FlexionDesviada

UNIVERSIDAD DE MLAGA

RESISTENCIA DE MATERIALES

PRCTICAS DE LABORATORIO

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FLEXIN DESVIADAI

1. ASPECTOS TERICOS

1.1. De los momentos de segundo orden y los ejes principales de inercia

Sea una seccin plana de rea , como la de la figura 1, definido cualquier pareja de ejes perpendiculares en la seccin, p. ej. y o y , se definen los momentos de inercia y el producto de inercia (en general, los momentos de segundo orden), respecto de esos ejes, en la forma que se indica en las expresiones (1).

Figura 1. Esquema de seccin plana genrica con dos sistemas de referencia distintos

(1)

Donde

, , , e son, respectivamente los momentos de inercia respecto de los ejes , ,

y representados en la figura 1. e son, respectivamente los productos de inercia respecto de los mismos ejes.

Las integrales se extienden a toda el rea de la seccin .

Si se consideran los infinitos sistemas de referencia posibles en la seccin de la figura 1, con un origen de referencia en comn; no es difcil demostrar que los valores de los infini-tos momentos de segundo orden obtenidos definen un lugar geomtrico en un plano en el que representsemos, en abscisas, los momentos de inercia y, en ordenadas, los produc-tos de inercia.

I Dependiendo de los textos, tambin se pueden encontrar otras denominaciones: esviada, disimtrica, no simtrica, sesgada

Resistencia de materiales Prcticas de Laboratorio

FLEXIN DESVIADA

rea de Mecnica de Medios Continuos y Teora de Estructuras UNIVERSIDAD DE MLAGA

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Dicho lugar geomtrico es una circunferencia, anloga a la circunferencia de Mhr defini-da en elasticidad plana, y con idntica relacin que all para obtener resultados (momen-tos y productos de inercia en el caso que nos ocupa) frente a cambios de sistema de refe-rencia, ver figura 2.

Figura 2. Relacin entre el giro del sistema de referencia y el cambio

en los momentos de segundo orden.

Observando la figura 2 es evidente que existen unos ejes para los cuales el producto de inercia se anula, dichos ejes reciben el nombre de ejes principales de inercia. En ese sis-tema de referencia los momentos de inercia adquieren valores mximo y mnimo.

1.2. Del fenmeno de la flexin desviada

Decimos que una barra prismtica se encuentra sometida a flexin desviada si sta es producida por una carga que acta en un plano que no contiene a los ejes principales de inercia de la seccin de la barra.

Desde el punto de vista de la deformacin, la caracterstica de este tipo de flexin es que los desplazamientos relativos, que tienen lugar en la barra, se producirn en direcciones diferentes de la direccin de la carga. Este hecho habr de quedar suficientemente de-mostrado tras el siguiente razonamiento terico.

Supnganse, por ejemplo, los voladizos de la figura 3 sometidos a peso propio. El es-quema de clculo para los cuatro casos representados en la figura 3 sera el mismo: el representado en la figura 4, pero slo para el clculo de las reacciones. Sin embargo no es as ni para el clculo de desplazamientos ni para el de tensiones.

ExperimentalmenteI se puede poner de manifiesto, sin excesiva dificultad, que la defor-macin de los casos representados en la figura 3 pueden mostrar una diferencia significa-

tiva: en la deformacin de los casos (a) y (b) la elsticaII se mantiene en el plano ; en los casos (c) y (d) la elstica sale fuera de ese plano.

I Al final del documento encontrar unos videos que muestran las deformadas, calculadas numricamente, para alguno de estos casos II Lnea definida por la posicin de los centros de gravedad de las secciones rectas de la barra deformada.


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(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3.- Voladizos formados por barra de diferente seccin recta.

Figura 4.- Modelo de viga en voladizo sometida a carga uniforme.

En otras palabras, en los casos (a) y (b) el desplazamiento del centro de gravedad de ca-da seccin tendra nicamente componente , mientras que en los casos (c) y (d) tendra componentes y .

El motivo de esta diferencia est en la situacin relativa de la lnea de accin de la carga y los ejes principales de inercia de la seccin. Vemoslo.

Cuando, en flexin plana, se obtiene la ley de Navier (2) (considerando tensiones de trac-cin positivas) se deduce que, en este tipo de flexin, el eje de giro de cada seccin de la barra (lnea neutraI) coincide con la lnea de accin del momento, en el caso indicado el eje de giro sera la lnea que es la lnea de accin del momento .

( ) ( )

( ) (2)

En (2) se considera un sistema de referencia como los representados en la figura 3,

( ) son las tensiones normales en la seccin recta de la barra, se ha considerado que

I Lugar geomtrico de los puntos de la seccin definidos por ( )


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slo acta el momento e ( ) es la inercia de la seccin respecto del eje z. Los es-fuerzos se consideran positivos cuando tienen los sentidos representados en la figura 5.

