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Fondamenti di Automatica
Modellistica dei sistemi dinamicia tempo discreto
Sistemi dinamici a tempo discreto
I sistemi dinamici a tempo discreto sono sistemi in cui tutte le grandezze variabili sono funzioni della variabile indipendente temporale k che è intera.I sistemi dinamici a T.D. sono descritti dalle seguenti equazioni di stato ed equazioni d’uscita:
2
))(),(,()())(),(,()1(
kukxkgkykukxkfkx
ll
ii
==+
Modellistica di sistemi dinamici a T.D.
Sistemi dinamici a classi di etàEsempio #1: parco macchineEsempio #2: popolazione studentesca
Sistemi dinamici a dati campionati
3
“Sistemi dinamici a classi di età”
Sistemi dinamici a tempo discreto
Sistemi dinamici a classi di età
I modelli a classi di età sono utilizzati per studiare l’evoluzione temporale di determinate “classi di popolazione” in periodi di tempo fissati.In questi sistemi, la componente i-esima dello stato rappresenta la numerosità della popolazione della classe i nel periodo k considerato.L’evoluzione di ogni classe considerata dal periodo kal successivo periodo k+1 avviene tenendo conto:- del tasso di mortalità ( ) e- del tasso di sopravvivenza( )
(k)xi
110 ≤−≤ iγ
10 ≤≤ iγ
5
rappresenta il numero di macchine nel parco nell’anno k aventi “età i”, ovvero aventi etàcompresa fra i-1 anni e i anni.
rappresenta il numero di macchine nuove che vengono acquistate nell’anno k
6
Esempio #1: Parco macchine (1/7)
(k)xi
ikxetài i ≤≤− )}({1
u(k)
Esempio #1: Ipotesi semplificative (2/7)
Non vengono acquistate auto usate. Quindi, il sistema ha un unico ingresso, dato dal numero di auto nuove comprate .
Non si conservano auto più vecchie di 3 anni.
Il tasso di mortalità è in generale diverso per le varie classi, ma è costante nel tempo.
7
iγ
u(k)
Esempio #1: Eqz di stato (3/7)
Primo anno:
Secondo anno:
Terzo anno:
8
)()1(1 kukx =+
)()1()()()1( 111112 kxkxkxkx γγ −=−=+
)()1()()()1( 222223 kxkxkxkx γγ −=−=+
Esempio #1: Eqz di uscita (4/7)
Si desidera conoscere:
1. Il numero totale di auto presenti nel parco nell’anno k
2. Il costo totale di assicurazione del parco auto
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Esempio #1: Eqz di uscita (5/7)
Il numero totale di auto presenti nel parco nell’anno k è dato dalla somma delle auto delle tre diverse classi presenti nel parco.
Il costo totale di assicurazione è dato dalla somma di tutti i costi di assicurazione annuali nel parco.
in cui è il costo di assicurazione di ogni auto delle classi di età i.
10
)()()()( 3211 kxkxkxky ++=
)()()()( 3322112 kxckxckxcky ++=
ic
Esempio #1: Conclusione (6/7)
Si ricava così un sistema dinamico, a tempo discreto, a dimensione finita, lineare, invariante nel tempo, proprio, rappresentabile nella forma delle variabili di stato:
11
)()()()()()1(
kDukCxkykBukAxkx
+=+=+
Esempio #1: Conclusione (7/7)
Con le seguenti matrici:
12
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
010001000
2
1
γγA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001
B
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
321
111ccc
C [ ]0=D
Esempio #2: Popolazione universitaria (1/7)
13
Si vuole ricavare un modello matematico che permetta di descrivere la popolazione universitaria di un corso di laurea di I livello.
rappresenta il numero di allievi che al tempo k(inteso come anno accademico, a.a.) appartengono alla classe i-esima (inteso come anno di studio).
(k)xi
Esempio #2: Ipotesi semplificative (2/7)
Gli allievi non abbandonano l’università prima di averla terminata. Non esistono allievi provenienti da altre universitàche si inscrivono direttamente al secondo e al terzo anno. In questo modo l’unico ingresso èrappresentato dalle matricole, che fanno domanda di preimmatricolazione un anno prima.La percentuale di bocciati è in generale diversa per le varie classi, ma è costante nel tempo.
14
iγ
Esempio #2: Altre considerazioni (3/7)
Si indichi con k l’anno accademico attuale.
Per la seconda ipotesi, rappresenta il numero di allievi che si iscrivono all’università facendo domanda di preimmatricolazione nell’ a. a. k e che quindi frequenteranno effettivamente il primo anno universitario nell’ a. a. k+1.
15
u(k)
Esempio #2: Eqz di stato (4/7)
Primo anno:
Secondo anno:
Terzo anno:
16
)()()1( 111 kukxkx +=+ γ
)()()1()1( 22112 kxkxkx γγ +−=+
)()()1()1( 33223 kxkxkx γγ +−=+
Esempio #2: Eqz di uscita (5/7)
Interessa conoscere il numero degli studenti che si diplomano al termine dei 3 anni di studio.
La relazione di uscita è così rappresentata dal prodotto del tasso di sopravvivenza al terzo anno per il numero di allievi del terzo anno:
17
)()1()( 33 kxky γ−=
Esempio #2: Conclusione (6/7)
Si ricava così un sistema dinamico, a tempo discreto, a dimensione finita, lineare, invariante nel tempo, proprio, rappresentabile nella forma delle variabili di stato:
18
)()()()()()1(
kDukCxkykBukAxkx
+=+=+
Esempio #2: Conclusione (7/7)
Con le seguenti matrici:
19
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
32
21
1
100100
γγγγ
γA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001
B
[ ]3100 γ−=C [ ]0=D
“Sistemi dinamici a dati campionati”
Sistemi dinamici a tempo discreto
Sistemi dinamici a dati campionati
Per i sistemi dinamici a dati campionati l’ingresso discreto viene ricostruito attraverso un convertitore D/A. Successivamente il segnale viene elaborato dal sistema dinamico a T.C. che fornisce l’uscita . Infine, quest’ultima viene discretizzata nel segnale .
D/A A/D
Sistema dinamico a T.C.
)(ku )(tu )(ty )(ky
u(k)u(t)
y(t)y(k)
21
Discretizzazione(1/4)
Per i sistemi a dati campionati è importante capire come avviene il processo di discretizzazione di un sistema a tempo continuo.Discretizzare vuol dire convertire un modello a tempo continuo in un modello a tempo discreto.Il processo di discretizzazione avviene attraverso un convertitore A/D che fa da campionatore con un passo di campionamento .
22
sT
Discretizzazione(2/4)
La discretizzazione di un sistema a tempo continuo corrisponde a studiare l’evoluzione degli stati valutati negli istanti di campionamento.Quindi, nel processo di discretizzazione partiamo dalle matrici A,B,C,D del sistema a tempo continuo per arrivare a trovare le matrici , , , di un sistema a tempo discreto.
con 23
dA dB dC dD
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+=
)()()()()()(
.
tDutxCtytButAxtx
sTik ⋅=
⎩⎨⎧
+=+=+
)()()()()()1(
kuDkxCkykuBkxAkx
dd
dd
Discretizzazione (3/4)
Si ipotizza che l’ingresso sia costante tra un istante di campionamento e l’altro.
costante per Si consideri la formula di Lagrange:
24
u(t)
∫ −−− +=t
ttAttA dBuetxetxt0
)(0
)( )()()( 00 τττ
ss TiTi ⋅+≤≤⋅ )1(τ
kTit s =⋅=0
11 +=⋅+= kT)(it s
x(k))Tx(i)x(t s =⋅=0
=)(τu )Tu(i s⋅=
Discretizzazione (4/4)
Si ottiene:
quindi:
Poiché il legame con l’uscita dello stato e dell’ingresso è di tipo statico, si ha:
25
sATd eA = ∫ −⋅=
s
s
TTA
d deBB0
)( ττ
)()()1(0
)( kBudekxekxs
ss
TTAAT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+ ∫ − ττ
CCd = DDd =
Conclusione
L’analisi del processo di discretizzazione verràripreso e approfondito nel corso di ‘Controlli Automatici’ attraverso lo studio di alcune tecniche per la discretizzazione del controllore.
26