TabelienOberblick

Formelanhang

Tabellenuberblick

TABELLE_ FUNKTIONEN

Elementare transzendente Funktionen (Grundkenntnisse)

TABELLE_ KEGELSCHNITTE

Gleichungen , DefinitionenIKonstruktionen

TABELLE_ VEKTOREN

Ebene Vektoren, Eigenschafien, Riiumliche Vektoren;

Skalar-, Vektor-, Spatprodukt; Polar- und Kugelkoordinaten

TABELLE_KENNWERTE

Fliicheninhalt, Statische Momente und Fliichentriigheitsmomente;

Integralformeln und Formeln fUr Polygonfliichen

TABELLE_CLAPEYRON

Dreimomentengleichung, Formeln fUr bestimmte Belastungsglieder

TABELLE_NORMAL VERTEILUNG

Eigenschafien, standardisierte Normalverteilung; Tafelwerte

TABELLE_REGRESSION

Iinearen RegressionIKorrelation, Zufallshochstwerte; Speziell nichtlineare Ansiitze

TABELLE_BIEGELINIE

Zusammenhiinge von Streckenlast, Querkraft, Biegemoment und Biegelinie fUr den

belasteten Einfeldtriiger

369

370 TabellenGberblick

Anmerkung:

Die Tabellen gehoren zu den Merk- und Ubungsbliittem, die in der Mathematikausbildung der Bauingenieurstudenten an der FH Neubrandenburg verwendet werden.

Tabelle _Funktionen 371

Tabelle_Funktionen

Eigenschaften elementarer transzendenter Funktionen

Bogenmal1 x (in rad) Winkel mar.. a (in Grad)

Winkelfunktionen

b

fUr beliebige Winkel

, .................. _ .......................... _ .... _ .. ··_···· ... ····1

! sin 2 x + cos 2 x = 1 I I I sin x ! tan x = cos x I I I I co(x<:> (a~x I 1 ....................................... _ ••.•.. - •. _ ................•. ;

Aus der Grafik liest man z. B. ab:

[ ................... ~ ...................................... "i80~··· .. ····1 l x=--·a a=--·xl L ... _ ....... !~g~ ....................................... ~ ............ J

im rechtwinkligen Dreieck

r-··········· ... ···· ... ···· __ ·· ... ············_······ ... ·· ... ··· ....................... _ .................................. ····_··--··-1 i. a b a b i i sma=- cosa=- tana=- cota=- l ! c c b a i I i ! ! i ............... ~.~~ .. p. ... ~ .. ~~ .. ~!! .............................. ~~.~ .. p. ... ~.~~~.~ .......... .l

Additionstheoreme

[ .. ·~·~~·(~·~·;)·:··~~~·~·:··~~~~·~··~~~~·:·~~~·; .. ···l ! cos(x+y)=cosx·cosy-sinx·siny ! t .............. _ ...... _ .................................................... _ ....................................... .1

Vorzeichen in den Quadranten r·· .. ·· .. ········I .... ···i· .. ··iii······iv] ! sin + + - ! lcos + - + ! :._ .................. -.... _ .......... _ ................. '

Periodizitat f( x + 2· n ) = f( x)

sinn =cosO=l 2

sin(- x) = -sin x

cos(2n -x)= cosx

.n n Sln-=cos-4 4

tan~ = 1 4

cos(- x) = cos x

=cosx u.s.w.

372 Tabelle_Funktionen

Arcusfunktionen Inverse der Winkelfunktionen

;··_·· __ ·· ...... ·_···· .. ·· __ ··· __ .. ···_ ..... ······ __ ··· ..... ··-1 i -l~x~+l ! i "" "" ! ! . I. I. : i y=arcsmx --<y<-! ! 2 - - 2 i I : i ! ! y=arccosx O~y~11: i ! £ i ! i ! i -oo<x<+oo ! i 11: 11: i ! y = arctan x --<y<-! ! 2 2 ! L ............................. _._ .... _ .... __ .......... _ .... _ ... -l

i·-··-····-·~--··--··-----··--·-----·-..,

! I

I arcsm x= arctan ( p J I i arccos x = 11: - arcsin x i ! 2 ! !_ .... ___ .. _________ ..... _____ .. _. __ ._.i

jarctan.; fiir x> 0

arc cot x=

arctan : + 11: fiir x < 0

-'--'--'--"--"--'--'--'--'--;;r.r' 7--'--'--'--'--x

arctan x ' / _-----~1t/2

Exponential- und Logarihmusfunktion r ................................ _ .... ·_ .... _ ...... ·_ .......... · .............. · .. · .. · .... ·j ! y=eX e=2.71828.. ! I i : I

i ! : i ! inverseFunktion (natOrlichEr Log.) i ! I ! y=lnx x>O i i ! I ___ .•.. __ .. __ •. __ ._.~ .. _._ .. _ ... _. __ •• _ •• _ ••• _ •.. _.-J

Allgemeine Potenzen und Logarithmus­funktionen f-···-....... · .. ·-· .. ·-··..-···· .. ····-··-··--·----···------··· .. ·····_···· ... ·1 I aX = eX' In a log x=lnx ~ >0) I i a Ina i i_ •• __ •• __ ••• _ .... _ .......... _ •• _ .... __ •• _ •• _._ •••• _. __ ._ ••• __ •• ___ ._=

