Upload
truongquynh
View
229
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1
FORMULARIO CÁLCULO I
Ing. Alfredo Vargas Oroza
LÍMITES
Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que,
lim ( )x c
f x A y lim ( )x c
g x B , entonces:
1) limx c
b b 2) limx c
x c
3) lim ( )x c
b f x b A 4) lim ( ) ( )x c
f x g x A B
5) lim ( ) ( )x c
f x g x A B 6) ( )
lim 0( )x c
f x AB
g x B
7) nn
cxcxlim 8) ex x
x
1
0)1(lim 9) e
x
x
x
11lim
10) ax
a x
xln
1lim
0 11)
0
sinlim 1x
x
x 12)
0
1 coslim 0x
x
x
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean u, v funciones de x ; c una constante
0)(cdx
d 'cucu
dx
d
xx eedx
d
x xde e
dx '
1ln u
uu
dx
d
au
uu
dx
da
ln
'log
'')( vuvudx
d '' uvvuuv
dx
d
dx
du
du
dyy
dx
d
dx
du
u
uu
dx
d '1unuu
dx
d nn
2
''
v
uvvu
v
u
dx
d
'cossin uuudx
d 'sincos uuu
dx
d
'sectan 2 uuudx
d 'tansecsec uuuu
dx
d
2
'cotcsccsc uuuudx
d 'csccot 2 uuu
dx
d
'coshsinh uuudx
d 'sinhcosh uuu
dx
d
'sectanh 2 uuhudx
d 'csccoth 2 uuhu
dx
d
'tanhsecsec uuuhuhdx
d 'cothcsccsc uuuhuh
dx
d
21
1arcsin
xx
dx
d
1
1arcsin
2xxh
dx
d
21
1arccos
xx
dx
d
1
1arccos
2xxh
dx
d
21
1arctan
xx
dx
d
21
1arctan
xxh
dx
d
21
1cot
xxarc
dx
d
21
1coth
xxarc
dx
d
Criterio de la primera derivada para extremos relativos
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Sea f continua en [a,b], diferenciable en (a,b) tal que existe un punto c tal que
f ’(c)=0, entonces:
Si f ’’(c) > 0, f(c) es un mínimo relativo.
NINGUNO - -
NINGUNO + +
MÍNIMO
+ -
MÁXIMO
- +
c, f(c) Signo de
f ‘ en (c,b) GRÁFICO
a c b
Signo de f ‘ en (a,c)
Sea f una función continua en
(a,b) y c un único valor crítico
de f en el intervalo. Si f es
diferenciable en el intervalo
(excepto posiblemente en c),
entonces, la función tendrá o
no un extremo relativo de
acuerdo al criterio detallado en
el siguiente cuadro:
3
Si f ’’(c) < 0, f(c) es un máximo relativo.
Puntos de inflexión
Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su
concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo, o viceversa, este punto se
denomina punto de inflexión.
Si (c,f(c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f’’(c)=0 o f’’(c) no existe.
Regla de L’Hopital Una función racional de la forma f(x)/g(x) en la cual se presenta una de las formas
indeterminadas 0/0 o / puede resolverse aplicando
( ) '( )lim lim
( ) '( )x c x c
f x f x
g x g x
Conocida como la regla de L´Hopital, la misma que puede aplicarse sucesivamente
hasta eliminar la indeterminación.
Método de newton para la resolución de ecuaciones
Este método permite aproximar ceros de una ecuación mediante iteraciones
sucesivas
)('
)(1
n
nnn
xf
xfxx
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
1;1
')11
nCn
udxuu
nn
Cedxue uu ')2
Cudxu
uln
')3 Cudxuu cos')(sin)4
Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2
Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8
Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10
Cuuu sinln')(cot)11 Cuudxuu tansecln')(sec)12
Cuudxuu cotcscln')(csc)13
Ca
udx
ua
uarcsin
')14
22 C
a
u
adx
ua
uarctan
1')15
22
4
Cauudxau
u 22
22ln
')16 C
au
au
adx
au
uln
2
1')17
22
Ca
uarc
aauu
dxusec
1')18
22
Cu
uaa
auau
dxu 22
22ln
1')19
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Método de completar el cuadrado Toda expresión de la forma: x2 + bx +c puede
siempre completarse para formar un cuadrado perfecto de la siguiente manera:
4222
2222
2 bc
bx
bbcbxx
De modo que pueda integrarse a través de alguna de las fórmulas básicas de
integración.
Método de las fracciones simples. Por cada factor de la forma m
px q la
descomposición en fracciones simples ha de incluir la siguiente suma de m
fracciones: m
m
qpx
A
qpx
A
qpx
A
)(......
)()( 2
21
4) Por cada factor de la forma 2
n
ax bx c la descomposición en fracciones
simples ha de incluir la siguiente suma de n fracciones:
n
nn
cbxax
CxB
cbxax
CxB
cbxax
CxB
)(....
)( 222
22
2
11
Integración por partes El método es recomendable cuando se presentan productos
de funciones, es conveniente tomar en cuenta lo siguiente;
1.-Tómese como v’ la porción mas complicada del integrando que puede integrarse
fácilmente.
2.- Tómese como u la porción mas simple del integrando que tiene por derivada u’
una expresión mas simple que la propia u
3.- Es posible que el método exija ser aplicado mas de una vez, en cuyo caso se
debe cuidar de no conmutar las elecciones iniciales de u y v , además de vigilar la
aparición de un múltiplo de la integral original que resolvería el problema.
dxvuuvdxuv ''
Integrales trigonométricas
Integrales que contienen seno y coseno
5
1.- Si la potencia del seno es impar y positiva, reservar un factor seno y convertir
los demás en cosenos, luego desarrollar e integrar. 2 1 2
2 2
sin cos sin cos (sin )
(sin ) cos (sin ) (1 cos ) cos (sin )
k n k n
k n k n
x xdx x x x dx
x x x dx x x x dx
2.- Si la potencia del coseno es impar y positiva, reservar un factor coseno y
convertir los demás en senos a continuación desarrollar e integrar. 2 1 2
2 2
cos sin cos sin (cos )
(cos ) sin (cos ) (1 sin ) sin (cos )
k n k n
k n k n
x xdx x x x x dx
x x x dx x x x dx
3.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son pares y positivas, usar
repetidamente las identidades
2 21 cos2 1 cos2sin cos
2 2
x xx x
Hasta convertir el integrando en potencias impares del coseno
Integrales que contienen secante tangente
1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, reservar un factor secante2 y pasar
las demás a tangentes, luego desarrollar e integrar.
dxxxxdxxxx
dxxxxxdxx
nknk
nk
nk
)(sectan)tan1()(sectan)(sec
)(sectansectansec
212212
222
2
2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva, reservar un factor secante
tangente y pasar los demás a secantes, luego desarrollar e integrar.
dxxxxxdxxxxx
dxxxxxxdxx
kmkm
kmkm
)tan(sec)1(secsec)tan(sec)(tansec
)tan(sectansectansec
2121
2112
3.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva,
convertir un factor tan2x en secantes. Después desarrollar y repetir el proceso si
fuera necesario.
xdxdxxx
dxxxdxxxxdx
nn
nnn
222
2222
tan)(sectan
)1(sectan)(tantantan
4.- Si no ocurre ninguna de las tres situaciones anteriores, intentar rescribir el
integrando en función de senos y cosenos.
Sustituciones trigonométricas
6
Este método es aplicable a expresiones que contienen radicales, que pueden ser la
hipotenusa o los catetos de un triángulo rectángulo, se debe considerar:
1.- Para integrales que contienen 22 ua
Hágase sinau entonces cos22 aua
2.- Para integrales que contienen 22 ua
Hágase tanau entonces sec22 aua
3.- Para integrales que contienen 22 au
Hágase secau entonces tan22 aau
Integrales impropias
Se denominan así las integrales en las cuales uno o ambos límites de integración se
hacen o tienden a infinito, o bien cuando la función presenta uno o más puntos de
discontinuidad en el intervalo de integración. Para evaluar este tipo de integrales se
debe utilizar:
1) Si f es continua en el intervalo [a, ) entonces: b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
2) Si f es continua en el intervalo (- ,b] entonces b
aa
b
dxxfdxxf )(lim)(
3) Si f es continua en el intervalo (- , ) entonces
dxxfdxxfdxxfc
c
)()()(
4) Si f es continua en el intervalo [a,b) y se hace infinita en b, entonces
c
abc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
22 au
a
u
a u
θ
22 ua
θ
22 ua
a
u θ
7
5) Si f es continua en el intervalo (a,b] y se hace infinita en a , entonces
b
cac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
6) Si f es continua en el intervalo [a,b], excepto en algún punto c en (a,b) en
el que f se hace infinita entonces
dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
)()()(
TRIGONOMETRÍA
1OAOEOC
cos
sintan
cos
sin
OB
AB
OBOA
OB
ABOA
AB
sin
coscot;
1csc
;1
sec
AB
OB
ABAB
OA
OBOB
OA
Como los triángulos OAB OCD y OEF son semejantes se tiene:
EFOE
EF
AB
OBCD
OC
CD
OB
ABcot;tan
Las funciones inversas son:
cot
1tan;
sec
1cos;
csc
1sin
En el triángulo OAB 2222 cossin1;OBABOA
En el triángulo OCD 222 tan1sec;CDOCOD
En el triángulo OEF 222 cot1csc;EFOEOF
cossin22sin;sincoscossin)sin(
Circunferencia trigonométrica de
radio unitario
F E
D
C
A
O B
θ
8
22 sincos2cos;sinsincoscos)cos(
2tan1
tan22tan;
tantan1
tantan)tan(
2cos1
2cos1tan;
2
2cos1cos;
2
2cos1sin 222
sin)sin(;2
cos2
sin2sinsin
cos)cos(;2
sin2
cos2sinsin
tan)tan(;2
cos2
cos2coscos
2sin
2sin2coscos ;
coscos
)sin(tantan
2
cos1
2sin;
2
)sin()sin(cossin
2
cos1
2cos;
2
)cos()cos(coscos
cossin22sin;2
)cos()cos(sinsin
2222 sin11cos2sincos2cos
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Pendiente A
Bm ;
Ordenada al origen A
Cb ;
Angulo entre dos rectas21
21
1 mm
mm
Rectas perpendiculares si 2
1
1
mm
(x2,y2)
(x1,y1)
4
3
2
1
5 4 3 2 1
Distancia entre dos puntos
221
221 )()( yyxxd
Ecuaciones de la recta
bmxyCByAx
xx
yy
xx
yy
xx
yym
;0
2
2
1
1
21
21
9
CÓNICAS Ecuación Gral. de las cónicas: 022 FEyDxCyAx
Que se reduce a la forma general Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0
Donde A=b², C=a², D=-2b²h, E=-2a²k , F=b²h²+a²k²-a²b²
Los coeficientes A y C deben ser diferentes pero del mismo signo.
