FISICA IIFISICA IIVIBRACIONES FORZADASVIBRACIONES FORZADAS

PRESENTADO PORPRESENTADO POR

OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍAOPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA

Docente de la Facultad de Ciencias Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAMde la UNASAM

2010

OBJETIVOSOBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz dealumno será capaz de

Resolver ejercicios y problemas de vibraciones Resolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadasforzadas

Aplicar las leyes de Newton al estudio de las Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamientovibraciones forzadas con y sin amortiguamiento

Comprender el efecto de resonanciaComprender el efecto de resonancia

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Hemos visto que la energía de un oscilador Hemos visto que la energía de un oscilador

amortiguado disminuye con el tiempo debido a la amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa.fuerza disipativa.

• Es posible compensar la pérdida de energía aplicando Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.el sistema.

• En cualquier instante, se puede agregar energía al En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.del movimiento del oscilador.

• Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de e movimiento por medio de impulsos sincronizados de manera apropiada.manera apropiada.

• La amplitud del movimiento permanecerá constante si La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la exactamente igual a la energía que pierde por la fricción fricción

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Existen varios tipos de vibraciones forzadas, Existen varios tipos de vibraciones forzadas,

destacando las siguientes:destacando las siguientes:

(a) Vibraciones forzadas sin (a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. amortiguamiento. Aquellas Aquellas vibraciones en las cuales no existe vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son amortiguamiento de ningún tipo pero son

producidas por fuerzas externas producidas por fuerzas externas

(b)Vibraciones forzadas con (b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento.amortiguamiento. Aquellas vibraciones Aquellas vibraciones producidas o fuerzas producidas o fuerzas externas y en el externas y en el cual existe amortiguamiento cual existe amortiguamiento por ejemplo por ejemplo viscosoviscoso

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. .

Consideremos una partícula de masa Consideremos una partícula de masa m m unida a un resorte ideal de rigidez unida a un resorte ideal de rigidez kk y a la y a la cual se aplica una fuerza externa cual se aplica una fuerza externa F = FF = Foo SenSen((tt)) tal como se muestra en la figura. tal como se muestra en la figura. Donde Donde FFoo es la amplitud de la vibración es la amplitud de la vibración armónica y armónica y es la frecuencia de la vibración es la frecuencia de la vibración externaexterna

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. . Aplicando las segunda ley de Newton se tieneAplicando las segunda ley de Newton se tiene

0

0 (1)*

x xF ma

F sen t kx mx

mx kx F sen t

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. . La ecuación es una ecuación diferencial de La ecuación es una ecuación diferencial de

segundo orden no homogénea con coeficientes segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: constantes. Su solución está compuesta por: i) i) una una solución complementaria; solución complementaria; y y ii) una solución ii) una solución particularparticular..

La La solución complementaria solución complementaria se determina se determina haciendo igual a cero el segundo término de la haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es decir.decir.

La solución de esta ecuación es de la formaLa solución de esta ecuación es de la forma

0 (2)mx kx

( ) (3)m nx x sen t

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. . Como el movimiento es periódico la Como el movimiento es periódico la solución solución

particular particular es de la formaes de la forma

Determinando dos veces esta ecuación y Determinando dos veces esta ecuación y remplazando en la ecuación (1) se tieneremplazando en la ecuación (1) se tiene

Despejando el valor de la constante Despejando el valor de la constante BB resulta resulta

(4)Px Bsen t

20Bm sen t k bsen t F sen t

0 0

2 2

/ / (5)*

1 ( )n

F m F kB

km

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. . Remplazando (5) en (4) resultaRemplazando (5) en (4) resulta

La solución general seráLa solución general será

02

/ (6)

1

P

n

F kx sen t

02

/ (7)

1

C P n

n

F kx x x Asen t sen t

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Fuerza armónica de excitaciónFuerza armónica de excitación. .

De la ecuación (7) se observa que la oscilación total De la ecuación (7) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωvibración libre de frecuencia ωnn figura a, y una figura a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior vibración forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibración libre se figura b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.particular como lo muestra la figura c.

