第 51 卷第 2 期2 0 1 8 年 2 月

土 木 工 程 学 报CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNAL

Vol． 51Feb．

No． 22018

基金项目: 国家重点基础研究发展计划( 2013CB036302)

作者简介: 吕龙，博士

收稿日期: 2016-10-20

移动荷载作用下大跨度铁路斜拉桥纵向共振机理

吕 龙1 李建中2

( 1． 成都理工大学，四川成都 610059; 2． 同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

摘要: 列车荷载作用下铁路斜拉桥将在不同方向上发生振动，列车竖向荷载作用下导致的主梁纵向振动将影响道

床稳定性和伸缩装置的使用，甚至影响行车安全性和舒适性。采用等效纵向荷载研究移动荷载作用下斜拉桥纵向振动机理，推导纵向共振速度估算公式。以一大跨度铁路斜拉桥为实例，分析了不同速度的移动荷载作用下结构动力响应。结果表明，当移动荷载速度与估算纵向共振速度接近时，移动荷载通过桥梁时的纵向加载频率与桥梁一阶纵向振动频率接近，斜拉桥发生纵向共振现象，主梁和桥塔动力响应显著增大。关键词: 大跨度铁路斜拉桥; 移动荷载; 振动机理; 纵向共振; 纵向加载频率; 共振速度

中图分类号: U24 文献标识码: A 文章编号: 1000-131X( 2018) 02-0081-07

Longitudinal resonance mechanism of a long-span cable-stayedrailway bridge under moving loads

Lu Long1 Li Jianzhong2

( 1． Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China;

2． State Key Laboratory for Disaster Ｒeduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China)

Abstract: Under the moving train loads，a cable-stayed railway bridge generally vibrates in different directions． Thelongitudinal vibration of the bridge deck induced by the vertical train loads may influence the stability of track bed andthe usage of retractor devices，and may even affect the running safety and riding comfort of train． The longitudinalvibration mechanism of the cable-stayed bridge under moving loads is investigated by using the equivalent longitudinalloads． A formula for estimating the resonant speed of the cable-stayed bridge is developed． A long-span cable-stayedrailway bridge is taken as an example to analyze the dynamic response of the bridge under moving loads at differentspeeds． The numerical results indicate that when the speed of the moving load approaches the resonant speed predictedby the formula，the longitudinal loading frequency excited by moving load approaches the first-order longitudinal naturalvibration frequency of the bridge． Then，the longitudinal resonance of the cable-stayed bridge occurs and the dynamicresponses of the deck and the towers increase significantly．Keywords: long-span cable-stayed railway bridge; moving loads; vibration mechanism; longitudinal resonance;longitudinal loading frequency; resonant speedE-mail: lvlongs@ 126． com

引 言

随着我国高速铁路建设的快速发展，大跨度铁路

斜拉桥不断应用于铁路建设中，高速列车运行作用下

斜拉桥振动问题受到学者们的关注。以往针对列车运行作用下桥梁振动研究主要是为解决车桥耦合系

统、主梁挠度、行车安全性及舒适性等问题，其关注重点在于列车运 行 作 用 下 主 梁 竖 向 振 动 响 应 及 振 动

控制［1-3］。对于斜拉桥而言，当竖向荷载作用于斜拉桥主梁

上时，此竖向荷载通过斜拉索传递到桥塔结构上，导

致桥塔承受水平纵向力作用而发生纵向弯曲，从而引

起主梁和桥塔发生纵向变形，如图 1 所示。因此，列车移动荷载通过桥梁不仅使主梁发生竖向振动，也导致

桥梁发生纵向振动。主梁过大纵向振动位移影响道床稳定性及伸缩缝装置的使用，甚至影响行车安全性

和舒适性［4-5］。以往针对斜拉桥纵向振动研究大多数关注地震

荷载和列车制动力荷载作用下结构振动响应及振动

控制［6-8］。仅有少量文献涉及列车运行作用下斜拉桥

DOI:10.15951/j.tmgcxb.2018.02.009

· 82· 土 木 工 程 学 报 2017 年

纵向振动。瞿伟廉等［9-10］以武汉天兴洲长江大桥为背景，研究了列车运行及制动作用下斜拉桥纵向振动及

振动控制。李永乐等［11-12］研究了列车过桥时韩家沱长江大桥主梁纵向振动及桥塔受力。以上文献仅分析了列车运行作用下结构振动响应，但未涉及斜拉桥

纵向共振机理的研究。

图 1 单个竖向荷载作用下斜拉桥变形示意图Fig． 1 Deformation of a cable-stayed bridge under

a single vertical load

本文采用等效纵向荷载法研究移动荷载作用下

斜拉桥纵向振动机理，并推导桥梁纵向共振速度估算

公式。以一大跨度铁路斜拉桥为背景，计算移动荷载作用下结构动力响应，以此验证移动荷载作用下斜拉

桥纵向共振机理。

1 移动荷载作用下斜拉桥振动响应

1． 1 单个移动荷载单个移动荷载 P( t) 以速度 v 匀速通过斜拉桥，如

图 2 所示，图中，假设坐标系的原点位于主梁左端点处，则主梁的范围用坐标表示为 0≤x≤L，L 为桥梁总长。

图 2 单个移动荷载作用下的斜拉桥模型Fig． 2 A cable-stayed bridge under a single moving load

斜拉桥振动方程可写为:

［M］{ X··( t) ) + ［C］{ X·( t) } + ［K］{ X( t) } =δ( x － vt) { P( t) } ( 1)式中: ［M］、［C］、［K］分别为桥梁的质量矩阵、阻尼

矩阵和刚度矩阵; { X··

( t) } 、{ X·( t) } 、{ X( t) } 分别为桥梁的节点加速度、速度和位移向量; { P( t) } 为桥梁所受外荷载向量; δ 为 Dirac 函数，其定义为:

δ( x － vt) =0 x≠ vt1{ x = vt ( 2)

通过求解式( 1) 则可得到单个移动荷载作用下斜拉桥振动响应。1． 2 多个移动荷载

假定多个荷载 Pi ( t) 以速度 v 匀速通过斜拉桥，其

中，第 i 个荷载 Pi ( t) 到第一个荷载 P1 ( t) 的距离为 di，d1 = 0，令 P1 ( t = 0 时刻) 作用于 x = 0 处，即初始时刻，则第 i 个荷载上桥的时间为 ti = di / v，图 3 为多个移动荷载通过斜拉桥示意图。

图 3 多个移动荷载作用下的斜拉桥模型Fig． 3 A cable-stayed bridge under a series of moving loads

斜拉桥振动方程可写为:

［M］{ X··( t) } + ［C］{ X·( t) } + ［K］{ X( t) } =

∑n

i = 1δ［x － v( t － ti) ］S(

vt － diL ) { Pi ( t) } ( 3)

式中: Pi ( t) 为第 i 个移动荷载; S 为位置函数，用以判定移动荷载是否在桥上，其函数性质为:

S( ζ) =1 0 ≤ ζ≤ 1{0 else ( 4)

通过求解式( 3) 则可得到多个移动荷载作用下斜拉桥振动响应。

2 移动荷载作用下斜拉桥纵向振动机理及共振速度估算

2． 1 单个荷载为研究移动荷载作用下斜拉桥纵向振动机理，首

先分析单个移动荷载以缓慢速度通过斜拉桥导致主

梁纵向位移。以三座飘浮体系双塔斜拉桥为背景，分别计算单个移动荷载以缓慢速度通过桥梁时引起的

主梁梁端纵向位移———x( t) ，如图 4 所示，其中，三座双塔斜拉桥跨径布置分别为:

( 1) 望东长江大桥: 78m + 228m + 638m + 228m+78m;

( 2) 芜湖长江二桥: 100m + 308m + 806m + 308m+100m;

( 3) 沪通铁路长江大桥: 142m + 462m + 1092m +462m +142m。

从图 4 可知，单个移动荷载缓慢通过桥梁引起的三座桥梁主梁梁端纵向位移具有相似的规律，当荷载

第 51 卷 第 2 期 吕 龙等·移动荷载作用下大跨度铁路斜拉桥纵向共振机理 · 83·

作用于主梁跨中位置，桥塔和桥墩对应的主梁位置时

主梁梁端纵向位移为零。

( a) 望东长江大桥

( b) 芜湖长江二桥

( c) 沪通铁路长江大桥

图 4 单个移动荷载缓慢通过斜拉桥引起的主梁梁端纵向位移Fig． 4 Longitudinal displacement at the end of the girderinduced by a single load at a very slow speed moving on

the cable-stayed bridge

为便于分析斜拉桥纵向振动机理，可将单个荷载

缓慢通过桥梁引起的主梁梁端纵向位移 x ( t) 等效为一正弦函数:

x( t) = x0 sin2πLe

xd ( 5)

式中: xd 为荷载作用位置到梁端的距离; x0 为单个荷载缓慢通过桥梁时主梁梁端纵向位移幅值; Le 为正弦位移波长，可表示为:

Le = L2 + Lm /2 ( 6)式中: L2、Lm 分别为斜拉桥边跨和中跨长度。

从图 4 可知，等效正弦位移与实际位移接近，这表明等效正弦位移能反应出单个荷载缓慢通过桥梁引

起的主梁梁端纵向位移的主要特性。如果不考虑斜拉桥主梁轴向变形，主梁各位置纵

向位移一致，为梁端纵向位移 x( t) 。对于漂浮体系斜

拉桥的主梁而言，单个移动荷载缓慢通过桥梁时作用

于主梁上的等效纵向荷载可近似表示为:

Pe ( t) = kx( t) ( 7)式中: Pe ( t) 为作用于主梁上的等效纵向荷载; k 为等效纵向刚度，为主梁发生单位纵向位移所施加的纵

向力。假设移动荷载以速度 v 通过桥梁，则 xd = vt ，式

( 5) 可改写为:

x( t) = x0 sin2πLe

vt ( 8)

结合式( 7) 和式( 8) ，等效纵向荷载为:

Pe ( t) = kx0 sin2πvtLe

= Pesin2πfp t ( 9)

式中: Pe0为等效纵向荷载幅值，为 kx0 ; fp = v /Le 为单个移动荷载通过桥梁的广义纵向加载频率。

根据式( 9 ) ，等效纵向荷载作用下斜拉桥振动方程可表示为:

［M］{ X··( t) } + ［C］{ X·( t) } + ［K］{ X( t) } ={ Pe0 sin2πfp t} ( 10)

以上分析可知，对于漂浮体系斜拉桥主梁而言，

单个移动荷载通过斜拉桥引起的作用于主梁上的纵

向激励可近似等效为一正弦形式的纵向荷载，其荷载

频率为 fp = v /Le 。当移动荷载通过桥梁时的纵向加载频率 fp 与斜

拉桥一阶纵向自振频率 f1 接近时，斜拉桥将发生纵向共振现象，其共振条件可表示为:

f1 = fp = v /Le ( 11)式中: f1 为斜拉桥一阶纵向自振频率。

共振速度可估计为:

vr = Le f1 ( 12)2． 2 多个荷载

结合式( 9) ，当多个移动荷载通过桥梁时，作用于主梁上的等效纵向荷载可表示为:

Pe ( t) = ∑n

i = 1S(

vt － diL ) Pei ( t) =

∑n

i = 1S(

vt － diL ) kx0isin2πfp ( t －

div ) ( 13)

式中: Pei为第 i 个移动荷载缓慢通过斜拉桥时的等效纵向荷载; x0i为第 i 移动荷载缓慢通过桥梁时主梁纵向位移幅值。

根据式( 13) ，多个等效纵向荷载作用下斜拉桥振动方程为:

［M］{ X··( t) } + ［C］{ X·( t) } + ［K］{ X( t) } =

∑n

i = 1S(

vt － diL ) kx0isin2πfp ( t －

div{ }) ( 14)

· 84· 土 木 工 程 学 报 2017 年

根据式( 14) 可知，当多个移动荷载通过桥梁时，荷载的加载频率包含两个频率部分［13-14］，每个移动荷

载通过桥梁的加载频率，fv1 = f = v /Le ; 多个移动荷载周期性作用在桥梁上加载频率，fv2 = v /dv ，dv 为荷载间距。因此，多个移动荷载通过桥梁时发生纵向共振的条件为:

( 1) 单个移动荷载通过桥梁的纵向加载频率 fv1等于斜拉桥一阶纵向自振频率 f1 :

f1 = v /Le ( 15)( 2) 当 J 倍的多个移动荷载周期性作用在桥梁上

的纵向加载频率 fv2 等于斜拉桥一阶纵向自振频率f1，即:

J vdv=ω12π

( J = 1，2，3…) ( 16)

当满足式( 16) 时，多个移动荷载连续作用桥梁上时的自由振动部分之和可能导致共振［13-14］。

根据式( 15) 和式( 16) ，共振速度可估计为:vr1 = Le f1 ( 17)

vr2 =ω12πJ

dv =dv f1J ( J = 1，2，3，…) ( 18)

3 实例分析

3． 1 计算模型以沪通铁路长江大桥为工程背景分析移动荷载

作用下结构动力响应，该桥采用飘浮体系，桥跨组合

为 142m + 462m + 1092m + 462m + 142m，总体布置如图 5 所示。主梁采用箱桁组合结构，桁高 16m，桁宽35m。主塔为钻石形钢筋混凝土桥塔，塔高 325m。斜拉索采用三索面布置形式，共 432 根，对称布置，采用Φ7 平行钢丝索，基础为沉井基础。

图 5 总体布置图Fig． 5 General arrangement

采用 ANSYS 建立桥梁有限元模型。主梁、主塔和桥墩均采用三维梁单元模拟，考虑恒载对结构几何刚

度的影响。斜拉索采用杆单元模拟，采用 Ernst［15］公式修正斜拉索弹性模量，以此考虑其垂度效应。桥墩和桥塔基础均为沉井基础，其刚度较大，故在墩底和

塔底采用固结形式，未考虑土和结构相互作用。结构动力分析模型如图 6 所示。表 1 列出了计算模型前 3

阶振动周期与振型特征。

图 6 动力分析模型Fig． 6 Dynamic analysis model

表 1 结构动力特性Table 1 Dynamic characteristics of the bridge structure

阶次 周期( s) 频率( Hz) 振动特性

1 12． 56 0． 079 纵桥向漂浮

2 10． 19 0． 098 横桥向一阶弯曲

3 6． 01 0． 166 竖桥向一阶弯曲

3． 2 单个荷载作用下斜拉桥振动响应为便于衡量移动荷载作用下结构响应的放大作

用，分析结果中，动力放大系数表示为:

D = Ｒd /Ｒs ( 19)式中: Ｒd、Ｒs 分别为桥梁动力和静力响应最大值，包括梁端纵向位移、塔底剪力和弯矩。

本节计算单个移动荷载下( P = 100kN) 桥梁动力响应。其中，移动荷载速度选取 50 ～ 500km /h，本文涉及的斜拉桥等效纵向刚度 k 为 69842． 2kN /m，Le = L2+ Lm /2 = 1008m ，一阶纵向振动频率 f1 = 0． 079Hz，根据式( 12) ，单个移动荷载通过桥梁时，估计的共振速度 vr = 290km /h。图 7 示出了单个移动荷载和等效荷载作用下主梁梁端纵向位移动力放大系数; 图 8 示出了单个移动荷载作用下梁端纵向位移时程。

图 7、图 8 表明，梁端纵向位移动力放大系数受移动荷载速度影响显著，当移动荷载以估计共振速度

290km /h 通过桥梁时，发生纵向共振现象，移动荷载作用下梁端纵向位移动力放大系数达到 4． 7。

图 7 表明，单个移动荷载和等效纵向荷载作用下桥梁动力放大系数随移动荷载速度变化规律基本一

致。因此，单个移动荷载通过斜拉桥引起的作用于主梁上的纵向激励可近似等效为一正弦形式的荷载; 等

效纵向荷载作用下结构动力响应能较好地反应移动

荷载作用下斜拉桥纵向共振现象，采用等效纵向荷载

分析移动荷载作用下斜拉桥纵向共振机理是可行的。图9和图10分别示出了单个移动荷载作用下塔

第 51 卷 第 2 期 吕 龙等·移动荷载作用下大跨度铁路斜拉桥纵向共振机理 · 85·

图 7 单个移动荷载和等效荷载作用下梁端纵向位移动力放大系数

Fig． 7 DMFs for the longitudinal displacement at the end ofthe girder under a single moving load and equivalent load

图 8 单个移动荷载作用下梁端纵向位移时程Fig． 8 Time histories for the longitudinal displacement at

the end of the girder under a single moving load

底剪力和弯矩动力放大系数。图中表明，塔底剪力和弯矩动力放大系数受移动荷载速度影响显著，当移动

荷载速度为估计共振速度 290km /h 时，两桥塔塔底剪力和弯矩动力放大系数较大值分别达到 5． 8 和 4． 9。图 9 和图 10 表明，2 号塔和 3 号塔塔底剪力和弯矩随速度变化规律有所差异，这主要由于在不同速度下主

梁纵向振动响应差别较大导致。3． 3 多个荷载作用下斜拉桥振动响应

以 2 联 8 节编组的 CＲH2 动车组为对象分析多个

移动荷载作用下斜拉桥响应，分析中，将列车简化为

一系列集中力，如图 11 所示。列车总长度 201． 4m，固定轴距为 2． 5m，转向架中心距 17． 5m，单节车厢全长25m，轴重见表 2。

表 2 CＲH2 动车组各轴平均轴重Table 2 Average axle load of the train

车厢编号 1 2 3 4 5 6 7 8

平均轴重( t) 11． 8 14． 0 13． 3 12． 5 12． 1 14． 0 12． 7 11． 7

本节计算了多个荷载作用下桥梁动力放大系数，

其中，速度选取 50 ～ 500km /h。图 12 示出了多个移动荷载和等效荷载作用下梁端纵向位移动力放大系数;

( a) 2 号塔塔底剪力

( b) 3 号塔塔底剪力

图 9 单个移动荷载作用下塔底剪力动力放大系数Fig． 9 DMFs for the shear force at the bottom of

the tower under a single moving load

( a) 2 号塔塔底弯矩

( b) 3 号塔塔底弯矩

图 10 单个移动荷载作用下塔底弯矩动力放大系数Fig． 10 DMFs for the bending moment at the bottom of

the tower under a single moving load

· 86· 土 木 工 程 学 报 2017 年

图 11 列车简化模型Fig． 11 Simplified model of the train

图 12 多个移动荷载和等效荷载作用下梁端纵向位移动力放大系数

Fig． 12 DMFs for the longitudinal displacement at the end ofthe girder under a series of moving loads and equivalent loads

图 13 多个移动荷载作用下梁端纵向位移时程Fig． 13 Time histories for the longitudinal displacement at

the end of the girder under a series of moving loads

图 13 示出了多个移动荷载作用下梁端纵向位移时程;图 14 和图 15 示出了多个移动荷载作用下塔底剪力和弯矩动力放大系数。

对于本文分析的斜拉桥模型，当荷载间距 dv 近似等于单节列车长度时，根据式( 17) 和式( 18 ) ，估计的共振速度 vr1 = 290km /h，vr2见表 3。

表 3 估计的共振速度 vr2Table 3 Estimated resonant speed vr2

J 1 2 3

vr2 ( km /h) 7． 16 3． 58 2． 34

对比图 7 ～ 图 10 和图 12 ～ 图 15 可知，多个移动荷载与单个移动荷载作用下桥梁结构响应具有相似

规律，结构动力放大系数受移动荷载速度影响显著。当移动荷载速度为估计共振速度 290km /h 时，发生共振现象，梁端位移、两塔塔底剪力和弯矩动力放大系

数最大值分别达到 4． 4、4． 0 和 3． 6。

( a) 2 号塔塔底剪力

( b) 3 号塔塔底剪力

图 14 多个移动荷载作用下塔底剪力动力放大系数Fig． 14 DMFs for the shear force at the bottom of

the tower under a series of moving loads

( a) 2 号塔塔底弯矩

( b) 3 号塔塔底弯矩

图 15 多个移动荷载作用下塔底弯矩动力放大系数Fig． 15 DMFs for the bending moment at the bottom of

the tower under a series of moving loads

第 51 卷 第 2 期 吕 龙等·移动荷载作用下大跨度铁路斜拉桥纵向共振机理 · 87·

表 3 表明，由于共振速度 vr2 太小，不会导致结构发生纵向共振，因此，多个荷载作用下斜拉桥发生纵

向共振是由单个移动荷载通过桥梁的纵向加载频率

fv1接近斜拉桥一阶纵向自振频率 f1 引起的。从以上分析表明，当斜拉桥采用漂浮体系时，移

动荷载作用下结构将发生纵向共振现象，移动荷载通

过桥梁引起的作用于主梁上的纵向激励可近似等效

为正弦荷载，采用等效纵向荷载分析移动荷载作用下

斜拉桥纵向共振机理是可行的。我国高速铁路运行速度一般为 200 ～ 350km /h，而移动荷载速度在这一范围内时发生纵向共振，主梁与桥塔结构动力响应显著

增大，因此，若斜拉桥采用漂浮体系，应采取减振措施

避免桥梁发生纵向共振。

4 结论

本文结合一大跨度铁路斜拉桥，研究了移动荷载

作用下斜拉桥纵向共振机理及推导纵向共振速度估

算公式，得到以下主要结论:

( 1) 对于漂浮体系斜拉桥而言，移动荷载通过桥梁时作用于主梁上的纵向激励可近似等效为正弦荷

载，其等效纵向荷载频率为 fp = v /Le 。( 2) 当移动荷载速度与估算纵向共振速度接近

时，移动荷载通过桥梁时的纵向加载频率与桥梁一阶

纵向振动频率接近，斜拉桥发生纵向共振现象，结构

动力响应显著增大。( 3) 等效纵向荷载作用下结构动力响应能较好地

反应移动荷载作用下斜拉桥纵向共振现象，采用等效

纵向荷载分析移动荷载作用下斜拉桥纵向共振机理

是可行的。

参 考 文 献

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吕 龙( 1986-) ，男，博士。主要从事结构动力学与桥梁抗震方面的研究。

李建中( 1963-) ，男，博士，教授。主要从事结构动力学与桥梁抗震方面的研究。