Figura 5. Sentidos positivos de los esfuerzos en la rebanada (seccin).

A partir de la ley de Navier, y siempre asumiendo la hiptesis de flexin plana, se deduce

la ecuacin de la deformada, o elstica, que aparece en (3).

( ) ( ( )

( ) ) (3)

En consecuencia, segn las expresiones (2) y (3), una carga que actuara perpendicular-mente al eje de mnima inercia dara lugar a las mximas tensiones y, consecuentemente, a los mximos desplazamientos y, al contrario, si la carga estuviese aplicada perpendicu-larmente al eje de mayor inercia obtendramos las mnimas tensiones y, tambin, los des-plazamientos relativos mnimos. Resulta obvio que en este razonamiento estaramos con-siderando la misma carga.

Expresemos ahora la ley de Navier (2), en un sistema de referencia distinto del , p. ej. un sistema como el que aparece en la figura 6.

Figura 6. Sentidos positivos de los sistemas de referencia siendo el eje que sale de la seccin.

Para ello, partimos de la relacin entre tensiones normales y curvatura (4) obtenida en flexin plana para llegar a la ley de Navier.

( )

( ) (4)


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Consideramos la expresin de la coordenada en el nuevo sistema :

(5)

Consideramos, igualmente, la definicin de los momentos respecto de los nuevos ejes:

( )

( )

(6)

Operamos en la siguiente forma: introducimos (5) en (4) para obtener (7):

( )

( )( ) (7)

donde se ha considerado que , ( ) y son constantes en la seccin.

Introducimos ahora (7) en las expresiones de los momentos (6) y obtenemos:

( )

( )

(8)

Desarrollando las expresiones en (8):

(9)

(9) puede ser escrita en forma matricial en la siguiente forma:

( ) (

) ( ) (10)

Calculamos, a partir de (10), los valores de y como funcin de , , , y pa-ra sustituirlos en (7),

|

|

|

|

|

|

|

|

(11)

Con lo que, finalmente, la expresin de las tensiones normales en los nuevos ejes quedan:


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( )

(12)

donde se puede apreciar que aparecen los productos de inercia.

La expresin (12), para el clculo de las tensiones normales cuando un flector solicita la seccin, es ms genrica que la expresin (2) por cuanto sirve para cualquier sistema de referencia definido en la seccin, no slo para aqul en el que uno de los ejes del sistema coincide con la lnea de accin del momento como era el caso de la expresin (2).

Dicho lo anterior, la expresin (2) habra de estar contenida en la (12) y si quisiramos obtenerla a partir de ella (camino inverso del que acabamos de hacer) parecera que ha-

bra de ser suficiente si impusiramos que el eje coincida con el , el con el , y que los momentos tomen los valores siguientes: , . En estas condiciones la expresin (12) quedara:

( ) (

) (13)

Vemos que la expresin obtenida (13) slo coincidir formalmente con la ley de Navier (2), si y slo si, , i. e., cuando los ejes y sean ejes principales de inercia. En tal

caso:

( ) (14)

Pero adems, de la expresin (13) se deduce otro resultado interesante: la lnea neutra, i.e., los puntos de la seccin donde las tensiones normales son nulas, por tanto el eje res-pecto del que la seccin gira durante la deformacin de la barra, no coincide con la lnea de accin del momento. Vemoslo.

En la expresin (13) se ha considerado que el momento acta segn el eje z. Pero la l-nea neutra estar definida por:

( )

(15)

Una vez ms esta lnea coincidir con el eje , i. e. , si y slo si, el producto de iner-cia es nulo, es decir, si los ejes y son los ejes principales de inercia, en otro caso, el momento acta segn una lnea y la seccin gira respecto de un eje que no coincide con ella lo que significa que el giro provoca que la lnea de centros de gravedad salga del plano de la carga definiendo pues un caso de flexin desviada.

En base a lo anteriormente expuesto, estamos en condiciones de justificar las observa-ciones experimentales indicadas arriba, segn las cuales, para los casos (a) y (b) de la

figura 3 se producen desplazamientos en el plano y en los casos (c) y (d) fuera de ese plano.

usuarioCuadro de textoIyz

usuarioLnea

usuarioCuadro de textoIyz


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En los casos (a) y (b), vase figura 6, la carga tiene lugar perpendicularmente a uno de

los ejes principales (indicados en lnea de eje en la figura) de las secciones: el eje , que es principal en ambos casos.

(a) (b) (c) (d)

Figura 6. Esquema de la posicin relativa de la carga respecto de la seccin de la barra para los voladizos esquematizados en la figura 3. En lnea de eje se indican los ejes principales de inercia de cada seccin.

En tales casos, el eje neutro de la seccin es, vanse expresiones (2) o (12), el propio eje principal perpendicular a la carga, es decir, cada seccin de la barra gira en torno a ese eje y la lnea que une los centros de gravedad se deforma en el mismo plano que contiene a la carga (el en el caso de la figura 3)

En tales casos, el eje neutro de la seccin es, vanse expresiones (2) o (12), el propio eje principal perpendicular a la carga, es decir, cada seccin de la barra gira en torno a ese eje y la lnea que une los centros de gravedad se deforma en el mismo plano que contiene a la carga (el en el caso de la figura 3)

En los casos (c) y (d) la carga acta formando determinado ngulo con esos ejes. Tome-mos, sin prdida de generalidad, el caso (d) como referencia, figura 7.

Figura 7. Descomposicin de la carga en los ejes principales de inercia de la seccin

Descomponiendo la carga, , en ambos ejes, y , resulta evidente, que la barra est cargada, con cargas de diferente magnitud, respecto de cada uno de los ejes principales de inercia. Habida cuenta de la diferencia entre las inercias respecto de esos ejes, que puede ser muy considerable, la tendencia al giro de la seccin respecto de cada uno de ellos es diferente.


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Dado que las cargas son, en general, diferentes, y la tendencia al giro respecto de cada eje principal tambin lo es, es claro que encontraremos diferencias en los desplazamien-tos relativos ( y en la figura 8) en los planos que contienen a cada eje principal.

Figura 8. Desplazamiento de la seccin en las direcciones de los ejes principales de inercia.

De esta manera, la seccin se desplazar una cantidad (figura 8) en una direccin, por el momento desconocida, que, de hecho, supone un giro de la seccin respecto de un eje cuya posicin habremos de determinar. Como ya se ha indicado, este eje de giro es el eje neutro de la flexin y el lugar geomtrico de los puntos con tensiones normales nulas, que ser la caracterstica que nos servir para determinar su posicin.

De esta manera, la seccin se desplazar una cantidad (figura 8) en una direccin, por el momento desconocida, que, de hecho, supone un giro de la seccin respecto de un eje cuya posicin habremos de determinar. Como ya se ha indicado, este eje de giro es el eje neutro de la flexin y el lugar geomtrico de los puntos con tensiones normales nulas, que ser la caracterstica que nos servir para determinar su posicin.

1.3. De la determinacin de tensiones y desplazamientos en flexin desviada.

En el epgrafe anterior acabamos de ver cmo la flexin desviada puede descomponerse

en dos casos de flexin plana: los casos de flexin en torno a los ejes y de la figura 8, por ejemplo.

En esta idea, absolutamente genrica, nos basaremos para obtener las tensiones y de-formadas en base al principio de superposicin.

La ley de Navier, para cada uno de los subproblemas en que dividimos el problema repre-sentado en la figura 8, puede escribirse en la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (3)


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( ) ( ) ( ) ( )

( )

Donde:

Se han considerado los signos positivos, para los ejes y , indicados en la figura 6. Se han denotado por ( ) y ( ) los momentos provocados, respectivamente, por

las cargas ( ) y ( ) considerando el caso ms genrico de que estas cargas pu-dieran variar con .

Se ha tenido en cuenta la posibilidad de que las inercias puedan igualmente variar con la coordenada .

Por tanto, las tensiones normales totales sern la suma de las que aparecen en (3):

( ) ( )

( )

( )

( ) (4)

La determinacin de la posicin de la lnea neutra es inmediata haciendo nulas las tensio-nes normales en (4). De este modo se obtiene la expresin en (5) cuya representacin geomtrica puede observarse en la figura 10.

( ) ( )

( ) ( )

( ) (5)

Dado que la posicin que ocupa el momento flector resultante a que est sometida la sec-cin, que sera la suma vectorial de los flectores ( ) y ( ), obedece la ecuacin (6),

( )

( ) (6)

resulta evidente, comparando las expresiones (5) y (6), que slo en el caso de que

( ) ( ) la lnea neutra coincidir con la lnea de accin del flector.

Si observamos la figura 2 derecha, el caso indicado - ( ) ( )- es un caso en el que la circunferencia all representada degenera en un punto. Esto indica que cualquier eje con-tenido en el plano de la seccin es eje principal de inercia y, por tanto, en un caso como ese es imposible que se d flexin desviada, la flexin, en tal caso, siempre ser plana.

Para el clculo de la deformada puede procederse de la misma forma (vase figura 10). As, los desplazamientos en ejes y , que denotaremos por ( ) y ( ), pueden ser ob-tenidos a partir de los desplazamientos en los ejes y , ( ) y ( ), como se muestra a continuacin:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (6)


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Donde las deformaciones en los ejes y pueden calcularse integrando la ecuacin dife-rencial de la elstica en cada uno de estos ejes (7).

