Formula Di Erone

Flavia Marcacci, La formula di Erone: una dimostrazione “poco assiomatica” ©«Annali della Facoltà di Lettere e Filosofia», Università degli Studi di Perugia - Studi Filosofici, XXXIX, nuova serie XXV 2002/2003 (2006), pp. 272-284.

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La formula di Erone:

una dimostrazione “poco assiomatica”

Il giudizio nei confronti della matematica del tardo ellenismo è stato spesso di ritenerla inferiore a quella immediatamente precedente e soprattutto di vederla come un segno della decadenza, ormai in corso, della civiltà greca. Su questo giudizio ha sicuramente pesato la normale attrattiva esercitata dai risultati dei matematici del periodo aureo della scienza greca; ma hanno pesato senza dubbio anche le opinioni di Proclo, che imposta la consuetudine di elogiare la geometria greca solo in relazione alla sua euclidicità. Se è vero che il dibattito sull’assiomatizzazione di questa scienza animò l’Accademia e impegnò i lavori e le opinioni di Eudosso, Leone, Leodamante, Speusippo, Menecmo, Teudio ed altri (Comm. a Eucl. 66-67), è anche vero che Proclo ci dà informazioni utili in relazione al suo Commento al I libro degli Elementi di Euclide. A tal scopo non è nei suoi interessi fare una qualche riflessione sull’anima pratica della geometria, nonostante non eviti di attestare la coesistenza di due principali correnti nella matematica: una che riguardava i concetti astratti, l’altra che riguardava i concetti materiali e a questi veniva applicata (Gemino in Comm. a Eucl. 38.3-6). Rispetto però alla matematica applicata, che pur fu necessaria per avviare le ricerche in materia, Proclo giudica quella astratta “perfetta” e modello verso cui tendere (Comm. a Eucl. 64-65)1. Eppure, dell’anima pratica della geometria greca doveva risentire lo stesso Platone, quando sollecita di ricorrere alla costruzione di figure per comprendere ciò che resta oscuro (Menone 84a)2; anima che analogamente rende conto dell’aggiunta spuria agli Elementi di Euclide degli ultimi due libri (XIV-XV), di carattere applicativo e sicuramente apposti a completamento dell’opera; anima che sotto molti aspetti si conferma nell’uso che Aristotele fa della matematica all’interno della sua opera3. Il giudizio di Proclo, ed in sostanza la preferenza per la geometria assiomatizzata dei Greci vista come segno della loro genialità (anche filosofica), sembra perpetrarsi nei secoli, fin tanto che autori come Cornford sono stati indotti a credere che le

1 Sulla duplice anima della geometria greca cf. F. Marcacci, La dimostrazione matematica pre-euclidea: tra costruzione e rigore logico in «Episteme» 8 (2004) pp. 149-171 e in http://www.dipmat.unipg.it/ ~bartocci/ep8/ep8-preeucl.htm. 2 Recuperando i testi di Platone si può notare facilmente come successivamente cambi il modo di intendere la geometria in senso fortemente astratto «in vista della conoscenza» (Resp. VII 527b1) e non accontentandosi delle immagini (VII Lett. 342a-344d). Per un’analisi del problema cf. G. Cambiano, Il metodo ipotetico e le origini della sistemazione euclidea della geometria in R. F. 1967 pp. 115-149. 3 La matematica e le scienze in genere si collocano per Aristotele su di un piano di immediato realismo. Ciò si manifesta quando per motivare un’esperienza pratica vengono chiamate in causa nozioni di geometria, come ad esempio: «Perché la sezione piana e ad angolo retto dei libri quando si srotola è dritta, se si taglia parallelamente alla base, e spezzata se si taglia secondo una linea inclinata? Forse per questo motivo: perché i cerchi della prima delle due sezioni sono sullo stesso piano e la sezione obliqua non è parallela alla base ma in un punto se ne dista di più in un altro di meno; perciò, quando si srotola i cerchi che sono sullo stesso piano hanno il punto di partenza sullo stesso piano, formeranno, srotolati, una loro linea» (Pr. 941a25-27 da Aristotele, Problemi, trad. a cura di M. F. Ferrini, Ed. Bompiani, Milano 2002, p. 255).


