23
Working Paper 02-15 Economics Series 03 April 2002 Departamento de Economía Universidad Carlos III de Madrid Calle Madrid, 126 28903 Getafe (Spain) Fax (34) 91 624 98 75 FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN REGRESSION * Silvio Rendón Abstract This paper proposes a common and tractable framework for analyzing different definitions of fixed and random effects in a constant-slope variable-intercept model. It is shown that, regardless of whether effects (i) are treated as parameters or as an error term, (ii) are estimated in different stages of a hierarchical model, or whether (iii) correlation between effects and regressor is allowed, when the same information on effects is introduced into all estimation methods, the resulting slope estimator is also the same across methods. If different methods produce different results, is is ultimately because different information is being used for each method. Keywords: Bayes, Panel data, Nuisance Parameters, Fixed Effects, Random Effects. JEL Classification: C11, C23. * Departamento de Economía, Universidad Carlos III de Madrid, 28903 Getafe, Spain; E.mail: [email protected] Departamento d`Economia i Empresa, Universitat Pompeu Fabra, 08002 Barcelona, Spain

FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

Working Paper 02-15

Economics Series 03 April 2002

Departamento de Economía

Universidad Carlos III de Madrid Calle Madrid, 126

28903 Getafe (Spain) Fax (34) 91 624 98 75

FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN REGRESSION *

Silvio Rendón

Abstract

This paper proposes a common and tractable framework for analyzing different definitions

of fixed and random effects in a constant-slope variable-intercept model. It is shown that,

regardless of whether effects (i) are treated as parameters or as an error term, (ii) are estimated in

different stages of a hierarchical model, or whether (iii) correlation between effects and regressor

is allowed, when the same information on effects is introduced into all estimation methods, the

resulting slope estimator is also the same across methods. If different methods produce different

results, is is ultimately because different information is being used for each method.

Keywords: Bayes, Panel data, Nuisance Parameters, Fixed Effects, Random Effects. JEL Classification: C11, C23. * Departamento de Economía, Universidad Carlos III de Madrid, 28903 Getafe, Spain; E.mail: [email protected] Departamento d`Economia i Empresa, Universitat Pompeu Fabra, 08002 Barcelona, Spain

Page 2: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

����� ��� ���� ���� � �� ��������� ����������� ���������

������ ����@cKcW

@���������� � ���� �� ��������� ����� ��� � ����� ����� ������� �����K���������� ������� � �������� ����������� ���! "�#��� ����� $��������

�����

�� �� ����

Devwudfw10 Wklv sdshu sursrvhv d frpprq dqg wudfwdeoh iudphzrun iru dq0do|}lqj gl�huhqw gh�qlwlrqv ri �{hg dqg udqgrp h�hfwv lq d frqvwdqw0vorshyduldeoh0lqwhufhsw prgho1 Lw lv vkrzq wkdw/ uhjdugohvv ri zkhwkhu h�hfwv +l, duhwuhdwhg dv sdudphwhuv ru dv dq huuru whup/ +ll, duh hvwlpdwhg lq gl�huhqw vwdjhv rid klhudufklfdo prgho/ ru zkhwkhu +lll, fruuhodwlrq ehwzhhq h�hfwv dqg uhjuhvvruvlv doorzhg/ zkhq wkh vdph lqirupdwlrq rq h�hfwv lv lqwurgxfhg lqwr doo hvwlpd0wlrq phwkrgv/ wkh uhvxowlqj vorsh hvwlpdwru lv dovr wkh vdph dfurvv phwkrgv1Li gl�huhqw phwkrgv surgxfh gl�huhqw uhvxowv/ lw lv xowlpdwho| ehfdxvh gl�huhqwlqirupdwlrq lv ehlqj xvhg iru hdfk phwkrg1

MHO Fodvvl�fdwlrq= F44/F561Nh|zrugv= Ed|hv/ Sdqho gdwd/ Qxlvdqfh Sdudphwhuv/ Il{hg H�hfwv/ UdqgrpH�hfwv1

� �� ���� ��

��� �������� ������� ��� ��������� �� ��� ��������� � � � ������ ���� ��� ����

����� ��� �� � � ���� �� �������� ��� ��������� �����

��| � �� ���

�|� � ��|� � � �� ���� �� � �� ���� � � !"

��� � ��| �� � ������� �� ��#�� �� ��� ��� �����$�� �� ��� �� ���� �� ��� �� �� �

%&� �������� �� ���� �� ��� �����$���� ��| �� � �'����� �� ���� ����� �� ��| �� ��

� � �� � ���� (� � ���� �� ����� �� �����) ����������� #��� �������� ������

���� ��� � �� ������#�� �������� �� ��� �� ����� � �� ��� ���� � �� � ����$�

���� ��� ����� �� �������� �� � *���� ��� �#$���� �� ��� ��� �� �) +��� �,$����

�Fruuhvsrqglqj dxwkru= Who1=. 67 <4 957 8:79> id{= . 67 <4 957 <;:81H0pdlo dgguhvv= vuhqgrqChfr1xf6p1hv +V1 Uhqgöq,

!

Page 3: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� �

�� �������� ��� ����� �� ����� � ���� ����� ���� #��� �������$�� � ���� �� ��������

%&� �� ���� �-����) .����� � #���$�� ���� ���� � �-� ��� $�� ������� ��

���� %&� �� ���� �-���� � �� ���� �� �� � �-� ��� �����������)

/� ��������� �������� ���� 0%&�1 �-���� � � � ���� �� �� ����� � �� ��������

#� � �����'�,$� � $��� �� ��#�� 2�34" � ���� ����� ����������) 0�����1 �-����

� � ���������� �� ��� � � �� � �� �������� #� � ���� ���(� ����� �,$� �� 52�"

� ������ ����������) /� #��� ���������� �-���� � � #�������� � ���� �� � � �� 6���

$�� �� $��� �� ��#��� �� �� ������� �� ������� � ���� ���� �� � � �� � ����

���� ��� (� � ����7 +������ 8 .$����� !9:9")4 ���� ��� �-���� � � 0�$������1 �

0���������1 �� ����� �� ����� ��� ���� � � ���������� ���������� �� ��� �����)5

/� ��� �������� � ����� � #��� 0%&�1 �� 0 ����1 �-���� � � � ���� �� ����

�� ����� � �%�� ������ � �� ��'����� ��� � ������ ����� ��� ������� �� ��#��

�� ��� �#$�� � �$� � ���� ���$� ���� ������ ������� ���� �� ���� �� �� �� ����

�� ����� �; ����� �� ����� � � �� �� �$ �� ��� �#$�� � �$� � ���� ���$� ��� '

���� #� ���� �� ����� � ����� 0���� �� ����� ��1 ����� � � ���� ����) +���� �

%&� �-���� ���������� $����� ��� ��� �#$���� �� ��� �� ����� �� � ���� �-����

���������� $����� ��� ��� �#$���� �� ��� ���� �� ����� �)6 �����,$������ 6�� ���

�������� ���� ��� ���������� #������ %&�� ���� �� ��&� ����� �$��� ��

��� ���������� #������ �-� ��� � �� ����������� �� ��� ����� �� ��� ������ ��

��� ��� � ���7 ����� !9<=")7

���� ���� ����� ���� ���� �� � ��������'����� �� ��#��'���� ���� ����� �� ��'

���� �$�� �� ��� ��� �� >��� !" ��� ������#�� � �� ���� ������ �� �-���� �� �����

���� ����$��� 0%&�1 �� 0 ����1 �-���� ����������� ���� ��� ���� ����� �������� �

4Vhh dovr Edohvwud ) Qhuoryh +4<99,/ Pdggdod +4<:4,/ Khqghuvrq/ Mu1 +4<:4,/ Pxqgodn +4<:;,/Fkdpehuodlq +4<;7,/ Kvldr +4<;9,/ Edowdjl +4<<8,1

5Vhh Odqfdvwhu +5333, iru d vxuyh| ri wkh lqflghqwdo sdudphwhu sureohp lq hfrqrphwulfv16Wkh �{hg h�hfwv prgho dqg wkh udqgrp h�hfwv prgho duh dovr fdoohg/ uhvshfwlyho|/ *Prgho L* dqg

*Prgho LL*1 Lq d iruwkfrplqj klvwru| ri sdqho gdwd hfrqrphwulfv Qhuoryh +5335, ghvfulehv wkh ruljlqvri wklv glvwlqfwlrq1

7Vhh dovr Olqgoh| ) Vplwk +4<:5,/ Odlug ) Zduh +4<;5,/ Vzhhwlqj +4<;5,/ Zdwhuqdx{/ Odlug )Zduh +4<;<,1

Page 4: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� =

��� ���� �� ��� � ����� � $��) +����� ��� ��������� � ����� � ���� ����� ����

��� ������ �� ������ �� � ��� �-���� �� �� ����� � � �� �� � �� ��� � � �� � ��

*$�� �?������ �-� ��� $��� �� ��� ���� ������#�� ���� ������� �����$� ��� �����'

,$���� �� ��� ����� �������� ) /� ��� % �� ����� � �� ���� ������ �� #���� $����;

�� ��� ����� ����� �� �� ���) ������ ��� �� � ��� � ������ ����� ��� � �-���� � �

��� ���� �(� #� ���� 0���� �� ��������1� ��� ������ �� ��� ����� �� ����� �� $�'

��� �������� ��� ��� �-��� ��� ����� �������� ����� ) /� �� ���� ����� ���� ��

��� ���$������ �� ���������� #������ �-���� �� �� ���� � �� ���&�� �� ���� ��

��� ���� ���� ������ �� $�� ��� ����� �������� ��� ��� ������; �-� ����� ����

� ��� �� ��$�� �� � �� ���� $�� �� � �� ���� ������) ����� �����$����� ���� � �� ���

�������� �� ����� ���� �� �-� ��� �� ���$�� ����� �� � ���� �� �������� � ����� �

#��� �� 2����� 8 ����� !9<�" �� ����� !9<=" �� ������ �� ��� ��������'�����

�� ��#��'���� ���� ����)

��� ���� � ������ �� ���� ���� �� ���� �� ���� �� �� �� �� �-���� ������%��'

������ � � ���� ����� �� $��$ ��� �� � �� ��� �#$�����) /� �� ���$�� ��� ���� ���

���'��� ������%������ ���� ���� � ���� ���� � � ���� ����� �� � ������� �� �����

�� ��� � �� ��� �#$���� �� �-����) ��� ��� �� ��� ���� �� � ����(� �� �������� ��&�

������� ��� �#�� ��� ���� �� ����; ������� = ����� �� ����� �������� � ���� �-����

� � � ���� �� �� ����� � �� ���� ���� � � ������ � �� � �� ��� � � �� �; ���'

���� @ ����� �� ����� �������� � �� �-� ��� ������ �� � ��� � ������ ����; ������� A

��$��� � �� ���$�� ����������� �� ��� ���� �� ����� ��� ���'��� ������%������ ����;

������� : �����(�� ��� ���� ���� ��� � �� �� ������� #������ �-���� �� �� ���� �;

�� ������� < � ������ ��� �����$�����)

Page 5: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� @

� ��� ������� ����

+� ��� �� ��� >��� !" �� ��� �& �� � ��

� � ���� � �� � � ����� �"

��� � � �� � ��� �� � � �� ��� �&� � �� � ��� ����� � � �� � � �� ��� �&

�� �$�� ���� � �� � � � � ����� � � �� � � �� �� �� ����� � �� � � �� ��� �&)

��� ��������� �������� �� �������#�� �� ��� �� $��$ �� ��� � �#�� ������� ��� #�

� �$�� �� ������� ���� �����$�� �� ���� �-����� � 6� ��������7 �� 6#�����7")

��� �� ���$�� ���� �� >��� !" �� � ���'��� ������%������ ��� � � � �� �&������

�� ������� A) ��$�� � �� � ����� �� 0�-����1 �� � �� � ����� �� 0�����1 �� ����� �

������ �� ��� �#�� �������)

2�� � �� �

��� �� �

�� �

�� ���� ���� ���� #������

� � �� � ��

��� �������� �����1� � �� �������� �� �� ����� � �� �������� �� ��� *���� ��� �'

#$���� � � ����

��

� �

�� �

�� �� �

�� � �

� � �

�� �

��� � � ��� ��� �&��#�� ��� �$ ��� ��������) ��$�� ��� ��� �#$���� �� � ����'

������ �� � �� ��W � � W���W��

�W � �� � W�� W�� ="

�W � �� � W�� @"

� W � ��3�� A"

Page 6: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� A

��� ����� �� ��� �#$���� �� � �� ����� #� �$#�� ��� 0�1 �� $���� #�

�3�

R� �

��3����3�� :"

�3�

R�R � �

��3�� ��3��� <"

�� � ����� #� 2����� 8 ����� !9<�") B �� ����� �&� ������� ��� �#����� ���

����� �� ������� �� ��� �-���� �� ����� �� ����� �8 ��� ������& �)!) ��

� ������� �� ����� �,$������") ��$�� ��� ����� �� ��� �#$���� �� ��� ����� �� �����

