FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/aytac.gokce/SSP_4.pdf · Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 7 Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri

FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ-I

Bölüm 3. Örgü Titreşimleri: Termal, Akustik ve Optik Özellikler

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 1

Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri


M2 M1 M2 M1 M2

U2n-1 U2n U2n+1 U2n+2 U2n+3

0 л / 2a л / a –л / 2a k

w A

B C

• Normal kip frekansları. A, iki atom zıt fazda titreşir, kütle merkezi durgundur. B, M1 titreşir, M2 durgundur. C, M2 titreşir, M1 durgundur.


Titreşim genliği çok yüksektir!


Enine optik kip

Enine akustik kip



http://dept.kent.edu/projects/ksuviz/leeviz/phonon/phonon.html

http://dept.kent.edu/projects/ksuviz/leeviz/phonon/phonon.html


Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri

wtrkiAun

exp

Normal kip çözümü

k dalgaboyunu ve ilerleme yönünü belirler. A titreşim genliğini ve atomların titreşim yönünü belirler. A dalganın polarizasyonunu belirler:

Boyuna → A, k ya paralel Enine → A, k ya dik

Hareket denklemlerinde çözümü yerine yazarak 3x3 lük bir matris elde ederiz. 3 farklı dispersiyon ilişkisi (kök) 3 farklı dispersiyon eğrisi Tüm dallar akustik (orijinden geçiyor)



3-boyutta dispersiyon ilişkisi belirli bir k-yönü için çizilmiştir. Farklı bir doğrultuda çizilmesi ile yeni bir dispersiyon ilişkisi elde edilir.

Al: dispersiyon eğrisi [100] ve [110] doğrultuları için

Ge: dispersiyon eğrisi [100] ve [111] doğrultuları için



k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda ([100], [110] gibi) ise dalgalar saf boyuna/saf enine dallar 2x enine & 1x boyuna EA (TA): enine akustik, BA (LA): boyuna akustik k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda değilse dalgalar saf boyuna/saf enine karışık karakterde yüksek simetri doğrultusunda iki enine dal üst üste gelir: dallar dejeneredir. Dispersiyon eğrisinin dejenereliği ve polarizasyonu KRİSTAL SİMETRİSİ ne bağlı


k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut)

kjww Üç boyutlu örgünün dispersiyon ilişkisi

Periyodik olma özelliği: 1.BB ne bakmamız yeterli !!!

j: ilgilenilen dal

kGk jj

ww G: ters örgü vektörü

Yansıma (inversiyon) simetrisi: Tümü gerçek örgünün simetrisinden kaynaklanıyor !!!

kk jj ww

Bu simetrilere ek olarak gerçek örgü başka simetriye sahipse (ör. Dönme) dispersiyon ilişkisi o simetriyi de sağlar. Örneğin, kübik kristallerde da kübik simetriye sahiptir. kjw


k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut)

FCC örgü yapısına sahip Al nin 1.BB

Al nin 1.BB nde frekans konturları (contour)

Periyodik, inversiyon ve dönme simetrileri görülüyor. Dispersiyon eğrisinin 1.BB ndeki sadece küçük bir kısmını elde etmemiz yeterli, çünkü diğer kısımları simetri sayesinde türetebiliriz. Kübik kristalde, 1.BB nin 1/48 ini elde etmek yeterli! (Kübik dönme grubunun 48 elemanı var: GRUP TEORİ)


Bir Örgünün Durum Yoğunluğu

Bir boyutlu örgünün durum yoğunluğu

dkd

Lg

ww

1

Sürekli durum: kvsw

Kesikli (ayrık) durum: 2sin kamww

sv

Lg

w

12cos

2 ka

a

Lg

mww

Bir boyutlu örgü için genel durum yoğunluğu bağıntısı

w>wm durumunda g(w) kaybolur. 1.BB dışındaki bir bölgeye karşılık gelir. Eğrinin altındaki alan = kiplerin sayısı (N)



