Fleten et al '97

8/2/2019 Fleten et al '97

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P o r t f o l i o m a n a g e m e n t i n a d e r e g u l a t e d h y d r o p o w e r b a s e d

e l e c t r i c i t y m a r k e t

S t e i n - E r i k F l e t e n

y

U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a

F a c u l t y o f C o m m e r c e a n d B u s i n e s s A d m i n i s t r a t i o n

S t e i n W . W a l l a c e

E c o l e N a t i o n a l e S u p e r i e u r e d e G e n i e I n d u s t r i e l

I n s t i t u t N a t i o n a l P o l y t e c h n i q u e d e G r e n o b l e

W i l l i a m T . Z i e m b a

U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a

F a c u l t y o f C o m m e r c e a n d B u s i n e s s A d m i n i s t r a t i o n

J a n u a r y 3 0 1 9 9 7

A b s t r a c t

W e p r e s e n t a n \ a s s e t / l i a b i l i t y " m o d e l f o r a h y d r o p o w e r p r o d u c e r o p e r a t i n g i n a d e r e g u l a t e d

e l e c t r i c i t y m a r k e t . T h e f o c u s i n t h i s m o d e l i n g e o r t i s o n t h e c o o r d i n a t i o n o f p h y s i c a l g e n e r a t i o n

r e s o u r c e s i n t h e f o r m o f m u l t i p l e h y d r o p o w e r r e s e r v o i r s , w i t h \ p a p e r " r e s o u r c e s i n t h e f o r m o f

n a n c i a l i n s t r u m e n t s o n e l e c t r i c i t y . T h e s e p o r t f o l i o m a n a g e m e n t i n s t r u m e n t s a r e a v a i l a b l e i n

f u n c t i o n i n g f o r w a r d a n d f u t u r e s m a r k e t s .

W i t h o u t i m p l i c a t i n g h i m , w e w o u l d l i k e t o t h a n k A . G r u n d t , N o r s k H y d r o f o r c o m m e n t i n g o n a n e a r l y v e r s i o n

o f t h i s n o t e . T h e w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e N o r w e g i a n R e s e a r c h C o u n c i l a n d t h e N o r w e g i a n E l e c t r i c i t y F e d e r a t i o n

t h r o u g h t h e p r o j e c t \ T h e o r y o f P o r t f o l i o M a n a g e m e n t i n t h e E l e c t r i c i t y I n d u s t r y "

y

P e r m a n e n t a d d r e s s : N o r w e g i a n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , N { 7 0 3 4 T r o n d h e i m , e - m a i l : s e f @ i o t . n t n u . n o

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1 I n t r o d u c t i o n

W e p r e s e n t a p o r t f o l i o m o d e l f o r a h y d r o p o w e r p r o d u c e r o p e r a t i n g i n a c o m p e t i t i v e e l e c t r i c i t y m a r k e t .

B y p o r t f o l i o i s m e a n t o n e ' s o w n p r o d u c t i o n a n d a s e t o f p o w e r c o n t r a c t s f o r d e l i v e r y o r p u r c h a s e ,

i n c l u d i n g c o n t r a c t s o f n a n c i a l n a t u r e . T h e m o d e l i s g e n e r a l , b u t i s s p e c i a l i z e d t o t p r o d u c e r s i n

S c a n d i n a v i a . F o l l o w i n g d e r e g u l a t i o n , t h e p r o d u c e r s h a v e h a d t o c h a n g e t h e i r f o c u s f r o m r e l i a b l e a n d

c o s t - e c i e n t s u p p l y o f e l e c t r i c i t y t o m o r e p r o t o r i e n t e d a n d c o m p e t i t i v e o b j e c t i v e s . M a n y c o u n t r i e s

a r e i n t h e p r o c e s s o f d e r e g u l a t i n g t h e e l e c t r i c i t y i n d u s t r y , a t l e a s t a t t h e w h o l e s a l e l e v e l , a n d m a r k e t s

f o r e l e c t r i c i t y e x i s t s t o v a r i o u s e x t e n t s i n t h e U K , N o r w a y , S w e d e n , N e w Z e a l a n d , A u s t r a l i a , U S A

a n d s o m e L a t i n A m e r i c a n c o u n t r i e s .

W e a s s u m e t h e p r o d u c e r h a s a c c e s s t o f u n c t i o n i n g e l e c t r i c i t y f o r w a r d a n d f u t u r e s m a r k e t s , p r o -

v i d i n g i n s t r u m e n t s f o r p o r t f o l i o m a n a g e m e n t . T h e s e m a r k e t s e x i s t t o d a y i n s o m e c o u n t r i e s , b u t

a r e , s o f a r , n o t p e r f e c t . E v e n s o , o p p o r t u n i t i e s f o r d i v e r s i c a t i o n o f r i s k , u s i n g f u t u r e s m a r k e t s , h a s

m a d e c a p i t a l a s s e t p r i c i n g a n d p o r t f o l i o m a n a g e m e n t t e c h n i q u e s r e l e v a n t f o r p l a n n i n g i n t h e e l e c t r i c

p o w e r i n d u s t r y .

E m p l o y i n g n a n c i a l i n s t r u m e n t s h a s i m p o r t a n t o p e r a t i o n a l i m p l i c a t i o n s w i t h r e s p e c t t o p o w e r

s c h e d u l i n g 1 9 ] . A p r o d u c e r w h o c o n t r o l s g e n e r a t i o n f a c i l i t i e s a n d d e m a n d s i d e r e s o u r c e s n o w a l s o

c o n t r o l s t r a d i n g a n d n a n c i a l s e t t l e m e n t s s u c h a s f o r w a r d c o n t r a c t s a n d o t h e r t y p e s o f d e r i v a t i v e s .

T h e p h y s i c a l r e s o u r c e s w i l l h a v e t o b e c o o r d i n a t e d i n c o n c e r t w i t h t h e n a n c i a l r e s o u r c e s , i n o r d e r

t o m i t i g a t e r i s k a s s o c i a t e d w i t h u c t u a t i n g i n o w a n d p r i c e s .

W e m o d e l t h e i n t e g r a t e d p o r t f o l i o s e l e c t i o n a n d h y d r o p o w e r s c h e d u l i n g p r o b l e m a s a m u l t i s t a g e

s t o c h a s t i c p r o g r a m . A m a t h e m a t i c a l m o d e l r e a d y f o r i m p l e m e n t a t i o n i s n o t p r e s e n t e d , r a t h e r ,

a p r o b l e m f o r m u l a t i o n i s a t t e m p t e d w i t h i n c r e a s e d u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m a r e a a s o n e o f

t h e g o a l s . C a n d i d a t e s f o r s t o c h a s t i c v a r i a b l e s a r e e l e c t r i c i t y p r i c e s , r e t u r n o n i n s t r u m e n t s , i n o w

t o r e s e r v o i r s a n d l o a d . I n o w u n c e r t a i n t y a n d p r i c e u n c e r t a i n t y a r e o f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e f o r

e x p l a i n i n g v a r y i n g n a n c i a l p e r f o r m a n c e s f o r t h e p r o d u c e r s . T h e i n d u s t r y i s b a s e d o n a m i x o f

t h e r m a l p o w e r a n d h y d r o p o w e r , w i t h t h e h y d r o p o w e r d e p e n d e n c e m a k i n g s p o t p r i c e s c o r r e l a t e d

w i t h t h e a m o u n t o f i n o w t o r e s e r v o i r s . T h e l a s t f a c t i s d u e t o t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n l o c a l a n d

r e g i o n a l p r e c i p i t a t i o n : w a t e r s h o r t a g e o r a b u n d a n c e i s o f t e n n a t i o n a l , n o t j u s t l o c a l .

T h e m o d e l o n l y c o n s i d e r s u s e o f e x i s t i n g g e n e r a t i o n r e s o u r c e s a n d i s n o t i n t e n d e d f o r p h y s i c a l

i n v e s t m e n t p l a n n i n g .

T h e m o d e l i s e x p e c t e d t o h a v e a t m o s t v e t i m e p e r i o d s o r s t a g e s , b u t t h e s t a g e s d o n o t h a v e

t o b e o f e q u a l l e n g t h . ( T h e t e r m s s t a g e a n d t i m e p e r i o d a r e u s e d s y n o n y m o u s l y i n t h e p a p e r ) . F o r

e x a m p l e , t h e r s t s t a g e o f t h i s p r o b l e m c o u l d h a v e o n e w e e k , t h e s e c o n d s t a g e f o u r w e e k s , t h e t h i r d

s t a g e t h e r e s t o f t h e h y d r o l o g i c a l s e a s o n , a n d t h e n a f o u r t h s t a g e w i t h t i m e l e n g t h o n e y e a r . T h e

f t h s t a g e c o u l d h a v e a l e n g t h o f t w o y e a r s . I n s u c h a m o d e l , w e w o u l d h a v e t o n d a n o p t i m a l

p l a n f o r t h e s e c o n d s t a g e , d e p e n d e n t o n w h a t h a p p e n e d w i t h t h e p r i c e a n d i n o w i n t h e r s t s t a g e

o f t h e p l a n n i n g p e r i o d . T h a t i s , w e w o u l d h a v e t o m o d e l t h e d e c i s i o n s f o r t h e f o u r w e e k s a s i f n o

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i n f o r m a t i o n w a s r e v e a l e d d u r i n g t h a t t i m e .

T h e n u m b e r o f s c e n a r i o s , o r r e a l i z a t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s , m u s t a l s o b e r e s t r i c t e d i n

o r d e r t o a c h i e v e a c c e p t a b l e c o m p u t i n g t i m e s . T h e m o d e l c a n a c c o m m o d a t e m u l t i p l e i n t e r c o n n e c t e d

r e s e r v o i r s , a l t h o u g h t h e n u m b e r o f r e s e r v o i r s h a s t o b e r e s t r i c t e d t o o . I t e n c o m p a s s e s t h e d e c i s i o n s

r e g a r d i n g b u y i n g a n d s e l l i n g v a r i o u s c l a s s e s o f c o n t r a c t s , s u c h a s f u t u r e s , f o r w a r d s , o p t i o n s a n d l o a d

f a c t o r c o n t r a c t s . M e t h o d s f o r s o l v i n g t h e m o d e l a r e o n l y d i s c u s s e d b r i e y .

I t i s u s e f u l t o h a v e t h e m o d e l f u r t h e r d e v e l o p e d a n d i m p l e m e n t e d , b e c a u s e w e b e l i e v e i t c a n p r o -

v i d e t h e p r o d u c e r w i t h a s t a r t i n g p o i n t i n m a k i n g d e c i s i o n s r e g a r d i n g p o w e r s c h e d u l i n g , c o n t r a c t i n g

a n d c o o r d i n a t i o n b e t w e e n t h o s e a c t i v i t i e s . I t c a n p r o v i d e i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g t r a d e o

b e t w e e n r i s k a n d e x p e c t e d r e t u r n g i v e n t h e r e s o u r c e s a v a i l a b l e .

N o r w e g i a n e l e c t r i c i t y p r i c e s , a s a n e x a m p l e , h a v e s h o w n g r e a t e r v o l a t i l i t y t h a n i n m o s t c o m -

p a r a b l e m a r k e t s 1 ] . A s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g a p p r o a c h i s t h e r e f o r e a p p r o p r i a t e t o s u p p o r t t h e

m a n a g i n g o f b o t h t h e \ p o w e r p o r t f o l i o " a n d t h e n a n c i a l p o r t f o l i o o f h y d r o p o w e r p r o d u c e r s . O n

t h e o p e r a t i o n s s i d e o f h y d r o p o w e r p r o d u c t i o n , s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g m e t h o d s h a v e b e e n u s e d f o r

y e a r s 2 5 , 1 3 ] .

T h e t e r m \ a s s e t / l i a b i l i t y " m o d e l r e f e r s t o t h e f a c t t h a t w e w o u l d l i k e t o u s e c o n c e p t s f r o m t h i s

a r e a o f s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g a p p l i e d t o n a n c e . M o s t e l e c t r i c i t y p r o d u c e r s h a v e c o m m i t t e d t o

m e e t i n g d e m a n d t h r o u g h c o n t r a c t s w i t h t h e i r c u s t o m e r s . S u c h o b l i g a t i o n s a r e s i m i l a r t o n a n c i a l

l i a b i l i t i e s . T h e p o w e r p o r t f o l i o s h o u l d n o t b e a n a l y z e d w i t h o n l y o n e ' s o w n p r o d u c t i o n a n d a v a i l a b l e

p u r c h a s e c o n t r a c t s i n m i n d , b u t s a l e s c o m m i t m e n t s s h o u l d a l s o b e i n c l u d e d . A s a n e x a m p l e , h a v i n g

t o o l i t t l e p o w e r ( \ a s s e t s " ) a v a i l a b l e f o r t h e c o m i n g w i n t e r r e p r e s e n t s a r i s k o f d e m a n d ( \ l i a b i l i t i e s " )

s h o r t f a l l . T h i s i m p o r t a n t r i s k i s i n c l u d e d i n t h e m o d e l .

I t i s a s s u m e d t h a t s i t u a t i o n s m a y e x i s t , w h e r e i t i s v e r y e x p e n s i v e , o r e v e n i m p o s s i b l e , t o g e t

a d d i t i o n a l p o w e r f r o m t h e m a r k e t . S u c h s i t u a t i o n s m a y a r i s e , f o r e x a m p l e f o l l o w i n g d r y s e a s o n s .

U s i n g s e v e r a l t y p e s o f e l e c t r i c i t y c o n t r a c t s a n d o t h e r ( n a n c i a l ) i n s t r u m e n t s , t h e p r o d u c e r s m a x -

i m i z e e x p e c t e d p r o t s s u b j e c t t o a r i s k c o n s t r a i n t . F i r s t w e d i s c u s s s o m e a s p e c t s o f t h e e l e c t r i c i t y

m a r k e t s .

2 E l e c t r i c i t y m a r k e t s

W e a s s u m e t h a t t r a n s m i s s i o n a n d g e n e r a t i o n s e r v i c e s a r e u n b u n d l e d , i . e . t h a t t h e r e i s a g e n e r a l

t h i r d p a r t y a c c e s s , a n d d i s c u s s h e r e t h e g e n e r a t i o n s i d e o f t h e b u s i n e s s . T r a n s m i s s i o n c o s t s a r e

a s s u m e d c o n s t a n t , a n d a r e r e e c t e d i n t h e f a c t t h a t t h e p r i c e s f o r b u y i n g a n d s e l l i n g a r e n o t e q u a l .

I n N o r w a y , t h i s u n b u n d l i n g i s a c c o m p l i s h e d b y r e g u l a t i n g t h e t r a n s m i s s i o n s i d e a n d h a v i n g a \ f r e e "

m a r k e t o n t h e g e n e r a t i o n s i d e o f t h e i n d u s t r y . T h e r e i s a l e g a l r e q u i r e m e n t f o r p o w e r u t i l i t i e s t o h a v e

s e p a r a t e n a n c i a l r e p o r t i n g f o r t r a n s m i s s i o n a n d g e n e r a t i o n . T h i s i s w e a k e r t h a n r e q u i r i n g s p l i t t i n g

o f c o m p a n i e s , a l t h o u g h t h i s i s t h e i n t e n t i o n o f t h e l a w .

3


4/14

I n N o r w a y a n d S w e d e n t h e r e a r e t w o m a r k e t s f o r e l e c t r i c i t y c o n t r a c t s w i t h m o r e t h a n a w e e k

d u r a t i o n : t h e N o r d P o o l A S A f u t u r e s m a r k e t a n d a b i l a t e r a l m a r k e t f o r o v e r - t h e - c o u n t e r ( O T C )

c o n t r a c t s . T o d a y a b o u t 7 5 % o f t h e t o t a l t u r n o v e r i s i n t h e O T C m a r k e t . I n t h e O T C m a r k e t

t h e m o s t c o m m o n c o n t r a c t t y p e s a r e f o r w a r d c o n t r a c t s w i t h d i e r e n t ( x e d ) l o a d p r o l e s , f o r w a r d

c o n t r a c t s w i t h e x i b i l i t y i n t h e l o a d p r o l e ( l o a d f a c t o r c o n t r a c t s ) a n d o p t i o n s . A n i m p o r t a n t t y p e i s

t h e e x i b l e l o a d f a c t o r c o n t r a c t . A t y p i c a l l o a d f a c t o r c o n t r a c t h a s a o n e y e a r m a t u r i t y , 5 0 0 0 h o u r s

o f m a x i m u m l o a d , w i t h t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t t h a t a t l e a s t 1 / 3 o f t h e c o n t r a c t e n e r g y v o l u m e

m u s t b e u t i l i z e d i n t h e s u m m e r s e a s o n , a n d 2 / 3 i n t h e w i n t e r s e a s o n .

T h e ( N o r d P o o l ) f u t u r e s c o n t r a c t h a s x e d l o a d p r o l e s , d e p e n d i n g o n t h e t y p e o f f u t u r e . T h e r e

i s o n e p r o l e f o r n i g h t a n d w e e k e n d , o n e p r o l e f o r d a y t i m e , a n d o n e p r o l e f o r b a s e l o a d , w h i c h i s

m o s t p o p u l a r .

3 P o r t f o l i o m o d e l i n g

3 . 1 A s i m p l e h y d r o p o w e r s c h e d u l i n g m o d e l

P o w e r s c h e d u l i n g i s o f t e n m o d e l e d w i t h o n e a g g r e g a t e d e q u i v a l e n t r e s e r v o i r a n d h a v i n g t h e r e s e r v o i r

s t o c k a s t h e s t a t e v a r i a b l e , s t o c h a s t i c d y n a m i c p r o g r a m m i n g i s e m p l o y e d t o s o l v e t h e p r o b l e m

6 , 1 2 , 2 1 , 9 ] . A p p r o x i m a t e m e t h o d s f o r m u l t i r e s e r v o i r s y s t e m s c a n b e f o u n d i n f o r e x a m p l e 2 7 , 7 , 2 4 ] .

O p e r a t i o n s p l a n n i n g i n d e r e g u l a t e d m a r k e t s w i t h s i m p l i e d c o n t r a c t i n g i s d i s c u s s e d i n 2 9 , 2 3 ] .

W e w a n t t o a v o i d t h e a g g r e g a t i o n o f r e s e r v o i r s , b e c a u s e w e w a n t t o n d o u t m o r e a b o u t t h e

i n t e r p l a y o f r e s e r v o i r s a n d p o w e r c o n t r a c t s , a n d t h e v a l u e o f e x i b i l i t y o f h a v i n g d i e r e n t t y p e s a n d

d i e r e n t n u m b e r s o f r e s e r v o i r s .

A p r o d u c t i o n p l a n n i n g p r o b l e m i s f o r m u l a t e d . T h e r e a r e T t i m e p e r i o d s , o r s t a g e s , w i t h d a t e s

f r o m 0 t o T . T h e d e c i s i o n v a r i a b l e s a r e r e l e a s e , u , a n d s p i l l , f , w h i c h a r e v e c t o r s ; r e e c t i n g t h a t

t h e r e m i g h t b e s e v e r a l r e s e r v o i r s a n d s t a t i o n s . L e t u

t

b e t h e r e l e a s e i n s t a g e t ( t h e r s t s t a g e f o r

d e c i s i o n s i s s t a g e 0 ) .

A l l v a r i a b l e s i n t h e m o d e l a r e e i t h e r b a l a n c e o r o w v a r i a b l e s . T h e w a t e r r e s e r v o i r s t o r a g e l e v e l

v e c t o r x i s a b a l a n c e v a r i a b l e , a n d t h e r e l e a s e i s a o w v a r i a b l e . B a l a n c e v a r i a b l e s w i t h s u b s c r i p t t

r e p r e s e n t t h e i r l e v e l a t t h e b e g i n n i n g o f s t a g e t u n l e s s o t h e r w i s e i n d i c a t e d . F l o w v a r i a b l e s r e p r e s e n t

n e t o w s o c c u r r i n g b e t w e e n d a t e s . F l o w v a r i a b l e s s u b s c r i p t e d b y t r e p r e s e n t o w s o c c u r i n g a f t e r

t h e e n d o f s t a g e t ? 1 a n d b e f o r e t h e e n d o f s t a g e t , i . e . b e t w e e n d a t e s t a n d t + 1

T h e s t o c h a s t i c v a r i a b l e s a r e p r i c e a n d i n o w . T h e y m i g h t b e c o r r e l a t e d ; t h i s i s r e e c t e d i n t h e

s c e n a r i o s . T h i s r a n d o m n e s s i s r e p r e s e n t e d b y t h e r a n d o m v a r i a b l e

~

= (

~

a ; ~ )

T

, w h e r e ~ i s p r i c e a n d

~

a i s i n o w .

C o n s i d e r F i g u r e 1 . L e t

t

b e a v e c t o r d e s c r i b i n g w h a t h a p p e n s t o t h e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s i n

s t a g e t ( i . e . a r e a l i z a t i o n o f

~

t

) a n d d e n o t e s = (

s

1

; : : : ;

s

T

) a s c e n a r i o , i . e . a p o s s i b l e f u t u r e . A s s u m e

4


5/14

f

f

f

f

i i i i i i

x l v i i i

0

1

2

3

4

5

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

i i i

x l v i i i

f

f

P

P

P

P

P

P

P

L

L

S

S

f

f

f

f

B

B

S

SS

T

T

T

T

B

B

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

F i g u r e 1 : E x a m p l e e v e n t t r e e , t i m e s c a l e a n d s p l i t e v e n t t r e e w h e n T = 5

t h a t

t

i s n o t k n o w n u n t i l t h e e n d o f s t a g e t . T h e r e i s a s e t , o r t r e e , o f s c e n a r i o s S d e s c r i b i n g t h e

p o s s i b l e f u t u r e s . T h e p l a n n i n g s i t u a t i o n c a n b e d e s c r i b e d b y s t a t e v a r i a b l e s x

t

a n d d e c i s i o n v a r i a b l e s

u

t

a n d f

t

. L e t G ( x

s

t

; x

s

t + 1

; u

s

t

; f

s

t

) b e e l e c t r i c i t y p r o d u c t i o n a s a f u n c t i o n o f i n i t i a l r e s e r v o i r l e v e l ,

e n d r e s e r v o i r l e v e l a n d o u t o w i n s t a g e t a n d s c e n a r i o s , a n d

t

t h e e l e c t r i c i t y p r i c e . T h e r e v e n u e

i n s t a g e t i s

t

s

s

E L L ; t

, w h e r e s a l e o f p o w e r , s

s

E L L ; t

, i s c o n n e c t e d t o g e n e r a t i o n b y :

G ( x

s

t

; x

s

t + 1

; u

s

t

; f

s

t

) ? s

s

E L L ; t

= 0 ; ( 1 )

f o r t = 0 ; : : : ; T ? 1 a n d a l l s 2 S . A s s u m e n o c o s t o f p r o d u c t i o n , a n d i n i t i a l l y t h a t a l l p o w e r

g e n e r a t e d i s s o l d . T h i s w i l l b e m o d i e d l a t e r .

F o r e a c h s t a g e t , l e t f s g

t

b e t h e s e t o f a l l s c e n a r i o s h a v i n g

s

1

; : : : ;

s

t ? 1

i n c o m m o n w i t h s c e n a r i o s

T h e s e t f s g

T

c o n t a i n s o n l y o n e s c e n a r i o , s . T h e s e t o f s c e n a r i o s f s g

0

S , a n d e a c h s c e n a r i o s h a s a

p r o b a b i l i t y p

s

. L e t V ( x

s

T

) b e t h e v a l u e o f t h e r e s e r v o i r s a t t h e e n d o f t h e h o r i z o n a s a f u n c t i o n o f t h e

r e s e r v o i r l e v e l . T h i s f u n c t i o n h a s t o b e s p e c i e d i n o r d e r t o a v o i d d i s t o r t i o n s i n t h e r e c o m m e n d e d

d e c i s o n s f r o m t h e m o d e l . T h e s e d i s t o r t i o n s , c a l l e d e n d e e c t s , a r e d u e t o t h e f a c t t h a t t h e m o d e l

h a s a n i t e h o r i z o n , w h e r e a s t h e r e a l o p e r a t i o n u n d e r s t u d y h a s a n i n d e n i t e h o r i z o n . F o r e x a m p l e ,

i f t h e f u n c t i o n V ( x

s

T

) i s t o o l o w , s a y V ( x

s

T

) 0 , t h e n t h e e n d e e c t w o u l d b e t h a t t o o m u c h w a t e r

i s s o l d i n t h e l a s t s t a g e . S e e 1 0 ] f o r a d i s c u s s i o n o f a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o m i t i g a t i n g e n d e e c t s

i n e n e r g y p l a n n i n g m o d e l s . I f a l o n g t e r m p l a n n i n g m o d e l i s a v a i l a b l e , V m a y b e e x t r a c t e d f r o m

t h i s , e . g . i n t h e f o r m o f i n c r e m e n t a l v a l u e o f s t o r e d w a t e r i n r e s e r v o i r s .

I n F i g u r e 1 t h e s c e n a r i o s a r e d e p i c t e d a s a n e v e n t t r e e o n t h e l e f t h a n d s i d e , t h e r e i s a t i m e s c a l e

i n t h e m i d d l e , a n d a \ s p l i t t r e e " s h o w i n g t h e i n d i v i d u a l s c e n a r i o s o n t h e r i g h t . I n t h e e v e n t t r e e , t h e

a r c s r e p r e s e n t r e a l i z a t i o n s o f r a n d o m v a r i a b l e s , a n d t h e s c e n a r i o s a r e p a t h s i n t h e t r e e . T h e r e a r e

4 8 s c e n a r i o s s h o w n , n u m b e r e d f r o m i t o x l v i i i . E a c h d e c i s i o n p o i n t i s r e p r e s e n t e d b y a n o d e , a n d

5


6/14

i n e a c h n o d e t h e r e c a n b e o n l y o n e d e c i s i o n . H o w e v e r , i n t h e f o r m u l a t i o n t h e r e i s m o r e t h a n o n e

d e c i s i o n v a r i a b l e f o r e a c h n o d e . I n t h e \ s p l i t t r e e " o n t h e r i g h t h a n d s i d e e a c h s m a l l c i r c l e r e p r e s e n t

a d e c i s i o n v a r i a b l e a p p e a r i n g i n t h e m o d e l f o r m u l a t i o n , o n e f o r e a c h s t a g e a n d s c e n a r i o . G r o u p s o f

d e c i s i o n v a r i a b l e s t h a t c o r r e s p o n d t o t h e s a m e s c e n a r i o a r e c o n n e c t e d v e r t i c a l l y . G r o u p s o f d e c i s i o n

v a r i a b l e s t h a t m u s t b e e q u a l h a v e o v a l b o x e s a r o u n d t h e m . T h e r e i s o n e o v a l b o x f o r t h e d e c i s i o n

v a r i a b l e s o f t h e r s t s t a g e , a s t h e r e c a n o n l y b e m a d e o n e d e c i s i o n t o d a y .

T h e p r o b l e m i s

m a x

X

s 2 S

p

s

(

T ? 1

X

t = 0

t

s

t

s

s

E L L ; t

+

T

V ( x

s

T

)

)

( 2 )

s u b j e c t t o ( 1 ) a n d

x

s

t + 1

= x

s

t

+ a

s

t

+ M ( u

s

t

+ f

s

t

) ; ( 3 )

u

s

t

u

s

t

u

s

t

; ( 4 )

x

s

t

x

s

t

x

s

t

; ( 5 )

u

s

t

= u

s

t

; 8 s

0

2 f s g

t

( 6 )

f

s

t

= f

s

t

; 8 s

0

2 f s g

t

( 7 )

f

s

t

0 ( 8 )

f o r t = 0 ; : : : ; T ? 1 , a l l s 2 S a n d w i t h x

s

0

= x

0

g i v e n .

H e r e 2 ( 0 ; 1 ) i s a d i s c o u n t f a c t o r , ( 3 ) i s t h e r e s e r v o i r b a l a n c e , a n d ( 4 ) a n d ( 5 ) i m p o s e s u p p e r

a n d l o w e r l i m i t s o n r e l e a s e a n d r e s e r v o i r . I n ( 3 ) , M i s t h e i n c i d e n c e m a t r i x o f h y d r o p l a n t s , r e e c t i n g

h y d r o l o g i c a l c o u p l i n g . T h e l o w e r l i m i t o n r e l e a s e i s b e t t e r e x p r e s s e d a s t h e m i n i m u m s t r e a m o w

c o n s t r a i n t

u

s

t

+ f

s

t

u

s

t

( 9 )

f o r t = 0 ; : : : ; T ? 1 a n d a l l s 2 S . W h e n t h e r e i s a c o n i c t b e t w e e n r e s e r v o i r c o n s t r a i n t s a n d

s t r e a m o w c o n s t r a i n t s , t h e s t r e a m o w c o n s t r a i n t s g e t s p r i o r i t y . P o w e r g e n e r a t i o n G ( x

s

t

; x

s

t + 1

; u

s

t

; f

s

t

)

i s g e n e r a l l y n o n l i n e a r , a n d c o u l d e a s i l y b e n o n - c o n v e x 2 6 ] .

E q u a t i o n s ( 6 ) a n d ( 7 ) e n s u r e t h a t s c e n a r i o v a r i a b l e s u

s

t

a n d f

s

t

h a v e t o b e e q u a l a c c o r d i n g t o

F i g u r e 1 , a c t u a l l y a r e f o r c e d e q u a l . T h e s e c o n s t r a i n t s e n s u r e t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r d o e s n o t a c t

a s i f h e k n e w t h e f u t u r e , i . e . t h e d e c i s i o n v a r i a b l e s m u s t b e e q u a l t o e a c h o t h e r w h e n e v e r t h e y h a v e

a c o m m o n h i s t o r i c a l p a s t u p t o s t a g e t . I f t h e p r o d u c e r t h i n k s t h a t i t i s m o r e r e a l i s t i c t h a t t h e

s c h e d u l i n g d e c i s i o n s a r e m a d e c o n d i t i o n a l o n t h e v e c t o r

t

, t h e n E q u a t i o n ( 6 ) w o u l d b e c h a n g e d t o

u

s

t

= u

s

t

; 8 s

0

2 f s g

t + 1

( 1 0 )

a n d E q u a t i o n ( 7 ) w o u l d b e c h a n g e d t h e s a m e w a y .

6


7/14

3 . 2 E x t e n d i n g t h e m o d e l t o i n c l u d e e l e c t r i c i t y c o n t r a c t s

T w o a s s e t c l a s s e s a r e i n t r o d u c e d i n t o t h e m o d e l , n a m e l y e l e c t r i c i t y c o n t r a c t s w i t h a n d w i t h o u t

e x i b i l i t y i n t h e r e l e a s e p r o l e . F o r t h e f u t u r e c o n t r a c t t y p e t h e r e a r e f e w s p e c i a l d i c u l t i e s . O f

c o u r s e , w e m u s t m a k e s u r e t h a t t h e r e t u r n o f t h e s e c o n t r a c t s a r e s t a t i s t i c a l l y c o n s i s t e n t w i t h t h e

p r i c e m o v e m e n t s . T h e r e a r e s e v e r a l t y p e s o f f u t u r e s c o n t r a c t s , d e p e n d i n g o n w h i c h p e r i o d t h e y a r e

f o r , a n d w h i c h l o a d p r o l e t h e y h a v e .

W e u s e t h e a s s e t a n d l i a b i l i t y f r a m e w o r k f r o m 1 8 ] . C o n t r a c t i n v e s t m e n t c a t e g o r i e s a r e d e n e d

u s i n g t h e s e t i = 1 ; : : : ; I . L e t q

s

i t

b e t h e i n v e s t m e n t i n c o n t r a c t c a t e g o r y i a t t h e b e g i n n i n g o f s t a g e t

u n d e r s c e n a r i o s , a n d n e g a t i v e q

s

i t

r e p r e s e n t s h o r t p o s i t i o n s . T h e s i n g l e - s t a g e r e t u r n s a r e r

s

i t

f o r t h e

c o n t r a c t c a t e g o r i e s | f o r c o n t r a c t i , t i m e t , a n d s c e n a r i o s , w h i c h n o w i n c l u d e s d e s c r i p t i o n s o f t h e

u n c e r t a i n r e t u r n s . T h e s e r e t u r n s a r e c o r r e l a t e d w i t h i n o w a n d s p o t p r i c e . T h e \ c o n t r a c t w e a l t h "

a c c u m u l a t e d a t t h e e n d o f t h e t t h s t a g e b e f o r e r e b a l a n c i n g i n c o n t r a c t I i s

q

s

i t

( 1 + r

s

i t

) = v

s

i t

; ( 1 1 )

f o r i = 1 ; : : : ; I , t = 0 ; : : : ; T ? 1 a n d a l l s 2 S , a n d w i t h q

s

i 0

= q

i 0

g i v e n .

R e b a l a n c i n g d e c i s i o n s a r e m a d e n e a r t h e e n d o f e a c h s t a g e , a f t e r t h e r e a l i z a t i o n s o f t h e r a n d o m

v a r i a b l e s f o r t h e s t a g e a r e k n o w n . P u r c h a s e s a n d s a l e s o f c o n t r a c t s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e v a r i a b l e s

y

s

i t

a n d z

s

i t

w i t h t r a n s a c t i o n c o s t s d e n e d v i a t h e c o e c i e n t s

y

i

a n d

z

i

. T h e o w b a l a n c e c o n s t r a i n t

f o r e a c h a s s e t c a t e g o r y a n d t i m e p e r i o d i s

q

s

i t

= v

s

i t ? 1

+ y

s

i t ? 1

( 1 ?

y

i

) ? z

s

i t ? 1

( 1 +

z

i

) ; ( 1 2 )

f o r i = 1 ; : : : ; I , t = 1 ; : : : ; T a n d a l l s 2 S

O t h e r a s s e t s i n t h e m o d e l c a n b e m o d e l e d a s c o n t r a c t t y p e s . T h e i r r e t u r n s t r u c t u r e w i l l b e

d i e r e n t , b u t t h i s c a n , a t l e a s t i n p r i n c i p l e , b e m a n a g e d i n t h e d e s c r i p t i o n o f t h e s c e n a r i o s .

T h e i n t r o d u c t i o n o f p o w e r c o n t r a c t s m e a n s t h a t w e n e e d t o c o n s i d e r t h e p o w e r b a l a n c e o f t h e

p r o d u c e r . L e t I

t

b e t h e s e t o f c o n t r a c t s w i t h d e l i v e r y i n p e r i o d t . T h e n e t o w o f p o w e r m u s t b e

z e r o , s o E q u a t i o n ( 1 ) b e c o m e s :

G ( x

s

t

; x

s

t + 1

; u

s

t

; f

s

t

) + b

s

U Y ; t

? s

s

E L L ; t

+ c

s

U R T ; t

= ?

X

i 2 I

t

q

s

i t

p

s

q t

f

s

R A C R E L ; i ; t

; ( 1 3 )

f o r t = 0 ; : : : ; T ? 1 a n d a l l s 2 S

T h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 3 ) i s n e t c o n t r a c t u a l d e m a n d . I f t h e p r o d u c e r h a s a n y x e d c o m m i t m e n t s

f o r p o w e r d e l i v e r y i t s h o u l d b e a d d e d h e r e . T h e c o n t r a c t i n v e s t m e n t s a r e c o n v e r t e d t o e n e r g y u n i t s

b y d i v i d i n g b y t h e c u r r e n t p r i c e o f t h e c o n t r a c t c a t e g o r y , p

s

q t

. T h e t o t a l c o n t r a c t v o l u m e i s c o n v e r t e d

t o t h e v o l u m e f o r d e l i v e r y i n t h e p e r i o d t b y m u l t i p l y i n g t h e t o t a l v o l u m e b y t h e f r a c t i o n f

s

R A C R E L ; i ; t

,

w h i c h i s a d e c i s i o n v a r i a b l e f o r e x i b l e c o n t r a c t s , a n d a c o n s t a n t f o r x e d p r o l e c o n t r a c t s . A s a n

7


8/14

e x a m p l e , i f s t a g e t i s o n e w e e k , a n d c o n t r a c t i i s a x e d p r o l e t y p e f o r o n e y e a r , t h e n f

s

R A C R E L ; i ; t

=

1

5 2

f o r a l l s . T h e n e t d e m a n d i s m e t b y g e n e r a t i n g e l e c t r i c i t y , c u r t a i l i n g p o w e r ( c

s

U R T ; t

) a n d b u y i n g ( b

s

U Y ; t

)

a n d s e l l i n g i n t h e s p o t m a r k e t . T h e s e m a r k e t a c t i v i t i e s l e a d t o a n e w p r o t / r e v e n u e f u n c t i o n

s

t

s

t

s

s

E L L ; t

?

s

t

b

s

U Y ; t

? c

s

U R T ; t

+

I

X

i = 1

( z

s

i t

? y

s

i t

) ( 1 4 )

C u r t a i l i n g p o w e r i s n e c e s s a r y w h e n t h e r e i s e x t r e m e p o w e r s h o r t a g e . T h i s h a p p e n s w h e n t h e

c o s t o f b u y i n g p o w e r ,

s

t

, i s g r e a t e r t h a n t h e p a r a m e t e r , t h e c u r t a i l m e n t c o s t . T h i s p a r a m e t e r

i s s e t b y m a n a g e m e n t ( o r a u t h o r i t i e s ) a n d t h e e x p e c t e d t o t a l c u r t a i l m e n t c o s t c a n b e s e e n a s a n

o p e r a t i o n a l m e a s u r e o f r i s k . T h e r e i s a d i e r e n c e b e t w e e n t h e b u y i n g p r i c e a n d t h e s e l l i n g p r i c e ,

r e e c t i n g t r a n s m i s s i o n t a r i s .

U n f o r t u n a t e l y , w e n o w h a v e n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s . T h i s s e e m s u n a v o i d a b l e f o r t h i s s p e c i a l t y p e o f

c o n t r a c t s . H o w e v e r , i f t h e r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t c o n t r a c t s t h a t h a v e r e a c h e d d e l i v e r y

p e r i o d a r e n o t l o n g e r t r a d e d , t h e n o n l i n e a r i t y i s a v o i d e d . I f t h e s t a r t o f t h e d e l i v e r y p e r i o d i s f o r

c o n t r a c t s i n c a t e g o r y i , t h e n q

s

i t

a n d

q

s

t

p

s

q t

a r e c o n s t a n t f o r t . B e c a u s e f

s

R A C R E L ; i ; t

d o e s n o t e x i s t

f o r t < , t h e t w o v a r i a b l e s w i l l n o t a p p e a r a s v a r i a b l e s t o g e t h e r i n E q u a t i o n ( 1 3 ) .

C o m p a n y p o l i c y m a y r e s t r i c t i n v e s t m e n t i n c o n t r a c t c a t e g o r i e s . L i m i t s o n s h o r t s a l e , l i q u i d i t y

c o n s i d e r a t i o n s a n d r i s k p o l i c i e s c a n o f t e n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f l i n e a r c o n s t r a i n t s

A q

s

= b ( 1 5 )

M a n y o f t h e c o n t r a c t s a r e n a n c i a l i n n a t u r e , w h i c h e n t i t l e o r o b l i g a t e s t h e h o l d e r ( t h e p o w e r

p u r c h a s e r ) t o r e c e i v e o r p a y t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e s p o t p r i c e a n d t h e s t r i k e p r i c e , w h i c h i s t h e

a g r e e d c o n t r a c t p r i c e . T h e b o u n d a r y b e t w e e n p h y s i c a l d e l i v e r i e s a n d n a n c i a l s e t t l e m e n t s b e c o m e s

b l u r r e d . I n E q u a t i o n ( 1 3 ) , t h e v a r i a b l e s f o r s e l l i n g a n d b u y i n g a r e n o t n e c e s s a r i l y e q u a l t o t h e

p h y s i c a l e x c h a n g e o f p o w e r o n t h e p o w e r p o o l s p o t m a r k e t . F o r e x a m p l e , i f a p r o d u c e r h a s h e d g e d

a g a i n s t a p r i c e d e c r e a s e b y s h o r t s e l l i n g ( n a n c i a l ) f o r w a r d s o r f u t u r e s , t h e p r o d u c e r m a y e n d u p

h a v i n g t o p h y s i c a l l y s e l l p o w e r c h e a p l y , b u t i s c o m p e n s a t e d t h r o u g h t h e h e d g e c o n t r a c t s . T h u s i n

t e r m s o f r i s k a n d e x p e c t e d r e t u r n , t h e p r o d u c e r m a y h a v e e n d e d u p n a n c i a l l y b u y i n g p o w e r i n a

f a v o r a b l e p r i c e s i t u a t i o n .

W e a l s o n e e d t o e n s u r e t h a t p o r t f o l i o d e c i s i o n s c a n b e i m p l e m e n t e d , i . e . t h a t t h e r e i s o n l y o n e

d e c i s i o n f o r e a c h n o d e i n t h e e v e n t t r e e . T h i s c a n b e d o n e a s i n t h e p r o d u c t i o n s c h e d u l i n g p a r t ,

i . e . r e q u i r i n g t h a t d e c i s i o n s a r e e q u a l f o r s c e n a r i o s h a v i n g a c o m m o n h i s t o r y u p t o t h e t i m e o f t h e

d e c i s i o n :

y

s

i t

= y

s

i t

; 8 s

0

2 f s g

t + 1

( 1 6 )

z

s

i t

= z

s

i t

; 8 s

0

2 f s g

t + 1

( 1 7 )

8


9/14

f

R A C R E L ; i ; t

s

= f

R A C R E L ; i ; t

s

; 8 s

0

2 f s g

t

( 1 8 )

f o r i = 1 ; : : : ; I , t = 0 ; : : : ; T ? 1 a n d a l l s 2 S

A c r i t i c a l i s s u e i n a p o r t f o l i o m o d e l i n g e o r t i s t o d e t e r m i n e t h e c h o i c e o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n

a n d a n u n d e r l y i n g p r e f e r e n c e s t r u c t u r e . T h e r s t p r o p o s e d o b j e c t i v e i s t o m a x i m i z e t h e r m ' s w e a l t h

a t t h e e n d o f p e r i o d T | o r t h e p r e s e n t v a l u e o f a l l c a s h o w s . T h i s c o r r e s p o n d s t o a r i s k - n e u t r a l

a p p r o a c h w i t h t h e l i n e a r o b j e c t i v e f u n c t i o n :

m a x

X

s 2 S

p

s

8


10/14

T h e s c e n a r i o i n d e x s i s o m i t t e d o n t h e b - v a r i a b l e f o r s i m p l i c i t y . T h e r e l e a s e i n p e r i o d t i s v a l u e d i n

t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a t t h e c u r r e n t s p o t p r i c e . T h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t s e n s u r e t h a t t h e r e l e a s e i s

a c c o r d i n g t o t h e c o n t r a c t t e r m s :

X

U W

b

t

B

M A X

( 2 1 )

b

t

B

t

( 2 2 )

X

U

b

t

B

M A X

F

R A C S

( 2 3 )

X

W

b

t

B

M A X

F

R A C W

( 2 4 )

w h e r e F

R A C S

a n d F

R A C W

i s t h e m a x i m u m f r a c t i o n o f t h e v o l u m e t o b e r e l e a s e d i n s u m m e r a n d

w i n t e r r e s p e c t i v e l y , a n d F

R A C S

+ F

R A C W

= 1

W i t h s h o r t s a l e o f l o a d f a c t o r c o n t r a c t s , w e m u s t m a k e a s s u m p t i o n s a b o u t h o w t h e h o l d e r s o f

c o n t r a c t s t h a t w e h a v e s o l d w i l l b e h a v e r e g a r d i n g r e l e a s e f r o m t h e c o n t r a c t o v e r t i m e . O n e s u c h

a s s u m p t i o n c o u l d b e t o a s s u m e t h a t t h e s e h o l d e r s w i l l i n a g g r e g a t e b e h a v e a s i f t h e y w e r e r i s k

n e u t r a l . F u r t h e r m o d e l i n g i s l e f t f o r f u t u r e w o r k .

O p t i o n c o n t r a c t s a r e s i m p l y m o d e l e d a s a n o t h e r s e t o f c o n t r a c t c a t e g o r i e s . I n s o m e s c e n a r i o s t h e

o p t i o n i s w o r t h l e s s a t m a t u r i t y . I n o t h e r s c e n a r i o s t h e o p t i o n h a s v a l u e , i n w h i c h c a s e i t i s a s s u m e d

s o l d t h e m o m e n t b e f o r e i t e x p i r e s .

4 F u r t h e r D e v e l o p m e n t

A s i n a n y m o d e l , m a n y a s p e c t s o f t h e r e a l s y s t e m u n d e r s t u d y h a v e b e e n o m i t t e d i n o r d e r t o f o c u s

o n p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g a s p e c t s . W e w a n t e d t o h i g h l i g h t t h e c o o r d i n a t i o n o f p h y s i c a l g e n e r a t i o n

r e s o u r c e s a n d n a n c i a l i n s t r u m e n t s s u c h a s f o r w a r d s , i . e . p o r t f o l i o m a n a g e m e n t . S e v e r a l i s s u e s m u s t

s t i l l b e e x a m i n e d b e f o r e t h e m o d e l c a n b e f u l l y s p e c i e d a n d t h e n i m p l e m e n t e d a n d s o l v e d . F o r

e x a m p l e , s o m e p r o d u c e r s m a y c o n t r o l l a r g e p a r t s o f t h e t o t a l p o w e r s u p p l y , o r t h e r e c a n a l s o e x i s t

d o m i n a t i n g b u y e r s . D o m i n a t i n g p r o d u c e r s , a s i n t h e U K a n d S c a n d i n a v i a , m a y b e a b l e t o d i s t o r t

s p o t p r i c e s a n d t h e r e b y i n h i b i t t h e e c i e n t o p e r a t i o n o f f u t u r e s m a r k e t s . T h e i s s u e i s d e s c r i b e d

i n 1 ] . H o w t h i s a e c t s e l e c t r i c i t y p o r t f o l i o m a n a g e m e n t n e e d s t o b e s o r t e d o u t , s e e t h e r e c e n t s t u d y

u s i n g g a m e t h e o r y 2 3 ] .

T h e g e n e r a t i o n o f s c e n a r i o s t a k e s a l o t o f e o r t i n l a r g e - s c a l e s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g m o d e l s .

I n N o r w a y t h e r e i s m o r e t h a n 5 0 y e a r s o f o b s e r v e d d a t a o n i n o w , a n d a s p o t m a r k e t h a s b e e n

i n o p e r a t i o n f o r m o r e t h a n 2 0 y e a r s . H o w e v e r , t h e r e w a s r e s t r i c t e d a c c e s s t o t h i s m a r k e t b e f o r e

1 0


11/14

t h e d e r e g u l a t i o n e e c t i v e f r o m J a n u a r y 1 , 1 9 9 1 . F o r e c a s t i n g s p o t p r i c e s a n d i n o w i s n o t a n e w

a c t i v i t y , b u t f o r e c a s t i n g t h e r e t u r n o n f o r w a r d s a n d f u t u r e s i s m o r e r e c e n t . O b s e r v e d m a r k e t p r i c e s

f o r f u t u r e s o n e l e c t r i c i t y a r e a v a i l a b l e o n l y f r o m t h e l a s t f e w y e a r s . T h e S c a n d i n a v i a n f u t u r e s m a r k e t

h a v e u n f o r t u n a t e l y h a d p e r i o d s o f v e r y l i m i t e d l i q u i d i t y , w h i c h n o t o n l y m a k e s t h e h i s t o r i c a l d a t a

l e s s a p p r o p r i a t e f o r f o r e c a s t i n g p u r p o s e s , b u t a l s o c r e a t e s a n e e d i n p o r t f o l i o m a n a g e m e n t t o l i m i t

t h e s i z e s o f p u r c h a s e s a n d s a l e s o f t h e s e c o n t r a c t t y p e s .

S h o r t p o s i t i o n s i n l o a d f a c t o r c o n t r a c t s a n d o p t i o n s g i v e s r i s e t o a s p e c i a l k i n d o f u n c e r t a i n t y ,

n a m e l y h o w t h e b u y e r s o f t h e c o n t r a c t s w i l l b e h a v e r e g a r d i n g t i m i n g o f r e l e a s e o f e l e c t r i c i t y f r o m t h e

c o n t r a c t s . S e v e r a l a p p r o a c h e s t o m o d e l h o w s u c h p o s i t i o n s a e c t s t h e p o w e r b a l a n c e a r e p o s s i b l e .

5 S o l u t i o n i s s u e s

T h e p r o b l e m h a s a c o n s i d e r a b l e ( g e n e r a l i z e d ) n e t w o r k s t r u c t u r e , b u t t h e r e a r e s o m e n o n - n e t w o r k

c o n s t r a i n t s f r o m t h e l o a d f a c t o r c o n t r a c t c o n s t r a i n t s , a n d m o r e a r e l i k e l y t o f o l l o w . H e n c e i t d o e s

n o t s e e m l i k e l y t h a t t h e n e t w o r k s t r u c t u r e i s g o i n g t o b e u s e d . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t h a t s o m e

d e c o m p o s i t i o n s c h e m e w i l l p r o d u c e n o n - l i n e a r g e n e r a l i z e d n e t w o r k s u b - p r o b l e m s . F o r a d i s c u s s i o n

o f s u c h p r o b l e m s , s e e f o r e x a m p l e 1 7 , 1 6 ] .

T h e m o d e l i s e x p e c t e d t o h a v e v e o r l e s s t i m e p e r i o d s o r s t a g e s . E x p e r i e n c e s f r o m i n d u s t r y

a p p l i c a t i o n s o f a s s e t / l i a b i l i t y m o d e l s b y s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g i n d i c a t e t h i s 3 , 4 , 5 ] . T h e n u m b e r

o f s c e n a r i o s , o r r e a l i z a t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s , m u s t a l s o b e r e s t r i c t e d i n o r d e r t o a c h i e v e a c -

c e p t a b l e c o m p u t i n g t i m e s . T h e s e m o d e l i n g c o n s t r a i n t s m a y c a u s e d i s t u r b a n c e s i n t h e r e c o m m e n d e d

d e c i s i o n s , b u t i t f o c u s e s o n t h e d e c i s i o n s t o d a y , a n d i s l i k e l y t o g i v e g o o d r e c o m m e n d e d d e c i s i o n s

f o r t h e r s t s t a g e .

W e e x p e c t t h a t a m o n g a l g o r i t h m s t h a t c a n b e u s e d t o s o l v e t h e m o d e l , B e n d e r s ' d e c o m p o -

s i t i o n 2 ] , a l s o r e f e r r e d t o a s t h e L - s h a p e d d e c o m p o s i t i o n m e t h o d 2 8 ] , s t o c h a s t i c d u a l d y n a m i c

p r o g r a m m i n g ( S D D P ) , o r a c o m b i n a t i o n o f d i e r e n t d e c o m p o s i t i o n s c h e m e s , w i l l b e b e s t s u i t e d .

S D D P w a s d e v e l o p e d i n t h e c o n t e x t o f m u l t i r e s e r v o i r h y d r o e l e c t r i c p o w e r s c h e d u l i n g b y 2 0 ] .

L a r g e - s c a l e l i n e a r p r o g r a m s c a n a l s o b e s o l v e d b y c o m m e r c i a l o p t i m i z a t i o n p a c k a g e s l i k e C P L E X

a n d I B M ' s O S L . T h e r e c e n t a d v a n c e s i n i n t e r i o r p o i n t m e t h o d s 1 4 ] a n d t h e s i m p l e x m e t h o d a c t u a l l y

m a k e s t h i s a p p r o a c h a n a l t e r n a t i v e t o d e c o m p o s i t i o n .

T h e f o r m u l a t i o n f o r h y d r o p o w e r s c h e d u l i n g i s i n a s p l i t - v a r i a b l e f o r m r e a d y t o b e s o l v e d b y

S c e n a r i o A g g r e g a t i o n 3 0 , 2 2 ] . T h e s t o c h a s t i c i t y i n t h e p r o b l e m m u s t b e d e s c r i b e d b y a t r e e , a n d

s t r o n g c o r r e l a t i o n i s w e l c o m e , b e c a u s e t h i s m e a n s t h a t t h e t r e e i s s m a l l e r . T h e s t a t e s p a c e i s h a r d l y

a c o n c e r n , m e a n i n g f o r e x a m p l e t h a t r e s e r v o i r a g g r e g a t i o n i s n o t n e c e s s a r y . M a n y o f t h e c o n s t r a i n t s

o f t h e t y p e i n E q u a t i o n s ( 6 ) , ( 7 ) a n d ( 1 6 ) { ( 1 8 ) a r e r e d u n d a n t a n d c a n b e r e m o v e d . F o r a s o l u t i o n

p r o c e d u r e s e e f o r e x a m p l e 1 5 ] o r 1 1 ] , w h e r e a n a u g m e n t e d L a g r a n g i a n p r o c e d u r e i s r e c o m m e n d e d

w i t h ( 6 ) a n d ( 7 ) r e m o v e d a s c o n s t r a i n t s a n d p u t i n t o t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n . T h e s e s o l u t i o n m e t h o d s

1 1


12/14

m a y a l s o p r o v e c o m p e t i t i v e .

S c e n a r i o a g g r e g a t i o n m o d e l s h a v e t o t h e a u t h o r s ' k n o w l e d g e n o t b e e n t e s t e d f o r u s e i n p r a c t i c e

f o r t h e S c a n d i n a v i a n e l e c t r i c i t y i n d u s t r y ( s e e 8 ] a n d 2 6 ] f o r d i s c u s s i o n s o f t h i s s u b j e c t ) .

6 C o n c l u s i o n

T h e p r e s e n c e o f m a r k e t s f o r e l e c t r i c i t y m a k e s i t n e c e s s a r y f o r p o w e r p r o d u c e r s t o c o o r d i n a t e p h y s i c a l

g e n e r a t i o n r e s o u r c e s w i t h t h e t r a d i n g a n d n a n c i a l s e t t l e m e n t s o f \ p a p e r " r e s o u r c e s s u c h a s f o r w a r d

c o n t r a c t s o r o t h e r t y p e s o f d e r i v a t i v e s t h a t c a n r e p l a c e p h y s i c a l d e l i v e r i e s a n d m i t i g a t e t h e r i s k

a s s o c i a t e d w i t h u c t u a t i n g p r i c e s o n e l e c t r i c i t y .

T h i s n o t e r e p r e s e n t s a r s t s t e p t o w a r d s t h e c r e a t i o n o f a m o d e l f o r p o r t f o l i o m a n a g e m e n t i n a

d e r e g u l a t e d h y d r o p o w e r b a s e d e l e c t r i c i t y m a r k e t . A g e n e r a l f r a m e w o r k h a s b e e n s e t u p , a n d m a j o r

i s s u e s d i s c u s s e d . M a n y a s p e c t s r e m a i n s t o b e d e v e l o p e d . F o r e x a m p l e , f o r t h e S c a n d i n a v i a n a n d U K

m a r k e t s , s o m e p r o d u c e r s a r e s o l a r g e t h a t a n a s s u m p t i o n o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n i n p r o d u c t i o n i s n o t

r e a l i s t i c . F u r t h e r m o r e , t h e p r e s e n t f o r w a r d a n d f u t u r e m a r k e t s a r e v e r y t h i n , p o s s i b l y n o t a l l o w i n g

t h e t r a d e s u g g e s t e d b y t h e m o d e l . A n o t h e r u n r e s o l v e d q u e s t i o n i s a n a p p r o p r i a t e m o d e l i n g o f t h e

s h o r t p o s i t i o n i n l o a d f a c t o r c o n t r a c t s .

R e f e r e n c e s

1 ] E . S . A m u n d s e n a n d B . S i n g h . D e v e l o p i n g f u t u r e s m a r k e t s f o r e l e c t r i c i t y i n E u r o p e . T h e E n e r g y

J o u r n a l , 1 3 ( 3 ) : 9 5 { 1 1 2 , 1 9 9 2 .

2 ] J . F . B e n d e r s . P a r t i t i o n i n g p r o c e d u r e s f o r s o l v i n g m i x e d - v a r i a b l e s p r o g r a m m i n g p r o b l e m s .

N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k , 4 : 2 3 8 { 2 5 2 , 1 9 6 2 .

3 ] D . R . C a r i ~ n o , T . K e n t , D . H . M y e r s , C . S t a c y , M . S y l v a n u s , A . L . T u r n e r , K . W a t a n a b e , a n d

W . T . Z i e m b a . T h e R u s s e l l - Y a s u d a K a s a i m o d e l : a n a s s e t l i a b i l i t y m o d e l f o r a J a p a n e s e i n s u r -

a n c e c o m p a n y u s i n g m u l t i s t a g e s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g . I N T E R F A C E S , 2 4 ( 1 ) : 2 9 { 4 9 , 1 9 9 4 .

4 ] D . R . C a r i ~ n o , D . H M y e r s , a n d W . T . Z i e m b a . C o n c e p t s , t e c h n i c a l i s s u e s a n d u s e s o f t h e

R u s s e l l - Y a s u d a K a s a i n a n c i a l p l a n n i n g m o d e l . F r a n k R u s s e l l C o m p a n y , T a c o m a , W A , U S A ,

J u n e 1 9 9 5 .

5 ] D . R . C a r i ~ n o a n d W . T . Z i e m b a . F o r m u l a t i o n o f t h e R u s s e l l - Y a s u d a K a s a i n a n c i a l p l a n n i n g

m o d e l . F r a n k R u s s e l l C o m p a n y , T a c o m a , W A , U S A , J u n e 1 9 9 5 .

6 ] E F I . E c o n o m i c a l o p e r a t i o n o f p o w e r s y s t e m s . R e p o r t 1 6 0 9 , E l e c t r i c P o w e r R e s e a r c h I n s t i t u t e

( E F I ) , T r o n d h e i m , 1 9 7 4 . ( C o m i t t e e r e p o r t , i n N o r w e g i a n ) .

1 2


13/14

7 ] O . E g e l a n d , J . H e g g e , E . K y l l i n g , a n d J . N e s . T h e e x t e n d e d p o w e r p o o l m o d e l . O p e r a t i o n p l a n -

n i n g o f m u l t i r i v e r a n d m u l t i r e s e r v o i r s . H y d r o d o m i n a t e d p o w e r p r o d u c t i o n s y s t e m , a h i e r a r c h i a l

a p p r o a c h . R e p o r t 3 2 . 1 4 , C I G R E , 1 9 8 2 .

8 ] N . F l a t a b , O . B . F o s s o , A . G j e l s v i k , A . G r u n d t , B . H v i d s t e n , A . J o h a n n e s e n , A . J o h a n s e n ,

A . L e g e r n e s , S . R a f d a l , A . S y v e r t s e n , I . V i k , a n d S . W . W a l l a c e . P r o d u k s j o n s p l a n l e g g i n g H y d r o

E n e r g i , s l u t t r a p p o r t , f a s e 1 , d e l I . T e c h n i c a l R e p o r t F 4 2 1 0 , E l e c t r i c P o w e r R e s e a r c h I n s t i t u t e

( E F I ) , 1 9 9 4 . ( R e s t r i c t e d ) .

9 ] A . G j e l s v i k , T . A . R t t i n g , a n d J . R y n s t r a n d . L o n g - t e r m s c h e d u l i n g o f h y d r o - t h e r m a l p o w e r

s y s t e m s . I n E . B r o c h a n d D . K . L y s n e , e d i t o r s , H y d r o p o w e r ' 9 2 , p a g e s 5 3 9 { 5 4 6 , L i l l e h a m m e r ,

N o r w a y , J u n e 1 9 9 2 . B a l k e m a , R o t t e r d a m .

1 0 ] R . C . G r i n o l d . T i m e h o r i z o n s i n e n e r g y p l a n n i n g m o d e l s . I n W . T . Z i e m b a a n d S . L . S c h w a r z ,

e d i t o r s , E n e r g y P o l i c y M o d e l i n g : U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d i a n E x p e r i e n c e s , V o l . I I , p a g e s 2 1 6 {

2 3 7 . M a r t i n u s N i j h o , B o s t o n , 1 9 8 0 .

1 1 ] P . K a l l a n d S . W . W a l l a c e . S t o c h a s t i c P r o g r a m m i n g . W i l e y , C h i c h e s t e r , 1 9 9 4 .

1 2 ]

A . K i l l i n g t v e i t a n d R . R e i t a n . A m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r p l a n n i n g o f s h o r t a n d l o n g t e r m

o p e r a t i o n o f h y d r o p o w e r p r o d u c t i o n s y s t e m s . I n P r o c . I n t . S y m p o s i u m o n R e a l - T i m e O p e r a t i o n

o f H y d r o s y s t e m s : 1 - 1 9 , U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o , O n t a r i o , C a n a d a , 1 9 8 1 .

1 3 ] J . L i n d q v i s t . O p e r a t i o n o f a h y d r o t h e r m a l e l e c t r i c s y s t e m : A m u l t i s t a g e d e c i s i o n p r o c e s s .

A . I . E . E . J o u r n a l , A p r i l : 1 { 7 , 1 9 6 2 .

1 4 ] I r v i n J . L u s t i g , R o y E . M a r s t e n , a n d D a v i d F . S h a n n o . I n t e r i o r p o i n t m e t h o d s f o r l i n e a r

p r o g r a m m i n g : C o m p u t a t i o n a l s t a t e o f t h e a r t . O R S A J o u r n a l o n C o m p u t i n g , 6 ( 1 ) : 1 { 1 4 , 1 9 9 4 .

1 5 ] J . M . M u l v e y a n d A . R u s z c z y n s k i . A n e w s c e n a r i o d e c o m p o s i t i o n m e t h o d f o r l a r g e - s c a l e s t o c h a s -

t i c o p t i m i z a t i o n . O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 4 3 ( 3 ) : 4 7 7 { 4 9 0 , 1 9 9 5 .

1 6 ] J . M . M u l v e y a n d H . V l a d i m i r o u . A p p l y i n g t h e p r o g r e s s i v e h e d g i n g a l g o r i t h m t o s t o c h a s t i c

g e n e r a l i z e d n e t w o r k s . A n n a l s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 3 1 : 3 9 9 { 4 2 4 , 1 9 9 1 .

1 7 ] J . M . M u l v e y a n d H . V l a d i m i r o u . S o l v i n g m u l t i s t a g e s t o c h a s t i c n e t w o r k s : A n a p p l i c a t i o n o f

s c e n a r i o a g g r e g a t i o n . N e t w o r k s , 2 1 ( 6 ) : 6 1 9 { 6 4 3 , 1 9 9 1 .

1 8 ] J . M . M u l v e y a n d W . T . Z i e m b a . A s s e t a n d l i a b i l i t y a l l o c a t i o n i n a g l o b a l e n v i r o n m e n t . I n

R . J a r r o w , V . M a k s i m o v i c , a n d W . T . Z i e m b a , e d i t o r s , F i n a n c e , p a g e s 5 8 1 { 6 1 0 . E l s e v i e r , A m -

s t e r d a m , 1 9 9 5 . H a n d b o o k s i n O p e r a t i o n s R e s e a r c h a n d M a n a g e m e n t S c i e n c e , V o l . 9 .

1 3


14/14

1 9 ] S h m u e l S . O r e n . T h e r o l e o f n a n c i a l i n s t r u m e n t s i n a c o m p e t i t i v e e l e c t r i c i t y i n d u s t r y . I n

P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 6 E P R I C o n f e r e n c e o n I n n o v a t i v e A p p r o a c h e s t o E l e c t r i c i t y P r i c i n g ,

p a g e s 7 - 1 { 7 - 1 5 , M a r c h 1 9 9 6 .

2 0 ] M . F . V . P e r e i r a . O p t i m a l s t o c h a s t i c o p e r a t i o n s s c h e d u l i n g o f l a r g e h y d r o e l e c t r i c s y s t e m s .

I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f E l e c t r i c a l P o w e r & E n e r g y S y s t e m s , 1 1 : 1 6 1 { 1 6 9 , 1 9 8 9 .

2 1 ] M . V . F . P e r e i r a a n d L . M . V . G P i n t o . S t o c h a s t i c o p t i m i z a t i o n o f a m u l t i r e s e r v o i r h y d r o e l e c r i c

s y s t e m | a d e c o m p o s i t i o n a p p r o a c h . W a t e r R e s o u r c e s R e s e a r c h , 2 1 ( 6 ) , 1 9 8 5 .

2 2 ] R . T . R o c k a f e l l a r a n d R . J - B W e t s . S c e n a r i o s a n d p o l i c y a g g r e g a t i o n i n o p t i m i z a t i o n u n d e r

u n c e r t a i n t y . M a t h e m a t i c s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 6 ( 1 ) : 1 { 2 9 , 1 9 9 1 .

2 3 ] T . J . S c o t t a n d E . G . R e a d . M o d e l l i n g h y d r o r e s e r v o i r o p e r a t i o n i n a d e r e g u l a t e d e l e c t r i c i t y

s e c t o r . I n t e r n a t i o n a l T r a n s a c t i o n s i n O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 3 ( 3 - 4 ) : 2 0 9 { 2 2 1 , 1 9 9 6 .

2 4 ] V . R . S h e r k a t , R . C a m p o , K . M o s l e h i , a n d E . O . L o . S t o c h a s t i c l o n g - t e r m h y d r o t h e r m a l

o p t i m i z a t i o n f o r a m u l t i r e s e r v o i r s y s t e m . I E E E T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , 1 9 8 5 .

P A S - 1 0 4 .

2 5 ] S . S t a g e a n d Y . L a r s s o n . I n c r e m e n t a l c o s t o f w a t e r p o w e r . A I E E T r a n s a c t i o n s ( P o w e r A p p a r a t u s

a n d S y s t e m s ) , A u g u s t : 3 6 1 , 1 9 6 1 .

2 6 ] D . T s h i d i m b a . H y d r o p o w e r s c h e d u l i n g , a n o n - c o n v e x s t o c h a s t i c a p p r o a c h . M a s t e r ' s t h e s i s ,

D e p a r t e m e n t d ' i n g e n i e r i e M a t h e m a t i q u e , F a c u l t e d e s S c i e n c e s A p p l i q u e e s , U n i v e r s i t e C a h t o -

l i q u e d e L o u v a i n , 1 9 9 5 .

2 7 ] A . T u r g e o n . O p t i m a l o p e r a t i o n o f m u l t i r e s e r v o i r p o w e r s y s t e m s w i t h s t o c h a s t i c i n o w s . W a t e r

R e s o u r c e s R e s e a r c h , 1 6 : 2 7 5 { 2 8 3 , 1 9 8 0 .

2 8 ] R . v a n S l y k e a n d R . J - B W e t s . L - s h a p e d l i n e a r p r o g r a m s w i t h a p p l i c a t i o n s t o o p t i m a l c o n t r o l

a n d s t o c h a s t i c p r o g r a m m i n g . S I A M J o u r n a l o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 1 7 : 6 3 8 { 6 6 3 , 1 9 6 9 .

2 9 ] I v a r W a n g e n s t e e n , B i r g e r M o , a n d A r n e H a u g s t a d . H y d r o g e n e r a t i o n p l a n n i n g i n a d e r e g u l a t e d

e l e c t r i c i t y m a r k e t . I n P r o c e e d i n g s o f H y d r o p o w e r I n t o t h e N e x t C e n t u r y , B a r c e l o n a , S p a i n , J u n e

1 9 9 5 . S u t t o n , U K : A q u a - M e d i a I n t e r n a t i o n a l .

3 0 ] R . J - B W e t s . T h e a g g r e g a t i o n p r i n c i p l e i n s c e n a r i o a n a l y s i s a n d s t o c h a s t i c o p t i m i z a t i o n . I n S . W .

W a l l a c e , e d i t o r , A l g o r i t h m s a n d M o d e l F o r m u l a t i o n s i n M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g , v o l u m e 5 1

o f N A T O A S I S e r i e s F , p a g e s 9 1 { 1 1 3 . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 9 .

1 4

Documents

Fleten et al '97