�� ����� #�

� 3�

R� �W���W � � 3�� C"

� 3�

R�R

� �W��� W � � 3��� 9"

��� � �W � � � � W� � W � � � �W� ��

� � � � ��� �W� � �3� � �3� �W

�W �

� ��3�

�3�3� �

��3� �3�

��3��

��� ����� �� ������� �� ��� ����� �� ����� ��� ��� ������ �� $��$ � �� � �������

��� ��� �� ��� � �� ������� �� � ���� ���(� �����'�,$� �� �������� )9 ��� ������'

��� ��� �& � ��� #� �������� �� ��� ����������� � � �� ��2� ��� �

�� � �� � ��� � �3� � �3� � ��3�

�3�

�3��

�2 � �2 � ��� �W� � �3�

� ��3�

�3�

�W �

� ��3�

�3�3� �

��3� �3�

��3��

��� % �� ��������� �� ���� ����� �� ���� ��� �� ��� � �� ���� ������� �� ��

8Wkhvh irupxodh dvvxph d nqrzq huuru fryduldqfh vwuxfwxuh/ dv lv xvxdo lq uhjuhvvlrq dqdo|vlv1

Sdudphwhuv ri wkh glvwxuedqfh whup fdq eh dgghg wr wkh mrlqw sulru glvwulexwlrq dqg eh dovr xsgdwhg

ru lqwhjudwhg ryhu wr lvrodwh wkh pdujlqdo ri wkh orfdwlrq sdudphwhuv1 Wklv h{whqvlrq hvfdshv wkh

sxusrvh ri wkh fxuuhqw sdshu dqg dv vxfk lv ohiw iru ixuwkhu uhvhdufk19Lw lv dvvxphg wkdw ] 3

�4] lv ri ixoo udqn1 Li qrw/ d jhqhudol}hg lqyhuvh vkrxog vwdqg lqvwhdg ri�

]3�4]��4

1

Page 7: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� :

���(� � �� �� �; ��� ����� ��������� �2 ��� ���� �� � �� ���� ������ ��

�� ���(� � ���� �� �� ���� ������ � �� ���������� �� ������ �W3� � �) ��$�� ���

��������� ��� �& � ����� �� ��� �� � �� ��� ��� �&� ���� ��� �� ��� ����� ��

��� �-���� �� �� ��� ������#����� �� �� ���� ������ � �� ��� �#$���� �� ��� �-����)

��� ����� �� ���������� ������� �� ��� �-���� ���� ���� ��� �� � �� � �������

��� ��� �� � �� �� ������ ��������

�W3�

R� ��3� ��W3�� !�"

�W3�

R�WR

� ��3�� ��W3��W� !!"

�W3�

R� W

R� � ��3�� ��W3�� W� !�"

D��� ���� � W

R�� ��� ���� #� ��� ������ ���� ����� #������ �� � �� �� ���� '

���� ���(� � ���� �� � W � �) ��� ���� ���� �WR�� � W

R$�� ��� ���� ��������� ��� �&

�W

R�W3� ����������� ��� ����$������ �� ��� $����������� ���� �� ��� �-�����

�R � �W

R�W3�

��| � �

W��R � �

����� ��W

R�W3�

� � ��3�

�3�

��3��� ���R

��

��� ���� $����������� ������� � � �#����� � �� �%������� ="' A")

��� � ����� ����� ���� ���� �� �� �� �� #�������� � �� ������� 52� �� ������

�� ��� �� ����� �� � �� �) ��� ��&� �������� � ����� ��������� �� ���������� ��

%&� �� ���� �-���� ����������� $�� �-� ��� �%�������)

� ��������� �������� ���� �� � !���"

��� � �-���� �� E,) �" ��� #� � ���� �� �� ���� ���� � �� �� � � ) B�&� ��

���� �-���� � � �%�� ���� ��� �� ���� ������� ���� ���

� ����� !��� �� � �� � ����� �� #�!$

Page 8: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� <

� %��� !��� �� � �� �� ���� #%!$)

��� ���� �-� ���� �� ���� �� BE $����� � �� ���� ������ �� �-����� ��� ���

�� �E ���������� � ���� � �� ���� ������ �� %���� ���� ��� �� �� ��� � �� �� �$ ���

��� ���� �� ��� ��� �#$���� �� �-����) �� BE $��� $��� �� ��#��� �� ����$��

�� ����� �-���� #� ���� �����$�� � ���� �����"� �� �� �� � 2�34 ����������

��� � �-���� � � 0����� �$�1 #� �-� ���������) ��� ����� �� ������� �� ��� �����

�� ����� � � �#����� � �� E,) C" �� E,) 9"�

� sR �

��W��s�

W�3�

� � 3�

3�

�s

R ��� � � s

R �3����W��s�

W�3��W��s�

W � � sR �

3���

��� � �s � � � ��� �W�

�� ��� �$#�� ��� � ����� �� BE)

�� �E $����� ��� ��� �#$���� �� � ������ ��� ��� �#$���� �� � �� �����) 5����

��� �� ������� #������ ����� �� ����� �� ���� �� ����� �� ��� ��� �#$���� �� �

���������� �� �) 2�� ��� � �W � � W� � �� � � ��� �W�� �� �o � � � �) F����

�%������ @"� ��� � ������ ���� �� � ����� ���

� � ���� � ��

� �W � � W� ��� � �� ��

� � �W � �� � � W�� � �o�

� W � �W� � �o�

��� � �o � ����o�� �o � � � �W �� �� ��� � � W �� �W � � �%�� �� �� ���

� ����$� �������) �� ��� � �� ���� ��� �� ����� �� �� ��� ��� ���� �o � �� ����o� �

�3�

o � � � �W �3�� ��� � �$#�� ��� � ����� �� �E) .����� ��� ����� �� ��� �'

Page 9: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� C

#$���� �� ��� ������ �� ����� �� ����� #�

� oR �

��W��3�

o �W�3�

� � 3�

3�

�o

R ��� � � o

R �3�� ��W��3�

o �W�3�

�W��3�

o �W � � o

R �3���

�� #��� �� �� ���� � 52� ����������� ���� ��� � ������ � � �� ����� �� �$������

#� ��� �� ����� �� ��� �-����)

����� � %&� ������� ������ � �&� ���� ��������� ��� ��������� � ���!�'