( ) ( ( )

( ) )

( ) ( ( )

( ) )

(7)

Figura 10. Esquema de la lnea de accin que solicita la seccin y la posicin de la lnea neutra para un

caso de flexin desviada.

2. REALIZACIN DE LA PRCTICA.

Para poner de manifiesto el fenmeno de la flexin desviada se realizar una prctica ba-sada en una viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre.

Se dispondr de barras con diferentes secciones que sern cargadas de dos formas dis-tintas: segn direcciones principales y segn una direccin que forme, con las direcciones principales, un ngulo determinado.

2.1. Objetivo de la prctica

Poner de manifiesto la diferencia de comportamiento de una viga segn que la carga ac-te o no segn direcciones coincidentes con los ejes principales de inercia.

2.2. Descripcin de la prctica

Para la realizacin de la prctica se dispone de (vase figura 11):


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Marco de carga

Viga en voladizo sujeta al marco. A tal efecto, existen barras de diferentes seccio-nes: seccin rectangular maciza, seccin de pared delgada en Z, otras.

Un dispositivo que permite conocer el ngulo entre la lnea de accin de la carga (vertical) y los ejes principales de inercia de la seccin de la viga empleada.

Unos dispositivos para la medida de desplazamientos perpendiculares al eje de la barra. Estos dispositivos se denominan relojes comparadores y tienen una preci-

sin de . Una estructura auxiliar para facilitar el posicionamiento de los relojes comparado-

res.

Un dispositivo para colgar pesas en el extremo libre de la barra.

Figura 11. Vista general de la prctica de flexin desviada dispuesta para su realizacin.

2.3. Desarrollo de la prctica.

Para la seccin o secciones escogidas, la prctica consistir en cargar la viga en el ex-tremo libre, con carga creciente, tomando lecturas de los desplazamientos que se produz-can, para cada carga, en direcciones vertical y horizontal. Si bien las lecturas podran to-marse en cualquier punto de la viga lo ms aconsejable es hacerlo tambin en el extremo libre donde dichos desplazamientos sern mximos.

La prctica se realizar dos veces con cada perfil. La primera vez cargando en la direc-cin del eje principal de mxima inercia (es decir perpendicularmente al eje ms dbil de la seccin) y la segunda vez formando un ngulo a escoger con dicho eje.


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2.4. Memoria

2.4.1. Estudio terico

Para el perfil seleccionado en la parte experimental:

Sabiendo que el material utilizado tiene una tensin de fallo plstico, , de

, determine el valor mximo de la carga aplicable en el extremo del voladizo

en cada posicin.

Determine la deflexin (flecha), tanto horizontal como vertical, en el extremo del vo-

ladizo, para las posiciones descritas en la parte experimental. Calcule estas defle-

xiones en funcin de la carga aplicada en el extremo.

Represente en una grfica la evolucin de las flechas, horizontal y vertical, en fun-

cin de la carga aplicada.

2.4.2. Estudio experimental

Una vez realizada la prctica represente en una grfica la evolucin de las flechas, hori-

zontal y vertical, en funcin de la carga aplicada.

2.4.3. Correlacin terico-experimental

Superponga las grficas obtenidas tanto experimental como tericamente.

2.4.4. Conclusiones

A partir de la correlacin compare dichos resultados indicando las razones por las que

pudieran producirse desviaciones entre ambos estudios.

Exponga las conclusiones que derivan de la realizacin de la prctica.


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ANEXO I: Videos deformada vigas en voladizo sometidas a peso propio

Deformacin de una viga, de seccin rectangular, en voladizo, bajo carga vertical. Perspectiva.

Deformacin de una viga, de seccin en Z, en voladizo, bajo carga vertical. Perspectiva.

Deformacin de una viga, de seccin en Z, en voladizo, bajo carga vertical. Vista Superior.


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AnexoII: Toma de datos para la realizacin de la prcticaI

Asegrese de tomar todos los datos necesarios y rellene la ficha de ensayo.

Propiedades del Material: E= 210 GPa

Propiedades geomtricas:

Medida 1

Medida 2

Medida 3

MEDIAII

Medida 1

Medida 2

Medida 3

MEDIA

Longitud del voladizo:

Medida 1 Medida 2 Medida 3 MEDIA

ENSAYO 1: CARGA SEGN LA DIRECCIN PRINCIPAL MXIMA

Carga Desplazamiento vertical Desplazamiento horizontal

0

5 N

10 N

15 N

20 N

25 N

I Las unidades se dejan a eleccin de la persona (o personas) que realice la prctica.

II Si se desea, se podrn tomar ms de tres medidas, pero nunca menos de tres (siempre un nmero impar

de medidas)


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30 N

35 N

40 N

ENSAYO 2: CARGA A _____ GRADOS CON LA DIRECCIN PRINCIPAL MXIMA


0

5 N

10 N

15 N

20 N

25 N

30 N

35 N

40 N

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