Footbridge Background PT01

RFS2-CT-2007-00033

Human induced Vibrations of Steel Structures

Vibraes em Pontes Pedonais

Documento Base

Footbridge_Background_EN01.doc 12.09.2008

Human induced Vibration of Steel Structure Background Document

1

ndice geral

Resumo .................................................................................................... 3

1 Introduo .......................................................................................... 6 2 Definies ........................................................................................... 7

3 Metodologia de projecto ........................................................................ 7 4 Passos de aplicao .............................................................................. 7 4.1 Passo 1: Avaliao de frequncias naturais ..................................... 7

4.2 Passo 2: Verificao da gama crtica de frequncias naturais ............ 9

4.3 Passo 3: Caracterizao das situaes de projecto ........................ 10

4.3.1 Passo 3a: Caracterizao de classes de trfego ........................... 10

4.3.2 Passo 3b: Caracterizao de classes de conforto .......................... 11

4.4 Passo 4: Caracterizao do amortecimento estrutural .................... 12

4.4.1 Modelo de amortecimento ......................................................... 12

4.4.2 Coeficientes de amortecimento para aces de servio ................. 13

4.4.3 Coeficientes de amortecimento para vibraes de grande amplitude 14

4.5 Passo 5: Avaliao da acelerao ................................................ 14

4.5.1 Modelo de aces harmnicas ................................................... 15

4.5.2 Mtodo dos Espectros de Resposta para fluxos de pees .............. 21

4.6 Passo 6: Verificao de critrios para lock-in lateral .................... 23

4.7 Passo 7: Verificao do nvel de conforto ...................................... 25

5 Avaliao de propriedades dinmicas de pontes pedonais ........................ 25 5.1 Introduo ............................................................................... 25

5.2 Medio da resposta .................................................................. 25

5.2.1 Medio da resposta ambiental para identificao de frequncias naturais crticas ................................................................................. 25

5.2.2 Medio aproximada de factores de amortecimento associados a frequncias naturais crticas ................................................................ 26

5.2.3 Medio da resposta induzida por um peo isolado ...................... 27

5.2.4 Medio da resposta induzida por um grupo de pees .................. 27

5.2.5 Medio da resposta induzida por um fluxo continuo de pees....... 27

5.3 Ensaios de identificao ............................................................. 27

5.3.1 Ensaios de vibrao forada ...................................................... 27

5.3.2 Ensaios de vibrao ambiental................................................... 31

5.3.3 Ensaios de vibrao livre .......................................................... 31


2

5.4 Instrumentao ........................................................................ 32

5.4.1 Transdutores para medio da resposta ..................................... 32

5.4.2 Dispositivos para identificao ................................................... 32

6 Controlo de vibraes ......................................................................... 34 6.1 Introduo ............................................................................... 34

6.2 Modificao de massa ................................................................ 34

6.3 Modificao de frequncia .......................................................... 34

6.4 Modificao do amortecimento estrutural ..................................... 34

6.4.1 Introduo .............................................................................. 34

6.4.2 Medidas simples ...................................................................... 34

6.4.3 Dispositivos adicionais de amortecimento ................................... 34

7 Exemplos de aplicao ........................................................................ 42

7.1 Viga simplesmente apoiada ........................................................ 42

7.2 Ponte pedonal sobre o rio Weser em Minden ................................. 43

7.3 Ponte Pedonal da Guarda em Portugal ......................................... 48

8 Referncias ....................................................................................... 51 9 Apndice: Modelos de carga adicionais .................................................. 53 9.1 Modelo de carga para um peo isolado ........................................ 53

9.2 Modelo de carga para joggers .................................................. 56

9.3 Excitao intencional por grupos de pees .................................... 58


3

Resumo

Este documento serve de suporte ao documento: Vibraes em Pontes Pedonais- Recomendaes Tcnicas de Projecto, fornecendo um conjunto de informaes complementares em relao aos aspectos nele abordados.

Os mtodos tericos aqui apresentados, bem como nas Recomendaes Tcnicas, foram elaborados/ estudados no quadro do projecto de investigao RFS-CR-03019 Advanced Load Models for Synchronous Pedestrian Excitation and Optimised Design Guidelines for Steel Footbridges (SYNPEX) suportado financeiramente pelo Research Fund for Coal and Steel (RFCS).

Os documentos Vibraes em Pontes Pedonais- Recomendaes Tcnicas e Vibraes em Pontes Pedonais- Documento Base foram preparados no mbito do projecto de disseminao RFS-P2-06133, HIVOSS- Human Induced Vibrations of Steel Structures.


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Tabela de smbolos frequentemente utilizados

alimit limite de acelerao relativa a uma classe de conforto [m/s]

amax acelerao calculada para uma situao de projecto definida

[m/s]

B largura [m]

d densidade de pees sobre uma superfcie [P/m]

f, fi frequncia natural para um modo considerado [Hz]

fs frequncia da passada de um peo [Hz]

P fora esttica devida a um peo isolado [N]

( )ft2cosP aco harmnica devida a um peo isolado [N] L comprimento [m]

m nmero de meias ondas [-]

m* massa modal [kg]

M massa [kg]

n nmero de pees sobre a superfcie carregada S (n = S d)

[P]

n nmero equivalente de pees sobre uma superfcie carregada S

[P/m]

p(t) aco distribuda [kN/m]

Pmov carga mvel [kN]

S rea da superfcie carregada [m]

decremento logartmico [-]

massa distribuda por unidade de comprimento [kg/m]

D massa do tabuleiro da ponte por unidade de comprimento

[kg/m]

P massa de pees por unidade de comprimento [kg/m]

coeficiente de influncia para massa de pees suplementar

[-]


5

(x) modo de vibrao [-]

coeficiente de reduo para ter em conta a probabilidade de uma frequncia de passada cair na proximidade da frequncia natural do modo considerado

[-]

coeficiente de amortecimento estrutural [-]


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1 Introduo Ao longo dos ltimos anos, tem-se registado uma tendncia crescente no sentido da construo de pontes pedonais bastante esbeltas. Devido reduzida massa desse tipo de estruturas, as aces dinmicas podem originar elevadas amplitudes de vibrao, devendo prestar-se tanto maior ateno a esses fenmenos vibratrios, quanto mais esbeltas forem as estruturas.

O aumento de problemas vibratrios nas pontes pedonais modernas mostra que estas pontes no devero ser projectadas para suportar apenas cargas estticas. Todavia, o respeito por condies fixadas em muitos cdigos ([1], [2], [3], [4]) em termos das frequncias naturais restringe o projecto das pontes pedonais: pontes muito leves e esbeltas, tais como pontes tipo catenria e pontes suspensas, podem no satisfazer estes requisitos. Alm disso, a resposta dinmica determinada no apenas pelas frequncias naturais, mas tambm conjuntamente pelas propriedades de amortecimento, pela massa da ponte e pela aco dos pees. As ferramentas de dimensionamento devero considerar todos estes factores. Contanto que o comportamento vibratrio devido ao trfego de pees esperado seja verificado atravs de uma anlise dinmica e o nvel de conforto requerido seja satisfeito, qualquer tipo de ponte pedonal pode ser projectada e construda. Se o comportamento vibratrio no satisfizer algum critrio de conforto, devero considerar-se alteraes no projecto ou a introduo de dispositivos de amortecimento.

Estas pontes pedonais esbeltas tm uma massa reduzida, reduzindo-se a inrcia e baixando as frequncias naturais, resultando da um risco mais elevado de ressonncia. A ressonncia ocorre se a frequncia da ponte coincidir com a frequncia a frequncia de excitao, e.g. a frequncia da passada dos pees. A excitao induzida pelos pees uma fonte importante de vibraes em pontes pedonais. A aco dos pees por natureza no permanente, transitria e varivel numa reduzida gama de frequncias de excitao. por isso bvio que as respostas dinmicas desempenham um papel fundamental no projecto de estruturas susceptveis a vibraes. Vibraes de pontes pedonais podem conduzir a problemas de segurana em relao a estados limites de utilizao, pois podem originar efeitos ao nvel do conforto e reaces emocionais dos utilizadores. O colapso ou mesmo danos estruturais devidos s aces dinmicas induzidas pelo homem tm ocorrido muito raramente.

As vibraes em pontes pedonais podem registar-se na direco vertical ou em direces horizontais, sendo tambm possvel a torso do tabuleiro da ponte. Aces dinmicas induzidas por ciclistas so negligenciveis quando comparadas com as aces causadas por pees em andamento ou corrida.

Recentemente, algumas pontes pedonais foram excitadas lateralmente por densos fluxos de pees, tendo-se registado uma interaco entre os pees e as vibraes da ponte. Uma resposta auto-excitada de grande amplitude causa desconforto. Por isso, o projecto de pontes pedonais deve ser desenvolvido por forma a que o fenmeno de interaco pees-ponte, tambm designado de lock-in, no tenha lugar.

Outra aco dinmica em pontes pedonais a excitao intencional produzida por pessoas saltando em posio fixa, flectindo os joelhos, oscilando o corpo horizontalmente, excitando tirantes manualmente etc., em ressonncia de modo a produzirem vibraes significativas. Nesse caso, os requisitos de conforto no


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so certamente cumpridos, mas a estabilidade da estrutura no deve ser posta em causa.

Assim, no dimensionamento de pontes pedonais modernas, a anlise das vibraes induzidas pela aco humana deve ser considerada pelo projectista por forma a assegurar que

as vibraes devidas ao trfego de pees so aceitveis para os utilizadores,

o fenmeno de lock-in no tem lugar,

a estabilidade da ponte pedonal garantida quando sujeita a excitao intencional.

No sentido de auxiliar o projectista, a resposta dinmica de vrias pontes pedonais aco dos pees foi investigada atravs de medies e simulaes numricas, levando elaborao de recomendaes que incluem

requisitos de projecto,

gamas de conforto em termos de acelerao,

modelos de carga para fluxos de pees,

critrio para evitar o fenmeno de lock-in.

Se uma ponte pedonal for susceptvel a vibraes que possam afectar o conforto, dada informao adicional relativa a

procedimento de medio e mtodos de avaliao de propriedades dinmicas,

modificao do projecto e dispositivos de amortecimento.

