fizikai szemle

2012/9

Fizikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

megjelenését anyagilag támogatják:Nemzeti Civil Alapprogram•

MA

GY

AR

•T

UD

OMÁNY

OS

•A

KA

DÉ

MIA

•

1825A FIZIKA BARÁTAI

A. Tel, A. Ömerk, T. Tel:

M. Blaho, A. Õgri, G. Horvat, R. Gegedús, G. Kriska, Ú. Ésvai, M. Tot, K. Kerteá,

L. P. Biro:

Ó. Kévesi-Domokos:

N. Bokor:

I. Groma, Õ. Kúrti, L. Galyfi, Ú. Öakany

A. Frenkely:

G. Radnai

K. Gõrtlejn:

K. Olü:

Problemx kvantovogo upravleniü

Otáutátvie reakcii na polürizovannxj ávet óukov rodaákarabõuá, áamxh oáuweátvaúwih tu óe polürizaciú û öaáty vtoraü

Koámiöeákoe izluöenie na áverhvxáokih õnergiüh û öaátyvtoraü

Kak dognaty i peregnaty po teorii otnoáitelynoáti û öaáty pervaüFrides Karojhazi, 1929û2012 ( )

Karojhazi-modely kvantovoj mehaniki

Zadaöi fiziöeákogo konkuráa im. Õtvesa ot F. Karojhazi û öaáty pervaü,mehanika ( )

Õkáperimentx dlü vxpolneniü doma

Problema õntropii û öaáty vtoraü

OBUÖENIE FIZIKE

LIÖNXE MNENIÜ

PROIÁHODÍWIE ÁOBXTIÍ

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulathavonta megjelenô folyóirata.

Támogatók: A Magyar TudományosAkadémia Fizikai Tudományok Osztálya,

a Nemzeti Erôforrás Minisztérium,a Magyar Biofizikai Társaság,a Magyar Nukleáris Társaság

és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete

Fôszerkesztô:

Szatmáry Zoltán

Szerkesztôbizottság:

Bencze Gyula, Czitrovszky Aladár,Faigel Gyula, Gyulai József,

Horváth Gábor, Horváth Dezsô,Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Lendvai János,Németh Judit, Ormos Pál, Papp Katalin,

Simon Péter, Sükösd Csaba,Szabados László, Szabó Gábor,

Trócsányi Zoltán, Turiné Frank Zsuzsa,Ujvári Sándor

Szerkesztô:

Füstöss László

Mûszaki szerkesztô:

Kármán Tamás

A folyóirat e-mail címe:

szerkesztok@fizikaiszemle.huA lapba szánt írásokat erre a címre kérjük.

A folyóirat honlapja:

http://www.fizikaiszemle.hu

A címlapon:

Forgatva eldobott villogó bot fény- ésnyomképe Härtlein Károly felvételén.

Részletek a szerzô írásában.

TARTALOM

Tél András, Czmerk András, Tél Tamás: Kvantált vezérlésiproblémák – I. rész 289

Blahó Miklós, Egri Ádám, Horváth Gábor, Hegedüs Ramón,Kriska György, Jósvai Júlia, Tóth Miklós, Kertész Krisztián,Biró László Péter: A cirkulárisan fénypolarizáló szkarabeuszoknem reagálnak a cirkuláris polarizációra – II. rész 295

Kövesi-Domokos Zsuzsa: Kozmikus sugárzás extrémenergiákon – II. rész 298

Bokor Nándor: Relativisztikus fogócska – I. rész 301Károlyházy Frigyes, 1929–2012 (Groma István, Kürti Jenô,

Gálfi László, Csákány Judit ) 306Frenkel Andor: A kvantummechanika Károlyházy-modellje 310

A FIZIKA TANÍTÁSAKárolyházy-feladatok az Eötvös-versenyen

– I. rész, mechanika (Radnai Gyula ) 313Härtlein Károly: Kísérletezzünk otthon! 324

VÉLEMÉNYEKOláh Károly: Az entrópiaprobléma – II. rész 320

HÍREK – ESEMÉNYEK 323

A. Tél, A. Czmerk, T. Tél: Problems of quantized control – part IM. Blahó, Á. Egri, G. Horváth, R. Hegedüs, G. Kriska, J. Jósvai, M. Tóth, K. Kertész,

L. P. Biró: No reaction to circularly polarized light by scarabs although expectedfor these polarizing beatles – part II

Z. Kövesi-Domokos: Cosmic radiation at extreme energies – part IIN. Bokor: Relativistic catching up – part IFrigyes Károlyházy, 1929–2012 (I. Groma, J. Kürti, L. Gálfi, J. Csákány )A. Frenkel: The Károlyházy model of quantum mechanics

TEACHING PHYSICSEötvös Physical Competition problems contributed by F. Károlyházy

– part I, Mechanics (G. Radnai )K. Härtlein: Physical experiments to be performed at home

OPINIONSK. Oláh: The entropy problem – part II

EVENTS

A. Tél, A. Czmerk, T. Tél: Probleme der gequantelten Steuerung – Teil I.M. Blahó, Á. Egri, G. Horváth, R. Hegedüs, G. Kriska, J. Jósvai, M. Tóth, K. Kertész,

L. P. Biró: Scarabäus unempfindlich für zirkular polarisiertes Licht: unerwartetfür Käfer, die selbst zirkular polarisieren – Teil II.

Z. Kövesi-Domokos: Kosmische Strahlung extremer Energien – Teil II.N. Bokor: Einholen bei relativistischen Geschwindigkeiten – Teil I.Frigyes Károlyházy, 1929–2012 (I. Groma, J. Kürti, L. Gálfi, J. Csákány )A. Frenkel: Das Károlyházy Modell der Quantenmechanik

PHYSIKUNTERRICHTAufgaben zu den Eötvös-Wettbewerben von F. Károlyházy – Teil I, Mechanik (G. Radnai )K. Härtlein: Zu Hause ausgeführte Experimente

MEINUNGSÄUSSERUNGENK. Oláh: Das Entropieproblem – Teil II.

EREIGNISSE

1. ábra. Az a0[th2(t/τ)−1] függvény a τ = 1/2, 1 és 2 idôállandókkal.

KVANTÁLT VEZÉRLÉSI PROBLÉMÁK – I. RÉSZMegállítható-e fordított helyzetében a mozgatott felfüggesztésû inga?

Tél András, BME, I. éves mechatronika MSc hallgató

Czmerk András, BME Mechatronikai, Optikai és Gépészeti Informatikai Tanszék

Tél Tamás, ELTE Elméleti Fizikai Tanszék

Manapság széles körben kutatják azokat a problémá-kat, amelyekben a feladat egy rendszer instabil álla-potba történô juttatása. Erre a célra általában szabá-lyozást használnak, amelynek során visszacsatolások-kal beavatkozunk a rendszer dinamikájába.

A vezérlés és a szabályozás közötti különbség avisszacsatolás jelenlététôl függ, a vezérlés során nemalkalmazunk visszacsatolást, vagyis kizárólag a kezde-ti feltételek és a paraméterek helyes megválasztásávalérjük el a kívánt viselkedést. A folyamat jobb ellen-ôrizhetôsége miatt a szabályozás a modernebb, elter-jedtebb technológia, de az érzékelô, beavatkozóáramkörök miatt bonyolultabb, és öngerjedés is fel-léphet.

Megjegyezzük, hogy a fordított inga az 1950-es évek óta gyakranhasznált berendezés a szabályozástechnikai laboratóriumokban.Megépített változata egy kocsin elhelyezett inga, amely általábanegy egyenes mentén mozog. Szabályozással a legtöbb esetben azinga fordított helyzetben tartását tûzik ki célul a mérnökök, másokaz ebbe a helyzetbe való eljuttatáson dolgoznak, ritkán elôfordul,hogy egyszerre mindkét feladatra alkalmassá teszik a robotot [1]. Amai szabályozástechnikával már a fordított hármas inga felállítása ésmegtartása sem jelent akadályt [2, 3].

A vezérlés akkor alkalmazható egyszerûen, ha arendszer végállapota stabil. Mi történik, ha e feltételnem teljesül, vagyis, ha a vezérléssel elérendô állapotinstabil? Eljuttatható a rendszer csupán vezérlésselinstabil nyugalmi állapotába?

Bevezetés

A feladat általános megoldása reménytelennek tûnik,az instabilitás miatt a vezérlés végrehajtása nem ga-rantált. Ezért bevezetjük a sikeres vezérlés fogalmát,

amelyen azt értjük, hogy a vezérlési eljárással el tud-juk juttatni a rendszert az amúgy instabil állapotba.

Egyszerû modellként a fordított inga1 mozgását vizs-gáljuk a felfüggesztési pont valamilyen irányba történô,adott a (t ) függvény szerinti gyorsítása mellett). A gyor-sítási függvény kezdeti maximális értékérôl 0-hoz tart,és a függvény lecsengését egy τ idôállandó írja le. Akérdés az, hogy az inga egy tetszôleges kezdeti állapot-ból eljuttatható-e felállított állapotába.

Dolgozatunkban a cél a fordított helyzetbe szabá-lyozás nélkül történô eljuttatás. A fô kérdés: mennyirelehet a vezérlés sikeres?

Nem tudhatjuk, hogy sikeres vezérlés bármilyena (t ) gyorsulás mellett lehetséges-e. Konkrét példa-ként az

formát vizsgáljuk, ahol τ egy idôállandó és a0 a kezdeti

(1)a (t ) = a0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

th 2 tτ

1 < 0

gyorsulás nagysága. Szemléletesen fogalmazva, τ azt azidôt jelöli, ahol a th2 függvény a 0 és az 1 értékek kö-zött az átváltási folyamat közepéhez ér (1. ábra ).

TÉL ANDRÁS, CZMERK ANDRÁS, TÉL TAMÁS: KVANTÁLT VEZÉRLÉSI PROBLÉMÁK – I. RÉSZ 289

Szükség lesz a felfüggesztési pont helyzetének is-

2. ábra. A függôlegesen gyorsított fordított inga koordinátáinakértelmezése, m az l hosszúságú súlytalan rúd végén elhelyezkedôtest tömege, amely azonban nem jelenik meg a mozgásegyenletben.

meretére is. A sebességre az (1) egyenlet integrálá-sából

adódik, ahol v0 a felfüggesztési pont kezdôsebessége.

(2)v (t ) = a0 τ th tτ

v0

Hosszú idô után th(t /τ) ~ 1, így a v0 −a0 τ sebességáltalában nem nulla. Szemléltetés céljából olyan moz-gást érdemes vizsgálni, amelynek végén a felfüggesz-tési pont megáll. Ez csakis a v0 = a0 τ kezdôsebesség-gel érhetô el. Az origóból induló mozgás esetén azelmozdulás ekkor

A felfüggesztési pont mozgása tehát olyan, hogy a

(3)s (t ) = a0 τ ⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

t τ ln⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

ch tτ

.

nagy negatív kezdeti gyorsulás ellenére a pozitív a0 τkezdôsebesség miatt végig pozitív irányú, s éppen anegatív gyorsulás vezet arra, hogy a mozgás egy idôután megáll. Hosszú idô után

így a pozitív irányban megtett teljes elmozdulás:

(4)ch tτ

~ e t/τ

2,

Az egyszerûség kedvéért csak az (1) gyorsulással

(5)smax = a0 τ 2 ln2.

függôlegesen és vízszintesen gyorsított inga esetétvizsgáljuk. A mozgásegyenlet numerikus szimulálásaazt mutatja, hogy „sikeres vezérlés” mindkét esetben aτ idôállandó bizonyos diszkrét értékeinél lehetséges.Ezért mondjuk, hogy a vezérlési probléma kvantált.

A függôlegesen gyorsított inga

A nyugvó felfüggesztésû, l hosszúságú fordított ingamozgásegyenlete [4]

ahol g a gravitációs gyorsulás abszolútértéke. A ϕ szö-

(6)ϕ = gl

sinϕ ,

get érdemes a pozitív y tengellyel bezárt szögkéntértelmezni (2. ábra ), mert így a sikeres vezérlés ép-pen a ϕ = 0 állapotnak felel meg.

A függôleges egyenes mentén (1) szerint lefelégyorsított inga egyenletét legegyszerûbben együtt-mozgó koordinátarendszerben kapjuk meg. Ebbenfellép egy felfelé, azaz pozitív irányba mutató −a (t )tehetetlenségi gyorsulás, amely csökkenti a negatívirányba mutató g gravitációs gyorsulást. Az eredô gra-vitációs gyorsulás ezért −a (t )−g. Így a függôlegesirányban gyorsított fordított inga mozgásegyenlete

(7)ϕ = a (t ) gl

sinϕ .

Az (7) egyenlet nemlineáris differenciálegyenlet. Jobboldala ráadásul expliciten is függ az idôtôl, a differen-ciálegyenlet nem autonóm, vagyis a mozgás folytatá-sát nem csak a test pillanatnyi helyzete és sebességehatározza meg, hanem egy külsô hatás is.

Az (7) egyenlet alapján szemléletesen is világos,miért érhetô el sikeres vezérlés. Nagy negatív kezdetigyorsulás esetén a −a (t )−g eredô gyorsulás eleintepozitív, azaz olyan a helyzet, mintha a gravitációsgyorsulás felfelé mutatna. Ez stabilizálja a ϕ = 0 állapo-tot. Miután az a (t ) gyorsulás elegendôen csökkentahhoz, hogy az eredô is negatív legyen, akkortól már„csak” arra kell figyelnünk, hogy az inga az instabilállapota közelében maradjon és ahhoz közelítsen.

A konkrét (1) gyorsulásfüggvényt behelyettesítve amegoldandó differenciálegyenlet

Célszerû az egyenletet dimenziótlan alakra hoznunk.

ϕ =a0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

th 2 tτ

1 g

lsinϕ . (8)

Válasszuk ezért az idôegységet τ-nak, és t/τ-t dimen-ziótlan t ′ idônek. A dimenziós t = τ t ′ idô szerinti deri-válás τ-val történô osztást hoz be. Ha továbbra is -talϕjelöljük a dimenziótlan második deriváltat és áttérünk adimenziótlan idô t -vel történô jelölésére, akkor

Az

(9)ϕ =τ 2 a0 th2 t 1 g

lsinϕ .

jelölések bevezetésével a (9) egyenlet átírható, mint

(10)A =a0 τ 2

lés d = A τ 2 g

l=

a0 g τ 2

l

A (8) – (11) kifejezésekbôl leolvasható, hogy A a kezdeti

(11)ϕ = A th 2 t d sinϕ .

gyorsulás nagyságának dimenziótlan értékét jelenti. A dmennyiség ugyanakkor ezen érték és a gravitációs gyor-sulás (τ2 g )/ l dimenziótlan kifejezésének különbsége,

290 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

vagyis az eredô (felfelé mutató) gyorsulás kezdeti nagy-

3. ábra. Szimulálással meghatározott szögkitérés-idô függvény kü-lönbözô d értékek mellett (A = 56, ϕ0 = 1, ϕ = 0). A ta = 4,09 pillana-tot, amely után a gyorsítás elhanyagolható, fekete pont jelöli.

4. ábra. A gyorsított ingamozgásának fázisai a t =0, 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3 és3,5 pillanatokban, A = 56,ϕ0 = 1, ϕ = 0, d = d2 ese-tén. A maximális függôle-ges elmozdulás (5) szerintymax = A ln2 = 38,8 dimen-ziótlan egység.

sága az együttmozgó rendszerben. Az A−d mennyiségtekinthetô a τ idôállandó dimenziótlan értékének is.

A sikeres vezérlés mozgásformái

A (11) differenciálegyenletet numerikusan a LabViewprogrammal [5] oldottuk meg [6].

A függôlegesen gyorsított inga jellegzetes mozgás-formáit a 3. ábrán mutatjuk be az A = 56 dimenziót-lan kezdeti gyorsulás mellett. A d = 49,7 választással aϕ0 = 1 rad és = 0 kezdôfeltétel esetén az inga elô-ϕ 0

ször átlendül a ϕ = 0 holtponton, egy negatív irányúmaximális kitérést elérve visszafordul, majd átlendül,és a kezdôfeltételnél nagyobb pozitív maximumot el-érve ismét a 0 felé közelít. A tc = 1,76 pillanatig az ere-dô gyorsulás felfelé mutat, ami miatt az inga „egyen-súlyi” állapota a ϕ = 0 állapot, amely körül rezgett.t > tc -re az eredô gyorsulás negatív (még ha eleintenem is veszi fel a teljes g értéket). Konkrét esetünkben az inga ϕ = 0 (most már instabil) helyzetét azon-ban nem éri el, és mire onnét eltávolodik, a gyorsításgyakorlatilag 0-vá válik. ta = 4,09-re a g gyorsulást1/100 pontossággal elérjük, de a szögkitérés ekkormár erôsen pozitív, és ezután egy végtelen ideig tartó,nagy amplitúdójú lengés kezdôdik.

A d = 49,745 paraméterrel az inga már hosszabb ide-ig közelíti meg a ϕ = 0 helyzetet, de onnét még vissza-esik. Az inga a 0 állapotot jobban megközelíti, a lengésperiódusideje ezért hosszabb, mint az elôzô esetben.Az alig nagyobb d = 49,746 paraméterrel az inga, mi-után ismét megközelítette a ϕ = 0 értéket, a másik olda-lon esik le, a ϕ értékek végig negatívak maradnak.

A folytonosság alapján ebbôl tudhatjuk, hogy a si-keres vezérlés ezen két d érték között valósul meg.

Numerikus számolásunk sze-rint d2 = 49,74578249.

A 4. ábra a sikeres vezérléstérbeli lefolyását mutatja né-hány pillanatfelvétellel. Amegfelelô ϕ(t ) függvény a 3.ábra vastag görbéje szerint t =3,5 után jól belesimul a víz-szintes tengelybe.

A d2 jelölést az indokolja,hogy ugyanezekkel a kezdôfel-tételekkel két kisebb d érték-nél is találhatunk sikeres ve-zérlést. Ezek d1 = 33,22 és d0 =7,65. A hozzájuk tartozó moz-gások annyiban különböznek,hogy a ϕ = 0 érték elérése elôtta ϕ(t ) függvény egyszer, illetveegyszer sem vált elôjelet.

Az általános tapasztalat te-hát az, hogy adott ϕ0, mel-ϕ 0

lett csak néhány dn érték ese-tén létezhet sikeres vezérlés,ezek d0, d1 … dN−1, ahol N azösszes sikeresen vezérelhetôeset száma. Ezen dn -ek ösz-szességét vezérlési spektrum -nak nevezzük.

A vezérlési spektrumfizikai jelentése

A dn spektrum megtalálása (10)értelmében azt jelenti, hogymegtaláltunk egy olyan τ idô-állandót, amellyel az adott (1)típusú gyorsítási függvény mel-lett sikeres vezérlés valósíthatómeg. dn ismeretében tehát avezérléshez szükséges n -edikidôállandó

(12)τ n = l

gA dn ,

n = 0, …, N 1,

ahol N a kvantált vezérlési le-hetôségek száma. Mivel τn po-zitív, ez mutatja, hogy csak a

(13)dn < A

megoldások bírnak fizikai jelentéssel. A dn értékektehát meghatározzák a vezérléshez választandó ka-rakterisztikus idôket.

Látjuk, hogy ha dn közel esik A -hoz, akkor a τn

idôállandó igen kicsinek adódik. A gyorsításnak ilyen-kor szinte pillanatszerûnek kellene lennie, aminekmegvalósítása nehéz.

TÉL ANDRÁS, CZMERK ANDRÁS, TÉL TAMÁS: KVANTÁLT VEZÉRLÉSI PROBLÉMÁK – I. RÉSZ 291

A (10) bal oldali egyenlete meghatározza az a0 kez-

5. ábra. Vezérlési spektrum A = 12-re. 6. ábra. Vezérlési spektrum A = 30-ra. Az egész számokhoz tartozószimbólumok a dn ág n indexére utalnak, a többi szám azt jelzi, hogymekkora szögelfordulás után állapodik meg az inga a ϕ = 0 helyen.

deti gyorsulást is, hiszen a dn -hez tartozó τn behelyet-tesítése után:

Az n -ik sikeres vezérléshez tartozó megoldáshoz te-

(14)a0, n = AA dn

g .

hát ekkora kezdeti gyorsulás szükséges. Vegyük ész-re, hogy ez független az inga l hosszától.

Ha dn nagyon közel esik a maximális A dimenziót-lan gyorsuláshoz, akkor a0,n jóval nagyobb lehet, mintmaga a g gravitációs gyorsulás. Amennyiben például10 g -t tekintünk még megvalósítható kezdeti gyorsu-lásnak, akkor elegendô a

tartományra korlátozódnunk.

(15)dn < 910

A

A (12) összefüggés megadja a (4. ábrán bemuta-tott) mozgáshoz tartozó idôállandót: ehhez ismernünkkell az inga hosszát. l = 0,1 m, 1 m és 10 m-es ingákrarendre τ2 = 0,25 s, 0,79 s, és 2,5 s értékeket kapjuk. Akezdeti gyorsulás (14) szerint független az inga hosz-szától, s így mindegyik hossz esetén a0,2 = 8,59 g, azazmeglehetôsen nagy kezdeti gyorsulás szükséges ad2-höz tartozó kvantált vezérlés megvalósításához. Ad1, d0 értékhez rendre az a0,1 = 2,45 g, a0,0 = 1,15 g kez-deti gyorsulás tartozik.

A vezérlési spektrum szögfüggése

A spektrum meghatározását szisztematikusan elvégez-tük különbözô A értékek mellett a kezdeti ϕ0 szögki-térések −π és +π közötti tartományában nulla kezdetiszögsebességgel. A kvantált dn értékekre vonatkozóeredményeket a 5.–7. ábrák foglalják össze.

Az A = 12 esetben összesen két görbét találunk (5.ábra ), mindegyik tükörszimmetrikus a függôleges ten-gelyre. A kisebb értékekhez tartozó d0(ϕ0) ág a teljes ϕ0

tartományra kiterjed, a második, d1(ϕ0) ág azonbanmegszûnik – eléri a d1 = A = 12 értéket, lásd (13) –, a

|ϕ0| = 1,5 érték körül. A két ághoz tartozó mozgásannyiban különbözik, hogy d0 mentén az inga szög-kitérése végig azonos elôjelû a kezdetivel, azaz nemtörténik elôjelváltás az instabil állapot eléréséig.Ezzel szemben a d1 ág mentén a szögkitérés egyszerelôjelet vált, és csak azután közelít a kitérülésmentesállapothoz, de anélkül, hogy közben átfordulna. A d2

értékek azonban nagyon közel esnek A -hoz, ezért(12) szerint az idôállandók nagyon kicsik, és a kezdetigyorsulások (15) alapján megvalósíthatatlan, 10 g -nélnagyobb értékre vezetnek. A felsô ág matematikailétezése ellenére sem jelenti tehát a sikeres vezérléslehetôséget. Az alsó ág ezzel szemben könnyen meg-valósítható. A d0 = 4 körüli érték például τ0 = 0,28,0,89, és 2,8 s idôállandóhoz tartozik l = 0,1, 1, illetve10 m-es ingahossz esetén. A szükséges kezdeti gyor-sulás értéke csak 1,5 g.

Az A = 30 kezdeti gyorsulás mellett (6. ábra ) há-rom olyan ágat találunk, amelyhez hozzátartozik a ϕ0

= 0 kezdôfeltétel. A legalsó, d0 ág minden −π és +πközötti ϕ0-ra kiterjed. A d1 ág csak 2,25-ig, a d2 csak1,5-ig húzódik. Az inga mozgása mindhárom ág men-tén teljes átfordulás nélküli, azaz a ϕ = 0 végállapot-hoz tart, d0-ban elôjelváltás nélkül, d1-ben egyszeri,d2-ben kétszeri elôjelváltással. Az utóbbi ág végig na-gyon közel húzódik az A = 30-as értékhez, és ezértmegvalósíthatatlan vezérlést ír le.

Új vonás, hogy a kezdeti szögkitérés rövid, nullátnem tartalmazó intervallumain is találunk vezérlésilehetôségeket. Ezek olyan mozgásokhoz tartoznak,amelyek utolsó áthaladásukkor még véges szögsebes-séggel lendülnek át az origón, és egy vagy több teljeskörülfordulás után állnak meg az instabil állapotban.Számos nagyon rövid intervallumra kiterjedô ágat istaláltunk, az áttekinthetôség érdekében azonban csaka legnagyobbakat ábrázoljuk. A 6. ábra jobb oldalánϕ0 = 2 és 3 között húzódó alsó ív mentén az inga a−2π állapotban (vagyis egy pozitív irányú teljes kör-befordulás) után áll meg, a kissé fölötte húzódó ívmentén pedig −4π-ben. (Ehhez nagyon közel húzód-nak nyilván a −n2π végállapotok görbéi, de azok nu-

292 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

merikus felbontása már igen nehéz.) E két ív negatív

7. ábra. Vezérlési spektrum A = 56-ra. A jelölések megegyeznek azelôzô ábrán használtakkal.