x=-p
P(x,y)
F(p,0)
P(x,y) A’(0,b)
A’(0,-b)
V(a,0) V’(-a,0)
F(c,0) F(-c,0)
Elipse con centro en el origen
12
2
2
2
b
y
a
x
Si la elipse tiene centro en (h,k) y ejes paralelos a
los coordenados, la ecuación de la elipse toma la
forma
12
2
2
2
b
ky
a
hx
Parábola con eje en y, centro en el origen pyx 42
Parábola con eje en x, centro en el origen pxy 42
Con vértice en (h,k) y eje paralelo a y
)(4)( 2 kxphy
Con vértice en (h,k) y eje paralelo a x
)(4)( 2 kyphx
Ecuación general 02 FEyDxy
02 FEyDxx
A
Circunferencia con centro en h,k y radio r
rkyhx 22 )()(
CAFEyDxyx ;022
( x + D/2 )² + ( y + E/2 )² = ( D² + E² - 4F ) / 4
Con centro en el origen ryx 22
(x,y)
h,k
r
10
Que se reduce a la forma general Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0
Donde A=b², C=a², D=-2b²h, E=-2a²k , F=b²h²+a²k²-a²b²
Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo contrario.
ÁLGEBRA 222
2 bababa 32233
33 babbaaba
2222 bababa
3223333 babbaaba
))((22 bababa ))(( 322344 babbaababa
))(( 2233 babababa ; ))(( 2233 babababa
).....)(( 122321 nnnnnnn babbabaababa
2222222 cbabcacabcba
222244 22 bababababa
nnnnnn bbannn
bann
ban
aba ..!3
)2)(1(
!2
)1(
!1)( 33221
543223455
)5)(4)(3)(2(1
)1)(2)(3)(4(5
)4)(3)(2(1
)2)(3)(4(5
)3)(2(1
)3)(4(5
)2(1
)4(5
!1
5)( babbababaaba
mnn
m
n mnnnnnn
n
nnnnmmnmnmn
xxxyxxyyxxy
xx
xxxxxxx
;;
1;;;
1
1ln;01ln;lnln;lnln)ln( eaxabaab x
b
nnba
b
a
a
ab
log
loglog;lnlnln
xe ebxbb lnln ;
xa abxblog
A(0,b)
F(-c,0) F(c,0)
P(x,y)
V(a,0)
Hipérbola con centro en el origen
12
2
2
2
b
y
a
x
Si la hipérbola tiene centro en (h,k) y ejes
paralelos a los coordenados, la ecuación de la
hipérbola toma la forma
12
2
2
2
b
ky
a
hx
11
SUPERFICIES A=área
Pentágono Exágono Octágono
Anillo Segmento de Círculo Segmento de círculo
Trapecio
a
a
s
a
r
b
d D
b
a
h m
h
s
¼ r
b
2
)(
4
22
dDb
bbdA
dDA
52108
5 2rA
52102
1ra
2
2
33aA
ds
sad
866,0
155.12
d
a
s
sd
dssa
sdsA
sasA
083,1
924,0;415,0
2
83,02
22
2
¼ r
b
180
22360
22
rb
brr
rA
2cos1
82
)sin(2
436
2sin2
2
2
22
rh
h
shr
rA
shs
hA
rs
2
2
bam
mhhba
A
12
VOLÚMENES (A=área ; V=Volumen ; Am=Área de la cara lateral ; A1=Área de
la base ; A2=Área de la parte trunca)
Pirámide rectangular Pirámide trunca Cilindro
Cono Cono trunco Esfera
22
2
)(
3
rhm
mrrA
rmA
hrV
m
Am= Área de la cara lateral ; p = radio en la parte media
A1
h
3
1hAV
r
h m
r
h h
A1
A2
2
3
21
2121
AAhV
AAAAh
V
)(2
2
2
hrrA
rhA
hrV
m
D
22
22
2
212
12
hdD
m
phdDm
A
dDdDh
V
m
d r
22
33
4
63
4
drA
drV
p m
h
d