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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. Prado Rodríguez, Bernal López.

Resumen—En el presente documento se hace un análisis sobre el modulo de elasticidad del acero sobre una cercha tipo “HOWE”; para este fin se dispuso de un ensayo donde se midieron las deformaciones que se producen al someter esta estructura a cargas variables los datos que se obtuvieron fueron procesados usando teorema de la deformación unitario con el valor obtenido se puede hacer una caracterización sobre la eficacia de este método además se hace un análisis mas detallado de dos nodos de la estructura para este fin.

I.INTRODUCCIÓN

Cuando se hace un análisis de una estructura metálica utilizando los métodos de la estática no se tiene en cuenta muchos de los esfuerzos que se presenta ya sea por las características propias de la materia o por efectos distintos a cargas (temperatura, corrosión, fatiga, torsión, etc.). Por eso con el fin de dar una idea mas clara sobre estas nuevas características que empieza a entrar en juego para el calculo de las estructuras, se tomo una cercha metálica tipo “howe” constituida de varillas de acero #2 y se sometió a cargas controladas y con el uso de aparatos de precisión (deformimetro mecánico, y electrónico) se tomaron mediciones de deformación y longitudes con el fin de determinar el modulo de elasticidad del acero siendo este una propiedad intrínseca de este material y que genera un limitante a la hora de tenerlo en cuenta para construir cualquier estructura,

II. MARCO TEÓRICO

Básicamente las cerchas son estructuras compuestas de elementos rectos unidos por nodos que sirven para sostener otras estructuras la clave de

estas estructuras se encuentran en la formación de triángulos lo que permite la distribución una carga de forma equitativa por toda la estructura claro esta que las cargas que se apliquen a estas estructuras deben aplicarse en los nodos ya que si se aplican directamente a los elementos la estructura pierde todas la ventajas mecánicas. Durante toda la historia de la ingeniería se han creado muchos diseños de estructuras para cubrir diferentes necesidades o para cumplir con aspectos arquitectónicos aun así la base de las cerchas se mantiene y siguen siendo muy importantes en la construcción de infinidad de elementos.

Tipos de cerchas

aunque la forma es muy importante también lo es los materiales con los que se construyen las cerchas y por eso las propiedades de estos materiales son fundamentales por lo cual el modulo de elasticidad es un buen indicador sobre como se puede comportar un material frente aun esfuerzo que se le aplique para esto hay muchos métodos pero uno de los mas importantes es el teorema de cargas unitarias este teorema nos dice de manera simplificada que se puede aplicar una fuerza virtual es decir inexistente que a su vez produce un

Calculo de modulo de elasticidad en una armadura tipo “HOWE”

EstudiantesCarlos Miguel Prado Rodríguez. Fabio Aníbal Bernal López.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Programa de Ingeniería Civil

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esfuerzo sobre el conjunto de objetos al que fue aplicada, esta fuerza tendrá que ejercer el mismo efecto que la fuerza real (compresión o tensión), por lo cual no se refiere a magnitud, por tanto, se puede aplicar una fuerza de magnitud uno en cualquier nodo de la cercha y simular que se produce un esfuerzo, ahora por ecuaciones de estática (método de secciones o nodos) se logra saber qué tipo de esfuerzo realiza cada componente dentro de la cercha debido a esa carga unitaria. Entonces para determinar el modulo de elasticidad se usa la expresión:

E = [∑ (NuNl*L)/A]/∆

Nu = Fuerzas internas producidas por carga unitaria en nodo de estudio Nl = Fuerzas internas producidas por cargas unitarias en nodos donde se aplicaron las cargas reales.L = longitud de cada barra.A = Área de sección transversal de la cercha∆ = Desplazamiento producido por las cargas en el nodo de estudio.

Este valor E se grafica con respecto a la deformación y la grafica tiende hacer una recta pero si no se llega a esto se debe hace uso de un regresión lineal, a final la pendiente será el modulo de elasticidad del materia.

III. MONTAJE

Para el montaje del ensayo se empleo una cercha ‘HOWE” a la cual se le adiciono 5 deformimetros mecánicos que miden mm x10^-2 puestos sobre los nodos inferiores a estos se le sumo 12 electrodos que fueron instalador por pares a los elementos de las cerchas estos a su ves fueron conectados a una fuente eléctrica y aun aparato transformador que permitía medir en unidades de deformación x10^-6.

Montaje del ensayo

Después se dispuso de 3 soporte que fueron ubicados en los nodos centrales de la cercha en este instante se tomo la primera medida a cada soporte se le colocaron 16Kg por lo que en conjunto pesaban 48kg en este instante se tomo la segunda medida para la tercera se elevo la carga a 96Kg y por ultimo 144Kg después se descargaron las pesas con intervalos de 48Kg y en cada intervalo se tomaron las medidas

Detalle del deformimetro electrónico.