2 Definies Sem informao complementar.

3 Metodologia de projecto As aces dinmicas e o comportamento vibratrio da estrutura devem ser considerados numa fase inicial do projecto, mesmo quando so ainda desconhecidas certas propriedades relacionadas com o amortecimento ou as fundaes, que ento tm de ser estimadas. Assim, o comportamento vibratrio calculado proporciona apenas uma indicao do comportamento real. Se a resposta estiver situada numa gama crtica, devem ser previstos desde logo dispositivos de amortecimento numa fase inicial de dimensionamento. As caractersticas de amortecimento e as aceleraes causadas por diversas aces dinmicas devem ento ser medidas aps o final da construo. Com base nas reais propriedades dinmicas da estrutura deve decidir-se se os dispositivos de amortecimento so efectivamente necessrios.

4 Passos de aplicao

4.1 Passo 1: Avaliao de frequncias naturais

Embora frmulas manuais e mtodos simplificados possam ser usados para uma avaliao preliminar de frequncias naturais, deve utilizar-se uma modelao


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numrica mais precisa sempre que aquelas se encontrem prximas de uma gama crtica do ponto de vista da excitao dos pees. No projecto de pontes pedonais modernas, o uso de programas de clculo baseados no mtodo dos elementos finitos amplamente aplicado em todas as fases do projecto, mesmo durante a fase conceptual. Consequentemente, sugere-se a utilizao de um modelo de elementos finitos no apenas para calcular tenses e deformaes da ponte pedonal, mas tambm para determinar as suas frequncias naturais. Assim, clculos dinmicos preliminares podem ser facilmente realizados sem recurso a meios adicionais.

Uma primeira abordagem consiste em manter o modelo to simples quanto possvel, e modelar a ponte com base em elementos de viga, elementos de cabo, molas ou elementos de trelia, atravs de uma modelao de elementos finitos tridimensional. Esta deve sempre permitir configuraes modais verticais, laterais e de torso. ento obtida uma estimativa global de frequncias naturais e dos correspondentes modos de vibrao, podendo identificar-se problemas associados ao comportamento dinmico da estrutura. Quanto mais complexo for o sistema esttico e mais elevada a ordem do modo de vibrao, mais elevado o nmero de elementos finitos necessrios. Um modelo mais refinado pode tirar partido de vrios tipos de elementos finitos, designadamente de elementos de placa, casca, viga, cabo ou trelia. Para se obterem resultados fiveis em termos de frequncias naturais, absolutamente necessrio que as condies de apoio, a rigidez das fundaes e a distribuio de rigidez e de massa sejam modeladas de forma realista. A totalidade do peso prprio, das cargas permanentes e o pr-esforo de cabos tm de ser considerados no clculo das frequncias naturais. As aces permanentes da ponte associadas a equipamentos instalados, guarda-corpos e revestimentos so consideradas como massas adicionais de forma to exacta quanto possvel. Uma abordagem baseada em massas concentradas, na qual inrcias de rotao so desprezadas, em muitos casos suficiente. Para a modelao de encontros e fundaes, a rigidez dinmica do solo deve ser utilizada. Caso contrrio, os resultados obtidos sero muito conservativos ou muito pouco rigorosos.

De qualquer forma, recomendvel determinar as frequncias naturais de uma ponte pedonal construda atravs de uma investigao experimental em complemento de clculos computacionais antes da definio final das caractersticas de dispositivos de amortecimento.

A massa modal associada a cada modo de vibrao deve estar disponvel quando a verificao de conforto seja efectuada atravs do mtodo de 1-GL (cf. seco 4.5.1.2).

A investigao relativa a caractersticas dinmicas de pontes pedonais seleccionadas mostra claramente que, especialmente para estruturas esbeltas, a massa adicional devida aos pees tem uma grande influncia sobre as frequncias naturais do sistema. Para pees isolados e grupos de pees este efeito geralmente negligencivel mas, caso seja necessrio ter em considerao a passagem de fluxos de pees, esta influncia pode causar um decrscimo significativo nas frequncias naturais. Este depende da relao entre a massa distribuda do tabuleiro e a massa distribuda de pees. A diminuio das frequncias mais elevada nas pontes pedonais sujeitas a aces permanentes mais baixas.


9

As frequncias naturais podem cair numa gama de frequncias mais ou menos crtica (cf. seco 4.2) para excitaes dinmicas induzidas por pees. Com aces permanentes adicionais ou sobrecargas de utilizao, as frequncias naturais da ponte pedonal podem diminuir e cair na gama de frequncias crtica ou afastar-se desta. Alm disso, deve notar-se que os valores limite dados correspondentes a gamas de frequncias crticas no devem ser tomados como valores estritos, mas antes como valores aproximados.

Em alguns casos, o incremento de massa modal pode mesmo ser superior a 50% da massa modal da ponte.

A influncia da massa dos pees pode ser estimada facilmente: a massa modal m* incluindo a massa adicional dos pees calculada de acordo com a eq. 4-1.

=DL

2D dx(x))(*m Eq. 4-1

onde

D [kg/m] a massa do tabuleiro por unidade de comprimento

D

PD

+= o factor de influncia para massa adicional de pees

P [kg/m] a massa de pees por unidade de comprimento

(x) o modo de vibrao

No que respeita considerao da massa adicional de pees, a eq. 4-2 mostra que a influncia de um aumento de 5% da massa modal conduz a um decrscimo da frequncia natural em 2,5%.

fm

k

m

kf 976,0

*05,1*

**

)05,1(' ==== Eq. 4-2

Tal variao est dentro da preciso da modelao global, quando comparada com as frequncias que sero medidas na realidade. Por isso, recomenda-se desprezar a influncia de um incremento de massa modal inferior a 5% da frequncia natural.

4.2 Passo 2: Verificao da gama crtica de frequncias naturais

Os efeitos dos pees so geralmente caracterizados com base em modelos de aces harmnicas, cujos coeficientes esto sistematizados na Seco 9. A contribuio dominante do primeiro harmnico conduz seguinte gama crtica de frequncias naturais fi:

para vibraes verticais e longitudinais:

1,25 Hz fi 2,3 Hz

para vibraes laterais: 0,5 Hz fi 1,2 Hz

H situaes em que frequncias caem num intervalo susceptvel de excitao pelo segundo harmnico da aco do peo. Nestas circunstncias, se for considerado relevante investigar os efeitos associados ao segundo harmnico da aco dos pees, a gama crtica alarga-se do seguinte modo:


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para vibraes verticais e longitudinais:

1,25 Hz fi 4,6 Hz

As pontes pedonais que tenham frequncias naturais fi na gama crtica devem ser objecto de uma anlise dinmica face excitao dos pees.

Vibraes laterais no so afectadas pelo 2 harmnico da aco dos pees.

Nota: A excitao vertical atravs do segundo harmnico da aco dos pees pode ter lugar. Todavia, at ao presente, no h referncia de vibraes significativas em pontes pedonais motivadas pelo segundo harmnico.

A gama crtica de frequncias naturais baseia-se em investigao emprica das frequncias da passada fs dos pees. No sentido de garantir coerncia com os princpios dos Eurocdigos, os valores caractersticos fs,5%,slow e fs,95%,fast utilizados so baseados nos valores dos percentis 5% e 95%.

4.3 Passo 3: Caracterizao das situaes de projecto

Recomenda-se vivamente discutir os requisitos de conforto e as condies de trfego pedonal esperado com o cliente, para fixar limites realistas para o projecto de uma estrutura em particular. Um dilogo construtivo acerca da susceptibilidade a vibraes entre o projectista e o dono de obra pode ajudar a clarificar aspectos tais como requisitos de conforto e a necessidade eventual de medidas de amortecimento (cf. seco Erro! A origem da referncia no foi encontrada.).

Os princpios de fiabilidade [5] dos Eurocdigos referem algumas situaes de projecto, listando-se de seguida algumas que se consideram relevantes para pontes pedonais submetidas aco humana. Estas situaes podem ser associadas frequncia de excedncia de um certo estado limite como um critrio de conforto em questo:

Situaes de projecto persistentes, que se referem a condies de uso permanente;

Situaes de projecto transitrias, que se referem a condies temporrias;

Situaes de projecto acidentais, que se referem a situaes excepcionais.

H situaes de projecto que podem ocorrer uma vez na vida til de uma ponte pedonal, como a inaugurao da ponte. Mas, por outro lado, pode ocorrer uma situao em que um nmero muito reduzido de pees atravesse a ponte diariamente.

Hipteses realistas acerca de diferentes situaes de projecto devem ser tidas em conta utilizando classes de trfego definidas (cf. seco 4.3.1) para a verificao do conforto dos pees. Como referido anteriormente, a inaugurao da ponte pedonal, por exemplo, condicionar o projecto em quase todos os casos, embora ocorra apenas uma vez no perodo de vida til de uma ponte. Deve por isso decidir-se que critrios de conforto devem ser escolhidos para o projecto da ponte (cf. seco 4.3.2) para uma situao extrema e rara, tal como a inaugurao ou para a densidade de pees de todos os dias sobre a estrutura.


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4.3.1 Passo 3a: Caracterizao de classes de trfego

O tipo esperado de trfego de pees e a densidade de trfego determinam a aco dinmica e influenciam o projecto das pontes pedonais. Estruturas em locais mais remotos, com trfego de pees espordico, no so sujeitas s mesmas aces dinmicas que as situadas nos centros das cidades, com densos trfegos de atravessamento.

Formaes de pees, procisses ou soldados em marcha no so tidos em considerao na classificao geral de trfego, necessitando de consideraes adicionais. A diferena entre formaes de pees e o trfego de pees anteriormente referido que cada peo da formao move-se de forma sincronizada com uma dada cadncia. A fase da passada altamente sincronizada, podendo ser reforada pela presena de msica.

4.3.2 Passo 3b: Caracterizao de classes de conforto

Os critrios de conforto para pees so geralmente representados atravs de limites de acelerao para a ponte pedonal. Cdigos nacionais e internacionais, bem como literatura da especialidade, propem valores limite que diferem entre si por muitas razes. Contudo, a maior parte destes valores coincidem dentro de um certo intervalo.

Em geral, a percepo e anlise do movimento e das vibraes so subjectivas e, por isso, diferentes para cada peo. Utilizadores de pontes pedonais localizadas na proximidade de hospitais e lares de idosos podem ser mais sensveis a vibraes que caminheiros atravessando uma ponte pedonal durante o seu trajecto.