Üç boyutlu örgünün durum yoğunluğunu bulmak için bir boyutlu duruma benzer şekilde. j.nci dalı ele alalım: frekansı ile arasındaki konturları çizelim. ww kj www dkj

kx

ky

Bu yüzeyler arasında kalan kiplerin sayısı =

: j.nci dalın durum yoğunluğu

ww dg j

wjg



Toplam durum yoğunluğu:

j

jgg ww

Cu için toplam durum yoğunluğu (nötron saçılması deneyinden elde edilen)


Isı Sığası: Kesin Teori

Isı sığası için Debye modeli lineer dispersiyon ilişkisi sadece BB nin merkezi yakınlarında doğrudur. Bu yaklaşım BB nin kenarlarında (sınırlarında) geçerli değildir. uzun dalgaboyu yaklaşımını ortadan kaldırıp, örgünün durum yoğunluğunu kullanarak ısı sığası için genel bir denklem yazmalıyız. örgü termal enerjisi:

www dgE Sıcaklığa göre enerjinin türevi, ısı sığası:

wwwww

dgkTkTkT

kcv

22

1expexp

Isı sığasını elde edebilmek için gerçek durum yoğunluğu fonksiyonunu (g(w)) yazmak gereklidir.


Termal İletkenlik

İki ucu farklı sıcaklıkta olan bir örnek. Isı akım yoğunluğu (Q), sıcaklık gradyenti ile orantılıdır (dT/dx):

x

TKQ

Bir malzemeden ısı iletimi farklı şekillerde olur: Metallerde, ısı elektronlar (büyük kısmı) ve örgü dalgaları (fononlar) tarafından iletilir. Yalıtkanlarda, mobil elektronlar bulunmadığı için ısı fononlar tarafından iletilir.

Burada, sadece fononlar tarafından iletimi ele alacağız.

K termal iletkenlik örnekteki ısı geçişinin bir ölçüsüdür

Termal İletkenlik

Fonon Gazı Gerçek Gaz

•Hız yaklaşık olarak sabittir.

•Sayı ve enerji yoğunluğu sıcak uçta daha yüksektir.

•Isı akışı öncelikle fonon akışı ile olur. Sıcak uçta üretilen fononlar, soğuk uçta tüketilir.

•Parçacık akışı yoktur.

•Ortalama enerji ve parçacık başına kinetik enerji sıcak uçta daha yüksektir, fakat, sayı yoğunluğu soğuk uçta fazladır. Basınç sabit olduğundan enerji yoğunluğu da sabittir.

•Isı akışı sadece çarpışmalarda bir parçacıktan diğerine kinetik enerji aktarımı ile olur. (Fonon gazında bu küçük bir etkidir.)

sıcak soğuk sıcak soğuk

Isının fononlar tarafından iletimini, fonon gazı oluşumu olarak düşünebiliriz.


Termal İletkenlik

vlcK v3

1

İletim: Atomlar örneğin sol ucundan sağ ucuna doğru hareket ederler (T2 T1) Böylece, fonon konsantrasyonu sol uçta daha büyüktür ve fononlar sol uçtan sağa doğru akarlar.

Gaz modelinin kullanılması, kinetik teoriyi uygulayabileceğimiz anlamına gelir:

Cv: birim hacimdeki ısı sığası v: parçacığın (fonon) hızı l: parçacığın (fonon) ortalama serbest yolu v ve l, BB nde doldurulmuş kipler üzerinden alınan ortalama nicelikler


Termal İletkenlik & Fonon ortalama serbest yolu

Bazı örneklerin termal iletkenlikleri ve fonon ortalama serbest yollları

vlcK v3

1


Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı

vlcK v3

1

l sıcaklığa güçlü bir şekilde bağlı l fononun iki ardışık çarpışması arasındaki ortalama uzaklık l değeri katıdaki çarpışma süreçleri incelenerek belirlenebilir Çarpışma Süreçleri 1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması 2. Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar) çarpışması 3. Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması

Yaklaşık olarak ses hızına eşit, böylece sıcaklıktan

bağımsız. Düşük sıcaklıklarda T3 Yüksek sıcaklıklarda 3R

?