1

Dekadischer Logarithmus

y=loglOx=lg x ~ x=lOY

f3~9.n.~!!.g~~f2J?~· .. ·-.... - ........ - ........ 1

Ilog(x·y)=logx+logy i aO=l ~lo&l=O \log(yX) =x·logy I a1=a ~logaa=l L_ ......... ____ ................ _ ... _ ....... ___ .... __ .. _ ... i

Tabelle Funktionen 373

Hyperbelfunktionen y

!-:~~l:~~~~:~~---i I y= coshx= i 12 i L ..... n •••••••••••••••••••••••••• __ •••••• _ ••••• n ••• _ •••••• _ •••••••••••••• !

cosh x

j .... _ ..... _ .. _ ..... u ........... _ •• _ •• _ ••••••••••••••••• _ ............... ! I cosh2 x-sinh2 x=1 I i sinhx ! : tanhx =--- : I cosh x I

I cothx = :;::: = tO~hX I 1... ..•• _ ••..•...•...... __ •..•••••.••...•....••.•.••.. _ •.•• __ ..•••. _ •.••• .1

sinh x

Areafu n ktionen Inverse der Hyperbelfunktionen [-~~::~-=-::-;~(:~~~~:rl

: ,

I arCOShX=ln(X+~X>-l) 1

I artanhx= ~ln(:~:) I I arcoth x=! .zn(X+ I) I i 2 x-I i i .. ~ ...... _ ............... _ ..... _ .... _ ...... _ .... ___ ... __ ........ _ .... __ .... .1

Imaginare Argumente

r· .. ·····:····················· .. ·· .. ·······_··· .. ·····_····_····1

! e1,x=cosx+i·sinx! e2;r·i= I L ........... _ .. _ ............. _ ............................. _ .... .1 Eulersche Formel

r·····-······-··-·-········i:·~·········:::i:;······-······_··········_···· __ ·· __ ····_·····1

I sinx= e -e =-i·sinh{ix) i I i.}·i -i·x I ! e +e : i cosX= 2 cosh{ix): i ......... _ .... _ .... _ .... ~ ...... u_ •••• _ •••••••• _ •• _ ........ _~ •• n_ •••••••••• u •••• _ •••• _ •••••••• _i

lPF1

~PF2

-2.a I

~ =

2·e

<2

·a=

AB

~

, T

.

'. .,

. I;

. M·~

•• ~

y-

b·s

ln(t)

, X

-a

·cos

(t),

b-

Ja2-e

2

Def

initio

nen

und

Kon

stru

ktio

nen

Para

bel

Hvo

erbe

l

!PF-p,,

1 F

t=p

y y

t·mro ~

mro

Yo

.;·x

: x--

m-

:t.O

)y. ~-Xl

HJQ

\1"PF

1-P"f

21-2 .

a I ~=2

.e>2

.a=AB

It.

I .•• N

Q l

• •

• ",.

""

Asy

mpt

oten

:

y _ ±~

. x ,

b = .J

r-".e2 =

-_-a":

:-2

.,

x

-t

D) e­ CD

ICD ~

CO

CD u;- n :r

::s ~

w ~

~

C" ~

Ie;; ~

cc

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n ::T

::J ii

Keg

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hnitt

e :

Gle

lchu

ngen

KoO

tdin

atan

syst

em

Krei

S E

llipse

P

arab

el

Kar

tesi

sdle

Koo

rdin

aten

M

ittel

punk

t M

(O.O

) M

ittel

punk

t M

(O,O

) H

aupt

$Che

itel

S( a

, 0)

Sch

eite

l S(

O,O)

B

renn

punk

t F

:::

M

Bre

nnpu

nkte

F(

a, 0

) B

renn

punk

t F

(p/2

, O}

Rad

ius

r H

alba

chse

n a

> b

H

albP

aram

eter

p

le2:a

2-b

21

X2

y2

Ix2

+y2=

r21

1.v2=

2.p.xl

-+

-=

1

82

b2

Par

amat

erda

rste

lll,ln

g

~

X =

X (t)

x=

r·co

s t

x=

a·c

ost

y=

y(t

) Y

=r·

sin

t y

= b

-si

n t

y=

.J2

ji·t

0:

5:t<

2tr

0:5:

/<21

1:

-00

<1

<+

00

Pol

arko

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n r=

P

£

=8

B

renn

punk

t F

:::

0(0.

0)

Ir =p=

kons

t I 1

-£ -c

os cP

,

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F)

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p »

0 I

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a ,0

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-I

III

C" !.

ICD

~

cc

CD iii

(') :::r :::s =

CD

W

"'-I

c.n

376 Tabelle_ Vektoren

Tabelle_ Vektoren

Ebene und raumliche Vektoren

Bestimmungsstlicke Einteilung nach der Anwendung

~

a=a freier Vektor 9

(Verschiebung)

Iinienfluchtiger V. E (Krafte)

Betrag I al=a Richtungswinkel ex gebundener V. OP

Spezielle Vektoren

Einheitsvektor § I § I = 1

Nullvektor Q I Q I = 0

entgegengesetzter V. - 9

Rechenregeln

( Orlsvektor )

Rechenoperationen

Multiplikation mit einer Zahl

( Vervielfachung) ! ......... -:: .. u_ .. .:: .... ;

it· a=b 1 t_ •.•••••••• _ ••...•...•.•.. ;

112 I = I tl·lg I 12iig (t> 0) ..l2iJ.g (t< 0)

9 / (-t). 9 ~t.a

/" /" = -(t·a.)

p

O~c;t,

Addition

(Vektorparallelogramm) r······~····~····jr·:·····~···i I : I .. _ .... u ........................ _ •••••••• ;

~ ...... --.......... -.... -.......... -....... .

Kommutativgesetz I a + fj = jj + a I l ... _ .................. _ .... _ ............... ..1

Assoziativgesetz r·T§··:·E··)=··~··:-···§··=·{i~·:·-~···")l i __ ........ _ ........................ _n .......... _ .......... _ ........ _._.n .... :

Tabelle Vektoren

Zerlegung nach orthogonalen Einheitsvektoren T, J, k

Ebene Vektoren Raumliche Vektoren

Komponentenzerlegung Koordinatenvektor ............................................. -.. -... ~ i -- -: -: i i 8=8x " +8y 'J i L ............ _ .......... _ ...... _ .. _o ........... ..!

r·=··-····(···~~·)······l : 8 = I

i 8 y i L .. ~ ........ _ ..•... n ••• _ •••• j

.a

Darstellung in Polarkoordinaten Darstellung in Kugelkoordinaten

1··~·=·I·;·i·=··:-:·j:i··=··:i·····1 L ••............•...••••..•••.•.• _ •...••.•• _ ••..•• _ .............. .!

!···a;··:··a·:·~~~·;;···l

i 8y =8·sina i i.._ •...•...•. _ ••..••..•.•••••.•• _ •.•.•••. =

Rechenregeln in der Koordinatendarstellung

[ax] [tax] [ax] [bx] [ax±bx] t· 8y = t'8y 8y ± by = 8y ± by 8z t· 8z 8z bz 8z ± bz

Verallgemeinerung auf n-dimensionale Vektoren

r·····-·u.~ .. ---.... -...... -----...... -....... n ••• _.-_ •••••• _ •••• :

: I

! I-I I 2 2 2 i : r= 8 =8=i/8x +8y +8z ! ! ....... _ .... __ ........... n ••••• _ ................. _ •• _ • ........... _ ••••••• l

j·····-····-······-······-·~·············· .. · .. ········l i 8x=8'COSlP'COSOi i 8y =8·sinlP·coso i L..~~ ... ~.~.:.~!.~ .. ~_ .... __ ..... _ .... .J

Vektor- und Punktkoordinaten

P1(X1 ,Y1 ,Z1) P2 (X2 , Y2 , Z2)

[X,-X, ) Pt P 2 = Y2 -Y1 z2 -z1

H~(ai)~[:J t . (8 i) = (t. 8i ) (8i)± (bi)= (8i ± bi ) 1~1=~81 +8~ +"'+8~

377

378 Tabelle_ Vektoren

Skalarprodukt

r"~":"E" ;:i";" i'~rEr'::~" ~-"l !.._ •• __ ..•.••..•• _ ••..••..••.••••...•. _ •••••....•••••......• _ • ••.. _ • .•. i

a. Darstellung mittels Projektionen

a 0 b =a . ba = b· a b ~~~~--------y

Koordinatendarstellung

ii ob =ax ·bx +ay .by +az ·bz

Verallgemeinerung auf n-dimensionale Vektoren a = (a1 a2 ... an)T r····_············_··················-·········_······ ...... _ .... _ ...... _ .... -.... -.... _ ...... _ ............. ·····_··_······1 1 - - -T - 1 l aob=a ·b =a,·b1+a2·b2+···+an·bn \ "Zeile"x"Spalte" i .. __ .. _ .... _ .. _ .. _ .... _ ........ _ ............... n •••••••• • •••••• • • _ • • •••••••••••••••• _ ••••• _ •••• _ ••• • _ •••• _ • • •••••••••••• _j

I-I ~ I 2 2 2 Norm (Betrag) des Vektors a ="\/ a' . a =Va1 + a2 + ... + an

Vektorprodukt

Richtung des Vektorprodukts

axb / a axb / b a, b, axb Rechtssystem

Komponentenzerlegung r····_··················_························ __ ··· ....... _ .......... _,

1 J i

1_~:~_:LI_~J x

Flacheninhalt des Parallelogramms ................. _ • ••• _ •••••••••••• _ • ••• _ •• ••• n ••• ~ • •••••• • •••••••• ••• _ •• •••• •••••• _ ••• _ ... . ..

i._.~ .. =J~ .. =.~L.= .. .J.~..!..J~L~.~ ... ~ ... .J

Tabelle _ Vektoren 379

Spatprodukt

r·-----·-·-·-·-i

I [a 6 c ] := (8 x 6) 0 c I L-__ . __ .. _---'

(8 x 6) 0 C = 8 0 (6 xc) h

[a 6 c]:= :; az

Spatvolumen

V =A·h =laxbl'I~' co e = I(axb)ocl

Eigenschaften von Skalar-, Vektor- und Spatprodukt

Skalarprodukt orthogonale Vektoren

aob= boa a I 6 :::) aob = 0 -

a 0 (b + c) = a 0 b + a 0 c Einheitsvektoren

A ·(aob)= (A ·a) ob l o} =701< =l ok=0

IO/=}Ol=k ok=1

Vektorprodukt parallele Vektoren

axb=-bxa ai/ b :::) axb = 0

ax(b+c)= axb+ axc Einheitsvektoren

I Xl =k }xk=1 kXI =} )., . (axb)= ()., .a)xb

I XI =lX} =kxk =O

Spatprodukt

[abc]=[bca]= -[bac] a,b,c in einer Ebene(komplana~

[ a b (c + a)] = [a b c} + [a b a ] => [a 6 c] =0

)., . [a b c ] = [()., . a) b c ] speziell a a cl =0

Entwicklungssatz ax(bxc) =(a oc).b - (a ob).c

1 a x 6 I + 1 a 06 12 = 1 a 12 . 1 jj 12

Schwarzsche Ungleichung I a 0 6 12 :s; 1 a 12 . 16 12 gilt auch fUr n-dimensionale Vektoren.

380 Tabelle _ Kennwerte

Tabelle_Kennwerte

Flachenkennwerte Flache unter der Kurve y = f(x)

y , • ,

• . xs y = f(x) .. '. . I

Schwerpunktkoordinaten . • • I ..,-

---4 - ..... -..... ---I

dA I

x I

Sy Sx ----- ---- ----~----- ys xS=A' YS=- I

A y I I I I

X a I b

b/(x) b Flacheninhalt

A= f dA= f f dydx = ff(x)dx a 0 a

b/(x) b Statische Momente Sy = f XdA= f f x . dydx = f X'f(x)dx

bzgl. der Koordinatalachsen a 0 a b/(X) 1 b

Sx= f ydA= f f Y'dydx=2" f(J(x))2dx a 0 a

b/(x) b

Flachentragheitsmomente I y = f x2 dA = f f x2 . dy dx = f x2 . f (x) dx bzgl. der Koordinatenachsen a 0 a

b f(x) 1 b

Ix= f idA=f f i·dydx=3"· f(J(x )?dx a 0 a

bf(x) b

Ixy = f x · ydA = f f X· Y dydx =+. f x · (J(x))2dx a 0 a

bzgl. der Schwerpunktachsen Sys = Sxs = 0 Schwerpunkteigenschaft

Tabelle _ Kennwerte 381

Polygonal berandete Flache (n-Eck) Flachensystem

y y

~ 3

• Pi+'

CD m Flachen

• p ------------------_. I Pi I

.~ X

Pn+, = p, • xl

X schraffierte Flache links!

n m

A = ±o L,(Xi 0 Yi+l -Xi+l 0 Yi) A= LAk i=l k=l

n m

Sy = lo L,(Xi 0 Yi+l -Xi+l 0 yJ(xi + Xi+l) Sy = L,Syk = L,XSk 0 Ak 6 i=l k=l k

n m

S x = ~o L (Xi 0 Yi+l -Xi+l 0 yJ(Yi + Yi+l) Sx = L,Sxk = L,Ysk oAk i=l k=l k

Iy = l~ 0 i(Xi 0 Yi+l- Xi+l° yJ (X? +Xi °Xi+l +Xi+?) m

Iy = LIYk i=l k=l

Ix = l~ 0 i(Xi °Yi+l -Xi+l 0 yJ~? + Yi 0 Yi+l + Yi+1 2 ) m

Ix = LIxk i=l k=l

n m Ixy = 2~ 0 L(Xi 0 Yi+l -Xi+l 0 yJx Ixy = LIXYk

i=l k=l

X (2 0 Xi 0 Yi + Xi 0 Yi+ 1 + Xi + 1 0 Yi + 2 0 Xi + 1 0 Yi+ 1 ) Ik mittels Steiner!

2 2 (Xsk. Ysk) Iys=Iy-XS oA,Ixs=Ix-YS oA Satz Vo Steiner Teilschwerpunkte

382 Tabelle _Clapeyron

Tabelle _Clapeyron

Durchlauftrager Ermittlung der StGtzenmomente nach CLAPEYRON

Vorgaben: n+1 gelenkige Lager (StUtzen) (i = 0 ... n),

o

n Felder der Langen Ri mit gleicher Biegesteife EI, Belastungen je Feld

1 2

Dreimomentengleichung

M . ml

3

M re

Mii . .e Ii + 2 . Mmi . (.e Ii +.e re ) + Mre . .e re = -Rii . .e Ii - L re . .e re

MO =Mn =0

Aufstellen und L6sen des Gleichungssystems: 1. Aufstellen der Dreimomentengleichungen fUr mi = 1 ... (n -1) 2. Darstellen als Matrizengleichung ~. M = §

- A ist eine "Bandmatrix "mit n-1 Zeilen und Spalten, -~ ist der Vektor mit den Belastungsgliedern, - Mist der Vektor der gesuchten Momente M1, ..• , Mn-1

3. L6sen der Matrizengleichung M = ~-1 .~

Tabelle_Clapeyron 383

Einige linke (L) und rechte (R) Belastungsglieder eines Feldes Fur mehrere Belastungsfalle in einem Feld addieren sich die Glieder

Belastungsfall Belastungsglieder

Mittige Einzellast

F

, , 3 L=R=-·F· £

t1 e t1 8 - -L R

AuBermittige Einzellast

a F

b a· b ( ) I I I I L=-· £+ b ·F

~ r £2

/}). f t1 a· b ( ) R=-· £+ a ·F - - £2 L R

Streckenlast q = konst.

1 2 L=R=-·q· £

e 4 - -L R

Trapezlast

.Jlb L=8 .qa+7 ·qb .£2 q,

60

tJ. f. f1 R - 7 . q a + 8 . q b . £2 - -L R 60

.. Welter Lastfalle In den bautechnlschen Tafeln. Siehe auch Abschnltt 5.2.1!

384 Tabelle _Normalverteilung

Tabelle _Normalverteilung

Normalverteilung N(,u, (J 2)

a

Mittelwert, Erwartungswert J..l Streuung, Varianz (j

r----·----·-··.., Intervallwahrscheinlichkeit L!i:_:~) = F( a) J

Standardintervalle )l ± 0- )l ± 2·0- )l ± 3·0

Anteile in % 68.3 95.5 99.7

Standardisierte Normalverteilung N(O,1)

Wahrscheinlichkeitsdichte und -verteilung

1 _ I z2 q>{z}=--.e 2 .n.;

- 00

Tabelle _ Normalverteilung 385

r····-··················-····~·····i

r·;··(~·-~··:)·:··;·(~·) .. ·l r··;· .. (~-=)·:··~-=·; .. (=·)···] i a- i :z=--: I (J I L .... ~ .... _~ .... _ .. ____ .......... i i~ .... _ .......... __ .. __ .... __ ........ _.n. ___ .. _ ... .i L ....... ..-.......... _ .................................. _ ........... J

Z <1>1~ z <1>(z) z ~~ z ~z) z <1>(z) 0.00 0.5000 0.50 0.6915 1.00 0.8413 1.50 0.9332 2.00 0.9772 0.02 0.5080 0.52 0.6985 1.02 0.8461 1.52 0.9357 2.05 0.9798 0.04 0.5160 0.54 0.7054 1.04 0.8508 1.54 0.9382 2.10 0.9821 0.06 0.5239 0.56 0.7123 1.06 0.8554 1.56 0.9406 2.15 0.9842 0.08 0.5319 0.58 0.7190 1.08 0.8599 1.58 0.9429 2.20 0.9861 0.10 0.5398 0.60 0.7257 1.10 0.8643 1.60 0.9452 2.25 0.9878 0.12 0.5478 0.62 0.7324 1.12 0.8686 1.62 0.9474 2.30 0.9893 0.14 0.5557 0.64 0.7389 1.14 0.8729 1.64 0.9495 2.35 0.9906 0.16 0.5636 0.66 0.7454 1.16 0.8770 1.66 0.9515 2.40 0.9918 0.18 0.5714 0.68 0.7517 1.18 0.8810 1.68 0.9535 2.45 0.9929 0.20 0.5793 0.70 0.7580 1.20 0.8849 1.70 0.9554 2.50 0.9938 0.22 0.5871 0.72 0.7642 1.22 0.8888 1.72 0.9573 2.55 0.9946 0.24 0.5948 0.74 0.7704 1.24 0.8925 1.74 0.9591 2.60 0.9953 0.26 0.6026 0.76 0.7764 1.26 0.8962 1.76 0.9608 2.65 0.9960 0.28 0.6103 0.78 0.7823 1.28 0.8997 1.78 0.9625 2.70 0.9965 0.30 0.6179 0.80 0.7881 1.30 0.9032 1.80 0.9641 2.75 0.9970 0.32 0.6255 0.82 0.7939 1.32 0.9066 1.82 0.9656 2.80 0.9974 0.34 0.6331 0.84 0.7995 1.34 0.9099 1.84 0.9671 2.85 0.9978 0.36 0.6406 0.86 0.8051 1.36 0.9131 1.86 0.9686 2.90 0.9981 0.38 0.6480 0.88 0.8106 1.38 0.9162 1.88 0.9699 2.95 0.9984 0.40 0.6554 0.90 0.8159 1.40 0.9192 1.90 0.9713 3.0 0.9987 0.42 0.6628 0.92 0.8212 1.42 0.9222 1.92 0.9726 3.2 0.9993 0.44 0.6700 0.94 0.8264 1.44 0.9251 1.94 0.9738 3.4 0.9997 0.46 0.6772 0.96 0.8315 1.46 0.9279 1.96 0.9750 3.6 0.9998 0.48 0.6844 0.98 0.8365 1.48 0.9306 1.98 0.9761 3.8 0.9999

Quantilwert r··········· .. ·············=i("··· .. j·]

rpT~ .. <··;~T:··~l r···_··········_·· ... ······_·········u 1 f--·· .. ·····-······· ..... ······ ... ··----······-l IZa=<I> a! l Z1-a =-za! !Xa =J.l+(J·Zai ........ u •••••••••••••••••• _ .................. _ ..... • ............. u ........................................ : : ••••••••••• _ •• n ....... _ ••• ~ •••••• _ •••• : : ••• _ ......... __ ............................................ 1

Spezielle Werte a 0.01 0.025 0.05 0.1 0.5

za -2.326 -1.960 -1.645 -1.282 0

Beispiel: ~= 2, cr = 0.5 p{x < 1.4)= <1>(1.4-2)= <1>{-1.4)= 1-<1>{1.4)=1-0.8849"" 11.5% 0.5

x12% = 2+0.5·zO•12 = 2-0.5 ,zo.88 "" 2-0.5·1.18 = 1.41

386 Tabelle Regression

Tabelle_Regression

c c

Lineare Regression und Korrelation n

Ansatz: I/Yi - y;)2 => min! i=1

Regressionsgleichung I Y = f (x) = a1 . x + ao I r-····_·_=· __ ···_··--=l !aO=y- a1. x i t ••. _~ .... __ ...... __ .. _ .. _ .. :

Koeffizienten

i--· .. ·----··-· .. --····i

o o Korrelationskoeffizient

I Sxy I irxy =---1 , ..... x

." i Sx 'Sy I 5 __ .......... _ .. _ ......... _ .. _ •• J

Statistische MaBzahlen [n Punkte (xi, Yi) ]

Mittelwerte _ 1", _ 1", x =-'~Xj y=-'~yj

n. n. I I

2 1 I( -\2 1 (L 2 -2) Streuungen(Varianzen) Sx =--. Xj-X) =--. Xj -n'x n-l n-l

Kovarianz

j

2 1 I( -\2 1 (L 2 -2) S =--. Yj -y) =--. Yj -no Y y n-l n-l

j

Sxy= n~I·L(.Xj-xl(yj-y)= n~I·(LXj'yj-n.x.y) j

Test: Vergleich von r xy mit dem Zufallshochstwert r(n, a).

Fur I rxy I < r{n,a) ist ein Iinearer Zusammenhang statistisch nicht gesichert.

Fur I rxy I ~ r(n,a) kann ein Iinearer Zusammenhang angenommen werden.

Die Annahme erfolgt mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a. Tabella n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22

a=5%. r(n,a) 0.95 0.88 0.81 0.75 0.71 0.67 0.63 0.60 0.58 0.53 0.50 0.47 0.44 0.42

n 24 26 28 30 40 50 75 100 150 200 300 400 500 900

r(n,a) 0.40 0.39 0.37 0.36 0.31 0.28 0.23 0.20 0.16 0.14 0.11 0.10 0.09 0.06

Tabelle Regression 387

Linearisierung nichtlinearer Anpassungskurven Durch Koordinatentransfonnationen konnen einige nichtlineare Anpassungskurven Iinearisiert werden. Auf die transfonnierte Gleichung ist die Regressionsrechnung anwendbar.

Nichtlinearer Ansatz y = f(x)

Exponentialfunktion Y = a . eb.x + c

a=0.24

b =2

c=O

25

10 ~:/ 5

0+--+--+---1 o 5 10 15

Potenzfunktion

a=0.5

b = -0.4

c = -0.1

0.5

0'4~ 0.3

0.2

0.1

0.0 +---+---+---1 o 5 10 15

Linearisierung Y = BX + A

cvorgeben: In(y-c}=ln(a}+b·x r··--·---·-·-·----··-··--··--··-··--: I Y.=ln(y-c) X :=x I ! A ! j b=B a==e ! L._._. ___ ... _ .. __ . __ .. _. ___ . ____ ._J

C unbekannt:

Mathcadfunktion expanp(!. E ) = (a b c) T

cvorgeben: In(y-c}=ln(a}+b·ln(x} :0-.----.--------.-.... -.-.... -.. - .. --', i Y:=Fln(y-c) X.= In(x) j I A ! !b==B a=e i L._ .. _ .. _ .. __ ..... _ ... n ..... ___ ••• _._ ............. __ •• _ ......... j

c unbekannt:

Mathcadfunktion potanp(~,~)= (a b c) T

Logarithmusfunktion y == a . In (x + b) + c c vorgeben:

en a=2 50

/" 4.0 b = 1 30

c=O 2.0 1.0

0.0 0 5 10 15

Hyperbelfunktion a

y==b+-­x+c

6

a=6 5 [ 4

b =-7 3

2 c=0.5 1

0 0 5 10 15

rY·-·----y··:-.. x··--·-··-··--·-··1 ! .=e .=x ! i 4 ! ! b=B·A a=ln(A) I L ___ ._ ..... _ .. _ .... _ ........... _ ........ _ ...... _ .... -1

c unbekannt:

Mathcadfunktion IOganp( x,y ) = (a b c) T

cvorgeben: 1

y=a·--+b x+c

[""--··-----···-·---·--·--··-·-1 I 1· !Y:==yX:=-- I ! x+c i I b=B·A-1 a==ln(A) I i.. .. _ •••• _ •• _. _____ .. ___ ...... _ ...... _ .• _._ •• 1

Mathcadfunktion ex. nicht.

Hinweis: Die Mathcadfunktionen optimieren die Anpassung des nichtlinearen Ansatzes. Das Ergebnis unterscheidet sich von dem der linearisierten Ansatze (i. AI/g .. aber unwesentlich).

388

Tabelle_Biegelinie

Streckenlast q in kNl m

q

x= O x x = e

Querkraft Q in kN

Biegemoment M in kNm

Siabneigung qJ in rad = mlm

Durchbiegung w in m

Der belastete Trager

Iq=q(X) I

; Q(x) =-J q(x)dx I

1 I M(x) = JQ( x)dx I

1 - I J cp(x) = - - M(x)dx EI

I ",x) = J q>(x)dx i

Stutzen (frei drehbar gelagert) Randbedingungen (Lagerungsfalle):

(horizontal) fest eingespannt

freies Ende (Kragarm)

Tabelle _Biegelinie

Biegesteife EI in kMJn1

q(x)=-rZ (x) =EI -w(4)(x)

r Q(x)=M I (x)

III =-EI -w (x)

DGL der Biegelinie:

M(x) =-EI -qJ I (x) = -EI- wll (x)

i I cp(x) = tan(qJ ) = wi (x) I

i I w=w{X) I

w=o w l/= M=O

w=o w l =qJ =0

w " :M=O w ll/=Q=O

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Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis

3D-Grafik in Mathcad 334 Ableitungen

Eigenschaften von Kurven 155 partielle 166 Tabelle und Regeln 152 technische Bedeutung 157

Absteckung aufKreisbogen 91 Animations-Clips mit Mathcad 340 Arbeitsblattsammlung (Mathcad) 333 Arbeitsblattvorlage (Mathcad) 333 ARIBAS, Programm 10 arithmetische Mittel Siehe Mittelwert ASCll-Text 11 Assoziativgesetz 16 Aufspaltungsverfahren 321 Ausgleichsrechnung 241

Linearkombination von Funktionen 241 mit Mathcadfunktionen 242,246,247 nichtlinearer Ansatz 246 spezielle nichtlineare Ansatze 247

Axiome der Wahrscheinlichkeit 217 Bedingte Wahrscheinlichkeit 216 Berechnung von 1t 202 Bernoulli-Schema 222 Bessel-Funktionen 275 Bewegungen in der Ebene 100 Biegelinie 17,41

2-Feld-Trager 29,281 mit gdglOsen 286 nach Differenzenverfahren 288

Biegung 160 Binomialkoeffizient 222 Binomialverteilung 222 Bogenlange 182 Briickenbogen 18 Charakteristische Gleichung 257 Chi-Quadrat-Anpassungstest 234 Datendateien in Mathcad

als Mathcad-Komponenten 365 Mathcadfunktionen 368

Datenfelder in Mathcad 73,365 Datensatz, Datenvektor 203 Delta - Operatoren 166 Determinante 68,75,77 Diagonalmatrix 65 Differentialgleichungen (DGL)

Biegeschwingung Schiff 329 der Biegelinie 160,279 der freien Schwingung 270 der Kreisplatte 304 Differenzenverfahren 287 e- Ansatz 257 Eulersche DGL 296 Isoklinenverfahren 252 Koeffizientenvergleich 256 Losungsformel 255 mit Anfangsbedingung 261 mit konstanten Koeffizienten 277 nach Bessel 274, 276 n-ter Ordnung 292 Plattenbiegung 299 Programme 263,351 Trennung der Variablen 253 y' = f(x,y) 252

Differentialquotient 152 Differenzenstern 302 Differenzenverfahren 287

Programm 290 Rechteckplatte 299

Diskrete Merkmale 209 Distributivgesetz 16 Drehungsmatrix 100 Dreiecksmatrix 65 Dreimomentengleichungen nach

CLAPEYRON l32 Thene Figuren 99 ebenes Kraftesystems 96 Eigenfunktionen 306 Eigenvektoren von Matrizen 78

395

396

Eigenwerte 306 obere Schranken 320

Eigenwerte von Matrizen 78 Eigenwertgleichung 306 Eigenwertgleichung fiir Matrizen 78 Eigenwertprobleme 308

Aufspaltungsverfahren 321 Differenzenverfahren 323

Einheitsmatrix 65 Einheitsvektoren 81 Elementarereignisse 215 Entwicklungssatz nach LAPLACE 77 Ereignisfeld 217 Erwartungswert 219 EuLER-faIle 308 Exponentialverteilung 220, 225 Extrempunkte

Bedingungen 167 Faktorisierung 12,27 Fehlerformel 170 FERMAT-Zahl 8,27 FHiche

Inhalt und Momente 180 FHichenkennwerten Siehe Polygonflache Flachenprodukt 86 Flachenschwerpunkt 109, 180 Flachentragheitsmoment 108 Fourier-Reihen 195 Frequenzformel 313

Feder-Masse-System 315 Femsehturm 328 Schiff 329 Schomstein 325

Frequenzformeln, Tabelle 314 Fundamentalsatz der Algebra 35 Fundamentalsystem 257 Funktionaldeterminante 171,188 Funktionalmatrix Siehe Jacobimatrix Funktionen 17

2 Variable 31 Ableitungen 152 Bereiche 28 Bessel-Funktionen 275 Exponentialfunktion 21 Fourier-Reihen 195

ganze 17 Integrale 173

Stichwortverzeichnis

lineare, quadratische 19 partielle Ableitungen 166 Potenzreihen 164 rationale 21 z = f(x,y) 167

GAUB l3,35 17-Eck 58 Konstruktion 17-Eck 56

GauB-Algorithmus 69 GauBsche Glockenkurve 225 GauBsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 207 Geometrisches Mittel 209 Gesetz der groBen Zahlen 218 Gleichung (Bestimmungsgleichung)

4.Grades 37 5. Grades 60 algebraische 39 Anwendung 41, 51 Kreisteilung 54 Naherungsverfahren 45 Newton-Verfahren 47 Routinen 40 transzendente 42

Gleichungssystem, lineares (GLS) als Matrizengleichung 119 homogen, inhomogen 119 uberbestimmt, unterbestimmt 124

Gleichungssystem, nichtlineares Auflosen mit Mathcad 142 Gradientenverfahren 148 Iterationsverfahren 146 Levenberg -Marquardt-Algorithmus 148 Newton-Verfahren 143 Normalform 141 numerische Losung mit Mathcad 148 Quasi-Newton-Verfahren 146

Grundgesamtheit 203 Grundintegrale

Tabelle 174 Harmonisches Mittel 208 Haufigkeitsdiagramm 211 Haufigkeitstabelle 210 Haufigkeitsverteilung 209,213

Stichwortverzeichnis

Hauptachsentransformation 105,106,110 Haupttriigheitsmomente 110 Histogramm 213 Homogene Koordinaten 102 Integrale

als Grenzwerte 178 bestimmte 177 Doppelintegral 186 Niiherungsverfahren 178 Rotationsk6rper 183

Integration Biegelinie 176

Integrationsregeln 175 Interpolationsformel von NEWTON 20, 249 Interpolationspolynom

direkter Ansatz 248 Inverse Matrix Siehe Kehrmatrix Jacobimatrix 143 Kalender-Rechnung 8 Kantenmodell 118 Kegelschnitte

Kreis, Ellipse,Pararbel,Hyperbel 22 Tangenten 22

Kehrmatrix 67 Kettenlinie

OOL 265 Gleichung 265 Schllisselgleichung 267

Klasseneinteilung 211 Klassische Wahrscheinlichkeit 215 Klothoide 161 Knicklast 43,307

EulerfaIle 309 Koeffizientenmatrix eines GLS

nicht quadratisch 124 regular 120 singular 121

Kommutativgesetz 16 Komplexe Zahlen

Rechenoperationen 13 Wurzeln 15

Komplexe Zahlenebene 13 Komponentenzedegung 82 Kondition des GLS 129 Konfidenzintervall 233

Konstruktion von Vielecken 54, 56 Konvergenz 164 Koordinatendrehung 104 Koordinatenverschiebung 104 Korrelationskoeffizient 239 Kriifte als vektorielle Gr6Ben 93 Kragtriiger

Kipplasten 311 Kreisplatte 305 Krfunmung einer Kurve 159, 160 Kugelkoordinaten 90 Linear unabhiingige Vektoren 71 Lineare Regression 241 Lineare Transformation 100 Linearkombination von Vektoren 71 Logischen Verknlipfungen 343 Logistisphe Kurve 247

397

L6sungsschar eines GLS 123 LU-Faktorisierung Siehe Matrizeninversion MAPLE, Programm 359 Matrizengleichung 68 Matrizeninversion 69 Matrizenoperationen 64 Median 205 Methode derkleinsten Quadrate 127,148

204,236,241,246 Methode des steilsten Abstiegs 148 Mittelwert 204,209,219 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 207 Modalwert 204 Momente als Vektorprodukt 95 Norm einer Matrix 130 Normalgleichungen 127,241 Normalverteilung 225

standardisierte 227 OLE-Techniken in Mathcad 357

Einfiigen eines Maple-Dokuments 360 Hypedinks 362 liber Komponentenmenli 363 liber Objektmenli 359 liber Zwischenablage 357 Verweise 361

Ortsvektoren 90 Parabelbogen 33 Parameterschiitzungen 230

398

Parametertest 230 Partikuliire Losung eines GLS 119 Permutationen 221 Platte

Biegung 34,299 Poissonverteilung 224 Polarkoordinaten 90 Polygonflache

Flacheninhalt und Momente 113 Po1ygonzug 99 Programmierung in Mathcad 341

Beispie1programme 343 Doppelte Interpolation 349 Programmbibliothek 356 Programme fUr DGL 1.+2. Ordnung 351

Quantil 205,214 Quantile der Normalverteilung 227 Rang einer Matrix 71 Raumliches Dreibein 93 RAYLEIGH-Quotient 316, 317 Regel von CRAMER 89,94 Regel von SARRUS 76 Regressionskoeffizienten 237 Regu1iire Matrix 68 Reihenentwicklungen, Tabelle 164 Resonanzeffekt 272 Reststreuung 237,242 RSA -Verfahren 10 Satz von STEINER 109 Schema von F ALK 64 Schliisselgleichung Siehe Kettenlinie Schwingung 21

DampfungsmaB 270 Seilkurve, DGL 265 Singuliire Matrix 68 Skalarprodukt 84, 85 Spaltenvektoren 65 Spannweite 205 Spatprodukt 87 Sp1ineinterpolation 250 Standardabweichung 205,219 Standardfehler 242 Standardintervalle 205,226 Statisch bestimmtes Fachwerk 135 Statisches Moment 108

Stetige Merkmale 211 Stichprobe 203

Stichwortverzeichnis

Streuung 205,209,219 Summendiagramm 211 Summenhaufigkeit 209,213 Tangentenproblem 151 Taylor-Reihe 164 Trager

Arbeitsgleichung 181 Biegeschwingung 313 Kipplasten 311 variabler Querschnitt 282

Transponierte Matrix 65 Trendwerte 247 t-Test 232 Uberbestimmtes GLS 124 Ungleichung von TSCHEBYSCHEW 227 Urtterbestimmtes GLS 124 V ANDERMONDEsche Determinante 248 Varianz 205,219 Variationskoeffizient 205 Vektoranalysis 91 Vektorisierungsoperator in Mathcad 72 Vektorkomponenten 81 Vektorkoordinaten 81 Vektoroperationen 80 Vektorprodukt 85 Verallgemeinerte inverse Matrix 122,124 Verallgemeinerte Linksinverse 127 Verschiebungssatze 109 Verschiebungsvektor 100, 102 Verschliisselung 10 Verteilungsfunktion 213,218,220 Vertrauensintervall Siehe Konfidenzintervall Wahrscheinlichkeitsdichte 220 Wahrscheinlichkeitsgesetze 216 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 218 Zentra1en Grenzwertsatz 228 Zufcillige Ereignisse 215 ZufallsgroBe 218 Zykloide 24

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