FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 11. Vectori i tensori 1.1. Aspecte generale Proprietile fizice ale cristalelor i mineralelor sunt la fel de relevante ca i compoziia lor chimic. Proprietile fizice, din cauza complexitii lor, spre deosebiredecompoziiachimic,nupotfidescriseprinsimplenumere. Proprietile fizice sunt strns legate de structura i simetria cristalelor. Multe proprieti sunt anizotrope, adicelesunt diferitecndcristalul este rotit (n Greacanisosnseamnnuacelai,iartrepeinnseamnaroti)ica urmare aceste proprieti sunt direcionale.Fizicacristalelorreprezintaziundomeniudeinterescrescndatt teoretic ct i aplicativ. Probleme ca dilatarea termic i proprietile elastice suntesenialennelegereaecuaiilordestareiastabilitiicristalelori mineralelor la temperaturi i presiuni ridicate. Proprieti anizotrope cum sunt caracteristicileelasticeimagneticesuntdemareimportannseismologie pentruinvestigareainterioruluipmntuluiipentrureconstituirea paleomagneticamicriicontinentelor.Darelenusuntnumaideinteres academic:prospectareapentruresursemineralesolideprecumipentru petroligazesebazeazdincencemaimultpemetodefizicedectpe metode chimice. Elasticitatea i magnetismul sunt proprietiile care necesita un grad de teoretizare foarte ridicat. Relaiile matematice devin mai transparente dac se aplic unele noiuni de algebr liniar i din acest motiv vom introduce cteva concepte privitoare la tensori.O proprietate fizic a unui material poate fi determinat prin msurtori potrivitecaredauorelaientredoucantitifizice.Deexempludensitatea leagunelementdevolumdemasacorespunztoare.Oproprietatemai complicat este conductivitatea termic, care leag un gradient de tempeaur impusdeunfluxdecldurrezultant.Gradientuldetemperaturpoatefi privitcaunstimulcareacioneazasupramaterialuluintimpcefluxulde cldur trebue privit ca rspunsul rezultnd din interaciunea dintre material i stimul.PentruuniistimuliSesteposibilcarspunsulRsfieuniciatuncise poate scrie o relaie liniar cum ar fi:R=PS(1) unde proprietatea P joac un rol funcional. In cazul densitii putem scrie o relaie corespunztoare ntre dou cantiti: FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 2m= V(2) undemestemasaiVvolumul.Trebueprecizatcroluldestimul, respectivderspunspoatefiinversat,cadeexemplucazultensiunei deformaie. Multe proprieti fizice ale cristalelor i mineralelor cum sunt densitatea, conductivitateatermic,conductivitateaelectric,dilatareatermici elasiticitateapotfidescriseprinastfelderelaiimatematicedirecte.Alte proprieti ns nu leag ntre ele n mod univoc cantiti fizice. Spre exemplu proprietileplasticealecristalelornupotfidefinitelafeldesimpluca proprietileelasticentermeniiuneirelaiiunivocentretensiunei deformaie, ci depind de istoria unui anumit cristal. In prima parte a cursului vom investiga unele proprieti fizice ale cristalelor cu o relaie univoc stimul-rspuns. Acesteproprietifizicepotfimpritendouclase.Inprimaclas propritile cum ar fi densitatea sau cldura specific nu sunt legate n nici un moddedirecie.Asemeneacantitisuntnumitescalaresauizotropei suntcompletspecificate printr-un singur numr (veziec.2) fr sa depind dedireciancareacioneazstimululasupracristalului.Majoritatea proprietilor aparin ns celei de a doua clase (proprieti vectoriale sau anizotrope)ielepotfidefinitenumaicureferinladirecii.Deexemplu gradientul de temperatur care acioneaz ntr-un punct ntr-un cristal trebue specificatattcamrimecticadirecie.Oasemeneadescriereeste specificatcaunvectorcusemnulvadeexempluTpentruvectorul gradientdetemperatur(nsensstrictmatematicgradieniinusuntvectori pentru c au o comportare diferit la transformare). Totui pentru univocitate vom folosi o descriere vectorial a proprietilor anizotrope ale cristalelor. Conductivitateatermicesteunbunexemplupentruaintroduce anizotropiaproprietilorfizice.Stiemobardintr-uncristaldecuar,cu simetrietrigonal,paralelcuaxaZisacoperimsuprafaacuunstrat subiredecear.Apoisaplicmcldurntr-unpunctfolosindunvrf metalicfierbinte.Cldurasevapropagatopindcearaivacreaocreast elipsoidaldescriindoizoterm(Fig.1a).Raportulaxelorelipseiestecirca 1:2, ceea ce arat c valoarea conductivitii termice pe direcieparalel cu axa Z este de dou ori mai mare dect valoarea n direcie perpendicular. Conductivitatea termic kij leag gradientul termic aplicat (un vector) de fluxul de cldur (de asemenea un vector). Dac efectum acelai experiment peobartiatperpendicularpeaxacobservmoizotermcircular (Fig.1b) pentru c n aceast seciune conductivitatea termic este aceeai n FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 3toatedireciile.Aacumvomvedeamaitrziu,ntr-uncristaldinsistemul cubic conductivitatea termic este aceai n toate direciile. Fig.1Experimentpentruapunenevidenanizotropiaconductivitiitermice ntr-un cristal i relaia sa cu simetria cristalului: Suprafaa lustruit a unei bare decuaresteacoperitcuunstratsubiredeceariosursdecldur punctiform este aplicat pentru a topi ceara. (a)ntr-oseciuneparalelcuaxacobservmoelipsreprezentndo izoterm; (b) ntr-o seciune paralel cu axa c observm un cerc. Caalternativlamoduldeaspecificaunvectorprinmrimeai direciasa(adicprintr-osgeat)unvectorpoatefideasemeneadescris specificndcomponentelesalentr-unsistemortogonaldecoordonateadic x1 , x2 , x3 (Fig.2). Fig.2Unvector(sgeta)poatefireprezentatprincomponentele T1 ,T2 ,T3 caresuntproieciilevectoruluipeceletreiaxedecoordonatealeunuisistem Cartesian.

FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 4Componentelesuntpurisimpluproieciilevectoruluipeceletreiaxe. Dac componentele lui T sunt T1 , T2 , T3 , putem scrie: T = [T1 , T2 , T3] (3) undeTi=dT/dxiiarceletreicomponentespecificcompletvectorul. Dacmediulesteizotropitoatedireciilesuntechivalente,cadeexemplu ntr-un lichid sau ntr-o sticl (substane amorfe) vecorii stimul i rspuns sunt paraleliimrimeavectoruluifluxtermicqesteproporionalcugradientul de temperatur T (Fig.3a)q=-kT (4) ceeaceianconsiderarenaturadirecionalafluxuluitermic.Semnul minusesteutilizatpentruaindicacenergiatermiccurgensensopus gradientuluidetemperatur.Constantakesteoproprietatedematerial numitconductivitatetermic.Folosindnomenclaturacomponentelor obinem: q1 =-kT1 q2=-kT2 q3=-kT3 (5) undefiecarecomponentalluiqesteproporionalcucomponentul corespunztor al lui T. Fig.3(a)ntr-unmediuizotropvectorulstimul(nacestcazgradientuldetemperaturT)ivectorulrspuns(nacestcazfluxultermicq)sunt paraleli; (b)ntr-unmediuanizotropsuntngeneralne-paraleli(ceidoivectori ausemnopusdeoarececlduracurgempotrivaunuigradientde temperatur pozitiv). Pentrucristalecareprezintostructurareeleisidirecionalitate situaianuestesimplivectoriiqiTpotsnufieparalelidincauza interaciuniifluxuluidecldurcustructurareeleicristalului(Fig.3b).In acest caz relaia (5) trebue s fie nlocuit prin: FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 5q1 =-k11T1-k12T2-k13T3 q2 =-k21T1-k22T2-k23T3 q3 =-k31T1-k32T2-k33T3(6) undek11 ,k12 etc(saukij )suntdinnouniteconstante.Fiecare component a lui k este acum legat liniar cu cu toate trei componentele lui T.Inacestmodpentruaspecificaconductivitateatermicaunuicristal anizotrop trebue s specificm 9 constante kij (numite i coeficieni) care pot fi aranjate ntr-o reea matricial ntre paranteze patrate ca n expresia (7) | |((((

=33 32 3123 22 2113 12 11ijk k kk k kk k kk (7) Aceastexpresieestenumituntensorderangul2ntructleag doucantitivectoriale(Fig.3b).Aacumvomvedeamaitrziuexisti tensori de rang superior dar toi sunt funcii liniare de coordonate. Pentru un tensorderangul2kij ,primulsufixiindiciruliaraldoileasufixjindic coloanacoeficientului.Sumadinecuaia(6)esteadeseaprescurtati ecuaiile sunt scrise n forma: qi=-kijTj(i,j=1,2,3) (8) Tensorulconductivitiitermicekij esteomrimefiziccarepentruun setarbitrardeaxeestereprezentatprin9numere.Ingeneraldaco proprietate p leag doi vectori i anumerspunsul r=(r1 , r2 , r3) i stimulul s=(s1 , s2 , s3) putem scrie: ri=pijsj(i,j=1,2,3) (9) unde ri i sj sunt componentele vectorilor pe cele trei axe.

FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 61.2. Transformarea sistemului de coordonate Alegereaaxeloradicasistemuluidecoordonatedeterminvaloarea componentelor,ntimpcevectoriir(rspunsul)is(stimulul)sunt independeni de sistemul de coordinate alesarbitrar.Acstfaptesteartatn Fig.4pentruunvectorrcucomponenteler1,r2,r3 nvechiulsistemde coordinate i r1 ,r2 ,r3 n noul sistem. Unele sisteme de coordonate sunt mai naturaledectaltele,nspecialpentrucristalelecaresecaracterizeazprin simetrieideaceeaestedemulteoridedoritsexprimmomrime tensorialntr-unastfeldesistemdecoordonatedeoarecepoatesimplifica considerabilcoeficienii.Operaiereclamtransformareadelaunsistemcu axele x1,x2,x3 ntr-un system cu axele x1 ,x2 ,x3. Pentru aceast trebue nti s definim cum cele dou seturi de axe sunt legate ntre ele. Fig.4 Reprezentarea vectorului r n dou sisteme de coordonate x1,x2,x3 i x1 ,x2 ,x3,relativelacosinuiidirectoriartaipentruaxax3 .(Componentele vectoruluirde-alungulvechiloraxesuntr1,r2,r3 iarde-alungunoiloraxesunt r1 ,r2 ,r3 ) Acest lucru poate fi fcut indicnd cosinuii directori aijceea ce permite sspecificmfiecareaxnouxi ntermeniivechiiaxexj aacumeste FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 7ilustratnFig.4pentrunouaaxx3 .Dinnouavemnevoede9numerei putem scrie tabelul 10a. Noul (i) Vechiul (j)x1x2x3x1 a11a12a13x2a21a22a23x3a31a32a33 care de obicei este scris n forma 10b ||||.|

\||||.|

\|=||||.|

\|32133 32 3123 22 2113 12 11,3,2,1xxxa a aa a aa a axxx(10b) sau prescurtat sub forma 10c xi = aij xj(i,j=1,2,3)(10c) (pentru c ambele sisteme de axe sunt ortogonale suma patratelor cosinuilor directorieste1,adica211+a221+a231=1,etc).Dacr1,r2,r3sunt componentele vectorului r de-a lungul vechilor axe, componentele r1 ,r2 ,r3 n noul sistem de axe sunt:r1= a11r1+ a12r2+ a13r3 r2= a21r1+ a22r2+ a23r3 r3= a31r1+ a32r2+ a33r3 sau ri= aijrj (sistem de coordonate nou n termenii celui vechi)(11a) pentru operaia invers avem ri = aij rj (sistem de coordonate vechi n termenii celui nou)(11b) Extinznd operaia pentru cellalt vectors, avem: si= aijsj (sistem de coordonate nou n termenii celui vechi)(11c) pentru operaia invers avem: si = aij sj(sistem de coordonate vechi n termenii celui nou)(11d) Inmodsimilarputemtransformacomponenteletensoruluiderangul2 pij careleagceidoivectoriris(introducndrk conformecuaiei9isl conform ecuaiei 11d): ri= aikrk=aikpklsl= aikpklaijsj (12a) (ec.11a)(ec.9) (ec.11d)(relativ la vechiul tensor) FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 8sau ri= pijsj (12b) (relativ la noul tensor) Combinndexpresiile 12obinem pentru transformarea componentelor tensorului: pij= aikajlpkl (13a) Toate sufixele i,j,k,l merg de la 1 la 3. Dac scriem ecuaia 13a complet, obinem: pij= ai1aj1p11+ ai1aj2p12+ ai1aj3p13+ ai2aj1p21+ ai2aj2p22+ ai2aj3p23+ai3aj1p31+ ai3aj2p32+ ai3aj3p33(13b) Discuia de pn acum a fost foarte general. Ne vom ntoarce acum la tensoriiuneiproprieticumesteconductivitateatermic(ec.7).Dac inversmsemnulgradientuluitermicTatunciautomatsemnulvectorului flux termic q se inverseaz. Asemenea tensori sunt centro-simetrici i sunt toi tensori de ordinul 2. Din motive termodinamice muli tensori (incluzndu-i pe toidiscutaipnnprezent)auproprietateackij=kji ,adiceisunt simetrici de-a lungul diagonalei i deci putem scrie: ((((

33 23 1323 22 1213 12 11k k kk k kk k k(14) iatuncidoarasecoeficienisuntnecesari(pentruck21=k12 k31=k13 k32=k23 ) Asemenea tensori sunt numii simetrici.Putem simplifica i mai mult reprezentarea tensorilor simetrici de rangul 2 transformnd-o n axele principale: ((((

321k 0 00 k 00 0 k(15) unde k1 , k2 , k3 sunt componentele principale. Astfel numai trei numere sunt necesare pentru a descrie mrimile unui tensor simetric de rangul 2. Cele treinumereadiionale(adicnec.14)leagtensoruldeunsistemarbitrar de corrdonate. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 91.3. Reprezentarea grafic a proprietilor tensorilor Inseciuneaprecedentamdescrisproprietilefizicealecristalelor printr-oreeadenumere.Acestenumeredefinescnmodunivocrspunsul materialuluilaunvectorstimul.Arfiutilnscopdevizualizaresavemo reprezentare geometric a tensorului unei proprieti. S considerm ecuaia: Sij xi xj = I(16.a) unde Sij sunt coeficieni. Efectund nsumarea n raport cu i i jn ecuaia 16a obinem: S11x12+ S12x1x2+S13x1x3+S21x2x1+S22x22+ S23x2x3+S31x3x1+S32x3x2+S33x32= I(16b)i dac Sij = Sji aceast se simplific la forma: S11x12+S22x22+S33x32+2S12x1x2+2S13x1x3+S23x2x3=I(16c) Ecuaia16cesteecuaiageneralauneisuprafeedegradul2 (patratic) cum ar fi un elipsoid cu trei axe sau un hiperboloid. Coeficienii n ec.16acorespundcoeficienilorunuitensorderangul2ideciputemtrage concluzia c suprafaa patratic poate fi utilizat pentru a vizualiza i descrie variaiacudireciaauneiproprietiacristalului,cumarficonuctivitatea termic.Ocaracteristicimportantaunuielipsoidestecaretreiaxe principale ortogonale xi i dac referim elipsoidul la aceste axe ecuaia 16c iaforma mult mai simpl: S1x12+S2x22+S3x32=I(16d)unde 1S1OA =, 2S1OB =, 3S1OC =suntlungimilesemiaxelor elipsoidului. Pentru majoritatea proprietilor fizice Sij este pozitiv i ca urmare i valorile axelor sunt positive. Reprezentarea patratic este deci mai de grab unelipsoiddectunhyperboloid.Lungimearavectoruluiradiala reprezentriipatraticeesteegalcureciprocardciniipatrateamrimiiS pentru proprietatea considerat n direcia respectiv (Fig.5). + | + o= =232221cos S cos S cos S1S1r(17) FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 10 Fig.5 Un elipsoid este reprezentarea ptratic a unui tensor de rangul 2. OA, OB, OC sunt axele principale ale elipsoidului Formaelipsoiduluiestedeterminatdedelugimilecelortreiaxe principale,iarorientareaelipsoiduluinraportcusistemularbitrarde coordonateestedatdeceletreiunghiuri,deciasenumeresuntnecesare pentru aceast descriere general. Un elipsoid cu trei axe are o simetrie rombic intrinsec cu trei plane de simetrie reciproc perpendiculare i axe de simetrie de ordinul 2 perpendiculare pefiecareplandesimetrie(grupspaialmmm2).Incazurispecialeelipsoidul poateaveaosimetriemainalt.DacOA=OBunelipsoiddevinerotaional (grupspaialnecristalografic m)iarncazulextremecndOA=OB=OC elipsoidul degenereaz ntr-o sfer (grup spaial necristalografic m m m ). FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 111.4. Consideraii de simetrie Incapitoleleprecedenteamdiscutattransformrileaxelorarbitrare (13a). In cazul cristalelor axele sunt orientate n funcie de simetria cristalului ceeacesugereazcoperaiiledesimetrieseapliclaproprietilefizice. F.E.Neuman(1985)adoveditcsimetriatensorilorproprietilorfizice depindedesimetriacristalului.Inparticulargrupulspaialaltensorului proprietiifizicetrebuesincludtoateoperaiiledesimetriealegrupului spaial al cristalului, ceea ce nseamn c orice operaie de simetrie care las cristalul invariant trebue s lase i tensorul propritii invariant.Operaiiledesimetriepotfitratateinmodanalitic,lafelca transformrilesistemelordecoordonate.Ooperaiedesimetrieaunuigrup spaialschimbcoordonateleunuipunctx1,x2,x3 nx1 ,x2 ,x3,ceeace poatefireprezentatprintr-unsistemdetreiecuaiiliniaredetransformare analogcuec.10i11(trebueprecizatcacumestevorbaderotireaunui tensorcareesteexprimatnacelaisistemdecoordonate,ntimpcen discuia precedent acelai tensor al proprietii era exprimat n dou sisteme de coordinate diferite):x1= s11x1+ s 12x2+ s13x3 x2= s21x1+ s22x2+ s23x3 x3= s31x1+ s32x2+ s33x3(18) Operaia de simetrie poate fi reprezentat prin matricea: j |||.|

\|+33 32 3123 22 2113 12 11s s ss s ss s si(19) Pentru unele operaii de simetrie specifice aceast matrice devine: identitateinversiunereflexie |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1

|||.|

\|1 0 00 1 00 0 1

|||.|

\|1 0 00 1 00 0 1 (20a)(20b) (20c) FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 12rotaie de ordinul 2 cu 180rotaie de ordinul 4 cu 90o |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1

|||.|

\|1 0 00 0 10 1 0 (20d) (20e) Apare imediat evident c ecuaia (20a) -matrice de identitate- aplicat luix1 produceovaloareidenticpentrux1 (ec.18).Dacaplicmdepatru ori o rotaie de ordinul 4 vectorului definit prin componentelex1,x2,x3 vom obine,prinmultiplicareaexpresiei20eprincelepatruseturiechivalente urmtoarele expresii: prima rotaie a doua rotaie ||||.|

\||||.|

\|||||.|

\||||.|

\|||||.|

\|321312321xxx1 0 00 0 10 1 0xxx1 0 00 0 10 1 0xxx (21a) (21b) a treia rotaiea patra rotaie ||||.|

\||||.|

\|||||.|

\||||.|

\|321312xxx1 0 00 0 10 1 0xxx1 0 00 0 10 1 0 (21c) (21d) Dupapatrarotaiesuntemnsituaiadelanceput.Vectorul [x1,x2,x3]poatereprezentaodirecienreeaaplicndu-sedeciindicilorde zon [uvw], sau se poate aplia indicilor Miller (hkl). Cnd se aplic indicilor Miller vom gsi seturi echivalente pentru o rotaie de ordinul 4 i anume|.|

\|l k h, |.|

\|l h k , |.|

\| l k h , |.|

\| hl k , adic acelai rezultat care se obine grafic (Fig.6). FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 13 Fig.6 Proiecie stereografic ilustrnd coordonatele echivalente x1,x2,x3i indicii Miller (hkl) produi de o rotaie de ordinul 4. Sunt indicate axele x1 i x2 Putemaplicaaceeaimetodunuitensordeordinul2alunei proprietiifizicemultiplicndoperatoruldesimetriecutensorulproprietii pentru a obine tensorul transformat prin simetrie. In loc de transformri ale sistemelor de coordonste arbitrare (aik n ec.13a) vom aplica o transformare desimetriesik isjl iastfelvomtransformatensorulproprietiipkl ntr-un nou tensor pij pij= siksjlpkl (22) Pentruorotaiedeordinul2njurulaxeiz=x3 aplicndecuaia13b vom obine: |||.|

\| =|||.|

\||||.|

\||||.|

\|=33 23 1323 22 1213 12 1133 23 1323 22 1213 12 11,ijp p pp p pp p pp p pp p pp p p1 0 00 1 00 0 1) j (1 0 00 1 00 0 1) i ( p(23) Dacsimetrialascristalulinvarianteatrebueslaseitensorul proprietii invariant. Ca urmare pkl i pij sunt zero i matricea ia forma: |||.|

\|3322 1212 11p 0 00 p p0 p p pentru o ax de ordinul 2 paralel cu z. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 14S examinm acum un al doilea exemplu pentru un cristal tetragonal i oaxderotaiedeordinul4pedireciaaxeiz(ec.20e).Utiliznddinnou ec.13b obinem: |||.|

\| =|||.|

\||||.|

\||||.|

\| =33 31 3213 11 1223 21 2233 23 1323 22 1213 12 11,ijp p pp p pp p pp p pp p pp p p1 0 00 0 10 1 01 0 00 0 10 1 0p(24) Tabelul 1 Simetria cristalului exprimat n tensori simetrici de rangul 2 i reprezentrile lor grafice corespunztoare Sistem cristalografic Reprezentare grafic Numr de coeficieni independeni Tensor (n sistem xyz) CubicSfer1 |||.|

\|S 0 00 S 00 0 S Tetragonal Hexagonal Trigonal Elipsoid de rotaie2 |||.|

\|311S 0 00 S 00 0 S Rombic Elipsoid cu 3 axe (axe paralele cu axele cristalului) 3 |||.|

\|321S 0 00 S 00 0 S Monoclinic Elipsoid cu 3 axe (o ax paralel cu axa de ordinul 2 axa y [010]) 4 |||.|

\|33 132213 11S 0 S0 S 0S 0 S Triclinic Elipsoid cu 3 axe (axe neorientate n raport cu simetria cristalului) 6 |||.|

\|33 23 1323 22 1213 12 11S S SS S SS S S In privina componentelor pe diagonal aceast condiie este satisfcut numai dacp11 i p22 sunt egali. Mai mult nc pentru componentele n afara diagonaleicorespondenantrecomponentelegateprinsimetriesemenine numaidacelesuntzero.Astfeltensorulpentruacestcristaltetragonal devine foarte simplu, coninnd numai dou componente independente: FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 15 |||.|

\|331111p 0 00 p 00 0 p pentru o ax de ordinul 4 paralel cu z. Grupulspaialpentrutensoruluneiproprietifizicetrebuesinclud toate operaiile de simetrie ale grupului spaial al cristalului, ceea ce nseamn coriceoperaiedesimetrieacristaluluitrebueslasetensorulproprietii invariant.Acestfaptafostilustratattpentrurotaiadeordinul2cti pentruceadeordinul4.Tabelul1rezumrestriciileimpusedesimetria cristalului asupra tensorului de ordinul 2 al proprietii fizice. Fig.7 Simetria cristalului impune restricii pentru axele i orientrile elipsoidului proprietilorfizice:(a)triclinic;(b)monoclinic;(c)ortorombic;(d)tetragonal i (e) cubic.Sunt indicate axele x,y,z i simetriile lor. De asemenea sunt artate principalele seciuni ale elipsoidului cu axele x1 ,x2 ,x3 FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 16Intr-uncristalcubicunsingurcoeficientdescrieproprietatea,pecnd ntr-uncristaltriclinicsuntnecesariasecoeficienipentruadescrie proprietatea.AcestfaptvesteartatgraficnFig.7ncarex,y,zreprezint axelecristalograficealecristaluluiiarx,y,zsuntaxeleelipsoidului proprietii fizice. In cristalele triclinice, reprezentarea grafic a tensorului de rangul2alproprietiifiziceesteunelipsoidorientatarbitrarfadeaxele cristalului(Fig.7a).Intr-uncristalmonocliniccelpuinunadinaxele elipsoiduluitrebuesfieparalelcuaxadesimetriedeordinul2(axaya cristalului (Fig.7b). In cristalele ortorombice toate axele elipsoidului trebue s fieparalelecuaxelecristalografice(Fig.7c).Incristaleletetragonale, hexagonaleitrigonalesingurulelipsoidcareestecompatibilcucuaxelede rotaie de ordinul 3, 4 i 6 este un elipsoid de rotaie cu unica sa ax orientat paralelcuaxacristalograficz-(Fig.7d).Infinepentrucristalelecubice elisoiduldegenereazntr-osfer(Fig.7e).Intr-osferoproprietateare aceeaivaloarentoatedireciileideaceeacristalelecubicesuntizotrope pentruproprietilecutensorderangul2.Pentruarezumaaceast discuiedespresimetriaproprietilorfiziceafirmmcindiferent derangultensoruluiproprietiitoateelementeledesimetrieale grupuluispaialcaresuntprezentencristal(rotaii,reflexii, inversiuni) trebue s fie prezente i n tensorul proprietii.

FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 171.5. Tensori de diferite ranguri Inaceastintroducereasupratensorilor,ainflueneisimetrieiia reprezentrii cvadratice, noi am luat n considerare numai tensorii de rangul 2, cadeexempluconductivitateatermiccareleagunvectorstimuldeun vectorrspuns.Atuncicndnusuntrestricionaidesimetriacristalului, tensoriiderangul2suntspecificaiprin9numere(=32).Daramvzutmai nainteccpentrutensorisimetriciderangul2acestnumrsereducela ase.Vectorii pot de asemenea s fie vzui ca tensori dar de rangul 1, i n acest caz sunt descrii de 3 numere (=31), aa cum s-a artat n ec.3. Scalarii (spreexempludensitatea)suntuneoriconsideraitensoridarderangulzero i sunt specificai printr-un singur numr (=30). Exist i tensori de rang mai nalt.De exemplu acomodarea elastic Sijkl este un tensor de rangul 4 care leagtensiuneamecanic(stimulul)dedeformaie(rspunsul).Pentru descriereasasuntnecesare81(=34)componente.Aacumvomvedeanu toate aceste componente sunt independente. Rangulunuitensoraluneiproprietifizicedepindedecantitateade stimuli ide rspunsuri pecare acetia le determin. Relaia ntre doi scalari (deex.masaivolumul)reprezintoproprietatescalar(ianume densitatea).Relaiantredoivectori(deex.gradientultermicifluxulde cldur)reprezintuntensordeordinul2(conductivitateatermic).Doi tensoriderangul2(deex.tensiuneaideformaia)suntlegaiprintr-un tensor de rangul 4 (acomodarea elastic). Intimpcereprezentareacvadraticaunuitensorsimetricderangul2 este un elipsoid, reprezentrile pentru tensori de rang mai nalt sunt suprafee mai complicate, dintre care unele vor fi reprezentate n seciunile ce urmeaz. Tabelul 2 d exemple de proprieti despre care vom discuta n continuare. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 18Tabelul 2. Tensorul proprietilor care leag un stimul i un rspuns Proprietate (rang)Stimul (rang)Rspuns (rang) Densitate (0)Mas (0)Volum (0) Capacitate caloric (0)Temperatur (0)Mas (0) Piroelectricitate (1)Temperatur (0)Cmp electric (1) Conductivitate electric (2)Cmp electric (1)Densitate de curent electric (1) Permeabilitate magnetic (2)Cmp magnetic (1)Inducie magnetic (1) Tensor dielectric (2)Cmp electric (1)Deplasare electric (1) Susceptibilitate magnetic (2)Cmp magnetic (1)Intensitate de magnetizare (1) Conductivitatea termic (2)Gradient termic (1)Flux de cldur (1) Dilatare termic (2)Temperatur (0)Deformaie (2) Piezoelectricitate (3)Cmp electric (1)Deformaie (2) Acomodare elastic (4)Tensiune mecanic (2)Deformaie (2) Rigiditate elastic (4)Deformaie (2)Tensiune mecanic (2)

FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 192. Clasificarea proprietilor fizice ale cristalelor Mareadiversitateaproprietilorfizicealecorpuluisolidcristalizata impusnecesitateauneisistematizriaacestoracaresapermit,pedeo parte, cuantificarea progreselor si limitelor cunoaterii relaiilor cauzale iar, pe de alt parte, s constituie in instrument de lucru eficace pentru utilizarea lor n studiul materiei cristaline. Unprimcriteriudeclasificareaproprietilorfizicearenvedere independena sau dependena lor fa de direcie, criteriu funcie de care se separ proprieti fizice cu caracter scalarsau vectorial. Proprietile fizice scalare , de exemplu densitatea i cldura specific, suntindependentededirecie,fiindcaracterizatedoarprintr-ovaloare numericiargraficfiindreprezentateprinpuncte.Acesteproprietinusunt relevantepentruadeosebistareaamorfdestareacristalin,deoarecese manifest n mod similar n cele dou stri ale materiei. Proprietile fizice vectorialesunt proprieti dependente de direcie, graficreprezentndu-seprintr-unvectorcareexprimvaloarea,direciai sensullor.Valoareaproprietiiesteproporionalculungimeavectorului. Exempledeproprietivectorialesuntvitezadepropagarealuminii, conductibilitatea,dilatareatermicetc.Incorpurileomogene,proprietile vectorialeauaceeaivaloarentoatedireciileparalele,aceastafiindchiar condiiadeomogenitateaacestora.Proprietilevectorialesempartnmai multe categorii, dupa tipul vectorilor i simetria suprafeei vectoriale. Dup tipul vectorilor se disting: -proprieti univectoriale, caracterizate de elemente dirijate de ordinul 1, deciprinvectoripolaricuvaloridiferitenceledousensurialeunei direcii, de exemplu duritatea, piroelectricitatea, piezoelectricitatea; -proprietibivectoriale,careaunvederecaracteruldetensoral cristalelor(oasemeneaproprietateestedilatareatermicprincare cristaleleimrescvolumulnmodegalnceledousensurialeunei direcii). FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 20Dup simetria suprafeei vectoriale se disting: -proprieticusimetriesuperioarsauproprietivectoriale continue,carevariazcontinuucudirecia(naceastcategoriesunt grupateproprietileoptice,proprietiletermice,proprietileelectrice, proprietile magnetice); -proprieticusimetrieinferioarsauproprietivectoriale discontinue,carevariazdiscontinuucudireciamanifestndvariaii bruteideamploareavaloriilorchiarpedireciifoarteapropiate(de exempluvitezadecretereacristalelor,clivajul,sprtura,coroziunea, elasticitatea). Oadouamodalitatedeclasificare(criteriulfenomenologic)pornete delafaptulcproprietilefiziceexprim,dinpunctdevedere fenomenologic,oseriedeelementeesenialepentruevoluiacorpurilor cristalizatecumsuntmecanismulcreteriiigrupriisimetriceaparticulelor atomice n cristale, coeziunea edificiilor cristaline, aciunea mediilor cristalizate asupradiverselorformedeenergieradiantdenaturelectromagnetic, influena factorilor de mediu (temperatur, presiune, pH). Din acest punct de vedere proprietile fizice ale cristalelor se grupeaz n mai multe diviziuni. Proprietimorfologice.Multitudineaformelormineralentlniten natur a determinat ncadrarea lor n diferite categorii, separndu-se aspecte caracteristicepentruindiviziicristaliniizolai(habitus,tracht,striaiuni)i aspecte caracteristice pentru concreterile orientate de minerale. Acestea din urmsedividnconcreteriaparinndaceleiaispeciiminerale,carepotfi regulate(paralele,scheletice,sferulitice,axiolitice),simetrice(macle), neregulate(stalactitice,mamelonare,reniforme)inconcreteriaparinnd unor specii diferite de minerale (epitaxiale). Proprietilegatedecoeziune(mecanice).Principaleleproprieti incluse n aceast grup, care reflect n ansamblu comportarea cristalelor i mineralelorsubefectuluneiaciunimecaniceexterioare,suntduritatea, clivajul,sprtura,casana,elasticitatea,plasticitatea,maleabilitatrea, ductibilitatea. In funcie de anumite caracteristici specifice modului de aciune asupracristaluluiimineraluluisaumoduluincareacesteareacioneazla efort,s-auseparatdeformaiireversibile(elastice)ipermanente(plastice, rupturale);tipurideduritate(penetraie,sfredelire,zgriere,lefuire);tipuri declivajdupnumruliorientareadireciilordeminimcoeziuneidup calitateafeelordeclivaj(perfect,foartebun,bun,distinct,slab);tipuride elasticitate; tipuri de plasticitate (macle mecanice, translaii mecanice). FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 21Proprietioptice.Elereprezintrezultatulmodificrilorpecarele suferradiaiileluminoaselaimpactulcucristalele,alfenomeneloropticece sedesfoarnmediilefizicecristalizateiamorfe(reflexie,refracie, absorbie).Proprietileopticesepotclasifica,dupmodulncarese efectueazobservarealor,nmacroscopiceimicroscopice.Proprietile optice macroscopice (numite i aparente sau de suprafa) pot fi observate cu ochiul liber i sunt folosite la caracterizarea descriptiv a mineralelor. Cele mai importante sunt culoarea, urma, luciul, transparena, luminiscena, asterismul. In cadrul lor s-au separat, n funcie de factorii care le genereaz, mai multe tipurideculori(idiocromatice,allocromatice,pseudocromatice),deluciu (metalic,adamantin,sticlos,gras,sidefos,mtsos)saudeluminiscen (fotoluminiscen,termoluminiscen,triboluminiscen,catodoluminiscen). Proprietileopticemicroscopicesedivid,dupmodullordeexaminare,n proprieti observabile n lumin transmis i n lumin reflectat. Primelese subdividnproprietideterminabilenluminnatural,nluminpolarizat paralel,nlumindublupolarizatinluminpolarizatconvergent.Pe baza proprietilor optice, cristalele se pot mpri n izotrope i anizotrope iar cele anizotrope n uniaxe i biaxe, n pozitive i negative categorii deosebit de sugestive n determinarea lor. Proprieti termice. Cristalele se comport din punct de vedere termic asemntorcucomportarealoroptic,deoareceradiaiileinfraroiisufern mediilecristalizateaceleaimodificricairadiaiiledinspectrulvizibil, prezentndfenomenedereflexie,refracie,dublrefracieiabsorbie. Mineralelepotfiastfelclasificatetransparentepentruradiaiacaloric (diatermane)iopace(adiatermane).Pedealtparte,mineraleleamorfei cele cristalizate n sistem cubic sunt termic izotrope iar mineralele cristalizate ncelelaltesistemecristalograficesunttermicanizotrope,eleputndfimai departempritenuniaxeibiaxe(razelecaloricesuferindnmasaloro dublrefracieifiindapoipolarizate).Deasemeneamineralelepotfi consideratedinpunctdevederetermicincoloresaucolorate(termocroice) dupcumabsorbselectivsauneselectivradiaiiletermicedediferitelungimi deund.Inceeacepriveteceledouproprietitermiceeseniale conductibilitateatermicidilatareatermicprimaestedependentde direcieiarefenomenologicundubluconinutfizic,reprezentndncazul mineralelor bune conductoare un flux de cldur produs n urma unei cderi detemperaturiarlaceleruconductoare,unprocesderadiaietermic interioar;dilataiatermicreprezintunfenomendedeformaieomogen, adic de schimbare, prin ridicarea temperaturii, a formei cristalelor n ntreaga FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 22lormas,franulareaomogenitiifizicereale.Dilatareatermicpoatefi izotrop i anizotrop, uniax i biax. Proprietielectrice.Acesteaprezin,larndullor,asemnricu proprietiletermice,fluxulelectrostaticavnddreptcorespondenttermic fluxul staionar de cldur iar cderea de potenial electric ca omolog cderea detemperatur.Principaleleproprietielectriceconsideratesunt termoelectricitatea,piroelectricitatea,piezoelectricitateaipolarizarea dielectric.Dinpunctdevederealconductibilitiielectrice,cristalelese mpart n bune conductoare, semiconductoare i izolatoare electrice. Proprietimagnetice.Mineralelesuntgrupate,dupmodullorde comportarentr-uncmpmagneticomogen,nparamagnetice(atrasede magnet)idiamagnetice(respinsedemagnet),oatreiacategorie feromagneticereprezentnduncazparticulardeintensitatemaimareal paramagnetismuluideterminatdemomentelemagneticealeelectronilor produsedespinulacestora.Dinpunctdevederealsimetriei,dupvariaia intensitiiinducieimagneticecudirecia,mineralelesepotmprin izotrope, uniaxe (pozitive i negative) i biaxe (pozitive i negative). Privindnansambluproprietileoptice,termice,electricei magneticesepoatereineanalogiadintresimetriafenomenelor fizicebivectorialeelipsoidalecucaracterdetensoridesfuraten masalor,nlegturcudiferiteformedeenergiedenatur electromagnetic. Densitateairadioactivitateasuntproprietiimportanteale cristalelorimineralelor,legatedeparticularitialechimismuluiistructurii atomice interne. Examinareancontinuareaproprietilorfizicevaaveanvedere mbinareacriteriuluifenomenologiccucelvectorial,seleciaproprietilori ordineaexpuneriifiindnconcordancuimportanaisemnificaialor practic. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 233. Densitatea i radioactivitatea 3.1. Densitatea Densitatea este o proprietate scalar a unui material care leag masa m de volumul rezultat V. m= V(25) i este msurat de obicei n g/cm3. Ea variaz n limite largi n minerale (Tabelul 3) i de aceea este un instrument de diagnoz important. Ea poate fiestimatprinsimplcntrirenmn.Pentrudeterminricantitative trebue determinate masa i volumul. In timp ce masa este uor de determinat cu o balan, volumul unui obiect de form neregulat este mult mai greu de determinat. El se determinmsurnd volumul de ap dislocuit. Tabelul 3. Densitatea (g/cm3) unor mineralencondiii de presiune i temperatur ambientale Ghea H2O0,92Grosular Ca3Al2(SiO4)33,20 Silvin KCl1,99 Olivin (Mg,Fe)2SiO43,22Grafit C2,15 Diopsid (Mg,Fe)CaSi2O63,30Halit NaCl2,16Diamant C3,50 Gips CaSO42H2O2,33 Corindon Al2O34,00Ortoz KSi3AlO82,56Rutil TiO24,20 Serpentin (Mg, Fe)3Si2O5(OH)42,60Baririn BaSO44,50 Albit NaSi3AlO82,61 Zircon ZrSiO44,68Cuar SiO2 2,65 Pirit FeS25,02Talc Mg3Si4O10(OH)22,70Magnetit Fe3O45,18 Calcit CaCO32,71 Hematit Fe2O35,25Anortit CaSi2Al2O82,77Fier nativ Fe7,30 Muscovit KAl2(Si3AlO10)(F,OH)22,80 Galen PbS 7,58Dolomit CaMg(CO3)2 2,90 Cinabru HgS 8,18Enstatit MgSiO33,10Cupru nativ Cu8,95 Fluorin CaF23,18 Aur nativ Au 19,30 O proprietatea conex este greutatea specific G definit ca densitatea materialuluimpritladensitateaapeila4oC(temperaturlacareapa poseddensitateasamaximde0,999973g/cm3).Inacestmodgreutatea specific apare ca foarte apropiat numeric de densitate. Greutatea specific poatefimsuratcuobalanJolly(Fig.8)comparndgreutateaunui mineral n aer Wa cu cea a aceluiai mineral suspendat n ap Ww.G= Wa /( Wa- Ww)(26) FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 24Daccunoatemvolumulceluleielementare(determinatdindatede difracie de raze X) i modul de ocupare cu atomi al celulei elementare putem calculadensitateadirect.Slumdeexempluhalitul(NaCl)cucelula elementar cubic, un parametru de reea a= 5.,639 A (1cm= 108 A) i patru ioni de Na+ i Cl- n fiecare celul elementar. Masa atomic (adic masa unui mol)sau6,023x1023atomideNa+ este23g.iceaaCl- este 35,5g. In felul acestamasaunuiatomNa+ este3,82x10-23 giceaaunuiatomCl- este 5,89x10-23 g. Putem deci calcula densitatea:=m/V=4x(3,82+5,89)x10-23g/(5,639x10-8cm)3=2,17g/cm3(27) Fig.8ReprezentarescematicabalaneiJolly,utilizatpentrudeterminarea greutii specifice: (a) greutatea relativ Wa a unei probe n aer; (b) greutatea relativ Ww a aceleiaiprobe imersate n ap