1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması [fonon-fonon]

Bir fonon kristalde diğer bir fononla karşılaştığında aralarındaki anharmonik etkileşime bağlı olarak saçılma gerçekleşir.

Daha önceki konularda, fononların birbirinden bağımsız olduğu harmonik yaklaşım kullanılmıştı. Bu yaklaşım yetersizdir.

Atomik yerdeğiştirmeler kayda değer derecede büyükse (yüksek sıcaklıklarda) fononların arasında anharmonik bir çiftlenim söz konusu olur. Böylece, fononlar arasında karşılıklı bir saçılma gerçekleşir.

O halde, yüksek sıcaklıklarda, fonon-fonon çarpışmaları önemli hale gelir.

Bu durumda, ortalama serbest yol (l) 1/T

Yüksek T çarpışmaya katılan fonon sayısını artırır.



2. Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar) çarpışması [fonon-hata]

Kristaldeki safsızlıklar ve hatalarda fononların saçılmasına neden olur.

Çünkü, bunlar örgünün periyodikliğini bozar ve serbestçe ilerleyen örgü dalgası kavramı bozulmuş olur.

Örnek olarak; örgüdeki atomların kütlesinden büyük bir safsızlığın yerleştiğini düşünelim.

Örgü dalgası bu safsızlıktan saçılacaktır.

Kütle farkındaki artış, safsızlık yoğunluğunu artırır, saçılma artar, ortalama serbest yol azalır.



3. Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması [boyut (geometrik) etkisi]

Çok düşük sıcaklıklarda (<10K) fonon-fonon (çok az fonon var) ve fonon-hata (uyarılmış çok az fonon var, tümü uzun dalgaboylu) çarpışmaları etkisizdir.

Saçılma gücü: çap/dalgaboyu [Uzun dalgaboyu saçılma az]

Düşük sıcaklık bölgesinde, ana saçılma mekanizması örneğin dış sınırlarından saçılmadır. (Boyut etkisi)

Bu mekanizma, uyarılmış fononların dalgaboyu örneğin boyutu ile karşılaştırıldığında çok büyük olduğu durumlarda etkindir.

Bu durumda örneğin çapı, ortalama serbest yola (l) eşittir. Böylece l, sıcaklıktan bağımsızdır.



Boyut etkisi

Fonon saçılması

cv v l K

Düşük sıcaklıklarda T3 sabit sabit T3

Yüksek sıcaklıklarda sabit sabit 1/T 1/T

vlcK v3

1

1. Örnek kesit alanı: 1,23x0,91 mm 2. Örnek kesit alanı: 7,55x6,97 mm


Fonon-Fonon Çarpışması Normal (N) Etki

3 1 2k k k

3 1 2k k k

3 1 2w w w

3 1 2w w w

k1 ve k2 dalga vektörlü fononların çarpışarak k3 dalga vektörlü bir fonon oluşturduğunu düşünelim. Eğer k3 BB içinde ise sistemin enerjisi ve momentumu korunur.

Termal özdirenç = [Termal iletkenlik]-1

Fononların akışına ve böylece termal özdirence bir etkisi yoktur.


Fonon-Fonon Çarpışması Umklapp (U) Etkisi

Eğer k3 BB içinde değil ise k3 BB ne taşınarak, fiziksel eşdeğeri k4 elde edilir. Etkin fonon dalga vektörü k4 , k1 ve k2 ye zıt yöndedir. Momentum farkı örgünün kütle merkezine aktarılmıştır.

k4

Gkk 43

Bu süreç, fononun momentumunu değiştirmede çok etkindir ve yüksek sıcaklıklarda fononun ortalama serbest yolundan sorumludur.


Normal & Umklapp Etkisi

12

k

a

0

a

Umklapp etkisi

3

12

k

a

0

a

Normal etki

3Boyuna Enine

4 w w

Documents

FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/aytac.gokce/SSP_4.pdf · Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 7 Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri