; IK ---

MINISTERUL EDUCATIEI ~I iNVATAMiNTULUI

ANATOLIE HRISTEV VASILE FALIE

Manual pentru clasa a IX-a

EDITURA DIDACTIC4. Sl PEDAGOGIC.!. BUCURESTI

DUMITRU MANDA

Manualul a fost elaborat pe baza programei aprobate de M.El cu nr. 3448/28 IV 1979 ~i avizat de Comisia de fizica a M.EJ. Revizuit in 1981.

Cap. 1; 2; :3 ( §. 1 - 5}; 5 ~i 6 au fost elaborate de A. Hriste" Cap. 4: R ~i 9 au fost elaborate de V. Falie C~l'- 3 l § 6 - 8); 7 ~i 10 au fost ~laborate de D. Manda

REFEREN;fl:

C. VREJOIU, conf. dr. Facultatea de Fizica Bucure~ti-C. CRISTESCU, ~ef de lucrari I.P. Bucure~ti I. POP A, profesor A. PETRESCU; profesor PAUl~ ~TEFANESCU, ~ef lucrari

Redactor: ELISABETA MESARO~ prof. Tehno.redactor: PARASCHIVA GA~P AR Coperta: NICOLAE SlRBU

CUPRINS

CAP. 1. MI~CAREA ~I REPAUSUL

1.1. Sistem de referintli ................................ o o •••••••••••• o •• •• •• • o •

1.2. Punct material ........................................ o •••• _ •.• o o ••••• o •• o

1o3. Traiectorie. Coordonate. Legea mi~clirii •........... ~-· ·-· .~ ........ .

1./i. Vector de pozitie ........................... -· ·-· ..... · ·-· ··-· · · · · · · · ·. · 1o5. Deplasare ........... 4 •.••••••• ·~ •• ·-· -·· .......... ·-· ................. -· o .......... . 1.6. Mlirimi vectoriale ........................................... ·-· .......... . 1.7. Viteza •• _ ................................................... ' .... •·· ........... · .. . 1.8. Acceleratia ......... _ .................. . 4 ... ........... ·-· ••• -· ............ -· .......... o o ••••

1.9. Clasificarea m~clirilor punctului material .................................... . 1.10. Relativi~atea mi~clirii mecanice -· ............ -· ........................... . 1'.11. Compui:lerea mi~clirilor ........ - ....... ·- .................. ·-· ............ ·-· ....... . 1.12. Reprezentarea graficli a legii mi~carii •.... ·-· .1:. .............. ·-· •.•••••••

Probleme rezolvate ............ ·-· ..................................................... . lntrebari. Exerci1ii. Probleme ....... - ................................ .

CAP. 2. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE

7

8

9

11

12 1~

18 23 26

27 28 29

31 32

2.1. Principiul inertiei ·-· ...... -· .............. -· ..... -· .. . .... .. . .... . .. ... .. . . . . . . . . . 3~

2.2. Sisteme de referinta inertiale ...... ~ .. ·- ·-· .... ... .... .... ... ... . . ... . . . . . . . . 35 2.3. Principiul fundamental al dinamicii ......................... ; . . . . . . . . . . . . 38 2./i. Principiul . actiunilor reciproce ................................. ·-· . . . . . . . . . . ~li

2~5. Principiul suprapun~rii fortelor .... -· ·-· .... . . . . ... ..• . . . . . . . . . . . . . . . ii8

2.6. Principiul relativitlitii tn mecanica newtoniana -· ...... ·-.... ... . . . . 51 Probleme re,..olvaiie ................ -~ •..•.. ·- ....... . : .. ·-· ................ ·-· ........ : . . .. 52 lnttebilri. ExerciJii. Probleme .... ·- ·- -·- ......... ·- ........... ·-·.......... 57

CAP. 3. ~Il~CAREA PUNCTULUI MATERIAL SUB ACTIUNEA UNOR TIPURI DE FORTE

3.1. Mi~carea rectilinie uniformli ..... , ................................. o

Probleme rezolvaiie ............ ·-· .........•..•........................... lntrebilri. Exercifii. Probleme •...•.•••.....•................•

3

60

62 ,62 •

3.2. Mi!lcarea rectilinie· uniform variata ............................. .

Prebleme rezolvate ... ·-· •• _ ...•.....•............................. ~· . -· lntrebiiri. Exerci#i. Probleme . .... ·-· .....•.....................

3.3. M~area corpurilor sub actiunea greutatii. ....... ·- ·-· .................. ....,

Probleme rezolvate :,. _ _.. ~- -· _ ·- __ ...... -· ........ ·- ·-· ... ·-· ....... . lntrebiiri. ExerciJii. Probleme ·- ••• ~ ............. ~~ -- ·-·. ~ -· ·-· ·- ••

64.

69 71 72

77

80

3.lt. Fortele de frecare .... ~- _ .- ........................ ·- ... -· ....... _ ..•..• ·- 83

Probleme rezolvate _ ... -· ................................ ·'·· ·- ·- ... .:. ..• • • 92

lntrebiiri. ExerciJii. Probleme._ ... ·- ............................ ·-· .• 9~

3.5. Mi~Jcarea circulara un iforma ··:·· ·- •• __ ·- .•.. _ ·- ..•.•.•• _ . _ .... ~

Problema rezolvata ... __ -· ... ____ ................................ -· _ 105

lntrebdri. ExerciJii. Probleme~. ·~ .................... .;. ••• ·- •• _.. •• 106

3.6. Forte elastice .._ •• -· •.••••••• ·~ ................... -· •••••••• -- ..• -· 108

Probleme rezolvate ........... 4 .............. - ,..; ·- -- .............. 4-- 111

lntrebiiri. Exercijii. Probleme .... ............ _.. -· ....................... -· .,.. 112

3.7. Legea atractiei universale a lui Newton. Ctmpul gravitationaL ........ _. 113

3.8. Masa gravifica. Relatia · dintre masa gravifica l}i masa inertiala, Satelitii artificiali ~ •..•. _ ..•••.•.•......•.•.. __ •.• • . • • • • • .. .... ... . .. • • 119.

Problema. rezolvata: •.•• """ •• ~· .................. ·- ·- _ ....... ·- ........ ·- .. ,.. 122

lntrebar~. ExerciJii. Probleme.~ . •. -· .- ........... -· .. ~· ·-· .... ·- -· ·-· ... 122

CAP. 4. ENERGIA M~_gi\_N'.!.C_A""~--r!lN.CTDLULMA.T.ERIAL _$I __ A. ~J.~TEl_MPLDL .. DELEUN~--MNI'ERIALE

4.1. Lucrul mecanic efectuat la mi~Jcarea punctului material intr-un cimp de forte .................... ,.. ·-- .............. ·- ........... ~· •.. --· .... .... . . . . . . 124

4.2. Energia cinetica. Teorema variatiei energiei cinetice _a punctului · material ......... -~ _ _.. ·-~ ·-· ·-· ................................... -........ 135

4.3. Energia potentiala a pun~tului material in cimp conservativ de Iorte. Energia mecanica a punctului materiafin cimp consft'vativ de forte .... -···--· -· ·-· ·-· ...•.. ·-~ •··· •.• o4 ••• ·- ·- .............. 4 •••••••• " • ··-· 139

4.4. Conservarea energiei · mecanice -· ......... -· ............. 4 • • • • • • • • • • 14~

4.5.* Sisteme de puncte materiale. Forte interne ~i forte externe . . . . . . 145

Probleme rezolvate -~ __ -· .......... ·-· ·- ·-· __ •• ··- .....• -~ ·-·........ 147

lntrebari. ExerciJii. Probleme __ ...... .,. ·-· ·- ...•••.• ,..,.. .. ·- .. ·...... 148

5.1. Teorema impulsului pentru punctul material. Conservarea impulsului 153

--5.2. Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem de doua particule ............ ·-· ........... ·-· ·-· .. ·-· •. ·-· ·-· ·- .......... ·-· ... . • 154

5.3.* Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem oarecare de ·particule· ·-· ·-· ·-· ·-· ........... ·-· •..... -· ·-· ...........•..... ·-· -155

5.~. Centrul de masa al unui sistem de doua particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4

fi.5.* Centruldemasaalunuisistemoarecare de particule ............. . 5.6. Ciocniri ...................................................... .

Probleme rezolvate ..... · ...................................... .

lntrebari. Eierci/ii. Probleme ....... . · ....................... .

CAP. 6. MOMENTUL CINETIC

158 159

167

168

6.1. Momentul fortei. Momentul cinetic al punctului ~aterial.:........ 172 6.2. Teorema momentului cinetic pentru punctul material. Conservarea

momentului cinetic ................................. ·-·...... 1 J7

6.3*. Teorema momentului cinetic total al unui sistem meeanic. Conserva-rea momentului cinetic total ·-· .................... ~............. 118

lntrebari. Exercifii. Probleme .. ............................. _.. . . -17~

CAP. 7*. CINBMATICA ~I DINAMICA RICHDULUI

7.1.. Notiunea de rigid ....... ·-··-· ... ·-· .. ·~.............................. 1~1 7.2. Viteza ~i acceleratia unghiulara.. ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . -181 7.3. Energia cinetica de rotatie. Momentul de inertie al unui rigid...... 184 7.4. Legile cinematicii :;;i dinamicii solidului rigid .... ·-·................ 186

Probleme rezotvute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

lntrebari. Exerrijii. Probleme .. ...... ·-· .................... _...... 192

\ CAP. ~- ECHILIBRUL \1ECAJ\IC AL CORPURILOH

\

8.1. Sis tern. de forte concurente. Rezultanta. ~fi~carea de translatie. . 193 8.2. Compunerea fortelor paralele. Cuplul de forte. Mi~carea de rota tie .. · J 97 8.3. Centrul de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4. Echilibrul mecanic. Conditii de echilibru ..................... _ . . 208 8.5. Echilibrulin cimp gravitational. Echilibrul_ ~i energia potentiaHi . . 21'7

lntrebari. ExerciJii. Probleme. ... . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . 220

I CAP. 9. MECANICA FLUIDELOR

9.1. Starea flu ida .......•... ~ ...... ·-· ............ ·-~ ... . . ~. . . . . . . . . . . . . . . 225 9.2. Notiunea de presiune ...... ~-~ •...... ·-· ...•............•.•... ~. . . . . . . . 226 9.3. Statica fluidelor: hidrostatica !]i aerostatica ...•..... ·-·. . . . . . . . . . 227 9.4. Dinamica fluidelor ... ..- ·- .................. _. . . .. . .... ... .... .. . . . . .. . . . . . . . . 24~

lntrebari. ExerciJii. Probleme .... .... ..• .... .... .... . . ·-· ... .. . ... . . . . . . . . 252

\ CAP. 10. UNDE ELASTICE. NOTIUNI DE ACUSTICA

10.1 Oscilatorul liniar armonic. Compunerea oscilatiilor ,0••••••••• •• • • 255

10.2. Peridulul gravitational. Rezonanta ............. ·-· ·-· ·-·.. ... . . . . 267 1.0.3. Propagarea mi~dirii oscilatorii ·-4 •••••••••••••• , ••• ·-........ 270

5

10.4. Unde transversale, unde longitudinale. Viteza de propagare.... . . . . · 274 10.5. Bcuatia undei plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 10.6. Clasificarea undelor elast ic-P dnpa freeventa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.7. Conditii de audibilitate a osrilatiilor elastke................... 2R5 ·10.8. Reflexia ~i refractia undelur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.9. D·ifractia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10. to. Interferenta. Unde staponare................................ 293 10 .11. * Co;1rde 9i tuburi son ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

lntrebari. Exercijii. Probleme ............••........ ·........ 302

Probleme recapltulatlve ..................... , . . . . . . . . . . . . . . 307

1 MI~CAREA ·~I REPAUS.UL

Fizica studiaza diferite fenomene ale naturii: mecanice, termice, electrice. optice, atomice etc. Cel mai simplu dintre ele este mi$carea mecanica, studiata in cadrul mecanicii.

Mecanica, numita clasica newtoniand. a fost elaborata· in esen~a de ISAAC NEWTON (1643-1727) §i expusa in celebra sa ca.rte ,PrincipiilP matematice ale filo.zofiei naturale" (1687), unde sint formulate cele trei legi sau principii ale mecanicii, precum §i legea atrac~iei universale (gravita~io-nale) (aplicata la mi§carea sistemului solar).. .

Mecanica se imparte de obicei in trei capitole: eine:rnatica se ocupa cu descrierea geometr~c~, spa 1io-tem po~aHi, -~l!li§..c_~!'i!_lq()<:)fQ()}l!!t~ 1 timp,_ ltaiec­torie, viteza, acceleratie}; dinamica studiaza §i cauzele mi§carii (for~ele, impul­sul, lucrul mecanic, energia); statica studiaza echilibrul corpurilor. Mecanica se mai imparte in: meca.nica punctului material, mecanica sistemului de puncte materiale, mecanica. solidului rigid, mecanica fluide1or etc.

In capitolul 1 sint expuse no~iuni de cinematica a punctului material.

1.1. SISTEM DE REFERIN TA

Deplasarile oamenilor, mi§carile diferitelor piese ale ma§inilor unelte, deplaS'area vehiculelor, curgerea apelor, curentii de aer - iata exemple. de mi§cdri mecanice.

Cind vorbim de mi§ca.rea mecanica a unui corp, in~elegem totdeauna schimbarea pozi~iei sale fata de alte corpuri, de obicei fa~a de Pamint sau Jata de diferite obiecte'iix·e-pe':Pimh}.t (case,.bornekiiomet~ice etc.).

Se nume§te mi$care mecanica a. unui corp schimhB:rea pozitiei sale fa ~a de an-e-corpuri~---- . -·

_ _fl~~~~~-e~~~--!:!!1:_~~~-E~~~!Q:t!lar __ ~Lr:n!~~~~~!~ ~ .l!!l:. ~()rp ~s.teJn r.epa us .:dac<1 ~.zi!J~.!Lf&Ltie.alt~L~Q[PJJJ:Lnu.Ae .. ~himbi.

7

Pentru a studia mi§carea unui corp trebuie sa alegem totdea.una un alt. ~2orp, numit corp lie referinJa (ci~ e~emplu, Patnintul), la care sa' raportam in/ fiecare moment pozi~ia corpului studiat. Desigur, orice corp de referint( este la rindul sau in mi§care fa~a de alte corpuri. Pentru a determina pozilia eorpului studiat la diferite momente sint necesare o rigla §i un ceasornic.

Corpul de referinta, impreuna cu rigla pentru determinarea pozi~iei

corpurilor studiate §i cu ceasornicul pentru indicarea momentului, consti­tuie un sistem de referinta, numit pe scurt referential.

1.2. P UNCT MATERIAL

) n mi~~_I':~a~me~_a~:Q_~9-~_JLc()Xp~rilor nu sint dete:minante unele proprietati ale acestora, ~e exemplu, cele termice, cele optice, §i de aceea le putern neglija. 'lnmulte probleme nu ne intereseaza nici deformarea corpurilor, de exemplu, la caderea §i aruncarea obiectefor, de acee a in astfel de probleme o put em neglija, considerind corpul rigid.

Mi§ca.rea solidului rigid este totn§i complicata, _de a.ceea se studiaza mai intii miijcarea unui corp a.le carui dimensiuni §i rota~ii proprii sint neglijabile in problema datiL Acesta este punctul material, cara.cterizat numai prin masa

-~1! (deci un corp eu dimensiuni neglijabile fa~a de distan~ele sale pina la cor­purile i~conjuratoare).

Un acela§i corp poate fi considerat punct material intr-o problema §i intr-o alta problema, nu. ~

De exemplu, in mi§carea unui vapor pe ocean, dimensiunile sale nu sint esentiale §i pot fi neglija,te (fig. 1.1), H1sa ,in cazul manevrarii in rada unui port, ele nu pot fi neglHate. 0 piatra in sa in atmosfera poate fi

5

· l<~ig~ ~··~ L':l vapor pe un ocean se.., poate aproxi:ma printr-un punct a earui pozttte m flecat·e moment este data de coordonatele sale geografice: lati·

tndinea t?i longit.udinea.

8

. aproxirnata de cele rnai :rp.ulte ori pi'intr-un punct material, nu insa, d.e exemplu, . in cazul rostogolirii sale pe o suprafa~a.:.

{:ind toate punctele ·unui ·corp se mi§ci1 identic (mi§carea de translatie), at unci mi§carea unui singur punct oarecare al corpului ea.racterizeaza , pe deplin mi§carea intregului corp, indiferent de dimensiunile acestuia, deci putem aplica roodelul punctului material.

~ Daca nu intereseaza masa corpului (in cinematica), punctul material se

nume~s,t_~_ -~~b il.

1.3. TRAIECTORIE. COORDONATE. LEGEA MI~CARII

Curba deserisa de un mohil in timpul mis,earii sale se nume§te traiectorie (fig. 1.2). Jr~iectoria poate fi rectilinie sau curbilinie. ~Traiectoria curbilinie poate fi situata: intr-un plan - mi§care plana (de exemplu, mi§carea circu­lara), sau in spa~iu (de exemplu, mi§carea. u_nui punct periferic al unui §Urub).

Mi~carea rectilinie §i mi§carea circulara sint cele mai simple s,i mai free­vente Ini§cari.

1.3.1. Cazul mi§cirii rectilinii. Pentru a deterifi~na p()zi~i~ corp11Iui i:l)

fiecare moment, alegem pe dreapta mi~c.arii un punct origine 0 ~i un sens _pozitiv. (obtinem astfel ax a. coordonatelor Ox). ~Coordonata .x a corpului este distan~a de }a originea 0 pina }a corp, prevazuta i'U Semnu} plus SaU minus,

f'ig. 1.2. Pal'ticulele atomin· deplasindtHw in 'camera cu eeata determina in drumul lor formarea

· unor pir:'lturi fine de apa (vizibile l& mieroscop prin ilnminare laterala).

9

M' 0 M X I

., 0

~, I ..

:-3 -2~-~ 2 4 5 6

x'=-1,6 x=3,2

Fig.1.3. Pozi~ia mobilului pe traieetoria sa rectilinie este determinata de coordonata sa x. Coordonata este pozitiva daca mobilul se afla de. partea pozitiva a axei (M)

~i este negativi1, daca mobilul este de partea eealalta (M').

_dupa cum corpul se afJa de partea po,zitiva sau de c~a negativa a axB~

(fig. 1.3).

Pentru a descrie mi~carea mobilului pe traiectori~ sa rectilinie trebuie sa, cunoa~tem pozi~ia mobilului in fiecare moment pe aceasta traiectorie, adica co~rdonata sEl x in func~ie d.e timpul t:

X= f(t).

Aceasta expresie constituie legea mi§carii ( ecuatia cinematica a mi§carii).

1.3.2. Cazul mi~carii intr-un plan_. Pentru a determina, pozi~ia corpului ~n fiecare moment, alegem doua axe de coordonate Ox, Oy, perpendiculare intre ele, situate in planul m1~carii. Pozilia M a corpului este data de cele doua coordonate: .x (~bscis~) §iy ( or·dona.ta), ca;re se ob~in ducind din M paralele Ja axele de coordonate (fig. 1.4) .. Prntrli a. descri~ mi~care§. _co~pJJ.ltii (in plan) trebuie sa cunoa§tem coordonateJe sale ~x, y) in func~ie de timpul t, adica douii fu net ii:

Y = fz(t)

(ecua~iile cinematice ale_ mi§carii). Fiecare ecua~ie descrie mi§carea proiectiei mobilului pe axa respectiva sau mi~carea mobilului in direc~ia ·axei respective (de exemplu, spre Est sau spre Nord)~Mi§care~ pia~~ ~-!Jl~bilului se descom­pune astfel in doua mi§cari_rectilinii gupa cele doua axe alese.

Se pot alege §i alte sisteme de coordonate pentru a descrie pozi~ia §i mi§­carea mobilului, de exemplu pozi~ia unui vapor pe ocean este data de coordo-

na-tele sale geografice: latitudinea ·'i longitudinea (fig. 1.1).

1.3.3. Cazul mi~carii in spatiu. A,Iegem un sistem de trei axe de roordonate Ox, Oy Oz, perpendiculare intre ele. Attillci pozipa mo~ilului 1l.f est~ gaUf. de trei coordona te: X (abscisa), y (ordonata) lji'i z~(cota), care se obtin dudnd di~ 2\1 paralele Ia axe, cain figura 1.5. Miljicarea corpului in spatiu este descrisa de trei ecuatit:

(eeuatiile cinematice alf' mh;;carii).

Ele descriu mi~carea corpului in spapu dupa cele trei direetii.

Se pot alege ~i alte sisteme de com·donate pentru a d.etermina pozi~ici mobilulu i in spatju,

10

·~Ji!@.

l

z

y

y

y

X

Fig. 1.4. Pozitia unui mobil in plan este data de cele doua coo~donate ale sale: abscisa x =OM'. f?l or~onata y = M'M =OM". A~se1sa x f?l ordo­nata y se obtin pro1ectind pe ax;e~e de coordonate vectorul de pozl\le

Fig. l.o. Pozitia ~obilului tn spatiu est~ data de cele trel coordonate ale s~le. abscisa x = 01\11, ordonata y = M1M = _OM f?i cota z = M'M = OMa· Covr­donateie x, y, z se obtin proiectind . P,P axele de coordonate vectorul de pozi\IC

--+ ~ --+ ~ . ) r =OM, (x = rcos<X, ,Y =~sm. <X· Proiectiile se obtin ducmd dm virful

. + vectorului de pozi~ie r paralele Ia

axele de ~~oordonate.

1~4. VECTOR DE POZI TIE

r=OM ..

Un alt mod de a preciza pozi~ia unui mobil este ~rmatorul: .alegemtpf el · · · 0 · AI • mobilul M obtmem as e

I d.e referin+a un punct-origine §I I unim cu ' • corpu ~ · · 1 s~gmentul de dreapta orientat OM (fig. 1.4-1.5), numit vector de poz~tte a - ____.. mobilului, r =OM.

El este caracterizat prin: · 0 M segmentului orien-

1) modul (sau marime) dat de lungimea r = a ___...

tat OM; _ _,\_...,, 2) direcfie, data de dreapta definita d~ ~unctele. 0, 3) sen.r, dat de succesiunea 0-M, origine-mobll.

M, ~~

Cunoa~ter~a vectorului de pozi~ie (ca modul directie §i sens) inseamna cunoa~te­rea. p~zitiei in spatiu a mobilului.

De exemplu, o instalatie radar determ~na vec­torul de. pozitie al unui 'obiect-tinta. (aviOn) ~u ajutorul unui impuls de .. unde. electromagnebce (radio) dirijat in spatiu. ~tund viteza de p:opagare

del or (c = 300.000 km/s) ljii masurtnd tlmpul de a un . . a· t + propagare dus-intors a semnalulm, gasim . IS an,.a r pina la obiect. Directia este data de orientarea antenei emitatoare (fig. 1.6).

11

Fig. 1.6. ( ns I ala t ia ~~dar J.e~t!l'· mini\ vectorul de poz1t1e al ob1ec·

tului t•eperat.

In timpul mi~dirii, vectorul de pozi~ie se schimba ca modul ~i orientare, deci este o functie de timp.

Legam de corpul de referinta un sistem ortogonal de coordonate cu ori~ -+

ginea in punctul 0. Daca proiectam vectorul de pozitie r pe axele de coordo-. -+

nate, ducind din virful vectorului r paralele la axe., ohtinem coordonatele x, y ale mobilului (fig. 1.4 ). Conform teoremei lui Pitagora r 2 = x2 + y2

•

1.5. DEPLASARE

1.5.1. Caznl mi~earii reetilinii~ Fie A(x1) ~i B(x2) pozitiile mobilului la momentele t11 . respectiv t2 (fig. 1. 7). Deplasarea mohilului in intervalul de timp /)..t = t2 - t1 este segmentul AB (prevazut cu semn) Ax= Xz- x1 .

Litera A (delta ma.juscula) scrisa in fata unei marimi inseamna variatia acelei marimi, adica diferenta dintre valoarea finala §i cea initiala-

Deplasarea mobilului ln mifcarea rectilinie este variafia coordonatei sale. Deplasarea Ax este pozitiva daca mohilul se mi§ca in · sensul pozitiv al

axei (Ax> 0, x2 > x1) ~i negativa daca mobilul se mi~ca in sensul negativ (Ax < 0) (fig. 1. 7).

1.5.2. Caznl mi~earii plane. Fie A, B pozitiile mobilului Ia momentele t11 respectiv t2 (fig. 1.8). Daca urmarim proiectiile mobilului pe axe, se vede ca A' B' = Lix = Xz- xl, respectiv A" B" = Ay Y2-yl, reprezinta depla­safile in directiile axelor respectiv~.

Unind pozitia initiala A{t1) a mohilului cu cea finala B(t2) ohtinem seg~ --+

mentul de dreapta orientat AB care se nume§te vectorul deplasare al mohi-lului in intervalul de ti:rrip considerat Lit = t2 - t1•

t1.' II t1.

I B M B 0 B A

' . • .

I • • ~ /' 4

;. X

-3 -2 -1 0 1 2 x=3,6

_a II , i

A' B A BO B A X

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

b Fig. 1.7. Deplasarile AB, A' B', A;' B" ale mobilului M irt eazul ~a) sint pozitive (mobilul se mi~ca in sensul pozitiv al axel Ox), in cazul (b) s!nt negative (mobilul se mi~ca in sensu! negativ al axei Ox).

12

y

B

--+ · Fig. 1•8• Vectorul deplasare al mobilulJii ~ -+ -+ -'l-AB = fu- = rz. _ ri are drept compo-

Fig. ·1.9. Deplasarea rezu1.tanta AC este suma vectoriala a deplasarllor componente

~ __,.. AB l?i BC. nente deplasarile pe axe. b.x .= Xz ~ ~1.

b.iJ = Y - Yl care se o~tm prm proiec\Ie, dudnd din originea A ~~ vlrful B paralele

la axele de coordonate.

El este caracterizat de modul (lungimea segmentului AB), directie (data de

dreapta care trece prin A ~i B) §i sens (de la A la B). • --+ . d A d

Daca proiectam vectorul deplasare AB pe axele de coordon~te, uci~a

d. · · . A 81· di·n virful B paralele la axele de coordonate, obtm.em dep -In or1g1nea • _

sarile pe axele de coordonate:

A "B" Ay A'B' =Ax Xz- Xt, = .u.

F. b"l re se misca pe o traiectorie curbilinie oare.care (fig. 1.9)

~ Ie un mo I ca. . . . , . . I t -t D lasarea in · r· A B c· pozitiile sale succes1ve la momente e t1, 2, a· ep Sl le , , ,

~ 1 1 d t' (f t ) este vectorul AB iar in intervalul de timp (tz, ta) Interva, u e Imp 1, 2 '

~ t d 1 ea globala~' sau rezultanta in intervalul de timp este BC. Ca.re es e ep asar ,

(t1, ta)? Evident, este vectorul AC, care se oh~ine unind originea pr~ei deplasari

· s ca" vectorul deplasare AC este suma cu virful ultimei deplasari. e ~pune --+ ~

vectorilor deplasare AB §i BC: --+- --+- --+ AC , AB + BC. (1.1)

De exemplu un avion ·se deplaseaza de la Bucure§ti Ia Pite§ti AB 105 km §i ap~i de la Pite§ti la Bra§OV BC = 100 km. Deplasarea rezul-

tanta Bucure§ti-Bra§OV este AC = 140 km.

, Se vede ca marimea deplasarii rezultante AC nu se ob~ine prin simplii

adunare aritmetica a marimilor deplasarilor AB §i BC, ci dupa regula geomec

tri('a de mai sus.

13

1.6. M ARIMI VECTOR tALE

Marimile caracterizate prin modul, direc~ie §i sens ·(a~a cum este de exem­plu, vectorul deplasare) se n~mesc marimi vectoriale sau vectori. Ele se r-epre­zinta, conven~ional, la o anumita scara, priri segmente orientate (analog vectorului deplasare). Marimile caracterizate doar printr-un numqr (pozitiv sau negativ) se numesc marimi scalare sau scalari, de exemplu, timpul, masa, temperatura, densitatea.

1.6.1. Adunarea 'Veetorilor. Vectorii se aduna dupa regula geometrica ~ ~

data la. vectorii deplasare. Pentru a ad una doi vectori a §i b ii desenam (la o anumita scara) ·unul cu originea in extremitatea caluilalt §i unim originea primului vector cu virful celui de-al doilea. vector ·(fig. 1.10);· Acest vector de inchidere va da suma celor doi vectori.

~

paca in figura 1.10 ducem din originea priinului vector a un vector paralel ·-?

~i egal cu vectorul b, ob~inem un paralelogram a carui diagonala reprezinta · suma celor doi vectori. De aici rezulta:

Regula paralelogramnlni. Suma a doi vectori este data de diagonala pa- · ralelogramului construit cu cei doi vector·i· ,~omponenti ca laturi, avind origine comuna.

. Din aceasta construc~ie se vede ca suma vectorial a este comutativa:

~ ~ ~ ~

a+ b = b +·a. (1.2)

Daca avem mai mul~i vectori suma lor se ob~ine aplicind succesiv regula paralelogramului. Acela§i rezultat se ob~ine direct cu ajutorul regulii poli­gonului.

Regula poligonnlni. S uma mai multor vectori este data de Zinia de inchidere a co~turului poligonal construit cu vectorii componenti (fig. 1.11).

Apllcind regula paralelogramului sau cea a poligonului pentru trei vee­tori, ne convingem ca adunarea vectorilor este asociativa:

~~~~ ~-)o

(a + b) + c = a + {b + c). (1.3)

Orice diagrama de compunere a doi vectori (de exemplu, cea din fig. 1.10) poate fi privitA ~i ca o descompunere a unui vector in doi v~ctori compo-

l''ig. 1.10. Vectorii se adunii dupii regwa paralelogramului~

I d

Fig. 1.11. Suma mai multor vectori este datA de linia de tnchidere a conturului poligonal construit cu vectorii componenti.

nen~i. In adevar, orice vector poate fi descompus dupa...,doua direc~ii arhit.rare coplanare cu vectorul dat (sau dupa trei direc~ii arbitrare in spatia), deci poate fi inlocuit cu vectorii componenfi. Pentru aceasta ducem prin originea §i prin virful vectorului dat drepte pa.ralele cu direc~iile date (fig. 1.12). Se formeaza astfel paralelogramul de compunere a vectorilor.

~ .

Astfel, de exemplu, vectorul de pozi~ie r din figura 1.4 are drept vectori _.. _.. componen~i pe 0 M' ~i 0 M" :·

-~ _.. _.. ~ _.. _.. r=OM=OJU'+M'M=OM'+OM". Analog in spa~iu (fig. 1.5): ~ _.. _.. -4- -4- _.. ___., _..

r =OM..:_ OM1 + MiM' + M'M = OM1 + 01~12 + OMa.

1.6.2. Seaderea veetoritor. Daca modulul unui vector se reduce la zero, se oh~ine vectorul zero (nul), notat cu 0, ca ~i'numarul zero; directia vectoru­lui zero ramine nedeterminata. De exemplu, daca adunind ma(multi vectori linia poligonala se inchide, suma vectorilor respectivi este zero. In parti­cular, daca adunam doi vectori egali in n10dul, de aceea~i diree~ie dar de sensuri opuse, oh~inem vectorul zero. De aici se vede ca oridirui vector nenul ~ ' ~. ~

a ii corespunde un vector opus a' = -a, de acela~i modul, de a,cee~H~i

Fig. 1.12. Descompunerea unui vee-~

lor a dupA doua directii date D 1, D 2 ~

roplanare eu vectorul dat a. a b

15

AI b ~--~

tlt-____ _

I ' I '

I ' I '

I ' I '\

-b Fi~. 1.13. Scaderea vectorilor: difertmtil eslf' data de cealalta diagonala a paralelo.

gramului.

diteqie dar de sens opus~ care pr·m adunare cu primul da vectorul zero:

~ ~ -+ -+ -+ a a' = a + (-a) = a - a 0.

Aeum ;putem defini scaderea vee-

tori1or: -+ •

a sciidea un vector b dintr-un -+

vector a, inseamna a aduna la a vecto--+

rul opus- b:

-+ -)- -+ -+ a - b = a + (-b). (1.4)

Din figura 1.13 se.: vede ca diferen~a a doi vectori este data de cealalta diagonala a paralelogra.mului construit cu cei doi vectori .drept Iaturi.

Pentru a ohtine diferenta a doi vectori, ii tra.sam cu origine comuna ~i

unim virfurile lor, orientind sageata spre vectorul descazut. Ducindin figura 1.8 ' -+ ~ ~

vector-ii de pozi~ie r1 = OA, ~ = OB, se vede imediat, conform. regulii de sea-. ~

dere vectoriala, ca vectorul deplasare AB este egal cu diferenfa vectorilor de ••• -~~~"~-+-+

poz1~1e a1 punctelor A, B, anume AB = OB- OA = t 2 - r1 = ar, adica vei:torul deplasare este egal cu variafia vectoru1ui de pozitie. Prin varia~ia unui vector se in~elege (la fel ca pentru un scalar) diferenfa - binein~eles vecto­riala· - dintre valoarea finala si cea initiala. , ,

Un vector este constant (in timp) daca nici modulul, nici direcfia ~i nici sensu! sau nu se schimha in timp: Varia~ia unui vector constant este nula ..

1.6.3. Componentele nnui vector. Daca proiectam ortogonal un vector -+ ~

a = A B pe o ax a 0 x, · coborind perpendiculare pe ax a din originea A ~i din virful B al vectorului (fig. 1.14), ob~inem un segment A' B', orientat in sensul

pozitiv al axei Ox, daca unghiu1 a format de vectorul; si axa Ox este ascutit . . ' · ~i orientat in sensu! negativ al axei, daca unghiul este obtuz. Lungimea aGes-

tui segment prevazuta cu semnul plus, respectiv minus, se nume~te compo--+

nenta ax a vectorului a pe axa Ox: ax (±) A' B'.

-+ Componenta unui vector ape o axa Ox este data de formula:

-+ -+ a cos a unde a = I a I, a = .-1:: (a, Ox). (1.5)

Cmnpanenta pe axa Oy va fi ay = a cos ~ = a sin a (o cateta este egala cu ipotenuza inmul~ita cu cosinusul unghiului alaturat sau cu sinusul. unghiului opus).

Componenta este nula daca vectorul este perpendicular peaxa (a = 90°) ~i este ±a, daca vectorul este paralel cu axa (respectiv oc = 0 sau 180°).

16

y

Fig. 1.14. Componentele unui vector pe axele de coordonate.

-+ -+ -+ Daca adunam doi vectori a + b = c §i proiectaro vectorii pe o axa,

ob~inem aceea§i egalitate §i pentru oomponentele lor: ax + hx = Cx (fig. 1.15). In general, orice suma de vectori poate fi proiectata pe o axa oarecare ~i

se ob~ine o sum a corespunzatoare pentru coroponentele vectorilor:

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ a = a1 + az + ... + an ~ pr · a = pr. a1 + pr. az + ... + pr. am

ax = a1x + a2x + ... + anx· (1.6)

Proiecfia rezultantei este egala cu suma proiecfiilor vectorilor componenfi sau. componenta pe o axa a. rezultantei este egala cu suma componentelor pe acea axa a vectorilor componenfi. .

Desigur acelasi rezultat se obtine si in cazul diFerentei a doi vectori. , , , J• ' .~ -+ -+ -+

Astfel, compon~ntele vectorului deplasare AB = llr = r2 - r1 pe axeie de coordona.te sint deplasarile pe axe: ax = x 2 - x1, Ay = Yz - Y1 (fig. 1.8). Orice egalitate vectoriala da prin proiectare pe a~ele de coordonate egalita~i algebrice pentru componentele vectori]or.

l<'ig. l.U). Proiectia sumei a doi vectori este egala cu suma pro­

iectiilor ee1or doi vectori.

2- Fizlca cl. a IX-a

y c

17

-+ Prin urmare orice vector a este caracterizat prin ansamblul componentelor

sale (ax, a11

, az) intr-un anumit sistem de coordonate.· Schimbind sistemul de eoordonate, se schimba 'i componentele vectorului, spre deosebire de un scalar a ~carui valoare nu depinde de alegerea sistemului de coordonate.

1.7. VITEZA

1.7.1. Mi~carea reetilinie. Pentru a putea compara mi~carile intre ele trebuie sa comparam deplasarile mobilelo~ efectuat~ in acel0-$i interval de timp ~i anume in unitatea de timp (secunda.). Cu'noscind deplasarea Ax efectuata in intervalul de timp At, pentru a afla deplasarea ce revine (cores~ punde) unita~-ii de timp trebuie sa tmpar~im Ax la At. Ob~inem astfel viteza medie a mobilului in intervalul de timp considerat:

Vm = D.x = Xs - Xi = deplasare • ( 1. 7) D.t t2 - t1 durata

Viteza (1.7) are acela§i semn ca ~i deplasarea, deoarece At = t2 - t1 este totdeauna. pozitiv. Viteza este pozitiva daca mobilul se mi§ca in sensul pozi­tiv al axei (ax > 0, Vm > 0) §i este negativa daca mobilul se mi§ca in sensul ~egativ al axei (Ax < 0, Vm < 0).

BXEMPLU

Un biciclist pleaca din Ploie~ti (x1 = 60 km) la ora t1 = 8,0 h ~i ajunge la Sinaia (x

2 = 127 km) la ora t2 = 13,0 h. Viteza medie pe 'aceasta distanta D.x = x 2 - x1

· = 67 km san pe intervalul de timp respectiv D.t = t2 - t1 = 5,0 h este Vm = D.xf b.t = 67 km/5,0 h = 13,(1; kmfh. Dar biciclistul n-a mers tot timpul cu aceasta viteza. La lnceput a mers probabil mai repede, apoi mai incet. Cind a oprit sa se odihneasca viteza a fost zero; dadi a pierdut ceva ~i s-a in tors, viteza a fost negativa. Viteza medie calculata pentru alte intervale de timp sau pentru alte distante (de exemplu, Ploie~ti~Cimpina, Breaza-Comarnic) a fost alta. Pentru a afla viteza la un moment dat t sau intr-un anumit punct x al traiectoriei, de exemplu, viteza biciclistului la Baicoi, in dreptul bornei kilometrice x = 80 km, vom masura viteza medie a biciclistului pe o distanta mica~ de exemplu, D..x =.10 m in vecinatatea bornei kilometrice respective. Luind o distanta ~?i mai mica, !lx = 1 m, l?i folosind un ceas electric vom gasi o viteza foarte apropiata de viteza biciclistului in momentul dnd. trece prin punctul x = S<Y km.

Prin urma,re, in intervalul At pentru care calculam viteza medie, mobilul poate merge mai repede sau mai incet pe subintervale mai mici. Pentru a a.fla viteza la un ·moment dat t cind mobilul trece prin punctul P(x) putem p~o­ceda astfel:' consideram un moment t1 apropiat de t cind rnobilul trece prin A ( x1) 'i calculam viteza medie

Xt- X PA Vl=--- = --

11 - t ll - t

18

C 8 A ------------------------------~------~----~x

p D 0 x x4 x3 x2 x1 t t4 t3 t2 t1 t

}~ig~ 1.16. Vi.teza ~omental}a la. momentul t cind mobilul trece prin punctul P(x) se obtme calcuhnd v1teza med1e pe mtervale de timp din ce in ce mai scurt" · t - t t -t t t t A d b 'l 1 t 0

' {J

0 1 t

2 t s - e c., ~~~ ~o 1 '! rece P!lll P':lnctele A, B, C, ... Cit mai apropiat,e de P, deci pentru

deplasar1 dm ce m ce ma1 m1c1: PA = x 1 - x, P B x 2 - x, PC= x 3 - x ...

(fig. 1.16). Aceasta nu reda inca exact viteza din P la momentul t, deoareee pe segmentul PA in timpul t1 - t mobilul poate sa-§i schimbe viteza. Daca luam insa momente t2, ta, t4, etc. din ce in ce mai apropiate de momentul t ( deci intervale At din ce in, ce mai mici), cind mobilul se afla respectiv in punctele B(x2), C(xa), D(x4) etc. din ce in ce mai apropiate de punctul p ( deci deplasari Ax din ce in ce mai mici) §i calculam vitezele medii corespun-zatoare: .

V2 = Xz- X Va = Xs- X V4 = X4- X etc. ~-t ~-t ~-t

ob~inem valori ·care se apropie din ce in ce mai bine de valoarea vitezei. Ia mo~ent~l t cind mobi~ul .trece prin P. Aceasta viteza, care se ob~ine pina Ia urma pr1n procedeul 1ndwat, se nume§te viteza momentana sau instantanee sau pe scurt, viteza: '

b.x A d a • i\ A f • • V = D..t Cln X §l u..t Slnt oarte ffilCl ( descresc catre zero). ( 1.8)

F~gura 1.17 ilustreaza un experiment pentru situa~ia din figura 1.16. V1teza momentana difera in general de la un moment la altul, cum este

de exemplu in caderea libera a unei pietre. La vehicule ea este indicata per-manent de vitezometru. ·

.., .o~servam c~ ~n (1.8~ viteza momentana v se ob~ine ca un raport a doua ~ar1m1 foar~e m1c1 .ax ~I At care descresc simultan catre zero (se spune: tind catre zero §I se Serle: Ax -+- 0 ' at -+- 0). De§i ax §i at descresc fiecare catre zero, raportulior axjf:t.t nu devine in general zero (viteza momentana nu este in general nula). Vom conveni sa notam in cele ee urmeaza raportul a doua vari~~ii foarte rnici, care descresc catre zero, inlocuind simbolul varia~iei A cu simbolul d, astfel de exemplu ( 1.8) se scrie: -

dx v=-,

dt adica ·v = !lx cind At -+ 0 (at unci ~i Ax -+- 0) ·

~~ . (1.9)

J•~ig. 1.17. Viteza momentana a unui camion, in momentul t cir\d el trece prin punctul P, se poate d.etermina calculind viteza medit> pe distante din ce in ce rna i mici: PA, PB, PC, PD, ... Cronometrul este porn it ~~ opr it cind camionul calca cablurile,

respec~ive. '

~- P ·/--/-~,~78 A______,_._

~~~I It? If L- I

, fy tl --------- ''-l- f.!- ----• 1/ ,J7 .H

pormrea- I'"' .., - · cronometrului ;,~.:-.:---- ..._opnrea . e cronometrulUJ

19

Conform procedeului descris, cunoscind legea mi~carii .X = f(t) {adidi ecuwa~ia ~ine­matica a m~carii), putem calcula viteza (II\Omentana). tn adevar, sa calculam v1teza mobilului la moroentul t. Pentru aceasta sa consideram un moment apropiat t' = t + ll.t· Calculam coordonata mobilului pentru acest moment t' : x' = f(t') = f(t + ll.t). Calculam deplasarea respectiva ll.x = x' - x = f(t + ll.t) - f(t), o raportam Ia intervalul de timp respectiv ll.t = t' - t ~i facem a poi ca ll.t sa descreasca catr..e zero ( ll.t __. 0).

EXEMPLE

1. Fie Iegea mi~carii x 2t2 - 3. Calculam x' .= 2t'2 - 3 = 2\t + ll.t) 2 - 3. Calculam deplasarea ax= x'- x = 2(t + ll.t)2 - 3- (2t2 - 3) 4tll.t + 2(!1t) 2 ~i o rapor-tam Ia ll.t:

ll.x = 4tll.t + 2(!1t)2

= Itt+ 2 ll.t. ll.t ll.t \,

Facind acum pe ll.t sa descreasca (sa tinda) catre zero (ll.t __,. 0), ultimul termen se anuleaza ~i obtinem viteza (momentana):

2. Mai general, fie legea mi~carii

dx v =-=Itt.

dt

X = At2 + Bt + c' unde A, B, C slnt ni~te constante (numere). Calculam· coordonata x' pentru momentul t' = t + ll.t:

(1.10)

x' = A(t + !1t)2 + B(t + ll.t) + C = At2 + 2Atll.t + A(·ll.t)2 + Bt + B ll.t + C,

de unde deplasjlrea ll.x x' - x = 2Atl:it + B ll.t + A(ll.t) 2 :;;i viteza medie

l:ix A Vm = - = 2At + B + ll.t.

!:it

(1.1'1)

Facind acum !:it __. 0 ultimul termen se anuleaza :;;i viteza devine: ' dx -

v =- =2At +B. dt

Prin urmare daca Ie(J'ea. mi~carii este data de un polinom de gradul II in timp (functie patratica de' timp) (~.10), viteza va fi un pol~n?m. de gradul I in timp (functie liniari1 de timp) (1.11). Vom folosi acest rezultat ma1 tirzm.

3. Fie legea. mi~carii

x At+ B, unde A, B sint constante. (1.12)

Calculam coordonata x' pentru t' = t + ll.t ~i a poi deplasarea l:ix = x' - x:

x' =At'+ B ·= A(t + !:it) + B; ll.x x'- x = A~t.

Viteza medie

ll.x dx ( ) vm = - = A = const = v. 1.1 ;.{ !:it dt

Nici nu este nevoie sa descre~tem pe ll.t catre zero, deoarece raportul este constant; viteza medie este constanta ~i coincide ru viteza momentana - mi~carea se nume~te rectilinie u,niformd.

20

1.7.2. Mi~carea plana. (Analog se studiaza mi~carea in spatiu:-) Cunoscind ecua~iile mi~carii x = f1(t), y = f2(t), putem calcula, exact ca n1ai sus, vitezele medi~ ~i momentane ale mobilului in. directiile axelor de coordonate. N otam vitezele respective cu un indice corespunzator axei:

l1x Vxrn = -'

D.t l:l.y

Vym = ·-· • !J.t

(1.14)

Daca luam intervale At din ce in ce mai mici, descrescind (tinzind) catre zero. At __. 0 (at unci ~i A;c __. 0, fly __. 0), ob~inem vitezele momentane:

dx Vx = -:---,

dt

dy .. Vy =-.

dt (1.15)

Pe de alta parte, deplasarile Ax §i !l.y sint componentele pe axe ale vee--+

torului deplasare Ar (fig. 1. 8). Daca impartim vectorul deplasare la intervalul de timp (care este un scalar), ob~inem vectorul viteza medie:

___. -+ -+ AB ll.r Vm=~. = -.

ll.t !:it (1.16)

Vectorul viteza medie are directia §i sensu! vectorului deplasare, ~ar modulul egal cu modulul vectorului deplasare impar~it la intervalul de timp. Compo­nentele 'vectorului viteza (1.16) pe axe sint tocmai vitezele (1.14) ale proiec­tiilor ~obilului.

1.7.3. lnmultirea vectorilor en sealari. Daca ad.unam un vector a cu el insu~i ob~inem un vector de aceea§i direc~ie §i acela§i sens, dar de modul

-+ -+ -+ dublu, ~eea ce se scrie astfel: a + a _: 2a. La fel pen.tru mai mul~i vectori:

-+ -+ -+ -+ __,...

a + a + a + ... + a = n · a. (1.17) de n ori

Daca punem a cum:

-+ -+ ( -1) · a = -a §1 0 · a 0, ( 1.18)

obtinem prin generalizare regula inmul~irii vectorilor cu numere reale (cu scalari).

-+ Prin inmulfirea unui vector a cu un numar real r se ob~ine un vector

/ -+ -+ -+ -+

ra = ar de modul I r I · I a I §i de aceea§i directie cu a; sensu! va fi acela~i -+ -t

cu a daca r > 0 ~i opus lui a daca r < 0 (fig. 1.18) . -+

A impar~i un vector a la un numar real p =F 0 inseamna a-1 inmulti cu .... I 1 numaru -:

p

-+ a 1

p p

21

-+ .a,

.. a

I I I I ___...,

i 1.. • -= -a=0,5a 2 2

2t

....... -a

...

-~a=-1 s-a 2 I

Fig. 1.18. lmnultirea ~i tmpar\irea vectorilor cu numere (cu scalari).

a die~ modulul vectorului dat se imparte la I p 1 , direc~ia nu' se schimba, iar sensul ramine acela~i daca p > 0 §1 se inverseaz~ dac~ p < 0. In cazul vitezei (1.16), At este totdeauna pozitiv!

lnmul~irea vectorilor cu scalari este asociativa §i distributiva:

-+ -+ -+ ' -+ -+ -+ -+ -+ -~

m(na) = (mn)a, (m + n)a = ma + na, m(a + b) = ma + mb. (1.20)

~.7:4. Vectorul viteza. In cazul mi~carii curbilinii vectorul deplasare -+ ~ -+ -+

Ar =. AA' ~i vectorul viteza medie Vm= ArjAt, pentru un interval oarecare, · au direc~ia secantei AA' Ia traiectorie (fig. 1.19). Pentru a ob~ine viteza momentana intr-un punct A al traiectoriei trebuie sa luain un interval At =

= t' - t foarte mic, descrescind catre zero, atunci punctul A' se apropie de A, iar· secanta AA' se rote§te bt jurul punctului A (AA'~ AA" etc.) pinit ctnd devine tangenta la traiectorie (cfnd punctele A, A' se confunda), deci vee­torn! viteza momentana

-+ -+ dr v =-,

dt

-ad • v llr .. nd A 4 O tea- C£ LU -+ , ' dt '

(1.21) '/

este tangent la traiectorie in punctul considerat, adica ·are direc~ia tangentei Ia traiectorJe ~i sensul dat de sensul mi§carii mobilului tn acel moment.

Proiectind punctul m11terial pe axele de coordonate, mi§carea sa curhi-

- -+ -.lirHe tn spa~iu r = f(t), v = drfdt se descompune in mi§cari rectilinii dupa \lA.ele de coordonate, descrise de ecua~iile cinematice ale mi§carii: x . · f1(t),

Vx

22

Fig. 1.19. Vectorul vitez~ medie . -+ -

vm = llrf llt are directia secantei la tra-iectorie: AA'. F~ch1d pe ill = t' t sa descreasc~ catre zero, punctul A' se apropie de A {trectnd prin A" etc.), secanta se rote~te in jurul lui A ~i de­.vine tangenta la traiectorie, deci vectorul

-+ -+ viteza (momentan~) v .= drfdt estr tangent Ia traiectorie tn fiecare moment :;;i are sensul dat de sensul mi~dirii.,

y = {2(t), z = (3(t). Vitezele mi~cari~or componente sint componentele vectoru-

~ ...

lui viteza v(vx, v11 , v:z) al mobilului . In cazul plan, aplich)d teorema lui·

Pitagora, avem r 2 = x2 + yz, v2 = v; + v;. ln cazul mi~carii rectilinii vectorul de-

-l- ~ _.,..

plasare !).r !?i vectorul viteza vm = l~.rf ~t, _.,.. ~

IJ

0' _....or-. \

\ \ \

~

v drfdt sint situati chiar pe dreapta mi~arii; in locul figurii 1.19 vom av~a figura 1.20. Aleg!nd dreapta mi~carii, d~ept axa 0' x' !?i

Fig. 1.20. l.n cazul mi~carii rectilinil, _.,..

vectorul deplasare llr ~i vectorul viteza -+ -+ _.,.. -+

-+ _.,..._ -+ Vm = llrf llt, respectiv v = drfdt, slnt proiectind pe aceasta axa vectorii Ar, Vm, v, chiar pe dreapta mir;;dirii O'x'. Proiee-obtinem deplasarea llx', respectiv viteza vm = tati pe aceasta . axa, ei dau ~x',

~x'f llt, v = dx'fdt a~a cu,m le-arn definit Vm = ~x'f ~t, v = dx'fdt. in § ·t 7 .1. Observam ca pentru un vector paralel . r~1 o axa, componenta (proiectiaLsa pe acea axa este egala cu plus sau minus modulul vectorului, dupa cum acesta este orteu.tat in sensu} pozitiv sau negativ al axei.

Dadi vectorul viteza este constant, mi§carea este rectilinie uniforma (numita pe scurt, uniforma).

1.8. ACCELERATIA

In general _vectorul viteza se st5himha in timpuln1i~carii, a tit in modul­daca mohilul merge mai repede san moi incet pe traiectoria sa, cit ~i ca direc­(ie - daca traiecivl'ia este curbilinie.

0 aceea~i Va!'ia~ie ..._ vectorului viteza se poate produce intr-un timp mai lung san mai scurt. Pent:ru a compa.ra neuniformitatea diferitelor mi~ca'ri

trebuie sa calculam varia~ia de viteza in acela~i interval standard de timp . (unitatea:de timp). De aceea, vom impar~i varia~ia vitezei la interva,lul Je

timp in care ea s-a prod us, pentru a afla varia~ia vitezei care revine (cores­j.>nnde) unitatii de timp.

1.8.1. Acceleratia In mi§carea rectilinie. ln cazul mi~carii rectilinii, accelerafia medie (in intervalul de timp At) este

am = ~v = v2 - v1 =. variatia vitezei • (1.22) ll.t t2 - t1 intervalul de timp

Ea poate fi pozitiva san negativa dupa semnullui Av. Accelera~ia medie caracterizeaza varia~ia globala a vitezei in 1ntervalul

At, dar pe subintervale de t._imp mai scurte varia~ia vitezei poate fi diferita. Pentru a caracteriza varia~ia vitezei ,Ia un moment dat", vom calcula raportul (1.22) pentru intervale At din ce in ce mai mici, descrescind catre zero, ~i vom ob~ine astfel accelera~ja momentana (san instantanee):

a =" ~·ij dnd At -+ 0 adica a = ~ . CJ.t dt

(1.23)

23

De exemplu, fie legea vitezei: v = 2t - 5 .. Calculam viteza v' Ia momentul apropiat t' = t + flt, anume v' 2t' - 5 = 2{t + flt) - 5. Calculam acum variatia vitezei flv = v' - v = 2(t + flt) - 5 - (2t- 5) = 2 flt ~i o raportam Ia intervalul de timp flt : am = flvj flt = 2, deci am este constanta ~i coincide cu acceleratia momentana. Mai general, dadi Iegea vitezei este v =At + B, unde A, B sint constante, rezulta am = a = A ~i mi~carea se nume~te rectilinie uniform variatd ...

1.8.2. Veetornl aeeeleratie. ln cazul mi§carii in spafiu, daca impar~im -+

varia~ia vectorului viteza Av (fig. 1.21) la intervalul de timp At in care s-a produs, ob~inem varia~ia medie a vectorului viteza pe unitatea de timp, numita vectorul accelerafie ?ftedie: "

-+ -+ ;m = flv = v2 - v1 = variatia vectorului viteza ( 1.24)

At t2 - t1 intervalul de timp

El caracterizeaza global (in medie) varia~ia vectorului viteza in intervalul de timp considerat. Dar in subintervale de timp mai mici varia~ia poate fi dife­rita. La fel ca in cazul vitezei medii §i vitezei instantanee, luind un interval de timp foarte mic (care descre§te catre z~ro), ob~inem vectorul accelera~ie

momentana (sau instantanee), numit pe scurt vectorul accelera~ie. Vectorul acceleratie (momentana) este varia~ia vectorului viteza calculata

pentru un interval de timp foarte scurt in jurul momentului care ne intere­seaza §i impar~ita la ·acest interval (pentru a ob~ine varia~ia care revine uni­tatii de timp):

-+ -+ -+ flv A ·d. A O d" ... -+ dv a = cin ut -+ , a ICa a = - .

flt dt (1.25)

-+ -+ Accelera~ia medie am are direc~ia §i sensu} vectorului A.v (fig. 1.2~). Cind

-+ n descre§tem pe A.t catre zero, vectorul a ob~inut poate diferi, in general,

-+ -+ -+ putin de am (a§a cum Vm are direc~ia secantei, iar v are direc~ia tangentei la traiectorie).

0 b s e r v a ~ i e. Din figura 1.21 se vede ca vectorul accelera~ie este totdeauna indreptat spre ,interiorul" traiectoriei, adica spre partea concava

\ \ \ \ \ ~ /

\ /

\,~/ A1"

traiectoria

24

Fig. 1.21. Variatia vectorului -+ -+ -+

viteza D.:v :::;:= v2 - v1 in inter-valul ae timp . flt = ta - tll

vectorul acceleratie medie -~ -+ am = b.vf l::!,.t ~i aeceleratia

-+ -+ momentana a = dvfdt.

a curbei, in sensul in care deviaza virful vectorului viteza cind mohilul se misca pe traiecto:·ie. Vectorul accelera~ie este paralel cu vectorul vitezei numai in ·cazul mi~arii rectilinii, cind numai modulul vitezei variaza, direc~ia rami-nind neschimbata.

Subliniem inca o data ca acceleratia caracterizeaza sa u masoara variatia vectorului viteza ( calculata, pentru unitatea de timp) §i nu viteza raportata la timp. Daca vectorul viteza este constant, nu variaza, nu avem accelera~ie, indiferent de valoarea vitezei. Accelera~ia momentana poate fi nenula, chiar daca in acel moment viteza este nula.

Analog ca pentru vectorul viteza, componenta vectorului accelera~ie pe

0 axa reprezinta accelera~ia mobilului in dire~lia acelei axe §i este egala cu accelera~ia cu care se mi§ca proiec~ia mobilului pe acea axa, de exemplu:

ax = . Avx §i ax = d-Vx (adica AVx cind At -+ o) . ( 1.26) m At dt flt

-+ ln cazul particular al mi§carii rectilinii, varia~ia Av, calculata pentru un

interval At suficient de mic, deci §i vectorul accelera~ie, este in acela§i sens cu vectorul viteza, daca modulul vitezei cre§te (mi§care accelerata) §i este in sens opus vectorului viteza, daca modulul vitezei scade (mi§care incetinita)

(fig. 1.22). . Accelera~ia (L22-1.23) definita mai sus in cazul mi§carii ·rectilinii repre-

-+ -+ -+ -+

zinta componenta vectorului accelera~ie am = Av/ At, a = dvfdt pe dreapta mi§carii Ox §i este pozitiva daca vectorul accelera~ie este orientat in sensul pozitiv al axei. Mi§carea .este accelerata,daca viteza v §i accelera~ia a au acel~i semn,§i lncetinita, daca l;lU semne opuse.

EXE:M:PLU

Un tren care se mit?ca cu viteza de 90 kmfh este la un moment dat frinat astfel inctt in 20 secunde viteza sa scade la 18 kmfh. Sa se calculeze acceleratia medie tn aceasta mi~care tncetinita. Rezolvare. Alegem sensul pozitiv pe traiectorie tn sensul mi~carii (al vitezei). Atunci v

1 = {-90 kmfh = 25 mfs, v2 = +18 km/h = 5 m/s ~i acceleratia medie:

v2 - v1 5 - 25 m/s am -1m/s2•

At 20 s

Semnul minus arata ca vectorul acceleratie este orientat tn sensul opus sensului pozitiv ales ~i cum vi~eza este pozitiva, semnul este in concordanta cu caracterul iRcetinit al mi~carii (v > 0, a < 0}.

0 b s e r v a ~ i i. 1. ln cazul mi§carii rectilinii, semnul vitezei v §i semnul accelera~iei a depind atit ·de sensu! mi§carii mobilului, cit §i de sensul ales pozitiv pe axa m~carii. Daca schhnbam sensul pozitiv pe axa mi§carii, atit v cit §i a i§i schimha amindoua semnuJ ,(de aceea caracterul accelerat sau ince­tinit nu depinde de sensul ales pozitiv pe axa mi§carii).

25

A ... Ai

~ v1 0 ;.

·V. 2

a

A

¥2 ><! AV

b

v2 ..

..;.. v1 B -v2 ..

...

f'ig. 1.22. In mh;;carea rectiliniP accelerata vectorii viteza si aceele­ra1.ie au acelal?i sens 'a)', iar . .Jn miscarea incetinita · ei au sensuri

' opuse (b). e

· Aproape totdeauna se alege sensul pozitiv pe axa mi§carii in sensul vitezei (al mi§carii); in acest caz a > 0 inseamna accelerare ~i a < 0 inseail).na frinare.

2. ln cazul mi~carii rectilinii, accelera~ia medie, conform fo;mulei (1.22) ne arata cu cit variaza in medie in unitatea de timp (1 s)' viteza corpului (pentru fiecare secunda din intervalul de timp ll:t pentru care a fost calculata acea accelera~ie medie). ln adevar, din (1.22) avem ll:v = am ll:t ~i pentru At= 1 s, rezulta Av = am. De exemplu, daca acceler-a~ia unui tren este a = 2,0 m/s2, inseamna ca viteza sa cre§te in fiecare secunda cu 2,0 mfs. Carac­terul accelerat sau incetinit depinde ~i de semnul vitezei: daca v > 0, trenul este accelerat, daca v < 0, el este frinat:Doar semnul.accelera~iei singur nu ne spune inca despre caracterul accelerat sau incetinit al mi§carii. .

lata inca un exemplu. Daca vectorul accelera~ie al unui lift este indreptat in sus, aceasta inseamna fie pornire accelerata in sus fie frinare la coborire. Daca. vectorul acceleratie al liftului este indreptat in jos, aceasta inseamna fie pornire accelerata in jos fie frinare la urcare.

Exemple de acceleratii. Acceleratia gravita~ionala de cadere libera a corpu­rilor pe suprafa~a pamintului g = 9,8 mfs2

, pe suprafa~a Lunii 1,62 mfs2, pe suprafa~a Soarelui 271 m/s2

, pe Marte 3, 77 mfs2• Accelera~ia unui electron intr-un atom de hidrogen Q,9 · 1022 mjs2

• Un .om suporta in mod acceptabil accelera~ii pina Ia de cinci ori accelera~ia gravita~ionala~

1.9. CLASIFICAREA MISCARILOR PUNCTULUI MATERIAL

- 4 reetilinie uniforma v. = .const. (a = 0) (pe scurt: uniformc1)

uniform aceelerata .1

rectilinie <uniform variata ( . , · · . a = const. umtorm 1ncetinH&

rectilinie variata : Mi~carea a ¥= 0 punctului\ · neuniforma material a variabil

curbilinie uniforma

curbilinie( 1-; 1 = const. (de ex. circularA uniformA)

'- curbilini~ neuniforma.

26

1.10. RELATIVITATEA MISCARII MECANICE

Am vazut ca no~iunile de repaus .~i de mi§care nu au sens decit relativ Ia un sistem de referin~a. Acela§i lucru este vaJabil §i pentru traiectorie, adica nu numai viteza, ci §i forma traiectoriei de inde de sistemul de refe­rinta a es. Uneori in Ioc de s1stem de referin~a se spune ,o])servator", fiindca totdeauna un observator studiaza fenomenele fa~a de un sistem de referin~a legat de el (sistem de coordonate, rigla ~i ceasornic) §i reciproc, putem con­sidera cii in oricare sistem de referinta se afla un observa,tor care studiaza fenomenele.

Pentru exemplificare se considera un observator aflat intr-un vagon, -+

ce se misca orizontal cu viteza constanta v. Observatorul tine in :mina un obiect. P•entru observa,torul din tren obiectul este in repaus, traiectoria se reduce Ia un punct, deplasarea §i viteza sint zero. Pentru observatorul de pe

4

Pamint, obiectul se deplaseaza orizontal cu viteza v impreuna_ cu trenul §i traiectoria este· o dreapta orizontala.

Daca observatorul din vagon scapa obiectul din mina, · acesta va cadea yertical in jos fata de vagon, dar fata de observatorul de pe Pam.int, obiectul va descrie o traiectorie curbilinie §i vectorul viteza va avea directie varia­hila in timpul caderii (fig. 1.23).

Un alt exemplu ii constituie un obiect lasat Iiber sa cada dintr-un avion (fig. 1.24). Pentru un observator t~restru, traiectoria va fi curhilinie, analoaga

Fig. 1.28. Traiedoria ~i vit(•zoJ unui obiect care cade intr-un vagon !n mi~care sint diferile pentru observatorul din va­gon ~i pentru observatorul ·

de pe Pamint.

-~ I I I I I ... I I I I I I

r------------------, I I I I I I I I

v ~~~ ~) L-~· I 1 I ~~,~ I ~ l

...... {..... : I I "-..,. I I L--~--~----~-~

··~~ I t I I t I : I

I I

Fig. 1.24. Traieetoi'ia ~i viteza obiEJctului lansat din avion sint diferite pentru avion ~i pen tru observatorul terestru.

27

,>

celei din exemplul precedent, in. timp ce pentru ·aviator traiectoria va fi practio (daca neglijam rezisten~ aerului) o liniB verticaHi, tot timpul sub avion, daca avionul continua sa zbo~e orizontal rectiliniu uniform.

Astfel de exemple ne demonstreaza relativitatea traiectoriei, deplasii.rii §i vitezei.

1.11. COMPUNEREA MI$CARILOR

Jln .crirJLpoate participa simultan la doU:a mi§cari. Cum se compun ele pentru a da mi~carea rezultanta?

De exemplu, un om se plimba intr-un va on, care la rindul s" a in mi~care (sau un o Iec ~a e 1ntr-un vagon in mi~care). Cunoscind cele douii mi~oari, cum aflam mi~carea rezultanta a· omului (obiectului) fa~a de pamint? Sau, cunoa~tem mi~carea unui satelit a,rtificial fa~a de Pamint ~i mi~carea Pamintului fa~a de Soare, cum calculam mi§carea satelitului fa~a de Soare?

Alt exemplu: un bloc este ridicat in sus prin intermediul unui scripete ~i in acela§i timp scripetele se deplaseaza orizontal de-a lungul bratului ma­caralei. Care va fi mi§carea (viteza) rezultanta (fig. 1.25)?

Care vor fi deplasarea ~i viteza rezultanta a barcii fata de mal. daca se vislette pe o directie perpendiculara pe cursul apei unui riu (fig. 1.26)?

Studiind exem lele de mai sus, constatam ca deplasarile i vitezele se ;ompun _dupa regula parae ogramu ut, ca orice vectori.

* Fig. 1.29. Blocul este ridieat vertical in sus cu viteza v1 fata de scripetele superior, care se deplaseaza orizontal

cu viteza ;:. Care este vi~eza rezultanta ; a blocului fatli de pamtn~?

28

/; //(({(((({(((((((¥'(((((((<?

8 1C I

I_.. ..... yb ------·- v

I I

A / . 7??>>>>>>>>>>>>??????/??/?J?/J.

%/(///W////(< <<<<<<<«((«< e•i

I I I I I

\

+ v

\ \

\ \

\ \ \

\ \ \

\ \

I ~I

;;;;;;;;;;;;;;?);;;;;;;;;;;;/ -+

Fig. 1.26. Compunerea vitezelor. Vite,za b~rcii fata de apa vb se rom-~

pune vectorial cu viteza apei va pentru a da viteza barcii fata de ~ ~ ~

tarm: v = Vb + va. Cum trebuie orientata viteza barciifata deriu pen­tru a ajunge perpendicular pe celalalt mal? Cind este pos1bil aceasta?

1.12. REPREZENTAREA GRAFICA A LEG II MI$CARII

Legea mi~carii poate fi determinata experimental ~i reprezentata sub forma unui tabel:

(n: s) I -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,2 0 0,1 0,2 0,4 0,8 1,4 2,2 1,2 0 -0,6 0

Este util ~i sugestiv de reprezentat grafic legea mi~carii intr-o dia.grama ,coordonata-timp". Pe axa orizontala marcam timpul t intr-o scara con.:. venabila, iar pe axa verticala - coordonata x intr-o alta scara convenabila (fig. 1.27). Un punct P de pe aceasta diagrama reprezinta pozitia, adica coordonata x a mobilului la un moment t. Cind niobilul se mi§ca, pozi~ia. sa se schimba in timp ~i punctul reprezentativ ~escrie o curba. Daca mobilul este in repaus (x fix sau constant in timp) curba reprezentativa devine o linie dreapta orizontala, paralela ·. cu axa timpului Ot. Daca mobilul se departeaza sau se apropie de originea coordonatelor de pe traiect.oria sa, curba reprezentativa

X

P'

se departeaza sau se apropie de axa orizontala Ot. Cind mobilul trece prin originea cO'ordonatelor (x = 0), curba reprezentativa taie axa. timpului. Curb<'\ 0 reprezentativa a legii de mi§care x = f (t)

Fig. 1.27. Reprezentarea legii rni~dirii nu are nici o legatura cu traiectoria. x = f(t}.

29

Xinm

2,2

2,0 I ~ '"·

18 I \ 1,6 I \ 1,4 B ~3·1A) \ 1,2 .1: ' 1.0 1,7 ~ 08 J/ -~Ax=1P m \ o;s ,y~ ,, \

If At I \ 04 A =2,0S I

/ ---- .,.__._ \ 0,2 (1;0,4)

~ ~~

' tinS

y ~2 f-1 0 1 2 -0.2

3 4 5 ~ 7 ) 8 ,. \ I -04

-0,6 ~ l/ Fig. 1.28. Reprezentarea graficA a legii mi~carii x = f(t).

In exemplul din figura 1.28 la ~omentul (initial) t = 0 mobilul se afla la distanta x0 = 0,20 m de origine (coordona,ta ini~iala). In ,trecut". (t < 0) mobilul a trecut prin origine la, momentul t = - 2,0 s, venind din partea negativa a traiectoriei. La momentul t = 4,0 s mobilul se afla la distanta maxima de origine: x 2,20 m, dupa care a inceput sa se apropie de origine foarte repede. La t = 6,0 s mobilul ajunge in origine §i trece de partea ceala.lta ,;negativa" a traiectoriei, departindu-se eel ma.i mult (x = -0,60 m) la t = 7,0 s, dupa care se intoarce din nou in origine la t = 8,0 s.

Viteza medie pe diferite intervale de timp se poate calcula din tabel sau din grafic. Astfel, viteza medie in intervalul (1,0; 3,0) s este:

_ !lx _ x 2 - x 1 _ 1,40 - 0,40 m = O SO / Vm- - - , m S.

!lt t2 - t1 3,0- 1,0 s

Viteza medie in int_ervalul ( -3,0; 0,0) s este:

Vm = 0,20- {- 0,20) ~ = ~~ ~ = 0,13 m/s. 0,0- {- 3,0) s 3,0 s

EXPERIMENT£

Se vor face experimente privind mi§carea rectilinie cu ajutorul Trusei de fizica pentru licee.

· Montajul mecanic (fig.1.29) contine o bara (lf6) pe care ruleaza un carucioJ' (27) a carui mi~care se studiaza. Montajul electric (fig.1.29, 1.30 ~i 1.31) contJne un electromagnet (20) pentru re~inerea caruciorului, intrerupatoarele ND (18)

30

•

Fig. 1.29. Montaj pentru studiul mi$ci'irii rectilinii: 66 - bara de rulare, 27 -carucior, 67 - rigla gradata,

18 23 16 2 21

18- tntrerupator ND (1), ---- · -~d~ ................ -.....;.;;....J

23- tntrerupator Nl, (2), ~==========;;:::liJ!lv 20- electromagnet, 28- in- ·L scriptor, 30 - dispozittv de L--'---------r•

inregistrare.

t'ig.1.80. \lontajul elPrtrir.

12V

Fig. 1.81. Insrriptorul.

1-'ig. 1.82. fnregistrarea timpului.

31 32

(normal deschis) §iN I (23) (normal inchis) §i un ins9riptor (28). lnregistrarea timpului (fig. 1.32) se fa.ce printr-o metoda chimica folosind curentul alter­nativ.

Se fac experien~e de masurare a vitezei medii pe diferite distan~e Ax. Se fixeaza pe rigla gradata (67) intrerupatoarele la aqeasta dista,n~a §i se ma­soara timpul At, atunci Vm = Ax/ At.

PROBLEME REZOLVATE

1. a) Putem visli pe un riu astfel incit barca sa ramina pe loc fata de mal? b) Se poate deplasa un om pe o scara rulanta astfel incit sa fie in repaus fata de pamint? Rezol~are. Daca barca are fata de apa exact viteza apei dar in sens opus, ea va ram_!ne

~ . pe loc fata de mal. La fel, daca omul are fata de scari'i o viteza v' egala in modul, de

~ -+ ~

aceea~i direcpe, dar de sens opU:S cu viteza scarii v, adica v' = -v, ,el va ramtne pe loc fata de pam in t.

.. 31

~----------------·¥

}'lg. 1.83. PentrU: problema rezolvatil 2.

2. Picaturile de ploaie, care cad vertical, formeaza pe geamurile unui tramvai in m~care urme tnclinate sub un unghi ex = 60° rata de verticala. Care este viteza picaturilor de ploaie {fata de pamtnt) daca viteza tramvaiului este v = 12 mfs?

~

Rezolpare .. Viteza pi~aturilor de ,ploaie fata de tramvai vr (sub ex= 60° fatfi de ve-rti--+

c.ala), compusa cu viteza tramvaiului v (orizontala) trebuie sa dea viteza picaturilor -+ -+ -+

de ploaie fat~ de pamint (verticala): vp = vr + v. Din figura 1.33 rezulta vp =

= v ctg ex= 7,0 mfs.

iNTREBARI. EXERCITII. PROBLEME

-+ 1. Un vector a are modulul a = 12 unitati ~i este orientat exact spre Est. Ce modul ~i

ce orientare au vectorii:

-+ -+ a -+ -+ _.!!....?. 1,5 a; -. -a; -0,5a;

~ ' 3

R: 18; 3 spre Est; 12; 6; 4 spre Vest.

2. Cum se compun mai multi vectori daca ei sint pe a-ceea~i dreapta? Ce devine regula paralelogramului in cazul a doi veetori coliniari? tntre ce limite este cnprins modulul

-+-+ sumei ~i diferentei a doi vectori a, b, daca unghiul dintre ei variaza?

-+ -+ R: algebric; a + b ~ I a ± b t ~I a- b 1 ..

3. Pot fi combinati doi vectori de marimi diferite astfel incit sa dea rezultanta (suma) nula? Dar trei vectori?

R: nu; da in anumite conditii (cind reprezinta laturile unui triungh1).

4. Este operatia de scadere vectoriala, comutativa ~i asociativa? R: nu

-+ -+ -+ -+ -+ 5. Cum sint vectorii a ~i b daca sint valabile relatiile: a+ b = c ~i a+ b = c? Dar in

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ cazul a + b = a b? Dar in cazul a + b = c ~i a2 + b2 = c2?

-+ -+ -+ -+ -+ R: a II b; b = 0; a j_ b.

6. tn ce fel de mi~care distanta parcursa coincide cu modulul vectorului deplasare?

R: in mi~carea rectilinie cind viteza nu schimba semnul.

7. Suma pe care -o platim Ia un taxi este proportionala cu: ,distanta parcursa" sau cu ,modulul vect~rului deplasare"?

R: cu distanta parcursa.

32

8. Pentru m~carea din figura 1.28 sa. se calculeze: a) viteza medie a mobilului tn inter .. valele de timp: (1, 0; 4,0)s; (4,0; G,O)s; (6,0; 7,0)s ~i (6,0; 8,0)s. Pentru ce intervale de timp viteza medi~ este nula? b) Distanta strabatuta de mobil in tot tinipul mi~,. carii. Care a fost viteza medie, tn modul, pe tntregul interval?

B: a) (),60; -1,1; -0,60 $i 0,0 m/s; b) 5,8 m; 0,53 m/s.

9. Poate un mobil avea o viteza indreptata spre Est ~i in acela!li timp o accelera~ie indrep~ tatli spre Vest sau spre Nord?

B: da.

10. Poate avea un corp viteza nuHi, I~ un moment dat, !li acceleratie nenula?

B: da.

11. Po ate varia directia vitezei unui mobil daca vectorul acceleratiei este constant?

B: da.

12. Un camion, mi§cindu-se curbiliniu, a descris o traiectorie sun forma unui sfert de cere. Care este distanta parcursa ~i care est~ modulul vectorului deplasat·er

R: 1tR/2; R V2. 13. Un vapor se deplaseaza dl = 7,0 km spre Est, a poi in continuare dz = 3 V2 km

spre N-V. Care este deplasarea rezultanta?

B:d = 5,0 km.

14. Viteza unui biciclist este v1 = 1~,4 km/h, iar viteza vintului care ii sufla din fata este v2 = ~.o mfs-. Ce viteza a vintului inregistreaza biciclistul fata de el? Dar daca vintul _ sufla din spate?

R: v' v1 ± v2 = 8, respectiv 0 mfs.

15. Un tractor cu ~enile se mi~ca cu viteza v = 3,0 mfs. Care este viteza ~enilelor infe­rioare ~~·a celor superioare fata de sol? Dar fata de tractorist?

R: a) 0 ~i 2v 6,0 m/s; b) v = ±3,0 ·mfs.

16. Un avion cu elice zboara rectiliniu uniform. Care va fi traiectoria unui virf al elicei in sistemul de referinta legat de: a) elice; b) avion; c) pamlnt?

R: a) punct; b) cere; c) elice (ca filetul unui ~urub).

1'1. Ecuatiile mi~carii a cinci puncte materiale sint urmatoarele x = 2t; x = 2 + ·3t; x = -1 + 2t; x == 2 - t; x = 3. Sa se reprezinte grafic aceste ecuatii pe acee~i

diagrama Otx~ Ce semnificatie au punctele de interse~tie a graficului m~ciirii cu axele Ox, Ot?

R: coordonata initiala (la t = 0}; momentul trecerii prin origine(cind x = 0).

3 Fizica ct. a IX-a

2

hMecanica clas!ca,_ ?laborata in esenta de ISAAC NEWTON {1643-1727)

se azeaza pe tret legt foarte I · · · · .. ' P

. . . . genera. e, numtte pnnclpll. Separa.t fie aceste rtnctpu NEWTON a fo 1 t · · · " lelalte legi ale m ... rmu a . prtnCiptul suprapunerii fortelor. Toate ce-

ecaniCn newtontene ·se de due at unci din aceste . . .. teoreme. . prtnctpn ca

2.1. PRINCIPI UL INERTIEI {lex prima)

Un tren se. mi~~a .re~til!n~u uniform numai daca este tras de Iocomotiva allttfel arh~e~ge Incetinit §I ptna la urma s-ar opri. La fel se intimpla cu diferite a e ve tcu1e.

Sa facem o experienta s.lmpla: sa lasam o hila de otel 1 . · tal .dur §i foarte hine lustruit (din sticla) vom constata ~a :e un P. a~ onzon-.gohnd~-se) practic re~tiliniu uniform mdit timp. 1n schimh a:e :-~~c~ (r~sto­"~ansa~a pe un plan ortzontal tot din lemn sau din cauciuc s~ oJre t e emn Im~d~at. De ce? ~ii~dca e~te puternic frinata de planul orizonta.l a:p;u arr:og~) pnn 1recare, dec1 pnn actlunea unui alt corp.

. l Daca am elimi~a. ac~iunile tuturor corpurilor inconjuratoare, adica am lzo a un corp aflat In mt~care, s-ar opri · el oare?

"' ~e. masura ce d~minuam frecarile ~i alte actiuni ale mediului constat"' ca m1~carea corpului se apropie tot mai mult de mi~carea rectilinie unifor~~ (de exe~plu, m1~c~rea pe o linie cu perna de aer). De aici prin idea.li . ( ahstractiza.re se aJunge la principiul I al dinamicii (principiul iner~~~:): sau

Acest principiu a fo~t descoperit de GALILEO GALILEI in 1632 · formulat de ISAAC NEWTON d t · · · ·J · . . . §l rep pr1ncip1u al dJnamiCn (lex prima) (1686).

34 /

GALILEO GALILEI (1564-1642) mare in\'a­tat italian, astronom, fizician, mecanician, unul din fondatorii f;itiintelor exacte ale naturii. ·A desco­perit legea inertiei, legile caderii corpurilor' legile pendulului. Pentru prima data in istoria astrono­miei, cu ajutorul unei lunete confectionate de el tnsul?i, a observat corpurile ceref;iti, descoperind muntii de pe Luna, patru sateliti ai planetei Jupiter, fazele planetei Venus, structura stelara a Caii Lactee, petele pe So are. tn car tea sa ,Dialog asupra celor doua sisteme principale ale lumii, ptolemaic. l?'i copernican" (1632) a dezvoltat stra­lucit inva,Vitura lui N. Copernic asupra sistemului solar, pentru care tn 1633 a fost osindit de un tribunal catolic.

Cum se explica at unci faptult- ca in practica mi~carea rectilinie uniforma a vehiculelor trehuie permanent intretinuta prin actiunea unui agent exterior (motor)? In asemenea cazuri. exista totdeauna actiuni opuse mi~carii, de ohicei frecarile, care trehuie invinse sau compensate . .In ca.zul cind toate actiunile asupra punctului material se compenseaza reciproc, acesta ramine in repaus sau in mi§care rectilinie uniforma.

2.1.1. Inertia ~i masa. Pentru a pune in miscare un corp. pentru a-1 opri sau pentru a-i curha traiectoria a-i schimha vectorul viteza), trehuie sa ac .wnam asupra sa. a oriCe actiune exterioara care cauta sa-i schimbe starea de repaus sau de mi~care rectilinie uniform&, corpul se ooune, reactioneazii. - Se nume~te ~nertw proprietatea unu1 corp de a-~i mentine starea de repaus §.illL de mi~care rectilinie uniformd in absepta aotiunjlor exterioare. respectiv de a se opune (reactiona) la orice actiune exterioara care cauta sa-i schimbe starea de repaus sau de mi~care rectiljpjQ uniforma. in care se ana.

Principiul I al dinamicii se nume§te §i p~~ncip~ut ~nerJwi, tocmai fiindca · pro prieta tea enun~ata in el este o manifestare a inertiei: un punct material izolat se afla in repaus sau se mi§ca rectiliniu uniform in virtutea inerfiei. 0 masura a inertiei este masa. ln aceasta calitate masa se numeste inertial« (sau inerta). ._

2.2, SISTEME DE REFERINTA INERTIALE

Dadi un corp izolat se mi§ca rectiliniu uniform fata de stele (sau este ~n repaus fata de stele), at unci fata de Pamint el se mi§ca curhiliniu din cauza rotatiei proprii diurne a Pamintului, iar fata de o nava cosmica, accelerata fata de stele, else mi~dt accelerat. De aici rezulta evident ca principiul inertiei nu poate fi valahil in orice sistem de referinta.

_§istemele de referinja in care este valahil principiul inertiei se numes!l. sisteme de referin~a inertiale.

35

Vom arata ca toate sistemele de referinti1 iner~iale se misca unele fata de _ altele rectiliniu uniform._

Experien~a arata ca sistemele de referin~a legato de stele sau chiar de Soare sint sisteme de referin~a iner~iale cu un mare grad de precizie. ln schimh, sistemele de referin~a legate de Pamint nu sint riguros iner~iale din cauza rota~iei Pamintului fa~a de stele. ln majoritatea covir~itoare a nevoilor practicii, Pamintul poate fi insa considerat sistem de referin~a iner~ial cu un suficient grad de precizie.

Peste tot,in cele ce urmeaza, in rezolvarea problemelor, se in~elege ca se folose~te un sistem de referinta inertial (de obicei Iegat de Pamint ).

Principiile mecanicii n.ewtoniene slnt valabile ln si$temele de re(erinta iner/iale (se va arata la § 2.6) ... -

2.2.1. Transformarea Galilei. Un acela!?i eveniment. sau proces (de exemplu mi!?carea unui punct material) poate fi studiat din doua sisteme de referinta diferite - vom spune, de catre doi observatori diferiti. Un eveniment .este caracterizat prin coordonatele sale spatiale x, y, z, care arata locul unde se produce evenimentul, !?i prin coordonata tem­porala t, care arata momentul Ia care se ·produce evenimentul. Fiecare observator masoara coordonatele evenimentelor cu instrumentele sale {rigla !?i ceasornicul) !?i stabile!?te legile corespunzatoare.

Este important de stabilit legatura dintre coordonatele unui eveniment masurate de diferiti observatori, adica transformdrile de coordonate care· dau trecerea de la un sistem de referinJa la altul.

Astfel putem vedea care aspecte ale fenomenelor !?i legilor sint relative, adica depen­dente de sistemul de referinta, !?i care stnt invariante, adica independente de sistemul de referinta (acelea!?i pentru. toti observatorii). ·

Vom presupune ca riglele !?i ceasornicele diferitilor observatori sint qonstruite ~, eta­lopate identic, adicii dupa aceea!?i ,reteta" (~cela!?i procedeu tehnologic).

;Q

Fie doua sisteme de referinta S !?i S' cu axele paralele (axele Oz, O'i! nu stnt dese-

- -nate). Presupunem ca S' se mi9ca fata deS cu viteza u coristanta, astfel incit originile 0, O' au coincis Ia momentul t t' = 0, unde t este timpul masurat in S, iar t' in S'.

Din punctul de vedere al observatorului S, aplicind regula compunerii vectoriale, rezulta· conform figurii 2.1: ·

y p

(F----------x •

-- - - -r = r< + r 0 = ·r' + ut, (2.1)

unde toti vectorii sint masurati cu instrumentele din S. Noi vrem insa sa stabilim legatura dintre

-7

coordonatele (r, t) ale unui eveniment P, masurate de observatorul S cu instrumentele sale, ~i coor­. -donatele (r', t') ale aceluia~i eveniment dar mas u-

Fig. 2.1. Doua sisteme de referinta care se mi!?ca rectiliniu uniform unul

. fata de altul. Transformarile Galilei.

rate de observatorul S' cu instrumentele sale. Or, instrumentele (rigla 9i ceasornicul) din S' se afla in m~care fata de S! Oare distanta O'P masurata de fiecare observator cu instrumentele sale va fi aceea~i?

1n mecanica clasica newtonianll se considera ca lungimile (distantele) ~i duratele au caracter

36

. ·. t (sall absolui) adiea rezultatele masuratorilor d. e lungime ~i durata nu depind tnvartan · . ... .. d miscarea instrumentelor de masura, nici de mi~carea obiectelQr masurate.

n tel e . · · 1 b' 't ( h' Aceasta ipoteza este foarte bine verificata in domeniul v1te~e or o t~nm e c :a.~

ntrll viteze cosmice) dar in domeniul vitezelor foarte mari, aprop1ate de v1teza lummu pe ' . . .. t ... . t c 3. ·tos m/s (de exemplu, in cazul particulelor atomice), aceasta 1po eza nu ma1 es e exaeta ~i bebuie apiicata mecanica relativista. . ... . . .

R V A And in cadrul mecanicii clasice, putem cons1dera ca lungtmde ~~ duratele au amm1 . ~ . . <·.aracter invariant. Astfel, timpul ,curge" la fel in- cele dou~ sisteme de referi~ta, !?I pr~n alegerea noastra a momentelor initiale (t = t' = of rezulta permanent t = t. ln relatta

(2.'1) putem considera; masurat inS, iar-;; miisurat inS', astfel incit obtinem urmatoarele transformari Galilei:

-· -r' + ut',

t' {

- -7 r' = r

t' = t.

-ut, (2.2)

Din transformarile Galilei rezulta imediat. legea clasica de compunere a vitezelor. in adevar, considerind doua pozi\ii consecutive Ia doua momente succesive, avem:

--+ -+ ~ ~ ~ --). , , ~ = rz- rt = r2- r1 + u(t2 ~ 11)

At= t2 - t1 t; - t; = At'.

tmpartind ultimele doua relatii membru Ia· membru, gasim legea elasid\ de ;·ompunere a . vitezelor:

-~ &'------Vm =; At = llt' + u = v:n + u, v v' + u, (2.3)

-unde -;;, este viteza relativa a mobilului fata de S', u viteza sistemului S' fata de S

si -; - viteza :rezultanta fata de S.

. Daca acum consideram vitezelela doua momente consecutive: --------, + 1 + U Aq, V V v1 = v1 u, Vz v2 , uv = z - 1

~i impartind Ia intervalul dE:' timp At= !!JJ', obtinem pentru acceleratii - - - -am = a;,. !?i a = a'. (2.4)

adica acceleraJia este aceetqi in toate sistemele de referinJa in mi~care relativa rectilinie

uniforma (;; = const), deci acceleratia este invariantii fatfi de a~este sisteme.. ... . tn particula" daca acceleratia este nula intr:un s1stem_ S, ad~ca p ... a~ticul~

este in repaus sau se mi!1ca rectiliniu uniform, atunc1 ~ccelerat~a ... va f1. nula m ~rt­care alt sistem S' mi!?cat rectiliniu uniform fata de pr1mul, adtca part1cula va ft tn repaus sau in mi§care rectilinie uniforma in toate aceste sisteme~ de ~ef~ri_nta. afla_t~ in m~care relativa rectilinie uniforma unele fata d~ altele. Dac~ pr~nc1p~ul mertie~ este valabil intr-unul din ele, deci acesta este un siStem de refermta mertml, atunc1 aces~ principiu va fi valabil in toate aceste siste~e ~e .. ref~rint~, care vor. fide ase?Ie­nea inertiale. Reciproc, dadi doua sisteme de refermta smt mertmle, atune• ele se m19Ca unul fati de altul rec~iliniu uniform [altfel (2.1•) n-ar fi valabila, adica acceleratia n-ar fi -invarianta, deci mi!?Carea inertiala, cu a = 0 intr-unul din sisteme, ar aparea accelerata in c.elalalt].

37

2.3. PRINCIPI UL FUNDAMENTAL Al DINAMICII (lex secunda)

. In procesele de ciocuire a doua corpuri, de frecare intre doua corpuri

solide sau intre un solid ~i un fluid de atrac ie · re cor uri magnetlza e sa.u e ectrizate etc., corpurile actioneaza reciproG, aael9 Asupta ~ora, adica interactioneaza. ·.ca efect al intQPae\hu~.ii G0 rpnrile in general ae <k!._ormeaza reciproc si se schimba starea .]or de mi~care, adisa 88 seaim"bi vectorul viteza.

I. NEWTON a explicat caderea corpurilor ca efect · al interactiunii gravi­tationale dintre corp §i Pamint. Acesta este un caz particular al interactiunii

· gravita/ionale sau atractiei universale dintre oricare doua corpuri. Un corp suspendat de un resort intinde resm;tul, iar lasat liber cade accelerat datorita , atractiei reeipruce dintre corp §i PAmint.

d masura a interactiunii este vectorul orftL.o::\.stfei, corpurile care interac­tioneaza exercita unu asupra ce uilalt cite o forta. Actiunile diferitelor corpuri inconjuratoa.re asupra unu1 corp dat se man1festa prin forte a plicate acestuia.

_ Prin inter~ediul fortelor aplicate unui corp se transmite mi§carea mecanicai

Porfele se compun dapa regula paralelogramului ca o~ice (,Jectori, G

Exemple de forte. Toate fortele din natura se reduc pina la u"';ma la un numar mic de forte fundamentale, cor.espunzator interactiunilor fundamentale.

a) Una dintre acestea este forta de atractie gravitationala, care se exercita intre oricare corpuri si depinde numai de masa lor Sti de distributia substantei ' "' , , ' indiferent de- natura ei chi mica.

Legea atractiei universale a fost descoperita de Isaac Newton ~i aplicata · la mi§carea corpurilor cere§ti { 1687). ·

b) Un alt exemplu de forte sint fortele electrice. Ele sint forte de interac­tiune intre corpurile electrizate. ~tim ca prin frecare, de exemplu, corpurile se electrizeaza §i intre ele se exercita forte de respingere sau de atracti.e.

Fortele elastice sint forte care apar in corpurile deformate*. Ele se reduc pina .la urma la forte electrice. In adevar, prin deformarea unui solid, ionii, atomii sau moleculele sale constituente sint dislocate din pozi~iile lor de echilibru §i se nasc for~e electrice care tind s~ restabileasca echilibruh

Fortele de frecare se reduc pina la urma tot la forte eleqtrice. Orice for a a licata unui corp ii modifica vectorul vfteza, adica ii im-

.._prima o ac~eleratie. Din experien~a de toate Zl ele ~tim ca aceeayi for~a apli­cata dder1telor corpuri produce variat-ii diferite al~ vitezei, fiindca efectul depinde ~i de inertia corpului, adwa de masa s~. Cu cit masa. este mai ma.re cu i,iit variatia de vitez,a, la aceea§i forta aplicata, in acela§i interval de iil,!lp, este mai mica Ne putem da seama de acest fapt ,cind tragem sau impingem cu

. acee~i forta acela~i carucior gol apoi incarcat.

• Aeest tip de fortti va fi studiat mai pe larg la §. 3.6.

38

ISAAC NEWTON (1643-1727) a fost un mare fizician, astronom ~i matematician englez. ln ce.:. lebra sa carte ,Principiile matematice ale filozofiei naturale" (1687) a fundamentat f?i dezvoltat me­canica clasica, formulind cele trei principii ale mycanicii, precum ~?i legea atractiei universale. El ;( pus bazele mecanicii corpurilor cere~ti, explicind mi~carile planetelor in sistemul solar. Pentru rezol­varea problemelor mecanicii a elaborat mijloace ~i metod~ matematice noi ~?i de o mare insemnatate, punind bazele calculului diferential ~i integral (in acela~i timp ~i independent de Gottfried Wilhelm Leibniz).

Newton este cunoscut ~i pentru cercetarile sale in domeniul opticii. El a descoperit f?i a stu­diat dispersia luminii (descompunerea luminii albe solare in culori). El este autorul unei teorii cu privire la natura luminii care a jucat un rol important in istoria ~tiintei (teoria corpusculara).

A perfectionat aparatele optice, a construit pentru prima datA telescoape (cu oglinda) fara aberatii cromatice.

Lucrarile ~i conceptiile lui Newton au exercitat o puternica ~?i indelungata influenta asupra intregii fizici; ele au dominat fizica apro~pe doua secole. Prestigiul ~i succesele· lucrarilor lui Newton au influentat imens intreaga istorie, nu numai a ~tiinfei ci ~i a cul-turii in general. .

lncepind cu primele decenii ale secolului XX,s-a stabilit ca mecanica clasica newto­niana nu este valabila in domeniul vitezelor foarte mari, comparabile cu viteza luminii tn vid (c = 300 000 km/s), precum ~i in domeniul atomic.

De asemenea; constatam u. or ca aplicind unui corp, a.flat in mi§care rectilinie, o forta in direc i'a mi§ciirii sale {a v1teze1 , nu modificam caracterul rectiliniu al mi§carii, adica nu abatem corpul de la tra1ector1a sa rectiinie, nu curbam traiectoria, ci doar il acceleram sau frinam pe aceasta direc~ie (traiec­torie). Deci variafia vitezei ( accelera{ia) este in acela§i sens cu forfa.

Daca insa aplicam o forta oblic sau er endicular fata de traiectorie (fa.ta de viteza), atunci abatem corpul de la mi§carea rectibnie; cur am traiec­toria, modificam direc{ia vectorului v:iteza.· Astfel se inti~pla · de -exem.plu da,calovim lateral o hila de biliard aflata in mii}Care sa.u daM, in drum.ul u:aei bile de otel care se rostogole~te pe un plan orizontal de sticla~,·puneni ,}ateral un magnet (fig. 2.2).

________ ......, ____ _

Fig. 2.2. Forta de atractie a magnetului curbeaza traiedoria unei bile de otel care se rostogole~te pe un plan orizon~~l.

39

Chiar din aceste expel'i9Bte fi ah~mwQ.tii simple ilG poate hanui ca acCel.e­r;a£ia imprimata are directia fi suuuZ fgrJgi_ flplicate, fiind propgr=tiaJullR cu forta -l:L_ invers' proporfionala cu masa corpului: ; -:--- const. : e

Nenumarate experien~, efectuate cu tot felul-de corpuri, aflate in cele mai variate stari de mi§Care, carora li s-au aplicat diferite for~ (gravitationale,

- electrice, elastice etc . .), au condus la ~matorul principiu:

vectorul forta este asa si vectorul acce-eraf~e - . -F = const. m a. tl --

Acesta. este continutul principiului II al dinamicii, numit §i prin.cipiul fundamental (lex securi.da). Acest principiu a fost formulat de I. NEWTON

(impreuna cu celelalte principii ale mecanicii), in cartea sa 72_Principiile mate­matice ale filozofiei naturale" (1687).

Deoarece unitatea de masura pentru masa ( 1 kg) este fixata, fiind chiar unitate fundamentala in SI (Sistem International de unitati), iar unitatea de. acceleratie a fost deja stahilita ca unitate derivata (1 mfs2

), vom alege unitatea de forta astfel incit constanta de proportionalitate din legea de. mai sus sa fie 1. At unci ecua.tia principiului II devine: ·- - ~· F = ma, (2.5)

iar unitatea de masura pentru forta va fi egala cu unitatea de masa ori uni-· tatea de aceeleratie:

[F] = [m] ·[a] = 1 kg· 1m -1 kg·m =· 1 N~ (2.6) - . sa sa -

Aceasta un1tate in SI se nume§te newton (N). N ewtonul este egal cu miirimea acelei forfe care_ aplicatii, unui corp cu masa

de 1 kg li imprima o acceleratie de 1 m/s2•

lntelegind prin forta medie pe up interval de timp At, o forta constanta care produce aceea§i acceleratie medie sau aceea§i varia~ie de viteza pe inte; valul . dt ca fi forta variabila data, putem scrie (2.6) pentru valori medii:

~

- - ll.v - - /lt F m = mam = m-; Av = F m • - ; . /lt m )

(2.7)

variatia eitezei are direclia si sensul (ortei (medii) aplicate ( este coliniara cu for~a).

Daca forta aplica~a este coliniara cu viteza, varia~ia de viteza va fi de asemenea coliniara cu viteza, deci _ viteza lti pastreaza direc~ia, adica mitcarea va fi rectilinie pe direc~ia comuna a fortei ti vitezei (fig. 2.3, a).

40

a b

---.....,_-; \

'Av \ \

\

Fig. 2.3. Variatia vectorului viteza are directia ~i sensul fortei aplicate. (a) Forta ffind paraleUi cu viteza, cre~terea de. viteza ~i acceleratia stnt pe acee~i directie ~i mif}carea este rectilinie. (b) Forta fiind oblica pe viteza, variatia de viteza ~i acceleratia au directia

~i sensul fortei aplicate, deci m~carea va fi curbilinie.

Daca insa forta aplicata este oblica fa~a de viteza, .variatia vitezei va fi in directia §i in sensul fortei, deci traiectoria se va curba inspre regiunea spre care este indreptata forta (fig. 2.3, b). ·

~

este o ecua~ie vectoriala. Varia.tia unui vector de exemplu, A.v~ nu trebuie con--fundata cu variatia modululU:i fJ.v ( ypde v = I v I). De exemplu, intr-o ~

mi§Care curbilinie uniforma avem 1 v 1 = v = const, deci Av = 0, dar variaza ~

d · · l · · d · A- 0 · -+ l!l.v 0 D · trecf"a vectoru u1 v1teza, eel u.v #= §I am= #= • e asemenea1 varia-/l.t

tia modulului, A.v, nu trebuie confundata cu modulul variatiei vectorului ~ -I av I :1= a I v J.

2. In cazul mi3carii rectilinii putem sctie;

F m = mam = mdv / At, F = m • dv / dt, (2.8~

unde marimile F, v, a sint componentele vectorilor respectivi pe axa mi~carii Ox, pozitive daca vectorii respectivi sint orientati in sensu! pozitiv ales pe axa fJi negative daca vectorii respectivi sint orientati in sensul opus.

41

- -In cazul mi§carii plane ecuatia vectoriaiA F - ma se proiecteaz§. pe cele dona axe ~i se ohtin dona ecuatii pi 'eempeBeaie.· - -).

F ma --. Fx m9-x, F 0 ~"u (2.9) (analog in caz.ul iil'ij""carii in spatiu).