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Factor de amplificaciónFactor de amplificación

En la ecuación (6) se observa que la amplitud de la En la ecuación (6) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como frecuencias forzada y natural. Se define como factor factor de amplificaciónde amplificación al cociente entre la amplitud de la al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.vibración estable y la deflexión estática.

De esta ecuación puede observarse que aparece la De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es aproximadamente iguales esto es //nn =1 . El =1 . El fenómeno de fenómeno de resonanciaresonancia no es deseable en las no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.colapso de la estructura.

max2

0

( ) 1

/1

P

n

xMF

F k

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Desplazamiento excitador periódicoDesplazamiento excitador periódico

Las vibraciones forzadas también pueden surgir a Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura, un sistema. El modelo indicado en la figura, representa la vibración periódica de un bloque que representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico δ = es originada por el movimiento armónico δ = δδ00senωt.senωt.

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Desplazamiento excitador periódicoDesplazamiento excitador periódico

• En la figura, se muestra el DCL y cinético del En la figura, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada bloque. En este caso la coordenada x x se se mide a partir del punto de desplazamiento mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte será (desplazamiento general del resorte será (xx – –δδ00senωt)senωt)

III.III. VIBRACIONES FORZADAS SIN VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

Desplazamiento excitador periódicoDesplazamiento excitador periódico

• Aplicando la ecuación de movimiento según la Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tienedirección horizontal se tiene

0

0

x xF ma

k x sen t mx

mx kx k sen t

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Para determinar las ecuaciones que la Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa sometido a una fuerza periódica externa P P =P=P00senΩsenΩ, tal como se muestra en la figura., tal como se muestra en la figura.

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.obtiene.

0

0 (1)

x xF ma

P sen t kx cx mx

mx cx kx P sen t

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

La ecuación diferencial (1)* es una ecuación La ecuación diferencial (1)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una obtiene sumando una solución complementariasolución complementaria y y una una solución particularsolución particular.. La solución complementaria La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satisface la particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total se escribese escribe

La solución complementaria depende del coeficiente La solución complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Así si el movimiento es de amortiguamiento. Así si el movimiento es subamortiguadosubamortiguado

( ) ( ) ( ) (2)C Px t x t x t

0 (3)tdx x e Sen t

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

La solución complementaria estudiada La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la contrario la solución particular o permanente o de solución particular o permanente o de estado estacionariaestado estacionaria es la que se mantiene, siendo es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada poresta de carácter armónico y viene expresada por

Derivando esta ecuación se obtieneDerivando esta ecuación se obtiene

(4)P mx x sen t

2

cos (5)

(6)

P m

P m

x x t

x x sen t

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Remplazando (4), (5) y (6), resultaRemplazando (4), (5) y (6), resulta

Haciendo Haciendo (Ωt-φ) (Ωt-φ) sucesivamente igual a sucesivamente igual a cerocero y y /2/2, , resultaresulta

Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores y sumándolos, resultaecuaciones anteriores y sumándolos, resulta

20cosm m mm x sen t c x t kx sen t P sen t

0 (7)mc x P sen

20 cos (8)mk m x P

2 22 2 20mk m c x P

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que está dada porestá dada por

El desfasaje está dado por El desfasaje está dado por

0

2 22m

Px

k m c

2

ctg

k m

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Bajo estas circunstancias la solución particular se Bajo estas circunstancias la solución particular se escribeescribe

Pero la frecuencia natural está dada por, Pero la frecuencia natural está dada por, = k/m = k/m , y , y el valor del coeficiente crítico de amortiguamiento el valor del coeficiente crítico de amortiguamiento es es cccrcr = 2mω = 2mωnn, el factor de amplificación será, el factor de amplificación será

0

2 22

Px sen t

k m c

2 220

1

/1 / 2 / /

m

n cr n

xMF

P kc c

2

2 / /

1 /cr n

n

c ctg

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

En la figura, se muestra el factor de amplificación en función En la figura, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de frecuencias para distintos valores de la razón de la razón de frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento. de amortiguamiento.

