Embed Size (px)
Citation preview
Permutacije skupa od n elemenata su mogući redosljedi kojima možemo pobrojati sve elemente skupa. Broj permutacija skupa od n elemenata jednak je funkciji n faktorijela:
Funkcija n faktorijela jednaka je . Posebno, .
Iz definicije funkcije faktorijela slijede identiteti:
Kombinacije k-tog razreda od n elemenata su načini na koje možemo izabrati k elemenata iz skupa od n elemenata bez obzira na redosljed izbora.
Ukupan broj kombinacija:
Varijacije k-tog razreda od n elemenata su načini na koje možemo izabrati k elemenata iz skupa od n elemenata uz razlikovanje redosljeda izbora elemenata.
Ukupan broj varijacija:
vjerojatnost događaja p definirana je kao:
p = broj povoljnih mogućnosti / ukupni broj mogućnosti
Vjerojatnost događaja može poprimiti vrijednosti iz intervala .
je vjerojatnost nemogućeg događaja.
je vjerojatnost sigurnog događaja.
Kutija sadrži 12 teniskih loptica, od kojih su dvije s greškom. Izvadimo li slučajan uzorak od 5 loptica, vjerojatnost da on sadrži točno jednu lopticu s greškom iznosi približno:
1. 26.51 % 2. 32.49 % 3. 53.03 % 4. 61.03 %
Required formulas: Definicija vjerojatnosti, Kombinacije, Permutacije
Vjerojatnost je broj povoljnih mogućnosti kroz broj svih mogućnosti.
Broj svih mogućnosti je broj načina na koji možemo izabrati 5 loptica iz skupa od 12, a to je broj kombinacija 5-tog razreda od 12 elemenata:
Broj povoljnih mogućnosti je broj načina na koji možemo izabrati 1 lopticu iz skupa od 2 loptice s greškom, puta broj načina na koji možemo izabrati 4 loptice iz skupa od 10 ispravnih loptica:
Vjerojatnost je .
Koliko se različitih željezničkih kompozicija može sastaviti od lokomotive, 3 jednaka putnička i 3 jednaka teretna vagona?
1. 2. 3. 4. 3!
Required formulas: Permutacije
Lokomotiva je samo jedna i uvijek je na prvom mjestu, pa se zadatak svodi na pitanje:
"Na koliko načina možemo permutirati 3 jednaka teretna i 3 jednaka putnička vagona?"
Svih 6 vagona možemo permutirati na 6! načina.
Taj broj moramo podijeliti sa brojem načina na koji možemo permutirati vagone koje međusobno ne razlikujemo (jednake).
3 jednaka putnička vagona možemo permutirati na 3! načina, a tako i 3 jednaka teretna vagona na 3! načina.
Ukupni broj različitih kompozicija je
Na pravcu p istaknuto je 9 točaka, a na pravcu r koji je s njim paralelan 7 točaka. Koliko ima trokuta kojima su te točke vrhovi?
1. 567 2. 441 3. 504 4. 405
Required formulas: Kombinacije, Permutacije
Postoje dvije vrste trokuta: jedna ima dva vrha na p, a druga dva vrha na r.
Trokuta prve vrste ima onoliko koliko i načina na koje možemo odabrati dvije od devet točaka na p, pomnoženo s brojem načina na koje možemo odabrati jednu od sedam točaka na r:
Trokuta druge vrste ima onoliko koliko i načina na koje možemo odabrati jednu od devet točaka na p, pomnoženo s brojem načina na koje možemo odabrati dvije od sedam točaka na r:
Ukupni broj trokuta je
.
U kutiji se nalazi deset kuglica, koje su označene brojevima od 1 do 10. Iz kutije se izvlače odjednom dvije kuglice. Kolika je vjerojatnost da je na obje izvučene kuglice zbroj paran broj i manji od 10?
1. 6 45-1 2. 6 90-1 3. 7 45-1 4. 7 90-1
Required formulas: Definicija vjerojatnosti, Kombinacije, Permutacije
Vjerojatnost je omjer povoljnih i ukupnih mogućnosti. Ukupno mogućnosti za odabir dvije kuglice od 10 je:
Pobrojimo povoljne mogućnosti: (1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5). Budući da redoslijed nije bitan, moramo paziti da kombinacije ne uzimamo dvaput. Ovih kombinacija ima 6, pa je vjerojatnost:
Na koliko načina možemo 8 različitih igračih karata razdijeliti na 4 igrača, svakome po 2 karte?
1. 2520 2. 1260 3. 630 4. 315
Required formulas: Kombinacije, Permutacije
Najprije od 8 karata odaberemo 2 i damo prvome, onda od preostalih 6 odaberemo 2, pa od ostalih 4 odaberemo 2 i što ostane damo četvrtom igraču.
Ukupno ima mogućnosti:
Ima 2520 mogućnosti!
Kutija sadrži 12 loptica za tenis od kojih su 3 sa greškom. Ako se uzme uzorak od 5 nasumce odabranih loptica, tada je vjerojatnost da uzorak sadrži najviše jednu lopticu s greškom približno jednaka:
1. 2. 3. 4.
Required formulas: Definicija vjerojatnosti, Kombinacije
Broj povoljnih mogućnosti je broj načina na koji možemo izabrati 5 loptica tako da je među njima
a) 1 s greškom i 4 ispravne lopticeb) 5 ispravnih loptica
a) 1 lopticu s greškom iz skupa od 3 loptice s greškom možemo izabrati na
načina, a 4 ispravne loptice iz skupa od 9 ispravnih na načina.
Dakle, 1 s greškom i 4 ispravne možemo izabrati na načina.
b) 5 ispravnih loptica iz skupa od 9 možemo izabrati na načina
Ukupno imamo povoljne mogućnosti.
Broj svih mogućnosti je broj načina na koje možemo izabrati 5 loptica iz skupa od 12, a to je
načina.
Vjerojatnost je omjer broja povoljnih mogućnosti i svih mogućnosti.
U kutiji se nalaze 4 kuglice označene brojem 1 i 3 kuglice označene brojem 2. Iz kutije se odjednom izvlače dvije kuglice. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojeva na te dvije kuglice jednak 2?
1. 2. 3. 0 4.
Required formulas: Definicija vjerojatnosti, Kombinacije
Zbroj može biti jednak 2, samo ako su obje izvučene kuglice s brojem 1.
Broj povoljnih mogućnosti je broj načina na koji možemo izvući 2 kuglice označene s 1, od ukupno 4 takve kuglice, a to je:
Ukupni broj mogućnosti je broj načina na koji možemo izvući bilo koje 2 kuglice od ukupno 7 kuglica, a to je:
Vjerojatnost je omjer broja povoljnih mogućnosti i ukupnog broja mogućnosti:
U kutiji se nalazi deset kuglica, koje su označene brojevima od 1 do 10. Iz kutije se izvlače odjednom dvije kuglice. Kolika je vjerojatnost da je na obje izvučene kuglice zbroj paran broj i manji od 10?
1. 6 45-1 2. 6 90-1 3. 7 45-1 4. 7 90-1
Required formulas: Definicija vjerojatnosti, Kombinacije, Permutacije
Vjerojatnost je omjer povoljnih i ukupnih mogućnosti. Ukupno mogućnosti za odabir dvije kuglice od 10 je:
Pobrojimo povoljne mogućnosti: (1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5). Budući da redoslijed nije bitan, moramo paziti da kombinacije ne uzimamo dvaput. Ovih kombinacija ima 6, pa je vjerojatnost:
