TRABAJO INDIVIDUAL N° 02: “FLOTACIÓN/ESTABILIDAD Y SEMEJANZA/MODELACIÓN”

Alumno: Torres Pizarro, Oscar Renato

Fecha: 23 de Octubre del 2015

Grupo: B

CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I

CICLO DE ESTUDIOS: V CICLO

CICLO ACADÉMICO: 2015-II

DOCENTE DE LA ASIGNATURA:Ing. Leonidas Fermín Pinella Odar

Índice1. INTRODUCCIÓN.............................................................................32. OBJETIVOS....................................................................................33. FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD............................................................4

3.1. Flotación...................................................................................................43.1.1. Principio de Arquímedes.....................................................................63.1.2. Importancia de la flotabilidad.............................................................6

3.1.2.1. Primera forma de la ecuación de la hidrostática:.........................63.1.2.2. Segunda forma de la ecuación de la hidrostática:........................73.1.2.3. Tercera forma de la ecuación de la hidrostática:..........................7

3.2. Estabilidad................................................................................................73.2.1. Estabilidad referida a la línea de flotación..........................................83.2.2. Inestabilidad de flotación....................................................................93.2.3. Ejemplos prácticos resueltos sobre flotabilidad..................................9

4. MODELACIÓN Y SEMEJANZA.........................................................114.1. Importancia de la modelación hidráulica................................................114.2. Modelación hidráulica.............................................................................12

4.2.1. Aplicación y aporte de los modelos hidráulicos................................134.2.2. Modelos matemáticos.......................................................................144.2.3. Modelos análogos.............................................................................154.2.4. Modelos físicos reducidos.................................................................154.2.5. Principales limitaciones en los modelos físicos y matemáticos........164.2.6. Leyes de semejanza en diseño de modelos físicos...........................17

4.2.6.1. Modelos a semejanza de Froude................................................184.2.6.2. Modelos a semejanza de Reynolds.............................................184.2.6.3. Modelos a semejanza de Weber.................................................18

5. EJERCICIOS RESUELTOS...............................................................18

1. INTRODUCCIÓNDespierta curiosidad cuando vemos, ya sea en el día a día o en las

películas, flotar barcos, gomones o submarinos ¿Por qué flota un cuerpo sumergido en el líquido? ¿Es simplemente una casualidad, que algunos objetos puedan flotar? A todos esto existe una explicación estudiado desde los tiempos antes de Cristo, iniciando con Arquímedes.

La fuerza de flotabilidad fue descubierta por Arquímedes en el siglo III a.C. Su postura fue realizada a través de un principio que lleva su nombre, el cual establece: " Un cuerpo que se sumerge en un fluido experimenta una fuerza ascendente llamada empuje y que es igual al peso del fluido desplazado por él". Este principio de carácter empírico fue posteriormente avalado mediante las leyes de Newton. Donde, la fuerza de flotabilidad tiene su naturaleza en las presiones que ejerce el fluido sobre el cuerpo, cuando éste se encuentra sumergido en su interior. Para determinar la dependencia de la fuerza de flotabilidad en forma experimental se utiliza un cuerpo cilíndrico que cuelga de un dinamómetro, y al cual se empieza a sumergir lentamente en un recipiente con agua.

Estudiar la estabilidad de los cuerpos flotantes es muy importante en la Mecánica de Fluidos y aún más para los ingenieros, quienes son los que aplican estos conceptos en sus diseños. Conociendo esta teoría podremos determinar la seguridad que tiene un cuerpo al flotar sobre un fluido, es decir que el cuerpo este estable o vuelque sobre este. Es por ello, que este experimento se realizó con el fin de determinar experimentalmente la estabilidad de un cuerpo flotante.