1. táblázat

Az energiaspektrum különbözô A értékekre a (18)Rosen–Morse-potenciál esetén

A d0, d1, …, dN N

12 3, 11 1

30 5, 21, 29 2

56 7, 31, 47, 55 3

kezdeti szögkitérésekhez tartozó tükörképei mentén avégállapot 2π, illetve 4π, vagyis negatív körüljárásúkörbefordulások utáni állapot.

Az A = 56 eset ezek után már lényegében hasonló(7. ábra ). Most négy ϕ = 0-án átmenô ágat találunk,d0-tól d3-ig. Az általános szabály az, hogy az inga azn -edik ág mentén n−1 elôjelváltás után közelíti meg azorigót, s közben egyszer sem fordul át. A d3 ág nagyonrövid és végig túl nagy kezdeti gyorsulásokhoz tartozik.A d2 ág ϕ0 = 1-hez tartozó (utolsó reálisan vezérelhetô)értékének részletes megtalálását mutattuk be a 3. áb-rán. A d1 és a d0 ágak végéhez csatlakoznak a többszö-ri átfordulás utáni megállást leíró rövidebb ágak. A d0

ág jobb oldalán a −2π, −4π-ben, a d1 jobb oldalán a 2π,4π-ben történik a megállás, az ábra bal oldalán pedigaz elôjelek tükrözôdnek.

A függôlegesen gyorsított ingaés a Schrödinger-egyenlet

Az a tény, hogy csak diszkrét d értékek mellett létezhetsikeres vezérlés, óhatatlanul felveti a kvantummechani-kával való kapcsolat keresésének szükségességét.

A függôlegesen gyorsított fordított inga nemlineárismozgásegyenlete azzal a feltevéssel, hogy a ϕ szögki-térés mindig jóval kisebb, mint 1 radián, a

lineáris alakba megy át, hiszen sinϕ a ϕ argumentum-

(16)ϕ = A th2 t d ϕ , ϕ << 1

mal közelíthetô, ha ϕ kicsi.Ha a (16) egyenletben az idôváltozót x -szel jelöl-

jük, a szögkitérést Ψ-vel, akkor az egyenlet

ahol

(17)Ψ″(x ) = V (x ) e Ψ(x ),

(18)V (x ) = A th2 x 1 , e = d A.

Ez nem más, mint a mikrorészecskék energiáját meg-határozó (stacionárius) Schrödinger-egyenlet [7] meg-felelô dimenziótlan egységekben kifejezve [6]. Az emennyiség a részecske konstans energiája, V (x ) pedigaz a potenciál (elektromos mezô), amelyben a részecs-ke mozog. A vesszô az x térváltozó szerinti deriválástjelöli. A Ψ(x ) hullámfüggvénynek az a fizikai jelentése,hogy a részecske az x hely környékén |Ψ|2(x ) valószí-nûséggel található meg. Mivel a részecske biztosanvan valahol, |Ψ|2(x ) teljes térre vett integrálja egyetkell adjon, de ez csak úgy lehetséges, ha Ψ(x ) maganullához tart nagy x értékekre. A Ψ(x ) függvény nor-máltságából adódó végtelenbeli eltûnés pedig éppen avezérlés ϕ → 0 feltételének felel meg [6].

A kis kezdeti kitéréssel indított (és végig kis szögki-téréseket mutató) inga mozgása tehát ekvivalens a(17) Schrödinger-egyenlettel. Ennek egyik következ-ménye, hogy a (17) lineáris egyenletben a sajátérték-spektrum nem függ a ϕ0 kezdeti szögkitéréstôl.

A V (x ) dimenziótlan potenciál az úgynevezett Ro-sen–Morse-potenciál, amelynek energiaspektrumamár 1932 óta ismert [8]. A potenciálgödör −A mélysé-gétôl mért lehetséges dimenziótlan energiaértékeket,amelyek a dn spektrumnak felelnek meg |ϕ0| << 1esetén, az 1. táblázatban foglaljuk össze.

Ez a felismerés magyarázza azt a tapasztalatot, mi-szerint a vezérlési dn értékek kis kezdeti kitérésekremegegyeznek az 1. táblázat értékeivel. A 5. – 7. áb-rán látható dn görbék valóban mind vízszintes érin-tôvel futnak be az origóban felvett (schrödingeri) ér-tékükhöz.

Érdemes itt összefoglalni miben jelentôs tehát azeltérés a (16) Schrödinger-egyenlettel leírt lineárisvezérlési feladathoz képest.

• Az dn értékek alapvetôen függnek a kezdetiszögkitéréstôl. Ennek megfelelôen a dn ágak görbül-tek és a pozitív indexûek nem is terjednek ki a teljesszögtartományra.

• Léteznek olyan más ágak, amelyek nem nyúl-nak el a ϕ0 = 0 kezdôfeltételig, és ezért még határ-esetben sem lehetnek kapcsolatosak a Schrödinger-egyenlettel. Ezek a többszörös átfordulás utáni meg-állást írják le.

• Hangsúlyozzuk, ha a vezérlési problémánk telje-sen „schrödingeri” lenne, akkor az összes vezérlésispektrum kizárólag vízszintes vonalakból állna (1.táblázat ).

A (11) egyenlet tehát egyfajta (stacionárius) nemli-neáris Schrödinger-egyenlet idôváltozóban felírt alak-

TÉL ANDRÁS, CZMERK ANDRÁS, TÉL TAMÁS: KVANTÁLT VEZÉRLÉSI PROBLÉMÁK – I. RÉSZ 293

jának tekinthetô. A függôlegesen gyorsított inga ve-zérlése tehát nemlinearitása miatt jelentôsen eltér ahagyományos Schrödinger-egyenlettel leírt lineárisvezérlési feladattól. Egy vonás azonban mindenkép-pen közös: vezérlés csak kvantált értékek mellett le-hetséges, de ez az új típusú kvantálás már egészenmás jellegû, mint a kvantummechanikai. Ez nem iscsoda, hiszen a kvantummechanika alapvetôen lineá-ris elmélet [7].

A következôkben vizsgálandó vízszintesen gyorsí-tott inga egyenlete még határértékben sem kapcsola-tos a Schrödinger-egyenlettel, ezért ott még nehezeb-ben megvalósítható vezérlésre számíthatunk csak.

Irodalom1. K. J. Aström, K. Furuta: Swing up a pendulum by energy control.

Automatica 36 (2000) 287–295.2. H. Su, C. A. Woodham: On the uncontrollable damped triple

inverted pendulum. Journal of Computational and Applied Ma-thematics 151 (2003) 425–443.

3. D. J. Acheson: A pendulum theorem. Proc. Royal Soc. A443(1993) 239–245.

4. Nagy K.: Elméleti mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.5. National Instruments LabView: ni.com/labview.6. Tél A., Tél T.: Egy reménytelennek tûnô vezérlési probléma a

klasszikus és modern fizika határán. Fizikai Szemle 61/12 (2011)409–416.

7. Marx Gy.: Kvantummechanika. Mûszaki Kiadó, Budapest, 1971.8. N. Rosen, P. M. Morse: On the vibrations of polyatomic mole-

cules. Phys. Rev. 15 (1932) 210–217.

A CIRKULÁRISAN FÉNYPOLARIZÁLÓ SZKARABEUSZOKNEM REAGÁLNAK A CIRKULÁRIS POLARIZÁCIÓRA – II. RÉSZEgy évszázados biooptikai hipotézis cáfolata

Blahó Miklós, Egri Ádám, Horváth GáborKörnyezetoptika Laboratórium, Biológiai Fizika Tanszék, ELTE, Budapest

Hegedüs RamónSzámítógépes Látás és Robotika Csoport, Gironai Egyetem, Girona, Spanyolország

Kriska GyörgyBiológiai Szakmódszertani Csoport, Biológiai Intézet, ELTE, Budapest

Jósvai Júlia, Tóth MiklósNövényvédelmi Intézet, Agrártudományi Kutatóközpont, MTA, Budapest

Kertész Krisztián, Biró László PéterMuszaki Fizikai és Anyagtudományi Intézet, Természettudományi Kutatóközpont, MTA, Budapest

Albert Abraham Michelson amerikai fizikus 1911-ben fedezte föl, hogy bizonyos szkarabeusz bogarakfémszínû kitinpáncéljáról visszavert fény balra cir-kulárisan poláros. Azóta feltételezték, hogy e boga-rak képesek érzékelni a fény cirkuláris polarizáció-ját, amit a fajtársak megtalálásához használnak. Ehipotézist ellenôriztük hat kísérletben az Anomaladubia, Anomala vitis, Cetonia aurata és Potosia cup-rea szkarabeuszfajok több száz egyedével. Kimutat-tuk, hogy e bogarak nem vonzódnak a cirkulárisanpoláros fényhez a fajtársak vagy a táplálék kereséseközben. Azt is megmutattuk, hogy e szkarabeuszokgazdanövényei cirkulárisan polarizálatlan fénytvernek vissza. Mindezzel cáfoltuk azon évszázadoshipotézist, hogy a szkarabeuszok kitinpáncéljáróltükrözôdô fény cirkuláris polarizációja e bogarakvizuális kommunikációját szolgálja. Cikkünk I. ré-szében1 a szkarabeuszok cirkulárispolarizáció-érzé-

1 Fizikai Szemle 62/7–8 (2012) 217–221.

kelésének hipotézisét ismertettük, majd leírtuk eprobléma vizsgálatára elvégzett kísérleteinket. Írá-sunk II. részében a kísérleti eredményeinket mutat-juk be és azokat vitatjuk meg.

A szkarabeuszok nem reagálnaka cirkuláris polarizációra

A Cetonia aurata aranyos rózsabogarak kitinpáncéljaBCP-fényt, míg az alattuk lévô Epipremnum levelekcirkulárisan polarizálatlan fényt vernek vissza. A Poto-sia cuprea rezes rózsabogár, az Anomala dubia és azAnomala vitis cserebogarak kitinpáncélja szinténBCP-fényt ver vissza. A Cetonia, Potosia és Anomalavitis teljesen fekete BC polárszûrôn át nézve, továbbáaz Anomala dubia a barna szárnyfedôitôl eltekintveszintén fekete BC polárszûrôn keresztül. Másrésztviszont e szkarabeuszok optikai környezetében elô-forduló növények (galagonya: Crataegus monogyna,vadrózsa: Rosa canina, fekete nyár: Populus nigra,platán: Platanus acerifolia, lisztes berkenye: Sorbusaria, mezei juhar: Acer campestre, kislevelû hárs:Tilia cordata, madárberkenye: Sorbus aucuparia,vadcseresznye: Prunus avium, ecetfa: Rhus typhina,mezei szil: Ulmus campestris, japánakác: Sophora ja-ponica, szelídgesztenye: Castanea sativa, közönségesnyír: Betula pendula ) által visszavert fény cirkulárisanpolarizálatlan.

294 FIZIKAI SZEMLE 2012 /9

Az 1. kísérletben összesen 61 (ebbôl 40 mászott, 21

1. táblázat

A 2. kísérletben a balra cirkulárisan poláros (BCP)vagy a jobbra cirkulárisan poláros (JCP) fényingert

választó Cetonia aurata szkarabeuszok száma háromkülönbözô képinger esetén, napos vagy borult idôben.

BCP fényinger JCP fényinger

1. képinger: Cetonia aurata egy galagonya (Crataegusmonogyna ) virágon

Összesen 196:100 + 96

94 bogárS: 34, AS: 27, B: 33

M: 59, R: 35

102 bogárS: 33, AS: 29, B: 40

M: 62, R: 40

2. képinger: galagonya (Crataegus monogyna ) levelekés virágok

Összesen 141:73 + 68

67 bogárS: 34, AS: 33M: 39, R: 28

74 bogárS: 39, AS: 35M: 48, R: 26

3. képinger: virágzó galagonya (Crataegus monogyna ) bokor

Összesen 131:69 + 62

67 bogárS: 23, AS: 17, B: 27

M: 37, R: 30

64 bogárS: 26, AS: 19, B: 19

M: 40, R: 24

Teljes 468:242 + 226

228 bogárS: 91, AS: 77, B: 60

M: 135, R: 93

240 bogárS: 98, AS: 83, B: 59

M: 150, R: 90

Rövidítések:: nôstény: hím

S: a bogarak választása a tesztdoboz napos felére esett.AS: a bogarak választása a tesztdoboz nappal átellenes felére esett.B: a teljesen borult ég miatt a tesztdobozt egyenletes égboltfény

világította meg.M: a bogár mászott.R: a bogár repült.Megjegyzés: A statisztikai elemzés szerint a különbségek nem szigni-fikánsak.

2. táblázat

A 2. kísérletben a balra cirkulárisan poláros (BCP) vagya jobbra cirkulárisan poláros (JCP) fényingert választó

Potosia cuprea, Anomala vitis és Anomala dubiaszkarabeuszok száma a 3. képinger (virágzó

galagonyabokor színes fényképe) esetén.

faj (100 egyed) BCP fényinger JCP fényinger

Potosia cuprea52 + 48

50M: 35, R: 15

50M: 37, R: 13

Anomala vitis100

51M: 32, R: 19

49M: 31, R: 18

Anomala dubia100

48M: 30, R: 18

52M: 32, R: 20

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A statisztikai elemzés szerint a különbségek nem szigni-fikánsak.

3. táblázat

A 3. kísérletben a balra cirkulárisan poláros (BCP) fénytvisszaverô, közvetlenül látható, azonos fajú

szkarabeusztetemeket vagy a jobbra cirkulárisanpoláros (JCP) fényû, síktükörben látható, azonos fajú

szkarabeusztetemeket választó Cetonia aurata,Potosia cuprea, Anomala vitis és Anomala dubia

szkarabeuszok száma.

faj(100 egyed)

BCP szkarabeusztetem(közvetlenül látható)

JCP szkarabeusztetem(síktükörbôl látható)

Cetonia aurata50 + 50

48M: 44, R: 4

52M: 46, R: 6

Potosia cuprea52 + 48

51M: 45, R: 6

49M: 34, R: 15

Anomala vitis100

50M: 41, R: 9

50M: 35, R: 15

Anomala dubia100

46M: 30, R: 16

54M: 42, R: 12

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A statisztikai elemzés szerint a különbségek nem szigni-fikánsak.

repült) Cetonia aurata választotta az LCP, míg 59 (42mászott, 17 repült) a BCP fényingert. E kis különbségstatisztikusan nem szignifikáns (χ2 = 0,033, df = 1, p =0,86). A Cetonia aurata e kísérletben adott reakciójaa véletlenszerû választásnak felel meg a BCP és JCPfényingerek között.

A 2. kísérletben (1. táblázat ), amikor egy galagonyavirágán lévô Cetonia aurata képe volt a tesztdobozablakában (1. inger), 94 Cetonia aurata választotta aBCP, míg 102 a JCP fényingert. A galagonya levelét ésvirágát (2. inger), valamint a virágzó galagonyabokrot(3. inger) mutató színes képeknél a BCP és JCP fényin-gert választó Cetonia rózsabogarak száma 67 és 74,illetve 67 és 64 volt. Mindösszesen a BCP fényingert228-szor, a JCP-t pedig 240-szer választották e bogarak.E különbségek egyike sem szignifikáns. A hat fôszektoregyike sem volt kitüntetett. A tesztdoboz Nap felôlioldalát (mikor az ég felhôtlen volt) valamivel többszörválasztották (189), mint a másik, Nappal ellentétes felét(160), de statisztikusan még e különbség sem szignifi-káns (χ2 = 2,41, df = 1, p = 0,12). A fényingereket a Ce-tonia rózsabogarak gyakrabban közelítették meg mász-va (285), mint repülve (183).

Nagyon hasonló eredmények adódtak a Potosiacuprea, Anomala dubia és Anomala vitis esetében is

(2. táblázat ): a BCP/JCP fényingert választók száma50/50 (Potosia), 48/52 (Anomala dubia) és 51/49(Anomala vitis) volt. E különbségek egyike sem szig-nifikáns. A tesztdoboz egyik szektora sem volt kitün-tetett és a bogarak mind a három fajnál inkább mász-va közeledtek (Potosia: 72, Anomala dubia: 62, Ano-mala vitis: 63) a fényingerek felé, mint repülve (Poto-sia: 28, Anomala dubia: 38, Anomala vitis: 37).

A 3. kísérletben (3. táblázat ) a BCP/JCP-fényûneklátszó szkarabeusztetemek választási aránya 48/52,51/49, 46/54 és 50/50 volt rendre a Cetonia, Potosia,Anomala dubia és Anomala vitis fajoknál. Ezen ará-nyok statisztikailag nem szignifikánsan térnek el az50/50%-tól. A szkarabeuszok megint a mászást prefe-rálták (Cetonia: 90, Potosia: 79, Anomala dubia: 72,Anomala vitis: 76) a repüléssel szemben (Cetonia: 10,Potosia: 21, Anomala dubia: 28, Anomala vitis: 24).

A 4. kísérletben a szexferomonnal ellátott csapdáknagy számú Anomala dubia és Anomala vitis bogaratfogtak, szignifikánsan többet, mint bármely más csap-

BLAHÓ M. ÉS MUNKATÁRSAI: A CIRKULÁRISAN FÉNYPOLARIZÁLÓ SZKARABEUSZOK NEM REAGÁLNAK A CIRKULÁRIS POLARIZÁCIÓRA – II. 295

da (4. táblázat ). Csak 1-1 Anomala vitis egyedet fo-

4. táblázat

A 4. kísérletben használt, Anomala vitis/dubia tetemekkelellátott, vagy szexferomont kibocsátó, vagy üres csapdák

által fogott Anomala vitis és Anomala dubiaszkarabeuszok száma.

csali Anomala vitis Anomala dubia

Anomala dubia tetemek 1,( ) 0

Anomala vitis tetemek 1,( ) 0

szexferomon 867,( ) 381,( )

üres 0 1,( )

p -érték 0,0002 0,0002

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A p -értékek a Kruskal–Wallis statisztikai tesztre vonat-koznak.

5. táblázat

A 4. kísérletben használt, Cetonia aurata tetemekkelellátott, vagy virágillatot árasztó, vagy üres csapdák

által fogott Cetonia aurata és Potosia cupreaszkarabeuszok száma.

csali Cetonia aurata Potosia cuprea

Cetonia aurata tetemek 0 0

vonzó virágillat 415,(205 +210 ) 47,(24 +23 )

üres 0 0

p -érték < 0,0001 < 0,0001

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A p -értékek a Kruskal–Wallis statisztikai tesztre vonat-koznak.

6. táblázat

Az 5. kísérletben a balra cirkulárisan poláros (BCP)vagy a teljesen lineárisan poláros (TLP) fényingert

választó Cetonia aurata, Potosia cuprea, Anomala vitisés Anomala dubia szkarabeuszok száma.

faj (100 egyed) BCP fényinger TLP fényinger

Cetonia aurata 50 (M: 48, R: 2) 50 (M: 47, R: 3)

Potosia cuprea 52 (M: 51, R: 1) 48 (M: 46, R: 2)

Anomala vitis 52 (M: 52, R: 0) 48 (M: 48, R: 0)

Anomala dubia 45 (M: 45, R: 0) 55 (M: 55, R: 0)

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A statisztikai elemzés szerint a különbségek nem szigni-fikánsak.

7. táblázat

A 6. kísérletben a balra cirkulárisan poláros (BCP)vagy a polarizálatlan fényingert választó Cetonia aurata,

Potosia cuprea, Anomala vitis és Anomala dubiaszkarabeuszok száma.

faj(100 egyed)

BCPfényinger

polarizálatlanfényinger

Cetonia aurata 49 (M: 49, R: 0) 51 (M: 51, R: 0)

Potosia cuprea 47 (M: 47, R: 0) 53 (M: 53, R: 0)

Anomala vitis 53 (M: 53, R: 0) 47 (M: 47, R: 0)

Anomala dubia 52 (M: 52, R: 0) 48 (M: 48, R: 0)

Rövidítéseket lásd az 1. táblázatnál!Megjegyzés: A statisztikai elemzés szerint a különbségek nem szigni-fikánsak.

gott az Anomala vitis, illetve Anomala dubia szkara-beusztetemeket tartalmazó csapda, míg az üres csap-dák nem fogtak semmit. Az Anomala dubiák fogásais nagyon hasonló képet mutatott: a szexferomonoscsapda nagy számú egyedet, míg a másik két csapdaegyetlen, vagy egyetlen egyedet sem fogott (4. táblá-zat ). A virágillattal csalogató csapdák is szignifikán-san több Cetonia aurata és Potosia cuprea egyedetfogtak, mint a Cetonia -tetemekkel ellátott vagy azüres csapdák (5. táblázat ).

Az 5. kísérletben a négy vizsgált szkarabeuszfajegyike sem részesítette elônyben a BCP és a lineári-san poláros fényinger egyikét sem (6. táblázat ). Atapasztalt nagyon kis különbségek egyike sem voltszignifikáns. Hasonló a helyzet a 6. kísérletben, aholmind a négy szkarabeuszfaj gyakorlatilag fele-felearányban választotta a BCP és a polarizálatlan fényin-gert, és a különbségek itt sem voltak szignifikánsak(7. táblázat ). Az 5. és 6. kísérlet eredménye megerô-sítette azt a következtetésünket, hogy a Cetonia aura-ta, Potosia cuprea, Anomala vitis és Anomala dubiaszkarabeuszok nem vonzódnak a BCP-fényhez sem atáplálék, sem pedig a fajtársak keresésekor.

Az 1. ábra szerint a balra cirkulárisan polarizálóAnomala vitis, Anomala dubia és Cetonia auratabogarak kitinpáncéljának visszaverôdési spektruma

(merôleges beesés mellett) egyetlen csúccsal rendel-kezik a zöld tartományban (Anomala vitis: 562 nm,Anomala dubia: 614 nm, Cetonia aurata: 574 nm). APotosia cuprea visszaverôdési spektrumának két csú-csa van: az elsôdleges csúcs a vörösben (670 nm) és amásodlagos csúcs a zöldben (549 nm). Az egycsúcsosspektrumok fémes zöld színt kölcsönöznek e boga-raknak, míg a kétcsúcsos spektrum a Potosia cuprearezes-barnás színéhez vezet.

A kísérleti eredmények megvitatása

A vizsgált szkarabeuszfajok természetes optikai kör-nyezetében a legerôsebb CP fényforrás e szkarabeu-szok BCP-fényt visszaverô kitinpáncélja, mivel növé-nyi környezetük gyakorlatilag cirkulárisan polarizálat-lan. Ezért a cirkulárispolarizáció-érzékelés a kitinpán-célról visszavert BCP-fény keresésével elvben segít-hetne a fajtársak megtalálásában. Azonban a kísérle-teink szerint – annak ellenére, hogy a vizsgált szkara-beuszfajok kitinpáncélja a spektrum látható tartomá-nyában BCP-fényt ver vissza – a Cetonia aurata, Po-tosia cuprea, Anomala vitis és Anomala dubia szka-rabeuszok az általunk tesztelt körülmények között(táplálék és fajtársak keresése közben) nem vonzód-nak a CP-fényhez.

296 FIZIKAI SZEMLE 2012 /9

A 4. kísérletbôl látszik, hogy a vizuális jelek – be-

1. ábra. Az Anomala vitis, Anomala dubia, Cetonia aurata és Po-tosia cuprea szkarabeuszok fémes BCP-fényt tükrözô kitinpáncéljá-nak visszaverôdési spektruma merôleges visszaverôdés esetén. Avisszavert fény I intenzitásának mérésekor a mérômûszer fehér, dif-fúz visszaverôdési standardja jelentette a referenciaállandót. Az I -ér-tékek akkor lehetnek nagyobbak 100%-nál, ha a vizsgált felszíntöbb fényt tükröz vissza, mint a referenciaállandó.

leértve a szkarabeusztetemek által visszavert BCP-fényt is – a vizsgált szkarabeuszfajoknál nem idéztekelô vonzó hatást, annak ellenére, hogy a vizsgált bo-garak nagy egyedszámban voltak jelen a kísérletihelyszínen – ezt mutatja a szexferomont (Anomalavitis és dubia ) és virágillatot (Cetonia és Potosia )árasztó csapdák nagy fogásszáma. A 4. kísérlet alap-ján úgy tûnik, hogy a szkarabeuszok fajtársaikat aszagok segítségével, nem pedig vizuális jelek (pél-dául a kitinpáncélról visszavert CP-fény) alapján ta-lálják meg. Jól ismert jelenség [1], hogy az Anomaladubia és Anomala vitis szexferomonjai kis mérték-ben egymást is vonzzák. Hasonlóképpen ismert aCetonia és Potosia vonzódása a kísérletben alkalma-zott virágillatokhoz [2, 3].

Ha a vizsgált szkarabeusz bogarak szag alapjántalálnak egymásra, akkor ehhez vizuális jelekre nincsszükségük. Megjegyzendô viszont, hogy a feromonokhasználata nem föltétlenül zárja ki a vizuális jelekszerepét, ami számos faj esetében ismert [4]. Vélemé-nyünk szerint a szkarabeuszok kitinpáncéljáról vissza-vert fény cirkuláris polarizációja csak melléktermékea kitinpáncél csavart (helikális) nanoszerkezetének.Szerintünk a kitinpáncél csavart struktúrájának elsôd-leges célja a mechanikai és/vagy kémiai hatásokkal(mechanikai nyomással és/vagy sav-lúg okozta sérü-lésekkel) szembeni ellenálló képesség növelése lehetés nem a BCP-fény keltése vizuális kommunikációcéljára. Az itt bemutatott kísérleteink fényében a szka-rabeusz-kitinpáncél cirkuláris polarizációjának optikaiszerepe nagyon valószínûtlen, az említett mechanikaiés kémiai föltételezés pedig a jövôben kísérletilegellenôrizendô. Az is tisztázatlan kérdés még, hogy akitinpáncélnak a kizárólag csak a szkarabeuszoknálmegjelenô [5], s a koleszterikus folyadékkristályoké-

hoz hasonló szerkezete miért tér el ilyen nagy mérték-ben más fémfényû bogarakétól.

A szkarabeuszok pozitív reakciójának, azaz a BCP-fényhez való vonzódásának hiánya magyarázhatólenne a kísérletekben használt egyedek motivációjá-nak (táplálék- és fajtárskeresés) hiányával is. Azonbanez több okból is igen valószínûtlen: (1) Az 1. kísérlet-ben használt Cetonia aurata bogarakat közvetlenül akísérletet megelôzô napon, rajzáskor gyûjtöttük be, ésnehezen képzelhetô el, hogy másnapra elvesztettékvolna a táplálék- és fajtárskeresési motivációjukat. (2)A 2., 3., 5. és 6. kísérletben a tesztdobozban használtszkarabeuszokat szintén a kísérleteket megelôzô na-pokon gyûjtöttük be, a bogarakat a kísérletek elôtt 6órán át egy külön edényben éheztettük, s mindenegyedet csak egyszer teszteltünk. E körülményekkelminimalizáltuk annak lehetôségét, hogy a bogarakelveszítsék motivációjukat a táplálék és fajtársak kere-sésére. (3) A 4. kísérletet a terepen végeztük, moti-vált, röpködô szkarabeuszokkal. (4) Az 1., 2., 3., 5. és6. kísérletben a szkarabeuszok gyakorta repültek a vi-zuális ingerek felé (1–3. táblázat ), ezzel mutatva akti-vitásukat, motivációjukat. Továbbá, a vizsgált szkara-beuszegyedek szemlátomást párzási hangulatban vol-tak, mert mind a négy faj befogott egyedei folyamato-san párosodtak, vagy erre tettek kísérletet.

Összefoglalás

A bogarak Scarabaeidae családja Rutalinea alcsaládjá-nak Anomala vitis és Anomala dubia fajainál, vala-mint Cetoniinae alcsaládjának Cetonia aurata és Po-tosia cuprea fajainál, amelyek páncélja balra cirkulári-san poláros fényt ver vissza, nem találtunk kísérletibizonyítékot arra, hogy a cirkulárisan poláros fényrebármiféle viselkedési választ (például vonzódást) ad-nának. A kitinpáncél fénypolarizáló tulajdonságaibana nemek között nem volt különbség. Úgy tûnik, hogye szkarabeuszok esetén a fajtársak megtalálásában aszagok nagyobb jelentôséggel bírnak, mint a vizuálisjelek. Mivel a szkarabeuszok látórendszerének alap-vetô anatómiai és optikai tulajdonságai megegyeznek[6], ezért eredményeink minden bizonnyal általánosít-hatók a többi szkarabeuszfajra is. A jövôben azonbanfontos lenne további szkarabeuszfajok cirkulárispola-rizáció-érzékelését is vizsgálni, hogy még általáno-sabb érvényû kijelentéseket tehessünk a szkarabeu-szok cirkulárispolarizáció-látásával vagy polarizáció-vakságával kapcsolatban.

Köszönetnyilvánítás

Horváth Gábor köszöni a német Alexander von Humboldt Alapít-vány nagyértékû mûszeradományát. Hegedüs Ramón hálás az Euró-pai Unió kétéves Marie Curie IEF kutatói ösztöndíjáért.

Irodalom1. Tóth, M.; Leal, W. L.; Szarukán, I.; Lesznyák, M.; Szôcs, G.: 2-(E)-

Nonen-1-ol: male attractant for chafers Anomala vitis Fabr. andAnomala dubia Scop. (Coleoptera: Scarabaeidae). Journal ofChemical Ecology 20 (1994) 2481–2487.

BLAHÓ M. ÉS MUNKATÁRSAI: A CIRKULÁRISAN FÉNYPOLARIZÁLÓ SZKARABEUSZOK NEM REAGÁLNAK A CIRKULÁRIS POLARIZÁCIÓRA – II. 297

2. Tóth M., Imrei Z., Szarukán I., Voigt E., Schmera D., Vuts J., Har-mincz K., Subchev M.: Gyümölcs-, illetve virágkárokat okozócserebogárfélék kémiai kommunikációja: egy évtized kutatásieredményei. Növényvédelem 41 (2005) 581–588.

3. Vuts, J.; Imrei, Z.; Tóth, M.: New co-attractants synergizing att-raction of Cetonia aurata aurata and Potosia cuprea to theknown floral attractant. Zeitschrift für angewandte Entomologie134 (2010) 9–15.

4. Christensen, T. A. (ed.): Methods in Insect Sensory Neuroscience.CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, USA, 2005.

5. van de Kamp, T.; Greven, H.: On the architecture of beetle elyt-ra. Entomologie Heute 22 (2010) 191–204.

6. Gokan, N.; Meyer-Rochow, V. B.: Morphological comparisons ofcompound eyes in Scarabaeoidea (Coleoptera) related to thebeetles’ daily activity maxima and phylogenetic positions. Jour-nal of Agricultural Science 45 (2000) 15–61.

KOZMIKUS SUGÁRZÁS EXTRÉM ENERGIÁKON – II. RÉSZKövesi-Domokos Zsuzsa

Department of Physics and AstronomyThe Johns Hopkins University

Baltimore, USA

A cikk elsô része1 leírta az extrém energiájú kiterjedt

1 Fizikai Szemle 62/7–8 (2012) 234–239.

légizáporok alapvetô tulajdonságait és a detektáláskét fontos módszerét felszíni zápor- és fluoreszcensdetektorokkal. A fluoreszcens detektorok és a hibrid(kombinált felszíni zápor- és fluoreszcens) detektorokjelentôsek mind a primér részecske azonosításában,mind az energiabecslés javításában. Hangsúlyoztukaz extrém energiájú kozmikus sugárzás jelentôségéta részecskefizikai kutatásban, minthogy ez az ener-giatartomány még a legnagyobb mûködô gyorsítóval(LHC) sem érhetô el.

Anomális záporok és fizikaa Standard Modellen túl

A múlt század kilencvenes éveiben, az extrém energia-tartományban a fluxusadatok legnagyobb részét azAGASA-detektor adta. A spektrum legmeglepôbb két tu-lajdonsága az volt, hogy nem mutatta a várt GZK-levá-gást és még E > 1020 eV fölött is 11 záport figyeltek meg.A Fly’s Eye korai adatai további 5 eseménnyel támogat-ták. Ezeket nevezzük anomális záporoknak. A GZK-levágás fizikájához (pion fotokeltés) semmilyen kétségsem fért, minthogy ezt a folyamatot a múlt század ötve-nes évei óta laboratóriumi kontrollált körülmények kö-zött sokszor kimérték. Ebbôl következett, hogy vagy aGZK-gömbön belül keletkeznek a protonok, vagy azáport kezdeményezô részecske akadálytalanul keresz-tülutazik a mikrohullámú háttérsugárzáson, de a levegô-maggal – a protonhoz hasonlóan – erôsen hat kölcsön.Minthogy a csillagászok kifogytak a nagy fluxusú vagynagy számú „extrém” forrásokból, a részecskefizikusokléptek akcióba. Két csoportba sorolhatjuk az elméletielgondolásokat: csak a Standard Modellt használó és azazon lényegesen túllépô magyarázatokat.

Z-robbanás

A Standard Modellen túl csak azt kell feltenni, hogy aneutrínók tömeggel rendelkeznek, ami kísérletileg jól

igazolt tény. A Világmindenség bármely részérôl ér-kezô extrém, E ≈ 1023–1024 eV (!) energiájú neutrínókrezonanciában keltenek egy semleges, gyenge bo-zont a Z 0-t, amikor a neutrínó-háttérsugárzás egyneutrínójával ütköznek a GZK-gömbön belül. A Z 0

bomlásból átlagosan csak 2 nukleon, de körülbelül20 gamma-foton (több extrém energiájú is) és na-gyon sok lepton keletkezik. A bomlásból származóprotonok keltik az „anomális” záporokat. Ez a mo-dell, bár nagyon takarékos az alapvetô kölcsönhatásimodellben, de minden másban a praktikusnak elfo-gadott lehetôségek határán kívüli körülményeketkövetel. Természetesen a döntô szót itt is csak a kí-sérleti-megfigyelési eredmények adhatják. Két kísér-let is sikerrel adott felsô korlátot ezen rendkívülienergiájú neutrínók fluxusára. Ezek a korlátok márszinte kizárták a Z-robbanást, mint az anomális zápo-rok forrását. Az Auger Obszervatórium és a Telesz-kóprendszer eredményeibôl rövidesen láthatjuk,hogy ez a folyamat lényegében nem adhat járulékotaz extrém energiájú fluxushoz.

Topológiai defektusok és szupernehéz sötét anyag

A Nagy Egyesítés Elméletek (Grand Unified Theoryvagy GUT) a Standard Modell háromféle mértékinva-riáns kölcsönhatását (gyenge, elektromágneses éserôs) és a sokféle kvarkot, leptont próbálják egy egy-séges elméletté összehozni. (Emlékezzünk, hogy azelsô ilyenfajta egyesítés a 19. század végén az elekt-romos és mágneses jelenségek összekapcsolása voltMaxwell egyenleteiben. A Standard Modellben azelektromágneses és gyenge kölcsönhatások egyesül-tek és a részecskék is családokba rendezôdtek.) Köz-vetlenül az Ôsrobbanás után a Világegyetem a GUTalapján mûködött: minden kölcsönhatás erôsségeegyforma volt. Ahogy a Világegyetem hûlni kezdett,a kölcsönhatások erôssége szétvált. Ez az átmenetnem egyformán folyt le mindenütt és úgynevezetttopológiai hibahelyek keletkeztek, amelyek metasta-bilak, de élettartamuk akár a Világegyetem mai korá-hoz (körülbelül 13 milliárd év) hasonlítható. A koraiGUT-korszakból hasonló élettartamú nehéz marad-

298 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

ványrészek (mc 2 ≈ 1024 eV) is keletkezhettek, ame-

1. ábra. A felsô ábra a skálázott energiaeloszlás 2009-es eredmé-nyeit mutatja. Az AGASA-adatok nem mutatják a GZK-levágást, de aHiRes- és Auger-pontok már igen. Az alsó ábra a 2011-ig látott újeseményeket is tartalmazza. A szaggatott vonal hatványfüggvénye-ket, a fekete vonal pedig hatványfüggvényeket és sima függvénye-ket illeszt az Auger-eloszláshoz.

2. ábra. A különbözô részecskefizikai hipotézisek jóslatai az integ-rális fotonfluxusra és a megfigyelési korlátok (M. Settimo ICRC2011).

lyek játszhatják egy szupernehéz sötét anyag szere-pét is. Mind a topológiai defektusok eredményeként,mind a szupernehéz sötét anyag bomlásakor végülstabil részecskék keletkeznek: protonok, gamma-fotonok, elektronok, pozitronok és neutrínók. Fontosmegemlíteni, hogy csak körülbelül 5% a protonokszáma és nagyon sok extrém és nagy energiájú gam-ma-részecske keletkezik. Természetesen az így kelet-kezô protonok felelôsek az „anomális” záporokért.Az új fluoreszcens- és hibriddetektor-megfigyeléseknagymértékben korlátozzák a topológiai defektusokés a szupernehéz sötét anyag jelenlétét.

Erôsen kölcsönható neutrínók

Az egyesített modellek még ambiciózusabb formája agravitációt is magukba foglaló húrelméletek. Itt a ré-szecskék szerepét egy pici rezgô húr játssza. Azegyesítés céljából szóbajöhetô húrelméletek 10 vagy11 dimenzióban definiálhatók (egy idô- és a többitérdimenzió a szokásos három helyett). Ezen kívül azenergiaskála, ahol a teljes egyesítés megvalósul, a

gravitációval kapcsolatos Planck-energiánál van: ≈1028 eV. Az 1990-es évek közepén bebizonyosodott,hogy ebben a sokdimenziós univerzumban a köl-csönhatások egyesítése sokkal alacsonyabb energiánis bekövetkezhet, ha az 5 vagy 6 extra dimenzió csakvéges méretû. (Például, ha van egy hosszú henge-rünk, amely mondjuk a z -tengellyel párhuzamos és akeresztmetszet sugara egy fix r hossz, akkor ezt afelületet hengerkoordinátákban leírhatjuk a z -koor-dinátával, amely a (−∞, +∞) intervallumban változikés az azimutális szöggel, amely csak 0-tól 2π-ig ter-jed.) Egy ilyen húrelméletben az új fizika már(5–10) 1013 eV energián is beköszönthet. Többekközött a neutrínók kölcsönhatása is olyan erôsséválik, mint a kvarkoké. Így az extrém energiás neutrí-nók a látható Univerzumból akárhonnan elérhetik aFöldet, mert a háttérsugárzással való kölcsönhatástömegközépponti energiája messze az alacsony húr-skála alatt van, a Standard Modell érvényes. A leve-gô-atommaggal való ütközésnél azonban meghalad-hatja az új fizika energiaküszöbét és akkor lényegé-ben egy erôsen kölcsönható részecskéhez, mondjukprotonhoz hasonló légizáport indít. Pillanatnyilag,még az új Auger- és a Teleszkóprendszer-adatokat isfigyelembe véve sincs elegendô esemény a GZK-le-vágás környékén ahhoz, hogy a relatíve alacsonyenergián esetleg megjelenô új fizika létét megfigyel-hessük.

Az Auger Obszervatórium, HiRes ésa Teleszkóprendszer eredményei

Mára meggyôzôen bebizonyosodott, hogy E = 5 1019

eV-nál a bejövô részecskék száma jelentôsen csök-ken (1. ábra ). Ez a GZK-levágás jelenlétét kétségte-lenül alátámasztja. (Természetesen mindig fennáll azaz értelmezési lehetôség, hogy az asztrofizikai gyor-sítók „kifulladnak”, azaz gyorsító képességük energe-tikai határához érkeztek.) A GZK-levágás felett a flu-xus alaposan csökken, de nem nulla. Ezt az alacsonyfluxust csupán asztrofizikai forrásokkal sem lehetet-

KÖVESI-DOMOKOS ZSUZSA: KOZMIKUS SUGÁRZÁS EXTRÉM ENERGIÁKON – II. RÉSZ 299

len megmagyarázni. Ezeken az energiákon a galakti-

3. ábra. A felsô ábrán a Teleszkóprendszer, az alsón a HiRes mé-réseit látjuk. Az egyenesvonal-csoportok a különbözô hadronmo-dellekkel készült szimulálások eredményét mutatják.

4. ábra. Az Auger-mérések, amelyek szórási adatokat is tartalmaz-nak (RMS(Xmax) = ΔXmax).

kus és extragalaktikus rendezett és kaotikus mágne-ses terek sem a protonok sem az atommagok terje-dési irányát nem tudják lényegesen befolyásolni. Ígya töltött részek is visszamutatnak a forrásukhoz.Minthogy csak kis számú forrás tud extrém energiák-ra gyorsítani, a részecskék beesési irányeloszlásánaklényeges anizotrópiát kell mutatnia. Érdekes módona topológiai defektusok (TD), szupernehéz sötétanyag (super heavy dark matter, SHDM) és a már úgyis gyengélkedô Z-robbanás (Z-burst, ZB) hipotézis-nek nem a transz-GZK események redukált számaadta meg a kegyelemdöfést. Az Auger Obszervató-rium szigorú felsô korlátot ad a primér gamma-flu-xusra. Mindezek az elméletek a protonok mellettelkerülhetetlenül nagyszámú energetikus fotont isadnának, ellentmondva a megfigyelt felsô korlátnak(2. ábra ).

A legfontosabb megoldatlan rejtély a primér össze-tételével kapcsolatos. Elvben protontól vasig bármilehet. A fluoreszcens detektorok módot adnak a zá-por Xmax(E ) maximumának és ΔXmax(E ) szórásánakmeghatározására (3. és 4. ábra ). Ezekbôl az ábrákbólelég világos, hogy az Auger Obszervatórium méréseia proton dominanciájáról fokozatosan a vasra történôáttérést részesítik elônyben, mígnem a HiRes és Te-leszkóprendszer úgy látja, hogy többségben protonokjönnek a mért energiatartományban. Az LHC új ada-taival javított hadronmodellek valamivel markánsabbáteszik az Auger összetétel-változást az energia függvé-nyében. Talán csak az okozza a különbséget, hogy azegyik detektor a déli, a másik kettô az északi féltekén

gyûjtötte az adatokat. Egy másik érdekes, egyelôremegoldatlan kérdés, hogy a szimuláló programokmiért nem képesek a müonszámot helyesen megadni.Az LHC kísérleti eredményeit pontosan leíró hadron-modellek fontos segítséget adnak az extrém energiájútartományban szükséges analízisre. A nagy, új kozmi-kusdetektor-rendszerek még csak rövid ideje mûköd-nek, így további adatokra kell várni, hogy a felvetettproblémákra és esetleges újabbakra magyarázatotadhassunk. Fontos kérdés, hogy a GZK-energia kör-nyéken és felette – az LHC-energia feletti ismeretlentartományban – a várható nagyobb statisztika mutat-evalami új anomáliát, amely segítene egy még nemismert, a Standard Modellen túlmenô fizika felfedezé-sében. A részecskefizikusok abban reménykednek,hogy a kis számú asztrofizikai gyorsító nem „fullad ki”az új fizika küszöbe alatt.

IrodalomT. Stanev: High Energy Cosmic Rays. Springer, 2004. – A kozmikus

sugarak gyorsításával és terjedésével kapcsolatos fizikát tárgyalómodern könyv.

A. Letessier-Selvon, T. Stanev: Ultrahigh energy cosmic rays. Rev.Mod. Phys. 83 (2011) 907–942. – Legfontosabb új eredményeketis tárgyaló összefoglaló cikk.

✧Kövesi-Domokos Zsuzsá t, a baltimore-i Johns HopkinsEgyetem emerita professzorát az Eötvös Loránd Fizi-kai Társulat 2011. májusi Küldöttközgyûlésén tisztelet-beli tagjává választotta. Társulati székfoglaló elôadá-sát 2012. január 19-én rendkívüli Ortvay-kollokviumkeretében tartotta. A Fizikai Szemle az elôadás két ré-szes, írott változatával köszöntötte a kitüntetettet.

300 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

RELATIVISZTIKUS FOGÓCSKA – I. RÉSZ BME Fizika Tanszék

1. ábra. Akhilleusz és a teknôsbéka.

2. ábra. Gumiszalagokkal összekapcsolt – robotûrhajók.

3. ábra. A nem egyenletesen szürkülô fényévrúd.

Bokor Nándor

Három, meglepô eredménnyel járógondolatkísérlet

1. Üldözéses versenyhez készülôdik a világûrbenAkhilleusz és egy teknôsbéka. Elhelyezkednek egy-mástól 0,8 fényév távolságra szabadon lebegô ûrhajó-jukban, ahogy az 1. ábra mutatja. A félúton levô ver-senybíró fényimpulzussal adja meg a jelet az indulás-ra. A teknôsbéka jobbra indul, Akhilleusz feladata,hogy utolérje.

A teknôsbéka nem ambiciózus, inkább a kényelmetválasztja. Pontosan földi körülményeket akar teremte-ni a fedélzeten, ezért állandó aB = g = 10 m/s2 (saját)-gyorsulásra állítja ûrhajóját. Akhilleuszban erôsebb aversenyszellem, nagyobb, aA (> aB ) gyorsulással ira-modik a teknôs után, és – hiába bizonygat Zénónmást – hamarosan utol is éri.

A verseny visszavágóján megint az 1. ábra szerinthelyezkednek el. Ismét egyszerre kapják meg az indí-tójelet, de a teknôsbéka most kicsit jobban rákapcsol.Ismét állandó (saját)gyorsulásra állítja ûrhajóját, demost aB = 1,5 g = 15 m/s2 számértékûre. Ezzel a ver-seny el is dôlt. Akhilleusznak, akárhogyan igyekszikis, elvi esélye sincs, hogy utolérje a teknôst. Hogyanlehetséges ez?

2. Galaktikus távolságokra – gumiszalagokkal össze-kapcsolt – robotûrhajókból álló konvoj szállítja a teher-rakományokat a 2. ábra szerinti elrendezésben. Ezeketa robotûrhajókat úgy tervezték, hogy tetszôlegesennagy gyorsulást kibírnak, és motorjuk képes is tetszôle-gesen nagy gyorsulású mozgásra bírni ôket (gondolat -kísérlet!). Egyetlen korlátozó tényezô van: a konvojelsô tagja, a 2. ábrán M -mel jelölt „mozdony”-ûrhajóolyan érzékeny vezérlôegységet szállít, amely „csupán”1015 m/s2 gyorsulást bír ki. A konvoj hossza 100 méter.Az egyes robotûrhajók mozgását úgy hangolják össze,hogy az összekapcsolásukhoz használt gumiszalagokútközben még éppen ne feszüljenek meg.

A Galaktikus Szállítóvállalat diszpécsere két megle-pô tényt jegyez fel:

1) Ha az M ûrhajó a benne levô vezérlôegység általmég épp kibírható 1015 m/s2 gyorsulással indul, akkora robotûrhajók közötti gumiszalagok elkerülhetetlenülmegnyúlnak.

2) 100 helyett 90 méteres konvojt alkalmazva márnincsen gond: megoldható, hogy a gumiszalagok la-zák maradjanak. Hogyan lehetséges ez?

3. Egy szállítóvállalat pilótái azt a feladatot kapják,hogy egy törékeny anyagból készült „fényévrudat”(ami olyan, mint a méterrúd, csak hossza 1 fényév) aTejútrendszerbôl egy másik galaxisba szállítsák. Afényévrúd mentén sûrûn ûrhajókat helyeznek el, ame-lyekhez a rudat rögzítik. Az ûrhajókba pilóták ülnek,és várják az indulást. A megbeszélt indulási idôpont-ban egy elôzetesen betáplált program szerint az ösz-szes ûrhajó állandó gyorsulással mozgásba lendül. Azûrhajók mozgása gondosan úgy van összehangolva,hogy szállítás közben a törékeny fényévrúdban sehúzó-, se nyomófeszültség ne ébredjen.

A fényévrúd speciális festékkel van bevonva: ezinduláskor még fehér színû, de az idô múlásával meg-szürkül, majd teljesen befeketedik.

Az ûrhajók pilótái – akik oldalra kinézve ellenôrzik ahozzájuk képest álló fényévrúd hozzájuk közel esô da-rabkájának állapotát – érdekes jelenségre lesznek fi-gyelmesek. Mindegyikük azt tapasztalja, hogy a fény-évrúd nem egyenletesen szürkül. Minden fényévrúd-darab menetirány szerinti hátulja világosabb, mint azeleje (ahogy a 3. ábra mutatja), ami azt jelenti, hogy afényévrúd egyes darabjai – és így a pilóták – nem azo-nos ütemben öregednek. Hogyan lehetséges ez?

A Dewan–Beran gondolatkísérlet

Mindhárom fenti példa tág értelemben az úgynevezettDewan–Beran gondolatkísérlethez [1] (közismertebb,bár kevésbé jogos nevén a „Bell-féle rakétaparado-xon”-hoz) kapcsolódik.

A Dewan–Beran gondolatkísérlet így hangzik:Két teljesen azonos ûrhajót d hosszúságú vékony

cérnával kötünk össze. Az ûrhajók kezdetben állnak aK inerciarendszerben, ahogy a 4. ábra mutatja. Egy-szerre elindulnak (az ábrán jobbra), és teljesen azo-nos mozgással felgyorsulnak v végsebességre.

A „teljesen azonos mozgás” azt jelenti, hogy a gyor-sulási szakaszaik pontosan ugyanakkora sebességnö-vekményekbôl állnak, és ezekre a sebességnövekmé-

BOKOR NÁNDOR: RELATIVISZTIKUS FOGÓCSKA – I. RÉSZ 301

nyekre – akár a K inerciarendszer koordinátaidejét,

4. ábra. A K inerciarendszerben kezdetben álló ûrhajók.

5. ábra. A két ûrhajó világvonala a K inerciarendszerbeli Minkowski-diagramon.

6. ábra. A részecske világvonala egy K nyugvó laboratóriumi iner-ciarendszer Minkowski-diagramján.

akár az ûrhajósok karóráján mutatott sajátidôt néz-zük – mindig ugyanazokban az idôpontokban tesz-nek szert. A két ûrhajó világvonalát a K inerciarend-szerbeli Minkowski-diagramon (5. ábra ) ábrázolva az„azonos mozgások” fogalma még könnyebben érthe-tô: a világvonalak azonos alakú görbék, egymásnakpusztán az x -tengely mentén eltolt másai (és kezdetimeredekségük végtelen).

Mi történik a cérnával? A cérna két vége pontosanugyanazt a mozgást végzi. Azt várnánk tehát, hogy acérna egésze – anélkül hogy mechanikai feszültségébredne benne – háborítatlanul mozog jobbra. Azon-ban ez lehetetlen. Az egyre gyorsabban mozgó cér-na hossza ugyanis csak a K inerciarendszerbôl nézvemarad állandó (az 5. ábrá n: például A1 B1 = A2 B2 =d ). Ez viszont – a hosszúságkontrakciót és a cérnaegyre gyorsuló mozgását figyelembe véve – azt kellhogy jelentse, hogy a cérna sajáthossza folyamato-san nô. Ez természetesen mechanikai feszültségeklétrejöttével is jár, tehát a cérna elôbb-utóbb el-szakad.

A 5. ábra Minkowski-diagramja egyszerû, azonnalátlátható módon írja le a jelenséget, amely azonbanígy is bántóan ellentmond az intuíciónknak, hiszen akövetkezô mondat igazságát vagyunk kénytelenekmegemészteni: „Ha egy éppen csak megfeszített cér-na két végét – a cérna hossza mentén – pontosanugyanolyan módon gyorsítjuk, a cérna elôbb-utóbbmenthetetlenül elszakad.”

A Dewan–Beran gondolatkísérlet által bemutatottjelenségnek nem dinamikai okai vannak. A cérna el-szakadását a hosszúságkontrakció tisztán téridô-geo-metriai effektusa okozza, aminek a newtoni mechani-kában nyoma sincs. A gondolatkísérlet arra hívja fel afigyelmet, hogy a hosszúságkontrakció nem csupán amozgási hossz mérésének módszerébôl adódó „illú-zió”, hanem olyan effektus, amelynek nagyon is való-di (fizikai) következményei lehetnek.

Mielôtt a cikk elején szerepelt gondolatkísérletekmeglepô eredményeinek részletes magyarázatábakezdenék, teszek egy olyan feltevést, amely lényege-sen egyszerûsíteni fogja a matematikai részleteket:mostantól olyan mozgásokat fogok tekinteni, ame-lyekben az adott tömegpont sajátgyorsulása állandó.Az elsô kérdés: milyen görbe írja le az ilyen részecs-kék világvonalát egy K nyugvó laboratóriumi inercia-rendszer (x,ct ) Minkowski-diagramján (6. ábra )?

Állandó sajátgyorsulással mozgó tömegpont

A sajátgyorsulás állandóságát az

egyenlet fejezi ki, ahol a ′ a gyorsulás, u ′ a sebesség

a ′ = du ′dt ′

= const. (1)

és t ′ az idô. Minden vesszôs mennyiség a tömegpontpillanatnyi nyugalmi rendszerében értendô (abban aK ′ inerciarendszerben, amely olyan v sebességgelmozog a K -hoz képest, hogy O ′ origója az adott idô-pillanat kis környezetében éppen együtt mozog atömegponttal).

A K és K ′ közötti Lorentz-féle sebességtranszfor-mációs formula:

(Azon esemény szûk környezetében tehát, amelyre az

(2)u ′ = u v

1 u v

c 2

.

(1) egyenletet felírtuk, u = v és u ′ =0.)Az (1) egyenletben szereplô deriválást az összetett

függvény deriválási szabályával felírva:

(3)

a ′ = const. = du ′du

dudt

d td t ′

=

=1 v 2

c 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 u v

c 2

2

dudt

1

1 v 2

c 2

,

302 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

ahol az elsô tényezôt a (2) egyenlet u szerinti derivá-

7. ábra. A (7) egyenlettel felírt hiperbola pozitív sajátgyorsuláshoztartozó ága.

lásából kaptuk, a harmadikat pedig az idôdilatációstényezôbôl. A (3) egyenletet átrendezve, az u = v ösz-szefüggés felhasználásával a gyorsulásdeficitet kifeje-zô alábbi differenciálegyenlethez jutunk:

(A gyorsulásdeficit elnevezés abból ered, hogy – mint

(4)dudt

= a ′ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 u 2

c 2

3/2

.

a (4) egyenlet mutatja – a tömegpont K vonatkoztatásirendszerben mért gyorsulása kisebb, mint a newtonifizika alapján várt a ′.) Az egyenlet közvetlen integrá-lással kapható megoldása (u (t=0) = 0 kezdôfeltételmellett, azaz nyugalomból induló tömegpont esetén):

(5)-bôl újbóli integrálással megkapható a világvonal

(5)u

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= dxdt

= a ′ t

1 a ′2 t 2

c 2

.

alakját leíró x (t ) függvény:

Átrendezés után:

(6)

x =c 2 1 a ′2 t 2

c 2

a ′const.

a világvonal alakja tehát hiperbola. A 7. ábra a (7)

(7)(x const.)2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c 2

a ′

2

c 2 t 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

c 2

a ′

2= 1,

egyenlettel felírt hiperbolát (illetve annak pozitív a ′sajátgyorsuláshoz tartozó ágát) ábrázolja.

Utolérési limit– az 1. gondolatkísérlet magyarázata

A (7) egyenlet alapján könnyû belátni, hogy a hiper-bola aszimptotája – mint a 7. ábra is mutatja – azonfénysugár világvonala, amely átmegy a C eseményen(az ábrán a C pont a hiperbola úgynevezett közép-pontja). Más megfogalmazásban az aszimptota nemmás, mint a C eseménynél jelen levô objektumok jö-vôbeli fénykúpjának jobb oldali „ága”. A C -nél jelenlevô objektumok tehát – bár kezdetben véges távol-ságra voltak a tömegpontunktól – soha nem találkoz-hatnak vele, hiszen világvonaluk – akármennyire is(legfeljebb 45°-kal) dôl a ct -tengelyhez képest – sohanem metszheti a (7) hiperbolát.

A (7) egyenlet nevezôiben szereplô, hosszúságdi-menziójú L = c 2/a ′ kifejezés ennek megfelelôen fon-tos fizikai jelentéssel bír: egyfajta utolérési limitnektekinthetô. Ha egy üldözô ûrhajó a t = 0 pillanatbanlegalább L távolságra helyezkedett el az álló tömeg-ponttól a negatív x -tengely mentén, akkor a tömeg-

pont mozgását leíró hiperbola mindvégig kívül maradaz üldözô ûrhajó t = 0-beli fénykúpján, azon a tarto-mányon, ahová az üldözô valaha is eljuthat.

A jelenség szépségét az adja, hogy az ûrhajók végestávolságból vesznek üldözôbe egy véges sajátgyorsu-lással mozgó tárgyat, és akármilyen gyorsulással iserednek a nyomába, eleve esélytelenek. Ezzel a cikkelején szereplô 1. gondolatkísérlet meglepô eredmé-nye is érthetôvé válik. A számadatok ellenôrzését azolvasóra bízom. (Az a tény, hogy a tömegpont világ-vonala kívül marad a C -bôl kiinduló fénykúpon, ter-mészetesen azt is jelenti, hogy még az üldözô ûrha-jókból kibocsátott fényjelek sem tudják a tömegpontotsoha utolérni. Az 1. gondolatkísérletben tehát ha ateknôsbéka aB = 1,5 g értékûre állítja gyorsulását,nemcsak a versenyt sikerül megnyernie, de akkor semlesz semmi baja, ha a frusztrált Akhilleusz esetleg lé-zerfegyverrel lô utána.)

A gyorsulás felsô korlátja

Mozgassuk a Dewan–Beran-kísérlet cérnájának jobboldali végét állandó a ′j sajátgyorsulással jobbra. Világ-vonalát a 8. ábra j jelû hiperbolája mutatja, amelynekaz egyenlete:

Mint látható, az egyszerûség kedvéért a hiperbolát

(8)

x 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

c 2

a ′j

2

c 2 t 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

c 2

a ′j

2= 1.

vízszintes irányban úgy pozicionáltam, hogy azaszimptotája átmenjen az origón. Ez a (7) egyenletbena const. = 0 választásnak felel meg, vagyis annak,hogy a 7. ábra C eseményét (a hiperbola középpont-ját) az origóba helyeztem.

Mekkora gyorsulással kell mozgatnunk a bal oldalivéget, hogy a cérna mindvégig éppen megfeszítettmaradjon, de ne szakadjon el?

A 8. ábra szaggatottan jelzett b* világvonala, amelya j világvonal eltolt mása, tehát szintén a ′j gyorsulásúmozgást ír le, biztosan nem jó: a cérna az ilyen moz-

BOKOR NÁNDOR: RELATIVISZTIKUS FOGÓCSKA – I. RÉSZ 303

gás során elszakad (sajáthossza nô ), ezt láttuk már az

8. ábra. A Dewan–Beran-kísérlet cérnája bal és jobb oldali végénekvilágvonalai.

9. ábra. Az egyik cérnavég pillanatnyi nyugalmi inerciarendszeré-ben a másik cérnavég mindig éppen áll.

5. ábrával kapcsolatban. Hogy a cérna ne szakadjonel, a bal oldali végének nem elég ugyanolyan saját-gyorsulással mozognia, mint a jobb oldali végének,hanem szaporábban kell a jobb oldali vég után igye-keznie. Ilyen lehetséges mozgásokat mutatnak pél-dául a 8. ábrán a b** és b jelû világvonalak. Melyiklesz az ilyen mozgások közül a megfelelô?

Próbáljuk ki azt az a ′b állandó sajátgyorsulású moz-gást, amelynek egyenlete

Ez éppen a 8. ábra b -vel jelölt hiperbolája. A (9)

(9)

x 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

c 2

a ′b

2

c 2 t 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

c 2

a ′b

2= 1.

egyenletet a (7) egyenlettel összevetve látható ugyan-is, hogy ezen eset különlegessége ismét a const. = 0választás, amely biztosítja, hogy a j jelû hiperboláévalazonos az aszimptotája. Ez, valamint az a követel-mény, hogy a két hiperbola kezdeti távolsága azx -tengely mentén legyen d (a cérna kezdeti hossza),egyértelmûen meghatározza a ′b értékét:

amibôl

(10)Xj Xb

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= c 2

a ′jc 2

a ′b= d,

Állítás: ha a bal oldali vég a (11) képletnek megfele-

(11)a ′b = a ′j

1

1d a ′jc 2

.

lôen gyorsul – azaz a b jelû világvonalon mozog –,akkor a cérna sajáthossza (és így megfeszítettségiállapota) mindvégig változatlan marad. Ez az alábbigondolatmenettel látható be.

A b jelû hiperbola nem más, mint a különbözôjobbra mozgó K ′, K ″ stb. inerciarendszerek x ′, x ″stb. tengelyeinek kalibrálására szolgáló úgynevezettkalibrációs hiperbola: ez metszené ki az x ′, x ″ stb.

tengelyekbôl azt az osztást, ahová a c 2/a ′b hosszérté-ket fel kell mérni. (A (9) hiperbolának ez a tulajdon-sága – amelynek analógiája az euklideszi síkon az(x, y ) derékszögû koordinátarendszerhez képest el-forgatott (x ′,y ′) tengelyek kalibrálására szolgálókalibrációs kör – a Minkowski-koordinátákban felírttéridô-intervallum invarianciájából, az x 2 − c 2 t 2 =x ′2 −c 2 t ′2 = … = const. összefüggésbôl következik).A b világvonalat követô részecske tehát mozgása so-rán mindvégig ugyanakkora, c 2/a ′b „téridô-interval-lumnyira” van az origó-eseménytôl. Ez azt is jelenti,hogy a részecske pillanatnyi nyugalmi inerciarend-szereibôl végigkövetve a mozgást (egy-egy ilyeninerciarendszerben a részecske világvonala a lokálisidôtengely irányába mutat) a részecske mindig azadott inerciarendszer x -tengelyének c 2/a ′b osztásúpontjában tartózkodik, és éppen nyugalomban van.Hasonló módon a j világvonalú részecske is mindvé-gig ugyanakkora, c 2/a ′j „téridô-intervallumnyira” vanaz origó-eseménytôl, tehát ô is minden jobbramozgó inerciarendszer x -tengelyének ugyanazonjelzésû pontjában (a c 2/a ′j pontban) tartózkodik – éséppen nyugalomban van! –, amikor az adott inercia-rendszer órái 0-t mutatnak. (Az ilyenkor szokásosmódon feltettem, hogy az összes inerciarendszerorigója a kezdô idôpillanatban egybeesik.) Ez viszontazt jelenti, hogy abban az inerciarendszerben,amelyben a bal oldali cérnavég éppen áll, a jobb ol-dali cérnavég is éppen áll. Ilyen értelemben a kétcérnavég közötti távolság – ami ez esetben a cérnasajáthossza, hiszen abban a rendszerben mért hossz,amelyben a cérna végei állnak – nem változik. Acérna nem szakad el, mindvégig ugyanabban a meg-feszítettségi állapotban marad.

Azt a tényt, hogy az egyik cérnavég pillanatnyi nyu-galmi inerciarendszerében a másik cérnavég is mindigéppen áll, a 9. ábra illusztrálja. Az ábrán látható – ésanalitikusan is könnyen megmutatható –, hogy a kéthiperbola meredeksége, azaz a két cérnavég sebességeminden olyan eseménypárban megegyezik, amelyek

304 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

egy-egy adott inerciarendszer x -tengelye mentén a

10. ábra. A bal oldali cérnavég (dimenziótlanná normált) gyorsulá-sa a jobb oldali cérnavég (dimenziótlanná normált) gyorsulásánakfüggvényében.

A szerkesztôbizottság fizika

tanításáért felelôs tagjai kérik

mindazokat, akik a fizika vonzóbbá

tétele, a tanítás eredményességének

fokozása érdekében új módszerekkel,

elképzelésekkel próbálkoznak, hogy

ezeket osszák meg a Szemle hasábjain

az olvasókkal.

kezdô idôpillanatban egyidejûleg történnek. A két cér-navég tehát egymáshoz képest nem mozog. Érdemesezt összevetni a b* és j jelû hiperbolák viselkedésével:abban az esetben is kijelenthetô, hogy „minden pilla-natban megegyezik a két cérnavég sebessége”, de ott a„minden pillanatban” szó a végig nyugvó laboratóriu-mi inerciarendszer egyidejû pillanatait jelenti.

A 8. ábra b és j jelû hiperboláival – (8) és (9)egyenletek – megtaláltuk tehát azt a mozgáspárt,amelyet a cérna bal és jobb oldali végének követniekell, hogy a cérna mindvégig éppen megfeszített le-gyen, de ne szakadjon el. (Természetesen a cérnaközbülsô pontjainak is a megfelelô, egymástól eltérôgyorsulású mozgást kell végezniük. Világvonaluk a 8.ábrán olyan, b és j között elhelyezkedô hiperbolase-reget adna, amelyek középpontja az origóban van, ésközös aszimptotájuk a 45°-os egyenes.) A fenti szá-molás – bár korrekt – azzal a zavarba ejtô következ-ménnyel jár tehát, hogy a cérna állandó sajáthosszá-nak biztosításához a bal oldali végnek jobban (na-gyobb gyorsítóteljesítménnyel) kell igyekeznie, mint ajobb oldali végnek. Ami még zavarbaejtôbb: a jobboldali cérnavég adott gyorsulású mozgása mellett mi-nél hosszabb a cérna, annál nagyobb gyorsulássalkell a bal oldali végnek igyekeznie, hogy a szakadástelkerülje. Felmerül tehát a kérdés: a cérna hosszátnövelve nem jutunk-e el elôbb-utóbb valamilyen elvikorláthoz, vagyis olyan cérnahosszhoz, amikor a bal

oldali cérnavégnek semmilyen mozgása nem tudja aszakadást megakadályozni? Vagy: adott cérnahosszú-ság mellett a jobb oldali vég sajátgyorsulását növelvenem jutunk-e el elôbb-utóbb valamilyen elvi korlát-hoz, vagyis olyan sajátgyorsuláshoz, amikor a baloldali végnek semmilyen mozgása nem tudja a cérnaszakadását megakadályozni?

A választ (de igen, vannak ilyen elvi korlátok!) a(11) összefüggésbôl kiindulva kaphatjuk meg. Sejthe-tô, hogy a képlet jobb oldalán szereplô, gyorsulásdimenziójú c 2/d mennyiségnek fontos fizikai tartalmalesz. Vezessük be rá az a ′j max jelölést (mindjárt kide-rül, miért) és a segítségével normáljuk az a ′b és a ′jgyorsulásokat. A (11)-bôl így az alábbi dimenziótlanegyenletre jutunk:

A bal oldali cérnavég (dimenziótlanná normált)

(12)a ′b

a ′jmax

=a ′j

a ′jmax

1

1a ′j

a ′jmax

,

gyorsulását a jobb oldali cérnavég (dimenziótlannánormált) gyorsulásának függvényében a 10. ábramutatja. A (12) egyenletbôl és a 10. ábrából világossáválik az a ′j max konstans jelentése: ahogy a jobb oldalicérnavég gyorsulása megközelíti a ′j max-ot, a bal oldalicérnavég gyorsulásának végtelenhez kell tartania,hogy a cérna azonos megfeszítettségi állapotban ma-radhasson. Az

tehát azt a kritikus sajátgyorsulást adja meg, amelyet

(13)a ′jmax = c 2

d,

nem érhet el egy adott d hosszúságú, jobb felé mozgóobjektum jobb oldali végének mozgása, ha azt akarjuk,hogy az objektum (ténylegesen, fizikailag) ne nyúljonmeg (vagy szakadjon el). Ha a jobb oldali vég a ′j max-otelérô vagy meghaladó sajátgyorsulással mozog, akkor abal oldali végnek még végtelen sajátgyorsulás sem elégahhoz, hogy „lépést tartson” vele (hogy az objektumsajáthosszát változatlan értéken tartsa).

Irodalom

1. E. Dewan, M. Beran: Note on stress effects due to relativisticcontraction. Am. J. Phys. 27 (1959) 517.

BOKOR NÁNDOR: RELATIVISZTIKUS FOGÓCSKA – I. RÉSZ 305

KÁROLYHÁZY FRIGYES, 1929–2012

Tisztelt Gyászoló Család!1

1 Elhangzott 2012. július 24-én a Farkasréti temetôben.

Tisztelt Gyászolók!

Az ember feljô, lelke fényfolyam,A nagy mindenség benne tükrözik.…Kiirthatatlan vággyal, a mig él,Tûr és tünôdik, tudni, tenni tör;

Károlyházy Frigyes re különösen ráillenek VörösmartyMihály sorai. Tudós emberként egész életében a min-ket körülvevô világ jobb megértésén tûnôdött, tudniszerette volna hogyan mûködik, tanárként pedig so-kat tett azért, hogy a tudást másoknak is továbbadja.

1929-ben született, így mindössze 3 évvel volt fia-talabb a kvantummechanikánál, annál a kvantumme-chanikánál, amit könyve címében Igaz varázslatnaknevezett és aminek jobb megértésének és megérte-tésének szentelte egész életét. Habár briliáns mate-matikai képességekkel rendelkezett, a kvantum-mechanika tanításában többet szeretett volna, mint aformális matematikai megértés. Próbálta azt a mate-matikában kevésbé jártas ember számára is érthetômódon, szemléletesen is elmagyarázni. Mindazok,akiknek szerencséjük volt legendás elôadásait hall-gatni, jól emlékeznek arra, ahogyan lerajzolja a táb-lára a hullámfüggvény idôbeli változását és elmagya-rázza azokat a hétköznapi tapasztalatunknak gyakranellentmondó jelenségeket, amiket az elektron megtud „csinálni”.

Kutatómunkáját is a kvantummechanika és a gravi-táció jobb megértésének szentelte. A kvantummecha-nika egy – annak megszületésétôl fogva – sokat vita-tott kérdése a mérésre vonatkozó elv, amely azt mond-ja ki, hogy a mérés során a hullámfüggvény véletlen-szerûen „beugrik” a mérôberendezés egyik sajátállapo-tába. Ezt a problémát Ô a kvantummechanika és agravitáció egyesítésével kívánta tárgyalni és feloldani.Errôl írta nagydoktori disszertációját is. Munkája többvilághírû kutató: Feynman, Wigner, Penrose figyelmétkeltette fel. A kérdéskör mind a mai napig megoldat-lan. Károlyházy Frigyes több mint 40 évvel ezelôtt etémában íródott cikke újra érdeklôdést vált ki.

Az egyetemi hallgatók mellett külön gondot fordí-tott a középiskolásokkal való foglalkozásra is. Hosz-szú idôn keresztül vett részt a KöMaL szerkesztésé-ben és az Eötvös fizikaverseny feladatainak kitûzé-sében. És milyen feladatok voltak ezek! Ha valaki ol-vasta ôket, gyakran ez volt az elsô benyomása: atyaég, hogy is van ez? A feladatok igazán helyes megol-dását talán csak Ô tudta, de mindig bízott benne, leszolyan gyerek, aki rájön, mire is gondolt és ebbennem is csalatkozott.

Tankönyveit nívódíjjal jutalmazták, tanári munkájátaz oktatási miniszter Apáczai Csere János díjjal (1993),az Eötvös Loránd Fizikai Társulat Felsôoktatási Díjjal(2006), tudományos munkásságát a Magyar Tudomá-nyos Akadémia Eötvös József koszorúval (1997) is-merte el. Halála elôtt nem sokkal a II. kerület emlék-éremmel tüntette ki.

„Istennek örökké él minden teremtmény” énekel-jük. Az öröklét földi megtestesüléseként az a különle-ges gondolkozás, ami Károlyházy Frigyes sajátja volt,ott él tovább azon tanárkollégák szavaiban, akik fizi-kát tanítanak a gyerekeknek, vagy azon kutató mun-katársak gondolataiban, akik a fiatal kollégák munká-jában segédkeznek.

Az Eötvös Loránd Tudományegyetem Fizikai Inté-zet minden munkatársa nevében búcsúzom. Frici, em-lékedet szeretettel megôrizzük.

Groma István

Kedves Frici!1

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat nevében búcsúzomTôled.

Személyedben jól ismert és nagy hatású tagját ve-szítette el a magyar fizikusok közössége. A Károly-házy Frigyes név fogalom nagyon sok fizikus és fizi-katanár számára.

Ismert az a tudományos eredményed, amire ma-napság Károlyházy-féle bizonytalansági reláció névenhivatkozik a szakirodalom. Én most az oktatásban, atehetséggondozásban és az ismeretterjesztésben be-töltött kiemelkedô szerepedet szeretném méltatni.

Mindig szíveden viselted a fizikaoktatás kérdését,az általános iskolástól kezdve, a középiskoláson át, azegyetemi oktatásig. Alkotó módon, a hivatástudat általvezérelve dolgoztál az oktatás javításán. Nevedhez fû-zôdik egy kiváló, alternatív tankönyvsorozat az álta-lános iskolások számára.