3;...In ecuatia (2.5) masa apare in calitate de masura a inertiei corpului. d!_ aceea se numeste masa inerfialtl (sau .. .inerta). In adevar, acceleratia impri­mata unui.corp de ca.tre o forf.a data este cu,atit mai mica, cu cit inertia corpului este mai mare, altfel spus, este invers proportionala cu ma·sura iner--tiei corpului; adica cu masa inertiala: ;.= F .

m Pede alta parte, forta gravitationala exercitata asupra unui corp de catre.

un cimp gravitational, de exemplu greutatea unui corp in cimpul gravitational terestru, este proportional a tot cu m,asa corpului: · - -G=mg. (2.10)

Se va arata mai tirziu ca cele doua mase coincid (§ 3.8.\1 ). -Acceleratia gravitationala g este orientata spre centrul Pamintului, Ia fel ca ~i greutatea .corpurilor ~i are valoarea g ~ 9,8 m/s2 (depinde de altitu­dine ~i latitudine).

Greutatea etalonului masa de 1 kg in cimpul gravita~ional normal (stan­dard) dat de acceleratia gravitationala gn = 9,80665 mjs? ~este:

G = mg = 1 kg · 9,80665 mfs2 = 9,80665 N ~ 9,8 N.

Acceleratia gravitationala la ~ivelul marii ~i la paralela de 45o este g0 = = 9,80616 m/s2

• -- -4. Ecuatia F = ma nu ne spune nimic des re natura for ei: ea oate fi de na.tura grav1 a wna. , e ectrica sau in particular forta elastica, forta de

. - -frecare etc. In ecuatia F = ma forta apare sub forma abstracta ca un model 1

.!!!.ecanic al oricarei interacVuni a corpurilor, independent de natura fizica a - -acestei interac~iuni. In modul acesta, relajia F = m·a, pe linga. caracterul de le e a naturi1, poarta ~i caracterul de defini ie dinam ·ca a or ei. De aceea pentru· determinarea mi~carii unui sistem: oscilator astic,· ·sistem solar, atom et~. trebuie cunoscuta ~i legea fortei, de exemplu legea lui Hooke, legea atractiei gravitationale (NEWTON), legea int_eractiunii electrice (COU·· LOMB) etc.

2.3.2. Jmpulsul. ~a scriem desfa~urat relatia (2. 7):

(2.11)

.se vede ca aici apare produsul'm7J dintre masa ~i viteza. Acest produs repre· zinta o nouii marime fizica important&. numita impuls.

42

I mpulsul punctului material estt; --)>. --?-

produsul dintre masa ~i riteza sa, p= _.... Impulsul este o marime vectoriald

care are aceea~i directie §i .acela§i sens cu vectorul viteza (fig. 2.4).

Revenind la ecuatia (2.11), patem scrie: - - -- :+ L\v L\(mv) ~p F m=mam=m- = ..---- .= -- =

L\t L\t L\t (2.12) - - - -= P2- Pt , F -m;,=m dv = ~. t2-tl dt dt

traiectoria

Eig. 2.4. Impulsul unui punct material,

- -; = mv, are directia ~i sensul vitezei v. Variatia impulsului are directia ~i sensul

fortei aplicate. ·

F orfa este egala cu yariatia imvulsului raportata la intervalul de timp, adica varia~ia. impulsului care revine unita~ii de timp.

Aceasta est~ o alta formulare (cea mai ge~erala) a principiului II al di­namicii (de altfel a§a 1-a formulat chiar Newton).

Unitatea de masura pentru impuls rezulta din definitia sa:

[p]=[m][v]=1kg ·1m/s=1 kg.mjs=1N ·1s=N ·s "(2.13)

Aceasta unitate este deci egala cu impulsuf unui punct material care are masa de 1 kg ~i se mi~ca cu viteza de 1 mfs.

EXPERIMENT

Fortele produc doua feluri de efecte: efecte de de ormare a cor urilor (num1 e e ecte statice) §i efecte de acc(}lerare a corpurilor (numite efecte dinamiCe).

a) Electele' de deformare. sint folosite pentru a masura for~ele . Exista corpm·i, numite elastice, la care deformatiile (nu prea mari) dispar odata cu indepartarea forte­lor care le-au prqdns, de exemplu tot felul de resorturi.

D inttmometrele sint resort uri elast.ice prevazute cu o rigla pentru

' rr1asurarea alungirilor, deci a for~elor aplicate, rigla fiind gradata direct in· unitati de for~a (fig. 2.5 ). Cu ajutorul dinamometrelor putem veri­fica legea de compunere vectoriala a for~elor.

a b Fig. 2.6. (a) Alungirea unui resort elastic este proportiom4Hi cu forta de intindere.

(b) Schema unui dinamometru.

43

b) Etectele de accelerare pot fi puse· in evidenta cu montajul din figura 1.29. Detafind inelul cu placa de prindere (22, 32) fi folosind difer~te greutati: crestate (25, 26) vom constata ca, cu cit for'(;a de greutate a acestora este mai mare, cu atit acceleratia iroprimata caruciorului este mai mare.

2.4. PRINCIPI Ul ACTI UNILOR RECIPROCE (lex tertia)

'\. '

Prin ciocnirea a doua bile, fiecare i§i schimba viteza, fiindca in timpul contactului bilele se deformeaza reciproc fli se nasc forte elastice cu care o hila actioneaza asupra · celeilalte. La fel, la. ciocnirea a dona vagoane, x:esorturde .t~oa.nelor de Ia fiecare figOn se_ com prima, fiecare vagon actionind asupri: celuilalt cu o forta. ,

r- ln procesul Interactiunii a doua corpuri, fiecare corp exercita o forta , a supra celuuhlt, ad1ca a par totdeauna simultan doua forte, numite. acftune §I = reacftune. Care din aceste doua forte se nume§te actiune §i care reactiune,

dep1nae de care corp se considera primul §i care al doilea. Primul corp actio­neaza asupra celui de-al doilea cu o forta care se va numi ac ,iune, iar corpl~l .!!_ 01 ea actioneazi) (vom spune acum, reactioneaza) asupra primului cu o forta numita reactiune. Cele doua forte actioneaza · simultan (in conceptia ~ , . , f ,

claslca newtonlana a actiunn instantanee la dlsta,.nta). . Oriunde constatam o forta actionind asupra unui corp, ea este expresia

actiunii unui alt corp din mediul inconjurator, -este o latura a interactiunii dintre cele doua corpuri. 0 forta unica, izolata, este o imposibilitate.

EXPERiMENT£ ·

1. Sa luam doua dinamometre, sa le cupHim prin ctrligele lor §i apucin­du-le de inele sa le intindem ca in figura 2.6. Oricit le-am intinde, indicatiile dinamometrelor sint permanent identice,( forta cu care ·primul dinal!lometru a.ctioneaza asupra celui de-al doilea este ~gala ca marime §i opusa ca sens cu forta cu care eel de-al doilea dinamometru actioneaza asupra primului.

. 2. Punem pe dona carucioare un magnet §i o hucata defier §i prindem . carucioarele prin intermediul . unor dinamometre de obiecte fixe, ca in figura 2.7. Oricare ar fi distanta dintre magnet §i hucata de fier, fortele de interactiu;ne aratate de dinamometre Sint egale in modul §i de sensuri opuse.

Fig. 2.8. Fiecare di'namometru actioneaza asupra celuilalt cu o forta egala in modul ~i. de ·sens opus.

Fig. 2.7. Intera('tiunea dintre un magnet ~i o bucata de tier: St' a trag reeiproc, Pll forte egale tn modul ~i de senS\lri opuse.

Fig. 2.S. Oricare din elevi ar trage de sfoara, ambele carucioare se apropie ~i se intilnesc I mereu tn arela~i loc. ,

Fig. 2.9. Doua carucioare identice, a~ezate pe un plan orizontal ~i cuplate printr-un resort comprimat sint supuse reciproc unor forte egale in modul

f}i de sensuri opuse.

3 .. Pe doua carucioare stau doi elevi §itrag de o sfoara (fig. 2.8). Indiferent care dintre ei trage activ ,scurtind" sfoara, amhele carucioare se vor intllni de fiecare data in acela§i loc. Fiecare elev ac~ioneaza asupra celuilalt, prin intermediul sforii, cu o'forta egala in modul §ide sens opus (ceea ce se poate constata cu ajutorul unor dinamometre intercalate).

4. Intr-o alta varianta a experientei doua carucioare identice sint a§ezate pe o sticla orizontala §i cuplate printr-un resort comprimat, legat cu un fir. Daca ardem firul, cele doua carucioa.re se vor departa Ia fel, sub actiunea unor forte egale in modul §i de sensuri opuse (fig. 2.9) .

6. Daca punem un corp pe o platforma orizontala (u§oara) a§ezata pe un - -resort, corpul apasa pe ,platformli cu o forta F egaHi cu greutatea sa G §i -comprima resortul. Apare atunci o forta elastica de reactiune N din partea, resortului, aplicata corpului, egala in modul §i de sens opus cu greuta~ea, astfel incit corpul v.a fi in repaus (fig. 2.10).

Acela§i Iucru se intimpla cu orice corp atezat pe orice suprafata orizon· tala, numa.i ca la materialele dure deformarea nu se observa cu ochiulliher.

.45

.t'tg. 2.10. Corpul a~ezat pe un resort n comprima cu o forta egala cu greutatea

_,.. . sa G. Se na~te automat o reactmne elas.

-.+ tica N din partea resortului, egala in modul ~i de sens _opus, aplicata corpului.

G

Fig. 2.11. Corpul suspendat de un resort (fir) intincle resortul cu o. forta ega!a

-+ cu greutatea sa G'. Se na9te

-> atunci. o forta elastica .F' din partea resortului, aplicata corpului, "'"llgala in modul 9i de sens ~pus tractiunii (greu-

-+ Uitii} G.

6. Jn alta variiinta, suspeudam corpul de un resort (de exemplu de un , dinamometrri) (fig. 2.11) .. ln punctul de legatura corpul ac~ioneaza asupra

resortului sau firului cu forta sa de greutate ~i il intinde. Apare atunci o for~a elastica din partea resortului sau a firului, aplicata corpului, egala in modul §i de sens opus cu greutatea corpului (acesta fiind in repaus, in echilibru).

Nenumarate experien~e ~i masuratori dovedesc valabilitatea principiului acfiunilor reciproce sau principiului ac{iunii §i reac{iunii:

fiecarei actiuni i se opune totd.eauna o reacfiune e ala in modul si de sen opus, sau alt e , acf~unile reciproce a doua corpuri sint totdeauna egale ca marime

.§!_ dirijate in sensuri opuse..:.

Cele doua forte, ac~iunea §i reactiunea, stnt aplicate unor corpuri diferite,. *i ac~wneaza pe aceea§i hnw, hn1a care une§te cele doua corpuri. Daca cele doua for~e ar ac~iona asupra aceluia§i corp, acesta n-ar putea fi niciodata acceler~t, deoarece cele doua forte ar da totdeauna rezultanta nula.

Principiul ac~iunii ~i reactiunii p<?ate fi e.x:pricnat §i astfel:

2.4..1. Exemple ~i aplicatii ale principiului III. i. La. contactul onca.I'or doua corpuri apar totdeauna doua forte, egale in modu1 'li de sensun opuse! ::icyiunea unui corp asupra celui!alt §I reac~iqnea celui de-al doilea asn,pq.i

primului (fig. 2.12).

46

/~ / / ,

/

. a b

/ /

/ /

/

;' /

/

/

l'

Fig. 2.12. La contactul a doua corpuri apar ,totdeauna doua forte, egale in· modul ~i. de sensuri opuse, actiunea ~i reactiunea, cu care corpurile ,actio­neaza unul asupra celuilalt. Componentele normale (perpendiculare) pe planul de contact se datoresc deformarii reciproce a corpurilor, iar cele tangentiale (de frecare), continute 1n planul de contact, se datoresc frecarii dintre corpuri.

Aceste forte sint rezultatul deformarii reciproce a· corpurilor si a (recarii dintre corpuri la s

nume, prin deformarea reciproca se. nasc forte ( elastice) normale (per­pendiculare) pe suprafata de contact. ~sigur corpurile se deformeaza diferit, de§i fortele normale stnt egale in modul. Prin frecare, intre corpuri se nasc

-.+ -.+

forte tangenfiale, de frecare, continute in planul de contact. A vern.; N' = - N. *4 ' F{ = -Fr. (Uneori fortele de frecare sint mici §i pot fi neglijate.)

- 2. In orice sectiJ:tne a unui fir (sau cablul intins de o forta (de exemplu de greiitatea unui corp atirnat) sau in orice secfiune a unei bare, intinse sau comprimate, ac~ioneaza doua for~e egale in modul i de sensuri o use ac iune §i reac 1unea cu care o arte a fir · (barei) ac~ioneaza asupra celeilalte parti (fig. 2.13). Oricare din aceste doua for~e se nume e te 1c din fir (sau bara). Tens1unea In oriCe punct al firului se poate masura cu un dinarnometru inserat pe fir in punctul respectiv. Daca greutatea proprie a firului este neglijabila, tensiunea din fir in orice sec~iune a sa va fi aceea§i (egala cu greutatea corpului atirnat, de exemplu) .

3. Principiul actiunii §i r-eac~iunii sea plica nu numai in cazul unui contact I!.emijlocit intre doua corpuri, ci §i in cazul ctnd corpurile interactioneaza prin cimpul gravita~ional sau electrostatic. ~·--------------------~~~---

)"lg. 2.18 .. Tensiunea (elastica) dintr-un fir tntins poate fi masurata cu un dinamometru inserat in fir tn sectiunea

dorita.

'~ . r 1' ,t 1:..-1

=r.,

47

f=-G

1-+ -+

Fig. 2.1-l. Piatra este atrasa de Pamtnt cu o forta exact egala tn modul l?i de sens opus cu forta cu care Pamtntul este atras de pia­tra.· Efectele acestor forte stnt tnsa cu. totul diferite din cauza maselor total diferite.

De ex em plu, o piatra esttL atrasa de Pamint. cu o fl)rta gravi­tationala egala cu greutatea sla. Dar §i piatra, la rtndul e1, atrage Pamintul cu o forta egald in modul §i de sens opus, aplicata in centrul Pamintului , (fig. 2.14). Efectele. acestor forte, egale in modul, sint

-~---"'"-

tnsa cu totul difer~te, din canza deosebirii colosale in ptivin~a :ntaftei celor dona corpnri

La fel, fortele de atractie gra­vitatlonala reciproca tntre Luna §i Pamint, intre oricare satelit §i Pamiri.t, intre Pamtnt §i Soare etc. sint egale in modul §i opuse ca sens.

In cazul interactiunii electrostatic~, de asemenea, forta de atractie sau de respingere, exercitata de un purtator de sarcina asupra altuia, este totdeauna egala in modul §i opusa ca sens fortei exercitate de eel de-al doilea purtator de sarcina asupra primului. Cele doua forte actioneaza pe aceea,i dreapta, dreapta care une§te cei doi purtatori.

2.5. PRINCIPI UL S UPRAP UNERII FORTE LOR

Fie un punct material asupra caruia actioneaza trei forte care i§i · iac -+ -+ -+

e~hilibru: F 1 + F 2 ± F 3 = 0 (fig. 2.15 ). Aceasta tnseamna ca suma a. dou a - - -forte, de exemplu, F 1 + F 2 este egala in modul §i de sens opus cu cea de-a

treia forta: F1 +'F:a =-Fa.

' '

a b - -+ -+

' ' '

-t'lg. 2.15. Punct material supus Ia trei forte ,care t~i fac echilibru: F 1 + F2 + F3 = fL

48

_.,..

.Forta F 1 , aplicatii singurii punctului material, i-ar imprima o anumita 4. ~ ~ ~

acceleratie a1, conform legii fundamentale F 1 = ma1• For~a F 2, aplicata singura -+ - -· ar da o anumita acceleratie a2, F 2 = ma2 si la fel forta F 3 = ma, i-ar imprima

r -+ -+

acceleratia a3·• :'-cceleratiile sint proportionale cti' fortele. Dadi fortele F r,

F 2 actioneaza simultan, acceleratia prod usa de ele trehRie sa fie egala in modul .,..... ... -). ~

~i de sens opus cu acceleratia a3 prod usa de Fa, de vreme ce corpul rarnine in repaus. Prin urmare, acceleratia rezultanta se com une du a regula paralelo ramului, din acce eratiile pe care le-ar produce se arat fiecare for~a. componenta. daca ar ac ,wna sin ura. De asemenea acceleratia im rirnata

e o or a nu epinde de viteza momentana a corpului (in mecanica relativistii, ~leratia nu este riguros coliniara cu forta. §i depinde side viteza corpului). - Astfel de consideratii conduc la formularea prittcipiului independenfei

actiunii fortelor sau principiului suprapunerii fortelor:

dadi mai multe forte ~cponeaza in acelasi timp asupra unui punct material, fiecare forta roduce ro ria sa acceleratie in mod inde endent ~ prezenta ce orlalte forte, acceleratia rezultanta fiind suma vectoriala a accelerafhlor tndividuale.

I. NEWTON a formulat acest principiu separat de celelalte trei principii sub forma urmatoare:

un corp, sub qcfiunea simultanii a douii forte, descrie diagonala unui paralelogram avind ca laturi aceste forfe, in acela$i timp in caT:e ar descrie separat fiecare laturii sub acfiunea forfei corespunziitoare.

EXEMPLU

·-Daca aruncam o piatra, asupra ei actioneaza, pe de o parte, forta de greutate G, datorita interactiunii cu Pamintul, ~i pe de alta part() forta arhimedidi ~i fortele de frecare cu aerul, care se opun mi~carii, dar care intr-o prima aproximatie pot fi neglijate. Care este atunci acceleratia pietrei in mi~carea sa Iibera in atmosfera? -. Conform legii fundamentale, n-avem decit sa impartim forta G la masa <:;orpului

- -+ 9i obtinem vectorul acceleratiei g = Gfm, orientat vertical in jos (fig .. ~t 16).

(j}- Fizica cl. a· IX-a

\

1n practica, asupra corpu­lui ao~ioneaza aproape totdea­.una simultan·mai mul,te for~e, printre care este for~a de gre-: utate, deoarece nici un corp de pe Pamint nu poate fi sustras interac~iunii sale gr~_vita~io­

nale cu Pamiritut In afara. de aceasta, corpul este in contact cu medil1l, adica in contact cu alte corpuri (a~ezat pe un plan,

.Fig. 2.16. tn ~i~eat'ea liber·a in vid a unui earp sprijinit de un perete, mi~cat at>,celeratia sa ·g este tot timpul aceea9i, orientata intr-un fluid). La contactul cu

-+ vertical in jos ca ?i forta de greutate G. un solid apar, dupa cum am

vazut, doua forte: reactiunea nor~ala §i forta de frecare. In cazul Ini~dirii intr-un fluid (Ia c~ntactul 'solid­fluid) a par de asemenea doua forte: for~a arhimedica (verticala) ~i forta de rezistenta (opusa vitezei). ln sfir~it, asupra corpului se pot exercita forte de tractiune sau de impingere prin fire sau tije.

_Qill>a ce am ales corpul pe care vrem sa-l studiem ~i l-am izolat mintal, reprezentam toate fortele care actioneaza asupra lui §i care sint evident rezul-tatul interactiunii sale cu mediul exteriQ.r. · ·

In cazul unui r anroxi a r · -un unct material toate fortele se a.E ica in acest punct, deci sint forte concrzrente si se compun dupa regula paralelogramului sau a poliyonului.

ln cazul mi§carii de translatie a unui corpfortele pot fi deplasate paral~l §i comp~se_ ca la punctul material. .

:De altf~l, 1n rezolvarea problernelor practice nu este de obicei necesar sa compunem fortele, ci mai degraba sa Ie descompunem.

ln cazul particular cind toate fortele actioneaza pe directia mi~caru, alegem dreapta respectiva drept axa Ox (cu sensu! pozitiv ales in sensul vitezei) ~i consideram for~ele pozitive daca actioneaza in sensu! pozitiv ales §i negative daca ac~ioneaza in sensu! negativ. Suma algebrica a acestor forte ne da forta rezultanta, pozitiva daca actioneaza in sensu! pozitiv §i negativa in caz contrar:

"LF = ma.

(Litera sigma majuscula, 1;, inseamna su.tr~a.) Cind toa.te fortele actioneaza in planul mi~carii, alegem in acel plan doua

directii conve:ilaliii"e de obicei perpendiCulare intre ele) §I descompunem toate fqr~ele, viteza §i accelera~ia, dupa cele doua directii a ese. e cele mai ~ ori alegem axele perpendi:culare intre ele, Ox, Oy, atunc1 paralelogramul vee-~ un dreptunghi §i componentele vectorilor se ohtin prin proiec{r;-__

ortogonala. Mi§carea plana se descompune in doua mi§cari rectilinii dupsl cele

':.50

--doua axe ~i deci pentru fiecare axa separat scriem formulele din cazul mi§· parii rectilinii. • ---

-+ -+ -+ Prin urmare, ecuatia fundamentala R = 1;F = ma scrisa pentru .un

punct material dat se aplica totdeauna proiectind-o pe axele de coordonate ; ortogonale · intre ele ( doua axe in cazul mi~carii plane ~i trei axe in cazul

mi§carii in spatiu), adica pe componente.

"* ma F1y + F2v + ...

(F;z + F2z + ... (2.14)

2.6. PRINCIPI UL RELATIVIT A Til iN MECANICA NEWTONIAN A ,.,y-"

1ndi pentru Galilei era clar ea prin experiente mecanice, efectuate in intE>riorul unni sistem (Iaborator), este imposibil de determinat mh;;carea rectilinie uniforma a acestuia fata de stele sau fata de Soare sau ehiar fata de Pamint. lata ce scria Galilei in 1632 despre fenomP..nele mecanice dintr-o cabina inchisa a unei corabii:

,Daca miscarea eorabiei este reetilinie uniforma, nu veti observa niei cea mai mid1 schimbare in toate fenomenele ;;i nu veti putea hotari, tinind seama de vreunul din aceste Jenomene, daea corabia se isca sau sta e loc. Srtrind veti arcurge e odea ace eas1 Istante ca si atunci cind corahia se afla in repaus, adica, datorita mi~dirii rapide a corl1biei nu veti face sarituri mai mari sp:r.e pu a d cit s- re )rora corabiei, de~i, ln tim 1~1 dt viraflati in aer, odeaua artea o usrt s~riturii sau, "arunelnd un obiect oarecare unui prieten, nu va trebui sil-l aruncati cu o forta mai mare, .ara w1etenul s.e.. va a a mga prora eorabiei, iar dumneavoastrri linga pupa, decit dacii vfti ocupa pozitii inverse· idlturile dintr"o cana cu"' apa. atirnatii in t.avan vor ci'\t~ea v odea :;;i nict una din eie nu va cadea !ny directia pupe1, e~1 in tlmpu dt picatura se aflii in aer, eorabia lnainteaza .. 1\Iustele 1si vor continua zborul, indiferent in ee directie, ~i nieiodaUi. nu s' w l f' a ca de sa se t:.trlng~i spre artea ma i

-12iata e pupa, ca ~i cum ar obosi si:i. se tot tin(t duprt mersuleap1d al cori.l.biei." Acesta este de fapt continutuJ ptincipiulu i relativilf~!ii meeaniee. Principiul allui Gaiilei se poate formula fl.:c;tfpl:~~i o experienVi mer.<J·

nic£1. dectuatl1 in interiorul . . de referinFi nn rte permlte sa dete;·. 1lli.ufim miscarea sa rectilinic uniformfi faFi de aUe sts emc ( e rnferinta inert,jal;~ (fat<1. dP stele ~i nebuloase). Altfel spus:

De aici rezulta cu din punct de vedere rnecanic tonte sbtenw1e de referinta ;nertiale, eci eele care se mi~ca. rectdmm unlf.orm une!e fa\ft de allele=;! fatii de stele, sint absolut

ech£oalenle niei un sistem i~d nu 'wate l 1 •

este valahil pent:·u a dcl'ini accste ~bt~·:nt

durate

in mecanica dasidi newtoniana, ...reznlta d1 ~i f9P~a este ~QQ<l5i in diferite sisteme de referin:Vl iner~ial:t(este vorba de forte dependente numai de distante ~i viteze relative~,

~~rincipjui4JI eJ s:etinnii fiil rQagVnnii este yalabil in aceste sisteme. In sfir~it RW aratat cu. ajutorul transformarilor lui Galilei v i accelera#a are caracter invariant fatli de sistemele de re • tiale ea si principiul fundamental (II) este va a 1

lnOrrce sistem de referintli inertial (masa este o cons an , m mecamca c asiCii). Prin lirmare:

·nvariante la trans ormarile Galilei, rezulti'i ca to ate consecinte ale principiilor) sint invariante la transformdrile lui Gqljlf\j qdjcQ v1R' uceleayi in tqqte si stemele de ceferj ntif j nerJiale

Dupli cum am spus, un fizician inchis intr-un laborator nu J>Oate determin~ cu ajutorul experientelor mecanice locale mi~carea rectilinie uniformli a laboratorului sliu fata de sistemele de referintli inertiale, dar poate determina o mi~care curbilinie accele­ratli a laboratorului. Astfel, prin. experiente mecanice efectuate chiar pe Pamint se poate dovedi mi~carea de rotatie diurnli a Pamlntului: amintim, de exemplu, celebra experientli a lui Foucault din 1851 cu rotatia planului de oscilatie al unui pendul.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un clirucior cu ciment, cu masa m = 100 kg, este ridicat cu ajutorul unei macaralQ cu o forta F = 1,20 kN.· Care este acceleratia cliruciorului?

• -+ -+ Rezolvare. Asupra carueiorului actioneaza doua forte: greutatea G = mg, in jos, ~i

. -+ / . forta de tractiune F exercitata de macara prin cablu, in sus (neglijlim forta arhimedicli !;>i fortele de frecare) (fig. 2.17). Alegind axa Ox vertical in sus, ln.sensul mi~clirii, avem

· F -~ mg . F - mg = ma, a = = 2,2 m/s2

•

m

0 b s e r vat i e. Forta F poate fi exer,citatli prin intermediul unui fir trecut peste scripete. Vom presupune totdeauna in problemele de mai jos eli firul este de·masli ne­glijabila, subtire, flexibil ~i inextensibil.. De asemenea, vom presupune totdeauna eli scripetele este ideal, adica de masli neglijabila ~i cu frecliri neglijabile in Jagarele sale {cu rulmenti). '

Un scripete ideal schimba convenabil direcfia forJei: de o parte side alta a scripetelui forta de ip.tindere a firului va fi aceea~i. Se poate verifica aceasta cu ajutorul unor

dinamometre prinse de cele doua capete ale Cirului {fig. 2.18). Prin tensiunea din fir se intelege fortH ca r·•~

F intinde firul ~~ care se poate mlisura taind firul '-'"' ~i intercalind un dinamometru (fig. 2.1.9). Ten-

tx siunea din fir este o forta elastica care se dato-

1 re~te deformarii (alung1rn) elastice a firulm.'

8 1.~ I Astfel de tensiuni in cabluri sau bare din cadrul diferitelor constructii (poduri, acoperi~uri etc.)

0 trebuie neaparat cunoscute pentru a alege cabin J sau bara de grosime corespunzatoare ca sa nu se rupa.

2. Peste un scripete ideal este trecut un fir de Pitt· 2.11. La problema l'ezolvata 1, capet~le diruia sint atirnate doua corpuri de

52

/

Fig. 2.1~. Un scripete ideal (de inertie neglijabiUi ~i fred1ri neglijabile i'n lagare} schimba convenabil directia fortei: de o parte ~i de alta

/ a scripetelui forta de intindere a firu1ui (tensiunea din fir) este aceea~i.

mase m1 = 220 g ~i m2 = 230 g. Sa se calculeze acceleratia sistemului ~i tensiunea din fir (fig. 2.20). Rezolvare. Un scripete ideal schimbli convenabil direc#a fortei, deci de o parte ~i de alta a scripetelui ten·siunea din fir este aceea~i. Asupra fiecarui corp actioneazli forta de tensiune din fir T in sus ~i forta de greutate in jos. Diferenta acestor doua forte produce acceleratia corpului. Cele doua corpuri,

. fiind legate prin fir, se mi~cli solidar, m2 in jos, mi in ~us, cu acc:'leratii egale in

Fig-. 2.19. Tensru­nea dintr-un fir esie forta care intinde firul ~i se ... poate masura cu un dina­mometru inserat pe

fir.

Fig. 2.20. Un £cripete peste care •~'Ste- trecut un fir cu doua corpuri atirnate la capete (Ia exemplul rezclvat ~)

53

modul dar de sensuri opuse. Alegind pentru fiecare corp sensul pozitiv lll axei in sensul mi~carii sale, scriem ecuatia principiului II:

T - m1g = m1a, m2g T = m2a.

Aici T, a, g reprezinta marime;:1. sau modulul tensiunii,: acceleratiei, respectiv accele­rafiei gravitationale, semnul ( +) sau (-) provine de la orientarea vectorilor respectivi fata de sensul pozitiP ales de noi pe axa mi~ciirii. Daca am inversa sensul axei, ecuatiH respectivi1 s-ar inmulti cu ( -1), adica toti membrii ~i-ar. schi~ba semnul. Prin adunarea membru cu membru a celor doua ecu~tii, obtinem acceleratia sistt•­mului:

a = g m2 ml = g 230 - 220 0,218 mjs2. m1 + m2 220 + 230 lt5

Putem obtine acest rezultat direct, scriind ca forta (m2e: - m1g) este egala en masa sistemului' (m1 + m2) inmultita cu acceleratia sistemului a. Jntroducind expresia accele~atiei a in prima sau a doua ecuatie. de mai sus, gasim tensiunea din fir:

T = 2mtmzg = 2,20 N. mt + Tnz

a. Intr-un lift este suspendat de tavan un dinamometru cle care aUrna un corp cu masa m = 1,00 kg. Ce forta indica dinamometrul daca liftul se mi:;;d'i. cu acceleratia a = 2,0 mjs2 indreptata: a) in sus, b) in jos (fig. 2.21). RezolPare. Daca liftul este in repaus, resortul dinamometrului este in tins cu o forte egala cu greutatea corpului atirnat, acesta fiind in repaus:

F G· = mg =· 1,00 kg· 9,8 m/s 2 =: 9,8 N.

a) 1n primul caz, alegind sensul pozitiv in sus, in sensul acceleratiei, a vern pentru r·orpul suspendat:

F.,..,.. mg::::;; ma,

m

.,___ ___ _

a b

54

de unde .I

F.= m(g + a) = 1,00 kg· (9,8 + 2,0) m/s2 = 11-,8 N > G = ·9,8 N.

Ac~st caz are loc dnd liftul porne9te accelerat tn su&., Atunci corpul ramine la mceput putin in urma datorita inertiei sale_, resortul se tntinde, se na9te o fort~ elastica supli­mentara necesara pentru a accelera corpuL Exact la fel se inthp.pla dnJ' liftul coboara 9i iPcepe sa frineze (aceea9i acceleratie ca mai sus). Corpul in virtutea inertiei cauta sa-9i mentina viteza, intinde resortul, se na9te o forta elastica suplimentara care tl frtneaza.

b) Alegtnd sensu I pozitiv tn jos, in sensul acceleratiei, a vern pentru corpul suspe~dat: mg - F = ma, F = m{g- a).= 1,00 kg· (9,8 - 2,u) m/s2 = 7,~ ~ < G = 9,8 N .. Acest caz are loc ctnd liftul urea ~i tncepe sa frineze. Atunci corpul cauta sa-~i men­tina viteza in sus, tn virtutea inertiei, 9i sUi.be9te intinderea resortului. La fel, ct~d liftul porne9te accelerat tn jos, corpul ramine initial tn urma 9i tntinderea resortului scade. Daca liftul cade liber in jos cu acceleratia a= g, dinamometrul va indica forta ·zero (starea de ,imponderabilitate": oricare corp din cab ina liftului cade liber cu ~·ce­

ea9i acceleratie de cadere Iibera, ca 9i liftul). Daca liftul ar fi tras tn jos cu o accelera­·tie a > g, resortul ar fi comprimat. Caiculati ce forta de apasare simte un om d~> mas~ m = 70 kg din partea podelei

liftulu.i in , cazurile de mai · sus. 0 b s e r vat i e. Un corp a~ezat pe un plan orizontal neted, fara frecari, exercita o fortii de apasare asupra planului, deformtndu-l.

--,)>

Apare atunci o forta de reacfune N din partea planului, exercitata asu~ pra corpului (principiul III). Forta --,)> '

N este perpendicular& pe planul orizontal 9i "compenseaza forta · ver-

-,)o -+ ticala de greutaie G, au.· ·1 N =

-+ -+ -+ -G sau N + G = 0.

Daca acum asupra corpului actio­neaza forte· pe o aceea9i directie orizontala, putem aplica tntocmai consideratiile de la cazul unidimen-

-+ sional, deoarece greutatea G a corpului va fi permanent anulata ·

-+ de reactiunea normala N a planului orizontal. Acest. caz intervine frecvent in mi~­carea vehiculelor pe drumuri recti­linii orizontale.

4. Pe o masa neteda, fiira frecari, este a!?ezat un corp de masa m1 = = 5,0 kg de care este prin~ un fir orizontal, trecut peste un scripete ideal ~i avtnd la capat un corp de masa m2 = 2,0 kg {fig. 2.22). Sa se calculeze acceleratia sistemului 9i tensiunea din fir.

a m2.g

0 f· I

ma

-X m2g

b

Fig. 2.22. Care este acceleratia sistemului ~i ce forta indica dinamometrul? (Exemplul

rezolvat ft.)

55

Re~ol(.Jare. Forta de greutate G1 = 1n.1g a corpului m1 este anulata de r.eactiunea nor­mala N 1 a mesei orizontale. Fort.ele de fre~re slnt neglijabile. Scripetele fiind ideal, tensiunea din fir este aceea~i de o ·parte ~i de alta a scripetelui. · Alegem axa Ox pentru fiecare corp in directia ~i sensu) mi~carii sale. Atunci. ecuatia fundamentala se scrie astfel:

dt> undP a·= g --

11-£

2-- = 2,8 mjs2 ; T

m1 + m 2

5. 0 lampa cu masa m 3,0 kg este suspendata ca in figura 2.23 Sa se afle tensiunea din fir (de lungime l = 0,50 m) ~i din bara (de lungime b = 0,40 m).

Rezolvare. Putem judeca in doua moduri: ~

a) Descompunem greutatea lampii G dupa directia firului ~i a barei. Pentru aceasta ~ ~

ducem prin originea :;;i prin virful vectorului. G mg (desenat separat) paralele la ~ ~

cele doua directii. Componenta G1 i:ntinde fir-ul :;;i este a_nihilata de tensiunea T 1 din ~ ' ~-

fir, iar componenta G2 comprima bara :;;i este anihilata de tensiunea T 2 din bar:~L

Prin urmare:

1v-- 1 mg tg oc, cos oc =- 12 - b2 , tg oc= b -::-=-. . z Vz2 - b2

Deci

Observam ca un fir nu poate fi decit in tins; :in fiecare sectiune a firului actim.eaza doua forte egale in modul ~i de sensuri opuse, actiunea ~i reactiunea, aplicate cape­telor firului din sectiune, care intind respectiv cele doua parti ale firului. 0 bara poate fi intinsa, ca un fir, sau comprimata. in ultimul caz, in fiecare sectiune, cele doua forte comprima re&pectiv cele doua parti ale barei.

h) Nodul P in care se imbina firul, bara ~i cablul de snstinere al ·~ampii este in erhili-. . . ~ ~ ~

"-hru, deci cele trei' fortt? trebuie sa dea rezultanta nula: T1 -+ T 2 + G = 0. Ale-gem doua directii convenabile, in cazul.nostru cea Drizontala ~i cea verticala (fig.2.23, c) ~i scriem conditia de echilibru separat pentru fiecare directie, proiectind ecucitia vedoriala de mai sus pe cele doua directii:

pe orizontala T 2 - T1 sin oc = o, pe verticala T1 cos oc- mg = o. De unde

mg b

Fig. 2.23. 'Descompurierea fortelor in problema rezolv«ta 5.

56

INTREBJi.RI: EXERCIJII. PROBLE1v1E

1. Urr muncitor sparge len;1ne cu toporul. La spargerea unui butuc, toporul a ramas infipt in butuc. Cum trebuie sa lovim de un suport rigid: cu butucul in jos sau cu dosul tope~ rului in jos, pentru a sparge butucul? ( Indicafie: a se oompara inertiile, adica masele toporului ~i butucului.).

R: cu butucul in sus, daca masa acestuia e mai mare.

2. Pentru a indeparta praful, hainele sau covoarele sint scuturate sau batute. Explicati aceste doua procedee.

R: in virtutea inertiei particulele de praf continua sa mearga inainte sau , ramin pe loc.

3. De ce atunci cind vrem sa introducem minerul de lemn intr-un ciocan, topor sau Iopata, lovim cu capatul liber al minetului de un obiect masiv imobil?

R: masa. minerului e mai mica (v. probl. 1).

4. De ce este greu sa batem un cui intr-un gard prost fixat care se leagana? Ce trebuie sa facem ca sa putem totu~i bate cuiul?

R: apasam de partea opusa. cu un obiect masiv (topor, ciocan).

5. Daca stam intr-o barca u~oara ~i tragem de o sfoar3, legata de un vapor, ne vom apro-pia de vapor. De ce nu se apropie vaporul de barca?. ·

R: de~i fortele sint egale in modul, acce~eratiile imprimate sint total diferite.

6. Un dinamometru u~or este legat prin doua fire orizontale trecute peste doi scripeti, de dow corpuri identice, fiecare de greutate G, ca in figura 2.24. Dinq.mometrul va indica: 1) zero, fiindca cele doua forte de greutate egale se echili}4eaza; 2) forta 2G, fiindca fiecare din cele doua forte de -greutate intinde resortul dinamometrului; 3} forta­de greutate G a unui singur corp. Care raspuns este corect?

R: 3)

7. 0 sfoara este intinsa oriwntal de doi elevi. La mijlocul sforii este un inel de care este agatat un corp cu masa de 1 kg. Poate fi sfoara intinsa perfect orizontal?

R: nu.

8. in ce consta eroarca afirmatiei: ,Nu pot mi:;;ca din loc (accelera). nici un corp, deoarece la orice actiune de-a mea, orictt de mare, exercitata asupra corpului, acesta raspunde automat cu o reactiune egala in modul fiii opusa ca. sens (conform principiului egali­tatii acthmii ~~ reactiunii), care imi anihileaza deci automat orice actiune"?

R: actiunea §i reactiunea se aplica la cerpuri diterite.

F:?

G

Fig. 2.24. Ce forta arata dinamomE>trul?-.

57

Fig. 2.26. Fortele cu care este trasll sfoara de clltre elevi slnt permanent ~gale in modul ~ji opuse ca sens. Totu~i elevul mai tare invinge ~i U ~rage pe eel mai slab spre el. De ce?

9, Doi elevi trag de un capat fji de aitul o sfoarll, opintindu-s~ cu picioarele de pllmlnt (fig. 2.25). Cele douli forte, cu care fiecare actioneazll asypra celuilalt prin inter­mediul sforii, stnt. permanent ega1e in modul ~i opuse ca sens, conform principiului egalitlltii actiunii ~i reactiunii (ceea ce se poate- verifica punind pe fiecare elev sa tragll de sfoara nrin intermediul unui dinamometru prins de un capat). Totu1?i elevul mai puternic va 1nvmg~, traglnd pe eel slab de partea sa. Cum explicati aceasi:a?

R: intervin ~ji fortele de frecare cu solul.

10. Doull vagoane au Ia tampoanele lor resorturi identic.e .. Vagoanele se ciocnesc. Se consider& mai multe cazuri: unul din vagoane este in ~epa us; amindoua se mi~cll; unul este tncllrcat, celalalt gol etc. Sa se compare intre ele, comprimarile celor doull resorturi in aceste cazuri.

R: se com prima ega I.

11. Un vapor ciocne~te o barca, pe care o rupe, fara ca el sll aiba vreo stricaciune, sau un camion lovefjte un carucior ~i il strica fara a avea el lnsu1ji vreo stricaciune etc. Nu contrazice aceasta principiul actiunii fji reacti~nii?

R: nu; efectele fortelor depind "'de proprietatil~ corpurilor.

12. Cum sint deformate resorturile tampoanelor intre diferite vagoane consecutive Ia un tren tras de locomotiva fji Ia un tren tmfins de Iocomotiva?

J,t: alungirile, respectiv comprimariFe~cad de la Jocomotiva spre capatulliber.

13. a) Cum explicati rasturnarea corpurilor intr-un vehicul care frineaza brusc sau vireaza brusc? b) Cum explicati devierea obiectelor suspendate intr-un vagon care accelereaza rec­tiliniu sau vireaza? tn ce sens are Joe devierea?

R: in virtu tea inertiei corpul tinde sa mearga inainte rectiliniu uniform, in timp ce podeaua (tavanul) fuge a.ccelerat. Devierea relativa este in sensul opus

acceleratiei.

14. Un parafjutist cu masa m 100 kg, dupa deschiderea para~utei, tncepe sa se mi~ta _ uniform. Ce fortll de rezistentll intimpina el din partea aerului in acest caz?

R:Fr = mg = 980 N.

1i~ Sub acpunea unei forte F 1 = 10 N. un punct material se mi~ca cu acceleratia a1

= 2,0 mjs2• Cu ce acceleratie se va mi1jca acesta sub actiunea fortei F 2 = 50 N?

R: a2 = a1 • F 2/F1 = 10 m/s2_.

58

F

'Fag. 2.26. Cu ('e forfa impinge corpul m1 corpul m2,?

16.; Un corp cu masa m1 5,0 kg, sub actiunea unei forte, a caplltat acceleratia a1 ' = 4,0 mfs2• Ce acceleratie va capata u:d' Gorp de masa m2 = 20 kg sub actiunea aceleia~i forte?

R: a2 = a1 • m1/m2 = 1,0 m/s2•

17. 0 minge cu masa m = 0,40 kg dupa lovire a caplitat o viteza v = 10 mfs. Dacll durata lovirii a fost ill = 4,0 ms, sa se afle forta medie de ciocnire.

R: Fm =m ~v = 1,0 kN. !lt

18. 0 sirma de otel rezistll pina la o forta de intindere (de rupere} Fr = 1,20 KN. Cu ce acceleratie maxima putem ridica, cu ajutorul acestei strme, un bloc de beton de masa m = 100 kg atirnat la -capatul sirmei?

R: amax = Frfm- g = 2,2 m/s2• ' ..... ~

19. Doull corpuri paralelipipedice t.ie·matie m1 = 20 kg 1;\i m2 = 5,0 kg sint a~ezate'alaturat pe o masa orizontala neteda fara frecari. Corpul de masa rn1 este impins ~u o forta orizontala F = 100 N (fig. 2.26). Cu ce forta corpul m1 impinge corpul m2?

R: f=F-~ 20 Nj m1 + m2

/ I /

-I 1 +

I I

3

MISCAREA PUNCTULUI MATERIAL SUB ACTIUNEA UNOR " . TIPURI DE FORTE •

Cunoscind for~ele care a.c~ioneaza asupra punctului material, se poate determina mi§carea sa. Vom studia numai cazurile simple, dar frecvent intil­nite in practica.

3.1. MI~CAREA RECTILINIE UNIFORMA ...,..

Conform principiului inertiei, un punct material izolat {F = 0) se mi§ca -+

rectiliniu uniform: vectorul viteza este constant v = const. In acest caz':lviteza medie coincide cu viteza momentana:

L\.x x- x 0 v = Vm = - = ---, x = x0 + v(t - t0), (v = const.), (3.1) L\.t t - t0

unde x este coordonata mobilului la momentul t, x0 coordonata la momentul t0 §i v-' viteza (constanta) · (v este pozitiv d~ca mobilul se mi§ca in sensu} pozitiv al axeiOx). In particular, daca t0 = 0,

x = x0 + vt, (3.2)

unde x0 este coordonata ini~iala la moment1.d ini~ial t = 0. Daca reprezentam grafic legea mi§carii (3.2), luind pe abscisa timpul t

t}i pe ordonata coordonata x, ohtinem o linie dreapta (fig. 3.1). Legea mi§carii (3.1) sau (3.2) este un polinom de gradul intii in timp, adica o functie liniara de timp.

Mi§carea rectilinie uniforma va avea loc §i in cazul in care toate ac~iunile corpurilor inconjuratoare se compenseaza reciproc.

Sub forma vectorial::(:

-+ -+ -+ -+ -+ L\.r r - r0 -+ ""*' __,. ""*' 11 = Vm = - = --, r = r0 + v(t- t0), ("-'= const.), (3.3)

L\.t. t - t0

60

unae. ~ este vecto:ru~ p.pzitie la -+ •··

momentul t, iar r 0 ~ vectorul de pozt· tie Ia momentul t0 (de . mu.lte ori

· t0

== O) (fig. 3.2). · Ecuatii~ vectoriale (3.3) proieotate pe axa miJ?carii O:c dau ecuatiile (3.1).

EXPERIMENT

Se realizeaza montajul din figura. 1.29. Bara. de rulare (66) se orizontalizeaza cu raportorul (17).

CaruciQrul (27) incarcat cu greuta~i cu ~urub (34)(150 g) s~ .mi~ca ini~ia,l sub· ac~iunea for~e1 F data. de greuta~ile crestate (26). For~a F este anulata apoi prin opriref). greuta~ilor (26) pe placa de amortizare (31), mi~carea caru­ciorului facindu-se in continuare aproximativ uniform, for~ele de frecare fiind neglijabile.

a) Se masoara viteza pentru diferite distan~e Ax, in diferite puncte ale traiectoriei, exact ca in experimentul de la § 1.12. Ce concluzii desprinde~i?

b) Se pastreaza intrerupa­torul 1 intr-o pozi~ie fixa (la inceputul riglei gradate) ~i se muta intrerupatorul 2 din 10 in 10 em~ Pentru fiecare (lin aceste distan~e se mf\soara t1mpul t. Datele se tree in tabelul urmator:

x(m) 1 0;10 0,20 0,30 0,40 0,50

t(~)

Reprezenta~i grafic legea mi~carii ob~inuta x = f(t). Calcula~i panta dreptei {adica Ax/ At), alegind doua puncte dep.artate pe grafic · ~i compara~i-o cu viteza ob~inuta mai sus la punctul a). Scrie~i ecua~ia dreptei ohvinute.

X

X

0

I I

.6Xko I L---------

,61

b

v>o

t

v<o

Fig. 3.1. Graficullegii mi~carii r~ctilinii u~i.forme este o linie dreapta. a) V1teza poz1t1va.

b) Viteza negativa.

Fig. 3.2. Ecuatia mi~carii rectilinii uni­forme sub forma vectoriaHL

61

12

-4 -6

-a -10

x,m

t,a

PROBLEME REZOLVATE

l.. Sa se scrie ecuatiile tni~?dirUor rectilinii uniforme, reprezen tate 1n figura 3.3. Rezol()are. Pe axa Ox, .Ia inter­sectia ru graficul mi~ctirii., citim (~oordonata initiafa x0 pentru t = O. Gasim respectiv: 0 l 4 ;

8 ~5. VitezCcJ. se gase~te luind doua puncte convenabile pe grafic (fie punctele de inter~ sectie cu axele, tie originea ~i un punct de pe grafic), ductnd

Fig. 8.3. Gr·aficele mi~carilor rectilinii uniforme la paralele Ia axe ~i calculind problema rezolvata 1. . raportul catete)or tn triunghiul

format: ·v = b.xf At. CH!.sim respectiv: 1 ;2;-2 ;0. Prin urmare, ecuatiile sint· (x = Xo. + vt):

X t; X= 4 + 2t; X= 8- 2t; X= -5.

2. ? scb.~~! r~I1:n1ta.r1idicaxu~ ca~ator, aflat tn repa1us pe scara, in timpul 11 = 30 s. Pe scara

1mo 1 tl Ctt tt oru urea. m ~1mpul t2 = 60 s .. · n cit timp t urea ci:Uat 1 mobila? oru pe scara

RezolCJare. Fie Vs - viteza scarii, Vc -·viteza calatorului fatX de scarX . " - 't 1 1 · · , . . . ,tt tt ~~ •' - VI eza

ca atoru m fata de Pammt. Atunc1 d1stanta parcursa se scrie in cele trei cazuri: d = Vst1 = vct2 = vt, dar v = Vc + v8• Atunci

d d d t1t2 - = = --= 20s. V Vc + Vs djt2 + djt1 t1 + t

2

8. Doua trenuri inerg unul spre celalalt cu viteze v = 72 kmfh si v = 54 k /h 1fT ,x1x

t d . · I 1 , 2 m . 'L n ca ct-or Ill primu tren observa ca trenul al doilea trece prin dreptul s~<u u t"

C . , . . a n Imp "t" = 4,0 s. are este lung1mea trenulm al d01lea? Care sis tern de referinta este mai ot i ·

pentru rezolvare? P r Vlt

Rezolvare. Fat.i de calatorul din primui tren, trenul al doilea trece ·t _ d · z · ) _ · cu VI eza v1 + v2 ec1 2 = (vl V2 "t" = HO m. Se poate rationa ~i fata 'de trenui al doilea. '

1NTREBARI. EXERCIJII. P'ROBLEME

1. ln_tr-un vagon aflat .in mil?care rec~ilinie uniforma un elev arunca vertical in 8~18 0 ,mmge (care nu se love~te de tavan;. Cum va arata traiectoria mingii-ln reperul de vagon; dar intr-un reper de Pam!nt?

R: dreapta vertiea.la; curba din 2.·16 Semnalele de

; t

62

8. Stea.ua pol.ara se afUI. la o distan~A d - 460 ani lum-inA de Pll.rntnt. Dn a,n luminA reprezinta distanta parcursa de lumina in timp de un an. Sa se calculeze in kilometri valoarea. unui an-luminA, precum ~i distanta pina la steaua polara.

R: 1 an-lumina = 9,5 • 1012 km; d = 4,37 • tots km.

4. ln dt timp lumina parcurge- o distanta de 1 ,oo m, dar diametrul unui atom de hidrogen (1,06 • 10-10 m)?

R: 3,3 ns (nanosecunde}; 0,35 • 10-18.~s.

5. Sunetul se propaga tn aer practic rectiliniu uniform cu viteza c = 340 mfs. La ce distanta s-a produs un fulger, daca sunetul s~a auzit dupa D.t = 10 s de la obser­varea fulgerului?,

R: d = c.1t· = 3,4 km.

6• Un .autobuz merge prima jumatate din drumul sau total cu viteza v1 = 60 km/h, iar cealalta jumatate cu vit.eza v2 = 40 km/h. Care este viteza medie a autobuzului pe intreaga distanta?

R: Vm = 2v1v2 = 48 kmfh.

vl + Vz

7. Ecuatiile m1~carii a doi bicicli~ti sint: x1 = 8t, x2 200 - 12t. Sa ~e reprezinte grafic Iegile mi~carii ~i sa se afle Iocul ~i momentul intHnirii lor. Ce reprezinta coeficientul lui t in acest.e ecuatii?

. R: x = 80 m, t =_10 s; viteza.

8. Ecuapile mi~carii a doua mobile sint: x1 = 1 + t, x2 2 + 2t.

Sa se construiasca graOcele mi~carii. Sa se afle Iocul ~i momentul intilnirii mobilelor. Care este semnificatia fizica a raspunsului obtinut?

R: x = 0, t = -1 s (s-au intilnit in originea axei in trecut).

9. 0 barca cu motor, mi~ctndu-se impotriva sensului de curgere a unui riu, parcurge o distanta d = 9,0 km in "t" 0,50 h. tn cit tfmp va parcurge barca aceea~i distanta inapoi, daca viteza de curgere a riului este v =-= 6,0 km/h?

R: "t"' "t"~-d ___ . = 0,30 h = 18 min. d + 2V"t"

10. Distanta d = 100 km dintre doua porturi fluviale este parcursa de o ~alupa in sensul curentului tn t1 = 4,0 h, iar impot.riva curentului in t2 = 10,0 h. Care este viteza apei ~i viteza ~alupei fata de apa?

t2 - tl tl + t2 d R: Va = ~-d = 7,5 km/h; v0 = ---. = 17,5 km/h. ~tlt2 . 2tlt2

11. tn cit timp este ridicat de o scara rulanta un om care sta pe ea, ~tiind ca la aceea~i viteza relativa fata de scara; omul urea scara nemi~cata in timpul t1 = 120 s, iar pe scara mobila in t2 30 s?

lt: T = ___!i!_ = 40 s. ll- t2

12. Din Bucure~ti ~i Ploie~ti pleaca simultan unul spre celalalt cite un autobuz cu vitezele constante v1 = 60 km/h ~i respectiv v2 = 40 kmfh. 1n acela~i moment dintr-unu1 din autobuze i~i ia zborul spre celalalt autobuz un porumbel calator, care continua sa zboare neintrerupt, intre cele doua autobuze, de la unul Ia celalalt, cu viteza con­stanta v = 70 kmfh, pina la intnnirea autobuzelor. Ce drum total strabate porumbelul? (Distanta Bucure~ti - Ploie~ti este d = 60 km.)

R: s = d--v __ = 42 km. V1 + '1.!2

63

13. Pe ~oseau.a Bucure~ti-Br~.ov, pleadLdin Bucur~ti un camton nu viteza v1 =50 km/h. Din Ploi~ti (la dista_nta s0 = 60 km) pleaca un alt camion cu viteza v2 = 60 km/h, dupa un timp t0 = 1,5 h deJa plecarea primului camion. Dupa cit timp 9i tn ce loc se vor tntilni camioanele? Sa se reprezinte grafic pe aceea~i diagrama ,coordonatele celor doui1 camioane in func~ie de timp.

R ·r v2to- so . · : = = 3,0 h; L = v1 T = 150 km. Vz- Vt

1~. Un barcagiu vlsle9te perpendicular catre tarm.cu o viteza v0 ::::::,7.,2 km/h fata de apa. Cursul apei deplaseaza barca cu ,o dista~:tll~¢ = 150 m'ln josul riului. Latimea riului este L = 500 m. Care este viteza riului 9i durata traversarii riului?

R: v = v0d/L = 0,60 m/s; T = Ljv0 = 4 min 10 s.

15. Pe un strung trebuie strunjita.o piesa de forma unui trunchi de con cu razele bazelor r 1 = 15 mm, r 2 = 20 mp1 9i 1naltimea h = 50 mm. Viteza de deplasare longitudinala a cuptului este vl d:: 5,0'mmjs. Care trebuie sa fie vit~za Vz de avans transversal~

R: v2 = v1 r 2- r 1 = 'o,50 mm/s. h

3.2. MI$CAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT A ; /'

Daca vectorul for~a este constant, atunci din legea fu:p.damentala rezulta ' -~.: ................... ~-"""··-·•""~-- '

ct ~i vectorul accelerafie este constant: a = F fm = const. In acest caz accele-. ~ ~

ra~ia medie coincide cu acceleratia momentana: am = a. Daca for~a are directia vitezei, mi~are!l va fi rectilinie. In adevar, ~ce--~ ~ ~ -+

lera~ia ti variatia vitezei a.u directia 'i sensul fortei: F = ma = mAv/ At, deci ~- ' ' ·;

in acest <:az varia~ia vitezei Av are directia vitezei, care i§i pastreaza astfel direc~ia neschimbata.

V ectorii for~a, viteza §i accelera~e sint to~i pe aceea§i dreapta pe care o alegem drept axa a coordonatelor Ox (a absciselor). Sensu} pozitiv pe axa se :1lege de obicei in sensu} vitezei (ini~iale). ·

3.2.1. Legea vitezei. Din definilia ~ccelera~iei rezulta:

!:l.v v- v0 ( a = tl,n = - = .........----,. - const. -+ v = v0 + a t - t0), , · /.).t t- t0

(3.4)

unde V este viteza }a Ufl moment oarecare t §i Vo este viteza }a momentu} to,

iar a este accelerafia constanta. Aceasta este ecuatia sau.legea vitezei in mifcarea rectilinie uniform. v.ar-iatd-.·

In particular, daca viteza (iriitiala) va este cunoscuta pentru m-omentul (initial) t = 0 (adica to = 0), ecuavia de mai sus devine:

v = 11o +at. (3.5)

In diagrama viteza -. timp aceasta ecuatie se reprezinta printr-o linie dreapta (fig. 3.4 ~i 3.5), de aceea fle spune ca ln mi~carea rectilinie uniform

64

j

variata viteza variaza liniar cu tim­pul sau este o funcfie liniara de timp (adica este un polinom · de gradul intii in timp). Panta acestei drepte este Qb._iar .. a~(;~leratia a.

Viteza ini~iala v0 (la momentul initial t = 0) poate fi pozitiva (mo­bilul se mi§ca in momentul t = 0 in sensul pozitiv al axei), negativa (mohilul se mi§cii in momentul t = 0 in sensul negativ al axei) sau nula (mobilul era in repaus in mo­mentul t.= 0). In ultimul caz legea (3.5) devine v = at, adica viteza cre§te propor~ional cu timpul. De obicei alegem sensul pozitiv al axei tn sensu! vitezei initiale vo (atunci v0 > 0) sau al accelera~iei daca v0 = 0 (atunci a > 0).

Fig. 3.4. Graficul vitezei in mi~carea uniform variata (acceleratie pozitiva}.

.... ..

v

Din graficul vitezei putem de­termina accelera~ia, Iuind doua puncte pegrafic A(t1, Vt) 'i B(t2, v2) §i calcultnd ~v/ At, adica panta dreptei (fig. 3.4 §i 3.5).

Fig. 3.5. Graficul vitezei in mi~carea uni­. form variata (aeceleratie negativa).

3.2.2. Legea mi~cirii. Din expresia vitezei medii Vm = lixf At =

(x-x0) f (t-t0 ), rezulta .

(3.6)

In mi§carea uniform variata, cind viteza este o functie liniara de timp, _ viteza medie e~te_ egala cu media ar~tmeticd a vitez~l()!' i~ilit!J8. ~i fjnaUl pe ill.tervalul c<msiderat, de aceea (3.6) devine:

x = x0 + _.!_ (vo + v)(t -to)· . 2

Cum v = v0 + a(t ~ t0); ecua~ia (3. 7) devine:

( 1 . )2 ~ = X0 + Vo t - t0) + -c- a( t - to . ., ' 2

Aceasta este ,.lei~~~-;,;;;i ;:;;[iinii y,niform variate.

(3.7)

(3.8)

Pentru. a s'crie ecuatia (3.8) trehuie sa cunoa,tem conditiile ini~iale,

adica coordonata fi viteza la un moment. dat: x = xo ti v = VQ pentru t = to·

65 5- Fizica ct. a IX-~

ln parti~ul.a:, daca cuno~~tem coordonata (ini~iala) x0 ~i viteza (ini~iaJ~) vo Ia momentulini~Ial t = 0 (adwa to = 0), ecua~ia precedenta devine m~isimpla:

1 x = Xo + vat + at2•

2 (3.9)

In ecua~iile (3.8J ~i (3.9) toate marimile pot fi pozitive, negative sau nule. ReCiproc, din legea mi~carii (3.8) sau (3.9) se oh~ine legea vitezei (3.4)

sau (3.5) .

. " Coo~donata. ~obilulu~ in mi~carea unif~rm variata este · o functie patra­, .. "tt~a de ~l"!f! (ad~ca un pohnom de gradul doi in timp). Coeficientul lui t este ~Iteza 1n1~Iala, Iar coeficientul lui~ t2 este jumatate din acceleratie (termenul hber este coordonata .fni~iala). · ·

De obicei alegem originea .coordonatelor (de unde masuram coordonata) in pun<:tul i~: care seafla mobllulla momentul ini~ial t = 0, atunci x

0 = o,

X V iar SenSU} pozitiv a} axei n

0

a

Fig. 3.6. a) D~c~ acc~leratia ~ste pozitiva, coordo­nata are un mm~m cmd mobtlul are viteza nula. b) Daca. acceleratta este llegativa coordonata are un

maxmt tn momen tul opririi (pen tru v = o).

66

luam in sensu! vitezei ini~i­ale Vo, , atunci v0 > 0. In · cazul ~0 = 0, avem

x = vot + _! at2• (3.10) 2

Daca ~i vo .· 0, ecuatia devine

x =I at2, (3.11)

adica, daca mobilul -pleaca din repaus din- originea coordonatelor, coordonata sa este propor~ionala cu patratul timpului.

Reprezentind grafic: legea (3.9), obtinem curbele din figu­ra 3.6 (graficul' liilei functii patratice este o parabolii). De obicei Vo > 0 ~i ne interesea,za mi~carea numai pentru t > 0. . Dadi accelera tia es te nega­tiva, graficul are un maxim in momentul opririi mot.ilului.

Daca ~0 > 0 ~i a <, 0 mobilul· se departeaza de· origine lncetinit, la un mo­ment dat se opre~te (v = 0, x maxim) ~i se intoarce ina-

poi' (v < 0). Durata mi,ctlrii ptnA la oprire se ob~ine imediat, puntnd condi~ia . 0 • de opr1re v = :

0 = v0 + at, de unde tm = - ~ , a

iar coordonata maximii

(3.12)

-(3.13)

3.2.3. Formula lui Galilei. Sa eliminam timpul t din cele doua ecua~ii, a vite~ei (3.5) 'i a. coordonatei (3.9). Scoatem timpul din ecuatia vitezei ~i il introducem in ecua~ia coordonatei:

sau

d d v- V0 v = v0 + at, e un e. t = --· - , a

. · 1 2 v - v0 . 1 ·(v - v0)~ v2 .,-- v~ x = x 0 ·+ v~ + 2 at = Xo + Vo --+- a ·-~ . = Xo + 2a

a 2 a .

v2 = v~ + 2a(x - xo)· (3.14)

Aceasta este ecuafia sau formula lui Galilei. Ea ne permite sa calculam viteza · mobilului pentru orice pozi~ie a sa. Punind v = 0 ( condi~ia de oprire), regasim (3.13).

De obicei x0 = 0, adica alegem originea coordonatelor in punctul in care se afla mohilul la t = 0. Atunci (3.14) devine

v2 = v~ + 2ax. (3.15)

ln particular, daca 1Ji v0 = 0, adica mobilul pleaca din repaus (Ia t = 0), avem

v2 = 2ax (3':16)

Mentionam ca ecuatiile mi~carii rectilinii uniform variate se pot scrie vectorial astfel:

~ ~ ~

~ ~ D.v v- v0 a= am=-=-·--, · D.t t - t0

~ ~ ~

de unde v = v0 + a(t - t0 ),

~ ~ ~ 1~ 2 r = r0 + v0 (t - t0 ) + - a(t - to) .

2

(3.17)

(3.18)

Binetnteles, din legea mi~carii (3.18) se poate obtine prin procedeul cunoscut legea vitezei (3.17). Proiectind aceste ecuatii vectoriale pe axa mi~carii, obtinem ecuatiile algebriee cunoscute (pe componente). Mai mult, aceste ecuatii vectoriale sint valanile chiar daca

vectorii ~ 9i; (;; = .const) nu sint coliniari ~i deci mi9carea nu este rectilinie ci curbilinie

tn planul definit de ve~torii ~01 ;) sau ~01 P), de exemplu in cazul arunci1rii tn vid in dmpul ~ ~

gravitational terestru (atunci a = Bl·

67

EX PER/MENTE

Se folosqte montajul din figura 1.29.

a) Legea milcilrii rectilinii uniform Pariate. Se procedeaza ca la experi­mentul de la § 3.1, (b).

Se va. reprezenta grafic legea mi~Jcarii x = f(t). Teoreticl ecua~ia mi~Jcarii

trebuie sa fie X = _!_ at2 (parabola). Daca trasam graficul X = F(t2) trebuie· 2 .

sa obtinem o dreapta cu panta ~. De aceea se va trasa §i graficul x = F(t2) 2

§i luind doua puncte convenabile pe grafic (aproximat printr-o dreapta) se va calcula panta aj2 deci ac~eleratia a.

b) Legea vitezei ln mi§carea rectilinie uniform va_riata. Se mon­teaza . dispozitivul de prindere (31, 32) astfel tncit sa retina greu­tatile (26) cind. caruciorul a stra­hatut fiecare din distantele x

d de la . experimentul pre~edent , (fig. 3. 7). In dreptul fiecarei va­

lori x, se monteaza intrerupatorul (18) 1Ji la o distan~a convenahila

Fig. 3.7. Montaj pentru verificarea Iegilor mi~- Ax' de acesta se monteaza intre-carii recti1inii uniform variate. · rupatorul (23). Pe distanta Ax

_pare ursa in timpul At', carucio­rul se mi~Jca · practic uniform cu viteza avuta ln dreptul coordonatei x, deci v(x) ~ Ax'jAt'.

Se va reprezenta grafic legea vitezei v = f(t). Teoretic, legea

! F '· vitezei trehuie sa fie v = at ( dreapta). Se ~a calcula panta dreptei oh~inute, deci accelera-

Fig. 3.8. lVlOntaJ pentru verificarea legii tia a, ~ji se va compara cu accele-fundamentale a dinamicii. tia ohtinuta in experienta pre-

cedenta, din legea mi~Jcarii.

c) Legea fundamentala a dinamicii~- Se realizeaza montajul din ~igura 3.8 (montajul detaliat este dat in figura 1.29). Se aleg diferite distante :t (-.. 0,5 --0,7 m) de la_virful electromagnetuh;ti pina Ia intrerupatorul2_---Forta F este data de greutatile crestate {26), dirbciorul (27) fiind incarcat cu greuta-tile cu IJUruh (34). .

In prima varianta, pentru o distanta afeasa x se masoarii timpul de mi~­care t sub actiunea · diferitelor forte F. Se calculeaza acce1eratia a = 2xjt2 vi

68

raportul Ffa, care trebuie sa coincida cu masa (M + m) a sistemului (caru­cior cu greuta~i cu turub + ctrligul cu greuta~ile crestate).

In a doua varianti, se pistreaza constanta fort& F data de greutatile crestate (26) ti se modifica incarcarea M a ciruciorului (27).

PROBLEME REZOLVATE

Peste tot unde este posibil alegem originea coordonatelor in punctul in care se afiA mobilulla t = 0 (atunci x0 0}, iar sensul pozitiv pe axa m~ii il alegem in sensul vitezei initiale (atunci v0 > 0) sau al acceleratiei {fortei) daci v0 = 0 (atunci a > 0}.

1. · Un ~fer incep~ sa frineze automobilul pe un drUm orizontal de Ia o distanta d = 25 m de un obstacol. Forta de frinare e>te Fr = 1,5 kN, iar masa automobilului m = 750 kg. Care ?Ste viteza maxima admisibila v0 a automobilului pentru .ca acesta sa poata opri inainte ··de obstacol?

Rezolvare_ Forta de greutate a automo­bilului e>te anulata de reactiunea normala a solului. Ramine forta de frtnare orien­tata in sens invers mi~carii (fig. 3.9). Alegind axa Ox in sensul mi~carii, avem

- Fr = ma, de unde a -Frfm

(acceleratia, Ia fel ca ~i forta~ este orien­tata in sensul cpus vitezei). Aplictnd direct formula (3.13) cu x0 0, avem Fig. 3.9. La problema rezolvata t.

2 2 ~ ~ .~ d = - 2a = 2F

1m, de unde v0 = v 2Ffd/m

Putem a plica. de asemenea formula lui Galilei (cu x0

v = 0.

~ 0 m/s = 36 kmjh.

0), punind conditia de c::prire

2. Doua corpuri pornesc din acela~i punct pe aceea~i directie cu vitezele initiale v01

4,0 m/s, respectiv v02 3,0 m/s ~i acceleratiile a1 2,0 m/s2, re>pectiv a 2

3,0 m/s2, corpul 2 tnsa Ia un interval -r = 2,0 s mai tirziu dectt c.orpul 1. sa se afle: a) dupa cit timp §i Ia ce distanta se vor tntilni corpurile; b) vitezele medii ale corpurilor de Ia plecare pina Ia intilnire.

Rezolvare. a) Alegem originea timpului in momentul cind porne§te primul corp, atund

x1 = v01t + _!_ ll].t2 §i x2 = v02(t - -r) + __!_ a2 (t - 't') 2 (pentru ai doilea corp t0 este "t"). 2 2

In momentul tntilnirii x1 x 2 (corpurile se afla in acela§i pnnct, Ia aceea§i distanta de origine):

v01t + _!_ a1t2 = v02(t - 't'} + __!_ a2(t- -r) 2,

2 2

de unde t2 -- 14t = 0 cu solutiile t = 0 §i t = 14 s. Prima solutie este inacceptabila, deoarece corpul 2 pleaca abia peste -r = 2,0 s. Coordonata punctului de inttlnire e;te:

1 x = v01t + _.:; a1t2 = 252 m.

2

69

b) Vi~ezele medii:

dx 252 252 V1m =- = -- = 18 m/s; v2m = --. = 21 mfs.

At 14 12

8. Din originea axei Ox plead! _un mobil cu viteza initiala v'oi = 2,0 m/s ~i acceleratia al = 3,0 m/s2

• ln acela~i moment, dintr~un punct de pe axa Ox, de abscisa x0

= = 18 m, pleaca \m al doilea mobil cu viteza initiala v02 = 5,0 mjs ~i acceleratia· a2 = = 1,0 mjs2•

a) Dupa ctt timp ~i lace distanta se inttlnes,c mobilele? b) Caresint vitezele medii · ; ale mobilelor in acest timp?

R.ezol(Jare. a) Ecuatiile pentru coordonatele celor doua mobile stnt~

1 1 2 X1 = Volt + - a1t

2; Xz = Xo + Vozl + -- azt •

2 2

Conditia de inUlnire xi

1 - 1 ' ' ·Volt + a1t2 = Xo + v02t + - a.,t2~sau t 2 - 3t -- 18 = 0

2 2 ~ ' '

'cu solutiile t = -3,0 s ~i t = 6,0 s. Prima solutie esteinacceptabila deoarece tnseamnc1 tntnnirea mobilelor anterior (t < 0) plecarii lor. Punctul de lnUlnire:

1 2 6 x = v01t +- a1t = 6 m. 2

dX 66 66- 18 b) V1m =- = -- = mfs; V2m = = 8,0 m/s.

< At 6,0 . 6,0

4. Fie legea vitezei v = f(t) data sub forma tabelului:

tfs] 1 • -4 -a 1 -2 -1 1 o 1 1 1 2 5

v [~] 1,0 1,0 lt,o I 2,0 I ~.o js,o jto,o -2,0

Sa se reprezinte grafic aceasta lege. a) Sa se calculeze acceleratia medie in intervalek de timp: (-4; -2) s, (-2; 2) s, (2; 5) s, (5; 6) s ~i (6; 8)s. b) Care este accelerapa momentana a mobilului Ia momentul t = 2,0 s? R.ezol(Jare. Grafkul este dat in figura 3.10.

v in m/s C 10

A 9

8 ~~ ~/ I\ l n-----

7 / I \\ \---.'

/i . ~_\\ 6

Ei 1

/I ~r-\ \ ;5

en I \ v ~I \ / L. ~-- \

r---T// A I 1\-' I . ---t- --//// 2 I \'

-~---- \ --1--

A' 8~ .J I E I \ I' -- E.t .. os ---,o '

I l 1 ~;" ""o·' F G

4 -3 -2 - 1 0 1 [2 ~ 3 L. \.\ 5 L6 7 8 i

tins

: ~L J ·2 '--- _ __J_-- ----td=3,0s E

Fig. a.10. Orat'icul legii vite:t.ei Ja problema rezolvCJta .~.

'70

.aj A,·cderaiiil~ medii slnt;

_ L1v _ 0 . 10,0- 1,0 _ 2 25

I 2 • -2,0 -10,0 ,_ 0

m am - - -- = 0, - , m s , ::::::. - ~, - ;

:!1t . 2 2,o- ( -2,0) 5,0 - 2,0 s2

o,o- ( -2,o) - 2 o I 2· .Q. - o -----.- , ms, """' . 6,0- 5,0 2

b) Pentru. un interval At foarte mic, descrescind catre zero, luat la t = 2,0 s, variatia Av este zero, viteza este constanta,' graficul vitezei fiind aiei orizontal, ded a = 0.

1NTREBARI. EXERCIJII. PROBLEM£

l. Cum va arata graficul vitezei in cazuJ acceleratiei nule?

R: dreapta orizontala.

2. Legea mi~carii rectilinii a unui corp este data de ecuatia x = 2,0 + 1,5t + t2 • Sa se scrie legea vitezei.

R: v = 1,5 + 2t.

8. Dadi acceleratia nu este consta:rita,- se poate calcula viteza medie in mi9carea recti­linie ca media aritmetica Vm = (v0 + v)/2?

R: nu.

4. S~ se a rate ca pentru mi~carea uniform variRta a vern:

v0 + v X= Xo + -~t.

2

5. Un tren electric se mi~ca cu viteza v0 = ?2 km/h. fntrerupindu-se curentuJ electric, trenul se opre~te (uniform incetinit) -dupa !1t = 20 s. S& se afle accelerapa ~i distantu pina la oprire.

R: a= - ..3!. = -1,0 m/s2 ; d = _! v0 dt = 200m. !1t 2

6. Un automobil porne~te cu acceleratia a = 0,40 m/s 2• Cit timp ii trebuie ca sa-~i ma­reasca viteza de la v1 = 12 m/s la v2 = 20 m/s?

R: dt = ~2 - v1 = 20 s.

·a

1. 0 saniuta coboara liber, uniform accelerat, pe un deal de lungime l = 60 m intr-un · timp t = 10 s. Care a fost acceleratia ~i ce viteza a capatat Ia sfi~itul dealului?

• - 2l 2 - ·21 -R • . a - 1,2 mfs , v - - - 12 m/s. t2. t

8. Un schior parcurge cu acceleratia a = 0,30 m/s2 o portiune de pista dx ·~ 100 m in dt = 20 s. Care a fost viteza schiorului la inceputul ~i la sfir~itul portiunii de pistil?

dx dt . R: v1 , 2 = - =t= a - = 2,0 91 8,0 m/s.

!1t 2

.9. Un corp cu masa m = 0,50 kg este tras orizontal rectiliniu uniform pe o masli ori­zontala cu ajutorul unui dinamometru care arata o forta F 1 = 2,0 N. Cu ce acceleratie se va mi~ca acela~i corp dadl. dinamometrul va arata F 2 3,0 N?

R F2- F1 : a = = 2,0 m/s2

m

71

V X

Fig. 3~11. Viteza ~i coo_rdonata tn m~carea uniform variatll din problema 12.

10. Un corp porne!?te fara viteza initiala. ln prima secunda el parcurge o dis­tanta egala cu 1 m, tn a doua secundll parcurge o distantll egala cu 2 m !iii aliiB- mai depart.e, tn a n-a secundll parcurge o distantll egalll cu n metri. Este aceasta o mil;icare uniform acce­Ierata?

R: nu.

11. Un corp porne~te uniform accelerat cu viteza initiala v0 = 2,0 m/s l;ii ajunge in punctul x0 = 300 m dupa "t" = 1,0 min. sa se afle acceleratia ~i viteza finala.

R: a= 2(x0 - V0"t")/"t"2 = 0,10 m/s2 ;

v' = 2x0 /"t" - v0 = 8,0 mjs.

12. Un mobil porne!ite uniform variat din or~gmea axei Ox cu viteza initiala v0

= 15 mfs. Dupa un timp t' mobilul trece prin punctul de abscisa · x' = 10 m cu viteza v' = -10 mfs. sa se calculeze: a) acceleratia; b) timpul t'; c) distanta parcursa in acest timp; d) viteza tn modul, medie. Sa se reprezinte grafic, pe aceea!;ii diagrama, viteza ~i coordonata.

v'1 - v: 2x' R: a) a= 2x, = -6 25 m/s2 • b) t1 = · = li,O s:

' ' Vo + ti'

c) d ,v:+v'2 d v02 +v'2

x =26m; d) lvlm= -=---= 65 m/s: v: - v'll t' 2(v0 - v') '

curba ~i dreapta din figura 3.11.

13. Un corp m~at uniform variat parcurge rrima jumatate din drumul saud= 150m tn timput t1 = 10 s, iar cealalta jl!matate in t2 = 5,0 s. Sa se afle acceleratia ~i viteza initiala ale corpului.

R • _ d 1s - 11 2 . 1 • a- . = 1,0 m/s , v0 = d/2t1 -- at1 = 2,5 m/s.

t1t2 (t1 + t2} 2

~4. Din originea axei Ox pleaca un mobil cu viteza constanta v' = 1,0 mfs, iar dupa 't' = 5,0 sun al do ilea mobil cu viteza initiala v0 = 5,0 m/s ~i acceleratia a = -0,71) m/sz. Sa se afle ~dupa cit timp de Ia pornirea mobilului 2 .se vor tntilni mobilele.

R: v'(t + 't") = vot + 1 at2, de unde t = tO s si 10 s.

2 7 '

3.3 •. MI~AREA CORPURILOR SUB ACTIUNEA GREUTATII

3.3.1. Ciderea Iibera.,Greutatea unui corp este {or1a cu care acesta intinde ... irul Sa.u resortul de care, este su~p~n<Jat. Ea are direc~ia ,firului cu plumb". Sau, altfel, greutatea unui corp este for~a cu care acesta apasa asupra unui plan orizontal pe care este avezat (planul orizontal este perpendicular pe direc~ia firului cu plumb)., Greutatea unui corp se datorette atrac~iei gravita~ionale

72

qintre corp 'L:Pamint. Dacl neglijam efectele rotatiei proprii diurne a ·Pamtn­t1Ilui 'i neomogenitatile globului terestru (care stnt intr-adevar- neglijahile in majoritatea covirflitoare a nevoilor practicii), at unci:

Greutatea unui corp este for( a cu care ac_e:~s~_t_:a_: ..... ~:_;__ __ .~--~-~-- -----~-~------~- ----~ di recFara-iei ierestreain-acefloc.-

corpuriJei[s~at;iib-;;; in vid, fara viteza ini~iala, cad vertic_al,_sub ae~mnea . '-'?

greutatii lor, cu aceea§i accelera~ie gravita~ionala g (g ~ 9,8 mjs2}, indepen-

denta de masa corpului, natura, dimensiunile sau f<:>!~_l!_QQ!::Plli:!I.Qr. Conform ·-·- --------- ______ =li'" ___ ---·--·~--------------·---------~----------------------· ' -· . c

legii fundainentale F = ma, rezu]ta atunci

- -G= mg, (3.19)

unde g in acelaiJi loc este acelafli pentru toate oorpurile. Aceasta se poate do­vedi experimental cu ajutorul tuhului lui Newton un tub de sticla vidat in care stnt introduse diferite obiecte: Rasturnind tubul, toate obiectele cad la feJ, cu aceea'i accelera~ie. In aer insa, corpurile cad cu accelera~ii diferite, fiindca - . pe linga greutatea lor mg, ac~ioneaza 'i o for~a de rezisten~a_din partea aeru-lui, care depinde sensihil de dimensiunile ~i de forma corpului. In tot ce urmeaza vom neglija forta de rezisten~a a aerului ( deci vom considera corp uri 1nici 'i grele). -Acceleratia gravita~ionala de ~adere libera g depinde de altitudine (de distan~a pina la centrul Pamintului) ~i pu~i~-~-~Jfl::ti:tJ:ldiua (din cauzaturtirii Pamintului Ia poli ~i a rota~iei Pamirifului).

Accelera~ia gravitationala normalii (sau standard) se considera:

Cn = 9,80665 mfs2----- -- (3.20)

La nivelul marii §i la paralela 45°: g0 = 9,80616m/s2•

Prin urmare,_tqate_Qorpu!:~!~eare _se_lfijRP-ii liberJnv.id--au aceea§i caecele--

ra~ieg = Gfm, orientata vertical in jos Ia fel ca §i forta de greutate G (fig. 2.16). ·Daca viteza initial~ este verticaHi (sal! J1Ula), corp11I __ se va mi~ca pe

vertfc.aJ.a (for~a Jiind verticala) -;~iform~~~~i~t~-AI~gi~~f ai:a iiy vertical in sus, a vern

v = v0 - g(t - t0), y = Yo + v0(t - t0) - __!_ g(t-to)2, (g ~ 9,8 m/s2

) 2 I

(3.21)

§i in particular, daca conditiile ini~iale y0, v0 se refera la momentul t =--= 0 (adica t0 = 0), avem mai simplu

v = v0 - gt, y = Yo + v0t - _!_ gt2, (g ~ 9,8 m/s)2• (3.22)

2

ln ecua~iile de mai ~us, y, y0, v, v0 pot. Avea diferite semne, in func~ie de pozi~ia §i sensu} mi§carii corpului pe axa aleasa Oy ( -g este componenta

4

vectorului accelera~ie g pe axa Oy aleasa).

73

Desigur, se poate alege o axa Oy cu sensul pozitiv ln jos, atunci ' 1

v = Vo + g(t- to), y = Yo + vo(t - to) +- g(t - t0) 2, (g ~ 9,8 m/s2), (3.23) 2

unde y, Yo, v, Vo au semne corespunzatoare noii axe { +c este acum componenta ~

vectoruluig pe axa aleasa).

EXEMPLE

1. Un corp cade liber (far& vitezii initiala) de la o inaltime h. Sa se afle viteza ~i timpul de cadere.

RezolfJare. Este mai convenabil sa alegem axa verticala Oy cu sensu} pozitiv in jos ~i cu originea in punctul de unde cade corpul la momentul t = o {fig. 3.12). Atunci

v = gt, h 1 -. 2h - gt2

, de unde v = V2gh, tc = - • V- (3.24) 2. ' g

corpul cade. accelerat cu. acceleratia g.

2. Un corp este aruncat vertical tn sus cu viteza initial& v0 • Sii se afle timpul de urcare ~i inaltimea maxima Ia care s_e ridicii corpul.

Rezolflare. Alegem a(x.a "(jy ve~~ical, cu ~ensul p~zitiv in sus ~i cu originea in punctul de unde se arunca icorpul (fig. 3.13). Alund ·

1 v = -v0 - gt, y = v0t - - gt2. 2

(3.25)

Puntnd conditia de oprire v = 0, gi'l.sim timpul de urcare ~i a poi inaltimea maxima:

Vo 1 2 v~ 0 = v0 - gt, tu = - ' h = y m = v0tu - gtu = -'

g 2g (3.26)

corpul urea tncetinit cu acceleratia -g. Aceste rezultate se obtin ~i din formulele (3.12-3.~3) pentru timpul pina Ia oprire ~i distanta maxima din cazul mi~?carii uniform incetinite, daca punerri acolo a = -g.

- ' Dupa atingeren iniiltimii maxime ~i oprire,

8

Fig. 8.12. Ciiderea Iibera de Ia o iniil­

time h. (Exemplul1.)

B {v;:'Q) corpul cade tnapoi accelerat ~i c1nd ajunge din nou la punctul de lansare va avea viteza final a v', egala in modul ~i de sens opus cu viteza initial& de lansare v0• De asemenea, timpul de urcare este egal cu timpul de

Fig. 8.18. Arun­carea unui corp vertical in sus cu viteza initi-

al& v0•

(Exemplul 2.)

coborire:

v' =V2gh =

tu = ~ = "\ / v~ = "\ / v~ • 2 = g v g2 v 2g g

= -v2: = '•· (3.27)

Observiim eli ecuatiile (3.25) descri~ aUt urea. rea, cit ~i coborirea ulterioara a corpului.

74

Fig. 8.14. Graficul vitezei ~ coordonatei unui corp aruncat vertical tn sus -cu viteza ini-

Fig. 8.to. MonUtjul mecanic . pentru studiul ciiderii libere.

tiala · v0•

Dacii reprezentiim grafic pe aceea~i diagram& pe v ~i pe y tn functie de timp:

v = v0 - gt, y = v0t- _.!_ gt2 , obtinem o linie dreaptii (pentru v) ~i o parabola (pen-2

tru y) (fig. 3.14).

EXPERIMENT

Studiul diderii libere. ;Montajul mecanic este dat in figura 3.15.

Corpul a carui mi~care se analizea,za este o hila (50) din o~el. Din virful ' miezului electromagnetului (20) se lasa sa cada hila pe clapeta captorului (37).

Montajul electric este dat in figura 3.16.

Experimentul se face montind captorul~ succesiv, la diferite distan~e y fa~a de reperul 0 al riglei ~i masurind de fiecare data. timpul t de cadere.

Se va reprezenta grlifiQ legea mi~carii

y = f(t). Teoretic: y = 1 g~2 - parabola. De 2

ac~ea, se va trasa ~i graficul y .·· F(t2), care trebuie

sa fie o dreapta cu panta gj2, de unde se ob~ine

accelera~ia gravita~ionala g.

3.3.2. Mi§Carea pe plan inclinat. Vom neglija

frecarile dintre corp ~i planul inclinat {de ex em­

plu, un carucior pe ~ine netede). ln acest caz

asupra corpului ac~ioneaza: for~a de greutate

G = mi ti reac~iunea normala N a pianului

75

Fig. 8.16. Montajul electric pentru studiul ciiderii libere.

T (N=mgcosa.} inclinat (fig. 3.17). Daca desco~-. s punem greutatea dupa doua direc-

il tii: una paraleHi cu planul inclinat

.s::: '-~-------~----0--o-=L-g_,sina. §i alta pe:rpendiculara peel, atunci pe directia perpendiculara pe planu1 G=mg a. . indinat nu este accelera~ie (corpul

luneca paralel cu planul inclinat!},

Fig. 3.17. Mi~carea pe ptan tnclinat fara deci N- mg cos«= 0. Prin urm8J"e frecare. reacpunea normal a· N a planulhl

inclinat asupra corpului este egala cu componenta mg cos a: a greutatii, cu care corpul apasa asupra planului inclinat. ln adevar, corpul nu apasa asupra planului lnclinat cu toata greu­tatea sa mg, ci numai. cu componenta normala mg cos a:, cealalta compo­nenta mg _sin IX fiind paralelii, cu planul inclinat.

Componenta mg sin_«, paralela cu planul inclinat (ea este bineinteles ~ ~

rezultanta celor doua for~e G §i N), imprima corpului o acceleratie

F mg sin ex • a = - = · = g sin IX (3.28)

m m

in direc~ia §i sensu! acestei forte, adica paralela cu planul inclinat §i indreptata in jos.

Prin urmare~ un corp lasat liber pe un plan inclinat fara frecari, va cohort uniform accelerat cu accelera.tia a = g sin IX, iar lansat in sus de-a lungul planului inclinat cu viteza initiala v0 va urea incetinit, se va opri §i apoi se va intoarce inapoi accelerat. Situa.tia este perfect asemanatoare cu cea din mi§carea pe Yru-tjcala in cimp gravitational~ cu singura deosebire ca mi§carea se face paralel cu plhnul inclinat (§i nu pe verticala), cu acceleratia a = g sin a (in loc ~e- g).

Da.ca no~am cu ;h inaltimea de la care coboara Iiber corpul §i cu s lungimea corespunzatoa~e--a~planului i~clinat, atunci h s sin a:. Deci Ia coborire lihera (fara viteza initiala): ,- v- v--· . . 2s 2s 1 2k v = V2as = V2g SID IX· s = V2CJi, tc = lJ- = -. - = -. - - (3.29)

a g sm ex sm ex g

§i Ia urcare cu viteza initia.la vo·:

t - ~. s = ~~ , u - g sin ex 2g sm a.

2

h =_~,· (t ~- , ) 2g c = ""' v = -vo. (3.30)

EXPERIMENT

Mlfcarea pe planul inclinat. Se reface montajul din figura 1.29. Montajul electric este prezentat in figura 3.18.

Experimen~ul se realizeaza inclinind bara de rulare cu 5°, fixind intreru­patorul la diferite distante x §i masurind timpul de mi§oare respectiv.

76

Se va reprezenta grafic legea 1 • Nl

mi§carii x = f(t). Teoretic (cu negli-

j arile respective) ea trebuie sa fie

x . _!_ g sin IX • t 2• De aceea reprezen-2

tind dependenta x =l F(t2) §i aproxi~

mind-o printr-o dreapta, panta aces-

teia trebuie sa fie egala ou _!_ g sin (X '

-2 '

in limitele erorilor experimentale. Fig. 3.18. Montajul electric pentru stu­

diu! mi~carii pe planul inclinat.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un corp cade liber de Ia o inaltime h = 15 m fiira vitezli initiala. ln acela~i tilbp este aruncat vertical in sus un al doilea corp cu viteza initiala v0 = 1(}.-mjs. Dupa cit tinip ~i Ia ce 1n1Htime _deasupra solului se intllnesc corpurile? Rezolvare. Alegem axa Oy vertical in sus cu originea tn punctul de unde este aruncat corpul 2 (fig. 3.19). Atunci, ecuatiile mi~dirii sint:

1 2 1 2 h - - gtm, y 2 = v0t - - gt .

2 2

Punem conditia de intUnire y1 = y2 (in momentul inttlnirii distanta corpurilor ptna la originea 0 este aceea~i):

de unde h

h 1 2 1 2 Y2 , - - gt = v0t - gt , 2 2

h 1 2 1,5 s; Ym = - -gtm

2 4,0m.

2. Dona corpuri sint aruncate vertical in sus cu vitezele initiale Vo1 = 60 m/s ~i Vo2

= 40 m/s, corpul 2 Ia un interval 't' = 6,0 s dupa primul. Dupa cit timp ~i Ia ce inal-time deasupra solului se vor intilni corpurile ? (Se va lua g = 10 m/s2

.) -

Rezolpare. Alegem axa Oy vertical in sus. Atunci ecuatiile mi~- · carii sint:

1 1 Yt = Vott- - gt2, Y2 = Vo2(t- ..-) - _ g(t- 't')2•

2 2

Punind conditia de intilnire y 1 = y 2 , gasim

tm = g't'2f2 + Vo2't' = 10·,5 s; g't' + Vo2- VoJ.

1 2 gtm = 78,8 m.

2

3. Un corp cade liber (in vid) fiiri'i viteza initiala dintr-un punct

1 ~ I I I I

llg I I

A aflat Ia o iniiltime H 4,9 m. Simultan, dintr-un punct B 2

y

situat cu h == 2,0 m mai jos de A, este a.runcat vertical in sus / 0 un al doilea corp. Cu ce viteza initiala v0 a fost aruncat a~esla, Fig. S.lth La pro-daca a ajuns pe Pamint simultan cu primnJ? blema rezolvata 1.

77

0 1

[~t .r: I

g! I :I: J I I I I I I

Fl!. 3.20. La pro· blema re-zolvata a.

y

'm=h

y

voy

0

Fig. 8.21. Mi~carea 1n ctmp gravitational terestru. (Problema rezolvata 4.) ·

Rezolvare. Alegem axa Oy vertical tn jos; cu· originea tn punctul A (fig. 3.20). Atunci ecuatiile mi:;;carii sint:

1 1 Y1 = - gt2

, Y2 = h- v0t +- gt2

2 2

~ . (comf}onenta vitezei initiale v0 pe axa aleasa este -v0).

Gondit,ia de tn.Ulnire la suprafata pamtntului este:

H, adica.~ gt2 = h- v0t + 1 gt2 = H,

2 ·2 de unde

tm hjv0 ~i V0 = h· "\ / g = 2,0 mjs. Y 2H ~

4.* Sa se studieze aruncarea oblica a unui corp (in vid) cu o viteza initiala v0 care face uil unghi tlo cu orizontala.

~ ~ ~

Rezolvare. Mi~carea va avea loc in planul vertical continind forta G = mg si. viteza v0

,

~i se descompune in doua mi9cari: in directia orizontala dupa axa Ox ~i'tn directia ~ ~ ~

verticala dllpa axa Oy (fig. 3.21). Deoarece forta G = mg ~i acceleratia respectiva g sint permanent verticale, nu avem forta ~i acceleratie pe directia orizontala Ox, ~?i mi~carea pe directia orizontala va fi uniforma cu viteza constanta vx = v0x = v0 cos C'lo· ln schimb pe directia verticala; dupa axa Oy, avem o mi~care uniform variata cu acceleratia - g ~i viteza initiala v0 y = v~ sin tlo:

{

Vx = Vox = v 0 cos tl0,

x = v0t cos tl0 , {

Vv ~ v0v- gt : 0 sin «o- gt,

y = v0tsin C'lo- gt2. 2

(3.31)

Scoatem timpul din, ecuatia lui x: · t = xjv0 cos C'l0 , ~i U introducem in ecuatia lui y:

x 1 x2 1 g · y = v0 • sin tlo - - g = xtg Q:0 - - x2 v0 cos C'lQ 2 v6 cos2 C'lo 2 v6 ccs2 tlo ·

(3.32)

78

Aceasta este ecuatia explicita a traiectoriei --:- o parabola, deoarece y este o functie patratica de x, de forma y = Ax+ Bx2•

Timpul de urcare pina la ini1ltimea .maxima se bbtine din conditia ca tn punctul. de tnaltime maxima C: vy = o, deoarece aici vectorul viteza este orizon tal §i nu are componenta pe axa Oy:

Vy = 0 v0 sin tlo - gt, de unde lu v 0 sin tlo

{3.33) g

§i inaltimea maxima:

h = Ym (3.34)

adic! obtinem formulele cunoscute pentru timpul de urcare ~i inaltimea maxima de la aruncarea verticala (3.26), dar cu viteza initiala v0 y v0 sin oc0 •

in timpul de urcare tu deplasarea pe orizontala va fi

Xm <1 2 .

v0tu cos tlo = - vo s1n oc0 cos tl0 • (3.35) g

Distanta maxima ·pe orizontala OA (fig. 3.21), numita bataia (proiectilului) este 2xm:

b = 2xm 1 22 . 1 2. 2 Vo Slll oc0 COS tlo = - Vo Slll x0, (3.36) g g

unde am folosit o formula din trigonometrie: sin 2oc = 2 sin tl cos tl.

Daca se arunca corpurile cu aceea§i viteza initiala v0 dar ~tub diferite unghiuri fata de orizontala, bataia maxima va fi sub unghiul ocm pentru care sin 2ocm = 1 in' (3.36), deci 2oc.m ~ 90°, de unde oc.m = lt5°.

o.* Sa se studieze aruncarea pe orizontala a unui corp (in vid).

Rewtvare. Alegem axele de coordonate ca in figura 3.22, unde h este inalyimea de la care se arunca corpul. Se vede imediat ca traiectoria coincide in acest caz cu juma­tatea dreapta a parabolei de la problema precedenta (daca mutam axa Oy astfel incit ea sa treaca prin virful.C). Asemanator problemei precedente avem

{

Vy = -gt,

1 {

Vx = v 0 = const,

. X = V0t, y = h - gt2• 2

}'lg. 3.22. Arunearea orizontala a unui corp in cimpul gravitational terestru. (Problema rezolvata 5.)

79

. (3.37)

X

Din aceste ecuatii rezulta imed.iat: ecuatia traiectoriei, timpul de condipa y = o), distanta parcursa pe orizontala !?~ viteza finala t/:

cobortre · (pun em

x 1 x 9 ) y h g - (parabola ; v

0; = -2 v3

(3.3~)

y = 0; tc = V2; , d = v.,tc V

-2h

Vo g" (3.39)

V "'' + '2 v 2 ( )2 v V:c.. vy = vo.+ -gtc Vv5 + 2gh. (3.40)

Observam ca ecuatiile (3.24) !?i (3.25) de Ia mi!?care~ pe verticala, c~t !iii ~cuat~ile {3 .. 31) de Ia aruncarea oblica sau {3.37) de la aruncarea orizontala se obtin Imedmt prm pro1ec4

-+ -+ tarea pe cele C!oua axe Ox, Oy a ecuatiilor vectoriale (3.17 -3.18) (cu a = g):

-+ -+ -+ -+ -+ -+ 1 -+ )2 v = v0 + g(t - t0}; r = r0 + v0(t .- to} + 2 g (t .- to (3.41)

I -

-+ ~i tinind seama, bineinteles, ca g are proiectia zero pe Ox.

iNTREBARI. EXERC/f/1. PROBLEM£

1. Un corp cade liber de Ia o inaltime h = 1,1 km !iii parcurge a~tfel o distaAnta ~~ = = 314 m:, dupa care t~i continua mi~area uniform pina la atmgerea PammtulUI. Sa

se afle durata rni!?carii. h + h'

R: t = -= :=:: 18 s. (2gh'

2. Un corp aruncat vertical in sus are Ia inaltimea h1 viteza vl. Sa se afle viteza

initiala v0 •

R: vo = V~r + 2ghl.

3: Considerind di 0 saritura de Ia inaltimea h ~ 1 m pe Pamint nu este periculoasa, sa se calculeze inaltimea corespunzatoare pe Luna (g = 1,62 m/s2

}.

R: h' = h gp/ gL ~ 6 m (2 etaje!}.

4:. 'un corp aruncat vertical in sus a revenit pe p~mint ~u~a un timp -: = 4 s. Sa se afle viteza initiala a corpului !iii inalpmea la care s-a r1d1cat corpul.

R: v0 = g-r/2 = 19,6 ~; h = g-.2/8 = 19,6 m. s

0• Un corp aruncat vertical in sus ajunge Ia inaltimea maxima h = 1v9,6 .m. D~p~. ci~ timp revine el pe Pamint? La ce inaitime se va ridica corpul daca v1teza 1mtmla

este mar ita de n = 3 ori?

R: -r = 2 V2hfg = 4,0 s; h' = n2h = 176,4 m.

6. De la inaltimea h = 117,7 m cade o piatra dintr4 un aeros~at c~re: 1) urea cu ~iteza v

0 = 9,8 m/s; 2) coboara cu aceea!?i viteza. Sa se afle viteza p1etre1 la suprafata Pamin­

tulu i ~i durata de d'idere a pietrei in cele doua ca1.uri.

v' ± v0 R: v' = V v~ + 2gh = 49 mjs; t' = = 6,0 ~i 4,0 s.

g

80

I .

1. sa se aile iniU{imea h de Ia care cade liber un corp !iii durata T a mi17dirii sale l?tiind ··a in inlt•r·valul de limp 't' 1,0 s inain._te de atingerea Pamintului, el strabate o

fractiune k = 0,19 din inaltimea totala de Ia care cade.

R • T - 1 + Vt=::k • - T . k

1 10 s; h = 2 gT2 = 490 m:

8. De Ia inaltimea h = 225 m, pe o planeta oarecare, cad liber doua corpuri unul dupa altul; al doilea incepe sa cada tn·momentul cind primul a parcurs h'=16 m. sa se afle distanta dintre corpuri in momentul cind primul corp,.a ajuns Ia suprafa~a planetei.

R: d = 2 Vhh'- h' = 104 m.

9. Doua corpuri sint aruncate vertical in sus_cu aceea~i viteza iniVala v0 = 19,6 m/s ~i Ia un interval -r = 2,0 s · un.ul dupa altul. Dupa cit timp ele se vor intUni? Sa se reprezinte grafic coordonatele in functie de timp.

R: T = v0fg + -r/2 ='3,0 s.

10. Un corp cade liber de Ia o ina.ltime h = 10 m. ln acela~i moment un alt corp este aruncat vertical in jos de Ia o inaltime H = 20 m. Sa se afle viteza initiala a/ corpu­lui 2, daca ambele corpuri au cazut simultan pe pamint.

R: v0 n-hv--- 2gh. = 7;0 mfs.

2h .

11.* Cum se schimba durata ~i distanta orizontala de cadere a unui corp aruncat orizon~al, daca viteza de aruncare cr~te den ori?

R: nu ·se schimba; cre§te de n ori.

12.*· Un corp este aruncat orizontal cu viteza v0 = 10 m/s. De Ia ce in~ltime a fost aruncat, daca aceasta inaltime este egaHi cu distanta orizontala de cadere? (g =

10 m/s2.1

R: h = 2v~Jg = 20 m.