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS PARA VIBRACIONES FORZADAS PARA MOVIMIENTO DE ROTORES MOVIMIENTO DE ROTORES

DESEQUILIBRADOSDESEQUILIBRADOS

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO:

ResonanciaResonancia

IV.IV. VIBRACIONES FORZADAS CON VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO:

ResonanciaResonancia

V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNV. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn bloque que tiene un peso Un bloque que tiene un peso W = 20 lb W = 20 lb es es unido a un resorte de constante unido a un resorte de constante k = 20 k = 20 lb/pielb/pie. Si una fuerza . Si una fuerza F = Fo CosF = Fo Cost t es es aplicada al bloque, determine la máxima aplicada al bloque, determine la máxima velocidad del bloque para oscilaciones velocidad del bloque para oscilaciones pequeñas. Desprecie la fricción si Fo = 6 lb pequeñas. Desprecie la fricción si Fo = 6 lb y y = 2 rad/s y g = 32,2 pies/s = 2 rad/s y g = 32,2 pies/s

V. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNAPLICACIÓN

Un bloque que tiene Un bloque que tiene una masa una masa mm es unido es unido a un resorte de a un resorte de constante constante kk. Si una . Si una fuerza fuerza F = F = Fo Cos Fo Cost t es aplicada es aplicada al bloque, determine al bloque, determine la ecuación la ecuación diferencial de las diferencial de las vibraciones. ¿Cuál vibraciones. ¿Cuál será la solución será la solución general de esta general de esta ecuaciónecuación

V. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNAPLICACIÓN

Un bloque de 5 kg está Un bloque de 5 kg está suspendido de un resorte de suspendido de un resorte de constante k = 400 N/m. Si el constante k = 400 N/m. Si el resorte se somete a una resorte se somete a una fuerza vertical dada por F = fuerza vertical dada por F = [5 sen8t] N, donde t se mide [5 sen8t] N, donde t se mide en segundos. Determine la en segundos. Determine la ecuación que describe el ecuación que describe el movimiento del bloque movimiento del bloque cuando este se jala hacia cuando este se jala hacia abajo 100 mm a partir de la abajo 100 mm a partir de la posición de equilibrio y se posición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t suelta desde el reposo en t = 0 = 0

V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNV. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUna esfera de 25 lb de peso está fija a una Una esfera de 25 lb de peso está fija a una barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra sometida a la acción de una fuerza periódica sometida a la acción de una fuerza periódica F = [100 sen15t] lb como se muestra en la F = [100 sen15t] lb como se muestra en la figura. Determine la amplitud de la vibración figura. Determine la amplitud de la vibración de estado estacionario de la esfera. de estado estacionario de la esfera. Desprecie el tamaño de la esfera.Desprecie el tamaño de la esfera.

V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNV. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLa barra uniforme de masa m y longitud L La barra uniforme de masa m y longitud L tiene un eje de oscilación en su centro. El tiene un eje de oscilación en su centro. El resorte de constante k de la izquierda está resorte de constante k de la izquierda está sujeto a una superficie inmóvil, pero el de la sujeto a una superficie inmóvil, pero el de la derecha también de constante k, lo está a derecha también de constante k, lo está a un soporte sometido a un movimiento un soporte sometido a un movimiento armónico dado por armónico dado por yyB B = b Sen = b Sen t. t. Determine la pulsación excitadora de Determine la pulsación excitadora de resonanciaresonancia

V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNV. EJEMPLOS DE APLICACIÓNDos barras uniformes iguales cada una de masa m Dos barras uniformes iguales cada una de masa m están soldadas formando un ángulo recto y están están soldadas formando un ángulo recto y están suspendidas, tal como se muestra, de un eje suspendidas, tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por O: hallar la pulsación horizontal que pasa por O: hallar la pulsación excitadora crítica ωexcitadora crítica ωCC del bloque B capaz de del bloque B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m.m.

V. EJEMPLOS DE V. EJEMPLOS DE APLICACIÓNAPLICACIÓN

Dos esferas de Dos esferas de 2 kg2 kg de masa de masa cada una están soldadas a una cada una están soldadas a una barra ligera que está articulada barra ligera que está articulada en el punto B. Una segunda en el punto B. Una segunda barra ligera AC está soldada a la barra ligera AC está soldada a la anterior. Se aplica una anterior. Se aplica una perturbación en el punto A igual perturbación en el punto A igual a F=Fa F=F0 0 Senωt. En el otro extremo Senωt. En el otro extremo C, se encuentra un muelle que C, se encuentra un muelle que cuando AC está horizontal no cuando AC está horizontal no presenta deformación. Si la presenta deformación. Si la amplitud de la rotación amplitud de la rotación estacionaria del sistema se estacionaria del sistema se mantiene por debajo de 20.10mantiene por debajo de 20.10-3-3 rad, ¿Qué rango de frecuencias rad, ¿Qué rango de frecuencias ω está permitido?. Utilizar los ω está permitido?. Utilizar los siguientes datos: siguientes datos: L= 300 mm; K L= 300 mm; K = 7000N/m; F= 7000N/m; F00 = 10 N; a = = 10 N; a = 100 mm.100 mm.

SoluciónSolución• En la figura se muestra el DCL para un En la figura se muestra el DCL para un

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNHallar la amplitud X del movimiento Hallar la amplitud X del movimiento estacionario de la masa de 10 kg si (a) estacionario de la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.c = 500 N.s/m y (b) c = 0.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNEL elemento de fijación B recibe un EL elemento de fijación B recibe un movimiento horizontal xmovimiento horizontal xBB = b cos ωt. = b cos ωt. Deducir la Ecuación diferencial del Deducir la Ecuación diferencial del movimiento de la masa movimiento de la masa mm y definir la y definir la pulsación crítica ωpulsación crítica ωCC para la cual las para la cual las oscilaciones de la masa se hacen oscilaciones de la masa se hacen excesivamente amplias.excesivamente amplias.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNEl bloque de El bloque de 20 kg 20 kg está sometido a la fuerza está sometido a la fuerza armónica armónica F = (90 Cos6t) NF = (90 Cos6t) N. Escriba la . Escriba la ecuación diferencial que describe el ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque. Considere que movimiento del bloque. Considere que k = k = 400 N/m 400 N/m y y c = 125 N.s/mc = 125 N.s/m

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLos dos bloques mostrados en la figura pende, en Los dos bloques mostrados en la figura pende, en un plano vertical, de una barra de masa un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si se aplica al punto D de la barra una equilibrio. Si se aplica al punto D de la barra una fuerza P(t) = 20 sen(Ωt), determine la máxima fuerza P(t) = 20 sen(Ωt), determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 50 N.50 N.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNEl bloque que pesa 12 N se El bloque que pesa 12 N se desliza por una superficie sin desliza por una superficie sin fricción tal como se indica en la fricción tal como se indica en la figura. El resorte tiene una figura. El resorte tiene una longitud natural cuando la barra longitud natural cuando la barra AB está vertical y BC horizontal. AB está vertical y BC horizontal. Las masas de las barras son Las masas de las barras son despreciables. Suponiendo despreciables. Suponiendo pequeñas oscilaciones, pequeñas oscilaciones, determine: (a) El dominio de determine: (a) El dominio de pulsaciones pulsaciones para el cual el para el cual el movimiento angular estacionario movimiento angular estacionario de la barra AB es inferior a de la barra AB es inferior a 5 5oo (b) La posición del bloque en (b) La posición del bloque en función del tiempo si se desplaza función del tiempo si se desplaza 5 cm hacia la derecha y se suelta 5 cm hacia la derecha y se suelta a partir del reposo cuando t = 0 a partir del reposo cuando t = 0 y y = 25 rad/s.= 25 rad/s.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNEl motor de 3 kg El motor de 3 kg descansa sobre un descansa sobre un resorte (k = 150 kN/m) resorte (k = 150 kN/m) y un amortiguador (c = y un amortiguador (c = 120 N. s/m) según se 120 N. s/m) según se indica en la figura. En el indica en la figura. En el borde de la polea del borde de la polea del motor (e = 25 cm) está motor (e = 25 cm) está fija una pequeña masa fija una pequeña masa (m = 0,5 kg). Determine (m = 0,5 kg). Determine la máxima amplitud de la máxima amplitud de la vibración la vibración forzada forzada resultante del motor.resultante del motor.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLas dos masas de la figura se deslizan por Las dos masas de la figura se deslizan por superficies horizontales lisas. La barra ABC superficies horizontales lisas. La barra ABC es de masa despreciable y está vertical en la es de masa despreciable y está vertical en la posición de equilibrio. Si al punto D de la posición de equilibrio. Si al punto D de la barra se aplica una fuerza barra se aplica una fuerza P(t) = [50 senΩt] P(t) = [50 senΩt] NN, determine la máxima amplitud de la , determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de oscilación estacionaria del bloque de 10 kg10 kg..