Sokféle tanulmányi versenyen az általad kitûzöttfeladatok külön kategóriát jelentettek, és ez nagyonfog hiányozni a jövôben. Feladataid megoldásáhozmindig a fizikai lényeg felismerésére volt szükség,akár a Mikola-versenyrôl vagy a Károly Iréneusz ver-senyrôl, a KöMaL pontversenyérôl vagy az Eötvös-versenyrôl volt szó. Külön kiemelendô, hogy az Eöt-vös-verseny versenybizottságának elismerten leginno-vatívabb tagja voltál – majdnem negyven éven át!

Mindezek alapján jogosan kaptad meg az EötvösLoránd Fizikai Társulat Felsôoktatási Díját 2006-ban.Nem ez volt az egyetlen díjad, hiszen tankönyveidetnívódíjjal jutalmazták, továbbá megkaptad a miniszté-riumi Apáczai Csere János díjat, az MTA Fizikai díjátés az MTA Eötvös József koszorúját is.

Reguláris egyetemi elôadásaid mellett legendásakvoltak ismeretterjesztô elôadásaid, írásaid. Közülük

306 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

csak néhányat emelek ki: a Fizikai Szemlében vagy aTermészet Világában megjelent cikkeidet, vagy az is-meretterjesztô irodalom egyik remekmûvét, az Igazvarázslat címû könyvedet. Azután emlékszem egyikszellemes ábrádra, amivel az 1983-as Fizikus DiákköriNyári Iskola nyitó elôadását illusztráltad.

Még a legutóbbi idôkben is ugyanolyan fiatalos hév-vel tartottad elôadásaidat, mint a több évtizeddel ez-elôtti TIT rendezvényeken, vagy a Fizikai Társulat, il-letve a KöMaL által szervezett különbözô Ankétokon.

Hogy csak a legutolsó nagy si-kerû elôadásaidat említsem: az 50.Fizikatanári Ankéton, Szegedenbeszéltél a fizika tanításáról, éserrôl egy remek cikket írtál a Fizi-kai Szemlében, Az öcskös feleségecímmel. Vagy egy másik elôadá-sod Tündérkert – egy kis idôtöltésa téridôn címmel az egyik Szkep-tikus konferencián. Szerencséreez utóbbiról készült videófelvételmegtekinthetô az interneten.

Végül, szeretnélek nemcsakmint az ELFT fôtitkára búcsúztat-ni, hanem szabad legyen néhányszemélyes tartalmú mondatot isszólnom. Te azon néhány emberegyike voltál, akiknek hatására afizikusi hivatást választottaméletpályámul. Még gimnazistakoromban jártam a kvantumme-chanikáról szóló TIT elôadás-sorozatodra. Lenyûgözött szuggesztív elôadásmódod.Borzongató, helyenként katartikus élmény volt átélni,ahogyan mély és kristálytiszta gondolataid átjárták azagyamat. Késôbb a Természet Világában a 70-esévekben a téridôrôl megjelent több részes írásod tettrám óriási hatást, amit tovább erôsített az egyetemenerrôl a témáról tartott specid meghallgatása. A téridôgeometriájának olyan tárgyalásával, ahogyan Te ke-zelted, sehol máshol nem találkoztam az irodalom-ban. Ez a koordinátáktól független leírás az egyik leg-szebb gondolatmenet, amit valaha is hallottam.

Kedves Frici! A magam és fizikus kollégáim nevé-ben is: köszönöm/köszönjük mindazt, amit Tôled ta-nulhattam/tanulhattunk.

„Akik az igazságra oktatnak sokakat, Ragyogni fog-nak örökkön-örökké, Miként a csillagok.” E gondolatjegyében búcsúzom Tôled az Eötvös Loránd FizikaiTársulat nevében. Emlékedet megôrizzük.

Kürti Jenô

✧

Életének 83-ik évében, 2012. július 2-án elhunyt Ká-rolyházy Frigyes, az ELTE Elméleti Fizikai Tanszéké-nek nyugalmazott egyetemi tanára.

A Budapesti Piarista Gimnáziumban érettségizett.Tanulmányait az Eötvös Loránd Tudományegyetemenfolytatta matematika-fizika tanári, majd fizikus sza-

kon. Diplomája megszerzése után az egyetem Elmé-leti Fizikai Tanszékére került. 1963-ban egy évet töl-tött az Egyesült Államokban, a North Carolina Univer-sityn, itt már a kvantumelmélet és az általános relati-vitás összekapcsolásán dolgozott, ami mindvégig ku-tatói munkásságának középpontjában állt. A NuovoCimentóban 1966-ban megjelent cikkében a Min-kowski-téridô minimálisan detektálható tartományáraadott korlát Károlyházy-féle bizonytalansági reláció-ként vált ismertté az irodalomban. Ez a cikke, amely

akadémiai doktori disszertációjá-nak alapját képezte, több hivat-kozást kapott, a legutóbbi – kínaiszerzôk dolgozata – ez év már-ciusában a kozmológiai sötétenergiára vonatkozó következte-téseket vont le belôle. 1972-benlett egyetemi tanár. Az 1996–97-es tanévben a Budapest Kollégi-umban egy kis csoport vezetôje-ként folytatta kutatásait, sikereskonferenciát szervezett a kvan-tummechanika legújabb eredmé-nyeirôl. Elôadása, amelyben arrólbeszélt, hogy a testek hullám-függvényének véletlenszerû re-dukciója anomális Brown-moz-gást okozhat, komoly érdeklô-dést váltott ki. Sokáig bízott ab-ban, hogy a gravitációs hullá-mokra vadászó kísérletek ezt ajelenséget is kimutathatják.

Nagyon tudott és szeretett tanítani. Nem bíbelôdötta hosszú levezetésekkel, gondolkodni tanított. Tôletanultuk meg, hogy a speciális relativitáselméletben aMinkowski-síkon, a téridôben bolyongva mennyi ér-dekességgel találkozhatunk, milyen könnyen megért-hetjük e látszólag bonyolult elméletet. Az érdeklôdôma is megtekintheti az interneten Tündérkert – egykis idôtöltés a téridôn címû elôadását. Ô magyaráztael nekünk a kvantummechanika kétréses interferen-cia-kísérletét, ami világossá teszi a részecske – hullámkettôs természetet. És nem csak egyetemi szinten tu-dott tanítani. Nívódíjjal jutalmazott tankönyvsorozatotkészített fizikából az általános iskolásoknak, járta azországot, hogy felkészítse a tanárokat az újszerû taní-tási módszerekre. Hosszú évtizedeken keresztül tagjavolt az érettségizettek számára rendezett Eötvös-ver-seny feladatkitûzô bizottságának. Szinte minden év-ben tudott adni olyan feladatot, amely eldönthette,kik lesznek a verseny díjazottjai.

1993-ban Apáczai Csere János díjjal, 1997-ben ki-emelkedô tudományos életmûvéért a Magyar Tudo-mányos Akadémia Eötvös József Koszorújával tüntet-ték ki. Halála elôtt a II. Kerületi Önkormányzat em-lékérmet adományozott neki.

Csodálatos könyve az Igaz varázslat a kvantumme-chanikát magyarázza el úgy, hogy megértéséhez elvi-leg csak a négy matematikai alapmûveletre van szük-ség, gyakorlatilag azonban nagyon mély és kitartó

KÁROLYHÁZY FRIGYES, 1929–2012 307

gondolkodásra. A bevezetés mottójául Szabó LôrincDsuang Dszi álma címû versének utolsó versszakátválasztotta:

és most már azt hiszem, hogy nincs igazság,már azt, hogy minden kép és költemény,azt, hogy Dsuang Dszi álmodja a lepkét,a lepke ôt és mindhármunkat én.

Ilyen a kvantummechanika. Álmodj tovább békébenTanár Úr, kedves Frigyes!

Gálfi László

Emlékezés a fizikatanárok tanárára

Gyászol a fizikatanár-társadalom. Meghalt KárolyházyFrigyes, aki mindig szívesen segített bárkinek, bármi-lyen oktatással kapcsolatos probléma megoldásában.Olyan tudós volt, aki nem csak megérteni akarta atermészetet, de számára egész életében az is fontosvolt, hogy mások is értsék. Tanszéki szobája mindignyitva állt a tôle segítséget kérôk elôtt.

Magam elôször 1972-ben, Kôszegen hallgattam ôtegy Marx György által szervezett nyári iskolán, aholA kvantummechanika alapfogalmainak szemlélteté-sérôl címmel tartott két részes elôadást. Ezen és a ké-sôbbi nyári iskolákon is az egyik legnagyobb érdek-lôdéssel várt elôadás az övé volt. Frici adott ötlete-ket, hogyan lehetne a 12. évfolyamon a kvantumme-chanika, a mikrovilág jelenségeit elképzelhetôvétenni a diákok számára. Ô próbálta meg „aprópénzreváltani” a mások által megfogalmazott, fennkölt – ésugyanakkor elvont – gondolatokat. Ô magyarázta fá-radhatatlanul, mit gondoljunk és taníthatunk mi, ta-nárok az alagúteffektusról, a hullámcsomagokról, akettôs résen áthaladva interferenciát adó elektronok-ról és fotonokról.

Én biztosan sokkal felületesebben tudtam volnatanítani ezeket a témákat, ha Frici nem korrepetáltanóráim elôtt. Türelmesen magyarázott, legtöbbszöreste, telefonon át. Ezekért az órákig tartó telefonossegítségekért életem végéig hálás leszek neki.

Károlyházy professzor úr sokat tett a tanárok to-vábbképzéséért. 1972 óta segítette – rémes ez a múltidô! – a modern természettudományos oktatás szem-léletének kialakítását.

1973-ban a tatai nyári iskolá n Mennyit hazudha-tunk lelkiismeret furdalás nélkül, 1975-ben Sárospa-takon A természettudományi tárgyak tanításánakegybehangolásáról, 1977-ben Gyôrben a Konfigurá-ciós tér címmel, 1978-ban Jászberényben az Entró-pia és élet, Fonyódon a fizika oktatásával foglalkozóIV. Dunaszemináriumon Quantum mechanics formaterial science in school címû elôadásával segítettmegtalálni azokat a módokat, amelyekkel az érett-ségi elôtt álló diákoknak képet adhatunk a szubato-mi világról.

Ezekben az években a középiskolai ankétok szer-vezô bizottsága is többször kérte fel ôt elôadások

tartására. 1973-ban Veszprémben Osztható-e az elekt-romágneses tér, 1976-ban Zalaegerszegen Nem tudjaazt senki fia, mitôl nô az entrópia, 1977-ben Szolno-kon Fotonok és koherencia, 1980-ban Tudnak-e azerôvonalak mozogni?, 1986-ban Gyôrben Anyaghul-lámok címmel tartott elôadást.

A fenti, egyáltalán nem teljes lista alapján látszik,hogy – a hagyományos tananyag fogalmainak tisztá-zásától a modern fizika fogalmainak középiskolaibevezetéséig – az iskolai tanítás során elôkerülô, szin-te valamennyi témáról tartott elôadást.

Az általános iskolai ankétok nak – az ELFT Általá-nos Iskolai Oktatási Szakcsoportjának megalakulásaóta – csaknem minden évben elôadója volt. Az elsôn,1977-ben Nyíregyházán, az energiáról tartott nagysikerû elôadást. Azután, az akkori iskolarendszerbenteljesen újszerû, úgynevezett párhuzamos tanköny-veink megjelenése idején a tankönyv felépítésérôl ésa tanterv legproblémásabb fogalmairól beszélt a ta-nároknak.

1981-ben Egerben A 6. osztályos új párhuzamostankönyv felépítése, az energia fogalma és tanításacímmel, 1982-ben Kaposváron Az anyag korpuszku-láris szerkezete az általános iskolai fizikában, 1985-ben Szekszárdon Anyaghullámok, 1986-ban Sopron-ban Különösen nehéz fizikai fogalmak kialakulása,1987-ben Békéscsabán A párhuzamos 7. osztályostankönyv elektromosságtani részének felépítése, 1988-ban Debrecenben A 8. osztályos párhuzamos tan-könyv felépítésével ismertette meg a tanárokat.

Az általános iskolai fizikatanítás jobbításának szán-dékától indíttatva az éppen aktuális szakmai kérdé-sek elméleti hátterének bemutatásával segítette azÁltalános Iskolai Ankétokon résztvevô fizikatanárokmunkáját. 1989-ben Vácott a Kulcsfontosságú kísérle-tek a fizikában, 1993-ban Mosonmagyaróváron Acsábítás trükkje, 1999-ben Zamárdiban az Élôvilág afizikában, 2001-ben Veszprémben Ki lepét fog, lopvajárjon, 2002-ben A kerettanterv és a fizikatanításcímû elôadásaival segítette a hallgatóság látókörénekbôvítését, felsô fokú tanulmányaik aktivizálását, mo-dernizálást.

Elôadásai az ankétok várva várt eseményei voltak.Jó hangulatú, közvetlen, szellemes rajzokkal illusztráltmagyarázatai még hónapok múlva is beszédtémájavolt a tanári közösségeknek. Sokat tett a fizika nehéz,elvont fogalmainak tisztázása, és az alapfokú tanítássikeressé tétele érdekében. Elméleti fizikusként semsajnálta az idôt annak kigondolásától, hogyan lehetneezeket minél egyszerûbben, szakmailag mégis ponto-san tanítani.

A közoktatás érdekében végzett legmaradandóbb,és a szó szoros értelmében vett kézzel fogható mun-kái az általános iskolák 6., 7. és 8. évfolyamai számá-ra készített tankönyvei. A könyvek elkészítésébentermészetesen mi, tanárok is részt vettünk, de az ér-demi munka Károlyházy Fricié. Életébôl évtizedeketvett el e könyvek létrehozása, illetve – az évek múlá-sával és az óratervek változásával – átírása az újabbkiadások számára.

308 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

A könyvsorozat elkészítésére az akkori minisztertôlkaptuk a felkérést. Az 1978-as tantervi reform radiká-lisan változtatta meg az addig érvényben lévô tanításigyakorlatot, nevezetesen, hogy az általános iskolaifizikaórákon elsôsorban a mindennapi életben tapasz-talható jelenségekre kell a tanulók életkori sajátossá-gait figyelembe vevô magyarázatot adni. Addig elsôsorban a „mi történik?” és a „milyen?” kérdésekre pró-báltunk tudományosan elfogadható válaszokat adni agyerekek számára.

Az új tanterv azonban azzal kívánta a tudományos-ságot fokozni, hogy a jelenségek bemutatása mellettminden esetben ki kellett térni azok kölcsönhatás jelle-gére is. Ez sok, nem várt nehézséget okozott még azolyan egyszerû, hétköznapi jelenségek esetében is,mint egy alma földre esése. Bár világos, hogy a köl-csönhatásban résztvevô egyik test az alma, de mi amásik?! Erre és ehhez hasonló kérdésekre kellett a 12évesek számára elfogadható és fizikailag korrekt vá-laszt találni. A „Föld” nem jó válasz a kérdésre, mertmindenki látja, hogy a Föld esés közben nem ér hozzáaz almához. Márpedig kölcsönhatás csak két olyan testközött jöhet létre, amelyek érintkeznek egymással. Atávolhatást túlhaladott elméletnek nyilvánította az ak-kori oktatásirányítás, nem korszerû, tehát nem fogad-ható el magyarázatként – mondta a „szakma” annakidején. Ebben az esetben a gravitációs mezôt kellett azalmával kölcsönható testként megjelölni… (Elképzelhe-tôek a 12 éves gyerekarcok ennek hallatán?!)

A tanterv másik alapvetô elvárása volt annak be-mutatása, hogy a kölcsönhatások közben energiavál-tozások is történnek. Méghozzá úgy, hogy az egyiktesté csökken, a másiké pedig nô. Sôt: a csökkenéséppen akkora, mint a növekedés! Vagyis: nem csakkvalitatív megállapítással kell élni, hanem az energiátmérhetô mennyiséggé kell tenni (a 6. osztályban!),hiszen máskülönben a megmaradást minek alapjánlehetne kimondani? És akkor még hátra volt annakmegválaszolása, hogy az alma esésekor minek csök-ken az energiája és minek nô?

Ez tipikusan Károlyházy Fricinek való problémavolt. Mi tanárok, nem tudtunk erre – a 12 évesek általelfogadható – magyarázatot adni. Mi csak azt tudtuk,amit annak idején az egyetemen tanultunk, ami ugyanelmondható a 6. osztályban is, de elég kicsi az esélye,hogy lesz, aki azt megérti. Arra pedig, hogy ilyen ma-gyarázatok után egy gyerek beleszeret a fizikába, mégkisebb volt az esély.

De volt még más is. A jelenségek makroszkopikusbemutatása, megfigyeltetése mellett mikroszkopikusszinten is magyarázatot kellett adni rájuk. Ez azértokozott nehézséget, mert a látható, érzékelhetô jelen-ségekre a nem érzékelhetô világban kellett magyará-zatot találni – a 12 évesek számára. Erre az elvontgondolkodásra pedig nem minden gyerek képes még12 évesen, sôt, általában nem is érdeklik ôket az ilyenkérdések. Figyelmük addig terjed, amíg valami érzé-kelhetô változás tapasztalható: például melegítés ha-tására bizonyos anyagok színe megváltozik; a melegí-tett jód kristályokból fantasztikus lila „köd” keletke-

zik, amibôl lehûlés után pedig csodás, csillogó kristá-lyok csapódnak ki az edényt záró óraüvegre. Rá tud-nak csodálkozni a színkép színeire, érdekesnek talál-ják, hogy van olyan folyadék, amelyben az a gyertya,amely a vízben úszik, lemerül, hogy a nehéz vasgolyóúszik a higanyban, lelkesen készítenek Cartesius-bú-várt stb. stb. De, hogy mit csinálnak közben az anyagrészecskéi, már nem izgalmas e korosztálynak.

E problémák megoldásához is Károlyházy Friciszakmai ismeretei, lelkiismerete és zsenialitása kellett.Azért, hogy lássa a gyerekek reakcióit a felvetettproblémákra, hogy megtapasztalja, meddig terjed azelvont magyarázatokat befogadó képességük, a TanárÚr sokat járt hospitálni iskolákba. Figyelte a gyerekekreakcióit a kísérleti tananyagra. Soha nem írt le a tan-könyvben semmi olyat, aminek taníthatóságáról elô-zôleg nem gyôzôdött meg. Csak kipróbált kísérleteketírtunk bele a könyvekbe, amelyeket szellemes illuszt-rációival tett érdekessé, egyedivé, a gyerekek és min-den olvasójának figyelmét felhívóvá. Segítette a tan-anyag eredményes elsajátítását a sok eredeti, gondol-kodást igénylô, de a tananyag alapján megoldhatótankönyvi feladat is.

A sok munka egyik legértékesebb eredménye agyerekektôl kapott Tetszés díj volt. A TankönyvesekOrszágos Szövetsége versenyeztette minden évben azösszes, adott évben forgalomban lévô tankönyvet. Azelektromosságtannal foglalkozó 8. osztály számárakészített könyvünket értékelték így a diákok a ’90-esévek végén.

Az Akadémia doktora, elméleti fizikus létére többévtizedet áldozott életébôl a közoktatás jobbítására,csak mert lelkiismerete nem engedte, hogy a gyere-keknek és tanáraiknak olyasmikkel kelljen küzde-niük, amelyekre nem találják a megoldást. Hogy segít-sen nekik tudásával, emberségével.

Nagyon fog hiányozni!Csákány Judit

Károlyházy Frigyes írásai a Fizikai Szemlében2

2 Összeállította Kármán Tamás.

A foton — 1953/88Ûr és órák — 1959/80A téridô szerkezete — 1960/269Niels Bohr, 1895–1962 — 1963/3Van-e az elektromágneses potenciáloknak abszolút jelentése? —

1963/54A Mach-elv az általános relativitáselméletben — 1964/18A térelméleti módszer a részecskefizikában — 1967/161A kozmológia általános relativitáselméleti alapjai — 1971/12Tóth Eszter: Kvantummechanika középiskolásoknak (könyvismerte-

tés) — 1973/32A kvantummechanika alapfogalmainak elfogadtatása — 1974/243Az energia eloszlása — 1976/471A teljesség igézete — 1979/214Gravitációs, de nem mezô: mi az? — 1979/88Száz éve halt meg James Clerk Maxwell — 1979/443Máthé János — 1983/24Rendetlenség a rend lelke — 1984/401Bay Zoltán: Az élet erôsebb (könyvismertetés) — 1991/148Hungarae gentis decus — 1998/397Az öcskös felesége — 2007/367

KÁROLYHÁZY FRIGYES, 1929–2012 309

A KVANTUMMECHANIKA KÁROLYHÁZY-MODELLJEFrenkel Andor

MTA Wigner FK, Részecske- és Magfizikai Intézet

A fizikában két olyan elmélet van, amely minden anyagifolyamatot érint: az általános relativitáselmélet és a kvan-tummechanika. Furcsa módon ez a két elmélet nem vesztudomást egymásról. A kvantummechanikában nem ve-szik figyelembe az általános relativitáselméletet, és az ál-talános relativitáselmélet nem építi be a téridô geomet-riai szerkezetébe a testek helyzetének és sebességénekkvantummechanikai határozatlanságát. Ezek a tudomá-sul nem vételek annyiban jogosak, hogy mindkét elmé-let így is igen nagy pontossággal írja le a maga területét.Következésképpen egymásra hatásuk csak igen kismennyiségi változásokat eredményezhet.

A fentiektôl látszólag független probléma, hogy akvantummechanika szerint bármely szabad fizikairendszer tömegközéppontjának térbeli helyzete egyrehatározatlanabbá válik a kvantummechanikai hullám-függvény korlátlan szétfolyásának megfelelôen. Már-pedig a tapasztalat szerint míg a mikrorészecskékhelyhatározatlansága lehet makroszkopikus méretû(ez történik a neutronnal a neutron-interferométer-ben), egy makroszkopikus test tömegközéppontjánaktérbeli helyzete mindig jól lokalizált, ellentétben ahullámfüggvény szétfolyásának korlátlan voltával.

Valószínûleg Károlyházy Frigyes volt az elsô, akimegmutatta, hogyan lehet az általános relativitáselmé-letet és a kvantummechanikát úgy kombinálni, hogyegyúttal határ szabassék a hullámfüggvény szétfolyá-sának [1, 2].

A téridô-szerkezet minimális határozatlansága

Az általános relativitáselmélet és a kvantummechani-ka néhány alapvetô összefüggésére, többek között aSchwarzschild-sugár képletére és Heisenberg határo-zatlansági relációjára támaszkodva Károlyházy megál-lapította [1, 2], hogy az einsteini téridô szerkezeténekvan egy minimális határozatlansága, amelyet a

képlet fejez ki.1 (1)-ben T egy idôintervallum hossza,

(1)Δ T ≈ T 2/3P T 1/3

1 Matematikai képleteink nem [1]-hez és [2]-höz, hanem [3]-hozállnak közel.

ΔT a T -hez tartozó minimális határozatlanság és

a Planck-idô. G = 6,7 10−8 cm3 g−1 s−2 a newtoni

(2)TP = G h

c 5= 5,3 10 44 s

gravitációs állandó, = 1,1 10−27 erg s a redukálthPlanck-állandó, c = 3 1010 cm/s a fénysebesség. (1)-ben és a továbbiakban „≈” nagyságrendi egyenlôséget

jelöl. Az általános relativitáselmélet és a kvantumme-chanika egyesített elméletének hiányában nincs móda T és ΔT közötti pontos összefüggés megállapítására.

Károlyházy ΔT -s képletének megjelenése elôtt el-terjedt volt az a nézet, hogy egy T intervallum mini-mális határozatlansága mindig maga a parányi Planck-idô. (1) szerint ez nem így van, ΔT sokkal nagyobb islehet TP -nél. Például T ≈ 1 s esetén

ami még mindig igen kis érték, de 15 nagyságrenddel

(3)Δ T ≈ 10 29 s,

nagyobb a Planck-idônél. Megjegyzendô, hogy TP -nélkisebb T idôintervallumokra magának a téridônek afogalma kérdéses, így (1) csak TP -nél nagyobb idôkrealkalmazandó.

Mivel (1)-ben nem szerepel semmilyen partikulárisobjektum adata, a képlet magának a téridônek a szer-kezetére vonatkozó relációnak tekinthetô.

A hullámfüggvény relatív fázisainakhatározatlansága. Mikrorészecske és szilárdtest koherenciacellája és ac cellahossza

A téridô szerkezet (1)-es határozatlansága határozat-lanságokat indukál bármely fizikai rendszer kvantum-mechanikai hullámfüggvényében. Ezek a határozat-lanságok elsôsorban a hullámfüggvény relatív fázisai-ban jelentkeznek, és annál nagyobbak, minél na-gyobb tömegû a vizsgált rendszer, adott rendszerenbelül pedig annál nagyobbak, minél távolabbi pontokközötti relatív fázisról van szó.

Mikrorészecskék koherenciacellája és cellahossza

m tömegû mikrorészecske esetén a relatív fázis Δφhatározatlanságára a tér x és x′ pontjai között

adódik, ahol

(4)Δ φ(x, x′) ≈ L 2/3P

a 1/3

Lm

a két pont távolsága,

(5)a = x x′

az m tömeghez tartozó Compton-hullámhossz, és

(6)Lm = hc m

(7)LP = c TP = 1,06 10 33 cm

310 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

a Planck-hossz. Látjuk, hogy Δφ monoton növekszikaz a távolsággal. Δφ csak a = 0 esetén zérus, bármi-lyen kis a -ra Δφ > 0, a hullámfüggvény koherenciájamikrorészecskék esetében sem tökéletes. Mikor Δφeléri a π értéket, a relatív fázis teljesen határozatlannáválik, a koherencia az ennek megfelelô x, x′ pontpá-rok között elvész. Jelöljük az ehhez tartozó a értéketac -vel:

ahonnét ([1, 2, 3])

(8)Δ φ(ac ) ≈ L 2/3P

a 1/3c

Lm

= π ≈ 1,

Egy ac átmérôjû tartományon (egy „koherenciacel-

(9)ac ≈⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

Lm

LP

2

Lm.

lán”) belül a koherencia részlegesen fennáll, de egy-mástól ac-nél, a „cellahossznál” nagyobb távolságokralévô pontok között elvész.

Nézzük meg ac tipikus értékeit. Elektronra =L elm

3,9 10−11 cm, amivel (9)-bôl

adódik, míg neutronra = 2,1 10−14 cm-rel

(10)a elc ≈ 1035 cm

L nem

Mikrorészecskékre ac nagyobb, mint a Galaxisunk

(11)a nec ≈ 1025 cm.

1021 cm-es átmérôje. Egy mikrorészecske hullámfügg-vénye a valóságban csak a koherenciacella igen kis tar-tományára terjed ki, így Δφ-je sokkal kisebb mint π, akoherencia majdnem tökéletes. Ennek fényében nemcsoda, hogy a neutron hullámfüggvénye koherensnekbizonyul a neutron-interferométerben, és ez akkor isígy lenne, ha a jelenlegi közel 1 méter helyett az inter-ferométer mérete mondjuk 100 kilométer lenne.

Szilárd testek koherenciacellája és cellahossza

M tömegû, R sugarú homogén szilárd test esetén ajelölje a test tömegközéppontjának (tkp) két helyzeteközötti távolságot:

A relatív fázisok viselkedésének vizsgálata azt adja,

(12)a = xtkp x′tkp .

hogy határozatlanságuk most is monoton növekszika -val, és a koherencia akkor vész el, mikor a eléri azalábbi ac értéket [1, 2, 3]:

ac ≈

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

LM

LP

2

LM , ha ac ≥ 2 R, (13a)

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 RLP

2/3

LM , ha ac ≤ 2 R. (13b)

Vegyük észre, hogy ac mikrorészecskékre vonatko-zó (9) képlete egyezik az ac ≥ 2R tartományban érvé-nyes (13a) képlettel (m és M mindkét esetben a vizs-gált rendszer tömege). Ennek így is kell lennie: akvantummechanikában a mikrorészecskék pontszerû-eknek tekintetnek, így 2R = 0 ≤ ac nyilván teljesül. Deebbe a tartományba nem csak mikrorészecskék tar-toznak. Például egy ρ ≈ 1 g/cm3 sûrûségû, R ≈ 10−6 cmsugarú, tehát M ≈ 4πρR 3 /3 ≈ 4,2 10−18 g tömegûszemcsére (13a)-ból

adódik. A szemcse tömegközépponti hullámfüggvé-

(14)a szc ≈ 5 km

nye a szemcse méreténél sokkal nagyobb tartományraterjedhet ki anélkül, hogy koherenciája elveszne.

Tekintsünk most egy példát az ac ≤ 2R tartomány-ban. Ott ac képlete függ a vizsgált test sugarától is. R≈ 1 cm sugarú, 1 grammos golyóra (13b)-bôl azt kap-juk, hogy

A golyó tömegközépponti hullámfüggvényében inko-

(15)a gc ≈ 10 16 cm.

herens pontpárok jelennek meg, amint a függvénytúlterjed 10−16 cm-en, vagyis amint a tömegközépponthelyhatározatlansága ennél nagyobb lesz.

(Megjegyzés: Nem gömbölyû testeknél a koheren-ciacella sem gömb alakú. Például homogén cilinderesetén két cellahossz lép fel, a cilinder magasságánakés átmérôjének megfelelôen.)

Expanzió-kontrakció ciklusok.A τc ciklusperiódus

A koherenciacellán túl bekövetkezô teljes koherencia-vesztést Károlyházy objektív, megfigyeléstôl függetlenjelnek tekintette, amelynek hatására fellép egy kohe-renciavesztést ellensúlyozó reakció. Azt javasolta [2],hogy a Schrödinger-egyenletnek engedelmeskedveterjedhessen a hullámfüggvény a koherenciacellán túlegy 2ac átmérôjû tartományra, amikoris már diszjunkt,egymáshoz képest teljesen inkoherens cellák is meg-jelennek. Ekkor pillanatszerûen és stochasztikusankontrahálódjék a hullámfüggvény az általa elfoglalt2ac átmérôjû tartomány valamelyik koherenciacellájá-ra, ezáltal megszüntetve a teljes koherenciavesztést.Ezután a hullámfüggvény ismét terjedhessen ki egy2ac -s tartományra, onnét újra kontrahálódjék, és ígytovább. Mivel a kontrakció pillanatszerû, egy expan-zió-kontrakció τc ciklusperiódusát az ac → 2ac expan-zióhoz szükséges

idô adja.

(16)τ c ≈M a 2

c

h

Mint már láttuk, a mikrorészecskék ac -i asztrono-mikus méretûek, egy mikrorészecske hullámfüggvé-

FRENKEL ANDOR: A KVANTUMMECHANIKA KÁROLYHÁZY-MODELLJE 311

nye csak a koherenciacella igen kis tartományára ter-jed ki, így kontrakcióra nem kerül sor. Ezt τc értékei ismutatják. Figyelembe véve, hogy az elektron tömege9,1 10−28 g, a neutroné pedig 1,7 10−24 g, (16), (10)és (11) azt adja, hogy

A mikrorészecskék τc ciklusperiódusai sokkal na-

(17)τ elc ≈ 1069 s és τ ne

c ≈ 1053 s.

gyobbak, mint az Univerzum életkora…Más a helyzet egy 1 grammos golyó esetén. ≈a g

c

10−16 cm-rel (16) szerint

a golyó tömegközépponti hullámfüggvénye másod-

(18)τ gc ≈ 10 5 s,

percenként százezerszer kontrahálódik. Ennek kö-szönhetôen a tömegközéppont helyhatározatlanságanem nô korlátlanul, hanem ≈ 10−16 cm és 2 kö-a g

c a gc

zött ingadozik, tehát lokalizáltsága nagyságrendileg10−16 cm-es marad.

Károlyházy vizsgálta a koherencia elveszését légne-mû közegben is, nevezetesen Wilson-kamrában kép-zôdô nyomok szuperpozíciójának szétesését [2]. Hely-szûke miatt erre az érdekes kérdésre itt nem térhe-tünk ki.

A kvantummechanikai méréselmélet szerint a hul-lámfüggvény redukcióját egy klasszikus mérômûszer-rel, vagy az emberi tudattal való kölcsönhatás indu-kálja. Károlyházynál a redukciót felváltják a mérômû-szertôl és a megfigyeléstôl független kontrakciók.

1986-ban Ghirardi, Rimini és Weber alkottak egykvantummechanikai modellt [4], amelyben az expan-zió-kontrakció ciklusokat stochasztikus differenciál-egyenlet írja le. A GRW-modell és a Károlyházy-mo-dell összehasonlításával [5] foglalkozik. A hullám-függvény objektív, stochasztikus kontrakcióját tartal-mazó modellt javasolt Diósi Lajos [6] és Roger Pen-rose is [7].

Anomális Brown-mozgás. A Károlyházy-modell kísérleti ellenôrizhetôsége

Minden egyes, a hullámfüggvény kiterjedését 2ac -rôlac -re csökkentô kontrakciónál fellép egy

nagyságrendû impulzushatározatlanság. Ez oda vezet,

(19)Δ p ≈ hac

hogy egy szabad makroszkopikus golyó tömegközép-pontja nem pontosan a newtoni egyenes pályán mo-zog, hanem körülötte ingadozva halad növekvô inga-dozási amplitúdóval. Bár ez az ingadozás igen ki-csiny, elvileg lehetôséget ad Károlyházy módosítottkvantummechanikájának kísérleti ellenôrzésére. Egymakroszkopikus test kellô izolálása a környezettôligen nehéz feladat. A kísérletet a nanotartománybaesô objektummal kellene elvégezni.

Dominánsan mikroszkopikus(kvantummechanikai) és dominánsanmakroszkopikus (klasszikus) viselkedés.A mikro-makro átmeneti tartomány

A fentiekbôl látszik, hogy az ac >> 2R tartományba esôszilárd testek a mikrorészecskékhez hasonlóan visel-kednek: tömegközépponti hullámfüggvényük a testméreténél sokkal nagyobb tartományra terjedhet kijelentôs koherenciavesztés nélkül. Ezzel szemben azac << 2R tartományba tartozó szilárd testek viselkedé-se közel áll a klasszikushoz. Hullámfüggvényük elvesz-ti koherenciáját már akkor, amikor a test méreténélsokkal kisebb tartományra terjed ki. Ennek megfele-lôen a test tömegközéppontja – a gyakran ismétlôdôkontrakcióknak köszönhetôen – majdnem pontszerûenlokalizált. A tömegközéppont mozgása közel klasszi-kus, a kvantummechanikai háttérre csak az anomálisBrown-mozgás emlékeztet.

A mikro-makro átmenetet nyilván az ac ≈ 2R relációjellemzi, ahol a koherencia elveszése a test méreténeknagyságrendjébe esô tartományban történik. 1 g/cm3

sûrûségû testre (13a) – és természetesen (13b) is – aztadja, hogy

ahonnét az átmeneti (transition) tömegre

(20)a trc = 2 R tr ≈ 10 5 cm,

adódik. Ez a porszemek és a kolloidszemcsék tömeg-

(21)M tr ≈ 10 14 g

tartománya.Régebben úgy gondolták, hogy az általános relativi-

táselméletnek nem lehet köze a mikro-makro átmenet-hez, mert ha lenne, akkor az átmeneti tartományt az

értékû Planck-tömegnek kellene jellemeznie, mivel az

(22)MP = h cG

= 2,2 10 5 g

általános relativitáselmélet és a kvantummechanikaalapvetô természeti állandóiból, c -bôl, G -bôl és -bólhez a tömeg kombinálható ki. Azonban egy 10−5 gram-mos tömeg makroszkopikusan viselkedik, nem lehetköze az átmeneti tartományhoz.

Károlyházy mutatta meg, hogy a koherencia elve-szésének mértékét nem csak az említett természeti ál-landók, hanem a vizsgált fizikai rendszer tulajdonságai(tömege, mérete, alakja, halmazállapota) is befolyásol-ják, és ennek figyelembe vétele a Planck-tömegnéljóval kisebb, plauzibilis értékû átmeneti tömeget ad.

Konklúzió

A kvantummechanikai méréselmélet szerint ahhoz,hogy a kvantummechanikából konkrét eredménye-ket kapjunk, szükség van egy, a kvantummechanikán

312 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

kívüli klasszikus mérômûszerre, vagy – végsô soron– egy megfigyelô tudatára. Azonban Károlyházymegmutatta, hogy ha figyelembe vesszük az einsteinitéridô minimális szerkezeti határozatlanságának hatá-sát a hullámfüggvény relatív fázisaira, akkor nincsszükség az anyagi világ éles felosztására kvantumme-chanikai és klasszikus objektumokra. Minden fizikairendszer egy közös dinamikai törvénynek engedel-meskedik. Ebben a determinisztikus, schrödingerievolúció ötvözôdik a hullámfüggvény stochasztikuskontrakcióival. Elvileg egy mikrorészecske hullám-függvénye is kontrahálódhat, de a valóságban errenem kerül sor. Makroszkopikus szilárd testeknél akontrakciók gyakoriak, és biztosítják a tömegközép-

pont erôs lokalizációját akkor is, ha a test szabadonmozog és senki sem figyeli meg.

Irodalom

1. Károlyházy, F., Nuovo Cimento XLII A (1966) 390.2. Károlyházy, F.: Gravitáció és makroszkopikus testek kvantum-

mechanikája. Akadémiai doktori értekezés. Magyar Fizikai Fo-lyóirat XXII (1974) 23.

3. Frenkel, A., in: Quantum Reality, Relativistic Causality, andClosing the Epistemic Circle: Essays in Honour of Abner Shi-mony. W. C. Myrvold, J. Christian editors, Springer, 2009, p 293.

4. Ghirardi, G. C., Rimini, A., Weber, T., Physical Review D34(1986) 470.

5. Frenkel, A., Foundations of Physics 20 (1990) 159.6. Diósi, L., Physics Letters 105A (1984) 199.7. Penrose, R., General Relativity and Gravitation 28 (1996) 581.

A FIZIKA TANÍTÁSA

KÁROLYHÁZY-FELADATOK AZ EÖTVÖS-VERSENYENI. RÉSZ – MECHANIKAKárolyházy Frigyes több mint fél évszázadon át volttagja az Eötvös-verseny versenybizottságának. Ô ma-ga diákkorában nem indult ezen a versenyen, mivelamikor érettségizett, már éppen szétszakadóban volta versenyt jegyzô Eötvös Loránd Matematikai és Fizi-kai Társulat, és nem rendezték meg a versenyt. A ma-tematikusok külön társulatot hoztak létre Szegeden, afizikusok pedig éppen csak ébredeztek a kábulatból,

amelyet például Ortvay Rudolf elvesztése okozott.Selényi Pál, akinek aktív szerepe volt a fizikai társulatháború utáni megalakításában, a nála munkára jelent-kezô Vermes Miklós t bízta meg a fizikai tanulóversenymegszervezésével. Vermes kimutatása szerint az elsôhivatalos fizikai Eötvös-versenyt 1949-ben rendezték,amikor Károlyházy Frigyes már másodéves hallgatóvolt az egyetemen, ezért nem is indulhatott rajta. Ôugyan emlegetett egy elôzô évben tartott versenyt,amelyen elindult és amelyen sikeresen szerepelt, sôtmég arra is emlékezett, hogy Sós Vera is indult a ver-senyen, de lehet, hogy az matematikaverseny volt éssemmi írásos nyoma nem maradt.

Hogyan került Károlyházy Frigyes a versenybizott-ságba? Kezdetben Selényi Pál, majd Pócza Jenô volt aversenybizottság elnöke, 1959-tôl lett Vermes Miklós,aki addig is a verseny szervezôje, mindenese volt.Valószínûleg még Pócza idejében történt, hogy nemsokkal a verseny után valaki felhívta Vermest telefo-non és az egyik feladat megoldása iránt érdeklôdött.Vermes évtizedekkel késôbb is kuncogva mesélte ela történetet: az illetô azt kérdezte, hogy ugye azennek a feladatnak a megoldása, hogy… – és el-mondta a megoldást, amire a bizottság gondolt. –Ugyanis az a helyzet – mondta az illetô rendkívültapintatosan –, hogy az úgy nem jó. Az illetôt Károly-házy Frigyesnek hívták, akit Vermes már a következôévben behívott a versenybizottságba. Ezután márcsak egyetlen évben engedte meg neki, hogy távolmaradjon, amikor tanulmányúton volt az EgyesültÁllamokban, 1974-ben. Ekkor hívta meg a bizottság-ba Vermes e sorok íróját.

A FIZIKA TANÍTÁSA 313

Károlyházy és Vermes kiegészítették egymást. Ká-

2. ábra

rolyházy menekült minden adminisztratív tevékeny-ség elôl, ezt rábízta Vermesre, aki viszont bátran rá-bízta magát Károlyházy fizikai szemléletére, meglá-tásaira. Ôk ketten minden alkalomra kirukkoltakegy-egy nehéz feladattal, olykor többel is, hogy tud-jon mibôl választani a bizottság. Vermes általábanszámításos feladatokat hozott, amelyek megoldásá-hoz biztos tárgyi tudásra és problémamegoldói gya-korlatra volt szükség, Károlyházy viszont majdnemmindig „meglepô” feladatokkal érkezett, amelyekmegoldásához kreativitás kellett. Ezen feladatokközül fogunk most válogatni. A régi versenyzôknekalkalmuk lesz nosztalgiázni, a fiatalok pedig megis-merhetik azt a fizikus gondolkodásmódot, ahogyanKárolyházy Frigyes nézte – és nézni tanította – körü-löttünk a világot.

Több mint 50 éve, 1961-ben szerepelt Eötvös-verse-nyen a következô Károlyházy-feladat.

Ostornyél egyik végére vékony cérnaszálon elenyé-szô tömegû tollpihét kötünk, és körbe forgatjuk. Mi-lyen pályán mozog a pihe?

Megoldás. A pihére jellemzô, hogy nincs tömege,súlya, és csak a légellenállási erô hat rá. Az R hosszúpálca végéhez L hosszúságú fonálra kötött pihére alégellenállási erô a sebesség irányával ellentétesenhat, tehát a fonál iránya a pihe pályagörbéjének érin-tôje. A bot vége R sugarú kört ír le, ezért ha L < R,akkor a pihe is körpályán mozog, amelynek x sugarátPitagorasz tételével számíthatjuk ki:

Ha a cérna hosszabb, mint a pálca, akkor nincs stabil

x = R 2 L 2 .

pálya.

1972-ben a következô kérdést tette fel KárolyházyFrigyes.

Felfújt, könnyû mûanyag labdát találomra meg-pörgetve sima vízfelületre ejtünk. Azt tapasztaljuk,hogy mielôtt megáll, rendszerint függôleges tengelykörül forog. Mi a jelenség magyarázata?

Megoldás. A ferde helyzetû tengely körüli forgásvízszintes és függôleges tengely körüli forgás eredôje-ként fogható fel. A vízszintes tengely körüli forgást asúrlódás erôsen fékezi, mert a gömb „egyenlítôje”mentén nagy a sebesség, és emiatt nagyobb a folya-dékban a súrlódás. A függôleges tengely körüli for-gásnál az érintkezô felület kis gömbsüveg, ahol a se-besség és így a súrlódás is kisebb; a forgásnak ez azösszetevôje lassabban fékezôdik le, és idôvel márcsak ez érvényesül.

1985-ben egy igazi gravitációs feladatot adott fel.Egy U alakú csôben folyadék van egyensúlyban. Ez-

után a bal oldali szár alá igen nagy tömegû golyót he-lyezünk. Hogyan változnak meg a folyadékszintek?

Megoldás. A közlekedôedény folyadékfelszínei ní-vófelületen helyezkednek el, ezek eredetileg vízszin-

tes síkok. A nagy tömegû golyó odahelyezése után anívófelületek jobb oldalt kissé lefelé hajlanak, tehát afolyadékszint a bal oldali szárban kissé emelkedik, ajobb oldalon süllyed.

1989-ben pedig egy, a mindennapi életbôl ellesettproblémával lepte meg a versenyzôket.

Gergô gyakran segít a

1. ábra

háztartásban. A zacskós tejetaz 1. ábrán látható módon azacskónál valamivel szûkebbkeresztmetszetû, levágott tete-jû és alul kilyukasztott mû-anyag flakonban szokták tá-rolni. Gergô megfigyelése sze-rint a szájával lefelé fordítottflakonból a még felbontatlanzacskós tej magától kiesik, vi-szont a tetejénél megfogott te-jes zacskóról még akkor semesik le a flakon, ha alulról egy másik zacskó tejetakasztunk rá. Mi lehet a magyarázat?

Megoldás. A flakont a súrlódási erô tartja meg. Asúrlódási erô a flakon falára ható nyomóerôvel ará-nyos, ez a nyomóerô pedig a tej hidrosztatikai nyomá-sából származik. A súrlódási erô nagyságát becslésselállapítjuk meg. Azt kell megmutatnunk, hogy a fla-konra ható súrlódási erô az ábrán látható helyzetben10 N-nál is nagyobb lehet, viszont a szájával lefeléfordított flakonban a tejeszacskóra 10 N-nál kisebbsúrlódási erô hat.

Most egy becsléssel megmutatjuk, hogy ez teljesül.Az egyszerûség kedvéért mérjük a távolságot centi-méterben (2. ábra ). A tejeszacskó kerülete valamivelkisebb, mint 25 cm, ezért a flakonban a zacskó kissémeggyûrôdik, így a tej egyenletesen nyomja a zacskóta flakon falához. A zacskóban a tej fölött levegô van,ennek nyomása megközelítôleg egyenlô a külsô lég-nyomással. Esetleg még nagyobb is lehet, ha – miköz-ben tartjuk – jól meg is szorítjuk a zacskót. Ezzel anyomóerôt és így a súrlódási erôt is tovább növeljük.Most azonban ezt ne vegyük figyelembe; e nélkül ismeg kell tartsa a flakont (a ráakasztott másik zacskótejjel együtt) a súrlódási erô.

314 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

Mivel a hidrosztatikai nyomás lefelé lineárisan nô,

3. ábra

4. ábra

átlagos értéke a 2. ábra alapján:

A flakon falának területe:

p =pmin pmax

2= 1,25 kPa.

E kettô szorzatának μ0-szorosa adja meg a súrlódási

K l = 375 cm 2 = 3,75 10 2 m 2.

erô maximális értékét. (μ0 a tapadási súrlódási együtt-ható, amelynek értéke legalább 0,3 és legfeljebb 0,6 azacskó és a flakon fala között.) A legkisebb μ0 értéketvéve is:

tehát a súrlódási erô valóban meg tudja tartani a mint-

Fsúrl > 13 N,

egy 10 N súlyú másik zacskó tejet.A feladat megoldása akkor teljes, ha azt is megmu-

tatjuk, hogy a lefelé fordított flakonból magától kiesika tejeszacskó, még a lehetô legnagyobb μ0 esetén is.

Tegyük fel, hogy a lefelé fordítás után a zacskómég nem mozdult el, csak a tej ömlött át a zacskóalsó részébe (3. ábra ). A flakon falára ható hidroszta-tikai nyomás átlagértéke most csak

és ez a kisebb nyomás ráadásul kisebb területen is hat

p = 0,5 kPa,

a flakon falára:

E két érték szorzatának μ0-szorosa még μ0 = 0,6 ese-

K l = 250 cm 2 = 2,5 10 2 m2.

tén is csak 7,5 N, tehát

Ezért a tejeszacskó kiesik a lefelé fordított flakonból.

Fsúrl < 8 N.

Megjegyzés. A megoldáshoz tartozik μ0 értékénekbecslése is. A példaképpen bemutatott gondolatme-netben a 0,4 ≤ μ0 ≤ 0,6 becslést alkalmaztunk, ez össz-hangban van a Középiskolai Fizikai Táblázatokban,illetve középiskolai és egyetemi tankönyvekben kö-zölt adatokkal. Ugyanakkor, ha a tejeszacskó kívülzsíros, μ0 jóval kisebb is lehet, s a zsíros tejeszacskó-

ról bizony lecsúszhat a flakon a ráakasztott másik litertejjel együtt. Most azonban nem errôl a tapasztalatrólvolt szó, nem ezt kellett megmagyarázni.

Látjuk, a fenti feladat megoldásához már némi számo-lásra, numerikus becslésre is szükség volt. 1992-benviszont ismét elég volt „csupán” gondolkozni a prob-lémán.

Körülbelül 1 cm2 keresztmetszetû, 80 cm hosszú,felül nyitott üvegcsövet színültig megtöltünk higany-nyal. A csô felsô végére ráhúzzuk és befôttesgumivala csôhöz szorítjuk egy teljesen összelappadt (levegôtnem tartalmazó) lufi száját. Ezután a csövet a leve-gôben tartva felfordítjuk. Mi fog történni? (Készítsenrajzot is!)

Megoldás. Feltételezhetjük, hogy amikor az össze-lappadt lufit ráhúzzuk az üvegcsô szájára, a higanyfeletti részben nem lesz levegô, és késôbb sem tudbejutni levegô a lufi belsejébe.

Fordítsuk meg a csövet! Függôleges helyzetben acsô – most már alul levô – szájánál a lufihártyára be-lülrôl 80 cm magas higanyoszlop nyomása, kívülrôlpedig a külsô levegô nyomása hat. (Vegyük ez utób-bit 76 Hgcm-nek.) A belsô, nagyobb nyomás kissészétnyitja az összelappadt lufit, s a higany elindullefelé. 80−76 = 4 cm3 higany lefut egészen a lufi aljá-ra, és ekkor a folyamat leáll. A csôben marad 76 cmmagas higanyoszlop, fölötte vákuum (a higanygôznyomása elhanyagolható). Alul, a csô szájától kezdvea lufi újra összelappadt állapotban van, mert a külsôlégnyomás összenyomja. Legalul, az összelappadtlufiban lévô 4 cm3 higany kicsi, kidudorodó zacskó-ban gyûlik össze.

A folyamat legfontosabb pillanatait a 4. ábra soro-zata szemlélteti („oldalnézetben”).

Ha túl gyorsan fordítjuk meg a csövet, esetleg avégén még meg is lökjük kissé, 4 cm3-nél több higanyis le tud folyni a lufi aljára. Ekkor a végállapotban akülsô légnyomás kissé visszanyomná a lufit a csô szá-jánál a csô belseje felé. Ugyanakkor a lufit a higanylefelé húzza, kissé megnyújtja a gumit, s ez a hatás acsô szájánál is érvényesül. Mindezek azonban olyankicsiny nyomáskülönbséget és többleterôt eredmé-

A FIZIKA TANÍTÁSA 315

nyeznek, hogy a lufinak ebbôl származó alakváltozá-

5. ábra

sa szabad szemmel alig vehetô észre, s a megoldástlényegesen nem módosítja.

Károlyházy Frigyes figyelmét nem kerülte el az ûrhajó-zás sem, és egy sajátos problémát vetett fel 2003-ban.

Egy szabadon keringô ûrhajó kabinjának belsejé-ben mozdulatlanul lebeg egy körülbelül 4 cm átmé-rôjû vízgolyó és a közelében egy körülbelül 8 cmhosszúságú, vékony, kör keresztmetszetû, legömbölyí-tett végû üvegpálca. A pálca egyik végét egészen fino-man érintkezésbe hozzuk a „vízcseppel”. Vázolja fel,milyen alakot vesz fel a víz!

Megoldás. A kiindulási helyzetben (5.a ábra ) avízgolyó közelében lebeg az üvegpálca.

A folyamat akkor kezdôdik, amikor a pálca egyikvégét egészen finoman érintkezésbe hozzuk a vízcsep-pel (5.b ábra). A víz nedvesíti az üveget, kissé „ráfo-lyik” a pálca legömbölyített végére (5.c ábra). Itt azon-ban a folyamat nem állhat le, mert az üvegpálcára hatóerôk eredôje nem nulla. Igaz ugyan, hogy az R sugarúvízcsepp belsejében a nyomás egy kicsit nagyobb, minta külsô légnyomás (Δp = 2α/R ), és ez r2πΔp erôveltolná kifelé az r sugarú pálcát, de ennél sokkal na-gyobb a pálcára rásimuló vízhártya által kifejtett 2rπα

nagyságú húzóerô. A pálca tehát benyomul a vízcsepp-be, egy közbülsô helyzet a 5.d ábrán látható.

Az erôegyensúly ebben a helyzetben sem áll fenn,nincs ok, amiért a pálca megállna, egészen a 5.e ábránlátható állapotig. Most már a pálca elérte a vízcsepp baloldali szélét, kissé túl is ment rajta, a vízfelszín itt kissékinyomódik. Az erôegyensúly azonban csak akkor állbe, amikor a pálca bal oldali vége teljesen kibújik avízcseppbôl, ekkor a pálca mindkét végét körülölelôvíz felszíne ugyanolyan alakú (5.f ábra ).

Meg kell gondolnunk még, hogy vajon a vízcseppnem folyik-e szét a pálcán. A rendszer összenergiája alevegôvel érintkezô víz felületi energiájának és a víz-zel érintkezô üveg energiájának összegével egyenlô;ez a mennyiség igyekszik minél kisebb lenni. Tekin-tettel arra, hogy a pálca vékony, a üveg teljes felületeelhanyagolható a vízgolyó felületéhez képest. A rend-szer egyensúlyát tehát a legkisebb vízfelszín követel-ménye határozza meg, ez pedig (adott térfogatú vízesetén) a gömb alaknál teljesül.

A végállapotban a vízgolyó majdnem pontosan gömbalakú, az üvegpálca ezen gömb egyik átmérôje menténhelyezkedik el, és mindkét végét „kidugja” a vízbôl.

Egy év múlva szokatlan rugalmassági problémával álltelô, amelyet jellegzetesen „Károlyházy Frigyes módra”fogalmazott meg.

Egy habókos lakberende-

6. ábra

zô állófogast tervez, két vál-tozatban. Egy negyedkörívalakú, vékony, de erôs, ru-galmas fémszálat egyik vé-génél szilárdan hozzáerôsítegy merev törzshöz, egyszeraz a), másszor a b) elrende-zésben (6. ábra). Meglepôd-ve tapasztalja, hogy ha ugyanakkora terhet akaszt afogasokra, a fémszálak végpontja nem ugyanannyi-val süllyed le a két esetben.

Okoskodjuk ki egyszerû megfontolásokkal, hogymelyik esetben nagyobb a végpont lesüllyedése!

Megoldás. Vegyük észre, hogy a külsô erô hatásáraa negyedkörív alakú rugalmas fémszál alakja fogmegváltozni, pontosabban az erô által kifejtett (pont-ról pontra változó) forgatónyomaték okozza a szálalakjának megváltozását. A szál hosszának megválto-zása (megnyúlása) elhanyagolható a szál alakjánakmegváltozása (lehajlása) mellett.

Célszerû lesz a két fémszál alakváltozását úgy ösz-szehasonlítani, hogy kölcsönösen egyértelmûen meg-feleltetjük egymásnak a két szál pontjait. A megfelel-tetett pontokban fellépô deformációkat (elhajlásokat)hasonlítjuk össze, majd megvizsgáljuk, hogy ezek adeformációk milyen mértékben járulnak hozzá a vég-pontok lesüllyedéséhez.

Képzeljük – modellezzük – a rugalmas fémszálatnagyon kis szemekbôl álló láncnak, ahol az egyes (me-rev) láncszemeket piciny spirálrugók kapcsolják egy-máshoz. A lánc (amelynek saját súlyát elhanyagoljuk)terheletlen állapotában pontosan negyedkört formál.

316 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

Írjuk fel, hogy mekkora forgatónyomatékot gyako-

7. ábra

8. ábra

rol a teher függôleges irányú G súlya a fémszálnak ϕszöggel jellemzett helyén az ottani „spirálrugóra” (7.ábra )! (Ezen rugó elfordulása nyomán kialakulóvisszatérítô nyomaték fogja majd G -nek azon a he-lyen fellépô forgatónyomatékát kiegyenlíteni, kom-penzálni.)

Amint az az ábráról is leolvasható, ugyanazon ϕszöghöz tartozó pontokban az M forgatónyomaték aza) esetben sohasem lehet kisebb a b) esetben fellépô-nél, mivel sinϕ ≥ cosϕ. Az egyenlôség csak ϕ = 0 és ϕ= π/2 esetben (vagyis a szál végpontjainál) áll fenn,közben Ma mindig határozottan nagyobb, mint Mb.

Ebbôl már látszik, hogy a fémszál deformációja(görbültségének megváltozása) minden bizonnyal aza) esetben lesz nagyobb. Azt kell még megnéznünk,hogyan jelentkezik mindez a szál végpontjának le-süllyedésében. Sejtésünk az, hogy a nagyobb defor-máció nagyobb lesüllyedést is eredményez.

Vizsgáljuk meg, hogy ha csupán a ϕ szöggel meg-jelölt pontban jönne létre deformáció (ha csak az ot-tani kis spirálrugó csavarodna el), ez a végpont mek-kora függôleges elmozdulását (lesüllyedését) ered-ményezné!

Az a) esetben a 8. ábrán látható ív elhajlásaPA(εa ) az Ma forgatónyomatékkal, a b) esetben a ívPB(εb ) elhajlása az Mb forgatónyomatékkal arányos.Mondhatjuk, hogy az AA′ szakasz hossza annyiszo-rosa a BB ′ szakasz hosszának, ahányszorosa az Ma

nyomaték nagysága az Mb nagyságának.Vegyük észre azt is, hogy az AA′ irány közelebb áll

a függôlegeshez, mint a BB ′ irány! Egyszerû geomet-riai megfontolásból következik, hogy a végpontoklesüllyedésének aránya

Δ hb

Δ ha

=εb

εa

sin ϕ2

cos ϕ2

=εb

εa

tg ϕ2

.

Másrészt

ezért

εb

εa

=Mb

Ma

= 1 cosϕsinϕ

= tg ϕ2

,

Beláttuk tehát, hogy a két fémszál egymásnak megfe-

Δ hb

Δ ha

= tg 2 ϕ2

≤ 1, ha 0 ≤ ϕ ≤ π2

.

leltetett pontjai közül (a végpontoktól eltekintve)mindig az a) esetbeli pontoknál fellépô deformáció adnagyobb járulékot a szál végének lesüllyedéséhez.Mivel a teljes alakváltozás összetehetô az egyes spirál-rugók deformációiból származó alakváltozásokból,kimondhatjuk: az a) esetben nagyobb a szál végpont-jának lesüllyedése.

Megjegyzések. 1. Energetikai megfontolásokkal ésintegrálszámítással numerikusan is meg tudjuk hatá-rozni a kétféle lesüllyedés arányát, jóllehet a verse-nyen ez nem volt feladat.

Ha a fogas végére – óvatosan növelve a terhelést –maximálisan G nagyságú erôt fejtünk ki, és ennekhatására a végpont Δh -val mélyebbre kerül, akkorösszesen

munkát végzünk. (Az 1/2-es faktor onnan származik,

W = 12

G Δ h

hogy az erô átlagértéke a maximális érték fele.) Ez amunkavégzés a kicsit meghajlított szálban tárolt rugal-mas energiával egyenlô, ami a szál egyes darabkáibantárolt energiák összegeként számítható. Egy-egy da-rabka rugalmas energiája – a megfeszített egyenesrugó energiaképletének analógiájára – a darabkahosszával és a végein ható forgatónyomaték négyze-tével arányos. Ezek szerint a kétféle ruhafogas ener-giaviszonyait összevetve:

2. Természetesen más úton is eljuthatunk a helyes

Wa

Wb

=Δ ha

Δ hb

= ⌡⌠ M 2

a (ϕ ) ds

⌡⌠ M 2

b (ϕ ) ds=

⌡⌠

π /2

0

sin2(ϕ ) dϕ

⌡⌠

π /2

0

(1 cosϕ )2 dϕ

=

=

12

π2

π2

2 12

π2

= π3 π 8

≈ 2,2.

válaszhoz. Minden egyszerû megfontolás során a ne-gyedkör alakú rugalmas fémszálat valamilyen egy-szerû módon modellezzük. Az egymásnak megfelel-tethetô ívek, szakaszok deformációit hasonlítjuk ösz-sze, s ebbôl következtetünk a végpont lesüllyedésé-re. Tekinthetjük az eredeti negyedkörívek helyettakár a 9. ábrán látható derékszögeket is! Ebben aközelítésben a teljes alakváltozás két tag összege-

A FIZIKA TANÍTÁSA 317

ként, a (kezdetben) vízszintes, illetve függôleges szá-

9. ábra10. ábra

11. ábra

rak deformációjából tehetô össze.A vízszintes szakaszok lehajlása, ha a függôleges

szárak nem tudnának elmozdulni, azonos terhelésesetén ugyanakkora lenne; eddig tehát még egyfor-mán viselkedik a két ruhafogas. A függôleges szaka-szok deformációjának hatása a végpont lesüllyedésé-re azonban a két változatnál már különbözô lesz. Aza) esetben a derékszög függôleges szára is elgörbül(hiszen a vízszintes szár a sarokpontnál forgatónyo-matékot fejt ki rá), s ez az A′ végpont további függô-leges elmozdulását eredményezi. A b) esetben viszonta függôleges szár alakja gyakorlatilag változatlan ma-rad, mindössze elfordul (a vízszintes szár lehajlásamiatt); ez az elfordulás azonban a B végpont majd-nem pontosan vízszintes irányú elmozdulását hozzalétre, tehát nem járul hozzá annak függôleges irányúlesüllyedéséhez.

Látható, hogy ebben a durva modellben az a) eset-beli végpont lesüllyedése körülbelül kétszerese a b)esetbelinek, és sejthetô, hogy az eredeti, negyedkörívalakú szálakhoz visszatérve a lehajlások arányánakszámértéke ugyan más lesz, de az egyenlôtlenségiránya nem változik meg.

Egyedi és igazán Károlyházyra jellemzô ennél afeladatnál a probléma felvetése; a fizikai mondanivalóelbújtatása egy banális, hétköznapi, és éppen ezértizgató, azonnali választ követelô kérdés mögé. A 2.kiegészítés ad példát egy kvalitatív, mégis elfogadha-tó válaszra.

Zárjuk ezt a visszatekintést azzal a 2005-ben feladottpéldával, amellyel Károlyházy Frigyes azt mutattameg, hogy lehet még a sokat szidott állócsiga-mozgó-csiga témakörben is új és érdekes problémát felvetni.A megoldás itt se lesz könnyû, fel kell gyûrni az inguj-jat hozzá.

Két rögzített, egymástól l = 2 m távolságra levôcsigán erôs, de nem nyúlékony fonalat vezetünk át,és a végeire egy-egy M = 1 kg tömegû testet erôsítünka 10.a ábra szerint. (A fonalnéhányszor 10 N terhelést bírki szakadás nélkül. A csigákés a fonal tömege elhanyagol-ható.) Ha ujjunkkal lehúzzuka fonal közepét úgy, hogy akét test 1-1 méterrel megemel-kedjék (10.b ábra), majdelengedjük, a fonal elpattan,amikor A és B között „kiegye-nesedik”. Ha azonban úgy

engedjük el, hogy elôbb egy ugyancsak 1 kg tömegûtestet erôsítünk a fonal közepéhez, akkor a fonal atovábbiakban nem szakad el.

a) Magyarázzuk meg a jelenséget!b) Mekkora erô feszíti a fonalat abban a pillanat-

ban, amikor kiegyenesedik?Megoldás. a) Azt kell észrevenni, hogy amikor a

fonal kiegyenesedik, abban a pillanatban a fonalatkét oldalról húzó testek már állnak. Rendkívül rövididô alatt kell megállniuk, lefékezôdniük arról a v =(2 g h )1/2 ≈ 16 km/h sebességrôl, amire addigi moz-gásuk (szabadesés) során felgyorsultak. (Itt és a to-vábbiakban h = ½ l = 1 m.) Ha a fékezést „pillanat-szerûnek” gondolnánk, vagyis a fékezés ideje Δt → 0lenne, akkor a testek gyorsulása és a fonalat feszítôF erô is minden határon túl nône, ezért elpattanna afonal.

A valóságban természetesen még a „nem nyúlé-kony” fonal sem abszolút nyújthatatlan, hanem egykicsit deformálható. Ehhez az alakváltozáshoz egykicsiny, de véges Δt idô szükséges, így a testek gyor-sulása és ezzel együtt a fonalat feszítô erô, ha nem isvégtelenné, de nagyon naggyá válik. Mivel a fonalnem bír ki nagy erôt, elszakad.

b) Ábrázoljuk a folyamat három jellemzô állapotát!A 11.a ábrán a kezdôállapotot tüntettük fel, megje-lölve közben a középsô test egyensúlyi helyzetét is,amelyen maximális sebességgel átlendül. A 11.b áb-rán a fonal középsô része vízszintes, a középsô testazonban még emelkedik fölfelé. A 11.c ábra azt apillanatot mutatja, amikor a középsô test éppen meg-áll. Ekkor ismét állnak a szélsô testek is. (Persze el-képzelhetô, hogy a középsô test fel se emelkedik a11.b ábrán látható helyzetig, ezt a lehetôséget majdszámítással kell ellenôriznünk.)

A b) kérdés megfogalmazása arra utal, hogy afonal ki fog egyenesedni, tehát a középsô test eljut a11.b ábrán jelzett állapotba. Lesz-e ott sebessége?Ezt érdemes kiszámítanunk. Írjuk fel a munkatételt a

318 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

11.a helyzettôl a 11.b -ig jelzett folyamatra! A szélsô

12. ábra13. ábra

testek h utat süllyednek, a középsô h 31/2 utat emel-kedik, ezért

Felhasználtuk, hogy a 11.b helyzetben a szélsô testek

M g h M g h 3 M g h = 12

M v 2.

egy pillanatra megállnak, ezért csak a középsô test-nek lehet ekkor mozgási energiája. A felírt egyenlet-bôl a középsô test sebessége:

Tehát a középsô test még valóban emelkedik. Meddig

v = 2 g 2 3 h > 0.

emelkedik? Ezt is kiszámíthatjuk, ha a 11.b és a 11.cállapotot energetikailag összehasonlítjuk:

Ez y -ra nézve másodfokú egyenletté alakítható,

2 M g h 2 y 2 h M g y = 12

M v 2.

amelynek megoldásai: y1 = −1,73h és y2 = 0,22h. (Azelsô gyök nyilván a kezdôállapotot adja meg, a 11.cállapotnak y2 felel meg.)

Hogy válaszolni tudjunk a feladat b) kérdésére,vizsgáljuk meg tüzetesen a 11.b ábrán látható helyze-tet! Ebben a pillanatban a fonalat feszítô erô gyorsítjaaz éppen álló, de felfelé induló szélsô testeket. Mek-kora ez a gyorsulás? Tegyük fel, hogy a bal oldali csi-gától a középsô testhez vezetô AP fonál Δt idô alattmár egy kicsiny Δα szöggel túllendült a vízszinteshelyzeten (12. ábra ). Jelöljük a szélsô testek sebessé-gét Δv-vel! Ez a sebesség (a fonal nyújthatatlanságamiatt) megegyezik a P pontban levô középsô testsebességének AP irányú vetületével, vagyis

Másrészt a PQA derékszögû háromszögbôl

Δ vv

= sinΔ α ≈ Δ α.

A fenti két egyenlet összevetésébôl

v Δ th

= tgΔ α ≈ Δ α.

vagyis a szélsô testek gyorsulására

Δ v = v 2

hΔ t,

adódik.

a = Δ vΔ t

= v 2

h

Ugyanehhez a képlethez úgy is eljuthatunk, hafelírjuk, hogy a vízszinteshez közeli AP szakasz hosz-sza idôben hogyan változik. Mivel PQ ≈ v t (ahol t a11.b ábrán látható állapottól mért idô), Pitagorasztétele szerint

Ebbôl leolvashatjuk, hogy az AP szakasz hossza a =

AP = h 2 v 2 t 2 = h 1 v 2 t 2

h 2≈

≈ h v 2 t 2

2 h= h a

2t 2 .

v2/h gyorsulással növekszik, és a fonal nyújthatatlan-sága miatt a bal oldali test is ugyanekkora nagyságú,függôlegesen felfelé irányuló gyorsulással kell, hogyrendelkezzék.

A fonal által kifejtett erô a szélsô testek mozgás-egyenletébôl kapható meg:

azaz

Ffonal M g = M v 2

h,

Így már érthetô, miért nem szakad el ebben a helyzet-

Ffonal = M g 1 2 2 3 = 1,536 M g ≈ 15 N.

ben a „néhányszor 10 N terhelést kibíró” fonal.Érdemes felfigyelni arra, hogy a szélsô testek két-

szer is emelkednek és kétszer is süllyednek egy-egyperiódus során, hiszen a 11. ábrán feltüntetett mind-három állapotban éppen állnak. Süllyedésük az idôfüggvényében nagyjából a 13. ábrán vázolt módontörténik.

Radnai Gyula

Irodalom1. Vermes Miklós: Az Eötvös-versenyek feladatai I. 1959–1988.

Typotex, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997, 163 o.2. Radnai Gyula: Az Eötvös-versenyek feladatai II. 1989–1997.

Typotex, Budapest, 1998, 131 o., http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tkt/eotvos-versenyek/adatok.html

3. http://www.kfki.hu/education/verseny/eotvosverseny/report.html

A FIZIKA TANÍTÁSA 319

VÉLEMÉNYEK

A Fizikai Szemle szerkesztôbizottsága az 1972-ben meghirdetettVÉLEMÉNYEK sorozatát az olvasók kérésére tovább folytatja ez év-ben is. A szerkesztôbizottság állásfoglalása alapján „a Fizikai Szem-le feladatául vállalja el, hogy teret nyit a fizikai kutatásra és fizikaoktatására vonatkozó véleményeknek, ha azok értékes gondolato-kat tartalmaznak és építô szándékúak, függetlenül attól, hogyegyeznek-e a lap szerkesztôinek nézetével, vagy sem”. Ennek szel-lemében várjuk továbbra is olvasóink, várjuk a magyar fizikusokleveleit.1 Fizikai Szemle 62/7–8 (2012) 243–248.

AZ ENTRÓPIAPROBLÉMA – II. RÉSZ BME, Fizikai Kémia TanszékOláh Károly

A megoldás

Az elsô részben1 a százötven évvel ezelôtt született ésazóta változatlan entrópiadefiníció megértési problé-máival foglalkoztunk. Emlékeztetôül a szóbanforgóenergiamérleg-egyenlet:

ahol U a belsô energia, T az abszolút hômérséklet, P a

(1)dU = T dSCl P dV μ dN.

nyomás, V a térfogat, N az anyagmennyiség, és a kétúj mennyiség: SCl a clausiusi entrópia (energia/hômér-séklet) és μ a kémiai potenciál. Az így definiált entró-pia nehezen értelmezhetô kettôs identitású: része azenergiamérlegnek, a hôhatás képviselôje, és ugyanezugyanekkor egy struktúra képviselôje, mértéke is.Emellett sajátos tulajdonsága: ha nincs egyensúly,természetes „törekvése” van: növekszik, az egyen-súlyban maximális. Ez utóbbi viselkedés köré egészmitológia született.

A fenti alapegyenletnek azonban több egyenértékûvariánsa lehetséges, más-más értelmezéssel. Így pél-dául,

A dimenziómentes entrópiaváltozat:

(2)dUR T

dV PRT

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

SCl

R= dN μ

R Τ.

Térjünk vissza Harvey S. Leff 1999-ben tett javasla-

(3)S =SCl

R.

taira.Következtetéseit és javaslatait hat pontban sorolja

fel. A négy legfontosabb:1. A (clausiusi) entrópia dimenziója a hômérséklet

Kelvin-skálájához van kötve.2. Dimenziómentes entrópia definiálható, ha T hô-

mérsékletet energiaként definiáljuk (tempergy ).3. A molekuláris dimenziómentes entrópia, amely-

nek számértéke 0 és ~80 között van, megkönnyíti az

összehasonlítást különbözô anyagok között és meg-becsüli az elérhetô állapotok számát.

4. Ha a dimenziómentes entrópiát és a tempergiáthasználjuk a kB Boltzmann-állandó fölöslegessé válik.

Ebben Leff állást foglal Boltzmann entrópiadefiní-ciója mellett és javasolja a clausiusi entrópia helyett adimenziómentes boltzmanni entrópia használatát. (Ezírás szerzôje bevallja, Leff álláspontját illetôen vélemé-nye szubjektív).

Az „entrópiaprobléma” megoldása meglepôen egy-szerû.

Legyen az entrópia definícióegyenlete az energiamér-leg helyett annak a dimenziómentes változata. Ez az Sentrópia az eloszlások, a struktúra elemeinek gyûjtôhe-lye. Minden elemi Ei energiarésznek van xi részaránya.A makroszkopikus anyag entrópiája szintén ilyen részekrészeinek, a „lnxi” entrópiaelemeknek átlaga vagy ösz-szege. Boltzmann-nál az Ei energiájú részecskék rész-aránya xi, Ez a kitevôben lnxi, majd xi részarányokkalszorozva a lnxi mennyiségek is összegzôdnek. Ha arészletek egyformák (xi = 1), az entrópia zérus.

Az „anyag” potenciálja (az Ω állapotösszeg logarit-musa):

(Energia – Hômérséklet – Eloszlás)

(4)lnΩ =Ei

R Tlnxi .

És összegük, a teljes rendszer: Gibbs energiamérle-gét (T helyett) RT -vel osztottuk

(Energia – Hômérséklet – Struktúra) Ezzel a változó-

(5)μR T

= HR T

S = U P VR T

S 0 lnx .

kat szeparáltuk!a. A H entalpia az energiákat képviseli.b. Az RT hômérséklet az energia és az entrópia (a

struktúra) kapcsolata.c. Az S entrópia a struktúrát, az összetételrendszert

képviseli.d. A μ/RT a kettô együttese, mindkét hatást tartal-

mazza.Itt már világosan értelmezhetô mennyiségek van-

nak, problémás kapcsolatok nélkül.Az entrópia felépítése:

S =i

xi lnxi ,

Si = lnxi ,

xi

És semmi más!

320 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

Nincs már szó hôrôl, információról, valószínûség-rôl, irreverzibilitásról, rendezetlenségrôl, Univerzum-ról, tudjuk már, mik az elemei, van-e entrópia, hanincs hômérséklet, van-e entrópiaáram és mi a hely-zet a produkcióval. És azt is tudjuk, miért és hogyannô (Lásd: Függelék). Ha az arányok exponenciálisak,az entrópia maximális (de nem korlátlan). Ahol ré-szek és részarányok vannak, ott mindig értelmezhetôentrópia. Tehát nem csak „termikus” entrópia lehetsé-ges. (Ennek illusztrálására Landsberg mutat be köny-vében (1960) [1] egy nyelvészeti entrópiát, különbözônyelvek szavainak szótagszám-statisztikáját). Tág érte-lemben ebbe tartozik az elegy kémiai összetétele, akémiai tömeghatástört és így tovább. Ezek már nélkü-löznek minden misztikát. A kémiai potenciál kérdés-köre külön történet lehetne.

Addig is:– Felejtsük el a clausiusi (energia/hômérséklet)

entrópiát!– Felejtsük el a „redukált” energiákat!– Felejtsük el a „hôt”!– Felejtsük el a Boltzmann-állandót!– A hômérsékletet az RT (a „tempergia”) képviselje!Sem az R gázállandót, sem a T hômérsékletet ne

használjuk más vonatkozásban.Összefoglalva:Az eredeti (Clausius, majd Planck ) energia/hômér-

séklet jellegû „hôhatás-entrópia” rejtélyes és „problé-más” mennyiség. Másfél évszázada jelent problémátezen entrópia megértése, megértetése, értelmezése. AzAJP szerzôi a közelmúltban erre keresték a megoldást.

Gibbs fundamentális egyenletének a dimenziómen-tes változata az eredetinél egyszerûbb összefüggés-rendszert ad meg. Ami történt, mindössze osztás azRT mennyiséggel. Az energia és a struktúra jellemzôiszétváltak, a (duális) clausiusi entrópia helyét a boltz-manni H -függvény foglalta el (foglalta vissza). A di-menziómentes, „struktúraentrópia” már egyszerû,érthetô, szemléletes.

A termodinamika oktatása ily módon megszabadulminden értelmezési nehézségtôl. Jelentôs lehet amegkönnyebbülés. És gondolkodni lehet eddig elha-nyagolt kérdések megoldásán.

A hômérséklet kérdése (Leff) felhívja a figyelmet ahômérséklet és a gázállandó használatának problé-máira. A hômérséklet-probléma egy általánosabbproblémakörre, a szorzatok kérdésére irányítja a fi-gyelmet. Matematikailag megengedett szorzások, osz-tások nem mindig problémamentesek. És érdemeselgondolkodni a fizikai mennyiségek (idô, sebességstb.) „alfajain”, értelmes és értelmetlen kapcsolataikfelülvizsgálatán is.

Ha mindezt végiggondoljuk, meglep a termodina-mikai összefüggésrendszer hihetetlen egyszerûsödé-se. Várható, hogy e javaslat hatása általánosan érvé-nyesülni fog. Szemlélet, szóhasználatok, értelmezéseksora változik vagy szûnik meg.

A tájékoztatás, ezen javaslatok ismertetése nemhalogatható. Remélhetô, hogy az olvasók közül sokanlevonják a következtetéseiket.

Egy kis-káté

Sok kérdésre már könnyen adhatjuk meg a választ.– Mi az entrópia?– Ez: Σi xi lnxi.– Reális fizikai mennyiség az entrópia?– Igen.– Van entrópiája egy testnek, ha az nincs egyen-

súlyban?– Igen.– Van entrópiája egy olyan testnek, aminek nincs

hômérséklete?– Van.– Mindig minden testnek van entrópiája, vagy

van, aminek nincs?– Mindig van.– Ha a rendszer csupa egyforma elemekbôl áll,

akkor is van entrópia?– Igen. Ekkor számértéke zérus.– Lehet entrópiaváltozás, ha nincs hôfelvétel?– Igen.– Beszélhetünk entrópiaváltozásról, ha a hôfelvé-

tel „nem reverzibilis”?– Igen.– Van entrópiája negatív hômérsékletû anyagnak

és az negatív vagy pozitív?– Van és pozitív.– Van egyértelmû kapcsolat az energia és az ent-

rópia között?– Csak akkor, ha van hômérséklet, tehát: csak az

egyensúlyban.– Miért nô az entrópia?– Mert lnx monoton függvénye x -nek és mert ilyen

a dinamika.– A növekedés az entrópia természetes „törekvése”?– Nem tehet mást.– Meddig nôhet?– Véges számú elem esetében véges nagyságú.– Valóban a legrendezetlenebb állapotban a leg-

nagyobb az entrópia?– Értelmetlen kérdés. Az egyensúlyban jelentôs a

rendezettség.– Minden fajta entrópiára jellemzô a növekedési

tendencia?– Csak ahol ilyen a dinamika, például az energia-

struktúránál.– Az entrópia a második fôtétel aktív résztvevôje?– Csak „írnoka”.– Mértéke az entrópia az irreverzibilitásnak?– Nem.– Van aktív szerepe az entrópiának a hô → munka

átalakításánál?– Nincs. A változásoknak csak passzív elszenve-

dôje.– A természetes irány („idô-nyíl”) forrása az ent-

rópia?– A végsô forrás a dinamika. Ez okozza az entró-

pia változását is. És sok mást.– Az entrópia a valószínûségnek vagy a valóság-

nak mértéke?

VÉLEMÉNYEK 321

– Mindig csak a valóságnak.– Van entrópiaáram?– Nincs. Ahogyan nincs koncentrációáram, hômér-

sékletáram sem. Az irreverzibilis termodinamika „ent-rópiaárama” nem az entrópia árama.

– Világmindenség: van entrópiája?– Ha vannak részei és azoknak vannak részará-

nyai, akkor igen.– Hôhalál: számíthatunk rá?– Nem kell tartanunk tôle.– Feketelyuk: itt is az entrópia „mûködik”?– Nem minden mögött entrópia van, ami növek-

szik (például, a fák).– Mindenféle eloszlás definiálhat entrópiát?– Igen, például nyelvtani statisztika is, de ez már

tágabb értelem.– Információs entrópia. Függ az entrópia attól,

hogy mennyit tudok róla?– Nem minden logaritmusfüggvény entrópia.– Mértéke-e az entrópia a megvalósulható lehetô-

ségek számának?– Lehet, ha ez a szám a részarányban valósul meg.

Függelék

Ha nincs egyensúly, a dinamika egyértelmû változá-sok forrása. Formálódik egy szabályos struktúra, kö-zös hômérséklet, nô az entrópia. A lehetô legegysze-rûbb modellen figyelhetjük meg a jelenség eredetét.Legyen három (rögzített) ekvidisztans energiaszint(RT egységekben):

Legyen a (rögzített) elem- (részecske-) szám:

E1 = 0,

E2 = E,

E3 = 2E.

Legyen az összenergia:

N = N1 N2 N3 = 333.

(Rendszerünk tehát zárt térfogatra, anyagra és ener-

N1 E1 N2 E2 N3 E3 = 36E.

giára). Így minden lehetséges eloszlás lineáris sorbarendezhetô, N3 értéke szerint.

a. A tömeghatás törvényAz energiacsere-folyamat:

A sebességi egyenlet:

A1 A3 2 A2.

W = k→

N1 N3 k←

N 22 ,

W→

=dN1

dt=

dN3

dt= 2

dN2

dt= W

←.

b. A Mikroszkopikus reverzibilitás:

c. A sebességi állandó pozitív: k > 0.

k→

= k = k←.

d. A Részletes egyensúly elve:

(Egyensúlyban az ellentétes folyamatsebességek

N1,e N3,e = N 22,e .

egyenlôvé válnak). Legyen

A W nettó folyamatsebesség a különbség:

X =N1

N, Y =

N2

N, Z =

N3

N.

A (negatív) entrópia (a HB -függvény):

W

k N 2= X Z Y 2.

Ha egy sorozat összetételt kiszámolunk 0 < Z < 7 tar-

S = X lnX Y lnY Z lnZ.

tományban, akkor a következôket figyelhetjük meg:

X lnX elemi entrópiák monoton csökkennek, ezek

N1 N2 N3 X lnX Y lnY Z lnZ = S

297 36 0 ↓ 0,1020 0,2405 0 = 0,3426

298 34 1 ↓ 0,0994 0,2330 0,0174 = 0,3498

299 32 2 ↓ 0,0970 0,2251 0,0307 = 0,3525

300 30 3 0,0940 0,2168 0,0424 = 0,3532

301 28 4 ↑ 0,0913 0,2082 0,0531 = 0,3526

302 26 5 ↑ 0,0886 0,1991 0,0630 = 0,3507

303 24 6 ↑ 0,0859 0,1895 0,0724 = 0,3478

304 22 7 ↑ 0,0832 0,1795 0,0812 = 0,3439

(nyilak) az egyensúly érték (0,0940) fölötti értékeknélcsökkennek, az egyensúly érték (0,0940) alatti érté-keknél nônek,

Y lnY elemi entrópiák monoton csökkennek, ezek(nyilak) az egyensúlyi érték (0,2168) fölötti értékeknélcsökkennek, az egyensúlyi érték (0,2168) alatti érté-keknél nônek,

Z lnZ elemi entrópiák monoton nônek, ezek (nyi-lak) az egyensúly érték (0,0424) alatti értékeknél nô-nek, az egyensúly érték (0,0424) fölötti értékeknélcsökkennek.

Az egyik ilyen, a másik olyan irányban változik.Nem látható egy irány.

Irodalom

1. P. T. Landsberg: Thermodynamics with Quantum-StatisticalIllustrations. Interscience-Wiley, 1960, p. 236.

322 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

Roy J. Glauber a tudás fáját ülteti, segít Csörgô Tamás.

HÍREK – ESEMÉNYEK

AZ AKADÉMIAI ÉLET HÍREI

A természettudományok népszerûsítését szorgalmaztaa hazánkba érkezett Nobel-díjas tudósEurópai körútjának állomásaként hazánkba érkezettRoy J. Glauber, Nobel-díjas fizikus, aki látogatásával atudományos kutatások társadalmi fontosságát is hang-súlyozta. A magyar tudósokkal folytatott együttmûkö-dése során segíteni kívánja azEurópai Nukleáris KutatásiSzervezet (CERN) Nagy Had-ronütköztetô (LHC) gyorsító-jánál mûködô TOTEM-kísérletméréseinek értelmezésén ala-puló kutatómunkát.

Roy J. Glauber hosszú idejeközremûködik a CERN pro-jektjeiben, jelenleg az LHC-benproton-proton ütközéseketvizsgáló hét berendezés egyi-kében, a TOTEM-kísérletbenrészt vevô magyar tudósokkaldolgozik együtt. A kísérletcélja a nagy energián történôproton-proton ütközések meg-figyelése, valamint a ré-szecskék elôreszórási szögé-nek mérése. A professzor sze-mináriumot tartott az MTAWigner Fizikai Kutatóközpont-ban, és találkozott a magyarPHENIX és TOTEM kutatócso-portok tagjaival, meghallgattaa fiatal kutatók beszámolóit.

Glauber professzort magyarországi látogatása soránfogadta Szabó Gábor fizikus, akadémikus, a SzegediEgyetem rektora, a Magyar Innovációs Szövetség ügy-vezetô igazgatója, aki tájékoztatást adott az EurópaiLézeres Infrastruktúra beruházás szegedi projektjénekjelenlegi helyzetérôl.

Roy Glauber érdeklôdése a fizika iránt gyermekkorá-ra tehetô: 10 éves lehetett, amikor technikai eszközöképítésébe fogott, amelyekkel különféle kísérleteket vég-zett. Saját rádiót, távírót és távcsövet épített, utóbbivaldíjat is nyert egy diákok számára meghirdetett helyi tu-dományos kiállításon. 18 éves korában felkérték, hogyvegyen részt a Manhattan-tervben. „Soha nem gondol-tam volna, hogy elméleti területen fogok majd dolgoz-ni” – ismerte el, bár késôbb éppen az optikai koheren-cia kvantumelméletének területén végzett munkájáértjutalmazták Nobel-díjjal. „A valódi probléma az volt,hogy felismerjük, mi is tulajdonképpen a fény, és ho-

gyan magyarázható kvantumelméleti megközelítésben.Elôször megtanultam, hogy a fény hullámtermészetû, deidôvel arra is rájöttem, hogy részecsketulajdonságokkalis bír. Ezért viselkedése csak a kvantumelmélet segítsé-

gével írható le helyesen. A fénykis energiacsomagokból áll,amelyek bizonyos körülmé-nyek között részecskeként,más körülmények között pedighullámként viselkednek: ezeka fénykvantumok, azaz a foto-nok. A kvantumelmélet kidol-gozói kezdetben csupán olyanrendszereket vizsgáltak, ame-lyekben mindössze néhányfényrészecske van jelen, az op-tikai vizsgálatokhoz azonbanaz igen sok fényrészecskét tar-talmazó fénysugarak pontos el-méleti leírására volt szükség.Ez nagyon szövevényes mate-matikai problémákhoz veze-tett, és olyan területet nyitottmeg, amelynek tanulmányozá-sa ma is jelentôs erôkkel foly-tatódik” – magyarázta Glauberprofesszor az mta.hu-nak adottinterjújában.

A Nobel-díjas tudós a je-lenleg legérdekesebbnek ítélt

kutatási eredményekrôl is beszámolt. Az amerikai BNLRHIC gyorsító PHENIX-kísérletében a relativisztikusnehézion-ütközések során elôállított 4-5 terakelvineshômérsékletekrôl elmondta: „Különleges jelenségekután kutatni lebilincselô tevékenység. Igyekszünk meg-ismerni a világunkat egyben tartó, alapvetô szabályo-kat. Teljesen nyilvánvaló kapcsolat áll fenn a nagyenergiák és a kis távolságok között. A nagy energiákvizsgálata révén a rendkívül kis távolságokon, közvetvea proton átmérôjénél ezerszer kisebb távolságon belülvégbemenô folyamatok vizsgálatára is módunk nyílik.Habár e folyamatokat nem értjük teljes egészében, is-mereteink folyamatosan gyarapodnak. A hétköznapitapasztalatainktól távol esô, különleges állapotokatazonban csak különlegesen szélsôséges körülményekmegteremtésével tudjuk tanulmányozni.”

A professzor megosztotta az LHC-ben a közelmúlt-ban felfedezett Higgs-bozonszerû részecskékkel kap-

HÍREK – ESEMÉNYEK 323

csolatos véleményét is: „Az elmúlt negyven évben sok

Szerkesztõség: 1121 Budapest, Konkoly Thege Miklós út 29–33., 31. épület, II.emelet, 315. szoba, Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/fax: (1) 201-8682

A Társulat Internet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: mail.elft@gmail.com

Kiadja az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, felelõs: Szatmáry Zoltán fõszerkesztõ.

Kéziratokat nem õrzünk meg és nem küldünk vissza. A szerzõknek tiszteletpéldányt küldünk.

Nyomdai elõkészítés: Kármán Stúdió, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs vezetõ: Szathmáry Attila ügyvezetõ igazgató.

Terjeszti az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, elõfizethetõ a Társulatnál vagy postautalványon a 10200830-32310274-00000000 számú egyszámlán.

Megjelenik havonta, egyes szám ára: 800.- Ft + postaköltség.

HU ISSN 0015–3257 HU ISSN 1588–0540(nyomtatott) és (online)

találgatás látott napvilágot a részecske létezését illetô-en. Senki nem tudott választ adni a tömegét illetô kér-désre, amelyet mind ez idáig rejtély övez. Részecskékütköztetésekor rengeteg újabb részecske keletkezik, éskomoly fejtörést okoz különbséget tenni közöttük. Ah-hoz tudnám hasonlítani, mint amikor egy homokdûné-ben keresünk egyetlen aranyszemcsét. Hogyan látnánkhozzá e részecske megkereséséhez? Ebben a kísérlet-ben ilyen statisztikai jellegû nehézségbe botlottunk.Most azonban a kutatók egy valóban ígéretes jelöltrebukkantak, amely legalább egy, a Higgs-részecskétôlelvárt tulajdonságot felmutat. További kutatás tárgyátképezi annak megállapítása, hogy a részecske rendel-kezik-e a kutatók által elôrevetített egyéb jellemzôkkel,és vajon ez-e az a részecske, amelyet kerestünk. Köny-nyen meglehet, hogy egy másikra bukkantak.”

A 87 éves professzor továbbra is aktív részt vállalszámos, a fizikusok és a közvélemény érdeklôdéséreszámot tartó projektben. Az mta.hu-nak adott interjú-jában arra a kérdésre, hogy mi motiválja a tudomá-nyos kutatásban, azt felelte: „Az a vágyam, hogy felfe-dezzem a világ egy eddig ismeretlen és érdekes tulaj-donságát.” Továbbá úgy gondolja, a gyermekeket ak-

kor tudjuk leginkább bevonni a tudományos életbe,ha felismerjük, hogy „a világ többé nem az, mint ami-ben felnôttünk, és meg kell dolgoznunk azért, hogymegérthessük a tényleges valóságot”.

A Magyar Tudományos Akadémia atommag- és ré-szecskefizikus doktora, Csörgô Tamás meghívására ha-zánkba érkezett Glauber professzor látogatást tett agyöngyösi Berze Nagy János Gimnázium és az egri Do-bó István Gimnázium Természettudományos Önképzô-köreinek középiskolás nyári táborában Viszneken, aholmeghallgatta a diákok elôadásait, majd elültette a tudásfáját jelképezô óriás mamutfenyô-csemetét. Két nappalkésôbb a fény útjáról tartott elôadást egy hódmezôvá-sárhelyi középiskolában azzal a céllal, hogy a természet-tudományos szakirány választására ösztönözze a követ-kezô nemzedék potenciális tudósait. A diákok hatalmaslelkesedése mély benyomást tett rá. Hangsúlyozta a ter-mészettudományos önképzôkörök és tanulócsoportok,valamint a kísérletek fontosságát, amelyek lehetôvé te-szik, hogy a fiatalok megismerjék a világot, hiszen mintelmondta: „minél távolabb kerülünk hétköznapi tapasz-talataink körétôl, annál különösebbé és érdekesebbéválik számunkra a világ, amelyben élünk”.

http://mta.hu

A FIZIKA TANÍTÁSA

KÍSÉRLETEZZÜNK OTTHON! BME Fizikai IntézetHärtlein Károly

13. Mozgások fotózása

A fényképezés a technika fejlôdésének köszönhetôenpéldátlan módon alakult át. A hagyományos – papír-alapú fényképezés – az exponálástól a kész fotóig alegjobb esetben is több órás tevékenység, amely spe-ciális tudást és nagy eszközparkot igényel. A digitálisfotó az exponálástól a kivetítésig csak pár másodperc,a szaktudás pedig a számítástechnikai eszközökbevan építve, jószerivel tudni sem kell róla. Egy képnéha többet mond ezer szónál – tartja a mondás –, ésha a kép elkészítése nem vesz el sok idôt, akkor hasz-nos órai és otthoni kísérleti eszközzé válhat kezünk-ben egy digitális kamera. Ehhez egy kicsit el kell mé-lyülünk a digitális fényképezôgépek által nyújtottszolgáltatásokban. Elsôsorban otthonra ajánlom azelmélyedést, mert a képek elkészítése tervezést igé-

nyel, ehhez pedig a fizikai alapismeretek nélkülözhe-tetlenek. Tehát otthon modern eszközzel játszva ta-nulhat diákunk. A tanítási órán én a módszert mutat-nám be, készítenék egy-két fényképet, és a többitrábíznám a diákok alkotóképességére.

Az 1. ábrán látható fotót a Science on Stage (2005)fesztivál nyitó ünnepségén készítettem. Labdákkalzsonglôrködik a két szereplô. A labdákba számító-gép-vezérelt ledeket építettek. A hatás fokozásáértsötét a nézôtér. Állványról fotóztam „Night Scene”programmal, amely mintegy négy másodpercig expo-nál. A képen látható a labdák útja: levegôben repülveparabolapálya, kis körív a zsonglôrök kezében mo-zogva. Az is látszik, hogy rajtam kívül ez alatt a négymásodperc alatt még valaki fotózott, mégpedig vaku-val. Ebben a pillanatban a levegôben három labdatartózkodott. Ezt bizonyítja a zsonglôrök mögötti

324 FIZIKAI SZEMLE 2012 / 9

három kerek árnyék. Még az is behatárolható, hogy

1. ábra. Zsonglôrök világító labdákkal, jól kivehetô a ferde hajításparabolapályája.

2. ábra. A villogó ledek a mozgás pillanatnyi gyorsaságáról is ad-hatnak információt.

3. ábra. Egyenletesen forgatott játék rendôrbot. 4. ábra. Majdnem egyenesvonalú, egyenletes mozgás bemutatása.

honnan vakuztak, hiszen az elôtte ülôk feje hátulróljól be van világítva. A labdába épített ledek folyama-tosan világítanak, csak olykor váltanak színt. Az is jóllátszik, hogy a zsonglôr leány mozgott, hiszen elmo-sódott (bemozdult) a teste.

A következô kép (2. ábra ) elkészítésekor egyszí-nûen villogtak a ledek, amit a villogás szaporaságamiatt csak a kamera látott. Ezen a képen nem labdák-kal, hanem buzogányokkal zsonglôrködtek, amelyektengelyében egyenlô távolságra hat ledet szereltek.Így az is megfigyelhetô, hogy a buzogány mint kiter-jedt test forogva repül. A kép készítése alatt senki semvakuzott.

Ilyen mozgások fotózásához szükséges, hogy avizsgált tárgy világítson, sôt kimondottan szerencsésha nem folyamatosan, hanem villogva. A gyermekjá-tékok között – ezek a legtöbb esetben jól bírják a do-bálást – sok ilyet találhatunk, de egy világító kulcstar-tó vagy egy kerékpárlámpa is lehet a fényképezendôtárgy. Rögzíthetjük a világító-villogó tárgyat a vizsgá-landó mozgó testhez, vagy mozgathatjuk mi magunkis. Ezt mutatja be a 3. ábra. Egy játék rendôrbotot –

amely villogó ledeket tartalmaz – forgat egy diák söté-tített teremben. Ugyanezt a botot kezében tartva sétála kísérletezô (4. ábra ).

Technikai alapokA fényképezôgépünket állványra kell rakni, vagy

más módon kell biztosítani, hogy az exponálás idejealatt ne mozduljon el. Sötétítsük be a helységet, denem kell törekedni a teljes sötétségre. Ezt majd azelsô képek elkészülte után meg fogjuk „érezni”, atúlzottan nagy sötét csak hátráltatja munkánkat. Lekell tiltani a vakut és a „Night Scene” (éjszakai fényké-pezés) üzemmódba kell kapcsolni gépünket. A „NightScene” üzemmódot még az egyszerûbb mobil telefo-nok fényképezôgépei is tartalmazzák. Tükörreflexesgépek „B” záridejét is használhatjuk, sôt ezek közötttalálhatunk olyanokat is, amelyek programozottanakár 30 másodpercig is nyitva tartják a zárat. Ilyengéppel fényképezve precízen megadhatjuk a nyitásidejét, így idôméréses felvételekre is módunk van. Afénykép elkészítéséhez két személy szükséges, egyaki kezeli a fényképezôgépet, és egy aki mozgatjavagy mozgásba hozza a megfigyelt tárgyat.

97

70

01

53

25

00

99

00

21

ISS

N0

01

53

25

-7