13.* Un corp aruncat orizontal t*i mar~te viteza den ori dupa un timp-. de Ia inceputul mi11carii. Care este viteza initial~ v0 a corpului?

_R: v0 = g-r Vn2 -1

14.*· Un avion zboara orizontal Ia tnaltimea h cu viteza constanta v0 • Aviat~rul trebuie sa arunce o bomba asupra unei tinte. Sa se afle: tinghiul (3 dintre raza vizuala spre tinta *i verticala in moment~l arunclirii bombei, pentru ca ea sa nimereasca tinta; distanta d pe orizont_ala pi:pa Ia tinta in acel moment. Unde se va gasi avionulin mo­mentul cind bomba atinge tinta?

R: tg ~ = "• V g: i d = vo Vi) deasupra Vntei.

16.* Doi copii se joacli cu mingea arunctnd-o unul altuia. Ce tnaltime maxima h atinge mingea in timpul jocului, 11tiind ca mingea zboara de Ia un copil Ia ~altul timp de ~ = 2,0 s? .. ,\

1 R: h = - g~2 = 4,9 m. 8

16*. De cite ori este maimare distanta (bataia) la care un sportiv ar arunca o greutate pe Luna fata de Pamint? (Acc.elera~ia gravita~ionala pe Luna gL = 1,62 m/s2

.)

81

6 - Fizica cl. a IX-a

17 .~ Cu ce viteza initiala v0 tre?uie lansata o rachet& sub un unghi cx = 45° fata de ori­zontala, pentru ca si1. explodeze la tnaltimea maxima a .traiectoriei sale, ~tiind ~a timpul de ardere a fitilului este -r ;;;::: 6 s?

R: v0 = ~ = 82 m/s .. Sill cx • ,

18.* De ·pe puntea unui vapor care merge cu· viteza constanta vx se trage un obuz vertical !n sus cu viteza vy. Sa se afle ecua}ia traiectoriei obuzului fata de Pamint. Unde va ci1dea obuzul ?' ,.,. ·

R: y = ~ x- ~x2 ; pe vapor. Vx 2vx

19.* Un vinator oche~te virful uo.ui turn de inaltime h = 20· m. La ce distanta d ie · turn. trebuie sa traga pentru ca glontul care iese cu viteza initiala v0 = 250 mfs sa

loveasca baza turnului?

R: d = V h(2v~/g- h) =' 505 m.

20. Cu ce forta orizontala trebuie apasat un corp de greutate G = 10,0 N, a~ezat pe un plan inclinat fara frecari, de unghi ex= 60°, pentru ca acest corp sa nu lunece?

·.R:F = G tg cx = 1?,3 N.

21. Pe un plan inclinat ueted, fara . frecari, de unghi cx 30° fata de orizontala, este · a~ezat un corp de masa m = 2,0 kg, legat printr-un fir de un alt corp de ma~a

M = 3,0 ~g. Firul este intins paralel cu planul ~i trecut peste un scripete ideal din cre~tetul planului, ca hi figura 3.23. Sa se afle acceleratia cu care se mi~ca eorpurile.

R: T - Mg = Ma; mg sin cx T = ma, N - mg cos ex o, de unde

m sin ex- M a=g

m+M

T

M

(a)

mg

1 + sin cx -3,92 m/s2 ; T = mMg = 176,4 N.

m+M

T

M

Mg

t+ I I I

( b J

mg

',S: '-- X

; I

. a /mgsino-

Fig. 8.28. La pcoblf'ma 21.

82

3.4. FORTELE DE FRECARE

3.4.1. For}ele de frecare Ia alunecare intre solide. Daca lansam un obiect cu o viteza ini~iala v0 de-a lungul unui plan orizontal (pe o masa), el va avea o mi~care incetinita de lunecare ~i pina la urmaJ,e va opri. Cum se explica aceasta mi~care incetinita? Deoarece viteza se mic~oreaza, · vectorul accelera~ie este opus vectorului viteza, deci ~i for~a rezultanta trebuie' ~.a fie opusa ve.c­torului viteza. Greutatea corpului este orientata vertical in jos ~i este anihilata ( echilibrata) de reac~iunea normala a -planplui. b{rr-pul-nu-are 1rccelef~~ie pe direc~ia verticala. Prin urmare trebuie sa existe o for~a orizontala de inter­actiune intre corp §i plan. ~eeasta este forta de frecare~ Ea se datore§te intrepatrunderii asperitaHio; -~i- neregularit~vilor- 'ii1fcroscopiee ale eelor doua suprafete care luneca una fata de _Gealalta_.~ Prin urmare, . mi§carea ori~ontala incetinita se datore~te for~ei de frecare, exer.citata d.e plan .asupra corpulut-Aceastii for{a de frecare este con{in,llta )n, .Planul lunecarii ~i este }ndreptata in sens opus vitezei corpului (fig. 3.24). Desigur in planul de con­tact .exista doua forte de frecare, actiunea ~i reac~iunea, egale in modul ~i de sensuri opuse, una ac~ioneaza asupra corpului, iar cealalta asupra planului.

Pen~~l.J._a)Ilentin:e eorpul in rni~care uni[orrnd ~e alunecare treJ?l.Iie sa aplic~in o forta de· trac~iun-e (sau-de-impingereLegala in modul ~i de sens opus cu forta de frecare, de exeJUplu, o saD:ie Jn_:r;ni§(;i!re]i-iiilormafrebuie~trasa~ de cal.

Pent~u a deplasa un ohiect pe podea, de exemplu un dulap,,un frigider, o mas a, trebuie sa imp in gem corpul cu . o anumita forta.mi11im..JlJ Jl.e~esarii pentru a-1 urni din Joe, adica pentru a invinge intepenirea (aderenta} initiala de repaus. Dar, odata corpul pornit, este neces~ra o forta mqi mic?c p~ntru a-1 men tine in mi~carea de alunecal'e·p~]iocfea. · Daca dulapul sau frigiderul este

· - plin (incarcat} aceste forte sint mai mari, decit.1n caziii Cind dulapul sau f~igi­derul este gol.

Ori de cite ori un corp aluneca peste alt corp, in planul de contact (planul alunecarii), .ap_a.r·. {Qr(~ ... il!L{re.c.arL.CO.n,fi11rUte--in·aeest ·plan ~i orientate in se.ns.ui opus vitezei relative a ... ~f!~EJ!~f!:.i. ~()!1~~-de-rat, fata de (}eJ}l!q}t _.9.~!:P·. ___ f_Qr!&l~ __ ge .. frecare frineaza totdeauna mi~carea rela-. tiva a corpurilor care ahu1:~ca.

3.4.2. Legil~ frecarii. Experiment. Sa punem pe o scindura fixa o placa paralelipipedica dintr-un material oare-care (lemn, plastic, metal) prevazuta cu un clrlig. Pe placa se pot pune diferite

. etaloane- de masa, iar de cirlig putem Fig. 3.24. Forta de frecare in cazul alu-

trage orizontal printr-un dinamometru necarii unui corp pe un plan orizontal.

83 6* .

a b Fig. 3.29. Studiul legilor frecarii Ia alune{'al't' pe 1m plan orizontal.

sau pdtem lega un fir, intins orizontal ti trecut peste un scripete. La capatul fi~ului se leaga un platan, pe care putem pune diferite etaloane de masa (fig. 3.25).

Daca tragem incet de dinamometru sau adaugam treptat etaloane de masa pe taler, constatam ca Ia inceput placa nu porne§te. Cum greutatea placii este echilibrata de reactiunea normala a scin(iurii fi in plus aceste forte sint verticale, ele nu pot echilibra forta de trac~iune exe~citata de fir. Aceas~a for~a de trac~iune este echilibrata de forfa de frecare. care ia na,tere in planul

de contact. Prin urmare, chiar tnainte de a incep'e alunecarea apar fori(}. de.frecare intre

.§Ql~de, numite forfe de frecare statica san de aderenfa.

Daca ma;im treptat forta de tl•actiune~~ fie tragind d~ dinamometru (fig. 3.25, a), fie adaugind etaloane de masa pe platan (fig. 3.25, b), constatam ca la un moment dat, pentru o anumita for~a de trac~iune F s corpul porne§te. ¥orta F

8 ~stfi_egf!@_ ~~1:!1l!J:1~ JJ!q,~}m.tl.k-fre~arf: .a.tf#f!;~~~~ de aderenta). _.Qdata

miscarea inceputa .. daca mentinem aceeasi- for~l de tracthj:Qe F s, corpul se . . ' "''" .. -~----····· ........ ,....... ···,···· ·. . . •.... ·-' . . .. misca accelerat. Reducind insa ulteriQr, convenabil, for.t!l de trac~Iune, este ·

• . . poslhH sa· se obtini o n11,care ~niforma a·· f=O 0 I · .t:"; ~'?"?'n'77"J7.lv'7.=" corpului (cu diferite viteze constante); pen.,ru

o anumita for~a de trac~iune Fe mai mica decit,·Fs (fig. 3.26). Fort;a:Fc este egaJa · cu

~"--_.,.. v=D {orfa de frecare la alunecare (for~a de frecare cinetiea) ... (Cu. F r vom nota for~a de frecare in general.)

Pentru a masura forta de frecare de alunecare F c incarcam treptat platanul cu mici etaloane de masa 'i de fiecare data ciocanim u'or ·scindura pentru a imprima mici impulsuri .corpulni. Cit timp for~a de

_0 tractiune (tensiunea din fir), egala cu greu-~;;;; const tatea platanului 'i a etaloanelor de masa,

t-'-1---'IF..,..= Fe este mai mica decit for~ de frecare la alu-necare F c' micile impulsuri imprimate corpu­

_ng. 3.26. Fortt>lt· de frecare staticii lui prin ciocanirea scindurii se sting ·,i corpul (aderenta) ~i fortele d~ fr.ecare Ia nu va aluneca pe scindura. Dar in momentul

alunec.are (cmetice).

84

cind forta de tractiune a tinge valoarea F c' corpul odata pornit (prin ciocanirea scindu.-ii) i§i va mentine mi§carea de alunecare, practic uniforma, deoarece forta de tractiune va fi echilibrata de forta de frecare la alunecare. · , , ,

.f\.paratul cu ajutorul diruia se studiaza legile Irecarii se nume§te tribo­metru. El este format dintr-o sci11dura care poate fi fixata twi~11ntal sau se poate inclina -treptat §i care are la un cap~tJIIl, mic scripet~u§<lr;-"cU frec·ari neglijabile. Aparatul mai are trei sau patru corpuri paralelipipedice ideritice (de ohicei din lemn, dar avind fixate pe fe~ele later ale placi din alte materiale: plastic, metal, sticla), prevazute cu cirlige pent~u a putea fi \ cuplate intre ele sau legate printr:..un fir. Cu acest aparat se lucreaza in doua vari~nte: ca plan orizontal (fig. 3.25, b) §i ca plan inclinat (fig. 3.28). Vom studia maijos numai fortele de frecare la alunecare,Fc.

Jn prima vari~ntii.J ca in . figur_aG:i'} masuram forta necesara pentru, men~inerea unei nU§cari uniforme de alunecare, aaica·rorta de~lrecare ltf

---··. - ····"···~· .. ····· __ ......... •··-·-······-.···~-.. alunecare F c {prin ciocanirea U§Oara a scindurii).

Punind corpul paralelipipedic pe diferite fete ( cu acela§i material), constatam experimental ca fortele masurate F c sint de fiecare data acelea§.i, de§i corpul se sprijina de fiecare data cu suprafe~e de arie diferitli. Mai mult, punind trei_~-~~P_lll'i · identice unul pr:s_!f} altul sau legig~~p,·:lf;LJ!:QJ!l duptL.altul (fig. 3.27), pe o fa~a sau pe alta (cu acela§i materiai),-gasim iara§i aceea.§i fo~ta·' de frecare Fe, de§i aria suprafe~ej !I .. ~ Q9.1l1ac.t.s-a schimhat d0 .. -f.iecare data.~·_,

insa greutatea sistemului a·fost aceea~i. De aici deducem prima lege a freciirii~·

Fe intre doua. corp uri nu ~rnind~ Jle. ~I'hL de contact dintre corvuri. --'" .

' Punind peste corpul studiat diferite etaloane de masa, constatam experi-

mental ca fo:rtele de frecare cresc §f""anume: .

fort a de .. fre(~are .. la.~lune_care . F c este~_})rQporJiQ!!~l!t~lL !ol'l~ -~e ~pasart• n o r m a J a exercitata pe suprafaja de ~o:ntact. ·

Notind cu N forta normala de apasare pe suprafata de contact dintre corpuri (in cazul experientei descrise N este egal cu gretttatea corpului 'i a etaloanelor de masa puse peste corp) 'i cu fl. coeficientul de proporlionalitate..

putem scrie deci Fe = flN. (3_.42)

Coeficientul flo S& numett~-~oefici~T!Ld&frecare ta alunecare.

~ ~-,

·;F; ~ ~-

"F I Po : .4 &??????:ow; ,ijk

a b.

Fig. 3.27. Forta de frecare la aluneeare illl depinde de aria suprafetei de eontatt dintt·~:~ corpuri.

85

Repetind experien~eJe descrise cu alte materiale, constatam ca intr-adevar coeficientul de frecare tJ. nu depinde de aria suprafe~ei de contac1t dintre cele doua corpuri (nelubrifiate), dar ~epinde de natura corpurilor §i de felul pre­lucrarii suprafetelor in contact (gradul de §lefuire sau contaminare cu oxizi

. sau alte substante). De asemenea, experien~a arata ca tJ. este practic indepell_~~.Q~:_vj~_~_za

Telativa 'd.e J~Jyn~9i~_e a C<?~Pl.llui (sc~idemalintli.Pu~incu 'cre§te~ea vitezei, ca apoi sa creasca iara§i, putin, cu viteza).

Ac~lea§i legi ale frecarii se ob~in in varianta experimentala cu planul inclinat. Punem corpul pe .s.cindura tribometruluiti:tn~linam (ri~iein<U treptg,t ~e}ndura pina eind la un moment dat, pentru un anllffiit unghi a <!e Jp.{}Jjpare .. corpul porne§te. l11 ... a~est moment componenta grE:mHl.tiiGsin. a invinge for~a maxima de freg~r-~s_tfl:ti~a (de ad.wenta) F s (fig. 3~28). Odafa- corpul_ pornit, daca nu mic§orain ungh.iui; ·c_orpul va aluneca in jos ·acee1erat, deoarece for~a. de frecare cinetica (de alunecare) Fe este mai mica decit cea de. frecare statica, _ F c < F 8 • Reluind experien~adar ciocanind U§Or scindura putem gasi un unghi <p (mai mic decit eel precedent} pentru care eorpul odata pornit va luneca in jos practic uniform. ln acest caz Gsin <p :P c•

Exact ca in experienta cu scindura orizontala, punind corpul pe diferite fe~e sau combinin~ ___ llli!.L11lUlt.e. norlluri identicer-~gasim .C:a unghiul cp, nun:lit Unght71rfrecare;-;ste de fiecare da~a ace~~,.._gd_!Q~_J!:t!_~~l!14e_de ?Ei~ supra-. J~te-i- d~tegeal)~""Fuftfi.i({p.esii'~rp .diierite"~.t-~l~ane d~ -~a~! _ __gasim c~ fortii'F;eite~projwrtiona}A.cu.a.pasareanQ:r:m!lta r)e planuTin~il~at, care este c' cos <p •.• (legea II). Coeficientul de freca~~- re~u1Wmed1at din aceastif eXpe:-. rienta:

(3.43).

Coeficientul d~ _ frecar~ la al~necare tJ. ~ste_ egal . Cll tangertta , ung_hiului de fre~are cp,- care- Ia--·nifuullui·es:ce egal cu unghi~l.-plaruiluTin-ciiiiat- - -- care

· ?<?rpuLlun.~Qi! uniform pe plan.---- - ----- CoefiQ!_~ntiii:<re~f:d~llar:e~,-jl:ind '4ll raJ>_m:tde fort,e, este adimensional (numar far{CITin~nsiuni fizice, adic·a fara unitati d~--~1~8\ir~}:------------------~-~

a b ~'ig. a.28. For·pc~ d.e fret~are pe planul iitdinat. La ·ethil ibru /l~t = G ·sin rx. in eazul_ a1uneearii \lniforme: Fe =G sin rp ~i Fe= !JN-= tJG cost?, de unde 1.1 = tg tp (cp- unghiul de f~ecare) ..

eo

' Exem ple- de coefi~ienti de frecare la Piele pe metal 0,6 Caramida pe caramida 0,5-0,7 Lemn pe lemn 0,2-0,6 Cauciuc. pe ~osea asfaltaUi 0,4-0,6 Piele pe lemn 0,40

alunecare

Plele pe fonta Otel pe otel . Lemn pe gheata: Otel pe gheata

0,28 0,17 0,035 0,020

Cele doua legi ale frecarii au fost descoperite experimental de LEONARDO

DA VINCI (1452-1519) ~i redescoperite in 1691) de inginerul francez G. AMONTONS. Ulterior savantul francez CHARLES A. COULOMB (1736-1_806) a efectuat multe experiente asupra frecarii §i a subliniat deosebirea diritre frecarea statica §.i cea cinetica. In cinstea lui cele doua legi ii poarta numele.

Explicatia legifor frecarii rezulta din analiza microscopica a suprafetelor in contact. <:)!,'~-~~-de §_lefuite ar fi supra~etele, ele prezinta· nenumarate neregu-1 . "' . . "·;·-\;;-..,---~--------:-----;---·---·--··--;··---··;·------------------·----------------------·--·-·-:---------·-

arita ~I- sa u a~_peritati mwroscop1c.e ... At:unCLar.la . .r.e.a.ld..J:L.cont.a.ctlil ui este m ult ~~i-!fiidi deeit aria apar(mta macroscopica (poate fi de zece miX"d·e·~~-i-~ai mica) (fig.-3:29[!~~~8-tK arie reaHi"de-~cont-act este proportionala cu apasarea normala, deoarece virfurile neregularitaTHor, dllca sint supuse la o apasare. spotita, se deformeaza plastic (presiunea este ·foarte mare din cauza ariei mici) §i aria de contact ·-cre§te practic propQrtional. ln cazul alunecarii aceste -~~I_l:~~~-t-~~~':!.~-~2:.~---~-~~~~~-S!lP!:.~f~t~ ~Jp.t J'Ypt~. §i se formeaza continuu altele noi.

Prin urmare, forta de frecare este in realitate proportionala· cu aria reala a siiPfareyelor·-Ihicr()scop~~-~-~~~--~§iltact~~~-~a:ie'e"ste ~ind~p~nde~t~ --~~. ari~.--~~a­ren~~ Illacroscopica""de- c·ontt:l.ct, dar care este propor~lonafti cil apas~~ea nor­mala. Rezulta ca i2T'ta de frecare este proportionalA cu apasarea normaHi dar este independenta ..:: ' atia apa.renta macroscopica de contact. '

3.4.3. Freearea in natura §i in tehniea. Fortele de frecare la contactul dintre soli de a par peste tot in natura §i ii]. tehnica. ln unele ,domenii ele sint utile, chia.r indispensabile, ia.r in alte domenii sint daunatoare si trehuie red use cit mai mult. •

· Astfel, echilibrul corpurilor pe suprafete u~or inclinate este posihil numai datorita fortelor de frecare. lnsUfi mersul oamenilor este posihil datorita for­telor de frecare dintre talpa incaltamintei §i teren. La fel mersul vehiculelor este posibil dat_orita for~elor"ile freeare dintre. periferia rotilor motoare (antre-.

a b

. Fig. 3.29. Contactul mieroscopic intre solide ~i rolullubritiantului.

81

nate de motor) ~i teren. Pe gheata sau polei mersul este foarte greoi (la vehi­cule rotile patineaza, adica se invirtesc pe Ioc ).

Trehuie ohservat c·a la ro~ile motoare (actionate de motor) ale vehiculelor, for~a de frecare asupra rotii este orientata tnaiT~Je {roata impinge Pamintul i~a~_oi ~~_Pamintul" impi~ge roata inainte,_ a~~ cum s_e vede clar in cazul pati­naru rotu). Aceasta forfa de frecare reprez1nta tocma1 forfa de tracfiune dezvol­tata de motor. La. fel in cazul mersului oamenilor for~a de frecare asupra talpii ~c~~oneaza inainte: noi impingem Pamintul inapoi ~Ji Pamintul ne impinge 1na1nte.

Frinarea vehiculelor este posihila tot datorita fortelor de frecare (intre sahoti §i discul rotii, intre roti 'i ~osea). Pentru o frinare eficienta a vehicu­Iului nu trehuie sa intram in regimul. de ~lunecare a rotilor pe ~osea, frinind prea hrusc pe teren lunecos sau hlocind rotile, ci sa mentinem rostogolirea rotilor in preajma alunecarii, cind forta de aderenta este mai mare dec!t for~a de fr.ecare la alunecare.

· Transmiterea mi~carii de rotatie· p~_:in curele de transmisie este posihila datorita fortelor de_ frecare dintre curea ~i periferia rotii (fig. 3.30 ~i fig. _3.31). ·

Legarea nodurllor la sforile pentru amhalarea marfurilor; tinerea Ia mal a unui vas care acosteaza prin infa,urarea funiei de amaraj de mai multe ori in jurul hornei cilindrice fixate pe tarm; tinerea cu degetele minii a diferitelor obiecte (creion, unelte) - toate sint posihile numai datorita fortelor de frecare. ' • . ., .

Pe de alta parte for~ele de frecare sint daun~toare in diferite motoare si mecanisme, deoarece pentru invingerea lor se consuma energie in plus in mod inutil, energie care se transforma in caldura, ducind Ia incalzirea pi~selor in mi~Jcare. Uneori aceasta incalzire poate duce Ia deformarea pieselor, la gripa­rea lor. sau chiar la topirea lor.

A

.o\

}'ig. 3.00. Curele de transmisie.

88

Fig. 3.31. Transmisie pr in rot;i din tate ~i prin curea.

A=-#M#l~£&/4#. ¢##j##JN~/;J;///~#1~#d&. a b

Fig. 3.32. Frecarea la alunerare i?i fr~rar~a ·la rostogolire.

Pentru a mic~Jora fortele de frecare la lunecare se folosesc lubrifianli: uleiuri ~Ji unsori. Acestea formeaza o pelicula care separa solidele l}i duce astfel la lunecarea pe o patura de lichid, la care fortele de frecare sint de zeci de ori mai mici.

0 alta cale este folosirea rostogolirii in locul lunecarii. Forta de frecare care se opune deplasarii unui corp care•se rostogole~te peste altul este mult mai mica (de sute de ori) decit forta de frecare la alunecare. De exemplu, un cilindru (creion rotund) pus de-a lungul unui plan, inclinat u~or, ramine in repaus, dar pus de-a curmezi~Jul planului (pantei) sigur ·Se va rostogoli, chiar la inclinari mici ale planului.

La rostogolire asperitatile sint mai degraha ,netezite" sau ,c3Jcate", decit rupte ca in cazullunec·arii.

Pentru a deplasa un bloc greu se pun sub el butuci de lemn (fig. 3.32)­procedeu cunoscut cu mult inaintea erei noastre, de exemplu in Egiptul antic, Ia constructia piramidelor.

Descoperirea rotii a marcat unimportant progres al omenirii. Pentru a reduce frecarile in lagare, in care se rotesc arbori sau osii, se

folosesc rulmenfi cu bile sau cu role (fig. 3.33, 3~34, 3.35) transformind fre­carea de alunecare· din lagare in frecarea de rostogolire a hilelor.

Forta d~ frecare la rostogolire se . poate masura in principiu la fel ca §i . forta de frecare la lunecare ( cu tribometrul).

Astazi exista vehicule pe perna de aer in care motoare speciale creeaza o p~tura de aer sub vehicul, pe care acesta luneca~ De asemenea, se experi­menteaza vehicule cu suspensie magnetica care se deplaseaza deasupra unor -§ine speciale, fiind mentinute in suspensie cu ajutorul cimpului magnetic.

Fig. 3.33. a) Rulmenti cu bile ~i b) rulmenti cu role.

89.

Fig. 3.34. Rulmenti .cu bile la o biciclet~ Fig, 3.36. Lagiir de alunecare (fiira rulmenti).

ln afara de frecarea intre solide, exista forte de frecare intre solide si fluide sau intre straturi de fluid. Astfel, orice corp care se mi~caintr-~n fluid intimpi~a din ~artea acestuia o forta de rezistenta, de exemplu Ia vapoare, suhmar1ne, vehiCule terestre, avioa.ne, rachete.

EXPERIMENT£

Studiul frecarii la alunecare. (Trusa de fizica pentru liceu.) Se analizeaza frecarea de alunecare dintre carucior (cu rotile hlocate) ~i bara derulare. Pentru aceasta se realizeaza montajul din figura 3.36 (detalii in fig. 1.29). Se hlocheaza rotile caruciorului (fig. 3.37) pentru a realiza frecarea de alunecare.

fl) Metoda planului orizontal. Se inc arc a caruciorul cu greutati cu suruh de 100 g. Forta de tractiune· se alege prin incer~ari astfel tncit ca~ucio;ul cu rotile hlocate sa lunece uniform dupa ce a fost pus in mi~care. Atunci forta de tractiune F echilihreaza forta de frecare la lunecare Fe §i fl.= FeiN =·FfG.

Se fac mai. multe determinari pentru incarcari diferite ale caruciorului ~i se calculeaza llt· In limitele erorilor e,xperimentale se ohtine acela~i coeficient 1-l.

Fig. 3.36. Montaj pentru studiul frecarii pe plan orizon tal.

/ 90

Fig. a.37. Blocat•ea rotilor caruciorului

Fig. 3.38. Montaj pentru studiul - frecarii pe plan inclinat.

- "G Fig. 3.39. Componentele fortei de greutate (la d'i.ruciorul indircat).

b) Metoda planului inclinat. Se l..ltilizeaza planul inclinat far a montajuJ · electric (fig. 3.38). Pe acesta se lasa sa lunece caruciorur cu rotile blocate. . Forta care pune in mi~care caruciorul este componenta tangentiala_ a greuta­tii acestuia (fig. 3.39). In mi~care uniforma, cu unghiul q> al planului, forta de frecare F ~ = !J.N - 1-1Gn = IJ.mg cos q> este echilibrata de componenta tan­gentiala Gt = mg sin cp astfel incit !1- = tgq> (cp-;- unghiul de frecare).

Se lasa carucio:cul sa lunece pe bara de rul/ilre ~i se modifica unghiul de inclinare ~ al acesteia ptna se ohtine o m[fcare ·uniforma tn urma unui impuls. Se masoara unghiul q:J cu raportorul (17). Se repeta experienta de ctteva ori ~i se ia media valorilor !J.· Se va compara cu valoar~a ohtinuta tn varianta precedenta. "'

2~ Determinarea randamentului planului inclinat. Pentru a ridica uniform , un corp pe un plan tnclinat de lungirrie l §i inaltime h, fara frecari, trebuie sa efectuam lucrul mecanic Lu = G sin ~ · l = Gh, la fel ca pentru ridicarea directa pe vertical a. In prezenta frecarilor: Lt = ( G sin ~ + fl. G cos~) ·l > Lu deci ridicarea corpului se face cu randamentul

Lu mgh sin (X 1l = --- = ____ ..;:;_.... ___ - ------Lt mg(sin (X + ll cos (X)l sin (X + ll cos (X

1 -----<1. 1 + !lftg (X

Cu dt unghiul ~ este mai mare (deci tg IX mai mare), cu atit 11 este mai mare, dar ~i forta necesara este mai mare. La ungh~ri oc mici randamentul este mai mic dar in schimh ~i for~a necesara este mai mica.

Se realizeaza montajul din figura 3.40 montat ca plan incli­nat (rotile caruciorului sint hlo­cate). Se tncarca caruciorul cu greu­tati cu ~urub. Pe taler se pun corpuri cu mase cunoscute M pina ctnd

caruciorul se deplaseaza unifarm Fig. 3. 40. Montaj pentru determinarea ran-in sus in urma unui impuls. Atunci damentului unui plan inclinat.

91

G sih ex + tJ.G Cos ex = F - (mt + M)g, unde G este greutatea caruciorului incarcat, mt - masa talerului, M ..,.... etaloanele de masa. Randamentul se calculeaza cu formula:

Gk m sin ex 1)=-= .

Fl mt +M

Se repeta experien~a pentru diferite incarcari ale caruciorului ti apoi pentru alte unghiuri de inclinare. Se va compara cu valoarea teoretica de mai sus.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un corp este lansat de-a Iungul unui plan orizontal cu viteza initiala v0 = 4,9 mjs. Coeficientul de frecare la alunecare intre corp ~i plan este ll = 0,20. sa se afle accele­ratia corpului, timpul ptna Ia oprire ~i ~istanta pattcursa.

-+ -+ -+ -+ Rezolvare. Conform figurii 3.41 avem G + N + Fr = ma, care proiectafa pe cele doua axe da ecuatiile pe componente:

- Fr = ma, N- G = 0,

dar, deoarece are loc alunecarea, FJ =Fe = 11-N = ~.tG !Jmg, atunci

- ~.tmg = ma, a = -~g~ Semnul minus arata ca acceleratia este tndreptata in sensul opus vitezei (mi~care in­cetinita). Apliclnd formulele . cunoscute pentru timpul ptna Ia oprire ~i. distanta parcursa pina la oprire intr-o mi~care . incetinita, obtinem:

Vo trff= -""a=

v0 v0 · v~ - -_-!J._g_ = -Jlg- = 2,5 S: :rm = - 2a

i -<--r------

, ... G

L X

2. Uri corp de masa m = 10,0 kg, a!?ezat pe un plan orizontal, este tras de o forta care formeaza un unghi ex = 30° cu orizon tala (fig. 3.42). Sa se afle aceasta forta, !?tiind ca corpul se· m~ orizontal cu acceleratia a = 1,34 m/S2 ~i coeficientul d~ frecare la alunecare este !l 0,27.

3.41. A ltmecarea libera a unui corp pe un plan orizontal cu frecare.

Rezolvare. · Conform figurii 3.42 ·-+ -+ -+ -+ -+

avem F + mg + N + Fr = ma,

;s!r:': __ ~ 11-F -L~ I I N I I I I

r----+----i' : -- --- ·-- - X

- o:_ __ - ~ F cOS«

r~~~~~~~~~~~a~ ~ :r,

mg Fig. 3.-12. La problema rezolvata 2.

92

care proiectata pe cele doua axe da ecuatiile:

F cos ex- Fr = ma; F sin ex+ N-- mg 0; ·dar F 1 = F c ~ 11N

!l (mg - F sin a),

de unde:

F m(a + (Lg)

----'----=--:=--- = 40 N. cos a + !l sin a

Aici se gre~e~te uneori punind Fr = !J.mg.

s. Un corp de masa M = 4,0 kg este a~ez~t ~e ~m plan orizontal. De corp este legat un fir mtms orizontal, trecut peste un scripete ideal.~i ~vind la capat un corp de masii m = 3,0 kg (ftg. 3.43). Coeficientul de frecare la alunecarc dinlre eorpul M l}i planul orizontal este t.t = 0,25. Sa se a!le acceleratia sistemului !?i tensiunea din ftr.

Rezolvare. Conform figurii 3.43 av(1m:

A:_ fmg

pentru corpul M: T - Fr = Ma, N - Mg = 0; Fig. 8.43. La problema rezolvata 3.

pentru corpul m: mg - T = ma. · / .. · · F F N - , Mg Rezolvind atunci sistemul de ectiatu,

Dar in cazul lunecarn f e = ll - ~"' ·

obtinem: m- f.tM ,..:_ 2 8 mfs2 T = -(1 + !J.)mMg = 21 N.

a=g-;;;+M-' ' m+M

4. Sa ~e studieze lunecarea Iibera a unui corp pe un plan inclinat cu fr~care... .,

Rezolvare. a) Corpulluneca liber in jos {fara viteza initiala). Conform figurn3.44, a avem.

mg sin ex - F f = ma, . N - mg cos ex = 0,

dar in cazul lunecarii Fr Fe= vN = vmg cos ex, atunci ac = g{sin ex - !l cos ex). mg ~in a_ ll mg cos ex = ma,

Pentru ca corpul sa lunece trebuie ca: a > 0, sin ex > ll cos ex sau !l < tg ex

altfel corpul ramine tn ~epaus pe planul inclinat.

(3.44)

Cazuri particulare : _,,_g, adi'ca rezultatul cunoscut de Ia problema rezolvata 1;

a= 0, plan orizontal, a r

a = goo, caderea Iibera, a g \(rezultat bine cunoscut). . , . . . Cunoscind acceleratia la coborire ae (3.44), putem calcula ttmpul de coborire ~~ vtteza

fi nalil:

tc =

mg

v' = V2aes = V'2g(sin a- fl cos a)s.

y

:~ v, ' ...

~a }coborire {b) urcore

Fig. 8.44. Mi~carea pe plan inclinat cu frecare. La problenla rezolvata 4,

93

(3.46)

bfj L?:ns3a;n cobrpul cu o viteza i~itiala Vo in sus de·a lungul planului indinat Conforn• 1guru .44, avem: . · •

- me. sin et - l1't = ma',

Fr = tJ.N = tJ.mgcoset,

N - mg cos et = 0,

au= - g(sin et + ll cos rxJ. Acceleratia este indreptata in sensul 't opus VI .ezei (mi~care tncetiniU'i). Cazuri ·particulare:_

_et = O~_ylan orizontal, -:a = - tJ.g, rezultat cunoscut·

(3.47)

et = 90~,- arunca:re vertical 1n sus, a= - g, iarA~i 'rezultat · cu-noscut.

Cunoscmd acceleratia _g.e urcare (3.47), putem calcula timpul de parcursa: urcare ~i distanta

,~

tc = v 2sm =. Vo ac _ g

. 1

. = tu "\ I sin et + f1 cos Ot

V sm2et - 11 2COS

2et V sin et -. f1 cos Ot =

= tu "\I tg et·;"';:·~t·•·.· ········ v tg C( - !1 _.... u ' (3.49)

v' = V2acsm v sin C( - !1 cos C( ~ v-tg C( - II Vo --. ----- = Vo r < v

sm et + !1 cos et tg Ot + f1 o· · (3.50)

1NTREBARI. EXERCITII. PROBLEM£

1. De ce locomotivele se fac grele din otel ~inu u~oare din aluminiu (sau duraluminiu)?

R: forta de tractiune este forta de frecare la ro+ile motoare (F _ G) 2 . . · ~ f. max - !1 •

• Carle esdte c~ndit.Ia ca un corp, lansat in sus de-a lungul unui plan inclinat sa raminx pe oc upa opr1re? ~

R: !1 > tg et. 3. Este posibil ca un vag_on (sau sanie) sa couuare • .;ect1'I1'n1·,_1

·r • um orm pe o pan ta lin a ?

.R: da (daea et = cp). 4. ~n corp Iansat de-a Iungul unui plan orizontal se opre~te datorita frecarii pe

0 distanta d = 19•6 m intr-un Limp ' = 4,0 s. Sa se afle viteza ini+iala ~i coeficientul de frecare la Iunecare. ~ "(

. R: Vo = 2dj'r 9,8 mjs; (J. = 2dj.g;;2 ~ o 25.

5 •. u~ .tren frineaza cu o forta de n =' 10 ori ~ai mica decit greutatea sa. ~tiind vi:eza Illltia}a 1 Vo ::::., 108 kmjh, Sa Se afle timpuJ pina }a oprire ~i distanta parcUPSa.

R: lm = nvofg = 31 s; d = nvgj2g = 460 m,

94

6. Un camion cu masa m 5,0 t porne~te eu acceleratia a = 0,61 m/s2• ~tiind .cu fortele de frecare (rezistenta) reprezinta o fractiune f ~ 0,040 din greutatea camio­nului, sa se afle forta de tractiune dezvoltata de motor.

R: F = m(fg + a) = 5,0 kN.

7. Un tren cu masa m = 1 000 t i~i mare~te viteza de la v1 = 54 km/h la v2 = 72 km/h intr-un timp !J.t = 1 min 40 s. ~tiind forta de tractiune a locomotivei F = 80 kN, sa se afle forta de rezistenta.

R: Fr -v2 - vl F- m---- = 30 kN.

Llt

8. Pentru a evita o ciocnire un !?Ofer a frinat brusc, la maximum. Masurind lungimea urmelor lasate de anvelope pe asfalt s-a gasit lungimea de frinare s = 22 m. ~tiind coeficientul de freeare pe asfalt 11 = 0,'60, sa se afle daca !?Oferul a respectat viteza maxima legala vmax = 60 kmjh.

R: v0 V2t-tgs = 16,1 m/s = 58 km/h.

9. Un corp cade liber in aer de la o inalpme h = 14,7 m intr-un timp tc = 2,0 s. Ce fractiune din greri'tatea sa reprezinta forta de rezistenta medie intimpinata de corp din partea aerului? '

R:Frfmg = 1 - 2hjgt'i = 0,25.

10. Pentru a mentine in repaus un cofp pe un plan inclinat de unghi et = 30° trebuie aplicata o forta minima in sus de-a Iungul planului F 1 3,5 N, iar pentru a-1 trage unifo:rm in sus de-a lungul planului trebuie o forta in sus de-a lungul planului F 2 = 6,5 N. Sa se afle coeficientul de freeare Ia lunecare (fig. 3.45).

F2- Ft R: !1 = tg ex = 0,1 7.

F2 + F1

11. 0 saniuta luneca pe ·zapada pe un drum inclinat de unghi ex = 45° de Ia o inaltime h = 2,0 m, dupa care intra pe un drum orizontal, oprindu-se pina la urma datorite frecarii pe zapada. Coeficientul de frecare la luneeare pe zapada t-t = 0,050. Sa se afle distanta parcursa pe planul orizonta1.

R: d h(1/t-t - etg ex} = 38 m.'.

12. 0 saniuta lansata in. sus de-a lungul unui plan ·inclinat, care formeaza unghiul• et = 45° cu orizontala, revine inapoi la baza planului astfel incit timpul de coborire: este de n = t,1 ori mai mare dedt timpui de urcare. Care este coeficientul de frecare' la lunecare intre saniuta ~i planul inclinat? . '

R: !1 tget(n2 - 1)/(n2 + 1} = 0,095. -F, ( rni111ini)

a J<'lg. 8.45. La proh lemA I O,

95

13. Q,saniuta de greutate G = 0,50 kN lunedi.. liber in jos pe o panta p = 4% cu viteza constantd. Ce fortA., paraleiA. cu planul, este necesarA. pentru a urea saniuta tnapoi cu vitezA. constanta?

R:F = 2Gp 40 N.

14. Cu ce acceleratie ori~ontala mini­mii trebuie impins un plan inclinat

Fig. 3.46. La 'problema 14. de unghi ~ = 45° pentru ca un corp al?ezat pe el sa inceapa sa

urce pe plan. Coeficientul de frecare dintre corp l?i planul inclinat este ll = 0,20 (fig. 3.46).

R: N sin ~ + Fr cos~ ma, N cos~ - mg- Fr sin ~ o,

\ IL+tg~ 3 Fr= !J.N, de unde a= g = g.

1-~J.tg~ 2

3.5. MI$CAREA CIRCULARA UNIFORMA

C3a mai simpHi 'i una din cele n1ai raspindite §i mai importante mi,cari curhilinii este tn~carea circularli. ln mi§carea circulara traiectoria punctulu~ material este un cere.

ln structura diferitelor mecanisme, motoare, ma§ini-unelte intra tot felul de ro~i §i osii ale e&ror particule descriu cercuri in jurul axei de rota~ie, deci au o mi§care circulara. · ·

Sa legam o piatra de o sfoara §i s-o invirtim deasupra capului astfel incit ~a. de-scrie un cere orizont!ll. Piatra va avea o mi§care eirculara.

Mi§c~rc~l~:ti! __ f}!t~<~~Jll!i/J!r:111d_.~!JJ!Ca vitezan:;ohilulgi ~ste co7tstan~li tn, mod'!'l, adica mohilul desc~ie. arce de c~rc- egale i.n intervale. d_~,J;~.

Y~ctQ~~~~"'1 .. Ji!l!L!Q!.~~~~.1l_! tangent A Ia traiectorie, d~§i ram.i.ve'' tl9ll§i!!n1 !li~l!i.Qt!11I~

in timpulmi§carii circulare uniforme,i§ischimha permanent directia (fig. 3.47).

Fig. 3.47. In mi9care1 circulara uniforma vectorul viteza este constant in modul, dar il?i schim­ba mereu directia, deoarece este tangent Ia cere sau perpendicu­lar pe raza vectoare a mobilului.

--* ~

Vectorul de pozi~ie r -· .l?~~~J:IS_~U!!_Q~RtruL ce!:_c~lui -~JP.ii _J~ ~:I!iQ_~il .. _se mai .~uJil~§.t~- !l!~il­vectoare a mohilului.

~·---·In timpul mi§carii raza vectoare a mohi-lului matura aria cercului, iar vectorul

-~-~~t.~ . .p.er1JlQ,J1.~I.lt Mr..p.endicu.l!!r p~ !:~~~~Y~J~:tmu:e a moblli!luL~--3...41}r" -~···-

96

Jrli~ar~a_cir.culara .uniform~ est~ () m,i§care pe:riQdi.ctl deoar.ece· se repet a identic dupa parcurg~!.~B..Jntregului .. <ier.c, .la.intervale egale de timp.

Perioad~· ·;;;;;cdrii circulare un~forme este in~t:rf)a.lU:l-tJ,c timp .Jn ... c.~rc mobilul parcurg~.!.cir.~!i-_f!.tJed.TI,L'!...f~~·· ....

Perioada T se masoara in s~:unde.

0 car;cteristica a mi§carii circul~t~.l!:I!i(Qtm~, JQ.lQ.~it~ .ma,i <fes in p~ac­tic~l, este (urafia·. §au . {r_f!CVJ!.!JJ!J. d,e 1Q~aJie Ca[e_ [eprez.intii .llumJir:u.£ JJe .. .f.QJafii efectuate in unitatea de timp ~ 1 s ).

Daca inmultim durata unei rota~ii, adica perioada T, cu numarul rota­.tiilOI'.-ef.ectuate..in. unitatea.de . .timp~. adicii.cJI .. fr~.CY~nt;!!-Y., .. tr..e.hui~L~a .. 9J!ti!!~!f.l. unitatea de timp: T 'V 1, de unde rezulta ca frecv~D~fi §i perioada sint inverse intre ele sau reciproce:

Tv= 1, v=.!.,T= 1•

T v (3.51}

Frecventa se masoara in 1js sau s-1• In practi~a turatia (notata de ohicei cu 71,)_

se maso~ra adesea in rotjmin (1'r~t/8"--. '60 rotfmill}." -

· 3.5.1. Viteza unghiulara. Pozitia mohilului pe cere poate fi determinata cu ajut~rul coordonatei <mrhilin~i care masoara lungimea arcului de cere de la un pl}nct-origine 0, considerata pozitiva in sensul trigonometric (antiorar).

_ Fie la momentul initial t = t0 mobilul in A0(,s-0).~iJa ~o.mentult mohilul in/A(s) (fig. 3.48), atunci mi§carea liind unlforma pe traiectorie, avem analog mi~earii rectilinii uniforme:

As s s v =- = --0 = const, de unde s

~t t t0

s0• + v(t- to) (3.52)

(v va fi negativa in cazul mi~ca~~ ... !!!.~.!~n~-~qrar). ,.-·Fi~--6~ ~i-t};~ghi~;ile };~entru pe care le formeaza raza vectoare a mobi­luluj cu raza de referin~a CO ( 6 = 0) la momentele t0 ~i t. Upghiul la centru a 6 = 6 - 6o, masurat in radiani ' descris qe raza vectoare in .timpul at . t-t0 est~ Iegat de arcul suhintins As ~·~=.so A(s)

prin rela~ia cunoscuta din trigonometrie:

As=s-s0 =RA6 (3.53) ~-~"~----~~--····~·~··~-~---··~

unde R este raza cercului.

Radianul este un ungP:!.J~.~~-~~.!!'.!t .. .J!anL .... subintinde un arc de cere egal cu raza cercului. Cum unghiul total <le '360()· suhmtiride'toata Jungimea cercului care cuprinde 27t raze, rezulta ca unghiul de 360° are 27t radiani, deci

360° 180° 1 rad = -- = ·-

27t 1t

97 7 Fizica cl. a IX-a

Fig. 3.48. In mi~carea .rin:ulcfl·•1 uniforma: s = s0 + v(t - tn) ~i ft= &0 + c.l(t t~) 1 fpgea ml::;;.citrii).

ln fiecare se.cu~~ii moh.ilul descrie arce egale, deci ~1 unghiuri Ia centru egale. ? caracter~stwa, ungh1ulara a mi~carii circulare este viteza unghiulara. A V ~teza ungh~ulara reprezinta u_T}g/i~ll,l la centru descris de raza vectoare tn un~tatea de timp. - · -,---·--1~-.--~-

~e w == --- , [ w] = 1 radjs.

/].t (6.55)

Vit~-~~-lJ-~ghiulara.s.e masoa-~ in radiani pe s~e;y,ruiifjr~~js). · JrtiUl~~f!31! CI!:Q_Ulfl:r.:~.l111:1for~.~ _w = const. Intr-o mi~care circular a oare­

ca~e (neunifo~.r;na) u~ghiu~ la centru maturat de raza vectoare, raportat la uni~at~a Ade t~mp, adiCa viteza unghiulara (momentana), nu este constant, ci var1aza In tim p. . ·

V om stu.dia numai mi~carea eirc,~!ar~-- ~~ifqt:~.t!: .. RL~~J3-:~-~-!:~ulta 6-~

L=.ltt (3.56)

Rw. (3.57)

A

1

c~asta estelega~ra dintre viteza v (numita ~i viteza Iiniara) ~i viteza unghiu­ara w.

In timpul unei perioade T mohilul descrie circumferinta cu viteza con-stanta v, deci .. .

de unde w = 2

1t = 2n v. T

(3.5~)

' Aceasta este legatura dintre viteza unghiulara w (in radjs) ~i perioada T (in ) sau frecven~a v (in 1/s). · 8

Pig. 3.49. Calculul accelera­Pei centripete in mi~carea

circulara uniforma.

3:5.2. Acceleratia centripeta. In · miscarea ->m·-~"~""~~~,.~ ... -. "~--..,_~-·->•"··• _, ··-

-?

circulara uniforma 1 v l const. sau L1v = 0, dar

"# 0, d.eoarece · " v vanaza ca

qf~ec{i~ ~i deci ~~~ista .. ~ ac~el~~atie ; = a-;;; At. Sa calculam aceasta ac·ceTeratie -

'· . S~ consideram mob11ul ]a dona momenft>

su€cesrv~~--t~i~-t-,--.... _punct"efe ~-A,

a,yind vite~ele ~ respectiv -;, unde 1 ;, 1 = i w-1 (fig. 3.49).

-,). -.:;.. .-.:;,.

Dlferen~a Av = v' - v se ob~ine dupa cum

~tim unind virfurile vectorilor "J,-; du~i din acela§i

98

punct, de exemplu din A. Triunghiul vitezelor AB/3' este a,semenea .cu tri· · unghiul CAA', ele fiind isoscele §i avind laturile respectiv perpendiculare.

Din asemanarea acestora avem ·

~v I v

AA' R

Pentru intervale de timp L1t foarte mici punctele A, A' sint foarte apropiate ~i coarda AA' coincide (la limita) cu arcul .L1s. Atunci .

(pentru A.t ~i L1s ~ 0).

J mpar~ind la L1t eorespunzator·, rezulta ....,..

I ~- I = ~~~J = ·!.:._ ~s = .~L- ................. '-"'····-- ··-·--LA.,.yt;.. __

Directia ~i sensu) accelera~iei sint date de segmentul BB' care este perpt>n­dicular pe AA'. Cind At descre~te catre z~ro (At ~o) ·~i A' se apropie de A, coarda ia directia tangentei la cere in A, iar BB' ia directia razei cercului. Prin urmare, acceleratia este radiala~ o-rieniata _§pJ:f~---~t;!llnJ[i;~r~yl.y.i,.~f}._ ae~~a

se num~r:ea·ccerera:~te-centripe.ta:--·E·a :este··_p;,.p_ef14i~Jl?qra. permanent pe traiec­torie (pe tarigenta-la-·ce-rc·-saup:e 'vectorul vitez..a), de aceea se nume~te ~i acceleratie normala:

(3.59)

serie 9i vectorial, folosind raza

(3.60)

Aceasta rela tie fJectoriala ne atit ca marime, cit ~i _,..

ca directie ~i sens. Observam ca in • .., •• !.1 ....... circulara uniforma 1 a l = const, -,).

dar an variaza permanent ca direc(ie ( o -·-···~·······-~--~·-·-·--~····-=··-~---~··~·-~·

Daca mi~ca,rea circulara nu este uniforma, adica 1 v 1 ~i cu variaza, atunei

1n variatia 11-; apare ~i un termen suplimentar careprovine din variatia modu--+

lului vitezei ~i atunci vectorul acceleratie a este orientat oblic fata de raza vectoare (variind ca modui· ~i direc~ie).

3.5.3. Forta centripeta. Pentru a schimba vectorul viteza, fie ca marime fie ca directie, este nevoie de o for~a aplicata corpului. Altfel, corpul s-ar mi~ca rectiliniu uniform, conform princip.iului iner.~iei.ln mi~carea circulara uniforma acceleratia este centripeta (3.59-3.60) ~i conform legii fundamentale

99

, ..

'

Fi2. 3.00 •. Elementele mi~­dirii circulare uniforme.

EXPERIMENT

~----~----.~·-······ .... - IJ1J!}7 ~ ( 3. 61) Forta centripeta nu este uu !!911. ~~})-~<!~ f()Ft~~

Ea poate fi forta elastica de tensiune a unui fir I~gatae corp, r~;ti~·--g;;;I~fi0ila1ii-exe;Citata c~rpul central "(de exe'Iitplli, in sistemul solar):" forta electrica exercitata de nl!cleul atom.ulu( asupra ~1~~-~ .. !"Q!!~~!"~~£·

Descrierea dispozitivului. Pentru a verifica expresia fortei . centripete (3.61) putem face un experiment simplu. Luam un tub de sticla de diametru ~ 1 em ~i de lungime ~ 10 em cu marginile rasfrinte Ia un capat ~i un fir de ~ 80 em. La un capat al firului Iegam un dop de masa bine cin­tarita (m_ ~ 2,0 g) iar la celalalt capat Iegam un etlllon de masa (M ~ 20 g) sau un d1namometru cu un capat prins de masa (fig. 3.51).

M~dul de lu_cru. 1. ~?u~em corpul min mi§care circulara uniforma pe un cere or1zontaJ. Firul va fnntins de forta,F = Mg in varianta din figura 3.5·1. a san de l'oi'\<~ f indic~ta ~e dinamometru in varianta din figura 3.51, b §i va a. vea o poz1t1e practlc or1zontala, deci forta centripeta va fi practic chiar F (altfel trebuie calcula.ta componenta orizontala a tensiunii din fir).

_ 2. Alegem t~ei valori pentru raza R (20 em; 40 em §i 60 em) ~i masura m })f>riOa,da respect1va (cronometram timpul a 10-20 rotatii).

-------

m_~ \ F:Mg

',, ____ _

a

------...................

' \ I I

/ ,/

__ ... --__ ....

------------.... -- -- ...........

F

b

', \

...... "'//) ------ F=mJR

Fig. 3.51. Forta centripeta In mi!?earea cireular·a uuif•.rrwi.

100

3. Schimbam corpul m (luam un alt dop cu m :::::::. 3,0 g) §i repet,ihn expe~ rienta.

4. Schimbam corpul M (luam M :::::::. 30 g) sau rnentinem dinamometruJ ht o aJta valoar·e a fortei P ~1 repetam experienta.

PrrlucrarPa datel.or. Trebu.:.e sa verifiram legea

(3.62)

Alr:Hu.im un t.abel ea eel d~ mai jo_s:

F sau Mg [!\I I m[k~] I R[m] I 'lls]) ~ lnr:2m ll/ Ti :\ J i '

0,196 2,0 • to-3 0,40 0,41 0,188

-

~--·--·

Trebuie sa comparam valorile din prima coloana (F) cu cele d~n ultima eo Joana (li1t2mRj T2

).

Experimentul simplu de mai sus, precum f5l nenumarate alte experiente foarte precise s.i observatii asupra mif5ciirii- circulare din natura confirma

~ * valahilitatea legii fundamentale F = ·ma in cazul mif5carii circulare (in m1~-

·+

<>area rirculara uniformii P - mcu2r).

In mi~carile circulare neuniforme, pe linga componenta centripeta Fn = mcu2r, care modifica direcfia vectorului viteza, mai apare ~i o compo­

-nenta tangential a a fortei ( F t = mdvfdt) care mqdifica modulul vectorului viteza.

E \. E \I P L U

in mi~c·art>a dt> rotatit> pro1ll'it' diurna a Pamintnlui. sa Sf' c·al .. nlez~:>: viteza unghi1• lara de rotatit> a PtunintuJui, viteza ~i aeeP.IeratiH c·entripet.a a unui pund dp Jk suprafata Pamintului. aflat Ia JatitudinPa ~ ~ t.f•" (fi~. 3.;"l:l)"

Re;oh•are. \'iteza ung:hiulara:

2;r . 2 • 3.1 !t rad _ . (•} = - = -· = ;.29 · to-" rau s T 24 • 60 ·60s

Ea f'Slt> foartf' mi1·a (gituliti-v[t. rit de incet

tr·ehuit> 8~\ invirtiti 0 mingr r·a ea sa far·:. i1

r·nta\if' in 24 h). Viteza liniar;1:

v = cur =. Ct>R cos ~ = 7, 29 ·1 ()-6 s-t. ·6 380·103 m ·cos 45° = 330 "m/s

!}i acceleratia centripeta:

an= w'"r = w2R cos~ 0,024 mjs2,

mult mai mica decit g(an ~ g/400 sau 0,25% din g).

tO I

N

s 1-'ig. 3.52. •Rotatia proprit> diurm1

a PamintuluL

3.5.4. J'orta centrifuga. Aplic~h_P_JjncmiU~ ~J!lJ~~J!!!~9!!~ -~a J;'u.nl-.. Je-:am , formulat, sint valahileintr-11n sistem~g~.-~r.e!et'inta inertial, daexmnp1ulegat, ~qe So~re (s~stemul heif~~~~£ri~f sau de stele ~i nebuloa;e sau chiar de Pamint intr-o a _proxima tie destul de. hufi,r:-tntr-ui1-astlefde SiStenrd-e--~fffl'in:ya-e&~e val~hil principiul inertiei: un corp if(punct material) izolat, adica -nesupu-8 la ~llrci 0 forta, S~_111i~9a rectiJini1i u:riiforin.in vfr'ftitea irter~iei, sau este i~·~~pa-us~"

Daca -insa privim miscarea dintr-un sistem. <Ie···referi:ntanei'nerti'a:Z, adici , ' ' .

accelerat fata de stele sau fat;a de Pamint, atunci un corp izolat apare in mi§care accelerata fata de noi, fara sa putem indica vreo forta - cauza a mi§dirii accelerate. Invers, intr-un sistem de referinta r,1einertial un corp poate fi in repaus, de~i asupra lui aetioneaza o for~a rezultanta: De exemplu, fie pe un disc un corp legat de centru printr-un fir cu dinamometru, amhele aflate intr-o mi~care de rota tie uniforma ( dupa atingerea rotatiei uniforme nu este nevoie de nici o forta ~angentia.la) (fig. 3.53). Pentru observatorul teres­tru, inertial, forta de tractiune centripeta exercitata de resortul dinamometru­lui ohliga corpul sa execute mi§carea circular a uniforma .. Pentru ohservatorul situat pe platforma ~orpul este in repaus (fata de acest observator) de~i este was spre centru de forta indicata de di:q.amometru. Lucrurile se petrec ca §i cum asupra corpului ar mai actiona o ,forta", centrifuga, -egala in modul ~i

opusa pa sens cu fo.rta reala centripeta. ' _Qri de cite ori J:ltudiEnn mi§carea unui corp intr-un sistem de referinta -·-.. . ... . .... --- ....,._· ' ' ' '

. neinertial, pe linga fortele reale F trebuie sa introducem anumite forte comple- _ mentare F c pentru a putea scrie §i in astfel de reperelegea: Jorta este egala cu

·. ' -+ -+ .. ,,- -....,.. masa inmultitir-cu··ac·ceJer~a-·(F -+-Fe = ma).

Fortele complementare nu existupentr:Jfii~ ~~~,~rPator inertial, ele nu satisfac principiul I II a{rn.~CfJnicii~( al ac{iunii ~i reactiunii sau al actiunii reciproce),

~1ig. 3.63. Mi$car,ea eirculal'l1 uniform:1 lntr-un sistem de I'l-"ft•­

rintil inertial $i ln sistt>nnd de referinta propriu.,

102

nu e:ri~tii un corp din mediuJ inc()fl,jurator care sa le exerfite}i asupra ciiruiu .~a '8e exercite reactiunea res pectiva, adica ele. nu sint forte de iT?teractiun:e. _ _Forte] e compleme'ntare se mai num~sc' pseudofor~e _s~:u for{~_dl3 .. i!!-~IHe. Observam ca Newton a numitforte de inertie, fortele reale exercitate de corpul a?cele~a~ fata de repere inertiale, asupra legaturilor, de exemplu piatra asupra f1rulu1 §1

rniinii, Luna asup.ra Pamintului. _ Pentru ohser,vatorul neinertial fortele complementare se manifesta insa

ca forte reale pe care eJ nu le poate discerne deJor~ele reale (gra_vi~atio~ale) c~-­ajutorul UriOf experienfe localein cadrul restrins al laboratoruJru sau, Cl llUIIla1 <lac-a examineaza ~i mediul lnconjurator. .

In cazul miscarii circulare uniforme a unui corp, pentru observatorul rotit solidar cu co~.pul, pe linga forta centripeta, apa.re ~i o forta complemerltara

-+ -::.

centrifuga (forta de inertie centrifuga) F c = + mw2r, care explic~ repau~ul _relativ al corpului. De multe ori acest punct de vedere este mal sugest1v, deoarece reduce problema dinamica la o problema de statica, de echilibru intre aceste doua forte.

lata citeva exemple. 1. Intr-un autobuz care vireaza brusc sinten1 azvirliti in afar a de cat l'e

forta (complementara) centrifuga, care va fi echilihrata de forta centripet ft produsa de peretele autohuzului sau de scaun. Pentru observatorul terestr11· iner·tial, rw exista aceasta forta centdfug?, podeaua ~i peretele vehieulului sint deviate in timp ce noi a vern tendinta sa ne _ mi~c~~ in co!lti~uare rectiliniu uniform, in virtutea inertiei. Forta centnpeta exermtata d.e perete ne obliga atunci sa ne inscriem in rni~carea circulara a autobuzulu1.

2., a) Pe ma§ina .centrifuga fix am o t ij~ orizontala pe care aluneca libN doua bile de mase diferite m1, m 2 , legate printr-un fir (fig. 3.54). Daca punem bilele la egala distanta de axul de rotatie §i rotim tija, constatam ca hila dP masa mai mare m 2 este aruncata la margine, tragind dupa ea §i hila de mas<'\ mai mica m1• In adevar, in reperul legat de tija ::tsupra hilelor· actioneaz<l for~ele cenll'ifuge F 1 ,= rn1 w2R, 11'-:. :.:. m2u/·R in sensuri opuse, dar F 2 > F,

eeea ce explica deplasarea lor. . Daca aranjam bilele la distante invers proportionale cu masele: R1/ R2

m2jm1 sau m1R1 = m2R 2, atunci fortele centrifuge sint egale in modul ~J

de sen.suri opuse ~i bile!e ramin in echilibru relativ la or~ce tura.tie.

b) 0 alta experienta se face fixind la ma§ina centrifuga un pahar bombat umplut cu mercur §i apii colorata (fig. 3.55). In repaus,

mercurul se a~aza la fund §i apa deasupra, din cauza for~elor de gre­

ut::lte (mercurul avind densitate mai Fig. 3.64. Echilibrul unor bile la ma$ina mare decit apa). erntrifuga.

103

Fig. 3 .. 55. Echilibrul lichidp)or Ja centrifn~.-~.

Hg

b

rna!? ina

Punind _ in rota tie rapid a paharul, constatam ca mercurul urea ~i se a~aza ca un man~on Ia periferia bombata a paharulu;. iar apa in stratul urmator spre centru. Aceasta stratificare se explica cu ajutorul fortelor cen­trifuge, care sint proportionale cu ma'Sa (~i cu distanta pina la axa). Ia fel cum se explica stratificarea in cazul repausului prin fortele de greutate.

c) Sa punem pe ma~ina cen~ trifuga un inel elastic de otel care poate culisa liber pe axu l

,/r_. vertical de . rota tie (fig. 3.56) ~ --~= ___ / Punind in rotatie inelu]. el se

turte~te, datorita fortelor centri­fuge care sint proportionale cu distanta pin·a Ia axa de rotatie~

t'i2. 3.{)6. i Mlorita rotatif:"i inelul Sf' turt~tf'. Un astfel de efect explica turtirea Pamintului Ia poli.

3. Pentru a preintbnpina solicitarea inegaHi a ~inelor ~i chiar rasturnarea vagoanelor Ia curbe, ualea ferata este suprainaltata Ia ~ina exterioara. La viraj for~ centripeta este prod usa de ~jine (asupra carora se exercita actiunea rotilor ).

~ ~ -'>

Forta r.entrifuga F c se f'Ompune cu. greutatea G pent.ru a da rezultanta R. Daeii areasta rezult.anf.a cade perpendicular pe drum. ~inelP vor fi ega] sol;­•·it at f' (fig. 3.:l7).

t'ig. S..'li. La t'UI"L~t• lwla exterioara t".ste suprainaltaUi pentru a preintimpina solit·it.ar..-a inegala a :jinelor ~i ehiar rasturnare-a vagoanelor,

104

l 1nghiul de inclinare a dn1mulul este dat df'

Fe mv2JR v2

tg ot =- == -- == -· · G mg gR

{3.63)

El nu depinde de masa vehiculului,' ci de viteza acestuia si de raza de curbura R a drumului.

Anal~g, /la viraje, bicicli~tii ~i motoci­cli§tii se inclina spre centrul de rota-~ie (de eurbura) pentru a nu cadea {fig. 3.58):

Fe v2 tg ot = ==-

G gR

adica acela§i rezultat ca pentru inclinarea drumurilor.

Fig. 3.98. La viraje bieicli~ti1 !?i motocicli~ii se inclina spre centrul de curbura pentru a nu

cad ea.

4. a) Separatorul centrifugal. Pentru a separa rapid particulele in suspen­sie intr-un Iichid, se a§aza vasele Ia ma§ina centrifuga. La turatii mari [forta centrifuga Fe = mC»2R este foarte mare _§i impinge particulele cu masa mai mare spre fundul vasului, upde ele se de~un. (fig. 3.59). .

b) Usciitorul centrifugal. Separ?-rea hcllldehH' de sohde se face pe baza aceleia§i metode. Corpurile sint a§ezate intr-un vas cilindric perforat fixat intr-un vas cilindric mai larg (fig. 3.60). Prin rotirea rapida a vas_ului interior, liehidul este impins spre exterior, iese prin orificiile peretelui ~i se scurge In vasul exterior.

Un astfel de uscator este folosit la ma§inile de spalat. Un aparat asema­n·ator serve§te pentru scoaterea mierii de alhine din faguri.

•'ig. 3.5». Sepa1·atoru 1 eentrifugal. l<'ig. 3.60. Uscatorul centrifugal.

PROBLEMA REZOLVATA

Pendulul conic. Un corp de dimensiuni neglijabile, suspendat de un punet fix~

printr-un fir de lungime l = 0,40 m, este pus sa descrie 0 circumferinta tntr-un plan orizontal. Firul de suspensie descrie atunci plnza unui con cu . desrhiderea 2C( = 2 •.60° (fig. 3.61)0

105

t'ig. 3.61. Pendulul conic.

Sa se afle perioada de rotatie.

Rezoware~ Asupra corpului actioneazA doul forte: greutatea ~i tensiunea din fir. Rezultanta lor trebuie sA fie forta centripetl, egalA cu m(l)8r, deoarece corpul are o mi~care circulara uniforma. Din para.lelogramul fortelor se vede ca

F mw2r 47t2r tgot=- =----

mg mg - T 2g.'

dar r = l sin ot, de unde

"/t cos~ T = 27t v-g- = 0,9 s. (3.64)

Daca eonsideram sistemul de referinta propriu -+ ->

atunci adaugam forta centrifuga Fe = +mw2r !?i scriem conditia de echilibru relativ.

1NTREBARI. EX£RCIJII. PROBL'EME

1. Cum trebuie sa cireule automobili~tii la curbe, daca vremea este umeda (mizga) sau este polei? De ce?

R: cu viteza redusa (pericol de derapaj datorita fortei centrifuge 9i aderentei scazute).

.2. Ct- viteza unghiulara !?i ce perioada are o placa de patefon cu turatia n = 33 rot/min?

1 R: w-= 27tn = 1,1 r. ~ 3,5 radjs; T =- = 1,8 s. n

3: Viteza liniara periferica a discurilor de polizor nu trebuie sa depa~easca v = 100 mjs. Ce turatie maxima poate avea un disc de diametru D 20 em?

R: n _v_ = 16 rotjs = 960 rot/min. nD

4. Sa se afle durata a N = 100 f'Otatii efectuate de o roata cu viteza unghiulara w 4 1t rad/s. ,

21rN .. R: t =-=50s.

w

5. Care este perioada df rotatiP !?i viteza unghiulara a acelor unui ceasornic?

R: orar T = 12 h, <•) 1,45 · to-~1 radjs; minutar T 1 h, w = 1,75 ·10-:-s radjs; secundar T 1 min, oo = 0,1.05 radfs.

6. Virful minutarului unui eeasornk dintr-un turn s-a deplasat cu D.s = 15,7 em intr-un timp b.t = 1 min. Care este lungimea minutaru1ui?

/ T~ R: l = ~- = 1-,50 m.

27t b.t

7. Un automobil se nli!?eil cu viteza v = ?2 km/h :,i are roti cu diametrul D = 60 em. Care este t'urat.ia rotilor ~i acceleratia normala a punctt3ior periferice ale rotilor?

R: n = vfnD = 10,5 rotjs; an v2/R = 1 330 m/s2 = 136 ·g.

106

~. Cu ce viteza ~i tn ce sons ar trebui sa zboare un avion deasupra Ecuatorului pentru a vedea Soarele sta~ionar?

R: v = 2nR/T = 4p0 m/s spre vest.

9. Care ar trebui sf\ fie durata unei zile !]i nopti pentru ca la Ecuator corpurile sa. n-aiba greutate?

R: T = 2nt/ Rfg = 1 h _25 min.

10. Un autobuz de masa m 10,0 t merge cu viteza v 54 km/h peste un drum (pod) curbat: a) convex; b) concav, cu raza de curbura R = 100 m. ·Ce apasare exercita autobuzul asupra drumului in punctul superior, respectiv eel inferior, al dr~rriului?

R: N mg =F mv2JR = (98 =F 22,5) kN.

11. Un corp de masa m 5,0 kg (o c<1hlaJ'e eu apa), legat de o sfoara de lungime l = 1,00 m, este rotit intr-un plan verticaL Care este frecventa minima de rotatie pen­tru ca sf oar a sa ramina in tinslt- ( apa sa nu curga)? Car·e va fi tensiunea in sf oar a in acest caz, dnd corpuJ trece prin punctul inferior?

R: Vmin = _!__ JL ' y-27t l

0,50 rotjs; T = 2mg = 98 N.

12. Un copil invirte~te o piatrajcu frecventa v = 120 rot/min intr-un plan vertical, legati'i de un fir de lungime l 1,0 m. In ce moment trebuie sa lase firulliber pentru ca piatra sa zboare vertical in sus? Pina lace inaltime se va ridica piatra?

R: cind piatra este la capatul diametrului orizontal cu viteza tn sus;

v~ 27t2n 2l 2

h = - = -- = 8 0 m. 2g g •

13. Cu ce unghi trebuie inclinat drumul la o curba de raza R = 100 m, prevazut pentru circul;;ttie cu viteza v 54 km/h ?

14. On camion face un viraj de raza R = 100 m eu viteza v = 54 km/h. Care trebuie sa fie coeficientut-de frecare la alunecare minim dintre anvelope ~i ~osea pentru ca autocamionul sa nu lunece?

R: !lmin = V 2/Rg = 0,23.

15. La ce distanta maxima de centru poate fi a~ezata o moneda pe un disc de patefon care se rote~te cu turatia n =-= 78 rot/min pentru ca moneda sa nu lunece? Coeficientul de frecare la lunecare !.l = 0,30.

R: Rmax = (J.g/47t2n2 = ~,4 em.

16. Cu ce turatie minima trebuie rotit un cilindru de raza r = 1,0 m in jurul axei sale verticale, pentru ca un 'corp a~ezat pe peretele interior al cilindrului sa ramina in repaus rata de cilindru (fig. 3.62)? Coeficientul de frecare intre corp ~i cilindru (.1. = 0,25.

R: n, -<= (1/27t)t/ gfw = 1,0 rotfs.

107

i=,

m - ~· N=-mw r N

mg

"¥'" Fig. 3.62. Un corp in echilibru pe o suprafata in rotatie (pro·

blema 16).

3 .6. FORTE ELASTICE ,

3.6.1. Deformiri elastice. Legea lui Hooke. Cind o fortaaetiQ_:Qf:1a:la 1\~upr-a unui corp, atunci acesta i~i modifica starea de mi~care saUt s~ deformeaziL Vom analiza cazul eind forteJe produc numa.i deformari asupra corpului cu ca·r·e in~ terac~io_:ueaza.

Sa tragem de un fir (tija) dintr-un material oar~care (cauciuc, otel, P~!l_fl1b, material plastic). Vom observa ca firul se aluhge~fe, J;e deformeaza. Dac~. ac~iunea fortei inceteaza sint po~i})jle doua situa~ii:

a) deformatia-"nu" ·a!s=p~~; b) deformati~ _dispar~. In primul caz deformarile sint permanente ~i ele caracterizeaza materia-·

lele nrimite plqs~ice. In .aceasta categorie deosehim rnateriale ca: ceara~ pias­·tilina, plumhul, smoala etc.

in al doilea caz deformarile sint elastice. Majoritatea corpurilor prezinta ac.easta proprietate numita elasticitate. Corpuri perfect· elastice nu exista, ' dar daca fortele care actioneaza asupra lor nu depa~esc anumite limite, atunci ·aeforrnatiile sint considerate elastice ..

EXPERIMENT

Un fir cilindric (de ot~l sau cauciuc) de lungime l0 ~i arie S 0 {aria 'sectiunii transversale), este suspendat vertical la un capat (fig. 3.63, a). De capatul inferior se suspenda discuri identice cu masa cunoscuta. Sub ac~iunea gre.uta­

2.11

Fig. 3.63. Alungirea barei este direct proportional& cu forta deformatoare :;;i cu lungimea sa initiala :;;i invers proportionala cu aria sectiunii transversalP.

tii unui disc lungimea firului devine l (fig. :3.63, b). Diferenta l- l0 = .6.l se num~~te

alungire ahsoluta. Daca suspendam de fir doua discuri, adica daca duhlam forta de greu­tate se constata ca ~i alungirea se dubleaza (fig. 3.63, c). Daca forta cre~te de trei, de patru sau de mai multe ori, se constata ca: ~i alungirea cre~te de ace1a~i numar de ori. Concluzia care se imp une este :

alungirea este p_ropol:ti()rtf!liJ.fU Jqr__ta defo!­matoare dl""' F. -·

Alegeni acum un fir din acela~i material avind aceea~i sect.iune dar lungimea initiala· dubla 2l0 • Suspendind un disc ca in figura 3.63, d, se _ poate observa ca in acest caz a1un-girea este dubHi fata de cazul din figura 3.63, b. Deci:

alungirea este pro portionala cu I ungimea initz~lii ill "'"' /.,.

108

Daca tnlocuim . .firul cilindric de lungime l 0 cu un altul de aceea~i lungime~ din acela§i material dar cu aria sec~iunii 28 0, suspendind de el un disc vom observa ca alungirea lui devine Al/2 (fig. 3.63, e). Pe aceasta cale- se ajungt• Ia concluzia:

alungirea este invers proportionala cu aria sectiunii transversale a matePia-

lului solicitat Al .......,. _!_ • So

Rezultatele 'ob~inute pe cale experimentala pot fi puse _sub forma:

ill "-' Fl0 •

s. Daca lungimea initiala 10, aria se~c~-iunii(transversale) initiale 8 0 §i forta F

care ac~ioneaza asupra firului vor ramine neschimhate, dar vom experimenta cu fire din materi~le diferite vom oh~ine alungiri diferi_~-Q~formari!~_Q~Jl.in~ deci §iiJ~Jl!.l!-Jl!-.!..~_,!llJJf}f~g_l_y,_lu_i supns solicitMii. Aceste constatari experimentale pot fi sc:r-ise sub forma: -

ill 1 . !!_!o_ sau .!_ = E M cr EE, (3.65) E S0 S0 10 '

unde E este un factor de proportionalitate. Raportul F)~o .. ~--cr_1 _Qe _reprezintaJor~a exercitatiL.p.e .. unitatea da~pra­

fa~a, se nume§te tensi11-_ne $(J,U efortZJn,itai~ &fl0~= E~reprezintarapo.rtuLdintre alungirea absoluta §i lungimea initiala- §i --~e nume§te .alu_ngire rf!.[ll_tivti_ s~u deforma~ie specifica; factorul de _propor~ionali tate E este o constanta de ¢aterial ~i se- nume~te modul de. elasticitate longitudina( sau modulu1 lui Young, se masoaril,_Jn~Nfm 2•

Rela~ia (3. 65) ara~a dtf.lJ!!!!gjrile".r.elatixe..AlJ4"sinL.proJH1rliQ!!l!lfLQ!L ef or­turile-unltare-FjS~~- pent;~ un material d~\-!; Aceasta dependenta . .reprezintli­~/egea lui Hooke sal1Jez~i,deform.arilor.~elastice ... LegeaJui lfg_oJ~e e~te Qlege empirica, ohtinuta experimental, valahila pina 1~ anumit~ valori ale efortului

'unitar, valori caracteri~tice materialului solicita( motiv pentru care este, d(mumita ~i lege de material.

Scriind rela~ia (3.65) sub

§i ohservind ca pentru un s~stem fizic (de exemplu: firul din experimentul nostru, un resort et.c.) putem · pune ES0 fl0 = k (constant) expresie numita

· constanta de elaflticitate (a firului sau a resortului) avem:

= kdl.

· Constanta k se masoara In Nfm. Notind· deformarea elastica (alungirea san comprimarea) .6.l cu X obti.

nem, pentru forta care provoaca deformarea, expresia

F = kx. (3.66)

Putem determina pe cale experimentala constanta de elasticitate a. unui r·esort elastic, utilizind legea defurmari]or elastice.

109

EXPERIMENT

Din tr-usa de experien~e de mecanica, alegem din&n1ometrul etalonat pen. tru masurarea for~elor pina la 1 N §i· fixam pe marginea lui o hirtie milimetrica ca in figura 3.64. Pe ea vom masura alungirile. Dinamop}etrul se fixeaza\ apoi, pe un suport a§a cum se arata in figura 3.65, iar de cirligul sau se suspenda cirligp.l pentru discuri crestate, cu ma.se cunoscute. Se introduc pe el diferite discuri ~i pentru fiecare valoare a masei discului (a greutatii) Sf'

noteaza alungirea resortului. Fiecare determinare permite calculul factoru1ni k din rela~ia F = k.6.l, unde F = G = mg.

Se inlocuie~te dinamometrul de 1 N cu eel de 2,5 N ~i se repeta determina­rile. Rezultatele ob~inute se tree intr-un tabel (km este valoarea medie pentru k):

Dinamometru 1N Dinainometru 2,5 N

Deter- I F~G 1/!.l I (N7m) I km F G

I D.l

1 (N%.) I km

min area (N) '(m) (N/m) (N) (m) (~/m) I

+-1-·' --1-~1 I 1--~--1 1---1 Se ob~in valori identice pentru fiecare deterrninare? De ce? Pute~i deter­

_mina eroarea facuta?

. 3.6.2. F.2.-I:lad~lasti~~!.lnJ.i.rnpu1.defpr~!~~!_!!.!!~i ,2rQ£1>-1. in el apa: f.~~l~.f.(t.~ .. egale ca valoare cu for~ele deformatoare F ~i orientate in sens ~E~s. aces tor a (fig~ 3.66). Deci aceste· for~e sint de foriD.a:· ·

0

0

Fig. 8.64. Dina. mometru.

.~Fe=- kx.

Fig. 3.65. Dispozitiv experimental pentru determinarea constantei

elastice.

110

(3.6i)

0

Fig. 8.66. In orice moment., forta elastica este egala cu forta deformatoare ~i tndrep,

ta ta in sens opus ei.

+X

I IF=O I

~ (J'lJJJJJSSJj ~ 0 0 ~· I

O~' _:·::.__-l----X / I X I

b

F(x)bt:_1

· .. -~ •.

I =kx kx ---

0" I X . X

Fig. 3.67. Un resort elastic. Forta exercitata de resort este aratata in fiecare caz. Corpul aluneca pe o

masa fara freeari.

Fig. 3.68. Graficul dependentei · dt· alungire a fqrtei deformatoare, egalr1

~i de sens opus cu forta elastica.

"

Porta Fe, propor(ionalii cu. ~aloarea ~eforn:atiei ~i orientatii in sens OJ!U-" cre.~ieriT .. de~'ormatle1:, "'se nume~~te~~rorUf~iliistTCa: ~~ -~---~·------·-~·~·~-~ ·- ..... ~. -~- ..

, /1

.. , , • I'- ,

·Forteie.efa.strc·e s~ilt. forTe···ifit:;;~·e care a par intre regiunile depiasate aie c~qr.p.urilor solicitate ~i sub actiu_J!ea carora ele I'evin la forma ini~iaHi. Urr exem­plu de forta elastica este forta care apare"fiitr-un res.ori.de.~otel stipus unei deformari (intindere sau comprimare). Figura 3.67 ilustreaza for~a F care deforme~za resortul cu 11l x ~i for~a elastica Fe kx care apare in re­sort ~i care tinde sa~I readuca la forma initiala. Figura 3.68 prezinta grafieul dependentei de alung1re, 11l x, a fortei deformatoare, egala ca valoare cu for~a elastica.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un ascensor cintare~te 980 kg, iar cablul srw de aetionare, din otel, are lungimea dt> 25 m ~i cintare~te Q,800 kg/m. Pornirea se face uniform aecelerat eu aeceleratia de 1,96 m/s2

• Efortul unitar admisibil in cahill Ga este de 11?,60 ·106 Nfm2, iar pentn1 otel modulul de elasficitate este E == 1,96 • 1011 :K/m2. Se cere :a) forta de tractiune suportati'i de cRblu In pornire; b) sec_t,iunea eablului, p.entnJ a n11 se depa9i d~)rt11l

unitar admisibil; c) alungirea cablului datorita fortei de traetiune la porn ire; d) for·t.a elastica care apare in cablu, la pornirea ascensorului, daca sectiunea cablului este n'n de la punctul b.

Bezolvare. a) Ascensorul ~i cablul au imprenna m = 980 + 25 • 0,8 =-.:. 1000 kg. Forta de tractiune la porn ire a~e valoarea:

F = m(g + a.) = 1000 • 11,?6 = 11 ?60 N.

F F 11 ?60 , b) Din relatia Ga = ·--- rezulta S = ~ = -·--·-·- = t0-4 m2 =< 1 cmz.

S Ga. 11 ?60' 104

c) Din D./ = Fl se obtine !ll SE

11 ?60. 25

10 4 • 19,6. 1010

111

0,015 m 1,.5 em.

· SE " . · . l t. F SE d) Din p = -k~unde k = l rez.u.ltil valcarea forte1 e a~ Ice = l D.l =

= _1o-" • 1,96 • 1011 • 15. 1o.:...a = 11 ?60 N, egaUi cu forta de tractiune exercitatu 25 .

asupra cablului, dar de sens opus acesteia.

2. Doua cabluri metalice de otel cu sectiunile egale S1 S 2 = S = 1 cm2 sint fixate de cite un zid, iar capetele libere ale lor trebuie prinse impreuna in prelungire. Distanta dintre ziduri este l 12 m, iar lungimile cablurilor stnt 4 = 6,930 m !?i l2 = 5,065 m. Lungimea totala a cablurilor fiind mai mica dectt distanta dintre ziduri, cablurile tre­buie intinse bine, pentru a se putea prinde intre ele. ~tiind eli efortul unitar admi­sibilla intindere aa 11?,6 · 106 N/m2 ~i ca modulul de elasticitate al cablurilor ~te E = 2,1 ·1011 Nfm2 se cer: a) tensiunile din cabluri; bf este posibila prinderea cablu-rilor fara ca aces tea s}i se rupa?

Rezolvare. a) Dupa prinderea capetelor cablurilor tensiunile care apar au areea~i

valoare:

T 1 = T2 = T.

Suma alungirilor celor doua cabluri trebuie sa fie egala cu dist:anta dintre capetele care trebn ie unite :

D.l = ~11 + ~l2 =- I - (11.· ·+ 12) = 12 - 11,995 = tl,Oo:) m.

Dar: t:J _ T 1l1 _ _ Tl1 si M2

= T 2l 2 = Tl2 • 1

- ES1

- ES ES 2 ES

A vem a cum:· D..l = T (l1 + 12) si de aici rezulta: ES •

T- ES b.l - -~~~~~· 10-" . 5_:_!_~-a = 8 753 N. - ll ,_ l2 - 11,99ft

b) Eforturilf' unitare .in cabluri sint.:

T 8 753 a 2 = - = ---- = 87,53 • 106 'K/m 2

• s ·to- 4

Pentru d'l a1

= a2

< aa rezulti'i c.~. eele dona cabluri pot fi intinse 1ara Pa ele sa S<'

rupa.

iNTREBARI. EXERCifll. PROBLEM£

1. Care este diferenta intre forta exprimatii prin legea lui Hooke §i forta elastica?

~. 0 bara de otel cilindrica cu lungimea lo:19,8 m s-a alungit datoritii. unei forte de in-tindere F = 98 N cu b.l 0,455 mm. Sa se calculeze raza barei. Se cunoa~te modulul de elasticitate al otelului B = 1,96 · 1011 N/m2

•

R: R0

= "'\/~Flo = 0,26 · t0-2 m. V 1r:B M

3. Pentru a masura moduiul lui Young, se suspenda un corp cu greutatea G = 4 410 N de un fir de otel cu lungimea l0 = 5 em ~i sectiunea S 0 = 0,0625 cm2

; se giis~!?te di alungirea absoluta a firului este b.l = 0,18 em. Sa se ealeuleze: efortul umtar a,

alungirea relativa e: ~i modulul de elasticitate E al firului de otel.

G D..l ~ a 11 N/ 2 R: o = ~ = 7 056. 105 N/m2 ; e: = - = 0,0036; E = -( = 1,96 · 10 ' m. S 0 lo

112

4. Sa se calculeze alungirea unei bare de otel de seetiune patrata ~i de iungime 10 = 20 m sub efectul propriei greutati. Densitatea barei este p 7,85 · 103 kg/m3 ~i E = 2,1 · 1011 N/m2 • Se eonsidera g :::=:: 10 m/s2•

1 R: M = - . pg18 ~ 7,85 . to-s m.

2E

5. Un cablu de otel are lungimea 10 =20 m 9i este format din tmpletirea aN= 70 fire de otel. Cu cablul de acest profil se ridica un corp cu masa m .== 904 kg. ~tiind ca alungirea cablului a fost b.l = 15 mm ~i E ± 2,15 · 1011 N/m2, g 10 m/s2, sa se calculeze: a) diametrul unui fir de otel; b) efortul in cablu.

R: a) d0 ---0 = 1 mm; b) = E ·- = 15 • 107 N/m2

• V 4 mgl- F til ·

N1r:E til ... S0 lo

6. Un corp de masa m = 510 kg este deplasat pe un plan orizontal cu ajutorul unui cablu paralel cu directia planului. Cablul are lungimea l0, sectiunea S0 = 16 cm2 !?i modulul de elasticitate E 2,15 • 1011 N/m2• Considertnd g = 10 m/s2 ~i coeficientul de frecare la alunecarea a corpului pe plan t.t. = 0,215, sa se calculeze: a) raportul alungirilor cablului in cazul deplasarii uniform~ a corpului ~i in cazul depla­sarii uniform accelerate cu acceleratia a = 2,5 mjs2 ;

b) alungirile relative tn cele doua cazuri de deplasare.

R: a) ~!1!: = __ f.l3._ ~ 0 46; ~lu tila a + ~g 10

3.7. LEGEA ATRACTIEI UNIVERSALE A LUI NEWTON. CfMPUL GRAVITATIONAL

3.7.1. Legea atracjiei universale a lui Newton. Proprietatea unui corp de a cadea catre Pamint, greutatea sa, a fost privita ca o proprietate inerenta tuturor corpurilor pina in secolul al XVII-lea. Newton este acela care a afirmat ca greutatea unui corp trebuie privita ~a o forta de atrac~ie dintre Pamint ~i acel corp.

Mi~carea corpurilor cere§ti, in particular cea a planetelor §i a Soarelui, era pe vremea lui Newton un subiect de mare interes. Legile mi§carilor acestor corpuri erau considerate ca fiind cu totul diferite de cele ale mi§carii corpu­rilor de pe Pamint. Newton a considerat ca aceea§i for~a a gravita~ieLcar,e atrage un corp (de exemplu un mar) catre Pamint, ar putea atrage de asemenea §i Luna-catre·Pamint, altfel ea s-ar rni§ca pe o traiectorie rectilinie §i nli pe Ullfl (aproape) circulara.

Datorita anestei for~e de atrac~ie apare o accelera~ie centripeta car:e poate fi calculata §tiind perioada de revolu~ie de T = 28 zile §i raza orhitei pe care se mi§di Luna in jurul Pamintului, RpL = 380 000 km. Din expresia accelera~iei centripete se ob~ine

a L = 41t2 !!J>.f. = 2 7 ·10-3 m/s2• T2 '

113 8 -· Fizica cl. a IX-a

a=cJR

Pamlnt

Aceasta valoare, aL = 2, 7 · 10-s m/s2, este dP aproximativ 3 600 ori rnai mica decit g, adica

, 9,8 I 2

a L = 3 600 = 3 600 m 8 •

Newton a explicat aceasta diferen~a, ha­zindu-se pe ideea ca accelera~ia unui -corp in cadere este invers propor~ionala cu patratul distantei sale pina la Pamin~, 1/ R2

• Conside­rind masa Pamintului concentrata in centrul sau, un corp cB;re cade la suprafa~a Pamintului se afla la o distan~a de o raza terestra, R P ~

~ 6 400 krn de centrul efectiv de atrac~ie. Dar Luna se afla la aproxirn~tiv 380 000 ij:m dis-

Fig. 3.69. Luna ~i un corp de la tan~a (RpL) de Pamint. Patratul ra,portului suprafata Pammtului sint atrase

spre centrul Pamintului. acestor distan~e

( Rp )2 _ _(6 ~00)2 __ ~--1 _

Rp£ (380 000)2 3 600

·este in concordanta cu raportul aLfg.

. (

For~ele exercitate asupra Lunii ~i asupra corpului de la suprafa~a Pamin­tului depind de· masa Lunii ~i respectiv de masa corpului pre cum ~i de rna sa Pamintului. A~adar Newton a presupus ca forta de atractie gravita~ionala · depinde atit de masele corpurilor oare se atrag cit ~i de inversul patratului distan~ei dintre ele. Mai rnult, el a considerat ca toate corpurile. din Univers, indiferent unde s-ar afla ele, exercita o forta de atrac~ie· gravita~ionaHi ({jg. 3.69) unele asupra alt·ora.

h j, ' i ,,I

\/ i Fof1a ~avit.ationali dintre doua corpuri cu masele m 1 ~i m 2 considerate :\ ' punctiforme fatA de distanta dintre ele, situate la o distantA r unul lata I \de altul, este o for~a de atrac~ie care ac~ioneaza de-a lungulliniei ce une~te

''frpurile ~i are valoarea:

F = K mlm~' r2

(3.653)

unde K este o constanta universala avind aceea~i valoare pentru orice perecho de corpuri din Univers.

Rela~ia (3.68) exprima legea atractiei uniPersa(e.

0 b s e r v apt i i. Fortele- gravita~ionale dintre doua rorpuri con~i!.uie ~-~------------------------------~--~ ···---~----~ .. ---

t_J?~!:._edJe .. ac.tin.n.e:i'.~~tiun~!-. .C.orpul de masa m1 exercita, asupr·a eorpului

lde masa m2, o'for~a F 12, avind direc~ia data de dreapta care une~te cele dona jeorpuri ~i sensul a~a cum se arata in figura 3. 70. La ri~dul sau corpul de masa ~ ~ -+-~ 1m2 exercita, asupra corpului de masa m1, o forya F 21 egala 1n valoare cu F 12,

~_vind aceea~i direc~ie cu aceasta dar sensul opus.

114

Rela~ia (3.68) exprima valoarea for~ei de atracyie gravita~ionala din­tre doua corpuri punctiforme. Pentru corpuri ca Pamintul, Luna, Soarele etc. se va presupune ca intreaga masa este concentrata in centrele lor de masa.

·---,---~ I

Fig. 3.70. Fortele gravitationale dintre douil Lege.a atrac+iei universale i.m- corpuri sint forte de atractie ~i constituie o

. Y pereehe actiune-reactiune. plica ideea ca for~a gravita~ionala

dintre doua corpuri este independenta de prezenya altor corpuri sau de proprietatile spayiului dintre ele.

Constanta K poate fi determinata pe cale experimentala. Pentru aceasta trebuie masurata forta de atractie dintre doua corpuri de mase cunoscute. Prima masuratoare de acest fel a fost facuta de Cavendish in 1798. Astazi, pentru constanta atractiei uni­versale, este. acceptata valoarea .!f;;,..=;.J!1 §2:.l:~: 111-:;:~1. N · m~/kga. f

Constanta K a~fost determ.mata cu aJutorul balantei de torsiune care este re11re­umtata in figura 3.?1.

De capetele unei tije rigide ~i u~oare de lungime l sint fixate doua sfere mici, fiecare de masa m(50 g). Tija prevazuta cu cele doua sfere este suspendata, printr-un fir vertical foarte fin din euart, astfelinelt axa ei sa fie orizontala. Doua sfere mari, fiecare de masa M(50 kg) sint situate in vecinatatea capetelor tijei ~i determina, datorita atractiei gravita­tionale, ribucirea firului de cuart. Masurind pe scala unghiul cu care s-a rasucit firul, se poate calcula valoarea fortei de atractie dintre sfere, pentru ca aceasta forta este propor­_tionala cu unghiul de rasucire a firului, Fl = constanta ·a:.

~ q_, de cuor)

> sursa de lumina

Fig. 8.71. Balanta lui ca·vendish folosita peutru determinarea constantei K.

115

I>in:

~i daca m1 = m2 = 1 kg, iar distan~a r = 1 m se ohti~e K = F. Adica: Constanta atrac1iei universale K este numeric egala cii~fiir(a, exprimata

in newtoni· cafe~se eierCittrfiiire-aoua corpuri punctiforme avind fiecare masa ~ ' •. • ... ,-,,-o•, .,, '• • • ~-~-"""''""""'•'•--.,.< "'••-•c-.,,, "''''• ,-,'"-'""·-·~"""'•~.-----·-1•"""""'""~-··•·••"""-de l .. kg §i fiind situate .. ~f!-·arstaTJ-li!-.. Jl.fLJ._meU!u-~-~ -

· Rezutta~ca:{f();:ii corp uri punctiforme, cu masa de un kilogram fiecare, aflate la un metru departare unul de altul se atrag cu o for~a egala cu

6673- ·10-11 N ceea ce reprezinta aproximativ_!_ ·10- 9 Nl Acum se poate ' 15

in~elege de ce for~a de atrac~ie dintre doua corpuri afiate la suprafa~a Pa--mintului nu poate fi observata direct. In timp ce doua corpuri CJI masa de cite 1.1-n kilogram fiecare, aflate la un metru departare unul de altul, se

atrag cu o forta de F - _! • 10-9 N, fiecare dintre ele este atras de Pamint ., 15

cu o for~a de F' = 9,8 N, deci o for~a de 147 · 109 ori mai mare decit" F~-For~a gravita~ionala mare pe care Pamintul o exercita asupra tuturor

corpurilor de la suprafa~a sa se datore§te masei foart~ mari a Pamintului. Stiind valoarea lui K putem determina masa Pamintului. Sa -consideram Pa­r~1intul de masa .1.ll, §i un f·orp de pe suprafa~a sa cu masa m. For·ta de H.t !'He­tie gravitationala

1este data atit de legea a II-a a dinamicii F = mg cit ~i de

relatia F = Km~p, de unde rezulta: Rp

M _ gR~ = (9,8 mjs2) (6,37 • 106 m)2 S,97 . 1024 kg. P - K 6,67 • 10-11 N • m2/kg2

Din mg0 = K m~p rezulta valoarea accelera~iei gravita~ionale la su~ Rp

prafata Pamintului, go

KMp

are valoarea g = -. ,.z.

K Mp ·care la distant a r. de centrul Pamtntului R~' y

(3.69)

3. 7 .2. Cimpul gravita~ional. Din capitol ell:! anterioare se ~tie ca_ for~a

inseamna actiunea ·unui corp asupra altui corp. Actiunile, fortele, . care se exercita intre corp uri presupun fie un contact direct .intre corp uri, fie leg a­turi materiale (tije, sfori, §ine) prin care ele actioneaza unele asupra altora. In cazul atrac~iei gravitationale, situa~ia pare sa fie deosebita. De aceea s~_a vorbit la inceput despre atractia gravitationala ca despre o iorta care actio­neaza instantaneu ~i la distanta fara intermediul unei legaturi materiale in­tre corpuri.

Cel care a formulat ideea ca in cazul gravita~iei este vorba de un efect eare se transmite din aproape i~ aproape, de la un punct din spa~iu la altul, a fost Faraday.

116

Astazi se considera ca ori~e corp modifica proprietatile fi~~?~e __ ~le sp~:­tiullii inconjurator, hi a§a fel incit in acest spa~iu-asupra unui cor~- ca~~-~~~ caracteristica particulara masa, masa grea sau gravifica,_~~~- e~~~cita~~-f~~t~· Cu alte cuxfut~_,__t.~Yh~!!: d~n lfpalili-~In: ca:Nfexista un corp de masa data ~te--p~~tatoarea unei propiiet~li ... fiziCe~noi;---uare---tn-lfbs-eJ$: uorpului 'IlU se manifesta. In ace?-St~ regiune se manifest a uri. sistern fizic_ numit -ciinp gravi­talional sau cfmp gravific.

Cimpul_ ~ravitational, f_o_r_~a de existenta ~~~eriei~e --~u~:_ stanf~; facej9~Il>1iK=Itao~m1~-~~e-a--?inapr()apein aproape a ~trac~~ei dintre­corpuri. ~-~gea at~~~1t~l-J!n.ixer§_~!~- ne---~j-~tl1 c-i-orfce-co::e-~!~nuie ~ privit ca -o sursa,- uii-izvor, ~e _Q!ffiJL_grS!yitg.tionaL

lYe exemplu; fie Pamintul o sursa de cimp gravita~ional izolata de alte surse (Luna, Soare, planete). Daca in vecinatatea Pamintului este adus un corp de masa m ~ Mp, denumit corp de proba, atunci asupra lui se va exercita o forta de atrac~ie F pe direc~ia razei Pamintului (presupus sferic) care trece prin acel punct (fig. 3. 72). Valoarea acestei for~e este:

F = KmMp, r2

uncle r este distan~a dintre centrul Pamintului ~i corpul de proba, M p masa Pamintului, m masa corpului de proba.

Raportul

F --= r, (3. 70)

defineste marimea fizica numita intensitatea_ c_lmpului gra~itationqLJ)Io .. duft_de ·-;~~~-;_- ~raviflcii. Parninti!l_~~~LJ2!l~_~:t. _§_I_ ~..e.NnifiQj_J9xti_c1_~~~~!~.£1~~g~~.;:L!L1 -f!oriaia-·care~~~e!ir~j~~~~P,~ ~ni!a_~~a. Q~."!l'l~_!J_~l·eL_~~~~-~-l!. ~:~r_I_lJ!~ulu<i_; Di _ _n d efinitia data intensita Fi cl.mpului.<gLi.U:ita:t-ionaL.rez.ult.!L_' . ' '

r = !!__ = K !I.E. (3. 70') m r2

Deci marimea r nu depinde de corpul de proba, ea depinde numai de sursa gravifica (M p) §i locul (r) ! n care se analize!iza cimpul gravitational. Comparind relaHile (3.69) §i (6. 70') se })()ateeonstata egalitatea int~~ valorile rriarimilor r §i g (acceleratia gravitationala).-- De--a~emeriea din (3.70) s-e

r m -- _____ ,__.._, -o

\ ~ ./ ~ '\ ! I / ~ /

r(r)=Q(r) -~-

r I

/ ' /

1 \ " ,, \ Fig. 3.73. Un clmp grayitational radial, genera t de un corp sf eric omogen ~i vectorii intensitate ata~ati acestui

dmp.

, I

\ I \ I

' "-..

\/ I \

I

Ffg. 3.74. Reprez.entarea unui ctmp gravitational prin I inii de ctmp.

prezenta (fig. 3. 73). peoarece~c~sJ:gL_2!!!!l?_JjEQ i' ~~JlQ~t~_aSJlJ:li1l._ un eJmp de ~vectorise sp~!!e_ ~Jt el e~t_~ -.;t!l: __ ~!!!!:P_yect_Qrial. Cimpul gravitational pro~11s. de- "di~friJi~~ie ~~-~tiQ!._dat~ a masei unui_Qg:r.p __ este §i un exemplu de c{mjl'' ~~~E~!!!!.lj ____ ~~-~£~ .. ~~-2-~~-~-i~~~-~,sitapi .. ci~p_l1Il1_i_~~~ t~~~~-~-~~~I~~~~t-~Iili .. ·:va;i-

_..~imp. -~ Cin1pul gravitational, ca orice cimp fizic de altfeh po~te fi reprezentat

l. §i prin linil de cimp: Liniile de cill1P sint linii a caror tangenta coincide in fi~care_punct cu directia '\Tectorului intensitate a-CimpuiuT re.spe-ctiv.~Pentru. un corp sferic o·mogen I{niile de dmp arata caJnJigura 3.74 ~Lele .£.oincid cu directllle razelor care pofnesc din centrul sur12ei de cimp; un a,stfeL_d~-cimp este un clmp radial sau central.

.~,- ,. '~'··~·· ~.· . .;-"~·'' ·"""""'"""~'"""'""""""""~"'·-"''""-?

Masuratori efectuate la distante mari (de ordinul 102- 104 km), cu

ajutorul satelitilor artificiali, au dus la concluziay_~J~_Qi!Z,Ul :p_~_g.ti,!!hJ.l~-pul sau gravitational este un radial. -~·-r;;~i~~s·t~-{rivestigat, cerceta.t, cimpul gravitational al Pamintului in

imediata sa vecinatate, in regiuni de mica intindere, de exemplu intr-o sala de clasa sau de laborator' at unci se poa.te constata ca in puncte diferite

....,.. .

ale spatiului investigat r ar~ aceea§i valoare, iar directiile vectorilor inten-

sitate sint pa,ralele._ R~~eL~Jn.~a.sJfel Mde regiuni eimpul gravitall~~~l_al Pamin:­t ului poat c fi desu·is prin linii de cimp parah~le~-§re~hi.ciT~·t;nte, intensit~te~

cfrrl:pului avind aproximativ a.ceea~i valoare in to!}te punctele (fig: 3:75) .. Un astfel d~_ei mp se nume~te clmp uniform. .. . . ' .

1n cazul unui sistem de s~rse .. ~wavifice, intensitatea cimpului intr-un

punct este surna vectoria.la a i!lt~Q.si~~lU.ox cirnpurilorgray~tajj().Dale .. prod use d.e fiecare ·sursa in punctul considerat (fig. 3.76}.

118

i

j

I I

Fig. 3.76. Ctmp gravitational uniform. Fig-. :l.76. Intensitatea dmpului gravi­tn ~ ional prod us de doua corpuri (dona surse gravifice) este suma vectorialtt a intrnsitap!or cimpurilor gravifict• prorlusP de fif>care corp (sursa) in partP.

3.8. MASA GRAVIFICA. RELATIA DINTRE MASA GRAVIFICA ~I MASA INERTIALA. SATELITII ARTIFICIAL! Y\}1-*"

3.8.1. Masa gravifica. Relatia dintre masa gravifica .~i masa inertia.Ui.. in capitolul II ....,.. ~

paragraful 2.3.1 s-a aratat caIn ecuapa (2.5), F = ma, masa apare in calitate demasurii a iner1i~iCQ!:.Pl1l'ttL 1ntr-adeviir daca incercam sit impingem un corp aflat in repaus pe ~ suprafatii oriz-ontal&, fara frecari, constat&m di este necesarA o anumit& forta pentru a-1 pune tn mi9care. Aici se manifesta inertia corpului, gravitatia nu se manifesta. Experi­mentul se poate face ~i intr-un spatiu lipsit de gravitatie (stare de imponderabilitate).

~ ~

tn acest caz pentruaccelera~~a Q9:rpttll1i arfinecesara acee~~i F = ma, deci masa m este niaEa ~ in.ert.a::-·~ - · -·-- · -~--·-··-- ~ ·

1n cele ce lirmeaza "r?m ari1ta di ~~_i_s~t~~ ~.it~~iii ~geri te -~~ ~-~_<!~ ~n terioara in de asemenea este implicata h.~:·s-a.··corpufui. De exemplu, pentru a tine -un corp repaus deasupra PAmintului este necesarc1 o fortc1:=-~in-caz-·contra:r·la:s1ft''Ub_er._corpu1-·cad·e·-spre Pamint-in.Tr~o mi9care accelerata. Forta care tine corpul este egala ca- valoar~e- cu "forta <!e atractie gravitationala dintre er §i Paniint. tn aceasta sihiitieinei'Fa'nu "'To-aacnrcr un rol; aici e~te impo:rtan,ta proprietatea corpurilor 'materiale' de-a fi alras"e"<IeaTfe. corpuri, curii"ar .. li -Pamintul. For·ta de atraetie gravitational& este: , ..

F ~- K mgMp -- R1:> ,

~---·~~··---

unde mg este masa gravita~~2!!~~~;~.Jnl:.lJia grea a ~orpu(u],.. __

Sint masele .'~rtY (masa gravitational&) 4i m

(mas~ hiert]f~aTe···~cclui~i corp . identiee?

_fl~_<!ou_~ QQl'I>.!!r.LA ~i ll. _ _cl~ .. !Jl i~~ c:f.}~!:.I'l.S.!~~~!, <~ mas_e!~ grayita~i'!'lla.Ie ~.9! mgB asup~~ .. _earora actioneaza un al treilea corp C cu masa grayit~t_i­

-~ ~nala mgc· ~_e corpul C la egala dista~t~ r_ c:J.~

-celelalte doua (fig ... 3.?7): Forta gray!tfl.tionala exereitata asupra lui' A. de catre C este.

m m Ji' ·= /( gA gC

.4C r2

119

Fig. 3.77. Fot·tele exercitate de un corp C asupra a doua corpuri A 9i B aflate la egala distanta de C.

forta gravitationala en care C actioneaza asupra lui B este:

Raportul dintre fortele gravit~tionale exercitate asupra lui A ~i B de dHre corpul C este egal cu raportul maselor lor gravitationale:

FAc mgA -~=--·

FBc mgB

Daca eel de-al treilea corp C'esfe :Pcf~i~;tl~1',' atunci F Ac ~i Fnc sint ceea ce numim greutaple corpurilor A ~i B , in cimpt¥ gravific al I_>amintului. A vern deci:

, ,fA = mnA.) . 'fiB maB

A~adar legea atractiei universale impiic[ faptul di greutatile diferitelor corpuri, in acela~i loc pe suprafata Pamintului sint exact proportionale cu masele lor gravitationale.

Sa masuram masele inerte m~ ~i mB ale corpurilor A ~i .f3 pe o cale oarecare (de exem-

plu prin metoda ciocnirilor). Sa lasam apoi aceste corpuri sa cada spre Pamint dintr-un anumit loc ~i sa masuram acceleratiile mi~carilor lor. Se afla experimental, ca obiecte, corp'uri,- cu mase inertiale dlferite cad cu aceea~i acceleratie g datorita atractiei gravitationale terestre. Dar fortele de atractie gravitationale exercitate asupra corpurilor reprezinta chiar greutatile lor, astfelincit din legea a doua a dinamicii obtinem:

GA= mA ·g ~i Gn = mB • g sau GA mA

-=--· GB mB

-Deci greutatile corpurilor in acela~i loc de pe Pamint sint de asemenea exact proportionale cu masele lor inerte.

Madar mas a inerta ~.( rn_a_~l}: .~ra_Pi,!(ltif!'!(l{fi:. si11t ~e.!.J2~tti.'! E':.?PorJiQnlJle intre eJe. As tazi se conSra'eracr~masaTnertiala este echivalenta cu masa gravitationala. -

ln anul 1909 Eotvos a construit un aparat care putea detec.ta o diferenta de 5 • 10-9 in valoarea fortei gravitaponale. El a aflat ca masele inerte egale sufera totdeauna forte gravitationale egale in limitele preciziei aparatului sau.

ln fizica clasica, newtoniana, echivalenta dintre masa gravitationala ~i masa inert.l a fost considerata ca o coincidenta remarcabila fara vreo semtrificatie mai adinca. ln fizica moderna, insa, echivalenta masei grele ~i a masei inertiale este considerata un fapt fundamental care duce !a o intelegere mai profunda a gravitatiei.

3.8.2. Sateli*ii artiflciali. ~a considera~ un punct A sitnat)n chnpul gravitational al Pamintului Ia distanta r de c'(mtru1 acestu1a (fig. 3. 78). Un corp de masa m Iasat

I

/ I

/ /

/

A v ,,.A

-- T ~"~~--;----h . (C1}\ "{C2J/'xM _

.. \ \ v . \·. \ - ";::

·<>)r.=mg \ 71 .. : ':a2 \

/;~ .·· .. ·. \ 120

Fig. 3.78. Exista o valoare a vitezei cu care un corp lansa.t din A se deplaseaza pe o traiectorie ce !neon­jura Pamintul devenind

satelit artificial.

liber tn punctul A~ se va mi~ca dupa. directia razei r, adica. dupa linia de cimp, ~i vn ~

(·<:"tdra in punctul L, dt> lasuprafata Pamiritului. Daca in punetul A corpul are o viteza v

ori~mtata perpendicular pe d.irectia inte_nsitJHJLc:hnpului gravitational r din acei punct. atunci else mi~ca descriind o traiectorie curba care nu mai coincide cu directia Iiniei dt·

-+ eimp. Pentru o anumita viteza v1 a corpului, acesta se va deplasa pe curba C1 ~i

va ajunge pe PAmint ln punctul B1 • Pentru o alta. viteza v2 > v1 corpul &e va deplasa -+

pe o curba C2 ~i va ajunge in B 2• Se observa., ea pe masura. ce viteza v cre~te, corpul ajunge pe Pamint intr-un' punct din ce in ce mai departat de B. lnseamna ca poate

4

sa existe o astfel de valoare a vitezei v pentru care corpul nu mai ajunge pe -Pa.mint ci descrie o mi~care circulara in jurul Pamintului. Un astfel de corp se nunie~te salelit artificial al Pamtntului.

Cind satelitul descrie o mi~care circulara in jurul Pamtntului, in fiecare punet al -+

traiectoriei, directia 'vectorului viteza v este perpendiculara. pe directia intensitatii dmpului gravitational radial. Acceleratia centrip_~t!a satelituluia := v2fr. este iinprimata de {9rta gravitationala a Pamtntului, F ~ mr. Din legea a doua a dinamicfC avem:

T,nv2 va F = ma ~i- = mr, de unde rezulta = r(r).

r . r

Deci pentru a descrie o traiectorie de raza r viteza satelitnlui trebuie sa ajunga la valoarea:

v = Vrr(r), (3.71)

unde r(r) este il!~ensitat~a dmpului gravitational 1n punctele corespunzatoare traiee­tor1ei satelitului. Ea este numeric egala cu valoarea g a acceleratiei gravitaponale din acel loc r{r) = g(r).

Un satelit artificial al Pamintului care are traiectoria tn imediata vecinatate a

suprafet~i·i~r trebuie sa aib~ viteza Vo = ."'7R . g"o = 7 '9. kmjs, unde R = 64()6Im este raza Pamintulur~r g0 = 9,8 m/s'r este aeceleratia . gravitatio~aTa.···rrcstip~a:flita··Parnin­.tului. Valoarea Vo = 7,9 km/s se nume~te prima fJitezd cosmic(f" ~i este o'·va!oarf'cai·ac~

teris~~~~~!!!P~~L .gE,~!i!,~}~~~!. ~~ ... ~~~t.~!~lu i. ., · --·· Daca satelitul se afla la distanta r = R + h de centrul Pamintului din relatiilt~

~i tnlo_cuind in exprcsia lui v se obtine:

v = R1/R ~~· Pelt t ru ea t.raiectoria satelitului sa fie relati·,r stahilrt este neeesar· ea asupra lui

sa nu se 0xereite forte de frecare cu aerul (forte perturbat.oare) motiv peutru care alti· tudin(·a h la care se plaseaza un sa tel it este mare, de ordinul a 102 km, aculo unde rarefierea aerului este pronuntata. (mare),

121

X PROBLEMA REZOL¥ATA

lntr-o sfera masivit. de. masil m 1 ~i de raza R se". practica o cavitate sferica de raza R/2 care este tangentii Ia suprafata sferei masive.

Fig. 3.79. La problema rezolvata.

Sa se exprime f9rta gravitatrionala dintre sfera ~i unpunct material m2 aflat la distanta x(x ~ R) de centrul sferei masive ~i pe directia care une~te centrul sferei cu centrul caviU1Jii. Rezolpare. Deoarece in enunt se · f:pecifica

x > R vom considera aUt sfera cit ljli cavitatea sferica drept puncte mate~iale situate in centrele sferelor. Distingem doua cazuri:

a) punctul material se afla de aceealjli parte cu cavitatea (fig. 3.79). ln acest caz fOTtele de interactie stnt F 1, F 2 iar rezultanta lor este:

F Km1m2 7x2

- 8xR + 2R2 •

8 x 2(x - R/2) 2

b) punctul material se afla in partea opusa ravit11tii. Avem in· acest caz:

mimz ----'::.__;::'-- ~i tnloruind 1n (1') avem:

8 {x +% r

lNTRt.BARI. EXERCITII. PROBLEM£

(1)

(1')

1. Considerind Pam1ntul ~i Luna doua corpuri punctiforme, explicati cum variazit. greu­tatea unui cosmonaut tntr-o calatorie de Ia Pit.mint la Luna.

2. Explicati de ce toate corpurile cad la fel ·de repede in vid cu toate 'ca. forta de atracf.ie gravitationala este proportionala cu masa lor.

3. Undeva. intr-un punct de pe suprafata Pamintului se a:;aza un tun uria~. Se poate lansa un satelit artificial al Pamintului folosind acest tu~? (Se neglijeaza dificultatile tehnice ~i frecarile cu aerul.)

4:. Se confectioneaza un proiectil suficient de mare ca sa incapa in el oameni ~i materiale. Proiectilul este lansat in vid dintr-un tun special. Pasagerii afirma ca 'Ia un moment dat au incetat sa mai simta atractia gravitationala. Cind a fost posibil acest lucru?

R: tot timpul {din momentul parasirii bmului pina la atingerea Pamintului).

122

5. Un corp cu masa m1 = 800 kg se afla la distanta r = 0,25 m de un alt corp cu masa m2 = 600 kg. Sa se calculeze intensitatea ctmpului gravitational tntr-un punct situat la r1 = 0,20 m de m1 ljli la distanta r 2 = ·0,15 m de m 2 •

V 2 2 K m1 K mz R: r = r 1 + r2 + 2 r lr 2 cos a. , r 1 = 2 , r z = - 2 , rt r2

cos a.= o, r = 2,2 . 1o-a N/kg.

6. Cunosctnd ca distanta dintre Pamtnt l?i Luna este d = 3S4 • 103 km !?i camp= 81 mL, sa se afle la ce distanta de centrul Lunii cimpul gravitational rezultant este nul.

R: x = d = !!:... = 38,4 • 103 km. 1 + V mp/mL 10

7. Doua corpuri sferice cere!?ti au raportul razelor 1/2 iar raportul acceleratiilor gravita­. tionale 3/2. ~tiind ca valoarea masei primului corp este M 1 se cere sa se determine

masa celuilalt-corp~eresc M2•

8. ~tiind ca raza Soarelui este, R !?i densitatea medie a materiei solare este ps, sa se deter­mine distanta· Pamtnt-Soare, daca perioada de rotatie a Pamtntului tn jurul Soarelui este T.

R: da = -~Rap.s • rz. 3n

9. De pe o planeta cu raza R = 1/8 din 'raza Pamtntului, trebuie lansat un satelit artificial pe o orbita circulara la inaltimea h = 600 km. ~tiind ca masa planetei este m = 8 · 1021 kg sa se calculeze: a) viteza tangentiala care trebuie imprimata sate­litului; b) viteza unghiulara ~i c) perioada lui de rota tie.

R: v = V 1t: h"' 0,6 km/s; "'= R : h"" 0,75 • 10-' radfs; T = 2: ""8 320 s.

4

ENERGIA MECANICA A PUNCTULUI MATERIAL Sl A ~

SlSTEMULUI DE PUNCTE MATER[ALE

4.1. LUCRUL MECANJC EFECTUAT LA MI$CAREA PUNCTULUI MATERIAL lNTR- UN ClM P DE FORTE

4.1.1. Notiunea de lueru mecanic. In activit.atea sa fizica, omul intrebuin­teaza fie propria sa forta musculara, fie aceea a animalelor de munca sau a ma~inilor, cu scopul de a pune in mi~care o unealta, un vehicul prin invinge­rea unei alte forte, care se opune mi§carii, sau inertiei:

Astfel, un muncitor actioneaza asupra unui carucior deplasindu-1 """* (fig.4.1.). Forta F cu care actioneaza muncitorul asigura deplasarea

caruciorului invingind forta de frecare. in toate procesele in care se transmite mi§carea de la un corp la alt corp,

un rol e_sential il joaca o marime fizica numita lucru mecanic. Masura lucrului mecanic este legata de notiunea de forta ~i de deplasarea

pp.nctului de aplicatie al fortei. Se spune ca o forta efectueaza lucru mecanic cind aceasta actionind asu­

pra unui corp i§i deplaseaza punctul de, apficatie pe o anumita distanta.

4.1.2. Lucrul mecanic al nnei forte constante al carei punct de aplicaf.ie st~ deplaseaza pe suportul sau. Un corp ale carui deplasari in spatiu sint lirni-

f.;ig. 4.1. t:n om deplaseaza un dirucior pe un drum orizontal. Lucrul meeanic . ~

dectuat in timpul at·estei deplasari este determinat de for~a de tractiune F ~i de deplasarea pwnctulu i ~e aplicatie al acesteia pe distanta d.

124

Fig. 4.2. Lucrul mecanic efedua t -+

de forta F, pentru o depl:1sare d a punctului sau de 8plicatie pe suportul sau este: L = Fd.

tate de ·catre alte corp uri de care este legat sau cu care este in contact,. se nume~te corp supus la legaturi sau neliher. Exemple: o u~a fixaifin bala­male, o lustra fixat~ printr-o tija de tavan, un vagon de tren care. se mi~ca pe §ine.

Un corp care nu este legat de alte corpuri §i care se poate deplasa in orice directie din spatiu se nume§te corp liber. Exemple: tin halon care plute~te in aer, un elicopter in timpul zborului.

Sa consideram un corp liber asimilat cu un punct material, care este -+

attionat de o for~a constanta F §i care il deplaseaza pe distanta d intre doua puncte A §i B, de coordonate xi §i x2. Corpul fiind liher se Q.eplaseaza pe directia §i in sensul for~ei (fig. 4.2 ).

~

_RF~:g~-g~fintier lucrul mecanic al U7Jei ZJ,nei forte constar_tt~_J!, l1:_l care~_P'!:'!ct d_~ '}:pliqa#e se deplaseazii pedistan{a.d, indirecJ.ia $iJn, sensul fortei, este e[l!:_~ cu produsul dintre marimea §imdJ:imea depl:amrtt: ·-· --

L=Fd, (4.1)

uncle d =· x2 - x1. este distan~a dintre punctele A §i B, intre care se depla­seaza punctul de aplicatie al fortei.

F'o!'tr1 ear·e pwduce mi~carea se mune§te forta mutoare, iar· for~a f·ar·e se opune mi§carii se nume§te forta rezistenta. Lucrul mecanic al for~ei motoare se nume§.te lucru mecanic motor, iar eel al fortei rezistente se nume~te lucru mecanic rezistent.

Lucrul mecanic definit prin relatia (4.1)- se poate calcula §i printr·o -+

~etoda grafica. Reprezentam grafic varia.tia for~ei F in functie de distan~a, F f(x), intr-un sistem de coordonate FOx. For~a F, fiind constanta intre xi §i x2 graficul functiei f(i) este o dreapta paralela ou axa Ox (fig. 4.3). Pro­d usul F ( x2 - xi) = F d, reprezinta aria suprafetei limitata de curha F = f(x) de axa Ox §i de segmen­tele perpendiculare pe aXB: · 0 x in punctele A(xi, 0) §i B(x2, 0). Acest produs este egal cu lucrul :me­canic efectuat de for~a pe dis­tanta AB.

· Aceasta metoda de aflare a lucrului mecanic este valabila §i in cazul in care forta F nu este constanta.

-- £(N)

F

x(m)

0

Fig. 4.3. Lucrul mecanic efectuat de forta con--+

stanta F pe distanta d = x2 - x1 este egal ell aria sup1·afetei ha!;iurate.

125

y I. ---;, /I , ...

•

Fx

X

o~_x-1.....-~

-+ . Fig. 4.4. Lucrul mecanic al fortei F, a carei directie este oblica tn raport cu directia deplasarii, este egal cu produsul dintre componenta forte~ pe

directia deplasarii ~i marimea deplasarii: L == Fd cos ~. ·

Daca in relatia (4.1) se ia F ~ 1 N §i ·d = 1 m se ohtine unitatea de lucru

mecanic in SI, numita joule (J):

1 joule = 1 newton X 1 metru.

Un joule este lucrul mecanic efectuat de o forta de 1 newton al carei punct de aplicafie se deplaseaza cu un metru pe suportul forfei ,i in sensul fortei.

4.1.3. Luerul meeanic al unei forte eonstante a earei direetie face un ungbi eu direefia deplasarii. Sa consideram un corp, asimilat cu un punct material,_ supus Ja legaturi, care se poate deplasa pe directia Ox, sub actiunea une1

-+ forte F, a carei directie face unghiul oc cu directia Ox.

-+ Pentru calculullucrului mecanic al fortei F, se poate folosi, §i in acest caz,

relatia (4.1). -+ .

S~ descompune forta F in doua componente, dupa directiile perpendicu-lare Ox §i Oy (fig. 4.4):

(4.2)

Lucrul mecanic al componentei F y este zero deoarece ea nu produce nici o deplasare pe directia Oy.

Corpul se deplaseaza pe distanta d, intre ptmctele A §i B de abscise x1

§i x2 .sub actiunea componentei F x· Lucrul mecanic produs de aceasta compo­nenta este: ·

L = Fxd .. Fd cos oc, (4.3)

-+ n·aca unghiul oc este ascutit (fig. 4.5, a), forta. F contrihuie la deplasarea

punctului material, aceasta este o forta motoare §i .efectueaza un lucru meca­nic motor; cos oc > 0 deci L = Fd cos oc > 0; pentru oc = 0, L = Fd §i pentru

oc = 3.., L = 0. 2

126

.... F

• Li • ..

F

• 1~~ • .. (} A fX>D lJ % 0 fx <IJ A B .X

0 /;

Fit!. !.5. Clnd forta F face un unghi ~ < rt cu direetia deplasarii, Pfeetunaz:'i . 2 '

. L. 1t :l ftF~ft x un lucru mecamc motoe, > u; pentru- < ct. < - rt or\'a e ec ueaz.t.t ' 2 2

un lucru mec:anic rezistent, L < 0.

Daca unghiul ~ < IX < 37t (fi~. 4.5, b), forta F se opune deplas'arii.

2 2 .... F este o forta rezistenta ·~i efectueaza un lucru mecanic rezistent; in acest eaz cos IX< 0, deci L = Fd cos oc < 0; pentru oc = 7t, L = -Fd.

EXEMPLE

1. Un om pune 1n mi~care, pe o suprafata orizontala, un corp cu masa m = 20 kg, actio: nlnd asupra lui cu o forta F = 50 N, a carei directie face cu orizontala un ungh1 ex = 3? 0 {cos 37o = 0,8). Actiunea omului asupra corpului dureaza 3 secunde. Neglijind fortele de frecare, sa se calculeze lucrul mecanic efeetuat de om asupra corpului. .. Rezolvare. a) Calculul deplasarii corpului. Vom calcula mai intii aeceleratia eorpultu . aplicind relatia fundamentala a dinamieii (fig. 4.6):

-+ -+ -+ -+ N + mg +F = ma.

Proiecttnd relatia (4.4) pe directia deplas:'irii (pe directia Ox), obtinem:

de unde: F x = F cos ex = ma,

a = 50 N. 0,8 c= 2 mfs2. 20 kg

tn 3 secunde, corpul s-a deplasat pe distanta

1 1 d = v0t + - at2 = - • 2 • 9 9 m; v0 = 0.

2 2

b) Calculul lucrului mecanic. Calculam lucrul mecanic aplicind relatia (4.3):

L = Fd cos ~ .= 50 • 9 • 0,8 = 360 J.

2. Un copil trage o sanie de masa m = 4 kg, -+

cu o forta F care face cu directia depla-s:\.rii un unghi ex, impr1mtndu-i o acceleratie a~ 3 m/s2.

127

y

0

mg

Fig. 4.6. La exemplul 1.

X

\.,

X

"'!!

Daca forta de frecare dintre sanie ~i

zapada este Fr = 5 N, ce lucrul mecani1· a efectuat copilul asupra saniei, pe dis­tanta d = 4 m? Rezolvare. a) Calculul forJei care produce lucrul mecanic. Forta F x = F cos (X, care produee lucrul mecanic o determinam :lplictnd relatia fundamentala a dinamicii, la mi~carea saniei {fig. 4.?):

f'lg. 4.7. La e:xemplnl 2 .. - - - - -Ft + N + F + mg = ma. (4.5)

ProieeUnd relatia (4.5) pe directia dPplasarii, adica pe directia Ox, obtinem:

- F r + F cos or. = ma; F cos or. = ma + F t·

b) Calculullucrului mecam:c. Lucrul mecanic~ produs de forta F este dat de relatia:

L = (Fr + .ma) • d = (5 N + {!kg·· 3 m/s2) • 4 m =68 J.

4.1.4. Produsul scalar a doi vectori. Vom defini o noua opera~ie cu vectori ~i anume o opera~ie de inmul~ire a vectorilor.

Regulile de inmultire a vectorilor sint diferite de regulile de inmultire a marimilor scalare. Se pot defini doua feluri de prod use a doi vectori:

a) produsul scalar, al carui rezultat este o marime scalar a; . b) produsul vectorial, al carui rezultat este o marime vectoriala. Produsul vectorial urmeaza sa fie definit in capitolul 6 { § 6.1); a cum

vom defiJ!.i produsul scalar a doi vectori. - -Sa c(msideram doi vectori a ~i b, orientati dupa djrectiile (D1) ~i (D2),

care fac intre ei unghiul ex (fig. 4.8). - - - -S e nurrteyte prod us scalar al vectorilor a §i b numarul real notat cu a · b, egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

AstfeJ: ··+ -lo-

s = a · b = ab cos ex. (4.6)

Rela~ia ( 4.6) se mai poa.te scrie ~i astfel:

s = (a eos oc)b a(b cos ex) = a1b = ab11

-•·i~. 4:.8. ~->rodusul scalar ;1 doi vt·rtol'i a ~i b ~ __,.

este .numarul real a· b = ab eos or..

128

unde a1 = a cos oc reprezinta

componenta. vectorului a pe directia (D 2), iar b1 = b cos oc

-;..

este componenta lui b P.e ,direc-tia (!Jt)·

Prin urmare produsul scalar· a doi vectori este egal cu pro­dusul dintre nwdulul unuia dintre e1 prin com ponenta celuilal t pe direc~ia priroului vector.

Analizind relatia (4.6) observam ca: - ~~ a) prodnsnl scalar este zero, (a· h = 0), cind nnul dintre vectori are

modnlul egal en zero- (a = 0 san b = 0), sau ctnd vectorii sint perpendicularf

oc = - , cos - = 0 . {

1t • 1t )

2 2 '

h) produsuJ scalar este maxim cind vectorii sint pa.raleli (ex - 0; cos 0 = 1);

c) produsnl scalar este comutativ: -- --a · b = b • a = ab cos ex;

d) produsul scalar are §i proprietatea de distrihutivitate fata ,de adunare:

--- -- -+-+ a • (b + c) = a · b + a · c.

Produsul scalar al unui vector prin el insu§i este dat de re~atia:

(4.7)

Aplicilm aceasta proprietate a produsului scalar pentru a obtine moduluJ - --+ --+ --+ -+ --+ -+

1·ezultantei a doi vectori. Notind cu csuma vectorilor a ~i b, adica c = a -t- b.

~i facind produsul scal~r al vectorului --; prin el insu~i, obtinem:

- - - --?- --?- - - -c · c = (a + b)2 = a2 + 2a • b + b2,

de unde c2 a2 + b2 + 2ab cos oc,

und~ oc este unghitJI dintre cei doi vectori. -+ - - -+ -+ Notind r·u v(~.ctorul diferenta al veotorilor a ~i b, adica d = a; - b, -~i facind produsuJ ~calar al vectorului d prin el insu~i, obtinem: -- - - - --?- -d·d (a _:: b)2 = a2 - 2a · b

din care rezulta

a 2 + b2 - 2ab cos oc.

Tinind seama de relatia de defini~ie a produsului scalar (4.6), putern -spune ca lucrul mecanic al unei forte constante F, care-§i deplaseaza punctul - ... de aplica~ie pe distanfa d este egal cu produsul scalar al vectorilor F §i d, deci --L = F • d = F d cos oc. (4.8)

Daca forta ~i deplasarea au acela§i sens lucrul mecanic este pozitiv (lucru rnecanic motor), iar daca for~a ~i deplasarea sint de sensuri opuse luer·ul mecanic este negativ (lucru roeranic rezislent).

129 9 Fizica cl. a IX-a

I

Din proprietatea de dis~ributivitate a prod,usului scalar, fata de adunare, ~

·rezulta ca lucrul mecanic al rezultantei f!. a unui sistem de for~e concurente --). --). ~

.F h .F 2, ••• ,F n este egal cu suma lucrurilor mecanice ale fortelor componente:

-~ -l-- - ~ -l- -l- ~- ·-'>- -cr .L = R · d = (F1 + F2 + ... + FrJ · d = F1 · d + F2 · d + ... + Fn · d;

L = L1 + L2 + ... +Ln.

4.1.5. Lucrul mecanic al fortei de greutate. Sa consideram o regiune restrinsa din apropierea Pamintului ~n care c!mpul gravitational este uniform. In aceasta regiune liniile de cimp sint drepte paralele, ia,r acceleratia gravi­tationala este constanta, adica are in ·toate punctele aceea§i marime, directie fji se:ns. Greutatea unui punct material care se mi§ca in acest cimp ramine constanta in to~ timpul mi§carii lui.

lntr-un punct A al a cestui cimp, la inaltimea h fata de suprafata P a­mintului, se afla un corp de masa m, asimila~ cu un punct materiaL Punctul material se poate deplasa de la nivelul A la nivelul B, pe verticala, sau ur­mind unul dintre drumurile urmatoare: CD; FGHJJKL sau .NO (fig. 4.9).

Vom calcula lucrul mecanic al greutatii corpului, cind. acesta cade liber pe vert_icala '~i apoi cind corpul se deplaseaza pe planul inclinat CD, consi­derind frecarea neglijabila.

Lucrul mecanic al greutatii pe distanta AB = h este

L = mgh. ( 4.9)

Lucrul mecanic al greutatii corpului, cind acesta se deplaseaza pe dis­tanta CD = l, se poate calcula aplicind formula {4.1). ln acest scop,inlocuim greutatea cu componentele sale G t = G sin ex pe planul inclinat §i Gn = G cos ex. norma.la pe planul inclinat. - ~ Rea,ctiunea normala N a planului inclin.at ~i forta compone,nta Gn' nu efectueaza lucru mecanic. Prin urmare, efectueaza lucru mecanic numai forta

~

cp:mponenta Gt: L = G,l = mgl sin oc = mgh,

deoarece l sin :x = h.

F G N

OM 0

Pi~. 4.H. Lucrul mecan k al greutilt.ii este egal cu produsul rlintre modulul si'iu prin diferenta de nivel dintre punetul initial !;'i punctul final al drllmlllui urmat dr tmnctul sau de aplicatie (centrul df'

greutate): L -- mgh.

130

(4.10)

Rezulta ca:

lucrul mecanic al ·greutatii este independent de drumul mu:·c.~uJrlS

1naterial §i de legea mi§elrii aeestuia §i este eg~l cu greutatii diferenta de nivel h, dintre ~~ cea

material. Greutatea efectueaza acela§i Iucru mecanic fie ca se deplaseaza pe dru-

rnul AB, fie pe drumul FG ... KL sau pe drumul NO. . . ... Q .. IQ!:l!_~~~~ ac~2?~-1~AJl~!U~r~-~!l~_i,_p_~.!1:~-~- ~~t_e~~-~}-~.-~!~.?;~?~~~~-~~~-~~1 (· r ~~

mec;-nic __ i_gQ~]?~!lif~~~-.. -~-~~Ji!-~ID!!~~J!.m:.£.1!~.:}! -~~--!~¥-~~ duE~-~~~a!~88 .. ~~;~~~ punciuT material §i d~p,inde n~~c~~--~-2:-J>.Q~-~t~!l~ p~_!letelor extre~e=·~- .tr..a.~~+--

··riei.MLPume§te _forta conservauva. ~-~e~_P.~~~~~-!~E1~_<;_?E~~!:Y.9J~!Y2. ..... gr:e.uta-~, forta eiastlcli~-foita-erectr.osfutiCa etc. ' .

- .... '· Q regiune din sea~iu, limitatasau nelimitata,. und~}J1.fte~~are_ pu_f1d Sf:

face sim~ita actiunea unei forte determinataJn m9dul, direct~eJI!~~s"-~~"~~~:t,n ca formeaza un cimp de forte. Cimpul ale carui forte sint conservative se numeste Clmp de forte conser,v(ltiy. Cimpul gravitational~ste un exemplu de cimp de forte conse~va~i:, .. nelimitat: creat in jurul unei mas_e gravi~ati~nale: • 'Forta care se face s1mt1ta In acest cnnp este forta de a~ractie gravitatwnala exercitata asupra corpurilor plasate in punctele dmpului.

EXEMPLE

1. Se transporUi un punr.t material de masa m, in ctmp~l gravit~tional uniform, p~ drumul in chis FGH ... LMF (fig. 4.9). 1n timpul ace$tei dei>_lasart asupra punctulUI material actioneaza mai multe forte, printre care gre~tatea ~i f~rta de frecare. ,Sa se calculeze Iucrul mecanic al greuUitii ~?i lucrul mecamc al fortet de frecare pe acest

drum tnchis. RezolrJare. a} Calculullucrului mecanic a1 greutafii. Calculam mai intii lucrurile mecanice

partiale pe diferi tele portiun i de drum: Lpa = o, forta este perpendiculara pe deplasare; LaH=mg·GH; LHJ=O; LIJ=mg•IJ; LJK=O; LH.L=mg•KL; LLM=O: LMF = - mg • MF, lucru mecanic rezist~nt. Lucrul mecanic efectuat de greutate pe mtreg drumul este egal eu suma lucrurilor

mecanice partiale: Lpp= mg (GH + IJ+ J(L -MF) = O.

deoarece segmentul MF este egal cu suma _segmentelor GH, IJ ~i KL. Rezulta di lucrul mecanic al greutatii pe un drum tnch1s este egal cu zero. . . b) Calculul lucrului mecanic al fortei de frecare. ln cazul exemplulm ?rez~?tat, t~ flgura

4 9 forta de frecare este paralela cu deplasarea ~i de sens opus m1~~ru. D_eci, l~crul 1~e~anic al fortei de frecare este egal cu pro~usul dintre marimea acestei forte ~tlungtmea drumului total parcurs dt- pnnct.ul materml:

LFf Fr (FG +HI+ JK + LM + MF),

pe GH, I J -l?i KL forta de free are fiind nula. Lucrul mecanic al fortei de frecare depinztnd de lungimea drumului parcurs, ca forta de frecare nu este o forta conservativa. Se spune C"a for~a de frPcHrt>

fortd disipativd.

131

rezultii este o

2. l n copii arunul o minge cu masa m = 100 g pe vertkala in sus ~i o prinde in pundu( din care a fost arunc,ata. Mingea a tinge tnAltimea maxim! hm = 5 m. sa se calculeze lucrul mecanic al greutatii tn timpul Urdlrii mingii Ia tnllltimea hm. Ia coborirea mingii pe aceea~i distanta ~i pe toaUl distanta parcursa. de minge. Se va lua g ~ = 10 m/s9•

Rezolvare~ a) Lucrul mecanic al greuUitii mingii, in timpul urcllrii acesteia, este un lucru mecanic rezistent, dat de relatia:

Lu = - mghm = -5 J.

b) tn timpul coboririi mingii, greutatea acesteia efectueam un lucru mecanic motor

Lc = mghm = 5 J.

c) Lucrul mecanic al greutAtii, pe tot parcursul, este:

L = Lu + Lc = - 5 J + 5 J = 0.

4.1.6. Lucrul meeanic al forj;ei elastice. Am studiat lucrul mecanic al fortelor constante/tnsi( in practica intilnim foarte des for\e care variaza in functie de pozitia corpului asupra caruia ele ac\ioneaza. Un exemplu de astfel de forta este forta elastica:

F=-kx, (4.11}

unde k este constanta elastica a resortului ti ~ este deforma.rea resortului. For~a elastica este egala ti de sens opus fortei deformatoare F 1 = kx. ln timpul deformarii resortului, se deplaseaza pe distan\a x, atit punctul

de ~plica~ie al fortei deformatoare F1 cit ti eel al fortei elastice F. Ambele

for~e e,fectueaza Iucru I9,ecanic. La intindere sau comprimare, lucrul mecanie al for~ei jeformatoare F 1 este 11:n lucru mecanic motor, pe cind eel al fortei elastice F este un lucru mecanic rezistent. Aceste doua lucruri mecanice sint egale ~i de semn contrar.

Lucrul mecanic L, al unei forte variabile F = f(x), al carei punct de a pli­ca tie se deplaseaza pe distanta AB {fig. 4.10, a ti b), este egal cu ariaS, a suprafetei Iimitata de curha f(r), un segment din axa Ox- ti doua ordonate (cele ale puncteJor At 'i B1). Dadi in intervalul [a, b1 f(x) ~ 0, atunci aria S

F F /

-+---e:----_-:_=::1_-:.~~.-__ ~,..~ A{o,o) " B{h,o) r

a

' ' A,(~-F, ~;=~-~,----~

.(.tfb, -~) ·b '

Flg. 4.10. a) Aria S e~te pozitiva dad! se iiflii deasupr·a i!xei Ox; b) aria S este h;.gati\-A daca se a rta sub ·H xa Ox. ,

132

este pozitivar deci ~i lucrul mecanic . este pozitiv (fig. 4.10, a), iar daca f(x) ~ 0, at unci aria S este negativa, deci ti lucrul mecanic este negativ (fig. 4.10, b) •.

•F(N)

x(m)

Vom calcula lucrul mecanic al fortei elastice F = -kx folosind graficul de varia~ie al acestei forte in func~ie de :c, intr-un sistem de coordonate FOx (fig. 4.11). Graficul func~iei F = -kx este o dreapt~ care trece prin originea axelor de coor­donate. Fig. 4.11. Lucrul nwcanic al for\'-''­

elasticeF = -· kx, pentru x E [O,.r] .Lucrul mecanic al fortei elastice este este egal cu aria suprafetei ha~urA I e.

egal cu aria supra.fe~ei Iimitata de dreapta P = -kx ~i segmentele de dreapta OA *i AA17 deci este egal cu aria tri-unghiului A 1AO: ·

.r AA1·0A kx· X JJ= = ----·

2 2

L= ( 4.12)

Din relatia (4.'12) rezulta di lucrulmecanie al iortei e!astice depinde numai de pozitia punctului ini~ial §i a celui final al drumului parcuts dn pund.ul de aplicat.ie al for~ei. Deci f'orfa elastica este o for(li conserc'atiPa. Fort~le din inte­riorul resortului constituie lin ciq1p de forte eonsr.evativ unidimensionaL

EXEM:PLE

l. 0 for-ta, care actioneaza asupra unui corp, varitu:a. hl funcpe de di~tan\ii rh1pi:'< legeH F = 3x, unde F este exprimata in newtoni ;;;i distan\a x in metri. Sa sc caleukw lucrul mecanic efectuat de forta intre punctele A(2, 0) ~i 8(6, 0). Rezolvare. Lucrul mecanic efectuat de forta este ega! cu aria suprafet.ei limitaUi de dreapL> 18 F = 3 x, de segmentul AB ~i de ordonatele F(x1) = AA1 ~i F(xz} = B B1 (fig. 4.12). Prin !5 urmare lucrul mecank al fortei p -::::. :;x este egal cu aria trapezului AA 1B 1B:

L = ·-i.:i1 + B B! A II ~1~~!)_2-_fJ:~} ( .r., 2 2 '·

= 4H J.

IJin relatia de rnai sus rezulU\. ea luerul meea-­nie al fortei variubile P 3x poate fi cakulat inmul~illd media aritmetidi a valorilor in i~ia1ri. ~i finala a fcwtei cu deplnsarea punci u lui flu aplica1 it> al fortei.

133

IE

9

8

()

Bt

// /

// I ~, / I /"

/ 1<---;-~

/

I// / ~rm

1 2 J ~ 5 5 A[x1 ,0} 8~10)

Fig·. ~.12. La exemplul 1.

F(N)

F(ll} 40

A 8 6 30

A'x!ml ¥ I I

20

I t 2 I

l 10

I 1£ 1/)• x(m)

(} 1 2 J ¥ .f o~--o.~s,----,~~ ---,.~s,--~2~,--72~.5,---

,. ·I· •I j I -i

f'ig. 4.13. La exemplul 2.

·+

Fig. 4.14. Lucrul mecanic efectuat de forta n

variabilll F este: L = 22 Fi!lxi. i

2. 0 forta F ce se exercita asupra unui corp variaza tn functie de deplasarea :punctului sau de aplicatie dupa cum se arata in graficul din figura 4.1::J. Ce lucru mecanic Pfec~ tueaza. forta pe intervalul [0 m; 4 m]?

I -+ Rezolvar.e. Lucrul mecanic al fortei F este egal cu aria suprafetei OABCDO. Observllm ea acea;ta. suprafata se cornpune din: dreptunghiul OABEQ 9i trapezul EBCDE.

Valoarea lucrului mecanic cautat este egala cu suma ariilor dreptunghiului OABEO ~i trapezului EBCDE, deci:

L

L=OA x OE + (BE+CD)ED, 2

, , {6 N + 2 N) 6 1\ · 2 m + . , . 2 rn = 20 J.

2

8. 0 forta variabila F actioneaza asupra unui punct material,deplasindu-1 pe o anumita distanta !lx. in figura 4.14 este reprezentata variatia fortei ,in functie de distanta,

-+ F = f(x). Sa se calculeze lucrul mecanic total efectuat de catre forta F, intre limi-tele intre care variaza x, 9i care sint indicate pe figura.

Rezolvare. Lucrul mecanic total este egal cu aria suprafetei ha9urate pe figuriL Se imparte suprafata ha9urata intr-un numar de dreptunghiuri, de baza !lxi, astfel ca pe intervalul LlXi, forta Sa fie COnstanta.

-+ Luerul meeanic total efectuat de forta F este egal cu suma ariilor Fi!lxi, a drept-unghiurilor, deci: '

sau

L = (10 + 20 + 30 + 40) · 0,5 50 J.

4.1. 7. Puterea. ln considera~iile pe care le-am fa cut pina a cum nu am ~inut seama de timpul in care 0 for~a efectueaza un anumit lucru mecanic. For~a care produce lucrul mecanic se poate datora unui motor sau unei insta .. Ja~ii. In activitatea practica,timpul in care o instala~ie sau un motor efectueaza un anumit lucru mecanic prezinta o deosebita importan~a.

Spre exemplu, sa presupunem ca o macara ridica o sarcina de 5 000 N -la 2 metri inal~ime in 50 secunde~ iar alta ridica o sarcina de 8 000 N la 3 me·

134

tri inal~ime in 60 secunde. Se pune intrebarea care dintre cele doua mararaJ£ este mai productiva?

Prima efectueaza lucrul mecanic L 1 = 5 000 N X 2" m ==~ 10 000 J, iar intr-o secunda produce un lucru mecanic de 200 J fs. A doua macara produce Jucrul mecanic L 2 = 8 000 N X 3 m = 24 000 J, iar pe ~ecunda produee lucrul mecanic de 400 J fs. A doua macara este mai productiva deoarece pro· duce un lucru mecanic mai mare in timp de o secunda, deci ea este mai puter­nica decit prima. Puterea este o marime care caracterizeaza viteza cu ca.re se efectueaza un lucru mecanic.

Prin definiH~.LE~~ea mJ!di~ ___ !ntr-un interval t$e timp d.~te. egala c~ ra portul din!r:~ }JJ.Cr«l mecanic efectu~LiLJJ!t!&!!tLllll.C..fl!.!!:'l produ_~erit_~iifil'Jit:t1];c:ru-

~- - __ .... ~ -~""""~·~~="'~""'"'

mecan[c:

(4.13)

Am definit puterea medie deoarece, in general, lucrul mecanic nu se efec.tueaza in mod uniform in timp.

ln cazul cind puterea este constanta, ea este data de relatia:

L P=-·

t (4.14)

Daca in rela~ia ( 4.14) se ia L = 1 joule ~i t = 1 secunda, se ob~ine unitatea pentru putere numitii watt, cu simholul ~:

1 watt = 1 joule ; 1 secunda

1 J t W=-. 1 s

4.2 .. ENERGIA CINETICA. TEOREMA VARIA fiEI ENERGIEI CINETICE A PUNCTULUI MATERIAL

· 4.2.1. Notiunea de energie. Energia este O!fl:~~i~eJi~i~!~.~all!ra ce .ca.rac· terizeaza ca.pacitatea unui corp sau- a unuisistem de corpuri de a ~r.~?uce lucru mecanic.

· Daca un corp are capacita.tea sa efectueze lucru mecanic da.torita unor factori mecanici cum ar fi schimharea. pozi~iei lui intr-un cimp de forte, defor.?' ma~iei sale sau accelerarii sale spunem caposeda r:nergie mecanica. Spre exem­plu un corp in cadere poa.te ac~iona meca.nismul unui ceasornic punindu-1 in ~i~ca.re (fig. 4.15). Apa zagazuita de un haraj poate ac~iona paletele unei turbine punind in func~iune un gater, o moara sau o hidroceQtrala (fig. 4.16). Hesortul comprimat, al unui pistol jucarie, prin destindere arunca proiectiluJ la o ~numita distan~a.

Din exemplele date rezulta ca un corp efectueaza lucru meca.nic numai daca acesta trece dintr-o stare in alta. Astfel, resortul comprimat al pistolului jucarie efectueaza Iucru mecanic numai cind acesta se destinde.

(

135

'\

~l 0 I ~ I

l. I

f--f·-~

~ l i f'ig. 4.15. Ft:nepo" narea ceasorn icul u i reprezentatin figura f'.ste asiguraUi prin actiun~a u'nui corp in didere asupra mecanismului sau.

Fig. 4.16. Apa zagazuita. de barajul unei hidrocen trale are inmagazina ta in ea energie. Aceasta apa poate actiona pale­tela unei turbine producind un lucru

mecanic.

Deoarece energia unui corp (sistem de corpuri) este lega.ta de posibilitatea aeestu:i eorp (sistem.ului de corpuri) de a efectua lucru mecanic, este norma.l ca energia corpului (sistemului) sa scada cind el efectueaza Iucru mecanic asupra a,ltor corpuri ~i invers_, sa creasca cind se efectueaza lucru mecanic asupra lui.

" Fiecarei stari a _corplJJ!ILJsi~~-~1!1l!D!L~orespunde o ~~~r_gje, p~ car~ o notam cu E, iar la trecerea corpului (sistemului) -"dfri.-starea A in starea B ener_gia- varrazli-cu"valO"are~i:---- -~---

Variatia ~E (cre§terea sau descre~terea) a energiei este masurata prin Jucrul mecanic efectuat in timpul acestei variatii.

Energia este o marime fizica de sta.re, caracterizind corpul (sisteJnul) in fr-o stare stationara. LucruJ- ~ffi.ecanic-earaet~rizeaza corpul (sistemul) cind acesta ia parte la procesul de trecere dintr-o stare A intr-o stare B: Deci, lucrul mecanic este o marime de proces.

Energ~~ mecanica E, pe care o studiem in continuare, are dona parti: energia cinetica Ec, sau energia de mi§care.J §i energia potentiala Ep, numita 9i euergie de pozi~ie ~au energie. de ~onfiguratie.

Energia are aceea~i unitate de masura ca ~i Iucr\l.l ~ecanic (joule: .J ).

136

4.2.2. Energia einetieii a punetulni material. Corpurile in mi~care poseda energie, deoarece actionind asupra altor corpuri le pot deplasa, deci pot ~a efectueze luc.ru mecanic.

Energi.a pe CllJ'{} () p()~_eda 11n corp datorita mi~carii sale (in raport cu un sist001 de. referinta dat) se nume~te ~nergie cineiic(["" lata cfteva exerople de corp uri care posed a energie cinetica: vintul, care reprezinta mi~carea unor mase de a'er, prin actiunea sa poate pune in m,i~care o moara de vint, o nava cu vele, poate smulge copacii din pamint sau poate avaria cladiri cind viteza sa depa§e§te o anumita valoare; un ciocan in mi~care care love~te un cui §i il introduce intr-un material oarecare; o apa curgatoare (apa unui riu) care poate transporta pe suprafata sa plute facute din trunchiuri de copac.

E~ergia cine~ica a unlli cor.[h este definita prin lucr!JJ .. mecanic p_e cal'e treb'iiie -s~-refectueze acest corp--din momentul frlnarii sale ~i pina Ia oprireA sa, sau prin lucrul mecanic efectuat pentru a-i imprima o 1lD.umita vite~ij._._

Sa consideram un punct material in mi~care rectilinie uniform variata --*

sub actiunea unei forte F. Viteza punctului material variaza pe distanta ~ --*

d x 2 ...a.... x 17 dintre doua puncte A ~i B de pe traiectorie, de Ia v1 Ia v2

(fig. 4.17). Legatura dintre cele doua viteze este data de formula lui Galilei:

vi- vi= 2ad. (4.15)

inlocuind in (4.15) acceleratia a, prin valoarea sa data de relatia funda-mentala a dinamicii F ma, ohtinem:

2 2 ~~·~- m;t = Fd. (4.16)

Termenul F d reprezinta lucrul mecanic al fortei F pe distanta d = x2

· x 11 deci 2 . 2

L - ffl7'2 ffll't • AB_T_ 2- ( 4.17)

--+ Din relatia (4.17) rezulta ca lucrul mecanic efectuat de forta F t·are

act1oneazK as~pra puD.-ctuiui mater!aTa contr1huit,Ia variatia marnnii E = _!__ mv2

c 2 ' (4.18)

numita prin definitie energia cinetica a Pllnctului material.

Deci, en~~gia cineticii a unu(~~;p.de rnasa m. care se aflil in mi~care de lranslafie.cu v£teza v, in raport cu un sistnn df referirita inertial • este egalii cu

~-s-;;;;il·;~rod ~suraz~rlire-fi~as(i--corJiulili '~T patraTiiC71ttezeiaceslzii«-.' · · .

Fig. 4.17. Lucrul mecanic efectuat d•· -).

forta· F pe distant_a AB este egal eu variat ia energiei cinetice lntre punc· ·

t('lt> A ~i B,

- --0 A v1 8 v2 --o-----o~--••------~o------~•~------•

X

x,

137

Rela~ia (4.17) exprima teorema yaria~iei energiei cinetice pe care o enun·

ta!fl astfel:

variatia energiei cinetiee a ---=-.... ~-- eu un sistem __ de for(;a rezultanta care aetioneaza asupra Dtnlctttulluiiurlnai;eri:iil

.. . timvul· a~estei variatii. ~- -+ ·-··-------· -

ln concluzie. putem spune ca energia · cinetica a punctului material este o marime care caracterizeaza mi~carea sa mecanica. Fiecarei stari de mi~care a punctului material ii corespunde o energie cinetica, iar la trecerea punctului material dintr-o stare de mi~care (1) intr-o alta stare de mi~care (2) energia lui cinetica variaza cu valoarea: ·

6.Er = Ecz- Ec1·

Modificarea starii de mi~care a runctului material se datoreaza for~ei rezultante care actioneaza asupra lui. lnseamna ca lucrul mecanic L al for~ei rezultante este o masura a efectelor acestei forte in procesele de modificare a starii de mi~care. Ded, lucrul mecanic al for~ei rezultante este ega.l cu varia~.ia energiei Qinetice a punctului material: *"

L = Ec2 -- Ect· (4.19)

EXEMPLE

I. Lin om deplas~aza un corp cu masa m = 50 kg, pe o suprafata orizontala cu viteza v = 0,8 m/s (fig: 4.18). Coeficientul de frecare dintre corp :;;i suprafata orizontala ~ste !L = 0,1. Sa se calculeze: a) forta de tractiune exercitaU'i. de om asupra corpului, aplidhd teorema variatiei energiei cinetice;

· b) p,uterea medie de_zvoltata de om. Se da g = 10 m/s2•

. -+-+-+-+ Rezolvare. a) Lucrul mecanic rezultant, efeetuat de fortele F, Fr. N :;;i G care a.ctio-neaza asupra corpului, este 0 masura a efectelor fortelor, pentru procesele insotite de schimbarea vitezei corpului. Cum viteza corpului :riu se modific.a, lucrul mecanic rezul. tant este nul:

4 -+ - -+ -+ L = (F + Fr + G + N) • d = Fd- Ffd = 0. (lt.20)

/

G

ttg. t.i8. La problema rezolvn tiL

138

,,_;,

()in relapa {4.20) rezulta ca lucrul mecanic al fortei F ~f>te egal eu luerul tneoanic al

fortei Ft !?ide semn contrar. Aceste lucruri mecanice ~tnt o masura IJ inl(:)raotluni~ tnsotite de modificarea pozitiei corpului. Cum corpul se deplasea~a, ?cesi~ l\lQfHt'l

mecanice sint diferite de zero. Din relatia (4.20) obtht~m:

F = F t = p.m.g = ~o N.

b) Puterea medie este data de relatia

j,L FAx p = - = --·- = Fvm.

At At

Deoarece viteza este constanta, rezulta

P Fv = 50 • 0,8 = 40 W.

2. Un automobil cu masa de 1 000 kg porne:;;te din repaus :;;i ajunge la viteza de 30 m/s dupa ce parcurge 500 m, pe un drum orizontal. Sa se calculeze forta de tractiune a motorului, daca forta de frecare este de 200 N.

-+ Rezo[Qare. Asupra automobilului actioneaza fortele: greutatea G, reactiunea normala

N, forta de tractiune F :;;i forta de frecare F~. Suma algebriea a luerurilor mecanice ale fortelor ce act.ioneaza asupra automobilului pe distanta d este:

~Li = Fd- Ffd.

Acest lucru meeanic fiind diferit de zero, el este folosit pentru accelerarea auto­mobilului. Aplicind teorema variatiei energiei cinetice, obtinem:

dt> unde

1 mv2 - 0 = (F - F r)d,

2

mv2

F =- + Ft = 1100 N. 2d

4.3. ENERGIA POTENTIAL.A. A PUNCTULUI MATERIAL iN CiMP CONSERVATIV DE FORTE. ENERGIA MECANICA A PUNCTULUI

MATERIAL IN ClMP CONSERVATIV DE FORTE

4.3.1. Energia potentiala a punetului material in cimpul gravitational. Consideram un punct material de masa m plasat intr-un punct A din cimpul gravita~ional al Pamintului considerat uniform (fig. 4.19). Punctul material ~i Pamintul, care interac~ioneaza prin cimpul gravitational, alcatuiesc un sistem fizic deform,abil in cadrul caruia actioneaza for~e conservative (for­tele de greutate). Configuratia .. sistemului (st:area sistemului) este determi­nata de inaltimea h a punctului material fa~a de un plan orizontal P de Ia :;uprafa~a Pamintului, luat ca -nivel de referin~a. Spunem ca inal~imea h este un parametru de stare al sistemului.

Lasam punctul material sa cada-Iiber din punctul A tn punctul Ao, aflat Ia inal~imea h0• Lucrul mecanic efectuat de greutatea punctului material pc distan~a h - h0 este

L = mg(h - ho)· (4.21)

139

,,

--,A - -G=mg

h

p

Astfel punctul material apropiindu-se de Pamint poate efectua un lucru_ mecanic. Din

· acest motiv noi spunem ca sistemul alcatuit diri Pamint 'i punctul material·- sistem de­formabil (cu interac~iune gravita~ionala) -poseda energie. Aceasta energie, care depinde de pozi~ia p\mctului material fa~a de Pamint, se nume~te energie de pozi~ie sau energie potentiald graPitOlionald.

· Cu toate ca energia potentiala oaracteri­zeaza starea sistemului Pamint-punct material, datorita unei comodita~i de exprimare se spune · adesea: energia poten~iala gravita~ionala a punctului material, lasind impresia ca se face ahstrac~ie de rolul esen~ial a I Pamintului care genereaza cimpul gravita~ional.

Fig. 4.19~ Variatia energiei po­tentiale a sistemului Pamtnt­punct · material, pentru depla­sarea punctului material din A tn A 0 este egala ~i de semn contrar cu lucr.ul mecanic efec­tuat de greutate pe distanta

AA0 : !1Ep = - mg(h h0).

Fiecarei configuratii (stari) a sistemului ii corespunde o energie poten~iala Ep, iar mo­dificarea configuratiei sistemului determina

varia~ia energiei potentiale. Astfel, daca punctui material se deplaseaza din pozitia initiala A, de altitudine h, in pozitia finala A0 de altitudine h0 (fig. 4.19}, energia poten~iala a sistemului sufera varia~ia:

llEp = Epo - Ep. (4.22)

Energia poten~iala Epa sistemului nu se poate determina in mod absolut, se pot masura variatiile acestei energii, prin lucrul mecanic efectuat de eatre fortele de greutate.

Prin conven~ie, variatia energiei potentiale intre doua stari (configuratii date} este egala ~i de semn contrar cu lucrul mecanic al fortelor de greutate~ exercitate asupra punctului m.aterial, intre aceste stari, deci:

sau D.EP = Epo - Ep = - mg(h - ho), (4.23)

Eno -- E P = mgho - mgh. Daca se alege starea careia ii eorespunde parametrul h0 = 0, ca stare de

referint~i ~i ca~eia i se atribuie energia potentiala Ep0 , atunci energia poten­tiala a sistemului in starea eorespunzatoare parametrului h va fi data de relatia:

(4.24) 0 -

Din rBlatia (4.24) rezuH.a ca energia potentiala nu este total determinata, ea este determinata pina la constanta arbitrara aditiva Ep0, careia i se poate da in mod conventional valoarea zero. In acest caz

(4.2f))

Configuratia (starea) peiltru car•e s-a convenit sa se ia energia poten~iala a sistemului egaHi. cu zero Epo = 0 se nume~te configuratie zero (starea zero).

140

Alegerea configura~iei zero, adica a nivelului de referinta pentru energia poten~ialii, este cu totul arbitrara. ln rezolvarea problemelor se ia drept configura~ie zero acea configura~ie in care energia potentialS. a sistemului este minima ~i careia i se atribuie in mod conventional valoarea zero.

EXEMPLE

1. ln figura (1.20 se prezinta o poJ.i.iune a ctmpului gravitational din apropierea unei pla­nete. Se indica, de asemenea, valoarea energiei potentiale, pentru diferite configuratii ale sistemului alcatuit dintr-un corp cu masa m = 2 kg ~i planeta (sistemul corp-pla­neta cu interactiune gravitationala). Sa se calculeze: a) lucrul mecanic necesar deplasarii corpului din punctul A in punctul B, ru viteza Constanta; r

b) lucrul inecanic al greutatii cind corpul cade liber din punctul C pina Ia. suprafata planetei; c) lucrul mecanic al greutatii, efectuat in timpul deplasarii corpului, cu viteza con· stanta, din punctul A in punctul D.

RezolPare. a) Lucrul mecanic efectuat de forta externa sistemului, care _deplaseaza corpul din A in B, este egal ~i de semn contrar cu lucrul m:ecanic al greuUitii, eare la rindul sau este egal ~i de semn contrar cu diferenta dintre energiile potentiate din starile B ~i A, deci:

LAB -LG(AB) = -(EpB- EpA) -6 J.

Pentru deplasarea corpului din A in B s-a cheltuit un lucru mecanic egal cu 6 J, iar energia potentiala a sistemului a crescut cu 6 J. b) Lucrul mecanic al greutatii pe distanta CO este egal ~ide semn contrar cu diferen~a energiilor potentiale din starile 0 (sol) ~i C:

La(co> (Epo- Epe) = -(0- 8 J) = 8 J.

Prin deplasarea corpului din C in 0, energia potentiala a sistemului a scazut cu 8 J. c) Putern deplasa corpul din A in B pe unul din drurnurile ~ notate de la 1 Ia 4 pe figura 4.21. Greutatea fiind o forta conservativa, lucrul sau mecanic nu depinde dP dt·um. Indiferent ce drum am urma, pentru deplasarea corpului din A in D, lucrul mecanic al greutatii este acelal;)i. Alegind drumul1, adica dl'Umul ABD, lucrul mecanic <·au tat este:

LG(AD) La(AB) + LG 1HD) = 6 J + 0 = 6 J,

Pe distanta BD greutatea nu efectueaztl lncrn mecanic deoarece diferenta de nivel dintre B ~i D este nula.

D B ----o---o-- /OJ

c

1~~4~~---------A--- 8J

r o---~J I 171 = 2m

_ _t_ -o Ej;u =(}

0

Fig. 4.20. La exempiul L

o.

141

1 - _--....., __ , '-. .......... -, ~

'-"''" .,__"\ \

' \

8

1 ..... ,,

\

... , A

:!. lln corp en masa rri .-;;;;: ;j kg eade liber· de la lniHP· mea h = 5 m. Sa se calcu1eze energia cinetidi a corpului ~i energia potentiala a sistemului corp· Pamint, cind corpul se afll1 la inaltimea h1 = 2 m deasupra Pamintului. Se va lua ·g = 10 m/s2

•

Rezofpare: Energia cinetica la inaltimea h1 este:

2

Ec = !?!..;~ , unde vi= 2g(h - h1).

deci

E c = mg(h - h1) ~ 90 J.

F.nergia potential& a sistemului, dnd corpul se afla la inaltimea h1 fata de Pamint, este:

f'ig. 4.22. La exemplul 3 .. Ep mgh1 = 60 J.

Am considerat suprafata Pamintului nivel zero pentru energia potentiala. 8. Un corp este aruncat pe verticala in sus cu. viteza v~ 10 rnjs. La c~ inaltim~ e!ler-

gia cinetica a corpului este egala cu energ1a potentiala a s1stemulm corp-Pammt? Se va lua g = 10 m/s2

•

RezolPare. a) Vom considera. ni':elul. zero pentru energia p_otentiala. su~pra~ata Pamin­tului !?i nivelul la care energ1a cmet1ca este egala cu energta potentiala, mvelul cores-punzator punctului A (fig. 4.22}. ~

Deci mv2

EpA= Ec.4. = 2· (4.26)

Variatia energiei potentiale tntre nivelele A !?i 0 (sol) este egala ~i de semn contrar cu lucrul mecanic al greutatii pe distanta OA, deci:

EpA- Epo = - La(oAl = -(- mgh).

Am luat La = -mgh, deoarer.e La este un lucru mecanic rez-istent. Av!nd in vedere relatiile (4.26) ~i (4.27), obtinem:

mv2

mgh= -. 2

(4.27)

(4.28)

Variatia energiei cinetice pe distanta OA este egala eu lucrul mecanic al greutatii pe aceasta distant a:

2

E E _·m1· 2 m7'n. = -mgh. cA ·- co - 2 ·- 2-

Comparind relatiile (4.28) !?i (4.29), obtinem: 2

de nnde

mgh - mvo = -mgh, 2

2 h = ~ = 2,5 m.

4g

(4.29)

4.3.2. Generalizarea notinnii de energie potentiala. Am putut defini ener­gia potentiala a sistemului alcatuit dintr-un punct material §i Pamint (pentru deplasari mici cind cimpul gravitational este uniform) numai datorita fap­tului ca in cadrul sistemului actioneaza forte conservative (fortele de greu-

142

tate). Deci, se poate defini energia poten}iala a oricarui sistem in care actio­neaza forj.e conservative: for~e gr~vita}ionale; for~e elastice, datorate defor­marii temporare a unui solid; for~e electrostatice; for~e magnetice care se exerci~a intre mag~eti permanen~i.

Lucml mecanic efectuat de catre fo:rtele conservative ca:re in sistem este ~i de semn opus cu va:natla An.o. ... oPJAJ vo1~entiale

- -·-- ~-

L = ~-(Ep2 - Ep1) b Epi - EP2'

unde Ep1 este energia poten}iala a sistemului in stare ini}iala §i Ep 2 este energia potentiala a sistemului ·in stare final a.

ln caz_ul sistemelor in care actioneaza forte neconservative nu se poate defini o energie poten~iala. Spre exemplu, in sisteme1e in care actioneaza: fortele .de presiune dintr-un gaz, forte electromagnetice, forte de frecare.

4.3.3. Energia potentiala in cimpul fortelor elastice. Sa ne inchipuim un area§ care ~i-a incordat arcul (fig. 4.23). Pe coarda intinsa a arcului se spri­jina o sageata. Sistemul arc-sageata are inmagazinat in el o energie meca­nica, numita energie potentiala elastic~. Acest srstem este capabil sa produca un lucru mecanic in momentul cind se da drumul corzii care arunca sageata spre ~inta. Deci cind sistemul i§i roodifica configuratia.

Sa coroprimaro un resort §i sa a§ezam a poi pe el un corp (fig. 4.24). Cind resortul este lasat Iiber, el se destin de ~i se lanseaza corpul, efectuind un lucru mecanio. Deci, resortul compriroat (acela§i lucru §i pentru resortul intins). poseda energie potentiala· elastica.

Energia potentiala de deformare a unui corp elastic, spre exeroplu ener­gia potentiala a unui resort elastic, depinde de pozitia relativa a diferitelor plrti ale acestui corp.

Variatia energiei potentiale elastice a resortului este egala ~i de semn contrar cu lucrul mecanic al fortelor elastice. Deci, conform relatiei (4.12). ob~inem:

Fig. 4.28. Sistemul a.rc-eoai'• da are inmae-azinat~ in el energie potenttala. Se va pro· duee lucru rnecanic numai daci1 se dA drumul corzii care va arunca sageata din arc. -

143

2

( 4.30)

0 b c Fig. 4.24. Resortul comprimat are tnma· gazinati1 in el --energie poten~ialA.. Daea resortul este li1sat tiber, el se destinde ~i lanseazil corpul care este a~ezat pe el

efectuind lucru mecanic. ~

4.3.4. Energia meeanica a punetului material in eimp eonserva tiv de forte. Fie un sistem alcatuit dintr-un punct material .f}i un alt corp (pre~upus fix), interac~ionind printr-un cimp de for~e conservat1v (spre exemplu c1mpul gravita~ional). Presupunem ca asupra sistemului nu ac~ioneaza for~e prove­nind de Ia alte sisteme, adica, sistem ul este izolat.

Consideram ca punctul material se deplaseaza in cimp sub ac~iunea for­~elor cimpului. in timpul deplasarii punctului material se produce o varia~ie continua atit a energiei cinetice cit f}i a energiei potentiale a sistemului. Astfel Ja momentul t0 = 0, sistemul poseda energia cinetica Eca f}i energia potentiala Epo, iar la momentul t poseda energia cinetica Ec f}i energia poten~iala Ep·

Conform teoremei varia~iei energiei cinetice L = Ec- Ec{J f}i a defini~iei energiei poten~iale L = -(Ep .- Epo), unde L este lucrul· mecanic al for~~i rezultante aplicata punctului material in intervalul de timp At = t - to, deci:

L = Ec- Ec0 = -(Ep Epo),

de unde (4.31)

Din relatia (4.31) rezulta ca in timpul modificarii configuratiei unui sis­tern fizic izolat, ·in care actioneaza forte conservative, suma

(4.32)

numita energia mecanica a sistemului, are o valoare constanta pentru orice stare (configuratie) a sistemului.

4.4. CONSERVAREA ENERGIEI MECANICE

Rela~ia ( 4~31) reprezinta legea conservarii energiei mccanice pentru forte eonserva,tive, care se enunta astfel:

energia mecanica, E = Ec + Ep, a unui sistem izolat in care acjioneaza for~e conservative este constanta, dooi energia mecanica a acestui sis· tfm se conserva.

Conditia necesara pentru ca sa se conserve energia mecanica este ca asupra. pu~ctului material, respectiv in sist~m, sa nu ac~ioneze ~ici _o for~a neconserYiltiva. Aceasta implica ca foryele de frecare sa ftP nule, 1ar ststemul sa nu cuprinda ma§ini termice sau ma~ini electrice.

4.4.1. Conservarea energiei mecanice in mi~carea de cadere Iibera. Fie un punct material de masa m, plasat intr-un punct A, din cimpul gravita~io~al uniform al Pamintului. Consideram sistemul fizic Pamint-punct matertal,·

izolat. 144

Energia rneeanica a sistemului~ tin d pultd ul material se afla in punctul A, este

EA = EpA + EcA = mgh,

deoarece EcA = 0, punctul material fiind imobil in A (fig. 4.25 ). '

In A se lasa punctul mate~ial sa cad a liber; el ajunge in punctul B cu viteza '

v8 · V2gx,

unde x = AB. Energia mecanica a sistemului, cind punct 111 c

material se afla in B, este

En = Ep8 + EcB = mg(h - x) + mgx = mgh,

2

Fig. 4.25. In timpul mi~­carii unui punct · materi<~l tn cimpul gravitational, energia mecanidi PSte con-

d E mvB eoarece cB = -

2- = mgx. stantll.

Energia mecanica a sistemului este constanta in timpul caderii libere a punc­tului material. In timpul acestei mi~cari variaza atit energia cinetica cit §i

energia poten~iala a sistemului.

4.5. SISTEME DE PUNCTE MATERIALE. FORTE INTERNE ~I FORTE EXTERNE

4.5.1. Sistem mecanic. Corpurile ~i sistemele de corpuri din natura pot fi descrise din punct de vedere al echilibrului ~i al mi~carilor lor relative, precurri :,;i din punctul de vedere al interactiunilor care influenteaza aceste mi~cari, ca sisteme de puncte materiale tntre care, In general, se exerciUi anumite forte de interactiune. De exempln, si!:>temul ~olar poate fi considerat in prima aproximatie ca un sistem de puncte materiale (planetele ~i Soarel~ ale caror dimensiuni sint mici in comparatie cu distantele reciproce) intre care se exercita fortele de interactiune gravitationale. Un atom poate fi considerat ca un sistem de particule (nucleu ~i electroni) considerate punde niateriale, 1ntre care se exerciUi forte electrice de atracpe (nucleu - electroni) sau de respingere (electron - electron).

Tot astfel, un corp oarecare poale fi descompus mintal intr~un numa; foarte mare de elemente de volum foarte mici care pot fi aproximate prin puncte materialr. Apt'll· x.imatia este buna daca luam aceste eiementn de volum suficieut de :nici.

Prin sistem mecanic vom lntelege un sistem de puncte materiale care·uu sinl iudt>pen­dente intre ele, ci supuse la legaturi reciproce, astfel dt formeaza un ,intreg" mai mull sau mai putin stabil, mai mult sau mai putin deformabll.

Sistemul mecanic este un model al realitaJii care refleeta mai mult sau mai pti\il! exact proprietatile mecanice ale. corpurilor reale.

4.5.2. Sistem material. Mai general, prin sistem material se ilf'telege orice portinne d!n Univers, bine delimitata fie prin frontiere naturale fie min tal. pe care o considera.rn ~i o studiem la un moment dat.

Astfel, un sistem material poate fi: o planeta, o piatra, o ma~ina, gazul dintr- tm vas, sistemul de corpuri reprezentat in figura lt.26, alciHuit di11 doua ccrpnri lege~te de capetele unui fir trecut peste un scripete etc.

145 lO ·- Fizica cl. a IX-a

A

Fig. 4.26. Siste!Uul. mate­rial este alcatmt dm cor­purile A ~i B legate de capetele un:ui fir trecut peste un scr1pete cu J:J?-asa neglijabila: Asupra siste­mului actwneaza fortele

~ -Pxterne Glt G2 -~i fortele ~ -interne T1, T2.

Sistemul material este ddormabil daea distarrt01e dintre partile sale componente sint variabile. D~ exempl 11

1m resort, sistemul solar, sistemul reprezentat in flgura lt.26. Sistemul material este nedeformabil sau rigid daf'tt

distantele reciproce dintre elementele care ti alcatuiesc nu se modifidi in procesul mi~d\rii mecanice.

4.5.3. Forte externe. Odata sistemul ales ~i bine pre­eizat, interactiunea cu restul Universului este luaUi in considerare prin fortele exercitate de acesta, numite forte externe.

f~or*ele externe sint for*e,le exercitate asupra sistemului din partea eorpurUor exterioare care nu fae partt> din sistemui considf'rat. -Vom nota fortele interne eu litera SF rond cu indiei1 dl·

exemplu daca conslderam sistemul Luna - Pamint supus ' . - -atractie.i Soarelui (fig. 4.27), atunci prin F 1 ~i F 2 .am repre-

zentat rezultantele fortelor externe care se exerc1ta asu!_)ra Lunii,respectiv Pam.intului.

4.5.4. Forte interne. Asupra fiecarei particule (parti) din sistem. se exercita aUt forte externe din partea corpu­rilor care nu fac parte din sistem cit ~i forte interne din partea tuturor celorlalte partieule {j>arti) ~in sistem.

Vom nota fortele interne cu litera :J rond, cu indici. Fortele interne stnt fortele de interactiun~ dintre punctt-le materiale (partile) ale

sistemului considerat. . Sa analizam din nou sistemul Luna - Pamint (fig. 4.27), in care.am no~t cu

- . ;; f .,. 1 1·nterne. Forfa-; este forta exercitata de Ramlnt asupr·~ Lunii, iar &'12 este §'12•"'21 or.,.e e .,. 21 ... l . 'I . I d' ... forta exercitata de Luna asupra Pamintului. Conform prmc1ptu u1 al tre• ea a mamiCn

fortele interne -;2i ~i -;12 stnt egale tn mcdul ~i de sens opus: - - - -8f12 = - Sl"21; Sf12 + SF21 0.

Rczultanta tuturor forfelor interne din sistem cste nula. , • 4.5.5. Teorema. va.ria.tiei energiei einetiee a unui sfstem de punete ma.teria.le. Pentru

un · punct material,~ energia cinetid\. are expresia

Fig. 4.27. Fortele mterne care se ~x~rrita intre punctele materiale ale unm s1ste!fi mecanic sint doua cite doua .egale ~~ mcdul ~i de sens opus (actmnea ~~ - -reactitmea) SF12 = -SF2lt de aceea rezul-- -tanta lcr f'ste nula: SF12 + SF21 = O.

L Pt'ntru un sistem de puncte materiale, energia cinetidi este egaHi cu suma ener­giilor cinetice ale tuturor punetelor din sistem:

146

n 1 2 Ec = E~mivi.

i=l 2 (4.33}

Vom. enunta, fara a o demonstra, teorema variatiei energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale.

1 ntre d.ouil mom.ente date ( t1 ~i t2 )

materiale este cu suma lucrurilor mecanice ale tuturor cin.etice a unui sistun de

attt interioar<: ctt care asupra materiale din sistem.

Ec2- Ect = Lint. + Lext.· (~.34: tn cazul sistemulm defor~abil, lucrul mecanic al fortelor interioare este, in general,

diferit. de zero.

In cazul imni solid indeformabil, luerul mecanic al tortelor interioare este egai cu zero.

Variatia energiei cinetice a unui solid indeformabil intre doua momente date este egala cu suma lucrurilor mecanice efectuate intre aceste momente de catre toate fortele exterioare carp actioneaza asupra solidului.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un punct material de masa m aluneca fara frecare pe o suprafata curba AB (fig. 4.28). Sa se determine viteza punctului material in punctul B, daca mi~carea se face fara viteza initiala.

Rezol"are. Sistemul alcatuit din punctul material ~i Pamint (interactiontnd prin dmpul gravitational) este actionat numai de forte conservative. Energia mecanica a siste­mului tn starea A este egala cu energia mecanica a sistemului in starea B:

2 2 mvA + E _ mvB + E B· ·-2- pA- -2~· .. p

Luind nivelul B, ca nivel de referinta pentru energia potentiala gravitatiohala ~i tin!nd seama dt VA = o, obtinein:

deci

mgh 1. . 2 - mv11: 2. •

VB= V2gh.

2. Un corp de masa m = 1 kg este HL.1mt sa..cada liber de la iniHtimea It = ~ m, pe un resort cu constanta elastica k = 200 N/m (fig. 4.29}. Sit se calcule-ze .viteza cu care corpul ciocne$te resortul ~i deformarea x a resortului.

10•

-----, I ! lh

I I

8

};ig~ 4.28. La problema rezolvata 1.

147

.c.

Fig~ :i.29. La twoblema rezol va ta. ~

Rezolvare. In sisternul a~dltuit din corp, resort ~~ Pamint actioneaza doua forte con· servative: forta de greuta te ~i fo:rta elastica. Consideram ca nivele de referinta, nivelul H pentru energia potentiaHi elastica !1i nivelul C pentru energia potentiala gravita tionala.. j.~nergia mecanica to tala la nivelele A, B !1i C este:

1 1 'EA = mg(h + x); En= mgx +- mv2

; Ec =- kx2•

2 2 (4.05)

Sistemu l Hind izola t, aces te energii mecanice sin t egale. Pentru calculul vite~ei ]a nivelul B folosim primele doua relatii {4.35) ~i obtinem:

de unde

1 mg.(h + x) = mgx +- mv2,

2

v = V2gh.

Pentrn ealculul vitezei vom considera g = 10 m/s2•

v = V2 ·10 · 2 = 6,32 mfs.

Pentru ealculul deformarii _x a resortului vom folosi prima ~?i ultima relatia (4.3~) ~~

obtinem:

sau

de nnde

1 mg(h + x) = - kx2,

2

10x2 - x - 2 = 0,

x = 0,5 m.

iNTREBARL EXERCITII. PROBLEM£

1. Ce lucru mecanic efectueaza forta centripeta in tirnpul unei rotatii complete, intr-o mi~?Ca.re circulara uniforma?

R: L = o (F .J.. vJ. 2. Un corp se deplaseazrt cu o viteza constanta pe un drum orizontaL 'Forta rez.ulla11Li

care actioneaza asupra corpului este nuHL Se efectueaza lucru_ mecanic asupra corpului't Justificati raspunsul.

3. Un om deplaseaza pe o · suprafata orizontaHi, pe distanta d = 10 m, o lada cu masa m = 100 kg. Coeficientul de frecare dintre lada ~?i suprafata pe care se deplaseaza este 1-' = 0,4. Forta de traetiune are directia orizontala (g = 10 m/s2

).

1° Se presupune viteza constanta. Sa se calculeze: a) lucrul mecanic efectua t de om asupra lazii; b) lucrul mecanic al fortei de frecare; c) !ucrul mecanic total efectuat asupra lazii. 2° Se presupune ca lada are acceleratia a = 0,5 mfs2• Sa se raspunda la acelea~i inLre­bari ale. punctlllui 1°.

R~l 0 a) L 0 = (.Lm gd = 4 000 J; b) Lr = - 4 000 J; c) L = 0_; 2° a) L 0 = ({L mg + ma)d = 4 500 J; b J Lr = -4 000 J; c) L= 500 J.

4. Un corp cu masa m = 20 kg se deplaseaza cu viteza constanta pe distanta d 60 m. pe o suprafata orizontaHL Coeficientul de frecare este ll = 0,45. Forta a plica t.~ corpiJ-­hli ·fat:.e on unghi «. = 30° cu orizontala. Sa se calculeze:

148

a) forta aplicata corpului; b) lucrul mecanic efectuat asupra corpului.

R: a) F= ____ r:-mg ___ '"":.<'1 \ b) L = FdCv:5a. ~ 4'287 .1. cos ex + !L sin ex "' u.. · ·

5. Asupra unui corp actioneaza o forta F = 24 N, ... care fuc:e un unghi rx = 37., cu ori­zontala. Sa se calculeze luerul mecanic efectuat de forta F pe o distanta d = 20 m. Frecarile sint neglijabile_ {cos 3-?' = 0,8},

R: L = Fd eos r:/. ~ a8lt ,L

6. Doi vectori ;; 9i b au rnarirnile, respectiv a =-= 4 unitati conventionale si b = 8 unita"i c~nventi~nal~. Sa se calculeze produsul scalar al celor doi vectori,luind 'pentru unghiul ~ dmtre ce1 dm vee tori valorile;

0, r. ' ..::.. t ~ t r., . 6 4 2

R: 32, 16 V3, 16 V2, 0, -1. (tn unitati conventionale corespnn·t ;i-t-n:~~e.) ·~ d ,...;.. ,...;..

•· Sa se ernonstreze dt produs•d i"<"<lbr· a doi vector{ u ~i b sr' poate serie astfe):

unde (ax, ay) ~i {b;c, dieu lar!' {/ :L ny

r;. (; ,, a.rbx ,. a,,!Jy,

•:omp··npnt,,ie Yl't torilo: i'•' dt.Hl[l axe de coordonate prl';>• n

.... ::-\;1 se en•duFZ~' prodnsul ~-i.~lb!· .d \'(:dor!ld· ,., F'''Z!'ntatl in fignra !LJO, iJ.,h :::i c. Marimile ved~wi!m· ;;int jndi:·.d•: IW ~.trnfi· in \lllitup convent)onale.

H. U maeara rh:tica un corp cu ~;u•,;l r:: ;~ou kg 1~:: ;n:!H;irnea h I ucrul metan!c efedua t. d.: mdcar~~ in c;;zu1·ile ur!w:Uc;:Jt<::

10.

11.

a) eorpul este rhlieat c11 vitez;) eonst;inU.:

R: a) L '-'""' m .. gh =· 15 ·103 .) ; b) L = m (g +a) h = ;r. ~;;:1 .1

lin copil arunca o minge cu masa m l oo g care se urea la inaltimea h = 2fJ rn. :~ se calculeaza · iucrul mecanie al greuUitii mingiL Se va lua g =,to m/s2 ·

. R: 1. -= - mgh = -- !lU J Un. corp cu masa m se dep1asea:di dintr-un P'HH.:t A intr-un punct C, in cimpul gr<n i tatJOnai terestru, pe trC!fi"Ui ABC, indicat in Jigura 4.31. S~\ se rtemonstreze •·a luct·td rw::r~<mk <:Ofectuat ne ;.u·eqt;:de ;:.s1e "'U ze1·o.

(J

-II

----~----.-----~~--._~ r a c

Fh;. 4.#kt\ La problema ~:L

12. tn timp ce un alpinist escaladeaza peretele vertical al unui munte, un turist de aceea~i greutate ca ~i alpinistul urea in virful muntelui pe o carare in serpentina ~i ajunge in acela~i loc ca ~i alpinistul. Care dintre cei doi a efectuat un lucru mecanic mai mare impJtriva gravitatiei?

R: EfectueazA acela~i lucru mecank.

13. ln figura 4-.32 este reprezentata dependenta alungirii unui resort de marimea fortei deformatoare. Sa se calculeze lucrul mecanic al fortei deformatoare intre punctelf' de abscise 0 em ~i 8 em. Sa se spun a care este sensu I fizic al tangentei unghiului ex. ~i a I ariei triungltiului de sub segmentul OA de pe grafic.

R: tg ex.= k, L ~ Fx/2 = 32 J.

14. Ce lucru mecanic trebu.ie efectuat pentru a intinde, cu !J.l = 0,5 em, un resort eu constanta elastica k = 40 kN/m?

R: L = k( !J.l)2/2 = 0,5 .J

16. Pentru a tntinde un resort cu lll1 = 4 mm, trebuie sa se efectueze un lucru mecanic L 1 = 0,02 J. Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a intinde resortul cu Al2

= 4cm? R: L,. = L1 (Al1/ Al1 ) 1 = 2 J.

16. Un motor cu puterea P = 10 kW este folosit pentru a ridica o sarcina cu masa m = = .'JOO kg la inaltimea h = 40 m. ln cit timp va ridica motorul sarcina respectiva? ( ~ =~ 10 mjs2

.) R: t = mghf.P = 20 s.

17. In t'igurile 4.33, a, b, c ~i d stnt reprezentate dependentele de distant& ale fortei F care actioneaza asupra unui corp. Sa se calculeze lucrul mecanic al fortei in fiecare caz.

R: a) 180 J; b) 60 J; c) 150 J; ,d) 2,5 J.

18. Sa se calculeze puterea minima a unui automobil pentru a se deplasa cu viteza con­stanta v = 100 km/h, daca forta de frecare care actioneaza asupra automobilului este Ft = 1,8 ·108 N.

R: P = F fV = 5 • 1 04 \'\'.

19~ Punctul de aplicatie al unei forte F = 2,35 N se deplaseaza,cu viteza constant& v = 0,456 m/s, pe directia fortei. Care este puterea pusa in joe in aceasta deplasare (

R: P = F u = 1, 0? vV.

20. Depinde energia cinetica de sistemul de referinta in raport cu care se calculeaza l

M[t(N~ b_f(N) . R: Da.

2/J !L 20 ..-----""! I 1 I I I 1 I I

D 2 5 b(m} Q t 4 x(m; 8flfl

· F(N) A

1/ v

/ /

,/ / v

v ~0(. X(c. x(m}

o. b .J(J(J

rN} F{N}

mC\ J

. 0 t 2 5 7 .x{m)

m)

(J 8 -2

d c }'lg. !.32. La problema ·t:l J<'fg. 4:.33. La problema 17.

150

21. Un om sUi pe o banca intr-~n autobuz carl' se deplaseaza cu viteza v = 15 mjs. Masa o.mului este m = 70 kg. Care este energia cinr­tlca a omului in raport cu ceilalti pasageri? Dar tn raport. cu Pamintul?

R: E1c .::::: o;

E2C = ? 875J.

J

t

y(m) 8,..... ______ _.1

- P,;;r: -------4 A I

· 22. Un corp. cu masa m = 0,5 kg este m·ur11:at U ~

vertical in sus cu vite~a v0 = 4 mfs. S:i se }'lg. !.8!. La problema 24 calcu~e~e: lucrul mecamc al greutatii, variatia ·

x(m)

ener~Iel potentiale ~i var.iatia energiei cinetice la urcarea corpului ptna Ia tnxlt' maxima. a. ylmea

R: La = - mv02/2 = - 4 J · tillp = 4 J. A v _ · , ,

' I L.lLJC - - ·'f ,, •

23. ~ &ageata cu masa m = 50 g' este Iansata, dintr-un arc cu viteza v - 30 ;· . tlcala in sus sa s 1 1 . . . ' o - m s pe ver-. · . e f'acu eze energ1a cmeboa ~i energia potentiala a sa etii d a

timp t = 2 s dt' Ia lansare. Se va lua g = 10 m/s2. g · · up Ull

•) R: Ep = mg (v0t- gt2/2) = 20 J; Ec = m~v0 _ gt)2/2 = 2,5 J.

..!. u~ c~rp cu rn_asa "! .= 2 kg se ?eplaseaza din punctul pl in punctul p2 in dm ul . ra-Vltatwnalumform,. m care g este constant ~i egal cu 10 mjs2 (fig. ~.3ft). p g a) Sa se calculeze lucrul mecanic al greutatii pe traiectoriile pAP · p BP

1 2 ~1 1 2•

b) Dr·acal se presupune energia potentiala a sistemului corp-Pamint nula. in PI, car·p va 1 va oarea sa in P 2? .

c) Ce valoare are lucrul meeanic efectuat de ctmp pe traiectoria p1cp

2?

d) Care este valoarea energiei potentiale in punctul de coord t y = 3 m? , on a e x =· t m :;; i

·tt: L1 = - 40 .T : L2 = - 40 J ; b) E P = 40 J ; c) L = _ 40 J :

25. Cu dt trebuie alungit un resort cu constanta elastira k = inmagazinata in resort sa fie Ep = 14,4 J?

d) Ep = 40 .J.

20 ~/m penti'tl ca energia

R: x =V2 Epjir = 1,2 m.

26. l!n corf cu masa m = 2 kg aluneca pe o suprafata orizontala fara frecare Corp I cwcne~ e tm resort pe care-1 comprima cu x = 0 5 m lnainte de . . A u elastica a resortului este k 20 N/m Car t '··t ' .• as~ opri. Constanta

. e es e "\1 eza corpulm mamte de ciocnire·?

• . . R: v ~ a:Vkfm = 1,58 m/s. t7 • La comprtmarea resortului unui piston jucarie cu a; - 3 em

8 a t · t

maxima F 20 N Sa - - ac)'Iona cu o forta · = . se calculeze energi~ potentiala a resortului comprimat.

R: Ep = Fx/2 = 0,3 J. 28. ;.;n pistol juc~rie1 este prevazut cu un resort de constanta elastica k _

mcarcarea pistotului, resortul a fost comprimat cu x - 800 Njm. La I t 1 t 1 5 em. Cu ce viteza est .. ansa g on~u cu masa m 20 g, pe directia orizontala?

R: v = 10 m/s. 29. LJn vagon de cale ferata cu masa m - 20 t · · .

__ 0 I . - one c1ocne~te un obstacol cu viteza v _ -. ,2f m s. Res?rt~rlle ta~poanelor se comprima fierare cu x = 4 em. Sa se det~·­mme orta maxima ce actwneaza asupra resorturilcr.

R: F = m?P/23: = 10 kN.

151

A

n-t~l--~-~c Fig. 4:.35. La pro11e~ui ;31.

:tu. "\supra uuu i corp a~~ioneaz<i u forta care

\·ariaza cu distanta dupa Iegea: F = 50 -- 0,5 x, unde x este exprimat in metri ~i F in newtoni. sa se calculeze lucrul mecanic al fortei, ci!ld punctul sau de aplicatie · se deplaseaza intre punctele df' abscise x0 0 m !?i x = 20 m.

:n. Un corp cu nnsa 111 ( ·= ::! kgl coboara fara frecare pe l!n plan inclinat de inalthne h = 1 m. Ajnnglnd la haza planului, corpul se deplaseaza cu frecare pe o suprafata plana pina intr-un pund C, parcurgind distanta d 2 m. Coeficientul de frecare tste ;t = 0,3 .. In punctul C, corpul urea fara frecare, pe o suprafata curba CD (rig. !i.3[)). Sa se calculeze:

u) viteza v1 a corpului la baza planului inclinat ~

f,) viteza v2 a corpului in punctul C;

c) ;-,L~dtimea 1a rar•~ urea corpul pe suprafata CD .

d J S,i se determine pozitia punctului !n cart"' se oprqte corpul (pe suprafata plan<">). 'fa}i'l de punetul B. Se va lua g = 9,8 m/s2

• ·'

R: a) v1 = 1/2 gk=4,4i mfs; b) v2 = t/-ig{h-- f!'d} = 218 mfs;

•) h1 ·= h- ttd=0,4 m; d) d1 = 2d- h/iJ. = 0,66 rn fata de JJ.

5 IMPULSUL MECANIC

~ -+-

Am definit impulsul punctului material in,§ 2.q.2 prin relatia: p = mv; el are directia §i sensu] vectorului viteza, iar varia~ia sa pe unitatea de timp -

-+- -,)-

I'eprezinta forta: F = dpfdt (lex secunda).

5.1. TEOREMA IM PULS UL Ul PENTR U P UNCT UL MATERIAL CONSERVAREA IM PULSULUI

-,)- -+-

Sa transcriem ecnHtia (2.12) Fm = Apflit sub forma: ~ ~ ~ ~ -,)- ~

F m !l.t = llp sHu P,,(tz - t1) = Pz -PI = mvz- mv1. (5.1)

. -,)- - -Produsul H = Fmlit se nume§te impulsul forfei. Ecuatia (5.1) exprima t~orema impulsului pentru: punctul material:

YariaJia impulsului punctnlui material este egala cu impulsul fort;ei aj)ii;ati punctului material. . - •

____./-

Daca impulsul fortei aplicate este zero, de exemplu daca forla aplicata -)- -este nula, adica punctul material este f,zolat (P = 0, H = 0), variatia de impuls

- -+ -va fi nula: Ap = 0, deCi inipulsul p ·= mv ramine neschimhat (constant). -Impulsul unui punct material izolat se conserva, p = ronst~ adicii punctul . ' -,)-

material izolat se mi§ca rectiliniu uniform sau este in repaus (v = const) (in sistema de referinta inertiale).

Impulsul se poate schimba numai sub actiunea unei forte exterioare. Itt procesul interae·~iunii reallzat prin intermediul fortei seface un transfer

de mi~care de la un corp la altul, n1asurat prin transferul de iropuls ~i de ener· gie einetica. adica prin irnpul~ui fortei egal cu variatia de impuls a em·pului,

153

respectiv prin lucrul me.canic al · foi·tei, ega! cu varia.tia de ~nergie cinetica a corpului.

· lmpulsul este o masura a mi4carii. Impulsul punctului material p = m-;;, este o masura a mi,carii mecanice pe care el o poseda (de aici provine ti denu­mirea de cantitate de mi§care). Teorema impulsului exprima o lege de con-servare a mi$carii materiei. . _

V erificarea experimenta]a a legii impulsului se reduce In fond Ia verifj .... carea l~gii fundamentale a dinamicii~

5.2. TEOREMA IMPULSULUI $1 LEGEA CONSERV ARII IMPULSULUI PEN-r:R U UN SISTEM DE DO UA PAR TIC ULE

Fie un sistem format din doua particule m1, m2 care interactioneaza intre

ele. Conform principiului actiunii 'i reactjunii forta i 12 exercitata asupra par­ticulei m1 de catre particula m2 este egafa in modul §i de sens opus cu forta .. 621 exercitata asupra particulei m2 de catre particula m1, adica .. .. - ..

8112 = -SF 21 sau SF12 + SF21 = 0. (5.2)

Cele doua forte actioneaza de-a lungul dreptei care une§te cele doua particule (fig. 5.1) §i rezultanta lor este nula. '

In afara de aceste forte de interactiune care constituie forte interne pentru sistemul nostru, fiecare particula interactioneaza in genera.] cu mediul exte-

rior, ceea ce se traduce prin fortele externe: F 1 asupra particulei m1, F 2 asu­

pra partioulei m2 (fig. 5.1). Am notat fortele interne cu ii rond.

Sa scriem legea impulsului pentru fiecare partic~Hi. Daca fortele nu sint constante, atunci pentru un interval llt oarecare trebuie considerate fortele medii pe acel interval, de aceea mai jos toate fortele sint constante sau medii pe intervalul llt: - __,.. __,.. - __,.. __,..

(F 1 + SF12).6.t = ll(m1v1); (F 2 + SF21)ilt :c il(m2v2). (5.3)

· Adunind membru cu membru cele doua ecuatii, gasim: ,.. __,.. .. - __,.. __,.. __,.. __,..

(F 1 + F 2 + 8F12 + S'2t)llt = il(m1v1) + il(m2v2) = il(m1v1 + m2v2)

m, .

~ 1 -------..!:../ F,

m2

Fig. 6.1. Sistem 'de dcuii particule care interactioneaza tntre ele ~i ru mediul

. (\Xterior.

(5.4)

Dar, conform lui (5.2), rezultanta

fortelor interne este nula. Suma vec­

toriala a fortelor 'externe da rezultanta

forfelor externe:

__,.. .. __,..

F = Ft + F2. (5.5)

154

Pe de alta parte)impulsul total aJ sistemului este suma vectoriala a impul· surilor particulelor componente:

-4- ....... - ....... .......

P = m1v1 + m2v2 = P1 + Pz· (5.6)

Tinind seama de aceasta, ecuatia (5.4) devine: ·

(5.7)

en

Ecua~ia (5. 7) se poate transcrie sub forma cunoscuta a legii II:

(5.8)

-unde F este rezultanta for~elor externe ~i P impulsul total al sistemului. Fortele interne ale sistemului nu contribuie la varia~ia impulsului total

al sistemului, adica nu pot schimba impulsul total al sistemului (rezultanta lor fiind nuHi). (Ele pot insa ·redistriEuiTmpulsuTintre particulele sistemului prin ciocniri.) ,

Daca rezultanta fortelor externe este permanent zero sau daca sistemul este izolat, adica nu interactioneaza cu mediul exterior, impulsul total se conserva ( ra mine constant).

5.3. TEOREMA IMPULSULUI Sl LEGEA CONSERV ARII IMPULSULUI PENTR U UN SISTEM OARECARE DE PAR TIC ULE

Rezultatele obtinute 5int valabile pentru un sistem format dintr-un numar oarecare de particule. In adevar, particulele sistemului interactioneaza intre ele prin forte interne perechi, doua cite doua egale in modul ~ide sensuri opuse, conform principiului actiunii ~i reactiunii. De aceea,daca le insumam pentru intregul sistem, ele se anuleaza doua cite doua ~i dau rezultantii nula.

Rezultanta forJelor interne ale' unui sistem de particule este nuliJ..

Scriind legea impulsului pentru fiecare particula ~i adunind ecuatiile membru cu membru, a~a cum am facut pentr1l un sistem format din dou(t particule, gasim lege1 im­pulsului pentru un sistem oarecare:

-? __,.. -~ __,..

F m !:lt = uP = P 2 - P 11

_,. __,.. - ....... -? -~ .. + unde Fm este valoarea medie a rezultantei F = F 1 + F 2 + ... t Fn ~i P = m 1v1

·+ -7 ,__,.. -~ __,..

m2v2 + ... + mnvn = p1 p2 ... + Pn sau sub forma legii II:

(5.9)

ln acesie legi ale impulsului nu apar decit fortele extern.e care actioneaza asupra siste, mulni (cele internP dau rezultanta nula).

155

"' Daei sistemul este izolat ~Sau dael rezuUanta lortei~r e:derne permanent iiJlpulsuJ total al sistemului se eonserva.

Aceasta lege este attt de generala !li de importanta · inctt uneori este formula til ~i nmoscuta sub numele de principiul conser"drii impulsului pentru sisteme izolate, alaturi dt· principiul conser"arii energiei.

N umai prin interac#une cu mediul exterior se transmite mifcare ,i se schimba impulsul tt;lal al sistemului.

D~i fortele interne nu pot schimba ·impulsul total al sistemului, ele schimba in gene~ ral impulsurile piir/ilor componente ale sistemului, adica redistribuie impulsul in interiorul si_stemului, tocmai ca urmare a interactiunii dintre piirlile sistemului ..

5.4. CENTRUL DE MASA AL UtJUJ SISTEM DE DOUA PARTICULE

Vom introduce acum no~iunea de centru de masa (CM) al unui sistem -­un punct asociat sistemului care caracterizeaza oarecum ,global" distrihu~ia de masa a sistemului §i se hucura de proprieta~i 'remarcahile.

Pentru doua particule de aceea~i masa m1 = m2, centrul lor de masa se afla la mijlocul distan~ei dintre ele, pe dreapta care une§te cele doua parti­cule. Daca particulele au mase diferite, centrullor de masa se va gasi tot pe dreapta. care le une§te, dar mai aproape de particula de masa ma.i mare. l}i anume, distan~ele CM pina la cele doua pa.rticule sint in raport i'nvers cu ma;;, sele lor (fig. 5.2):

~! = m2 sau m 1d1 = mzdz, de unde d1 = ~ d, unde d = d1 + d2• (5.10)

~ ~ . ~+~ . ~

Sa gasim vectorul de pozitie reM al centrului de masa. Ohservam ca ~ ~ ~

reM se coinpune din r1 plus vectorul d1 dus din m1 spre C JJtl. Dar d1

0

Fi~. 5.2. Centrul de masa (Ci\tl) al unui sistem d t' doull pat·ticule.

150

sau

Relatia vectoriala (5.11) scrisa pe componente, de exem·· plu tn cazu.l plan, ne da !;om·do­nate)e centrulni de masii:

(5.12)

De exeJnplu, alegind axa Ox pe directia celor dona particule (fig. 5.2). c·u originea in m1 ~i sensu} spre m2, avem:

0 d . m1 • 0 + m2d d X1 = , Xz = §1 XcM = · = 1·

mt + m2

Vom demonstra doua proprieta~i remarcahile ale centrului de masa. a) Sa calculam viteza centrului de masa. Pentru doua momente succes1ve

t, t' avem (notam m = m1 + m2 - n1asa sistemului): -+ ~ ~ ~ ~ -+

mrcM = m1r1 + nizrz; mrcM - mlr; + mzr;.