Mesmo a aparncia visual e a localizao da ponte podem influenciar a anlise por cada peo. A Figura 4-1 evidencia a gama de subjectividade pessoal associada percepo de vibraes em pontes. Embora as duas pontes analisadas tenham propriedades dinmicas muito semelhantes, a apreciao das vibraes por parte das pessoas interrogadas difere grandemente. A percentagem de indivduos que se sentem perturbados durante o atravessamento da ponte pedonal de aparncia robusta de Wachtelsteg, Pforzheim, Alemanha, no lado direito, quatro vezes superior ao que se verifica no caso da ponte pedonal de aparncia ligeira de Kochenhofsteg, Stuttgart, Alemanha, no lado esquerdo. Variao semelhante sucede com a percentagem de pessoas que ficam excitadas ou divertidas, a qual praticamente triplica de um caso para o outro.

Assim, a apreciao de vibraes horizontais e verticais compreende muitos aspectos subjectivos, tais como:

Nmero de pessoas caminhando sobre a ponte;

Frequncia de utilizao;

Altura acima do solo;

Posio do corpo humano (sentado, de p, caminhando)

Caractersticas da excitao harmnica ou transitria (frequncia de vibrao);

Tempo de exposio;


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Transparncia do pavimento do tabuleiro e das guardas;

Expectativa da ocorrncia de vibraes face aparncia da ponte.

Figura 4-1: Comparao da apreciao de vibraes em duas pontes pedonais

4.4 Passo 4: Caracterizao do amortecimento estrutural

4.4.1 Modelo de amortecimento

Considerando que as estruturas de engenharia civil tm normalmente baixo amortecimento e desenvolvem baixos nveis de tenso sob aces de servio, a hiptese de comportamento linear normalmente aceite. A combinao desta hiptese com a hiptese de distribuio de amortecimento ao longo da estrutura caracterizado por uma matriz C proporcional s matrizes de massa e de rigidez (amortecimento de Rayleigh)

C = M + K Eq. 4-3

permite um desacoplamento das equaes de equilbrio dinmicas e o uso da anlise por sobreposio modal na avaliao de efeitos dinmicos induzidos por pees. Idealizando o sistema de N graus de liberdade como N sistemas de um grau de liberdade (1-GL) (cf. seco 4.5.1.2), pode definir-se um conjunto de N coeficientes de amortecimento modais n, que representam a fraco do amortecimento de um modo de ordem n em relao ao amortecimento crtico, definido como uma funo da massa modal mn* e da frequncia circular n

n = Cn / 2 mn* n Eq. 4-4 Estes factores de amortecimento relacionam-se com as constantes e na eq. 4-3 por


13

+= n

nn

21

Eq. 4-5

Por isso, fixando dois valores de n associados a dois modos distintos, pode obter-se uma matriz de amortecimento. Estes valores so normalmente baseados na experincia passada na construo de estruturas do mesmo tipo e constitudas pelo mesmo material.

4.4.2 Coeficientes de amortecimento para aces de servio

Valores comparveis aos da Tabela 4-5 das Recomendaes Tcnicas so propostos pelas Recomendaes do SETRA/AFGC [9], por Bachmann e Amman [10], pela EN 1991 [11] e pela EN 1995 [12].

A Figura 4-2 e a Figura 4-3 sumarizam a variao com a frequncia e o vo, respectivamente, de coeficientes de amortecimento medidos em vrias pontes pedonais no contexto do Projecto SYNPEX [13]. Estas figuras incluem adicionalmente dados publicados na literatura da especialidade. Apesar da grande disperso, pode observar-se que numerosas pontes pontes metlicas exibem coeficientes de amortecimento inferiores a 0,5% para frequncias naturais crticas do ponto de vista da excitao dos pees.

00,5

1

1,5

2

2,5

33,5

4

0 2 4 6 8 10Frequency (Hz)

(%

)

Measured, steelMeasured, timberMeasured, stress-ribbonMeasured, concrete

Figura 4-2: Coeficientes de amortecimento medidos sob aces de servio: variao com a frequncia natural


14

00.5

1

1.52

2.53

3.54

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180Span (m)

Measured, steelMeasured, timberMeasured, stress-ribbonMeasured, conc.

Figura 4-3: Coeficientes de amortecimento medidos sob aces de servio: variao com o vo

4.4.3 Coeficientes de amortecimento para vibraes de grande amplitude

A EN 1998 [14] fornece a gama de valores de coeficientes de amortecimento estruturais para estudos dinmicos sob aces ssmicas. Estes valores podem ser usados como referncia para vibraes de grande amplitude.

Tabela 4-1: Coeficientes de amortecimento de acordo com o material de construo para vibraes de grande amplitude

Tipo de construo Intervalo de variao de

Beto 2,0 7,0%

Ao 1,0 4,0%

4.5 Passo 5: Avaliao da acelerao

As pontes pedonais so na realidade mais frequentemente sujeitas aco simultnea de vrios pees, no sendo esta aco simplesmente a soma das aces individuais de cada peo isolado. De facto, as aces dos pees em pontes so aces de natureza estocstica. Dependendo da densidade de pees sobre a ponte, os pees andam de forma mais ou menos sincronizada e possivelmente interagem com a ponte pedonal em vibrao.

A aco depende da densidade do fluxo de pees, da frequncia de passada individual, da trajectria dos pees em andamento, da sua sincronizao, do peso das pessoas, etc. A resposta do sistema depende da aco e das propriedades estruturais, como a massa (modal) da ponte, as frequncias naturais e o amortecimento. Como no possvel determinar propriedades estruturais como frequncias e amortecimentos sem incertezas associadas, a resposta calculada do sistema tem tambm alguma variao.


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H vrios mtodos para calcular a acelerao da ponte. Os mtodos recomendados neste documento sero discutidos nas seces seguintes.

4.5.1 Modelo de aces harmnicas

4.5.1.1 Nmero equivalente de pees par fluxos

Introduo

Se uma aco harmnica (F0 sin (2 pi f0 t)) for aplicada num sistema de 1-GL, a resposta do sistema pode ser dada na forma que ser usada no procedimento para anlise de um nmero equivalente n de pees, utilizando anlise modal:

( ) ( ) ( )tf2sinff4ffM4Ftx 0

20

22220

20

+=

2 Eq. 4-6

com: F0 amplitude da aco,

M massa do sistema,

f frequncia natural circular do sistema,

f0 frequncia da aco,

coeficiente de amortecimento estrutural

=20

202arctanff

ff diferena de fase.

Anlise modal

Considere-se uma viga modelada como um sistema de N graus de liberdade (cf. Figura 4-4) sujeita a um carregamento representado por cargas pontuais sobre cada um dos ns (carregados). Quando se procura uma soluo para descrever o comportamento dinmico do sistema atravs de anlise modal, os deslocamentos dos ns vm dados como sobreposio dos deslocamentos relativos a diferentes modos representativos, sob a forma:

( ) ( ) Nr,r1i i

tixty =

= Eq. 4-7

onde:

y(t) o vector dos movimentos das massas concentradas,

i so os vectores dos deslocamentos modais tidos em considerao,

xi(t) so as respostas do sistema para cada modo i tido em considerao.

Fj

i

ij mj m1 mN

Figura 4-4: n N aces harmnicas


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Se todas as aces tiverem a mesma frequncia, f0 fi, a resposta do sistema para um s modo (e.g. modo i, com deslocamentos modais ij, cf. Figura 4-4) :

( ) ( ) ( )i0202i2i2202ii

20

Ti

i tf2sinff4ff

m*4Ftx +

= Eq. 4-8

com: iT = {i1, i2, ij, iN} vector de deslocamentos modais,

F0 vector de amplitudes das aces (F0T = {F1, F2, Fj, FN}),

=

=

N

1j

2ijji mm* massa modal,

fi frequncia do modo i,

f0 frequncia da aco,

i coeficiente de amortecimento do modo i ,

i diferena de fase para o modo i.

Resposta a uma aco harmnica distribuda Abordagem determinstica

No caso mais geral, a aco harmnica distribuda representada como n = N cargas pontuais (Qj sin (2 pi f0j t j)), regularmente distribudas sobre meias-ondas do modo i (cf. Figura 4-5), onde:

As amplitudes das aces so Qj, j = 1 to n;

Cada carga pontual tem uma frequncia f0j, j = 1 to n;

Cada carga pontual tem uma diferena de fase j, j = 1 to n.

Qj

i(x)

i,max

L

L/n

ij

Figura 4-5: n = N aces harmnicas

Se o comprimento carregado for L, a posio de cada carga pontual encontra-se

no intervalo

L

n

jL

n

j,

1 (cf. Figura 4-5). De maneira a ter em conta a ordem do

modo de vibrao e a natureza distribuda das aces:

=

=

N

j 1j

nij0

Ti QL

F ,

onde ( )( )

=

njL

nL1jinij dxxn .

A resposta dada como uma sobreposio de respostas a aces particulares, como:


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( )( )( )= +

=

n

j 1 2j02

i2i

22j0

2i

maxi,i2

ijj0jnij

maxi,

ff4ff

m*4tf2sinQL

ty ,

em que a diferena de fase para o modo i e uma aco pontual no n j :

( )( )

+=

jjiijji

jjijjiiij

ffff

ffff

sin2cos

sincos2arctan

020

2

20

20 .

Se a hiptese de que todas as aces tm a mesma amplitude, mas no esto necessariamente em fase, podendo adoptar-se ( jj QQ sin= ), a resposta vem

dada por:

( ) ( ) ( )( )= +

=

n

j 1 2j02

i2i

22j0

2i

ijj0i2

maxi,nijmaxi,

ff4ff

tf2sinLm*4Qty Eq. 4-9

Resposta a uma aco harmnica distribuda Abordagem probabilstica

O efeito de um fluxo de pees consistindo n = N pees aleatrios vai ser agora analisado. As diferenas em relao ao caso anteriormente referido so:

Cada carga pontual tem uma frequncia aleatria fsj que segue uma distribuio normal N [fs1, ];

Cada carga pontual tem uma diferena de fase aleatria j que segue uma distribuio uniforme U [0, 2];

A resposta/deslocamento (eq. 4-9) aqui uma varivel aleatria tambm por causa de fsj e j e assim o seu valor mdio e a sua varincia podem ser analisados.

Se a seguinte notao for adoptada:

i = fi / fs1 :quociente entre a frequncia natural do modo i e a mdia das frequncias de excitao,

= / fs1 :coeficiente de variao das frequncias de excitao,

fsj = fs1 (1 + uj):frequncia aleatria de uma carga pontual aplicada no n j,

onde uj uma varivel aleatria gaussiana normalizada, e se em vez de deslocamentos forem consideradas aceleraes, cada componente do somatrio na eq. 4-9 deve ser multiplicada por:

( ) ( ) ( )2j21s22sj u1f2f2 += . A acelerao mxima absoluta ento:

( )[ ] ( )( ) ( )

( ) ( )( )

444444444444 3444444444444 21

&&&&

i

ijsj

2j

2j

2i

2i

22j

2j

2i

4j

2i

2maxi,nij

t

21s

21s

2maxi,ti

z

tf2sin

uu214uu21u1Lm*4

max

fQf2tymaxZ

+++

+

==

=

n

j 1

,


18

com a diferena de fase para o modo i e uma aco pontual no n j:

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ,u1

u12arctan

sinu12cosu1sinu1cosu12

arctan

j2j

2i

jii

jjiij2

j2i

j2

j2ijjii

ij

+

+

+=

=

++

+++=

e, finalmente:

( ) i2i zQ2Z =&& Eq. 4-10 Nota: Para i = 1, = 0 e j = 0 (caso de aco ressonante determinstica):

( )

( ) 'zQ2'z

2tf2sin

2Lm*4

maxfQf2Z

i2

i

sji

i2

maxi,Nijt2

1s

21s

2i

=

=

=

=

444444444 3444444444 21

&&n

j 1 Eq. 4-11

Determinao do nmero equivalente de pees

O nmero equivalente de pees num fluxo idealizado equivalente i.e. o nmero de pees, todos com frequncia de passada igual frequncia natural do modo i e em fase, originando o mesmo comportamento da estrutura que o causado pelo fluxo aleatrio de pees pode ser obtido igualando as aceleraes mximas absolutas nos dois seguintes casos (cf. Figura 4-6):

Fluxo aleatrio com n = N pees (eq. 4-10): ( ) i2i zQ2Z =&& Fluxo equivalente com n n pees (eq. 4-11): ( )

n

n''zQ2Z i

2eqi, =

&&

Qj

i(x)

} n

Qj n/n

i(x)

} n

Figura 4-6: Equivalncia de fluxos

Assim: n'z

zn'

n

n''zzZZ

i

iiieqi,i ===

&&&&

Se a abordagem proposta em [9] for adoptada,

ieq nkn =' , Eq. 4-12

e o coeficiente keq pode ser obtido como:

ii

i

ieq

n

z

z

n

nk

''

== Eq. 4-13

O factor aleatrio na equao 4-13 zi. O valor mdio E(zi) e o desvio padro (zi) podem ser avaliados por simulaes para diferentes valores dos parmetro intervenientes:


19

( ) ( )( ) ( )( )

+++

+

=

=

ijsj

n

1j2j

2j

2i

2i

22j

2j

2i

4j

2i

2maxi,Nij

ti

tf2sin

uu214uu21u1Lm*4

maxz Eq. 4-14

Resultados

Foram efectuadas anlises de sensibilidade com base no mtodo de Monte-Carlo, conduzidas assumindo uma configurao modal i correspondente a uma meia-sinusoide (cf. Figura 4-6), de modo a representar a natureza aleatria da aco dos pees. Nessas anlises, considerou-se a variao dos seguintes parmetros:

Coeficiente de amortecimento, i

Relao de frequncias, i

Coeficiente de variao,

Nmero de pees, n.

Histogramas relativos aos mximos de zi (eq. 4-14) foram primeiro obtidos com base em 2500 simulaes para cada conjunto de parmetros, consistindo todas as simulaes em tomar n valores aleatrios quer da varivel gaussiana normalizada uj, quer da diferena de fase j. Um mximo de zi tomado num intervalo de 2 perodos (simulaes realizadas mostraram que um intervalo correspondente a 8 perodos conduz aos mesmos resultados). O coeficiente keq ento calculado (eq. 4-13) com base nos valores de zi obtidos como referido anteriormente. A Figura 4-7 mostra um exemplo de um histograma de keq. Finalmente, o 95 percentil de keq determinado.

N =400; =2%; V =5%

0

50

100

150

200

250

300

350

0,12

1,69

3,26

4,83

6,40

7,97

9,54

11,11

12,67

14,24

k eq

Ra

lisa

tion

s

Figura 4-7: Um exemplo dos histogramas obtidos

Com um tal valor de keq, o nmero equivalente de pees, n, pode ser obtido. Expresses para este nmero equivalente foram derivadas por regresso como funo do coeficiente de amortecimento e do nmero total de pees sobre a ponte.

4.5.1.2 Aplicao de modelos de carga

Sem informao complementar.


20

4.5.1.3 Mtodo de 1-GL

Como exemplo de aplicao do mtodo de 1-GL, considere-se uma viga simplesmente apoiada. Esta viga tem uma massa distribuda [kg/m], uma rigidez k e um comprimento L. A carga uniforme p(x) sin( t) distribuda ao longo do comprimento total.

As configuraes modais (x) dos modos de flexo assumem-se ser representados por uma funo sinusoidal (x) = sin(m x/L ), enquanto que m o nmero de meias ondas.

mode shape (x)

0.00

L

p(x)sin(t)

Figura 4-8: Viga simplesmente apoiada com configurao modal harmnica (x), m=1

A massa generalizada m* e a aco generalizada p* sin( t) so calculadas como se segue:

( ) =DL

2 dx(x)*m Eq. 4-15

( ) ( )tsindx(x)p(x)tsinp*DL

= Eq. 4-16

Expresses para a massa generalizada m* e para a aco generalizada p* sin( t) encontram-se sistematizadas na Tabela 4-2 para uma viga simplesmente apoiada. A aco generalizada para uma simples carga Pmov sin( t), movendo-se ao longo da viga, tambm dada nessa tabela. Esta excitao limitada pelo tempo de sintonizao, definido como o tempo necessrio a uma carga mvel para atravessar uma meia onda da deformada modal.


21

Tabela 4-2: Massa (modal) generalizada e aco generalizada

Configurao modal

Massa generalizada

Aco generalizada p* para carga distribuda p(x)

Aco generalizada p* para carga mvel Pmov

Tempo de sintonizao

m* p* p* tmax

m=1:

( )

=

Lx

sinx L21

Lp(x)

2 movP

2 L/v

m=2:

( )

=

Lx2

sinx L21

Lp(x)

1 movP

2 L/(2v)

m=3:

( )

=

Lx3

sinx L21

Lp(x)32

movP

2 L/(3v)

com:

Pmov [kN]: carga mvel L [m]: comprimento

p(x) [kN/m]: carga distribuda m [-]: nmero de meias ondas

[kg/m]: massa distribuda por unidade de comprimento

v [m/s]: velocidade da carga mvel

O 2 modo de vibrao de uma viga simplesmente apoiada tem duas meias ondas (m = 2). O carregamento da viga em toda a extenso resulta em foras com o mesmo sentido da deformada modal em metade do comprimento e em foras com sentido contrrio na outra metade, pelo que a fora generalizada toma o valor p* = 0. A aco generalizada indicada na Tabela 4-2 baseia-se na hiptese segundo a qual cada meia onda do modo de vibrao se encontra carregada no sentido dos deslocamentos modais correspondentes, o que origina oscilaes mais elevadas. Desse modo, a aco generalizada p* para todos os modos a mesma que para o primeiro modo de flexo (m = 1). Deve notar-se que este procedimento pode diferir de outras recomendaes. De acordo com algumas abordagens [32] a superfcie carregada depende da configurao do modo normal em considerao, enquanto que, de acordo com outras referncias [9], a totalidade da superfcie susceptvel de ser carregada deve ser considerada.

4.5.2 Mtodo dos Espectros de Resposta para fluxos de pees

O procedimento geral de dimensionamento adoptado a partir da engenharia do vento, onde utilizado para verificar a segurana em relao aos efeitos de rajada induzidos em sistemas flexveis. As aces dos pees em pontes so aces de natureza estocstica. Como no possvel determinar propriedades


22

estruturais como, por exemplo, as frequncias naturais, sem incertezas, estas propriedades tm tambm natureza estocstica.

Como varivel de dimensionamento, foi escolhida a mxima acelerao de pico da resposta do sistema. Na verificao de segurana, esta acelerao comparada com a acelerao tolervel, de acordo com a classe de conforto a ser comprovada.

Esta acelerao mxima definida pelo produto de um factor de pico ka,d por um desvio padro da acelerao, a:

adad ka ,max, =

Ambos os factores foram derivados de simulaes de Monte Carlo, as quais se baseiam em simulaes numricas passo-a-passo no domnio do tempo correspondentes passagem de vrios fluxos de pees sobre pontes com diferentes geometrias.

O desvio padro da acelerao obtido como resultado da aplicao de aces estocsticas a um determinado sistema. Estas aces foram definidas considerando pontes com vos na gama de 20 m a 200 m e uma largura variando entre 3 m e 5 m, carregadas com quatro diferentes densidades de fluxo (0,2 P/m, 0,5 P/m, 1,0 P/m e 1,5 P/m). Para cada tipo de ponte e densidade de fluxo, 5 000 fluxos de pees distintos foram simulados em anlises passo-a-passo no domnio do tempo, nos quais cada peo teve as seguintes propriedades, tomadas aleatoriamente a partir da distribuio estatstica correspondente:

Peso das pessoas (mdia = 74,4 kg; desvio padro = 13 kg), Frequncia da passada (valor mdio e desvio padro dependem da densidade

do fluxo), Factor para foras induzidas lateralmente (mdia = 0,0378, desvio

padro = 0,0144), Posio inicial (aleatoriamente) e Momento do primeiro passo (aleatoriamente).

O factor de pico ka,d usado para determinar o valor caracterstico da resposta do sistema. Em estados limites de utilizao, o valor caracterstico o percentil 95% ka,95%. Este factor tambm um resultado das simulaes de Monte Carlo.

Outro resultado das simulaes, em que os primeiros quatro modos verticais e os primeiros dois modos horizontais e de toro foram considerados, o risco de lock-in lateral.

Para identificar este risco, foi definida uma amplitude limite de 0,1 m/s para a acelerao lateral. A seguinte gama de frequncias relevante do ponto de vista da ocorrncia de lock-in lateral:

Hz2,12/

8,0,

ms

i

f

f,

onde: fi a frequncia natural horizontal lateral e

fs,m o valor mdio da frequncia da passada.

As frequncias naturais objecto de considerao devem coincidir com o valor mdio de frequncias da passada de fluxos de pees.


23

4.6 Passo 6: Verificao de critrios para lock-in lateral

Durante o andamento de um peo, o seu centro de gravidade oscila no apenas verticalmente, mas tambm na direco lateral, acompanhando a passagem de um p para outro, sendo a frequncia de oscilao nesta direco metade da frequncia da passada.

A sincronizao de fluxos de pees com vibraes verticais no tem sido observada em pontes pedonais. As vibraes verticais so absorvidas pelas pernas e articulaes, que proporcionam uma certa quantidade de amortecimento, de modo que o centro de gravidade no seja afectado pelas vibraes verticais. As pessoas so capazes de reagir a vibraes verticais ajustando a sua forma de andar. Embora tal no seja geralmente considerado, investigaes experimentais mostraram que pees isolados podem sincronizar-se com vibraes verticais harmnicas de 1,5 m/s2 [7].

Pelo contrrio, as pessoas reagem de forma muito mais sensvel a vibraes laterais. Se um peo andar sobre uma ponte vibrando lateralmente, ele tenta compensar este movimento adicional do seu centro de gravidade oscilando em correspondncia com o deslocamento da ponte. Este comportamento intuitivo e mesmo vibraes pequenas no perceptveis podem causar um ajustamento do movimento do centro de gravidade. Tal alterao do movimento do centro de gravidade acompanhada de uma adaptao da frequncia da passada e um alargamento da passada. A pessoa tende a andar a uma frequncia dupla da frequncia de vibrao e a deslocar o seu centro de gravidade ao mesmo ritmo da vibrao [2]. A oscilao do corpo ao ritmo da vibrao lateral leva a que as foras de reaco lateral no solo sejam aplicadas em ressonncia. O alargamento da passada ocasiona um incremento daquelas foras, as quais so aplicadas de tal forma que introduzem uma energia positiva no sistema estrutural da ponte (Figura 4-9). Assim, se uma ponte pedonal de baixo amortecimento vibrar ligeiramente na direco lateral e suceder que os pees ajustam a sua forma de andamento, ento este efeito de sincronizao pode originar vibraes de grande amplitude.


24

Figura 4-9: Descrio esquemtica de andamento sincronizado

Ensaios experimentais realizados sobre uma plataforma de teste no contexto do projecto SYNPEX [13] indicam que uma nica pessoa caminhando a uma frequncia fi 0,2 Hz tende a sincronizar-se com a vibrao do tabuleiro. Pees com um andamento mais rpido no so praticamente afectados pela vibrao do tabuleiro, dado que o tempo de contacto dos ps pequeno e a velocidade de propagao elevada. Pees nessas circunstncias parecem menos instveis que pees em andamento normal ou lento.

A amplitude limite a partir da qual o efeito de lock-in tende a ocorrer expresso em termos de acelerao. Embora uma dependncia em termos de frequncia possa adicionalmente existir, ela no foi detectada nas medies realizadas. Ensaios realizados em Frana [6] sobre uma plataforma de teste e sobre a Passerelle Slferino indicam a existncia de uma amplitude limite de 0,1 a 0,15 m/s2 a partir da qual o fenmeno de lock-in se inicia:

2m/s15,0a1,0=inlocka Eq. 4-17

Numa perspectiva diferente, a investigao centrada em torno da ponte do Millennium [16] conduziu a uma interpretao do lock-in como um fenmeno associado gerao de um amortecimento negativo dependente do nmero de pees sobre a ponte. O nmero limite de pees a partir do qual o lock-in se inicia, que o nmero de NL susceptvel de conduzir ao anulamento do amortecimento global produzindo uma sbita amplificao da resposta, foi definido como uma funo do coeficiente de amortecimento modal , da massa modal m*, da frequncia natural f, e de uma constante k como

kfm*8NL = Eq. 4-18

Com base nos ensaios da ponte do Millennium, Dallard et al. [16] deduziram o valor da constante k como sendo aproximadamente igual a 300 Ns/m na gama 0,5-1,0 Hz.

Movimento lateral do centro de gravidade

Reaco do pavimento no p direito

Reaco do pavimento no p esquerdo

Deslocamento lateral do tabuleiro

Velocidade lateral do tabuleiro

Trabalho realizado(trab. positivo = aumentoTrab. Negativo= reduo resposta

Reaco do pavimento no p direito

Reaco do pavimento no p esquerdo

+-

+-

+-

+-

Tempo

Tempo


25

Ensaios recentes sobre as pontes pedonais de Coimbra e da Guarda, em Portugal [17] confirmaram a adequao da frmula do Millennium para avaliar a amplitude limite de lock-in. Amplitudes de acelerao da ordem de 0,15-0,2 m/s2 foram observadas em correspondncia, sugerindo que as duas abordagens podem ser relacionadas.

4.7 Passo 7: Verificao do nvel de conforto


5 Avaliao de propriedades dinmicas de pontes pedonais

5.1 Introduo

Embora um conhecimento aprofundado dos materiais e das aces actuantes, e uma significativa capacidade de modelao proporcionem uma elevada compreenso do comportamento estrutural no actual estado da arte, numerosas incertezas se mantm presentes na fase de projecto de estruturas de engenharia civil. Consequentemente, as correspondentes propriedades dinmicas e comportamento estrutural s podem ser integralmente avaliadas aps a construo. Este facto tem especial importncia no contexto das pontes pedonais, considerando a estreita banda de frequncias de excitao que inclui frequentemente frequncias importantes da ponte, e os baixos coeficientes de amortecimento tpicos das modernas pontes pedonais.

Ensaios correntes, aqui designados de ensaios de Nvel 2, devem ser desenvolvidos no final da construo de qualquer ponte pedonal susceptvel de vibraes significativas, devendo considerar a identificao de frequncias naturais crticas, de coeficientes de amortecimento modais e a medio da resposta induzida por um peo isolado, por um pequeno grupo ou por um fluxo contnuo de pees.

Sempre que seja expectvel o recurso a dispositivos de controlo de vibraes, torna-se necessria a realizao de ensaios de Nvel 1; estes envolvem adicionalmente a identificao de modos de vibrao.

5.2 Medio da resposta

5.2.1 Medio da resposta ambiental para identificao de frequncias naturais crticas

Na situao mais simples, um nico sensor, normalmente um acelermetro, utilizado para medio da resposta. O seguinte procedimento pode ser utilizado: para cada seco de medida, o sensor montado e a resposta ambiental adquirida, com base em duas sries de teste.

Uma das series coligida, se possvel, com a ponte fechada ao trnsito de pees, sujeita s aces ambientais, de modo a eliminar o contedo em frequncia associado excitao dos pees, desde que a sensibilidade dos transdutores seja


26

suficientemente elevada para capturar a resposta ambiental (valores tpicos da amplitude de pico da acelerao da ordem de 2-5 mg). Esse procedimento permite a identificao de frequncias naturais crticas para vibraes verticais e/ou laterais.

A segunda srie deve ser adquirida sob a excitao normal dos pees, a qual proporciona uma melhor caracterizao das frequncias da ponte, bem como uma medida da intensidade das vibraes em condies normais de utilizao.

A escolha da frequncia de amostragem e de parmetros de processamento deve respeitar os seguintes pontos:

Assumindo que as frequncias de interesse se situam na gama 0,1-20 Hz, deve seleccionar-se uma frequncia de amostragem de 50 Hz a 100 Hz. O equipamento de aquisio deve incluir filtros analgicos de forma a evitar erros de sobreposio (aliasing), seno frequncias de amostragem mais elevadas podem ser requeridas;

Designando por flow a mais baixa frequncia natural esperada da ponte, a srie temporal colhida deve ter uma durao mnima dada pela frmula

(A / flow) [n (n-1) overl] [s] Eq. 5-1

onde A uma constante, com um valor de 30 a 40, n o nmero de registos que sero usados na obteno de uma estimativa media de uma funo densidade espectral de potncia (PSD) da resposta, e overl representa a taxa de sobreposio (overlap) usada para essa estimativa. Valores correntes de n so 8-10, e uma taxa normal de sobreposio 50 %. Considerando como exemplo uma estrutura com uma frequncia natural mnima de 0,5 Hz, a realizao de uma mdia sobre 10 registos, e uma taxa de sobreposio de 50%, a durao mnima das sries temporais colhidas deve ser de 330-440 s. Assim, um total de 33 000 a 44 000 amostras devem ser colhidas a uma frequncia de amostragem de 100 Hz, conduzindo a estimativas espectrais mdias com uma resoluo em frequncia de 0,017 Hz a 0,0125 Hz;

As sries temporais adquiridas devem ser processadas de modo a obter-se uma estimativa mdia da funo densidade espectral de potncia (PSD). Um procedimento para construir esta estimativa o seguinte: dividir as sries temporais colhidas em n registos, considerando a taxa de sobreposio (overlap) definida; efectuar a remoo de tendncias em cada registo; aplicar uma janela temporal (janela de Hanning, por exemplo) em correspondncia; avaliar a estimativa espectral PSD normalizada para cada registo; tomar a mdia do conjunto de estimativas PSDs simples;

A anlise das estimativas espectrais colhidas em uma ou vrias seces possibilita uma primeira identificao de frequncias naturais do prottipo;

O valor de pico da resposta das sries coligidas sob andamento normal dos pees deve ser retido para comparao com limites de aceitabilidade.

5.2.2 Medio aproximada de factores de amortecimento associados a frequncias naturais crticas

A aplicao de um algoritmo de identificao de um grau de liberdade resposta em vibrao livre (eventualmente objecto de filtragem passa-banda, no caso da


27

presena de modos prximos ou de rudo) permite uma estimativa simplificada de factores de amortecimento, atravs de segmentos das sries temporais. Um grfico de factores de amortecimento versus amplitude de oscilao pode ser traado, no qual a amplitude de oscilao tomada como a mdia das amplitudes de pico de oscilao registadas no interior do segmento da srie analisado.

5.2.3 Medio da resposta induzida por um peo isolado

A resposta da ponte aco induzida por um peo atravessando a ponte com a frequncia de passada julgada relevante medida na seco ou seces mais crticas. Dadas as caractersticas aleatrias da excitao, deve ser obtido um certo nmero de realizaes para cada combinao frequncia / movimento. Um nmero de referncia 5.

5.2.4 Medio da resposta induzida por um grupo de pees

Observando a literatura da especialidade, pode constatar-se que o nmero de pees usado em ensaios de grupos varia na gama 10-20 pees.

A resposta deve ser medida tendo por base as consideraes relativas ao atravessamento por um peo isolado, i.e., para cada combinao tipo de movimento / frequncia, 5 realizaes de um atravessamento da ponte no sentido descendente (para declives no-simtricos) devem ser colhidas, a uma frequncia de amostragem de 50 Hz-100 Hz. O peso dos membros do grupo deve ser retido, e a resposta do grupo deve ser considerada como a mais alta de entre os valores de pico das respostas registadas.

5.2.5 Medio da resposta induzida por um fluxo contnuo de pees


5.3 Ensaios de identificao

A identificao de parmetros modais, i.e., frequncias naturais, modos de vibrao e coeficientes de amortecimento pode basear-se em ensaios de vibrao forada, de vibrao livre ou de vibrao ambiental.

5.3.1 Ensaios de vibrao forada

5.3.1.1 Excitao atravs de martelo de impulsos

Mesmo com as pontas mais suaves, um martelo de impulsos produz um impulso de curta durao (tipicamente 10ms, sobre uma superfcie de beto), cujo contedo em frequncia definido numa larga gama de frequncias, tal como DC-200 Hz. Embora filtros analgicos possam ser incorporados no equipamento de aquisio ou condicionamento de sinal, o contedo espectral da excitao s pode ser definido com preciso se a descrio temporal tiver resoluo adequada. Assumindo que esse impulso representado por uma semi-sinuside, dever-se-o utilizar trs pontos para descrever com preciso esta curva, com afastamento mnimo de 5 ms. Assim, deve ser usada uma frequncia mnima de


28

amostragem de 200 Hz, mesmo que o contedo em frequncia de interesse se situe na gama 0,1 Hz-20 Hz.

Outro aspecto a reter que, dado que a fora de excitao aplicada manualmente, algumas diferenas na qualidade do sinal aplicado podem ocorrer. Em particular, importante que o operador evite pancadas duplas em cada registo, o que afecta significativamente a qualidade das estimativas da resposta em frequncia.

No que se refere durao de cada srie temporal registada, esta deve ser definida, se possvel, de tal forma que a resposta estrutural aplicao da aco impulsiva do martelo se anule no interior do intervalo de medio. Nesse caso, a aplicao de janelas temporais no necessria, o que aumenta a qualidade das estimativas de amortecimento. Um valor de referncia para a durao mxima das sries 20,48 s, correspondendo a um nmero de 4096 pontos amostrados a 200 Hz. Tal corresponde a obter estimativas espectrais com uma resoluo em frequncia de 0,04 Hz, o que manifestamente insuficiente para caracterizar modos de vibrao com frequncias muito baixas.

A excitao do martelo no deve ser com efeito usada para a caracterizao desses modos. Deve notar-se que, mesmo que registos mais longos possam ser colhidos, a ltima parte do sinal pode conter apenas resposta a aces ambientais, pelo que no proporciona um sinal correlacionado com a excitao.

Assumindo que a frequncia de amostragem e a durao dos registos so definidos, um procedimento para a obteno de um conjunto de estimativas de funes de resposta em frequncia o seguinte:

(i) Seleco de uma seco ao longo do tabuleiro onde aplicar as pancadas. Esta seco deve ser escolhida considerando as configuraes modais calculadas preliminarmente por via numrica, de tal modo que o menor nmero de nodos de modos de vibrao se encontrem na sua proximidade. Mais do que uma seco pode ter de ser definida, dependendo da configurao dos modos de vibrao de interesse;

(ii) Para cada seco de excitao Ri, e dependendo do nmero de acelermetros disponveis, instalar sucessivamente o acelermetro(s) nas seces de medida. Para cada (conjunto de) seco(s) instrumentadas, e usando os parmetros de amostragem antes definidos, colher a resposta aco impulsiva do martelo aplicada em Rj, bem como o sinal de excitao do sensor de fora. Para cada set-up, um total de 5 a 10 conjuntos de series temporais so registados;

(iii) Efectuar a remoo de tendncias em todas as sries temporais. Obter uma descrio da excitao e da resposta atravs da estimativa de auto-

espectros )(~

fSii e )(~

fS jj . Estimar o espectro cruzado )(~

fSij relacionando a

resposta em cada seco de medida Ri com a excitao aplicada na seco Rj. Efectuar a mdia de auto-espectros e de espectros cruzados, para o conjunto de 5 a 10 sries colhidas em cada local

[ ])(~)( fSEfS jjjj = [ ])(~)( fSEfS ijij =


29

Estimar a funo de resposta em frequncia )(fHij , atravs do estimador

H2

)(

)()(

fS

fSfH

ii

ijij = Eq. 5-2

e a coerncia )(2 f , definida como

)()(

)()(

22

fSfS

fSf

jjii

ij= Eq. 5-3

As funes )(fHij so intrnsecas do sistema e constituem a base de

aplicao de um algoritmo de Identificao de Sistemas (no domnio da frequncia) para extrair frequncias naturais fk, modos de vibrao k e

coeficientes de amortecimento associados k , enquanto )(2 f proporciona

uma medida da correlao entre os sinais medidos de excitao e de resposta.

Considerando um modelo de amortecimento viscoso e medies da resposta expressas em termos de aceleraes, as funes de resposta em frequncia ( )fHij relacionam-se com as componentes modais do modo k, ( )ki e ( )kj , nas seces Ri e Rj, respectivamente, atravs de

( ) ( )f)f(i)f(f

f(f)H

kkk

kjkiij

222

2

+

= Eq. 5-4

5.3.1.2 Excitao atravs de vibrador, banda larga

A excitao de banda larga induzida por vibradores hidrulicos ou electrodinmicos pode ser natureza contnua ou transitria. Sinais transitrios, como por exemplo os sinais aleatrios aplicados em pequenos intervalos de tempo, so tratados de forma similar aos produzidos por um martelo de impulsos. Sinais contnuos requerem a aplicao de janelas de dados a cada segmento temporal das sries, de modo a reduzir efeitos de escorregamento (leakage). Alm disso, como a aplicao de janelas temporais reduz a contribuio das amostras situadas nos extremos dos segmentos analisados, frequente sobrepor segmentos temporais (overlap). Um procedimento usual consiste em aplicar janelas de Hanning aos segmentos temporais da excitao e da resposta, conjuntamente com uma taxa de sobreposio de 50%. Tal permite uma reduo considervel do tempo de durao das series temporais colhidas em cada para de seces excitao-resposta. Sinais de banda larga frequentemente gerados so os sinais aleatrios ou sinais do tipo chirp-sine, formados por um seno de frequncia varivel progressivamente num determinado intervalo.

5.3.1.3 Excitao atravs de vibrador, ensaios sinusoidais

A realizao de ensaios sinusoidais conduz aos melhores resultados, desde que o vibrador tenha potncia suficiente para excitar os modos de vibrao de


30

interesse. Este aspecto crtico para frequncias naturais muito baixas, mesmo no caso de pontes pedonais muito flexveis.

O procedimento para construo de funes de resposta em frequncia e identificao de modos de vibrao e de coeficientes de amortecimento compreende uma medio preliminar da resposta a aces ambientais, a qual proporciona uma aproximao das frequncias naturais. Uma vez identificada a vizinhana de cada frequncia natural de interesse, um ensaio sinusoidal desenvolvido, o qual consiste na construo de partes da funo de resposta em frequncia, ponto a ponto, correspondendo cada ponto ao par frequncia de excitao, contedo em frequncia da resposta medida em cada seco de medio. Os seguintes pontos devem ser tidos em considerao:

(i) Embora seja desejvel medir a fora aplicada, isso nem sempre possvel, particularmente se se recorrer a um vibrador de massas excntricas. A fora aplicada por esse tipo de vibradores pode todavia ser estimada com uma certa preciso;

(ii) A identificao rigorosa da frequncia natural da estrutura efectuada por aplicao de uma excitao sinusoidal e registando a resposta numa seco particular onde a configurao modal prevista tenha uma componente significativa. Para cada frequncia de excitao, uma srie temporal da resposta numa seco particular pode ser extrada, com uma pequena durao, correspondente por exemplo a 512 amostras. Assumindo que o sinal induzido perfeitamente sinusoidal, a amplitude e fase da resposta podem ser extradas atravs de uma ajuste de um grau de liberdade no domnio do tempo. O ponto da funo de resposta em frequncia obtido atravs do quociente com a amplitude da excitao, medida ou estimada;

(iii) Embora sejam requeridas sries temporais muito curtas, necessrio que o vibrador opere para cada frequncia durante um perodo de pelo menos um minuto, de modo a garantir que foi alcanada a estabilizao da resposta;

(iv) Uma vez identificada a frequncia natural, o vibrador sintonizado para essa frequncia e um acelermetro, ou um conjunto de acelermetros so sucessivamente montados em cada local de medio para colher uma pequena srie temporal da resposta. Quando se utilize sensor de fora, necessrio instalar um acelermetro prximo do vibrador, o qual permanece fixo. Registos simultneos da resposta em dois locais so ento colhidos, para uma avaliao das fase e amplitude em relao seco de referncia. O conjunto de fases e amplitudes em relao ao ponto de referncia constituem as componentes do modo de vibrao;

(v) A melhor qualidade das estimativas de amortecimento obtida com ensaios sinusoidais. Estimativas de amortecimento so obtidas da anlise da resposta medida em vibrao livre por interrupo sbita da excitao sinusoidal em ressonncia. Desde que no haja a presena de modos prximos, um algoritmo de um grau de liberdade suficiente para identificar o coeficiente de amortecimento. Como este coeficiente depende da amplitude da resposta, a resposta em vibrao livre deve ser analisada por segmentos do registo da resposta, de acordo com a forma descrita na Seco 5.2.2.


31

5.3.2 Ensaios de vibrao ambiental

A hiptese bsica dos ensaios de vibrao ambiental que o input, i.e., a excitao ambiental, pode ser idealizado como um rudo branco definido na banda correspondente gama de frequncias de interesse. Tal significa que, dentro de uma certa gama de frequncias, todos os modos de vibrao so excitados com uma amplitude e fase constantes. A resposta registada por isso uma resposta operacional, e a tcnica de construir as chamadas funes de resposta em frequncia, relacionando as respostas em duas seces de medio, conduz identificao de modos de deformao operacionais, em vez de modos de vibrao. Assumindo que as frequncias do sistema esto bem separadas, e que os coeficientes de amortecimento so baixos, existe uma boa aproximao entre modos de deformao operacionais e modos de vibrao. Contudo, se as frequncias forem prximas, os modos de deformao operacionais compreendem uma sobreposio no-desprezvel de modos adjacentes, levando por isso a resultados errados. Embora existam algumas possibilidades para obter uma separao dos modos de vibrao, como a separao da resposta de flexo e torsional numa ponte construindo dois sinais, a semi-soma e a semi-diferena das respostas medidas lateralmente em cada seco transversal do tabuleiro, algumas outras alternativas esto disponveis em termos de processamento de sinal, que permitem a identificao das componentes modais e dos coeficientes de amortecimento. o caso do mtodo de identificao estocstica em sub-espaos, que uma tcnica paramtrica de identificao modal output-only que pode ser aplicadas directamente s sries temporais de acelerao ou s correspondentes matrizes de covarincias da resposta [33]. Este mtodo foi implementado como uma toolbox para Matlab (Macec) [37]. Tambm disponvel sob forma comercial o software baseado nos mtodos fde identificao estocstica em sub-espaos e de decomposio no domnio da frequncia (Artemis) [38], bem como um outro assente no mtodo Polymax, os quais constituem ferramentas poderosas para identificao de modos de vibrao.

Embora estimativas de amortecimentos sejam proporcionadas pelos algoritmos mais poderosos, a preciso das estimativas limitada, pelo que os resultados devem ser utilizados com cuidado. Com efeito, no apenas a preciso dos sensores actualmente to elevada que a resposta estrutural pode ser medida para nveis de vibrao muito baixos, como tambm esto disponveis poderosas tcnicas de processamento de dados ([33], [34], [35]), que podem ser empregues para identificar parmetros modais.

A tcnica convencional para identificao de modos de deformao operacionais requer a construo de funes de resposta em frequncia entre outputs. Tal efectuado como descrito na seco 5.3.1.2 para ensaios de vibrao forada com excitao de banda larga.

5.3.3 Ensaios de vibrao livre

Considerando que a libertao sbita de um cabo tensionado equivalente aplicao de um impulso, a identificao de parmetros modais a partir de um ensaio de vibrao livre pode seguir o procedimento descrito na seco 5.3.1.1, no qual o espectro de frequncias da excitao assumido constante no intervalo de anlise. Alternativamente, algoritmos de identificao output-only do tipo referido na seco 5.3.1.2 podem ser aplicados. De qualquer modo,


32

expectvel que sejam obtidas estimativas modais de qualidade mais elevada que as alcanadas atravs de ensaios de vibrao ambiental.

5.4 Instrumentao

5.4.1 Transdutores para medio da resposta

Os limites de aceitabilidade relativos ao conforto humano dos pees so geralmente definidos em termos de acelerao, e por isso essa a quantidade normalmente medida.

Trs categorias principais de acelermetros podem ser utilizadas em medies em engenharia civil:

1. piezoelctricos;

2. piezoresistivos e capacitivos;

3. force-balanced.

Comparados com os outros dois tipos, os acelermetros piezoelctricos tm vrias vantagens, tais como: no requerem fonte de alimentao externa; so robustos e estveis a longo prazo; tm comportamento linear numa larga gama de frequncias. Existe um srio inconveniente em aplicaes envolvendo estruturas muito flexveis, que a limitao relativa medio em frequncias muito baixas. Muitos acelermetros piezoelctricos apenas proporcionam resposta linear para frequncias superiores a 1 Hz, embora alguns fornecedores produzam acelermetros que operam em frequncias muito baixas.

Quer os acelermetros piezoresistivos e capacitivos, quer os force-balanced so transdutores passivos, que requerem fonte de alimentao externa, normalmente uma excitao externa de 5 VDC-15 VDC. Estes acelermetros operam contudo na gama baixa de frequncias, i.e., de DC a aproximadamente 50 200 Hz, sendo por isso adequados para quase todos os tipo de medies em estruturas de engenharia civil.

5.4.2 Dispositivos para identificao

5.4.2.1 Equipamentos de excitao

A excitao atravs de um martelo de impulsos a mais simples e conhecida forma de proporcionar um input controlado a uma estrutura ou componente de Engenharia Mecnica. Em aplicaes de Engenharia Civil, a mesma tcnica pode ser empregue, desde que o martelo de impulsos tenha caractersticas adequadas. Para este tipo particular de estruturas, uma soluo disponvel no mercado o martelo representado Figura 5-1, pesando cerca 55 N, cuja ponta se encontra instrumentada com um sensor de fora piezolctrico, tendo uma sensibilidade 1 V/230 N e uma gama de medida de 22,0 kN. O martelo opera na gama 0 500 Hz. Dado que as pontes pedonais so normalmente flexveis e relativamente pequenas, o martelo de impulsos tem neste tipo de estruturas uma das aplicaes mais interessantes. Observa-se contudo que a energia de excitao em frequncias muito baixas muito pequena, o que significa que modos de vibrao associados a frequncias muito baixas no so possivelmente mobilizados a um nvel mensurvel.


33

Figura 5-1: Martelo de impulsos para aplicaes em engenharia civil

Vibradores empregues em aplicaes de Engenharia Civil podem ser de trs tipos distintos: electromagnticos, hidrulicos e mecnicos. O vibrador representado na Figura 5-2 uma das solues disponveis no mercado, e pesa cerca de 800 N, operando na gama 0-200 Hz, e produzindo uma fora mxima de 445 N para frequncias superiores a 0,1 Hz. Este dispositivo configurvel para excitao quer na direco horizontal, quer vertical, e controlado atravs de um gerador de sinal, que alimenta o amplificador do vibrador. Sinais tipicamente gerados para ensaios so os sinais sinusoidais e aleatrios. A medio da fora aplicada possvel atravs de clulas de carga instaladas entre o vibrador e a estrutura. Dadas as limitaes em amplitude da fora gerada, os vibradores electromagnticos podem apenas ser usados na excitao de estruturas de pequeno e mdio porte. Pelo contrrio, quer os vibradores hidrulicos, quer os mecnicos podem ser utilizados na excitao de grandes estruturas. Vibradores mecnicos, baseados na rotao de massas excntricas, aplicam uma excitao sinusoidal numa gama de frequncias varivel. Estes dispositivos so raramente usados no actual estado da arte, em virtude dos exigentes requisitos que envolvem em termos de montagem e operao.

Figura 5-2: Vibrador electromagntico para aplicaes em engenharia civil. Montagem vertical

5.4.2.2 Transdutores para medio da excitao

Trabalho anteriormente desenvolvido por Fujino [36] mostrou que a trajectria dos pees pode ser medida atravs da medio do movimento da cabea e ombros dos pees com base em cmaras vdeo e processamento de imagem.


34

6 Controlo de vibraes

6.1 Introduo

O controlo da resposta vibratria numa ponte pedonal implica a introduo de modificaes, as quais podem compreender a variao de massa, frequncia ou amortecimento estrutural. Para uma estrutura j construda, a abordagem mais simples baseia-se no aumento de amortecimento estrutural, o qual pode ser alcanado quer por implementao de dispositivos de controlo, quer pela actuao de elementos no estruturais, como as guardas ou o pavimento.

6.2 Modificao de massa


6.3 Modificao de frequncia

Possveis estratgias para a modificao da frequncia estrutural compreendem, por exemplo, a substituio de um tabuleiro de beto armado formado por painis descontnuos por uma laje contnua, ou a incluso das guardas como um elemento estrutural, contribuindo para a rigidez global do tabuleiro.

Outras medidas mais complexas podem ser interessantes, como a adio de um sistema de cabos estabilizador. Para vibraes verticais, constituem alternativas o incremento da altura de vigas caixo metlicas, o incremento da espessura do banzo inferior de vigas mistas, ou o incremento da altura de vigas treliadas. Para vibraes laterais, a medida mais eficiente consiste em incrementar a largura do tabuleiro. Em estruturas com cabos, o posicionamento dos tirantes lateralmente em relao ao tabuleiro aumenta a rigidez lateral. Em pontes atirantadas, a ancoragem dos cabos a uma torre em forma de A resulta num comportamento mais rgido do que a ancoragem em pilares paralelos.

6.4 Modificao do amortecimento estrutural

6.4.1 Introduo


6.4.2 Medidas simples


6.4.3 Dispositivos adicionais de amortecimento

Dispositivos externos de amortecimento compreendem amortecedores viscosos, amortecedores de massas sintonizadas (TMD), amortecedores de pndulo, amortecedores de colunas de lquido sintonizadas (TLCD) ou amortecedores de lquido sintonizados (TLD). De entre estes, os mais populares so os amortecedores viscosos e os TMDs.

Human

induced

Vibratio

n of S

teel Stru

cture

Backg

round Document

35

A Tabela 6

-1 sistem

atiza a

lguns exem

plos d

e estruturas n

as quais sistem

as de

amortecim

ento fo

ram im

plem

entad

os, referin

do-se caractersticas d

as medidas

implem

entad

as e o efeito

global n

o co

mportam

ento dinm

ico.

Tabela 6-1: Pontes pedonais em que siste

mas de amortecim

ento foram

implementados

Ponte

Frequncias controladas (Hz)

N de vos/ comprimento (m)

Tipo

Direco de vibrao predominante

Tipo de sistema de amortecimento implementado

Efeito do sistema de amortecimento no comportamento global

Ref.

T-Bridge, Japan

0,93

2 vos

45+134

Atirantada, viga caixo contnua em ao

Lateral

TLDs do tipo sloshing, no interior da viga caixo. Total de 600 unidades usadas, relao de massas de 0,7% massa de 0,7% da massa generalizada do modo de vibrao lateral do tabuleiro

Deslocamento lateral do tabuleiro reduzido de cerca de 8,3mm para 2,9mm.

[15]

Millennium Bridge, London

0,8 (main)

0,5

1,0

3 vos

108+144+80

Catenria suspensa

Lateral

Amortecdores viscosos e TMDs usados para controlar movimentos horizontais. Amortecedores de massas verticais usados para controlar oscilaes verticais, frequncias entre 1,2 e 2,0Hz

Vibraes tornaram-se imperceptveis para o utilizador

[16]

Britzer Damm footbridge, Berlin

5,6

1 vo

33,83

2 arcos de ao articulados, tabuleiro formado por laje ortotrpica

Vertical

2 TMDs verticais pesando cada um 520kg foram fixados ponte

[17]

Schwedter Strae bridge, Berlin

1,9

1 vo

209

Tabuleiro de ao atirantado de um arco em ao

Vertical

4 TMDs verticais, pesando cada um 900kg foram fixados ponte

[17]

Human

induced

Vibratio

n of S

teel Stru

cture

Backg

round Document

36

Mjomnesundet bridge, Norway

0,8

3 vos

Viga caixo em ao

Vertical

1 TMD vertical, pesando 6000kg foi fixado ponte

[17]

Ponte pedonal em grande trio

4,3

1 vo

28

Vigas de ao

Vertical

2 TMDs verticais, pesando cada um 1000kg; relaes de massa de 5% da massa modal estrutural

[18]

Ponte pedonal simplesmente apoiada

1,84Hz

1 vo

47,4

Viga caixo em ao

Vertical

1 TMD vertical; relao de massas de 1,0% da massa modal estrutural

Aumento do amortecimento estrutural em 12,7 vezes

[19]

Bellagio to Ballys footbridge, Las Vegas

1,7 to 2,2

1 vo

Viga de ao

Vertical

6 TMDs verticais

Aumento do amortecimento estrutural em 16 vezes

[20]

Forchheim footbridge, Germany

1,0 to 3,0

117,5

Atirantada

Vertical

1 TMD semi-activo, fixo com amortecedor magneto-reolgico

[21]

Stade de France footbridge, Paris

1,95

-

viga

Vertical

TMDs com massa de 2400kg por vo

Aumento do amortecimento estrutural de 0,2-0,3% para 4,3-5,3%

[8]

Solfrino footbridge, Paris

0,81

1,94

2,22

106 vo central

Arco

Lateral

Vertical

Vertical

1 TMD lateral com massa de 15000kg e 2 TMDs verticais com massas de 10000kg e 7600kg

Aumento do amortecimento estrutural de 0,4% para 3,5% (lateral), e de 0,5% para 3% e 2% (vertical)

[8]


37

Ponte pedonal Pedro

e Ins , Coim

bra

0,85

1,74; 1,80;2,34;

2,74; 3,07; 3,17

110m vo central

Arco abatido / viga

Lateral

Vertical

1 TMD lateral

com14800kg e 6

TMDs verticais

Aumento do

amortecim

ento lateral

de 0,5% para 4% e

do amortecim

ento

vertical de 0,3%-

2,2% para 3%- 6%

[17]

6.4.3.1 Amortecedores viscosos

A fora transmitida por um amortecedor viscoso geralmente definida por

damper CVF = Eq. 6-1

onde: C = constante de amortecimento (N.sec/m)

V = velocidade (m/sec)

= expoente da velocidade (0,3 1,0)

A incluso de um tal dispositivo na estrutura origina por isso necessariamente uma matriz de amortecimento no-proporcional, que pode ser obtida a partir da matriz de amortecimento original proporcional por adio dos coeficientes de amortecimento apropriados em correspondncia com os graus de liberdade associados localizao do amortecedor. Uma vantagem particular dos amortecedores viscosos a possibilidade de controlo simultneo de vrios modos de vibrao. Em pontes curvas, em que os modos tm tipicamente mais do que um tipo de componentes de deslocamento significativas, o uso de um amortecedor concentrado junto a um encontro, por exemplo, pode amortecer eficazmente vrios modos de vibrao que envolvam deslocamentos na sua direco. Todavia, em diversos casos, os amortecedores viscosos podem no ser a melhor soluo quando comparados com outras alternativas. Tal deve-se ao facto de os amortecedores viscosos funcionarem a partir dos deslocamentos relativos das suas extremidades. Se as localizaes disponveis para a sua implementao apenas possibilitarem pequenos deslocamentos relativos, ento esses amortecedores no so interessantes, devendo antes considerar-se TMDs ou TLDs. A Figura 6-1 mostra a instalao de amortecedores viscosos interpostos entre o tabuleiro e os pilares.

Figura 6-1: Amortecedores viscosos instalados na ponte pedonal de Minden (Alemanha)


38

6.4.3.2 Amortecedores de massas sintonizadas

Os amortecedores de massas sintonizadas (TMDs) so normalmente sintonizados de modo que os dois picos da curva de resposta em frequncia do sistema amortecido traduzam a mesma amplificao dinmica, quando expressa em termos de deslocamentos. Curvas de dimensionamento foram derivadas a partir das equaes do movimento e esto disponveis em literatura da especialidade [18], [23].

relao de massas

q relao de frequncias

coef. de amortecimento do TMD

amortecimento estrutural

Figura 6-2: Curvas de dimensionamento de TMDs

O procedimento de dimensionamento pode ser o seguinte:

1. Escolha da massa md do TMD, com base na relao em relao massa modal da estrutura ms (=md/ms). Valores usuais dessa relao de massas situam-se no intervalo 0,01 a 0,05.

2. Clculo do valor ptimo da relao de frequncias do TMD, expressa pelo quociente entre a frequncia do TMD, fd, e a frequncia do sistema fs (=fd/fs) [18].

( )opt += 11

Eq. 6-2

3. Clculo do valor ptimo do coeficiente de amortecimento do TMD opt [18]

( )3183

opt

+= Eq. 6-3

4. Clculo das constantes do TMD:

Constante de rigidez: ( ) ddd mfk 22= Eq. 6-4 Constante de amortecimento: ( ) optddd fmc 22= Eq. 6-5


39

A eficcia de um TMD extremamente sensvel em relao perda de sintonizao em frequncia, a qual pode ocorrer em consequncia de ligeiras alteraes de frequncia associadas s cargas dos pees ou a modificaes no interior da estrutura no decorrer da sua vida til. interessante, por isso, avaliar a eficincia do TMD para uma gama de frequncias prevista.

6.4.3.3 Amortecedores de pndulo

Desprezando a inrcia de rotao da massa do pndulo, a frequncia do pndulo pode ser calculada usando o procedimento seguinte:

1. Escolha da relao de massas =md/ms;

2. Clculo do parmetro Lm

Ir

d

dd = , onde Id o momento de inrcia de massa em

relao ao ponto fixo, md a massa do amortecedor e L a distncia do ponto fixo ao centro da massa. Se a massa for considerada como pontual, rd=1.

3. Clculo do valor ptimo da relao de frequncias, considerando uma fora de excitao do tipo rudo branco [24]

r

d

opt +

+

=

1

21

11

Eq. 6-6

4. Clculo do valor ptimo do coeficiente de amortecimento [24]

( ) ( )122142441

1

2

2

++

+

=

ddd

dopt

rrr

r

Eq. 6-7

5. Clculo do comprimento do pndulo ( )22 dfg

L = , onde g a acelerao da

gravidade e optstructured ff =

6.4.3.4 Amortecedores de colunas de lquido sintonizados

O procedimento de sintonizao de TLCDs baseado numa analogia em relao aos parmetros de um TMD equivalente. Partindo desse princpio, Hochrainer [25] derivou parmetros de dimensionamento ptimo para TLCDs.

A relao entre a massa de gua e a massa modal da estrutura deve ser escolhida com a mesma ordem de grandeza que num TMD, i.e. de 0,01 a 0,05 [25].

O procedimento de dimensionamento ilustrado para um TLCD com colunas verticais (=/2) e seco transversal constante (Ah = Ab):

1. Clculo da relao de massa lquida do TLCD:

( )122* += Eq. 6-8


40

onde a previamente escolhida relao de massas do TMD equivalente e o coeficiente de geometria, definido por

effL

HB

cos2+= Eq. 6-9

com

BA

AHL

B

Heff += 2 Eq. 6-10

O valor de deve ser fixado. Recomenda-se fix-lo to elevado quanto possvel, mas inferior a 0,8 [26], de modo a impedir comportamento no-linear do lquido durante o movimento.

2. Calcular o valor ptimo da relao de frequncias do TLCD:

( )2** 11

opt

opt+

= Eq. 6-11

onde opt a previamente calculada relao de frequncias do TMD.

3. Os valores de H e B so calculados a partir do seguinte conjunto de equaes:

( )( )

( )

+=

=

BA

A

HBH

H

gB

B

H

structureopt

22cos2

)cos(2sin2

2*

Eq. 6-12

Note-se que como = / 2, B obtido directamente da primeira equao. Tambm, sendo Ah / Ab = 1 e cos() = 0, H pode ser extrado da segunda equao.

4. Calcular as reas de seco transversal Ah e Ab a partir das condies:

( ) *2 MHABA structliquidhb =+ Eq. 6-13

Ah = Ab = ( ) liquidstruct

HB

M

2

*

+ Eq. 6-14

O amortecimento ptimo do TLCD deve ser o mesmo que o do TMD equivalente. O TLCD tem amortecimento intrnseco devido turbulncia do fludo. Adicionalmente, mediante insero de uma vlvula de controlo ou de uma placa com um orifcio no tubo horizontal, o amortecimento do TLCD pode ser ainda melhorado. Contudo, no h literatura especfica com informao relativa quantificao do amortecimento do TLCD, pelo que este deve ser sempre obtido com base em ensaios sobre prottipos de TLCDs.

6.4.3.5 Amortecedores de lquido sintonizados

Vantagens como baixo custo, activao a partir de nveis de vibrao praticamente nulos, fcil ajustamento da frequncia natural e fcil instalao em estruturas existentes [27] tm levado a um interesse crescente em relao a estes dispositivos.


41

A frequncia de um TLD pode ser dada pela teoria linear de Lamb, de acordo com a seguinte frmula [26]

=

L

h

L

g lind

0, tanh Eq. 6-15

Sun et al. [28] tm proposto o dimensionamento de um TLD com base numa analogia com um TMD convencional, atravs de resultados experimentais de ensaios sobre modelos fsicos de tanques realizados escala. Tambm ensaios realizados por Yu et al. [29] conduziram a uma formulao no-linear de um TMD equivalente, tendo em considerao o comportamento do TLD sob uma variedade de condies de carregamento. Nesta formulao, foi includa a propriedade de endurecimento ao nvel da rigidez de TLDs sob excitaes de grande amplitude.

No modelo no-linear de rigidez e amortecimento (NSD), assume-se que 100% da massa do lquido efectiva no amortecedor, independentemente da amplitude de excitao.

A sintonizao do TLD pode ser conseguida usando o seguinte procedimento, desenvolvido a partir de ajustes de natureza emprica a resultados experimentais, contemplando a no-linearidade do dispositivo:

1. Tomar a mdia ou valor frequente da amplitude da resposta em deslocamentos do tabuleiro da ponte Xs (estimado, aps incluso do TLD).

2. Calcular o parmetro adimensional de excitao =Xs/L, onde L o comprimento do tanque na direco do movimento.

3. Calcular o coeficiente de amortecimento 35,05,0 =

4. Calcular a relao de frequncias entre a frequncia no-linear e linear do TLD definida atravs da frmula de Lamb:

ondas) de torebentamen (forte 0,03 paraondas) de torebentamen (fraco 0,03 para

>=

=125,0

0034,0

59,1038,1

5. Calcular a profundidade da gua, o

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