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN El sistema representado en la El sistema representado en la figura se ajusta para que se figura se ajusta para que se encuentre en equilibrio cuando encuentre en equilibrio cuando AB esté horizontal y AB esté horizontal y xxEE sea sea igual a cero. La masa del igual a cero. La masa del cuerpo B es 25 kg, la constante cuerpo B es 25 kg, la constante del resorte es 1200 N/m y el del resorte es 1200 N/m y el valor del coeficiente de valor del coeficiente de amortiguamiento es c = 300 amortiguamiento es c = 300 N.s/m. La posición del punto E N.s/m. La posición del punto E varía de acuerdo con la varía de acuerdo con la ecuación ecuación xxEE =0,125 sen 5t, =0,125 sen 5t, donde donde xxEE y y tt se expresan en se expresan en metros y segundos, metros y segundos, respectivamente. Determine la respectivamente. Determine la amplitud del movimiento de B amplitud del movimiento de B y su velocidad máxima.y su velocidad máxima.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Los dos bloques de la figura Los dos bloques de la figura

penden, en un plano vertical, penden, en un plano vertical, de una barra de masa de una barra de masa despreciable que está despreciable que está horizontal en la posición de horizontal en la posición de equilibrio. Si equilibrio. Si a = 15 cma = 15 cm y se y se suponen oscilaciones de suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: pequeña amplitud, determine: (a) La ecuación diferencial del (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento para el amortiguamiento críticocrítico

•   

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• El movimiento del bloque E de la figura es armónico El movimiento del bloque E de la figura es armónico

y lo define la ecuación y lo define la ecuación yyEE =0,15 sen10t, =0,15 sen10t, dondedonde yyEE y y tt se expresan en metros y segundos, se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de Rrespectivamente. La constante de R11 es es 150 N/m 150 N/m y y la constante de Rla constante de R22 es es 250 N/m250 N/m. Se considera . Se considera despreciable la masa de las barras que soportan al despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W de 15 kg. Halle la solución estable que cuerpo W de 15 kg. Halle la solución estable que describe el movimiento del sistema.describe el movimiento del sistema.

•   

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• La polea cilíndrica maciza y homogénea tiene una La polea cilíndrica maciza y homogénea tiene una masa mmasa m11 y un radio r. Si el punto de fijación B está y un radio r. Si el punto de fijación B está sometido al desplazamiento armónico indicado, sometido al desplazamiento armónico indicado, escribir la ecuación diferencial del movimiento del escribir la ecuación diferencial del movimiento del sistema en función de la variable sistema en función de la variable xx. La cuerda que . La cuerda que enlaza la masa menlaza la masa m22 al resorte superior no resbala en al resorte superior no resbala en la polea.la polea.

•   

http://abelgalois.blogspot.com/2009/07/el-universo-mecanico-mechanical.html

http://video.google.es/videoplay?docid=8589231194310447773#