Fondamenti di Informatica 2 - uniroma1.itfiii/materiale_common/slide-M-old/main1-annotato.pdf · Logica: Motivazioni} La LOGICA `e la disciplina che studia le condizioni di correttezza

Fondamenti di Informatica 2

Linguaggi e Complessit

`

a : Logica I Parte

Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela

Fondamenti di Informatica 2, Linguaggi e Complessita : Logica I Parte Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela 1

Fondamenti di Informatica 2: Logica

} Indice degli argomenti

• Introduzione: Motivazioni, Prove, Ragionamenti e loro conseguenze

• Logica Proposizionale: sintassi

• Il calcolo proposizionale: semantica

• Il calcolo proposizionale: dimostrazioni nel calcolo


Logica: Motivazioni

} La LOGICA e la disciplina che studia le condizioni di correttezza delragionamento

} Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spettila presente indagine, che essa cio riguarda la dimostrazione e spetta allascienza dimostrativa: in seguito, bisogna precisare cosa sia la premessa, cosasia il termine, cosa sia il sillogismo... [Aristotele]

} Esempio di sillogismo (sillogismo = connessione di idee, ragionamento)

• Tutti gli uomini sono mortali

• Socrate e un uomo

• Socrate e mortale

EquivalentementeDato che Tutti gli uomini sono mortali e che Socrate e un uomo possiamoconcludere che Socrate e mortale


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

cioè

Logica: Motivazioni

} Non tutti i sillogismi sono validi. Ad esempio

• Tutti gli animali sono mortali

• Socrate e mortale• Socrate e un animale

• Tutti gli dei sono immortali

• Gli uomini non sono dei

• Gli uomini sono mortali

I due sillogismi precedenti sono errati: la conclusione non deriva logicamentedalle premesse

} Obiettivi di questa parte:- presentare la logica proposizionale, una (piccola) parte della logica- presentare in modo formale i concetti di prova cosı come si utilizzano nellalogica proposizionale


Cosa e una dimostrazione, una prova astuta

} Cosa e un teorema in matematica?Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo alloraa

2 + b

2 = c

2

Familiare? SI Ovvio? No

- 4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato di lato b� a

!


Cosa e una dimostrazione, una prova astuta

} Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo alloraa

2 + b

2 = c

2

- 4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato con lato lungob� a hanno area complessiva pari a c

2

!


Cosa e una dimostrazione, una prova astuta-2

} Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo alloraa

2 + b

2 = c

2

- 4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato con lato lungoa hanno area complessiva pari a a

2 + b

2. Quindi c2 = a

2 + b

2!

!


Una dimostrazione sbagliata

} Consideriamo la seguente sequenza di uguaglianze:

1 =p1 =

r

(�1)(�1) =r

(�1)r

(�1) = (r

(�1))2 = �1


Conseguenze di una dimostrazione sbagliata

} Consideriamo la seguente sequenza di uguaglianze:

1 =p1 =

r

(�1)(�1) =r

(�1)r

(�1) = (r

(�1))2 = �1

} Dopo aver dimostrato che 1 = �1 otteniamo anche• 1

2

= �1

2

(moltiplica per 1

2

i membri della uguagl. precedente)• 2 = 1 (somma 3

2

ad ambedue i termini dell’uguagl. precedente)

} Conseguenze di 2 = 1Dato che io e il Papa siamo chiaramente 2 possiamo concludere che io e ilPapa siamo 1, cioe io e il Papa siamo la stessa persona ed io sono il Papa![Bertrand Russel]

} Morale:Le conseguenze di una prova sbagliata possono essere paradossaliperche una prova errata permette di fare a↵ermazioni chiaramente errate!


Logica: Motivazioni

} La LOGICA e la disciplina che studia le condizioni di correttezza delragionamento

} Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spettila presente indagine, che essa cio riguarda la dimostrazione e spetta allascienza dimostrativa: in seguito, bisogna precisare cosa sia la premessa, cosasia il termine, cosa sia il sillogismo... [Aristotele]

} Noi ci limiteremo alla Logica ProposizionaleNota anche come Calcolo Proposizionale ci permette di ragionare sulla veritadi semplici proposizioni

} Obiettivo

• Formalizzare i nostri ragionamenti (limitandoci alle proposizioni)• Esaminare le regole che ci permettono di stabilire la verita o la falsita diuna a↵ermazione


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

cioè

Fabrizio d'Amore

Logica e informatica

} Nel XIX secolo sono state in matematica sono state proposte notazionimatematiche (algebriche) per trattare le operazioni della logica (GeorgeBoole)

} Questo ha consentito, negli anni 1900-1930, di applicare la logica aifondamenti della matematica, arrivando a interessanti controversie e a capirei limiti della matematica (Frege, Russel, Godel ed altri)

} In matematica, la logica usata principalmente per esprimere asserti inmodo non ambiguo

} La logica matematica ha profondi legami con linformatica (ed in partico-lare nella programmazione e in intelligenza artificiale


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

è

Fabrizio d'Amore

)

Logica proposizionale


Logica proposizionale

} Linguaggio matematico per ragionare sulla verita o falsita di proposizioni

} Composto da una sintassi (regole per costruire le frasi) e da una semantica(regole per assegnare un significato)

} Esempio di frase

• piove, fa-caldo, fa-caldo^(e)¬(non)piove, piove_(o)sole• costituito da proposizioni atomiche (piove, fa-caldo, sole . . .) e da propo-sizioni complesse (fa-caldo ^ ¬piove, piove _ sole . . .)


Logica proposizionale: Alfabeto

} Linguaggio matematico per ragionare sulla verita o falsita di proposizioni

• Un insieme non vuoto (finito o numerabile) di simboli proposizionali A ={A,B, . . . , P,Q, . . .};

• Le costanti proposizionali >, ? (per denotare il vero TRUE e il falsoFALSE);

• I connettivi (detti anche operatori) proposizionali ¬ (unario), ^ e _ (bi-nari);

• I simboli separatori ‘(’ e ‘)’.


Logica proposizionale: Formule

} Formule (dette anche proposizioni)

L’insieme Prop delle formule ben formate o formule del linguaggio propo-sizionale e l’insieme definito induttivamente come segue:

1. Le costanti e i simboli proposizionali sono formule;

2. Se ↵ e una formula (¬↵) e una formula;

3. Se ↵ e � sono due formule, (↵ ^ �) e (↵ _ �) sono formule.

Nel seguito useremo la convenzione di denotare i simboli proposizionali conle lettere maiuscole (A, B, . . .) e le formule proposizionali con le letteregreche minuscole (↵, �, . . . ).


Semantica: Sistema di valutazione

} Definiamo il dominio e gli operatori che ci permetteranno di dare unasemantica (significato) alle nostre proposizioni.

} Il sistema di valutazione della logica proposizionale e costituito daldominio B= {0, 1}, dove il simbolo 1 denota il valore di verita e 0 il valore difalsita ed un insieme di operatori (tabelle di verita ) su questo dominio Op={Op¬,Op^,Op_} uno per ogni connettivo del linguaggio con Op¬ : B 7! Be Op^ e Op_ : B ⇥ B 7! B.Dove: Op¬(1) = 0 e Op¬(0) = 1

Op^:

↵ � ↵ ^ �

1 1 11 0 00 1 00 0 0


Fabrizio d'Amore

operatore "not", o negazione (logica)

Fabrizio d'Amore

operatore "and", o congiunzione (logica)

Op_:

↵ � ↵ _ �

1 1 11 0 10 1 10 0 0

} Le operazioni ^ e _ sono commutative e associative. Infatti e facilemostrare che per ogni assegnazione ai simboli proposizionali ↵, �, � abbiamoche

↵ ^ � = � ^ ↵

↵ _ � = � _ ↵_e(↵ ^ �) ^ � = ↵ ^ (� ^ �)(↵ _ �) _ � = ↵ _ (� _ �)


Fabrizio d'Amore

operatore "or", o disgiunzione (logica)

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Semantica: Valutazione booleana

} Un’assegnazione booleana V ai simboli proposizionali A e una funzionetotale: V : A 7! {1, 0}.

} Una valutazione booleana IV : Prop 7! {1, 0} e l’estensione a Prop

di un’assegnazione booleana, cioe

IV (A) = V(A) se A 2 A;

IV (>) = 1;

IV (?) = 0;

IV (¬↵) = Op¬(IV (↵));IV (↵ ^ �) = Op^(IV (↵), IV (�)).IV (↵ _ �) = Op_(IV (↵), IV (�)).

Data V , si puo facilmente dimostrare che l’estensione IV esiste ed e unica.Notate che e una definizione ricorsiva (ricorsione strutturale).


Esempio

} Tre amici, Antonio, Bruno e Carla, sono incerti se andare in pizzeria.Introduciamo tre proposizioni:

A : Antonio va in pizzeria, B: Bruno va in pizzeria, C: Carla va in pizzeria

} Il giorno dopo sappiamo che:Antonio non va in pizzeria, Bruno va in pizzeria, Carla va in pizzeriaFormalmente abbiamo la valutazione V : A = 0, B = 1, C = 1

} Data V valutiamo le formule↵: Tutti e tre sono andati in pizzeria ↵ = A ^B ^ C

�: Almeno due sono andati in pizzeria � = (A^B)_ (A^C)_ (B ^C)

Applicando le regole mostrare che IV (↵) = 0 e che IV (�) = 1


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

assegnazione

Fabrizio d'Amore

Tautologie e contraddizioni

Definizioni:} Una formula proposizionale ↵ e soddisfatta da una valutazione booleanaIV se IV (↵) = 1.

} Una formula proposizionale ↵ e soddisfacibile se e soddisfatta da unaqualche valutazione booleana IV .

} Una formula proposizionale ↵ e una tautologia se e soddisfatta da ognivalutazione booleana IV .

} Una formula proposizionale ↵ e una contraddizione se non e soddisfattada nessuna valutazione booleana IV .Una formula ↵ e una tautologia se e solo se ¬↵ e una contraddizione.


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

alcuna

Esempi

} ↵ = A _ (¬A) e una tautologia

A ¬A A _ ¬A1 0 10 1 1

} � = A ^ (¬A) e una contraddizione

A ¬A A ^ ¬A1 0 00 1 0

} Con riferimento all’esempio precedente dei tre amici in pizzeria: la formulaA ^ B ^ C e soddisfacibile (ma non e una tautologia)Infatti la formula e vera quando tutti e tre vanno in pizzeria, cioe per lavalutazione V per cui A = B = C = 1 abbiamo IV (A ^B ^ C) = 1.Inoltre per ogni altra valutazione V 0, V 0 6= V abbiamo che IV 0(A^B^C) = 0


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

assegnazione

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

assegnazione

Fabrizio d'Amore

Equivalenza logica

Definizioni:

} ↵ implica logicamente � (denotato ↵ ) �) se e solo se per ogni valu-tazione booleana IV , ogniqualvolta IV (↵) = 1 anche IV (�) = 1.

} Esercizio: ↵ implica logicamente � (denotato ↵ ) �) se e solo ↵ ! �

e una tautologia

} ↵ e � sono logicamente equivalenti o tautologicamente equivalenti (de-notato ↵ ⌘ �) se e solo se IV (↵) = IV (�) per ogni valutazione booleanaIV .} Esercizio: ↵ e � sono logicamente equivalenti o tautologicamente equiv-alenti (denotato ↵ ⌘ �) se e solo↵ implica logicamente � e � implica logicamente ↵


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

sposta a dopo def. implicazione

Fabrizio d'Amore

Altri connettivi: 1

} Siamo in grado di rappresentare la congiunzione e la disgiunzione diproposizioni, ma siamo in grado di denotare la nozione di implicazione traproposizioni ?

• Il fatto che una proposizione ↵ implica un’altra � viene denotato con↵ ! �

• Quale e il suo operatore (tabella di verita ) Op! ?

Op!:

↵ � ↵ ! �

1 1 11 0 00 1 10 0 1

} NOTA: Nel caso in cui l’antecedente (↵) dell’implicazione sia falso,l’implicazione e vera.


Fabrizio d'Amore

operatore di "implicazione"

Altri connettivi: 2

} Possiamo ora introdurre anche l’operatore ↵ $ �, che denota la relazioneche le due formule (↵ e �) si implicano vicendevolmente (↵ ! � e � ! ↵).Il conseguente operatore Op$ e cosı definito:

Op$:

↵ � ↵ $ �

1 1 11 0 00 1 00 0 1


Fabrizio d'Amore

operatore di "co-implicazione", o "equivalenza"

Definibilita di connettivi

Dato un insieme di connettivi C e un connettivo c 62 C per cui si abbia unafunzione di verita f

c

= Op

c

, si dice che c si deriva dai (oppure si definisce intermini dei) connettivi di C se esiste una formula proposizionale F costruitausando solo i connettivi di C tale che f

c

⌘ f

F

.

Esempio:Il connettivo ^ si puo definire in termini di {¬,_} nel seguente modo:(↵ ^ �) ⌘ ¬(¬↵ _ ¬�). Infatti si puo facilmente verificare che per ognivalore di ↵ e � le due funzioni ↵ ^ � e ¬(¬↵ _¬�) hanno lo stesso valore.

↵ � ¬↵ ¬� ¬↵ _ ¬� ¬(¬↵ _ ¬�) ↵ ^ �

1 1 0 0 0 1 11 0 0 1 1 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 0 0


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

verificare notazione

Definibilita di connettivi: esempi

(↵ ! �) ⌘ (¬↵ _ �)

(↵ _ �) ⌘ (¬↵ ! �)

(↵ _ �) ⌘ ¬(¬↵ ^ ¬�)(↵ ^ �) ⌘ ¬(¬↵ _ ¬�)(↵ ^ �) ⌘ (((↵ ! ?) ! ?) ! (� ! ?)) ! ?

¬↵ ⌘ ↵ ! ?? ⌘ ↵ ^ ¬↵

(↵ $ �) ⌘ (↵ ! �) ^ (� ! ↵)


Precedenza operatori

} la massima precedenza a ¬, poi, nell’ordine, ai connettivi ^,_, !, $.

} Esempi

La formula ¬↵ ^ ¬�viene parentetizzata come ((¬↵) ^ (¬�)).La formula ↵ ^ � _ �

viene parentetizzata come ((↵ ^ �) _ �).

La formula ¬↵ ^ ¬� ! � ^ � ^ ✏

viene parentetizzata come (((¬↵) ^ (¬�)) ! (� ^ (� ^ ✏))).

La formula ¬↵ ^ (¬� ! �) ^ � ^ ✏

viene parentetizzata come ((¬↵) ^ ((¬�) ! �) ^ (� ^ ✏)).


Leggi 1

La definizione dei connettivi implica diverse equivalenze logiche che sonovalide per ogni formula ↵ e �

1. Idempotenza:

↵ ^ ↵ ⌘ ↵

↵ _ ↵ ⌘ ↵

2. Associativita:

↵ ^ (� ^ �) ⌘ (↵ ^ �) ^ �

↵ _ (� _ �) ⌘ (↵ _ �) _ �

↵ $ (� $ �) ⌘ (↵ $ �) $ �

3. Commutativita:

↵ ^ � ⌘ � ^ ↵

↵ _ � ⌘ � _ ↵

↵ $ � ⌘ � $ ↵


Leggi 2

1. Distributivita:

↵ ^ (� _ �) ⌘ (↵ ^ �) _ (↵ ^ �)

↵ _ (� ^ �) ⌘ (↵ _ �) ^ (↵ _ �)

2. Assorbimento:

↵ ^ (↵ _ �) ⌘ ↵

↵ _ (↵ ^ �) ⌘ ↵

3. Doppia negazione:

¬¬↵ ⌘ ↵

4. Leggi di De Morgan:

¬(↵ ^ �) ⌘ ¬↵ _ ¬�¬(↵ _ �) ⌘ ¬↵ ^ ¬�


Leggi 3

1. Terzo escluso:

↵ _ ¬↵ ⌘ >2. Contrapposizione:

↵ ! � ⌘ ¬� ! ¬↵3. Contraddizione:

↵ ^ ¬↵ ⌘ ?.

} Queste leggi si possono verificare costruendo una tabella di verita e veri-ficare che per ogni valore delle variabili otteniamo i valori delle due funzionia destra e a sinistra di ⌘ sono uguali


Funzioni booleane e insiemi di connettivi

Definizione:Sia ↵ una formula contenente esattamente n atomi distinti A

1

, A

2

, . . . , A

n

;la funzione f

↵

: {0, 1}n 7! {0, 1} tale che f↵

(v1

, v

2

, . . . , v

n

) = IV (↵)dove V e l’interpretazione per cui V(A

i

) = v

i

per ogni i = 1, 2, . . . , n edetta la funzione di verita (o funzione booleana) associata ad ↵.

Quindi, ogni proposizione del calcolo proposizionale definisce una funzionen-aria (o connettivo n-ario), dove n e il numero degli atomi distinti che inessa compaiono.

Per ogni n esistono 22n

funzioni booleane distinte (cioe tante quanti sono isottoinsiemi di {0, 1}n). Nel caso di n = 2 esistono 16 connettivi distinti.

Noi ne abbiamo introdotti 4, non indipendenti, nel senso che alcuni sonoesprimibili in termini di altri.


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

assegnazione

Completezza di insiemi di connettivi

} Un insieme di connettivi logici C si dice completo se e solo se, datauna qualunque f : {0, 1}n 7! {0, 1} esiste una formula proposizionale ↵

costruita mediante i connettivi dell’insieme C tale che f ⌘ f

↵

.

} Teorema: L’insieme {¬,^,_} e completo.Prova: in due passi1. Usando ¬ e ^ si puo dimostrare come realizzare una funzione di n variabiliche e sempre falsa tranne per un singola assegnazione di valori di verita .2. Data una funzione f che e 1 per k diversi valori di verita (V

1

,V2

, ...,Vk

),utilizzando il passo 1 precedente per ogni i, i = 1, 2, ..k si definisce lafunzione f

i

che e 1 per Vi

ed e sempre 0 altrimenti. La funzione f e datada: f

1

_ f

2

_ ... _ f

k

.

Esercizi:Mostrare che gli insiemi {¬,^}, {¬,_} , {nand} e {nor} sono completi.Sugg. Il teorema precedente a↵erma che {¬,^,_} e completo. Pertanto esu�ciente mostrare come realizzare l’insieme di operatori {¬,^,_}


Esempio 1

} Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare in pizzeria.Introduciamo tre proposizioni:

A : Antonio va in pizzeria, B: Bruno va in pizzeria, C: Carla va in pizzeria(A e 1 se Anotnio va in pizzeria, 0 altrimenti)

} Si sa che:Se Carla va in pizzeria, allora ci va anche Antonio: C ! A

eSe Antonio va in pizzeria allora ci va anche Bruno: A ! B

Formalmente abbiamo la formula: (C ! A) ^ (A ! B)

} Consideriamo ora le asserzioni1. Tutti e tre vanno in pizzeria: equivale a ↵ = A ^ B ^ C

2. Se Carla va in pizzeria anche Bruno va in pizzeria: � = C ! B


Esempio 1

} Domanda 1:Sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio vain pizzeria ci va anche Bruno, e su�ciente per a↵ermare cheTutti e tre vanno in pizzeria?

Formalmente ci chiediamo se (C ! A) ^ (A ! B) implica logicamenteA ^ B ^ C

} Risposta: No(C ! A) ^ (A ! B) NON implica logicamente A ^ B ^ C. Infatti

Consideriamo V per cui A = B = C = 0Con questa assegnazione (C ! A) ^ (A ! B) e soddisfatta. InfattiIV (C ! A) = 1 (infatti se C = 0 l’implicazione C ! A e vera)analogamente IV (A ! B) = 1Quindi IV ((C ! A) ^ (A ! B)) = 1Poiche IV (A ^ B ^ C) = 0 concludiamo che (C ! A) ^ (A ! B) NONimplica logicamente A ^ B ^ C


Esempio 1, cont.

} Dimostrare che (C ! A) ^ (A ! B) implica logicamente A ^ B ^ C

equivale a dimostrare che la seguente formula e una tautologia[(C ! A) ^ (A ! B)] ! (A ^B ^ C) (*)

} La formula (*) e soddisfacibile ma non e una tautologia.Infatti abbiamo visto che la valutazione V per cui A = B = C = 0 soddisfa(C ! A) ^ (A ! B) e ma (A ^ B ^ C) non e soddisfatta.

} Se consideriamo V 0 per cui A = B = C = 1 possiamo verificare che laformula (*) e soddisfatta.Infatti e su�ciente osservare che A ^ B ^ C e soddisfatta e, quindi, ancheIV 0[((C ! A) ^ (A ! B)) ! (A ^ B ^ C)] = 1

} In conclusione possiamo a↵ermare cheSapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio vain pizzeria ci va anche Bruno, non implica logicamente che tutti e tre sianoandati in pizzeria, ma possiamo dire che e possibile che tutti e tre sianoandati in pizzeria


Esempio 2

} Domanda 2:sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio vain pizzeria ci va anche Bruno, e su�ciente per a↵ermare cheSe Carla e andata in pizzeria anche Bruno e andato in pizzeria?

Formalmente ci chiediamo se (C ! A) ^ (A ! B) implica logicamenteC ! B

} Risposta: SIA questo scopo possiamo ricostruire una tabella che verifica il valore dellaformula per tutte le possbili assegnazioni di valori ad A, B e C. In questomodo dobbiamo verificare che la formula sia vera per 23 = 8 possibili valoridi verita .


A B C C ! A A ! B (C ! A) ^ (A ! B) C ! B

0 0 0 1 1 1 11 0 0 1 0 0 10 1 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 10 0 1 0 1 0 01 0 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 1

E’ facile vedere che ogni qualvolta IV (C ! B = 1) abbiamo cheIV (C ! A) ^ (A ! B) = 1

Si noti inoltre che quando IV (C ! A) ^ (A ! B) = 0 allora IV (C ! B

puo essere 1 o 0


Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

)

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

scambia

Fabrizio d'Amore

(

Fabrizio d'Amore

)

Fabrizio d'Amore

)

Esempio, cont. 2

} Possiamo pertanto rispondere alla Domanda 2:sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio vain pizzeria ci va anche Bruno, e logicamente equivalente aSe Carla e andata in pizzeria anche Bruno e andato in pizzeria

} Abbiamo visto che (C ! A) ^ (A ! B) implica logicamente C ! B

Questa proprieta e nota come transitivita dell’implicazione

} Si noti la somiglianza con il sillogismo su Socrate

• Se A implica B

• e B implica C

• allora possiamo a↵ermare che A implica C

Nota: La di↵erenza e che nel caso del sillogismo su Socrate la prima a↵er-mazione non e una formula atomica ma riguarda un insieme di atomi (Tuttigli uomini sono mortali)


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Fabrizio d'Amore

Fabrizio d'Amore

suff. per affermare che

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Esempio 2, cont.

} Possiamo pertanto rispondere alla Domanda 2:sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio vain pizzeria ci va anche Bruno, e e logicamente equivalente aSe Carla e andata in pizzeria anche Bruno e andato in pizzeria

} Dobbiamo dimostrare se (C ! A) ^ (A ! B) ⌘ (C ! B)Abbiamo visto che (C ! A) ^ (A ! B) ) C ! B

L’equivalenza e vera se vale anche la seguente implicazione(C ! B) ) ((C ! A) ^ (A ! B))

Consideriamo V = (A = 1, B = 0, C = 0).Abbiamo IV (C ! B) = 1, ma IV (A ! B) = 0. Quindi(C ! B) non implica logicamente ((C ! A) ^ (A ! B))


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?

Fabrizio d'Amore

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