Principaliifactoriicareinflueneazdensitateacristalelorimineralelor suntcompoziiachimic,structuraatomicintern,graduldecristalizare, condiiile termodinalice de temperatur i presiune. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 25- Compoziiachimicstoichiometricinflueneaznmsuraceamai mare densitatea. Metalele grele (Au, Ag, Pt, Hg, Cu, Fe, Pb, Zn) prezente n compoziia chimic determin o densitate mare a mineralelor respective; - Structuraatomicinterninflueneazdensitateansensulco densitatereticularmareconducelacretereadensitiincondiii termodinamice i de chimism identice; - Graduldecristalizare.Acelaimineralaflatnstarecristalinarede regulodensitatemaimaredectncazulncareestenstareamorf. Acestfaptesteexplicabilprinfaptulcprocesuldecristalizareimplico contracie a volumului mineralului. - Condiiiletermodinalicedetemperaturipresiune.Pentruc volumul majoritii materialelor crete uor cu temperature n timp ce masa rmneconstant,densitateascadeuorlaridicareatemperaturii.Inmod asemntorpentrucvolumulscadecupresiunea,densitateacretela ridicarea presiunii. n general, mineralele cu densiti mari sunt metalele native (Au, Pt, Hg, Ag,Cu).densitateaprincipalelormineraleutileestecuprinsntre47,5 g/cm3 iar a mineralelor de gang ntre 2-3,5g/cm3. Densitatea are diverse aplicaii teoretice i practice n studiul mineralelor i prepararea minereurilor: - Preparareaminereurilor.nproceseledepreparareaminereurilor, diferenadedensitateservetelaseparareamineralelormetalicegrelede cele uoare de gang; - Prospeciuneageofizic.Aplicareametodeigravimetricedeprospeciune sebazeazperepartiianeuniform,dinpunctdevederealdensitii,a mineralelor i rocilor din scoara terestr. Acest lucru conduce la conturarea anomaliilornegativepentrusaregemsauaanomaliilorpozitive caracteristice zcmintelor de minereuri.

FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 263.2. Radioactivitatea Dezintegrarea radioactiv este un fenomen spontan care nu depinde de temperatur,presiunesaudecombinaiachimicncareapareatomulal cruinucleusuferdezintegrarea.Pedealtparte,dezintegrareaesteun fenomenaleator:nusepoatedeterminacndsevadezintegraunanumit nucleuatomic,deipentruopopulaiemaredenucleedeunanumittipse poateestimactenucleevorsuferidezintegrareantr-unanumitintervalde timp. Cantitatea de substan rmas n urma dezintegrrii radioactive variaz dup o lege exponenial: tt0 t2 n nA =(28) unde: -n0estecantitateainiialdesubstan(datcamassaucanumrde atomi), -nt este cantitatea rmas (dat sub aceeai form), -t este timpul scurs de la nceputul experimentului, -testeomrimenumitperioadsautimpdenjumtire,specific specieideatomi,ireprezinttimpuldupcaredintr-ocantitatedatde substan radioactiv rmne jumtate din cantitatea iniial. Timpuldenjumtirevariaznlimitefoartelargi,delafraciunide secundpnlamiliardedeani.Printrecelemailungiperioadede njumtire au Uraniu-238, Uraniu-235, Thoriu-232. Exist dou tipuri de radiaii emise cu ocazia dezintegrrii radioactive: Particule subatomice:-nuclee de heliu (He2+) de mare vitez, numite i raze o-electroni, numii i raze |,-pozitroni, numii i raze |+