��( �&�� �)���� ��� ���&�� ���������� � ������ �&�� ��* "� �� +� ,��� �&� ����

������� ������* �s

R � �o

R �� �sR � � o

R -

������ .�� �&�� �s � � � ��� �W� � �� � ��o� � �o�

���� ����� ���� ��� �������� �����1� ������ �� $���� � ��� �� $���� � ��

���� ������ �� �-���� ��� ��� ������ ��� ������ �� ����� �������� ) .����� �

�� � ��� ���� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� �������� ����� ��$�

������ �� �� � �� BE� #���$�� �� ����� ��� �E ����� �������� �� ��� ���� �� ���

�-����)

������� � / ��������� ���� �)���� ��������� �� � ������� ���� � � $�,�����

01� �)���� ��������� 2��& �(������ � �&� ���� ���������� � 3� � �� #!� ���

�� ���������� ���� �������� �������� � �&� �)����� �W3� � �-

�� � ������ �-���� �� �� � � �� � �� � ���� �-���� ���������� � ���������

�������� ����� ���#� �����$� ����(��� ��" ��� ��� �$�� � �� ���� ������ ����

��� ����������): �#����� �� ���� � �� ���� ������ �� �� BE� ���� ��� �W3� � � �������

�s � ��s �� � �$��� �-� ��� �������� ��

�� � � sR � �� ���s��3� � �

s

R � �� ���s��3�� ���s� �

�� � � oR � �� ��3�

o ��3�� �

o

R � �� ��3�

o ��3�� ��3�

o ��

:]hooqhu +4<<<, lqglfdwhv vhyhudo dssolfdwlrqv zkhuh qrq0Ed|hvldqv gr lqwurgxfh glvwulexwlrqv iru

sdudphwhuv/ zklfk duh xvxdoo| frqvlghuhg csduw ri wkh prgho* dqg qrw sulru glvwulexwlrqv1

Page 10: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� 9

/� �����$����� ���� ����� � �� #� � ������ �� �� ���������� ����� �� ���$���� �

������ �#�$� $���� � �� ���� ������) � ������ �-���� �� �� ����� � � �� �� � �

�� � �� ��� ��� � $���� ������ �� �� �������� ������ ������ �� $�� � ��� � ��

���� ������ ��)

& �������� �������� ����� � ���� �����'

��"

/� ��� ������� �� ��#�� �� ��� �#$�� � �$� � ���� ���$� ���� ����� �� ��'

����� �� ����� �� �� ��� �$ � ��� �#$�� � �$� ��� ���� �� ����� ��� �� ���� �

��� � ������ �� $��$ � �� �� �� �������

B� �� ����� � � � ������ �

����� ����� � � � ���� �

��� ����� � �� � ���

��

/� ���� ���$�� �� ���� ��� �� ��� �$�#� �� ������ $��� %&� �� ���� �-����

� � �%�� �� ��������

� ����� !��� �� �� �� (��� #�!)$*� %��� !��� �� �� �� ���� #%!)$+

�� BE1 �� � 0>��� �� ��� B� �� G��1 � 0>��� /1� ����� ����� �� ��� ���

���� � ��� �����) ���� �� ��� ���� ���� �� � � �� � � � �� ����� �� �������

� �� �� ������� =� ��� �� ��� ���� �� ��� �� � �� � � �� � ������ � �� � � �

����) �����,$������ BE �� �E � � #��� BE1) H�� ��� ���� ���� ��� �� BE1 ����

#� ������� � �� ��� ���� �� ����� �� �� �� ���� � ����� ���� ��� $�����������

��� �#$���� �� �� ���� �

�) /� �� � �� ��� �#����� ��� ���� ���� �� ������� �)

Page 11: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !�

�� BE1 $����� ��� ����� �� $����������� ������� �� ��� ����� ������ ����� � �

�3�

R� �

��3��� �� � �3� �

�3�

R��R � �

��3�� � �� � �3���

�� �E1� ���� ����� � 0>��� �� ��� ����� G��1 � 0>��� //1� $����� ��� ��� �'

#$���� �� ��� ���� �� ����� ��� ���� ��� �� ��������� ��� ����� �� ������� �� ���

��� ������

3�

R� �

��3�

- �� 3��

3�

R �R � ���3�

- � � 3���

��� � �- � �������

���� �� � ���� �� ��$�� ����� #� 2����� 8 ����� !9<�" �� ����� !9<=") �� �����

�� �� ��� ��������'����� �� ��#��'���� ���� � ����� �� ���

�� ��� ��

���� �� �

�� � ��

�� � ���� � � �

�� �

�� � �

�� �

� � �

�� �

��� �� �������� ��� ���� ���� ��� ���� ������� ��� �� � �� �� � �� �� � �) ���

��$����� ��� � ������ �� $��$ � �� ��$�

� � ��������� ��� ���

�� �

� �� �

�� �

�� �

� � �

���� �

/� ���� ���$�� �� � � ������� ������ � �� ���� ��� �-���� � ����� �-� ��� 0���� �

�� ��������1 #$� ���� �&����� ��� ���� $����������� ��� �#$���� �� ������� �) 2��

� �� � #� ��� �$#�� ���� ������� BE1 �� �E1 �������� �� �����������) I���� ��

��� �#$����� �� ��� ������ �� ����� � � �#����� $���� E,) C" �� E,) 9") B�

Page 12: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !!

�� BE1� ��� ����� �� ������� �� ��� ����� �� ����� � � �

� 8R �

��W��8�

W�3�

� � 3�

3�

�8

R ��� � � 8

R �3����W��8�

W�3��W��8�

W � � 8R �

3���

��� � �8 � � � ��� � � W� �

B� �� �E1� ��� ����� �� ������� �� ��� ����� �� ����� � �

� -R �

��W��-�

W�3�

� � 3�

3�

�-

R ��� � � -

R �3����W��-�

W�3��W��-�

W � � -R �

3���

��� � �- � � � ��� � �� W� �

.� � ���� � � �) D��� ���� �� �� �E1 ��� �� ����� �� ��� ����� ������ �� ��

���������� �� ��� � � �� �� ��� ��� �� �� BE1 �� �� �� ��� � �� ��� �#$���� �� �� ���

��� ��� �� $����) /� �������� �� �E1 � �� BE1 ��� �������� ����� �� �������� ���

�� 0�����1 ���� ������� ���� ��� ��� �� �������� ���� �� ���� �� ��� ������#�� ��������

�� $����)