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scoperte significative in ambito matematico e scientifico risalissero limitatamente ai secoli VI-III a.C.4, nonostante già Lloyd lo correggesse esplicitamente ricordando che anche i secoli successivi produssero opere notevoli5. Un ulteriore motivo di disinteresse verso la matematica alessandrina, per molti versi alternativa e differente dalla matematica di stampo euclideo, è stato anche l’enorme e duraturo successo di quest’ultima in ambienti scientifici e filosofici: solo dopo la crisi dei fondamenti esplosa nel XX sec. è emersa l’esigenza di inventare geometrie alternative, ma prima di allora il modello di scienza euclideo ha rappresentato il metro di paragone per tutte le scienze, non solo matematiche6. È pur vero che l’acme di una matematica più attenta ai problemi pratici e volta alla meccanica, trattata prima da Ctesibio e Filone, si raggiunge nel III sec. a.C. con Archimede. Dopodichè si ha Apollonio nel II sec.; quindi Ipparco, Menelao, Tolomeo che, pur essendo personalità di spicco, traggono molto del loro lavoro da quello dei predecessori. In ogni caso, si fa strada una concezione pratica della matematica caratterizzata da uno spirito marcatamente diverso, che diede voce a ragioni profonde e avviò ricerche di segno nuovo7. Se dunque la geometria astratta non fu l’unico sviluppo puramente greco delle scienze matematiche, altrettanto sbagliato sarebbe pensare che la matematica applicata sia il segno del decadimento della civiltà greca8. Su questa scia si inserisce Erone di Alessandria (I sec. d.C)9, che completa e realizza questa nuova concezione. Erone fu autore di opere di carattere sia matematico (Metrica, Definitiones, Geometrica, Geodoesia, Stereometrica, De mensuris, Liber Geeponicus, Commentario agli Elementi di Euclide) sia eminentemente tecnico (Meccanica, Pneumatica, Automata, Barulcos, Dioptra, Catoptrica, Belopoiica, Cheirobalistra, Sugli orologi idraulici). In queste ultime descrive numerose invenzioni e strumenti come la livella ad acqua, la macchina a vapore, distributori e teatrini automatici, eliche, stantuffi, catene di trasmissione, vari tipi di valvole, tanto che Proclo lo definisce “il meccanico” (Comm. a Eucl. 305.19) a testimonianza del ruolo fondamentale che Erone rivestì in questo campo. 4 F. M. Cornford, Greek Natural Philosophy and Modern Science in The Unwritten Philosophy and other essays, Cambridge University Press, Cambridge 1967, pp. 81-94, p. 83. 5 G. R. Lloyd, La scienza dei Greci (Early Grekk Science: Thales to Aristotle, tr. A. Salvatori e L. Ributti), Laterza, Bari 1978, p. 305. Nonostante questo parziale recupero, anche Lloyd non esita ad intitolare l’ultimo capitolo del suo lavoro «Il declino della scienza antica», dedicato alla scienza successiva al II sec. a.C. e della quale «vuole considerare brevemente quali tracce ci siano dell’esistenza di un pensiero scientifico originale dopo il 200 a.C.» (p. 306). Qualcosa di analogo fa A. Rey, La maturità de la pensée scientifique en Grèce, Édition Albin Michel, Paris 1939, pp. 522-524. 6 Su tutti si pensi che Newton e Spinoza permutano il modello espositivo euclideo, ammirato per la chiarezza e il rigore. 7 Un’interessante ed erudito lavoro di rivalutazione di questa cultura è L. Russo, La rivoluzione dimenticata, Ed. Feltrinelli, Milano 1996. 8 Geymonat è ad esempio convinto che la crisi delle scienze greche si fa evidente non nell’ambito delle matematiche applicate e delle matematiche pure, quanto piuttosto in quello delle matematiche filosofeggianti, attratte dalle scienze occulte tante da arrivare a travisare anche il significato delle grandi opere classiche. Cf. L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico. Vol. I. L’antichità. Il Medioevo, Garzanti Editore, Milano 1970, p. 353. 9 Sulla problematica datazione di Erone assumo i risultati delle indagini di G. G. Giardina, Erone di Alessandria. Le radici filosofico-matematiche della tecnologia applicata. Definitiones: testo traduzione e commento, CUECM, Catania 2003, pp. 5-30, che lo situa nel I sec. d.C.


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Proprio questo carattere marcatamente pratico di molti lavori di Erone ha indotto a spiegare la scienza tecnica alessandrina con un qualche riavvicinamento alla cultura dei popoli egiziano e mesopotamico, presso i quali la geodesia, la logistica, l’agrimensura e in generale le forme di conoscenza più elementari della cultura matematica erano molto sviluppate ed avevano influenzato i primissimi secoli della scienza greca10. C’è inoltre un generale accordo tra gli studiosi nel ritenere affini i testi eroniani e i testi mesopotamici rispetto al modo di procedere nella risoluzione dei problemi11. Di certo l’apertura delle frontiere operata da Alessandro Magno facilitava gli scambi culturali molto più che nei secoli precedenti. Da ciò non si può comunque desumere con certezza che gli autori ellenistici avessero facile nonché usuale accesso ai testi babilonesi, nonostante non sia del tutto irragionevole ipotizzare una tradizione continua – o comune – tra mondo orientale e mondo occidentale. In ogni caso, quanto effettivamente questa tradizione trovi le radici in antichissimi influssi dell’oriente e quanto di questa tradizione possiamo ritrovare in Erone ci sembra un problema su cui non perdersi: in ordine di tempo la distanza è così abbondante (dal VI sec. a.C., tempo di Talete, al I sec. d.C., il tempo di Erone) che sembrerebbe più proficuo chiedersi come questi intenti di una matematica pratica si siano articolati all’interno dell’originalità greca. Indizi di questa sopravvivenza dell’anima pratica della geometria, dai primi momenti del pensiero greco fino ai primi secoli d.C., potrebbero allora essere rintracciati anche in diversi passi dell’opera eroniana. In Dioptra VIII-IX Erone studia il problema di come determinare la distanza tra il punto dove si trova l’osservatore ed un punto lontano; nella seconda collezione della Stereometrica (II.27) invece tratta di come misurare una colonna o un albero tramite la lunghezza dell’ombra proiettata sul terreno. Entrambi questi problemi fanno pensare rispettivamente ad altri due, molto simili, che secondo la tradizione fu Talete di Mileto a risolvere: la determinazione della distanza delle navi dalla riva (DK 11 A 1 e 21) e dell’altezza di una piramide (DK 11 A 20). Di Talete si sa viaggiasse molto, specie in Egitto, donde probabilmente attinse un certo modo pratico di fare scienza. Un altro tra i tanti problemi che Erone descrive e risolve, e tra gli antichi addirittura è l’unico a farlo in modo tanto dettagliato, è quello della costruzione di un tunnel attraverso una montagna (Dioptra XV). Non sappiamo se avesse in mente qualche tunnel specifico, ma è certo che una delle opere più formidabili risalente addirittura al VI sec. a.C. è il tunnel di Eupalino (Hdt III 60); di questo si ritiene sia stato costruito traforando contemporaneamente i due versanti del monte, che è proprio il caso particolare su cui Erone si sofferma maggiormente12. Poiché di Eupalino ci informa Erodoto, si può escludere che sia stato Erone ad influenzare la notizia.

10 Tannery ritiene addirittura semplici “importazioni” certe conoscenze dei Milesi, trascurando qualsiasi elemento di novità che questi avrebbero potuto apportare (cf. P. Tannery, Pour l’histoire de la science hellène: de Thalès à Empédocle, Paris 1887, p. 11 ss.). 11 Cf. O. Neugebauer, Le scienze estate nell’antichità, Feltrinelli Editore, Milano 1974, pp. 177-178; T. Heath 1920, A History of Greek Mathematics. Vol. II From Aristarchus to Diophantus, Oxford University Press, London 1965, p. 318; C. B. Boyer, Storia della matematica, ISEDI, Milano 1976, p. 202. 12 Cf. A. Burns, The tunnel of Eupalinos and the tunnel problem of Hero of Alexandria, Isis 1971 LXII pp. 172-185, pp. 176 ss.


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Può allora essere fondato pensare che il nostro geodeta abbia attinto e portato avanti una tradizione realmente preesistente, “non-euclidea” ma pur sempre greca. Questo si mostra anche nel suo modo di fare matematica: Erone non dimostra analiticamente, né fa riferimento ad un sistema stabilito di assiomi, secondo una concezione delle matematiche “non assiomatica” e rispondente ad esigenze essenzialmente pratiche. In relazione a queste esigenze, fa notare Neuegebauer, «l’indirizzo assiomatico della matematica ebbe effetti altrettanto scarsi quanto ne ha oggi sull’agrimensura»13. Tale atteggiamento infondo non era poi così nuovo: prima che la svolta assiomatica si imponesse all’interno dell’Accademia con Eudosso14, il dibattito su come impostare una dimostrazione doveva essere molto vivo e non era così ovvio risolvere a favore delle dimostrazioni deduttive15. Si è soliti rintracciare nei lavori di Ippocrate sulla quadratura delle lunule un attestato del procedimento “per problemi”: più che la catena deduttiva interessava risolvere problemi particolari più semplici, per passare poi a quelli più complessi; il risultato di uno, diventa l’ipotesi assunta successivamente, e così via, fino a una maggiore generalizzazione. È il famoso metodo “per riduzione” o apagogé, consistente nel ridurre un problema non dimostrato (la quadratura del cerchio) a un problema dimostrato (la quadratura della lunula)16. Nei trattati di Erone sulle misurazioni la distanza da Euclide è segnata marcatamente dal modo di procedere per esempi ed applicazioni concrete di calcolo; Erone di norma non bada alla struttura dimostrativa ed astratta delle singole proposizioni bensì scende nei dettagli delle applicazioni numeriche. Solo dopo aver risolto alcuni casi particolari, il “meccanico” procede alla dimostrazione generale, data solo perché fruibile in questo modo in qualsiasi calcolo particolare. Facendo un raffronto con Archimede, che come Erone fu un inventore di genio straordinario e produsse anche in ambito meccanico opere di notevole valore, non potrebbe dirsi lo stesso poiché sviluppò le sue ricerche ispirandosi fortemente allo spirito euclideo: le sue dimostrazioni sono basate su definizioni fortemente astratte, non ponendo troppa attenzione alle applicazioni concrete. Inoltre Archimede sembrava serbare una certa avversità per la meccanica17, mentre Erone ne fa il suo campo di indagine

13 Neugebauer, Le scienze esatte, p. 177. 14 Milita a favore dell’attribuzione – pressoché unanime tra gli specialisti – della svolta assiomatica ad Eudosso uno scolio al libro V degli Elementi (Euclidis Opera omnia, ed. Heiberg, Lipsiae 1885) che ne attribuisce il contenuto ad Eudosso: il libro V colpisce per l’impianto assiomatico, costruito per generalizzare le proprietà delle proporzioni. Cf. G. Loria, Le scienze esatte nell’antica Grecia, Cisalpino-Goliardica, Milano 1987 (rist. anast. Hoepli, Milano 1914), p. 142. 15 All’interno dell’Accademia i sostenitori della dimostrazione assiomatica da una parte e della dimostrazione per problemi dall’altra erano Speusippo e Anfinomo contro Menecmo. Cf. Loria, Le scienze esatte nell’antica Grecia, p. 263; Marcacci, La dimostrazione matematica pre-euclidea, pp. 162-163. 16 Le dimostrazioni di Ippocrate sono riportate da Simplicio (Phys. 55.26-60.22). Cf. Pitagorici. Testimonianze e frammenti, a cura di M. Timpanaro Cardini, fasc. II, La Nuova Italia, Firenze 1962. Cf. anche Marcacci, La dimostrazione matematica pre-euclidea, pp. 153-154. 17 Plutarco potrebbe aver esagerato, ma così scrive su Archimede (Marc. 14): «Persuaso che l’attività di uno che costruisce delle macchine, come di qualsiasi altra arte che si rivolge a un’utilità immediata, è ignobile e grossolana, rivolse le sue cure più ambiziose soltanto a studi la cui bellezza e