-neutroniUndeelectromagneticedemareenergie(frecvenmaresau, echivalent, lungime de und mic), numite radiaii (raze) gamma.Toateacesteradiaiiauproprietateade-aionizagazeleprincaretrec, fcndu-leastfelconductoareelectrice.Dinacestmotiv,acesteradiaiise numesc radiaii ionizante. Radiaiile o, | i se deosebesc prin puterea de penetrare (distana pe careopotparcurgentr-unanumitmediu,pnsuntabsorbitecomplet). Razele o sunt cele mai rapide, dar sunt complet oprite n grosimea unei foi de hrtieobinuitsauncelmultozecimedemilimetrudealuminiu.naer, FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 27distana maxim pe care o poate strbate nu depete 11cm. Razele | sunt maipuinrapide,darconsiderabilmaipenetrantedectceleo,putnds strbat2-3mmdealuminiu.naerdistananudepetemaimultde10-15m.nschimbrazelesuntcelemaipenetrantedatoritputeriilorde ionizarefoartesczut(proceseledeinteraciunecuatomiisubstaneiprin care trec sunt foarte rare), neavnd nici sarcin electric i nici mas. Razele potstrbatecuuuringrosimiconsiderabiledinesuturianimalei vegetale, substane uoare i chiar civa centimetri din substane grele cum ar fi de exemplu plumbul.Detectarea radiaiilor se poate face pe mai multe ci: -datorit efectului de ionizare, pot fi detectate cu electrometre sensibile; pe acest principiu funcioneaz de exemplu detectorul Geiger-Mller;-prin nnegrirea unei plci fotografice-cu ajutorul camerei cu ceaLacelemaimultetipuridedescompunereradioactiv,areloco transformare a nucleului n nucleul altui atom: -Dezintegrareaoproduceunnucleucunumratomiccu2maimici numr de mas cu 4 mai mic-Dezintegrarea | produce un nucleu cu numr atomic cu 1 mai mare i cu acelainumrdemas.Ladezintegrarea|areloctransformareaunui neutronntr-unprotoniunelectron,electronulfiindexpulzatcaraz|. Exemplu:tritiul(13H)izotopulcudoineutronialhidrogenului-se transform n izotopul heliu (23He), perioada de njumtire fiind de 12,46 ani.Existizotopiradioactiviestedreptpuinlanumrlacareunele nuclee se dezintegreaz prin raze |, celelalte prin raze o. Un exemplu izotopul bismut 83212Bi, se dezintegreaz prin raze |, restul de 33,7%, prin raze o. Este ceea ce se numete o dezintegrare bifurcat. Radioactivitatea se msoar prin numrul de dezintegrri produse ntr-o secund.Unitateademsurestebecquerel(bq)princareseexprim cantitatea de radiaii pe secund. Uraniul238(92238U,celmaigreudintreizotopiinaturali),se dezintegreaz foarte ncet (timp de njumtire 4,5 milioane ani) prin emisie derazeo.Pierzndastfel4unitidinnumrulsudemas(doiprotonii doi neutroni - nucleu de heliu) respectiv dou uniti din numrul su atomic (ceidoiprotoni),uraniulsetransformnthoriu234(90234Th).Acestadin urm este i el radioactiv, nucleul suemiteoparticul | isetransmutn protactiniu 91234Pa.Larndulluiprotactiniul,totprinemisiederaze|,se FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 28transmutnmaideparten 92234U,lundnatereunaltizotopaluraniului, diferitdeceldelanceputulserieicruiaisednumeledeUraniuII,fiind radioactiv prin emisie de raze o. Acesta se transmut mai departe n 90230Th, adicunnouizotoptoriucruiaisednumelespecialdeIoniu.Ioniulse dezintegreaztotprinemisiederazeoidnatereizotopuluiradiului 88226Ra.Maideparte,radiuldezintegrndu-seprinemisiederazeo,d natereizotopuluiradioactivalradonului 86222Rn.Cascadaaceastade dezintegrri succesive se continu mai departe pn ce se ajunge la izotopul poloniului 84210Po.Poloniulsetransmutmaidepartenizotopulplumbului 82206Pb.Spredeosebiredeizotopiiprecedeniacestaestestabilastfel succesiunea de dezintegrri oprindu-se practic. Aceast serie de transformri prindezintegrriradioactiveformeazfamiliaradiu-uraniu.nnaturmai exist nc dou familii radioactive: una dintre ele, ncepe cu 92235U (numit i actino-uraniu) i se termin cu un alt izotop de plumb (82207Pb). Cea de-a treia familieesteceaathoriului,carencepecu 90232Thiseterminiaricuun izotop de plumb (82208Pb). Exist dou tipuri de izotopi instabili: -izotopi naturali care se gsesc n natur i produc radioactivitate natural; -izotopiartificialiobinuideregulprinbombardareanuclizilorcuradiaii corpusculare (o, |), care produc radioactivitate artificial. Izotopiiinstabilis-auformatncantitidiferitensistemulsolarpe parcursulcelor5109anideexistenaacestuia.Izotopiicutimpde njumtiremultmaimicde5109anis-audezintegratdemult transformndu-senizotopistabili.Innaturaurmasizotopiiinstabilicu timpdenjumtirecomparabilsaumaimaredectvrstasistemuluisolar. Dintre acetia 14 se gsesc n cantitai semnificative (Tabelul4). Tabelul 4. Radioizotopi naturali Izotopul instabil Timp de njumtire (ani) Izotopul instabil Timp de njumtire (ani) K4019 1,2109Sn14762 1,21011V5023 41014Lu17671 51010Rb8737 61010 Re18775 41012 In11549 61014Pt19278 1015La13857 1011Th23290 1,41010Ce14258 51015 U23592 7,1109 Nb14460 31015 U23892 4,5109 FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 294. Proprieti termice 4.1. Conductivitatea termic Depindedemobilitateaelectronilornstratuldevalensaueste consecinauneiautodofuziunidininteriorulcristalelor.Incelediscutate anterior am introdus conductivitatea termic n (ecuaia 4) q=-kT. Ea este relativridicatpentrumetaleimineralelecuocontribuieimportanta leguriimetalicecumarfigrafitul,ncaretransportulclduriiseface majoritarprinelectroniiliberi.Pentrucristaleleioniceicovalente conductivitateatermicestemulmaisczuiadeseaanizotrop.Inaceste cristale transportul cldurii se face prin vibraiile termice. ExempledevalorialeconductivitiitermicesuntdatenTabelul5. Aceste valori depind de temperatur i presiune. Tabelul 5.Proprietile termice ale unor cristale, aezate n ordinea simetriei cresctoare Specie mineralogic Sistem cristalografic Temp. (K) Conductivitate termic k (J/msK) Dilatare termic o (10-6K-1) Capacitate termic molar(J/molK) abcabc GipsMonoclinic3103,16 3,63 1,6 42 29186ForsteritRombic3005,84 3,38 5,06 6,69,99,8117,9 EnstatitRombic3003,27 2,72 4,31 16,4 14,5 16,882,1CalcitTrigonal 3003,52 =a 4,18 -3,2 =a 13,383,5CuarTrigonal3006,50 =a11,3 14=a944,6 GrafitHexagonal300355 =a 89 -1,22 =a 26,78,54AluminiuCubic300208=a=a23=a=a24,35 CupruCubic273410 =a =a 16,7 =a =a24,43DiamantCubic273138 =a =a 0,89 =a =a6,11HalitCubic3005,80 =a=a40=a=a50,5 PiropCubic3003,18 =a =a 19,9 =a =a325,5 In general conductivitatea termic este maxim n direciile de maxim densitateatomic.Grafitul,cuostructurstratificat,areoconductivitate termicceestedepatruorimaimareninteriorulstraturilorculegtur metalicparialdectperpendicularpestraturi.Inmice(muscovit,biotit) care au leguri covalente n interiorul straturilor i o legur ionic slab ntre straturi, conductivitatea termic este mul mai mic dect n grafit. In schimb FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 30anizoropiaesteconsiderabilmaipronunat,cuconductivitateaparalelcu stratul [001] de ase ori mai mare dect perpendicular pe el. De asemenea n cazulstructurilorfibroase(ex.tremolit)conductivitateaestemaximpe direciadedezvoltareafibrelor,carecoincidirurilorreticularecudensitate atomicmaxim.Buneconductoaredecldursuntmetalelenativei mineralelemetalifereculuciumetalic;izolatoaretermicsuntmineralelecu aspectnemetalic.Mineralelecucompoziiecomplexdinpunctdevedere chimicauconductivitateatermicmultredus.Agregatelepolicristalinecu texturneorientatsaumaselepolimineraleauconductivitatetermic independent de direcie dar puternic influenat de porozitate i umiditate. 4.2. Dilatarea termic Dilatareatermicoij esteuntensorderangul2,ntructleag incrementaldetemperaturT(unscalar)dedeformaiaij (untensorde rangul 2): ij =oijT (29) Fig.9 Datorit anizotropiei dilatrii termice un cristal sferic devine un elipsoid la nclzire.(a)ncuarelipsoiduldetemperaturnaltsedilatntoate direciile;(b)ncristaluldecalcitelipsoidulsedilatdupaxaZdarse contractndirecieperpendicularpeea.AxaZesteverical.Efectuleste prezentatexageratpentrua-lpuneneviden(coespunztortemperaturiide 10000K) Dacosferarfitrasatncristaleavadevenilamodificarea temperaturiiunelipsoidcuaxeleproporionalecu(1+o1T),(1+o2T), (1+o3T).Inmodnormalcristalelesedilatntoatedireciilelanclzire, cum este cazul cuarului (Fig.9a). Calcitul se comport ns diferit, ntruct se dilatdupaxaZ,darsecontractperpendicularpeea.Comportarea FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 31anormal precum i marea anizotropie a dilatrii termice a calcitului reprezint cauza pentru care n rocile calcaroase i n marmor apar tensiunilocale mari la aplicarea unor cicluri termice, avnd ca efect fracturarea i deteriorarea lor, ceea ce le reduce valoarea ca material de construcie. n general prin dilatare cristalele nu i schimb simetria cristalin i nici relaiilezonalentrefee.Constanteleopticealecristalelorsemodifici anume indicii de refracie devin mai mici, birefringena variaz i ea devenind mai mic. In cazul cristalelor biaxe, variaz i unghiul axelor optice precum i poziia planului axelor optice. Dilatarea termic a monocristalelor se msoar determinndprindifraciederazeXmodificareaparametruluireeleicu temperatura. Aplicaii practice ale dilatrii termice: - Difereneledintredilataiadiferitelormineraledincomponenauneiroci, diferenelemarintredilataiaapeiiagheeietc.,reprezincauza dezagregrii mecanice a rocilor supuse variaiilor brute de temperatur; - Dilatareatermicesteimportantdinpunctdevederetehnicnindustria metalurgic,ceramic,asticlrieiingeneralnaceledomeniiundeeste nevoiedeobineredematerialecarerezistlaschimbribrutede temperatur de peste 1400C n cteva secunde. Pentru asemenea produse sefolosescmineraleca:zircon,corindon,cordierit,maseceramicedin minerale cu litiu, al cror coeficient de dilatare este foarte mic. 4.3. Capacitatea caloric Capacitateacaloric(clduraspecific)Cpreprezintcantitateade caldurnecesarunitatiidemasa(kg)dintr-uncorppentrua-imodifica temperatura cu un grad i se exprim n J/kgK. Ecuaia de definiie a acestei proprieti scalare este: S=(C/T)T(30) unde S este modificarea de entropie, T este variaia temperaturii, iar T temperature absolut. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 325. Proprieti mecanice 5.1. Elasticitatea In capitolele precedente am discutat unii scalari i unii tensori de rangul 2. Acum vom examina o proprietate mai complex, elasicitatea, care exprim o relaie unic ntre doi tensori de rangul 2 i anume tensiunea mecanic () i deformaia elastic (), relaie care se exprim printr-un tensor de rangul 4. Tensiunea ij este definit ca o for dFi aplicat ntr-o anumit direcie care acioneaz pe un element de suprafa dAj . ij = dFi / dAj (31) Ostaremaicompletatensiuniintr-unpuncttrebuesian consideraienunumaiosingurdireciecitoatedireciile,adicunnumr infinit de vecori n jurul punctului P (Fig.10). Fig.10. O stare general a tensiunii n punctul P poate fi reprezentat printr-un elipsoidaltensiunilor.(a)VectoriiradiinddinpunctulPntr-unplandescriuo elipscaredefinetemrimeatensiuniindiversedirecii.(b)Elipsoidul tridimensional al tensiunii cu axele principale1 ,2,3 IntreidimensiunisuprafaatuturorvecorilordinpunctualPreprezint unelipsoid,numitelipsoidultensiuniiacruimrimeestedescrisprin tensorul tensiunii sub forma:FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 33 1x x x232322222121=o+o+o(32) Celetreidireciiortogonaleprincipale1,2,3 suntnumiteaxe principale cu mrimea 1>2>3. Tensorul tensiunii relativ la axele principale este: ((((

ooo3322110 00 00 0(32a) sau relativ la un sistem arbitrar de axe: ((((

o o oo o oo o o33 23 1323 22 1213 12 11(32b) Fig.11(a)Dacuncristalsfericestesupusuneitensiunigeneralecristalulse deformeazadoptndoformelipsoidal.Aceastformestecunoscutca elipsoiduldeformaieiiareaxele1,2,3.(b)Cazulbidimensional,ilustreaz modul cum cercul se transform n elipse de arie egal. Direciile de ntindere i de comprimare sunt indicate prin sgei. Dacseaplicunuicristalsfericotensiunegeneralreeauaseva deformadevenindunelipsoid.Elipsoidulrezultatsenumetedeformaiesau elipsoiduldeformaieicuaxele1,2,3 (Fig.11a).Aceastdeformaiepoate FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 34sfiesausnufiensoitdeomodificareavolumului.Smenionmc unelediametresuntalungite(suprafaaelipsoiduluiiesenafarasferei)n timp ce alte diametre sunt comprimate. Figura 11b ilustreaz schimbarea de form la volum constant pentru starea de tensiuni plan (bi-dimensional). Oafirmaiegeneralreferioarelacomporateaelasticestecea exprimatprinlegeaHookecarespunecdeformaiaelasticeste proporional cu tensiunea aplicat. Aceat dependen poate fi extins ntr-o relaie liniar ntre cele ase componente independente ale tensiunii ij i cele aledeformaeikl ambelemrimifiindtensorisimetrici(legealuiCauchy). Intr-uncrystalnupotfifcutepresupuneriprivindizotropiarspunsului elastic i deci va trebui s scriem fiecare component a tensiunii ca o funcie liniardetoatecomponenteledeformaieiiviceversa,ceeacegenereaz douseturideaseecuaii.Acesteecuaiipotfiscrisenformmatricial astfel: ij=cijkl kl (33a) sau n forma alternativ: ij=sijkl kl (33b)Tensorul de rangul 4 cijkl este numit constant de rigiditate elastic sau constana elastic iar tensorul sijkl este numit modul de elasticitate sau modul deacomodareelasic.Untensorderangul4arengeneral81(=34) componente,darnumrulacestorasereducela36datoritsimetriei tensorului tensiunii ij i a tensorului deformaiei kl. Mai mult nc din raiuni termodinamicetensorulelasticestesimetriciaceastareducenumrul componentelorindependentela21.Reducerisuplimentarepotsapar datoritsimetrieicristalului.Ingeneralsolidulanizotropcusimetrietriclinic are 21 componente independente, dar acestea se reduc la 3 pentru cristralele cu simetrie cubic i la 2 pentru un mediu izotrop necristalizat (de exemplu o sticl amorf) vezi tabelul 6. Tensorulelasticderangul4estecvadridimensional,daresteadesea descrisntr-onotaiematricialbi-dimensionalsugeratdeVoigt(1928)i majoritateahandbook-urilorlisteazconstanteleelasticealemineralelorn aceast notaie (Simmons i Wang, 1971). Voigt reprezint tensorii tensiunii i celelasticprintr-oreeamonodimensionaldede6componente independente: ={1=11; 2=22; 3=33; 4=23; 5=31; 6=12; }(34a) ={1=11; 2=22; 3=33; 4=223; 5=231; 6=212; }(34b) Constanteleelasticesuntapoireprezentateprintr-omatriceCij de6x6 constante. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 35 Tabelul 6. Numrul componentelor independente ale tensorului elastic pentru diferite simetrii cristaline Triclinic (toate grupurile punctuale) 21 Monoclinic (toate grupurile punctuale) 13 Rombic (toate grupurile punctuale)9 Tetragonal ||.|

\|m / 4 , 4 , 4 7 Tetragonal ||.|

\|m / 2 m / 2 m / 4 , 422 , m 42 , mm 4 6 Trigonal ||.|

\|3 , 37 Trigonal ||.|

\|m / 2 3 , 32 , m 3 6 Hexagonal (toate grupurile punctuale)5 Cubic (toate grupurile punctuale) 3 Izotropic (necristalografic) ||.|

\| m / m / m / 2 Fig.12 Suprafa rigiditii elastice pentru aur (a), aluminiu (b) i zinc (c) Lafelcapentruuntensorderangul2proprietiledirecionaleale tensorului elastic de rangul 4 pot fi vizualizate ca o suprafa. Pentru rigiditate aceast suprafa este mai complex dect un elipsoid i chiar pentru cristale cubiceeaestengeneralanizotrop.Pentruuncristaldatformasuprafeei trebuesseconformezesimetrieicristalului.Anizotropia(raportulntre valoareamaxim iceaminim)poatefimarecancazulaurului(Fig.12a) saumaireduscancazulaluminiului(Fig.12b).Wolframulesteaproape izotrop.Pentrucristalelehexagonaleproprietileelasticeausimetrieaxial aa cum este ilustrat n Fig.12c pentru zinc. FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 36 Fig.13Propagareaundelorelasticentr-uncristal.Micareaparticulelorn raportcudireciadepropagareDPesteindicatprinsgei.Esteindicatde asemenealungimeadeundpentru(a)undelelongitudinalePi(b)pentru undele transversale S. Dup Shearer,1999 Constantele elastice joac un rol central n propagarea undelor elastice i sunt de mare importan pentru seismologi. Dou tipuri de unde elasice pot fi transmise printr-un solid izotrop. Primul este numit o und longitudinal P i implicmicareaparticulelorparalelcudireciadepropagare(Fig.13a).Al doilea tip cons dintr-o und transversal S n care micarea particulelor este perpendicular pe direcia de propagare (ca n cazul undelor electromagnetice ceconstituelumina)-Fig.13b-.Seismologiiutilizeaztimpiideparsursa acestorundeprinmediiledininteriorulglobuluiterestrupentruadescifra proprietile elastice ale straturilor interioare ale planetei.Din constantele elastice putem calcula vitezele. Fig.14a arat c pentru olivinexistodiferendepeste25%ntrevitezaceleimairapideunde (paralel cu direcia [100]) i viteza celei mai lente unde (paralel cu direcia [010]). Suprafaa tridimensional a a vitezelor este ilustrat n Fig.14b. Dac cristalele de olivin sunt aliniate, cum se ntmpl adesea n rocile deformate, propagareaundelorelasticentr-unagregatestedeasemeneaanizotrop (Kocks i alii, 2000). Seismologii au stabilit c orientarea preferat a olivinei n peridotitele din mantaua superioar a pmntului, care s-a produs probabil ntimpulconveciei,provoacanizotropiaobservatnundeleseismice (Silver, 1996). FIZICA CRISTALELOR - Conf.dr.ing. Mircea Ionu Petrescu 37 Fig.14PropagareaundelorPntr-uncristaldeolivin.(a)Schiacristaluluicu vitezeleundeiPnceletreidireciiprincipale;valorilevitezelorsunt multiplicate la ptrat pentru a face diferena mai evident.(b) Harta suprafeei vitezelor undei P n aceeai orientare DeexemplunmantauaoceanicdesubinsuleleHawaii,existo variaie azimutal de peste 10% n vitezele undelor P (Fig.15). Fig.15Variaiaazimutalavitezelorundelorseismicelongitudinalepentru undele de suprafa n vecintatea insulelor Hawaii Aceastproprietateestefolositngeofiziclastabilirealimitelorde separaiedintredoumediinaturalediferite.Metodasebazeazpe evideniereadiferitelorvitezedepropagareaundelorelasticendiferite mineraleiroci.Deexemplunrocilesedimentarev