Fizyka Materii Skondensowanej - fuw.edu.plszczytko/FMS/Wyklad_4_Spin-Orbita_Lasery.pdf · – Promieniowanie ciała doskonale czarnego (Planck 1900, Nobel 1918) – Efekt fotoelektryczny

Fizyka Materii Skondensowanej

[email protected] [email protected] http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/FMS

Uniwersytet Warszawski 2011

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

GryPlan 4.10 Mechanika kwantowa. Stany. Studnia kwantowa, Stany atomu wodoru. Symetrie stanów. 11.10 Pole magnetyczne, sprzężenie spin orbita, J, L, S 18.10 Dipolowe przejścia optyczne. Reguły wyboru, czas życia 25.10 Lasery – współczynniki Einsteina 8.11 Optyka – powtórzenie, klasyczny współczynnik załamania 14.11 PONIEDZIAŁEK RANO - KOLOKWIUM 15.11 Wiązania chemiczne i cząsteczki, hybrydyzacje 22.11 Przejścia optyczne w cząsteczkach, widma oscylacyjno-rotacyjne 29.11 Ciało stałe, kryształy, krystalografia, sieci Bravais 6.12 Pasma, tw. Blocha, masa efektywna, przybliżenie kp 13.12 KOLOKWIUM 20.12 Elektrony i dziury cz. 1 3.01 Elektrony i dziury cz. 2 Nanotechnologia 10.01 Urządzenia półprzewodnikowe. Diody, tranzystory, komputery 17.01 Fizyka subatomowa

Egzamin 31 styczeń 2012 (wtorek)

Zasady zaliczania: 2 kolokwia (po 3 zadania) – 2x30p = 60p Testy z wykładu (2 pytania, 10 testów) – 20p Prace domowe (5 serii 3 zadania) – 10p Zaliczenie ćwiczeń – 40p / 90p Egzamin (4 zadania) – 40p Należy uzyskać min. 50p / 130p żeby odpowiadać Ćwiczenia są obowiązkowe – dr Konrad Dziatkowski

S. H

arris

Wyprowadzenie prawa Plancka. Lasery.

Rachunek zaburzeń z czasem Szczególne rozwiązania równania Schrödingera

Potencjał niezależny od czasu

𝐻0 = −ℏ2

2𝑚𝜕2

𝜕𝑥2 +𝑈(𝑥)

Potencjał niezależny od czasu 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉(𝑡)

𝑉(𝑡) = �𝑊 𝑡 0

dla 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏 dla 𝑡 < 0 i 𝑡 > 𝜏

Najprostszy przypadek:

t 0 t

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝐴(𝑥)𝑒−𝑖𝑖𝑖/ℏ

Rachunek zaburzeń z czasem Podstawiamy do równania, bierzemy pod uwagę warunek początkowy (patrz Mechanika kwantowa S.A Dawydov)

Dla przypadku gdy dla łatwo jest policzyć:

� 𝑚 𝑊(𝑡) 𝑛 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑚𝑖𝑑𝑡𝜏

0=𝑒𝑖𝜔𝑚𝑚𝜏 − 1𝑖𝜔𝑚𝑚

𝑚 𝑊 𝑛

𝓌𝑚𝑚 = |𝐴𝑚𝑚 𝜏 |2 =1ℏ2

� 𝑚 𝑊(𝑡) 𝑛 𝑒+𝑖𝜔𝑚𝑚𝑖𝑑𝑡𝜏

0

2

𝑊 𝑡 = 𝑐𝑐𝑛𝑐𝑡 = 𝑊 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏

𝓌𝑚𝑚 = |𝐴𝑚𝑚 𝜏 |2 =2ℏ2 𝑚 𝑊 𝑛 2

1 − cos 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚𝜏ℏ

𝐸𝑚 − 𝐸𝑚1ℏ

2

Wtedy prawdopodobieństwo przejścia w czasie działania zaburzenia jest dane przez



2 ≈ 𝜏𝜏ℏ𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 𝜏 ≫ℏ

𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 Dla

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

𝜏 = 1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

𝜏 = 10

𝜏 = 100



2

Rachunek zaburzeń z czasem Ostatecznie prawdopodobieństwo przejścia

Prawdopodobieństwo przejścia jest proporcjonalne do czasu działania zaburzenia, więc prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu dane jest przez:

𝓌𝑚𝑚 =2𝜏ℏ

𝑚 𝑊 𝑛 2𝜏𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚

𝑃𝑚𝑚 =𝓌𝑚𝑚𝜏 =

2𝜏ℏ 𝑚 𝑊 𝑛 2𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚

Rachunek zaburzeń z czasem W przypadku gdy zaburzeniem jest fala periodyczna wracamy do ogólnego wzoru:

dla przypadku gdy dla łatwo jest policzyć:

� 𝑛 𝑤± 𝑙 𝑒𝑖(𝜔𝑚𝑛±𝜔)𝑖𝑑𝑡𝜏

0=𝑒𝑖(𝜔𝑚𝑛±𝜔)𝜏 − 1𝑖(𝜔𝑚𝑛 ± 𝜔) 𝑛 𝑤± 𝑙

𝓌𝑚𝑚 = |𝐴𝑚𝑚 𝜏 |2 =1ℏ2

� 𝑛 𝑊(𝑡) 𝑚 𝑒+𝑖𝜔𝑚𝑚𝑖𝑑𝑡𝜏

0

2

𝑊 𝑡 = 𝑤±𝑒±𝑖𝜔𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏

Prawdopodobieństwo przejścia:

𝓌𝑚𝑚 =2𝜏ℏ 𝑛 𝑤± 𝑚

2𝜏𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔


2𝜏ℏ 𝑛 𝑤± 𝑚

2𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

Prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu dane jest przez:

Rachunek zaburzeń z czasem Wnioski:

𝑊 𝑡 = 𝑤±𝑒±𝑖𝜔𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏

Przejścia są możliwe tylko do stanów


2𝜏ℏ

𝑛 𝑤± 𝑚2𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

𝐸𝑚 = 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

Układ albo może energię zyskać (zaabsorbować) albo stracić (wyemitować)

Fala elektromagnetyczna

Ogólna postać hamiltonianu w polu elektromagnetycznym dana jest przez potencjał wektorowy A i skalarny j :

Potencjał wektorowy dla fali elektromagnetycznej można wprowadzić w postaci:

Przyjmując odpowiednie cechowanie j =0, divA=0 oraz zaniedbując wyrazy z A2 (słabe promieniowanie)

𝐻 =12𝑚

�⃗� + 𝑒𝐴2− 𝑒𝐴 + 𝑉

𝐻 ≈𝑒𝑚𝐴�⃗�

𝐴 = 𝐴0 𝑒−𝑖(𝜔𝑖−𝑘𝑟) + 𝑒𝑖(𝜔𝑖−𝑘𝑟)

𝐸 = 2𝜔𝐴0 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)

𝐵 = 2(𝑘 × 𝐴0 )sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) 𝐵 = 𝛻 × 𝐴

𝐸 = −𝛻𝐴 −𝜕𝐴𝜕𝑡

Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej.


2𝜏ℏ







2𝜏ℏ


rozwijając w szereg �⃗� 𝑒−𝑖(𝑘𝑟) ≈ �⃗� 1 + −𝑖𝑘𝑟 +−𝑖𝑘𝑟

2

2! + ⋯

𝑛 �⃗� 𝑚 = 𝑖𝑚𝜔𝑚𝑚 𝑛 𝑟 𝑚

𝑟,𝐻0 = 𝑟𝐻0 − 𝐻0𝑟 =𝑖ℏ𝑚 �⃗� Korzystamy z reguł komutacji

dostajemy

Kolejne człony w rozwinięciu dają przejścia dipolowe magnetyczne, kwadrupolowe elektryczne itd.






2𝜏ℏ


rozwijając w szereg �⃗� 𝑒−𝑖(𝑘𝑟) ≈ �⃗� 1 + −𝑖𝑘𝑟 +−𝑖𝑘𝑟

2

2! + ⋯

po żmudnych obliczeniach dostajemy prawdopodobieństwo emisji promieniowania elektromagnetycznego dipolowego (opisanego operatorem )

𝐴𝑚𝑚 =𝓌𝑚𝑚𝜏 =

𝜔𝑚𝑚3𝑒2

3𝜏𝜀0ℏ𝑐3𝑛 𝑟 𝑚 2 =

4𝛼3𝜔𝑚𝑚3

𝑐2 𝑛 𝑟 𝑚 2

Jest to jeden ze współczynników Einsteina (lasery itp. – za tydzień!) dla stanów niezdegenerowanych

𝛼 =𝑒2

4𝜏𝜀0ℏ𝑐≈

1137

𝑒𝑟

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej.

W przypadku degeneracji stanów wprowadza się „siłę linii”

𝐴𝑚𝑚 =𝜔𝑚𝑚3𝑒2

3𝜏𝜀0ℏ𝑐3𝑚 𝑟 𝑛 2 =

4𝛼3𝜔𝑚𝑚3

𝑐2 𝑚 𝑟 𝑛 2

𝐴𝑚𝑚 =4𝛼3𝜔𝑚𝑚3

𝑐2𝑆𝑚𝑚𝑔𝑚

𝑆𝑚𝑚 = �� 𝑛𝑖 𝑟 𝑚𝑗2

𝑗𝑖

degeneracja poziomu wyjściowego

W przypadku stanów atomu wodoru wygodnie jest przedstawić operator w postaci kołowej:

Sprawdzić!

𝑟

𝑛𝑖 𝑟 𝑚𝑗2 = 𝑛𝑖 𝑧 𝑚𝑗

2 +12 𝑛𝑖 𝑥 + 𝑖𝑖 𝑚𝑗

2 +12 𝑛𝑖 𝑥 − 𝑖𝑖 𝑚𝑗

2

𝑧 = 𝑟 cos𝜗

𝑥 ± 𝑖𝑖 = 𝑟𝑒±𝑖𝑖 sin𝜗

łatwo jest wtedy całkować harmoniki sferyczne, bo:

Fala elektromagnetyczna Kilka uwag




𝑗𝑖

Obliczając współczynnika Einsteina dla np. atomu wodoru możemy dostać tzw. reguły wyboru przejść optycznych

∆𝑙 = ±1

∆𝑚 = ±1

∆𝑚 = 0

zas. zach. pędu – foton ma spin całkowity

przejścia w polaryzacji kołowej s

przejścia w polaryzacji liniowej p

Przejścia optyczne są możliwe tylko między poziomami o różnej symetrii, gdyż operator jest antysymetryczny

𝑟

Fala elektromagnetyczna Kilka uwag




𝑗𝑖

Wprowadza się pojęcie czasu życia ze względu na zanik radiacyjny:

W przypadku przejść optycznych dipolowych czas życia jest rzędu nanosekund.

𝜏𝑚𝑚 =1

𝐴𝑚𝑚

Moc przejścia optycznego 𝑃𝑚𝑚 = 𝐴𝑚𝑚ℏ 𝜔𝑚𝑚

PODSUMOWANIE – złota reguła Fermiego

𝑊 𝑡 = 𝑤±𝑒±𝑖𝜔𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏



2𝜏ℏ 𝑛 𝑤± 𝑚

2𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

𝐸𝑚 = 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

Prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu:


2𝜏ℏ

𝑚 𝑊 𝑛 2𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 𝑊 𝑡 = 𝑊 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏


𝐸𝑚 = 𝐸𝑚




4𝛼3𝜔𝑚𝑚3


𝑃𝑚𝑚 = 𝐴𝑚𝑚𝛿 𝐸𝑚 − 𝐸𝑚 ± ℏ𝜔

PODSUMOWANIE – złota reguła Fermiego Szybkość zmian – czyli prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu – ze stanu początkowego |𝑖⟩ do końcowego |𝑓⟩ dane jest wzorem:

𝑃𝑚𝑚 =2𝜏ℏ

𝑓 𝑊 𝑖 2𝜌 𝐸𝑓

Zaburzenie 𝑊 nie musi być w postaci fali elektromagnetycznej.

𝜌 𝐸𝑓 - gęstość stanów końcowych 𝑊- oddziaływanie z polem

S. H

arris

Wyprowadzenie prawa Plancka. Lasery.

Trochę historii

• XIX w: materia ma budowę ziarnistą, energia (gł. fale e-m) ma charakter falowy

• Nierozwiązane problemy: – Promieniowanie ciała doskonale czarnego – Efekt fotoelektryczny – Linie widmowe atomów

Trochę historii

• XIX w: materia ma budowę ziarnistą, energia (gł. fale e-m) ma charakter falowy

• Nierozwiązane problemy: – Promieniowanie ciała doskonale czarnego – Efekt fotoelektryczny – Linie widmowe atomów

Katastrofa w nadfiolecie Prawo Rayleigha- Jeansa

Rozkład widmowy ciała doskonale czarnego: Klasycznie – zasada ekwipartycji energii: średnia energia fali stojącej jest niezależna od częstotliwości Gęstość energii r to ilość fal z danego przedziału częstotliwości razy średnia energia, podzielić przez objętość wnęki:

𝐸� = 𝑘𝑘

𝜌 𝜈,𝑘 𝑑𝜈 =8𝜏𝜈2

𝑐3 𝑘𝑘𝑑𝜈

Całkowita gęstość energii promieniowania w danej temperaturze dna jest przez sumę po wszystkich częstościach

𝜌 𝑘 = � 𝜌 𝜈,𝑘 𝑑𝜈∞

0=8𝜏𝑐3 𝑘𝑘� 𝜈2

∞

0𝑑𝜈 = ∞

Katastrofa w nadfiolecie Prawo Rayleigha- Jeansa

Trochę historii XX w: energia ma (również) charakter ziarnisty

(korpuskularny) – hipoteza Plancka • Rozwiązane problemy:

– Promieniowanie ciała doskonale czarnego (Planck 1900, Nobel 1918) – Efekt fotoelektryczny (Einstein 1905, Nobel 1922) – Linie widmowe atomów (Bohr 1913, Nobel 1922)

• Fotony – energia: E = h n (h = 6.62610-32 J s = 4.136 10-15 eV s) – pęd: p = E / c = h / l

l = h / p

Count Dooku's Geonosian solar sailer

Emisja spontaniczna i wymuszona Rozważmy przejścia pomiędzy dwoma stanami

2

1

𝐸2

𝐸1

∆𝐸 = 𝐸2 − 𝐸1

Od jakich parametrów zależy liczba przejść atomów ze stanu 1 do 2 i na odwrót?


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja

ℎ𝜈


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja

𝑑𝑑𝑑𝑡 𝑎𝑎𝑎

= 𝑑1𝐵12𝜌

liczba przejść

Gęstość energii promieniowania

Ilość dostępnych stanów

Współczynnik proporcjonalności

ℎ𝜈


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja


= 𝑑1𝐵12𝜌

2. Emisja spontaniczna

ℎ𝜈


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja


= 𝑑1𝐵12𝜌


ℎ𝜈

𝑑𝑑𝑑𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑚

= 𝐴𝑑2

liczba przejść

Ilość dostępnych stanów Współczynnik

proporcjonalności


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja


= 𝑑1𝐵12𝜌


ℎ𝜈


= 𝐴𝑑2

2. Emisja wymuszona

ℎ𝜈 ℎ𝜈


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja


= 𝑑1𝐵12𝜌


ℎ𝜈


= 𝐴𝑑2

2. Emisja wymuszona

ℎ𝜈 ℎ𝜈

𝑑𝑑𝑑𝑡 𝑤𝑤𝑚

= 𝑑2𝐵21𝜌 liczba przejść

Gęstość energii promieniowania

Ilość dostępnych stanów

Współczynnik proporcjonalności


2

1

𝐸2

𝐸1

ℏ𝜔 = ℎ𝜈 = 𝐸2 − 𝐸1


1. Absorpcja


= 𝑑1𝐵12𝜌



= 𝐴𝑑2

2. Emisja wymuszona


= 𝑑2𝐵21𝜌

𝑑1𝐵12𝜌 𝐴𝑑2 𝑑2𝐵21𝜌



= 𝑑1𝐵12𝜌


= 𝐴𝑑2


= 𝑑2𝐵21𝜌

W warunkach równowagi termicznej (warunek konieczny, ale spełniony także w stanach dalekich od równowagi, np. w laserach!)


=𝑑𝑑𝑑𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑚

+𝑑𝑑𝑑𝑡 𝑤𝑤𝑚

𝑑1𝐵12𝜌 = 𝐴𝑑2 + 𝑑2𝐵21𝜌

2

1

𝐸2

𝐸1

𝐴𝑑2 𝑑2𝐵21𝜌


𝑑1𝐵12𝜌 = 𝐴𝑑2 + 𝑑2𝐵21𝜌 2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 =𝐴𝐵21

×1

𝑑1𝐵12𝑑2𝐵21

− 1

W warunkach równowagi termicznej obsadzenia 𝑑1i 𝑑2dane są rozkładem Boltzmana


𝑑1𝐵12𝜌 = 𝐴𝑑2 + 𝑑2𝐵21𝜌 2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 =𝐴𝐵21

×1


− 1


𝑑1 = const 𝑒−𝑖1𝑘𝑘 𝑑2 = const 𝑒−

𝑖2𝑘𝑘

𝑑1𝑑2

= 𝑒−(𝑖1−𝑖2)

𝑘𝑘 = 𝑒−ℎ𝜈 𝑘𝑘

Co się dzieje z 𝜌 dla 𝑘 → ∞?


𝑑1𝐵12𝜌 = 𝐴𝑑2 + 𝑑2𝐵21𝜌 2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 =𝐴𝐵21

×1


− 1


𝑑1 = const 𝑒−𝑖1𝑘𝑘 𝑑2 = const 𝑒−

𝑖2𝑘𝑘

𝑑1𝑑2

= 𝑒−(𝑖1−𝑖2)

𝑘𝑘 = 𝑒−ℎ𝜈 𝑘𝑘

𝐵12 = 𝐵21

𝑔12𝐵12 = 𝑔21𝐵21 Biorąc pod uwagę stopnie degeneracji poziomów

Co się dzieje z 𝜌 dla 𝑘 → ∞?


2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 𝜈,𝑘 =𝐴𝐵21

×1


− 1=𝐴𝐵

×1

exp ℎ𝜈 𝑘𝑘 − 1

Należy rozwinąć funkcję wykładniczą

Z kolei dla ℎ𝜈 ≪ 𝑘𝑘 mamy prawo Reileigha-Jeansa




2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 𝜈,𝑘 =𝐴𝐵21

×1


− 1=𝐴𝐵

×1


Należy rozwinąć funkcję wykładniczą

Z kolei dla ℎ𝜈 ≪ 𝑘𝑘 mamy prawo Reileigha-Jeansa



𝜌 𝜈,𝑘 ≈𝐴𝐵 𝑘𝑘/ℎ𝜈

Stąd: 𝐴𝐵 =

8𝜏𝑐3 ℎ𝜈

3 = 𝐷 𝜈 ℎ𝜈 Ilość modów promieniowania w zamkniętej objętości


2

1

𝐸2

𝐸1


𝜌 𝜈,𝑘 =1


8𝜏𝜈2

𝑐3 ℎ𝜈

𝐴 oraz 𝐵 to współczynniki Einsteina. Wymiar 𝐴:

Wzór Plancka

oraz : 𝐵 = 𝜏𝐷 𝜈 ℎ𝜈 −1


= 𝐴𝑑2⇒𝐴 =1𝜏

Fala elektromagnetyczna Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej.

W przypadku degeneracji stanów wprowadza się „siłę linii”



4𝛼3𝜔𝑚𝑚3





𝑗𝑖

degeneracja poziomu wyjściowego

W przypadku stanów atomu wodoru wygodnie jest przedstawić operator w postaci kołowej:

Sprawdzić!

𝑟

𝑛𝑖 𝑟 𝑚𝑗2 = 𝑛𝑖 𝑧 𝑚𝑗

2 +12 𝑛𝑖 𝑥 + 𝑖𝑖 𝑚𝑗

2 +12 𝑛𝑖 𝑥 − 𝑖𝑖 𝑚𝑗

2

𝑧 = 𝑟 cos𝜗

𝑥 ± 𝑖𝑖 = 𝑟𝑒±𝑖𝑖 sin𝜗

łatwo jest wtedy całkować harmoniki sferyczne, bo:

Lasery Laser potrzebuje co najmniej 3ch stanów

Czes

ław

Rad

zew

icz

Rzadko stosowany laser 3-poziomowy

Lasery Laser potrzebuje co najmniej 3ch stanów

Czes

ław

Rad

zew

icz

Rzadko stosowany laser 3-poziomowy

Struktura subtelna Struktura subtelna to zespół zjawisk związanych z istnieniem spinu. Uwzględnienie ich prowadzi do poprawek energii poziomów atomowych.

420

2 cmpE +=

...82

...82

1 230

4

0

22

0440

4

20

22

0 +−+=

+−+=

cmp

mpcm

cmp

cmpcmE

...82 23

0

4

0

22

0 +−=−=cm

pmpcmEEK

. Wyrażenie pozostające pod pierwiastkiem można rozwinąć w szereg:

. Wzór na energię kinetyczną obcinamy na trzecim wyrazie:

Ψ∇−Ψ+Ψ∇−=Ψ∂∂ 4

230

42

2

8)(ˆ

2 cmrV

mti

Tade

usz S

tace

wic

z

Poprawny opis atomu wymaga wzięcia pod uwagę efektów relatywistycznych co prowadzi do hamiltonianu Diraca.

Struktura subtelna Ψ∇−Ψ+Ψ∇−=Ψ

∂∂ 4

230

42

2

8)(ˆ

2 cmrV

mti

Stosując rachunek zaburzeń w bazie funkcji własnych atomu wodoru można znaleźć poprawkę energii uwzględniającą relatywistyczną zmianę masy dla poziomu o głównej liczbie kwantowej En

Tade

usz S

tace

wic

z

nn El

nnZE

+

−−=∆214

32 4

42' α

1371

4 0

2

≈=c

eπε

α

Poprawka ta dla atomu wodoru jest: • stosunkowo niewielka; • szybko zmniejsza się wraz z główną liczbą kwantową; • a więc ma także niewielkie znaczenie dla atomów wieloelektronowych. • Jednak dla jonów wodoropodobnych o dużych ładunkach jądra (dużych En)

wartość tej poprawki jest wielkością znaczącą.

Struktura subtelna

Tade

usz S

tace

wic

z

Następny wyraz rozwinięcia równania Diraca daje się sprowadzić do hamiltonianu opisującego oddziaływanie spin – orbita :

( ) BlsdrdV

rcmps

cm ee

µ−==×Σ1

22

2 22

2

22

2

Σ

[ ]nE

lllsslljj

nZE

)21)(1(2)1()1()1(

2"

3

42

+++−+−+

=∆α

gdzie V oznacza potencjał wiążący atom, a to pole elektryczne, jakie odczuwa elektron.

W wyniku obliczeń uzyskuje się poprawki energetyczne:

Struktura subtelna

Tade

usz S

tace

wic

z

Dla stanów z l=0 uwzględnia się także oddziaływanie elektronu z jądrem wynikające stąd, że elektron o tej liczbie kwantowej przebywa średnio blisko jądra znacznie dłużej niż elektron w jakimkolwiek innym stanie. Prowadzi to do poprawki Darwina:

nEnZE 3

42

2'" α=∆

nS Ej

nnZE

+

−=∆214

32 4

42α

Pełny wynik – sumaryczna poprawka energii poziomu atomu wodoru w wyniku oddziaływania subtelnego wynosi :

Struktura subtelna

Tade

usz S

tace

wic

z

Powyższe obliczenia wykonał Paul Dirac. Jak widać, stany o jednakowych liczbach kwantowych n i j powinny mieć tę samą energię: np. energia poziomu 2S1/2 i 2P1/2 powinny być identyczne, podobnie jak energie poziomu 3P3/2 i 3D3/2.

Struktura subtelna

Tade

usz S

tace

wic

z

W latach 1947 – 52 Lamb i Retherford wykazali, że model ten jest zbyt uproszczony. Dokonując precyzyjnych pomiarów oddziaływania atomów wodoru z polem fal radiowych stwierdzili, że energia stanu 2S1/2 jest większa niż energia stanu

2P1/2 o 0.035 cm-1. Wielkość ta, zwana przesunięciem Lamba, była także wielokrotnie wyznaczana za pomocą współczesnych technik spektroskopii laserowej. Obecnie jest jedną z najdokładniej znanych stałych fizycznych.

Wyniki tych badań dały impuls do rozwoju nowej gałęzi nauki: elektrodynamiki kwantowej. Wyjaśniła ona, że przesunięcie Lamba powstaje wskutek oddziaływania atomów z polem elektromagnetycznym, którego mody – nawet w próżni, w temperaturze zera bezwzględnego - a więc w nieobecności promieniowania – charakteryzują się energią 2/ω

Pole magnetyczne i spin Spin, oddziaływanie spin-orbita

dla stanów s

Całkowity moment pędu:

SLHSOˆˆλ=

g-czynnik, zapewnia zgodność z eksprymentem

SLJ ˆˆˆ +=

0ˆˆ0ˆ ≠⇒≠ SLL0ˆˆ0ˆ =⇒= SLL

dla stanów p

3∆

32∆

2/32P

2/12P

21ˆ,1ˆ == SL

jmj,

sl mmsln ,,,,baza:

baza:

jmj,jmjsln ,,,,baza:

w skrócie:

αλ ∞= R241

∞= hcRRy

Pole magnetyczne i spin

3∆

32∆

2/32P

2/12P

21ˆ,1ˆ == SL

jmj,jmjsln ,,,,baza:

w skrócie:

Termy elektronowe

Sposób opisu układu wielu elektronów js L12 +

Funkcja falowa MUSI być antysymetryczna (ze względu na przestawienia cząsteczek)

( ) ( ) ( )zz SrSr χψψ =,

część orbitalna część spinowa

Pole magnetyczne i spin Termy elektronowe

Sposób opisu układu wielu elektronów js L12 +

Funkcja falowa MUSI być antysymetryczna (ze względu na przestawienia cząsteczek)

( ) ( ) ( )zz SrSr χψψ =,

część orbitalna część spinowa

( ) ( ) ( )NNNNN SSrrSSrr ,...,,...,,...,,,..., 1111 χψψ =

Uogólnienie:

Antysymetryczna funkcja falowa + zasada Pauliego + oddziaływanie kulombowski = ODDZIAŁYWANIA WYMIENNE

Documents

Fizyka Materii Skondensowanej - fuw.edu.plszczytko/FMS/Wyklad_4_Spin-Orbita_Lasery.pdf · – Promieniowanie ciała doskonale czarnego (Planck 1900, Nobel 1918) – Efekt fotoelektryczny