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privilegiato portando la sua mentalità pratica nella matematica. Per questi ed ulteriori motivi un recente studio di Giardina descrive il “meccanico” come il primo vero “tecnologo” della storia, ed in questa sua posizione Erone espresse tutta l’originalità che gli va riconosciuta18. Da “tecnologo”, Erone cerca di mostrare e approfondire la base teorica delle conoscenze pratiche, così da elevarle da semplice tecnica a tecnologia: si pensi al proemio dei Pneumatica, in cui viene argomentata l’esistenza del vuoto e la costituzione della materia, mentre il resto dell’opera descrive più di sessanta congegni meccanici tra cui la famosa eolipila19. Ma Erone vuole adattare anche le conoscenze astratte a quelle concrete e per questo ripensa anche la struttura di una dimostrazione matematica: svelandosi abilissimo anche sotto il profilo teorico, Erone bada alla sperimentazione di fatto delle sue conoscenze, arrivando ad utilizzare sollecitamente approssimazioni oltre che esemplificazioni numeriche. Una prova di questo atteggiamento può essere rintracciata nella dimostrazione che l’alessandrino svolge della formula che porta il suo nome: la “formula di Erone”, utile al calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi date le lunghezze dei lati. La formula è svolta anche in Dioptra XXX. Da fonti arabe20 è emerso che la formula sarebbe dovuta ad Archimede, sebbene non sappiamo se ne diede una qualche dimostrazione21. Quella che figura nelle opere di Erone resta dunque la più antica in nostro possesso; e soprattutto è significativo il contesto e la modalità decisamente “poco assiomatica” ─ nel senso sopra descritto ─ secondo cui la dimostrazione viene svolta da Erone. Si seguiranno i passi di Metrica (I.4-8)22, uno dei libri dedicati alle misurazioni e maggiormente attenti alla veste deduttiva. Nonostante questa attenzione, Erone parte da casi particolari per discutere solo alla fine la formula generale, tanto da distinguere addirittura due metodi. Così conferma la sua predisposizione a munire le esposizioni di moltissimi esempi numerici, anche nel caso di una formula astratta come la “formula di Erone”. Si tratta, dunque, di un modo diverso di dimostrare, “poco euclideo” ma ugualmente presente nella cultura matematica greca.

astrazione non sono contaminate da esigenze di ordine materiale». Cf. Lloyd, La scienza dei Greci, pp. 242-245. 18 Giardina, Erone, pp. 129-132. 19 Si tratta del famoso congegno costituito da una sfera cava messa in rotazione sfruttando il vapore dell’acqua bollente. 20 Cf. T. Heath, A History of Greek Mathematics, p. 322. 21 C. M. Taisbak, An Archimedean proof of Heron’s formula for the area of a triangle, Centaunus 1980 XXIV pp. 110-116, tenta una ricostruzione archimedea della dimostrazione. 22 I passaggi algebrici sono stati riscritti in forma facilmente leggibile ma rispettando rigorosamente quelli eseguiti da Erone (Eronis Alexandrinis. Opera quae supersunt omnia. Vol. III Rationes Dimetiendi et Commentatio Dioptrica, a c. di H. Schöne, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1903). Riproduzioni della dimostrazione di Erone, anche se più sommarie, si trovano anche in Loria, Le scienze esatte, pp. 591-592; Heath, A Hist. of Greek Math., pp. 321-322; M. R. Cohen-I. E. Drabkin, A Source Book in Greek Science, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1975, pp. 85-86; e in altri.


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Metrica I.4 – Primo metodo

Erone inizia dando le coordinate generali che gli permetteranno di fare calcoli su casi particolari. Il primo metodo fornito per la determinazione dell’area di un triangolo scaleno si basa su due proposizioni di Euclide:

Eucl. II 12: «Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all’angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l’angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l’angolo ottuso e dalla proiezione dell’altro su di esso».

Eucl. II 13: «Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all’angolo acuto è minore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l’angolo acuto, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l’angolo acuto e dalla proiezione dell’altro su di esso».

Sia dato un triangolo scaleno di vertici A, B, C.