2. OBJETIVOSi. Conocer los principios fundamentales de la flotabilidad y de la estabilidad, para ayudar a desarrollar la capacidad de analizar y diseñar dispositivos que funcionen cuando floten o se sumerjan. (ESTÁTICA DE FLUIDOS).

ii. Entender y aplicar el principio de Arquímedes junto con las condiciones de estabilidad rotacional.

iii. Demostrar la estabilidad rotacional de un cuerpo flotante prismático: paralelepípedo rectangular.

vi. Verificar que la altura del metacentro experimental del paralelepípedo rectangular es aproximadamente constante e igual al valor teórico.

v. Definir conceptos de Plano de flotación, Línea de flotación, Centro de flotación, flotabilidad, empuje y centro de carena, así como los tipos de estabilidad y los tipos de equilibrios de un cuerpo flotante

3. FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD

3.1. FlotaciónUn cuerpo que se encuentre en un fluido, ya sea flotando o sumergido, es

empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado. La fuerza boyante ( o flotante ) actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado y se le puede definir de manera matemática mediante el principio de Arquímedes, según lo presentamos a continuación:

Donde:

ɣf :Peso específico del fluido; Vd :Volumen desplazado

Para peso del sólido sumergido:

ɣc :Peso específico del Sólido ; VC: Volumen del sólido

Además se cumplen las siguientes condiciones para la fuerza de boyamiento y el peso del volumen sumergido del cuerpo:

Si:

1. FB> W ɣf > ɣC) El cuerpo flota sobre la superficie del líquido

2. FB = W (ɣf =ɣC) El cuerpo flota con flotabilidad neutra

3. FB < W (ɣf <ɣC) El cuerpo se hunde

Cuando un cuerpo flota libremente, desplaza un volumen suficiente de fluido para equilibrar justo su propio peso. El análisis de problemas que tratan sobre flotabilidad requiere la aplicación de la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical.

Por tanto, los mismos principios que empleamos para calcular las fuerzas hidrostáticas sobre superficies pueden aplicarse al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo tercero a.C.:

a. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación vertical igual al peso del fluido que desaloja

b. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota

La línea de acción de la fuerza de flotación pasa por el centro de volumen del cuerpo, que coincide con el centro de gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Este punto en el que actúa la fuerza de flotación se denomina centro de flotación, designado como Cf en varios ejercicios. Es evidente que el punto Cf no tiene por qué coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, que puede tener densidad variable.

A continuación una figura que ilustra este caso de flotación de cuerpos, donde solo una parte está sumergida, permaneciendo el resto por encima de la superficie libre:

La fuerza de flotación no sólo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la misma línea vertical, ya que en equilibrio estático no puede haber momentos. En ocasiones, un cuerpo puede tener el peso y el volumen adecuados para que su peso específico sea igual al del fluido, En estos casos,

el cuerpo tendrá flotabilidad neutra y permanecerá en el punto en el que se le sumerja. En visualización se utilizan a veces partículas pequeñas con flotabilidad neutra, y cierto tipo de boya, el flotador Swallow se utiliza para seguir las corrientes oceánicas. Un submarino puede adquirir flotabilidad negativa, neutra o positiva al bombear agua hacia dentro o hacia fuera de los tanques de lastre.

3.1.1. Principio de ArquímedesEl principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un

cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en Newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:

Donde E es el empuje, ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleración de la gravedad y m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y descritas de modo simplificado) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.

3.1.2. Importancia de la flotabilidad-Algunos de los efectos básicos de la flotabilidad son:

o Poder nadar sin hundirse

o Hacer que los barcos floten

o Hacer que los globos con helio suban

-La importancia de este principio en la práctica del buceo radica en el concepto de flotabilidad de un cuerpo que de él se deriva. Así, un cuerpo tendrá:

Flotabilidad negativa: cuando Pa>E, el cuerpo se hundirá en el seno del líquido.

Flotabilidad neutra: cuando Pa = E,el cuerpo quedará estabilizado a dos aguas.

Flotabilidad positiva:cuando Pa <>

3.1.2.1. Primera forma de la ecuación de la hidrostática:La ecuación arriba es válida para todo fluido ideal (Fluido ideal es aquel fluido cuya viscosidad es nula) y real, con tal que sea incompresible.

3.1.2.2. Segunda forma de la ecuación de la hidrostática:La constante C2 se llama altura piezométrica

3.1.2.3. Tercera forma de la ecuación de la hidrostática:

3.2. EstabilidadSe refiere a la capacidad que tiene un cuerpo de regresar a su posición

original luego de haberse inclinado respecto a un eje horizontal. Se aplica a cuerpos sumergidos por completo en un fluido, como los submarinos y los globos. O a cuerpos flotantes sobre la superficie de un fluido, como barcos, sondas y boyas.

Un cuerpo que flota puede encontrarse en una posición estáticamente inestable. En este caso, el cuerpo volcará a la primera oportunidad, como un lápiz que está apoyado sobre su punta y se desplaza ligeramente de la vertical. La más mínima perturbación le llevará a buscar otra posición de equilibrio que sí sea estable. Los ingenieros deben cuidar los diseños para impedir la inestabilidad de la flotación. La única forma de asegurar que una posición de equilibrio es estable es dar una pequeña “perturbación” matemática al cuerpo y ver s aparece un momento restaurador que lo lleve a su posición de equilibrio original.

Si esto ocurre, la posición es estable; en caso contrario, es inestable. Este tipo de cálculos, para cuerpos flotantes arbitrarios constituyen un arte específico de los ingenieros navales, pero aquí podemos dar también los principios básicos del cálculo de la estabilidad estática. La figura ilustra este cálculo para el caso muy común de un cuerpo simétrico:

Los pasos a aplicar son los siguientes:

1. La posición inicial de flotación se calcula con la ecuación de la fuerza de flotación o boyamiento. Del mismo modo se calcula el centro de gravedad G y el de flotación F.

2. Se desvía al cuerpo un pequeño ángulo Δθ, apareciendo una nueva línea de flotación. Se calcula el nuevo centro de flotación F’. La vertical trazado desde F’ corta a la línea de simetría en el punto M, denominado metacentro, que es independiente de Δθ si este es pequeño.

3. Si el punto M está por encima de G (es decir, si la altura metacéntrica MG es positiva) aparecerá un momento restaurador y decimos que la posición original es estable. Si M está por debajo de G (MG negativa), el cuerpo es inestable y volcará a la mínima perturbación. Cuanto mayor sea MG más estable será la posición original.

La altura metacéntrica es una magnitud característica de la sección transversal del cuerpo para un peso dado, y su valor da una indicación de la estabilidad del cuerpo. Si el cuerpo tiene sección transversal y calado variables, como en un barco, el cálculo del metacentro puede ser muy complicado.

3.2.1. Estabilidad referida a la línea de flotaciónLos arquitectos navales han desarrollado los conceptos generales de estabilidad de la figura mostrada a continuación:

Y han reducido el problema de la estabilidad a un sencillo cálculo en el que interviene el momento de inercia del área delimitada por la línea de flotación respecto al eje de rotación. El desarrollo de esta idea, que se ilustra al final de este párrafo, presupone que la forma del cuerpo varía suavemente (no de forma discontinua) cerca de la línea de flotación.

Supongamos que el cuerpo es simétrico con respecto al eje y. Sii inclinamos el cuerpo un ángulo θ pequeño, el triángulo Obd se sumerge, mientras que el tríangulo cOa se eeva por encima del nivel de flotación. El nuevo centro de flotación F’ se calcula como el centroide de la porción sumergida del cuerpo aObde. Donde Io es el momento de inercia de área de la huella de la línea de flotación de cuerpo respecto al eje de rotación O. De esta forma es posible determinar la distancia de M a F:

El ingeniero debe determinar la distancia de G a partir de la forma básica del cuerpo flotante y realizar entonces el cálculo de Io y del volumen sumergido (v sum). Si la altura metacéntrica MG es positiva, el cuerpo será estable ante pequeñas perturbaciones. Conviene observar que si GF es negativo, es decir, si F está situado sobre G, el cuerpo es siempre estable.

