Embed Size (px)
Citation preview
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko međudjelovanje« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 5. svibnja 2016.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Elektron-fononsko međudjelovanje u metalima
Elektron-fononsko vezanje u TBA
Elektron-fononsko u ionskim kristalima
Prošireni jellium model
Kohnova anomalija
Peierlsova nestabilnost
Međudjelovanje elektrona preko fonona
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko međudjelovanje umetalima
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanje
Kulonska energija međudjelovanja:
Hint =
− e2
4πϵ0
∑i,j
Zj
|ri − Rj|
+
e2
8πϵ0
∑i,ji =j
1
|ri − rj|
+
e2
8πϵ0
∑i,ji =j
ZiZj
|Ri − Rj|
prikazana preko Fourijerovog razvoja:
Hint =∑q =0
e2
2ϵ0q2[2ρiq ρ−q + (ρq ρ−q − N) + (ρiq ρ
i−q − Z2Ni)
]gdje su:
ρq =∑i
e−ıq·ri (elektronska gustoća)
ρiq =∑i
Zi e−ıq·Ri (ionska gustoća)
Z2Ni =∑i
Z2i (broj iona i prosječni kvadrat Zi)
Fourijerove komponente elektronske i ionske gustoće.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kulonsko međudjelovanje
Hint =∑q =0
e2
2ϵ0q2[2ρiq ρ−q + (ρq ρ−q − N) + (ρiq ρ
i−q − Z2Ni)
]
Sumira se samo po valnim brojevima osim q = 0. Član q = 0 sekrati zbog neutralnosti sustava.
Elektron-elektron i ion-ion međudjelovanje sadrže dijelove koji sebrinu da nema samo-međudjelovanja čestica.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zasjenjivanje ionskog međudjelovanja
Hint =∑q =0
e2
2ϵ0q2[2ρiq ρ−q + (ρq ρ−q − N) + (ρiq ρ
i−q − Z2Ni)
]
Prvi dio izraza (plava boja) predstavlja međudjelovanje elektronai iona. Ioni stvaraju vanjski potencijal kojem će se slobodnielektroni prilagoditi i zasjeniti ga. U teoriji linearnog odzivameđudjelovanje elektrona i iona dovodi do zasjenjivanja ion-ionmeđudjelovanja ali i elektron-elektron međudjelovanja.
Drugi dio izraza (crvena boja) je međudjelovanje elektrona. Onose može uzeti obzir u RPA (najdivergentniji doprinosi u svimredovima računa smetnje).
Efekt zasjenjivanja opisuje se dielektričnom funkcijom:
e2
ϵ0 q2−→ e2
ϵ(q, ω)q2≈ e2
ϵ(q, 0) q2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zasjenjivanje ionskog međudjelovanja
Kao konačni rezultat se dobiva zasjenjeno ionsko međudjelovanje:
Hint −→∑q =0
e2
2ϵ(q, 0)q2(ρiq ρ
i−q − Z2Ni) + Hel−el
Ioni međudjeluju zasjenjenim kulonskim silama. Ovo zasjenjenokratkodosežno ionsko međudjelovanje dovodi do akustičkih (ioptičkih) fononska titranja rešetke.
Ako zasjenjenje (dielektrična funkcija) uzima u obzir imeđudjelovanje elektrona kroz RPA, npr., tada se dobivaplazmonsko kolektivno gibanje elektronske gustoće i efektivnielektroni koji međudjeluju kratkodosežnim silama.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko međudjelovanje
Što ako ione izvučemo iz ravnotežnog položaja?
Gustoća iona se mijenja:
ρiq −→∑i
Ze−ıq·(Ri+ui) ≈ ρiq −
δρiq︷ ︸︸ ︷ıq · Z
(∑i
e−ıq·Ri ui
)︸ ︷︷ ︸
=uq
Promjena ionske gustoće naboja inducirat će promjenuelektronske gustoće.
Ovaj efekt nije uračunat ni u kratkodosežnom ionskommeđudjelovanju, a niti u efektivnom elektronskommeđudjelovanju.
Efekt se uzima u obzir kroz dodatni hamiltonijan koji je linearnoovisan o deformaciji rešetke. Ovakav hamiltonijan nazivamoelektron-fononsko vezanje (međudjelovanje).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko međudjelovanje
Do međudjelovanje elektrona i fonona može se doći polazeći odpočetnog izraza za međudjelovanje elektrona i iona, te izdvajajući diokoji opisuje vezanje elektrona i deformirane rešetke:
Hel−ph = −∑q=0
e2
ϵ(q, 0)q2ρ−q δρ
iq
gdje je:
δρiq = −ıZ (q · uq)
= −ıZ (q · eq)
√ℏ
2Mωq(aq + a†−q)
Napomena: U metalima poremećena ionska gustoća nabojameđudjeluje s elektronima zasjenjenim kulonskim silama.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko međudjelovanje
Elektron-fononsko međudjelovanje moguće je napisati u poopćenomobliku pomoću operatora stvaranja i poništenja:
Hel−ph =∑q,k,σ
g(k, q) (aq + a†−q)c†k+q,σ
ck,σ
gdje je g(k, q) konstanta koja opisuje vezanja elektrona i fonona. Unašem izvodu ona samo ovisi od q. Općenito g(k, q) ovisi i o impulsuelektrona. Vrijedi: g(k+ q,−q)⋆ = g(k, q).
Hamiltonijan elektron fononskog međudjelovanja sadrži dvačlana koja opisuju dva moguća procesa.
U tim procesima elektron valnog broja k se raspršuje uelektronsko stanje valnog broja k+ q i pri tomedolazi do poništenja jednog fonon valnog broja q ili do stvaranjajednog fonona valnog broja -q.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Preklopni procesi
Proces raspršenja elektrona i fonona može dovesti elektron u stanje valnogbroja izvan prve Brillouinove zone, pa je njegov valni broj potrebno vratitinazad (preklopiti) u 1BZ. Ovakvi procesi se nazivaju preklopni procesi (iliUmklapp-procesi, U-procesi). Procesi u kojima valni broj elektrona ostajeunutar prve Brillouinove zone nazivaju se normalni procesi (ili N-procesi).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko vezanjeu TBA
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko vezanje u TBA
U aproksimaciji čvrste veze elektronsko gibanje opisano jehamiltonijanom: Hel =
∑⟨ij⟩
tij(c†i cj + c†j ci)
gdje ⟨ij⟩ označava sumiranje samo po susjednim čvorištima rešetke.Pojedini članovi u sumaciji označavaju preskakanje elektrona izmeđui-tog i j-tog čvorišta, dok je tij integral prekrivanja (preskakanja, en.hopping).
Ukoliko dolazi do deformiranja rešetke integrali preskakanja ćese promijeniti.
Najveća promjena u integrali preskakanja dolazi od takvihpomaka koji udaljavaju ili približavaju čvorišta jadna drugom.
Općenito može se pretpostaviti da je:
tij = t(Ri − Rj) = t(R(0)i − R(0)
j + ui − uj)
≈ t(0)ij − α nij · (ui − uj) gdje je nij =R(0)i − R(0)
j
|R(0)i − R(0)
j |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko vezanje u TBA
1d TB model s elektron-fononskim međudjelovanjem:
H = −∑n[t− α (un+1 − un)]
(c†n+1cn + c†ncn+1
)+
K2(un+1 − un)2
S. Barišić, Phys.Rev.B 5 (1972) 932, ibid. 941W.P. Su et al., Phys.Rev.Lett. 42 (1979) 1698
Model je poslužio za modeliranje vodljivih plastika kao što jetrans-poliacetilen:
Za otkriće vodljivih plastika dodijeljena je Nobelova nagrada 2000 iz kemijeA. Heegeru, A.G. MacDiarmidu i H. Shirakawa-i.(http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2000/)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko uionskim kristalima
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko u ionskim kristalima
U ionskim kristalima nema slobodnih elektrona koji moguzasjenjivati kulonsko međudjelovanje.
Usamljeni elektroni međudjeluju s rešetkom kroz polarizacijuinduciranu optičkim fononskim titranjima.
Elektron se giba u potencijalu koji se dobije rješavanjemelektrostatičke jednadžbe:
∆V(r) = eρion(r) = −e(∇P)
Polarizaciju koja je nastala zbog optičkih fononskih titranja općenito jeproporcionalna pomaku optičkog fonona:
P(r) = α′∑q,λ
eq,λe+ıq·r√N
√ℏ
2Mωq,λ
(aq,λ + a†−q,λ
)gdje je α′ konstanta proporcionalnosti.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko u ionskim kristalimaGustoća naboja koja stvara potencijal u kojem se elektron giba:
ρion = −∇P
= ıα′∑q,λ
(q · eq,λ)e+ıq·r√N
√ℏ
2Mωq,λ
(aq,λ + a†−q,λ
)Potencijal prikazan preko Fourijerovih komponenti:
U(r) = −ıα′∑q,λ
(q · eq,λ)q2
e+ıq·r√N
√ℏ
2Mωq,λ
(aq,λ + a†−q,λ
)Tada je hamiltonijan međudjelovanja:
Hel−ph = (−e)∫
dr U(r) ϕ†(r)ϕ(r) = (−e)∑q,k,σ
Uq c†k+q,σ
ck,σ
= −ı∑q,λ,σ
αλ
q
(aq,λ c
†k+q,σ
ck,σ − a†q,λ c†k−q,σ
ck,σ)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron-fononsko u ionskim kristalima
Rijetki elektroni u polarnom (ionskom) kristalu inducirajufononsku deformaciju oko sebe.
Elektron putuje kroz kristal vukući deformaciju za sobom. Efektivna masa elektrona je povećana. Elektron zajedno s induciranom deformacijom naziva se polaron. Između polarona postoji privlačenje pa se polaroni mogukombinirati u bipolarone - bozonske čestice.
Polaronski modeli:L.D.Landau, Phys.Z.Sowjetunion 3 (1933) 644.T.-D.Lee i D.Pines, Phys.Rev. 92 (1953) 883.
R.P. Feynman, Phys.Rev. 97 (1955) 660.T. Holstein, Ann. Phys. (N.Y.) 8 (1959) 325.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prošireni jellium model
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prošireni jellium model
Pretpostavit će se da ionski naboji nisu jednoliko razmazani. Međutim, zanemarit će se atomska struktura i konačne dimenzijeiona. Ion konačnih dimenzija aproksimira se točkastim nabojem.
Zanemaruje se kratkodosežno odbijanje između iona koje dolaziod preklapanja elektronskih orbitala.
Zanemarit će se da valne funkcije elektronskog plina moraju bitiortogonalne na dubokoležeće ne ionizirane elektronske orbitale.
Zanemaruje se mogućnost tranverzalnog titranja iona koje urealnim materijalima postoji.
Budući da je gibanje elektrona puno brže od ionskog gibanja,točkasti ioni se gibaju u razmazanom elektronskom naboju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prošireni jellium model Ako bi postojalo samo kulonsko međudjelovanje između iona, ion bititrali frekvencijom ionske plazme, kao što to elektroni titrajuplazmonskim frekvencijama.
Ionske plazma ima konačnu frekvenciju za valni broj q = 0:
Ωi =
√(Ze)2Ni
ϵ0MiV
koja je potpuno analogna plazmonskoj frekvenciji ωp. U realnim tijelima ioni imaju akustičko titranje, stoga zanemarivanjeelektron-ionskog međudjelovanja nije opravdano.
Elektron-ionsko međudjelovanje dovest će do zasjenjivanjadugodosežnih kulonskih sila između iona. Frekvencija titranja ionaneće više biti konačna, nego će se težiti u nulu linearno s q.
Isti efekt ne postoji u slučaju elektrona, jer frekvencija titranjaelektronske plazme je mnogo veća od frekvencije titraja iona. Ioni nemogu zasjeniti dugodosežno kulonsko međudjelovanje elektrona.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prošireni jellium modelFrekvencija titranja zasjenjene ionske plazme:
Ω2i → ω2
i (k) = Ω2i
ϵ0
ϵel(k, ωi)≈ Ω2
iϵ0
ϵel(k, 0)=
(Ze)2Ni
ϵ0MiV1
1 +k2TFk2
≈ (Ze)2Ni
ϵ0Mik2TFVk2 = c2 k2
gdje je:c2 =
Z3
mMi
v2F brzina zvuka.
Gruba procjena brzine zvuka:
mMi
∼ 10−4 − 10−5 ⇒ c ∼ 10−3vF ∼ 103ms
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohnova anomalija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohnova anomalija
Izvedeni izraz za frekvenciju je dobar samo za male valnebrojeve.
Za veće valne brojeve (> 2kF) Thomas-Fermijeva aproksimacijaviše nije dobra. Treba koristiti rezultat izveden u RPA - statičkugranicu.
Frekvencija titranja bit će dana izrazom:
ω(k) = Ωi
√ϵ0
ϵel(k, 0)=
Ωi√k2 + k2TF · F(k)
· |k|
gdje je:
F(k) =1
2+
kF2k
[1−
(k2kF
)2]ln∣∣∣∣k+ 2kFk− 2kF
∣∣∣∣funkcija koja se pojavljuje u Lindhardovoj odzivnoj funkciji.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohnova anomalija u jellium modelu
Fononska frekvencija izračunata pomoću RPA dielektrične funkcije. RPAdielektrična funkcija ima logaritamsku divergenciju u derivaciji za valni broj2kF. To se odražava na fononskoj disperziji koja na tom valnom broju imaneanalitičko ponašanje. Neanalitičnost fononske disperzije na valnom broju2kF je poznata kao Kohnova anomalija (W. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2 (1959)393.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohnova anomalija u 1d, 2d i 3d jellium modelu
Iz rada B. Renker et al., Phys.Rev.Lett. 30 (1973)1144. Kohnova anomalija u K2Pt(CN)4Br0.3 ·3H2O.
Kohnova anomalija posebno dolazi do izražaja u niskodimenzionalnimsustavima ili 3d sustavima s gnježdenjem Fermijeve površine. U takvimsustavima funkcija linearnog odgovora ima logaritamski singularitet kojidovodi do mekšanja fononske frekvencije na valnom broju 2kF.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nobelova nagrada 1998
Walter Kohn - Nobelova nagrada 1998iz kemije za razvoj teorije funkcionalagustoće. Radi se o kvantnoj teorijimnoštva čestica od prvih principa (abinitio računi).
Detalji:http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/kohn.html
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova nestabilnost
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohnova anomalija u (kvazi)-1d sustavima
Kohnova anomalija se ne pojavljuje na višim temperaturama. Singularitet u odzivnoj funkciji na valnom broju 2kF (i Kohnovaanomalija) su posljedica skoka u Fermi-Diracovoj funkcijiraspodjele. na Fermijevoj razini. Na povišenim temperaturamaskok u funkciji raspodjele je razmazan (razmazanost ∼ kBT), panema singularnog ponašanja u odzivnoj funkciji, a u fononskojdisperziji se ne vide anomalije.
Između niskih i visokih temperatura postoji temperatura faznogprijelaza (Tp) na kojoj frekvencija ω(k = 2kF) postane jednakanuli te se formira statička deformacija rešetke valnog broja 2kF.
Pojava statičke 2kF deformacije rešetke poznata je kaoPeierlsova nestabilnost.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova nestabilnostRazmotrimo 1d elektronski plin koji se nalazi u periodičnompotencijalu rešetke valnog broja 2kF. Periodični će potencijal dovestido stvaranja procijepa u elektronskom spektru na Fermijevoj razini, tj.na valnim brojevima ±kF.
Schrödingerova jednadžba:
[− ℏ2
2m∂2
∂x2+
U(x)︷ ︸︸ ︷2α∆ cos(2kFx)
]ψ(x) = Eψ(x)
gdje je ∆ amplituda periodičke deformacije rešetke, a α jačinaelektron-fononskog vezanja. Elektronski spektar:
E±(k) =ℏ2
2m(k2F + (k± kF)2)±
√4ℏ2k2F2m
ℏ2(k± kF)22m
+ α2∆2
Promjena energije elektronskog podsustava (po jedinici dužine):
δEel(∆) = 2
+kF∫−kF
dk2π
(E−(k)−
ℏ2k2
2m
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova nestabilnostOsim elektronskog dijela energije, postoji fononski čiji će iznos biti danelastičnom energijom:
δEph(∆) =⟨12Mi ω
20(2kF) (∆ cos(2kFx) )2
⟩=
1
4C∆2
Ravnotežna vrijednost statičke deformacije ∆ izlazi iz minimumaukupne energije:
dd∆
δEel(∆) + δEph(∆) = 0
Kao rezultat se dobije da je:
α∆ = 4EF e−1/(gFV) gdje je V =2α2
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova nestabilnost
Na Fermijevoj energiji otvara se pro-cijep. Popunjenim elektronskim sta-njima do Fermijeve energije umanjujese energija. Dobitak u energiji je povr-šina označena crvenkastom bojom. Uisti mah postoji gubitak u energiji zbogdeformacije rešetke. Ta dva dopri-nosa suprotnog predznaka daju rav-notežnu vrijednost deformacije takoda je ukupni dobitak u energiji maksi-malan.
Na konačnim temperaturama dio elektrona je pobuđen u stanja iznadprocijepa. Zbog toga je dobitak u elektronskom dijelu energije umanjen pa jei ravnotežna vrijednost deformacije umanjena. Na kritičnoj temperaturi Tp ivišim temperaturama od Tp, ne postoji dobitak u ukupnoj energiji zbogstvaranja periodičke deformacije. Slobodna energija kao funkcija deformacijerešetke i temperature ima oblik Landauovog razvoja po parametru uređenja.
f = a′ (T− Tp)∆2
2+ b ∆4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova nestabilnost
Peierlsova nestabilnost postoji u poliacetilenu (vodljivoj plastici) gdjedovodi do stvaranja alternirajućih dvostrukih/jednostrukih veza ulancu ugljikovih atoma. Radi se o polapopunjenoj vrpci gdje je:
cos(2kFx) = cos(2kFan) = (−1)n
Neočekivano velika vodljivost poliacetilena dolazi od gibanja solitona,topoloških defekata sličnih polaronima.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje elektronapreko fonona
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje elektrona preko fonona
Hel−ph =∑q,k,σ
g(k, q) (aq + a†−q)c†k+q,σ
ck,σ
Elektron-fononsko međudjelovanje opisuje procese u kojima elektronstvara (emitira) ili poništava (apsorbira) fonon i pri tome mijenja valnibroj tako da je ukupni impuls sustava sačuvan.
Razmjena fonona između elektrona dovodi do privlačnogmeđudjelovanja.
Neka se dva elektrona nalaze u početnom stanju k i k′. Neka je konačno stanje tih elektrona k+ q i k′ − q. Od početnog do konačnog stanja moguće je doći ako:
1. elektron valnog broja k emitira fonon valnog broja −q, a drugi gaelektron valnog broja k′ apsorbira.
2. ili ako elektron valnog broja k′ emitira fonon valnog broja q, a prviga elektron apsorbira.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje elektrona preko fononaAmplitudu vjerojatnosti za prelazak iz početnog u konačno stanjemoguće je izračunati računom smetnje:
⟨fin|Hint|init⟩ = −∑
n=sva međustanja
⟨fin|Hel−ph|n⟩⟨n|Hel−ph|init⟩En − Einit
gdje je Hint efektivni hamiltonijan koji opisuje proces prelaska iz početnogstanja u konačno. Zbog zakona sačuvanja energije vrijedi:
Einit = Efin = ek′ + ek = ek+q + ek′−q
U slučaju razmjene fonona međustanja koja odgovaraju navedenimprocesima su:1. Elektroni u stanjima k+ q i k′ i fonon u stanju −q. Pri tome je:
En − Einit = ek+q − ek + ℏω−q
2. Elektroni u stanjima k′ − q i k i fonon u stanju q. Vrijedi:
En − Einit = ek′−q − ek′ + ℏωq = −(ek+q − ek) + ℏωq
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje elektrona preko fonona
Amplitudu vjerojatnosti:
⟨fin|Hint|init⟩ = −g(k, q)g(k′,−q)
[1
ek+q − ek + ℏω−q+
1
−(ek+q − ek) + ℏω+q
]
= −g(k, q)g(k′,−q)2ℏωq
(ℏωq)2 − (ek+q − ek)2
≈ −g(k, q)g(k′,−q) 2
ℏωq
= V(k, k′, q)
Efektivno međudjelovanje elektrona.
Hel−el =∑k,k′ ,qσ,σ′
V(k, k′, q) c†k+q,σ
c†k′−q,σ′ ck′,σ′ ck,σ
Osim ovog dijela koji dolazi od razmjene fonona postoji još izasjenjeno kolonsko odbijanje!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dielektrična funkcija metalaOpćenito dielektrična funkcija je definirana:
ϵVtot = ϵ0 Vext
Želimo povezati dielektričnu funkciju s dielektričnim funkcijamaelektrona i iona.
Za dielektričnu funkciju elektrona vrijedi:
ϵel Vtot = ϵ0 (Vext + Vion)
pri čemu se ionski naboji tretiraju kao dio vanjskih naboja.
Na isti se način može definirati dielektričnu funkcija iona:
ϵion Vtot = ϵ0 (Vext + Vel)
gdje se elektronski naboji tretiraju kao dio vanjskih naboja.Iz tih triju relacija izlazi da je:
=ϵ0︷ ︸︸ ︷(ϵel + ϵion − ϵ) Vtot = ϵ0 (Vext + Vion + Vel) = ϵ0 Vtot
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dielektrična funkcija metala u jellium modelu
Dielektrična funkcija sustava elektrona i iona je:
ϵ = ϵel + ϵion − ϵ0
U području fononskih frekvencija i za male valne vektore:
ϵion = ϵ0
(1−
Ω2i
ω2
)ϵel = ϵ0
(1 +
k2TFq2
)Uvrštavanjem u ukupnu dielektričnu funkciju:
ϵ ≈ ϵel(q)(1−
ω2i (q)ω2
)gdje je ω2
i (q) ≈ Ω2iq2
k2TF
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Efektivno elektron-elektron međudjelovanje u jelliummodelu
Efektivno elektron-elektron međudjelovanje u jellium modelu:
V(q, ω) =e2
ϵ(q, ω)q2
=e2
ϵ0(k2TF + q2)1
1−ω2i (q)ω2
=e2
ϵ0(k2TF + q2)+
e2
ϵ0(k2TF + q2)ω2i (q)
ω2 − ω2i (q)
Prvi dio izraza (plava boja) je zasjenjeno kulonskomeđudjelovanje
Drugi dio izraza (crvena boja) je efektivno međudjelovanje putemrazmjene fononskih pobuđenja. Za frekvencije ω manje odfononskih ono je privlačno. U području malih frekvencijaprivlačni dio veći od zasjenjenog kulonskih odbijanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Efektivno elektron-elektron međudjelovanje u jelliummodelu
Efektivno međudjelovanje elektrona u jellium modelu, V(q, ω) kao funkcija frekvencije ω za trirazličita valna broja. Za frekvencije manje od fononske postoji privlačenje među elektronima. Ugranici ω → 0 privlačno i odbojno međudjelovanje se točno međusobno krate. To je svojstvojellium modela.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Efektivno elektron-elektron međudjelovanje
Što znači frekvencijski ovisno međudjelovanje? Matrični element V(q, ω) označava proces u kojem su impuls ℏq ienergija ℏω preneseni s jednog elektrona na drugi.
Elastični sudar dvaju elektrona je onaj u kojem nema prijenosaenergije, pa je on opisan s matričnim elementom V(q, 0).
Između ω i q ne postoji disperzijska relacija iako se procesdogađa putem razmjene fonona. U međustanju dolazi donarušavanja sačuvanja energije. Međutim, ono što jest važno jeda je ukupna energija i ukupni impuls prije i poslije sudara isti.
Privlačno međudjelovanje postoji ako je prenesena energijamala, odnosno manja od fononske frekvencije.
U metalu jedini elektroni koji mogu sudjelovati u sudarima su onina Fermijevoj razini. Privlačenje između elektrona postoji samoza tanki sloj elektrona oko Fermijeve razine.
Ovo naizgled zanemarivo privlačenje kvalitativno mijenja valnufunkciju sustava i dovodi do pojave supravodljivosti.
