Föreläsning 1

Kinematik endimensionell ( Kapitel 3)

Tid, Sträcka, Hastighet och Acceleration

Vektorer och dess tillämpningar (Kapitel 2)

Definition

Addition

Substraktion

Enhetsvektorer

Skalärprodukt

Vektorprodukt

Ett objekt i rörelse

Om ett objekt rör sig längs en bana (endimensionell) så kan man beskriva dess förflytning med hjälp av en funktion x(t), där x är objektets position vid tiden t.

Objektet befinner sig i position xi Vid tiden ti samt befinner sig i position xf vid tiden tf. Objektet har då under tidsintervallet t = tf - ti gjort förflyttningen x = xf - xi.

Medelhastigheten vav = x/t

Den momentana hastigheten v(t), dvs objektets hastighet vid tidpunkten t ges av uttrycket: v(t) = lim(t0)x/tDetta betyder att den mometana hastigheten hos ett objekt är lika med derivatan av positionen x med avseende på tiden t, dvs:

momentanhastigheten v(t) = dx/dt

Läge (x)

Tid (t)

xf

xi

ti tf

t

x

t

Lösning

Bilens förflyttning x under denna tidsintervall ges av: x = 20(64)-1/2 - 20(16)-1/2.

Detta ger en medelhastighet x/t = 20(8-4)/(64-16) = 1.8 m/s.

Momentana hastigheten vid tiden 9 s ges av derivatan av förflyttningsfunktionen, dvs:

v = d/dt x(t) = 10/t-1/2; t = 9 s ger v = 3.3 m/s

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120

Tid (s)

Po

siti

on

(m

)

9

Exempel

En bil förflyttar sig enligt följande funktion: x(t) = 20t-1/2

Bestäm medelhastigheten för tidsintervallet 16-64 s, samt ange den momentana hastigheten vid tidpunkten 9 s.

Acceleration

Defintion: Ändringen av hastighet med avseende på tiden.

På samma sätt som i fallet hastighet kan man definera en medelaccelaration aav, dvs ändringen av objektets hastighet v = vf - vi under tidsintervallet t = tf - ti.

Medelacceleration aav = v/t

Hastighet (v)

Tid (t)

vf

vi

ti tf

t

v

Objektets acceleration under en given tidpunkt, dvs den momentana accelerationen a(t) ges av: a(t) = lim(t0)v/t. Alltså derivatan av hastigheten v med avseende på tiden t.

Momentanacceleration a(t) = dv/dt

Rörelseekvationer under konstant acceleration

I fallet konstant acceleration är derivatan av hastighen konstant för alla t. Med andra ord om vi har ett linjeärt samband mellan hastighet och tid så är accelerationen konstant och är lika med lutningen (riktningskoeficienten) på hastighetfunktionen.

Vid konstant acceleration är medelaccelerationen = momentanaccelerationen

v = v0 + atHastighet under konstant a:

Förflyttningen x = x - x0 = (½v + v0)t = (½(v - v0) + v0)(t - t0) = ½(v + v0)(t - t0), för t0 = 0 kan positionen x skrivas:

Om vi antar att v0 är initial hastigheten vid tiden t0 samt att v är hastigheten vid tiden t, så kan vi skriva rörelseekvationerna på följande sätt:

x = x0 + ½(v + v0)t

Ersätter vi v med v0+at fås: x = x0 + v0t + ½at2

Slutligen genom att ersätta t med (v-v0)/a och lite omflyttning fås den fjärde och sista rörelseekvationen: v2 = v0

2 + 2a(x - x0)

v

t

v0

v=v-v0

t =t-t0t0

v0

SlutsatsMed hjälp av dessa rörelseekvationer kan man lösa rörelse problemet om man känner tre av de fem storheterna: v, x, v0, a och t. Start positionen x0 väljs oftast till 0 för att förenkla lösningen.

v = v0 + at (1) x = x0 +½(v + v0)t (2) x = x0 + v0t + ½at2 (3) v2 = v02 + 2a(x - x0) (4)

Exempel: En bil med initial hastigheten 10 m/s accelerar likformigt (konstant) till en hastight av 30 m/s under 10 s. (A) ange sträckan som bilen färdas under den tiden. (B) ange tiden det tar för bilen för att nå halva denna sträcka. (C) Ange sträckan efter halva tiden.

Givna storheter: v0 = 10 m/s, v = 30 m/s och t = 10 s. Okänd: a och x.

Från ekvation (1) fås: a = (v - v0)/t=(30-10)/10 = 2 m/s2

Sträckan fås antigen från ekvation (2) eller (3). för x0=0 ekvation 2 ger:

x = x = ½(30 + 10)100 = 200 m

Hastigheten för bilen vid halva sträckan är okänd därför måste man använda ekvation (3).