La determinación de la estabilidad de cuerpos en flotación con formas irregulares es difícil incluso para los expertos. Estos cuerpos pueden tener dos o más posiciones estables. Por ejemplo, un barco puede flotar en su posición normal o invertido. Existen referencias donde presentan procedimientos matemáticos para determinar la estabilidad de flotación. Dichas referencias recalcan que incluso las formas simples, como un cubo de densidad uniforme, presentan numerosas orientaciones de flotación estables, que pueden ser no simétricas. Los cilindros circulares homogéneos pueden flotar con el eje de simetría inclinado con respecto a la vertical

3.2.2. Inestabilidad de flotaciónLa inestabilidad de flotación es común en la naturaleza. Los peces nadan

generalmente manteniendo su plano de simetría en posición vertical. Cuando mueren, esta posición es inestable, por lo que acaban flotando con su plano de simetría horizontal. Los icebergs gigantes pueden girar sobre sí mismos al cambiar sus condiciones de estabilidad cuando se derrite parcialmente la parte sumergida. Este espectacular fenómenos se ha presenciado en mu pocas ocasiones.

Los icebergs están formados por agua dulce congelada procedente de los glaciares y su densidad media es de unos 900 kg/m3. De esta forma, cuando

un iceberg está flotando sobre el agua del mar, cuya densidad media es de 1025 kg/m3, aproximadamente una fracción 900/1025 de su volumen, unos siete octavos, queda sumergida.

3.2.3. Ejemplos prácticos resueltos sobre flotabilidad1)

2)

4. MODELACIÓN Y SEMEJANZACon frecuencia, el ingeniero debe dar soluciones factibles, en base a

ciertos requerimientos, a problemas ingenieriles. Debe decidir a priori el enfoque, técnicas o métodos más convenientes para cada caso en particular. Algunas veces, estas soluciones pueden ser sencillas, debido a que están bien definidas tanto la parte técnica como la parte económica, por lo que sólo basta aplicarlas.

En otros casos, los problemas son complejos o desconocidos como es el de conocer el comportamiento hidráulico del flujo de agua al pasar por una presa derivadora y al ser captada por una toma. En estos casos, se evaluará que tipo de investigación se va a adoptar. Dicha investigación se iniciará conceptualizando y esquematizando el problema, después se seleccionará la técnica física o matemática para estudiar el problema. A este proceso de abstracción se le conoce como modelación. En definitiva, la modelación implica simular un fenómeno real, conceptualizándolo y simplificándolo en mayor o menor medida, para luego, por último describirlo y cuantificarlo.

La teoría de las semejanzas es aquella que se emplea para el trabajo con modelos a escala en túneles aerodinámicos con el objetivo de que el comportamiento de los mismos sea lo más cercano posible a como se comportaría en una situación real el objeto en cuestión. Manifiesta que los criterios fundamentales para establecer la semejanza de un modelo a escala con el objeto real son los del número de Reynolds y el número de Mach. Los objetos de estudio pueden ser vehículos espaciales, aviones, puentes y edificaciones.

4.1. Importancia de la modelación hidráulica¿Por qué tiene tanta importancia un modelo hidráulico? En el ámbito de

ingeniería sanitaria para servicios de agua:

Una vez realizado un modelo, una empresa de agua tendrá una herramienta con muchas ventajas, que crea sinergias por toda la empresa:

a) Manejo de redes sin grandes conocimientos de mecánica de fluidos

b) Toma de decisiones referidas a operación, mantenimiento, ampliación sin gran riesgo y –por lo tanto- mayor seguridad de éxito

c) Mejoramiento de la solidez de la red, aspecto referido a evitar instalaciones y desinstalaciones interminables (por ejemplo, determinar dónde instalar los depósitos, válvulas y bombas)

d) Es un instrumento para explicar inversiones o cambios en la red, que evita conflictos sociales y con las autoridades

e) Permite el análisis de la red en simulación estática o extendida(patrones de demanda: agrícola, industrial, comercial y residencial)

f) Posibilita el análisis de Calidad del Agua (Tiempo de permanencia, concentración de cloro, calcio, magnesio y otras sustancias en la red, ...)

g) Permite el análisis de Protección contra Incendios (Disponibilidad de agua para bomberos).

h) Asegurar el abastecimiento de la población (presiones) en caso de ampliaciones.

