Para el caso en el que estemos en la zona de esfuerzos elásticos y tengamos sección fisurada.

a partir de lo cual el esfuerzo en el concreto es :

Para el caso de falla por fluencia del acero.

Sustituyendo fs = fy para que el acero fluya obtenemos que la distancia desde la fibra superior al eje neutro es :

reemplazando As=pbd la distancia al eje neutro es :

y el momento nominal es igual a:

para valores de f’c= 4000 lb.in2 con los datos experimentales obtenemos:

Para la falla a compresión el criterio consiste en que la deformación unitaria del hormigón alcanza 0.003.

´

A partir de la distribución de las deformaciones unitarias la deformación unitaria en el acero puede expresarse en términos de la distancia c por consideración de triángulos semejantes, que conduce a:

y reemplazando en C = T tenemos:

De acuerdo con esto, al establecer fs=fy en la ecuación, y sustituir la deformación unitaria de fluencia por fy/Es, se obtiene el valor de c que define la posición única del eje neutro correspondiente aun aplastamiento del concreto simultáneo con el inicio de la fluencia en el acero.

En un elemento bien diseñado, la cuantía real de acero se mantiene muy por debajo de la cuantía balanceada.

Para una distribución rectangular equivalente de esfuerzos.

a partir de lo cual:

γ=α∗ca

Se puede observar que el factor de intensidad del esfuerzo y es esencialmente independiente de f'c y se puede tomar siempre igual a 0.85

Para la cuantía balanceada de acero, tomamos la deformación unitaria del hormigón igual a 0.003.

a partir de lo que el equilibrio exige que C = T

a partir de lo cual

Para vigas subreforzadas tenemos que:

para todos los elementos que fs = fy

donde

si se observa que As = pbd se puede reescribir como

y sustituyendo tenemos

simplificando tenemos:

en lo cual

Imponiendo un coeficiente de reducción de resistencia Φ=0.90

esto para un f’c de 4000 psi.

o

Cuantías mínimas de acero.

Para una sección rectangular con un ancho b, un espesor total h y un espesor efectivo d.

Para vigas T con dimensiones típicas que están sometidas a flexión con el ala en compresión, el área mínima de acero debe ser

De acuerdo con el código ACI 10.5

El código ACI 10.5 trata el caso de vigas T estáticamente determinadas con la aleta en tensión

Vigas subreforzadas.

Para cuando el fs es menor que fy en la falla a flexión.

C = T

reemplazando la deformación del acero y teniendo en cuenta que kd= c/d

p=As/bd como antes, y mes un parámetro del material estipulado por:

y nuestro momento ultimo queda como:

Seleccionando la cuantía óptima de acero para luego calcular las dimensiones de la sección de concreto de la siguiente manera:

1. Se toma la resistencia requerida M, igual a la resistencia de diseño fi*M.

2. Se selecciona una cuantía apropiada entre pmax y pmin

Por lo general una cuantía alrededor de 0.5pb será una selección económica y práctica.

3. Se encuentra el factor de resistencia a la flexión R para las resistencias especificadas de los materiales y para la cuantía seleccionada. Entonces

4.Luego se seleccionan b y d para cumplir el anterior requisito. A menos que deba limitarse la altura por razones constructivas o por otro tipo de restricciones, la altura efectiva debería aproximadamente ser dos a tres veces el ancho de la viga

5. Se calcula el área de acero que se requiereA s=bdρ

Primero se comienza con la selección de las dimensiones del concreto, después se encuentra el refuerzo requerido de la siguiente manera:

1. Se selecciona el ancho de la viga b y la altura efectiva d. Después se calcula el valor requerido de R:

2. para las resistencias específicas de los materiales, se determina la cuantía de acero p , correspondiente a R.

3. Se calcula el área requerida de acero

A s=bdρ

4. se confirma si el ancho de la viga es suficiente para colocar el refuerzo seleccionado.

Para vigas sobre reforzadas con acero a tensión y compresión, ambos en el esfuerzo de fluencia, para una cuantía a tensión superior a la balanceada (vigas rectangulares) se requieren este tipo de análisis.

Donde Mn1 será el momento interno resistente por el acero superior

Donde Mn2 será el momento interno resistente por el resto de acero

Y la altura del bloque de esfuerzo

Y el momento resistente es:

La cuantía balanceada y máxima para vigas sobre reforzadas:

Para comprobar que acero esta en fluencia se tiene:

Si la cuantía de acero a tensión es menor a este valor entonces el esfuerzo del acero a compresión es menor al de la fluencia y se tiene:

La cuantía balanceada de acero queda definida por

De esta manera la cuantía máxima por el código ACI 10.3.3 es

Con esfuerzo en el acero a compresión

Siempre que se utilice la cuantía balanceada para acero a tensión.

De no ocuparse la cuantía balanceada para el acero a tención.

Para encontrar c se despeja de la ecuación cuadrática

Y la resistencia nominal a flexión, con B1 c=a

Para problemas de revisión se debe comprobar si la cuantía de acero a tensión es menor a la cuantía máxima realizando un análisis de viga rectangular normal. Si se cumple la cuantía se realiza la revisión como viga sub reforzada (sencilla) de superar esta cuantía, se debe tomar la revisión de viga sobre reforzada.

Si la cuantía de acero a tensión es mayor a Pcy se concluye que el acero a tensión esta en fluencia y se trabaja con las ecuaciones de este caso (primer bloque) de no cumplirse se utilizan las formulas del segundo bloque.

Para problemas de diseño se toma inicialmente una sección rectangular simplemente reforzada y se calcula con la cuantía máxima el valor de momento nominal al cual se llega, si el momento nominal alcanzado con esta cuantía es

Menor al necesario se coloca acero superior en una cantidad igual a

A s'=Momentomayorado faltantefy(d−d ')

Siendo este el acero a compresión, se suma el acero de la cuantía máxima y se tiene el total del acero a tensión.

VIGAS T

El ancho efectivo no debe exceder el ¼ de la luz de la viga. El ancho que sobresale a cada lado del alma de la viga no debe exceder ocho veces el espesor de la losa ni superar más de la mitad de la distancia libre hasta la siguiente viga.

Para vigas T de un lado, el ancho efectivo de la losa que sobresale no debe exceder 1/12 de la luz de la viga, seis veces el espesor de la losa o la mitad de la distancia libre hasta la siguiente viga.

Para vigas T aisladas, el espesor del ala no debe ser mayor que la mitad del ancho del alma y el ancho total del ala no debe exceder cuatro veces el del alma.

Si se supone que el bloque de compresión está dentro del ala

Si a es igual o menor que el espesor del ala hf, el elemento se trata como una viga rectangular de ancho b y espesor d. Si a es mayor que hf se requiere un análisis de viga T.

Se divide en dos partes la totalidad del acero a tensión. Asf representa el acero que al estar sometido a un esfuerzo igual a fy, se requiere para balancear la fuerza a compresión longitudinal de las dos proporciones sobresalientes del ala que están sometidos a un esfuerzo uniforme de 0.85f `c.

El momento correspondiente

El área restante de acero As-Asf, sometida a un esfuerzo igual a fy, esta balanceada por la compresión en la porción rectangular de la viga. La altura del bloque rectangular equivalente de esfuerzo de zona se encuentra a partir del equilibrio de las fuerzas horizontales

El momento correspondiente

Y el momento resistente nominal total es la suma de los dos momentos.

De acuerdo al ACI se debe reducir multiplicándolo por un coeficiente 0.9 para obtener la resistencia de diseñoo.

Para una falla balanceada

Si la suma de fuerzas aplicadas es igual a cero, entonces.

O

Si se define (es decir expresando tanto la cuantía total del área de acero como la parcial en términos de la porción rectangular de la viga), se obtiene la siguiente cuantía balanceada de acero pw para una viga T:

El primer término es la cuantía balanceada de acero pb, para la porción rectangular de la viga.

Donde todas las cuantías están expresadas en términos de la porción rectangular de la viga. Para proporcionar un margen contra la falla frágil de vigas T, el ACI establece que la cuantía utilizada de acero no debe exceder

El ACI restringe que la cuantía de acero a tensión no

debe ser menor que . Se aplica tanto para vigas T como para rectangulares.

Revisión de vigas T

Para revisar de una viga T con las dimensiones conocidas de la sección de concreto y del área de acero a tensión, es razonable comenzar suponiendo que la altura a del bloque de esfuerzos no excede el espesor hf del ala. En este caso, pueden aplicarse todas las ecuaciones para vigas rectangulares, tomando un ancho de viga igual al

efectivo del ala. Si luego de verificar la suposición, el valor de a excede el de hf, debe aplicarse entonces un análisis de viga T. Las ecuaciones

Pueden utilizarse para en secuencia para obtener la resistencia nominal a flexión, y a partir de esta puede calcularse fácilmente la resistencia de diseño.

Diseño de vigas T

1.- Determinar el espesor del ala hf con base en los requisitos de flexión de la losa que, por lo general, se extiende transversalmente entre vigas T paralelas

2.- Determinar el ancho efectivo del ala b de acuerdo con los límites del ACI

3.- Seleccionar las dimensiones del alma bw y d con base en cualquiera de los siguientes requisitos: a) requisitos de flexión negativos en los apoyos si se trata de una viga T continua; b) requisitos de cortante, estableciendo un límite superior razonable en el esfuerzo nominal unitario de cortante vu en el alma de la viga

4.- Con todas las dimensiones determinadas de la sección de concreto, calcular un valor tentativo de As, suponiendo que el valor de a no excede hf y se utiliza un ancho de viga igual al ancho del ala b. Utilizar los métodos comunes de diseño para vigas rectangulares.

5.- Para el área tentativa As, verificar la altura del bloque de esfuerzos a para confirmar que este no excede hf utilizando las ecuaciones para vigas T.

6.- Revisar para confirmar que pw>=pwmin

7.- Revisar para confirmar que pw<=pwmax