu
a bu
a
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a bu du
b nu a bu na u a bu dun n n
2
2 3
32 1
du
u a bu a a bu a
a bu
uC
2 2
1 1ln
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
2
2 1
2
2 1
1
Cbuaa
bua
abua
bbua
duuln2
1 2
32
2
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
1
2 3
2 11 1
u a budub
bu a a bu C 2
153 22
32
udu
a bu bbu a a bu
2
322
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 12
12udu u u u u C
cos sen2 12
14 2udu u u C sen sen cos senn
nn nudu u u
n
nudu
1 1 2
1
Cuuduu tantan 2 cos cos sen cosnn
n nudu u un
nudu
1 1 2
1
Cuuduu cotcot 2
duuun
duu nnn 21 tantan1
1tan
sen sen cos3 13
22udu u u C cot cot cotn n nudun
u udu
1
11 2
cos cos sen3 13
22udu u u C sec sec secn n nudun
tanu un
nudu
1
1
2
12 2
Cuuduu coslntantan 2
2
13 csc cot csc cscn n nudun
u un
nudu
1
1
2
12 2
cot cot ln sen3 12
2udu u u C
sen sen
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sec sec ln sec3 12
12u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau budu
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2 u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
u udu u u u Csen sen cos
sen cosn mu udu
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
n
n mu udu
1 1
21
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n mu udu
1 1
21
u u du u u u Ccos cos sen u u du
uu
u uCcos cos
1
2
1
22 1
4
1
4
u udu u u n u udun n nsen cos cos 1
C
uu
uduuu
2tan
2
1tan 1
21
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
9
sen sen 1 1 21udu u u u C u udu
nu u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
1
1 11
cos cos 1 1 21udu u u u C u udu
nu u
u du
unn n
n
cos cos ,
1 1 1
1
2
1
1 11
Cuuuduu 2
2
111 1lntantan
1,
1tan
1
1tan
2
1111 n
u
duuuu
nduuu
nnn
u u duu
uu u
Csen sen
1
2
1
22 1
4
1
4
ue dua
au e Cau au 1
12 ln lnudu u u u C
u e dua
u en
au e dun au n au n au
11
u u du
u
nn u Cn
n
ln ln
1
21
1 1
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2
1
u udu u C
lnln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2
senh coshudu u C Cuduu2
1tanlnsech
cosh senhudu u C Cuduu tanhsech 2
Cuduu coshlntanh Cuduu cothcsch 2
coth ln senhudu u C Cuduuu sechtanhsech
Cutanduu senhsech 1 Cuduuu cschcothcsch
22
22
2 2
2
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
du
a u u
a u
aC
2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 3
62
22
2
2
3
1
cos
udu
au ua u u a
a u
aC
22
2
2 1
cos
22
2
2
2 1a u u
udu a u u a
a u
aC
cos
du
u a u u
a u u
a uC
2
2
2
2
2 2 22
2
2
1a u u
udu
a u u
u
a u
aC
cos
Ca
uaauau
au
uau
duu 12
2
2
2
cos2
32
2
3
2
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
10
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz: AxB
i j k
A A A
B B B
1 2 3
1 2 3
kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA
Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen
El operador nabla se define así:
zyx
kji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z)
tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
kjikji
z
U
y
U
x
UU
zyxU
Divergencia de A = div A
kjikjiA 321 AAAzyx
A
x
A
y
A
z
1 2 3
Rotacional de A = rot A
kjixkjixA 321 AAAzyx
321
kji
AAA
zyx
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U = 2
2
2
2
2
22
z
U
y
U
x
UUU
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
11
Integrales Múltiples
F x y dydxy f x
f x
x a
b
,( )
1
2
F x y dy dx
y f x
f x
x a
b
,( )
1
2
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,
mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede
escribir así:
F x y dxdyx g y
g y
y c
d
,( )
1
2
F x y dx dyx g y
g y
y c
d
,( )
1
2
donde x g y 1( ) , x g y 2( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,
mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se
pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales
múltiples en más de tres dimensiones.
s s t r t dta
t
( ) ( )
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr t
r t( )
( )
( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
)()()( tttbtn
x
n sr s
r s( )
( )
( )
Vector binormal )(
)()(
trr
trrtb
x
x
b sr s r s
r s( )
( ) ( )
( )
x
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
x x
x
y y
y
z z
x
0
0
0
0
0
0
Plano osculador t n, en t0
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
12
Curvatura y Torsión
t
r t r t
r tt
r t r t r t
r t r t
x x
x3 2
s r s
23
]))('(1[
)(''
2xf
xf
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a Ta
.
aN a N
x a
.
Propiedades de la Divergencia
i) div (
F +
G ) = div (
F ) +div (
G )
ii) div (
F ) = div(
F ) + ( grad )
F
iii) div (
F +
G ) = G rot (
F ) -
F rot (
G )
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
13
Transformada de Laplace
0
)()}({ dttfetf tsL
No f(t) F(s)
1 C (constante) s
C
2 tn
1
!ns
n , n = 0 y n N
3 tn
1
)1(
ns
n , n > -1
4 eat
as
1
5 senhat 22 as
a
6 coshat 22 as
s
7 senkt 22 ks
k
8 coskt 22 ks
s
9 )(tfeat )( asF
10 )()( atUatf )(sFe as
11 )(tft n )()1( )( sF nn
12 t
tf )(
s
dppF )(
13 )()( tf n )0(...)0(')0()( )1(21 nnnn ffsfssFs
14 t
df0
)( s
sF )(
15
t
dtgfgf0
)()( )()( sGsF
16 )(tf . Función periódica
de periodo T
T
st
sTdtetf
e0
)(1
1
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
14
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt
ttax sen tay cos1
Trabajo W b
ardF
b
baaComp
b
Longitud de arco de y f x en a b y dxa
b
, ( ) 1 2
R
dAyxm , R
x dAyxyM , R
y dAyxxM ,
Centro de gravedad de una región plana
b
a
b
a
dxxf
dxxxfx
)(
)(,
b
a
b
a
dxxf
dxxf
y)(
)(2
1 2
Longitud de arco en forma paramétrica
dt
dt
dy
dt
dxL
22
Momento de inercia de R respecto al origen R
o dAyxyxI ,22
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
xdxfxFSb
a
2)(1)(2
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
b
atdtFtV )(2
Cálculo del volumen b
adxxAV )(
b
a
dxxfV2
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )
( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu
, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído dyyLyFb
a)(
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
XVIII EVENTO NACIONAL DE CIENCIAS BÁSICAS DE LOS INSTITUTOS TECNOLÓGICOS 2011
15
Series de Fourier
Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L]
1
0 sincos2
)(n
nnL
xnb
L
xna
axf
Donde
L
L
dxxfL
a )(1
0
L
L
n dxL
xnxf
La
cos)(
1
L
L
n dxL
xnxf
Lb
sin)(
1
Serie de Fourier para una función par en [-L, L]
1
0 cos2
)(n
nL
xna
axf
Donde
L
dxxfL
a0
0 )(2
L
n dxL
xnxf
La
0
cos)(2
Serie de Fourier para una función impar en [-L, L]
1
sin)(n
nL
xnbxf
Donde
L
n dxL
xnxf
Lb
0
sin)(2
Serie de Fourier para una función definida en [0, L]
a) Serie de Cosenos
1
0 cos2
)(n
nL
xna
axf
Donde
L
dxxfL
a0
0 )(2
L
n dxL
xnxf
La
0
cos)(2
b) Serie de Senos
1
cos)(n
nL
xnbxf
Donde
L
n dxL
xnxf
Lb
0
sin)(2
Serie Compleja de Fourier en [-L, L]
L
xni
eCxf n
)(
Donde
dxexfC L
xni
n )(2
1