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Detalle del deformimetro mecanico

Los datos que se obtuvieron del ensayo son los siguientes:

Carga en Kg G H I J K0 221 1768 2261 2069 351

48 243 1742 2263 2041 37596 265 1710 2236 2015 402

144 285 1685 2206 1988 42896 268 1707 2233 2010 40548 247 1732 2261 2036 379

0 225 1757 2288 2063 354

Deformimetro mecanico (mmx10^-2)

Datos del deformimetro electronicod1 d2 d3 d4 d5 d6603 542 484 516 501 544636 580 449 481 486 523665 606 418 448 470 506694 641 371 417 453 486661 594 406 442 465 491637 572 438 474 481 523604 533 469 533 490 527

d7 d8 d9 d10 d11 d12377 387 183 376 1338 303384 376 228 429 1330 303393 357 252 452 1312 296390 353 296 493 1313 296383 344 244 443 1306 294372 364 228 418 1324 300366 370 162 360 1339 303

Los datos de carga y descarga que se midieron permiten hacer uno promedio de cada dato esto facilita en gran medida los cálculos a realizar.

Carga en KgG H I J K0 223 1762,5 2274,5 2066 352,548 245 1737 2262 2038,5 37796 266,5 1708,5 2234,5 2012,5 403,5144 285 1685 2206 1988 428 d1 d2

d3 d4 d5 d6603,5 537,5 476,5 524,5 495,5 535,5636,5 576 443,5 477,5 483,5 523663 600 412 445 467,5 498,5604 533 469 533 490 527

d7 d8 d9 d10 d11 d12371,5 378,5 172,5 368 1338,5 303378 370 228 423,5 1327 301,5388 350,5 248 447,5 1309 295366 370 162 360 1339 303

Para el buen desarrollo de los cálculos se tuvo que resolver la cercha usando los diferentes diferentes pesos que se dieron en el ensayo estos cálculos se resumen en las siguiente tablas:

nodo H nodo KBARRA Lo (cm) nG nH nI nJ nK Ni ( 8 Kg ) Lo*ni*Ni Lo*ni*Ni

F-G 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 30 1250 312,500003G-H 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 30 1250 312,500003H-I 25 0,83333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 30 1250 312,500003I-J 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 0,83333333 30 624,999998 624,999998J-K 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 30 624,999998 1562,5K-L 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 30 624,999998 1562,5F-D 26,925824 2,24381867 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 32,31098888 1346,29121 336,572798D-B 26,925824 0,89752747 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 32,31098888 1346,29121 336,572798B-A 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 25,13076912 673,145603 336,572798A-C 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 25,13076912 673,145603 336,572798C-E 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 0,89752747 32,31098888 673,145603 673,145603E-L 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 2,24381867 32,31098888 673,145603 1682,864D-G 10 1 0 0 0 0 0 0 0B-H 20 0,5 1 0 0 0 8 750 0A-I 30 0,33333333 0,66666667 1 0,66666667 0,33333333 18,66666672 500,000003 249,999998C-J 20 0 0 0 1 0,5 8 0 375E-K 10 0 0 0 0 1 0 0 750D-H 26,925824 1,3462912 0 0 0 0 0 0 0B-I 32,0156212 0,53359369 1,06718737 0 0 0 8,53749896 800,390528 0C-I 32,0156212 0 0 0 1,06718737 0,53359369 8,53749896 0 400,195268E-J 26,925824 0 0 0 0 1,3462912 0 0 1009,7184

13060,5554 11174,71450 0 0 0 0 0 0 0 41200,4901 35251,4652

3



F-G 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 60 2500,00001 625,000005G-H 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 60 2500,00001 625,000005H-I 25 0,83333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 60 2500,00001 625,000005I-J 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 0,83333333 60 1250 1250J-K 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 60 1250 3125K-L 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 60 1250 3125F-D 26,925824 2,24381867 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 64,62197776 2692,58241 673,145595D-B 26,925824 0,89752747 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 64,62197776 2692,58241 673,145595B-A 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 50,26153824 1346,29121 673,145595A-C 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 50,26153824 1346,29121 673,145595C-E 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 0,89752747 64,62197776 1346,29121 1346,29121E-L 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 2,24381867 64,62197776 1346,29121 3365,72801D-G 10 1 0 0 0 0 0 0 0B-H 20 0,5 1 0 0 0 16 1500 0A-I 30 0,33333333 0,66666667 1 0,66666667 0,33333333 37,33333344 1000,00001 499,999995C-J 20 0 0 0 1 0,5 16 0 750E-K 10 0 0 0 0 1 0 0 1500D-H 26,925824 1,3462912 0 0 0 0 0 0 0B-I 32,0156212 0,53359369 1,06718737 0 0 0 17,07499792 1600,78106 0C-I 32,0156212 0 0 0 1,06718737 0,53359369 17,07499792 0 800,390535E-J 26,925824 0 0 0 0 1,3462912 0 0 2019,4368

