Flat Spacetime in a Capsule

7/31/2019 Flat Spacetime in a Capsule

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F l a t s p a c e t i m e i n a c a p s u l e

A n d r z e j H e r d e g e n

I n s t i t u t e o f P h y s i c s , J a g i e l l o n i a n U n i v e r s i t y ,

R e y m o n t a 4 , 3 0 - 0 5 9 C r a c o w , P o l a n d

A b s t r a c t

W e p r o p o s e a p a r a l l e l i n t r o d u c t i o n t o G a l i l e a n a n d E i n s t e i n i a n r e l a t i v i t y b a s e d o n t h e c a u s a l

s t r u c t u r e a n d i n e r t i a l m o t i o n s . G a l i l e a n a n d P o i n c a r t r a n s f o r m a t i o n s , a s o b j e c t s s e c o n d a r y t o t h e

g e o m e t r i c a l s t r u c t u r e , a r e l e f t a s i d e .

1

arXiv:0905.4386v2

[physics.class-ph]

28May2009


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I . I N T R O D U C T I O N

T h i s a r t i c l e i s i n t e n d e d f o r u n i v e r s i t y l e v e l t e a c h e r s l e c t u r i n g , a n d s t u d e n t s l e a r n i n g ,

s p e c i a l r e l a t i v i t y ( S R ) . I t i s n o t m e a n t a s a t e x t w h i c h c o u l d b e d i r e c t l y u s e d a s a S R p r i m e r .

R a t h e r i t g i v e s a b a c k g r o u n d , o r a n o u t l i n e o n w h i c h o n e c a n e l a b o r a t e t h e e x p o s i t i o n o f S R .

W e a s s u m e a s a b a c k g r o u n d f o r t h i s a r t i c l e a c o u r s e i n l i n e a r a l g e b r a i n c l u d i n g r e a l v e c t o r

a n d a n e s p a c e s , d i r e c t s u m s o f s u b s p a c e s , l i n e a r f o r m s a n d s y m m e t r i c b i l i n e a r f o r m s o f

a n y s i g n a t u r e .

W e p r o p o s e a h i g h l y s t r u c t u r e d a n d l o g i c a l a p p r o a c h t o t h e f u n d a m e n t a l s o f S R b a s e d

o n i t s c a u s a l s t r u c t u r e a n d r e l a t i v i t y o f i n e r t i a l m o t i o n s . F o r c o m p a r i s o n a n d b e t t e r u n d e r -

s t a n d i n g w e p a r a l l e l l y b u i l d t h e G a l i l e a n s p a c e t i m e ( G S ) o n s i m i l a r i d e a s . W e i n d i c a t e t h a t

t h e c a u s a l s t r u c t u r e d e t e r m i n e s t h e m e t r i c s t r u c t u r e o f S R s p a c e t i m e u n i q u e l y , w h i c h i s n o t

t h e c a s e f o r t h e c h o i c e o f E u c l i d e a n m e t r i c i n t h e G a l i l e a n c a s e .

W e w a n t t o s t r e s s t h e p o i n t t h a t t h e G a l i l e a n a n d L o r e n t z ( P o i n c a r ) t r a n s f o r m a t i o n s a r e

o b j e c t s s e c o n d a r y t o t h e g e o m e t r i c s t r u c t u r e o f s p a c e t i m e : t h e y a r e a n e m a p p i n g s l e a v i n g

t h i s s t r u c t u r e i n v a r i a n t . W e r e g a r d b a s i n g t h e i n t r o d u c t i o n t o S R o n t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s

a s a s e r i o u s m i s c o n c e p t i o n a n d w e d o n o t d i s c u s s t h e m i n t h i s a r t i c l e .

W e a r e a l s o o f t h e o p i n i o n t h a t i n t r o d u c i n g S R , f o r t h e s a k e o f a l l e g e d s i m p l i c i t y , f r o m t h e

t h r e e - d i m e n s i o n a l r a t h e r t h a n f u l l g e o m e t r i c a l p o i n t o f v i e w , i n f a c t m a k e s u n d e r s t a n d i n g o f

S R m o r e d i c u l t , a n d c a n e a s i l y l e a d t o m i s c o n c e p t i o n s . W e r e g a r d a s e s p e c i a l l y h a r m f u l

g u r e s i l l u s t r a t i n g h y p o t h e t i c a l r e l a t i v e m o t i o n o f f r a m e s a s d e p i c t e d i n F i g . 1 . W h e r e a s

t h i s i s n o t t h e b e s t , b u t c o r r e c t p i c t u r e i n G S , i t i s c o m p l e t e l y w r o n g i n S R . T h e r e a s o n f o r

t h a t i s t h a t t h e h y p e r p l a n e s o f c o n s t a n t t i m e ( ` p u r e s p a c e ' ) o f o b s e r v e r s i n r e l a t i v e m o t i o n

a r e n o t p a r a l l e l , s o t h e y c a n n o t b e r e g a r d e d a s ` s l i d i n g ' o n e a c h o t h e r .

E l e m e n t s o f t h e p r o g r a m m e s k e t c h e d a b o v e a p p e a r e d , o f c o u r s e , i n m a n y e a r l i e r p u b l i c a -

t i o n s a n d b o o k s ( s e e e . g . R e f s . 1 - 3 ) b u t w e b e l i e v e t h a t o u r s c h e m e a d d s s o m e v a l u e t o t h e

c l a r i t y a n d l o g i c .

I n a d d i t i o n w e d i s c u s s s o m e s i m p l e g e o m e t r i c e e c t s i n t h e p r e s e n t c o n t e x t . T h i s w i l l

i n c l u d e a d i s c u s s i o n o f t h e v i e w o f t h e c e l e s t i a l s p h e r e a s s e e n b y d i e r e n t o b s e r v e r s .

4 , 5

T h i s

p o i n t i s p a r t i c u l a r l y w o r t h a d d i n g , a s i t i s u s u a l l y t r e a t e d w i t h t h e h e l p o f a r a t h e r i n d i r e c t

m e t h o d o f s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n .

6

W e d i s c u s s i t d i r e c t l y o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e s o f t w o

o b s e r v e r s .

2


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I n a l l d i s c u s s i o n s o f e e c t s i n v o l v i n g d i e r e n t o b s e r v e r s w e c o n s i s t e n t l y a v o i d , a s m e n -

t i o n e d a b o v e , t h e u s e o f G a l i l e a n o r L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s . T o r e l a t e t h e v i e w s o n t h e

s p a c e t i m e a s s e e n b y t w o i n e r t i a l o b s e r v e r s o n e n e e d s o n l y t o k n o w t h e d i r e c t i o n a l v e c t o r s

o f t h e i r w o r l d - l i n e s . O n t h e o t h e r h a n d o n e n e e d s c o m p l e t e b a s e s a t t a c h e d t o t h e o b s e r v e r s

t o s p e c i f y a t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n t h e m .

I I . H O M O G E N E I T Y W I T H R E S P E C T T O T R A N S L A T I O N S A N D T H E A F F I N E

S T R U C T U R E

I t i s f a i r l y o b v i o u s f r o m e v e r y d a y e x p e r i e n c e t h a t o n e n e e d s f o u r r e a l n u m b e r s t o p l a c e a n

e v e n t i n s p a c e a n d t i m e . F o r a g i v e n e v e n t t h e s p e c i c v a l u e s o f t h e s e n u m b e r s d e p e n d o n

a n a d o p t e d s y s t e m o f l a b e l s , b u t t h e y a l w a y s f o r m a n e l e m e n t o f t h e s e t

R4. O u r s p a c e t i m e

i s a s t r u c t u r e b a s e d o n t h i s s e t .

A n o t h e r c o m m o n e x p e r i e n c e p o i n t s t o t h e a p p l i c a b i l i t y o f s p a c e t i m e t r a n s l a t i o n s : i f

a p h y s i c a l o c c u r r e n c e t a k e s p l a c e i n a g i v e n r e g i o n o f s p a c e a n d w i t h i n s o m e t i m e - s p a n ,

a n a n a l o g o u s o c c u r r e n c e m a y t a k e p l a c e e l s e w h e r e a n d a t a n o t h e r t i m e . W e i n c l u d e t h i s

p r o p e r t y i n o u r c o n s t r u c t i o n o f a m o d e l o f t h e s p a c e t i m e i n t h e f o l l o w i n g f o r m : t h e g r o u p

o f f o u r - d i m e n s i o n a l t r a n s l a t i o n s a c t s t r a n s i t i v e l y o n t h e s p a c e t i m e . T h i s l e a d s u s t o t h e

f o l l o w i n g s t a r t i n g p o i n t f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f a s p a c e t i m e m o d e l :

F l a t s p a c e t i m e i s m o d e l e d b y a r e a l f o u r - d i m e n s i o n a l a n e s p a c e (M, M) .

H e r e M d e n o t e s t h e a n e s p a c e b a s e d o n t h e f o u r - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e M. W e a d o p t t h e n o t a t i o n P , Q , . . . f o r p o i n t s i n M a n d x , y , . . . f o r v e c t o r s i n M. W e w r i t e x = P Q i fQ = P + x. M o r e o v e r , i f P M a n d N M i s a n y s u b s e t t h e n w e u s e t h e u s u a l s h o r t h a n d : P + N = {P + x | x N}. I n p a r t i c u l a r , s t r a i g h t l i n e s a r e o n e - d i m e n s i o n a l a n e s u b s p a c e s P+ L(x) , w h e r e L(x) d e n o t e s t h e o n e - d i m e n s i o n a l v e c t o r s u b s p a c e s p a n n e d

b y t h e v e c t o r x. O r d e r e d v e c t o r b a s e s i n M w i l l b e d e n o t e d b y (e0, e1, e2, e3) . S e e F i g . 2 f o r

a g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n ( h e r e , a s i n t h e f o l l o w i n g , o n e s p a c e d i m e n s i o n i s o m i t t e d ) .

I I I . C A U S A L S T R U C T U R E A N D I N E R T I A L M O T I O N S

O f c o u r s e , t h e a n e s p a c e s t r u c t u r e i s s t i l l a v e r y p o o r o n e , o n e n e e d s f u r t h e r s p e c i c a t i o n .

T h e m o s t o b v i o u s e l e m e n t n e e d e d i s a o n e i n t r o d u c i n g t h e d i e r e n t i a t i o n b e t w e e n p h y s i c a l

3


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t i m e a n d s p a c e d i r e c t i o n s . T h i s i s a c h i e v e d i n t h e f o l l o w i n g w a y .

W e s h a l l s a y t h a t t h e s p a c e t i m e i s e q u i p p e d w i t h t h e c a u s a l s t r u c t u r e i f i n t h e a c c o m p a -

n y i n g v e c t o r s p a c e o n e h a s d i s t i n g u i s h e d t h e f o l l o w i n g s e t ( s e e F i g . 3 ) :

G S : a t h r e e - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e

S M,

S R : a h o m o g e n e o u s v e c t o r q u a d r i c V M ( d i e r e n t f r o m a s u b s p a c e ) , w i t h r e s p e c t t o w h i c h t h r e e d i m e n s i o n s o f M a r e o n e q u a l f o o t i n g , b u t n o t t h e f o u r t h .

B y a h o m o g e n e o u s v e c t o r q u a d r i c w e m e a n h e r e a s e t o f v e c t o r s x M w h o s e c o o r d i n a t e s x0, x1, x2, x3 i n s o m e ( a n d t h e n a n y ) b a s i s s a t i s f y t h e e q u a t i o n

3i,j=0 ijx

ixj = 0, w i t h s o m e

b a s i s - d e p e n d e n t n u m e r i c a l c o e c i e n t s ij . W e r e c a l l t h a t f o r a n y s u c h q u a d r i c t h e r e i s

a b a s i s i n w h i c h i t t a k e s o n e o f t h e f o r m s 0(x0)2 + 1(x

1)2 + 2(x2)2 + 3(x

3)2 = 0, w h e r e

= 0, 1 ( u n c o r r e l a t e d v a l u e s ) . T h e o n l y p o s s i b i l i t y ( u p t o a p e r m u t a t i o n o f t h e b a s i s v e c t o r s ) t o s a t i s f y t h e d e m a n d i m p o s e d a b o v e o n V i s t h a t i n t h i s c a n o n i c a l b a s i s V i s a c o n e

g i v e n b y :

x V (x0)2 (x1)2 (x2)2 (x3)2 = 0 . ( 1 )

W e s h a l l s a y t h a t a v e c t o r x l i e s i n s i d e ( o r o u t s i d e ) V i f (x0)2 (x1)2 (x2)2 (x3)2 > 0( < 0) r e s p e c t i v e l y .

W e s a y t h a t a n o n z e r o v e c t o r i s a c a u s a l v e c t o r i f i t :

G S : d o e s n o t l i e i n S,

S R : l i e s i n s i d e o r o n V .

I n a d d i t i o n w e i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f a t i m e l i k e v e c t o r w h i c h

G S : i s i d e n t i c a l w i t h a c a u s a l v e c t o r ,

S R : l i e s i n s i d e V .

W e s h a l l s a y t h a t t w o e v e n t s P a n d Q a r e c a u s a l l y r e l a t e d i fP Q i s a c a u s a l v e c t o r , a n d

t h e y a r e t e m p o r a l l y r e l a t e d i f i t i s a t i m e l i k e v e c t o r .

T h e c a u s a l s t r u c t u r e m a k e s c o n t a c t w i t h p h y s i c s b y t h e f o l l o w i n g i d e n t i c a t i o n . A n

i n e r t i a l m o t i o n i s a s t r a i g h t l i n e i n s p a c e t i m e M w i t h a t i m e l i k e d i r e c t i o n a l v e c t o r ( t h u s a n y t w o e v e n t s o n t h i s l i n e a r e t e m p o r a l l y r e l a t e d ) . S u c h l i n e s w i l l b e c a l l e d w o r l d - l i n e s o f

t h e m o t i o n ( s e e F i g . 4 )

4


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I f a p o i n t Q = P i s n o t c a u s a l l y r e l a t e d t o P w e s a y t h a t i t l i e s e l s e w h e r e w i t h r e s p e c t t o P. O n e t h e n c a n n o t r e a c h Q f r o m P b y a n i n e r t i a l m o t i o n .

I V . T H E F O U R O R I E N T A T I O N S O F T H E S P A C E T I M E

L e t u s c h o o s e a b a s i s o f M i n w h i c h

G S : t h e s u b s p a c e S i s g i v e n b y x0 = 0,

S R : t h e c o n e V h a s t h e c a n o n i c a l f o r m .

T h e s e t o f c a u s a l v e c t o r s s p l i t s i n t o t w o d i s j o i n t s e t s : t h o s e f o r w h i c h x0 > 0 o r x0 < 0

r e s p e c t i v e l y i n t h e d i s t i n g u i s h e d b a s i s . W e d e n o t e o n e o f t h e s e s e t s b y C+ a n d c a l l i t t h e

f u t u r e a n d t h e o t h e r b y C a n d c a l l i t t h e p a s t . ( A f t e r t h i s c h o i c e h a s b e e n d o n e w e c a n

a d j u s t t h e s i g n o f x0 s o t h a t x0 > 0 f o r x C+ . ) T h e n t h e f u t u r e ( p a s t ) o f a n y e v e n t P i st h e s e t P + C+ ( P + C ) , a n d Q i s i n t h e f u t u r e o f P i f , a n d o n l y i f , P i s i n t h e p a s t o f Q.

L e t u s w r i t e Q > P f o r Q i s i n t h e f u t u r e o f P , a n d Q P f o r : Q > P o r Q = P. T h e n t h e r e l a t i o n Q P d e n e s a p a r t i a l o r d e r i n M :

1o P P,

2o i f Q P a n d P Q t h e n Q = P,

3o i f R Q a n d Q P t h e n R P.

T h e o n l y l e s s o b v i o u s o f t h e s e p r o p e r t i e s i s t h e t h i r d o n e i n t h e s p e c i a l r e l a t i v i t y c a s e . T o

p r o v e i t o b s e r v e t h a t x C+ i f i n a c a n o n i c a l b a s i s 0 < x0

(x1)2 + (x2)2 + x3)2 . I f y i s

a n o t h e r s u c h v e c t o r t h e n i t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e s a m e r e l a t i o n i s s a t i s e d w i t h x r e p l a c e d

b y x + y , w h i c h w a s t o b e p r o v e d . S e e F i g . 5 f o r a g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n o f c a u s a l l y d e n e d

r e g i o n s .

A s t h e r e a r e t w o p o s s i b l e c h o i c e s f o r t h e i d e n t i c a t i o n o f t h e s e t s C w e s a y t h a t t h e r e

a r e t w o p o s s i b l e c a u s a l o r i e n t a t i o n s o f t h e s p a c e t i m e M .A t t h e s a m e t i m e M a s a r e a l v e c t o r s p a c e h a s t w o p o s s i b l e o r i e n t a t i o n s d e n e d a s u s u a l l y

a s t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f b a s e s . I n c o m b i n a t i o n w i t h t h e c a u s a l o r i e n t a t i o n t h i s g i v e s

f o u r c h o i c e s o f t h e s p a c e t i m e M o r i e n t a t i o n s .

5


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V . R E L A T I V E R E S T , I N E R T I A L O B S E R V E R S , I N E R T I A L F R A M E S

W e d o n o t h a v e y e t a n y m e t r i c t o o l s , s o w e a r e u n a b l e t o d e t e r m i n e r e l a t i v e v e l o c i t y o f

i n e r t i a l m o t i o n s , b u t w e c a n a l r e a d y s a y w h a t i t m e a n s t h a t t w o m o t i o n s a r e i n r e l a t i v e r e s t :

t h e i r w o r l d - l i n e s a r e p a r a l l e l ( i . e . h a v e c o m m o n d i r e c t i o n a l v e c t o r s ) .

W e d e c i d e t h a t t h e r e i s n o n e e d t o d i e r e n t i a t e b e t w e e n a n i n e r t i a l m o t i o n a n d a n o f t e n

u s e d t e r m o f i n e r t i a l o b s e r v e r ; t h e d i e r e n c e , i f a n y , i s a r a t h e r p s y c h o l o g i c a l o n e .

F i n a l l y , b y a n i n e r t i a l f r a m e w e m e a n t h e c l a s s o f a l l i n e r t i a l o b s e r v e r s r e m a i n i n g i n

r e l a t i v e r e s t t o e a c h o t h e r . W e d o n o t s e e t h e n e e d t o m a k e t h i s n o t i o n m o r e s p e c i c , a s

i s o f t e n a s s u m e d , b y d e m a n d i n g t h a t a p a r t i c u l a r b a s i s h a s b e e n c h o s e n w i t h t h e t i m e l i k e

v e c t o r a l o n g t h e w o r l d l i n e o f t h e m o t i o n s i n t h i s f a m i l y .

V I . M E T R I C S T R U C T U R E , F O U R - V E L O C I T I E S

W e r e c a l l t w o f a c t s f r o m l i n e a r a l g e b r a :

1o T h e k e r n e l ( z e r o s p a c e ) o f a n o n z e r o l i n e a r f o r m o n a v e c t o r s p a c e i s a s u b s p a c e

o f c o d i m e n s i o n o n e . C o n v e r s e l y , a n y s u c h s u b s p a c e S d e t e r m i n e s u n i q u e l y u p t o

a c o n s t a n t f a c t o r a l i n e a r f o r m Dt s u c h t h a t

x S Dt(x) = 0 . ( 2 )

2o A r e a l v e c t o r q u a d r i c V ( i f d i e r e n t f r o m a s u b s p a c e ) d e t e r m i n e s u n i q u e l y u p t o

a c o n s t a n t f a c t o r a s y m m e t r i c m e t r i c g s u c h t h a t

x V g(x, x) = 0 . ( 3 )

A p r o o f o f t h e s e c o n d f a c t f o r t h e c a s e o f o u r c o n e V i s g i v e n f o r c o m p l e t e n e s s i n t h e

A p p e n d i x .

A . G a l i l e a n s p a c e t i m e

I n t h e c a s e o f t h e G a l i l e a n s p a c e t i m e w e c h o s e t h e s i g n o f Dt b y d e m a n d i n g t h a t

Dt(x) > 0 f o r x C+ . ( 4 )

6


7/36

T h e n Dt(P Q) > 0 i f Q l i e s i n t h e f u t u r e o f P. T h e r e m a i n i n g p o s i t i v e f a c t o r i n t h e d e n i t i o n

o f Dt i s x e d a r b i t r a r i l y . F o r a n a r b i t r a r i l y c h o s e n p o i n t P0 w e x a r e a l v a l u e t(P0). T h e n

t h e r e i s a u n i q u e a n e f o r m t a k i n g t h i s v a l u e a t P0 a n d h a v i n g Dt a s i t s l i n e a r p a r t . T h i s

m e a n s t h a t f o r e a c h p a i r o f p o i n t s P, Q t h e r e i s

t(Q) = t(P) + Dt(P Q) . ( 5 )

T h i s f o r m d e t e r m i n e s t h e u n i v e r s a l t i m e i n t h e G a l i l e a n s p a c e t i m e . T h e m e t r i c s t r u c t u r e o f

t h i s s p a c e t i m e i s n o w c o m p l e t e d b y c h o o s i n g a E u c l i d e a n m e t r i c h o n t h e s u b s p a c e S. T h i s

m e t r i c t h e n d e t e r m i n e s ` s p a t i a l ' m e t r i c r e l a t i o n s o n e a c h h y p e r p l a n e Q + S o f c o n s t a n t t i m e .

O n e n o t e s t h a t t h e r e a r e n o r e l a t i o n s o f t h i s k i n d b e t w e e n p o i n t s o n d i e r e n t c o n s t a n t t i m e

p l a n e s . N o t e a l s o t h a t t h e r e l a t i v e s c a l e o f t h e m e t r i c t o o l s Dt a n d h i s a r b i t r a r y . S e e F i g . 6

f o r g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m e t r i c s t r u c t u r e o f G S .

T h e w o r l d - l i n e s o f i n e r t i a l m o t i o n s p i e r c e p r e c i s e l y a t o n e p o i n t e a c h o f t h e c o n s t a n t t i m e

h y p e r p l a n e s . F o r e a c h f a m i l y o f p a r a l l e l i n e r t i a l m o t i o n s t h e r e i s a u n i q u e d i r e c t i o n a l v e c t o r

u f o r w h i c h Dt(u) = 1. W e s h a l l c a l l s u c h v e c t o r a u n i t t i m e l i k e , f u t u r e - p o i n t i n g v e c t o r o r

t h e f o u r - v e l o c i t y o f t h e s e w o r l d - l i n e s .

H a v i n g c h o s e n a p a r t i c u l a r f a m i l y o f i n e r t i a l p a r a l l e l m o t i o n s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o u r -

v e l o c i t y u o n e c a n s p l i t t h e v e c t o r s p a c e i n t o t i m e a n d s p a c e p a r t s b y

M = L(u) S , ( 6 )

w h e r e L(u) d e n o t e s t h e o n e - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s p a n n e d b y u. O b s e r v e r s i n t h e c h o s e n

f a m i l y d e c o m p o s e e a c h v e c t o r x i n t o t h e t i m e a n d s p a c e p a r t s b y

x = Dt(x)u + xu , s o xu S . ( 7 )

N o t e t h a t w h i l e Dt(x) d o e s n o t d e p e n d o n u, t h e s p a c e p a r t xu d o e s d e p e n d o n t h i s v e c t o r ,

t h a t i s t o s a y o n t h e f a m i l y o f p a r a l l e l i n e r t i a l m o t i o n s . T h e E u c l i d e a n s c a l a r p r o d u c t h c a n

b e a p p l i e d t o t h e s p a c e p a r t s o f a n y t w o v e c t o r s x a n d y a n d w e s h a l l a l s o w r i t e

h(xu, yu) = xu yu . ( 8 )

B . S p e c i a l r e l a t i v i t y

I n t h i s c a s e g i s x e d u p t o a r e a l f a c t o r b y t h e c o n e V , a s d e s c r i b e d a b o v e . W e c h o o s e

i t s s i g n b y t h e c o n v e n t i o n t h a t i n t h e c a n o n i c a l b a s i s o f V t h e m e t r i c h a s t h e s i g n a t u r e

7


8/36

(+1, 1, 1, 1). T h e r e m a i n i n g p o s i t i v e f a c t o r i s c h o s e n a r b i t r a r i l y . T h e m e t r i c s t r u c t u r e o f t h e s p a c e t i m e i s d e t e r m i n e d c o m p l e t e l y b y g . T h e v e c t o r x i s a t i m e l i k e v e c t o r w h e n

g(x, x) > 0 , a n d i t i s a c a u s a l v e c t o r w h e n i t i s n o n z e r o a n d g(x, x) 0. I n a d d i t i o n w e s a y t h a t a v e c t o r i s s p a c e l i k e i f g(x, x) < 0 . W e s h a l l a l s o u s e t h e n o t a t i o n

g(x, y) = x y , x x = x2 . ( 9 )

S e e F i g . 7 f o r t h e m e t r i c p r o p e r t i e s o f v e c t o r t y p e s .

I f Q l i e s i n t h e f u t u r e o f P t h e n t h e r e i s a u n i q u e i n e r t i a l m o t i o n j o i n i n g t h e m . T h e

p r o p e r t i m e i n t e r v a l c o v e r e d b y t h i s m o t i o n f r o m P t o Q i s d e t e r m i n e d b y

(P, Q) =

g(P Q,

P Q)

1/2. ( 1 0 )

L e t u = P Q w i t h > 0 s o t h a t u C+ . I f w e d e m a n d t h a t g(u, u) = 1 t h e n u i s x e d u n i q u e l y b y t h e s e c o n d i t i o n s a n d =

g(

P Q,

P Q)

1/2. W e c a l l s u c h u a u n i t t i m e l i k e ,

f u t u r e - p o i n t i n g v e c t o r o r a f o u r - v e l o c i t y .

A f o u r - v e l o c i t y u m a y b e u s e d t o d e n e a t i m e v a r i a b l e c o r r e l a t e d w i t h t h e i n e r t i a l f r a m e

d e n e d b y u. A s i n t h e G a l i l e a n c a s e w e x tu(P0) a n d t h e n t h e r e i s a u n i q u e a n e f o r m tu

t a k i n g t h i s v a l u e a t P0 a n d h a v i n g t h e l i n e a r f o r m

Dtu(x) = u x( 1 1 )

a s i t s l i n e a r p a r t . T h i s m e a n s t h a t f o r e a c h p a i r o f p o i n t s P, Q t h e r e i s

tu(Q) = tu(P) + Dtu(P Q) . ( 1 2 )

N o t e t h a t i f P a n d Q l i e o n o n e u- w o r l d - l i n e , Q i n t h e f u t u r e o f P, t h e n

Dtu(P Q) = (P, Q) ( 1 3 )

s o t h e d e n i t i o n o f Dtu i s a n e x t e n s i o n o f t h e p r o p e r t i m e i n t e r v a l o n a u- w o r l d - l i n e , E q . ( 1 0 ) .

L e t u s d e n o t e b y Su t h e k e r n e l o f t h e f o r m Dtu , w h i c h i s t h e s u b s p a c e o f v e c t o r s o r t h o g o n a l

t o u w i t h r e s p e c t t o t h e m e t r i c g . T h e n t h e h y p e r p l a n e s P+ Su a r e t h e s h e e t s o f c o n s t a n t tu

t i m e . T h e m e t r i c g w h e n r e s t r i c t e d t o Su r e d u c e s t o hu , w h e r e hu i s a E u c l i d e a n m e t r i c . T h u s t h e o b j e c t s Dtu , tu , Su a n d hu p l a y a s i m i l a r r o l e a s Dt , t, S a n d h i n t h e G a l i l e a n

c a s e , b u t w i t h s e v e r a l i m p o r t a n t d i e r e n c e s :

8


9/36

1o H e r e t h e s e q u a n t i t i e s a r e n o t u n i v e r s a l a s i n t h e G a l i l e a n c a s e , t h e y a r e f u n c t i o n s o f

t h e v e c t o r u; t h u s t h e y d e p e n d o n t h e c h o i c e o f a f a m i l y o f i n e r t i a l o b s e r v e r s i n r e l a t i v e

r e s t .

2o

T h i s r e l a t i v e c h a r a c t e r i m p l i e s w e a k e r s t a t u s o f t h e s e q u a n t i t i e s a s c o m p a r e d t o t h e

G a l i l e a n c a s e .

3o O n t h e o t h e r h a n d t h e f o r m Dtu a n d t h e m e t r i c hu a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y g , s o

t h e i r r e l a t i v e s c a l e i s u n a m b i g u o u s . T h i s i s t o b e c o n t r a s t e d w i t h t h e G a l i l e a n c a s e ,

w h e r e t h e s c a l e o f Dt a n d h c o u l d b e x e d i n d e p e n d e n t l y .

T h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e v e c t o r s p a c e M i n t o t i m e a n d s p a c e p a r t s t a k e s n o w t h e f o r m

M = L(u) Su , x = Dtu(x)u + xu , xu Su , ( 1 4 )

s e e F i g . 8 . N o t e t h a t i n t h i s c a s e b o t h Dtu(x) a n d xu d e p e n d o n u, a n d f o r d i e r e n t c h o i c e s

o f t h i s f o u r - v e l o c i t y t h e s p a c e p a r t s xu l i e i n d i e r e n t s u b s p a c e s . F o r xu, yu Su w e s h a l l w r i t e xu yu = xu yu a n d a l s o d e n o t e |xu| = xu xu . T h e n

x y = Dtu(x)Dtu(y) xu yu , x2 = (u x)2 |xu|2 . ( 1 5 )

T h e s c a l a r p r o d u c t , i n c o n t r a s t t o t h e G a l i l e a n c a s e , i s a p p l i c a b l e t o a n y v e c t o r s . S e e F i g . 8

a n d 9 f o r a g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n o f d e c o m p o s i t i o n s a n d f o u r - v e l o c i t i e s , a n d F i g . 1 0 f o r t h e

d e p e n d e n c e o f Su o n u.

V I I . E Q U I V A L E N C E O F O B S E R V E R S , L I G H T S I G N A L S A N D T H E I R S P E E D

T h e p r i n c i p l e o f r e l a t i v i t y , i . e . o f t h e e q u i v a l e n c e o f o b s e r v e r s , c a n b e n o w p u t i n t h e

f o l l o w i n g f o r m :

1o P h y s i c a l t h e o r i e s d o n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f t h e i n e r t i a l f r a m e , i . e . o f t h e f o u r -

v e l o c i t y u d e t e r m i n i n g a l l i n e r t i a l m o t i o n s i n a g i v e n f a m i l y .

2o T h e s e t o f p h y s i c a l s t a t e s c o n f o r m i n g w i t h p h y s i c a l t h e o r i e s d o e s n o t d i s t i n g u i s h a n y

o f t h e i n e r t i a l f r a m e s .

I n p a r t i c u l a r :

9


10/36

1o I n S R t h e M a x w e l l e q u a t i o n s i m p l y t h a t t h e l i g h t s i g n a l s p r o p a g a t e a l o n g s t r a i g h t l i n e s

w h o s e d i r e c t i o n a l v e c t o r s l i e o n V , i . e . l i s s u c h a v e c t o r i g(l, l) = 0 . T h e s e v e c t o r s a r e

c a l l e d t h e r e f o r e l i g h t l i k e v e c t o r s a n d V i s c a l l e d t h e l i g h t - c o n e . T h e M a x w e l l e q u a t i o n s

d o n o t c o n f o r m t o t h e p r i n c i p l e o f r e l a t i v i t y i n t h e G S c a s e . I n t h i s c a s e t h e o n l y w a y

t o a v o i d c l a s h w i t h t h e p r i n c i p l e o f r e l a t i v i t y i s t o a s s u m e t h a t l i g h t p r o p a g a t e s w i t h

i n n i t e s p e e d , i . e . t h e d i r e c t i o n a l v e c t o r s o f l i g h t r a y s l i e i n S.

2o I f o n e d e n e s p h y s i c a l u n i t s o f t i m e a n d s p a c e i n e a c h i n e r t i a l f r a m e w i t h t h e u s e o f

a n a l o g o u s p h y s i c a l p h e n o m e n a t h e n t h e p r o p o r t i o n o f t h e s e u n i t s t o t h e g e o m e t r i c a l

u n i t s d e n e d b y Dt a n d h i n t h e c a s e o f G a l i l e a n s p a c e t i m e , a n d g i n t h e c a s e o f S R ,

i s t h e s a m e f o r a l l o b s e r v e r s .

3o I n t h e S R c a s e i f l i s l i g h t l i k e a n d u i s a n y f o u r - v e l o c i t y , t h e n |Dtu(l)| = |lu| l i g h t c o v e r s i n e a c h i n e r t i a l f r a m e a u n i t d i s t a n c e i n a u n i t t i m e i n g e o m e t r i c a l u n i t s . I f o n e

d e t e r m i n e s p h y s i c a l u n i t s a s i n t h e p r e c e d i n g p o i n t t h e i r r a t i o g i v e s t h e s p e e d o f l i g h t

i n a l l i n e r t i a l f r a m e s i n t h o s e u n i t s .

N o t e t h a t t h e g e o m e t r i c a l o b j e c t s o f t h e s p a c e t i m e i n c l u d e b e s i d e m e t r i c a l t o o l s a l s o t h e

c h o i c e o f o n e o f t h e f o u r o r i e n t a t i o n s ( a s d e n e d a b o v e ) . T h e p r i n c i p l e o f r e l a t i v i t y i n t h e

a b o v e f o r m d o e s n o t r e q u i r e t h e i n d e p e n d e n c e o f p h y s i c s o f t h i s c h o i c e . A s i s w e l l - k n o w n

t h e r e a r e e x c e p t i o n s n o t c o n f o r m i n g t o t h i s e x t e n d e d d e m a n d .

V I I I . R E L A T I V E V E L O C I T I E S A N D T H E I R C O M P O S I T I O N

T o b e p r e c i s e t h e t e r m ` f o u r - v e l o c i t y ' , a l t h o u g h d e e p l y r o o t e d i n t h e l a n g u a g e u s u a l l y

u s e d i n S R , i s s o m e w h a t m i s l e a d i n g . I n f a c t t h e v e c t o r u o f a n i n e r t i a l f r a m e s i m p l y p o i n t s

i n t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t i m e o w s b u t t h e r e i s n o s p a c e t r a n s l a t i o n f o r a l l o b s e r v e r s i n t h i s

f r a m e . T o i n t r o d u c e a m o r e j u s t i e d n o t i o n o f v e l o c i t y o n e n e e d s a r e f e r e n c e o b s e r v e r w h i c h

` r e s t s ' . B u t ` a l l o b s e r v e r s a r e e q u a l ' , s o o n e h a s t o s a y w i t h r e s p e c t t o w h i c h o f t h e m o n e

m a k e s t h e m e a s u r e m e n t .

T h u s w e a s s u m e t h e r e a r e g i v e n t w o f o u r - v e l o c i t i e s u a n d u a n d w e w a n t t o d e t e r m i n e

a v e l o c i t y o f t h e m o t i o n d e n e d b y u w i t h r e s p e c t t o t h a t d e n e d b y u. W e p r o p o s e t h r e e

c a n d i d a t e s :

1o (u, u) = u u,

1 0


11/36

2o vpr(u, u) = uu ,

3o v(u, u) = uu/Dtu(u) .

T h e r . h . s . i n 2o i s f o r m e d a s i n ( 7 ) a n d ( 1 4 ) a n d t h e s u b s c r i p t ` p r ' s t a n d s f o r ` p r o p e r ' . I n 3o

Dtu i s i n d e p e n d e n t o f u i n t h e G a l i l e a n c a s e .

T h e r s t o f t h e s e d e n i t i o n s s a t i s e s t h e a n t i s y m m e t r y a n d c h a i n p r o p e r t i e s :

(u, u) = (u, u) , (u, u) = (u, u) + (u, u) , ( 1 6 )

w h i c h h a s o b v i o u s i n t e r p r e t a t i o n a l a d v a n t a g e s .


I n t h i s c a s e Dt(u

) = 1 a n d u

u = u Dt(u)u = u u, s o a l l t h r e e d e n i t i o n s c o i n c i d e

a n d w e s h a l l u s e n o t a t i o n v(u, u) f o r t h i s q u a n t i t y ( s e e F i g . 1 1 ) . W e h a v e v(u, u) S a n dp o i n t 3o a b o v e t e l l s u s t h a t t h i s v e c t o r g i v e s t h e c h a n g e o f p o s i t i o n o f a n o b s e r v e r w i t h f o u r -

v e l o c i t y u w i t h r e s p e c t t o o n e w i t h f o u r v e l o c i t y u, u n d e r g o n e i n u n i t t i m e . T h e c o m p o s i t i o n

o f v e l o c i t i e s o b e y s s i m p l e v e c t o r a d d i t i o n l a w ( 1 6 ) ( s e e F i g . 1 2 ) .


I n t h i s c a s e a l l t h r e e d e n i t i o n s a r e d i e r e n t ( s e e F i g . 1 3 ) . T h e r s t o n e h a s t h e a d v a n t a g e

o f t h e v e c t o r a d d i t i o n c o m p o s i t i o n l a w ( 1 6 ) ( s e e F i g . 1 4 ) , b u t (u, u) d o e s n o t l i e i n a n y o f

t h e s u b s p a c e s Su o r Su . R a t h e r , i t i s i n t h e s u b s p a c e Sw o f t h e o b s e r v e r w i t h f o u r - v e l o c i t y

` h a l f w a y ' b e t w e e n u a n d u : w = (u + u)/

(u + u) (u + u) .T h e s e c o n d a n d t h e t h i r d d e n i t i o n s g i v e p a r a l l e l v e c t o r s i n Su . T h e p r o p e r v e l o c i t y

vpr(u, u) i s t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e m o t i o n a l o n g a n y w o r l d - l i n e P + L(u), a s s e e n i n t h e

u- f r a m e , u n d e r g o n e d u r i n g u n i t t i m e i n t e r v a l a s m e a s u r e d o n t h e w o r l d - l i n e ( p r o p e r t i m e )

( s e e F i g . 1 5 ) . T h e v e l o c i t y v(u, u) i s a s i m i l a r d i s p l a c e m e n t b u t s c a l e d t o u n i t t i m e i n

u- f r a m e . I t i s o n l y t h i s l a t t e r q u a n t i t y w h i c h i s b o u n d e d b y 1 ( l i g h t v e l o c i t y a s d e n e d i n

S e c t i o n V I I ) .

T h e e x p l i c i t f o r m o f t h e t w o l a t t e r v e l o c i t i e s i s e a s i l y o b t a i n e d :

vpr(u, u) = u u u u , ( 1 7 )

v(u, u) =u

u u u . ( 1 8 )

1 1


12/36

N e i t h e r o f t h e s e v e l o c i t i e s s a t i s e s t h e a n t i s y m m e t r y o r t h e c h a i n r u l e p r o p e r t i e s ( 1 6 ) . I f w e

w r i t e t h e r s t o f t h e s e e q u a t i o n s i n t h e f o r m u = u u u + vpr a n d t a k e t h e s c a l a r s q u a r e o f b o t h s i d e s w e n d

(u

u)2

|vpr

|2 = 1 ( 1 9 )

( f r o m n o w o n w e w r i t e vpr vpr(u, u), v v(u, u) ) . T h i s t e l l s u s t h a t t h e q u a n t i t i e s u ua n d |vpr| m a y b e r e p r e s e n t e d a s t h e h y p e r b o l i c c o s i n e a n d h y p e r b o l i c s i n e o f s o m e u n i q u e p a r a m e t e r 0. I f w e d e n o t e k = exp 1 w e g e t t h e r e p r e s e n t a t i o n

u u = 12(k + k1) c(k) , |vpr| = 12(k k1) s(k) , |v| =s(k)

c(k). ( 2 0 )

S o m e o t h e r u s e f u l r e l a t i o n s w h i c h f o l l o w a r e

c(k) =

1 + |vpr|2 = 11 |v|2 , s(k) = |v|

1 |v|2 , ( 2 1 )

k = |vpr| +

1 + |vpr|2 =

1 + |v|1 |v|

1/2. ( 2 2 )

W e s h a l l n d t h e d i r e c t p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f k i n t h e n e x t s e c t i o n .

T h e m a g n i t u d e o f k i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t h e i n t e r c h a n g e o f u a n d u , s o i f w e

d e n o t e vpr vpr(u, u) a n d v v(u, u) t h e n w e h a v e

|v

pr| = |vpr| , |v

| = |v| . ( 2 3 )

T h e m o t i o n o f a n o b s e r v e r w i t h r e s p e c t t o t h e u- f r a m e i s o f t e n d e n e d r a t h e r i n t e r m s o f

vpr o r v t h a n u

, o r s i m i l a r l y w i t h t h e r o l e o f o b s e r v e r s i n t e r c h a n g e d , a n d t h e n

u = c(k)u + vpr = c(k)(u + v) = c(k)u + s(k)n ,

u = c(k)u + vpr = c(k)(u + v) = c(k)u + s(k)n ,

( 2 4 )

w h e r e b y n a n d n w e h a v e d e n o t e d t h e u n i t s p a c e l i k e v e c t o r s p o i n t i n g i n t h e d i r e c t i o n o f

v a n d v r e s p e c t i v e l y . A l t h o u g h t h e u s e o f vpr o r v i n s t e a d o f u m a y s e e m b e t t e r s u i t e d f o r

t h e p o i n t o f v i e w o f t h e u- f r a m e , o n e h a s t o b e c a r e f u l n o t t o p r o j e c t G a l i l e a n p r o p e r t i e s o f

v e l o c i t i e s t o S R . F o r i n s t a n c e , w e h a v e v = v , i n c o n t r a s t t o G S . T h e c o m p o s i t i o n o f v e l o c i t i e s o f t h e s e t y p e s i s r a t h e r c o m p l i c a t e d a n d n o t v e r y i l l u m i -

n a t i n g . T h e s p e c i a l c a s e o f f o u r - v e l o c i t i e s u, u , u l y i n g i n o n e t w o - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e

w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

1 2


13/36

I X . T I M E M E A S U R E M E N T

T h e p r o b l e m o n e w a n t s t o a d d r e s s h e r e i s t h e f o l l o w i n g . T w o e v e n t s P a n d Q o n a w o r l d

l i n e w i t h f o u r v e l o c i t y u a r e s e p a r a t e d b y t h e v e c t o r tu , s o t h e t i m e i n t e r v a l b e t w e e n

t h e m a s m e a s u r e d d i r e c t l y b y t h e i n e r t i a l o b s e r v e r o n t h i s w o r l d - l i n e i s t . W h a t t i m e - s p a n

t w i l l b e m e a s u r e d b e t w e e n t h e s e e v e n t s i n t h e f r a m e d e n e d b y t h e f o u r - v e l o c i t y u?


H e r e t h e a n s w e r i s s i m p l e . T h e s p a c e t i m e i s e q u i p p e d w i t h t h e u n i v e r s a l t i m e i n t e r v a l

f o r m Dt , s o t h e r e i s n o d o u b t h o w t o m e a s u r e t h i s i n t e r v a l i n a n y f r a m e . O n e h a s

t = Dt(tu) = t . ( 2 5 )


I f o n e e m p l o y s t h e f r a m e - d e p e n d e n t t i m e i n t e r v a l f o r m Dtu d e s c r i b e d i n S e c t i o n V I B ,

o n e n d s

t = Dtu(tu) = u u t = c(k)t , ( 2 6 )

( n o t a t i o n a s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n ) . T h i s g i v e s t h e f a m o u s ` t i m e d i l a t i o n ' e e c t . H o w e v e r ,

o n e s h o u l d b e c a r e f u l t o i n t e r p r e t t h i s r e s u l t p r o p e r l y . N o i n e r t i a l o b s e r v e r f r o m t h e u- f r a m e

c a n p a s s d i r e c t l y b o t h e v e n t s P a n d Q, t h u s t h e m e a s u r e m e n t i n t h i s f r a m e i s b y n e c e s s i t y

i n d i r e c t . O b s e r v e r s o n t h e w o r l d - l i n e s P + L(u) a n d Q + L(u) t o e s t a b l i s h o n e f r a m e -

d e p e n d e n t t i m e v a r i a b l e tu n e e d o n l y t o a g r e e o n a c h o i c e o f a c o n s t a n t t i m e h y p e r s u r f a c e t o

s y n c h r o n i z e t h e i r c l o c k s ( a s t h e t i m e - i n t e r v a l f o r m Dtu i s k n o w n d i r e c t l y t o b o t h o f t h e m ) .

A f t e r t h i s h a s b e e n s e t t l e d ( s e e b e l o w ) t h e t i m e tu(P) i s m e a s u r e d d i r e c t l y b y t h e r s t

o b s e r v e r , a n d t h e t i m e tu

(Q) i s m e a s u r e d d i r e c t l y b y t h e o t h e r . T h e d i e r e n c e tu

(Q)

tu

(P)

g i v e s t. S e e F i g . 1 6 .

T h e s y n c h r o n i z a t i o n o f c l o c k s c a n b e d o n e b y t h e r a d a r m e t h o d . T h e r s t o b s e r v e r s e n d s

a t h i s t i m e t1 a l i g h t s i g n a l t o w a r d s t h e o t h e r o n e a n d r e c e i v e s i t b a c k r e e c t e d a t t2 . D e n o t e

b y X t h e e v e n t o n t h e w o r l d - l i n e o f t h e r s t o b s e r v e r a t h i s t i m e (t1 + t2)/2, a n d b y Y

t h e e v e n t o n t h e w o r l d - l i n e o f t h e s e c o n d o b s e r v e r a t w h i c h t h e r e e c t i o n o f t h e l i g h t r a y

t a k e s p l a c e , s e e F i g . 1 7 . I f l1 a n d l2 a r e l i g h t l i k e v e c t o r s a s d e p i c t e d i n t h e g u r e , t h e n

1 3


14/36

(t2 t1)u = l1 + l2 , XY = (l1 l2)/2 , s o u XY = 0. T h u s X a n d Y l i e i n o n e h y p e r p l a n e o f u - s i m u l t a n e i t y a n d i f t h e s e c o n d o b s e r v e r a g r e e s t o s e t h i s c l o c k f o r (t1 + t2)/2 a t Y , t h e

c l o c k s w i l l b e s y n c h r o n i z e d .

I n r e a l l i f e t h e t i m e d i l a t i o n m e a s u r e m e n t i s r a r e l y , i f a t a l l , d o n e t h i s w a y . P r o b a b l y

t h e m o s t f a m o u s i n s t a n c e o f t h e d i l a t i o n e e c t i s t h e d e c a y o f m u o n s p r o d u c e d b y c o s m i c

r a d i a t i o n c o m i n g t o E a r t h . M u o n s a r e u n s t a b l e p a r t i c l e s w i t h a c h a r a c t e r i s t i c l i f e t i m e ( i n

t h e i r r e s t - f r a m e s ) . T h e y a r e p r o d u c e d w i t h k n o w n e n e r g y ( s o a l s o k n o w n v e l o c i t y ) b y s c a t -

t e r e d c o s m i c r a y s . O n e n d s t h a t t h e i r m e a n l i f e t i m e i n t h e E a r t h - f r a m e i s m u c h l o n g e r

t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c o n e . H o w e v e r , w h a t i s d i r e c t l y m e a s u r e d i s n o t a n y t i m e a t a l l ! O n e

m e a s u r e s t h e d i s t a n c e t h e y c o v e r d u r i n g t h e i r l i f e ; t h e n k n o w i n g t h e i r r e l a t i v e v e l o c i t y i n

t h e E a r t h - f r a m e o n e c a l c u l a t e s t h e i r l i f e t i m e i n t h i s f r a m e .

A n o t h e r t y p e o f t i m e m e a s u r e m e n t i s b y r e g i s t e r i n g t h e t i m e o f a r r i v a l o f l i g h t s i g n a l s .

S u p p o s e t h a t t w o i n e r t i a l o b s e r v e r s t r a v e l a l o n g w o r l d - l i n e s P + L(u) a n d P + L(u) r e s p e c -

t i v e l y ( t h u s w e a s s u m e f o r s i m p l i c i t y t h a t t h e y m e e t a t P) . L e t b o t h o f t h e m s e t t h e i r c l o c k s

s o a s t o s h o w 0 a t P. T h e u - o b s e r v e r s e n d s a l i g h t s i g n a l t o w a r d s t h e u- o b s e r v e r a t h i s t i m e

t , w h i c h a r r i v e s a t t h e u- o b s e r v e r ' s w o r l d - l i n e a t t h e t i m e t+ o n t h a t l i n e . T h u s o n e h a s t h e

e q u a t i o n tu + l = t+u , w h e r e l i s t h e l i g h t l i k e , f u t u r e - p o i n t i n g v e c t o r c o n n e c t i n g t h e s e t w o

e v e n t s ( s e e F i g . 1 8 ) . W e w r i t e t h i s a s

l = t+u tu , l l = 0 , l u > 0 . ( 2 7 )

S o l v i n g t h e s e c o n d e q u a t i o n f o r t+ o n e o b t a i n s t w o v a l u e s o u t o f w h i c h t h e t h i r d c o n d i t i o n

s e l e c t s o n l y o n e :

t+ = u u t +

(u u)2 1 |t| = c(k)t + s(k)|t| . ( 2 8 )

N o t e t h a t t, t+ < 0 f o r o b s e r v e r s a p p r o a c h i n g e a c h o t h e r ( p a r t s o f w o r l d - l i n e s c a u s a l l y

p r e c e d i n g

P) a n d

t

, t+ > 0f o r o b s e r v e r s m o v i n g a w a y f r o m e a c h o t h e r ( p a r t s o f w o r l d - l i n e s

c a u s a l l y f o l l o w i n g P) . L e t n o w t h e u - o b s e r v e r s e n d t w o s i g n a l s a t t i m e s t1 a n d t2 > t

1 ,

e i t h e r b o t h n e g a t i v e o r b o t h p o s i t i v e , a n d d e n o t e t = t2 t1 , t+ = t+2 t+1 . T h e n o n e n d s f r o m t h e a b o v e r e l a t i o n t h a t

t+ = k1t o b s e r v e r s m o v i n g t o w a r d s e a c h o t h e r ,

t+ = kt

o b s e r v e r s m o v i n g a w a y f r o m e a c h o t h e r .( 2 9 )

1 4


15/36

N o t e t h a t t h e r e s u l t i s c o m p l e t e l y d i e r e n t f r o m t h e ` d i l a t i o n e e c t ' .

T h e a b o v e c o n n e c t i o n s h a v e a d i r e c t l y o b s e r v a b l e p h y s i c a l c o n s e q u e n c e . T h e l i g h t i s a

w a v e p h e n o m e n o n ; t h e c h a n g e o f i t s p h a s e f r o m o n e r a y t o a n o t h e r i s t h e s a m e f o r e a c h o f

t h e a b o v e o b s e r v e r s . B u t t h e t i m e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e n c h a n g e o f p h a s e , s a y 2 , a r e

r e l a t e d a s a b o v e . T h u s t h e f r e q u e n c i e s o f l i g h t a n d f o r t h e t w o o b s e r v e r s a r e r e l a t e d b y

= k o b s e r v e r s m o v i n g t o w a r d s e a c h o t h e r ,

= k1 o b s e r v e r s m o v i n g a w a y f r o m e a c h o t h e r .( 3 0 )

W i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n o f k - c o e c i e n t g i v e n b y t h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( 2 9 ) w e c a n n o w

n d a s i m p l e f o r m u l a f o r t h e c o m p o s i t i o n o f v e l o c i t i e s ( o r r a t h e r t h e i r l e n g t h s ) i n t h e s p e c i a l

c a s e o f t h r e e c o - p l a n a r f o u r - v e l o c i t i e s u, u , u . L e t t h e k - c o e c i e n t s b e d e n o t e d a s i n

F i g . 1 9 . T h i s g u r e t h e n a l s o s h o w s t h a t K = kk . U s i n g t h e l a s t e q u a t i o n i n ( 2 0 ) a n d

E q . ( 2 2 ) o n e n d s

|v(u, u)| = |v(u, u)| + |v(u, u)|

1 + |v(u, u)||v(u, u)| . ( 3 1 ) W e e n d t h i s s e c t i o n w i t h a w a r n i n g a g a i n s t a p o p u l a r e r r o r i n g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s

o f t h e t i m e d i l a t i o n f o u n d i n m a n y i n t r o d u c t o r y t e x t s o n S R . O n e o f m a n y v a r i a n t s i s t h i s :

a n i n d i v i d u a l A i s s p e e d i n g i n a r o c k e t t o w a r d s ( o r a w a y f r o m ) a n o t h e r i n d i v i d u a l B , w h o

i s b u s y w i t h s o m e a c t i v i t y . E a c h o f t h e i n d i v i d u a l s i s e q u i p p e d w i t h a c l o c k a n d A w a t c h e s

( b y ` l o o k i n g ' ) B ' s a c t i v i t y . T h e c l a i m t h e n i s t h a t A w i l l m e a s u r e B ' s a c t i v i t y t o l a s t l o n g e r

t h e n i t l a s t s f o r B i n a g r e e m e n t w i t h t h e t i m e d i l a t i o n f o r m u l a . T h i s , h o w e v e r , i s w r o n g ; i n

f a c t A r e c e i v e s l i g h t s i g n a l s f r o m B , s o h i s m e a s u r e m e n t w i l l g i v e a r e s u l t o b e y i n g o n e o f t h e

c a s e s i n E q s . ( 2 9 ) . I n f a c t , f o r a p p r o a c h i n g o b s e r v e r s , t h e t i m e i n q u e s t i o n i s s h o r t e r .

X . S P A C E M E A S U R E M E N T

H e r e w e p o s e t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n . T w o p a r a l l e l w o r l d - l i n e s w i t h f o u r - v e l o c i t y u a r e

s e p a r a t e d b y a v e c t o r

z

w h i c h i s a ` p u r e s p a c e ' v e c t o r i n t h e

u

- f r a m e . W h a t i s t h e ` p u r e

s p a c e ' v e c t o r z w h i c h s e p a r a t e s t h e m i n t h e f r a m e d e n e d b y u? T h e s e t w o v e c t o r s m a y

b e t h o u g h t o f a s c o n n e c t i n g t w o p a r t i c l e s i n a r i g i d b o d y i n t h e s e t w o f r a m e s . T h i s l a t t e r

n o t i o n h a s l i m i t a t i o n s i n S R : i t r u n s i n t o d i c u l t y w h e n a c c e l e r a t i o n s a r e i n v o l v e d , a n d t h e n

n e e d s a n i n p u t o f d y n a m i c s t o b e m o d i e d . H o w e v e r , a s l o n g a s o n l y i n e r t i a l m o t i o n s a r e

i n v o l v e d , a r i g i d b o d y m a y b e i d e n t i e d w i t h s o m e f a m i l y o f p a r a l l e l w o r l d - l i n e s . T h i s b o d y

r e s t s i n t h e f r a m e d e n e d b y t h e s e w o r l d - l i n e s .

1 5


16/36


H e r e a g a i n t h e a n s w e r i s s i m p l e : t h e ` p u r e s p a c e ' d i r e c t i o n s a r e u n i v e r s a l l y d e t e r m i n e d

b y S, s o

z = z S . ( 3 2 )


I n t h i s c a s e ` p u r e s p a c e ' m e a n s t h a t u z = u z = 0. T h e c o n d i t i o n f o r z t o c o n n e c t t h e s a m e t w o w o r l d - l i n e s i s z = z + u w i t h s o m e r e a l . T a k i n g t h e s c a l a r p r o d u c t o f t h i s

e q u a t i o n w i t h u w e n d t h i s c o e c i e n t a n d o b t a i n

z = z z

uu u u . ( 3 3 )

T h e s e t w o v e c t o r s c a n b e d e c o m p o s e d a s

z = z + n , z = z + n , ( 3 4 )

w h e r e z

i s o r t h o g o n a l t o u a n d n ( a s d e n e d a t t h e e n d o f S e c t i o n I X ) , z i s o r t h o g o n a l t o

u a n d n , a n d , a r e n u m e r i c a l c o n s t a n t s . N o t e t h a t z

a n d z a r e e q u i v a l e n t l y i d e n t i e d

a s p a r t s o f z a n d z o r t h o g o n a l b o t h t o u a n d u . T a k i n g t h e s c a l a r p r o d u c t o f E q . ( 3 3 ) w i t h

u w e n d z u = z u/u u. U s i n g n o w E q s . ( 2 4 ) a n d ( 3 4 ) w e n d a f t e r s o m e s i m p l e a l g e b r a

z = z

, =

c(k). ( 3 5 )

T h e s e c o n d o f t h e s e e q u a t i o n s d e s c r i b e s t h e e e c t o f t h e s o c a l l e d ` l e n g t h c o n t r a c t i o n ' ,

w h o s e p o p u l a r f o r m u l a t i o n c o u l d r u n a s : ` t h e d i m e n s i o n s p a r a l l e l t o t h e r e l a t i v e v e l o c i t y

m e a s u r e d b y t h e m o v i n g o b s e r v e r a r e b y t h e f a c t o r 1/c(k) s h o r t e r t h e n t h o s e m e a s u r e d b y

t h e o b s e r v e r i n r e s t w i t h r e s p e c t t o t h e o b j e c t b e i n g m e a s u r e d ' . H o w e v e r , o n e s h o u l d n o t e

t h a t t h i s f o r m u l a t i o n a n d t h e t e r m ` c o n t r a c t i o n ' a r e s o m e w h a t m i s l e a d i n g :

1o T h e v e c t o r s z a n d z c o n n e c t t w o d i e r e n t p a i r s o f e v e n t s o n t h e t w o w o r l d - l i n e s

c o n s i d e r e d , n o t h i n g i s b e i n g ` c o n t r a c t e d ' . E v e n t s s e p a r a t e d b y z a r e s i m u l t a n e o u s i n

t h e r e s t f r a m e o f t h e ` r i g i d b o d y ' , w h i l e t h o s e s e p a r a t e d b y z a r e s i m u l t a n e o u s f o r t h e

m o v i n g o b s e r v e r .

1 6


17/36

2o T h e v e c t o r s n a n d n ( p o i n t i n g i n t h e d i r e c t i o n s o f t h e t w o r e s p e c t i v e v e l o c i t i e s ) a r e

n o t e v e n p a r a l l e l , s o f o r e a c h o f t h e f r a m e s t h e t e r m ` p a r a l l e l t o t h e v e l o c i t y ' m e a n s

s o m e t h i n g d i e r e n t .

F i g u r e 2 0 i l l u s t r a t e s t h e s i t u a t i o n f o r t h e s p e c i a l c a s e

z

= z = 0, w h i c h m e a n s t h a t f o r

t h e u- o b s e r v e r t h e r i g i d r o d w i t h e n d s o n t h e t w o w o r l d - l i n e s m o v e s p a r a l l e l l y t o i t s a x i s .

T h e p r o p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e a b o v e d i s m i s s e s v a r i o u s ` l e n g t h c o n t r a c t i o n p a r a d o x e s '

i n S R .

7

T h e k e y t o a l l o f t h e m i s a c a u t i o u s a n a l y s i s o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n v a r i o u s v e c t o r s

i n v o l v e d i n t h e p r o b l e m .

W e i l l u s t r a t e t h i s w i t h a g e o m e t r i c a l s i t u a t i o n w h o s e v a r i a n t s l i e a t t h e b a s e o f m o s t o f

t h e s e e e c t s . S u p p o s e w e h a v e t w o p a i r s o f p a r a l l e l w o r l d - l i n e s : P + L(u), Q + L(u) , a n d

P + L(u) , Q + L(u) , s o t h a t t h e r s t l i n e s i n t h e s e p a i r s i n t e r s e c t a t P, a n d t h e s e c o n d l i n e s

i n t e r s e c t a t Q. P h y s i c a l l y t h i s m a y b e t h o u g h t o f a s m o d e l i n g t w o r i g i d r o d s i n r e l a t i v e

m o t i o n , t h e e n d s o f t h e r s t a n d t h e s e c o n d r o d d e s c r i b e d b y t h e l i n e s i n t h e r s t a n d i n t h e

s e c o n d p a i r r e s p e c t i v e l y . T h e ` f r o n t ' e n d s o f t h e r o d s m e e t a t s o m e p o i n t a n d s i m i l a r l y t h e

` b a c k ' e n d s m e e t a t s o m e o t h e r p o i n t . L e t z a n d w b e t h e ` p u r e s p a c e ' v e c t o r s ( i n r e s p e c t i v e

r e s t - f r a m e s ) c o n n e c t i n g t h e e n d s o f r o d s a n d d e n o t e x =P Q. ( S e e F i g . 2 1 . T h e p i c t u r e

m i g h t s u g g e s t t h a t t h e r o d s a r e b o u n d t o c l a s h a n d c a n n o t ` g o t h r o u g h ' . T h i s i s b e c a u s e w e

l a c k i n t h e p i c t u r e t h e f o u r t h d i m e n s i o n , w h i c h m a y b e u s e d t o s l i g h t l y d e t a c h t h e r o d s . )

T h e n o n e h a s

x = z + u = w + u ( 3 6 )

w i t h s o m e c o n s t a n t s , . W e d e c o m p o s e z a s i n t h e r s t E q . ( 3 4 ) a n d s i m i l a r l y w r i t e

w = w + n , w = w

c(k)n , ( 3 7 )

( t h e s e c o n d f o r m u l a o b t a i n e d i n a n a l o g y w i t h E q s . ( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) i s w r i t t e n d o w n f o r l a t e r

u s e ) . A s n a n d n c a n b e e x p r e s s e d a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f u a n d u ( s e e E q . ( 2 4 ) ) , t h e

c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n f o r t h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( 3 6 ) i s

z = w , ( 3 8 )

a n d t h e n t h e c o n s t a n t s a n d h a v e u n i q u e s o l u t i o n s , w h i c h w e d o n o t n e e d t o w r i t e d o w n

e x p l i c i t l y .

T h e g e o m e t r y o f t h e s i t u a t i o n i s c l e a r a n d n o i n t e r p r e t a t i o n a l d i c u l t y a r i s e s i f o n e i n s i s t s

o n t h i s f o u r - d i m e n s i o n a l p i c t u r e . H o w e v e r , i f o n e u s e s t h e ` l e n g t h c o n t r a c t i o n ' l a n g u a g e

1 7


18/36

` p a r a d o x e s ' e a s i l y a r i s e . S u p p o s e , f o r i n s t a n c e , t h a t t h e v e c t o r x i s s p a c e l i k e ( a s i n F i g . 2 1 )

a n d c o n s i d e r a n y f o u r - v e l o c i t y o r t h o g o n a l t o x. T h e n t h e i n t e r s e c t i n g o f l i n e s h a s t h i s

i n t e r p r e t a t i o n : i n e a c h o f t h e s e f r a m e s t h e t w o r o d s p a s s e a c h o t h e r p a r a l l e l l y , w i t h b o t h

r e s p e c t i v e e n d s s i m u l t a n e o u s l y c o m i n g i n t o c o n t a c t . B u t n o w t h e ` p a r a d o x i c a l ' p r o b l e m

a r i s e s : i f w e g o t o s o m e o t h e r f r a m e n o t i n t h i s f a m i l y , t h e n d u e t o d i e r e n t v e l o c i t i e s o f t h e

t w o r o d s t h e y w i l l c h a n g e t h e i r s i z e i n d i e r e n t w a y , s o t h e e n d s c a n n o t m e e t . T h e s i m p l e

e x p l a n a t i o n i s , o f c o u r s e , t h a t w h a t i s s i m u l t a n e o u s i n o n e f r a m e u s u a l l y i s n o t s i m u l t a n e o u s

i n a n o t h e r , w h i c h f a l s i e s t h e a b o v e c o n c l u s i o n . A n d e v e n m o r e , t h e r o d s m o v i n g p a r a l l e l l y

i n o n e f r a m e u s u a l l y d o n o t r e m a i n p a r a l l e l i n a n o t h e r .

T o i l l u s t r a t e t h e l a s t p o i n t s u p p o s e t h a t i n t h e a b o v e g e o m e t r i c a l s e t t i n g x = w , i . e .

t h e r o d s a r e p a r a l l e l a n d o f e q u a l l e n g t h i n t h e u - f r a m e . T h i s m e a n s t h a t w = z , a n d

d e c o m p o s i n g t h e s e v e c t o r s a s b e f o r e w e n d = c(k). U s i n g t h i s a n d E q . ( 3 8 ) w e n d

w = w c(k)

n , z = w c(k) n . ( 3 9 )

T h e s e v e c t o r s a r e p a r a l l e l i f , a n d o n l y i f w = 0 o r = 0. I n a l l o t h e r c a s e s r o d s m o v e i n

t h e u - f r a m e a s k e w t o e a c h o t h e r . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 2 .

X I . N O N - I N E R T I A L M O T I O N S , P R O P E R T I M E , S I M U L T A N E I T Y

I n e r t i a l m o t i o n s , a s w e h a v e s e e n , h a v e a s p e c i a l r o l e t o p l a y f o r t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e

g e o m e t r y o f s p a c e t i m e . H o w e v e r , t h e p i c t u r e w o u l d n o t b e c o m p l e t e w i t h o u t m e n t i o n i n g

o t h e r , n o n - i n e r t i a l , m o t i o n s . S t r a i g h t l i n e s a r e s p e c i a l e x a m p l e s i n t h e m o r e g e n e r a l c l a s s o f

c u r v e s . A r e g u l a r c u r v e m a y b e d e n e d a s a s e t o f p o i n t s o b t a i n e d a s v a l u e s o f a d i e r e n t i a b l e

m a p p i n g P() , w h e r e i s a r e a l p a r a m e t e r t a k i n g v a l u e s i n s o m e ( n i t e o r n o t ) i n t e r v a l o n t h e r e a l a x i s . T h e c u r v e i s i n v a r i a n t u n d e r a c h a n g e o f p a r a m e t e r = f() , w h e r e f

i s d i e r e n t i a b l e t o g e t h e r w i t h i t s i n v e r s e . E a c h r e g u l a r c u r v e h a s a t e a c h i t s p o i n t P()

a t a n g e n t v e c t o r d e n e d a s dP()/d. T h e e x t e n s i o n o f t a n g e n t v e c t o r s c h a n g e s w i t h t h e

c h a n g e o f p a r a m e t e r ( b u t t h e t a n g e n t s t r a i g h t l i n e s t h e y g e n e r a t e r e m a i n u n c h a n g e d ) .

W e n o w d e n e a g e n e r a l w o r l d - l i n e a s a c u r v e w i t h a f o u r - v e l o c i t y a s i t s t a n g e n t v e c t o r

a t e a c h i t s p o i n t . W e s a y t h a t i s a p r o p e r t i m e o f a w o r l d - l i n e i f i t h a s t h e f o r m P()a n d t h e e q u a t i o n

dP()

d= u() ( 4 0 )

1 8


19/36

d e n e s a t e a c h p o i n t t h e t a n g e n t f o u r - v e l o c i t y u(). P h y s i c a l l y p r o p e r t i m e i n t e r v a l s a r e

m e a s u r e d b y c l o c k s t r a v e l i n g a l o n g t h e w o r l d - l i n e . I n t e g r a t i n g t h e a b o v e e q u a t i o n o n e o b -

t a i n s

P1P2 =

2

1

u() d , w h e r e Pi = P(i) . ( 4 1 )

N o t e t h a t s u m s o f f o u r - v e l o c i t i e s a r e f u t u r e - p o i n t i n g t i m e l i k e v e c t o r s , s o P2 i s i n t h e f u t u r e

o f P1 . O n e i n t r o d u c e s a l s o t h e c o n c e p t o f t h e f o u r - a c c e l e r a t i o n :

a() =du()

d. ( 4 2 )

N o t e t h a t a c c e l e r a t i o n , l i k e r e l a t i v e v e l o c i t y , p o i n t s i n a ` p u r e l y s p a t i a l ' d i r e c t i o n :

G S : Dt(a()) =d

dDt(u()) = 0 ,

S R : Dtu()(a()) = u() a() = 12 dd[u()]2 = 0 .

( 4 3 )

H o w e v e r , u n l i k e r e l a t i v e v e l o c i t y , t h e a c c e l e r a t i o n i s a b s o l u t e i t d o e s n o t n e e d a r e f e r e n c e

o b s e r v e r .

W e n o w w a n t t o n d

1o w h a t i s t h e r e l a t i o n o f t h e p r o p e r t i m e t o a n e t i m e f u n c t i o n s d e n e d e a r l i e r ,

2o d o e s t h e p r e s e n c e o f a c c e l e r a t i o n i n u e n c e t h e c o n c e p t o f s i m u l t a n e i t y ?


W e a p p l y t h e l i n e a r f o r m Dt t o b o t h s i d e s o f E q . ( 4 1 ) a n d n d

t(P2) t(P1) = Dt(P1P2) =21

Dt(u()) d = 2 1 . ( 4 4 )

T h u s t h e p r o p e r t i m e i n t e r v a l s a r e i d e n t i c a l w i t h t h e a b s o l u t e t i m e i n t e r v a l s . A l s o , t h e

n o t i o n o f s i m u l t a n e i t y i s i n n o w a y i n u e n c e d b y a c c e l e r a t i o n s .


H e r e w e t a k e t h e f o r m Dtu a n d t h e n p r o c e e d a s i n t h e G a l i l e a n c a s e t o n d

tu(P2) tu(P1) =21

u u() d 2 1 . ( 4 5 )

1 9


20/36

T h e r e f o r e t h e p r o p e r t i m e i n t e r v a l i s a l w a y s s m a l l e r t h a n a n y a n e t i m e f u n c t i o n i n t e r v a l ,

e x c e p t f o r t h e c a s e w h e n u() u. T h e l a t t e r c a s e g i v e s s i m p l y P() = P(1) + ( 1)u,w h i c h i s a n i n e r t i a l m o t i o n ; p r o p e r t i m e i n t e r v a l s a r e t h e n e q u a l t o t h e u - i n e r t i a l t i m e

i n t e r v a l s o n t h a t l i n e . I n g e n e r a l t h i s i s n o t t h e c a s e . H o w e v e r , p u t 1 = , 2 = + d a n d

u = u() . T h e n w e n d

tu()(P( + d)) tu()(P()) = d , ( 4 6 )

s o l o c a l l y t h e p r o p e r t i m e i n t e r v a l i s e q u a l t o t h e t i m e i n t e r v a l a s d e n e d e a r l i e r f o r i n e r t i a l

m o t i o n s .

W i t h a c c e l e r a t e d m o t i o n s i n p l a y i t i s n o w p o s s i b l e t o l e t t w o g e n e r a l o b s e r v e r s s t a r t

f r o m P1 , t a k e d i e r e n t r o u t e s , a n d t h e n m e e t a g a i n a t P2 . I n g e n e r a l t h e i r c l o c k s w i l l s h o w

d i e r e n t t i m e i n t e r v a l s b e t w e e n t h e s e t w o e v e n t s . I n p a r t i c u l a r , l e t t h e r s t o b s e r v e r g o

s t r a i g h t f r o m P1 t o P2 a l o n g a n i n e r t i a l w o r l d - l i n e , a n d l e t u b e h i s f o u r - v e l o c i t y . T h e n h i s

c l o c k w i l l s h o w t h e i n t e r v a l tu(P2) tu(P1) , w h i c h i s a l w a y s m o r e t h a n t h e r e a d i n g o f t h e p r o p e r t i m e i n t e r v a l f o r a n y a c c e l e r a t e d o b s e r v e r . T h e r e i s n o p a r a d o x h e r e ( t h e f a m o u s

` t w i n p a r a d o x ' ) t h e a c c e l e r a t i o n s , a s n o t e d a b o v e , a r e a b s o l u t e , s o t h e r e i s n o s y m m e t r y

b e t w e e n t h e o b s e r v e r s .

C o n s i d e r n o w s i m u l t a n e i t y . S u p p o s e t h a t f o r a n o b s e r v e r o n t h e w o r l d - l i n e P() w e c a n

e x t e n d t h i s n o t i o n i n t h e w a y d e t e r m i n e d b y h i s l o c a l p o s i t i o n a n d f o u r - v e l o c i t y : e v e n t

Xi s

f r o m h i s p o i n t o f v i e w s i m u l t a n e o u s w i t h t h e e v e n t P() i P()X u() = 0 . H o w e v e r , t h i s

l e a d s t o c o n c e p t u a l d i c u l t i e s . T o s e e t h i s s u p p o s e t h e o b s e r v e r c r o s s e s P1 w i t h f o u r - v e l o c i t y

u1 a n d t h e n P2 w i t h f o u r - v e l o c i t y u2 . T h e t w o c o r r e s p o n d i n g s i m u l t a n e i t y h y p e r p l a n e s c r o s s

o n t h e 2 - p l a n e o f e v e n t s X d e t e r m i n e d b y t h e l i n e a r s y s t e m

PiX ui = 0 , i = 1, 2 . ( 4 7 )

T a k e a n y e v e n t

Xo n t h i s 2 - p l a n e a n d p u t

X

i = X + PiX. W e h a v e

PiX

i = 2PiX, s o

X

i

i s s i m u l t a n e o u s w i t h Pi . A t t h e s a m e t i m e t h e r e i s X1X

2 = P1P2 . T h e r e f o r e X

2 i s i n t h e

p a s t o f X1 . T h u s a n e v e n t w h i c h a c c o r d i n g t o t h e a b o v e d e n i t i o n i s s i m u l t a n e o u s w i t h P1

t u r n s o u t t o b e i n t h e f u t u r e o f a n e v e n t s i m u l t a n e o u s w i t h a l a t e r e v e n t P2 ( s e e F i g . 2 3 ) .

T h i s d i c u l t y s h o u l d b y n o m e a n s b e i n t e r p r e t e d a s a n a r g u m e n t a g a i n s t t h e o b j e c t i v i t y

o f t h e ` d i r e c t i o n o f t i m e o w ' . T h i s l a t t e r n o t i o n s h o u l d b e s i m p l y i d e n t i e d w i t h t h e c h o i c e

o f t h e c a u s a l o r i e n t a t i o n a n d t h e e m e r g i n g p a r t i a l o r d e r Q P, a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n I V .

2 0


21/36

T h e d i c u l t y r a t h e r p o i n t s t o t h e w e a k n e s s o f t h e n o t i o n o f s i m u l t a n e i t y , i t s r e s t r i c t e d

a p p l i c a b i l i t y a n d , t o s o m e d e g r e e , i t s c o n v e n t i o n a l c h a r a c t e r . I t a l s o s h o w s t h a t t h e s t r i c t

` d i l a t i o n ' a n d ` c o n t r a c t i o n ' p r o b l e m s a r e o f r a t h e r a c a d e m i c n a t u r e .

X I I . F O U R - M O M E N T U M , F O U R - A N G U L A R M O M E N T U M A N D T H E I R C O N -

S E R V A T I O N

T h e f o u r - m o m e n t u m o f a p a r t i c l e w i t h m a s s m1 a n d f o u r - v e l o c i t y u1 i s g i v e n b y

p1 = m1u1 . ( 4 8 )

I f o n e c h o o s e s a r e f e r e n c e p o i n t O a n d x1 i s a v e c t o r f r o m t h i s p o i n t t o t h e p o s i t i o n o f t h e

p a r t i c l e t h e n t h e f o u r - m o m e n t u m t e n s o r i s d e n e d b y

L1 = 2x1 p1 . ( 4 9 )

L e t p1, . . . , pk b e t h e i n i t i a l a n d p

1, . . . p

l t h e n a l f o u r - m o m e n t a i n a c o n s e r v a t i v e m e c h a n i c a l

p r o c e s s . T h e i n v a r i a n t l a w s o f m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n s a y

ki=1

pi =l

j=1

pj ,k

i=1

Li =l

j=1

Lj . ( 5 0 )


H e r e t h e m a s s i s a n i n v a r i a n t o f t h e f o u r - m o m e n t u m g i v e n b y m1 = Dt(p1) . T h e d e c o m -

p o s i t i o n o f t h e f o u r - m o m e n t u m w i t h r e s p e c t t o t h e f r a m e d e n e d b y t h e f o u r - v e l o c i t y u i s

t h u s

p1 = m1u + p1u ( 5 1 )

s e e F i g . 2 4 . W e s e e t h u s t h a t t h e l a w o f c o n s e r v a t i o n o f m a s s a n d t h e l a w o f c o n s e r v a t i o n o f

m o m e n t u m a r e a s p e c t s o f o n e o b s e r v e r - i n v a r i a n t l a w o f c o n s e r v a t i o n o f f o u r - m o m e n t u m .


T h e m a s s a g a i n i s a n i n v a r i a n t , b u t f o r m e d i n a n o t h e r w a y : p1 p1 = m21 . T h e n i n t h e u- f r a m e w e h a v e

p1 = E1uu + p1u , E21u |p1u|2 = m21 , ( 5 2 )

2 1


22/36

s e e F i g . 2 5 . E1u h a s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e e n e r g y a s s e e n i n t h e c h o s e n f r a m e . N o w t h e

a s p e c t s o f t h e o b s e r v e r - i n v a r i a n t l a w o f c o n s e r v a t i o n o f f o u r - m o m e n t u m a r e l a w s o f e n e r g y

a n d m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n , w h i l e t h e s u m o f m a s s e s n e e d s n o t t o b e c o n s e r v e d .

W e o b s e r v e t h a t g e o m e t r i c a l a n a l o g y i s :

G a l i l e a n m a s s E i n s t e i n i a n e n e r g y

( a n d n o t e n e r g y e n e r g y ) . T h i s a n a l o g y i s f u r t h e r c o n r m e d w h e n o n e c o n s i d e r s t h e t i m e - s p a c e p a r t o f t h e c o n s e r v a t i o n o f f o u r - a n g u l a r m o m e n t u m . F o r f r e e l y m o v i n g p a r t i c l e s o n e

o b t a i n s t h e l a w o f u n i f o r m m o t i o n o f c e n t e r o f m a s s i n t h e G a l i l e a n c a s e , a n d o f c e n t e r o f

e n e r g y i n t h e S R c a s e .

X I I I . G A L I L E A N K I N E T I C E N E R G Y

T h e q u e s t i o n t h e n a r i s e s w h a t i s t h e g e o m e t r i c a l s t a t u s o f t h e G a l i l e a n k i n e t i c e n e r g y

a n d d o e s i t s c o n s e r v a t i o n h a v e a n i n v a r i a n t c h a r a c t e r .

T o a n s w e r t h i s o b s e r v e t h a t w h i l e t h e r e i s n o g e o m e t r i c a l n u m e r i c a l i n v a r i a n t f o r m e d o u t

o f s p a c e - p a r t o f a s i n g l e t i m e l i k e v e c t o r , o n e c a n f o r m a r e s p e c t i v e i n v a r i a n t f o r a p a i r o f

s u c h v e c t o r s . L e t Dt(pi) = mi , i = 1, 2, a n d l e t u b e a n y f o u r - v e l o c i t y . T h e n pi = miu +piu ,

s o t h a t

p1m1

p2m2

=p1um1

p2um2

S . ( 5 3 )

T h u s t h e n u m b e r

d(p1, p2) =m1m2

2

p1um1 p2um2

2

0 ( 5 4 )

d o e s n o t d e p e n d o n u ( s e e F i g . 2 6 ) . F o r m o m e n t a p1, . . . , pk i t i s n o w e a s y t o s h o w , t h a t

ki,j=1

d(pi, pj) = 2ME |Pu|2 0 , ( 5 5 )

w h e r e

P =k

i=1

pi , P = Mu + Pu , E =k

i=1

|piu |22mi

. ( 5 6 )

W e l e a r n t w o f a c t s :

1o I f t h e t o t a l f o u r - m o m e n t u m i s c o n s e r v e d , t h e n t h e c o n d i t i o n o f e n e r g y c o n s e r v a t i o n i s

G a l i l e a n i n v a r i a n t .

2 2


23/36

2o T h e r e i s a l w a y s E |Pu|2/2M, a n d t h e e q u a l i t y h o l d s i f , a n d o n l y i f , a l l m o m e n t a a r e p a r a l l e l .

X I V . C E L E S T I A L S P H E R E

W e x a r e f e r e n c e p o i n t O a n d c o n s i d e r a l l l i g h t r a y s c o m i n g i n t o t h i s p o i n t . I m a g i n e

a w o r l d - l i n e o f a n i n e r t i a l o b s e r v e r w i t h f o u r - v e l o c i t y u p a s s e s t h r o u g h t h i s p o i n t . A t t h i s

p o i n t t h e o b s e r v e r p o s i t i o n s t h e s p a c e d i r e c t i o n s f r o m w h i c h a l l l i g h t r a y s a r r i v e . W e w a n t

t o n d h o w t h e p i c t u r e o b t a i n e d i n t h i s w a y d e p e n d s o n t h e f o u r - v e l o c i t y u o f t h e o b s e r v e r .


H e r e w e a s s u m e t h a t t h e l i g h t r a y s p r o p a g a t e w i t h i n n i t e s p e e d . T h u s t h e s t r a i g h t l i n e s

o f t h e r a y s l i e i n t h e h y p e r p l a n e O + S, a n d t h e i r d i r e c t i o n a l v e c t o r s a r e i n S. B u t f o r s u c h

v e c t o r s t h e d e c o m p o s i t i o n ( 7 ) i s t r i v i a l a n d i n d e p e n d e n t o f u. T h e r e f o r e t h e p i c t u r e f o r m e d

b y l i g h t o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f p a r t i c u l a r o b s e r v e r c r o s s i n g

t h e p o i n t O .


A l i g h t r a y w i t h t h e d i r e c t i o n a l p a s t - p o i n t i n g v e c t o r l V c o m e s f r o m t h e s p a c e d i r e c t i o n p o i n t e d b y t h e u n i t s p a c e l i k e v e c t o r

r(l, u) =lu|lu| =

l u l uu l =

l

u l + u , ( 5 7 )

w h e r e w e h a v e u s e d t h e f a c t t h a t |lu|2 = lu lu = (u l)2 ( s e e F i g . 2 7 ) . I f u i s t h e f o u r - v e l o c i t y o f a n o t h e r o b s e r v e r p a s s i n g O a n d w e d e n o t e f o r b r e v i t y r = r(l, u) , r = r(l, u)

t h e n w e n d

u lu l = (u r) u

= c(k) + s(k) n r . ( 5 8 )

U s i n g t h i s a n d E q . ( 5 7 ) f o r r a n d r w e n d t h e t r a n s f o r m a t i o n r r o f t h e c e l e s t i a l s p h e r e o f t h e u- o b s e r v e r t o t h e s p h e r e o f t h e u - o b s e r v e r :

r = u +r u

c(k) + s(k) n r . ( 5 9 )

2 3


24/36

T a k i n g t h e s c a l a r p r o d u c t o f t h i s e q u a t i o n w i t h u w e n d , i n p a r t i c u l a r , t h e w e l l - k n o w n

a b e r r a t i o n f o r m u l a :

n r = s(k) + c(k) n rc(k) + s(k) n r ( 6 0 )

( t h e d i e r e n c e i n s i g n s i s d u e t o t h e d i r e c t i o n o f

na n d

n

) .

A s m a l l v a r i a t i o n o f t h e d i r e c t i o n o f t h e l i g h t r a y i n d u c e s s m a l l v a r i a t i o n s r a n d r , w h i c h

a r e t a n g e n t t o t h e t w o r e s p e c t i v e c e l e s t i a l s p h e r e s . T h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n r r i sf o u n d b y v a r y i n g E q . ( 5 9 ) :

r =r

c(k) + s(k) n r +n r

[c(k) + s(k) n r]2 (u r) . ( 6 1 )

T a k i n g n o w t w o d i e r e n t v a r i a t i o n s 1 a n d 2 a n d u s i n g t h e c o n s t r a i n t s u r = r r = 0w e n d

1r 2r = 1r 2r

[c(k) + s(k) n r]2 . ( 6 2 )

T h i s e q u a t i o n t e l l s u s t h a t t h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n r r d i e r s o n l y b y t h e f a c t o r [c(k) + s(k) n r]1 f r o m a n i s o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n . T h u s l o c a l l y ( i n t h e r s t o r d e r i n r )t h e p i c t u r e r e g i s t e r e d o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e s c a l e s b y t h i s f a c t o r w i t h o u t a c h a n g e o f t h e

s h a p e ( t h e a n g l e s ) .

5

L a r g e r a r e a s o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e l o s e t h i s s c a l i n g p r o p e r t y a n d u n d e r g o m o r e c o m p l i -

c a t e d t r a n s f o r m a t i o n s . H o w e v e r , o n e f e a t u r e o f t h e l o c a l t r a n s f o r m a t i o n s u r v i v e s . T o n d

i t c h o s e a s p a c e l i k e v e c t o r z , z2 < 0, a n d c o n s i d e r a m o n g v e c t o r s l a l l t h o s e w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n

z l = 0 . ( 6 3 )

U s i n g t h e g e o m e t r i c a l q u a n t i t i e s c o r r e l a t e d t o u t h e s p a c e l i k e c h a r a c t e r o f z i s w r i t t e n d o w n

a s (u z)2 < |zu|2 a n d t h e a b o v e c o n d i t i o n o n l ' s t a k e s t h e f o r m

r(l, u) zu

|zu

|= u z

|zu

|= cos[(z, u)] , ( 6 4 )

w h e r e t h e l a s t e q u a l i t y d e n e s t h e a n g l e (z, u) . T h i s e q u a t i o n t e l l s u s t h a t t h e v e c t o r s

r(l, u) a r e a l l t h o s e w h i c h f o r m t h e a n g l e (z, u) w i t h t h e v e c t o r zu/|zu| . T h u s t h e y f o r m a c i r c l e o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e . T h i s f a c t i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f a p a r t i c u l a r o b s e r v e r

( i t s v e c t o r u) c r o s s i n g t h e p o i n t O . H o w e v e r , t h e a n g l e (z, u) d o e s d e p e n d o n t h i s c h o i c e .

N o t e i n p a r t i c u l a r t h a t i f E q . ( 6 3 ) d e t e r m i n e s a ` g r e a t c i r c l e ' f o r t h e o b s e r v e r w i t h f o u r -

v e l o c i t y u ( i . e . (z, u) = /2) , t h i s c i r c l e w i l l i n g e n e r a l c e a s e t o b e ` g r e a t ' f o r t h e o n e w i t h

2 4


25/36

t h e f o u r - v e l o c i t y u . T h e e x c e p t i o n a l c a s e s w h e n ` g r e a t ' g o e s t o ` g r e a t ' a r e t h o s e d e t e r m i n e d

b y z o r t h o g o n a l b o t h t o u a n d u .

T o s u m m a r i z e , t h e p i c t u r e o b t a i n e d o n t h e c e l e s t i a l s p h e r e u n d e r g o e s d e f o r m a t i o n f r o m

o n e o b s e r v e r t o a n o t h e r , b u t i n s u c h a w a y t h a t a n g l e s a r e c o n s e r v e d a n d c i r c l e s b e c o m e

c i r c l e s , a l t h o u g h t h e ` g r e a t n e s s ' p r o p e r t y i s u s u a l l y n o t c o n s e r v e d . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n

F i g s . 2 8 a n d 2 9 .

X V . A C K N O W L E D G E M E N T S

I a m g r a t e f u l t o m y c o l l e a g u e P i o t r B i z o f o r h i s s u g g e s t i o n t o e x p a n d w h a t o r i g i n a l l y

w a s a l e c t u r e p r e s e n t a t i o n i n t o t h i s a r t i c l e , a n d f o r c a r e f u l r e a d i n g o f t h e m a n u s c r i p t .

X V I . A P P E N D I X

T h e o r e m . T h e c o n e V d e t e r m i n e s u n i q u e l y u p t o a c o n s t a n t f a c t o r a s y m m e t r i c b i l i n e a r

f o r m g s u c h t h a t x V g(x, x) = 0 .

P r o o f . I n a c a n o n i c a l b a s i s V t a k e s t h e f o r m g i v e n i n E q . ( 1 ) , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o

x0 = 3

i=1(xi)2 . I f t h i s i m p l i e s g(x, x) =

3,=0 gx

x = 0, t h e n t h e c o n d i t i o n s

(gik + g00ik) xixk 2g0i

3i=1(x

i)2 xi = 0

m u s t b e s a t i s e d i d e n t i c a l l y ( f o r a n y n u m b e r s xi , i = 1, 2, 3) . T h u s g0i = 0, i = 1, 2, 3, a n d

gik + g00ik = 0 , i, k = 1, 2, 3. T h e r e f o r e i n t h i s f r a m e g(x, y) = g00

x0y0 3i=1 xiyi .

E l e c t r o n i c a d d r e s s : h e r d e g e n @ t h . i f . u j . e d u . p l

1

H . B o n d i , R e l a t i v i t y a n d C o m m o n S e n s e ( D o u b l e d a y & C o m p a n y , N e w Y o r k , 1 9 6 4 )

2

W . K o p c z y s k i a n d A . T r a u t m a n , S p a c e t i m e a n d G r a v i t a t i o n ( J o h n W i l e y & S o n s , 1 9 9 2 ) [ P o l i s h

o r i g i n a l p u b l i c a t i o n : O s s o l i n e u m , 1 9 7 1 ] .

3

R . G e r o c h , G e n e r a l R e l a t i v i t y f r o m A t o B ( T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , C h i c a g o & L o n d o n ,

1 9 7 8 ) .

2 5
mailto:[email protected]


26/36

4

R . P e n r o s e , T h e a p p a r e n t s h a p e o f a r e l a t i v i s t i c a l l y m o v i n g s p h e r e , P r o c . C a m b r i d g e P h i l .

S o c . 5 5 , 1 3 7 - 1 3 9 ( 1 9 5 9 ) .

5

J . T e r r e l l , I n v i s i b i l i t y o f t h e L o r e n t z C o n t r a c t i o n , P h y s . R e v . 1 1 6 , 1 0 4 1 - 1 0 4 5 ( 1 9 5 9 ) .

6

H o w e v e r , i n t h e o r i g i n a l a r t i c l e o n t h e s h a p e o f m o v i n g s p h e r e , R e f . 4 , t h e r e i s a s h o r t r e m a r k o n

t h e i d e a u s e d i n t h e p r e s e n t a r t i c l e .

7

S e e e . g . W . R i n d l e r , L e n g t h C o n t r a c t i o n P a r a d o x , A m . J . P h y s . 2 9 , 3 6 5 - 3 6 6 ( 1 9 6 1 ) ;

R . S h a w , L e n g t h C o n t r a c t i o n P a r a d o x , A m . J . P h y s . 3 0 , 7 2 - 7 2 ( 1 9 6 2 ) .

2 6


27/36

F i g . 1 . R e f e r e n c e f r a m e s a p o p u l a r p i c t u r e .

F i g . 2 . V e c t o r a n d a n e s p a c e .

F i g . 3 . C a u s a l s t r u c t u r e .

2 7


28/36

F i g . 4 . I n e r t i a l m o t i o n s .

F i g . 5 . P a s t , f u t u r e , e l s w h e r e .

F i g . 6 . M e t r i c s t r u c t u r e o f G S .

2 8


29/36

F i g . 7 . S c a l a r p r o d u c t i n S R .

F i g . 8 . M e t r i c s t r u c t u r e o f S R .

F i g . 9 . F o u r - v e l o c i t i e s a n d f u t u r e - d i r e c t e d l i g h t v e c t o r s .

2 9


30/36

F i g . 1 0 . S u b s p a c e s o r t h o g o n a l t o 4 - v e l o c i t i e s .

F i g . 1 1 . R e l a t i v e v e l o c i t y i n G S .

F i g . 1 2 . C o m p o s i t i o n o f v e l o c i t i e s i n G S .

3 0


31/36

F i g . 1 3 . R e l a t i v e v e l o c i t y i n S R .

F i g . 1 4 . C o m p o s i t i o n o f v e l o c i t i e s i n S R .

F i g . 1 5 . P r o p e r v e l o c i t i e s i n S R .

3 1


32/36

F i g . 1 6 . T i m e m e a s u r e m e n t .

F i g . 1 7 . S y n c h r o n i z a t i o n o f c l o c k s .

F i g . 1 8 . T i m e o f a r r i v a l o f l i g h t s i g n a l s .

3 2


33/36

F i g . 1 9 . C o m p o s i t i o n o f k - c o e c i e n t s f o r c o - p l a n a r f o u r - v e l o c i t i e s : k/1 = K/k , s o

K = kk .

F i g . 2 0 . S p a c e m e a s u r e m e n t .

F i g . 2 1 . T w o r o d s w i t h e n d s m e e t i n g a t P a n d Q r e s p e c t i v e l y .

3 3


34/36

F i g . 2 2 . T w o r o d s m o v i n g p a r a l l e l l y i n u- f r a m e , a n d a s k e w i n u - f r a m e .

F i g . 2 3 . A c c e l e r a t e d m o t i o n a n d s i m u l t a n e i t y .

F i g . 2 4 . F o u r - m o m e n t u m i n G S .

3 4


35/36

F i g . 2 5 . F o u r - m o m e n t u m i n S R .

F i g . 2 6 . G a l i l e a n i n v a r i a n t o f t w o c a u s a l v e c t o r s : |p2u/m2 p1u/m1|

F i g . 2 7 . C e l e s t i a l s p h e r e .

3 5


36/36

F i g . 2 8 . A b i c y c l e w h e e l i n r e s t .

F i g . 2 9 . T h e s a m e w h e e l a s s e e n b y a f a s t m o v i n g o b s e r v e r .

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