Halva sträckan är 100 m detta ger: 100 = 10t + ½2t2 = 10t + t2.

Vi får andragradsekvationen: t2 + 10t – 100 = 0 med lösningar 6.2 s och –16.2 s. (B)

Sträckan efter halva tiden t = 5 fås ur ekvation (3): x = 10(5) + ½(2)52 = 75 m (C)

Fritt fall

I avsaknad av luftmotstånd faller alla kroppar med samma hastighet oberoende av vikt och form. Fritt fall är ett exempel på likformig

acceleration, där accelerationen är tyngdaccelerationen g=9.82 m/s2

Exempel på fritt fall

En sten släpps från en höjd på 100 meter. (A) Hur lång tid tar det innan stenen rör vid marken? (B) Vilken hastighet har stenen strax innan den nuddar marken?

Här kan man välja två alternativ på hur man går tillväga. I alternativ 1 är y0=100 medan i alternativ 2 är y0=0. Här gör vi dessutom ett byte där x ersätts med y. Anledningen är att x används för den horisontella koordinaten medan y används för den vertikala. Bara för att vara konsistenta . OBS accelerationen riktning är negativ dvs a=-g=-9.82 m/s2.

y0 = 0 m

y = 100 m

y0 = 100 m

y = 0 m

g är en konstant vars värde är 9.82. Du får inte skriva g=-9.82 m/s2 utan a=-g=-9.82 m/s2

Lösning

Alternativ 1 (y-axeln pekar uppåt)

Givna storheter: y = 0 (vid val av y0 = 100), v0 = 0, a = -g = -9.82 m/s2, okänd: v och t.

Med hjälp av rörelseekvationen: y = y0 + v0t + ½at2, kan man lösa den första frågan.

y = 0 = 100 + 0t - ½9.82t2 t = (200/9.82)1/2 = 4.5 s

Svaret på den andra frågan får man ur rörelseekvationen v = v0 + at (t är nu känd)

v = 0 + (-9.82)(4.5)= -44.3 m/s

Alternativ 2 (y-axeln pekar neråt)

Givna storheter: y = 100 (vid val av y0 = 0), v0 = 0, a = g = 9.82 m/s2, okänd: v och t.

Med hjälp av rörelseekvationen: y = y0 + v0t + ½at2, kan man lösa den första frågan.

y = 100 = 0 + 0t + ½9.82t2 t = (200/9.82)1/2 = 4.5 s

Svaret på den andra frågan får man ur rörelseekvationen v = v0 + at (t är nu känd)

v = 0 + (9.82)(4.5) = 44.3 m/s

Gör det själv

En kula skjuts rakt upp med en starthastighet 30 m/s. Bestäm vilken hastighet kulan har vid 25 m höjd. För enkel räknings skull använd g=10 m/s2.

Världen är 3-dimensionell

Hittills har vi behandlat röleseekvationerna i en dimension, men verkligheten är tredimensionell. Så, för att göra en korrekt beskrivning av rörleseekvationerna måste hastigheten, läge samt accelerationen ges i vektor form, ty dessa storheter har både en magnitud och en riktning. Tiden däremot är en skalär, dvs den har en magnitud men ej en riktning. Andra skalärer är massa och temperatur.

En vektor skrivs vanligast i fet stil A eller med en pil ovan Ā. Jag kommer att välja fet stil. (det blir för många pilar annars ). Magnituden av vektor A skrivs som A eller |A|.

x

y

A

Multiplikation av tal/skalär med vektor

Vid multiplikation av ett positivt tal (ej 1) med en vektor, ändras vektorns magnitud

Vid multiplikation av ett negativt tal med en vektor, ändras både vektorns magnitud samt riktning.

A 3A

A -2A

Vi multiplikation av en vektor med en skalär ändras även den fysikaliska storheten. Exempelvis, multiplikationen mellan hastighetsvekorn v och tiden t (en skalär) ger förflytningsvektorn x.

Vektoraddition

Vi har två vektorer A och B. Summan av dessa två vektorter kan illustreras så här:

AB+ = A + B

B

A

Om vi adderar B + A istället för A + B I ovangivna exemplet.

AB + =

B + A

B

A

Vi får två vektorer med samma magnitud och riktning. Alltså:

A + B = B + A, Kummutativa lagen

Vektorsubstraktion

AB- =

A - B

B A

A – B = A + (-B)

A

B

+=

A + (-B)

-BA

Hur blir det med B - A?

- A=

-B

B + -A=

B-A

B + (-A)

OBS: vektorsriktningen ändras. MYCKET VIKTIGT att tänka på vid vektorsubstraktion.

ExempelVi tar först ett enkelt fall av vektor addition i två dimensioner. En bil startar från punkt O och kör 40 km mot öst punkt Q. Plöstligt svänger bilen norrut och stannar efter 30 km vid punkt P. Hur stor är bilens förflyttning? (förväxla ej med körsträcka) ange också riktningen .Vi börjar med att rita vektorerna i en två dimensionell koordinatsystem.

A = förflytningsvektorn mot öst (O till Q) med en magnitud på 40 km

B = förflytningsvektorn mot norr (Q till P) med en magnitud på 30 km

C = Bilens förflyttningsvektor (O till P)

Vi vet från vektoraddition att vektor C är summan av vektor A och B, dvs C = A + B.Men hur stor är magnituden av C? Är det summan av magnituderna för vektor A och B?Är C = A + B = 40 + 30?Svaret är nej.

Magnituden är C = (A2 + B2)1/2 = (1600 + 900)1/2 = 50 km, och = arctan(30/40) = 36.7˚

Magnituden av summan av två vektorer är inte lika med summan av vektorernas magnitud: |A + B| ≠ A + B

E

N

O

P

A

CB

Q

Vad ska man göra?

Låt oss anta att bilisten i föregående exempel kört vilse och rör sig på ett sätt som redovisas nedan:

Anta att vi känner till magnituden och riktningen på alla förflyttningsvektorerna. Kan vi då bestämma förflyttningsvektorn C?

Svaret är ja, men finns det ett enklare sätt?

Lyckligtvis finns det ett enklare sätt att lösa problemet. Vi börjar med att definiera en uppsättning av vekorer som kallas för enhetsvektorer.

C

Enhetsvektorer

Låt oss titta på vektorn A med magnituden A och riktning i en x-y koordinatsystem.

A

x

yVi delar A i två komposanter:

Ax = Acos

Ay = Asin

Magnituden för A blir:

A = (Ax2 + Ay

2)1/2Ax=Acos

Ay=

Asi

n

Vi introducerar två vektorer i och j vars riktning är längs x repektive y axeln. Både vektorerna har magnituden i = j = 1. Dessa vektorer kallas för enhetsvektorer. Man kan därför med hjälp av enhetsvektorer beskriva vektorn A som summan av två vektorer Axi och Ayj:

i

j

Vad vi har gjort nu, är att beskriva en vektor som summan av dess komposantvektorer.

Hur detta kan förenkla livet för oss, kommer att bli tydligare i nästa exempel.

A = Axi + Ayj med magnituden A = |Axi + Ayj| = (Ax2 + Ay

2)1/2 och riktningen = arctan(Ay/Ax)

Exempel

En bil färdas 30 km österut (A) sedan 20 km 70˚ nordöst (B) sedan 40 km 30˚ nordväst (C). Ange magnituden R och riktningen för förflyttningen R.

Vi börjar med att skriva varje vektor som summa av dess komposantvektorer:

A = Axi Ax = A = 30 km.

B = Bxi + Byj Bx = Bsin70˚; By = Bcos70˚; B = 20 km

C = -Cxi + Cyj Cx = Csin30˚; Cy = Ccos30˚; C = 40 km

Förflyttnings vektorn R blir:

R = A + B + C = Axi + Bxi + Byj – Cxi + Cyj = (Ax + Bx - Cx)i + (By+Cy)j = Rxi + Ryj

R = (Rx2 + Ry

2)1/2 = 50.5 km

= arctan(Ry/Rx) = 55.2˚

Problemet är löst. Är ni övertygade?

R

A

B

C

Ry

Rx

70˚

30˚

i

j

3-dimensionella vektorer

Steget från 2-dimentionella till 3-dimensionella vektorer är inte så stort, det behövs att man definerar en tredje enhetsvektor k som pekar i z riktningen i xyz-koordinatsystemet.

z

y

x

k j

i

A

Vektor A i 3-dimensioner ges av:

A = Axi + Ayj + Azk, och har magnituden A = (Ax2 + Ay

2 + Az2)1/2.

På samma sätt, summan mellan två vektorer A och B blir:

A + B = Axi + Ayj + Azk + Bxi + Byj + Bzk = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k = Rxi + Ryj + Rzk = R

B

R

Gör det själv

Vi har två vektorer A = -i + 2j - 3k och B = 2i – j + 5k

Ge ett uttryck för:

a) A + B

b) A - B

Vektorprodukter

Här kommer vi att diskutera två typer av vektorsprodukter. Den ena är skalärprodukten och den andra är vektorsprodukten (kryssprodukten). Vi börjar först med att definera skalärprodukten.

Skalärprodukten mellan vektor A och vektor B defineras som: AB = ABcos

Där är vinkeln mellan vektor A och B. Skalär produkten är oberoende av ordningföljden av vektorerna, dvs:

AB = BA

För skalärprodukten mellan enhetsvektorerna gäller följande:ii = jj = kk = 1

ij = jk = ik = 0

Skalärprodukten är distributivt: A(B + C) = AB + AC

Skalärprodukten mellan två vektorer uttryckt med enhetsvektorer och komposanter ges av:

AB = (Axi + Ayj + Azk)(Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz

Skalärprodukten av en vektor med sig själv: AA = A2

Slutligen skalärprodukten mellan en vektor och en enhetsvektor ges av:

Ai = Ax, Aj = Ay, Ak = Az

Fysik exempel

Skalärprodukten kommer inte att användas förrän vid kapital 7, men en enkel exempel skadar inte

En person drar en last med hjälp av ett rep. Repet hänger på personens axel och bildar med marken en vinkel på 30˚. Dragkraften i repet är 100 N. Lasten dras i en rak sträcka på 10 m. Bestäm det arbetet som personen utför.

Arbete W som är en skalär storhet uttrycks som produkten mellan kraften F och förflyttningen s, vilket båda är vektorer. Arbetet blir alltså skalärprodukten mellan kraften F och förflytningen s:

W = Fs = Fscos(30˚) = 100(10)cos(30˚) = 866 NmMan kan även komma fram till samma uttryck genom att dela upp vektorerna:

W = Fs=(Fxi + Fyj)(sxi + syj) = Fxsx = Fcos(30˚)(sx) = 100cos(30˚)(10) = 866 Nm

30°

F

S

Fx

Fy

Vektorprodukten (Kryssprodukten)

I många fysikaliska fenomen blir produkten av två vektorer en resulterande vektor vars riktning är vinkelrätt mot planet som spänns upp av de inblandade vektorerna. Vinkel är den minsta vinkeln mellan vektorerna.

A

B

A B

Kryssprodukten mellan vektorerna A och B skrivs på följande sätt:

n

A B = ABsinn

Där n är enhetsvektorn normalen som är vinkel rätt mot planet.

Kryssprodukten är icke kummutativt:

A B = -B A

Kryssprodukten är distributiv :

A (B + C) = A B + A C

Uttrycka kryssprodukten med hjälp enhetsvektorer

Detta är lite svårare och kräver ett speciellt tankesätt. För att göra det enkelt för oss ska vi först titta på en skruv som placeras på tre olika sätt i enhetskoordinatsytemet.

Först placerar vi skruvhuvudet på i-j planet med spetsen pekande längs k.

i

j

k

i

j

k

Medsols= i j

Motsols= j i

-kk i j= k

j i= -k

Placerar skruvhuvudet på k-j planet med spetsen pekande längs i.

i

j

k

i

j

k

Medsols= j k

Motsols= k j

-ii

j k = i

k j = -i

Placerar skruvhuvudet på k-i planet med spetsen pekande längs j.

i

j

k

i

j

k

Medsols= k i

Motsols= i k

-jj

k i = j

i k = -j

Nu har vi kvar kryssprodukten av en vektor med sig själv, dvs i i, j j och k k.

Från deffinitionen: A B = ABsinn, ser vi att vinkeln mellan två parallella vektorer är 0 och därför är kryssprodukten mellan två parallella vektorer lika med 0.

Resultatet från kryssprodukterna av enhetsvektorerna sammanfattas nedan:

i i = 0 j j = 0 k k = 0

i j= k j i= -k j k = i

k j = -i k i = ji k = -jKryssprodukten mellan två vektorer uttryckt med enhetsvektorer och komposanter ges

av:

C = A B = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk) = (AxByk – AxBzj) + (-AyBxk + AyBzi) + (AzBxj - AzByi) = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k = Cxi + Cyj + Czk

Komposanterna för C ur kryssprodukten C = A

Cx = AyBz – AzBy

Cy = AzBx – AxBz

Cz = AxBy – AyBx

Fysik exempel med kryssprodukt

Om vi tar nu vår skruv och använder en skiftnyckel (längd 0.2 m) för att dra åt den (vi drar skaftet med en kraft på 100 N), så kommer skruven att utsättas för en vridmoment. Anta att kraften är vinklad 80° mot skiftnyckeln. Bestäm vridmomentets både magnitud och riktning.

Vridmoment är en vektor och har därför en riktning som bestäm av hur kraften F och vridaxeln r är orienterade. Definitionen för vridmoment ges av:

= r F

F

r

80°

F

r

80°

Lösningen

Vinkeln mellan Kraftvektorn F och vridaxeln r blir 180° - 80° = 100°.

Från definitionen av kryss produkten fås:

= r F = rFsin(100°)k = 0.2(100)(0.98)k = 19.7n Nm

Det vill säga en magnitud på 19.7 Nm med riktningen k.

100°

z

y

x

k

y

x

100°F

r

OBS: minsta vinkeln mellan vektorerna är 100 °

Gör det själv

Bestäm A B för vektor A = -2i + 3j + 4k m och Vektor B = i – 2j – 5k m.