Per riconoscere se un suo angolo è acuto, retto o ottuso basta vedere se vale la formula

BC2 BA2+AC2 in questo caso riferita all’angolo in A. In base a questa formula e applicando Eucl. II 13, vale

a2= b2 + c2 ± 2cAD. Da qui

AD = [(b2 + c2) ~ a2] / 2c. Poiché DC2 = b2 – AD2, l’area è trovata (= ½ c · DC). Metrica I.5 – Primo metodo, applicazione numerica (13, 14, 15)

Negli esempi numerici, Erone non specifica le unità di misura, come aveva dichiarato al principio del I libro dei Metrica: «per non avere bisogno di nominare per ciascuna misura piedi o cubiti o loro frazioni, presenteremo i dati in unità, potendosi così intendere qualunque unità di misura». Anche in questo caso si tratta di una questione di praticità, per evidenziare l’importanza di saper quantificare le misure e probabilmente per snellire le operazioni. Si può notare che però Erone non


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sottolinea neanche l’esigenza di utilizzare la stessa unità di misura durante i calcoli: probabilmente riteneva la specificazione superflua per il suo lettore. Come primo esempio viene preso un triangolo di lati (13, 14, 15).

In tal caso vale

AC2 < AB2 + BC2 Dunque l’angolo sarà l’angolo acuto in B. Da qui Erone svolge i seguenti passaggi:

AC2 + 2 CB · BD = AB2 + BC2 Poiché vale

AB2 + BC2 = 365 e

AC2 = 225 allora

2 CB · BD = 140 e perciò

CB · BD = 70. Essendo BC = 14, allora BD = 5. Valendo AB2 = AD2 + DB2 ed essendo AB2 = 169, allora

AD2 = 144 e AD = 12. A questo punto l’area è la metà di

BC · AD = 14 · 12 = 168, ovvero 84.

Metrica I.6 – Primo metodo, applicazione numerica (11, 13, 20)

Viene ora considerato un triangolo di lati (11, 13, 20). In tal caso vale

AC2 > AB2 + BC2. Quindi il ragionamento procederà identico al precedente, muovendo però dall’assunzione AC2 - 2 CB · BD = AB2 + BC2. L’altezza AD risulta anche in questo caso pari a 12 mentre l’area del triangolo pari a 66. Metrica I.7 – Considerazioni di passaggio

Questo paragrafo ha tutta l’aria di un preliminare a quanto verrà esposto nel paragrafo successivo. Erone prenderà infatti in considerazione il caso di numeri non quadrati perfetti, premettendo che la radice di AB2 · BC2 è in ogni caso AB · BC. Quindi continua:


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«Poiché AB : BC = AB2 : ABC = ABC : BC2, allora segue pure

AB : BC = ABC : BC2. Da ciò i tre valori sono tra loro proporzionali, cosicché il prodotto degli (estremi) sarà uguale al quadrato del medio. Così AB2 · BC2 = ABC2; quindi √ AB2 · BC2 = ABC».

Il passaggio si basa sulla proposizione 17 del VI libro degli Elementi:

«Se tre rette sono proporzionali, il rettangolo compreso dai termini estremi è uguale al quadrato del termine medio; e se il rettangolo compreso dai termini estremi è uguale al quadrato del termine medio, le tre rette saranno proporzionali».

Più in generale ci si può rifare anche a Eucl. VI.1: «Triangoli e parallelogrammi che abbiano la stessa altezza stanno fra loro come le basi». Taisbak insiste sul fatto che, moltiplicando quadrati e rettangoli, Erone compie un passaggio non usuale nella matematica greca; infatti viene messa in causa una grandezza come ABC2, che rimanda ad uno spazio tridimensionale23. In realtà il passaggio non sembra così inappropriato per i matematici del tempo di Erone: Euclide stesso si sofferma a definire i numeri solidi, differenziandoli dai numeri piani (definizioni XVI e XVII); e come i numeri piani rimandano ai rettangoli (bidimensionali), è evidente che i numeri solidi rimandano ai parallelepipedi (e dunque ad uno spazio a tre dimensioni)24. C’è inoltre da considerare, anche in questo caso, lo spirito eminentemente pratico che contraddistingue l’uso che Erone fa di Euclide e delle conoscenze teoriche in generale: se ricorrere alle grandezze tridimensionali poteva servire praticamente per risolvere un determinato problema, nulla vietava di farlo. Metrica I.8 – Secondo metodo e metodo di approssimazione per radici di

quadrati non perfetti

Erone passa ora ad un ulteriore esempio numerico, nel quale coinvolge quadrati non perfetti approfittando della premessa del paragrafo I.7. Il triangolo studiato è di lati (7, 8, 9). Di questo triangolo Erone calcola il semiperimetro (12). Quindi calcola le differenze tra il semiperimetro e i singoli lati: (12 – 7 = 5), (12 – 8 = 4), (12 – 9 = 3). Da qui esegue i passaggi:

12 · 5 = 60 60 · 4 = 240 240 · 3 = 720

«Da ciò, trarre la radice», scrive Erone: è infatti la radice di 720 a rappresentare l’area del triangolo. Ma 720, egli stesso sa bene, non ha radice razionale. Perciò descrive un metodo per trovare una radice prossima, considerato il quadrato perfetto più vicino a quello del numero in esame. Nel caso specifico è 729, la cui radice è 27.

Dividiamo ora 720 per 27: si ottiene 3

226 25.

23 Cf. Taisbak, An Archimedean proof…, pp. 112 ss. 24 Euclide, Gli Elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, UTET, Torino 1970. 25 Il numero così scritto rappresenta una somma, seconda la modalità degli antichi di rappresentare i decimali. Cf. Heath, A Hist. of Greek Math., pp. 324-325.


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Da qui si procede:

3

253)27

3

226( =+ .

La metà di quest’ultimo valore è (3

1

2

126 + ). Questo numero al quadrato dà

36

1720 .

Così la differenza tra il quadrato di partenza (720) e quello risultante

dall’approssimazione 36

1720 sarà di solo

36

1 .

Volendo diminuire ulteriormente questa differenza, basterà ripetere l’operazione

partendo da (3

1

2

126 + ) anziché da 27.

Secondo metodo – Formula generale e sua dimostrazione

Finalmente Erone giunge a dare la formula generale per calcolare l’area di un triangolo qualsiasi, a tutti ben nota nella forma

D = √ [s(s-a)(s-b)(s-c)], dove s è il semiperimetro del triangolo di lati a, b, c. Il procedimento dimostrativo è il seguente: siano date le lunghezze dei tre lati del triangolo. Inscrivere nel triangolo il cerchio DEF di centro O. Tracciarne i raggi AO, BO, CO, EO, FO, DO.

Allora BC · FO = 2 BOC AC · EO = 2 AOC AB · DO = 2 AOB. Sommando

(BC + AC + AB) · FO = P · FO = 2 ABC, dove P è chiaramente il perimetro. Prolungare BC e fissare il punto H tale che BH = AD. Allora AE = AD, BD = BF, CF = CE e quindi HC = P/2. Segue HC · DO = ABC.


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Vale allora HC2 · DO2 = ABC2.

Qui di nuovo Erone si appoggia alla premessa del paragrafo I.7.

A questo punto si traccia da O la retta che intercetta il lato BC in K e la perpendicolare in B in L. Tracciare quindi CL. Essendo gli angoli COL e CBL retti per costruzione, COBL è un quadrilatero in un cerchio. Allora la somma degli angoli COB + CLB = 2R. Ma COB + AOD = 2R perché AO, BO, CO bisecano l’angolo giro O e gli angoli COB e AOD sono entrambi uguali agli angoli AOC e BOD, mentre la somma di tutti e 4 gli angoli è di 4R. Consegue la congruenza tra gli angoli AOD = CLB. Allora i triangoli AOD e CLB sono simili. Quindi

BC : BL = AD : DO = BH : OF E alternativamente, considerando anche la similitudine tra OKF e BKL:

CB : BH = BL : OF = BK : KF. Da qui

(CB + HB) : HB = (BK + KF) : KF CH : HB = BF : FK.

Ricordando che COK è retto, segue CH2 : (CH · HB) = (BF · FC) : (CF · FK) = (BF · FC) : OF2

Allora ABC2 = CH2 · OF2 = CH · HB · BF · FC = [s(s-a)(s-b)(s-c)]

e quindi ABC = √ [s(s-a)(s-b)(s-c)].

È allora palese il modo di procedere eroniano anche in questioni di geometria di carattere più astratto come questa trattata. Erone preferisce lavorare sui numeri, ovvero sulle misure delle grandezze, e non piuttosto sulle grandezze stesse. Solo quando si è debitamente insistito sul momento effettivo del calcolo, la dimostrazione procede nella sua eleganza formale, che mira a giustificare i calcoli già compiuti anziché ad esserne la premessa; ovvero, l’attenzione al problema particolare avvia la ricerca della formula generale. Flavia Marcacci

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