����� � %&� ������� �����#!��� � �&� ���� ��������� �� ��������� � �&� ���(�

�� 2&��& �� �� ��������� �&�� ��� "�� �� +�� ,��� �&� ���� ���������* �8

R � �-

R

�� � 8R � � -

R �

������ .�� �&�� �W � � � W �� �8 � �- � � � � � � W �3� � �s �

��� ���� ����� �������� ��$��� ������ ��� ���������� �� ��� �� ��� �����

� �� ��� ��� �����) +��� ����� � �� ���� �� $�� ��� ��� ������#�� ���� ������� ��

����� ��� �� ����� ��) /� ���� �� �� ���� # ���� �#�$� � �-� ���� �� ��� ��$�����

�������� � �� ��� ������ �� ������ �� $�� � ��� �� $�� ��� ������#�� ���� ������) ���

���� ������ �� ��� �� 0�����1 ���� ���� ������ �� ���������� ���� � � $���� ��

���������� ���� � � ���� ��� ��� ������ � �-� ���� �� ��� ����� �������� �#�����)

Page 13: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !�

��� ����� �� ��� �#$����� �� ��� ������� ���� �� ����� � �� ��� ����� ��

��� ������ � � �������� $���� E,�) !�"' !�") F����� ��� ������ �� ����� �

���� � ��� �������) B� �&������ ��� ����� �� ���������� � �������� �� ��� �-����

� �

����� ����� � �W3�

R � ��3� � �� � W�3��

��� ����� � W3�

R �

�3� 3�

��

�3�

� W3��

����� � � ���� �,$�� �� ��� � ����� ����� ���� � � �) ��� ����� BE �� BE1 �������

���� �� ��� �-���� �������� �� �E �� �E1 � ���) /� �E ��� � �� �� ��� ���� ��

�-����� ����� ��� � �� �� �E1) +� ��� �&����� � �� ���$�� ���� �� ����� ��� � ��

��� �#$���� �� $����� ������� ���� ��� ��� � 3� � � �� � � �� ����� ������� ����

�8 � �� � ��� �� �- � �� � ��� � �� � ��-� ��$�

��� � � 8R � �� �����3� � � s

R � �8

R � �� �����3�� ���� � �

s

R �

��� � � -R � �� ���-��3� �� � o

R � �-

R � �� ���-��3�� ���-� �� �o

R�

�� �� ��� � ����$� �������� ��� �-� ���� �� ��� �������� � �� ��$�� #� ��� $�� ��

�-� ��� ���� ������ �� ���� �� ��� ��� �����������; ��� �-� ���� �� ��� �������� �

��� ��� ���� �� ��� � �� ������ $�� � ��� � ������ ���� ���� �� �� ������) ���

��&� ������� ������� ����� ��$�� �� � �� ���$�� ���%�$ ����� �� �-����� ��� ���'���

������%������)

, ������� ��� -��'.�� ������(�� ��

��� � ����$� �������� ���� ����� ���� �� � ���� �� �� � �� � �� � ��� �����

�������� �� ���� ���� �� ��� �$���� ���� ������ �� �-���� �� ����� �� ����� � �

� � � � �� �-� ��� ������ �� � ��� � ������ ����) ���� ������� �&������ >��� !"�

��� ���'��� ������%������ ����� ��� � � �� � �A � #���� �A � � � � ����� �� ����)

Page 14: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !=

2�� ��� � � �� � ���� � ������� �� ������ � � !2�� ���$�� ���� ��� � �� �������

� � � 3� � �� � W � �� �W � �� �� ���� �W �� �������� ���� ���

�W�� �

��� !W2k�� � � "�

�� � �� "�

��� ����� �� �� ���� �� ����� �� �����

�W3�

R � !32 � ��W3���������

�W32

@�cR 3 � � � 3

3 �W32

@2cR � � � 3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3 3 � � � �W32@?cR

������� �

�������

�32W 3 � � � 3

3 �32W � � � 3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3 3 � � � �32W

��������

�������

�W32

@� 3 � � � 3

3 �W32

@2 � � � 3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3 3 � � � �W32@?

������� �

���� �� & �� � � !2� �� �&� ���� �������� �������� �W �� ��(���� �&��

�&� ������� �������� �������� �W

R �� ��� ��(���-

�����* �� ���2� ��� ��3� � !32��� �� �3- 45�6-

������� , �� !W2k� � !W2k�� �&�� !W2

k�cR � !W2k�cR� � �� "� �&�� ��� �����!��� 2��& �&� ����

�������� ���� �������� &��� �&� ���� �������� ������� ��������-

������� / 4�������� ����������6 �������� � �� �����!��� &��� 7��

������� ���������* #$�R ���� ����� � �� � �� "�

�� ��� ���������� ������� �� ��� �-���� � � $�� �� ��� ����$������ �� ���

����� �������� � I ��������� @ ����� ���� � � ����#�� ���%�$ ����� �� � ��� ��) ���

����� �� $����������� �� ����� �� �-���� ��� ������ � ��� �������� #���$�� �� ���� ��

��� ����� �� �� ������� � W

R �� ���(� �) ���� ��$�� ���� ����� ���� �����$�� �-����

��� #� �������� ������������ #���$�� ���� � � �� ����� ���� ���� ���� ����

�� �$�� ���� �����$�� �� ������� ���� �) /� �� �� ������� �� �� �&��� ���� ��$��

�� �� $�#������ ����� ���� �� �#�� ������� �� ���� �����$�� �� � �� � ���� ����

�� ���� ��������� � � �� �� ��� � ��� ������� �� ����� �� � ��� �� �� ����)

Page 15: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !@

�� $���� ��� ����� �� ����� � �� $�� �� � !32���A � �� � �A

���

�2 � !32�W

R�W3���A � ��� � �A � �3�

�A ��

A ) ���� !W2@�cR � %�!W2

@� � ��cR � ��� %���� � �� ��R

��

��� � %� � !2 ��!W2@� � !2�

3��� �R �� �#����� � �� E,) 9") ���� ����� ���� �� �

0 ���� �-����1 ���������� ��� � ��� ���� #� ��� ���� �� ��� ������� ���� �� ����� �

�� �� � 0%&� �-����1 ����������)

/� ��� � �� ���������� ��� �#$���� �� �-���� �� ��� ���� ������� #$� ����

!W2k� � !W2k � �� ���� %� � % � !2 ��!W2@ � !2�3�

�� �2 � !32%�� � �A ) /� ���� �����

�� �� �2 � �$��� ������������ ��� ������� 0������1 �� 0#������1 ���� ������) ���

����� �� �������� �� ��� ����� #������

�R � �� ���� �� ��2��3�

� !2 �&ff � %�ff�3��

�R � �� ���� �� ��2��3�

�� ���� �� ��2� � � �&ff � %�ff�3� �&ft � %�ft � �

����� �&� �������� �#����� #� >���� !9<!"� � � $�$���� ���� �� �-� ��� ������

�� ����������) /� ��� � ����� �����&�� ���� ���� �� ��� ������#����� �� � �� ���� '

������ �� �-����) ��� ����� � �$��� ��� 0#������1 ���� ������� ��� ��� ���� ��

��� �� � �� ���� ������ �� �-����; �2� ����� � �$��� ��� 0������1 ���� ������� ���

��� �$�� ��� � �� ���� ������ �� �-����� �� �� �������� %)

+� ��� ���� �����(� ��� ���'��� ������%������ ���� �������� � ��� � ������ ��'

� ���� �� �� �� ������ �� �� ������� @�

B� �� ����� � ��| � ��� ��

�|�� !2��

����� ����� � �� � ����� !2_����� �

��� ����� � ��� � ���� !

2

S�

�� � �

��� �

�)

/� ���� ���� W �� � � � �������� ���� !W2S� �� !2_� �� ��� � �� ���������� �� �'

����� �� �����$�� �� �� ��� � �� ���������� #������ ������� ���� �� ������

�� ����� �) /� ���� �����&� ��� ���$������ �� ������� @ ���� �W � �� W ����� ����

Page 16: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !A

!W2@� � !2_� � !W2

S� � ���� ��� ��� �����$�� �� ����� � �&��#��� 0���� �1 �� ��������)

B� ��� ����� ����� ���� ��� �$� �� ����� �� ������ ����� � #$� �� ��� ��� �����

���� ��� � �� ���� ������ �#�$� !2_� �� !W2S� �� ����) /� ��� � �� ��� �#$���� ��

��� ��� ����� �� $����� ������� ���� !W2@� � !2_�)

2�� '� � ��!W2@� � !2�

3���!2_� � !

2�� ���� ��� ����� �� ������� � � �$��� �(�

�� ��#�� !)

J/��� � ��#�� !K

��� % �� #���� �� ���� ��#�� ��� �� BE1 �� �E1 �� #��� $����� ������ ��

���� ������ � �� ��� �#$����� �� ������� ���� �� ����� �) +� ��� ���� ��� �����

�������� � �$�� #� ���� ������ � �� ��� �#$����� �� �-���� ���� ����� �� ����

����� �� �����) ��� �� ������ �� ���� �� ����� �� �-� ��� ������ ���� ����� � �-� ����

�� ��� ����� �� ��� �#$����� �� ������� ���� �� ����� �) /� �� ���� ���� ���� ��

��� �������� � �� ������� ���� �� ����� � ����� �� ���������� �� ������ � � �,$�� ��

� �� �� ������ � � �,$��; ������ � $����������� �� ������ �� �-���� � � ��� �������)

�� ������� �� ��� �����$��� �� #$��� �� �$�� ���� �����$�� �� ������� ���� ���

������ �� ����� �)

/� �����$����� ��� $�$�� 0%&�1 �� 0 ����1 �-���� �������� � �� ��� ���'���

������%������ ���� � � ����� �� �������� � � �$�� #� �-� ��� � �� ��� �#$�����

�� �����$�� �� ����� �) � ����� ���� ��� � ������ ���� ���� � ��� � ������ ����

#� ���� 0������1 ��� ��� ������ ��� ����� �������� � �� ���� �� ��� ���� ���� ������

�� �����$�� �-���� �� $��)

Page 17: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !:

/ ������������ � ������ �� 0 !��� � ��� %�'

�������"

/� ������� ���� �� ����� � � � �� ����� ��� *$�� ���� ����� �� ����� �� #$� ����

���� �� ���� �� ��� ��� ����$���� ��� �$&���� � �� �������

� � �( � )�

��� � � � � ��� �� � ����� � ����� ������ ��� �� �������� ��*� ( �� �*�� ����� �

) �� � � � � ����� � ) � ����� �� � �� � ����� � �� ��� �&) ��� � ����� ������

� ��� ���� ���� �� �� ��) >$���� !9<C" $�� � ��� � � � �3� ��� �� * � )

/� ��� ���$� ��� ������� ���� �-���� ����� �� ��� �����$�� ���� ��� ����)

����#� ���� !9C�" $�� � �� � ���� �� � ����� ������ ��� � ��� �-���� �����

�� ��� ��� �����$�� �� ��� ����) /� ��� ����� ��� ����� ���� �� �������� (� �����

#������ ��� ���� �$ ���� �� ��� ����������) ��� �� ����� ����� ��� ��� ���

��������� � �� ��� �#$����

�� (

�� �

� �� (

�� �

�� � �

�� �

���� �

���� ��� �� �� �� �� ��� � ������ ������� �� ��� �-�����

�W � ��W�� ���

�W � �(W�

� W � ��W�

��� � �W� (W� �� �W � � �%�� �� �� E,�) ="' A") D��� >��� �" #������

� � 6( ��� � �6�

Page 18: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !<

��� � 6 � � �� �6 � �� )� ���� � ����� ��$����� �� ����� �6 � �� � �)

��� �#�� �-���� � � ���� �� ��� �� ��� ��� �� ����� ���������� ����� �� ����'

����� �� � �� ����� � �� ��� $��� ����� ���������� ����� �� ���������� �� ���

� � �� �) +� *$�� ��� �� ����� ��� �� �������� �&� ������� � ��� �� ������� �)

� 6R �

��W

6�6�W

6

3�

� � 3�

�3�

�6

R ��� � � 6

R �3�� �W

6�6�W

6

3�

�W�

6�6�W

6

� � 6

R �3���

��� � �6 � � � 6��6��W� �

�W

6 � � � 6�W�

� W

6 � � � 6(W�

����� 1 %&� ������� ������ � �&� ���� ���������� �R� �R� ��� ��������� �

���2��( �� ��������� #��2��� �)���� �� ��(������� ��(������ � �&� ��� � �&��

���������-

�����- "�� �3- 4�6� �3- 4�6� �� ���

�W

6 � � � 6�W � � � � W � �W�

� W

6 � � � 6(W � � � �W � � W�

�� �6 � � � 6��6��W� �

� � � � � � ��W�� �3�

� � � � � ��W�� �3��

� � � ��� �W� �

�� ���2� �&�� � 6R � � s

R �� �&�� �6

R � �s

R �

������ �� ��� ��� ����� ���� ��� ���� ������ �� �-���� �������� �� �� �����

�� $��� ����� ����������; �� ���� ����� � ���� ��� ���� ������ �� #���� $��)

�$����� ���� �� ���� �� $����� ������ � �� ��� �#$���� �&���� �� ��� �� ����� ��

� � �� ���� ��� �3� � �� � W � �� (W � �) +� ��� �����(� ��� ���� ��$�� �������

Page 19: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !C

�� ��� �&� ��� ������ � ����� ��� �� �� $����� ������ � �� ��� �#$���� �� ���

������� ���� �-����)

���$���� � � � �� �,$������� �� �&��$��� ( � �� ��� �� ������ �� ���$����

���� �� ������ ���� ��� ���$� �� (� �� ����� ������� ���� �W � � ��� ��$�� �6 � �3�

6 )

��� $��� ����� ��������� �� ��� �-���� � �$��� �� �E �������� �

� 6R �

�� ��3�

6 ��3�

� � oR �

�6

R ��� ��3�

6 ��3�

� ��3�

6 � � �o

R�

H� ��� ���� ���� ���� ���� �#�$� (� ���� ��� �3� � �� ������� �6 � ��6 � 6��6�)

/� ���� ����� ��� � ����� ������ � � � � �3� �� �� � ������� ��� �& � � !2�

���� ��� �� ���$�� ��$�� � ��� �� ������& �)�)"�

� ���6 � ���� !="

��� �� �� �� ������� �� �� � �� � ���) ��� �������� �� �����

� 6R � �� �����

3�� � s

R �

�6

R � �� �����3�� ���� � �

s

R �

���� �� � ������� ���� ��� � � �� ���� ������ �� ��� $��� ����� ��������� �� 0�����

�$�)1 �� BE �������� �� � ���������� $����� ������ � �� ��� �#$���� �� �-����

� ����� ��� ���� ��� �� ��� �%������ �� ������� =� �� ���$� ���� #� ������ � �� �E

�������� )

+� �����$� ���� ��� �-� ��� $�� �� � �� �������� �� ��� �� ����� ���������

�� ��� �-���� ( �&������ ��� �-� ���� �� ����� �������� �) �������� �� �� �������

#������ �-���� �� �� ���� � ��� ���� �� ������� ����� ��� ����� �������� �� ���

���� ���� ������ �� $��)

Page 20: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� !9

1 ��������

���� ���� ��� ������� � ������ �� � ����#�� � ����� � �� ���$�� ��� ������'

��� �� �������� ��� ������ �� ��� �������� �� ��� ��������'����� �� ��#��'���� ����

����) ��� ���� ����� � ��� #��� ���� ��� ���������� �� ��� ����� �� ����� � ����

�� ������ �� ��� �����$���; ��� �����$�� �� ����� � �� ���� #��� �� ���� ��� ��

��� �&���� ���� ��� ��� ���� � � � ���� �� ��� ���������� �-���� ��� ����� ������'

�� ) /� �� $�$���� #������ ���� %&� �� ���� �-���� �������� � � � ��� ��$�� ��

�-� ��� ���������� ������) ���� ���� ��� ����� ����� ���� ���� ��� ����� �

��� ���� ������ �� �� ��� �-� ���� �� ���� ������ ������� ����$ � #� ��� � ��

��� �#$���� �� �����$�� �-���� $�� �� ��� ����������� ���� � �$��� �-� ��� �����

�������� �) /� ���� �� �� #� �������� �� ���������� ������ � ��������� �������'

� ����� �� ���$���� �������� � � �� ��� �#$���� �� �-����� ���� �� �������� �������$�)

��� ���� ���� ����� �� � �� ���� ��� ����� �������� �� ���� ���� �� ��� ��� �$�����

�� ���� ������ �� �-����

�" �� �� ����� � � �� �� � � �� ��

��" �� �-� ��� ������ �� � ��� � ������ ����� �

���" �������� �� �� ������� #������ �-���� �� �� ���� �)

+��� ����� � �� �� $�� ��� ������#�� ���� ������ �� ������� ���� �� ����� � �� ���

����������� ������� ��� ��� ���� � �����) /� �-� ��� ������ � �$�� �-� ���

��$���� �� �� $��������� #���$�� ������� �-� ��� � �� ���� ������ �� #���� $��)

Page 21: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� ��

��������

�+�+ 2���3� �� 0 !4�+ #5$'#��$ �� 6�� �� �

Qrwh wkdw

3�

@

�D SS � Y

�3�

@

�DW3�

�DW3�S W

�S W�DW3� Y 3� . S W�DW3�S W

�/ dqg

[�3�

[ @

�] �3�] ] �3�[

[ �3�] [ �3�[

�>

Ht1 +43, dqg Ht1 +45, iroorz wkhq iurp Ht1 +9,1 Iru Ht1 +;,=

Y 3�

R@ �S W�

RDW3�

RS W

R.[ �3�[ . S W�DW3�S W . Y 3�>

@

�[W�3�]

�] �3�]

�3�DW

RDW3�

�[ �3�]�] �3�]

�3�

��]�3�[ �DW3�S W

.[ �3�[ . S W�DW3�S W

. Y 3�>

@ [W�3�]

�]�3�]

�3� �

DW

RDW3�]�

3�[ .

�L �DW

RDW3�

�DW3�S W

�.[ �T�[ . Y 3�>

@ [W�T2[W.[ �T�[ . Y 3�

@ [W�T[W. Y 3�=

Qrwh wkdw ] �T� @ 3/ wkhuhiruh [W�

T�[W @ [ �T�[> dqg [W

T�\W @ [

T�\ 1 Ht1 +44,iroorzv iurp Htv1 +6,0+8, dqg Ht1 +:,/ zklfk dovr ghwhuplqh Ht1 +<,=

YR�R @

�S W

R] �3�.[

3�

�\ .

�S W

R� S W

�DW3��

.

�Y 3�

�S W�

R� S W

�DW3�S W

��>

@ [�

T�\ .[W�3�]

�] �3�]

�3�DW

RDW3�] �

3�

�\ . ]

��� S W�

��. Y 3��>

@ [�

T�\ .[W�T2\W. Y 3�� @ [W�T\ W

. Y 3��=

�+�+ 2���3� �� 0 !4+ #��$ �� 6�� �� /

Qrwh wkdw=

3�

6@

�. ]Y ] �

�3�@ T� .T2�/

]�

63�

6@ [ �T2�>

zkhuh lw lv xvhg wkdw ] �T� @ 31 Qrwh wkdw li @ �2L/ wkhq ]�

63�6]6 @ ] �

63�6[ @

[�

T2�[1 Wkhq Ht1 +46, iroorzv=

T�6 @ 3�

6�

3�

6]6

�]�

63�

6]6

�3�

]�

63�

6>

[ �T�6 @ [ �3�

6�[ �T2� @ [ �T�=

Page 22: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� �!