De unde prin scadere memhru cu memhru: -->- -+. -+ ~ -->- ~ ~ -+ _,.

m(rcM - reM) = m 1 (r~ - r1) + mz(r; - rz) sau m~reM = m1~r1 + m2 f:t.r-2

§i impar~ind la intervahll de timp ~t = t' - t:

sa u ~ -+ _,. ->-

mtVJ. + mzvz = Pt + Pz P. (5.13)

cu cu

Observatie. Centrul de masa se poate defini plecind de la expresia impul­sului total al sistemului. ln adevar, srriind impulsul total al sistemului astfel:

·-+ -+ -+

P = m1v1 + mzVz

-+- -+

~ ~ ~-(~rt : m2r2 J . ~(Tntrt + m~2) = m , (m = fflt + mz),

~t ~t

se vede ca punctul definit prin vectorul de pozitie:

-+ 1 ~ -+ reM= - (m1r1 + mzrz)

are proprietatea remarcahila ca viteza sa tnmultita cu masa sistemului ne da impulsul total, ca f" cum toata masa s1stemului ar fi concentrata in centrul

demasa ~I s-ar mi§Ca cu v1teza acestu1a. -: · b) Sa caiculam acceleratia centrului de masa:

-+ -+ -+ -+ - - -+ -mvcM = P, mvcM = P', m(vc.M- veM) = P'- P,

~i tinind seam a de (5.8): ·+ ..

macM =F. (5.1'.)

157

externe este egali eu masa sistemului inmulHta eu t

aeeeleraj~ eelltWotun Prin urrila.re, centrul de masa· se comporta ca un punct material avind

rnasa eg~la cu masa sistemului ~i supus fortelor externe, ca ~i cum intreagH masa a sistemului ar fi concentrata in CM ~i for~ele externe ar actiona in CM.

Daca sistemul este izolat (sau rezulta.nta for~elor externe este nula), e.entrul de 1nasa va fi in repaus sau in mi~care rectilinie uniforma.

5.5. CENTRUL DE MASA AL UN Ul SISTEM OARECARE DE PARTICULE ·

Formula (5.11) se generalizeaza U!?Or pentru un sistem format dintr-un numar oare­care de particule.

Fie 3 particule. Calculam intli centrul de masa a doua particule, de exemplu -+ -+

-+ mtrt + m2r2 . . r12 = ~ + m

2

!?I, i;nlocumdu-le cu o singura particula de masa (m1 + m2) situata

-+ in r12, calcuHim centrul de masa dintre aceasta !?i particula m3 :

-+ ( )-+ -+ -+ -+ -+ _ m1 + m2 r12 + mara m1r1 + m2r2 + m:ta r CM - = --=:.-=--:...__--=:..-=--.;:...__...:L..::

(m1 + m2) + m:J m1 + m2 + ma

Procedind astfrl din aproape in aproape obtinem in general:

-+ -+ -+ -+ n m1r1 + mar2 + ... + mnrn 1 "" -+

reM = - t....t m~trk· (5.15) m1 + m2 + ... + mn m k=l.

Dadi un corp omogen poseda un plan de simetrie, atunci grupind ca mai sus doua cite doua particulele identice simetrice (situate de o parte !?i de alta a planului de sime­trie), gasim ca CM se afla in planul de simetrie. La fel se intimpla in cazul unei axe de simetrie sau in eel al centrului de simetrie.

Dadi un corp omogen poseda un plan de simetrie, o axii de simetrie sau un centru de simetrie, centrul sau de masa se va giisi in planul de simetrie, pe axa de simetrie sau ln cen­trul de simetrie.

De exemplu, CM al unui cilindru omogen se afla pe axa sa; CM al unei sfere ornogene :-;e .a~la in c~ntrul sferei; .ClJ! al unui paralelipiped dreptunghic se afla in centrul para­Ielrpipedulm; CM al unm disc omogen subtire se afla in centrul discului; CM al unei placi omogene dreptunghiulare este in eentrul ei.

Subliniem ca G_JJf este un punct geometric asociat sistemului. a carui pozit.ie este determitwta de distributia masei. 1n C"lf pcate sa nu fie deloc mas'l, ca in cazul unui inel omogen. • t.n formula (5.~5) putei_U gru?a ter~enii sumei corespunzatori unui subsistem !?i ·mlocm cu masa subs1stemulm (M} mmultita cu vectorul de pozitie al CM corespunzator

-+ al subsistemului (R):

-+ unde Mj sint masele .subsistemelor ~i R; vectorii de pozitie ai centrelor lor de masiL

(5.16)

Formul,a (5.16) se scrie pe componente tntr-un sistem de coordonate convenabil.

158

r c

r ·0

b \ CM (xcM'Yc,.,J

t--~. Yc• L I [d 0\~-------~0------~1

0

mg mg

X

Fig. o.a. Calculul pozitiei t·t•ntrului de masa (CM) al unei pla.d onlt)gene.

}'ig. 6.4. Centrul de masa al unui obuz continua sa se mi!?te dupa explozie, ca centru de masa al schijelor, neperturbat

pe parabola (in vid).

EXEMPLU

Sa 'se calculeze CM al placii omogene din figura 5.3. ltezolfare. :fllaca fiind omogena, masele sint proportionale cu ariile !?i in (5.16) putern folosi ariile respective. Aleglnd axele ca 1n figura, avem

ad· !!:.. + (b ~ d)c • ~ 2 ' 2

d ( b - d) ad· "2 + (b - d)c • d + -2- -

X =--CJl 1d + (b d)c

YcM = ad+ (b- d)c

Cele doua teoreme privind CM, de la § 5.3, ramin valabile 9i in cazul unui sis tern oarecare. Astfel, de exemplu, dacii rezultanta fortelor externe este zero (sau daca sistemul este izolat), centrul sau de masa va fi in ;epaus sau in mi~care rectilinie uniformii, de~i par­tile sistemului se pot mi!?ca accelerat.

Mi!?carea centrului de masa este dfctata de fortele externe, fortele interne nu influen-teazii 1ni.~carea centrului de masa. De exemplu, daca un obuz care se mi9ca liber in vid (sub actiunea greutatii) explodeaza Ia un moment dat, centrul sau de masa continua sa semi9te, ca centru de masa al schijelor, neperturbat pe parabola, ca !?i cum nimicnu s-a tntlmplat, pina cind macar una din schije atinge pamintul !?i apare o forta externa care va devia CM de pe parabola (fig. 5.4).

tntr-un cimp gravitational omogen centrul de masa coincide cu centrul de greutate (punctul de aplicatie al rezultantei fortelor de greutate).

5.6. ~leCNIRI

Prin ci1cnirea a doua sau mai multe corpuri se intelege un proces de inter­actiune care dureaza un timp finit, astfel incit atit inainte, cit ~i dupa cioc­nire corpurile nu interactioneaza. La ciec.nirea corpurilor ma,croscopice inter­actiunea dur_eaza atit timp cit corpurile sint in contact §i acest timp de contact este foarte scurt fata de duratele obi§nuite (timpul de contact este de ordinul

milisecundelor). · La c.iecnirea a doua cwpuri (macrtscopice) putem distinge d•ua faze

sau etape. 'Imediat ce cerpurile vin in c,ntact incepe frinarea l•r recip~ca, brusca, ~i def~marea l•r. Energia cinetica de mi§care relativa a unui tt>rp fata 'de celalalt se transf•rma, prin lucrul 1necanic. al f•r~elor interne de cite~ nire. in energie peten~iala de deftr·mare a c~purilor. La un m•ment d:d

159

' vitezu relutiva a unui eorp fat a de ce1ala1t se redut:e la zero: iar defoi'HHt tiile lor sint maxime. Energia cinetica de mi~are relativa s-a transformat in energie potentiala de deformare §i in alte forme de energie (in special caldura). In acest moment corpurile au o vitez.a com una, se mi§ca soli dar §i in acest m.oment se termina prima faza a ciocnirii, numita faza comprimiirii. Imediat incepe faza a doua a ciocnirii: faza separarii. Corpurile incep sa se departeze unul fata de altu], viteza relativa a unui corp fata de celalalt cre§te, deformatiile lor se reduc, corpurile cauta sa revina Ia forma lor initiala. Energia poten!iala de deformare se transforma partial in energie cinetica de mi§care relativa a corpu­rilor. In momentul cind· se separa complet, se termina faza decomprimarii sau separarii.

La ciocnirea unor corpuri elastice (bile de otel, bile de filde~), deformatiile dispar dupa ciocnire, corpurile i§i recRv.ata forma lor initiala, energia cinetidi ,relativa" se restituie aproa.pe integral §i ciocnirea se cheama elastica. Dar, in general, dupa ciocnire ramin deforma~ii remanente, de exemplu I~ bilele de plumb sau de plastilina.

in timpul ciocnirii apar forte de interactiune mari intre corpurile care se ciocnesc, dar aceste forte dureaza foarte putin, atita timp cit dureaza ciocnirea (contactul dintre corpuri). Con'form legii actiunii §i reactiunii, fortele cu care actioneaza cele doua corpuri, unul asupra. celuilalt, sint egale in modul §i de sensuri opuse (fig. 5.5). Fortele normale se datoresc deformarii elastice reciproce a celor doua corpuri, iar fortele tangentiale se datoresc frecarii din­tre corp uri in planul de contact (intrepatrunderii asperita~ilor sau rugozita­tilor suprafetelor in contact).

Pentru sistemul format din cele doua corpuri fortele care apar in procesul ciocnirii sint forte interne §i dau rezultanta nula. Prin urmare aceste for~e nu ,pot schimba impulsul total al celor doua corpuri, dar il redistribuie intre cele doua corpuri. De exemplu, daca un vagonet Jove~te un altul aflat in repaus, acesta din urma va capata un impuls pe sea.ma impulsnlui primului corp: avem un transfer de mi§care mecanica §ide impuls de la un- corp la altul prin ciocnire.

In timpul foarte scurt cit dureaza ciocnirea, for~ele externe obi§nuite (de exemplu forte1e de. frecare sau fortefe de greutate) nu pot modifica sensihil

) /.

/''.,~L---t..J ',

,N

F'=-F

Ft~. 6.5. f~ortele eal'e apar la ci(knirea a doua rorpuri.

impulsul total al sistemului. De aceea chiar daca corpurile care se cio~nesc sint supuse la forte externe, putem totu§i scrie cons'ervarea impulsu­lui total al sistemului in sensul urmator:

Suma vectoriala · a impulsurilor corpurilor imediat inainte de ciocnire trebuie sa fie egala cu suma vectorialii a impulsurilor corpurilor imediat dupd ciocnire:

·-;.. ~ _,_ 4

Pinitial = P1 + Pz + ···· = Pfinal == Pt P::. + (5.17)

160

De exemplu, in cazul a doua particule:

~ ~ - -m1v1 + m2v2 = m1v; + mzv;. (5.18)

Ecua~ia de conservare a impulsului este o egalitate vectoriala. Ease scrie pina la urma pe componente intr-un sistem de coordonate ales converiahil.

Astfel, daca inainte §i dupa ciocnire particulele se mi~ca pe acee~i dreaptd - cazul unidimensional alegem aceasta dreapta Ji'ept axa Ox §i atunci ecua~ia de conservare a hnpulsului devine:

m1v1 m2v2 = m1v; + m2v;, (5.19)

unde vitezele initiale v1, v2 §i cele finale v;, v;, pot fi pozitive sau negative dupa cum pa.rticulele se mi§ca in sensul pozitiv ales sau eel negativ al axei.

5.6.1. Ciocnirea plastica (total neelastica). Un caz particular important al ciocnirilor este ciocnirea total neelasticd sau plasticg. ln acest caz, prin cioc­nire corpurile se cupleazii, se lip esc ~i i§i continua mi§carea impreuna, cu ace-ea§i viteza com una. Exemple: · cind aruncam o piatra intr-un vagonet sau alergam dupa un vagonet (tramvai, harca) §i sarim in el sau.,_ cind un glont ramine infipt intr-o tinta sau un obiect fragil cade jos pe podea etc. Reversul acestor ciocniri este cazul descompunerii sau desfaeerii unui corp in mai multe fragmente (de exemplu cazul exploziei unui ohuz). Dadi filmam acest proces ~i proiectam filmul in sens invers, ohtinem exact cazul ciocnirii plastice; §i invers, o ciocnire plastica filmata §i proiectata in sens invers apare ca o dez­agregare, descompunere sau e.xplozie. De aceea §i aceste procese de descom­punere pot fi inglohate in categoria de docniri plastice. De exemplu, sarim din mers dintr-un vagonet (carucior, barca) sau aruncam dintr-un vagonet sau harca diferite obiecte etc. In toate aceste cazuri se aplica evident legea con­servarii impulsului.

-+ -+ Fie doua particule cu masele m1, m2 §i vitezele v11 v2 care se ciocnese plastic., '

. ~ -+

lnainte de ciocnire avem doua corpuri cu impulsurile m1v1, mzvz, iar dupa ciocnire a.vem un singur corp de masa m1 + m2 §i viteza v'. Scriem legea con­servarii impulsului total:

Viteza finala se poate afla ~i grafic. Reprezentam la o anumita sca.ra vitezele ~i im­pulsurile (fig. 5.6). Compunem

-+ vectorial impulsurile m1v1 §I

~

m2v2 ( dupa regula paralelogra-mului) ~i rezultatul il impartim la. masa tetala m1 + m2.

11 - Fizica cL a IX-a

(5.20)

Fig. 5.6. Cioenirt>a pla~lidi a doua pt-u·lic·ule.

161

In cazul unidimensional forJ!lula (5.20) devine

v' = mtvt + m2v2 •

mt + m2 (5.21) 1 . . .

f nA c.wcnirea plastica o parte din energia cinetica a. corpurilor se trans-orma In alte forme de energie (in special in cal dura):

1 2 1 1 2 mlvt + 2 mzv~ = 2 (mz + ml)v'2 + Q,

Q- A.E 1 2 1 1· · - - c = 2 mlvt ·+ 2 mzv~ - 2 (ml + m2)v'2.

(5.22)

Introducind aici pe v' din (5.21), oh~inem~:

Q = - AEc = ..! m1m2 1 -~.::o.._ (vl - Vz)2 = - m v2 2 m1 + m2 . 2 r r' (5.23)

unde Vr = V1 - Vz este viteza relativa (a particulei 1 fa~a d~ particula 2), iar ~r se. nui_fle~te ma~a redusa a celor doua particule. Prin urmare numai imer­gia einetwa d.e mi~care relativa (a unei particule fa~a de alta)' dis . ~l"A prin cuplarea partiCulelor, transformindu-se in alte forme de energie. P~~..,

EXEMPLU

Doua carucioare de mase m - 1 oo ka · cu vi't I t - , o• mz = 2,00 kg se ml~ca unui spre eelaialt

eze e vt = 1,00 m/s v - 2 00 I p · · . . (ciocnire I t' a) C ' 2. -. - ' m s. rm cwcmre carucwareie se cupleaza pierduta/ as Ic . .are va fi viteza lor comuna dupa ciocnire ~i energia cinetica

Rezol(}are Am ales axa Ox in 8 1 · v .. •

t ·t. . ensu mi~carn pr1mului carucior, de aceea viteza v e: e nega IVa. Scriem con·servarea impulsului: 2

~vt + m2v2 = (ml + m2}v', v' = mlvl + m2v?. mt+m2 ,

v' = 1,00 kg· 1,00 m/s - 2,00 kg· 2,00 m/s .· 1,00 kg + 2,00 kg = -1,00 m/s.

Semnul minus arata ca d v • • •

. . upa ciocmre ~~ cupiare carucioarele se vor mil?Ca In sensul fc~:t~v a:~~:e~ ~lese 10~, ~~icia in. sensul vitezei initiale a celui de-al do ilea carucior

. Impu s m1..,1a ma1 mare). Ener~Ia cinetica pierduta (vr = v1 _ v2 = 1,00 _ ( _ 2,oo) = 3,00 m/s);

Q _ A£ 1 m1m2 - - u c = - ---- (v - v )2 - 3 00 J

2 ml ·+ m2 1 2 - ' - .

. 5:6.2 . . Cioc.nirea perfect elastica. Un alt caz particular simplu al ciocni-rllor ... es.te c~ocnirea P_erfe~t el~sticd. In acest caz deforma~iile corpurilor dis ar dupa .Ciocnire, .en;rgia Cinetwa ,relativa", transformata in timpul ciocnirifin e~:rgie ~ot~n~I~la de deformare elastica, se restituie integral in energie cine­twa dupa cwcmre.

162

Ciocnirea este perfect elastica daca energia cineticd a corpurilor se conservd prin ciocnire, adica energia cinetica totala a co~urilor inainte de ciocnire este egala cu energia cinetica total a a corpurilor dupa ciocnire:

1 2 1 2 1 '2 1 '2 - m1v1 + - m2v2 = - m1v1 + - m2v2 • 2 2 2 2

(5.24)

Binein~eles, mai a vern ~i ecua.~ia de conservare a impulsului total: ~ ~ ~. ~

m1v1 +' m2v2 = m1v; + mzv;. (5.25)

In natura nu exista riguros ciocnire perfect elastica intre corpuri macro­scopice, dar de multe ori corpurile elastice (de exemplu hilele de filde~, de o~el, carucioarele prevazute cu tampoane-resorturi elas.tice) la ciocniri u~oare veri­fica hine condi~ia (5.24).

De obicei cunoa~tem masele ~i vitezele ini~iale ale corpurilor ~i vrem sa aflam vitezele lor finale. Avem o ecua~ie de conservare a energiei cinetice (5.24) ~i trei ecua~ii algebrice (pe componente) de conservare a impulsului (5.25), deci 4 ecua~ii, ~i 3 + 3 = 6 necunoscute pentru componentele vite­zelor finale. Prin urmare, in cazul general al ciocnirii in spatiu a doua par­ticule, datele ~i ecuatiile de mai sus nu sint suficiente. in cazul ciocnirii in plan vom ·avea 1 + 2 = 3 ecua~ij ~i 2 + 2 = 4 necunoscute, deci trebuie sir mai cunoa~tem o data asupra ciocnirii.

In cazul unidimensional, cind atit inainte, cit ~i dupa ciocnire particulele se mi§ca pe aceea$i dreapta pe care o alegem drept axa Ox, avem dona ecua~ii de conservare §I doua necunoscute:

(5.26)

m1v1 + m2v2 = m1v~ + m2v;. (5.27)

Sistemul se rezolva astfel. Trecem termenii care con~in pe m1 in stinga ~~ pe cei care con~in pe m2 in dreapta:

ml(vi - v?) = m2(v;2 - v~) sau

lmpar~im membru la memhru cele doua ecua~ii:

7h + v~ = v; + Vz sa;u v; = v~- v; = -(Vt - Vz) = - 'L'r· (5.28)

Aici v~ - v; reprezinta viteza relativa v;, a particulei 1 fa~a de particula 2, dupa ciocnire, iar v1 - v2 reprezinta viteza relativa vr imiinte de ciocnire. Prin urmare, in ciocnirea perfect elastica unidimensionala a doua particule una. din ele (de exemplu prima) se apropie de cealalta cu o anumita viteza relativ~ vr=v1 -v2, o love§te.§i se intoarce inapoi cu o viteza relativa. egala in modul dar de semn schimhat.

163 ll*

~cuatia (5.28~ im~reun~ cu ecuatia de conservare a impulsului (5.27) ne pe~~Ite sa. aflam 1med1at v1tezele finale vi, v'2 dupa ciocnirea. perfect elastica umd1menswnala a doua particule;

I nt 1 -/m2 , " Vt ---- 'l1t, v2 = v1• (5.30)

m2+ ml ml + m2

~e :ved~ ca in acest ca~ corpul 2 va capata o viteza v; in sensul in care este .ovit ~v2 es:e de acela~I semn cu v1), in timp ce primul corp se poate intoarce 1nap01 daca masa sa m1 este mai mica -deeit a celui de-al doilea corp.

b) Daca masele sint egale, din (5.29) rezulta ca v1' = v2 v' = v corpurile h' b" . . . ' 2 ll

sc. 1m a v1tezele intre ele, ca §i cum ar trece unul pe linga celalalt fara sa se atmg~, unul luind locul celuilalt. In acelea~i condi~ii (adica m1 = m2), daca ~I dollea. corp era in repaus {v2 = 0), at unci primul corp se opre~te (v; 0), Iar a~ dmlea porne~te cu viteza primului (v~ = v1). Aceste rezultate sint fru­mos Ilustrate de urmatorul experiment.

EXPERIMENT

. Suspend am doua bile identice pe fire paralele egale (fig. 5. 7). Daca deviem o hila cu un anumit unghi ~iii dam drumul sa se ciocneasca cu cealalta atunci . . . . ~ ' pr1n ~10cn1re pr~ma se va o~ri, iar a doua va fi deviata aproape cu acela§i unghi ca ~rima. Dup~ aceas~a, ?Ila a do~a,se intoarce inapoi §i o love§te pe prima, op~I~du-~e la r1ndul. ei, §I a§a mai departe pina ce mi§carea se stinge sau se striCa (bdele nu mal rarriin in acela§i plan vertical, daca nu sint perfect cen­trate sau daca nu sint suspendate fiecare prin 2 fire in forma literei V).

~aca :cu~ b~la deviata are masa mai mare decit cea aflata in repaus, at unci dupa cwcn1re ea va devia in continuare; daca are masa mai mica ea va fi deviata inapoi. .'

Obser:am.~a i~ orice fel de ciocnire impulsul total al sistemului (izolat) se conserva, fundca rezultanta for~elor interne de ciocnire este totdeauna zero ... (pr~~cip~ul III), in timp ce energia cinetica totala in general nu se con­serva, fundca lucrul .mecanic al fortelor interne nu este in general zero ~i

a b c

2

164

·ptg. 5.7. Ciocn irea a doua bile identice, dintrr ('are una este

in repam;.

at unci o parte din energia cinetica se trans forma in alte forme de energie (cal­dura sau alte forme disipate in mediu). In cazul exploziilor (descompunerilor) se creeaza energie cinetica pe seama altor forme ale energiei interne ( chimica etc~).: Bineinteles, energia totala a sistemului izolat se conserva (principiul

conservarii energiei). 5.6.3. Cioenirea eu un perete. In copilarie ne-am jucat cu mingea, arun-

cind-o pe podea sau pe perete §i apoi prinzind-o. Observatii simple ne arata ca daca aruncam mingea perpendicular pe perete (sau pe podea), ease intoarce inapoi tot perpendicular pe perete cu o viteza egala in modul, dar de semn schimbat, fata de viteza initiala.

In teoria ciocnirilor se intelege pri~ ciocnirea cu un perete - ciocnirea cu un corp de masa foar~e mare, astfellncit oiteza acestuia nu se schi"!ba pri·n cioc-

nire. Acesta este cazul ciocnirii unei mingi cu podeaua sau cu un perete (eventu-

al mobi.l) sau cazul ciocnirii unei molecule de gaz cu peretii vasului in care se gase§te gazul sau cu pistonul (mobil) daca gazul se afla intr-un cilindru cu.

piston. Sa consideram ciocnirea perfect elastica (unidimensionala) cu un corp de

masa m2

foarte mare (fata de m1). Sa transcriem atunci formulele (5.29) sub

urmatoarea forma:

v~ = 2 -=---- - v1; v; = 2 -=---- .- v2. (5.31.)

Daca masa m2

este foarte mare, atunci fractia m1 va fi foarte mica §i pen­m2

tru m2

extrem de mare, fractia m1/m2 se va mic§Ora pina la zero. Atunci formulele de mai sus devin (punind m1/m2 = 0):

v~ = 2v2 - Vt, v2 = v2, (5.32)

adica in adevar viteza pereteiui (de masa m2) nu se schimba prin ciocnire (v; = v

2). Prima formula se ob~ine · §i direct din condi~ia (5.28) pentru viteza

relativa in ciocnirea perfect elastica unidimensionala, daca punem, v; = v2•

. In cazul cind peretele este in repaus (v2 = 0 = v;), ob~inem rezultatul a§teptat: v~ = -v1, adica particlJla se intoarce ina poi (rico~eaza) cu aceea~1 viteza in modul (fig. 5.8, a).

Fig. 5.8. Cioenirea perfect elastica cu un perete in repans: a) frontala,

b) oblidi.

... v

165

t V=-V

a b

~cua~ia (5.28~ im~reun~ cu ecua~ia de eonservare a impulsului (5.27) ne pe~~Ite sa. aflam 1med1at v1tezele finale vi, v'2 dupa ciocnirea. perfect elastica umd1menswnala a doua particule:

1 n~ 1 -/ m 2 , • Vt ----VI, V2 = VI· (5.30)

m2 + m1 m1 + m2

Se vede ca in acest caz corpul 2 va capata o viteza v:) in sensu! in care este ~ovit ~v; es:e de acela~i semn cu vi), in timp ce primul corp se poate intoarce Inapm daca masa sa mi este mai mica .d.Qcit a celui de-al doilea corp.

b) Daca masele sint egale, din (5.29) rezulta ca v~ = v2 v' = v corpurile h' b" . . . ' 2 Il

sc. 1m a v1tezele intre ele, ca ~i cum ar trece unul pe linga celalalt fara sa se at1ng~, unul luind locul celuilalt. ln acelea~i condi~ii (adica m1 = m2), daca ~I dollea. corp era in repaus (v 2 = 0), at unci primul corp se opre~te (v; 0), Iar al dollea porne~te cu viteza primului (v~ = v1). Aceste rezultate sint fru­mos ilustrate de urmatorul experiment.

EXPERIMENT

. Suspend am doua bile identice pe fire paralele egale (fig. 5. 7). Daca deviem o hila cu un anumit unghi ~i ii dam drumul sa se ciocneasca cu cealalta at unci . . . . - ' pr1n ~10cn1re pr~ma se va o~ri, iar a doua va fi deviata aproape cu acela§i unghi ca ~rima. Dup: aceas~a, ~Ila a do~a · se intoarce ina poi §i o love§te pe prima, op~I~du-~e la r1ndul. ei, ~~ a~a ma1 departe pina ce mi§carea se stinge sau se strwa (bdele nu ma1 rarriin in acela~i plan vertical, daca nu sint perfect cen­trate sau daca nu sint suspendate fiecare prin 2 fire in forma Iiterei V).

~aca :cu~ b~la deviata a~e masa mai mare decit cea aflata in repaus, at unci dupa cwcn1re ea va dev1a in continuare; daca are masa mai mica ea va fi deviata inapoi. '

Ohser~am .. ca in orice fel de ciocnire impulsul total al sistemului (izolat) se conserva, fnndca rezultanta fortelor interne de ciocnire este totdeauna zero" (pr~~cip~ul III), in timp ce energia cinetica totala in general nu se con­serva, fnndca lucrul .mecanic al fortelor interne nu este in general zero §i.

2

Q b c

2

164

},fg. 5.7. Ciocnirea a doua bile identice, dintrr •·are una este

in repam;.

at unci o parte din energia cinetica se trans forma in alte forme de energie (cal­dura sau alte forme disipate in mediu). ln cazul exploziilor (descompunerilor) se creeaza energie cinetica pe seama altor forme ale energiei interne (chimica etc~).. Binein~eles, energia totala a siste1nului izolat se conserva (principiul

conservarii energiei). 5.6.3. Cioenirea eu un perete. ln copilarie ne-am jucat cu mingea, arun-

cind-o pe podea sau pe perete ~i apoi prinzind-o. Ohservatii simple ne arata ca daca aruncam mingea perpendicular pe perete (sau pe podea), ease intoarce inapoi tot perpendicular pe perete cu o viteza egala in modul, dar de semn schimbat, fa~a de viteza ini~iala.

In teoria ciocnirilor se in~elege pr:in ciocnirea cu un perete - ciocnirea cu un corp de masa foarte mare, astfel incU CJiteza acestuia nu se schimba prin cioc-

- .

nire. Acesta este cazul ciocnirii unei mingi cu podeaua sau cu un perete (eventu-

al mobi.l) sau cazul ciocnirii unei molecule de gaz cu peretii vasului in care se gase~te gazul sau cu pistonul (mobil) daca gazul se afla intr-un cilindru cu.

piston. Sa consideram ciocnirea perfect elastica (unidimensionala) cu un corp de

masa m2

foarte mare (fata de m1). Sa transcriem atunci formulele (5.29) sub

urmatoarea forma:

mt 'Vt + v2

v~ = 2 _m_2:;__ __ - vi;

mt - V1 +''2 v; = 2 _m~2=----,- V2· (5.31.)

Daca masa m2

este foarte mare, atunci frac~ia m1 va fi foarte mica §i pen­m2

tru m2

extrem de mare, frac~ia mi/m2 se va mic§ora pina la zero. Atunci formulele de mai sus devin (punind mifm2 = 0):

v~ = 2v2 - VI, v; = v2, (5.32)

adica in adevar viteza pereteiui (de masa m2) nu se schimba prin ciocnire (v; = v

2). Prima formula se obtine §i direct din conditia (5.28) pentru viteza

relativa in ciocnirea perfect elastica unidimensionala, daca punem, v; = v2•

. In cazul cind peretele este in repaus (v2 = 0 . v;), ob~inem rezultatul a§teptat: v~ = -v1, adica particlJ}a se intoarce ina poi (rico§eaza) cu aceea~i viteza in modul (fig. b.8, a).

Fig. 5.8. · Cioenirea perfect elastica cu un perete in repans: a) frontala,

b) oblidL

-v

165

t V=-V

a b

In sfir~it, daca particula love~te oblic 'i perfect ela,stic un perete aflat in repaus, ea rico~eaza suhun unghi de ,reflexie" rx', egal cu unghiul de ,inciden~a" (de c_adere) rx ~i

~ ~

cu viteza v' este egala in modul cu viteza v (fig. 5.8, b):

~ ~

I v' I I v !, I rJ. =rJ.. (5.33)

Verificarea experimentala a legilor de . conservare la ciocniri se poate face de exem­plu cu dispozitivul simplu din figura 5.9.

Fig. 5.9. Dispozitiv pentru verifi- Doua bile de mase mh mz cunoscute carea legilor de conservare Ia

ciocniri. sint suspendate pe fire paralele apropiate, de lungime l( :....so em). Bila m1 este deviata,

astfel incit firul sau de suspensie sa se deplaseze cu o distan~a x( ""5 em), masurata pe o rigla gradata; hila m2 ramine in repaus. Dupa ciocnire not am iara~i distan~ele x~, xk cu care deviaza firele de suspensie al~ bilelor.

Viteza imediat inainte sau imediat dupa ciocnire se exprima prin inal~imea respectiva h : v = v· 2gh (fig. 5.9). Conform figurii 5.9, din asemanarea triunghiurilor· dreptunghice rezulta:

JL = 1

-- h , dar y = Vl 2 - (l - h) 2 = Vii(2l - h). a; d

Considerind Jevieri cu unghiuri mici, deci h -~ l, putem scrie aproximativ (neglijind pe h Lt tfi de l ~i 2l):

~i deci viteza

unde

Y "'"'V2hl, de unde V2h ~ ~ V1 d

v = V2gh r"'V x Vft = Cx,

c =Vii, d

(5.34)

este constanta aparatulni pe care o calculam de la hun inceput.

Alegind o deviatie x 1 ~i masurind d eviatiile x; ~i x;, .cal~ulam vitezele v~ ~i v; cu (5.34) ~i le c01nparam cu v itezele teoretice calculate cu (5.30) in cazul ciocnirii perfect elastice.

In cazul ciocnirii plastice trebuie verificata relatia (v2 = 0):

v' = m1 v1• (5.35)

ml + m2

ln acest caz, bilele trebuie sa se lipeasca (cupleze) (bile din plastilina sau alt material convenabil).

Cu o anumita tndemtnare se pot masura direct tnal~imile h cu ajutorul unei rigle atezate vertical pe masa in dreptu1 bilei respective.

166

PROBLEME REZOL VA TE

1. Un corp de masa m = 10,0 kg, avlnd viteza initiala v0 = 10,0 m(s, este .rrtnat cu .o forta constanta F = 50 N (pe aceea~i directie cu viteza), Sa se afle t1mpul pmllla cprt·· rea corpului. • • .

~ -+ -+ ~ . Rezolvare. Scriem legea impulsului: F b.t = 6.p = mv -: mvo·. Dac.a 6.t este tl~pul ptna la oprire, atunci viteza finala v = 0 (conditia de oprtre ) ~~ protectind ecuatla pe axa mil?dirii:

mv0 10,0 kg· 10,0 m/s = 2,0 s. F b.t = 0 - mv0 , D.t =="= -- = · F 50 N

Analog, daca un corp este aruncat vertical in sus cu viteza initial~ Vo, atunci forta de greutate il frineaza l?itimpul de urcare va fi: tv.,= mv0/mg = vo/g (rezultat cunoscut).

2. 0 minge cu masa m = 0,100 kg lovel?te ~rontal un perete cu viteza v = 5,0 m/~. Dad\ timpul de contact cu peretele este D.t = 1,0 ms, ,sa se afle. for~a mrdJe care apare Ia contactul dintre minge fJ'i perete.

Rezolvare. Sa scriem legea impulsului .pentru min~e· _,. ...,. _,. . _,. _,.

(fig. 5.S, a): Fmb.t - mu'- mv. Dar v' = -v din I -+

eonditia de ciocnire perfer·t elastica, atunci FmD.t = _,.

~~ 2mv -2mu, Fm =---. Prin urmare, forta exerei-

D.t tA.ta asupra mingii din partea peretelui este perpen­diculara pe perete ~i de sens opus vitezei initiale l?i are valoarea:

Fm = 2mv = 2 • 0,100 kg • 5,0 m/s = t:o. 103 N. D.t 1,0 • to-a s

}~ig. 5.10. Variatia impulsu­lu·i la ciocnirea oblica perfect elastica cu un perete in re­paus (problema rezolvata 2).

Daca mingea lovel?te oblic peretele (fig. 5.10), atunci variatia impulsului se obtine ~ ~ ~

prin scaderea vectoriala: 6.p mv'- mv (fig. 5.10). ln vaJoarea absoluta

~ 2mv cos or. I 6.p I = 2 mv cos or., Fm = ---:--:--- (5.36)

~i forta este de asemenea perpendiculara pe perete.

3*. Un elev sta pe un carucior aflat in repaus l?i tine in miini doua bile, !ieca:e de ~asa m = 2,00 kg. 'Masa elevului l?i a caruciorului este M = 60,0 kg. Elevulimprlm~ bil~lor Q viteza u = 3,1 m/s relativa Ia el tnainte de aruncare (ceea ce inse~~a ca 1~pr~ma bilelor acelal?i impuls F6.t m Vfinal - m ViniJial = m u). C~re va f1 v1teza ~mala. a caruciorului, daca elevul arunca bilele in acel~i sens: a) s1multan, b) succesiV? C1ta energie cinetica creBaz:a elevul?

Re:.ol(Jare. a) La aruncarea simul tana,:

V ' = _\.2m u --~ - 0,62 0 21 I ll = Mv' + 2mu, - , m 8 i M 3

6.Ec = .!!!_ (M + 2m)u2 = 20,5 J. M

Viteza imprimata caruciorului este opusa vitezei de aruncare a bilelcr (semnul minus) b) La prima aruncare;

m · 1 M +2m 0 = (M + m)v1 + mu, v1 =- u; AEc1 =- mu2 ---~ = 9,92 J,

M+m 2 M+m

167

·-.· La a doua aruncare: (M + m)v1 = Mv2 + m(v1 + u),

m m(2M +·m) 0,61 V2 = v1 - u- = - u = - -- = -0,20, lv' I> 1 v2 !; · M M(M+m) 3

L~.Ec2 = ~ mu2 M + m = 9,93 J. 2 M

In toate ecuatiile de conservare a impulsului vitezele corpurilor trebuie luate fata de acel~i sistem de referinta (Pamtntul), de aceea tn ultima ecuatie apare viteza bilei vi + u fata de Pamtnt, fiindca bila are deja viteza caruciorului v1 la care se adauga viteza u imprimata fata de carucior. Se poate scrie ecuatia a doua ~i fata de sis- · temul de referinta care se mi~cii cu viteza v1 a caruciornlui: o = Mv; + mu, unde

v; este a doua viteza a carl!ciorului fata de prima viteza v1• Atunci fata de. Pamtnt:

V2 = V1 + v; ~i regasim rezultatul de mai sus. Sa reluam problema, dar considerind ca elevul arunca bilele in sensuri opuse:

a) simultan, b) succesiv. · a) La aruncarea simultana: 0 = Mv' + mu- mu, v' = 0, ceea ce era de a~teptat; cele doua impulsuri imprimate se compenseaza fiind egale in modul ~i de sensuri opuse:

l:!J.Ec = mu2 = 19,22 J.

b) La prima aruncare: 0 = (M + m)v1 + mu,· v1 - ~- u ~i la a doua m+M

aruncare:

(M + m)vl = Mv2 + m(v1 - u), v2=v1 + !!!_ u = m2

u = _.!_ ~ = 0,0033 m/s, M M(M + m) · 300 s

deci caruciorul va capata ptna la urma o viteza in sensul primei arundiri, ceea ce. era de a~teptat deoarece a doua aruncare are efect mai puternic asupra caruciorului, acesta avind acum o masa mai mica. Energiile cinetice create slnt acelea~i ca la aruncarea succesiva In acelal]i sens.

lNTREBARI. EXERCITII. PROBLEME

1. Un meteorit arde in atmosfera, fara a ajunge la suprafata Pamtntului. Unde dispare impulsul sau?

R: partial in particulele de ardere, partial in moleculele de aer lovite.

2. Un disc omogen se rote~te in jurul axei sale fixe. Care este impulsul sau total?

R: zero.

3. Cum s-ar putea intoarce un cosmonaut, ie~it in spatiul cosmic, tnapoi la nava cos-­mica, daca cablul care-lleaga de nava se rupe, ~tiind ca cosmonautul are cu el o trusa de .Jnstrumente?

R: arunca instrumentele in sensul opus.

4. Pe o scindura sta un om. Cum se va incovoia sdndura in primul moment cind omul brusc se ghemuie~te? Dar daca, odata ghemuit, se ridica brusc?

R: se ridica ; c9boara.

~. lnthnplarea povestita de Munchhausen ca ar fi ie~it dintr-o mla~tina (cu cal cu tot) tragindu-se cH putere de par in sus poate fi adevarata.?

R: nu.

168

6. Poate un om sa se ridice pe el insuf;ii, traglnd de un capiH al unei sfori, care este tre­cuta peste un scripete (cu axa orizontala. fixit) ~i leg-a til cu celalalt capat Ia briul sau? Cu ce forta trebuie sa traga de sfcari1?

R: F = G(l.

'1. S-ar putea propulsa o barca cu pinze, suflind aer spre pinze cu ajutorul unui ven~ tilator instalat in barca? Dar daca suflam alaturi de ptnze (adica tara a nimeri in pinze)?

R: nu; da.

8*. Def;ii fortele interne ale unui sistem nu pot modifica impulsul total (rezultant) al sis­temului, ele pot 'crea sau anihila doua impulsuri egale tn modul ~i de sensuri opuse purtate de doua parti componente ale sistemuluf (de exemplu in cazul exploziilor sau al ciocnirilor plastice). Cum ati putea explica inaintarea vapoarelor l?i a avioanelor cu elice?

R: impulsul navei este opus impulsului imprimat fluiduluL

9. Caracatitele se pot deplasa cu o viteza pina la 60 m/s, ejectind periodic apa pe care o absorb. Pe ce principii se bazeaza deplasarea lor?

R: conservarea impulsului.

10. Daca umflam un balcn de cauciuc cu aer ~i fara a-llega la orificiu ii dam drumul eu orificiul in jos, ce se va intimpla? ·

R: se .va ridica in sus.

11. Ce se intimpla cu o barca w;mara cind ne deplasam pe ea de la un capat la celalalt? R: se deplaseaza in sens invers.

12. Daca pe un carucior este suspendat un pendul ~i H dam drumul sa cscileze, ce se va intimpla cu caruciorul?

R: va oscila~Jn sens in vers

18. a) De ce cind atingem Pamintul dupa o saritura trebuie sane mai ghemuim (indoind putin picioarele)? Dar daca am sta tea pan? b) De ce putem sari fara pericol de la etajul doi sau trei pe o piasa elastica intinsa deasupra solului? c) Cind un fotbalist prinde mingea, el relaxeaza putin inu~chii miinilor ·~i se retrage putin inapoi impreuna cu mingea. De ce'? Daca ar sta teapan ~i ar tine miinile teapan, ce s-ar in timpla?

R: forta: medie de impact (ciocnire) este invers proportianala cu durata ciocnirii (v. 5.36).

14. Pe o masa de biliard stau doua bile de diametre egale, dar probabil de mase dife-­rite. Cum putem determina fara cintar sau alte aparate, daca bilele au mase egale sau care anume are masa mai mare? ·

R: prin ciocnire, v {5.30).

4,0 N · s, iar energia cipetica Ec = 8,0 J. Sa se afle 15. Impulsul unui cotp e::ste p masa ~i viteza corpului.

2Ec 1,0 kg; v = -· =4,0m/s.

p

16. Ecuatia de mi~care a unui punct material de masa m 0,20 kg este x = 2 - t + t2•

Sa se scrie legea de variatie a impulsului. Rap= mv = -0,2 + 0,~ t.

17. Un punct material cu masa m = 1,0 kg se mi~ca circular uniform cu viteza v = 10 m/s. Sa se calculeze variatia de impuls in timpul: a) unei perioade, b) unei jumaUiti de perioada, c) unui sfert de perioada.

~

R: ! 11p I= 0; 2mv = 20 N • s; V2 · mv = tt.,t ~·s.

169

18. o biHI. cu masa m """ 100 g a cazut liber pe un pl9:n orizontal avlnd in momentullovirii 0 viteza " = 10 rn./s. · SEI. se afle variatia impulsului prin lovire, considerlnd ciocnirea: · a) perfect elastica, b) absolut inelastic& (plastici\). DacE!. durata ciccnirii a fost At = = 20 ms, care a fost forta medie_ de lovire?

R: a) Ap = 2mv = 2,0 N • s; Fm ·= Ap 100 N. At

b) fj.p = mv =- 1, 0 N • s ; F m = 50 N.

19. Un corp love!?te frontal un perete. In ce raport este forta medie de contact, in razul ciocnirii elastice, fata de forta din cazul ciocnirii plastke, dadl. timpul de ciocnire este acela~i?

R: 2.

20. Ce forta constanH'I. de frlnare trebuie aplicata unui tren de masa m = 600 t, care se mi~dl. cu viteza v0 = ?2 km/h, pentru a-1 opri in At 10 s?

R: F = mv0 / At = '1,2 MN.

21. Un corp cu masa m1 0,40 kg ~i viteza v1 = 5,0 m/s lovel?te un alt corp . care se mil?ca spre el pe aceea~i directie. Dupa ciocnire corpurile se opresc. Care a fost impul-sul celui de-al do ilea corp? "

R: p 2 = -m1v1 = -2,0 N · s.

22. Un vagonet de masa M = 20 kg se mi9ca cu viteza v 3,0 m/s. Ce viteza va capiHa vagonetul daca in el cade vertical un sac en masa m 10 kg?

R: v' = v ___!!___ -= 2,0 m/s. M+m

23. Doua bile de mase m1 1,0 kg ~i m 2 = 2,0 kg se mi~ca una spre cealalta cu vitezele v1 = '1,0 m/s ~i v2 = -2,0 m/s. Sa se afle pierderea de energie cinetioa (caJdura) prin ciocnirea lcr plastica.

R: Q = - AEc _!_ - m1m<>. - (v1 ~ v2 ) 2 = 3,0J. 2 m1 +m2

24. 0 hila de lemn cu masa M = 1,00 kg sta pe un suport inelar. Un glont de masa m = 10,0 g vine de jOS In SUS, love9te CU viteza Vo 300 mjs bila ~i ramine infipt in ea. Care va fi timpul de urcare al bilei pina Ia inaJPmea maxima? Cit a dildura se degaja?

m v 1 mM 2 R: fu = ~- = 0,30 s; Q = -- vo = 4!t6 J.

m +Mg. 2m+ M

25. Un om aflat intr-o barca trage cu afutorul unei sfori o a doua barca cu o forta con­stanta F = 1CO N. Masa primei barci impreuna cu omul este m1 = 100 kg masa celei de-a doua barci este m2 = 50 kg. Neglijind rezistenta apei, sa se afle vitezele barcilor dupa tit = 2,0 s.

R: v = F titjm1 = 2,0 m/s; v2 = F At/m2 = 4,0 mjs.

26. Un om de masa m = ?0 kg parcurge lungimea unei barci (de Ia ,prora Ia pupa) = 4,0 m. Cu cit se deplaseaza harca fata de -apa in acest timp, daca masa ei este M = 30,0 kg?

R: s = __!!!_ l = 2,8 m. m 1 M

27. Un vagon eu masa m1 10,0 t se d~:Jplaseaza pe o cale ferata orizontala en viteza initiala v0 = 10,0 mjs. Dupa un timp ~~ = 10,0 s,el se ciocnel?te l?i se cupleaza cu un al doilea vagon de masa m2 = 20,0 t aflat in repaus. tn timpul mil?ciirii, atit inainte cit ~·i dupa ciocnire, asupra fiedirui vagcn actioneaza o forta de frecare egala cu n = 98-a parte din ·greutatea respectivului vagon. Sa se a~le viteza primului vagon

170

inainte de ciocnire, viteza vagoanelor cuplate imediat dup& ciocnire, caldura degajata prin ·ciocnire, timpul ~i distant~ pin&_ la oprirea vagoanelcr euplate.

R: v = v0 - .!L ~~ = 9,0 m/s; v' = ~-- v = 3,0 m/s;

Q = 1._ m1m2v~

2 m1 + m2

n m1 +m2 ·

= 2 7 0 k j ~ ~t' === v' g/n

v'2 . 30 s; Ax' = ~-- = 45 m.

2gjn

28. Un obuz de masa Nl ?0 kg zboara cu viteza v 300 m/s. La un moment dat el explodeaza in dona fragmente. Unul dintre ele de masa m1 = 30 kg continua sii. se mi~te inainte cu viteza v1 = 500 m/s. Care este viteza celui de-al do ilea fragment? Cita energie cineticii se creeazii?

29. 0 molecula de masa m .5,0 • 10- 26 kg, aflata intr-un cilindru cu piston, se mi~dt

cu viteza v1 = 500 m/s ~i ajunge din urma pistonul care se mi~ca cu viteza v9 = = 1,0 m/s ~i de care se ciocne~te frontal perfect elastiC. Sa se afle variatia energiei cinetice ~i a impulsulni moleculei in urma ciocnirii.

R: AEc -2mv2 (v1 - v2 ) = -5,0 • 10-23 J; -~P = -2m(v1 - v2 )

= -5,0 · t0-23 N · s.

30. Douii bile de mase m1,m2 sint suspendate pe fire paralele, astfel incit bilele se ating. Prima bila este deviat~ pina Ia o inaltime h1 l?i lasata libt=>r. La re iniiltime se ridica bilele daeii ciocnirea este: a) elastica; b) plastka. (') Cita ulldura se degaja in ul timul caz '?

R :· a) h~ = ht ( mt - m2 )2 ; h; = hl (--~ )2 ; ml + m2 ml + m2

' ( mt 2 mtm2 h b) h = hl ) ; c) Q = --- g t· mt + m2 ml -~. m2

. . '

31. 0 particula de masa m 1 love~te o alta particula de masa rna aflata in repaus. Sa se afle ce fractiune din energia cinetica initiala a particulei 1 este transferaUi padirti · lei 2, dacii ciocnirea este unidimensionala: a) perfect elastidi; b) plastica. c;Ce frac­tiune se transform& in cal dura in ultimul caz?

R: a) 4m1m2

(ml + m2)2 c) __ m--=-2-

6 MOMENTUL CINETIC

Alaturi de mari~ile fiZice impuls ~i energie cinetica, momentul cinetic joaca un rol important in fizica, in special in caracterizarea mi~carii de rota(ie.

6.1. MOMENTUL FOR TEl. MOMENTUL CINETIC AL PUNCTULUI MATERIAL

6.1.1. Momentul fortei in raport ·cu un pun ct. Daca un corp are o articu­la~ie fixa in jurul careia se poate roti liber, atunci aplicind o forta corpului, el se va roti in jurul unei axe trecind prin articulatie. Axa de rotatie va fi per­pendiculara pe planul definit de articulatie §i forta (fig. 6.1).

Efectul de rota tie este acel~§i, oriunde am a plica forta pe dreapta sa suport, de exemplu · prin intermediul unui fir mai lung sau mai scurt. Daca supor-

. tul fortei trece prin articulatie, forta nu poate

Fig. 6.1. 0 forta aplicata unui ~orp, avind o articulatie, il ro­te~te in jurul unei axe trecind prin articulatie, perpendiculara pe planul definit de forta !?i articulatie. Efectul de rotatie este dai de morrientul forlei in

raport cu articula1ia.

produce rotatie, ci doar trage de articulatie. Efectul de rotatie este determinat atit de

marimea fortei, cit §i de distan 4~a· dreptei-suport a fortei pina la articulatie.

S e nume~te braful forfei fat a de un punct distan(a de la acel punct pina· la dreapta suport a fortei, adicii lungimea perpendicularei coborit e r/in acel punct pe dreapta suport a for(ei.

De exemplu,. daca in§urubam o pi-ulita cu 0 cheie, efectul depinde atit de marimea fortei aplicate, cit §i de hratul fortei, adica de lun­gimea cheii, daca aplicam forta la capatul cheii, perpendicular· pe cheie.

172

Prin urmare, efectul de rota.tie se poate masura prin produsul dintre forta ~i bra.tul ei: F · b. Mai mult, tinind. seama de directia axei de rota tie §ide sensul rotatiei produse, putem introduce un vector avind modulul Fb, directia data de axa de rota tie ~i sensul pe aceasta ·ax a dat de sensul de ina in tare al unui ~uruh ( drept~ rotit de forta aplicata ( ca §i cum corpul ar fi un §Urub r9tit

--'). '

cu forta F). Acesta este vectorul moment al fortei in raport cu articulatia. \' I --'). ___.

Pozitia fortei pe dreapta suport este data de vectorul de pozitie r = OA, --').

care formeaza unghiul ex cu vectorul forta F, at unci bratul fortei va fi b = = r sin ex ~i modulul momentului:

---').

M = bF = rF sin (r, F) = rF sin ex. (6.1) --'). --'). ' -

Prin urmare, din doi vectori r §iF se ohtine un al treilea vector M cu mo~ulul - --'). ~-I r I · IF I · sin (r, F) = rF sin rt., cu directia perpendiculara pe cei doi --vectori deci pe planullor [r, F] §i cu sensul pe aceasta directie dat de· sensul de inaintare al unui ~urub sau burghiu a~ezat pe aceasta directie §i rotit de

--'). -la r la F. Se introduce astfel o noua opera tie intre vectori (fig. 6.2).

--'). ~ - --').

Se nume~te produs vectorial a doi vectori a, b, notat a X b, un al treilea ~ --'). --'). ...,.. --'). - -...,..

vector c = a X b, avfnd modulull c I = c = I a I • I b I · sin (a, b) = ab sin rt., --'). ~

direcfia perpendicularii pe planul vectorilor (a, b) deci pe fiecare din ei, iar sensul dat de regula burghiului.

Regula burghiului: se a~aza burghiul pe direc~ia respectiva 'i se rote§te - -astfel incit primul vector a sa se suprapuna pest'e eel de·al doilea b, atunci - ~ ' sensu! de inaintare al burghiului va fi sensu} produ_sului vectorial a X b. Din figura 6.2 se vede ca modulul produsului vectorial, adica ab sin ex,

este egal cu aria paralelogramului construit cu cei doi vectori (de exemplu baza b inmultita · CU ina}~imea a Sill rt.). Q X b

Produsul vectorial a doi vectori co­liniari sau paraleli este nul (sin 0° = 0,

·-+ --'). sin 180° = 0) (de exemplu daca r ~i F sint paraleli sau coliniari: for~a trece prin articula tie).

Daca schimbam ordinea factorilor, ...,.. -atunci trebuie sa rotim pe b catre a,

deci se schimba sensu! produsului vecto-·. rial. Prin urmare, produsul vectorial este necomutativ:

- ...,.. - -+ a x b = - b x a, (6.2)

(se spune in acest caz ca produsul este anticomutativ).

173

Fig. 6.~1. Prodtisul vedorlal a doi ...,. ...,. vee tori a X b este utt 'Vectoi' cu tnodului ab sin ~. cu diractia p€lrpandictdar.l pe ~ ~

(a, b) ~i ~u Mrtsu1 dat de regul~ bur­ghht1ut ,

J

Daca schimbam sensu! unuia dintre vectori, se schimb~ ~i sensul vecto­rului p~dus.

Se poate verifica faptul c~ produsul vectorial este distributiv: ~ -+ ~ ~ -+ -+ ~ -+ ~ ~ ~ -+ ~ -+

a X (b + c) =;:: a X b + a X c ~i (a + b) X c = a x c + 6" x c, (6.3)

unde, bineinteles, nu trebuie schimbata ordinea factorilor l M omentul . une~ forte in raport. cu un punct, numit pol, es_te definit prin

pro~usul Pectonal d~ntre Pectorul de pozitie al originii fortei fata de pol gi Pectorul forta:

~ ~ -+ ~

M = r X F, l M I = M = rF sin cx = bF. (6.4) ~ ~ ~ ~

Trebuie retinuta ordinea factorilor: r x F ~i nu F x r. Daca schimbam sensul fortei, se schimba ~i sensu! vectorului moment.

M omentul fortei se masoara in N • m. (Atentie, produsul N · m nu trebuie inlocuit cu joule, fiindca nu repre-

zinta ·lucrul mecanic.) .

Din figura 6.1.se vede ca momentul fortei nu depinde de pozitia fortei pe dreapta suport: nu se schimba nici modulul rF sin cx = bF ( dublul ariei triunghiului OAB), nici directia sau sensul. Momentul fortei este zero daca

polul se afla pe suportul fortei deoarece atunci bratul f~rtei este zero (;~iF sint paraleli).

Daca asupra unui punct material P actioneaza mai multe forte concu-- ' -- ' - ~ ~

rente F 1, F 2, ... , F n' at unci fiecare forta da un moment in raport cu un pol 0:

~ -*.~ ~-+ ""* ~ ~ ~ ~--+

.M 1 = r X F h M 2 = r X F 2~ ... , Mn r X F n' (r = 0 P).

Adunind aceste egalitati membru cu membru, avem:

""* ""* ""* ""* -+ ""* ""* = r X (F1 + F 2 + ... + F,J = r X F = M, (6.5)

""* - ~ ~ ~ unde F este rezultanta fortelor concurente ~i M = r · x F - momentul ei.

Suma Pectorialii a momentelor forfelor concurent~ ln raport cu un pol e$te egala cu momentul rezultantei acestor ·forte in raport cu acela,i pol ( teorema lui Varignon).

6.1.2. Momentul fortei in raport eu o axi. Fie acum un corp care se poate roti liber in jurul unei axe fixe (fig. 6.3). Daca forta aplicata corpului este paralela cu axa de rota tie sau intersecteaza axa de rotatie, ea nu poate roti

corpul, ci doar indoaie axa sau trage de axa. De aceea descompunem forta F -+ -')o

in doua forte componente: Fu paralela cu axa de rota tie ~iF .l perpendiculara ~

pe axa. Forta componenta F11 nu poate roti corpul, c~ doar indoaie axa (trage corpul paralel cu axa); momentul ei in raport cu un punct de pe axa ( M .L)

174

este perpendicular pe axa de rotatie ~ti tin de sa indoaie axa. N umai forta com-

~ . ponenta transversala F ..L (perpendicu-lara pe axa de rotatie) poate roti corpul in jurul axei in planul ( n) perpendicu­lar pe ax a; momentul ei M11 = F ..L • b in ra.port cu punctul C - piciorul. per­pendicularei din p pe axa, este paralel cu axa. §i el este acela care rote~t·e

corpul in jurul axei. ~

M omentul unei forte F in raport cu 0 axa este egal cu produsul dintre componenta transversala a fortei F ..L ~i

bratul sau b pina la axa, in planul per­pendicular pe axa (,1t ), prePat.ut cu sem­nul plus sau minus, dupa cum rotafia produsa corespunde sau nu ( dupa regula burghiului) sensului pozitiv al axei: M11 = ±b ·F J.·

""* Daca luarn momentul fortei F fata

~ ~ ..,... de un pol 0 de pe ax a, M = r x F, atunci componenta vectorului M pe

· axa va fi tocmai M11 = ±bF .L·

~ig. 6.8. Componenta Fll para~ela cu axa de rotatie nu 'Produce rotatie, momentul ei M..t este perpendicular pe axa (tinde doar sa indoaie axa). Componenta F .L perpendiculara pe axa rote~te corpul in jurul axei ~i da moment: in raport cu axa

M11 =bF.

47

38

Daca asupra unui corp actio­neaza mai multe forte, atunci momen­tele lor fata de acela.§i pol se compun dupa regula paraielogra.mului, ca orice vectori. Momentele lor in raport cu o axa se aduna a.lgebric (tinind seama de semnul lor). Daca momentul rezultant A t " t I I f' Fig. 6.4. Mcntaj pentru studiul compu-lll rapor cu o axa es e nu , corpu va 1 nerii momentelor. in echili:Oru de rotatie fata de acea axa.

Experiment. Compunerea momentelor in raport cu axa de rotatie. Montajul este aratat in figura 6.4. Se aleg doua orificii in discul gradat

(38) in ca.re se introduc cepii de plastic (47). De cepi se suspenda cirligele (24) pentru greuta~i crestate prin intermediul a doua fire. Fortele sint date de greutatile crestate iropreuna cu cirligele §i cepii (5 g).

Se calculeaza momentele celor doua for~e in raport cu axul discului; ele sint de semne opuse §i trebuie sa fie egale in modul - discul fiind in repaus.

Se schimba greuta~ile §i orifi~iile ~i se repeta experien~a. 6.1.3. Momentul einetie. al punctului material. Analog momentului unei

for~e in raport cu un pol sau o axa, se poate defini momentul oricarui vector. Interes fizic deosebit prezinta momentul impulsului.

175

M omentul cinetic al unui punct material in raport cu un pol este momentul impulsului

(fig. 6.5): - ....;.. _,. - _.. L = r X p = r x m'if. (6.6)

Fig. 6.5. Momentul· cinetic al ,Momentl}l cinetic se masoara in J .s. unui punct material este mo- _ .

-+ -+ -+ Momentul cinetic L definit mai sus se ma1 mentul impulsului: L = r X mv. nume~te moment cinetic orbital, deoarece este

legat de mi~carea particulei pe orbita sa. (Particulele atomice pot avea §i

un moment cinetic propriu S numit spin, atunci momentul cinetic total al -+ -+ -+

particulei va fi J = L +·S.)

EXEMPLE

1. Momentul cinetic al unui punct material izolat, in raport cu orice pol, se conser"a (este constant) ..

-+ tn adevar, in timpul mi~carii sale rectilinii uniforme impulsul mv este constant, ctoar luneca pe dreapta mi~dirii, de aceea L = mv • b = const., la fel, directia ~i sensu I ramin neschimbate (fig. 6.6). ·

0

Fig. 6.6. Momentul cinetic al unui p~nct mater.i~l ~zola~, deci in mi~?care rectthme u!ii· forma, in raport cu or1ce

pol, se conserva.

L=rxmv

Fig. 6.7. La mi~area circulara uniforma, momentul cinetic al punctului material in raport cu centrul cercului ~e conserva (fiindca momentul fortei este zero fata de

acest po,l).

2. In pli~carea circulara uniforma, momentul cinetic al punctului material 1n raport cu centr'ul cercului se conserva (fig. 6.7): tn ad~var, modulul momentului este constant: L = m·ur = mr2w, iar directia ~i sensul nu se schimba.

·176

6.2. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC PENTRU PUNCTUL MATERIAL. CONSERVAREA MOMENTULUI CINETIC

Sa calculam variatia momentului cinetic pe unitatea de timp. La momentul -+ - -+ t, momentul cinetic este · L = r x p. La un m,oment apropiat t' = t + At,

-+ -+ -+ -+ . -+ -+ -+ vectorul de pozitie r devine r' = r + Ar ~i viteza v devine v' = v + Av,

-+ -+ -+ - -+ -+ -+ -+ iar impulsul p = mv devine p' = mv' ..:_ p + Ap mv + mAv. Atunci

-+ -momentul cinetic L devine:

- -+ ~ . -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ L' __:_ r' X p' = (r + Ar) X (p + Ap) = r X p + r X tip +

-+ -> -+ -+ + Ar X p + Ar X Ap,

de unde variatia momentului cinetic raportata la intervalul de timp res­pectiv At:

-+ - --+ -+ ~

ill L'-L ll.t = /l.t

-+ ll.p ll.r -+ -+ ll.p rx ~+Tt xmv+Arxilt·

Pentru a gasi varia~ia ,momentana" (sau ,insta.ntanee") a momentului ~inetic pe unitatea de timp, facem, dupa cum ~tim, pe At sa descreasca catre zero

-+ -+ (sa tinda catre zero: At -+ 0), atunci, binein~eles, ~i 'Ar ~i Ap descresc catre

- -+ -+ -+ zero, dar raportul Ar/At devine viteza momentana v, iar ll.pfAt devine egal

~ . .

cu for~a F (conform principiului II). Atunci ultimii doi termeni din expresia . -+ -+

de mai sus se anuleaza: v X mv = 0 deoarece sint vectori coliniari (paraleli), -+ -+

iar ultimul termen se anuleaza fiindca factorul ApfAt devine_egal en for~a F, -+

iar factorul Ar se anuleaza cind At -+ 0. Ramine numai pri~ul termen din membrul drept care reprezinta momentul fortei. Ohtinem astfel teorema md­

, mentului cinetic pentru punctul material.

Momentul fortei tn raport eu nn pol este egal cu variatla momentului einetie pe unitatea de timp, in report eu aeela~i pol.

t:,L cind ll.t -+ 0, (adica M = dL)· ll.t dt

(6.7)

Daca momentul fortei rezultante in raport cu un pol este p.ermanent nul. varia~ia. momentului cinetic al punctului material va fi zero, adicii momentul cinetic in raport cu acel pol se conserva. Un punct material nu-~i poate schimba momentul sau cinetic decit sub actiunea unui moment al fortei.

~ ~

De exemplu in cazul unui punct material izolat, F = 0, deci M = 0 ~ .

fatii de orice pol, de. aceea momentul cinetic Lin raport cu orice poise conserva.

12 - Fizica cl. a IX -a

In mi~earea circulara uniforma for~a este centripeta, deci momentul ei in raport cu ~entrul cercului este permanent zero, de aceea momentul cinetic al p'unctului material in raport cu centrul cercului se conserva.

In mi§carea plane tel or in jurul Soarelui ·for~ a de atrac~ie gravita~ionala exercitata de Soare asupra planetei trece permanent prin centrul Soarelui, de aceea momentul for~ei in raport cu Soarele este nul, deci fmomentul cinetic al planetei in raport cu Soarele se conserva. Analog se intimpla in mi§carea electroni1or in jurul nucleului intr-un atom.

Daca momentul rezultant al unei for~e in raport cu o axa este zero, atunci momentul cinetic in raport cu acea axa -se conserva (este constant).

Analog impulsului, mom_entul cinetic este ~i el o masura a mi~carii din punctul de vedere al rota~iei: teorema momentului cinetic exprima o lege de conservare a mi~carii mecanice, transmise de la un corp la altul prin interme­diul momentului for~ei in procesul interac~iunii.Ecua~ia (6. 7) este analoaga cu ecua~fa fundamentala a dinamicii: fqr~ei ii corespunde momEmtul fort,(•i, iar impulsului ii corespunde momentul impulsului, adica momentul cinetic. · Ecua.~ia (6. 7) exprima legea fundamentala a dinamicii pentru mi§carea de rota~ie.

6.3. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC TOTAL AL UNUI S~STEM MECANIC. _r . CONSERVAREA MOMENTULUI CINETIC TOTAL

~

Fie un sistem de doua particule (fig. 6.8). Momentele celor doua forte interne SF12

~ - ~ !?i 8F21 = ---:- 8F12 in raport cu un pol 0 sint egale in modul ~i de sensuri opuse &m12 =

= - ~21 sau ~2 + si21 = 0. ln adevar, mo~ulele momentelor sint egale: I "t12 1 • b =

~ -= I SF21 l·b (avind acela~i brat, b); directia, este aceea~i-perpendiculara pe planul (0, SF12 ,

~ ' ~ ~

SF21), iar sensurile sint opuse deoarece fortele SF12 ~i §'21 sint de sensuri opuse.

Momentul rezultant al lof'telor int&me ale unul sistem de ·particule, in raport cu orief' pol, este nul. ·

Rezultatul este valabil pentru un sistem format dintr-un numar oarecare de parti-. cule. ln adevar, fortele interne de interactiune dintre particulele sistemului sint totdeauna .·

perechi, actiunea ~i reactiunea, egale in modul ~i de sensuri opuse !?i actioneaza pe aceea~i dreapta care un~te cele doua particule (principiul Ill). Deci momentele lor, fata de orice pol, vor fi egale tn modul ~ide sensuri opuse. De aceea daca tnsumam momentele

Flg. Q.S. Momentul rezultant al fortelor interne ale unui aistem de particule, tn ra port

cu orice pol, este zero.

pentru tntregul sistem ele se anuleaza doua cite doua ~i

momentul rezultant ya fi nul. Sa scriem teorema momentului cinetic pentru fiecare

particula (se considera maijos momentele medii pe inter-valul de timp ~t): ·

~ ~

unde M 1, M 2 sint m9mentele fortelor externe care actio-~ ~

neaza asupra particulei 1, respectiv 2, iar 8'1tJ> am2 sin t momentele for:t.elor interne care actioneaza asupra acestor

178

particule (fig. 6·.8). Aduntnd membru cu membru cele doua ecuatii ~i tintnd seama ca momentul rezultant al fortelor interne este nul, obtinem:

Rezultatul este valabil ~i pentru un sistem format dintr-un numar oarecare de puncte materiale:

(6.8)

nnde M este momentul rezultant al fortelor externe, iar J momentnl cinetic total al sistemului.

ProiecUnd ecuapa ( 6.8) pe o axa, obtinem

~Jfl Mil=---, !}.t

(6.9)

unde M, este momentul rezultant in rapurt cu ax;\, iar J li este momentul cinetie total tn raport Cli axa.

~

Daca sistemul este izolat (M = 0), momentul cinetic total al sistemului, fata de oriee pol sau ax<'5, se conserPa.

Daca momentul rezultant al forfelor externe tn raport cu un. pol sau tn .raport cu o axa este permanent nul, momentul cinetic total al sistemului tn raport cu acel pol sau acea axa ~e conserPa.

Prin urmare forfele interne nu pot modifica momentul cinetic total al sistemului (il pot doar redistribui intre partile sistemului). Numai prin interactiune cu mediul exterior se transmite mi~carea ~i se schimba momentul cinetic total al sistemului.

Dadi momentul rezultant al fortelor externe aplicate unui corp, in raport cu un punct, este nul, corpul nu se va roti in jurul nici unei axe trecind prin acel pun ct. La fel, daca momentul rezultant al fortelcr externe aplicate corpului in raport cu o axa, este nul, corpul nu se va roti in jurul acelei axe (se presupune ca initial corpul nu se rotea in jnru] acelei axe).

iNTREBARI. EXERCIJIL PROBLEME

1. 0 particula in mh;;care este supusa la o forta a carei dreapta suport trece printr-un punct-Cix. Ce se poate spune despre momentul cinetic al particulei?

R: se conserva fata de punctul fix.

2. Se conserva momentul cinetic in raport cu Soarele al unei comete care ocole~te Soarele pe o tr:aiectorie parabolica? Dar i~ cazul planetelor care nu se mi~ca pe traiectorii circulare?

R: se conservr1.

3. Daca vectorul moment cinetic al unei particule este constant (se conserva), trafectoria sa este plana. De ce? Dar daea numai directia vectorului moment este constanta, cum este traiectoria?

~

Rt L are dirertie fixa; plana.

179 12*

--+ . 4. Asupra unui satelit artificial al Piimintului acticneazii o fortii de frecare cu aerul Fr =

--+ = - kv. Se conservii momentul siiu cinetic tn raport cu centrul Piimtntului? Riimtne traiectoria sa planA?

R: nu; da.

li•. Se conservii momentul cinetic total. alJ?articulelor rezultate in urma exploziei unui corp izolat?

R: da.

6. 0 particulii se mi~cii in vid sub actiunea fortei de greutate. Momentql cinetic in raport ~u orice axil din planul mi~dirii se conservii. De ce? Ce valoare are? .

-+ -+ R: G l?i p stnt incidente cu axa: M 11 = L II = 0.

7•. 0 particulii suspendatii printr-un fir oscileazii tntr-un plan vertical (pendul simplu). Care este momentul cinetic fata de verticala prin punctul de suspensie? Care- este variatia pe unitatea de timp a momentului cinetic in raport cu punctul de suspensie't

-+ R: zero; I tlLj tl.t I = mglsin 0 ..

7 C\INEMATICA $1 DINAMICA RIGIDULUI

7.1 NOTIUNEA DE RI<?ID

Pe un plan inclinat se Iasa sa se :rostpgoleasca un cilindru gol ~i unul plin, cei doi cilindri avlnd acela~i diametru ~i aceea~;>t masa. Se constata ca cilindrul plin ajunge jos intr-un timp mai scurt decit cilindrul gol.

Experienta arata cain acest caz nu mai putem considera corpurile ca puncte mate­riale; modelul de punct material folosit pina acum in mecanica nu mai poate explica rezul­tatul acestei experiente. Trebuie sa luam in consideratie forma, dimensiunile ~i felul in care este distribuita masa corpurilor.

Un corp cu anumite dimensiun) poateaveain urma actiunii unei forte in afara mi9-carii centrului de masa ~i mi~cari suplimentare. Aceste mi~cari pot fi efectuate de intregul corp sau numai de anumite parti ale lui ~i se suprapun peste mi~carea de translatie.

Sa consideram un caz simplu, acela in care corpul nu are partl mobile independente. Punctele materiale din care se considera alcatuit corpul nu efectueaza decit mi~cari de ansamblu. Acest corp se nume~te rigid.

Un corp ~igid ,este un slstem de pun~t(' ma.teriale ale clror distan1e reclproce rlmin neschimbate.

Ca ~i punctul material, eorpulrigid este un model. Aeest model poate fi reaiizal cu buna aproximatie de o hila de otel, de o roaUi, un cilindru,. o bara, un dirucior etc.

7.2. VITEZA ~I ACCELERA TIA UNGHI ULARA

EXPERIMENT

Pe 1111 plan tnelinat sau un jgheaL, lle 1as1i sa se mi~te Jiber o hila. Bila efertneaza o mi~care de translatie accelera,ta ~i in acela~i tlmp efectueaza · ~i o mi~care de rota tie

I ·(fig, 7.1).

181

l<'lg. 7 .1. U bill1 in mi!;;car(' pe un plan inclinat.

Fig. 7.2. fn mi~carea de translatie traiectoriile, vitezele ~i · acceleratiile tuturor purictelor corpului stnt identice.

AUt a:ceastl1 experientl1 cit ~i altele aseml1nl1toare ne aratl1 ell un corp rigid se poate afla in mi~care de translatie, in mi~care de rotatie in jurul unei axe sau intr-o mi~care elicoidala, rotatie ~i translatie simultan.

Mi~carea de transla/ie a unui corp rigid este mi~carea in care orice dreapta legata de corp i~i pastreaza orientarea, adica se -.mifca paralel cu ea insa~i.

· ln ·aceastl1 mi~care toate punctele corpului rigid au traiectorii, viteze ~i acceleratii identice ~i de aceea aceastl1 mi~care este determinat& prin mi~earea unui singur punct material ce apartine corpului (fig. 7.2).

Mifcarea de rotaJie a unui rigtd este mi~carea in care toate punctele sale descriu cercuri ale caror centre slnt situate pe o dreapta perpendiculara pe planul cercurilor descrise, dreapta numita axil de rota/ie (fig. 7.3).

Razele vectoare ale punctelor diferite din corpul rigid vor descrie acela~i unghi ~<l in intervalul de timp ~t. Deci viteza unghiular& w va fi aceea~i pentru toat.e punctele

corpului rigid in rotatie:

J-) f'ig. 7 .3. Punctele unu i solid rigid aflat in mi~c..are de rotatie descriu ~Prcuri .cu centrul pe axa de rota tie.

/

(7.1)

Vitezele liniare ale diferitelor puncte ale rigidului sint diferite deoarece !?i razele cercurilor descrise stnt diferite:

(? .2)

Viteza unghiular& w este considerata o ina­rime vectoriala, deci poate fi reprezentata printr-un

vector. Vectorul viteza unghiular& : are directia axei de rotatie, este deci perpendicular pe planul traiectoriei. Sensu I acestui vector este determina t prin regula ~urubului drept (fig. ?.3}.

Datorit~ relatiei v = wr, a felului i,n care s-a

ales directia :;;i sensul vectorului :, se poah~ re-~

prezenta viteza liniara v a mi~carii unuiH din punc-

182

tele e£> alei1tuiesc rigidul, ca ·prod us VPt'·

~ ~

torial al vectorilor w ~i r.: ~ ~ ~

v = w X r. (7.3)

4 --- .... Vectorul prod us vectorial v = c.> x r este perpendicular pe planul format de ,rei. doi vectori, avtnd sensu! inaintarii unui ~urub drept (fig. 7.4). M&rimea

............ ~ ~

acestui vector este v = wr sin (w, r} ............ ~ ~

wr deoarece ttnghiul ( w, r) = 90°. ~

v

~

FJg. 7 .4. Viteza unghiular/1 w este o ml\rime vectoriall\ .

Dac& vectorul vitez& unghiular& w este constant in timp, mi~carea de rotatie este uniform&.

1n cazulin care rigidul se rote!?te in a~a felincit viteza unghiular& (.!) cre~te sau scade in timp, mi!?carea de rota tie este neuniforma, atunci relapa:

~(l) ~ = (7.4)

~~

~

• define11te mllrimea numit/1 acceleraJie unghiulara. Ca ~?i viteza unghiulara w, acceleratia ~

unghiularA e se reprezint& printr-un vector ~i tn cazul unei axe de rotatie fixe directia ~

acestui vector este aceea~i cu directia vectorului (.!). ln SI marimile w ~i e se ml1soarl1 in

[w]si = radjs = rad • s-1 respectiv [e]si rad • s-:2 •

EXPERIM£NTE

a) Determinarea vitezei unghiulare w. Se realizeaz/1 un m ')Dtaj experimental a!?a cum arata figura 7.5. Masurarea timpul_ui in care este descris un unghi oarecare oc se reali­zeaza cu dispozitivul electrochimic ata!?at trusei de mecaniea sati cu ajutorul unui eeas· cu secundar. Montajul electric este eel indicat in figura 7.6. Pe discul gradat din montaj, se fixeaza dona intrerupatoare in sensul rotirii tamburului pentru un anumit unghi oc. Actionarea intrerupatoarelor o face lin indicator care se rote~te cu intregul sistem. De firul trecut peste scripete, se suspenda cirligul pen tru ·discurile:crestate. La un mic impuls, tija cu cele doua discuri Ia capete incepe sa se roteasca aproape uniform. Masurind timpul t in care este descris unghiul <l se determin& viteza unghiulara w = <ljt. Repetind experienta pentru alte unghiuri, rezultatele obtinute pot fi comparate ~i inscrise intr-un tabel de forma:

t(s)

<l (rad)

w (rad/s)

h) Determinarea accftl,er.JJiei unghi'1.lare e. La montajul anterior se face o modificare, introducind peste tamburul eu raza de 20 mm un alt tambur cu raza de 40 mm. Dispo­zitivul de masurare a timpului nu mai este folcsit acum. Se suspendrt drliguJ pentru discu­rile crestate de f!rul trecut peste scripete. Pe drlig este hitrodus an disr cu masa d'e 10 g.

•183.

Fig. 7Ji. Montaj experimental pentrn determtnarea vitezei unghiulare.

F'lg, '1.6. Montajul electric pentru ex­perimentul din figura 7 .5.

Pe bara divizaUI. a montajului, se aleg doua repere, unul superior ~i altul inferior care delimiteaza o distan1fi h.

Se rote~te bara (tija) pina cind cirligul cu discurile crestate ajunge in dreptul repe. rului superior. Din acest moment sistemul este lasat liber ~i se masoara timpul t in care este parcurs spatiul h. Timpul se masoara cu ajutorul unui ceas cu secundar sau cu un

cronometru. Din ecuatiile mi~d1rii uniform accelerate w r:::t ~i IX = _!_ t2, unde IX = hjr 2

r fiind raza tamburului, rezulti'i_ pentru acceleratia unghiulara r::: expresia:

2h r::: =

7.3. ENERGIA CINETICA DE ROTA TIE. MOMENTUL DE INERTIE AL UNUI RIGID .

EXPERIMENT

Se realizeaza montajul pentru determinarea vitezei unghiulare (fig. 7;5J. Pe ctrlig se a~aza discuri crestate cu mase de 50 g. Se infa~oara firul pe tambur pina cind.cirligul eate adus la partea superioara a barei divizate. Se Iasa sistemulliber. Acesta va efectua o mi~care de rotatie uniform accelerata. Dupa desfa~urarea completa a firului, mi~car~a de r·otatie continua, firul cu discurile crestate urea, sistemul efectueaza un lucru mecan:ic pentru ridicarea discurilor. RezulUi de aici ca in timpul mh;;carii de rotatie la coborire, variatia energiei potentiale a greutatii a produs variatia energiei cinetice (cre~terea acestei energii) a sistemului care a realizat un lucru mecanic, adica ridicarea discurilor.

De cine depinde energia cinetka de rotatie?

184

Sa consideram un rigid rare se rote!?te ru vitr­za unghiulara,} constanta, tn jurul unei axe fixe· (fig. 7.7). Un punct material de masa m aflat Ia distanta r de axa de rotatie are viteza liniari'l <' wr ~i energia cinetica:

_!_ mv2 = _!_ mr2 w2 •

2 2

... ~xpresia mr1f ~e numette D1C)m-.,nt de 'ineqie, --~~llui ~~t material fat~ ~e 0 ~xi.

Daca insumam energiile cinetice ale tuturor punctelor rigidului, obtinem energia cinetica totala a soli.dului aflat in mi~care de rotatie cu viteza unghiulara eonstanta w:

k=n 1

k=n

Ec, rot = E ~ mkrZc.}= c.>2 E mkr~. (7.5) k=f 2 ') 1!=1

Expresia:

se nume~te mDment de iner{ie al axa de rotatie considerata.

(7-.6)

rigidului fata de

~ Fig. 7.7. Momentul de inertie' al unui rigid este egal cu suma mo­mentelor de inertie ale particulelor

componente.

Din definitia momentului SI este

de inertie (7.6) rezulta di. unitatea de masura in

[I]si = [m][r2] = kg· m 2•

Observati ca momentul de inertie al unui rigid este egal cu suma momentelor de inertie ale particulelor componente ale rigidului. Din relatia (7.5) ~i tinind seama de relatia (7.6) obtbem: ·

(7.7)

Pentru un w dat, energia. cinetica de rotatie este cu aUt mai mare cu cit punctele materiale, care alcatuiesc rigidul, sint distribuite la distante mai mari fata de axa de rotatie, deci cu eit moment~l de inertie este mai mare.

Energia cinetica a unui solid rigid aflat in mi~care de translatie ~ide rota tie se poat.e calcula prin relatia:

E 1 2 1 I 2 r =· - msv + -- w

'! 2 (?.8)

unde ms reprezinta masa rigidului, v- viteza centrului de masa, I- momentul de inertie f.ata de axa de rotatie ce trcce prin· centrul de masa.

1 Dadi se face comparatie intre energia cinetica de translatie Ec, trans = m 8 vz

2

~i energia cinetid't de rotatie, Ec, rot = _1_ I w2 se observa ea rolul masei ms Ia mi~earea 2

de translatie, il are, la mi~carea de rotatie, momentul de inertie I. Valoarea n;tomentului de incrtie 1 depinde nu numai de valoarea maselor punctelor materiale care alcatuiesc rigidul considerat ci ~ide distantele (distributia) lor fata de axa de rotatie.

La o aceea~i masa totalii, sclidul care are punctele materiale mai departate de axel ()a avea un moment de iner{ie mai mare. De exemplu, momentul de inertie al unui cilindru gol de grosime neglijabila, este mai mare deeit eel al unui cilindru plin, omogen, de

185

<l('t>ea!?i masa cu primul: ambele calculate fata de axa lor de simetrie. A!;iadar, ptmtru a obtine un moment de inertie cit mai mare substanta din care este format_,rigidul respectiv trebuie distribuiHi cit mai departe de axa de rotatie. "

" Valoarea nio'fientului inerJie se schimbd dacd se schimhd pozitia axei de rotatie. Pentru corpurile omogene de forma geometrica regulata momentele de inertie pot

fi calculate prin metcde matematice. Pentru corpurile de forma oarecare momentele de inertie pot fi determinate experimental.

EXPERIMENT

Montajul experimental folcsit pentru determinarea acceleratiei unghiulare (fig. ? .5) poate fi utilizat pentru a pune In evidenta momentul de inertie. Se pune sistemul in mil?­care cu o acceleratie mica, sub actiunea discurilor crestate. Se observa cu atentie aceasta mil?care. Se muta corpurile (greuHitile) cu ~urub de la capetele tijei mai spre centru. Se lasa iara~i sistemul liber l?i se o.Qserva ca mil?earea are o acceleratie mai ·mare. Deci pentru aceea~i forta, pentru aceea~i masa dar altfel distribuita,efectele sint diferite. Se repeta experimentul ~i se tnlocuiesc corpurile de pe tija cu alte doua mai mici, de 100 g fiecare. Se va constata ca pentru acelea~i pozitii ale corpurilor, efectele nceleia~i forte sint altele. ·

Rezulta di intr-o mi~care de rotatie, inertia sistemului depinde aUt de -masa lui dt l?i de distributia aeestei mase in raport cu axa de rotatie. In tabelul urmator sint date expresiile momentelor de inertie pentru dteva corpuri rigide, omogene, de forma geome­trica regulata fata de axele de rotatie indicate.

Tabelul i' .l.

pmncru plin Cilindru gal

~ lnel dJindric Sfera ~ina I Bara sub~ire

~I$

- . 7.4. LEGILE' CINEMATICII $1 DINAMICII SOLIDULUI RIGID

-Sa analizam mi~carea de rotatie a unui rigid sub actiunea unei forte F san a unui sistem de forte, dnd axa de rotatie este fixa (fig. 7.8). Asupra fiecarui---pU:ru~-t material de

~

masa mi' actioneaza fort a Fi:

4 -lo>

Fi = mi • ai

~ ~

unde ai Pste acceleratia mi~d1rii ptmctului material sub aetitmea fortei Fi·

186

(7.9)

ln mi~area de rotatie a rigidului in jurul axei fixe, fiecare punct material se poate deplasa numai in planul perpendicular pe axA pe cercul de raza ri, unde ri este dis­tanta de Ia punctul material mi ptnA Ia axa de rotatie. Astfel, pentru a descrie mi~carea de rotatie a punctului material putem considera numai relatia tntre componenta -tangential& Fit a fortei Fi ~i acceleratia tangentiala ail:

Fit = miait {7.10)

adica ecuatia {7.9) proiectata pe tangenta la traiectoria circulara a punctului material considerat. Dar:

~vi • • d · ~w (7 11) ait = -- ~~ vi = (J)l'i ~~ em ait = ri ----- = rie , . ~t ~t

~(J) unde e = -- este acceleraJia unghiulara.

~t

lnmultind ambii membri ai ecuatiei (7.10) cu ri ~i tintnd seama de (7.11) avem:

riFit = mir~e:. (7.12)

Dupa <'llm am vazut tn paragraful 6.1.2 momentul

fortei ~ fata de axa de rota tie este definit de produsul dintre -componenta transversala Fi.J.. (proiecpa fortei Fi pe planul perpendicular pe axa) ~i bratul acesteia pina Ia a~a, ceea ce este totuna cu produsul riFit dintre componenta tangen­

I I. I

~J -~Fi <,_f9 lffii I I I I I I I

--+-.._ ·/'.- I '\ t, I __.

'--.~-----

~

Fig. 7 .8. ~Ii~carpa de ro­tatir a unui rigid sub ac-

thmea unei forte F.

tlala a fortei ~i distanta de Ia punctul materialla axiL Astfel, notind Mill = riFit, membrul ~

sting din relatia (7.12) reprezinta valoarea momentului fortei Fi fata de axa de rotatie. A~adar, pentru intreg corpul rigid, putem scrie valoarea momentului rezul­tant fata de axa de rota tie:

adica: (7 .13)

n unde I = ~ mir~ este momentul de inertie al rigidului fata de axa de rotatie.

l"" t Tot tn paragraful 6.1.2 am vazut ca momentul unei forte fat~. de o axa este totuna

cu proiectia pe axa respectiva a momeritului acelei forte fata de un pol de pe axa. Ast­fel, avtnd tn vedere di momentul rezultant al fortelor interne fata de orice pol este nul, tn relatJa (7.13) M 11 reprezinta valoarea momentului rezultant al fortelor exterl'le fata de axa de rotatie sau, ceea ce este totuna, proiectia pe axa de rotatie a momentului rezultant al fortelor externe fata de ua pol de pe axiL

Observam ca ecuatia (7.13) reprezinta particularizarea ecuatiei (6.9) din paragraful6.3 Ia cazul rigidului cu axa fixa. lntr-adevar, valoarea momentului cinetic Ji 11al punctului

material mi fata de axa de rota tie' estP ·'ill.= rimivi = mir1w de unde rezulta pentru tntre­gul corp rigid:

n

=B t= 1

- 1: < J.tJ87 oU-

Avind in vedere ca momentul de iner~ie I ~ste constant ~i cv ~ = e ~i tintnd cont de At · r

ecuatia (6.9) rezulta ecuatia (7.13). ·

. . . Relati:. (_7.13) reprezinU1. legea a ·u-a a dinamicii pentru mi~carea de rotatie a unui r1g1d cu axa f1xi1.

.Aeceleratia 'tmghiulari .l.mprJmati de lof1el~ exterloare unul rigid cu axi llxi de rotatle este direct :proportfonali cu momentul rezul~t · al acestor 'lof1e in raport. cu axa de rotatfe. · · · ·

Dac~ ~omel1t~l rezultant al fortelor exterioare fatil de axa de rotatie este permanent . nul aAtunc1 dm relatia (7 .13) rezulta ell acceleratia unghiularll ~ este nula deci corpul rigid

este m repaus sawse rot~te in. jurul axei cu o viteza unghiulara w constantll.

EXPERIMENT

IJ_eterminarea mo~ntului. de iner;ie al unui corp. Realizilm montajul folosit pentru determmarea acceleratiei unghmlare (fig. 7.5). Se fixeazll corpurile cu ~urub cu masa de 150 g fiecare Ia capetele barei. Momentul de inertie al sistemului este suficient de mare pentru a putea fi 'neglijat momentul de inertie al barei. Suspendlnd de fir cirligul, se realizeaza o mi~car~ d~ rotatie uniforma. Se ma.i pune apoi un corp cu masa m = 20 g

care va imprima sistemului o acceleratie unghiulara e: ~i o acceleratie; pe verticala. Din legea fundamentala pentru mi~carea de rotatie M = Ie: rezultil: . .

I ,_. M

D!n M = Tr unde T m(g .J.... a) (vezi fig. 7.9) ~i a = ~~ avem M = mr (g _a).

D 2h . A I . d . . ar, e: "'""' - ~· m ocum in expres1a momentuJui de inertie I vom obtine:

~ .

/

f·fg. 7 .9. Fortele ce actioneaza asupra corpului din experiment.

I = (gt 2 - 2h). 2h

Se masoara timpul t de cadere, masa m eare produce mi~carea uniform accelerata ~i spatiulh pe care se depla­seaza discul crestat suspendat de cirlig. Cu valorile obti­nute se calculeazil momentul de inertie al sistemului.

Volantul. Pentru ca o ma~ina sa functioneze in bune conditii trebuie ca variatiile vitezei de mi~care sll nu depa~easca anumite valori stabilite prin con·

structie. La majoritatea ma~inilor se .cere mentinerea

vitezei constante, astfel inctt in orice moment sa avem egalitate intre energia mecanica primita ~i energia con­suma til de ma~ina.

In cazul variatiilor periodice ale vitezei din re­la~ia M = b: care poate fi scrisil ~i sub forma M llt == = 1 ~(•) rezulta

188

expresie din care se ved~ ca variatiile vitezei unghiulare ~c.u pentru un moment M al fortei, determinat, sint cu a tit mai mici cu cit momenful de inertie 1 al mal?inii este mai mare .

. Marirea considerabila a momentului de inertie al unei ma~ini se obtine cu ajutornl unei roti (disc) mari numita volant, montata pe arborele ma~inii.

Volantul reprezinUf un ,acumulator" de energie cinetica. In decnrsul unui ciclu de functionare al ma$inii, in timpul cind lucrul mecanic al fortelor motoar·e depa~e~te pe acela al fortelor rezistente, energia cinetica a ma~inii cre~te !iii volantul ,,acumuleaza" energie cinetica. Excesul de lucru mecanic al fortelor motoare fata de eel al fortelor rezis­tente fiind consumat pentru cre~terea energiei cinetice a volantului, acesta va mic~ora cre~torea vitezei ma$inii peste valoarea ei medie (de regim).

In timpul cind lucrul mecanic al fortelor rezistente depa~e~te pe acela al fortelor motoare, energia cinetica a ma~inii scade ~i deci scade ~i viteza ma~inii. Volantul ,resti­tuie" acum, ma~inii, sub forma de lueru mecanic motor, energia cinetica acumulata anterior 0 parte din lucrul mecanic al fortelor rezistente consumindu-se pentru incetinirea volan-

. tului, rezulta ca in acest interval de Hrnp din ciclul ma$inii, volantul mic9oreaza scaderea vi tezei sub valoarea ei medie.

In consecinta, in decursul unui ciclu energetic al ma~inii, volantul acumuleaza energia cinetica in exces pe timpul cit ma~ina tinde sll se ambaleze pentru a o restitui atunci cind ma~ina i$i incetine$te mersul, mentinind astfel variatiile periodice ale vitezei ma~inii in jurul valorii vitezei medii (de regim).

Intre mi~carea de translatie ~i mi~carea de rotatie se poate face un paralelism, o corespondenta anaJogica. M~rimile ~i ecuatiile tntre care se pot stabili corespondente stnt date tn tabelul care urmeazll:

Mdrimea; tipul de mi$care

Vectorul deplasare

Timpul

Viteza

Mi!?carea uniforma

Acceleratia

Mi~carea uniform variata

CINEMATICA

Ecua#a; Unitatea Mdl'imea; s1:moolul de tipul de

masura rru:;;care ~

fu• m Unghiul

s Timpul

-~ Viteza ~ IY m/s v =6.t unghiularll

-+ ~ -+ Rota tie r = r 0 + vt uniforma

-+ Acceleratie -+ llv a=-- mfs2 unghiulara /}.t

-+ ~ ~ Rota tie v = v0 +at uniform

variata

-+ -+ -+ 1 -+ r = r 0 + v0t + 2 at2

189

Rota tie

EcuaJia; simbolul

CU=

OC = 0Co + Colt

Unitatea de mifsura

radiani

s

radfs

radfs2

DJNAMICA .. Marimea; Ecuatia; Vnitatea Marimea,· Ecua[ia; Unitatea simbolul de

Masa

Forta

Impulsul

Energia cinetica

m

F

~ ~

p = mv

~

~ tl.p -:. F=-·-=ma

tl.t .

1 Ec = mv2

2

PROBLEME REZOLVATE

rna sura

kg

N.

kg· m/s

,J

Momentul de inertie Momentul fortei

Momentul cinetic

Energia cinetica

simbolul de mdsurd ·

I kg· m2

.lf N·m

-). ~

J, = lw N•m

4

~ - tl.J Mu =--11 = Ii:

Llt

1. Pe u~ plan indinat de unghi « {fig. 7.10) se lasa liber din punctul eel mai tnalt al pla­~ulu~ un corp rotund ~i omogen (cilindru, ,sfercl) de masa m, raza R ~i moment de mertie I. Se cer: a) forta de frecare ~i coeficierrtul de frecare minim dintre corp ~i plan astfel in cit corpul sa se rostogoleasca fara sa alunece · pe plan; b) acceleratia cu care se deplaseazii corpul pe plan; c) acc~leratia unghiularii. Rezol"are. a) Pentru ca tntre corp ~i planul inclinat sii nu existe alunecare trebuie inde­plinite conditiile:

De unde rezulta:

mg sin ot - Fr = iha

mg cos ot - N = 0

FrR =It

a= eR.

.: = ~ din ultima relatie ~i FrR = I_!!._ => Fr R - R I -

a_ R2 sau a= Fr-.

R 2 I

fnlocuind tn prima ecuatie: mg sin ot- Ft = mFr R2 rezultcl: I

,;., sin ot-= Fr ( 1 + m:2); Fr =

N

mg Ftr. 1.10. Pentrtr probiema rezolvata i.

190

mg sin ot

1 +-~ I

I ar eonditia de nealunecare: · Fr < (lN = (lmg cos ot adid1

tg ot

1 -+- mR2 . I

SQH tg « < (l (1 + m:2 J.

b) Din rela~iile de mai sus: a =

c) e a

=- == R

g sin ot ------=

g sin ot

I 1 +­

mRS

R + _!!!_ mR2

g s.in ot

R+-1~ mR C A

2. Scl se dete.rmine acceleratia cu care se depla- Fig. 7.11. Pentru· problema rczol. seaza o sfera care se rostogole~te, fara alune- vata 2. ca~e, pe un plct'fl inclinat de un unghi ot = 30°.

Rezol"are. In virful planului inclinat Ia inaltimea h fata de planul orizontal (fig. 7.11) -sf era are. energia potentiala maxima Ep- = mgh, iar la baza plamilui aceasta energie se tr:ansforma in energie cinetica. Considerind sistemul izolat, din legea transformarii l)ii con­servarii energiei rezulta Ec Ep. Energia cinetica a sferei este determinata de energia einetica de rota tie ~i de energia cinetica de translatie, adiea:

I 2 2 Ec = ~+ mv J

2 2

dar w = ~ (R este raza sferei), deoarece viteza de translatie a centrului sferei (centrul R .

de masa) este · egala cu viteza periferiea ou care se rote~te sfera fata de ceritrul sau ~i deci putem scrie:

Ec -- + -- == - - + m . lv2

. mv2

v2

( I ) 2R2 2 2 R 2 ·

Din egalitatea Ec = EP se obtine1 ~ ( ~2 + m) = mgh, de unde rezulta

v2 2mgh

I - +m RZ

Din ecuatia vitezei in mi~carea accelerata v = V 2al se obtine valoarea accelerapei a = 2

= _!::__ 9i inlocuind valoarea lui v2 se obtine: 2l

a h mg ----.- . I l --.t-m

R2

Dar h = l sin ot ~i se obtine pentru acceleratie

a= mg sin ot ~----.

I -+m R2

2 :;;fiing ca momentul de inertie al sferei este I = - mR2, expresia acceleratiei devi· 5

ne: mg sin cc a = __ .;,_ _____ = !mR2

5 ---+m

R2 este a = 3,5 m/s2•

5 g sin ot ~i pentru ea sin 30°

7 1 I , 1 r . - va oarea acee era)'1e1 2

Ca ~i in caznl mi~dl.rii de translatie, valoarea acceleratiei In cazul rostogolirii pe plan nu depinde de masa sferei ei numai de inclinarea planului.

191

TNTREBARL. EXERCITII. PROBLEM£

Fig. 7 .12. Pentru problema 3.

1. Imaginati-va uu punct pe obada unei roti tn mif}eare. Daca roata se mi~ca cu viteza unghiulara constanta, are punctul considerat o acceleratie normala? Dar tangentiala? ,

2. Se fac experimente cu o sfera omogena din lemn f}i cu 2 plane. 1nclinate de unghiuri diferite. Sfera e pusa, pe. rind, pe fiecare plan la aceeaf}i inaltime. Pe ~are d~ntre plane viteza la baza este mai mare? Cum vor fi timpii de mi~care? (Sfera se rostogol~te fara alunecare.)

R: · v; = v;, t1/t2 = (sin cx2)/(sin ext}·

8. Un mosor avtnd un fir -subtire infa~urat pe el (fig. 7.12) poate fi actionat suecesiv prin

intermediul firului de trei forte dupa directiile indicate tn figura. lndicati directiile de mi~?Care posibile ale mosorului pentru fiecare dintre cele trei forte.

4. Se masoara viteza unghiulara a unui disc de pick-up ~i se gase9te valoarea n = 33 rot/min. Care este viteza liniara a dona puncte de pe dise unul aflat la distanta r 1 = 14,9 em ~i altul la distanta r2 7,3 em de centrul discului?

R: v = Cllr 21t'rn = 305 em/min; 152 em/min.

5. Viteza unui automobil cu diametrul rotilor D = 76 em este ~ = 96,6 km/h. a) Care este viteza unghiulara a rotilor? b) RotHe sint frinate uniform in timpul aN = 30 de rotatii., Care este acceleratia unghiulara'? c) Pe ce distanta s-a deplasat aiitomobilul in timpul frinarii?

B: COo= 2vfD:::::::: 70 radfs; € = cJ/41tN::::::::- 13 rad/s2 ; s = 1tND:::::::: 73 m.

. 6. Discul unui pick-up se rote~?te cu n = 78 rot/min. La un moment dat discul incetin~te ~i se opre~te dupa tm= 30 s de la deconectarea motorului. a) Sa se calculeze acceler:atia unghiulara a mi~d\rii tncetinite. b) Numarul de rotatii efectuate de disc in acest timp.

R:-e ='= 27t nftm = 0,27 rad/s2 ; N = ntm/2 = 20 rotatii.

8 ECHILIBR~L MECANIC AL CORPURILOR

8.1. SISTEM DE FORTE CONCU~ENTE. REZULTANTA. MI~CAREA DE TRANS LA TIE (REDUCEREA LA UN PUNCT MATERIAL)

Starea de echilibru sau de mi~care a unui corp depinde de caracterullega­turilor mecanice cu celelalte corpuri, adica de apasarile, atrac~iile sau ,respin­gerile ce rezulta din ac~iunile lor reciproce. Dupa cum ~tim, corpurile din natura a.c~ioneaza unele asupra altora reciproc, aceste interac~iuni fiind carac­terizate prin for~e, care sint marimi vectoriale.

Daca asupra unui corp ac~ioneaza simult.an mai multe for~e spunem ca acestea formeaza un sistem de forte. Cind suporturile for~elor se intilnesc in acela~i punct, fortele sint concurente .

~ ~ -Sa consi~eram un corp asupra caruia actioneaza sistemul de forteF 1,F 2 ~iF 3

aplicate in punctele A, B §i C (fig. 8.1). Daca se inlocuie~te sistemul de forte dat prin ~It sistem, care produce acelea§i efecte .asupra corpului ca §i sistemu1 initial, spunem ca cele dona sisteme

de forte slnt echivalente. Doua siste­me de for~e echivalente cu un al treilea sint §i ele. echivalenLe. Daca sistemul dat este echivalent cu 0

singura forta, aceasta este rezul­

tanta sistemului de for~e .

. Rezultanta for~elor _se ohtinB prin operatia de compunere a for­telor, care este identica cu ope­

ratia de compunere a vectorilor

cunoscuta din paragraful 1.6.

13 - Fizica cl. a IX-a

~ - -Fig. 8.1. Fortele Fh F 2 f?i F 3 care actioneaza si-multan asupra unui solid constituie un sistem de

forte.

193

In _ cazul cind corpul este un punct material, adica dimensiunile lui sint -neglijahile, distan~ele dintre punctele de aplica~ie ale for~elor fiind foarte mici, acestea sepot confunda cu un singur punct pe care n notam cu 0 (fig. 8.2). Rezulta ca for~ele care ac~ioneaza asupra unui punct material sint concurente.

