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Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Fokker-Planck-Gleichung
Nadine Kremer, Raoul Heese
Universität Ulm
16.12.09
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
Was ist die Fokker-Planck-Gleichung?
I Bewegungsgleichung für Verteilungsfunktion fluktuierendermakroskopischer Variablen
I Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable:
Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
∂W∂t
=
[− ∂
∂xD(1)(x) +
∂2
∂x2 D(2)(x)
]W
mit:D(1)(x) Drift-KoeffizientD(2)(x) Diffusions-Koeffizient , D(2)(x) > 0
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
I Fokker-Planck-Gleichung für N Variablen
Fokker-Planck-Gleichung für N Variablen
∂W∂t
=
− N∑i=1
∂
∂xiD(1)
i ({x}) +N∑
i,j=1
∂2
∂xi∂xjD(2)
ij ({x})
W
mit: {x} = x1, x2, ...xN
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
Beschreibungsebenen eines Systems
MikroskopischBewegungsglei-chungen für allemikroskopischenVariablen
⇒ StochastischBewegungsglei-chungen für dieVerteilungsfunktionder makroskopischenVariablenoder:stochastische DGL
⇒ DeterministischSystem von DGL fürmakroskopische Va-riablen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
Analytische Lösungen
möglich bei:
1. Linearer Drift-Vektor und konstanter Diffusionstensor→ Gaußverteilung für stationären Zustand und nichtstationäre Lösungen
2. Wenn Driftvektor und Diffusionsmatrix speziellePotentialbedingungen erfüllen
3. Für FPE mit 1 Variablen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Die Fokker-Planck-Gleichung
Ergänzendes
I Andere LösungsmethodenI SimulationenI Transformation der FPE in eine Schrödingergleichung⇒ später
I Numerische IntegrationI Andere Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen
I Boltzmann-GleichungI Mastergleichung
I Spezialfälle der Fokker-Planck-GleichungI Kramers-GleichungI Smoluchowsky-Gleichung
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Definitionen
Übergangswahrscheinlichkeitsdichte
P(xn, tn|xn−1, tn−1; ...; x1, t1) = 〈δ(xn − ξ(tn))〉 |ξ(tn−1)=xn−1,..
Wahrscheinlichkeitsdichte
W (x , t + τ) =
∫P(x , t + τ |x ′, t)W (x ′, t)dx ′ (1)
Momente
Mn(x ′, t , τ) =
∫(x − x ′)nP(x , t + τ |x ′, t) dx (2)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Berechnung eines Ausdruckes für ∂W∂t
Taylorentwicklung von (1) um (x + ∆)Sei ∆ = x − x ′.
P(x , t + τ |x ′, t)W (x ′, t)= P(x −∆ + ∆, t + τ |x −∆, t)W (x −∆, t)
=∞∑
n=0
(−1)n
n!∆n(∂
∂x
)n
P(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Einsetzen in Gleichung (1)
W (x , t + τ)
=
∫ ∞∑n=0
(−1)n
n!∆n(∂
∂x
)n
P(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t) d∆
=∞∑
n=0
(− ∂
∂x
)n 1n!
∫∆nP(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t) d∆
=∞∑
n=0
(− ∂
∂x
)n Mn(x , t , τ)
n!W (x , t)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Ann: Taylorentwicklung der Momente Mn bzgl. τ :
Mn(x , t , τ)
n!= 0 + D(n)(x , t)τ + O(τ2)
Anfangswert von P: P(x , t |x ′, t) = δ(x − x ′)
Ann: Nur lineare Terme bzgl. τ :
W (x , t + τ)−W (x , t) =∞∑
n=1
(− ∂
∂x
)n
D(n)(x , t)τW (x , t)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Kramers-Moyal-Forward Expension
Kramers-Moyal-Entwicklung
Kramers-Moyal-Entwicklung
∂W (x , t)∂t
=∞∑
n=1
(− ∂
∂x
)n
D(n)(x , t)W (x , t) = LKMW (3)
LKM =∞∑
n=1
(− ∂
∂x
)n
D(n)(x , t)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Pawula-Theorem
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Pawula-Theorem
Pawula-Theorem
I Wie viele Terme der Kramers-Moyal-Entwicklung müssenbeachtet werden?
I Theorem von Pawula:Für positive Übergangswahrscheinlichkeit P endet dieKramers-Moyal-Entwicklung nach dem
I ersten Term oderI zweiten Term oderI unendlich viele Terme sind zu berücksichtigen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
Beachtung der Terme bis zur zweiten Ordnung
⇒ Fokker-Planck-Gleichung:
Fokker-Planck Gleichung
W (x , t) = LKMW (x , t) (4)
LKM = − ∂
∂xD(1)(x , t) +
∂2
∂x2 D(2)(x , t) (5)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Separationsansatz
Fokker-Planck-Gleichung
LFPW (x , t) =∂
∂tW (x , t)
LFP = − ∂
∂xD(1)(x) +
∂2
∂x2 D(2)(x)
Separationsansatz:W (x , t) = ϕ(x) e−λt
Eigenwertgleichung
LFP ϕ = −λ ϕ
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Separationsansatz
Fokker-Planck-Gleichung
LFPW (x , t) =∂
∂tW (x , t)
LFP = − ∂
∂xD(1)(x) +
∂2
∂x2 D(2)(x)
Separationsansatz:W (x , t) = ϕ(x) e−λt
Eigenwertgleichung
LFP ϕ = −λ ϕ
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Separationsansatz
Fokker-Planck-Gleichung
LFPW (x , t) =∂
∂tW (x , t)
LFP = − ∂
∂xD(1)(x) +
∂2
∂x2 D(2)(x)
Separationsansatz:W (x , t) = ϕ(x) e−λt
Eigenwertgleichung
LFP ϕ = −λ ϕ
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Eigenschaften des Focker-Planck-Operators
Es gilt:I LFP hermitesch
I λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Eigenschaften des Focker-Planck-Operators
Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0
I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Eigenschaften des Focker-Planck-Operators
Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges Orthonormalsystem
I ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Eigenschaften des Focker-Planck-Operators
Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation des Focker-Planck-Operators
Transformation
LFP 7−→ L = eφ(x)
2 LFP e−φ(x)
2
ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)
2 ϕn(x)
mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)
D(2)(x ′)dx ′
I Neue Eigenwertgleichung: LΨn = −λnΨn
I Wn = ϕn e−λnt , also gilt:
Transformationsvorschrift der Eigenfunktionen
Wn = Ψn e−φ2−λnt ⇔ Ψn = Wn e
φ2 +λnt
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation des Focker-Planck-Operators
Transformation
LFP 7−→ L = eφ(x)
2 LFP e−φ(x)
2
ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)
2 ϕn(x)
mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)
D(2)(x ′)dx ′
I Neue Eigenwertgleichung: LΨn = −λnΨn
I Wn = ϕn e−λnt , also gilt:
Transformationsvorschrift der Eigenfunktionen
Wn = Ψn e−φ2−λnt ⇔ Ψn = Wn e
φ2 +λnt
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation des Focker-Planck-Operators
Transformation
LFP 7−→ L = eφ(x)
2 LFP e−φ(x)
2
ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)
2 ϕn(x)
mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)
D(2)(x ′)dx ′
I Neue Eigenwertgleichung: LΨn = −λnΨn
I Wn = ϕn e−λnt , also gilt:
Transformationsvorschrift der Eigenfunktionen
Wn = Ψn e−φ2−λnt ⇔ Ψn = Wn e
φ2 +λnt
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation des Focker-Planck-Operators
Transformation
LFP 7−→ L = eφ(x)
2 LFP e−φ(x)
2
ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)
2 ϕn(x)
mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)
D(2)(x ′)dx ′
I Neue Eigenwertgleichung: LΨn = −λnΨn
I Wn = ϕn e−λnt , also gilt:
Transformationsvorschrift der Eigenfunktionen
Wn = Ψn e−φ2−λnt ⇔ Ψn = Wn e
φ2 +λnt
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Explizite Darstellung von L
L = eφ2
[− ∂
∂xD(1) +
∂2
∂x2 D(2)]
e−φ2
⇔ L = eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
⇔ L =
(e
φ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
) (√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)Definiere:
â ≡(
eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
)a ≡ −
(√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Explizite Darstellung von L
L = eφ2
[− ∂
∂xD(1) +
∂2
∂x2 D(2)]
e−φ2
⇔ L = eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
⇔ L =
(e
φ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
) (√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)Definiere:
â ≡(
eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
)a ≡ −
(√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Explizite Darstellung von L
L = eφ2
[− ∂
∂xD(1) +
∂2
∂x2 D(2)]
e−φ2
⇔ L = eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
⇔ L =
(e
φ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
) (√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)
Definiere:
â ≡(
eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
)a ≡ −
(√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Explizite Darstellung von L
L = eφ2
[− ∂
∂xD(1) +
∂2
∂x2 D(2)]
e−φ2
⇔ L = eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
⇔ L =
(e
φ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
) (√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)Definiere:
â ≡(
eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
)a ≡ −
(√D(2) e
−φ2∂
∂xe
φ2
)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Explizite Darstellung von L
Explizite Darstellung von L
L = −âamit
â ≡ eφ2∂
∂x
√D(2) e
−φ2
a ≡ −√
D(2) e−φ
2∂
∂xe
φ2
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation von L in hamiltonartigen Operator
Vorgehensweise:
I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.
I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)
D dx ′ = f (x)/DI Vereinfachen von a, â
Hamiltonartiger Operator
L = D∂2
∂x2 − Veff(x)
mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1
2 f ′′(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation von L in hamiltonartigen Operator
Vorgehensweise:I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.
I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)
D dx ′ = f (x)/DI Vereinfachen von a, â
Hamiltonartiger Operator
L = D∂2
∂x2 − Veff(x)
mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1
2 f ′′(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation von L in hamiltonartigen Operator
Vorgehensweise:I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.
I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)
D dx ′ = f (x)/D
I Vereinfachen von a, â
Hamiltonartiger Operator
L = D∂2
∂x2 − Veff(x)
mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1
2 f ′′(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation von L in hamiltonartigen Operator
Vorgehensweise:I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.
I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)
D dx ′ = f (x)/DI Vereinfachen von a, â
Hamiltonartiger Operator
L = D∂2
∂x2 − Veff(x)
mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1
2 f ′′(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Transformation von L in hamiltonartigen Operator
Vorgehensweise:I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.
I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)
D dx ′ = f (x)/DI Vereinfachen von a, â
Hamiltonartiger Operator
L = D∂2
∂x2 − Veff(x)
mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1
2 f ′′(x)
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
I Stationäre Schrödingergleichung:[− ~2
2m∂2
∂x2 + f]χn = En χn
I Eigenwertgleichung von L[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Ψn = λn Ψn
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
I Stationäre Schrödingergleichung:[− ~2
2m∂2
∂x2 + f]χn = En χn
I Eigenwertgleichung von L[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Ψn = λn Ψn
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
I Zeitabhängige Schrödingergleichung:
i~∂
∂tχn(t) =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + f]χn(t)
mit Zeitentwicklung: χn(t) = e−i~H t χn
I Zeitabhängige Eigenwertgleichung von L
∂
∂tΨn(t) =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Ψn(t)
mit Ansatz: Ψn(t) = eLt Ψn = e−λnt Ψn = Wn eφ2
folgt stationäre Eigenwertgleichung von LI Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2
2m
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
I Zeitabhängige Schrödingergleichung:
i~∂
∂tχn(t) =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + f]χn(t)
mit Zeitentwicklung: χn(t) = e−i~H t χn
I Zeitabhängige Eigenwertgleichung von L
∂
∂tΨn(t) =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Ψn(t)
mit Ansatz: Ψn(t) = eLt Ψn = e−λnt Ψn = Wn eφ2
folgt stationäre Eigenwertgleichung von L
I Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2
2m
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
I Zeitabhängige Schrödingergleichung:
i~∂
∂tχn(t) =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + f]χn(t)
mit Zeitentwicklung: χn(t) = e−i~H t χn
I Zeitabhängige Eigenwertgleichung von L
∂
∂tΨn(t) =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Ψn(t)
mit Ansatz: Ψn(t) = eLt Ψn = e−λnt Ψn = Wn eφ2
folgt stationäre Eigenwertgleichung von LI Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2
2m
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Ergebnis der Eigenwertentwicklung
Darstellung der F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
∂
∂tWn(x , t) e
φ(x)2 =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Wn(x , t) e
φ(x)2
I Form einer umskalierten SchrödingergleichungI hängt nur noch von D und f (x) ab
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Ergebnis der Eigenwertentwicklung
Darstellung der F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
∂
∂tWn(x , t) e
φ(x)2 =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Wn(x , t) e
φ(x)2
I Form einer umskalierten Schrödingergleichung
I hängt nur noch von D und f (x) ab
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Beweisskizze
Ergebnis der Eigenwertentwicklung
Darstellung der F-P-Gleichung als Schrödingergleichung
∂
∂tWn(x , t) e
φ(x)2 =
[−D
∂2
∂x2 + Veff
]Wn(x , t) e
φ(x)2
I Form einer umskalierten SchrödingergleichungI hängt nur noch von D und f (x) ab
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Gliederung
EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung
Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable
EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators
I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0
I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ
4D x2 − 12
)I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.
Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
Wn(x , t) =
(ξ
π
) 14 1√
2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt
mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators
I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0
I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ
4D x2 − 12
)
I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.
Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
Wn(x , t) =
(ξ
π
) 14 1√
2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt
mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators
I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0
I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ
4D x2 − 12
)I L = −âa mit [â,a] = 1
I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.
Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
Wn(x , t) =
(ξ
π
) 14 1√
2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt
mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators
I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0
I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ
4D x2 − 12
)I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.
Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
Wn(x , t) =
(ξ
π
) 14 1√
2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt
mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators
I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0
I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ
4D x2 − 12
)I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.
Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
Wn(x , t) =
(ξ
π
) 14 1√
2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt
mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
Gesamtlösung
W (x , t) =∑
n
cn Wn(x , t)
mit
I NormierungsbedingungenI Randbedingungen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
Gesamtlösung
W (x , t) =∑
n
cn Wn(x , t)
mitI Normierungsbedingungen
I Randbedingungen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
Gesamtlösung
W (x , t) =∑
n
cn Wn(x , t)
mitI NormierungsbedingungenI Randbedingungen
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.
Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung
Harmonischer Oszillator
Veranschaulichung der Lösung
n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.