%�0�������

Edohvwud/ S1 ) Qhuoryh/ P1 +4<99,/ cSrrolqj Furvv Vhfwlrq dqg Wlph Vhulhv Gdwd lq wkhHvwlpdwlrq ri d G|qdplf Prgho= Wkh Ghpdqg iru Qdwxudo Jdv*/ Hfrqrphwulfd 67/ 8;8�9451

Edowdjl/ E1 K1 +4<<8,/ Hfrqrphwulf Dqdo|vlv ri Sdqho Gdwd/ Mrkq Zloh|/ Fklfkhvwhu1

Fkdpehuodlq/ J1 +4<;5,/ cPxowlyduldwh uhjuhvvlrq prghov iru sdqho gdwd*/ Mrxuqdo ri Hfrqr0phwulfv 4;/ 8�791

Fkdpehuodlq/ J1 +4<;7,/ Sdqho Gdwd/ lq ]1 Julolfkhv ) P1 Lqwuloljdwru/ hgv/ cKdqgerrn riHfrqrphwulfv Yro1 5*/ Qruwk Kroodqg/ Dpvwhugdp/ ss1 457:�464;1

Khqghuvrq/ Mu1/ F1 U1 +4<:4,/ cFrpphqw rq %Wkh Xvh ri Huuru Frpsrqhqwv Prghov lqFrpelqlqj Furvv Vhfwlrq zlwk Wlph Vhulhv Gdwd%*/ Hfrqrphwulfd 6</ 6<:�7341

Kvldr/ F1 +4<;9,/ Dqdo|vlv ri Sdqho Gdwd/ Fdpeulgjh Xqlyhuvlw| Suhvv/ Fdpeulgjh1

Odlug/ Q1 P1 ) Zduh/ M1 K1 +4<;5,/ cUdqgrp0H�hfwv Prghov iru Orqjlwxglqdo Gdwd*/ Elr0phwulfv 6;/ <96�<:71

Odqfdvwhu/ W1 +5333,/ cWkh lqflghqwdo sdudphwhu sureohp vlqfh 4<7;*/ Mrxuqdo ri Hfrqrphw0ulfv <8/ 6<4�7461

Olqgoh|/ G1 ) Vplwk/ D1 +4<:5,/ cEd|hv Hvwlpdwhv iru wkh Olqhdu Prgho*/ Mrxuqdo ri wkhUr|do Vwdwlvwlfdo Vrflhw|1 Vhulhv E +Phwkrgrorjlfdo, 67/ 4�741

Pdggdod/ J1 V1 +4<:4,/ cWkh Xvh ri Yduldqfh Frpsrqhqwv Prghov lq Srrolqj furvv vhfwlrqdqg Wlph Vhulhv Gdwd*/ Hfrqrphwulfd 6</ 674�68;1

Pxqgodn/ \1 +4<:;,/ cRq wkh Srrolqj ri Wlph Vhulhv dqg Furvv Vhfwlrq Gdwd*/ Hfrqrphwulfd7</ 7;6�83<1

Qhuoryh/ P1 +5335,/ Hvvd|v lq sdqho gdwd hfrqrphwulfv1 iruwkfrplqj lq Fdpeulgjh Xqlyhuvlw|Suhvv1

Vplwk/ D1 +4<:6,/ cD Jhqhudo Ed|hvldq Olqhdu Prgho*/ Mrxuqdo ri wkh Ur|do VwdwlvwlfdoVrflhw|1 Vhulhv E +Phwkrgrorjlfdo, 68/ 9:�:81

Vzhhwlqj/ W1 M1 +4<;5,/ cD Ed|hvldq Dqdo|vlv ri Vrph Skdupdfrorjlfdo Gdwd Xvlqj d Udq0grp Frh!flhqw Uhjuhvvlrq Prgho*/ Dssolhg Vwdwlvwlfv 64/ 538�5461

Zdoodfh/ W1 ) Kxvvdlq/ D1 +4<9<,/ cWkh Xvh ri Huuru Frpsrqhqwv Prghov lq FrpelqlqjFurvv Vhfwlrq zlwk Wlph Vhulhv Gdwd*/ Hfrqrphwulfd 6:/ 88�:51

Zdwhuqdx{/ F1/ Odlug/ Q1 P1 ) Zduh/ M1 K1 +4<;<,/ cPhwkrgv iru Dqdo|vlv ri OrqjlwxglqdoGdwd= Eorrg Frqfhqwudwlrqv dqg Frjqlwlyh Ghyhorsphqw*/ Mrxuqdo ri wkh DphulfdqVwdwlvwlfdo Dvvrfldwlrq ;7/ 66�741

]hooqhu/ D1 +4<<<,/ Ed|hvldq dqg qrq0ed|hvldq dssurdfkhv wr vflhqwl�f prgholqj dqg lqihu0hqfh lq hfrqrplfv dqg hfrqrphwulfv1 plphr1 X1 ri Fklfdjr1

Page 23: FIXED AND RANDOM EFFECTS IN CLASSICAL AND BAYESIAN ...people.stern.nyu.edu/wgreene/Econometrics/Rendon-FE&RE-Bayesian.pdf · @cKc W @ ˘ˇˆ˙˝˛ ˚ K ˜ ! "# ˆ˘ˆˆ $ ˚ Devwudfw10

��������� ��� ������ �� �������� ������ ������� ����� ���� ��

��#�� !� I���� �� >������ �� ��� .�� � ������ >���

�������� ����� ������ BE1 � BE��������� 0%&�1 0 ����1�� ����� !W32

@� � � !W32

@� � �= ����� D��� � !W2@� � !2_� � !

W2

S���R �� �+��3�� �+� �� ����3�� �����R !2 �� �+��3�

!2 �� ����3�

!W2@�cR �3�!2 %�!W2

@�

��cR � � �� ���R ��� %��

�� � �� �

��R

��W�cR � � ��� %��� ��� W

�cR �� � � ��� %��� �

�������� ��� ������ �E1�� ����� !W2@� � !2_� !W2@� � !2_� � !

W2

S�

= ����� !W32

S� � � !W32

S� � �

�R �� ����3�� ���

�R !2 �� ����3�

!W2S�cR �3�!2 � !W2@� '�!W2

S�

#�cR � � �� ��R ��� '���� � �� ��R

�#W�cR � � ��� '��� �

� W

�cR �� � � ��� '��� �