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Au programme :
- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique
- Propriétés de l’estimateur d’une moyenne de population
- Qu’est-ce qu’une statistique de test et à quoi cela va-t-il servir?
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
Au programme :
- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
Notez bien l’utilisation des
- codes couleurs :
rouge pour ce qui se rapporte à la population
bleu pour ce qui se rapporte à l’échantillon
- lettres minuscules (observation, estimations)
- Lettres majuscules (variables aléatoires)
- lettres grecques pour les paramètres exacts dans la population
(moyenne et ecart-type exacts)
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
iid : indépendantes et identiquement distribuées
>>> de même loi X
Bilan de l’échantillonnage
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
iid : indépendantes et identiquement distribuées
>>> de même loi X
Bilan de l’échantillonnage
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
iid : indépendantes et identiquement distribuées
>>> de même loi X
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage
Xn=1
n
i=1
n
Xi
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
Estimateur sans biais de la cible m
dont la loi de probabilité dépend du contexte
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon
Bilan de l’échantillonnage
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
(x11,x2
1,…,xi1,…,xn
1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1
(x12,x2
2,…,xi2,…,xn
2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2
………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n
peuvent être tirés de cette population)
(x1k ,x2
k ,…,xik,…,xn
k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k
( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon Xn=
1
n
i=1
n
Xi Estimateur sans biais de la cible m
dont la loi de probabilité dépend du contexte
തxi=1
n
i=1
n
xiestimation ponctuelle de m
ොµ
X𝑛 : variable d’échantillonnage
X𝑛
ҧ𝑥 = ොµ
m
s
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s,
(respectivement moyenne et
écart-type de la distribution de
X dans la population)
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
ҧ𝑥 = ොµ =1
n
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 une estimation ponctuelle de m
X𝑛 =1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 estimateur de m , variable d’échantillonnage
un échantillon de taille n
tiré (avec remise) au hasard de la population
(échantillon représentatif de la population)
Variable aléatoire rendant compte de l’ensemble des possibles
sur l’infinité des échantillons que l’on peut tirer (échantillonnage)
Bilan de l’échantillonnage
ҧ𝑥 = ොµ
m
s
X : variable aléatoire d’étude
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
ҧ𝑥 = ොµ =1
n
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 une estimation ponctuelle de m
X𝑛 =1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 estimateur de m , variable d’échantillonnage
un échantillon de taille n
tiré (avec remise) au hasard de la population
(échantillon représentatif de la population)
Variable aléatoire rendant compte de l’ensemble des possibles
sur l’infinité des échantillons que l’on peut tirer (échantillonnage)
Bilan de l’échantillonnage
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s
Un estimateur a classiquement pour cible une moyenne, une taille de population, une proportion ou une variance
Au programme :
- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique
- Propriétés de l’estimateur d’une moyenne de population
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon
X𝑛 =1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖
m
s
𝐸 X𝑛 = 𝐸1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖
𝐸 X𝑛 =1
𝑛𝐸
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 propriété de l’espérance
𝐸 X𝑛 =1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝐸 𝑋𝑖 l’espérance d’une somme de V.A.
est la somme de leurs espérances
𝐸 X𝑛 =1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝐸 𝑋
𝐸 X𝑛 =1
𝑛𝑛 𝐸 𝑋
estimateur de m
𝐸 X𝑛 = 𝐸 𝑋 = 𝜇 estimateur sans biais de m
indépendantes
et identiquement distribuées
de même loi que X
Population caractérisée par
2 paramètres exacts : m et s
de la distribution de X(variable aléatoire d’étude)
par définition
Calcul de l’espérance