26121,1107 22349,4289(Lo*ni*Ni)/Ai 82400,9801 70502,9303


F-G 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 90 3750,00001 937,500008G-H 25 2,08333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 90 3750,00001 937,500008H-I 25 0,83333333 1,66666667 1,25 0,83333333 0,41666667 90 3750,00001 937,500008I-J 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 0,83333333 90 1874,99999 1874,99999J-K 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 90 1874,99999 4687,49999K-L 25 0,41666667 0,83333333 1,25 1,66666667 2,08333333 90 1874,99999 4687,49999F-D 26,925824 2,24381867 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 96,93296664 4038,87362 1009,71839D-B 26,925824 0,89752747 1,79505494 1,3462912 0,89752747 0,44876373 96,93296664 4038,87362 1009,71839B-A 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 75,39230736 2019,43681 1009,71839A-C 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 0,89752747 0,44876373 75,39230736 2019,43681 1009,71839C-E 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 0,89752747 96,93296664 2019,43681 2019,43681E-L 26,925824 0,44876373 0,89752747 1,3462912 1,79505494 2,24381867 96,93296664 2019,43681 5048,59201D-G 10 1 0 0 0 0 0 0 0B-H 20 0,5 1 0 0 0 24 2250 0A-I 30 0,33333333 0,66666667 1 0,66666667 0,33333333 56,00000016 1500,00001 749,999993C-J 20 0 0 0 1 0,5 24 0 1125E-K 10 0 0 0 0 1 0 0 2250D-H 26,925824 1,3462912 0 0 0 0 0 0 0B-I 32,0156212 0,53359369 1,06718737 0 0 0 25,61249688 2401,17158 0C-I 32,0156212 0 0 0 1,06718737 0,53359369 25,61249688 0 1200,5858E-J 26,925824 0 0 0 0 1,3462912 0 0 3029,1552

39181,6661 33524,1434(Lo*ni*Ni)/Ai 123601,47 105754,396

Los datos que se tabularon en estas grafica están referidos a los esfuerzos delos elemento de la cercha además para un mayor estudio nos referiremos a los nodos H y K, los cálculos que se obtiene al aplicar el teorema de cargas unitarias; estos datos al graficarlos tienden ha generar una línea recta cuando no hay mucha dispersión de los datos pero cuando hay este fenómeno es recomendable recurrir al empleo de una regresión lineal. Ahora los datos graficados para el nodo H se presentan a continuación:

AREA (cm)0,317

d (cm) U (Kg/cm)1,7625 01,737 41200,4901

1,7085 82400,98011,685 123601,47

E (Kg/cm2) 1584634,23

NODO H

Los datos para el nodo K se presenta así:

4


AREA (cm)0,317

d (cm) U (Kg/cm)0,3525 00,377 35251,4652

0,4035 70502,93030,428 105754,396

E (Kg/cm2) 1382410,4

NODO K

Como se puede observar en las graficas la pendiente del nodo H es negativa es extraño ese comportamiento pero quizá se teniendo en cuenta que es uno de los nodos donde se aplicó la carga; por otro lado el nodo K si presenta un comportamiento esperado ahora.Una de las explicaciones que pueda tener sentido sobre el porqué del comportamiento del nodo H se el hecho de que el deformimetor que se encontraba en es te nodo se encontraba por encima del nodo por lo que las lecturas eran invertidas ya que el valor de la pendiente se encuentra dentro del rango esperado en comparación con los del nodo K .Otro apunte importante el hecho de que se considera a la cercha como un elemento de una sola constitución en este caso los nodos presenta platinas de refuerzo que ayudan a mejorar el comportamiento de la cercha pero que quizá afecte los datos del ensayo debido a que aumentan la rigidez del sistema un poco mas.Ahora comparando los resultados con el valor teórico que se encuentra del modulo de elasticidad para el acero (20MPa) el nodo K presenta un error

del 30.88% mientras que el nodo H aplicando valor absoluto presenta un error del 20.77% .

IV- CONCLUSIONES

1- El valor del modulo de elasticidad del acero dados por los estudios de los nodos H y K son respectivamente 15.84GPa y 13.82GPa

2- Por el margen de erro visto este método presenta muchas fallas teniendo en cuenta otros ensayos en los que se presentan una mejor estimación con el uso de probetas adecuadas para su uso probetas para su desarrollo.

V – BIBLIOGRAFIA

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