4.2. Modelación hidráulicaMuchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza y dentro del

campo de la hidráulica son tan complejos que no es fácil tratarlos únicamente con métodos matemáticos. Por lo anterior es conveniente recurrir al empleo de técnicas experimentales, como herramienta en la obtención de soluciones prácticas, aplicadas a problemas de ingeniería, estuarios, fluvial y obras hidráulicas en general.

En otros casos, los problemas son complejos o desconocidos como es el de conocer el comportamiento hidráulico del flujo de agua al pasar por una presa derivadora y al ser captada por una toma. En estos casos, se evaluará que tipo de investigación se va a adoptar. Dicha investigación se iniciará conceptualizando y esquematizando el problema, después se seleccionará la técnica física o matemática para estudiar el problema. A este proceso de abstracción se le conoce como modelación.

Algunas de las aplicaciones más comunes se presentan en: estudios de propagación de oleaje, acción de mareas y corrientes, movimiento de sedimentos, estabilidad de estructuras sujetas a la acción del oleaje, efecto de estructuras en protección de playas, acción del oleaje sobre embarcaciones atracadas o en movimiento, propagación de mareas, funcionamiento de estuarios, erosión y sedimentación de cauces, control de avenidas, obras de toma, cárcamos de bombeo, vertederos, conducción de agua a presión, difusión térmica y desechos, etc.

Los métodos matemáticos plantean soluciones con modelos matemáticos idealizados, lo que permite simplificaciones importantes, que a su vez causan efectos que deben ser valorados mediante ensayos experimentales, a través de modelos físicos a escala reducida o de tipo analógico.

En hidráulica, el término modelo corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, mediante la entrada de cierta información se procesa y se presenta adecuada para emplearse en el diseño y operación de obras de ingeniería civil. Un modelo físico a escala reducida es una

representación a escala del objeto real o prototipo, y cumple ciertas condiciones matemáticas definidas.

En la actualidad se dispone de técnicas avanzadas de modelación física de fenómenos hidráulicos que, unidas al desarrollo de instrumento de medición y equipos generadores de fenómenos a escala, permiten predecir con alto grado de certidumbre lo que pueda ocurrir en el prototipo y, por tanto, se obtienen óptimos resultados en los aspectos de funcionalidad, estabilidad y economía de las estructuras a construir. Esto justifica ampliamente la utilización de modelos hidráulicos.

El empleo de un modelo hidráulico implica establecer un programa definido de investigación experimental sobre todas las variables que intervienen, en forma particular o en grupo. Lo anterior se hace para poder verificar en su caso la validez de soluciones analíticas de un problema dado, o determinar las leyes de relación entre las diferentes variables que, extrapoladas al prototipo, permitan optimizar la eficiencia de cada uno de los elementos del sistema modelo-prototipo. En ciertas etapas del programa y cuando el problema se puede describir con suficiente detalle utilizando modelos matemáticos, éstos se emplean complementariamente con resultados satisfactorios.

La aplicación de cualquiera de los dos tipos de modelos, físicos o matemáticos, tiene limitaciones, ya que ésta depende de la complejidad del problema en la intervención de las variables y sus fronteras a tratar, siendo en algunos casos los modelos matemáticos los más apropiados.

4.2.1. Aplicación y aporte de los modelos hidráulicos

En hidráulica, la modelación se usa para la simulación de situaciones reales que se producen en el prototipo y cuyo comportamiento se desea conocer; puesto que modelo y prototipo están ligados el uno con el otro, las observaciones y estudio del modelo constituyen la información necesaria para comprender la naturaleza del prototipo, debiendo para ello, estar ambos relacionados. Debido a que las simulaciones se producen bajo condiciones controladas de laboratorio los modelos hidráulicos tienen múltiples aplicaciones. Tenemos que los modelos hidráulicos, se usan para la solución de problemas relacionados con las estructuras hidráulicas, fenómenos de infiltración o tramos de ríos y recientemente con el transporte de sedimentos.

Las principales características de cada uno de estos grupos son indicadas por sus nombres. Los modelos de estructuras son usados para resolver problemas hidráulicos en conexión con una variedad de estructuras hidráulicas o ciertas partes de ellas como por ejemplo determinar la capacidad hidráulica, reducir las pérdidas de carga en entradas a canales o tuberías o en secciones de transición; desarrollar métodos eficaces de

disipación de energía en la corriente, al pie de las presas de sobreflujo o en el extremo de salida de las atarjeas, reduciendo de ese modo la erosión del lecho de los cauces de ríos; determinar coeficientes de descarga para presas de sobreflujo; desarrollar el mejor diseño de vertederos de presas, de sifones y pozos y de estructuras de salida de los embalses; diseñar puertos, incluyendo determinar la mejor sección transversal, altura y ubicación de los rompeolas, así como la posición y ubicación de la entrada; diseñar esclusas, incluyendo los efectos sobre los barcos de las corrientes establecidas debido al funcionamiento de las esclusas etc. El grupo de modelos de infiltración es creado para el estudio de fenómenos de infiltración en suelos y en medios granulares en general. Pertenece a este grupo también el estudio en modelo de infiltraciones en el subsuelo de una variedad de diques y de terraplenes, en la vecindad de los huecos excavados para la construcción en suelos granulares, bajo o alrededor de estructuras fundadas en tales suelos.

Los estudios en modelos de ríos son usados para resolver problemas de regulación de ríos o desarrollos hidroenergéticos, determinar el tiempo de desplazamiento de ondas de inundación por los cauces de los ríos, métodos para el mejoramiento de canales para la transmisión de inundaciones con menos riesgo de desbordamiento sobre las orillas, los efectos de los acortamientos de los ríos, efecto de diques, paredes de contención sobre la erosión de los lechos, altura de los remansos provocados por estructuras permanentes o temporales, construidas en medio de un cauce; dirección y fuerzas de corriente en ríos y puertos y sus efectos sobre la navegación etc.

Es importante destacar que la modelación hidráulica al lograr representar el flujo (tridimensional) de un río o a través de una estructura o suelo con mayor fidelidad y detalle que un simple cálculo teórico, aumenta la confiabilidad de las estructuras proyectadas. Esto significa que los diseños se ajustan más a las solicitaciones reales del flujo, lo cual tiene un importante impacto económico. Por un lado se disminuye el riesgo de diseñar una obra poco resistente que colapse fácilmente con las consecuentes pérdidas económicas o lo que es peor, en vidas humanas; mientras que por otro lado también se reduce la posibilidad de un diseño sobredimensionado que requiera de inversiones innecesarias. En otras palabras la modelación hidráulica constituye una importante herramienta de optimización para el diseño de obras hidráulicas. Dichos modelos se plantearán cuando conduzcan a una solución más económica y segura o cuando sean imprescindibles. Se han visto casos en los cuales por no realizar un modelo, el prototipo – que es muy costoso comparándolo con el modelo - ha quedado inutilizado en un tiempo relativamente corto al no poder prever los fenómenos con anticipación y corregirlos de antemano. En este sentido, hay que tomar conciencia de la necesidad de hacer un modelo hidráulico cuando las circunstancias así lo ameriten.

4.2.2. Modelos matemáticos

El conjunto de hipótesis y relaciones de las variables que describen un fenómeno, constituyen un modelo matemático (ecuaciones), que conduce a un problema matemático que es necesario resolver mediante apropiadas técnicas.

En la mayoría de los casos las ecuaciones que rigen los fenómenos físicos a considerar no pueden resolverse analíticamente, por lo que es necesario utilizar métodos aproximados mediante un proceso de computación, siendo los más utilizados los métodos de elementos finitos y el de diferencia finitas. El primero hace discreto el medio en que tiene lugar el fenómeno en estudio utilizando comúnmente una red de triángulos, mientras que el segundo utiliza una red de rectángulos, que es menos complicada, y proporciona una descripción suficiente de los contornos. La esencia de éste método de diferencia finitas, es sustituir los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales que rigen el fenómeno en estudio, por sistemas de ecuaciones algebraicas proporcionando valores en los puntos de la malla mediante la solución de métodos explícitos e implícitos.

La precisión de los modelos matemáticos está íntimamente ligada a su costo de explotación, por lo que deben tomarse en cuenta los siguientes factores: exactitud de los datos iniciales, tipo de fenómeno a estudiar, exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno, forma de aproximar las ecuaciones y evolución del modelo.

4.2.3. Modelos análogos

Dos fenómenos físicos de diferente naturaleza se llaman analógicos si las ecuaciones que los describen se expresan con formas matemáticas idénticas, aún cuando los símbolos de cada una de ella tengan significado diferente. Es común que uno de los dos fenómenos sea de menor dificultad, por lo que éste se emplea para resolver el otro. Lo anterior ofrece una posibilidad de resolver problemas hidráulicos a base de mediciones hechas sobre un fenómeno análogo, siendo los más comunes:

Analogía entre un flujo a través de medios permeables y flujo laminar en capas delgadas (modelos de Hele-Shaw).

Analogía entre flujo laminar y flujo turbulento.

Analogía entre un flujo a través de medios permeables y la deformación de una placa elástica bajo carga.

Analogía eléctrica y otros fenómenos físicos ( como hidráulicos, mecánicos, etc.).

4.2.4. Modelos físicos reducidos

El uso de modelos físicos a escala reducida, llamados simplemente modelos hidráulicos, implica que éstos deben ser semejantes al prototipo, para lo cual debe satisfacerse las leyes de similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica, que en conjunto relacionan magnitudes físicas homólogas definidas entre ambos sistemas.

Cuando se va a realizar una comparación con respecto a la similitud geométrica se definen puntos homólogos sobre los cuales se definen magnitudes tales como velocidad, presión, etc.; de igual manera se definen lados, superficies y volúmenes homólogos. La similitud geométrica implica una relación constante para cualquier longitud L, esta relación es denominada escala de líneas de longitudes.

Cuando la comparación entre el prototipo y modelo es con respecto a un movimiento, se establece entonces la similitud cinemática; ésta se cumple cuando los patrones la forma de los patrones de flujos homólogos son iguales en cualquier tiempo, es decir, hay similitud en el movimiento de los sistemas. Es por esto que la relación de velocidades entre estos puntos debe ser constante y es denominada escala de velocidades. Es un requisito que se cumpla con la similitud geométrica para que se cumpla la similitud cinemática.

El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, de Coriolis, etc. Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas.

En el diseño de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los factores típicos que gobiernan su comportamiento y por lo tanto su modelación y diseño. A continuación se presentan algunos ejemplos:

ESTRUCTURAS DE CONTROL Descarga, niveles de agua, a. Tomas velocidades, pérdidas, presión b. Muros de Contención (fuerzas), vibraciones,

inestabilidades, c. Compuertas vórtices, demanda de aire,

sedimentos,

d. Ataguías hielo, cavitación, oleaje, e. Divisorias de Aguas patrones de flujo.

CONDUCCIÓN Descarga, niveles de agua, a. Vertederos velocidades, pérdidas,

entrada b. Canales de aire, cavitación. c. Túneles

DISIPADORES DE ENERGÍA Niveles de agua, pérdidas, a. Ampliaciones Abruptas presión, vibración, demanda

de aire, b. Difusores cavitación, abrasión, oleaje. c. Pantallas

4.2.5. Principales limitaciones en los modelos físicos y matemáticos

4.2.6. Leyes de semejanza en diseño de modelos físicos

Efectivamente la experimentación en modelos hidráulicos está basada en la aplicación de un conjunto de relaciones conocidas con el nombre de leyes de semejanza, las cuales se han derivado del análisis dimensional y expresan las relaciones entre los distintos parámetros que gobiernan el comportamiento de un fluido. Debido a razones prácticas no se puede asegurar una similitud mecánica total tanto en el modelo como en su prototipo.

El conjunto de leyes de semejanza que aseguran esta similitud no podrá ser aplicado a los fines de diseño de los modelos por resultar incompatibles. El hecho de que normalmente se use el mismo fluido (agua) en el modelo y en el prototipo ya impide lograr una semejanza hidráulica completa.

Por ejemplo, si se exige que un modelo cumpla simultáneamente las condiciones desemejanza de Reynolds Rer = 1 y de Froude Fr = 1, dado que µr = 1 y gr = 1. La escala de velocidades resultaría:

Donde: ρ, es la densidad del fluido; V, es la velocidad del flujo; L, longitud característica; µ, es el valor de la viscosidad; Lr, es la relación de longitudes y g, es la gravedad.

De esta manera, un modelo físico cumple normalmente con la semejanza de Reynolds, o de Froude o de Weber, o de Mach etc. Sin embargo, esto introduce errores o desviaciones que se han de tener en cuenta en la reproducción del fenómeno, conocidos como efectos de escala. Por tal

motivo, el diseño debe apuntar a minimizar estos efectos que se traduce en imponer límites en la escala adoptada.

4.2.6.1. Modelos a semejanza de FroudeEl número de Froude representa la razón entre las fuerzas de inercia y

las fuerzas gravitatorias, por tanto, para aquellos prototipos en que los fenómenos están, principalmente, determinados por fuerzas gravitacionales se acepta que la condición de semejanza dinámica esté dada para el modelo Fr = 1, siendo Fr la relación de los números de Froude entre modelo y prototipo, lo que implica que las demás escalas estarán gobernadas por esta relación. Este tipo de modelación es aplicable a flujos con superficie libre, particularmente, cuando el escurrimiento es bruscamente variado donde los efectos friccionales son despreciables.

Cuando los escurrimientos son gradualmente variados o uniformes, junto con las fuerzas gravitacionales actúan las fuerzas de fricción interna dependiendo de las condiciones de borde como por ejemplo, la rugosidad relativa. En estos casos la semejanza geométrica y la semejanza de Froude aseguran en gran medida la similitud dinámica. El criterio de Froude, también, es válido para fuerzas distintas a las gravitacionales, como por ejemplo, las fuerzas centrífugas, etc.

4.2.6.2. Modelos a semejanza de ReynoldsEl número de Reynolds expresa la razón entre las fuerzas de inercia y

las fuerzas de fricción interna, debido a la viscosidad. Existen muchos fenómenos que están determinados, principalmente, por esta razón; tal es el caso del flujo en régimen laminar en presión o superficie libre, el flujo turbulento hidrodinámicamente liso y el flujo viscoso alrededor de un obstáculo sumergido, etc. La condición de semejanza viene expresada por Rer = 1, siendo Rer la relación de los números de Reynolds entre modelo y prototipo.

4.2.6.3. Modelos a semejanza de WeberEl número de Weber expresa el efecto de la tensión superficial entre

líquidos y gases y entre dos líquidos; por ser la fuerza de origen molecular, la fuerza resulta significativa sólo cuando las dimensiones del flujo son pequeñas: escurrimiento de muy baja altura, napas vertientes de pequeño tamaño y pequeñas ondas superficiales (ondas capilares), donde la condición a satisfacer es Wer = 1, donde Wer es la relación de los números de Weber entre modelo y prototipo.

5. EJERCICIOS RESUELTOSA continuación se enunciarán ejercicios con su respectiva solución con respecto a los temas tratados a lo largo de este trabajo: