Formula de interpolacin de LagrangePueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los mtodos fundamentales para encontrar una funcin que pase a travs de datos es el de usar un polinomio.

La interpolacin polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre s. Entre stas se encuentran las series de potencias, la interpolacin de Lagrange y la interpolacin de Newton hacia atrs y hacia delante.Un polinomio de orden N que pasa a travs de N + 1 puntos es nico. Esto significa que, independientemente de la frmula de interpolacin, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemticamente idnticas.Suponga que se dan N + 1 puntos como Xo X1 ... Xn fo f1 ... fnDonde X0, X1, . . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a travs de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como g(x) = a0 + a1x + a2x*2 + . . . + aNx*NDonde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1 puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales: f0 = a0 + a1xo + a2xo*2 + . . . + aNx0*N f1 = a0 + a1x1 + a2x1*2 + . . . + aNx1*N . . . fN = a0 + a1xN + a2xN*2 + . . . + aNxN*NAunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solucin de la computadora quiz no sea precisa. (Realmente las potencias de xi en la ecuacin pueden ser nmeros muy grandes, y si es as, el efecto de los errores por redondeo ser importante.) Por fortuna, existen mejores mtodos para determinar una interpolacin polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre stos estn la frmula de interpolacin de Lagrange y la frmula de interpolacin de Newton hacia delante y hacia atrs.Para presentar la idea bsica que subyace en la frmula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:V0(x) = (x x1)(x x2) . . . (x xN)Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La funcin V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0 (x) entre V0 (x0), la funcin resultante (x x1)(x x2) . . . (x xN) V0(x) = (x0 x1)(x0 x2) . . .(x0 xN)toma el valor de uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN. En forma anloga, podemos escribir Vi como (x x1)(x x2) . . . (x xN) Vi(x) = (xi x0)(xi x1) . . . (xi xN)donde el numerador no incluye (x xi) denominador no incluye (xi x). La funcin Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en x = xj, j no pertenece a i. As, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado ser un polinomio de orden a lo ms N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N.La frmula de interpolacin de Lagrange de orden N as obtenida se escribe como sigue (Conte / de Boor): (x x1)(x x2) . . . (x xN) f0 g (x) = (x0 x1)(x0 x2) . . . (x0 XN) + (x x0)(x x2) . . . (x xN) f1 (x1 x0)(x1 x2) . . . (x1 xN) . . . + (x x0)(x x1) . . . (x xN-1) fN...........................Ec 1 (xN x0)(xN x1) . . . (xN xN-1)La Ec 1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la ecuacin lineal. Parece complicado, pero incluso la memorizacin no es difcil si se entiende la estructura.EJEMPLO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE APLICADO EN LA INGENIERA QUMICA.1. a) Las densidades del sodio para tres temperaturas estn dados como sigue:iTemperaturaTi (x)DensidadPi (f)

094 C929 kg/m3

1205902

2371860

Escriba la frmula de interpolacin de Lagrange que se ajusta a los tres datos.1. b) Determine la densidad para T = 251 C utilizando la interpolacin de Lagrange (al calcular el valor de g (x), no desarrolle la frmula en una serie de potencias).Solucin.1. a) Ya que el nmero de datos es tres, el orden de la frmula de Lagrange es N = 2. La interpolacin es Lagrange queda:

(T 205)(T 371) X (929) g (T) = (94 205)(94 371) + (T 94)(T 371) X (902) (205 94)(205 371) + (T 94)(T 205) X (860) (371 94)(371 205)

1. b) Sustituyendo T = 251 en la ecuacin aterior, obtenemos g(251) = 890.5 kg/ m3(Comentarios: al evaluar g (x) por un valor dado x, no se debe desarrollar la frmula de interpolacin de Lagramge en una serie de potencias, porqu no slo es molesto sino adems se incrementa la posibilidad de cometer errores humanos.)Eplicacion 2 del mtodoPOLINOMIO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGETenemos los datos :

El polinomio de interpolacin de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .Y as sucesivamente, veremos finalmente que la condicin se cumple si y para toda .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser ms claros, analicemos detenidamente el polinomio . De acuerdo al anlisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para : y , para toda Por lo tanto, planteamos como sigue: Con esto se cumple la segunda condicin sobre . La constante c se determinar para hacer que se cumpla la primera condicin:

Por lo tanto el polinomio queda definido como:

Anlogamente se puede deducir que: , para y formula expresada mas fcilmente es la siguiente:

EJEMPLO:Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:i0123

f(xi)1-13-2

x-2024

Pn(x)=(L0(x)*1)+(L1(x)*-1)+(L2(x)*3)L0=L1=L2=L3=L0==L1==L2==L3==P4(x)=P4(x)=P4(x)=P4(x)=

P4(x)=