' Ca urmare a neglijarii dixnensiunilor corpului, acesta nu poate efectua mi§cari de rota~ie in jurul vreunei axe trecind prin el insu§i. Punctul material poate efectua numai mi~cari de translatie sub ac~iunea for~elor care ac~io­neaza asupra lui.

8.1.1. Compunerea for{;elor prin metoda analitica. Asupra xnetodelor grafice de compunere a fortelor, cum ar fi metoda paralelogramului sau metoda poligonului fortelor, nu vom mai insista ele fiind cunoscute din paragraful1.6, unde au fost aplicate 'pentru compunerea vectorilor. Voni prezenta numai metoda analitica de compunere a fortelor.

Metoda analitica de compunere · a fortelor 8e bazeaza pe notiunea de proiec~ie a fortei pe o axiL

-+ Proiectam o for~a F pe axele perpendiculare Ox ~i Oy, ducind din extre-

mitatile A ~i fJ ale for~ei, perpendiculare pe aceste axe (fig. 8.3). -+

Componentele for~ei F pe axele de coordonate Ox ~i Oy sint date de for-mulele: ,

Fx = F cos oc; 'Fv =.F sin oc. (8.1)

V om a plica metoda analitica pentru determinarea rezultantei a doua -+ -+

forte coplanare F 1 ~i F 2 care fac intre ele unghiul oc. Metoda comporta urma-toarele etape:

1. Se iaun sistem de axe per pendiculare xOy orientat astfel incit ax a Ox sa aiha orientarea uneia d1ntre forte. Apoi se proiecteaza fiecare forta pe cele

I doua axe (fig. 8.4) §i se ohtine:

Jf1x = F1; F1v = 0,

Fig. 8.2. Fortele care actioneaza asupra unui punct material sint

forte concure~te.

194

Ji'211 = Fs sin oc.

y

Fy

A A2 ~~~~_.~----~c fi

Fx

0 X

-+ Fig. 8.8. Componentele fortei F pe axele de coordonate Ox *i Oy stnt date de reliitiile: F :x == F cos a.; F y = F sin a..

y

l F_,.. · F~ pe axele de coordonate este egala cu Fig. 8.4. a) Sum9; componentelor forte or 1 !}I . 2 _,.. ~ •

-+ • } g· te 1 de forte F !}iF este tnlocmt cu componentele rezultantei R, pe ae~lea!}I axe. b IS ~u . 1 2 • _,..

f h. 1 t R-+ c::.i R Aceste sisteme de forte admit aceea!}I rezultanta R.

s~stemul de orte ec 1va en x '( y· .

. ln paragraful 1.6 g,.a demonstrat ca orice suma de vectori poate fi ~roi~c­tata pe o axa oarecare ~i. se obtine o suma corespunzatoare ~en~~u prOiec~nle vectorilor. Pr-oiec~ia rezultantei fiind egaHi cu suma prOiec~nlor fortelor.

. 1 F..,.. • F..,.. Dupa cu1Il rezulta si din A licam acest rezultat §1 in cazul for~e or 1 §I 2· . , .

p -+ -+ . 0 t f 1 F · li' pe axele 0 x §I Y es e

figura 8.4, a, suma componentelor or~e or 1 §I '"\' 2,

egala cu componenta rezultantei R, pe acelea§i axe, deci:

R = F lx + F 2X = F 1 + F 2 cos oc, X,

(8.2)

Ru = Ftu + F2Y = 0 + F2 sin r:t. (8.3)

2 S. t mul initial de for~e F 1 §i F 2 este inlocuit cu un sistero echivalent • IS e , < -+

d f t R si R care fac intre ele un unghi drept (fig. R4,b). I\ezultanta R,

e or e x • y, h' 1 · fortele a ace:tor doua for~e este data de diagonala drept"!Jng IU ui care are r

i:fx §i Ry. drept laturi. Aceasta rezultanta este identica cu rezultanta fortelor

_,.. • F-+ deoareee cele doua sisteme de for~e sint echivalente. F 1 ~I 27 .

Modulul rezl!ltantei R este _dat de rela~ia~

R2 = R~ +.R~.

lnlocuind in (8.4) valorile l~i Rx ~i Ry date de (8.2) ~i (8.3) ohtinem: 2 • 2

R2 = (F 1 + F 2 cos oc) 2 + F 2 sin oc,

sau, dupa efectuarea calculelor:

R2 = Ft -f F~ + 2F1F2cos oc ..

195

13*

(8.4),

(8.5)

u h. . .ng ml ~' care da or~entarea rezultantei R fa+a· de a 0 (f. dat de relapa: Y · :s:a X tg. 8.4, b) este

tg~ = Ry. Rx

(8.6)

Metoda prezinta avantaj, cind sistemul este . mare de .tOr~e. · alcatuit dintr~un numar

E'XEMPLE

1. Asupra unui punct material actioneaza un sistem d , curente, a~a cum se indi .: A f" e forte alcatuit din cinci forte con sistem de forte. ca m Igura 8·5• a. S~ se determine rezullanta ar.est~i

R~z:_va~e. In eazul acestui exempl: este avantajos siise aleagil axa Ox pe directia for.

tei Ft ;>I axa Oy pe directia fortei F (fi . 8 . componente dupa directiile axelor 0 ~ 0 .5,( ~}. Se descompune fiecare forta tn doua orientate dupa directii oarecare, am o~ti~u~ a f~~· 8.5, b) .. tn locul celor cinci forte, culare. Valoarea numerica a rezultantei fo:teYo fo:.te .coh~~are pe ~oua axe perpendi­suma alg~brica a valorilor numerice a f + I, r p . directnle Ox ~~ Oy este egala cu

or~e or componente:

Rx = F tX + F 2X + ... + F 5X•

Ry = F tY + F 2y + ... + F sy·

Astfel sistemul dat a fost redus la dona for R . lare. Rezultanta acestor forte este dat~ d 1~ x ~~ Ry, care au directiile perpenc:licu-fortele Rx ~i R (fig. 8 5 c), Mx . a e Iago~ala dreptunghiului care are ca laturi

. Y • , • urimea rezultantei este data de relatia:

R = V R; + R;. Pentru efeytuarea calculelor este foarte comod s~ f 1 • ~ a se o oseasca tabelul urmator:

Forta (N) I Componenta pe axa Ox (N) C omponenta pe axa Oy (N)

F1 15 15 cos 0° 15 15 sin oo 0 -- .--

F2 12 12 cos 60° 6 12 sin 60o = 10,39 ----

Fa 10 -10 cos -37 -8 10 sin 37° = 6 -- ---

F4 10 -10 cos 60° -5 -10 sin 60° 8,66 ----

Fs I 1,73 1,73 cos 90° 0 1,73 sin 90° 1,73

5 5

Rx = L Fix = 8 ~; Ry = B Fiy 6N i=1 i-1

Valoarea numerica a rezultantei este data de relatia:

R V, 2 ? v-Rx + Rij = 6ft + 36 toN.

196

~= 12N

f5= t 7JN F, _. !SN

~=tON 0

Fig. 8.6. La exemplul 1 : a) fortele ce actioneaza asupra punctulul material; b) fiecare forta se descompune in doua componente, dupa directiile axel or Ox ~i Oy; c)

-+ rezultanta R a fortelor este diagonala dreptunghiului.

Unghiul de orientare al rezultantei fata de axa Ox este dat

de relatia:

tg e = Ry = 6 = o,75; e = 37°.

Rx 8

2. Sa se determine rezultanta a trei forte coplanare ~i concu­rente care au valorile numerice F 1 = F 2 = Fa = 200 N. Un­ghiul dintre prima 9i a doua forta este egal cu unghiul din,tre a doua 9i a treia forta 9i egal cu 60° (fig. 8.6, a).

Fig. 8'.6. La ~xemplul 2.

X

-+ -+ Rezolrare. Compunem mai intii fortele F 1 9i Fa dupli,regula paralelogramului (fig. 8.6, a).

-+ -+ -+ Rezultanta R13

, a fortelor F 1

~i F ,, are aceea~i direc\ie, sens ~i valoare numericii c<t *i

-+ forta F2

• Valoarea numerica a rezultantei sistemului de forte este:

R = R13 + F 2 = 400 N.

8.2. COMPUNEREA FORTELOR PARALELE, CUPLUL DE FORTE. Ml~CAREA DE ROTATIE (IREDUCTIBIUTATEA LA PUNCT MATERIAL)

Consideram un solid, r.lgid, adica un sistem. mecanic in care distan~ele dintre elementele care n alcatuiesc nu se modi fica in procesul mi~carii mecanice. Solidul rigid, sub ac~iunea unui sistem de for~e poat e efectua o -mi§care de transla~ie, o :mi§care de rota~1e sau amindoua Ini§carile simultan. Consideram ca solidul este ac~ionat- de un sistem. de forte paralele. Vom deter:q1ina rezul­tanta siste:mului de for~e paralele in doua cazuri ·particulare.

197

.......

· 8.2.1. Compu,uerea foJ1elor paralele de

aeela~i sens. Sa consideram un solid rigid de·

forma unei hare, Ia capetele careia actioneaza -+ -+ .

dona forte paralele F 1 ~i .F 2, care au punctele

Fig. 8.7. Rezultanta R 1 a doua

de a plica tie in A ~i B (fig. 8. 7). Compunerea

'ortelor pa.ralele poate fi red usa la operatia de

eompunere a fortelor concurente .. In acest scop

se aplica i~ punctele A §i B dona forte egale forte paralele de. acela$i sens, este para lela cu aces tea; are acela~i sens ca ele :;;i are modulul

-+ -+ -+ §i de sens opus notate cu f1 respectiv f2 ((1 =

R = F 1 + F 2• -= -{2), care actioneaza de-a lungul harei AB. ~ ~ '

Fortele f1 ~i {2, fiind egale ~i de sens contrar, nu au nici o influenta asupra starii de mi~care sau de repaus a solidului rigid.

-+- -+-+ Compunind fortele {1, F 1 §i f2, F 2 dupa regula paralelogramului, ohtinem

-~ -+ -+ -+ fortele rezultante R1 respectiv R2. Deplasam fortele R1 §i R2 pina in punctul C de intersectie al dreptelor lor suport. ln acest punct descompunem fortele -+ -+ R1 §i... R2 in componentele lor initiale.

-+ -+ Efectele fortelor f1 ~i {2 anulindu-se reciproc, le eliminam din sistem.

-+ -+ .• Ramin in sistemul de forte numai F 1 §i F 2 care au aceea§i dreapta suport ~i acela~i sens. Rezultanta lor are deci modulul:

-+ - -Forta R este rezultanta fortelor paralele F 1 §iF 2 a plicate in A §i B. Punctul 0 -+

de aplicatie al fortei R, il determinam tinind sean1a de asemanarea triun-ghiurilor AOC ~i A 1C1C, ~i a triunghiurilor BOG ~i B 1C2C.

Daca no tam AO cu b1 ~i 0 B cu b2, din asemanarea triunghiurilor amintite mai sus, obtinem:

bl oc . b2 oc -=-~I-=-ft Ft f2 F2

Impartind relatiile de mai sus membru cu membru, ohtinem:

!!. = F 2 sau F 1b1 == F 2b2• b2 Ft

(8.7)

Relatia, (8.7) ne permite sa determinam pozitia punctului de aplicatie 0, al -> -

rezultantei R. Aceasta relatie este independent& de schimharea directiei fortelor paralele in raport cu solidul. Daca fortele paralele sint rotite fata

198

de directia initiala cu un anumit unghi ~' a~a cum indica figura · 8.8, momentul re­zultant al fortelor in raport cu punctul

C, este: F

1 • C A sin <X - F 2 • C B sin <X = 0, sau

F 1 • CA- F 2 • CB = 0.

In concluzie, rezultanta a douii (o71e paralele fi de acelafi sens, aplicate ·aceluiafi solid, este o (orta paraleld fi de acelafi sens cu componentele fi are modulul egal cu sa_ma modulelor componentelor. Punctul de q,plwa­fie al rezultantei imparte segmental de dreapta care unqte punctele de aplicafie ale com­ponentelor in doua segmente invers propor-

. fionale cu modulele foryelor componente.

EXPERIMENT£

Fig. 8.8. Pozitia P.unctului de ap1i­catie al rezult"antei fortelor paralele este independ~nUi de sc~Imbarea directiei fortelor para~ele I~ raport cu solidul asupra carma actioneazlL

Pentru verificarea experimentala a compunerii fortelor. pa.ralele, se poate

folosi dispozitivul prezentat in figura R9. . " . . d Se suspenda rigla gradata 1, de dinamometrul 2. Pe ~1gla se 1ntro uc

calareti, nota vi pe figura cu 3. Dinamometrul indica o f~rta F' egala in ro.odul

Fig. 8.9. Dis:pozitiv pentru studiul compunerii · fortelor paralele.

199

...

Ar-----c -t----, s

Fig. 8.10. Rezul tan ta fortelor -:)- --l>

paralele F 1 t?i F 2 E1Ste o forta paralela cu fortele componen­te ~i de modul egal cu suma mod~lelor compoilentelor.

/

cu gteuta.tea riglei §i a ca.laretilor. Se ~ine seam a de marimea acestei forte in determinarile ulterioa.re.

De calare~i se suspenda ~irlige cu discuri crestate. Discurile suspendate

·de fiecare calaret vor actiona asupra riglei cu fortele F 1 ~espectiv F 2• Se deplaseaza calaretii pe rigla pina se obtine pozitia orizontala a acesteia. Rigla

4- ~ 4- 4-

este in echilibru sub actiun~a fortelor paralele F 1, F 2 ~i F 3• Forta .F 3 echili~ 4- 4- -)> 4-

breaza fo.rtele F1 ~i F2 (fig. 8.10). Forta. R = -Fa,de acela~i suport ~i de. 4-

acela§i modul ca forta. Fa ~i de sens opus acesteia., care poate echilibra de 4- 4- -+ -)o

asemenea forta Fa, este echivalenta cu sistemul de forte F 1 §i ,F 2• Forta R - -)> 4- 4- -)> 4-

este deci rezultanta fortelor paralele F 1 ~iF 2, R = F 1 + F 2, ~i experimentul demoostreaza ca;

~ ~ ~

a) forta R are aceea~i directie ~i acel~i sens ca. ~l fort;ele F 1 ~i F 2,

-+ -)>

deoarece R = -Fa; b) R =F1 +Fz. 8.2.2. Compunerea for}elor paralele de sens opus. Pentru compunerea

fortelor pa.ralele de sens opus vom proceda Ia fel ca. Ia compunerea fortelor paralele de acela~i sens (fig. 8.11). Conform figurii 8.11, rezulta ca: .

- ~ ~ _,.. ~

a) forta rezultanta R are directia- fortelor F 1 ~i F 2 ~i sensul fortei F 2, adica sensul forfei celei mdi mari;

--4-

b) modulul fortei. R este egal cu difere""fa modulelor forfelor componente:

_,.. Fig. 8.11. Rezultanta R, a doua forte paralele de sens contrqr, este o forta paraleHi eu acestea ~i are sensul fert.ei celei mai mari. Modulul rezultantei este

R = F2- F 1•

R=F2-F1.

Daca_ notarri cu b1 segmentul OA ~i cu b2

segmentul OB, ~i avind in vedere asemanarea triunghiurHor OAC §l CA 1D, precum ~i a tri­unghiurilor OBC §i OD1Bll avem:

bl. oc . b2 oc -= ,§1-=-· f1 F1 f2 F2

lmpartind relatiile de mai sus, membru cu membru, obtinem:

:: = ~~, sau. b1P1 = b2F 2· (8.8)

Relatia (8.8) ne permite sa determinam pozitia punctului de aplicatie al rezultantei. Pe figura 8.11 se observa ca el este in afara segmentu­lui AB ce une§te punctele de aplicatie ale componentelor, ~i situat de partea fortei celei mai roari.

200

EXPERiMENT

Pentru verificarea experimenta.la a compunerii fortelor paralele de sens opus vom. folosi dispozitivul pre,zentat in figura 8.9. Rigla folosita in acest dis~ pozitiv este in echilib'ru sub actiunea fortelor paralele ~ ~ ->-

Fl, F2 ~i Fa· 4- -'>-

Fortele paralele F h F 2 ~1 Fa (fig. 8.12) fiind

in echilibru, putem spune ca forta F 2 echilibreaza ~ - ~ -fortele F 1 ~iF a §i ca for~a R = -F 2 este rezultanta

4- 4-

fortelor F 1 §i Fa:

4- 4- 4- -

R = -F2 =F1 +Fa.

Modulul rezultantei este dat de relatia:

R =Fa -F1.

~

R

A B c

F"1 F2'

'Fig. 8.12. Rezultanta for--)> ~ •

telor F 1 ~i F 3, paralele l}I

de sens opus, este para!t>W ru fort~>le componente l:ji a1·e serisul fortei celei rna i mari in modul. Modulul rezultantei este egal cu dife,renta modulelor com-

ponen tel or.

8.~-.3. Compunerea unui numar oarecare de forte paralele. Fie un sistem 4- ~ _,.. •

de forte paralele de acela~i sens F 1, F 2, ... , F ~' care actioneaza asupra unm solid (fig. 8.13). Se compun fortele doua cite doua. Se compun rnai intii

--4- 4- - _,..

fortele F 1

§iF 2• A poi rezultanta R 1 se compune cu forta Fa· N oua rezultanta.

R2

se compune cu forta F 4 §i a§a Inai departe. Rezultanta generala R a siste­rriului de forte are aceea~i directie ca §i cornponentele sale; modulul sau este egal cu surna modulelor componentelor:

R=F1+Fz+ ... +Fn.

Punctul d~ aplicatie C al rez-ultantei generale se nume§te centrul fortelor paralele. Acesta este un punct fix aJ solidului, a carui pozitie este

independenta de: A E a) sistemul de referin~a;

b) ordinea in care se corn pun forteie par·alele, doua cite doua;

c) schimbarea directiei for~elor para­lele in raport cu solidul (daca toate forvele para]ele se rotesc cu acela§i unghi in raport cu solidul);

·d) modificarea modulelor fortelor pa-I'alele in acela~i raport (spre exemplu dacil toate modulele se mic§oreaza sau sc maresc de n ori in raport cu valoarea lor initiala).

201

Fig. 8.13. Rezultanta unui sistem de forte paralele este aplicata intr-un punct numit (~t:mtrnl fortelot· paf'clele,

•

Daca for~ele paralele nu au toate acela~i sens, se com.pun rnai intii fortele de un anurnit sens ~i apoi fortele de sens contra.r. Se ob~in doua rezultante partiale, paralele ~i de sens opus. Prin compunerea rezultantelor partia.Ie se oht ine rezu1tanta generala, cu punctul de aplicatie in centrul fortelor paralele.

~ Se poate intimpla ca rezultantele par~iale de sensuri opuse sa aiba modu­-Iele ega]e §i suporturile d·iferite', atunci ele alcatuiesc un cuplu de forfe.

8.2.4. Descompunerea unei for(;e in doua componente paralele cu ea, Cu ajutorul rela~iilor (8.7) §i (8.8) se pot rezolva problemele de descompunere a unei for~e date in doua forte ,paralele, cu forta data §i orientate in a.cela~) sens sau :in sens opus.

EXEMPLE

1. Extremita~ile unei bare de mascl neglijabiHi ~ide lungime 1=2,4 m sint a~ezate pe doi sUlpi. La distanta b1 1,6 m de unul dintre stilpi, se suspenda un corp cu greutatea G = 640 N. Sa se calculeze fortele de apasare pe fiecare dintre sUlpi.

-+ -+ Rezolvare. Fie F 1 :;;i F 2 fortele care se exercita pe stilpii care sustin bara (fig. 8.14). Com-form relatiei (8.7), avem:

= F2 l- b1 F 1

cum F 1 + F 2 = G obtinem:

F 2 = 42 7 N; F 1 = 213 N.

2. Extremitatea unei bare de greutate neglijabila :;;i de lungime l = 2,4 m este fixatcl intr-un perete. La distanta d = 1,6 m de perete, bara este sustinutcl de un stilp (fig. 8.15). La extremitatea libercl a barei actioneaza o forta F = 640 N. Scl se calculeze fortele cu care bara apasa asupra peretelui :;;i asupra stllpului.

-+ Rezolvare. Forta F, a:;;a cum rezulta din enunt, este descompusa in doua componente paralele :;;ide s{ms opus. Marimile acestor componente le calculam folosind relatia (8.8):

F 2 2,4 F 2 -- = - sau - = -. l- d F 1 0,8 F 1

.Din aceasta ultima relatie ontinem: .

2,4 - 0,8 F 2 - F 1

0,8 = Fl ' rll:' unde

-~-~~'_O_m ______ ~

f,IQm

--f' J.'ig. s.t4~ La exemplul 1. 1'1~. S.lo. La exemplul ?.

202

8:2.5. Cuplul de forte. Cuplul de for~e este un sistem .de doua for~e paralele, de sensuri

contrare, ·de acela~i modul ~i de suporturi dife­

rite, aplicat~ aceluia~i solid. Planul definit de

cele doua for~e se nume~te planul cuplului, iar

distan~a dintre suporturile lor se nume§te bratul

cuplului (fig. 8.16). Cu toate ca rezultanta

cuplului If=~+ F2 = O(ceea ce :face sa nu existe mi§care de transla~ie), totu§i cuplul are o ac~iune bine determinata asupra corpului diruia i se aplica, · rotindu-l in jurl!l unei l!Xe Fig. 8.16. Cuplul de forte.

perpendiculare pe planul cuplului. . A' • • 1 d Exeniple de cupluri de for~e: ac~Iunea muni.lor as~?~a u~u1 vo an . e

automobil sau asupra ghidoriului unei biciclete, ac~Iunea tiJ~I une1, ~u~ubelni~e asupra crestaturii unui ~urub, ac~iunea m\inii asuprp. unui tirhu§on (fig. 8.17):

8.2.6. Momentul unui cuplu. Momentul unui cuplu de for~e este acela§~ in raport cu orice punct din spa~iu, fiind o proprietate intrinseca a cuplului

\ (fig. 8.18). . . Sa consideram un punct oarecare 0 din spa~iu. Momentul cuplului in

raport cu acest punct este: -+ -+ -+ -+ -+ ~ -+ -+ M = r 1 x F 1 + r 2 x F 2 = (r1 - r2) X F,

... -+ -too

deoarece F 1 = -F2 =F. -+ ~ -+

Dar r1 - r 2 = ro deci -+ _,.. ~

M = r 0 X F. (8.9) -~ -+

Momentul cuplului este perpendicular pe planul definit de fortele Fh F2

§i are modulul M = Fr0 sin (X = Fb,

unde b = r 0 sin (X este bra~ul cuplului.

Fig. 8.17. Cuplul de forte are ca efect producerea unei mi~c~ri de rotatie.

Fig. S.ts. Momentul unui cuplu.

203

(8.10)

t'ig. 8.19. Punctul de aplicatie al momentului unui cuplu poate n

orice punct din spatiu.

Fig. 8.20. Doua- cuplur1. sint echivalente dnd produc acela~i efect.

Sensul momentului cuplului coincide cu sensu! ae 1naintare al unui ~urub drept, a carui axa coincide cu suportul momentului, pe care il rotim in sensul in care cuplul. tin de sa roteasca corpul.

Punctul de aplica~ie al momentului ouplului poate fi orioe punct ctin spa~iu (fig. 8.19) (in cazul corpurilor rigide). · Dona sau mai multe cupluri se spune ca sint echivalente, daca aplicate

succesiv aceluia§i corp, produc acela§i efect (fig. 8.20). Cuplurile echivalente se pot inlocui unul cu altul. Toate cuplurile echivalente au acela§i moment, deoarece efect"!ll de rota~ie este caracterizat numai de c~ltre IIlOmentul cuplu­lp.i. ln cazul corpurilor rigide un cuplu poate fi rotit, deplasat in propriul sau plan sau intr-un plan paralelt efectul sau raminind acela~i, deoare~e

momentul sau nu se modifica.

8.3 .. CENTRUL DE GREUTATE

8.3.1. Centrul de greutate al unui sistem rigid de punete material e. Con­sideram un sistem alcatuit din n puncte materiale A 17 A 2, ••• ,An, de mase respective m1, m 2 , ••• mm care au pozitiile fixe unele fata de altele deoarece sistemul este nedeformabil. Sistemul de puncte materiale este plasat in

c

l<~ig. 8.21. Centrul. de greutate . al unui sisteiil rigid de puncte mate-

. riale.

cimpul gravitational uniform. Fiecare punct al sistemului este supus actiunii unei forte

-+ -+ -+ de greutate Gi = m.g, unde g este un vector co~stant oricare ar fi po·zitia punctului ma­terial. Fortele de greutate care actioneaza asupra punctelor materiale ale sistemului constituie un sistem de forte paralele, care au directia §i sensul verticalei descendente (fig. 8.21). Acest sistem de forte paralele este totdea.una echivalent cu o forta. unica, apli­cata in centrul fortelor paralele.

Centrul for~elor de greutate paralele se nume§te centrul de greutate al sisteiJ?.ului.

204

iar forta uni<.:a G, echivalenta cu fortele sistemului, se nume§te greutatea s£stemutut de puncte materiale.

-+

Modulul fortei G este dat de relatia: , . ,

G = m1g + mzg + ... mng = (m1 + + mz + ... mn)g,

sau

J y2-

Yc

Yt

0 )(f ;cc x2 X

G = Mg, (8.11)

unde M = m1 -t- mz + .:. inn, reprezmta masa sistemului de puncte materiale. Cen-

}'ig. 8.22. In raport cu nn sistem de referinta fix, centrul de greutate al unui sistem de doua puncte materiale

are coot• dona tele . Xc !;li y c·

trul de greutate se comporta ca un punct materia.! de masa M, egala cu suma maselor mi ale tuturor punctelor materiale ale sistemului ..

V om determina pozitia centrului de greutate al unui sistem de 2 puncte materiale in raport cu un sistem de coordonate.

Consider am deci un sistem alcatuit din doua puncte materiale de- ma.se m1 §i mz §i_ de coordonate x1, y1 §i x2, y 2, raportate la un sistem de axe per­pendiculare xOy (fig. 8.22).

-+ -+ ~ -+ -+ ~ Forte)e paralele G1 m1g §i G2 = m2g au drept rezultanta forta G, cti 'punctul de aplicatie inC, numit centru de greutate. Conform relatiei (8.7), avem

G b G b h1 G2 1 1 = 2 z, sa u -- = -·- .

b2 Gt (8.12)

Din asemanarea triunghiurilor AEB §i ADC, precum §i a 'triunghiurilor A.H B §i AFC (fig. 8.22), ob~inem: .

_::__-=: = ~!. si Y c- Y1 = b2' Y2-Yc 'b2

(8.13)

Comparind relatiile (8.12) §i (8.13), ohtinem:

Aceste relatii ne permit sa determinam coordonatele centrului de greutate:

~~-...:.__.-=...._::_ ; Yc = ~----Gl + G2

(R14)

Daca raportam sistemul de puncte' materiale la trei axe de coordonate, ohtinen1 a treia coordonata a centrului de greutate:

(8.15)

Relatiile (8.14) ~i {8.15) se pot generaliza pentru un sistem format dintr-un numar oarecare d.e puncte materiale ~i obtinem p:mtru centrul de greutate al acestui sistem, coordonatele:

Xc ..§.::1 + _:___:.:._ f Gn_::_~ G1 + Oz + .. + Gn

205

~-~_±_:._·_:_±_Q~~ G1 + G2 + ... + Gn

(8.16)

~ig. 8.23. Pozitia centruhti de greutate al 'lmui solid este independent& de orientarea solidului tn raport cu un sistem de refe-

rinta fix.

Centrtd de greutHte are urmatoe­rele propri~tati:

a) pozitia centrului de greutate al · unui sistem de puncte materiale fata

de punctele sistemului este indepen­denta de pozitia sistemului fata de sistemul de ,referinta;

b) daca sistemul de puncle mate­riale are un centru de. simetrie, acest punct coincide intotdeauna cu centrul de greutate al sistemului;

c) daca sistemul de puncte mate­riale are o axa de simetrie, centrul de greutate al sistemului este situat pe aceasta axa;

d) rlaca sistemul de puncte materiale are un plan de simetrie, centrul de greutate este situat in acest plan.

8.3.2. Centrul de greutate al unui sQlid rigid. Orice corp ~olid poate fi

desconipus mintal intr-un num~r foarte mare de elemente de volum, foarte mici, care pot fi aproximate prin puncte materiale. Fiecare punct material

I . ' .•

de masa mi este supus unei forte de greutate mig (fig. 8.23). Totalitatea for­telor de greutate care se exercita asupra elementelor de volum de masa mi, -constituie un sistem de forte .paralele. Rezultanta G a sistemului de forte paralele este greutatea corpului ~i are punctul de aplica~ie in centrul for~elor paralele, care este centrul de greutate al corpului.

Centrul de greutate este un punct fix al corpului ale carui proprietati sint identice cu acelea ale centrului de greutate al unui sistem rigid de puncte materiale. ln plus trebuie sa mentionam ca pozi1i_a centrului de greutate a1 un~i solid omogen este independenta de masa.cuprinsa in acela§i contm:.- Spre exemplu, centrul de greuta.te al unei sticle goale are aceea~i pozitie ca ~i centrul de greutate al aceleia§i sticle umpluta complet cu un lichid. Deci toate centrele de greutate ocupa pozitii identice in raport cu contururi identice.

Centrul de greutate al unui corp omogen ~i cu form~ geometrica regulata depinde de elementele geometrice ale corpului, nu ~i /de natura materialului din care este alcatuit. Daca aceste corpuri au, un · pla.n, o axa sau un centru de simetrie, atunci centrul de greutate se gase§te in planul, pe axa sau in centrul de simetrie respectiv. Spre exemplu, centrul unei bare omog-ene se afla la mijlocl!l sau; al unui disc Cir,cular omogen se afla in centrul sau; al unei sf ere om ogene se afla in centrul sferei; al unui cilindru se afla la juma­tatea inaltimii cilindrului etc. Centrul de greutate al unei placi triunghiulare se afla la intersec~ia medianelor., triunghiului.

206

Experjmenta1. centrul de greutate al unui corp se determina in felul urmator. Se suspenda corpul intr-un punct al sau A, de care se leaga un fir cu plumb. Directia: firului se marcheaza pe corp. A poise suspend a corpul intr-un alt punct al sau B ~i se marcheaza, din nou pe corp, directia firului cu. plumb. Intersectia celor doua linii marcate pe corp arata pozitia centrului de greutate C (fig. 8.24). Se poate verifica experimental ca centrul de greutate al unui corp_ este un punct unic.

Dupa cum se poate arata, intr-un cimp gravitational omogen, . centrul de greutate

Fig. 8.24. Determinarea experimentala a centrului de greutate al unui corp.

coincide cu centrul de masa. Totul}i notiunea de centru de ma~a este mai general a decit aceea de cenfru de greutate, deoarece centrul de masa a.l unui ' sistem fizic se poate determina intotdeauna, independent de fortele gravita­tionale, ceea ce nu este adevarat pentru centrul de greutate. Spre exemplu, · 'un experimentator din spatiul cosmic, aflat intr-un satelit, nu va putea sa determine centrul de greutate al unui obiect deoarece forta gravitational& nu are nici un efect in locul in care se face experimentul. ln schirt1b, experimenta­torul va putea determina centrul de ma,sa al obiectului.

EXEMPLE

1. Pe o tija rigida de masa neglijabila sini introduse doua sfere 0 1 ~i 0 2 d-e inase respec­tive m1 ~i m 2 • Centrele sferelor se afla la distantele x 1 respectiv x 2 de extremitatea 0 a tijei (fig. 8.25). Sa se determine pozitia centrului de greutate al sistemului alcatuit din cele doua sfere. · · -Rezolvare. Greutatea G a sistemului alcatuit din cele doua sfere este aplicata in pune-tul C, centrul de greutate al sistemuluf. -Momentul fortei rezultante G, in raport cu punctul 0, este egal cu suma momentelor fort-elor componente in raport cu acela~i punct, deci:

de unde

deoarece G = G1 + G2.

2. S:l se determine pozitia centrului de greutate C al unui disc omogen cu grosimea uni· forma ~i de diametru D1 = 40 em, din care s-a taiat o bucata c\&culara cu diametrul D 2 = 10 em. Centrul 0 2 al orificiului circular se afla la 10 em de centrul 0 1 al discului dat (fig. 8.26).

207

Fig. 8.25. La problerMl r~zolvaHi 1. Fig. 8.26• La prnblema rezolvata J•

Rezol9are. Calculam raportul dintre greutatea G1 7tRihpg a di~cului intreg ~i greu-

tatea G2

= 1tR~hpg &:· partii scoase din disc:

G1 Ri 16 -=-:::=;-J

G2 R~ 1

unde R1

este raza discului 9i R 2 raza partii decu~ate. . ~ • . . _ Greutatea discului incomplet se obtine din relatla de mal. sus facmd o proportie dert

vata:

deei: G = G1 - G2 15 G2.

Presupuniflil ca discul este lntreg,· greutatea lui, Gl, aplicata in Ov este ~ezultanta for-

telor paralele G2 9i G .. ~lomentul fortei rezultante Gl, in raport eu Ot e~te egal cu ~nma momentelor fortelor

compone:o.te G2- 9i GIn raport cu acela~i punct.

Deci 0,

de unde G2 • 0102 = ~ = 0,67 em.

15 G2 15

8.4. ECHILIBRUL MECANIC. CONDITII DE ECHILIBRU

8.4.1. E·ehilibrul punetului materialliber. Ech~lib~ul de .~ra~sla~ie. Pnnc­tul material, fiind considerat un corp cu dim~nsium ne~hJabi~e, acesta ~u poa,te efectua mi~cari de rota tie in jnrnl unm axe treCind ~r1~ _co~p. Sub ..

t . i sistem de forte punctttlrnateria,l poate·efectua m1~. can de trans-ac 1unea, unu , ' · t · 1 t e la,tie. Echilibrul sistemului de forte aplicate punctulul rna er1a se nume~ · .

f'chilibru de translatie. " s · n e c~ un sistem de for\e este in echilibru sau ca are efect nul e spu '"' d. 8 a pului pe care atunci cind nu influenteaza mi§carea sau starea e repau cor _

il actioneaza. 208

...,... -l-

Conform principiului fundamental al dinamicii, R = ma, cauza deter~ • -l-

minanta a varia~iei vitezei unui corp este rezultanta R, a for~elor care ac~io-neaza asupra corpului. Pen:tru ca un sistem de forte sa nu influenteze mi~ca­rea corpului pe care il actioneaza, trehuie ca. rezultanta lui sa fie nula.

Sa consideram un punct materiallihBr, adica un punct material care nu este legat de alte corpuri §i care se poate deplasa in orice directie in spa~iu.

-+ -l- ~

Daca punctulmaterialliber este ac~ionat de un sistem de forte P 1 , F 2, ••• , Fn, tn a,a fel dispuse tncit rezultanta lor sa fie nula:

4 -l- -l- --'1-

R = F 1 + F z + ... + F n = 0, (8.17)

atunci punctul material ramine in repaus sau se mi~di rectiliniu ~i uniform fata de un sistem de referin~a iner~ial. Spunem cii punctul material este in echilibru. Echilihrul este static cind punctul material ramine in repaus §i echilihrul este dinamic cind se mi§ca rectiliniu §i uniform in raport cu siste­mul de referin~a dat. Alegind convenabil sistemul de referin~a, echilihrul dinamic p oate fi privit ca echilibru static. ln continuare ne vom referi numai la echilibrul static. Relatia ( 8.17) reprezi~ta conditia de echilibru pentru punctul material )iber. Deci: .

conditia necesara §i suficienta pentru echilibrul unui sistem de forte aplieate unui punct materialliber este ca rezultanta forjelor sa fie nula.

Daca proiectam ecuatia vectorial a (8.17) pe doua axe de coordona.te .. per-pendiculare. Ox §i Oy, conditia de echilib.ru (8.17) este inlocuita prin urma­toarele conditii de echilihru:

Rx = F1x + F2x + ... + Fnx = 0, (8.18)

Ry = F1y F 21J + ... +FnY = 0. (8.19)

Conditia necesard ~i suficientd pentru echilibrul sistemului de forte care actio­n,eazd asupra punctului material liber, este ca suma componentelor for{elor pe dqua axe perpendiculae Ox s,i Oy sa fie zero.

8.4.2. Eehilibrul punctului material liber supus acjiunil a doua forje.

EXPERIMENT

Vom · folosi dispozitivul experimental reprezentat in figura 8.27, realizat . cu componente ale trusei de fi.zica pentru li_peu. Acest dispozitiv este schema­tizat in mod simplificat in figura 8.28.

Corpul studiat este un inel foarte u~or, asimilat cu un punct material. Greutatea. inelului se neglijeaza in raport cu for~ele care actioneaza asupra lui. De inel se leaga doua fire, care tree peste doi scripe~i. La extremitatile acestor fire se leaga ni~te cirlige suport pentru discuri crestate. Pe ambele

209 14 - Fizica cl. a IX-a

Fig. 8.27. Dispozitiv pentru studiul echilibrului fortelor.

Fig. 8.28. Echilibrul unui punct mate­rial snpus actiunii a doua forte.

ctrlige. suport se pun in numar egal disc uri. Se constata ca firele legate de inel se intind in linie dreapta, iar inelul ramine in repaus.

Interpretam acest experiment simplu astfel. Asupra inelului ac~ioneaza -+ -+

doua for~e F 1 §i F 2 care au a.cela§i suport, sensurile opuse ~i modulele egale. -+

Rezultanta R a for~elor este egala cu zero: -+ -+ -+ R =F1 +F2 = 0.

Cele doua for~e se echilibreaza. Un punct ~materialliber supus actiunii a doua forte este fn echilibru daca

cele doua forte au acelOli ~uport, acela$i modul # sensurile opuse.

8.4.3. _Echilibrul punetului materialliber supus aetiunii a trei forte.

EXPERIMENT

Se folose§te dispozitivul din figura 8.27 care ·este reprezentat simplificat in figura 8.29. Corpul studiat este inelul -din experimentul precedent. De acest inel se leaga trei fire, dintre care doua se tree peste cei doi scripe~i ai dispozi­tivului. De unul dintre firele trecute peste scripe~i se suspenda, spre exemplu, patru discuri crestate, iar de celalalt trei discuri crestate. ~asat liher inelul nu mai ramine in echilibru §i, pentru a-1 echilibra, se suspenda de al treilea fir un numar de discuri_ crestate, spre exemplu cinci.

-+ -+ -+ Asupra punctului material· ac~ioneaza trei for~e concurente: F 1, F 2 §i F 3•

-+ ~-+ -+ Yom inlocui for~ele F 1 §iF2- prin rezultanta lor R1• Punctul material se

' ~ -+ -+ ' afla in echilihru sub ac~iunea for~elor F 3 §i R1• Deci R1 trebuiei sa aiba acela~i

-+ suport fi acela'i modul ca F 3 §i sensu! opus acesteia:

..... ... ..... ..... Rt =-Fa =Fl +F2.

210

--Fig. 8.29. Un punct material .este in echilibru sub actiunea a trei forte coplanare conctirente cind rezultanta tor e5te nula.

Deci,

Prin urmare

-+ -+ Fig. 8.80. Sistemul de forte F 1 l;li F 2 con­curente in 0 este echivalent cu o forta

-+ unica R, numita rezultanta sistemului

de forte.

condifia necesara $i suficienta ca punctul material liber supus acfiunii a trei forte sa fie ln echilibru este ca rezultanta lor sa fie zero.

Experimentul descris mai sus permite sa se verifice faptul ca: rezultanta

a doua forte F 1 §i F2 concurente intr-un punct 0 este definita in direc~ie, sens §i modul prin diagonala care p~eaca din 0, a paralelogramului care are ca Iaturi cele doua for~e (fig. 8.29 §i 8.30).

Pentru verificarea experimentala de care am vorbit mai sus, roasuram -+ -+

unghiul dintre fortele F 1 §iF 2 cu ajutorul unui raportor in forma de disc, cu -+ -+

care este prevazut dispozitivul, §i apoi reprezentam la scar a for~ele F 1, F 2

§i R1 pe o foai~, de hirtie milimetrica. Din reprezentarea grafica constatam ca

forta R1 este orientata dupa diagonala paralelogramului construit pe fortele

F 1 ~i F 2 ca Iaturi §i are modulul egal cu lu~gimea diagonalei. . Acela§i experiment permite sa se verifice ca fiecare dintre cele trei forte

F 1, F 2, ~i F 3 este direct opusa rezultantei celorlalte doua (fig. 8.29).

14*

EXEMPLU

De mijlocul unui fir 0 este legat un inel U$or, asimilat cu un punct material, a carui greutate este neglijabila tn raport cu fortele care actioneaza asupra lui. Capetele firulu~ care sus tin doua corp uri cu greutatile G1 = 6 N l;li Gz = 8 N ~ stnt trecute

211

·, G3 ty

Ffg. 8.31. La problema rezolvutit Fig. 8.82. Punctul material este In "

echilibru sub actiunea fortei F1

fi!i a . -+

fortei de Iegatura N1•

peste doi scripeti mici. De inel se leaga un al do ilea fir, care sustine un corp de greu­tate Ga = 10 N (fig. '8.31). Sa se determine unghiurile ex: ~i {3 pentru pozitia de echi-libru a punctului material 0. ,

Rezolvare. Punctul material 0 este liber. Pozitia sa in spatiu fiind determinata nu­mai de fortele care actioneaza asupra lui. Asupra punctului material actioneaza

-+ -+ -+ fortele T1, T2 9i T3 • Punctul material fiind in echilibru, rezultanta fortelor care actioneaza asupra lui es te zero. · •

-+ -+ -+ Tt+T2 +T3 =·o. (8.20)

Proiectam, ecuatia vectoriala (8.20) pe doua axe de coordonate Ox ~i Oy. Directia -+

axei Oy coincide cu directia fortei T 3 , iar axa Ox este perpendiculara pe Oy tn o. Efectui~d proiectii~e, 9i avind in vedere ca T1 = G1 , T

2 = G2 9i T

3 = G

3, phtinem:

- G1 sm a. + G2 sm {3 = 0; G3 '- G1 cos a. - G2 cos {3 = o, sau

G: sin ct. G2 sin {3; G3 - G1 cos a. (;2 cos ~- (8.21)

Ridicind Ia patrat relatiile (8.21) ~i apoi adunindu-le, obtmem:

G~ + G~- G~ cos ct. = G G = 0,6; a. ~ 53°.

2 1 3

ln mod asemanator se ohtine 9i

G2

G2 G~ cos {3 = V3 + 2 - = 0,8; {3 ~ 3? 0 ,

. 2G2G3

8.4.4. Echilibrnl punctnlui material supus Ia legaturi. Suprimam unul dintre firele legate de inelul folosit in experimentul descris in § 8.4.2. ~i a poi prindem inelul de' un cirljg (fig. 8.32). Asupra inelului, care este in echilibru -ac~ioneaza forta F 1· lnsa aceasta forta singura nu poate sa echilibreze inelul.

Trebuie sa admitem existen~a unei a doua forte N1• Aceasta for~a care se exercita din partea cirligului, adica din partea legaturii, este o for~a de Iega-

tura sau o forta de reacFune sau simplu reactiune. For~a de iegatura N1

are acela§i suport, acela§i modul ·ca forta F1 §i sensul opus acesteia. Deei .:·ele doua forte se echilibreaza, rezulta~ta lor fiind egala cu zero.

Se nume~te legatura ~ orice cauza uare liJni teaza mi~carea unui punct material sau a unui corp oarecare in spatiu. Legaturile obliga punctul mate­rial sa ramina tot timpul pe D anumita Suprafa~a sau pe o anumita curba sau sa nu paraseasca un anumit loc din spa~iu.

Citeva legaturi simple ale punctului material Je cunQa~te~i din capitolele precedente. Spre exemplu: legaturile realizate prin fire care dau na~tere unor reactiuni ·numite tensiuni in fire, sau legaturile rea- Fig. 8.33. Greutatea G a Iizat~ prin anumite suprafe~ plane sau curbe pe care punctului material este

echilibrata de reactiunt>.a sint a~zate puncte materiale. Acestea dau na~tere _ -+ • N a suprafetei pe ~re

unor reac~iuni N orientate de-a lungul normalei este · rujezat- acesta. comune Ia suprafe\ele corpurilor in contact (fig. 8.33). ·

-Reac~iunile (for~ele de Iegatura) pot inlocui legaturile geometrice. Urmea· za ca. atunci cind eliberam un punct material de o legatura, sa aplicam a.su­pra acestuia, cite o for~a de legatura. Procedind astfel, _inlocuim legaturile cu un sistem de for~e de legatura.

~i snfieienta ea un sa fie in echilibru este ea rezultanta

a de 1e2~at1ll'a

EXEMPLE -+

Pe un plan orizontal se afla un punct material de greutate G, asupra diruia actio-:-

neaza 0 forta -;: formind cu orizontala unghiul a. (fig. 8.34). sa se determiD:e forta maxima pe~tru care punctul material ramine-inca in echilibru. Coeficientul de fre-care dintre punctul material ~i plan este p.. . Rezolvare. Aceasta problema se refera Ia punctul material supus la legaturi. Se inlo:. cuiesc Iegaturile geometrice prin fortele de legatur~ !iii se scrie conditia de echili­bru:

- -+ -+ -G+Fr+F +N=O, (8.22)

unde G este greutatea- punctu. .. u.i material, Fr forta de

frecare, F forta de -tractiune, N reactiunea normala a planului. Proiectind ecuatia {8.22) pe doua axe de coordonate perpendiculare Ox !iii Oy, care au directiile o~izontala !iii verticala !li sensul indicat pe figura, obtmem:

F cos ex,.:_ p.N·= O, (8.23)

N + F sin a; - G 0, (8.24)

unde p.N este modulul fortei de frecare Ia limita lune­cArii. Din relatia (8.24) scoatem valoarea lui N, o intro­ducem tn (8.23} Iii dupa ~ectuarea calculelor obtinem:

F cos :z + p.F sin « - (LG. = o.

213

y

'G Fig; S.84. La problema rezol·

vata.

· Din relatia de mai sus obtinem forta maxima pentru care punctul material ramtne tnca tn echilibru :

!J.G Fmax = ---'--

cos ~ + fl. sin oc Pentru torte mai mici dectt Fmax corpul va fi tn echilibru.

8.4.5. Echilibrul de translatie ~i de rotatie al unui solid ~igid. Un solid rigid, sub ac!iunea unui sistem de for~e, poate efectua o mi~care- de transla~ie

sau o mi§care de rota~ie. Deci, in acest caz sint necesare dona condi~ii de echilibru pe care Ie vom studia in cele ce urmeaza. -

a. Un corp solid este in echilibru de transla~ie, in raport cu un sistem de referin~a iner~ial, daca este in repaus (echilibru static) sau cind se afla in mi§care rectilinie §i uniforma (echilibru dinamic). Putem transforma orice caz de echilibru dinamic in echilibru static, plasind solidul intr-un sistem de referin~a convenabil ales. ·

· Condi~iile de echilibru de transla~ie pentru solid~l rigid sint acelea~i ca §i pentru punctul material.

Solidul rigid este in echilibru de translatie cind rezultanta sistemului de for{;e . care actioneaza asupra lui .este zero.

Condi~ie exprimata prin rela~ia urmatoare: -+ -+ -+ -+ R = F 1 + F 2 + ... + F n 0. (8.25)

Rela~ia (8.25) exprirna prima condi~ie de echilibru.

Proiectind ecua~ia. vectoriala (8.25) pe doua axe perpendiculare Ox §i Oy, ob~in~rn:

Rx =Ftx +F2x + ... +Fnx = 0,

Ry = FlY + F 2Y + ... + F ntt = 0.

(8.26)

(8.27)

Deci, pentru ca un sistem de forte aplicate unui solid rigid sa fie tn echilibru de translatie {lntr-un plan), este nec~sar ~i suficient ca suma componentelor fortelor pe doua· axe perpendiculare Ox ~i Oy sa fie nule.

b. Efectul de rota~ie produs de o for~a asupra unui solid este masurat prin rnomentul for~ei in raport cu un punct sau cu o axa.

Solidul rigid este in echilibru de rotatie cind se afla in repaus san cind se rote~te uniform in jurul unei axe. Pentru a fi indeplinite aceste conditii este necesar ~i suficient ca momentul rezultant al fortelor aplicate sou .. dului sa fie nul.

-+ -+ ""* . M=M1+M2 +:···+}rfn=O. (8.28)

. ~·

Rela~ia (8.28) exprima a doua condi~ie de echilibru, numita §i condi~ia de echilibru de rota~ie.

Observatii. 1. Echilibrul de transla~ie este independent de pozi~ia punc­telor de aplica.~ie ale for~elor ca.re n ac~ioneaza. Daca .solidul reprezentat in

214

figura 8.35, a, este in echilibru sub ac~iunea for~elor cu punctele de aplica~ie in A, B, C, el va ramine mai departe in echilibru fJi cind punctele de aplica­~ie ale for~elor sint in A1, B 1, C1 (ng. 8.35, b). Pozi~ia punctului de aplica~ie al fortelor influenteaza numai echilibrul de rota~ie.

2. Condi~iile de echilibru depind de. natura siste­mului de for~e care ac~ioneaza a.supra solidului rigid. Distingem urmatoarele cazuri pa:ticulare:

1) Daca solidul rigid este supus ac~iunii a doua for~e, el este in echilibru c'ind cele doua for~e au acelafJi modul, acela§i suport f}i sensurile opuse.

2) Daca solidul este supus ac~iunii a trei for~e, a plicate in trei puncte :uecoliniare, et este in echilibru cind: · ·

a) suporturile for~elor sint cuprinse in planul determinat de punctele lor de aplica~ie;

b) suporturile for~elor sint concurente;

a

b

Fig.· 8.35~ Echilibrul de · translatie este indepen­

dent de pozitia punctelor de aplicatie ale fortelor.

c) rezultanta a doua dintre cele trei forte are acela~i suport ~i acela~i modul ca for~a a treia, sensu! ei fiind opus sensului celei de a treia foJ1,e.

3) Daca solidul este supus a.c~iunii unui· sistem de for~e situate in ace­la§i plan, el este in echilibru cind rezultanta sistemului de for~e este egala cu zero:

..;.. n -+

R =E Fi = o. i

ObserPalie. Daca rezultanta for~lor este zero ( adica este indeplinita condi~ia. de eehilibru Ia. transla.~ie) at unci momentul· rezulta.nt al for~elor in raport cu oriee punct din spa.~iu nu depinde de a.cest punct {a.dica condi~ia. de anulare a. momentului se poa.te pune ~~~a de orice pol).

EXEMPLE

1. Echilibrul unui solid sub actlunea unui sistem de forte paralele.

0 bara AB, de greutate neglijabila ~i de lungime l, este a~ezata pe un suport tntr-un

punct 0 aflat la distanta b1 = ~ l de punctul A (fig. S.36, a). tn ce rapo:rt trebuie ·3 .

sa se afle fortele, care trebuie aplicate la extremitatile barei, pentru ca a.ceasta sa fie tn echilibru?

Rezolflare. Aplicam conditia de echilibru (8.28) sistemului de forte r.are actioneaza asupra barei (fig. 8.36, b):

{8.29)

215

, ..

A

Lt 3

0~ a

A

8

_2 b,-yl

-F,

Fig. 8.18. La exemplul 1.

B

0

b

Momentele fortelor le calculam tn raport cu punctul 0:

- 2 - 1 Mo{Ft}= -b1F1 = - :-l F1; Mo{F2} = bsFz = -lF1 • 3 3 -Momentul fortei F 3 tn raport cu 0 e8te zero.

- lnlocuind valorile momentelor in relatia {8.29), obtinem:

2 lF1 = o,

3 de unde:

(8.30)

Bara este in echilibru pentru toate fortele care satisfac reJatia (8.30). Cum bara este ~i in echilibru de translatie, rezultanta fortelor care actioneaza asupra barei este zero, deci:

Fa Fs - F 1 = 0, sau Fa· F 1 + F 3 • {8.31) --Cind solidul este tn ecliilibru de translatie, conditia :ElV(Fi) = 0 ramlne valabiHi, oricare ar fi punctul sau axa tn raport en care se calculeazA momentele. Putem verifica acest lucrn in cazul exemplului dat mai_sus. CaleulAm momentele tn raport en punctul A:

c /

B

Fig. 8.37. La exemplul 2.

2 F 1 • 0 - Fa· l + F 2 • l = o·

3

Avind in vedere relatia (8.31), obpnem:

Fs 2F1 •

Calculati momentele forteJor tn raport cu un punct C aflat Ia ·1

distanta - l de A. ~

2. Echllibrol unui solid sub acJiunea unui sist.em de forJe neparalele.

0 bara omogena de m;u;a m ~i Iungime l se reazema. cu capatul ei superior A de un perete neted. De capatul barei B este prins un fir inextens~il BC, fixat de perete in punctul

f". Lungimea firului este l V3. SA se determine pozitia de

echilibru a barei pentru care reactiunea N este perpendi­clllara pe perete in A (fig. 8.37).

216

-Rezolvare. lnlocuim legaturile Ia care este supusa bara prin fortele de legatura N ~i - -- -T. Asupra barei actioneaza sistemul de forte N, T ~i G. Bara fiind in echilibru, supor-turile celor trei forte se intersecteaza intr-un punct M (fig. 8.37}. -Reactiunea Neste perpendiculara in A, numai pentru una dintre pozitiile de echilibru ale barei, caracterizata prin distanta d = AC, pe~ care trebuie sa o determinam. ln triunghiul CAB, dreapta OM este paralela cu latura AC l?i intersecteaza laturile AB

~i CB Ia jumatate. Deci MC = (V3J2)l. . Din triunghiurile dreptunghice CAM l?i AMO,, obtinem:

AM2 = CM2 - AC2 = ~ l 2 =--- d2,

It

• l2 aa AM2 = A02 - OM2 = - - •

4 It

Din relatiile de mai sus obfinem:

1. [2 - d2 = !!_ - d2 ' 4 It 4

Sjl.U

d=v~~-Pozitia de echilibru a sistemului dat este independent~ .de greutatea barei.

8.5. ECHILIBRUL iN CiMP GRAVITATIONAL ECHILIBRUL ~I ENERGIA POTENTIALA

8.5.1. Echilibrul punctului material. Vom studia echilibrul unui punct. material in ciropul gravita~ional uniform, unde acesta este sup us . ac~iunii for~elor de greutate §i ac~iunii for~elor de legatura ..

Spunem ca un punct material este in echilibru static daca este imobil in raport cu un sistem de referin~a iner~ial. Condi~ia necesara ca punctul mate­rial sa fie 1n echilihru, in raport cu un sjstem de referin~a iner~ial, este ca surna vectoriala a tuturor for~elor . care ac~ioneaza asupra lui sa fie nula. Aceasta este condi~ia necesara ca punc.tul materjal sa fie in echilihru, dar este ea §i suficienta pentru ca. echilihrul sa fie sta.bil?

Sa consideram o suprafa~a al carei profil este reprezentat in figura 8.38. Vom a§eza in diferite punc.te ale acestei suprafe~e o hila de dimensiuni reduse, asimilabila cu un punct material. Constatam ca hila este in echilihru in punctele A §i,B de· pe por~iunea curha a suprafe~ei, precum §i in toate punctele de pe por~iunea plana orizontala M P a suprafe~ei, deoarece in toa;te aceste puncte rezultanta for~elor care ac~ioneaza asupra punctului material este egala cu zero :

- -+ -R =G+ N= 0,

-+ ~ 4

unde G este greutatea punctului material ~i ]\l reae~iun.ea suprafe~ei de sprijin~

217

Fig. 8.88. Pozitia de echilibru stabit a unui punct material suh actiunea fortelor de greutate corespunde minimului de energie

potentiaHL

Daca indepartam foarte pu~in hila din pozi~ia de echilihru static, pot interveni trei situa~ii:

a) indepartind-o din punctul A, asupra hilei ac~ionea.za o for~a rezul­ta.nta care o indeparteaza §i mai mult de pozi~ia ini~iala. Se spune ca echili­hrul este instabil;

b) indepartind-o din punctul B, hila este ac~ionata de o for~a rezultanta care o readuce la p~zi~ia ini~iala - se spune ca echilihrul este stabil;

c) indepartata din punctul C, hila ramine in echilihru in orice punct al suprafe~ei plane orizonta.le - se spune ca echilihrul este indiferent.

Prin urmare, for~a rezultanta egala cu zero este o condi~ie necesara,. dar nu suficienta pentru echilihrul stahil al punctului materia,! intr-un cimp de for~e conservativ.

Echilihrul punctului material (al hilei) poate fi considerat §i din punctul de vedere al energiei poten~iale a sistemului alcatuit din punctul material §i Pamint. Energia poten~iala a acestui sistem se exprima prin rela~ia Ep = = mgh, unde h reprezinta diferen~a de nivel dintre pozi~ia punctului material §i nivelul corespunzator energiei poten~iale l).ule. ln cazuf descris mai sus §i reprezentat in figura 8.38,vonl lua. planul orizontal care trece prin punctul B, ca nivel de referin~a pentru energia poten~iala, a carei valoare la acest nivel o consideram nula, EpB = Epo = 0. Punctul A corespunde maximului de energie poten~iala, iar punctul B corespunde minimului de energie poten~iala. Pe planul orizontal care trece prin punctele C §i · D energia poten~iala este constanta.

. Deci, _pozi~ia de echilihru stahil a unui punct materil!! sub ac~iunea for~elor de greutate este aceea care corespunde minimului de energie poten· tiala, in compara~ie cu valorile din pozi~iile vecine. _b.ceasta proprietat·e este valahila pentru orice punct material supus ac~iunii unor for~e conservative.

In pozi~ia de echilihru instahil, energia poten~iala are o valoare maxima in c~r-atTe c~alo~ile din punctele vecine. Iar in cazul cind energia po~

218

, I

_Jiala a punctului material este canstanta. punctul material se afla tn echi­lihru indiferent .

. 8.5.2. Eehilibrul soUduiui rigid suspendat. ConsidJra~iile · facute asupra ; echilihrului punctului material in cimpul gravita~ional se pot extinde foarte U§Or la echilihrul solidului rigid. Par~ile componente ale solidului sint ac~io.­nate de for~ele gravita~ionale a caror rezultanta este aplicata ih centrul da greutate al corpului. Putem sa inlocuim solidul printr-un punct material . plasat in centrul sau de greutate in care presupunem concentrata intreaga masa a corpului.

Cunoa§terea pozi~iei centrului de greutate al unui solid este de mare importan~a pentru diferitele aspecte ale echilihrului ace_stuia.

Suspendam o rigla omogena cu una dintre extremita~ile sale de un cui (fig. 8.39, a). Constatam ca centrul sau de greutate se afla sub punctul de suspensie §i pe aceea§i verticala cu acesta. For~ele ca~e ac~ioneaza asupra

~ ~

riglei, greutatea G §i rea.c~iunea N a suportului se echilihreaza. Be indepar-teaza rigla din aceasta pozi~ie. Centrul sau de greutate urea, iar energia po­ten~iala cre§te. Lasata liher, rigla este · read usa in pozi~ia ini~iala de ciitre

~ ~ . cuplul alcatuit din for~ele G §i N. in acest caz. rigla se afla in echilibru st~hil. Pozi~iei de echilihru stahil ii corespunde energia poten~iala minima.

Se rote§te rigla cu 180°, a§a cum indica-figura 8.39, b. Centrul de greu­tate a urcat deasupra punctului de sprijin, iar energia poten~ia.la a sistemului a crescut la valoarea maxima. in acest caz avem de a face cu un echilibrti instahil. indepartind foarte pu~in rigla din aceasta pozi~ie, aceasta, sub ac~i-

~ ~

unea cuplului de for~e G §i N, tinde sa ocupe pozi~ia. corespunzatoare ~nergiei poten~iale minime; deci, pozi~ia de echilihru stahil.

. Daca se. suspend a rig1a in centrul sau de greuta.te, oricare ar fi pozi~ia in care o a§ezam, ea ramine in echilihru. in acest caz rigla este in echilihru indi­ferent.

in concluzie, modificind foarte pu~in pozi~ia de echilihru static a unui ~olid suspendat, se pot ivi tr~i cazuri: -

N

a b c

//'\. / ,>

/

/ /

/

Fig. 8.89. Solidul (rigla) este in echilibru: stabil in pozitia a; instabil in pozitia b; indiferent in pozitia c.

219

Fig. 8.40. Baza de sprijin a tre­piedului este un

triunghi.

Fig. 8.41. Un corp a~eza\ pe o suprafata plana este tn echilibru ctnd verticala coborita din centrul.sau de

greutate cade tn interiorul suprafetei de sustinere.

a) solidul revine la pozi~ia initia.la - se spun~ ca echilibrul este stabil; b) solidul se indeparteaza ~i mai mult de pozitia de echilibru - se spune

ca echilibrul este instabil; ·c) solidul ramine in repaus in orice pozi~ie - se spune ca echilibruJ este

indiferent. ·

8.5.3. Eehilibrul solidului care are o baza de sprijin~ Cladirile, vehiculele, obiectele din gospodarii a~ezate pe suprafete plane sint in stare de echilibru, deoarece ele au o baza de sus~inere. Un scaun sau omasa se sprijina pe podea in patru pu~cte, un taburet in trei puncte. ·unind punctele corpuJui aflate in contact cu suprafa~a plana ~i a.nume pe cele mai indepartate, ohtinem un poligon convex, a carui suprafa~a se nume§te baza de susfinere. Figura 8.40 aratif ca baza de sus~inere a unui taburet este un triunghi.

Un corp solid a§ezat pe o suprafa~a plana, se afla in echilibru, atunci cind verticala coborita din centrul sau de greutate cade Jrt interiorul bazei de sus­tinere. De exernplu cilindrul din figura 8.41, a este in echilibru deoarece greutatea §i reac~iunea se echilibreaza reciproc. CilindruJ din figura 8.41, c," pentru care verticala coborita din centrul de greutate nu cade in interiorul bazei de sprijin, nu este in echilibru, deoarece greutatea ~i reac~iunea for­meaza un cuplu care tinde sa·~l rastoarne. Cilindrul din figura 8.41, b este Ia Iimita echilibrului.

lNTREBARI. EXERCITII. PROBLEM£

l. 1n ce caz,doua sau mai multe sisteme de forte,sint echivalente?

2. Se descompune o forta pe doua directii oarecare coplanare cu forta. Este posibil ca una d~ntre componentele fortei sA. fie mai mare dectt forta?

R: da.

8. Daca_ rezultanta unui sis tern de forte concurente este zero, demonstrati cii ~i momen· tul rezultant al aces tor forte in raport cu un punct oarecare este zero.

4. Demonstrati dl un cuplu riu poate fi et?hilibrat dectt de un alt cuplu,

220

-'i 1,21!1

-F,

I I· 0,5m ~I

\.

Fig. 8.42. La problema 8. Fig. 8.43. La problema 9.

· li. Sa se determine rezultanta a trei forte eoplanare ~i concurEnte care au milrimile F 1 =Fa= F 3 = ~0 N ~i care fac intre ele unghiuri de 120°.

R: R = 0. 6. De cablul unui funicular aUrna un corp cu masa m 100 kg. Cablul face intre cele

doua parti intinse unghiul ex. 120°. Ce forta de intindere actioneaza in cablu? R: T = 980 N.

'Z. Se dau 6 forte concurente egale in modul care fac intre ele unghiuri de 60°. Sa se af1e rezultanta sistemului de forte.

R: R = 0. 8. Sa se caJculeze prin metoda analitica, rezultanta sistemului de forte reprezentat in

figura 8.~2. Se dau F 1 Fa F 3 = ~0 N, F ~ = 20 N. R: R ~ 39 N.

9. 0 bara cu greutatea neglijabiHi se sprijina In A ~i B pe douii suporturi (fig. 8.~3). La extremitatea C a barei se suspenda o sarcina G = 500 N. Sa se calculeze reacti-unile suporturilor asupra barei, tn punctele de sprijin. '

R: NA = 1200 N; NB = 700 N.

10. 0 grinda de greutate neglijabila se sprijina in M ~i N pe doua suporturi (fig. 8.44). De grinda sint suspendate trei sarcini F 1 = 200 N; Fa 300 N; Fa = 150 N, in punctele A, B ~i C. Sa se determine: ·

a) modulul ~i pozitia punctului de aplicatie al rezultantei R1 a fortelor F1 ~i F2 ;

b) modulul ~i pozitia punctului de aplicatie al rezultantei Ra a fortelor R1 ~i Fa. B: aiR1 = 500 N; Ia 18 em de A; b) R2 = 650 N; la 63 em dec

I I• O.Jm .i • 0.3m .I. D,7m I IJ,Jm .:

I I

fj= fS!JN

Fig. 8.44. La probiema tO.

221

A

--F

G

0 b Fig. 8.40. La problema 12. Fig. 8.46. La problema 13.

11. 0 ~ina de cale ferata cu lungimea l = 10 m ~i cu masa m = 900 kg este ridicata cu doua fringhii paralele. Sa se determine tensiunile din frtnghii, daca una dintre ele este fixata Ia un capat al ~inei iar cealalta la distanta d = 1 m de celalaJt capat.

R: ~ 000 N ; 5 000 N. 12. De un f~ fixat tntr-un punct A , se suspenda un corp cu masa m = 2 kg. Un al doi­

lea fir este legat de primulin B (fig. 8.~5). Asupra firului al doilea se exercita o forta ~ . ~

orizontala F. Care trebuie sa fie marimea fortei F, pentru ca unghiul <X dintre AB ~i verticala ~a fie egal cu ~5o (g = 1 o mfs2)?

R: F = G tg <X = 2 0 N. 13. Sa se calculeze tensiunile din firele A, · B :;;i C din montajele reprezentate in figurile

8.46, a ~i b. Se da G = so N.

R: a) Tt ~59 N; T2 ~ 72 N; Ta = 80 N; b) T 1 80 N; T 2 ~ 113 N; T 3 = 80 N.

14. Trei forte paralele cu intensitatile F 1 = 1 N; F 2 ~ N; Fa = 7 N sint aplicate in trej puncte A, B ~i C, a~ezate in linie dreapta, astfel ca AB = BC = 10 em. A treia forta este de sens contrar celorlalte doua. Sa se determine intensitatea ~i punctul de aplicatie D, al rezultantei celor trei forte.

R: R 2 N; AD= 50 em; CD= 30 em. 19. U n solid es te actiona t de doua forte concur en te F 1 5 N ~i F 2 = 10 N care fac in tr e

ele un unghi de 120°. Sa se determine forta Fa, concurenta cu primele doua, ce trebuie aplicata solidului, pentru ca acesta sa fie in echilibru.

R: F 3 8,66 N, perpendiculara pe F 1 •

16. Un corp A, cu~ masa m = 500 g, este a~ezat pe un plan inclinat (fig. 8.~7). Ce masa trebuie sa aiba corpul B, suspendat la extremitatea firului care trece peste scripetele S, pentru a men tine corpul A in echilibru? Se neglijeaza frecarile.

R: mB = 250 g. 17. 0 forta F = 100 N, orizontala:, mentine in echilibru static un corp a~ezat pe un plan

tnclinat cu unghiul <X ~5o fata de orizontaH1 (fig. 8.48). Frecarile sint neglijabi1e. Sa s~ calculeze greutatea corpului ~i reactiunea planului inclinat.

R: G:::::; 100 N; N = 100 j/2 N.

FiJC. k.47~ La problf'nta 16. Fig. 8.48. La problema 1 7.

222

Fig. 8.49. La problema 18. Fig. 8.50. La problemele 19 ~i 20.

18. Sa se ca:lculeze momentul greutatii corpului suspendat tn. B (fig. 8.49}, in raport cu punctele A, B ~i C, dad! CB = 1 m, <X = 30° ~i masa corpulp.i m = 4 !tg.

R: 20 j/3N.m; oN.m; 2oj/aN.m.

19. ln figura 8.50 este reprezentat un muncitor care tine o sctndura. 1n ce caz munci-. torul actioneaza cu o forta maxima, ctnd forta este perpendiculara pe scindura sau cind forta este tndreptata vertical in sus?

20. Un muncitor tine o scindura de un capat, astfel incit scindura sa faca un unghi <X=

= 30° cu orizont~la (fig, 8.50). Masa scindurii este m =. 40 kg. :Sa se calculeze mari­mea fortei cu care muncitorul sustine scindura, daca directia fortei este per­pendiculara pe scindura.

R: F = 173 N.

JU. Un corp de forma cubica cu latura l = 0,4 m ~i cu masa m = ~o kg se afla pe o suprafata or-izontala. in fata corpului se afla un mic prag B. La ce inaltime h trebuie aplicata o forta F = 400 N pentru ca reactiunea normala .in punctul A sa fie nula (fig. 8.51)? (Indica#e: reactiunea normala in A este nula cind corpul tncepe sa se

~ --+ ridice in 4. deci cind momentele fortelor G ~iF in raport cu punctul B vor fi egale.)

R~ h = 0,2 m.

22. 0 bara cu masa m0 = 10 kg este montata a:;;a cum se araUi in figura 8.52, astfel tncit sa poata sustine uneorp cu masa m = 100 kg. Sa se calculeze tensiunea tn cablul AB.

R: T ·= . (2m + mo)g CQS ~5o _;;::: 2 8~9,6 N. · 2 sin 15°

28. 0 bara omogena, de grosime constanta, are lungimea l = 50 em ~i greutatea G1 = = 40 N. La una dintre extremitatile barei se sudeaza o sfera cu raza R = 5 em ;~i greutatea G8 = 10 N. Sa se determine pozitia centrului de greutate a sistemului astfel format.

R: d = 24 em, de la eentrul sferei.-

8

F ~c h

A ~ ""

A .. B G

Fig. 8.51. La problema 21. Fig. 8.52. La problema 22.

223

I., .EJ Fig. 8.03. La problema 27. Fig. 8.54. La problema 28.

24. o pladi. patrata omogena este impartita in patru patrate. Se taie ~i se inlatura un patraL Sa se determine pozitia centrului de greutate al portiunii ramase. Latura patratului este l = 1m.

· R: d = o, 116m, fata de centrul placii.

25. De la cap~itul unei bare cilindrice s-a t~iiat o portiune cu lungimea l = 40 em. Sa se calculeze distanta cu care s-a deplasat centrul de greutate alportiunii ramase fata. de centrul de greutate al barei intregi.

R: d = 20 em.

26. Doua bile cu razele egale sint fixate tn punctul de contact. Masa uneia dintre bilP este de doua ori mai mare dectt a celeilalte. Sa se determine pozitia centrului de greu­tate al sistemului.

R: d = {2/3) R, fata de centrul bilei cu masa mai mare.

27. o bara cilindrica cu lungimea l = 30 em este tacuta jumatate din otel ~i jumatate din aluminiu (~ensitatile otelului ~i aluminiului stnt p1 = 7 860 kg/m3 ~i Ps 2 700 kg/ma). Sa se. determine pozitia centrului de greutate al barei (fig. 8.53).

R: xcG = 11,34 em, fata de extremitatea Iibera a partii din otel.

28. tn figura 8.54 este reprezentata o placa metalica. Sa se determine raportul dintre tnaltimea x a partii triunghiulare ~i lungimea l a partii dreptunghiulare astfel ca cen­trul de greutate al placii sa fie in punctul 0.

x: x =l va.

\

I i'

I I

9 MECANICA FLUIDELOR

Mecanica flui~elor se ocupa cu echilibrul ~i · mi~carea fluidelor ~i cu ac~i .. unea lor asupra pere~ilor ce le inconjura sau asupra corpurilor cufunda,te in ele.

Problema fundamentala a mecanic.ii fluidelor · este determina,rea repar­ti~iei presiunilor ~i a, vitezelor in interiorul fluidelor.

Mecanica fluidelor are urmatoarele par~i:

a) statica fluidelor, care cuprinde statica lichidelor (hidrostatica, care studiaza lichidele in echilibru) ~i statica gazelo r ( aerostatica, care studiaza gazele in echilibru);

b) dinamica fluidelor, care cuprinde dinamic.alichidelor (hidrodina.mica., care studiaza mi§carea lichidelor) ~i dinamica gazelor (aer~dinamica, care studia,za Illi§carea gazelor).

9.1. STAREA FLUIDA

Corpurile~ fli n punctul de ·vedere al starii de agregarel se impart tn trei mari ca.tegorii: solide, lichide ~i gaze. _?ichidele §i gazele poarta 'Jd ... umirea de fluide. . 6 . . ..,

Solidele ~i flqidele se disting u~r prin caracteristicile Jor diferite. No~iunea de solid este inseparabila de cea de forma. In solide, moleculele

fiind repartizate la distan~e mici unele fa~a de altele, for~ele de atrac~ie dintre ele sint mari, asigurind solidelor o forma proprie. Din contra, no~iunea de fluid exclude complet notiunea de forma.

Un fluid este, prin defini~ie, o substan~a care poate curge ~i care ia forma vasului c.a.re o con~ine.

Lichidele ,sint practie incornpresibile. For~ele de coeziune dintre mole­culele lic.hidelor fiind mici, forma. lor poate fi modificata de o forta foarte

225 15 Fizica cl. a IX-a

mica. Ele i~i recapata forma ini~iala, in momentul cind forta inceteaza sa actioneze.

Un li~hid ~ste totdeauna marginit de o anumita suprafata care il separa de corpurlle sohde sau gazoa,se,. Suprafata de separare dintre lichid si gaz se nurne~te suprafafa libera. · • "

/

~azele sint perfect elastice §i umplu totde~una volumele ce le c.ontin. ?

Ca ~I lichidele §i gazele la volum constant nu opun o rezisten~a apreciahilii Ia sch1mbarea formei.

.. Gorpurile gazoase nu au suprafete libere. • ~luidele real~ opun o re~iste?ta la alunecarea unui strat peste altul sau

la 1na1ntarea unu1 eorp in flu1de §I de aceea ~punem ca sint viscoase. Viscozi-tatea este deci rezultatul frecarii dintre straturile paralele de fluid care alu­neca unul peste altul.

"': Un fluid incompresibil §i lipsit d~ viscozitate se nume§te fluid ideal. Fl~Idu1 Ideal este un model fizic, el nu exista in realitate, insa este foarte utll, ~eoarece U§ureaza studiul anumitor fenomene §i of era un term en. de com­p~ratie comod. Acest model de fluid ideal constituie o aproximatie satisfa­c~toare pentru un. numa~ m~r~ de lich_ide §i chiar de gaze, atita timp cit V1tezele acestora s1nt ma1 m1c1 decit viteza sunetului.

9.2. NOTIUNEA DE PRESIUNE

-+ . Preshinea este o marime fizica egala cu raportul dintre mar1mea fortei

F; care apasa normal §i uniform pe o suprafa.ta §i aria S a acestei suprafete (fig. 9.1): . '

F p=-s· (9.1)

~eoarece apas~rea fo~tei nu poatefi uniforma pe orice suprafata, atunci relatia ~9.1) reprez1nta presiunea medie pe o suprafata. ·

Un1tatea de masura pentru presiune este egala cu raportul dintre unita­tea de masura a fortei §i unitatea de masura a ariei, adica Nfm2• Aceasta uni­tate se :nume§te Pascal j;li se noteaza cu Pa

., J.. "f ' i:• --~

Fig. 9.1. Presiunea este raportul dintre marimea fortei ce apasa normal pe suprafata ~i aria supra-

. fetei.

N 1 Pa = 1-.

Pentru presiune se mai Jolosesc §i unitatile ur­matoare_: torrul (torr), atmosfera fizica (at~), at­mosfera tehnica (at).

r 1 torr = 1 mm Hg ~ 133,3 Nfm2~· .1

1 a.tm = 760 torr = 1,013 · 105 Nfm2 ,

1 at = 98 066,5 N/m2,

1 torr = 13,6 mm H20.

226

9.3. STATICA FLUIDELOR: HIDROSTATICA ~~ AEROSTATICA

Un fluid este in echilibru cind fiecare portiune de fluid este ilL r~pal_!S. Presiunea in fluidele in echilibru (in repaus) "~nu qepinde tlecit de pozitia punetului in care este definita.

9.3.1. Forja exercitata de catre un fluid ~n echilibru pe peretele ''asului care il conjine. Consideram un vas in care se afla un lichid (fig. 9.2). Da.torita greutatii sale, lichidul exercita o forta pe peretele vasului. Conform principiu­lui actiunilor reciproce §i vasul exercrta asupra lichidului o forta care echili­breaza greutatea lichidului.

Sa consid~ram un element din suprafata peretelui vasului, notat cu S (fig. 9.2 ). Forta exercitata de lichid, pe elementul de suprafata S, este nor-

_,. mala pe a,cest element. Daca aceasta forta, pe care o no tam cu F, nu ar fi norm.ala pe S, a.m putea sa o descoropunern intr-o forta, componenta nor-

~ _,. malii, F n ~i o forta, componenta tangentiala, Ft. Sub actiunea componentei tangentiale,lichidul s-ar deplasa in lungul peretelui va.sului ~i nu ar putea fi in echilibru. -

Existenta fortelor de apasare, exercitate de catre gaze pe peretii vaselor in car·e sint in~hise, poate fi pusa in evidenta printr-un experiment sirnplu.

EXPERIMENT

Se introduce intr-o camera de rninge de fotbal o anurnita eantitate de pudra de talc Joa,rte fina ~i apoi se urnfla camera cu ajuto.rul unei pompe. Pe.retele elastic al camerei se intinde, sub actiunea fortelor exercitate pe suprafata interioara a acesteia ~i camera ia o forma sferica. Aceasta forrna ne . determina sa admitem ca fortele exercitate de gaz, pe peretele interior al carnerei, au aceea~i intensitate (fig. 9.3). Daca se gaure~te camera cu urt ac

Fig. 9.2. Daca lichidui ar exetcita o forta de presiune oblidi pe peretii vasului in care se afla, atunei ll--

chidul ar curge din vas.

15*

227

Fig. 9.3. Vn gaz in echililH'H - c.a ~i un lichid in· echili­brc - exercita pe orice elf'· ment de suprafata 'in col!· tact cu el o forta de apa" sare perpPndiculara pe acest

element de suprafaVL

a

Fig. ·9.4. Forta care acticneazfi pe o su­prafata din interiorul unui lichid este perpeJ?-diculara pe sup~afata ~?i nu de}>inde de or1entarea aceste1 suprafete In jurul

centrului sau.

foarte fin, continutnd sa introducem in ea aer cu ajutorul pompei,. constatam ca din camera iese un jet de gaz per­pendicular pe suprafa~a acesteia, facut vizibil de catre particulele de talc.

. Direc~ia de mi~care a particulelor de talc, care ies-din· camera de minge, da direc~ia de ac~iune a for~elor de pre­siune exercitate de gaz.

i: 9.3.2. Fort;a de apasare exercitata ~e · un fluid in echllibru pe suprafaja unui corp cufundat in fluid. Se intro­

duce _un solid in interiorul unui fluid (fig. ~9.4). Fluidul exercita forte de apasare pe toate par~ile suprafe~ei solidului care sint in contact 'cu el. Pentru acela§i motiv, aratat in paragraful precedent, ~ceste· forte sint perpendicula~epe suprafe~ele_l)e. care se exercita. " ·· · · L

~-- . . Existen~a f~rt~Io<de ~ ap.asa;~ -;~e-~~Uat;-d~~ii~hide pe suprafetele corpu­rllor ~ufundate 1n hchide poate fi pusa in evidenta cu ajutorul dispozitivului experimental prezentat in figura 9.5. ·

EXPERIMENT

. Se folose§te un ~ilin~ru ~e sticla ?eschis la ambele capete §i care poate fi astupat la partea Inferwara cu un disc de plastic foarte usor. De disc este legat ~n fir foarte subtire cu ajutorul caruia i1 tinem in cont~ct cu cilindru] atune~ cind nu se afla in lichid. Daca se slabe§te firul, cind cilindrul este i~ aer, discu1 cade sub ac~iunea propriei sale greuta~i (fig. 9.5, a).

Se introduce cilindrul, astupat cu discul Ia partea inferwara intr-un vas cu apa. Se slabe§te firul §i se constata ca discul nu cade. Asu,pra discului

ac~ioneaza o for~a F orientata de jos in sus. _For~a F este perpendiculara pe .

... disc (fig. 9.5, b). Daca for~a F ar fi oblica, discul s-ar deplasa sub ac~iunea

b c d a

228

Fig. 9.5. Un lichid exercita . pe orice suprafata In contact cu el. o forta de apasare per­pendiCulara pe aceasta su-. prafata. In cazul d din figu­ra, apa exercita pe cal!e doua

fete ale discului fortele F -+ '

~iF' egale ~i opuse. tn acest C?~ discu_l se desprinde de~ Clhndru ~~ cade sub actiunea

propriei sale greutati.

I l

~cestei forte si s-ar desprinde de cilindru. Se inclina cilindrul §i se constata ca discul ~u ~e deplaseaza (fig. 9.5, c). Se readuce cilindrul in pozi~i·e verti­cala §i se toarna apa in el pina la nivelul apei din vas. Se constata ca discul se desprinde de cilindru, deci pe ambele fe~e ale discului se exercita ior~e egale §i de sens opus (fig. 9.5, d) .

9.3.3. Presiunea hidrostatica. ln acest paragraf precum ~i in paragrafele urmatoare vom studia fenomenele speci{.ice fluiclelQr li9.Q.icl~, dar concluziile

. se aplica §i fluidelor gazoase. / · · Hidrostatica studiaza lichidele in repaus. Static a lichidelor reale se con.:.

funda cu statica lichidelor ideale deoarece fortele de viscozitate. nu intervin . .. . . . '··. .. .

in cazullichidelor in repaus. Un lichid in ech~libru se afla numai su~· ac~iunea. propriei sale greuta~i. Datorita greutatii lor, paturile de lichid care ·se afla in contact exercita presiuni unele asupra altora; in cazul in care lichidul este in echilibru, presiunea exercitata Ia un anumit nivel se nume§te presiune hidrostaticii.

Pentru a gasi factorii de care depinde presiunea intr-un punct dintr-un lichid in echilibru vom folosi capsula manometrica. Se leaga capsula mano­metrica hi un tub (4) in forma de u (fig. 9.6), prin intermediul unui furtun (3). Tubul (4) con~ine un lichid colorat, care are acela~i nivel in ambele ra­muri. Exercitind o apasare pe membrana elastica, aceasta comprima aerul din cutie care determina o scadere a nivelului lichidului din· ramura A a tubului in forma de U §i o cre§tere a nivelului in ramura B. Acest apara~ permite compararea ·presiunilor exercitate pe suprafa~a S a membranei, (fig. 9.7).

Fig. 9.6~ Capsula ma­nometric& folosita pen­tru punerea In evi-

. denta a fortelor exer­citate pe 'suprafata unui solid introdus tntr-un lichid este al­catuita dihtr-o cutie metalka 1 eare are un

per·ete elastil' 2.

)> X )>

Po ""tl :xJ

E Ill p1 Ul

c ~- p2 0 :xJ

p4 a b

- -· ---~~----------------------~

},ig. 9.7. Presiunea lntr-un lichid in repaus; a) cre~te cu adincimea; b) are1 o valoare constanta in toate ))Unctele unui plan orizonlal; c) tnt.r-un punct din interiorul

lichidului are aeeeat;>i valoare in toate directiile.

229

EXPERIMENT£

1. Se introduce capsula 1ntr-un vas cu apa, Ja o adincime din ce tn ce mai mare ~i se com para presiunBe la diferitele nivele {fig. 9. 7).

.§e constata ca presiunea intr-un lichid in repaus crefte cu adincimea.

2. La o anumita adincime in lichid se orienteaza membrana in diferite directii incit centrul sau c sa ramina in acela~i punct din interiorullichidului. Se ·constata ca denivelarea in tuhul in U ramine constanta (fig. 9. 7). . Rezu1ta ca, presiunea intr-un punct al lichidului este independenta de

orientarea suprafefei pe care se exercita. lntr-un punct din ·interiorullichidulu{ presiunea are aceeayi valoare in toate direcfiile.

3. Se deplaseaza capsula astfel ca centrul membranei sa ramina in acela~i plan orizontal; denivelarea h ramine constanta.

_ Presiunea exercitata de un lichid in rep a us este aceeayi in toate punctele unui plan· orizontal-4 Deci, lntr-uri. lichid fn repaus. planele orizontale slnt suprafete de egala presiu1w. -

· 4. Se introduce succesiv capsula manometrica, la o adincime H, in alcool, apa distilata, saramura (solutie de sare in apa) ~i se constata ca de­nivelarea h variaza in functie de densitatea Iichidului (fig.- 9.8).

.. . Akt111l 3 AP.ti tlistilf/li - StJIU/14 tl~ sq~ in qpi f,rc41//t:lfl !z•l.fftm1 !3 • l,lfJ/t'm1

17ntru/l-t:tJt111qnl ,i !1 < !2 < f1 rervltti 111 <.h2.<.h1

·Fig. 9.8. Presiunea In puncte situate Ia aceea9i ad!neime in lichide diferite depinde de natura lichidului.

_E.resiunea in punctele aflate la. gce.f(,P§i adincime in lichide di{erite devinde de natura lichidului, fiind gro_portionala cu densitatea lichiduluj.

9.3.4. Diferenta de pres{une dintre doua puncte din interiorul unui lichid. Jntr-un recipient se afla un I1chid in repaus. Limitarn un volum V de lichid de forma paralelipipedica cu aria ba.'zei S §i inaJtimea h. Presupunen1 ca Jichidul cuprins in volumul V a fost delimitat printr-o pelicula foarte subtire, fara greutate ~i inextensibila, ceea ce nu modifica echilibrul volumului de lichid astfel delimitat (fig. 9.9). Lichidul cuprins in volumul V are greutatea:

G = pgS(h2-h1) = pgSh,

230

(9.2)

unde ·p este · densitatea liehidnluL h =~ h2 - h1 · este inaltimea paral~lipipedului §i S aria baz.ei paralelipi-pedului. _

Presiunea exercitata de catre lichid pe fata infe­rioara B a paralelipipedului, a,flata la adincimea h2, are va,loarea p 2• Pe fata superioara aflata la nivelul ht se exercita presiunea p 1• For~ele de apasare exercitate de catre Iichid pe fe~ele paralelipipedului sin~ normale pe aceste fete. For~ele care actioneaza pe fetele lat~rale i§i anuleaza reciproc efectele, ele avind vaJori egale §i -. de sens opus. Pe fata superioara ac~ioneaza for~a F 1,

de intensitate F 1 = p 1S, iar pe fa~a inferioara actio- _

neaza for~a. F2, de intensitate F 2 = p 2S. Scriind con­de echilibru pentru paralelipiped, ob~inem:

(9.3)

Proiectind ecua~ia vectoriala~ (9.3) pe axa Oz ob~inem:

p2S - P1S - pgSh = 0,

de unde

P2- Pt = pgh,

Fig. 9.9. Fortele care aetioneaza pe f·etele la t'erale ale paralelipi­pedului de lichid sint egale ~i opuse. Dife­renta fortelor F 2 9i Ft este egala cu greuta­tea paralelipipedului

de lichid.

(9.4)

unde p 2 - p1

este diferenta de presiu~e intre nivelele h2 §i h1 iar h = h2 - h1. Putem enunta principi~l fundamental al hidrostaticii:

Diferenta de presiune intre dona punete dhitr-un lichid in eehilibru este numeric egala cu greutate~ unei eoloane din a.cel Iichid avind ca bazA unitatea de suprafaji ~i ca inal~ime distanta dintre planele carl' eontin .. -punctele respective.

• Daca Ia nivelul 2 presiunea este p, iar nivelul 1 coincide cu suprafata ·

Iibera a lichidului, at unci:

p-:-- H = pgh sau p = H + pgh, (9.5)

H fiind presiunea atmosferica. Se constata ca presiunea hidrostatica este fndependenta de forma vasul~i

in care se afla lichUlul $i ca este aceeasi in toate unctele aflate l~ aceeafi adincLme in lichLd. Din relatia (9.5) rezulta ca daca se mare§te presmnea pe suprafata Iibera a Iichidului, presiunea p din interiorul lichidului cre§te cu

aceea§i cantitate.

231

8

r! .c:.

. x·

.EXEMPLU

iiltr·-un tub in fol'lna de V (fig. 9.10) se toarna apa cu densita. tea p1 = 1,00 gjcm3 ~i a poi in una dintre ramuri se toarna un lichid cure nu se amestecli cu apa, de densitate p2 necunoscuta. 1nalti­lllile coloanelor de lichid, in. cele doua ramuri, deasupra ~uprafe- · t.ei de separare a lichidelor, slnt indicate pe figura 9.10. Sa se cal­Culeze densitatea p2 •

Fig. 9.10. Pentru RezolPare. Suprafetele de separare apa-aer, apa-lichid, lichid-aer problema rezolvata. slnt plane orizontale. tn 417i B presiunile p A ~i Pn sint egale cu pre-

siunea. atmosferica H(p A= PB H). Pe suprafata d,e separare xx' apa-lichid, p:r:esiunile in apa ~i in lichid sint egale (p

1 =

= p 2). La acest nivel presiunile sint:

Pt H + Ptgh1 , presiunea in apa, :;;i P2 H + P2gh2, presiunea in lichid.

Deoarece p 1 = p 2 , rezul ta:

h h · Ptht Pt t = P2 2 ~~ P2 =h.= 0,79 g/cm3•

2

9.3.5. Masurarea presiunii atmosferiee. · Aerul este eel mai raspindit gaz. El inconjura toata suprafa~a Pamintului intr-o patura foarte groa.sa numita atmosfera terestra.

Aerul este peste tot in jurul nostru, insa noi nu-l vedem el fiind incolor, fara gust ~i fara miros.

Atmosfera este alcatuita dintr-un amestec de gaze cu vapori de apa, cristale de ghea~a, praf ~i diverse impurita~i. Compozi~ia atmosferei variaza a.tit cu altitudinea cit ~i pe suprafa~a terestra. Atmosfera nu are o Iimitare precisa, ea trece treptat in spatiul interplanetar.

Masa atmosferei este enorma, ea fiind egala cu 6 · 105 tone.' Greutatea acestei mase de aer exercita o presiune continua pe suprafa~a P~mintului, num.ita presiune atmosferidi. Datorita presiunii atmosferice, pe suprafe~ele aflate in atmosfera, se exercita forte de apasare foarte mari.

Datorita greutatii aerului straturile inferioare de aer sint. com primate de catre cele superioare. Deci . densitatea atmosferica scade cu inal~imea.

EXEMPLU

Sa se deh~rmine forta de apasare exereitata de eatre aerul atmosferic pe una dintre fetele geamului unei ferestre de forma dreptunghiulara cu laturile de 80 em ~i 120 em.

Presiunea atmosferica are valoarea H = 1,013 • 10s ~ m2

flezolvare. Forta de apasare are intensitatea:

F = HS = 1,013 • 106 N/m2 • 0,96 m 2 = 9,?2 • 104 N.

Forta de presiune exercitata pe geam echivaleaza cu greutatea tmei mase de 9,72 tone. Geamul rezista ar.estei presiuni mari, deoarece el este presat pe ambele fete.

232

, Aerul aflat deasupra noastra ~i in jurul nostru apasa din toate partile pe corpul nostru. For~ele de presiune rnari exercitate asupra noastra nu sint suparatoare pentru ca organismul nostru s-a adaptat acestor conditii de pre­siune. Nu am putea sa respiram normal sau _chiar sa traim,daca aceasta pre­siune s-ar modifica mult.

Presiunea atmosferica intr-un punct al atmosferei este egala cu greuta­tea unei coloane de aer, cu sectiune egala cU. unitatea ~i cu inaltimea ega.la cu diferenta de nivel dintre acel punct ~i suprafata Iibera a atmosferei. Aceasta presiun~ nu se poate calcula, deoarece nu se cunoa~te cu precizie limita superioara a atmosferei §i datorita fapt.ului ca atmosfera nu este statica.

Presiunea atmosferica se poate determina experiment~! printr-o metoda simpla propusi de catre fizicianul italian .Torricelli in a.nul 1643.

Pentru determinarea presiunii atmosferice se foiose§te un tub cu· lun­gimea de aproximativ un metru ~i inchis la unul dintre cat>ete, numit tub barometric sau tubul ~Torricelli. Tubul barometric se umple cu mercur, apoi se astupa cu degetul ~i se rastoarna intr-o cuva cu mercur. Hetragind degetul se constata ca o parte din mercurul din tub cob~ara.., in cuva. Co: loana de mercur ramasa in tub, masurata de la suprafata bbera a mercurulul din cuva pina Ia suprafata Iibera a mercurului din ,tub, are o inaltime h de aproximativ 76 em (fig. 9.11, a §i b). Pe suprafata libera.a mercurului din t~b presiunea este zero (p0 =0), ""'deoarece deasupra aceste1 suprafete_ este v1d. Por~iunea tubului in care se afla vid se nume§te camera harometrica.

Mercurul fiind in· echilibru, presiunea in toate punctele planului orizon­tal AB, care cuprinde §i suprafata Iibera a me!curului din cuva, este con­stanta (fig. 9.11, b). Deci presiunile in punctele A §i B sint egale (PA = PB>· ln A se exercita, presiunea atmosferica pe care o notam cu H, deci PA =H. In. B actioneaza presiunea hidrostatica datorata coloanei de mercur: ' .

PB -pc

deoarece Pc = 0, rezulta

pgh,

PB = H = pgh.

Deci presiunea atmosfericaeste egala cu 'pre~iu­nea 'hidrostatica a coloanei de mercur din tub. Masurarea presiunii atmosferice, intr-un anumit punct din atmosfera, se reduce l~ ma~_nrarea.., l~n~ gimii coloanei de mercur h; p ~~ g fund mar1m1 cunoscute.

Cum presiunea hidrostatica este indepen­denta de forma §i sectiunea vasului, rezulta ca daca se inclina tubul sau se face experienta cu tuburi de forme diferite, inaltimea coloanei de mercur h nu se modifica (fig. 9.12).

c

a b

E E

0 tO r:---

Fig. 9.11. Experienta lui Torricelli.

E u ~

Fig. 9.12. inaltimea c.oloanei de mercur este independentll de forma, de secthmea ~i de 1ncli-

. narea tubului.

Presiunea atmosferica variaza:

cu altitudinea, datorita greuta~ii aerului. Masuratorile au ar~itat ca aceasta varia~ie nu este uniforma (fig. 9.13);

- cu starea vremii. Starea vremii depinde de deplasarea maselor de aer atmosferic, adica de mi§carile ciclonilor §i anticiclonilor atmosferici;

- de la un Zoe la altul. Pe har~ile meteoro­logice se observa linii continue, care unesc punctele in care presiunea are aceea§i valoare ' Ia un moment bine determinat. Cu.rbele

acestea se numesc izobare §i sint foarte utile pentru prevederea starii vremii. Avind in vedere ca presiunea variaza de Ia un loc la altul §i chiar in ace­

la§i Joe de Ia o ora la alta, se impune definirea unei presiuni de referin~a, numita presi11rne atmosferica normala.

Presiunea atmosferica normala este presiunea corespunzatoare nivelu­lui marii la latitudinea de 45° §i la temperat:ura de ooc §i are valoarea de 76 em coloana de merc-qr.

Exprimata in Nfm2 presiunea atmosferica normala are valoarea H 0 =

= 1,013 · 105 Nfm2• ""

Instrumentele cu care se masoara presiunea atmosferica §i se observa schimbarile ei se numesc barometre. In practica se folosesc doua feluri de barometre: a) barometrul metalic, a carui func~ionare se bazeaza· pe echilibra-

·rea for~elor de presiune atmosferica de catre fortele elastice ale unui resort; b) barometrul cu mercur, a carui func~ionare se bazeaza pe echilibrarea pre­siunii atrnosferice de catre presiunea hidrostatica a unei coloane de mer cur. Prirnul barometru de acest tip a fost tuhul lui Torricelli.

9.3.6. Masurarea presiunii gazelor. Manometrul cu lichid. Presiunile in "fluide (gazoase sau Iichide) se.·rnasoara cu instrumente numite manomerre. Vorn descrie doar manometrul cu lichid folosit pentru masurarea presiunii gazelor.

P( mmool Hg)

0 1 2 . 3 4 5 6, 7 8 9 10 11 12

h(km)

234

Fig. 9.13. Presiunea atmosferica · variaza cu altitudinea.

Fig. 9.14. Prineipiul ma­nometrului cu lichid. .

Gaz

P> H

a

Gaz

p<H

b

Manometrul cu lichid este alcatuit dintr-un tub in fo~ma de U, deschis Ia ambele capete, in care s-a turnat un lichid de densitate p (spre exemplu mercur sau apa).

0 ramura a tubului in U comunica cu atmosfera, iar cealalta. ramura comunicaeu gazul de presiune p. ·In cazurile prezentate _in figura 9.14, daca H este presiunea atmosferica, presiunea de masurat este data de rela~ia

p · H ± pgh. (9.6)

ln relatia (9.6) se ia semnul plus cind p > H §i semnul minus cind P < H. Diferen~a de presiune

p-H=± pgh, (9.7)

se numeste presiune relativa sau presiune manomet rica. Lichidul manometric se alege in func~ie de presiunea de masurat. Spre

exemplu, un manometru cu apa da o denivelare de 13,6 ori mpi mare decit un manometru cu mercur.

Pentru masurarea directa a presiunii p, se folose~te, in locul tunului in U deschis, un ba­rometru cu sifon racordat cu un tub de cauciuc la recipientul care con~ine gazul (fig., 9.15.) In acest caz presiunea gazului este echilibrata de presiunea hidrostatica a unei

coloane de mercur h:

p = pgh.

EXEMPLU

Gaz Vid p<< H

},ig. 9.15. Manometru cu lichid eu tubul ·inchis, numit mano­

metru barometric.

Un manometru cu mercur {fig. 9.14, b) este pus 1nlegatura cu un gaz de presiune p. Denivelarea manometrica este h = 5 mm. Preshinea indicata de un barometru este H = 753 torr. Care este presiunea gazului? Care este denivelarea ha, !n cazul folo-sirii unui manometru cu apa? . RezolcJare. Presiunea gazulni fiind mai mica deelt presiunea atmosferica, rezulU'i

p = H- pgh.

235

Tintnd cont de vaiorile numerice obtinem:

1 atm p =?53 torr= 753 torr· 0,99 at.m =

?60 torr = 0,99 • 1,013 • 105 N/m2 e::: 105 N/m2 = t at.

Daci'ilichidul barometric ar fi apa, acest lichid ar trebui sa produd'i o presiune hidro· sta tica egala cu aceea produsa de mercur:

13 600. 5 PHg ·ghllg = Pa • gha; ha = -· -- = 68 mm.

1000

9.3. 7. Transmiterea presinnii. in lichide. Legea lui Pascal

EXPERIMENT

Se umple complet cu apa un vas cu doua deschideri tubulare (fig. 9.16) §i se a.stupa fiecare deschidere cu un dop de cauciuc u·ns cu grasime. Se are in vedere ca dopurile sa fie in contact cu apa.. Daca se presea.za puternic pe unu] dintre dopuri celalalt este a.runcat in- aer. V a.riatia presiunii din B se transmite §i in A §i determina dopul A sa sara din loca§ul sau.

· Experimentul descris mai sus ilustreaza legea lui Pascal care se eminta astfel:

Presiunea exercitata pe o snprafata oarecare a unui lichid aflat in reJ!aus se transmite in toate direetiile si cu acee~i intensitate in tot lichidul cit §i la peretii vasnlui ~are-1 contine.

Legea lui Pascal este o consecinta a legilor staticii fluidelor §i rezulta din acestea.

Fie PA §i PB presiunile in punctele A §i B dintr-un lichid in repaus (fig. 9.17). Conform principiului' fundamental al hidrostaticii rezulta:

---

Fig. 9.16. Dispozitiv experimental pentru punerea in evidenta a trans4 miterii presiunii printr-un lichid.

PB- PA = pgh.

236

Fig. 9.17. Transmiterea presiuniiprintr-un lichid.

Cum marimile p, g, h stnt · constante, dife· renta de presiune este §i ea constanta, chiar daca se mare§te sau--se" mic§oreazi--presiunea diliPunctele A--fi B. Deci, orice . varit:tt;ie_:__de presiun.e. in A provoaca o va- c:::::J-======"=9=~

-,riatie egala de presiune in B, precum §i in toate punctele hchidului. -~ ----

a R

9.3.8. Aplicatii ale legii lui Pascal. Pr,esa hidraulica. Una dintre aplicatiile principale ale legii lui Pascal este presa hidra.ulica al carei principiu este dat in figura 9.18. Doua vase cilindric~ comunica intr~ ele pr.in par­tea inferioara. Cef doi cilindri sint inchi§i la partea superioara prin doua pistoane mobile P §i J>1· .

Fig. 9.18. Principiul de functionare a presei hidraulice.

4-

Se exercita pe pistonul P, de sectiune S, o forta _no.!Jll.ala F. Aceasta forta produce in toate punctele lichidului o cre§tere a presiunii, egala cu:

F p= --·· s (9.8)· -

Aceasta presiu~e este integral transmisa pe fa.ta inferioara a pistonului P1, 4-

de sec~iun(j ,)\) care este astfel actionat de o for~a F 11 de marime:

F 1 = pS1. (9.9) 2

Din relatiile (9.8) ~i (9.9) obtinem:

F1 =F 81

• s (9.10)

I ntensitatea for{ei F 1 este cu atlt mai mare cu cU raportul ariilor fefelor pistoanelor este mai mare.

Presa hidraulica este folosita pentru a compri­ma paiele §i bumbacul in baloturi, pentru a ex­trage uleiul din diferitel~ seminte, la fabricarea caroseriilor de automobil ~i a obiectelor din ma-terial plastic etc. ·

0 aplicatie a presei hidraulice este §i siste- -mul de frinare al automobilelor, · schematizat in figura 9.19.

0 apasare pe pedala 1· produce o cre§tere a presiunii in cilindrul 3. Aceasta cre~tere de pre­siune este transmisa prin intermediul Iichidului 2,

-pistoanelor 4, care imping · sabotii 6, pe tam­burul 5.

237

Fig. 9.19. Frina hidraulica.

5

6

BLAISE PASCAL (1623-1662).

Matematician, fizician~ filozof ~i scriitor francez. Pascal a fost un spirit precoce care s-a manifestat foarte timpuriu. La t2 ani, el regase~te singur, primele teo­reme ale geo111etriei lui Euclid. La 16 ani, scrie un ,Tratat despre sectiunile conice". Pascal este fondatorul teoriei probabilita­tilor. A inventat _o ma~ina de calcul in anul 1642.

1n domeniul fizicii, activitatea lui Pascal a fost indreptata, mai ales, asupra presiunii atmos.ferice ~i asupra vidu­lui. Pascal a descoperit legea fundamen­tiHa a hidrostaticii care sta la .baza tuturor sistemelor hidraulice.

9.3.9. Legea lui Arhimede. Pentru a introduce·o sticla goala :intr-o cal­dare cu apa, trebuie sa se exercite asupra ei o forta de apasare destul de mare. 0 minge de tenis de masa introdusa pe fundul unui vas cu apa ~i

apoi lasata Iibera, iese singura la suprafa.~a. Daca o piatra grea. este introdusa in apa, cind este ridicata, ea pare mai U§Oara decit in aer. Greutatea pietrei nu s-a modificat, pentru ca fortele de atractie gravita~ionala sint independente de natura mediului care separa corpurile. Fie ca piatra este in aer sau in apa

1

forta de a.tra-c~ie pe care o exercita P'iimintul asupra ei, este aceea~i. Rezulta ca Iichidul impinge corpul vertical in sus. Vom dovedi aceasta experimental.

EXPERIMENT

Se suspend a un cilindru de fier, cu ajutorul unui fir, de un dinanwmetru. · Citim pe dinamometru greutatea sa, de exemplu 2,5 N. Se cufunda corpul in apa. Se constata ca directia firuJui de suspensie nu s-a modificat. Dinamome- · trul indica acum o for~a de numai 1,5 N (fig. 9.20).

Rezulta ca un ·corp cu(undat lntr-un lichid este lmpins de ciitre licbid cu o forta Perticala orientata de jos ln sus. Aceasta or a se nume te or a arhi­me zca.

lnlocuind cilindrul metalic cu un · alt corp mai voluminos se constata ca forta arhimedica este mai mare. Deci, lorta de lmpingere exercitata asupra unui corp cu(undat lntr-un lichid ereste cu volumul de lichid dezlocuit.

Se cufunda acum corpul intr-un alt lichid, in alcool sau in solutie de sare de bucatarie in apa §i se constata ca indicatiile dinamometrului s-au modificat. Deci, (orta de lmpingere exercitatd de UR licbid, asupra unui corp cu(undat in el, 'depind-e de densitatea lichidului. '

238

Fig. 9.20. Apa exerciU1 asupra cilindrului o forta de apasare ver­- ticala, orientata de jos in sus.

Legea lui Arhimede se enunta astfel:

Tz Fig. 9.21. Orice corp cufundat mtr-un fluid este tmpins ver­tical in sus .cu o forta egala cu greutatea fluidului dezlocuft.

un corp cufundat intr-un fiuid in repaus este tmpins eu o fodi yerticali de jos iJi sus, egali cu greutatea volumului de fiuid. dezlocuit de eorp.

Legea lui Arhimede este; de asemenea, o consecin~a a legilor fundamentale ale staticii fluidelor, ~i deci se poate deduce din acestea.

Consideram un corp de forma unui cilindru drept cufundat in pozitie verticala intr-un Iichid in repaus (fig. 9.21). Notam cu S aria bazei ~i cu h inal~imea cilindrului.

Conform principiului fundamental al hidrostaticii, fortele de apasare pe suprafata laterala a cilindrului i§i fac echilibru. Rezultanta fortelor de presiune verticale, normale pe bazele cilindrului, este:

FA = F 2 - F 1 = (p2 - PI)S'

sau tinind s.eama de rela~ia (9.4), obtinem:

..f.L = pg(~ .- h1)S = phSg = Gt, (9.11)

unde h = h2 -- h1 este inaltimea cilindrului, p este densitatea lichidului, iar Gl este greutatea lichidului dezlocuit de corp. . ~.

Deci, rezultanta P'A a fortelor de presiune exercitate asupra corpului cu­fundat in fluid, numita for~a arhimedica, este e.gala ~i de sens opus cu greu­tatea volumului de fluid dezlocuit de corp. Punctul tn care se aplica forta arhimedica se nume~te centru de presiune. ln general, centrul de presiune este

- diferit de centrul de greutate, in afara de cazul particular cind corpul cufundat in fluid este omogen. 1 n acest caz~ -centrul de greutate ~i centrul de presiune coincid.

239

Fig. 9.22. Echilibrul corpurilor cufundate tntr·un lichid.

Legea lui Arhimede se aplica fluidelor lichide sau gazoase, lichidelor neo­mogene in rep a us (de exemplu in cazul a doua lichide care nu se amesteca, turnate unul peste altul) .cit §i pentru corpurile necufundate complet.

9.3.10. Plutirea eorpurilor. Un corp introdus intr-un lichid este supus

ac~iunii a doua for~e: greutatea sa G aplicata in centrul de greutate al corpului

§i for~a arhimedica FA aplicata in centrul de presiune C. Trei cazuri se pot ivi (fig. 9.22):

~ ~ ~ . a) G. >FA. Rezultanta Ga = G +FA se nume§te greutatea aparenta §i

. are modulul:

(9.12)

unde Pt este densitatea fluidului iar p8 e§te densitatea solidului. Daca Pt < Ps

co;pul se cufunda. ·

b) G·- FA· Greutatea aparenta este zero. §i corpul ramine in echilibru in interiorullichidului. Daca corpul este omogen, condi~ia se scrie: Pt = Ps· In acest caz~centrul de presiune coincide cu centrul de greutate. Daca solidul este neornoge~, centrul de presiune §i centrul de greutate nu co~ncid. Pentru ca echilibrul sa fie stabil este suficient ca centrul de greutate §I centrul de pre­siune sa fie pe aceea,§i verticala, iar centrul de greutate sa se gaseasca sub cen-trul de presiune.

r) G <FA- Rezultanta-Fa = G +FA se num~te for~a ascensiona~a. Un corp cufundat este adus la supr~fa~a lichid~lui ?: catre for~a ascenswn~la. Pe masura ce corpul iese din lich1d for~a arhimediCa scade. In mornentu~ ~md greutatea corpului echilibreaza for~a arhimedica, corpul plute§te in ech1hbru la suprafa~a lichidului.

Pentru un corp omogen.,.condi~ia ~ plutire la supra.fa~a lichidului se

scrie: Pt > Ps·

Condi~ia de plutire a corpurilor se enun~a astfel: daca un eorp plute§te ln echilibru in interiorul sau la suprafata unui lickid in repaus, greutatea-co~pu­lui este egalii cu greutatea volumului de lickid dezlocuit de corp.

9.3.11. Conseeinte §i aplieatii ale plutirii ~orpurilor. A. Corpuri ln eckilibru in interiorul unui lickid. Submarinul este o nava care. poate pluti I~ suprafat;a apei. SubmarinuJ

poseda ni§te rezervoare laterale numite balast-api. Cind aces tea · se umplu cu apa nava se scufundl, iar eind apa este evacuati cu ajutorul pompelor, submarinul urea la suprafa~a (fig. 9.23).

Batiscaful destinat explorarilor submarine fun-e~ioneazi pe acela§i prin­cipiu ca §i suhmarinuJ.

B. Corpuri care plutesc la suprafafa apei. , . . I cebergurile sint blocuri u.ria,e de ghea~a care plutesc pe mare, deoarece

densitatea ghe~ii este mai mica decit densitatea apei (fig. 9.24). Por~iunea din volumul unui iceberg cufundat in apa reprezinta 11/12 din volumul total.

NMele, datorita formei lor, dezlocuiesc un volum foarte Jllare de apa, 1n consecinta forta arhimedica este mult mai mare decit gr.eutatea lor. 0 nava de 10 000 tone trebuie sa dezlocuiasca eel pu~in ~0 000 m3 de apa pentru a putea pluti.

· Plutirea. navelor este stabila cind centruJ de greutate se afla P,C. aceea§i­verticala cu centrul d-e presiune §i deasupra centrului de presiune (Jig. 9.25 ). Cind nava oscileaza centrul de presiune i§i schimba pozitia. In acest caz greu-

-+ ~

tatea G ~i for~a arhimedica FA formeaza un cuplu care tinde sa readuci nava 1n pozi~ia ini~iala. Suportul fort;ei arhimedice intilne§te verticala de stahilitate intr-un punct . M numit metacentru. Echilihrul este stabil daca metacentrul' este deasupra centrului de greutate. Punctul Mare o pozi~ie fixa'in raport cu nava.

C. Densimetrele sint instrumente utilizate pentru determinarea densita~ii lichidelor.

---lest - (pruiiib}

Fig. 9.23. Submarinul. Fig. 9.24. Iceberg.

240 241 16 Fizica cl. a IX-a

Fig. 9.95. Echilibrul unei nave.

Un densimetru este a]c~tuit dintr-un tub de sticla numit plutitor, in care se afla la partea de jos alice de plumb sau mercur, prelungit cu o tija de sticla sub~ire. ,

Densimetrele se · gradeaza in unita~i de densitate. Grada~iile se fac pe tija de sticla.

Exista doua feluri de hensimetre: - densimetre pentru lichide cu densitatea mai mica decit a apei, gradate

de la 0,6 la 1. Introduse in apa, acestea se cufunda pina la baza tijei, unde se afla grada~ia 1 (fig. ~.26). Grada~ia 1 de la baza tijei reprezinta densitatea apei de 1 g/cm3

;

- densimetre pentru lichide mai dense decit apa, gradate de la 1 la 2. Introduse in apa, ele se cufunda pina aproape d'3 extremitatea superioara a. tijei, unde se. afla grada.~ia 1 (fig. 9.27).

EXEMPLE

1. 0 sfera cu densitatea p1 ='500 kg/m3 cade fara viteza initiala de la inaltimea h1 = = 20 m, intr-un bazin adinc, plin cu apa ~fig. 9.28). Sa se calculeze adincimea la care se va opri sfera 1n apa. Densitatea apei este p2 = 1 000 kgfm3 ; g = 10 mfs2•

0,6

Apo Benzine

Fig. 9.2G. Den'3imetre pentru lichide cu densitatea mai midi decit densitatea apei.

242

ApO GlicerinO Fig. 9.27. Densimetre pentru lichide cu densitatea mai mare

decit densitatea apei. _,

.Y

Fig~ 9.28. La exempiul L Fig. 9.29. La exemplul 2.

Rezolvare. a) Cai:culul vitezei' sferei tn momentul ctnd atinge suprafata apei. Aplict*d formula lui Galilei obtinem:

Vo = V 2gh1 = 20 mfs.

b} Calculul ~el~rajiei sferei tn .timp.ul mi~carii e1: in apllr. tn timpul mi!?cfirii in apa. asu~ra sferet_acttOneaza forta arhimediCa FA= p2,Vg !?i greutatea saG = mg (fig. 9.28), Scrtem relatia fundamentalfi a dinamicii pentru mi~carea sferei in apfi:

Din relatia {9.13), obpnem: FA- mg = ma. (9.13)

FA a=-- g.

m

lnlocuind in aceasta relatie forta arhimedic<l prin valoarea sa ~i masa corpului prin m = p1 V, obtinem:

a = g ( :: - 1) = 1 0 mfs2•

c) Calculul adtncimii h2, la care se opre~te sf'era;·

2:

hz =~=20m. 2a.

2. Un aerostat cu masa m = 500 kg ~i volumul V = 600 m3 se ridica pe vertica.la. intr-o mi~care uniform ~acceleratfi (fig. 9.29). ,

Sfi se calculeze tn<lltimea la care se ridica aerostatul tn timpul t = 10 s. Densitatea aeruJui este p = 1,3 kg/m3 ; g = 10 m/s 2• Se neglijeaza rezistenta aerului. Rez~lvar~ .. a) Calculul acceleratiei aerostatului. Asupra aerostatului actioneaza forta. arhtmediCa FA= pgV (unde p este densitatea aerului) ~i greutatea .. G = mg., Scriind relatia fundamentalfi a dinamicii pentru mi~ca:rea aerostatului

1, obtinem:

FA- mg = ma ..

FA pgV ., a = - - g = --· - g = 5,6 mjs··.

m m "

b) Calculul tni:tlJimii la care urea aerostatul in timp ul t =' 10 s ::

at2

h=- =280m. 2

243

9.4. DINAMICA FLUIDELOR

9.4.1. Curgerea stationari._Pril! C!!rg!!r~~--!!,ll,ui fl"l!~_<:!_~~- iD:~~~ ~-~pJa_s~­_rea acestuia fa~a:de 1Ut si~tem de_r.eferintiL dat. _Y~D: Jluia ideal, adica un .fluid incomp~sibil §i __ lip~i~ de; vi::;cozitate, poate fi pus in mi§care datorita gre'!~~FJ.~~!~~,L~!ferentei de presiune mtre diferitele punc.te din interiorul sau. --- Fenomenele de-miljcare.,a--Ifuideio~-au un caracter macroscopic, fluidele fiirid asimilate eli medii continue. In cazul fluidelor continue_ este posibila o mJ§care care sa constea din deplasarea diferitelor parti ale ~celuia§i corp una fatii de alta. Pentru deserierea curgerii• unui fluid, 11 vom considera alcatuit dintr-un numar foart-e-pt1}l'e-ne-particlile, caracterizate prin aceea ca au un volum foarte mic in raport cu acela a1 corpului.

· Studiem mi§carea particulelor fluidului in raport cu un anumit sistem de referin~a, fata de care fixam pozitiile particulelor de fluid.

Mi§carea unui fluid este caracterizata prin distributia vitezelor §i a· pre­siunilor in interiorul fluidului. Aceste marimi variaza de la un punct la 'altul. In acela§i punet ele pot 'varia, de asemenea, in functie de timp. in acest caz curgerea (mi§carea) fluidelor se nume§te nepermanenta (nestationara) . sau variata. De viteza este legata. §i notiunea de linie de curent._ Se numeste linie .. de curent la un moment dat t, Zinia curba care are proprieta~ea ca, la acel moment,

.. vitezele di(eritelor particule care se a(la pe ea ii sint tangente (fig. 9.30). In general aceste particule aq traiectorii care nu se confunda cu linia de curent pe care se afla ele la un moment da t t.

Cind viteza in diferitele puncte ale spatiului ocupat de fluid nu depinde explicit de timp. ci numai de pozitia in care se afla particula de fluid consi­derata, curgerea se nume§te stationara.

ln cazul curgerii nestationare, forma liniilor de curent se schimba de Ia un moment la altul. In cazul curgerii stationare, aspectu}liniilor de curent ra­mine neschim.bat, forma lor fiind independenta de timp si atunci traiecto­riile particulelor de fluid coincid cu liniile de curent. In curgerea stationara putem fixa pozitia unei particule de fluid de-a lungulliniei de curent cu ajuto­rul coordonatei curbilinii s-Uig. 9.30). Cum viteza §i presiunea variaza de la un punct ia altul, inseamna ca ele sint functii de s:

v == v(s); p = p(s). (9.14). -·-----

244

Fig. 9.30. Linii de curent in interiorul unui fluid ideal. in cazul mi~carii statio­nare acestea coincid cu traiectoriile par­ticulelor. de fluid. Pozitia unei particule de fluid pe linia de curent se poate de­termina cu ajutorul coordonatei curbi­linii s, luata de-a lungul liniei de curent.

In curgerea stationar·a li· niile de curent nu se intersec­teaza. Astfel, liniile de curent, in . cazul fluidului ideal, pot rnaterializa peretii unui tub, prin care curge un ·nuid. De a.ceea liniile de curent -;;;;­tree prin toate punctele unui contur inchis formeaza un tub de curent lfig. 9.31).

9.4.2~ Eeuatia de eontinui­tate. Canti:.1tea de fluid care

l'~ig. 9.JU. Tub de curent.

!!fdbate a anumitii arie in unitatea . de timp reprezinta debitul de fluid pr(n acea arie.. Debitul poate fi de masa sau de volum, dupa cum cantitatea d.e .llluid reprezinta omasa sau un volum .de fluid.

Debitul de masa se evnrima prin relatia:

Q. _fj.m m--,

!:.t

unde f:t.m este masa de fluid care strabate o anumita arie in timpul t\t. Iar debitul de volum este dat de relatia:

unde .6. v este volumul de fluid care strabate 0 anumita arie in intervalul de timp ilt.

Sa consideram uri fluid in curgere stationara §i din acesta sa separam un tub de curent (fig. 9.32). Debitul de volum prin ariile 8 1 ~i 8 2 are valorile:

s 'U /j.t -

1-

1- = S1v1; Q2 = S2vz.

/j.t '

Fluidul fiind incompresibil, ariile 8 1 ~i S 2 sint strabatute de aceea~i cantitate de fluid in unita,tea de timp, deci:

S1v1 = Szv2· (9.15)

Relatia (9.15) se nume~te ecuatia de continuitate.

9.4.3. Legea lui Bernoulli. Aceasta lege se a plica curgerii stationare a unui fluid ideal. Reamintim ca un fluid ideal are urmatoarele caracteristici: a) nl! are viscozitate; }!} este i~COIJlpr~~i}:)_H .i c) viteza l:Jnei par_ticule de fluid este independ(mta de timp. . .. - -"

Consideram un tub de curent cu sectiuf!:_ea variabila. Vom studia curgerea , fluidului cuprins intre sectiunile S 1 §i 8 2 din tubul de curent (fig. 9.32).

Ca urmare a incompresibilitatii fluidului, volumul V1 de fluid care tra­verseaza sectiunea 8 1 in'lnt~rvalul de timp At este egal cu volumul V 2 de fluid care traverseaza· sectiunea s2, in acela~i interval qe timp.

245

W»JY//////////&/////////&P/Yd'/&//////////////////7(1/m Fig. 9.32. Debitul de-a lungul unui tub de cilrent I

de fluid- ideal in regim permanent e&te con,stant: Slvl = S2v2.

De-a lungul liniei de curent p + _!_ pv2 + pgz = . 2

= constant.

lnmul~ind rela~ia · (9.15) ' cu at obtinem:

S1v1At = 87-p~At,

sau St • A1C1 = 82 · AzCz,

de unde rezulta ca

V1 = Yz = V.

Totul se_p_~t~~c·e ca~i cum in interval11l Ji.ft timp llt s-ar transf_~.f'~ c._dire~ct __ ~in ~ozi~ia AtBtC1D1 o masa de fluid m = p V, in pozitia AzB2C2D 2,

fara ca lichidul intermediar sa se fi mi§cat.

Masa de fluid m are la tra.versarea sectiunii 8 1 energia cinetica f mv~,

iar la traversarea sectiunii 8 2 are energia cinetica _!_ mv~. Variatia energiei 2

cinetice a masei m, in intervalul de timp in care a fost transferata din pozi­~ia A1B1C1D1 in pozitia AzBzCzDz, este:

(9.16)

§i ea trebuie sa fie egala cu lucrul mecanic al for~elor ce se exercita asupra sistemului considerat i:p. intervalul de timp llt. Aceste forte sint fortele de presiune. F 1 -- p1S 1,F 2 pzS z care actioneaza asupra lichidului cuprins intre sectiunile 8 1 §i 8 2 §i greutatea mg a lichidului transferat.

ln intervalul de timp llt in care masa m traverseaza sec~iunea 8 1 sub -+

actiunea forteiF 1 al carei punct de aplicatie se deplaseaza pe distanta A1C1,

se efectueaza urmatorul lucru mecanic motor:

Lt F 1 • A1C1 = PtSt · A1C1 = Pt V = P1 ~. p

ln. acela§i interval de timp forta F 2 . p 2S 2 care se exercita perpendicular pe sec~iunea 8 2 efectueaza urmatorul lucrfi mecanic rezistent:

Lz = -F.z· CzAz =- pzV =- Pz~· p

Lucrul .mecanic a] greutayii masei de lichid transferate este:

La =-mg (zz- z1).

Egalirid variatia energiei cinetice a masei m cu lucrul mecanic rezultant al for~elor ce se exercita asupra acestei ma.se, obtinem:

· m 1 (PI - P2)- + mg(zJ - zz) = - m(v~ - v~), (9.17)

p 2

246

1 2 + 1 2 (Q 18) sau Pt + pgz1 + i pv1 = Pz + pgzz i pv2· ·- ·

Aceasta este ecuatia lui Bernoulli (1700:..._1782). Ecua~ia lui Bernoulli se mai .. scrie §i astfel

p + ~ pv2 + pgz = constant = C. (9.19)

.Constanta C este aceea§i de-a lungul liniei de curent §i este independenta de _timp. Termenii din rela.tia (9.19) au to~i dimensiunile unei presiuni. Pentru

a-i <listinge, in enunturi se utilizeaza denumirile: 12presiunea statica" pentru p, ,presiunea dinamic~" pentru (1/2) pv2, ,presiunea de pozitie'' pentru pgz, termen datorat energiei potentiale.

In cazul actiunii fluidului asupra unui perete, pe un element de suprafata ll.S al peretelui se va. exercita o forta de presiune pAS, unde p se scoate din rela~ia (9.19). . .

In cazul particular ctnd tubul de curent este practic orizontal sa u ctnd energia potentiala este neglijabi:Ia, ohtinem: ·

+ 1 2 c p - pv = . . 2

(9.20)

9.4~4. Aplicatii ale legii lui Bernoulli. Sa consideram un fluid care curge printr-o conducta cu sectiunea variahila. In por~iunile inguste ale conductei prin care curge fluidul viteza acestuia cre~te; conform legii lui Bernoulli (9.20) cre§te ~i presiunea dinamica, de aceea,

1trebuie sa scada presiunea statica, pen­

tru ca SUID!_lor sa ramina CO~:- Presiunea statica la gituitur~ poate scadea suo presiu~!-atmosferica, astfel a pare fen.omenul de aspira~ie (fig.--9..33) pe car.e se bazeaza unele aplica~ii practice, cum ar fi pulverizatorul {fig. 9.34),

Fig. 9.33. Presiunea statica in portiunea ingusUi A a unei conducte poate sa scada sub valoarea presiunii atmosferice ~?i pro· voaca aspirarea lichidului din vasul v.-

247

2

Flg. 9.34. Pulverizatorul. DatoriHi ae· rului suflat prin tubuli, in punctul A cre~?te presiunea din arnica ~?i sea de presi­unea statica sub valoarea presiunii at­mosferice. Datorita acestui fapt lichidul urea in tubul 2 pina in A unde curentul de aer il preface in picaturi

fine.

lampa Bunsen, trompa de apa, sonda de

presiune, debitmetrele etc. a) Trompa de g,pa (fig. 9.35) func~io­

neaza astfel: in regiunea A presiunea dina· mica crette, scade presiunea - statica ti ia

na,-tere absorb~ia aerului din vasul V, aer ·

care este antrenat de jetul de apa. --

b) Sonda de presiune este un tub ma­

nometrie montat perpendicular pe 0 con­

ducta prin care curge un fluid ti care ser­vette Ia determinarea presiunii statice a fluidului (fig. 9.36).

c) Tubul Venturi·- se folose§te Ia masurarea debitelor de volmp ale fluideJor (fig. 9.37) ... Pentru masurarea debitelor se inlocuie§te o p~rtiune orizontala de conducta cu tubul Venturi cu sectiunea de intra.re S 1 §i sectiunea portiunii mai inguste S2• ln sectiunile S1 §i S2 vitezele fluidului sint v1 §i v2• Aplicind relatia (9.20), se ob_tine

Fig. 9.80. Trompa de apa.

de unde

ll.p = Pt- P2 = _!_ (~- vr)p. 2

Folosind in rela.~ia (9.21) ecua~ia de continuitate (9.15'), oh~inem:

. ll.p = ~ p n ~: r -1 J ~--Debitul de volum este dat de rela~ia:

Q s - s "\ I 2 Ap - k "\ I Ap v tVl - I v p[(Sl/Ss)2 - 1] - v p

unde k eate constanta aparatului

k = s.s, 1/s~~ sf

)'lg. 9.86. Sonda de presiune. FIJ. 8.87. Tubul Venturi.

248

(9.21)

(9.22)

(9.23)

" I

,.,.,.._ t I

z

A F

v=v(z)-------

9.~.5. Viseozitatea. La viteze nu prea mari, curgerea fluidelor e8te laminara (in straturi), adicii liniile de curent sint bine determinate :;;i nu se intersecteaza niciiieri intre ele, fiecare pb.rticula de fluid ramine mereu in interiorul unui acela:;;i tub de curent. La viteze mari, mi:;;carea devine turbulenta, neregulata, portiunile de fluid se amestecii :;;i se formeaza

Fig. 9.38. Antrenarea straturilor de liehid ve­cine datorita viscozitatii.

virtejuri. sa ne imaginam doua suprafete solide plane A :;;i B a:;;ezate la o anumita distanta -una de alta intr-un fluid viscos in repaus {fig. 9.38). Actionam cu o forta F asupra su--prafetei A deplasind-o cu o viteza v const~ta in raport cu suprafata B. 1n timp ct}

suprafata A se deplaseaza in propriul sau plan, suprafata B are tendinta sa. se depla­seze in aceea:;;i directie. Ne putem inchipui cii in interiorul lichidului deci ~i intre cele ~oua suprafete plane exista mai multe straturi paralele care alunec~ unele fata de altele, ,intre care apar forte_de frecare interna sau de viscozitate. Stratul care se afla in contact cu suprafata mobila are aceea~i viteza ca ~i aceasta, in timp ce lichidul in contact cu cealalta suprafata se afla in repaus. Viteza straturiltrr intermediare cr~te uniform de Ia o suprafata Ia alta, a:;;a cum araUi figura 9.38. Stratul cu viteza mai mare cauta sa accelereze stratul cu viteza mai mica peste care el alunecc'i, :;;i invers stratul cu viteza mai mica cauta sa frineze stratul cu viteza mai mare cu care este in contact. Astfel, ia nas-- - . tere forta de frecare F' - F, care actioneaza in planurile de lunecare, a caror viteza de curgere variaza de Ia un strat la altul.

Dacii grcsimea z a stratului de fluid dintre cele doua suprafete cr~te, aplieind -aceea!?i forta F suprafetei A, aceasta va clpata o viteza mai mare: v '""J z. Dadi se

mar~te ariaS a suprafetei A se constat~ o mic~orare a vitezei plA.cii, cind este actionata

de aceea:;;i for~: v ,.., ifS. 0 cr~tere a modulului fortei F produce o cr~tere propor­tionala a -vitezei 1J : v ,.., F. Astfel viteza este proportionala cu forta F, cu distanta z !?i cu 1fS. Putem scrie urmatoarea relatie: •

sau

Fz V= -,

·IJS

Fz 11 =-,

Sv (9.24}

unde ·IJ este un factor care depinde numai de natura fluid1,1lui :;;i de temperatura sa. Acesta • se nume!?te coeficientul de viscozitate al fluidului.

Unitatea de masura pentru coeficientul de viscozitate in SJ se num~te decapoise, dupa numele fizicianului Poiseuille. '

Avind' in vedere relatia (9.24) obtin~m:

1 decapoise = 1 N • sfm2•

·9.4.6. Fort& de rezistenta Ia inaintarea in Duide. Din experient-a noastra c~ cicl~ti, motocicl~ti, sau ca pasageri in diverse vehicule, am constatat ca aerul tinde sa se opuna mi§ciirii corpurilor.

Mi:;;carea unui corp intr-un fluid face sa r..para o forta de re#sten/4,_ care este tntot-deauna opusa mi§ciirii. ' '

249

}'ig. 9.39. Liniile de curent in jurul unei sfere 1ntr-o curgere

laminara.

Fig. 9.40. Formarea turbioanelor in spa­tele unui cilindru de revolutie intr-o

curgere laminara. '

Sa consideram cazul unu i corp care poseda o axa de simetrie ~i care se deplaseaza in aer cu o viteza constanta care are aceea~i directie ca 9i axa de simetrie a corpului. Rezistenta pe care o opune aerul mi~carii corpului se datoreaza fortelor de frecare :;;i · fortelor de presiune. Distingem cazurile urmatoare:

a) Daca mobilul se deplaseaza in aer cu o viteza pina la 0,5 mjs, perturbatiile data-rate fortelor de presiune sint neglijabire. Mi~cai'ea este perturbata de fortele de frecart:.'.

!{)F

250_~

~ a) F proportional cu y2 b) F proportional cu S

s o·--y-~ 15(unitati relative _ ~ pentru for!al

·() _____ 53 __ _ s _y_ -- F. 26 2 ----------

100 s0~~

s()~~-~()~----------· 320

sQ __ =_)- -------640

.cl F depinde de forma corpului

Fi~. 9.41. Forta de rezistenta a obiectelor aflate intr-un lichid in mi~care este proportio­nala cu: a) patratul vitezei fluidu~ui; b) cu sectiunea transversala S a corpulm. Depmde, de asemenea

1 de forma eorpului (c) ~i de den-sitat.ea fluiduJui.

250

Fortele de frecare se datoreaza viscozitatii aerului. Acesteasint tangen­te la suprafata corpului ~i admit o rezul­tanta care areca dreapta suport, axa de simetrie a mobilului, numita rezistenfa

de frecare. tn acest caz, rezistenta este proportionala cu viteza. Fluidul alune­d'i in lungul peretilor corpului ~i curge­rea lui se nume~te laminara (fig. 9,39).

b) Daca mobilul se deplaseaza cu o viteza cuprinsa intre 1 m/s ~i 280 mjs, rezistenta de frecare (datorata viscozi­tatii aerului) este mica in raport en re­zistenta datorata fortelor de presiune. La aceste viteze, se produce in fata mobilului f) zona de suprapresiune ~i in spatele mobilului o zona de depresiune, care da nB:_~tere turbioanelor (fig. 9.40). 1n acest caz rezistenta se datoreaza diferentei dintre fortele de presiune din fata f;ii din spatele mobilului.

Studii experimentale, in tunele aerodinamice, au condus la concluzia ca rezistenta de inaintare in aer este proportionala cu :

- patratul vitezei mobilului (fig. 9.41, a);

- densitatea aerului p, in con­.dipile experimen tului;

- aria S a suprafetei obtinuta prin proiectarea corpului pe un plan perpendicular pe vectorul viteza, nu­mita contur aparent (fig. 9.41, b).

Rezistenta mai depinde de for­ma corpului.

a b

Fig. 9.42: -a) Unghiul de atac .al un~iplAci 'plane; b) bordul de fugA. al , une1 plac1 plane.

Marimea fortei de rezistenta este data de relatia urmatoare:

1 F =- CSpv2•

2

8ord de fuq(j

(9.25)

Faetorul 1/2 este introdus din considerente teoretice. Coeficientul de proportJonalitate ·C., este o constanta adimensionala. Acest coeficient depinde de forma corpului f?i se ntai nuwe~te ~i coeficient de formil tn regim turbulent. .

9.4.7. Zborul avionului. Sa consideram aripa unui avion de f(}rffi.a unei olaci plane. dreptunghiulare, care se mi~ca intr-o atmosfera calma cu viteza v. Fie IX unghiul pe care-1 face placa cu vectorul viteza v (fig. 9.42). Unghiul IX se nume~te unghi i:te atac. Partea fron­tala a placii se nume~te bord de atac, iar partea diametral opusa se nume~te bord rle fuga (fig. 9.lt2). Experienta arata ca asupra placii actioneaza un sistem de forte care admit o rezultantil R. Aceasta satisface urmatoarele conditii:

- are punctul de aplicatie 0, lao treime de bordul de atac; - are directia normala Ia placa; - are un astfel de sens in cit tin de sa mareasca unghiul IX; .

-+ - intensitatea fortei R este proportional& cu densitatea aerului, suprafata pHicii,

unghiul de atac ~i patratul vitez€li:

R = Cp1XSv2• (9.26)

Aceasta formula este valabila perttru unghiuri mici de atac ~i pentru viteze cara nu depa~esc 300 km;'h.

-+ Proiectam forta R pe o axa paralela cu vi-

teza ~i pe 0 axa perpendicular& pe viteza (fig. 9.43).

Componenta P = R cos oc se nume~te portanta aripei (sau forta portanta) care invirtge greutatea avionului. Componenta T R sin IX se nume~te rezis­tenta frontalii ~i trebuie invinsa de catre forta de tractiune a avionului.

(_.. ~~

PROBLEMA REZOLVATA

Fig. 9.43. Forta portanta..

Un rez~rvor cu apa este prevazut cu un orificiu de sectiune S 2 toarte mica in raport cu sectmnea S1 a rezervorului. Orificiul este construit astfel1ncit ghideaza curgerea. Sa se calculeze viteza de curgere a apei prin orificiu, neglij1nd frecarea (fig. 9.44, a li'i b). Nivelul apei din rezervor se mentine constant la valoarea h ;;.;: 1,8 m(g -= 10 mjs2).

251

"

Q

- -1v.---- Jl1 -

Fig. 9.44. a ~i b. La problema rezolvatA.

Rezowtue. Notlm cu p0 presiunea atmosfericA, cu v1 vit-eza licbidului Ia nivelul &Au superior ~Ji cu v3 viteza Hcbidului Ia nivelul orificiului. ~rii fluidului (presupus ideal). i se aplicA legea. lui Bernoulli:

pv2 pv~ Po+-1·+ pgh=Po+-2 • 2

Tintnd sea.mA de eWatia de continuitate:.

obtinem:

V2gh v2 = •

Vt- s~ S2

1

Cum sectiunea S.,. este foarte mica in raport cu S1, avem:

v2 = V2gh = 6 mfs.

1NTREBARI. EXERC/f/1. PROBLEM£

1. Un balon de cauciuc umflat cu ,hidrogen urea in aerul atmosferic. Acest fapt, poate fi o proba a existentei .fortelor de presiune datorate aerului atmosferic? Justificati rA.spunsul.

2. Un pahar care con tine o cantitate de apA e8te acoperit cu o foaie de hlrtie. Se tntoarce pabarul cu gura th jos acoperind tn acest · timp foaia cu podul palmei. Foaia ramtne

· lipitA de gura paharului ~i apa nu curge (fig. 9.45). Este aceasta o probii a existentei presiunii atmosferice?

3. Se cufunda un corp intr-un vas cu apa, .. astfel incU sub corp mai ramtne un strat foarte subtire de apa. sa va exercita, tn acest caz, o presiune bidrostatidi orientata de jos in sus? Justificati r~s­punsul.

4. Daca o persoana se a~za tn apropierea unui tren care se depla­seazA cu o viteza oarecare, exista riscul ca persoana sa cada sub tren?

Fig. lAO. Pentru 5. Un remoreher trage dona ~lepuri (fig. 9.46). Explicati de ce exercitiul 2. cele doua ~lepuri au tendinta sa se apropie.

252

Fi~. 9.46. Pentru exercitinl 5.

6. Doua mingi de cauciuc se suspenda a~a cum se arata in figura 9.47. Daca intre cele ,. doua mingi se sufUi aer, aces tea se vor apropia. Explicati fenomenul.

7. Se realizeaza dispozitivul din figura 9.48 alcatuit dintr-un disc ~r A facut din carton ~i ·a~ezat in apropierea unui alt disc-.B prevazut cu un orificiu pus in lega-. tura cu un tub C. Daca se sufla aer prin tubul C, discul A. se apropie de discul B. De ce?

8. Un manometru cu lichid se compune dintr-un tub in forma de U care are o ramura deschisa iar cealalta este legata Ia un recipient care contine un gaz sub o anumita presiune. Tubul se poate umple cu mercur, · (p1 = 13,6 gfcm3), apa (p3 = 1 g/cm3}

sau cu ulei (p3 = 0,6 gjcm3). Sa se discute avantajele ~i dezavantajele utilizarii fieca.rui lichid. in ce conditii, fiecare dintre cele trei licbide, va fi mai util?

9. Un tub Torricelli are o lungime l =1m. Se tnclina pina cind se umple complet cu mercur. In acest moment el face un unghi « = 49°10' cu nivelulliber al mercurului din cuva. Sa se determine presiunea atmosferica in acest loc.

R:H = 756,6 mm col. Hg. 10. 0 bucata de lemn cu densitatea p1 = 700 kg/m3 ~i cu masa m1 = 0,250 kg, este prinsa

de o bucata de plumb. Corpul format se introduce in apa ( p = 1 000 kg/m3). Sa se calculeze greutatea plumbului penhu ca: a) corpul format sa pluteasca in echilibru in apa; b) ~umai f = 8/10 din volumul total sa fie cufundat in apa. Densitatea plumbului este p2 ~ 11 350 kg/m3, iar g = 10 mfs2•

R: (m1 + ms)g = (';: '+ ';:)fpg: a) G1 = 1,18 N; b) Ga = 0,38 N.

11. Densitatea apei de mare este de 1,026 g/cm3• Care este presiunea datorata apei de · mare Ia o adincime de 1 km?

~

Ql

<(

1 Fig. 9.47. Pentru

exercitiul 6.

A

253

R: p = pg h = 10,055-1oe N/m".

- -...... c ~

B t

Fig. 9.48. Pentru exercitiul 7.

12. Pistonul mic al unei prese hidraulice are un diametru d1 = 1 em ~i este supus actiunii unei for~e F 1 = 10 N. Care trebuie sA fie. diametrul pistonului mare d1 pentru a suporta o sarcina F~ =to ooo N?

18. Un corp din fonta cu masa m = 20 kg ~i densita.tea p = 7 500 kgfm1 poate s~ plu­teasca pe suprafata mercurului de densitate p1 = 13 600 kg/m3• Calculati volumul portiunii din corp cufundate tn IJlercur ~i volumul total al corpului.

R: V1 = m/PJ = 1 ~70 cm3 ; V = 2 667 emil. 14. 0 sfera din aluminiu are greutatea tn aer G = 2,58 N. Greutatea sa aparenta in

apa mi este dectt Ga = 1 N. Demonstrati ca sfera este goala tn interior ~i calculati volumul cavitatii. Densitatea aluminiului p = 2 580 kg/m3 • (g = 10 m/s2

)

R: Ga = G- (V1 + G/pg)·poK; V1 =58 cm3 •

15. Masa unui vapor este m= 57 800 tone. Sa se calculeze volumul partii cufundate in apa de mare cu densitatea ((1 = 1 028 kg/m3, ~i apoi in apa dulce cu densitatea p2 = 1 ooo kg/m3•

16. Un tub Torricelli este inclinat cu ~ = 45°. Cu cit se deplaseaza mercurul in. tub~ctnd 'presiunea atmosferica variaza de la H 1 ::;:::: 758 la H 2 = 764 mm coloana de mercur?

R: !lh = (llH)/pg cos ex= 1,4. mm.

17. Printr-o conducta orizontala, cu seetiunea transversaHi variabila, curge apa (fig. 9.lt9). Sa se determine debitul de' volum al apei ce curge prin condu.cta. Se dau sectiunile transversale sl = 10-3 m2, s2 = 2. 10-3 m2 ~i diff:lrenta de nivel dintre coloanele de lichid din sondele de presiune montate pe conducfa D.h = 0,2m.

R: Qv = S1 S2ii 2g !lhj(S~- sj) = 2~29 • 10-3 m3/s. 18. Sa se afle cu ce viteza scade nivelul apei dintr-un rezervor cu aria sec~iunii trans­

versale S1 = 1 m2, daca viteza de curgere a apei printr-un orificiu, facut in peretele lateral al rezervorului, este v = 2 mfs. Diametrul orificiului este de d = 2 em.

R: v1 = nd2v/lf S1 = 6,28 • 10--4 mfs.

19. Sa se determine viteza de curgere a bioxidului de carbon printr-o conducta, dac<?'t prin sectiunea transversala a conductei se scurge In timpul t = 30 minute o masa m = 0,51 kg. Densitatea gazului este p = ,,5 kg/m3 i;>i diametrul conductei este d = 2 em.

R~ v = 4 m/p nd'll t = 0,12 m/s.

20~ Apa se scurge dintr-un tub cu diametrul interior d = 2 em cu debitul de volum Qi-' = 8 litrifmin. Sa se. determine viteza apei in tub.

Fig. 9.49. La problema 1?.

R: v = 4 Qv/~ da = 42,4 cm/s.

. 2l. l)n lichid cu densitatea p = 900 kg/m3 ,

curge printr-o conducta cu diametrul d = = 6 em. lntr-o secthm~ unde diametrul sea­

de lo d1 4,2 em, presiunea este cu 1 600

Njm 2 mai mica dedt presiunea din cealaH.a

secthme a conducteL Sa se caleuleze viteza liehidului in sectiunea conduetei de diametru d.

R: vF::\1.2 D.p)f p[(d/dl)' - tr = 1,1 mjs.

254

10 UNDE .ELASTICE. NOTIUNI DE ACUSTICA

10.1 OSC!LATORUL LINIAR ARMONIC. COM PUNEREA OSCJLA Til LOR

10.1.1. Mi~earea oseilatorie

EX PER/MENTE

1. De un fir 1ung ~i inextensibil, suspendam un corp (hila) pe care-llovim astfel incit sa nu-i imprimam o devia~ie prea mare fata de pozitia de repaus (fig. 10.1, a). Un astfel de sistem mecanic este numit pendul gravitational.

2. De un resort de o~el, suspendam un cor}t ~i prin intermediul lui tragem resortul in jos (fig. 10.1, b). Sistemul incepe sa se mi~te in sus ~i in jos. Un astfel de sistem este numit pendul elastic.

3. Fixam o banda de o~ella unul din capete ~i apoi o deviem din pozi~ia ini~iala ca in figura 10.1, c. Sistemul se nume~te pendul cu arc lamelar.

4. Turnam apa intr-un tub indoit, din sticla, cu diametrul de ci~iva em. Astupam unul dintre capete cu un dop de pluta ~i'suflam aer la. celiilalt capat. ln acest fel coloana de apa este pusa in mi~care (fig. 10.1, d).

5. Pe marginea unui disc fixam intr-o pozi~ie oarecare o hila. Rotim discul cu viteza unghiulara constanta. Cu ajutorul unei lam pi de proiec~ie, proiectam pe un ecran mi~care~ hilei de pe disc (fig. 10.1, e). Vom constata ca umbra hilei are o mi~care alternativa, dus-intors.

ln toate. cazurile studiate mai sus are loc o mi~care continua de o parte ~i de alta (dus-intors) a pozi~iei initiale (de repaus) a corpului (sau a umhrei saJe in cazul experimentului 5).

Aceasta ~i~care prezinta urmatoarele caracteristici:

255

/)r-~ I II

b-f I I

II

I I I/ I II I /I

I I II I

t ,,

I ,, .... L... I

( ' ,/ ("~

~ ,-<,

. ,_..

b c d a

e Fig. 10.1. FAXemp1e de oscilatori: a) pendul gravitatio~al; b) pendul elastic· c) pendul cu arc lamelar; d) coloanll de apll oscllantll; e) pro­

' Iectia pe un ecran a u:nei mi~ciiri circulare uniforme.

a) d9pi intervale de timp egale, procesul individual de mi~care; se re-peta, este un proces periodic; . . . . . .

b) mitcarea are Joe de fiecare qata stmetrtc fa~a de o anum1ta pozitie, pozitia de repaus sa~ de echilihru a oscilatorului.

~a unui eorp san a unui sistem material, care se repeta Ia int~r­vale de timp egale ~~ eare se faee simetric fat& de o pozitie de repaus se nume~~ m~eare oscilatorie sau oscilatie mecanica.

Pentru studiul mitcarii oscilatorii se definesc urmatoarele marimi fizice: Perioada mifciirii oscilatorii T, reprezinta timpul necesar efectuarii unei

oscilaJii complete. Daca notam cu n numarul de oscilatii efectuate de un oscilator tn inter-

valul de timp t atunci avem:

T =-.!.. n

256

Cnitatea de masura tn S.J. este:

[ T]sJ = 1s.

F_recPenta mi~cltrii v este numarul de oscilafii efectuate in unitatea de timp: n

v = -. t

Unitatea de masura pentru frecventa in S.I. este hertzul (Hz):

[ v Jsr = 1 s-1 = 1 Hz.

Din relatiile de definitie ale frecventei ~i perioadei rezulta relatia:

vT = 1.

Elonga{ia mi~carii notata cu x sau y reprezinta deplasarea ( departarea) oscilatorului fata de pozifia de repaus la .un moment a'at.

Din ddinit.ia elongatiei rezulta ca ea variaza in timp. Aceasta rnarime are o Yaloare, o directie ~i un sens, deci poate fi repreze'ntata printr-un vecfor

'" ~

X snu ,tj. In S.I. unitatea de masura pentru elongatie este metrul:

[x]SI = 1 m.

Amplitudinea mi~carii A este elonga{ia maxima Xmax pe care o poate avea oscilatorul in cursul oscilafiei.

Daca in experimentele anterioare 1, 2, 3, 4, se lasa sistemele (corpu­rile) sa oscileze uninterva.I de timp Jnai mare, seobserva ca amplitudinea mi~carii oscilatorii nu rarnine constanta in t.imp. In experimentul 5, .insa, arnplitudinea mi~carii '(a ,proiectiei mi~carii) rarnine neschirnbata. Distingem deci doua ca,zuri:

a) mi~carea oscilawrie ( oscilafia) este neamortizata, arnplitudinea ramine neschimbata de la o oscilatie la alta;

b) mi§carea oscilatorie (oscilafia) este amortiz'ata, amplitudinea scade de ]a,. o· oscilatie la alta.

10.1.2. Oseilatorulliniar armonic. Sa analizam un resort elastic care are lungimea lin stare nedeformata (fig. 10.2, a). Dupa legea lui Hooke deform a-rea unui resort elastic este proportional& 0 b d cu forta care actioneaza asupra resortu­lui. Forta elastica care ia na~tere in resort este, de as~menea, proportional a cu l deformarea resortului < !ar de sens opus acesteia. A vern, d eci:

-+ k.'f sau Fe - ky, Yo

unde sint considerate pozitive valorile y t citite incepind de la punctul eel mai de jos al resortului netensionat, in jos. Fig. 10.2. Oscilator armonk liniar.

257 17 Fizica cl. a IX-a

Daca se suspendll de resort un corp cu masa m, el se va alungi cu y 0 da--+ -+

toritll fortei G = mg (fig. 10.2, b) §ide aici rezultll:

-+ -+ -+ -+ G = ma = ky0 = -F o . eo '(10.1)

relatie valabilll pentru pozitia de repaus a pendulului elastic. Scotind pendulul . din pozitia de repaus el incepe sa oscileze vertical,

-+ .

forta G indreptata in jos i§i pastreaza valoa.rea, in timp ce forta elastica Fe din resort variaza in functie de alungirea y a acestuia (fig. 10.2, c,d). Suma vectoriala a celor doua forte. sau diferenta valorilor lor da ca rezultanta forta care la orice moment tinde sa aduca pendulul spre pozitia de repaus. Se ob­tine pentru aceasta forta -expresia :

-+ -+ -k(y - Yo)

sau

F = -k(y -- Yo)· (10.2}

A§adar forta care actioneaza asupra pendulului elastic in timpul oscila· tiei este proportionala cu deplasarea ( departarea) fata de pozitia de repaus. §i de sens contrar acesteia adica este o forta de tip elastic.

r n punet material care se mi~ea reetiliniu sub aetiunea unei forte d~ form3 F = -ky (sau F = -kx) se nume~te oscilator liniar arro'oui•·· :Hi~earea sa de oseilatie este numita mi~eare oseilatorie armoniea.

Oscilatorul liniar armonic este un oscilator ideal. Pentru a stabili legea mi§carii oscilatorului armonic, dependenta elon· .

gatiei y de timp, y = y(t), ne vo~ folosi de mi§carea circulara uniforma a Y unui punct material §i de proiectia

acestei mi§cari pe unul din diametrele traiectoriei.

Sa urmarim, in acela§i timp, mi§-'Carea circularS. uniforma cu viteza un­ghiulara w, pe un cere· de raza R = A. a unui punct material P de masa m §i mi§carea proiectiei sale P', proiectie ortogonala pe axa Oy (diametrul B 1B 2,

infigura 10.3).ln timp ceP face o rota tie completa plecind dinA1 tn sensul indi­-cat pe figura, proiectia sa P' efectueaza o oscila tie cu am plitudine constanta A,

Fig. 10.3. Proiectia ortogonala a mi~carii ·. plectnd din 0 a§a cum arata figura circulare uniforme a punctului P pe unul · 10 4 S b

d!.n diametrele traiectoriei (B1B

2). · • • L. e 0 serva UrJilatoare}e: compo-

258

® ,~-~~

G I ' I I

Fig. 10.4. Mi9carea concomitenta a puneoolui P ~i a.· proiectiei sale P'.

Fig. 10.5. Mi~carea oscilatorie a punctului P' poate fi descrisa ea proiectia pe diametrul B 1B 2 a mi~~

carii circnlare a punctului P.

nenta pe axa y a deplasarii lui P este totdeauna aceea§i cu .deplasarea lui P'; componenta pe axa y a vitezei lui P este totdeauna aceea§i cu viteza lui P'; componenta pe axa y a a.cceleratiei lui P este totdeauna aceea§i cu accele­ratia lui P'. Deci mi§carea oscilatode a punctului P' poate fi descrisa ca proiectia pe dia.metrul Oy a .mi§carii circulare uniforme a punctului P. Sa aratam ca aceasta mi§care oscilatorie este o mi§care oscilatorie armonica.

Se §tie ca in mi§carea circular a uniformS.' accelera~ia ceiltripeta ;cP are valoarea w2 R. Componenta sa pe diametrul B 1B2 (fig. 10.5) reprezinta acce­lera~ia mi§carii punctului P' §i are• valoarea:

a = -w2R sin rp.

Din figura 10.5 se observa ca putem scrie:

y = R sin rp.

ln acest caz rela~ia (10.3) devine: -+ -+

a - w 2y sau a = - w 2y -+ -,-.

(10.3)

(10.4)

(10.5)

unde semnul minus semnifica faptul ca accelera~ia a §i elongatia y au sensuri opuse.

Punctul P' se mi~ca la fel ca §i cind ar fi un punct material de masa m §i asupra lui ar ac~iona o for~a F care sa-i imprime accelera~ia data"de (10.5).

259 17*

Deci: It = ma = ·-mc../'y. (10.6)

, . Pentru valori determinate ale n1asei m §i ale vitezei unghiulare constante

<U, produsul m<U2 = k ~i relatia (10.6) devine: -

F = -ky .. (10.6')

A~adar r.ai§carea punctului P' se face ca si in cazul in care forta sub acti­unea careia are loc mi§carea este o for~a de tip elastic §i deci acest punct m.'a­terial descrie o miscare oscilatorie armonica. . .

~tiind ca ({) = <Ut §i ca R = A este amplitudinea miscarii oscilatorii re-. . . ' latia (10.4) devine:

y = A sin <Ut. (10.7)

Aceasta relatie reprezinta ecuatia elongatiei oscilatorului Iiniar armo­nic, adica reprezinta legea de mi§care a oscilatorului, dependenta y = y(t).

D~ca proiectia mi§carii plinctului P s e face pe diametrul A 1A 2 at unci

se ohtine pentru ecuatia elongatiei expresia:

X = A cos <Ut.

Putem formula acum o alta definitie a mi§carii oscilatorii a~monice:

. orice p.unct n:taterial care se mi~cii rectiliniu, fata de un S R, astfel lndt legea de ml§care est e de forma ·

· y = A sin cut sa u x = A cos cut '

descrie o rvti$care oscilatorie armonica.

Tinind seama de relatia (10. 7) §i de rPlatia (10.5) expresia acceleratiei levine acum:

a = - cu2 A sin cut. (10.5')

Componenta vitezei liniare Vt = cuA, pe diametrul B B reprezinta • . 1 2

':-1teza de mi~care a lui P', adica viteza mi§carii oscilatorii armonice:

v = cuA cos cut. (10.8)

F a~a ~i perioada mi~carii oscilatorii armonice. Argumentu] functiei y =A sin cut, ({) = cut, se nume§le faza mi§carii oscilatorii. Faza se masoara in radiani §i este una dintre marimile de stare ale oscilatorului. Daca in fi­gura 10.~ oscilatorul P' ar fi fost Ia momentul initial in P~ ( corespunzator punctului Po de pe cere) faza Ia momentul t0 = 0 ar fi fost <'Po· Atunci Ia mo­mentul t faza este <p <po + cut . . Ecuatia elongatie{ se va scrie in ac~st caz:

y = A sin (cut + <p0). (10.9)

. Pentru ~i§~area os?ilatorie marimea cu se nume§te pulsatie §i reprezinta v)teza de var1at1e a fazei. Aceasta marime se masoara in S.I. in radfs.

.c~ §i la mi§carea circulara, intre frecventa v, perioada T §i pulsa~ia c.>, mar1nu caracteristice mi§carii oscilatorii, sint valabile relatiile:

(10.10)

260

Din rela~ia k = niw2 tinind seama de rela~ia (10.10) obtinem: k = m · 47t2/T2 de unde rezulta:

T = 27t'"' /-;;,. _ (10.11) v k

Aceasta relatie reprezinta perioada o~cilatorului Tiniar armonic §i ea arata ca perioada unui oscilator depinde de proprietatile sale inertiale, prin masa m si de cele elastice prin constanta elastica k si n u dBpinde de conditiile , , ' . initiale in care se afla oscilatorul.

EXPERIMENT

Cu un montaj ca eel din figura 3.65 se pot face determinari ale perioadei §i frecventei unui pendul elastic, evident neglijind frecarile interne §i cele cu aerul. Se pune in oscilatie pendulul, tragindu-1 U§Or cu mina §i apoi lasindu~l l~ber. Se numara oscilatiile n ef~tuate intr-un interval de timp dat, t. Se mo­difica masa pendulului m prin adaugarea de discuri cu masa cunoscuta.

Se pune din nou pendulul in stare de oscilatie. §i s e numara oscilatiile efectuate intr-un timp determ,inat. Datele obtinute se tr~c intr-un ta.bel d(~

forma celui de mai jo~:

Dinamometrul 1 N II Dinamometrul 2,5 N

Nr. n t I m T Tmediu k Nr. t T Tmediu k Nr. de m

crt. osciiatii (s) (kg) (s) (s) Nfm crt. (s) (kg} (s) (s} (N/m)

- ----- - - -- ---- --1- -- - --·-- - --

Cu datele obtinute studiati dependentele T = f ( V m) §i T _ t( ~ r Ati putea indica eventualele surse de erori? Ce ar trehui fa cut pP,ntru a mari precizia determinarilor?

10.1.3. Energia oscilatorului armonic. Dupa cum §titi, un punct material de masa m, sub ac\iunea unei forte elastice F = -ky, descrie o mi§care oscila,torie armonica. La un moment dat t, elongatia este y = A sin <Ut iar viteza mi~carii v = <UA cos <Ut (considerind <po = 0).

Cum energia de pozitie in cimpul fortelor elastice este Ep = k:2

, .. pentru

oscilatorul liniar armonic avem: ·

!_ ky2 = _!_ kA 2 sin2 cuf 2 2 '

iar pentru energia cinetica a oscilatorului:

Ec = _!_ mv2 = _!_ mCil2A 2 cos2 wt =.! kA2 oos2 iilt 2 2 2 .

(pentru ea m6l2 = k).

261

(10.12)

(10.13)

Nm

f f

10-1.

Q lq 1 .-~. 'II

(/

Nm

t £

£,

£2

r' o.

b

Fig. 10.6. a) Spectrul unei oscilatii; b) sehema nivelelor de energie a douii oscilatii.

Energia m.eca.nica totala a oscilatorului liniar armonic este:

E -= EP + Ec = ~ kA2 (sin2 oot + cos2 oot) = 1 kA2 = ~ moo2 A2 = 27t2v2 A 2m.

(10.14)

Din rela~ia 10.14 deducem ca energia totala a oscilatorului lin.iar armo17:ic este constanta lnJimp -:- este un invariant.

Se folosesc doua mod uri de reprezentare a energiei unui oscilator:

a) se reprezinta grafic· energia in func~ie de frecven~a (energia pe ordo­nata §i frecven~a pe abscisa). Se ob~ine astfelun spectru al procesului respectiv. 0 oscila~ie armonica se reprezinta printr-o linie spectrala (fig. 10.6, a);

b) printr-o schema de niCJele de energie. Intr-o schema de nivele de energie, energia oscilatorului se reprezinta printr-o dreapta orizontala · situata la o ina.l~ime corespunzatoare valorii energiei (fig. 10.6, b). Se spune ca oscilatorul · se afla pe un anumit niCJel de energie.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un corp de masa m fixat de un r~sort de constanta k este deplasat cu distanta x0 fata de pozitia de echilibru sub actiunea unei forte F. Lasat apoi liber, corpul incepe sa oscileze armonic (fig. 10.7). Se cer: a) constanta elastica a resortului presupunind valorile luiF ~i-x0 cunoscntr: b) perioada oscilatiilor; c) viteza maxima atinsa de corp.

( Se neglijeaii'i fredi.rile.)

Rezol,•are. a) Alungirea resortului pe di::slanta x0 este prodnsa de forta F. Deci k =--· FjxiJ.

}'ig. 10.7. Pen tru probl0rr1a rezolvata 1.

"' I k . b) Din k =- mr..)2 obtinem <•) = V -;;:;, ~~

T=2r."' I-;;;_. v k

c) Viteza oscilatorului este data de relatia t' = = A <0 cos ( <Ot + cp) ~i es te maxima cind cos ( (l>t + <p)

deci Vmax = A<0 unde A = :r.,) .;;i <0 = Vk./m ~i dcci

1'max = Xo VkJm.

262

k1 /.

k2 k1

~k~ b

a Fig. 10.8. Pentru problema rezolvatii 2.

2. Sa se calculeze perioada de oscilatie a unui corp de masa m suspendat prin intflr­mediul mai multor resort uri de constante k1 , k2, ... kn, cup late: a) tn serie; b) in paralel.

Rezol"are: a j Forta elastica care actioneaza asupra intregului sistem este:

F = kes • X

unde kes este constanta echivalenta a resorturilor legate in serie. Se observa, din figu­ra 10.8, a, ca fiecare resort va avea o deplasare proprie xi. Deci suma tuturor depla-sarilor va fi tocmai deplasarea intregului sistem de "'resorturi: ·

x1 + x 2 + ... + Xn = x.

Dar (neglijind masele resorturilor) a vern: F F F

xl = - ' x2 = - ' ... Xn =. -- ~i x k1 k2 . kn

!?i inlocuind in relatia deplasarilor obtinem:

F +!_-+··· + F =.!_· k1 k2 kn kes

Dupa simplificare obtinem:

1 -=

~tiind ca m<02 = kes. rezulta:

F

<O '=."\I kes ~i T = 2r..= 2r. "\ J.m = 2r.Vm t -1 • V m <0 V kes i=1 ki

b) ln acest caz din figura 10.8, b se vede c.J forta rezultanta este

F = F 1 + F 2 + ... + F n·

Resorturile avind fiecare aceea~i deplasare x. peci vom avea:

F = kepx; F 1 = k1x; F 2 = k2x, ... , Fn knx.

l?i inlocuind in expresia fortei Ji' obtinem:

kepX = k 1x + k 2x + ... + knx ~~

kep x = (k1 + ka + ... + kn)3:; dupa simplificare rezuW1: n

k ep = k1 + ks + ... + kn = E ki· •+1

263

V kep · T 2 'It • . y-;;; t ;-;;;-- ~~ =~. Dec1 T=2n -=2n /-n-.-"' m (I) kep ·~

. . ki i=

(t}

10.1.4. Compunerea oseilatiiiot:. Am vazut ca sub actiunea unei forte de tip elastic un punct n1aterial descrie o mi~care oscilatorie armonica a ~arei ecua~ie este de forma :

x a cos (wt + q>) sau y = a sin (wt + rp)*.

Ce se va intimpla atunci cind un punct material va fi solicitat sa descrie in acela~i timp do1la mi~cari oscilatorii armonice? Ce fel de miscare va a-vea in aceasta situ.a~ie punctul material? ~

V om considera cazul in care cele doua oscila~ii care solicita punctul mate­rial au aceea~i directie ~i aceea~i pulsa~ie (perioada) dar amplitudinile si fazele initiale diferite: ,

Y1 = a1 sin (wt + q>1) '(10.15)

Y2 = a2 sin ( wt + q>2).

Deplasarea y fata de pozttia de echilihru va fi data de suma algehrica a deplasarilor y1 ~i y2 adica:

(10.16)

Sa efectuam aceasta adunare cu ajutorul metodei fazorilor sau vectorilor rotitori.

Daca vom considera un segment de dreapta de lungime a1 (fig. 10.9) care face cu axa 0 x unghiul q>1, drept un vector cu originea in 0 §I sensul de }a

y

,.----+--- ------

y

X

--=-~c w_-y--/ji - \ I I

I I

Fig. 10.9. Compunerea vectorilor ro­titori care reprezinta mi~dir~ oseilatorii

armonice de aceea~i pulsatie.

-+ --+-0-la A, adica vectorul a1 = OA §i daca acest vector ~e va roti cu viteza unghiu­lara w ( constanta) in sens trigonometric, atunci proiectia sa pe axa Oy la un mo­ment oarecare t va fi:

Y1 = a1 sin ( wt + rp1),

relatie care reprezinta 'tocmai ecuatia unei mi~cari oscilatorii armonice. •

A~adar, putem reprezenta grafic prin vectori ,rotitori, fazori, o mi§care oscila­torie armonica.

Deci cele doua mi~cari oscilatorii descrise de ecuatiile (10.15) pot fi repre-

-+ -+ zentate prin fazorii a1 §i a.2 care se rotese

* 1\iei am uotat an1plitudinea cu Jitera a pt.·ntru a nu o cunfunda cu litera A di 1, figura In 9.

264

cu viteza unghiuJara constanta w, fata de punctul 0, llnghiul dintl'e veetorii -+ -+ a1 ~i a2 ramine neschimbat ~i are valoarea q>z - q>1•

Deoarece suma proiectiilor a doi vectori pe o axa este egala cu proiectia pe aceea~i axa a vectorului rezultant inseamna ca oscilatia rezultanta poate fi

-+ reprezentata prin vectorul rezultant a, care s e ob~ine din suma vectoriaHi:

(10.17) Din figura 10.9 a vern:

a2 = ai + a~ + 2a1a2 cos ( 9z - q>t) (.10.18)

-+ ~i evident, vectorul rezultant a se rote~te cu aceea~i viteza unghiulara w ca

-+ -+ ~i Yectorii a1 §i a2•

Tot din figura 10.9 ohtin·em §i relatia:

t g y = a!- sin ({1 1 + a 2 sin cp2

a 1 <'US ~1 + a 2 CUS 9 2

en DO

(10.19)

rela~ie din care se poate determina unghiul q>, faza initiala a· oscilatiei rezul­tante.

Oscilatia rezultanta va fi data de componenta vect?ruiui a>- pe axa Oy adica va fi de forma:

y (10.20)

A§adar, mi§carea rezultanta este o mi~care oscilatorie armonica care are aceea~i directie ca oscila~iile y1 §i y2 ~i aceea~i pulsa~ie w. Amplitudinea a ~i faza initiala q> ale oscilatiei rezultante se determina in functie de amplitudinile §ide fazele ini~iale ale oscilatiilor componente, dupa relatiile (10.18) §i (10.19).

De re~inut ca, potrivit relatiei (10.18) amplitudinea oscila~iei rezultante depinde de diferenta de faza dq> = q> 2 - <p1 a oscilatiilor initiale, care se com~ pun.

a} Daca dq> = 2krr., (k ~ 0, 1, 2, ... ) at unci cos 2k7t = 1 ~l ob~inem:

. Amplitudinea oscilatiei rezultante este egalii cu suma amplitudinilor oscila­tiilor compone~tte a1 §i a2• In acest caz se spune cii oscila{iile sint in fazd.

b) Daca dp = (2k + 1)1t, (k = 0, 1, 2, ... ) atunci cos (2k + 1)1t = -1 §i

obtinem: a2 ai + a~ ...:.__ 2a1a2, a = ! a1 - a2! .

pentru' ca amplitudinea nu poa.te fi decit 0 marime pozitiva.

Amplitudinea oscilafiei rezultante este egala cu valoarea absoluta a dife­rentei amplitudinilor oscilatiilor componente, a1 §i a2• ln acest caz se spune ca oscilafiile slnt in opozitie de faza.

265

c) Daca A~ = (2k + 1) ; (k = 0, 1, 2, ... ) atunci cos (2k + 1) ~

= 0 ~i ob~inem: a2 =a~+ a~

se spune. ca oscilatiile slnt in cvadratura sau ,la sfert". · 10.1.5. Oscilajii amortizate. La studiul mi~dirii punctului material sub

ac~iunea unei for~e elastice, am presupus ca nici o alta for~a nu ;mai ac~io­neaza asupra lui. In realitate, orice oscila~ie a unui punct material care nu esle intre~inuta din exterior, se amortizeaza; amplitudinea oscila~iei scade cu timpul (fig. 10.10).

Cauzele amortizarii sin£ for~ele care frineaza mi~carea, de· exemplu for~a de frecare in locul de suspensie la oscila~ia pendulului sau for~a de rezisten~a a mediului. In cazul unor rezisten~e mari ale mediului mi~carea devine ~perio-

. dica (fig. 10.11). Teoretic, oscila~1ile unui punct (sistem) material ar trebui _sa inceteze

complet numai dupa un interval de timp foarte mare - infinit. In realitate oscila~iile inceteaza dupa un interval de timp relativ scurt deoarece in situa~ia in care amplitudinea oscila~iei ajunge sub o anumita valoare (de ex~tnlplu,de ordinul dimensiunilor moleculare) mi§carea sistemului material, luat ca tntreg, devine imposibila.

Energia transmisa unui sistem osc_ilant, in cazui amortizarilor, ~ste chel­tuita treptat sub forma de lucru mecanic necesar invingerii for~ei de frecarr.

Pentru a intre~ine oscjla~iile adica pentru a ob~ine oscila~ii neamortizate trebuie ca sistemul oscilant sa primeasca mereu energie din afara.

Un sistem material in care amplitudinea oscila~iel esLe men~inuta neschim­hata, datorita unei surse energetice care face partt din sistem se nume~te sistem autooscilant. (Un exemplu ·de astfel de sistem este ceasornicul cu

pendul.)

y

A,

'

Fig. 10.10. Oscilatii amortizate. ValoarPa amplitudinii scade in timp.

y

Fig. 10.1 t. Mi~care aperiodiea.

266

1 0.2. PENDULUL GRAVITATIONAL REZONANTA

10.2.1. Pendulul gravitational. Un pendul gravita~ional este un corp idea­lizat (experimentuf 1 de la pag. 255) redus la un punct material de masa m, suspendat de un fir inextensibil ~i de masa neglijabila. Da.ca pendulul este de­plasat din pozi~ia sa de echilibru ~i este las.at liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita for~ei de greutate; In figura 10.12 este reprezentat ·nn pen­dul de lungime l, masa m, care formeaza cu verticala un unghi e numit

elongatie unghiulara. For~ele care actioneaza asupra lui sint: G = mg, forta ~ .

de greutate §i T tensiunea din fir. Componenta lui~G pe direc~ia firului este Gn = mg cos e iar componenta tangentiala Gt. mg sin e. Componenta tangentiala este for~a de restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-1 readuce in pozi~ie de echilibru. A§adar, forta de resta­bilire este:

F = Gt = mg sin e. {10.21)

Remarcam ca for~a F nu este proportional a cu elongatia unghiulara e ci cu sin e. Mi~carea pendulului nu este deci o mi§care oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorhi de o perioada proprie de oscila~ie. Doua. oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu mai sint Izocrone.

Daca unghiurile e sint mici atunci sin e este foarte apropiat de e expri­mat in radiani. Analizind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5° putem scrie ca sin e ~ e in radiani. .

Dnghiul e I

sin e gr·adP t radiani

I 0,0000 0,0000

1-~ oo -20 q,0349 0,0349

~--------

I 50 0,0873 0,0872

Daca expr1mam unghiul e in radiani

* avem e = ~ ~i vom obtine inlocuind sine l

cu e: F = -mge = -mg!!.. = - mg x = l l

= -kx, unde, semnul minus indica faptul

ca aceasta for~a este totdeauna de sens

opus elonga~iei.

a, I I I I I

Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui pendul gravitational.

*Am notat cu x distanta de la pozitia de echilibru, masurata pe eerc astfel: x > 0 tn dreapta pozitiei de echilibru !jii x < 0 in stinga pozitiei de echilibru.

267

A~adar pentru unghiuri mici,forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip elastic (forta cvasielastica) §i mi§carea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o mi§care oscilatorie armoni~a.

Cum ~g = k, perioada proprie de oscilatie a penduiului devine:

T = 27t "\ j-;;,_ = 27t v m == 27t "\ /l · V k mg V g

l

(10.22)

Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa pendulului. Deoarece, pentru unghiuri mici, perioada pendulului /gravitational este ind·ependenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.

Pendulul gravitational ofera o ·metoda simpla ptmtru determinarea valorii acceleratiei gravitationale g, masurind cu eroare cit mai mica lungimea l §i perioada proprie T a pendulului.

EXPERIMENT

De un fir lung §i suhtire cu lungimea l = 1 m, suspendat Ia un capat, se atirna o mica sfera de plumb (otel sau bronz) cu uri. diametru de 2-3 em. Se scoate pendulul astfel format din pozitia de echilibru, deplasindu-1 fata de verticala cu un unghi 6 care sa nu depa§easca 5o §i se lasa apolliber. Sistemul incepe sa oscileze. Se noteaza un anumit numar n de oscilatii §i timpul t co­respunzator a,cestora. Perioada de oscilatie se determina din relatia T = tfn. Considerind sistemul hila - fir un pendul gravitational, din expresia

. d . T 2 "' I l bt• 4-rrZl I t• d" " d . perroa ei = 1t V g o ,Inem g = --;;;:, re a,Ie In care putem etermina

va~oarea acceleratiei gravitationale locale. Rezultatele unui numar mare de determinari se tree intr-un tabel de forma:

nr.l n

I t I T ~ tfn I T~

I g

I gm

crt. oscilatii (s) (s) (s) (m/s2) (m/s2)

1-I

-- I

I I I

Ce observatii puteti face? Coincid rezultatele determinarilor? De ce? Care sint erorile pe care credeti ca le-ati facut? Cum s-ar putea inlatura sau mics,ora aceste erori?

10.2.2. OseUatii fortate. Transfer de energie intre doi oseilatori. Rezo­nanta. Sa presupunem ca un sistem mecanic E, pe care-I vom numi excitator, care efectueaza oscilatii armonice de perioada T ~i amplitudine constanta,

exercita o actiune asupra unui alt oscilator mecanic R cu perioada proprie de oscilatie T 0 , pe care-1 numim rezonator. Experienta arata ca sistemul R are totdeauna o mi§care armonica cu perioada T pe care i-o impune oscila­torul E. Se spune ca rezonatorul efectueaza oscilatii fortate sincronizate cu cele ale e~citatorului. Actiunea mecanica exercitati de ~xcitator asupra re­zonatorului se. nume§te cuplaj.

EXPERIMENT .

a) Do~a ~en~u~e simple (fig. 10.13), unul masiv P 1 s,i altul us,or ~2,sus­p~ndate ~rin fire rigide, cu amortizare mica, sint legale intre ele prin interme-

, diul ~nu~ resort de ma.sa neglijabi!~ care nu este deformat at unci cind pendu­lele s1nt I~ repa~s .. Pendulul P1, fnnd pus in mis,care, exercita de fiecare data asupra l~I P2 pr1n Inte~~.ediul resortului, o forta care va,ria,za cu elongatia sa. Are lo?,In ~ceste con~Itnlun transfer de energie de la pl catre P2. Pendulul P~ osclleaza c~ aceeas,I frecventa ca P 1 s,i daca P 1 este ales mult mai greu ca P2 forta _exerCI~ata de .P2, ~especti: energia transmisa catre P 1 este neglijabila.

b) Aceea§I exper~enta se ma1 poate realiza suprimind resortul R si sus-. pen~~~d doua pendule de o c.oarda bine intinsa (fig. 10.14). P1 exercita ~supra corzu In punctul de_ susp?ns1e 0 1 o forta care se transmite punctului de con­tact 02 al pendulul_ui [)_2 S,I care va oscila cu frecventa (perioada) impusa de p

1•

ln acest c~z a~pl~tud1nea de oscilatie a lui P 2 este mult mai mica decit in cazul an~hzat Illainte. C~plaj~l este ma.i slab. Transferul de energie dintre eel e doua pendule - oscllatori se realizeaza cu pierderi mari.

c) Pe o coarda bine intinsa sint suspendate mai multe pendule rezona­to~r~ dar. cu ~ungimi diferi~e (fig. 10.15) unele avind pulsatia (perioada) pro­prie Infer10a:a, .altele super10ara~ pendulului excitator P1• Daca P

1 este pus in

stare de oscdatie, se poate observa ca celelalte pendule vor incepe sa oscileze

Ffg. 10.18. Oscilatii fortate ale pendulului p 2 , cuplaj

strins.

269

~---or1 ________ o~2~~

p2

Fig. 10.14. Oscilapi fortate ale pendulului P 2, cuplaj

slab.

datorita transferului de energie prin coarda de la pendulul excitator. De re­marcat un fapt interesa.nt ~i anume ca amplitudinea oscilatorilor este diferita. Ea este cu atit ma.i mare cu cit peri­oada proprie de oscila.~ie a rezonatoru-lui este mai apropiata, ca valoare,

p1 de perioada excitatorului. Daca unul dintre pendulele rezonatoare are pulsa-

P2 - ~ia (perioada) proprie de oscila~ie foarte Fig. 10.16. Pendule rez~~atoare cu diferite apropiata de cea a excitatorului, atunci

pulsatu. , amplitudinea sa de oscila~ie, in con-

di~iile date este cea ,mai mare, este maxima. Are loc deci un transfer maxim ( optim) de energie intre cei doi oscilatori.

Transfe.rul energiei de la excitator la sistemul excitat, transfer care se face pentru oricr perioada a excitatorului, este maxim pentru perioadele ( pulsatiil/0,) apropiate de perioada proprie a sistemului excitat. Procesul.-selectiv de transfer de encrgie intre doua· sisteme fizice se num~te rezonanfa.

1 0.3. PROPAGAR-EA MI~CARII OSCILATORII

10.3.1. Propagarea uneiperturbatii. a) Un cahlu lung de cauciuc (o coarda, un resort) bine intins, lovit la unul din capete ne permite sa ohservam trans­miterea unei mici deforma~ii pina la celalalt capat al cahlului, dupa un anumit timp din momentul lovirii. . ,

~) Ne aflam pe marginea unui hazin cu apa a carui supr~fa~~ ~ste netul­hurata de valuri. Aruncind 0 piatr a in apa, observam valuri ffilCl de forma unor cercuri concentrice a caror raza cre~te foarte repede. Mai tirziu veaem aceste mici valuri la distan~e mari fa~a de locul in care am aruncat piatra. Perturha~ia provocata prin caderea pietrei pe suprafata a.pei n-a ramas locali-zata ci s-a transmis pe suprafa~a apei din hazin. . -

. c) Ne aflam pe un stadion. Asi~tam la o intrecere sportiva: cursa cu oh­~tacole, ~tafeta etc. S-a dat startul. Vedem mai intii mica flacara ~i fumul prod us de pistolul de start §i ceva mai tirziu auzim §i pocnetul (sunetul) prod us

de cartu§ul percutat. . · . . . . .. lata in exemplele anterioare, citeva cazuri partiCulare ale unei s1tua~n

generale 'in natura: sistemele materiale nu ,raspund" la perturha~iile exte­rioare, decit dupa un anumit timp de la producerea lor. ~ti~i deja ca un sistem material este un ansamhlu de corpuri (eventual cimpuri fizice) intre care se exerciia interac~iuni, for~e. Aceste for~e depind in general de distan~ele rela­tive dintre componentele sistemului. Mai mult, chiar, _interac~iunile interne scad, uneori foarte repede, cind distan~ele dintre componente cresc. In acest fel, de multe ori, deforma~ia sistemului se realizeaza din aproape in aproape

270

fiecare componenta influentind numai pe cele imediat apropiate. Acesta este motivul pentru care ,raspunsul" siste-

. mului apa.re intirzia.t · fa~a de pertur­ha~ia externa aplicata.

Fig. 10.17. La n t de bile ~i resorturi, model de mediu elastic.

271

ren~a dintre tensiunea din resortul 1-2 ~i cea din resortul 2-3 (aceste ten­siuni sint de sensuri opuse cind sint aplicate asupra bilei 2).

Da.ca acceptam ca tensiunea din resortu11-2 este eel rnult egala cu forta externa, rezulta ca asupra bilei 2 va acFona mereu o forta mai midi decit asu­pra bilei 1. lnseamna ca acceleratia bilei 2 va fi mereu ma,i mica decit cea a bilei 1 ~i deci, Ia orice moment intermediar, intre aplicarea fortei externe ~i intinderea ;maxima a resortului 1-2, hila 2 va avea o departare mai mica fata de pozitia de echilibru decit hila 1. Considerind tensiunea din r·esortul 1-2 ca o forta externa aplicata bilei 2 consta,tam ca departarea de pozitia de echilibru a bilei 2 va fi totdeauna mai ma,re decit cea a bilei 3. ln acest fel, continuind rationamentul, se poate intelege de ce fiecare hila - particula se departea.za de p~zitia. de echilibru cu o distanta ma.i mica decit precedenta ~i mai mare decit urmatoarea (fig. 10.18).

Considerind lantul suficient de lung ajungem la concluzia ca trebuie ·sa existe 0 bila-particula in acest lant, fie n aceasta, care pina la un anumit mo-

-+ ·ment de la aplicarea fortei F nu se dPplmH'aza din pozitia de. echilibru. Aceasta inseamna ca tensiunea din .resortul1i-(n. + 1) · este nula ~i deci nici bilele (n + 1), (n + 2), ... nu se dep~aseaza din pozitiile lor in,itiale. Aceasta situatie are loc pi~a la un a.numit moment t. In momentul in1ediat urmator, particula n intra in mi~care ~i incepe sa intinda resortul n-(n + 1). ln acest

-+

fel lantul tinde sa repartizeze uniform, raspunsul la forta externa, F, intre toate resorturile sale. Dar, dupa cum am constatat, aces tea nu se intind in

. -+ acela~i timp ~i putem ajunge la situatia in ca.re forta F poate sa dispara la · un moment dat, ~-i sa gasim totu§i in lant resorturi intinse sau comprimatt.· Mi~carea se transmite, se propaga, astfel din aproape in aproape, de la un capat la celalalt al lantului chiar §i dupa incetarea actiunii externe.

1 Fenomenul de transmitere a unei perturbatii intr-un mediu material

se nume§te unda. · ,

Daca Zn mediul material perturbat apar numa_i forte. elastice spunem ca

unda care ia na§tere este o unda elastica. Multimea particulelor-bile din sistem (mediu) care la momentul t nu au

fost inca solicitate, dar care vor intra in mi§care in momentul imediat urmator constituie ceea ce se nume~te frontul undci.

Fig. 10.18. Lant de bile-resorturi sub actiunea ·unei forte.

272

10.3.2. Surse de oscilatii. Principiullui lluygens. Sa reluam analiza Ian­tului de hile-resorturi. Se poate intimpla ca la un moment dat hila 1 sa revina in pozitia. de e~hilibru dupa un numar oarecare de oscilatii. S-ar parea ca mi§­ca,rea ar trebu1 sa inceteze, sa se stinga, in lantul de resorturi. Dar a~a ceva ~use in~impla. In_ momentul in care hila 1 se afla din non in pozitie de echi­hhru ex1sta o alta hila, chiar mai multe, c~re se afla in situatia identica cu cea din momentul initial al hilei 1: Totul se petr~ce ea ~i cum perturhatia externa ar fi fost aplicata acestei bile ~i nu primei bile din lant. De retinut ca aceste afirm.atii au sens daca free area este ·suficient de mica ~die a d~ca me-. .' ' di~l. de pr?pagare a undei este slab disipativ (pierderile de energie sint foarte IDICI). Mal mult, se presupune ca fortele interne care apar la transmiterea perturhatiei sint. numai forte elastice. (Astfel de medii de propagare se numesc medii elastice iar undele care apar in astfel de medii sint unde elastice.}

,Punctul" in care se aplica perturhat'ia externa se mai nume§te sursa sau ~entru de oscilatie, deoarece de cele mai multe ori perturba,tiile au o forma oscilanta ~i sint aplicate in regiuni restrinse ale mediului, de;tul de mici fata de dimensiunile mediului perturbat. '

Co~statarea fac_uta mai sus, in cee~ ce prive~te propagarea perturbatiei, poate f1 exprimata astfel:

punctul unde .a ajuns unda la un moment dat poate fi considerat centru de oscilatie ln locul celui initial.

, ' '

.~c~asta ~:opozitie .constituie up, caz particular a unei Iegi de propagare speCifica mednlor elastrce, denumita principiul lui Huygens.

. 10.3.3. Vectorul de oscila}ie._Ba presupunem ca perturbatia initiala nu m~1 are !oc ~n lungul lant_ului bile-resorturi ci pe o directie oarecare (fig. 10.19}. Sa cons1deram un anum1t moment al mi~carii t §i o anumita hila n din lant. In acel moment hila n este deplasata fata de pozitia ei . de echilibr~ ..

Sa ata~am bilei nun vector~ care are originea in pozitia de echilihru a hilei n ~ari~ea ~gala c ... u departarea bilei fa~a de pozitia initiala la momentul respec~ t1v, d1rect1a data de dreapta care une~te cele doua pozitii ~i virful in locul unde se afla hila in momentul considerat. Acest vector se nume~te vector de oscilafie. V a.lo~r~a sa la un mome~t ~at poarta numele de elonga~ie, iar elonga tia ~axlilla se ~ume~te a~pbtud1ne~ Daca sint cunoscutf vectorii de oscilatie a1 tuturor hdelor la once moment atunci spunem ea cste eunosc~uUi unda elastica respectiviL

18

~ - - - -- - - - - - - ( n +.1 ) n--- -2

}iig. 10.U). Lant dt> bile-resorturi prin t·ar·e st" transm i h, o JWr · tur·batie pP. o diJ•pctie OiH't'«'Hl'P.

273 Fizica cl. a IX-a

F

~

Ohservam ~a. vectorul de oscilatie u este dependent de timp iar pentru acela§i moment el difera de la o hila la alta aqica depinde de departarea fat<1 de pozitia de echilibru a fiecarei -bile.

Sa analizam un caz real. Vom presupune deci ca avem un (corp) mediu prin car; se propaga o unda initiata de o anumita perturhatie externii. C~ oricare altul, mediul material considerat este format din microparticule (atomi, molecule). Aceste particule se vor comporta asemenea. h!lelor din lantul de resorturi, intre ele exercitindu-se forte care pot fi_ a.similate cu tensiunile -fortele elastice, din resort. Sint insa ~i deosebiri mari: a) in primul rind parti­culele u.pui mediu real formeaza o structura spatiala ~i nu una liniara ca mode­lui Iant de resorturi-bile; b) in al do ilea rind fortele dintre ele pot sa nu fie elastice, adica nu sint proportionate cu departa.rea fata de pozitia de echilibru. Aceste deosehiri, cu toate ca sint importante, nu due la rezultate mult diferite de cele care se ohtin_ cu modehil lant (liniar) de resorturi-bile.

De precizat ca, in cazul real, :ri.u fiecare particula oscileaza separat; se tntimpla,in cazul unor unde1ca grupuri intregi de particule sa se mi~te la fel §i deci sa joace impreuna rolul unei bile-particule din lant.

1 0.4. UNDE TRANSVERSALE. UNDE LONGITUDINALE VITEZA DE PRQPAGAR,_E.

10.4.1. Tipuri de unde. Sa consideram, fata de un sistem de referint~ triortogonal Oxyz, pozitia de echilibru a unui grup de particule din mediu, cnre se mi~ca la fel (fig. 10.20). Grupul de particule care oscileaza la fel ocupa un anumit volum pe care-I consideram mic in raport cu dimensiunile mediu­ltii. Fiind foarte Dlic, este putin importanta forma acestui volum ~i de aceea

y

Fig. 10.20. Transmiterea unei perturbatii pentru Ui'! ~

grup dt~ partieul(' identice. Vect.orul u est.(1 v1trtor~~~ dP. oscilatie.

274

il putem considera de forma paralelipipedica. Pozitia fata de sistemul de refe-. ~

r1nta Oxyz se fixeaza cu ajutorul vectorului de pozitie r al centrului acestui mic paralelipiped.

Sub actiunea undei, grupul de particule s.e va deplasa din pozitia initiala intr-alta pozi~ie. Vectorul de oscilatie une~te centrele celor dona paralelipipede a§a cum arata §i figura 10.20. Marimea ~i orientarea acestui vector depind de

timp ~i de pozitia de echilihru a grupulu.i de pa.rticule. Putem scrie deci ; ~-+

=,= u(r, t). Sa consideram un centru de osuilatie C in care s-a aplicat o pertur-hatie externa. Dupa un timp ea s-a transmis pina in punctul A. Dreapta CA se nume~te directie de propagare sau raza de unda, deoarece mi~carea se trans­mite, se propaga, in mediul considerat dupa direc~iile unor ,raze" care pleaca din C. Pe o astfel de directie lucrurile se petrec asemanator cu cele analizate la modelul Ian~ de resorturi ~i bile.

Distingem doua cazuri particulare importante: a) este posihil ca vectorul de oscilatie, variahil in timp sa fie mereu ~i

pentru orice particula perpendicular pe direc~ia de propagare; b) vectorul de oscilatie sa a.iba direc~ia identica cu directia de propagare. In primul caz unda este trans()ersala, iar in celalalt unda este longitudinala· Din nou trebuie precizat ca Q unda nu apare intr-un mediu real decit daca

i:qtre componentele acestuia se exercita interactiuni. Astfel, undele transver­sale nu se pot produce decit in medii in care se manifesta interactiuni perpen­diculare pe directia. de propa,gare, forte de forfecare (de torsiune ). Sa luarn de exemplu fluidele, acestea. sint caracterizate prin proprietatea de eurgere, adica particulele constituente nu interac~ioneaza prin forte perpendiculare pe drep­tele care: unesc centrele particulelor intre ele, ci numai prin forte de-a Iungul acestor drepte. A~adar, o deformare de forfecare nu se poate propaga prin fluide pentru ca nu exis.ta forte de revenire, for~e elastice, care sa rea,duca par­ticulele in pozitiile lor initiale. Prin fluide se pot propa.ga numai deformari]e (comprimarile) de-a lungul razelor de unda, situatie in care vectorii de osci­latie sint paraleli cu directia de propagare, adica se pot propaga numai unde longitudina.le.

In ( corpurile) mediile soli de se manifesta forte in toate directiile si deci in aceste medii undele pot fi a.tit transversale cit ~i Iongitudinaie. '

10.4.2. Lungime de unda. Viteza de propagare. Sa reluam analiza modelu­lui initial. Presupun6nl ca perturha.tia externa este periodica, cum se ~i in­timpla in realitate de mu~te ori. Astfel, dupa un timp T egal cu o perioada, hila 1 s-ar putea afla exact in situat.ia dinaintea a.plicarii perturhatiei. Sa no­tam cu m hila pina IR care a ajuns unda Ia momentul t T. Atunci bilele m si 1 se afla in aceea~i situatie ~i se vor mi~ca la fel, adica vectorii lor de oscila.tie

• • . -+ -+ vor fi egah la oriCe moment ulterior, um_ = u1• Se spune ca bilele 1 ~i m osci-Jeaza in faza, sint in concordanta de faza. Punctele, particulele, care osci­Ieaza la fel intr-un mediu prin care se propaga o unda se numesc puncte de egala faza. Aceste puncte se dispun pe sup-rafe-~e inehi&e in jurul centrului de

275

a b f'ig. 10.21. a) Unde sfel'ict": b) unde plane.

oseilatie, numite suprafete de egala faza sau suprafet.e de unda. Se poate de­monstra ca razele de unda sint perpendiculare pe suprafetele de egala faza.

Forma suprafetei de unda depinde atit de proprietatile mediului cit ~i de forma. sursei. 1 n n1ediile. om ogene §i izotrope, daca. sursa de oscilatie este punctiforma san sferica, suprafa.ta de unda1 deci ~i frontul de unda, sint sfere concentrice. Undele care se formeaza in acest caz se numesc unde sferice (fig. 10.21, a).

Cind sursa de oscilatie este o suprafata plana a.tunci unda care se trans­mite este o unda plana (fig. 10.21, b).

La. distante mari de sursa de perturbatie o unda sferica p-oate fi conside­rata, intr-o regiune mica a mediului, ca o unda plana, pe regiuni restrinse / asimilindu-se suprafata sferei de raza mare cu o suprafata plana.

Sa aplicam a cum principiul lui Huygens: daca hila m oscileaza la fel ca hila 1 putem considera ca unda care se propaga de la hila "!- la hilele (m + 1), (m + 2) etc. i§i are centrul de oscilatie in hila m. Cum toate hilele din l:mt sint identice. si lantul este suficient de lung rezulta ca prima hila. can~ va oseila exact la fel ca hila m va fi cea cu numarul 2m §.a.m.d. A§adar hile1t: 1m. 21~ :, 3m, ... vor fi bile care oscileaza in faza. Acela~i rationament se po<' le Hpli .. a

oricarei particule-hile k (1 < k < m). Concluzia este ca, ;e o raza llP unda, punetele care oscileaza in faza sint ega] departate. · Distant a dintre doua puncte veci ne ( sur~cesive) de egalii faza se nume.yt" I nngime de unda ~i se noteaza cu f....

ln general, lungimea de unda nu este aceea§i pentru toate ra,zt5le de unda, pentru orice directie de propagare din mediul respectiv. Mediile (corpurile) in care lungimea de unda nu depinde de directia de propagare se numesc medii izotrope. _

Cu ce viteza se deplHseaza o unda, frontul undei, intr-un mediu elastic? In timp de o perioada T und" parcur·ge distanta dintre doua puncte de

egala fa.za, situate pe aceea~i direct ie de propagare, adica distanta A. §i deci putem sr.rie

). v =-: f T ( 10.2~1)

unde t't se nume~te Piteza de faza. viteza de propagare a frontului de unda, a

fazei.

276

a

b

c

FiJ{. 10.2.2. l ·nda transn>rsal;1 pe un rnbh1 (o), Fig. 10.23. Unda transversalti. pre· Trt'n de unde tra.nswrsall~ (b) s,i (c). supune deformari de forfe<:are.

10.4.3. Unde transversale

EXPERIMENT

a) Un cablu de cauciuc (o coarda, un resort elastic) este lovit lateral. Se observa ca propagarea acestei perturhatii se face prin deformari perpendi­culare pe directia de transmitere a mi~carii (fig. 10.22, a). 0 astfel de unda este un exemplu de unda transversala.

Daca se produce o perturbatie exterioara la intervale egale de timp sau este produsa o oscilatie armonica, atunci pe cahlu sau pe coarda se vor transmite p'erturhatii succesive. Acest grup de perturhatii formeaza un tren de unde (fig. 10.22, b ~i c).

Producerea _undelor transversale intr-un cahlu, o coarda, un resort etc. este posibila datorita faptului ca orice parte a nlCdiului solid poate antrena in mi§carea sa partile invecinate, provocind solicitari de forfecare (fig. 10.23). In figura sintprezentate trei parti vecine antrenate in propHgarea perturhatiei. l\Ii~carea partU b (din mijloc) nu se poate face far a antrenarea partilor a (-forta ·-ll' -+ -+ -+

Fba) ~i c (forta Fbc) care se opun prin fortele Fab respectiv Feb· Acestelegaturi asigura cuplajul partilor a, b, c ~i determina a,paritia deformari]or elastice ~i deci a fortelor elastice de revenire. Evident numai in corpurile .solide pot aparea deformari ela.stice de acest fel pe cind in fluide nu. A§adar undele transversale pot aparea numai in mediile (corpurile) solide.

Daca sursa de oscilatie produce oscilatii intr-un plan oarecare, atunci orice punct de pe directia de propagare oscileaza in planul initial (planul de oscilatie al sursei). Deplasind de-a lungul corzii ( cablului)

5in planul de oscilatie

al sursei, o fantal vom constata ca ea nu impiedica transmiterea perturhatiei (fig. 10.24). Se spune ca undele transversale sint unde polarizate.

b) Un .model de mediu in car·e se propaga o unda transversala il r·epre­zinta · bilele suspendate, reprezentate in figura 10.25 ('are pot fi asimilat ('

277

r t<'ig. 10.24. Unda transversala plan polarizata. F'lg. 10.26. Propagarea unei oscilatii

armonice pe un lant de pendule gravita· tionale.

drept pendule gravita~ionale; Lantul de pendule cuplate modeleaza un mediu omogen §i izotrop. · . .

Daca punem in mi§care de oscila~ie un pendul din ca,patul lan~ulu1, de exemplu pendulul 1, printr-un impuls transmis perpendicular pe direc~ia lan­~ului de pendule, datorita cuplajului, energia se transmite de la pend~lul 1 tn Ian~ul de oscilatori. Pentru mediul forma.t din lan~ul de ~endu~e, exCitarea pendulului 1 constituie o perturba~ie ~i acest pendul poate f1 cons1derat drept

0 sursa de oscila~ie. Men~inind mi§carea sursei,se constata ca mi§carea celor­lalV oscilatori continua. Fiecare oscilator executa oscila~ii for~a.te cu frecventa impusa de frecventa sursei. Evident, procesul de propagare are loc in timp. Daca masuram timpu1 necesar ca o per~urbatie ~a ajunga.la un pendul oa.recare din Iant, v(:nn observa ca acesta dep1nde de d1stan~a d1ntre sursa de oscilatie §i pend~lul considerat. Fiecare pendul intra in st~re de oscila.~i~ mai tirziu decit eel precedent. Faza mi§dirii fiecarui pendul dlfera de a celu1 pre­cedent si de a celui care urmeaza. Pentni ca toti oscilatorii sint identici §i cuplajel~ sint de acela§i fel, viteza de propagare a oscila.~iei este constanHi, in absenta fortelor disipative (forta de frecare). Cit timp viteza de propagare, viteza f~zei sau viteza de faza ramine constanta, distanta dintre doi oscilatori consecutivi, care os.cileaza in faza (1 §i 9; 2 §i 10, figura 10.25) este constant~. Aceasta distanta reprezinta chiar lungimea de unda, fapt ce justifica afirma­tia ca aceasta marime este caracteristica unei unde cind propagarea are loc intr-un inediu izotrop §i omogen.

Din relatia (10.23) §i din descrierea procesului de propagare, rezulta ca lungimea de ;1nda este determinata de doi factori: unul care depinde de sursa (perioada sau pulsatia sursei) ~i :1. doile.a (vite.za de !a:a) care d~pind.e de mediul de propagare, de proprietatlle lu1 elastrce, adrca de ouplaJul dmtre

p:-1rticulele mediului. . , Se demonstreaza ca viJeza vt de propagare a une1 unde transversale pe o

eoa,rda depinde de tensiunea Tm la care este solicitata coarda §i de masa f1.

a unitatii de lungime a corzii:

VTm 7't= -·

jJ.

278

neperturbat

t:I 4

t=I 2

t=~ T 4

t = T

Fig. 10.2tl. Uudl'l lo·hgitndinala intr-un rPsort elm;ti<'.

Daca oscila,~iile sur~ei nu sint intre~inute, a.mortiza,rea este foarte rapida, energia sursei fiind tra.nsferata lantului de oscilatori §i · disipata prin frecari. U nda se stinge foarte repede.

10.4.4. Unde longitudinale. Sa co~sideram un resort de otel cu spirele in repaus ~i echidistantat~ (fig. 10.26.) Resortul 11 putem Iua drept un §ir -lant de spire (oscilatori) cuplate elastic, fiecare spira putind oscila de-a lungul axei sale in jurul unei pozitii de echilibru. Provocam o perturbatie a resortului, tragind de o spira in lungul axei resortului §i Iasind-o dupa aceea libera. Per­t urbatia se propaga in resort in lungul axului sau prin punerea in starea de oscila~ie a fiecarei spire. Unda care a aparut in resort, in acest caz, se nume§te uno~ long:twlinala. Datorita frecarilor cuaerul §i indeosebi da,torita frecarilor· interne din materialul spirei, oscilatiile lor se sting, resortul ·atingind destu} de repede star_ea de repaus.

Oaca prima sp.ira va fi pus1:1 in mi~car·e, pe o cale oarecal'e §i daca aeeasta mi~care este oscilatorie arrnon~ca, atunci §i spirele urmatoare vor descrie o mi~ca.re asemanatoare dupa trecerea perturbatiei initiale. Figura 10.26 Sill'·

fH'inde r·~sortul parcurs de o undl'i longitudinala, la diferite momente expri· mate in frac~iuni din perioada oscilatiei armonice a sursei de oscil~tie (spira J): Se observa ca in timp ce comprimarea avanseaza spre dreapta, fiecare spir<l care intra in mi~care continua sa oscileze in jurul pozitiei de echilibru. De exemplu spira 1 face o oscilatie completa intre t 0 §i t = T, cind apare o noua comprima.re care se va transmite in lungul resortului. Exista spire care oscileaza in concordanta de faza cum sint, de exernplu

1 spirele 1 ~i (;

1

2 §i 6.

Considerind resortul un medlu omogen §i izotrop, propagarea perturbatiei se VH fH<"e de-a lungul resortului cu aceea~i viteza v. In timp de o perioada T

279

. fig. lU.2"i. · Unda lougitndinala iutr--u11 corp solid

i11 nu·e spir·a 1, de exemplu, descrie o oscila~ie completa, distan~a parcursa de pt't'turbatie este v T. Perturba~ia a ajuns pina la spira 5 care incepe sa oscileze in faza cu spira 1. Distan~a dintre doua spire consecutive (1 ~i 5, 2 §i 6) care mwileaza in faza este lungimea de unda §i constituie· o caracteristica a undei respective. Unda longitudinala nu este polarizata ca unda transversala. Acest lucru se poate demonstra pe cale experimentala.

Undele longitudinale se pot forma atit in mediile solide cit c§i in cele fluide (lichide §i gaze). Un exemplu de unda longitudinala intr-un solid este transmi­terea perturba~iei produsa de o lovitura de ciocan la capatul unei bare, in lungul acesteia. Acest lucru poate fi verificat,daca la celalalt capat al barei se alatura o hila de bara fixata rigid. Cind perturba~i~ va ajunge la ca.patul barei, hila este proiectata pe direc~ia barei in sensu} propagarii ·perturba~iei (fig. 10.27). '

Ca ~i in cazul undelor transversale, viteza de propagare a undelor longi­tudinale depinde de caracteristicile mediului de propagare. Se demonstreaza ca viteza v1 a unei unde longitudinale este

'l'l = "'\ /~ 1 v i' unde E reprezinta modulul de elasticitate iar p densitatea mediului de propagare.

I I I I I I I I

/ \ \ u u

Fig. l 0.28. Pen tru - exerdtiul t.

PROBLEME REZOLVATE

1. La capatul unei ramuri a unui diapazon (fig .• 10.28), se leaga un fir de lungime l = 2 m $i masa m = 12'g. De fir se suspenda un corp cu masa m1 = 960 g. Diapazonul oscileaza. Sa se calcu­lez.e: a) viteza de propagare a undelor in fir; b) frecventa de osci­lat i;, a diapazonului, dadi lungimea de trnda este de 40 em. ,. ) Cum se schimba viteza de propagare a undei,daca se dubleaza masa t'Orpului suspendat?

Rekol()are: a) In fir se propaga unde transversale. Neglijind efectul masei firului asupra tensiunii din fir a vern:

T

= '\ /960 • I·Q-2 kg· 9,8 m/s' · 2 m ~ 40

mjs. v .12. J()-:l kg

280

h) Fiet·ar·•~ punrt dE' pe Cir oscileaza fcrtat cu frecventa impusa de oseilatiile diapazo-nului. Din A. = vT ~i v1' 1 avem:

v r.n m/s v.=- = = 102 s-1 = 1oa Hz .

A 4Cl • I0-2 m

c j \{asa corpului ~.n~.pendat este acum n1 1 --" 2m1 ;;i viteza de propagure a ~tndel .tr;;tns·

n;r·sah~ va fi ,.; = \{E. Raportul vitezelor de propagare este: ~ -

v; y-r Vi;;; v-- = -= -= 2 Vt _ T m1 ·

2. u~ m~m~itor de la. calea ferata love~te C1l ciocanul cap<'Hul unei ~ine. Sunetul transmis p_rm ~ma este auztt dupa _0,20 ~ de un ~I doilea II!uneitor care asculta <·n urechea pe ~mii. Se cere sa se determme d1stanta dmtre cei doi muncitori ~tiind d1 !;)ina Pste ·din otel t·u p ,::: ? 800 kg/rn3 $i modulul de elasticitate este E = 20 • toto \jm2. Nezo[()are. Daca se cui1oa$te viteza Vl de propagare a perim:batiei pe care o vom consi­dPt'a Ga se transmite sub forma unei unde lungitudinale atunci distanta ponte fi deter­minata din relatia ·d = vlt:

v = VE v 20 ··101o N/m2 l - = - 5,06 . 10~ m/s.

p 7 8 000 kgfm3

d = vzt 5,06 • ioa- m/s · 20 · J0-2 s t 012 m.

. . 10.4.5. lnte~sitatea ~nd~i. Sa conside:ram, intr-un mediu elastic omogen ~~ Izotro~, o sursa de osclla~Ie care transfera continuu aceea~i energie in uni­tate. de t1mp. Sur-sa .are, deci, o putere constanta. Daca E este energia emisa in timpul t de mul~Imea punctelor ce aJcatuiesc sursa atunci relatia.

E P=-=<I>

t (10.24)

define~te puterea emisa de sursa sau fluxul de energie errlis, marime masurat)a i~ watt. Energia emisa de sursa este transfera.tg in intreg Jnediul. Raportul d.Intre fluxul de ener~ie P ~i aria S a unei suprafete perpendiculare pe direc-tia de propagare prin care are loc transferul de Energie ·

define~te densitatea de flux de energie sau intensitatea I a undei, marirrw Gare in S.I. se masoara in Wfm 2•

Deoarece energia transferata printr-o portiune a unei suprafete de. undit este suma energiilor tuturor oscilatorilor de pe aceasta suprafata de und<'l ~i p~·ntt:u c~ ~~ergia. unni oscilator armonic este proportionaJa cu' A 2 (p<HraLt;l amphtu~Inn) rezulta ca densitatea fluxului de energie este direct proportio­nala cu patratul amplitudinii oscilatqrilor de pe aceasta suprafa~a de unda

I -- A2 • . ~ (10.2f)) Ob~ervatie importanta!

P~~fri,etatea cea mai impo~tanta a unei unde este aceea de a transfera ,enagte . Transportul de ,,energt.e" are Zoe fiirli transport de substan{a!

281

' F F' 1 0.5. EC UA TIA UN DEl PLANE

l~e propunem sa stabilim care este expresm

func~iei ; · ;(;, t) pentru uh caz concret: unda plana.

$tim ca acest tip de unda se caracterize':l.za prin faptul ca suprafetele d~ egala faza si~t

------ _,_--- plane, adica sint suprafete care se inchid la infi­nit. Avem de-a face, evident,. cu o idealizare. 0

_ -------- . suprafata de egala faza poatefi considerata plana

I /

._/ I

I<'ig. 10.29. Unda plauit ge­nerfl ta de mai mul te surs~ de' oscilatie situate in acelal?l

plan.

pe o portiune mica,daca este mult departata de sursa de oscilatie. Se mai pot .ob:t;ine insa unde

.. plane §i altfel, anume folosind un numar mare de. surse de oscilatie' dispuse pe un plan §i care sint in faza. Undele produse de aceste centre, separat, se compun ~i rezultatul este o unda plana (fig. 10.29).

Indiferent de modul de obtinere, undele plane sint caracterizate de faptul ca amplitudinile osci­latiilor tuturor punctelor mediului sint acelea§i. Acest fapt este o consecinta a legii conservarii energiei: energia unui plan de oscilatori este pre­

Iuata de un plan similar (acela~i numar de particule) ~i prin urmare ener­gia repartizata unui oscilator va fi aceea§i (mediul de. propagare este pre­supus nedisipativ). Cum energia. de oscilatie este proportional a. cu puterea a doua a amplitudinii, A 2, "consecinta a pare evident&.

Sa reluam in discutie modelul lant de resorturi §i bile. Acest model este suficient pentru studiul undei plane intrucit ne putem imagina o multime de Ianturi avind bilele in plane paralele intre ele §i perpendiculare pe resorturi. Da~a toate lanturile sint perturbate .simultan §i ~dentic,vom obtine o unda plana care se propa.ga prin sistemul lor. Cum fiecare lant se c~mp?rta la f~~ ca celelalte este suficient sa studiem numai unul, pentru a ohtine Informatn despre intreg sistemul.

Vom presupune ca perturbatia externa este armonica, adica elongatia bilei 1 va fi o functie de forma u1 = A sin wt. Oscilatiile sint presupuse para­lele sac. perpendiculare pe lant. Pulsatia perturbatiei se presupune a fi egaHi cu pulsatiile proprii ale bilelor; se presupune deei existenta unui cuplaj strins, a unui transfer optim de energie.

- Cum depinde elongatia unei bile oarecare n din lant de timpul de pro-pagare de la sursa de oscilatie §i de distanta fata de sursa?

Bila n va intra in oscilatie mai tirziu decit hila 1 §i deci intre cele doua bile va exista un defazaj q;. Cum fortele Dare actioneaza asupra bilei n sin1

282

forte elastice, oscilatia sa va fi tot armonica §i, unda fiind plan~, amplitu­dinea va fi aceea§!· Deci elonga~ia hilei n va fi de forma:

u = A sin ( c.vt + cp) = A sin w ( t -+- ~) • (10.27)

Defaza.jul dintr·e cele doua _bile se datoreaza intrarii mai tirziu in oscilatie a bilei n fata de hila ·1, adica timpului -r necesar undei sa parcurga distan~a x de la hila 1 la hila n : -:- = x • beci putem scrie acum

Vf

u = A sin c.v(t - -:-). (10.28)

. A§adar hila n incepe sa oscileze cu o intirziere -r fata de hila 1 (momentul ini~ial fii11d acela in care este aplicata perturhatia). Adica, la momentul t,

hila n are aceea,~ielongatie pe care o avea hila 1 la momentul (t - -:-), 'deci mai devreme. lnlocuind pe -r rezulta

u = A sin "' { t - ~) = A sin { "'t - :;)

21t A. dar cum w = -~--· ~i v1 = - rezulta: T T

. A . 2 (t x) u = sm 1t _ T -): . (10.29)

Rela~ia (10.29) reprezinta a~a-numita ecuatie a undei plane sau legea de mi~­care a undei.

0 b s e r vat i e. Daca m este un numar intreg, pastr!nd x constant ~i puntnd in loe de t-+ t +- mT rezulUi:

u t + m , x = sm 27t ---. -- = A sm 27t -- + m - - = ( T ). A · (t + mT x) . ( t x) T A T 'J.

=A sin [2r.(~- f) + 2r.m] ~ A s;n 2r. (#-f)= u{t, x),

adica funet]a are perioada T.

Pastrind t constant avem u(x, t) = A sin 27t (~-f)

( ) A . ( l X + mA.) . ( t X ) u x + mA., t ~"" sm 27t T- --~--- = A sm 27t T -): ~ m :::::

A sin (2r.(~ -f) 2r.m] ~·A sin 2r.(~ -f)~· u{x, t).

·~ '* Hezulta ca: u. u(t, x) este periodica atlt in timp (eu perioada T) cit ~iin spatiu (cu perioada :A}~ ln ar,est fel unda trebuie conceputa in dona privinte ca un proces periodic. Perioada temporala este perioada de oscilape T, ,perioada" spatiala este lungimea de unda /.. - ·

283

U undA este un Jenomen periodic in timp ~i spatiu.

· Relatia. (10.29) ne perrnite sa exprimam defazajul dintre doi oscilatori aflati }a distan~a x1 respectiv x2 de o sursa de· oscilatie, pe aceea~i raza de unda, Ia acela§i moment t. 1ntr-adevar dacii

u1 ' A sin 2n ( ~ - ~) §i Uo = A sin 2n ( ~ - i) reprezinta elonga~iile eel or doi oscilatori, at unci defazajul este:

( t Xa) 2 ( t · X1) 27t ( ) Acp = cpz - cp1 = 2n T - ): -: n T -:- ):" = -:; X1 - X2 •

21t A .Acp = --- ~x. A

(10.30)

Daca .Ax diferenta de drum dintre cei doi oscilatori, respectiv dintre

suprafe¥lle de 0

undii cS.rora a paJ1in, este de forma 2k ~ • { un numiir par de ~ ) • atunci .Acp, defazajul, este 2kn §i cei doi oscilatori, suprafetele lor de unda,

sint in faza. ln cazul in care .Ax= (2k + 1) ~ , ( numar impar de "i-), atunci defa-

zajul Acp = (2k + 1)n §i cei doi oscilatori sint in opozi~ie de faza.

E x ere i ~ i u. 6 sursa de unde plane oscileaza dupa ecuatia u. = 3 • 10-1 sin ; t.

Daca viteza de propagare a undelor este de 2 mfs: a) sa se scr~e ecuatia und~"i; b) sa se affe diferenta de faza intre oscilatiile a dona puncte M ~~ N aflate la dis-tanta de 3 m respectiv de 4 m de sursa.

Rezolvare. a) Ecuatia undei plane este

( t X) u =~ A sin 27t T - -:; •

Comparind legea de oscilatie a sursei cu relapa u A sin ((t}t + cp) ob_servam ca (t} =,

21t · I I 1 . .. d da = _::_ radfs, de unde T = - = 18 s, ceea ce perm1te ca cu area, ung1mn e un : 9 (t} •

A = vT = 2 m/s. 18 s = 36 m. Putem scrie acum eeuatia undei plane:

u = 3 • 1 o-1 sm 27t - - - • . { t X) 18 36

b ) Pun dele M 9i N oscileaza dupa legile

UM = 3. 10-1 sin 27t (~-~_),UN= 3 • 1o-1 sin 27t t'~ _!:_}, diferenta de 18 36 18 36

faza este deci <P1 = <Pa = ~cp = 21t ( /8

- fs) - 27t ( / 8 - ~} = fs rad.

284

10.6. CLASIFICAREA UNDEL.OR ELASTICE DUPA FRECVENTA

Am retinut din paragrafele anterioare ca undele care se formeaza in mediile elastice se nurnesc unde elastice. Considerind ca izvorul de perturba­~ie este un osci1ator armonic, adica un oscilator sinusoidal, atunci ·§i undele care se transmit in mediile elastice sint sinusoidale. Daca astfel de ttnde pro­vin de la izvoare de oscilatie, a caror frecventa este cuprinsa in intervalul 16 Hz _._ 20 000 Hz, deci care pot produce senza~ia de sunet, ele se numesc unde sonore sau sunete. Oscila~iile, respectiv undele, a caror frecven~a este situata intre 20 k Hz §i 100 G Hz se numesc ultrasunete, iar cele cu frecven~e sub 16 Hz infrasunete.

In ultimii ani au inceput studii sistematice asupra prodttcerii, propagarii ~i absorb~iei infrasunetelor datorita constatarii ca -acestea au· o mare influ­en~a asupra organismelor vii. Aceasta influenta se datore~te faptului ca rit­murile specifice organismelor vii se produc cu frecven~e. infrasonore · ~i deci transferul de energie dintre un infrasunet §i un organism viu devine im por­tant (la rezonan~a).

0 categorie aparte de unde elastice o constituie undele seismice. La adincirni de ordinul sutelor de kilometri in interiorul globului pamintesc, se acurnuleaza,in timp, tensiuni foarte ma;ri datorita carora se produc brusc rupturi §i deplasari care se resimt sub forma unor perturba~ii violente, nu­mite cutremure. Regiunea din· interiorul Pamintului in care se produce ~i~­carea se nume§te focar sau hipocentru, iar locul de la suprafata aflat pe ver­t~cala locului se nume§te epicentru. Mediul alcatuit din roci cu proprieta~i elastice insemnate ,face posibila transmiterea perturha~iei sub forma unei unde, unda seismica. Unda seismica consta din: unda seismica transversala §i unda seismica longitudinala. Frecventa undelor seismice este cuprinsa in intervaiul 10-25 Hz.

1 0.7. CONDITII DE AUDIBILITATE A OSCILATIIlOR ELASTICE

Senza~ia de sunet se datore§te punerii in vibra~ie, in anumite condi~ii, a termina~iilor nervull!i auditiv, prin intermediul diferitelor organe o.le urechii.

Pentru a fi percepute ca sunete, oscila~iile din mediile elastice (apa, aer, lemn sau o~el) care ajung la · ureche, trebuie sa indeplineasca anumite condi~ii de frecven~a §i de intensitate~

$tim ca frecven~ele oscila~iilor sonore (sunetele) sint cuprinse intt·e 16 Hz ~i 20 000 Hz. Aceste limite sint diferite de la individ la inJivid, in nwd deosebit limita superioara (care pentru acela~i individ scade cu vir'sta).

In ceea ce prive~te intensitatea sunetului ea trehuie sa fie cuprins.:i, de asemenea, intre anumite limite. Spre intensita~ile slabe exista un prag sub care sunetele nu mai pot fi percepute, I min= 10-12 W/m2 (la v = 1 kHz). iar spre intensitatile mari exista o limita peste care senza~ia auditiva st·

285

~

/ :/

\

"' 6 -8

31,3

1....--r---r-......

transforma in senzatie de durere, ] 8 = 102 W/m 2 (la v = 1 kHz). ln figura 10.30 s-au trasat, apro­ximativ, limitele inferioara §i su­perioara de intensitate audibila pentru diferite frecvente. Se poate observa ca largimea &uprafetei intensitatilor audibile variaza cu frecven~a, ingustindu-se spre frec­ven~e foarte joase §i foarte irialte, atingind valoarea f'Pn rnai mare

/ / ""-...

~

~r--. I I

"'- I ~ I

500 2000 sooo v(Hz) in jurul frecven~ei v = 1 000 Hz. In . afara de limi lt·le de free-

"" 1'- v i t----125

Fig. 10.30. Limitele de audibilitatt·. venta §i de intensitate se mai

imptHH.-' undelor sonore ~i o limita de durata. Pentru ca o oscilatie elastica. care se afla intre limitele audibile de freeventa §i intensitate, sa poata fi perceputa ca sunet, ea trebuie sa dureze un timp minim. Pentru un observator

standa,rd (mediu) aceasta durata este de eel putin i~o s. Daca timpul esV•

mai mic decit eel limit a, oscilatia elastica este perceputa sub forma d P

pocnet.

1 0.8. REFLEXIA ~I REFRACTIA UNDELOR

10.8.1. Unda reflectata, unda refractata. Sa presupunem ca avem douu m(3dii in contact adica, pe o anumita suprafata, particulele unuia dintre ele interactioneaza cu particulele celuilalt. Sa notam cele doua medii cu A §i B §i sa presupunexn ca prin mediul A se propaga o unda catre suprafata d~ separare (a, b) (fig. 10.31). In momentul in care unda ajunge la particulele de mediul A, situate pe suprafata (a, b), acestea incep sa oscileze. Cum parti­eulele rnediului B, af]ate pe suprafa~a de contact, sint in interactiune cu cele

286

ale mediului A, rezulta ca oscilatiile se vor transmite ma1 ct·eparte in mediul B §i odata cu ele §i o parte din energia initiala.

Oscilatorii din mediul A, de pe suprafata de separare (a, b), dupa ce au pus in stare de oscilatie particulele mediului B, vor continua sa oscileze tnsa cu amplitudini mai mici. Ace~ti oscilatori · devin surse pentru o unda care se va propaga tot prin mediul A, dar .care va fi diferita de cea initiala. (Ener­gia transportata de aceasta noua unda vafi diferen~a dintre energia initiala §i energia transferata mediului B.)

Unda care ia na~tere in mediul B se nume§te unda. transmisa san unda refractatii, iar cea care se formeaza in mediul A, undii reflectatii.

Cum se propaga cele doua unde? Cum se pot determina noile directii de propagare?

Principiul lui H uygens enuntat, acun1, pentru cazul general ne va ajuta sa obtinem raspuns la intrebarile puse.

Fie o undii care se propagii printr-un mediu; dacii la un anumit moment t se inlocuiqte frontul ei de undi1 cu o mulfime de oscilatori, ce constituie fiecate o

sursd pentru cite o undd sfericd ( undii secundard sau elementard) care· se pro­pagii tnainte, atunci frontul undei principale la un moment ulterior t + 11t este suprafatd tangentd (inf~urdtoarea) la fronturile undelor elementare (Ia m.omottul At de ln genr>rnrPa lor).

0 alta formulare a principiului lui Huygens este urmatoarea: Orice punct depe o supra[atd de undd JlOate [i considerat ca un nou centru

d"..!.erturhatie de la care se propagd inainte unde sferice secundare ( elementare).

Figura 10.32, a §i b ilustreaza construirea frontului de unda cu ajutor'ul principiului lui H uygens: a) pentru unde circulare ~i b) pentru unde Iiniare.

Se poate ilustra principiul lui Huygens prin undele superficiale de Ia s~prafata unui lichid, folosind aparatul de produs unde (fig. 10.33 , a). Un vibrator produce perturbatia stratului superficial de apa din cuva C ~i gene­r~~za unde circulare pe suprafata ape! (fig. 10.33, b). Daca a~ezam pe apa un cihndru de tabla cu -multe fante inguste ptauticate de-a lungul generatoarei

F F'

,J \ --:----------

. .>~

a b

•·ig. 10.32. Prindpipl lui Huygens. Comd.,·llin~a froutur·ilor dt! unda pentru un.de drculare (a) ~i twd" I in iar·l-' (b).

287

, Fig. 10.33. a) Cuva de prod us unde la suprafata lichidelor; b) ~i c) ilustrarea prin­

cipiului Huygens. ,

b

c

/griia front de undo

( urila dirl fiaura) astfel .indt axa lui sa tn~<J,·il. prin centrul de oscila.Pe, vorn

ubserva ca hontul ·circular al undei se reface dincolo de eilindru. Dadi inchi­dem toate fantele cu exceptia uneia, vorn observa und~ circulare care se propaga inainte din aceasta fanta ~i care se comporta ca un nou centru de

oscila~ie (fig. 10.33, c). . . . 10.8.2. Reflexia ~i refractia undelor superficiale. a) Reflexw. In cuva

aparatului de produs unde se produc unde Ii_niare. A§ezin~ un o~sta.col in calea undelor, se observa fenomenul de reflex1e, undele em1se de 1zvorul de oscilatie revenind in mediul in care s-au propagat la incidenta cu obsta_colul

I (peret,ele) p .care constituie un mediu cu alte caracteristici decit mediul ini~ial

(fig. 10.34, a). . . . . . _ De observat ca directia de propagare Sl a undei 111Cidente se schimlw

devenind I R (fig. 10. 34. b). Se eonstruie~te perpendicul,ara N I pe peretele .p

b

288

~ Fig. 10.34. Reflexia tmdt>-lor: a) fotografie in cu vi1: b) sdwma geometrica eo res­punz;'itoar·p situatiei din a).

in punctul de inciden~a I. Unghiul 'fiN = i se nume~te unghi de incidenta . . ./""'-.. Iar unghiUl N I R = r se nume§te unghi de reflexie.

b) Refractia. La acela§i aparat, modificind adincimea unei parti din apa prin a§ezarea pe fundul cuvei a unei placi, schimbam caracteristicile mediu­lui (viteza undelor- in regiunea mai putin ad inca este mai mica). Fotografia din figura 10.35, a arata cum se schimba direc~ia undei incidente la. trecerea in alt mediu. Direc~ia SI, dupa trecerea liniei care separa ce}e doua regiuni, devine I R (fig. 10.a5, b). ·

Schimbarea direc~iei de propa.ga.re a undei la suprafata de separare intre doua regiuni in care vitezele de propaga,re sint diferite, o numim refrac~ie. Unghiul r se nume.f}te unghi de refrac~ie. Se observa, in cazul dat, ca unghiu1 de refrac~ie este mai mic decit unghiul de inciden~a.

10.8.3. Legile reflexiei ~i refrac.tiei. a) Legea reflexiei. Sa consider am o por~iune a frontului de unda plan AA' care avanseaza cu viteza v pe directia Sf catre suprafata d.,e separare P pe care o atinge la un moment dat t

' (fig. 10.34, b). La un anumit moment pozi~ia frontului de unda este IA 1 §ide la fiecare punct al frontului care va atinge suprafat~ P vor pleca· unde elemen· tare care conform principiului lui H uygens se vor propaga in acela.~i mAdiu.

\

a

s

-4,

I ,P IT b

Fig. 10.35. Refractia undclor: a)· t'otogr:tfie in tuva; b) schema geometridi corespun. ziHoare si_tuatiei ·din a).

289 19 - Fizic~ cl. a IX-a

tn intervaluf de timp At, incepind cu momentul t ~i sfir§ind cu momentul

(t +- At}, moment la care punctele frontului de unda I A1 au luat contact cu

·· peretele, undele elementare produse suecesiv de toate punctele dintre I ~i

B se propaga de la perete ina poi in mediul din care au venit. Suprafa~a tan-.

genta fronturilor de unda.ale tuturor acestor unde eleJuentare{infa~uratoarea)

formeaza noul front de unda B1B care se deplaseaza pe direc~ia I R. Se _ob­

serva ca triunghiurile dreptunghice I A.1B §i BB1J.sint egale avind I B la'tura

comuna si A 1B ~ IB1 ·= vAt. Rezulta ca 1::A1ll} = 1::BtBI sau · '

A A

i = r. (10.31)

Deci, la reflexie, unghiul de reflexie este egal cu unghiul de inciden~a.

. b) Legea refrac[iei. Por~iun~a BB1 a frontului de unda incident avan-

seaza cu viteza v1 pe direc~ia SI spre.suprafa~a de separare P pe ·care o atinge ~

in Bla momentul t §i in I la mC?mentul (t + At) (fig. 10.35, b).ln. intervalul

At, succes.iv, din toate punctele situate intre B §i I, se propaga unde elemen­

tare cu viteza v2 #: v1• Tange.nta tuturor fronturilor acesto:r: unde formeaza

frontul undei refractate care la ~omentul (t At} ocupa pozitia A1J. Din

triunghiurile BB11 §i BA 11, triunghiuri dreptunghice, putem scrie:

sin BE! = B11 =- v1 ~t i sin lfiA1

= BA1 = ~2 ~~. 1 Bl Rl § Bl BI

sin 'ff;BJ · b " " B~BI -:" ( h' I de 1'nc1· Daca facem raportul --- ~1 o servam ca: 1 = ~ ung Iu -. ~

sin BIA 1

dent~) iar ~ = ; (unghiul de·refrac~ie) obtinem legea refrac~iei: ~in i 1J1 -.-. .,. = - = n.2l. ~Ill I' 1}2

(10.32)

Raportul ~ = n21 s~ nume§te indice de refractie al_mediului 2 fata de mediull ~ v2

~tiind ca A · vT putem scrie: A1 = v1 T, respectiv 7-:z == v2T, lungimile

·de unda ale undelor care se propaga in cele douii medii. Relatia (10.32) poate

fi scrisa:

(10.33)

EX ere it i u. Undele produse intr-o cuva cu apa tree dintr-o regiune mai putin

adinca in una mai adinca ~i se refracta. $tiind ca unghiul' de incidenta este ·de 19°

iar eel de refractie de 30° sa se afl~: a) raportul vitezelor in cele doua regiuni; b)

Nlportul lungimilor de undli din eele doua regiuni. ·

290

D . I .. sin i vt ~ 1 . d d t I d' . Rezolvare. a) m egea refractiel --:--- = - -.n ocu m eu a e e .. m elnm ~ a vern : · Slll r Vz

sin 19° = V1 = ~. b) Din relatia (10.33) putem scrie ~- = ~-. sin 30° . Vz 3 . i-~ · i_l

. "' 10.8.4. Refle:xie eu sehimbare de sens

EXPERIMENT

Se produce o perturba~ie transversala, puternica (un §Oc) pe .o <;oard!i sau pe un tub de cauciuc al carui capat este lasat mobil cu ajutorul unei sfori sau inel (fig. 10.36, a), sau este fix (fig. 10.;36,b). Se observa, d.e-a lungul corzii, propagarea unei ,creste" de unda spre capatul ei. In cazul a) ea se h1to.arce cu deviere in aceea§i parte adica tot ca o .creasta.· In cazul b) unda se intoarce

1 ea o .. depresiune" (adincitura). In ambele 'cazuri, perturbatia este reflectata la capatul corzii (ca la

1ntilnirea cu un perete - obstacol), dar felul reflexiei · depinde de faptul daca capiHul corzii poate oscila liher transversal, numindu-1 in acest caz capat liber, sau daca la capat nu poate aparea nici o oscilatie, numindu-1 capat fix.

A§adar ,crea.sta" unei unde transversale se reflecta (se intoarce) la capa­tul liber ca o ,creasta" de unda, iar .la capatul fix ca o ,depresiune:. de unda. ·

U~da sufera la capatul fix un salt de fa.za e.gal cu 1t sau o ,pierdere''

de !: pentru ca dupa reflexie toate puncteJe vor oscila de cea.lalta parte 2

a tubului (corzii), fata de unda incidentiL

Fig. 10.36. Reflexia unei pertur•­batii care se propaga pe o coarda (desenele sint distantate uniform .in timp). a) La capiHulliber faza nu se schimba, dupa reflexie~ ·b) prin reflexie la capatul fix se schimba

faza cu 180°.

l9•

0

291

0 undit ir~nsversala se peflecta la cap/itul liber fara schimbare de faza, lar

la capatul fix cu o schi~bare de faza de 7t sau o ,pierdere" de~ • Concluzii identice se ob~in daca ~e analizeaza reflexia unei unde longitu·

dinale.

10,9. DIFRACTIA

Ce se intimpHi atunci cind undele care se propaga intr-un mediu oarecare intilnesc ,obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de unda?

EXPERIMENT

ln calea unor unde plane produse pe suprafa~a apm, In cuva de pro­ducere- a undelor, se a~aza succesiv obstacole liniare de diferite dimensiuni (fig. 10.37, a, b, c) sau se las a sa treac~ undele prin deschideri (fa.nte) diferite (fig. 10.37, d, e, f).

I~ primul caz observam ca undele patrund cu atit mai mult in ,spa~iul umbrei" geometrice· din spatele obstacolului cu cit dimensiunile obstacolului devin mai mici. ~i in al doilea caz se observa ca regiunea in care se propaga unda in zona de ,umbra" este cu atit mai mare cu cit deschiderea este

.mai mica.

Abaterea unei unde de la directia initiala de propagare la trecerea pe lingii obstacole $i la traversarea fantelor se nume$te difractie.

0 b s e r vat i e.· Difractia este un fenomen distinct de eel de refractie. Hefraetia a pare la trecerea unei unde di.n tr-un mediu in altul cu viteze diferite' de propagare: difractia· apare Ia propagarea 1mdei in acela$i medin fara schimb?rea vitezei de pro­pagarf.

EXPERIMENT

Sa repetam experimentele de mai sus cu unde a caror lungime de unda difera mult fa~a de dimensiunile fantelor (obstacolelor). Figura 10.38 ilus­treaza efectul unei fante· asupra unor unde eu lungimea de unda mult mai Inica decit deschiderea sa, respectiv cu lungimea de unda comparabila cu dimensiunea fantei.

Experien~a arata ca factorul determinant pentru fenomenele de difrac~ie este raportul dintre lungimea de unda ~i dimensiunea obstacolului difrac~ tant. Difrac~ia este deosebit de pronun~ata atunci cind dimensiunile ohsta1~o· lelor difractante sint comparabile cu lungirnea de unda.

292

1-1-

a b c

Fig. 10.37. Difractia undelor pe obstacole ~i fante de diferite latimi.

I Fig. 10.38. Efecful unui ori­ficiu asuprn unor nnde en lungimea. de unda mult mai mie[t decit orificiul, respeetiv cu lungimea de unda compa­rahila cu dimensiunile orifi-

ciului. -

Fenomenul de difrac~ie poate fi explicat pe baza principiului lui Huy­gens. Se considera frontul de unda -care a atins_ obstacolril ca fiind format dintr-o munime de centre (surse) noi de oscila.~ii de la care pleadi unde ele­mentare (fig. 10.37). In figura 10.37, f se observa formarea unei unde elemen­tareindividuale; are loc o difrac~i_e pronunvata.

1 0.10. INTERFERENTA.' UNDE STATIONARE

EXPERIMENT

La capetele unei corzi (tub de cauciuc, lan~ de resorturi), se produc, printr-o perturba~ie, doua creste de unde, ambele de acee_a§i parte sau una de 0 parte §i alta de cea.lalta parte a corzii (fig. 10.39, a, b).

Se observa ca ambele creste de unda se deplaseaza de-a lungul corzii ne.stingherite atit inainte cit §i dupa ce se intilnesc. In locul in care ereste1e de unda se t_ntilnesc apare o creasta vizihila mai inalta (fig. 10.39, a) sau de­f.P-rmarea dispare complet (fig. 10.39, b). Experimentul poate fi realizat .~i cu

293

a b

a

l<~lg. 10.89. Sl1prapunerea a doua perturba~ii: Q) cu areea!jii fa zit; b) cu faza opusa.

ajutorul Ian~ului de pendule. ln acest caz,in momentul intilnirii perturba~iilm:.

unul din pendu]e deviaza mult mai mult decit celelalte (a) sau abia se

mi~ca (b).

Ne intilnim ·aici cu o situa~ie deosebita, caracteristica propagarii undelor.

Peste unul §i acela§i Ian~ de oscilatori pot trece in acela§i timp . perturba~ii

diferite, provenite de la doua unde, fara ca undele care se produc pe lan~ul

(mediul) de oscilatori sa se perturbe- una pe alta. ln locul in care cele doua

und-e se intilnesc ele se suprapun intr:.un mod foarte simplu: amplitudinile

oscilatiilor prod use de cele doua unde se ad una ( algebric ).

Fapttil ca dupa intUnire undele tree mai departe complet neschimbate,

,iar tn timpul int,ilnirii 'amplitudinile lor se a,duna, poarta denumirea de supra­

punere neperturbata sau de principiul superpozi~iei neperturhate. a undelor.

0 importan~a deosebita o prezinta cazul in care undele care se intililesc

·au aceea~i lungime de unda ~i determina oscila~ii de aceea~i frecventa (pulsa­

tie), unde denumite coerente~~-

--Suprapunerea (compunerea) neperturbata ·in acela~i loc, dintr-un medill.

a douii sau mai rnultf! undP de aceea$i lungime de unda sau aceea$i pu1.~at!e se

. n ume~te interferen(ii.

Pentru fenomenul de interferen~a a doua unde care se propaga pe aceea§i

direc~ie este importanta diferen~a de drum dintre cele doua oscilatii care se

suprapun in acela~i loc. In figura 10.40, a, diferenta de drum .L\x dintre oscila­

tiile produse de cele doua unde este nuh'i ~i deci oscilatiile provocate de antbele

294

l \. (

a

Fig. 10.40.' lnterferenta a doua unde eu aceea9i lungime de undi'i: a) cind. diferenta de drmn este nula 9i b) cind diferenta de drum este de o jumatate de lungime 'de und8.

unde sint in fiecare punct de intilnire,Jn faza. Cele doua unde se ,intaresc"

una pe alta, oscilatia rezultanta se face cu amplitudine 'maxima. 1n figura

10.40, b diferenta de drum dintre oscila~iile produse de cele dona unde este

~x = ~. Oscila~iile prod use de cele doua unde, intr-un anumit punct, vor

Prezenta o diferenta de faza .Llm = ~. 2.. = 1t. Cele doua unde se ,slab_ esc''-, T A 2 '

. reciproc, amplitudinea oscila~iei rezultante este minima. Daca amplitudinile

undelor sint egale, oscilatia rezultanta este nub'i, ce}e do'!la unde se ,sting"

complet una pe alta.

ObserCJa(ie.- Doua uri de care interfera, se intensifica sau se slabesc la-maximum

intr-un anumit p~nct, Ctnd diferen~a de drum este zero sau ~. Pentru ampli-

tudini egale ele s~ anuleaza complet daca ~x = "A • 2

Daea tinem seama. d~ relatia (10.30) se observa ea Ia interfer·enta avem:

a) amplificare maxima, cind difertmta de drum ~X = kA = _'2k). . 2

. t v d ~ es e un numar par e . 2

2rr v

Din ~~ = -- Ll.:r rezulta ca pentru Ll.c = kl. j,

avern l~([i = 2k7t(k = 0, L 2, ... ). Dec1 un maxim de oscihitie corespunde

unei diferente de drum de forma 2k !-_ sau unei d ifef'ente de faza de 2k7t: 2

295

b) atenuare maxima, dnd diferenta de df'um Ax = (2k + 1) -~ este un . 2

numar impar de ~. In acest caz rezulta pentru A~ condi~ia A~~ (2k+1)7t. 2 . .

Adica · atenuarea maxima. a doua unde corespunde unei diferente de drum de

forma (2k + 1) ~ sa-u unei diferente de faza de forma (2k _+ 1)7t.

Zona in care se produce suprapunerea undelor se nume~te dmp de interferenta. Sa consideram un _punct p din zona de interferenta a undelor plane ~are provin de la doua centre de oscilatii C1 ~i C2 , care au acelea~i pulsatii (fig. 10.lt1).'Vom presu­pune ca oscilatiile care ajung in pnnrtul P sint oscilatii armon ice ,-;.i au elongatiile paralele de forma:

2_n (_-t_ - :I ) • T A

Y2 = A 2 sin 2n (~ -i)· Punch~l P v·a descrie o mi9.care rezultata din compunerea celor doua oscilatii ~i dupit cum se ~tie de la compunerea oscila-tiilor paralele ~i de aceea~i pulsatie aceasta mi~­care este osdlatorie armonica. Amp1itudinea mi~carii rezuHante este data de relatia:

A 2 = Ai +A~+ 2A1A 2 cos ~cp.

- 27t " t l' d' 'I · · 1 Dar cum ~cp = - ux, avem pen ru amp 1tu mea osc1 a tiel rezu tante: A

(10. 34)

Rezulti:i. ca amplitudinea oscilatiei In punctul P depinde de amplitudinile oscilatiilor care se suprapun ~i de diferenta de drum ~x = x2 - x1 dintre oscilatii in punctul de interferenta. ~

In ipott<za ca propagarea oscilatiilor se face intr-un mediu in care nu exista amor­tizare, amplitudinea oscilatiei rezultante va depinde numai de diferenta de drurn D.x dintre cele doua oscilatii.

In situatia in care aceasta 9-iferenta de drt~m "este constanta- ~i amplitudinea osci­

latiei rezultante din punctuJ P este constanta. Interferenta in care toate punctele din dmpul de interferenta oscileaza eu o ampli~ tudine constanta in timp se nume!'?te interferentd staJionard.

296

Fi~. 10.41. Doua eentre de oscilatie de aceea~i pulsatie intr·-un medili elastic.

Fig. 10.4,2. Pentru fiecare va.loare a diferentei de drum se cbtin dou~t curbe simetl'ice in raport cu media­toarea segmentului clc2.

I I

/

/ /

/

/ I

I I I I

\ \ \ '.., '\ ......

' >-

.........

" "' \ \ \ \ \

1 I

Valoarea amplitudinii csdlatiei fiecarui punct din cimpul de interferenta depinde

de diferenta de drum ~x. tn zona de interferenta exista puncte care au· ~ceea~i dife.

renVi de drum fata de cele doua centre ·de oscilatii ~i care au aceea~i

amplitudine.

Curbele care unesc aceste puncte reprezinta un loc geometric cu prgprietatea ca di­

ferenta de drum fata de doua puncte fixe este constanta (hiperbola). Pentru fiecare

valoarea_diferentei de drum se obtin d?ua cm·be simetrice fata de mediatoarea seg­

mentului C1C2 ' (fig:. 10.42), de egala amplitudine !iii care se numesc franje de

interferenta.

Dupa cum s-a afirmat mai inainte, exista valori ale diferentei de drum pentru care

oscilatia rezultanta poate avea amplitudine maxima sau minima. Aceste valori, ale

diferentei de drum, se pot obtine din relatia (1.0.34) punind conditiile: ' ')

a) cos ::.::: (x2 - xi) = 1, pentru amplitudine maxima (A A

2n sau - (x2 - x1 ) = 2/m, conditie din care rezulta:

A .

21t b) cos -(x2 - x1 ) = -l, pentru amplitudin_e minima A . 21t

(x2 - x11 = (2k + 1)1t, de unde se obtine: A

A x2 x1 = (2k + 1) -. . 2

A!iiadar toate punctele din cimpul de interferenta pen.tru care dif~rentade drum este

un numar par de ~ , oscileaza cu amplitudine maxima A A1 + A2, iar cele pentru

' -care diferenta'de drum este un ntimar impar de~, oscileaza cu amplitudinea minima

' 2 '

297

Pig. 10.43. Unde staFonare pt> 110 fir in tins.

Ffg. 10.44. Dispozitiv pentru producerea undelor stationare pe fir.

A = A 1 - A 2• Curbele care unesc punctele de maxima ~i minima amplitudine se numesc franje de maxima ~i minima interferenta. Evident pentru cazul particular A 1. = A 2 = a obtinem A = 2a pentru amplitudine maxima ~i A = 0 pentru ampli- · tudine minim~.

10.10.2. Unde stationare. Sa perturbam o coarda sa,u un resort elastic

lung, provocind apari~ia unor und~ transversale cu pulsa~ii diferite. Sa lasam

undele sa se reflecte la capatul fix sau.Jiber .. Se co:nstata cain int~egulsistem

se pro due stari de oscila~ie caracteristice care .. nu se ,deplaseaza" in timp ci

ramin pe. loc, sta~ioneaza. Fenomenul se produce datorita suprapunerii undei

incidente, prod~sa de sursa perturbatoare §i undei reflectate, la s:apatul fix

sau la eel Iiber.

Acest caz deosebit de interferenta se nume~te unda sta~a. Unda

statwna~li ap.are cind douli unde de lungimi de undli egale, cart· se pn~ii in

scnsuri opuse, se suprapun.

Unda sta~ionara prezinta la distante egalti cu } locuri in ca,re oscila~ia

este stinsa complet, noduri de oscila~ie ~i intre ele locuri in ca,re punctele

oscileaza cu amplitudine maxima, .ventre de oscila~ie.

Daca in experien~ele care pun in eviden~a undele sta-t;ionare partea sursei

de oscila~ie se considera capat fix atunci figura 10.43 reda citeva cazuri de

formare a undelor sta~ionare ~e un fir intins, cind celalalt capat este tot fix.

Figura 10.44 prezinta a,paratul cu care pot fi produse §i puse in eviden~a·

astfel de unde , sta~ionare.

Pentru a .expliea aparitia nodurilor :;;i ventr~lor dt> oseilape sa consideram tm ptmct ·-1

oaref~are P de pe firul intins (fig. 10.45), solicitat simultan de unda incidenta ~i de unda refledaH\. Diferenta de drum, dintre aceste doua nnde, este

."C + -- - l- X = X+ --, i.) (' ) 2 . A 2 i

298

X

Fig. 10.45. Punctul P de pe fir este antre­nat In mi~care aUt de unda incidenta cit ~i

de cea reflectata.

unde ~ .reprezinta difererita de drum (pierderea) introdusa l~ reflexia pe (~apatul . 2 .

fix al firului ( reflexie cu pierdere de ~). ln ipoteza ea firul este un mediu nedisi~

pativ, amplitudinea oscilatiilor ra.mine constanta tn timp, rezultii dt amplitudinea rezultanta este ·

dar cum A1 = A 2 = a (unda reflectata are aceea~i amplitudine cu cea incidenta) 21t

~i ~ql =- Ax obtinem: A

A V 2a' + 2a' cos 2 A" ( 2x + +) ,

Considerind cunoscuta relatia 1 + cos q~ = 2 cos2 !_ se obtine: 2

deci

A 2a cos 2:.(2x + !_). A 2 ·

(10.35)

. Din relatia (10.35) observam ca amplitudinea oscilatiei rezultante_ este indenendenta de timp dar variaza periodic cu pozitia punctului pefir (cu distanta x fata de capatul

. A r 2kA . v

B al firului din figura 10.45). Toate punctele pentru care 2x + - = - osclleaza . 2 2

cu amplitudine maxima. Aceste puncte sint tocmai punctele numite ventre ~i se afHt fata de punctul de reflexie Ia· distantele.

. . )..

xv = (2k - 1) --+ · k ~· 1 ~i iritreg. 4·

A "A Punctele pentru eare 2x + - = (2k + 1) ~, au amplitudinea zero (puncte In

2 2 repaus), stnt punc'tele numite nodJiri ~i sint situate fatl1 de punctul d~ reflexie Ia distantele

A Xn =:= 2k --,.

4

299

k ~, k ~ 0 ~i tntreg. 2

Pozitia nodurilor ~i ventrelor, pe fir, nu se schimba: punctele care osci­lea.za cu amplitudine maxima, respectiv minima (zero), ramin tot timpul acelea,~i, de. aici §i numele de unde stationare. · -· · Pentrri cazul firului fixat la cele doua capete, reflexia se face cu schimbare

de semn pentru elongatie (pierdere de ~). In fir se formeaza unde statio-

nare daca este indeplinita conditia l = n ~ , adica lungimea firului este 2

. A egala cu un npmar intreg de -.

2

1 0.1t! COARDE $1 TUB URI SONORE ~ . .

10.11.1. Proprietatile caracteristice ale unui sunet. ln paragrafullO. 6 au fost denu.

mite sunete undele elastice a di.rorfrecventa estecuprinsa intre 16 Hz-20 kHz.

Un sunet perceput de ureche are- anumite proprietati care pot fi explicate prin mari­

mile fizice cara,cteristice sunetului ~i prin particularitatile organului auditiv. Se dis­

'ting trei proprietati fizice: inaltimea, intensitatea ~i timbrul.

a) lnJilfimea. Senzatia fiziologica de sunet ascutit (inalt) ~i de sunet grav (jos) este d.eterminata numai de frecventa undei sonore.

b) Intensitatea auditi9a. Senzatia fiziologica de intensitate a sunetului se masoarft

_prin intensitatea auditiva (taria sunetului). Auzul nuda pentru douasunete diferite sen­

zatii in acela~i raport de tarie ca raportuf intensitatilor lor sonore. Dadi se eonsiderit ca intensitate de referinta I O• pragul :minim ae audibilitate I 0 = 1 o-l2 '\V /m2 (I a 1 ':kHz l, atunci se define~te (L} nivelul de intensit.~te sonora al unui sunet d~ intensitate I prin relatia:

L = lg I. Io

(10.36)

~ivelul de intensitate S<Jnora se masoara in belli (B) ~i in decibelli (dB).

c) Timbrul. Un sunet emis de o Sl!rsa sonora (coarda, tub etc.) are un caracter com­plex. Alaturi de sunetele principaie1 numite sunete fundamentale, o sui'Sa sonora emit<'

simultan ~i citeva din a:r:,mpnid h~ sunetului fundamental. De exemplu, frecventa funda­mentala pentru nota la sau ·armonica Ja este de 440 Hz; orice multiplu intreg al acestei

frec9ente este o armonica superioara.

Simetul fun,damental ~i armonicile care-1 lnsotesc sint denumite componentele

sunetului.

Caract~ristica unui sunet care se exprima prin numarul componentelor. care inso­

. tesc sunetul fundamental ~i nivelul lor de. intensitate sonora se nurne~te timbrul acelui

sunet.

10.11.2. Surse ~onore. Corpurile care pot oscila cu frecvente lntre 16Hz- 20kHz ~i

care pot genera unde so1w.re se numesc surse son ore. Printre ca tegoriile de surse son ore

importonte distingem: a) eoardele sonore 9i b) tuburile sonore. ·

300

_[IC0_j§L Fig. 10.46. AnGie cu douu lame.

a) Coarde sonore. Coarda sonora este sursa sonora· pentru toate instrumentele dr corzi. 0 coarda sonora poate fi pusa in oscilatie !n mod diferit, aUt longitudin~l cit 1;\i trans. vt>rsal. Frecventele componentelor emise de o eoarda sonora pot fi determinate eu ajuto-rul relatiei: ·

'llpr = n _!_ \ jr' n = 1, 2, 3, ... 2l \1 ~ - (10.37).

· unde '~~pr reprezintrt ~recvt>ntele proprii ale coardei sonore, care depind de lungimea z a corzii, tensiunea T din coarda ~i de ·!l masa unitatii de lungime a corzii.

b) Tub uri sonore. Tuburile sonore constituie o parte principala- a instrumentelor ..dt> suflat, avind rolul de rezonator. Sursa sonora propriu-zisa o. constituie ancia (mu~­tiucul), reprezentata in figura 10.46, prin intermediul direia se produc oscilatii ale aerului ~i care formeaza _:uide stationare in tubul sonor. Ventrul de oscilatie se formeaza intot­deauna la ancie. In figurile 10.47, a ~i b este reprezentat·modul in care se formeaza com-

,ponentele sunetului in tuburile sonore inchise sau deschise.

Se observa ca pentru tuburile deschist:> lungimea l a tubului este un numar

in treg de ~~- • 2

rezul (;1

A. l = n-. (n = 1, 2, 3, ... ) $i din i,n

2

v 1' "n = __ .. = __ ., n An 2l

(10.38)

relape prin care pot Ji ohtiniltt>· r-omponentele sunetuJui errtis de un tub sonor ·deschis.

'./ ,...."'< f\ " / I ,><,

I \'></ I '

a

I

\ I I

b

\ I '/ ,.x, I \

Pig. hJ.4\1, Und~" stationa:rP: u) in tubul'i desddst.• ~~ /J J in t.ub11r'i indlisP.

301

Din conditia l =:. (2n - J) A , pentru tuburile tnchise, se obtine pentru componen. 4 '

tele sunetului relatia:

v v "n = - = - (2n - 1}.

An 41 (10.39)

PROBLEME REZOLVAT"E

1. Un tub deschis cu lungimea l = 0,5 m emite oscilatii cu lungimea de unda A = 1 m.

Sa se calculeze: a') ce armonica produce tubul ~iii ce frecventa are sunetul produs?

b) Se astupa tubul, (~iii) se cere lungimea de unda a aceleialiii armonici a sunetului emis.

Viteza sunetului in aer, v 340 mjs.

Rezolvare. a) ln acest caz rel~tia (10.38) ne da l ~ n A sau n =E.= 1. Rezulta ca · · . 2 A

este emisa prima armonica (sunetul fundamental) ·cu frecventa ..-..;:

v 340 mfs . \1=-= . =

A 1m

=- 340 Hz.

'b) Astupind tubul, ohtinem din relatia (10.39), l At ·

(2n - 1) - sau daca pun em 4

l At . l n = 1, = - s1 At = 4 4 '

2 m. Rezulta " = .!!_ = 340 m/s = 170 Hz: ln acest caz.

At 2m · · •

sunet.!!Ldevine mai grav.

2. 0 coarda de violoncel are o lungime l = 1 m. Masa corzii este de 50 g. Lli ce tensiune

este supusa coarda daca ea trebuie sa vibreze Ia frecventa fund,amentala de 66. Hz?

Rezolvare. tn caznl sunetului fundamental trebuie indeplinita conditia l = A 2

deci A = 2 m ~iii pentru ca

v v: \1=-=--=--

A A

unde ll = !!.!: rezulta pentru valoarea tensiunii din coa_rda: l

T == ll v2A2 = 50· to-3 kg/m • 662 Hz2 • 4. m2 = S71,2N.

1NTREBARI. EXERCIT/1. PROBLEM£

. kA 'd 1 . . X • '1 t 1. Se da relatia amax = ..- , . un e amax este acce erat1a maxlrne~. a unm osc1 a or armo· m

nic, k constanta elastica, A amplitudinea ~i m masa oscilatorului. Ar~tati c~ aceastll

relatie are dimensiunile unei acceleratii.

302

2. Ooua resortur1 elastice de constante k11 k2 stnt legate o daUi.tn serie, o dat~ tn paralel;

ce conditie trebuie sa indeplineasca k1, k2 a~a in cit perioadele de oscilatie in ce1e douit cazuri s& fie egale?

3. Un punct material oscileaza armonic dup& o lege sinusoidala. Se masoara elongaJiilt:•

xt ~i Xa lamomente diferite 9i s~ gase~te xJ. =7 6 em, x 2 = 4 em iar vitfzele corespun­

zatoare stnt Vt'= 3 cr;njs, v2 = 5 cmfs. Sa se det-ermine: a) amplitudinea ~iii perioada oscila~iei arnionice; b) acceleratia maxima .

. R: a) A ~ "\ / v~x~- v~xi = 6,87 em; T 21t' '\ / x~~ = 7,025 s; v VJ - v2 v Vt - V2 ·

b} ama:r = 4,40 cmfs"'.

4, Un bloc cu masa m = 3,62 kg este suspendat de un resort cu · cohstanta elasticcl k = 520 Njm. Un glonte cu masa m' = 4,5 g este tras de jos tn sus cu o vitezi1 v = = ·150 m/s ~iii se opre~te tn bloc. Aproximtnd mi~carea sistemului bloc-glonte ca o mi~care oscilatorie armonici'i, sll se afle amplitu4inea mi~c<'irii ..

= 1,55 em.

Ei. Un corp de masa m cade de hi tnaltimea h, pe un platan de masi1 neglijabila atirnat de

un resort cu constanta elastica k. ~tiind ca dupa ciocnire ccrl'ul ramine pe platan, sa se calculeze amplitu~inea mi~iicilrii efectuata de sisterriul platan-corp. mgy 2hk

R: A = - 1 + -=-- • k mg

6. De un dinamometru cu diviziuni intre O'~iii Fm = 142 N ~i cu lungimea scalei l = 10 em este suspendat un corp care, datorita unei cauze externe, tncepe sa oscileze vertical cu o frecventa v = 2 oscilati·i pe secunda. Ce masa are corpul?

' ~ R: k Fm/l, m = k/4 1t2 v2 = 8,6 kg.

, 7. Un pendu,l matematic (gravitational) se fixeaza de un cadru a~ezat pe un carucior.

Sa se gaseasca perioada pendulul~i dnd caruciorul se mi~ca; a) oriz?ntal cu a.ccelerapa

a; b) vertical in sus cu acceleratJ.a a; c) vertical in jos cu acceleratia a < g. Se

!jtie lungimea pendulului l ~i amplitudinea 11nghiulara initiala o:0 ~ 5°.

R:a)21t'\/ 1 . ; b)21t"\/ l; c)21t'\/ l. V V a 2 + g2 V a + g V g - a

8. Pendulul fixat pP diruciorul de la problema 7 este obligat sa se mi~te eu viteza eon­

stanta v pe un cere. de raza R In plan orizontal. Se cere perioada pendulului.

R: T = 27t'V-vg'l+ ~ . R2

9. Dona. pendule gravitationale oscileaza in acela~i loc cu frecventele v1 ::::: 28 Hz ~i v2 """'" 7 Hz. Ca_re este raportul Iungimilor lor?

!L =(~)2

= 16. ll \12

10. Cum s·at• putea dovedi experimental ea pr-opagar•ea unel perturbatii intr-un mediu

inseamna ~i propagarea transrniterea de energie't

303

11. Prin intermediul undel0r se transmite !;lnergi~. Pal impult; se transmite ~w~n unne:-

~2. Undele de torsiune {forfecare) slnt transversale sau longitvd!nale?

13. Cum pot fi create unde plane? Dar unde sferice?

14. Daca medh£1 este omogen ~i izotrop, iar sursa de oscilatie este punctiforma unda care ia na~tere este sferica. Ce fel de unda se va produce, daca mediul este izotrop dar nu este omogen? Dar daca este omogen dar nu ~i izotrop?

(

15. Undele transversale dintr-o coarda pot fi polarizate. Dar undele-son ore sin t polarizate?

16. Daca doua unde- interfera, perturba una din ele propagarea celeilalte?

17. Cind interfera undele, exista o pierdere de energie?

18. Care slnt limitele lungimilor de unda pentru undele sonore in aer? Dar in otel? Se ~tie:· Vmin = 16 Hz

"max 20 kHz Vaer = 3~0 ffi/S

Votel = 5 000 mjs.

R: 21,25 m; 17. • 10-3 m; 312,5 m: 250 · 10-3 m.

19. 0 unda sonora are frecventa de 4~0 Hz. Care este l_ungimea de unda a acestui sunet in aer (vaer = 3~-0 mjs)? Dar in apa (vapa = 1 ~00 mjs)?

R: 0,77 m; 3,27 m.

20. Un difuzor are un diametru de 15em. Lace frecventa, lungimea de unda a sunetului emis de el, in aer, va fi egala cu diametrul sau? '

R: 22,66 ·_102 Hz.

21. 0 mi~care oscilator.ie se propaga sub forma de "unde intr-un mediu elastic strabatlnd in 5 s o dist;:1nta de 1 700 m. Cunoscind lungimea de unda :A = 3.'• m, sa se calculeze viteza de propagare a undelor, perioada ~i frecventa acestora. -

R: 340 m/s; 0,01 s·; 100Hz.

22. Sa se calculeze lungimea de unda a oscilatiilor cu frerventa de 1,32 kHz ~tiind c<i acestea se propaga cu viteza de 330 mjs.

R: 0,25 m.

23. Sa se calculeze viteza maxirpa a particulelor mediului prin care se propaga o und;1 cu frecventa v = 0,5 kHz ~i cu amplitudinea.A = 0,25 · 1 o-2 m. Se ~tie ca ·J.. = o, 7 m. Se cere viteza de propagare a undelur in mediul considerat.

R: vm·= 27tvA = 0,785 mjs; Vf = J...v = 350 mjs.

24. Care este viteza de propagare a undelor transversale intr-un fir de cupru cu densitalt~a relativa p = 8,9 ~i sectiunea S = 1 mm2 1ntins de o f~rta F 100 N?

R: 'l!t = VFfpS = 106 ms.

304

25. Un fragment de metal este analiza! milsurihd Yilew snnetului lntr·-o bar::i racuta din aoest Hletal. Bara ar•e masa de ;Jo kg ~i volumul de 2 • 10--a rna. Viteza sunetului In _i}~r·a (:l:::;te <fe 4 QQO mjs. Sa ~e calculeze modulul dt> eJostic1tate.

26.- 0 sursa produce oseilatii en frecven~a de 50 Hz carr se propaga ~·n dona medii direrit(•. Cunosclnd vitezele de propagare v1 5 ono m/s :;;i u

2 = 14!'JO rn/s in celr. doua medii

sa se ca lculeze J ungimile de unda eor·es p tlll7.<Hoa ''".

U: J..1,2 ~~~~ = 100m; 29m.

" 27. Fie u1 3 sin 200 "' (mm) ~i u, 3 sin { 2uu r.l .,_ ~) ( mm) ecuatiile care descr iu

os_eilatiile a doua surse S1 ~i.Sa situate la 6 em una de alta. Sursele p1·od.uc oscila~ii tTansversale cu Plongatjile paralele 1;3i 1·ar't' se propaga eu viteza de 80 cm;s pe supra-

fa~a unui lichid. Sa se determine diferenta de faza intre mi~carile care sosesc tn acela$i moment intr-un punct situat la distanta dl de sl ~i la distanta da de s2.

d2- dl_ ~ R: 200" -----.

v :l 28 F . ·1 f'' • 21t ( . . 21t ( • 1e osc1 a yule u1 = 3 sm - t mm) ~~ u2 = 4 sm - t mm) care produc unde cores-

T T · punzatoare. Sa se calculeze ramplitudinea undei rezultate prin interferenta eel or doua unde intr-un punct M, ~tiind ca diferenta de drum este d = 0,50 em, viteza de pro-pagare v 0,5 cmjs ~i perioada 4 s. ·

R: .:lq> = 21t dfi., A =VAT+ A~+ 2A1A

2 cos ~(/) ~ 5 em.

29. Prin suprapunerea a doua unde produse de doua surse care oscileaza cu aceea~i ampli­

tudine A1 = 5 cm,aceea9i frecventa'v = 1kHz ~i car,e sosesc defazate cu .:l.:p = 2:..

:intr-un punct, rezulta o oscilatie cu amplitudinea. A. -~tiind ca undele se propaga in . 3

mediul respectiv cu viteza v = 2 000 m/s, se cere sa se scrie ecuatia oscilatiei rezultante ~i diferenta de drum in punctul considerat.

R: A= 2A1 cos Ll.:p, u = 8,65 ·l0-2 sin 21t (~t-- .x); .r2

- x1

= ALl(/)=~ • 2 · 1 o-a 2 21r 6

30. Dona surse emit oscila~ii plane descrise de ecuatiile u1

= 3 sin 2" t (em) ~i u, = 4

·= 2 siu 2:< t iem ). l\ii 8<' "" lculeze: a) "mplilu<Jinoa nndei •·ewlta nte din I r. un puno·l i" 4

rare diferenta 1ntre drumul parcurs de cele dotia unde este de 5 • 1_0;3 m. VitezP1e dt=> propagare ale telor doua unde sint egale ~i au valoarea v =' l0-·1 m/~. b) Ce V<'l loaN~ ar trebui sa <dha diferentele de. ~rum parcurse de eele doua nndf'pltl<lla punctul c vnc siderat, pentru ca amplitudinea sa fie maxima? Se considera undele plane.

~0 - Fizica cl. a IX-a 305

R: 4,9 · t0- 2 m: 2k ~l. 2

31. 0 surs& 0 aflata tntr-un mediu elastic produce oscilayii de forma u = 0,25 sin 100 1rt (m~). Lungimea de ;,unde a ·undelor j>lane longitudinale produse este • = 1om. a) Dupa cit timp va incepe sa oscileze un punct M situat la distanta x = 8 m f~ 1a de sursa? b) Sa se afle defazajul In tre sursa ~i punctul M. c) La ce dis tan \3 pe

dreapta Oil.f se afla doua punete ale caror oscilatii sint defazate intre· ele cu ~ ?

R: t = xT . = 16 • 10-a s: ~~ = .!- 360°=288°; 0,83:1 rn. ~ ~ .

32. Cum putem localiza experimental pozitiile nodurilor ~i ventrelor intr-o coarda? Dar intr-o coloana de aer?

33. 0 coarda cu lungimea l = 15 m fixata la un capat prime~te la celalalt capat impulsuri ritmice transversale de mica amplitudine cu frecventa v 2 Hz. Viteza de propagare a oscilatiilor in coarda este v = 20 . mjs. Se negli,ieaza toate amortizarile. Se cer: a) lungimea de unda; b) numarul de fuse ce se formeaza in coarda. . '

R: A. V· 2[ = tom; N = - =--= 3.

v "A

PROBLEME RECAPITULATIVE*

l. Un punct materialse mi~ca pe un cere de raza R = 2,00 m. Care stnt distantele par. curse ~i vectorii deplasare dupa: a,) o ~esime de cere; b) un sfert de cere; c) o juma tate de cere; d) trei sferturi de cere; e) un cere intreg?

1tR R: a)- = :!,10 m; R = 2,00 m;

3

b) 1rR = 3,14 m; n V2 = 2,82 m; 2

6,28 m; 2R = 4,00 m;

31tR d) 9,42 rn; R V2 = 2,82 m;

2

e) 27tH = 12,56 m; zero.

2. Un automobil parcurge rectiliniu pe strada o distanta d1

10m, face l:n viraj cu raza R 10 m ~i intra intr-o strada perpendiqilara pe care merge d

2 = fo m. Sa i se

deseneze traiectoria. Care sint: distanta -parcursa l?i modulul vectornlui deplasare?

-* R: d ~ 36 m; I ~r I = 28 m.

3. Un biciclist se misca rectiliniu uniform pe o bidcleta. Cum va arata traiectoria unui punct de pe perif~ria (obada) rotii !ntr-un sistem de coordonate Iegat de: a) roata; b) rama bicicletei; c) Pam!n t?

R: a) punct; b) cere; c) bucle, aseman:Hoa1'e unor semicereuri (cidoida).

4. Cum se schimba graficul coordonatei x $i al vitezei v in functie·de t, d;:ea schimbam sensul pozitiv ales pe axa Ox a mi~carii?

R: tree in simetricele lor ·rata ·9-e axa Ot.

5. Sa se calculeze vitezele $i accelerat.iile (mementane) m.obile1or, daei'i legile mi$carilor sint: a) x = 3 - 2t; b) x = 3t2 + I 0; c) x = 2t3 •

R: a) v "'": - 2 ; tJ = o ; b) v = of : a = I) :

--------- "" * Aceste probleme nu sint. obligatcrii.

c) v = ot;;, a = 12 t.

2ll* 307

. 1 t}. £cuapa rni~carii frect.ilinli) ur1td mobil Pst••: a}.x = 2 + 1,51 + t2; b) x = _ At2 -+ 2

+- Bt + C, unde .4, .B, C sint ronstante. Sa se scrie 1egea vitezei ~i a acceleratiei.

~: a) v = 1,5 + 2t; a= 2; b) v = At + B, a = A.

7. 0 ~lupa parcurge distanta dintre doua portHri in sensul curgerii riului in t1

= 1,00 h 9i impotriva curentului in t2 = 2,00 h. In cit timp va parcurge aceasta distanta lm co lac. de sal vare scapa t in a pa?

8. u'ii dilator aflat intr-un tren. de lungime 11 = 900 m, care se mi9ca cu viteza v1

,_-=

54. kmjh, vede un timp t1 = 60 s un tren vecin de lungime 12 '= 600 m, caro se

mi9ca para lei cu primul tren ~i in acela~i sens. Care este viteza trenului al do ilea? Daca trenurile se vor mi9ca acum. in sensuri opuse, cit timp va vedea fiecare calator trenul ceHUalt? Care sistem de coordonate este mai potrivit?

R: SC Ieg~t de primul dilator (tren), v2 = v1 ± l 2/t1 = 25 rrij':!t = 90 kmjh sau 5 . . mfs = 18 kmjh;

12 15 s sau 30 s;

vl + v2

9. Doui1 avioane zhoara unul spre celalalt cu aceea~i viteza v 5?6 kmjh fiecare. Care a fost (initial) distanta dintre ele, daca un semnal sonor (care se propaga rectilini11 uniform cu viteza c = 34.0 mjs), emis .de un nvion :;;i. reflectat de celalalt, sr intoarcp ina poi dupa un timp T 68 s?

R: d · (c + v) 2 Tj2c -=--' 25 km. 10. Un autoturism se rni~ea cu viteza v1 = 22 mjs in spalclt• unui autocamion care are

viteza v2 = 15 mjs. Cind distanta dintre autoturism ~i autocamion devine d1

= 20 m, conducatorul autoturismului se angajeaza in depa~irea autocamionului, dar ohserva · in acela~i timp un autobuz venind din sensu! opus cu viteza v

3 = 18 mjs. Cedis­

tanta minima d3 trebuie asigurata intre autobuz ~i .autoturism pentru a efectua in siguranta manevra de depa~ire, astfel ca, dupa depa~ire,. autoturismul sa fie la dis. tanta d2 = 50 m in fata autoeamionului? Care sistem de coordonate este mai potrivit?

Sc I .. . . d (d ) vt + Va R: eg<tt de camwn, 3 = 1 + d2

,= 400 m. vl- v2

11. Un tren se mi~ca cu viteza v 36 kmjh spre rasarit. Un calator de pe platforma vago-nului simte vlntul suflind dinspre nord. Cind viteza trenului se dnbleaza, cahltorul simte vintul suflind dinspre nord-est. Care este viteza :;;i direqia reala a vintului (fata de Pamint)?

12. R: v0 = v V2 14,1 m/s dinspre N- V.

intr-un atelier ~de repar·atji dintr-o gara loviturile unui ciocan se suceed la un inter­val de timp T = 1,00 s. Ce interval de repetitie a loviturilor va inregistra un calator dintr-un tren care se departeaza, respectiv se apropie de gara eu viteza v = ?2 km/h~ Sunetul se propaga rectiliniu uniform cu viteza c ,= 340 mjs.

R: T' Tcj(c l= v) J ,06 s, r'espediv 0,95 s.

308

,.. ..

13. lJn corp porne:;;te uniform accelerat fara viteza initiala ~i parcurge astfel un drum d1 = 6,0 m, dupa care merge uniform 1ncetinit ~i parcurge astfel un drum d

2 = 4.,0 m

pini'i I a oprire. ~tiind timpul total T = 1 o,o s al mi~carii, si'i se ralculeze acceleratiile in acele doua mi:;;cari.

14. De un tren de masa M = 100 t, care merge rectiliniu uniform, se desprinde la un moment dat ultimul vagon de masa m ~ 10 t. Acesta parcurge o distanta d = 9,0 km pina se opre~te. La ce distanta de vagon se va gasi in acest moment trenul, daca forta de tractiune a locomotivei R J;:ilmas a(:eea9i? Toa te fortelp de frecare sint pro­porJionale cu grr.11tatea.

M R: s.,..,. d--·-.= 10,0 km.

M-m

15. Peste un scr:ipete ideal este trecut un fir cu doua corpuride mase m1

, m2

la eapete. Care este raportul maselor m2/m1 daea dupa un anumit timp corpul cu masa m

2

a cohorlt cu n =·s-a parte din distanta pe rare el ar parcurge-o in caderea liber<1 In acela~i interval de timp?

(n + 1)/(n -- 1) ~""' 1,5.

16. Un corp este aruncat vertical in sus cu o viteza initiala v0

10 mjs. Care este vite-za v1 a corpului la timpul t1 , atunci dnd corpul se afla la o inaltime egala cu o frac­tiune k = 0,19 din inaltimea maxima la care el poate ajunge? Sa se reprezinte pe aceea~i diagrama viteza ~i coordonata corpului in functie de timp.

R: V1 = ± v0 Vt=k -""·" ± 9,0 injs:

g 1,02 s ~i 19,4 s.

17. Sa se irnparta inaltimea h = 100 m de Ia care cade liber un corp in n vale de lungimi si(i = 1, 2, 1, ... 10), parcurse in acela!?i tirnp fiecare. 10 inter-

18.

2i- 1 R: si "'= --- h(= 1, 3, 5, 7, ... , 19m).

n2

Doua corpuri sint aruncate vertical in sus, cu aceea9i viteza initiala v0

= 4,9 mjs, Ia un interval T unul dupa altul. Sa se determine T astfel ca cele doua corpuri sa se intilneasca lao inaltime egala cu o fractiune k = 0,36 din inaltimea maxima la care ele pot ajunge.

2vo v--R: T - 1 - k = 0,8 s. 'g

19. Delao 1naltime h = 4,9 m cade liher un corp. Cu ce vitezi'i init.iala v0

trebuie aruncat .in jos de la aceea~i inaltime un al doilea corp, la un interval -r = 0,5 s dupa prirrllll, pentru ca cele dona corpuri sa se 1ntilneasr·i'i chiar Ia suprafata Pamintului?

R: v0 = gT. 2 V'2hfi- T = 7,35 m!

,s. 2 V2hfg- ...

309

20. Doufl. corpuri slnt aruncate verti~al tn sus c11 vitezele initiale v01

=: llo rnjs ~i fJ

02 = ~0 rn/s, corpul 2 la un interval .. dupa prirnul. Care sint limitelP permise ale lui -. pentru ca cele doua corpuri sa se poata fntilni in aer? (Se va lua g ,.;_ 1 u m/s2.)

Rr 2 Vot - Vo2 2voi 4,0 S r< T < --g

12 s.

21. Un corp este aruncat vertical in sus cu viteza initiala v01

= 9,8 rnjs. Dupa un timp­.. = 1,0 s se arunca dupa el un al doilea corp. Sa se afle viteza initiala v

02 a acestuia

astfel ca cele doua corpuri sa se inUlneasca in momentul dnd corpul 2 este Ia lniil­timea sa maxima. Sa se repre7;...inte coordonatele in funepe de timp pe a(·eea~i diagrarna.

R: v02 = 7,0 mjs.

22. tp. drumul unui glonte tras orizontal s-a a~ezat un paravan de carton la distanta d. $tiind diferenta de inaltime h dintre Plll?Ca 9i orificiuf facut de glonte in paravan, sa se afle viteza v0 a glontelui ~i unghiul ex. sub eare love~te glontele paravanul (fata de dirertia orizontala)'.

2h R: 1'0 = d V gj2h; tg ex. = - . d

28. Un corp a fost aruncat orizontal dintr-un turn !;li a eazut pe pamint dupa 't" = 0,50 s Ia distanta d = 5,0 m (pe orizontala). Sa se afle: 1nalpmea de la care a fost arunrat corpul, ~iteza initiala v0 , viteza finala v' ~i unghiul format de ea cu orizontala.

h l .Q d/ I R: = -g-.· = 1,22 m; v0 = -. = 10 m s; 2

· v' V vf + 2gh = lt,l m/s:

tgcx.' V2gh/v0 ; ex.'= 26°21'·

24. Un corp este aruncat cu viteza v0 = 10 m/s sub un unghi cx.0 45o fata de orizontala. Corpullove~te un perete situat Ia o distanta d = 3,0 m. Sa se afle: pe ce portiune, ascendenta sau descendenta a traiectoriei, se produce c;iocnirea; la ce inaltime se produce ciocnirea; viteza v' in momentul ciocnirii?

'gd2 R: ascendenta (b = 10m); h = d tg cx.0 - = 2,1 m; 2v5 cos2 cx.0

v' = V v5 - 2gh = 7,6 mjs.

25. intr-o sanie care 1unerti 1iher, fara frecari, pe un plan inclinat de unghi ex. fata de orizontala, este st1spendat de tavan ,printr-un fir un corp. Cu ce unghi e fata de ver­ticala deviaza firul in pozitia de echilibru relativ a ·corpului?

R: e = 0: (firul Ya fi perpendicular pe planul inclinat).

26. Doua corpuri de rnase m1 = 3,0 kg, m2 = 2,0 kg sint a~ezate pe un plan orizontal ,:;j legate· intre ele printr-un fir orizontal care 'rezista' pina la o tensiune maxima Tnnx = 100 N. Coeficientul de frecare la alunecare este acelal?i pentru ambele corpuri. Cu. ce forta orizontal~ maxima putem trage corpul m

1 pentru a nu se rupe firul in

Urnp11l mi~carii?

R: Fmax

310

27. ~tiind ca pentru a mentine in echilibru un corp pe un plan inclinat dEhmghi rx = 30°, trebuie aplicata corpului o fortil minima normala pe plan de n = 2,5 ori mai maro decit o forf<l minima orizontala, sa se calculeze coeficientul de frecare dintre corp ~i pla_n.

R: 11 t'OS ex.

----- = 0,43. n -sin rx

.28. De-a Iungul unui plan inclinat de unghi ex. = 45° este Jansat in sus un corp cu viteza . initiala v0 = 10,0 m/s. Coeficientul de frecare Ia alunecare 11. = 0,20. Sa se afle: tnaltimea h Ia care se ridica corpul, viteza v' cu care revine corpul inapoi la baza pla­nului, timpul de urcare ~i timpli1 de coborir·f'.

R: h = v5/2g(1 + 11.ctg ex.)= 4,25 m; v' = v0f(tg ex.~ f.l): (tg ex.+ (1)] 1 12 = 8,16 mjs; tu = v0 /f5 (sin ex. + !J.COS ex.) = 1,2 s; tr. -;=: ·(,v,J!g) (sin 2 ex. - f1. 2 cosz cx.)-1!2 = 1,5 s.

29. 0 pana cu unghi de deschidere ex. = 30° este batuta intr-un butue de Iemn. Care tre­buie sa fie coeficientul de frecare minim intre pani\ ~i butuc pentru ca pana sa nu sara ina poi?

R: fl = tg _:_ = 11,27. 2

80. Doua corpuri de mase m1 = 3,0 kg, m2 = 2,0 kg sint a~ezate pe un plan tnclinat de unghi ex. = 30° ~;>i cuplate intre ele printr-o tija fina paralela cu planul inclinat. Coeficientii de frecare la lunecare sint respectiv (J. 1 = 0,20 9i f1.

2 0,30. Sa se calculeze

acceleratia sistemului l?i tensiunea din tija.

R: a

81. Se tra_ge un proiectil in direcpe vertical<l, de Ia suprafata Pamintului. Sa se caleuleze in<lltimea maxima la care urea proiectilul, daca viteza lui initiala este de 1 o kmjs ~i raza Pamintului de 6 400 km. Se neglijeaza frecarile l;li rotatia Pamtntului.

(IndicaJie. Se considera sistemul p:rokctiJ-Pamint un sistem izolat ~d se aplica legea conservarii energiei.)

~R: 2,5 • 104 km.

32. De la distanta h de la supraf'ata Pamintului se lasa sa cada liber un corp. Care este viteza Iu~ la suprafata Pamintului,daca si:nt cunoscute g

0, Rp l?i h (h ~ Rp)?

(Indica{ie. Se aplica legea conservarii energiei, pentru sistemul corp-Pam1nt).

U: v2 = 2h g0 ~ Rp Rp + h

38. Vn vagon cu masa il-'1 = 10 tone, supus acpunii unei forte de frinare eonstanta, coboara pe un plan inelinat eu unghiul o: (sin ex. = 0,05). Vagonul nn are viteza initiala

311

~i, atinge viteze v = 12 mfs, dupa cp a parrurs distauta d = 200 m. Sa se calculezn forta de frinare (g = 10 m/s2).

R: F M ( g sin (X - ;; ) = 1 300 N.

34. Un automobil cu masa M = 800 kg coboara cu viteza inipala v0

= 60 km/h, pe un plan inclinat cu unghiul ot fata de orizontala (sin ot = 0,0/f). Forta de tractiune a moto. rului este constanta. Automobilul sose~te Ia baza planului cu viteza v

1 =· 90 km/h,

dupa ce a parcurs distarita d = 200m. Forta de frecare dintre cauciucurile automobi­lului ~i drum este Fr ~ 1 000 N. Sa se calculeze forta de tractiune F(g = 10 m/s2).

R • F = M(vr- v3) I F - 4Mg = 1 '-00 N' • 2d I f 1 00 - ~ .

35. Un ciocan cu masa m = 1 kg love~te cu viteza v = 5 mjs un cui care patrunde -in lemn cu x = 1 em. Sa se calculeze forta de rezistenta a Iemnului (g = 10 mjs2). Se va neglija greuta:tea ciocanului in raport cu celelalte forte.

mv2

R: Fr = -- = 1 250 N. 2x

36. Un pendul gravitational simplu de masa m = 100 g1~i de lungime l = 80 em se inde­. parteaza de pozitia de echilibru cu un unghi (X = 30°. a) Sa se calculeze viteza ~i ten­

. siunea diri fir -cind pendulul trece prin pozitia de echilibru.

·b) Sa se demonstreze ca pentru o anumita valoare a unghiului ot, tensiunea din fir, la trecerea pendulului prin pozitia de echilibru, este egala cu dublul greutatii. Sa se calculeze in· acest caz aceasta valoare ot

1 a unghiului (X.

R: a) v2 = 2gl (1 - cos ot); v = 1,45 m/s; T . mv2

mg +- = 1,24 N; l

b) T 1 = mgcos a.1 + 2 mg ( 1

37. De ce deviaza ramura unui copac a tunci cind de pe ea i~i ia zborul o pasare?

R: conservarea impulsului.

38. De un aerostat, aflat tn repaus in atmosfera, este legata o scara de sfoara pe care sta un om. Masa aerostatului cu scara este M, iar a omului m. Ce viteza va avea aero­statul,daca omul incepe sa urce pe sca'ra cu ·viteza u fafa de scara? Cita, energie cinetica dezvolta omul punindu-se in mi9care?

, m !\ l mM R: v = - u· l..l.Ec = - - u2. m+M' 2m+M

:J!I. Doi patina tori de mase m1 = ?0 kg ~i m2 = 50 kg, tinind de capetele unei sfori, stau pe gheata lucwasa unul in fata celuilalt. Primul din ei incepe sa traga de sfoara scur­tind-o cu viteza u = 1,20 mjs. Cu ce viteza se vor mi9ca patinatorii? (Se neglijeaza frecarile.)

0,50 m/s; V2

312

__ m_t_u_- -0,?0 mjs. m1 +mil

40. Trei barei merg una dupa alta en viteza v fiecare. 1n fieeare barca se afla cite 1111

om, astfelincit lllasabarcii~ia omului este M, iadn barca din mijloc mai e-xista doi sacidemasamfiecare. Din barcadin mijloc stnt aruncati cei doi saei, 1111111 spr·e l).l;lrca din faf,a, celalaltspre barca din spate, nt aceea~i vitPz<'t relativa u {afcl de barcii inainte de aruncare. Care vor fi vitezele finale ale barcilor, daca sacii sint aruncati: a) simultan; b) succesiv?

R: a) v1 = v + --.!!!._ u, v2

Jill+ m rn

v, v3 = v- ------ u; M-t-- m

b) V1 = V + m. M+m

m2u m(M-+ 2m) u, v2 = v + ---:--_----; v3 = v - ------ u

M(M -t- m.) . (M + m)2 • m(M +2m)

sau v1 = v + ------ u; (M -t- m) 2 v2 = v------

}lf(M + m). m

v3 = '1'- u. ·M+m

4:1. Dona bile de mase m1 = 0,173 kg, m2 = 0,200 kg se mi~di pe directii perpendiculare cu vitezele v1 = 10,0 mjs, respectiv v2 =. 5,0 mjs. Dupa ciocnire hila m

2 se opre~te.

Care va fi viteza primei bile dupa ciocnire? Sa se traseze diagrama conservarii impulsulu i total.

42. Fata de care puncte se conserva momentul cinetic al unei particule care love~te oblk ~i perfect elastic un perete .(fig. 5.8)? Care este momentul cinetic in raport cu nor­mala Ia perete.'in punctul de contact?

R: fata de punctele normalei la perete in punctul de contact; zero.

43. La pendulul conic (fig. 3.61), fata de care punct se conserva momentul cinetic al particulei ~i ce valoare. are? Care este variatia pe unitatea de timp a momentulu i dnetic fata de punctul de suspensie? ·

R: fata de centrul cercui_ui; L = m_vr = ml si~2 (XV g~cos ot; L este vertical;

-+ ~ -+ ~ I AL/ D.t l = I M I mgr = mgl sin ot; ALf!J.t M este tangent I a cere.

44:. 0 particula se mi~ca Iiber, fara frecare, sub actiunea fortei de greutate, pe suprafata interioara a unei sfere. Sa se arate ca momentui cinetic al particulei fata de diame. trul vertical al sferei se conserva.

4:5. Doua particule se mi9ca rectiliniu uniform cu viteze egale in sensuri opuse pe doua drepte paralele. Sa se arate ca momentul cinetic total in raport cu orice punct din spatiu, nu depinde de alegerea acestui punct.

-+ ~ -i>

R: L = (!'1 - r2 ) 'X mv.

46. 0 hila de masa m = 0,100 kg, legata de un centru fix printr-un fir de lungime l1

= = 0,60 m, executa o mi~care circulara uniforma pe un plan orizontal neted. fara frecari cu turatia n1 = J,OO rotjs. Ce turatie va avea bila

1 daca. firul se scurteaza

pin a I a Iungimea l 2 = 0,30 m? Ce lucru mecanic a efectua t forta care a scurta t firul?

1 1 . 2 2( 2 2 ) 4,0 rot,s; W = - m41t2ntlt ltfl2- 1 = 2,12 J. 2

313

Fig. It~47. Pt-mhu problema 47.

Fig. R-48, Pentru prohh'ma 4g_

~L~~----------------

47. Un cilindru de masa m1 are tnfa~urat in jurul sau un fir de care este suspendat Ia capatulliber un corp cu masa m2 (fig. R-47). Calculati tensiunile din fire ~i acce]p. ratia cu care coboara cilindrul cunosdnd raza R,~i momentul de inertie al cilindrului I.

48. Pe un plan inclinat de unghi a: este a9ezat un corp rotund, omogen, de masa m, razii. R ~i moment de inertie I. Corpul rotund este legat de un alt corP. de masa m

2, orin

intermediul unui fir inextensibil trecut peste un scripete cu inertia negl\jabila (fig_ R - 48). a) Care este coeficientul de frecare minim necesar pentru ca sa nu alu­nece corpul? b) Sa se calculeze acceleratia mi~carii corpului ~i tensiunea din fir: Apli-

. catie numerica: corpul este o sf era; m1 = m2, a:.= 30°, !l 0,20.

lndicati('. Din relatiile: m1g sin a:- T -Fr = fflJa1

; T- mag= m2a

2; aa- a

1= eR;

(Pr- T) R = ei, se scot Fr, a1 12i T. Din conditia Fr < !J.gm cos a: rezulta b

!lmin < !l·

R: a) !lmin = 0,154 < {l, deei nu avem alunecare b) a 0,205 g; T = 0,47 m

1g.

-19. Un fir trecut peste un scripete de inertie neglijabila are la un capat un cilindru plin de masa m1 ~i raza R iar la celalalt un corp de masa m2 (fig. H-49). Sa se afle accele­ratia mi9carii corpului m 2 , in cazul cind cilindrul nu aluneca pe suprafata orizon­tala.

m1~1· >;;;;;;~ .

m2

Fig. R-4Sf. Pentr11 problPrn::-1 t_.g,

314

(lndicaJie. Daca cilindrul se rostogole9tf~ pe plan atunei se poat.e gcrie:

T +Fr.,., {1/2)m]a; m~g- T ~,, mga; (T- Fr) R (1/2) m1R 2 .!!:..

m2

~i de a lei rezulta a.)

50. Un om cu masa m1 se deplaseaza pe circumferinta de raza r a unui 4isc orizontal, aflat initial in repaus. Discul are masa m2 9i raza R ~i se poate roti u9or in jurul unui ax vertical care trece prin centrul sau. Cu ce viteza unghiulara (J) se rote~te discul, cind omul se deplaseaza cu viteza v fata de disc?

(IndicaJie. Se scrie conservarea momentului ~inetic pentru cele doua corpuri: L = =I (J) + I 1

(J) unde L-= m1 rv; I (J) = rnomentul cinetic al discului: /1

(J) = momen­tul cinetic pentru om. De aici rezulta valoarea lu~ (J).)

R:

51. Cind forte actioneaza asupra unui punct material. Punctul de aplicatie comun al for­telor se afla intr-unul din virfurile unui hexagon regulat, iar extremitatile.lor in cele­lalte virfuri. Sa se afle rezultanta fortelor, luind marimea, celei mai mari dintre ele egala cu 1 N.

R: R = 3 N.

52. Doua resorturi R1 9i R 2 de mase neglijabile ~i de lungirni egale, se alunges.c respectiv cu D.l1 = 1 em, ~ub actiunea unei forte deformatoare F

1 = 0,1 N ~i cu lll

2 = 120 mm,

pentru o forta F 2 = 1 N. Se suspend& resorturile in doua puncte C1

~i C2

aflate in acela9i plan orizontal. Se fixeaza o tija rigida, de masa neglijabila, la extremi­tatile libere A 1 ~i A 2 , ale resorturilor. ,Apoi.se atirna o greutate G intr-un punct D ·al tijei.

a) Sa se determine pozitia punctului D, caracterizata prin raport.ul DA1/DA

2, pentru

ca tija AfA2 sa ramina orizontala.

b) Sa se determine alun~irea suplimentar;l M a rescrturilor,ctnd greutatea G cre$te f'u -~ L\G = 1 N.

53. Un cilindr·u gradat are grosimea e

R: a) DA 1/DA 2 = k2/k1 07~ 5/6;

D.G b) D.l = ~-- = 5,45 nm.

k1 + k2

2 mm, inaltimea h = 20 em 9i diametrul interior. D1 = 4 c~. Baza eilindrului are diametrul D2 :::;=:: 6 em 9i grosimea e = 2 mm:

a) Sa se determine pozitia centrului de greutate al cilindrului gradat., in raport cu punetul ·aflat la jumatatea inaltimii cilindrului.

315

b) Se umple cilindrul cu ap<l. p1na la jurnatate, sa se determine ~i in aeest eaz poziti;t centrului de gr·eutate al cilindrului ln raport cu aeela~i punet.

R: a) ;x;

54. Un tub cilindric care contine o anumita cantitate de mercur, plute~te in apa scufun­dlndu-se cu h = 10 ern din lungimea sa. 1ntr-un lichid de densitate necunoscuta, tubul plute~te scufundindu-se cu h' 12,5 em din lungimea sa. Sa se determine densitatea relativa a lichidului, fata de apa.

h R: d = - =-= 0,8.

h'

55. Pe un carucior se afla un vas cilifldrir, in _ci:lr€ ~e gase~te apa pina la inaltimea h, faFi de baza cilindrului. 1n peretele cilipdntlui, p~ parti diametral opuse,sint facute dow1 orificii identice, cu sectiunea S 10-a m~. Un o'rificiu se a·fla la inaltimea h

1 = 0,25 m,

iar celalalt Ia inaltimea h2 0,5 m, fata de baza cilindrului. s::t se determine sensul ~i intensitatea fortei ce trebuie aplicata caruciorului, pentru ca acesta sa ramina in repaus, dnd se deschid orificiile ~i prin aces tea incepe sa_ curga apa.

R:F

56. Un ceas cu pendul care bate secunda ('f0 = 2 s} la suprafata Pamintului este muta,t la o altitudine h = 200 m in aceea~i localitate; Ce influenta va avea aceasta mutarc asupra mersului ceasului? Cu cite secunde se va modifica mersul lui in D = 2ft: ore? Raza Pamintului R = 6 lt:OO km. ·

1) = - 2,70 s~ intlrziere.

57. Densltatea unui 1:orp de mici dimensiuni este t' = 2,6 ·to~ kg/m 3 • Acest corp esto suspendat de un fir ::;;i determinat sa oscileze intr-un mediu cu densit.atea Po ~ 1,3 kg/m3. J\fbti ce relape existalntre perioada de oscilatie 1' a ~.end~lulm care cscileaza_ ln acest mediu ~i perioada lui de oscilatie in vid 7'0 • Se neghJeaza fortele de frecare.

R: T = T, v~ !p~ 316

58. $tiind ca energia totala a unui oscilator armonic este E 2.. kA 2 ~i energia poten­:l

trala £ 1, ooc ~ ky2

, sa se-rrprezinte iulr-un sistem dt> axt• E ~i y gmficul erw.rgiei 2

cinetice ~i potentiale a oscilatorului armonic.

59. 0 oscilatie armonica y =A sin w t se propaga ca o perturbatie transversala cu vit0za

v = 7,5 · 10-~ m/s de la orig-ine de-a lungul axri z, A = 1 . 1o-2 m ~i w = 7t/2 rad/s. Si'i se determine: a) perioada T, frecvr11ta ·v :;;i l11ngimea de unda A; b) ecuatia undei· c) irnaginea momentana (un desen Ia sc·;ll'<tl a JWrlurbatiei dupa t

1 = lt:s· t _' 6s· t __ '

~ s. - I , .) 2- '3-

60. Legea de propagare a undei plane intr-un mediu elastic, omogen 9i izotrop este y =

.A sin 27t (_!_ - -=-). a) Cum se reflecta planeita tea undei in aceasta expresie? T A -

b) Ce conditie trebuie pusa intervalului de timp t, pentru ca expresia matematica a legii sa aiba sens fizic?

R t X X : daca unda pleaca din x = 0 la t = o at unci -- ~ o sau t ~ -- • T A v

HL Dona s~1rse de oscilatie S 1 ~i S 2 emit unde de amplitudine A1

2 mm ~i respectiv A2

=-5 mm. Frecventa undelor emise este v = 160 Hz, iar viteza lor de propagare in

mediul considerat este v = 320 mjs. Sa se afle amplitudinea de oscilatie a unui punct sit nat la distanta x 1 = 6,5 m de prima sur2a 9i x 2 = 32/3 m de a doua sursa, 9tiind ca cele doua surse oscileaza in faza.

R: A= 6,8 mm ..

62. () ~·iiniuta de ma~a m !nneca liber pe un plan inclinat de lao inaltime 'h, a poi se opre9te

unrleva p.e planul orizontal. Ce lucru mecanie trebuie efectuat,.pentru a aduce saniuta· inapoi Ia loCJ,d de plecare?

R: 2mgh.

63. De ce vina _de apa dintr-un r-obinet (in curgere lenta :;;i lin<1, neturbulenta) se ingusteaza trep !at pe masura ce coboarii?

R: Sv = const, v cre~te, deci S scade.

64. Putem masura masele cu un dinamometru,daca avem Ia dispozitie 9i o ruti(' cu etaloane de masa?

R: da. (prin metoda substitutiei).

1}5. Un corp este tirit uniform pe uu plan orizontal cu unghiul de frecare tp, cu ajutorut unei forte care face unghiul ~ cu orizontala. Pentru ce valoare a unghiului « forta de tractiune va fi minima?

R: ~ ~ tp (un~hi de frcc:arei.

317

66. Doi pescari trebuie sa treaci1 peste un rlu exaet ln punctul opus. Amindoi vislese cu aceea~i viteza ·Vb = 2,0' rnjs fata de apa, iar viteza apei este peste tot va = 1,2 m/s. Primul orienteaz<l barca astfel indt inainteaza rectiliniu ~i ajunge exact rn punctul opus tntr-un timp t1 • Celala~t orienteaza barca perpendicular pe tarm, ajunge Hnga celiHalt mal, apoi visle9te de-a lungul acestui mal pina ajunge in acela1i;i ptinct final fn timpul t2• Care este raportul t1jt2 ?

R: tlft2 = "'\ /vb- Va = 1/2. v Vb + Va

67. {Tn pescar mergind cu barca in susul riului scapa,in dreptul unui pod, un colac in api'L Dupii un timp "t' = 1/2 h i~i da seama de aceasta 9i se intoarce inapoi, gi1sind colacul la distanta d = 5,0 km mai departe de p:od. Care este viteza apei, dacii pescarul visle~te mereu cu aceea~i intensitate? Care sistem de referinta este mai potrivit?

R: SC legat de apa; v = dj2"t' = 5,0 kmjh.

68. Experienta arata ca· particulele mici care cad liber in aer inUmpina din partea aerului o fort& de rezistenta (de frecare) proportionala cu viteza particulei :;;i orientata in sensul

/ ~ ~

op11s vitezei: Fr = -kv, unde k este o constanta de proporFonalitate. Viteza acestor particule atinge destul de repede o valoare maxima (limita) constanta. Sa se calculeze aceasta viteza limita de cadere Iibera, daca masa parti.culelor este m=10 mg ~i constanta dn proporponalitate k = 2,0 • 1Q-3 N • sjm.

R: c = mgfk = Et,9 cmjs.

69. 0 bi1i1 de masa m = 100 g este suspendata printr-un fir de tavanul unui vagon. Cind vagonul merge uniform frtnat, firul eu bila se afla in echilibru relativ, deviat cu unghiul 6 = 60°, fata de verticala. Sa se afle acceleratia vagonului :;;i tensiunea din fir.

R: a= -gtge = -17 m/s 2 ; T = mgjccse = 1,96 N.

70. Un tren in cepe sa frineze uniform,. parcurgind astfel o distanta s = 180m plna Ia oprire. Un pendul sim2Iu suspendat tn vagon este deviat (la echilibru relativ) cu unghiul 6 = 5~ in timp.ul frinarii. Care a fost viteza initiala a trenului?

R: V0 V2gs • tg6 = 17,6 mjs.

71. Un corp este aruncat (in vid) cu viteza initiala v0 = 20 mfs sub un unghi oc.0

= 45° fata de orizontala: Dupa cit timp l?i la ce inaltime vectorul viteza formeaza un unghi ot = 30° cu orizontala?

R: t = ~.~cos ot0 (tgoc.0 - tgoc.) = 0,63 s; g

1 2 Y = - vo cos2 oc0(tg2ot0 - tg2oc.) = 6,8 m.

2g

72. Dona corpuri sint aruncate din acela~i punct cu aceea~i viteza initiala v0 7"' 1 o mjs

sub unghiurile oc1 = 30°, respectiv oc2 = 60°. Care este distanta d dintre corpuri dupa t=2,0 s?

73. 0 tinta de pe tin deal se' vede sub unghiul ~ fata de orizontaHL Distanta pe orizontal:"t pina la tinta este d. ~tiind viteza initiala v0 a obuzului, sa se afle unghiul oc.0 de tragere. Care este viteza minima necesara pentru a a tinge tinta?

2 ~-2 ---Vo vo 2v0 , R: tgoco = ~ ± ---- tg.~ - 1; v0 ~

gd g2d 2 gd <

gd (. --· Sill cos/ ~

~ + 1).

318

74. lln corp este a!?ezat p{' un plan indinat de unghi ot = 60", fara frecari.Cu ee aeceleralie · va Iuneca liber corpul de-a lungul planului inclinat, dad\ aeesta este tmpins cu o ac~~e­

]eratie orizontal~ a' .= 5,0 mjs2'?

R: a = g sin oc. ~ a'cosoc. = 6,2 m/s2 sau 10,7 m/s?.

75. Intr·-un lift care se mi:;;cii cu o acceleratie a' = 2,2 m/s2 lndreptaUi in sus, este fixat pe podea un plan indinat neted fara frediri, care formeaza un unghi ex = 30° eu po­deaua. Cu ce acceleratie va cobori liber de-a lungul planului, un corp de masa m = 1,0 kg a9ezat pe acest plan inclinat? Care va fi apasarea pe plan'?

R: mgsinoc. = m(a- a'sinoc.): ~N mg('OS ()(. = macos rt.,dP unde a= (g +a') sin oc. = 6,0 m/s2 : 1V m(g + a')eosoc. = 10,4 :\.

7(). Dr o parte 9i de alta a unui dublu plan inclinat (unghi diedruf<·.u unghiu,rile rt.1 =: 30"

~i oc.2 = 60° fata de orizontala, slnt a~ezate doua eorpuri de masa m1 , respeetiv m2 , '

legate printr-un fir trecut peste un scripete ideal din virful planului. Se neglijeaza fred1rile. Diferenta de nivel dintre. corpuri este initial h 1,00 m. Dupa T = 0,70 s cele doua corpuri ajung la acela9i nivel. Care este raportul maselor·~

3,0.

77. De ce Ia elicoptere, pe linga elicea mare cu axa verticala, mai exista inca o elice mica la coada, cu axa orizontala?

R: pornind elicea mare, corpul elicopterului s-ar roti in sens invers (cons~r­varea momentului cinetic), ceea ce este impiedicat de elicea mica.

71'. int r-o bart:;1 aflata penn lac stau la capete doi elPvi. Vlasa lor ~i a bardi este M. Prirnul elev arunca celui de-al doilea o minge de masa m cu viteza u fata de apa. Cu ce viteza relativa va lovi. mingea pe al doilea elev?

M+w R: Vrel = u ---'--

M

79. Un c.orp de masa m1 love~te cu viteza v1 un alt corp de masa m2 aflat in repaus. Dupa ciocnire direct-iile de mi:;;care ale corpurilor formeaza unghiurile 611 respectiv 62 cu direc­

~

tia ini~iala de mi:;;care (v1) a primului corp. Sa se afle vitezele finale.

vl sin el sin ( el + ()2)

80. Pe o masa este intins un lant. Un capat allantulni, de care este prins un corp greu de dimensiuni neglijabile, atlrna liber peste marginea mesei. Ctnd portiunea de lant de pe masa are lungimea l0, lantul incepe sa lunece. Sa sa calculeze vUeza lantului in mo-mfjn tul cind el ~arase9te masa. ·

R: v = V gl~ Indicatie: daca m este masa lantului ~i .M masa corpului greu at unci initial: J.lf g +

l ~ l0 10 ( . l - lo ) l + + m -1

- ·.. g = tJ.m l g. Scaderea energiei potentiale . M + m -1-- g o

+ , m ~g.~ este egala cu energia cinetica (M + m)v2/2 plus lucrul mecanic al fortei l 2

. l l de free are tJ.m _Q_ g • __!!._

l 2

319